Приключения Нулика. Математическая трилогия. [Владимир Артурович Левшин] (fb2) читать онлайн


 [Настройки текста]  [Cбросить фильтры]
  [Оглавление]

Три дня в Карликании

День первый

В путь!

– Кто из вас был в Карликании? – спросил я.

Ребята удивлённо переглянулись.

– Что за Карликания?

– Где она находится?

– Кто там живёт?…

Я поднял руку – ребята смолкли.

– Значит, никто из вас не был в Карликании?… Жаль. Карликания очень интересная страна. Я исходил эту страну вдоль и поперёк, подружился со всеми её жителями и постоянно переписываюсь с ними.

Ребята слушали с изумлением.

– Хотите отправиться со мной в Карликанию? – спросил я.

– Конечно, хотим!

– Ведите нас в Карликанию!

– И поведу, – ответил я.

– Прямо сейчас?

– Можно и сейчас. Только знайте, поход будет нелёгкий.

– Тем лучше, – заявил Сева. – Я мигом соберу рюкзак: зубную щётку – раз, полотенце – два, кружку – три… В общем, всё, как в туристическом походе. Правильно?

– Нет, неправильно, – ответил я. – Никакого мыла, никакой зубной щётки. Карликания совсем особенная страна. Там и воды-то нет.

– Как же там моются? – развела руками Таня. – Неужели ходят грязными?

– Нет, почему же, – возразил я, – жители Карликании моются… резинками, обыкновенными школьными резинками.

Ребята засмеялись.

– Надо будет попробовать, – сказал Сева.

– А как зовут этих чудаков?

– Раз они живут в Карликании, их и зовут карликанами, – ответил я.

– Ну хорошо, – не унималась Таня, – пусть карликане умываются резинками. Пусть. А что же они пьют, если у них нет воды?

– Наверное, кофе или какао, – заметил Сева.

– Скажешь тоже – какао! – возразила Таня. – Какао без воды не сваришь.

– Знаю! – обрадовался Сева. – Они пьют морковный сок.

– Не люблю морковного сока, – поморщилась Таня. – Виноградный вкуснее. Карликане пьют виноградный.

– Нет, ребята, – вмешался я, – вам ни за что не угадать, что пьют карликане вместо воды.

– Чернила! – выпалил Сева и сам испугался собственного остроумия. Все опять засмеялись.

– А ведь ты угадал, – сказал я. – Карликане в самом деле пьют чернила.

– Синие или красные? – важно спросил Сева, довольный своим смехом.

– И синие, и красные, – ответил я, – и зелёные, и фиолетовые. А если нет чернил, карликане пьют краску.

– Как же так? – недоумевала Таня. – Ведь чернил тоже без воды не приготовишь.

– Чернила им в готовом виде доставляют, – ответил я. – Из другой страны.

– Из Чернилии! – победоносно добавил Сева.

– Оставь свои глупости! – остановила его Таня. – В Карликании этого не любят.

Так мы собрались в поход.

Вместе со мной отправились трое: Таня, Сева и Олег.

Олег, как вы уже заметили, за всё время не произнёс ни слова. Он очень молчалив. Зато уж если что-нибудь скажет, то всегда к месту и всегда правильно. Его так и прозвали – «Вещий Олег».

А вот Сева – тот никогда не закрывает рта, даже когда бывает один. На улице вслух читает вывески, разговаривает со встречными собаками, а то и сам с собой, за что ему часто достаётся от Тани. Ведь Таня лучшая ученица в классе, поэтому она немножко важничает.

Арабелла

Мы вошли в город незамеченными.

Это был необыкновенно красивый город. В центре его помещалась большая круглая площадь. От неё лучами расходились девять улиц.

Улицы так и назывались: «Улица 1», «Улица 2» и так далее до «Улицы 9».

А сама площадь называлась Числовой.

Улицы пересекались множеством переулков и переулочков, так что можно было с одной улицы всегда попасть на другую, не выходя на Числовую площадь.

У переулков тоже были свои названия: «Дробные», «Десятичные», «Обыкновенные»… Были даже какие-то «Периодические» – длинные-предлинные, уходившие далеко за город, куда-то на край света. Некоторые переулки заканчивались тупиками. Кроме того, город пересекали широкие проспекты, аллеи… В центре Числовой площади находилось огромное стеклянное здание, на высокой башне которого переливалась всеми цветами радуги светящаяся надпись:

СТОЛИЦА КАРЛИКАНИИ АРАБЕЛЛА
Мы бесшумно вышли на Улицу 8, где стояли совершенно одинаковые восьмиэтажные дома. В каждом доме по восьми дверей, в каждом этаже по восьми окон. И представьте себе, все дома на этой улице были обозначены одним и тем же номером – 8!

Таня первая нарушила молчание.

– Как же почтальоны доставляют письма, если все дома под одним номером?

Обрадовавшись возможности высказаться, Сева открыл было рот, но тут из окна какого-то дома послышалась песня. Вероятно, её пела мать, убаюкивая своего ребёнка.

Спи, мой Нулик, спи, сынок.
Новый день уж недалёк, —
Семь часов и семь минут
Очень скоро пробегут.
Спят четырнадцать котят,
Сорок мышек тоже спят,
Даже стопудовый слон
Смотрит сто девятый сон.
Спи, мой Нулик, спи, сынок.
Новый день уж недалёк, —
Семь часов и шесть минут
Очень скоро пробегут.
Чтоб расти из года в год,
Никогда не лезь вперёд.
Если будешь поскромней,
Станешь в десять раз сильней.
Спи, мой Нулик, спи, сынок.
Новый день уж недалёк, —
Семь часов и пять минут
Очень скоро пробегут.
Пение смолкло. Раздался лёгкий шлепок, и женщина сказала:

– Спи, негодный! До нового дня осталось уже только семь часов и четыре с половиной минуты. Если ты сейчас же не заснёшь, так и будешь нулём всю жизнь. Спи! Что я тебе сказала?!

На цыпочках мы двинулись дальше и свернули в тупичок, который заканчивался большим сараем. Сева тут же прочитал вывеску:

Склад
КАРЛИКАНЕ, СКЛАДЫВАЙТЕ ВСЁ ЗДЕСЬ!
Несмотря на то, что в Арабелле была ночь, из склада доносился невероятный шум. Там кричали, спорили, передвигали какие-то громоздкие вещи.

Мы подошли поближе и вот что услышали.

– Девочка, зачем ты кладёшь сюда апельсины?! – негодовал густой бас. – Разве ты не видишь, что здесь лежат электрические лампочки? Лампочки надо складывать с лампочками, а апельсины – с апельсинами. Иначе в сумме получатся какие-то лампольсины! Чему вас только учат в школе? Сразу видно, что ты маленькая Двойка. Да, да. Двойка, и ничего больше! Завтра ты станешь складывать лягушек с цаплями, и от твоих лягушек ничего не останется – цапли их попросту слопают!

– А зачем же вы сами сложили белую булку с ветчиной? – возразил тоненький голосок.

– Ах ты невежа! – возмутился бас. – Я их не складывал – я сделал из них бутерброд. Это же совсем другое дело! Бутерброд с ветчиной – это очень вкусно! Да как ты смеешь меня учить?! Сперва доживи до моего возраста, тогда и учи других. А я уж как-нибудь сам разберусь, с чем мне есть ветчину.

– Хи-хи-хи! – засмеялась девочка. – Вы просто обжора!

– А ты недоучка! – рассвирепел бас. – Убирайся, не то я завтра всё расскажу твоей учительнице.

Не дожидаясь встречи со спорщиками, мы поспешили выбраться из тупика.

– Слушайте, – сказал Сева, – теперь я, кажется, понял, что такое Карликания. Это же Арифметическое государство!

– Ай да Сева! – съязвила Таня. – И как ты только догадался? Не ты ли сам вчера складывал мандарины с выключателями?

Сева искоса виновато посмотрел на меня. Но я притворился, что ничего не слышал.

Мы вернулись на Числовую площадь. Светало. Постепенно раскрывались ставни, на улице появились первые прохожие.

В Арабелле начался день.

Никто из жителей города нас ещё не видел. Мы укрылись в небольшом садике. И я стал рассказывать моим спутникам о том, как возникло это государство.

Самое древнее государство

Мы знаем много древних государств: Индию, Египет, Вавилон, Ассирию, Грецию… Мы даже знаем, когда примерно каждое из них появилось. А вот когда появилось Арифметическое государство, этого никто не знает. А что оно очень-очень древнее, можно заключить из того, что и в Вавилоне, и в Египте, и в Греции, и на Руси, и во всех других древних государствах упоминается и Арифметическое. Значит, оно древнее всех.

Может быть, его основал самый-самый древний человек на земле, такой древний, что древнее его уже никого не было? Может быть, он издал Указ об основании Арифметического государства? Или захватил силой какую-нибудь страну и назвал её по-своему?

Нет, этого не может быть. Указов самый-самый древний человек писать, конечно, не умел – он вообще писать не умел, а государств в то время никаких и не было.

Были у древнего человека жена и двое детей. Вот пошёл однажды самый-самый древний человек на охоту и убил самого-самого древнего дикого кабана. Пришёл домой и… что же он сделал с добычей? Ну, конечно же, разделил её на четыре части: жене, сыну, дочке и себе.

Так появилось на свете арифметическое действие – деление. Вот как древний человек заложил первый камень Арифметического государства!

А потом пошло! Дети, как все дети, хотели есть. Надо было запасать еду впрок. Древний человек стал чаще ходить на охоту, а добычу складывал в яму.

Вы понимаете, что он делал? Он складывал!

А осенью надо было собрать много орехов, ягод – ведь дети любят лакомства. Хозяйство древнего человека всё росло и умножалось.

А когда дети выросли, они переженились с детьми другого древнего человека. Для них надо было устраивать самостоятельные хозяйства. Тут родители без сожаления стали отнимать от своего добра самые лучшие шкуры зверей, самые крупные орехи, плоды и отдавать их детям. Было у родителей, скажем, по тридцати орехов, а после свадьбы оставалось только по восемнадцати. Значит, по двенадцати орехов они отдали.



Скажите, пожалуйста, разве это не самое обычное действие – вычитание?

Но древний человек ещё не знал, как называются арифметические действия. Он вообще не знал арифметики.

Конечно, это было очень давно. Можно только догадываться, как всё происходило. Людей на земле появлялось всё больше, хозяйства их росли. Всё труднее становилось делить, складывать, умножать, вычитать.

А некоторые нехорошие древние люди этим пользовались.

«Эй, друг! – говорил один такой нехороший древний человек. – Ты меня обманываешь. Ты обещал мне отдать десять кабаньих ножек. Вчера отдал четыре, сегодня – пять и говоришь, что мы в расчёте. Где же ещё одна ножка?»

«Нет, друг, – отвечал ему хороший древний человек, – я тебе вчера отдал не четыре, а пять кабаньих ножек. Ты позабыл».

«Нет, это ты позабыл! – возражал нехороший человек. – Ты больше мне не друг, и я тебя убью этой дубиной!»

Конечно, ничего бы этого не случилось, если бы хороший человек записал, сколько он отдал кабаньих ножек нехорошему человеку. А он этого не сделал. Не сделал потому, что не умел записывать числа.

И вот решили хорошие древние люди поступать так: каждую полученную или отданную кабанью ножку обозначать камешком, а камешки прятать в надёжное место. Теперь уж никто не скажет, что ножек он получил четыре, а не пять.

Так и стали делать. А потом опять запутались. Хорошо, когда считать приходилось кабаньи ножки. Их было не так уж много. Попробуйте пересчитать таким способом орехи или ягоды! Сколько камешков придётся перетаскать?

«Придумали! – решили одни. – Обойдёмся без камешков. Будем каждый орех или каждую кабанью ножку отмечать зарубкой на стене. Будем ставить палочки и считать их».



«Что вы! – возражали другие. – Вы перепортите все стены в пещерах. И всё равно со счёта собьётесь. Надо придумать что-нибудь поумнее да попроще».

Легко сказать: «попроще»! Не простая это задача! Много воды утекло, прежде чем люди додумались, как её решить, и появились на свет новые необычные существа – цифры.

Эти цифры были мало похожи на те, которые вы знаете. Но об этом я расскажу вам потом. А сейчас… Мы ведь с вами находимся в Арабелле, так давайте говорить о тех цифрах, которые живут в этом городе.

Изобрели эти цифры в древней Индии. И называться бы им индийскими. Но никто в те времена о выдумке индийцев не знал. Индию покорили арабы, они разорили города, забрали там много драгоценностей. А вместе с ними и цифры. Так что узнали мы об индийском изобретении через арабов и стали называть эти цифры арабскими.

Таких цифр насчитывалось в древности девять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Они-то и основали это государство. И столицу его назвали Арабеллой.

Теперь вам понятно, куда мы попали?

Смотрите: кто-то открывает калитку. Придётся нам, кажется, извиниться за непрошеное вторжение.

Яблоневый сад

Не успел я это сказать, как сад заполнился весёлыми малышами. Их привела цифра постарше – опрятная Четвёрка с бантиком в волосах. Заботливо одёрнув складки школьного платья, она подошла к нам и вежливо поздоровалась.

– Извините, – сказал я, – мы вошли в ваш сад без спроса.

– В нашем городе рады всем, – сказала она, – а школьникам особенно.

– Откуда вы знаете, что я школьник? – спросил Сева. Четвёрка лукаво улыбнулась:

– Мы ведь с вами не раз встречались. Мне даже приходилось появляться на страницах вашего дневника. По правде говоря, не так часто, как бы мне хотелось.

– Есть дневники, где вам и вовсе не доводилось бывать, – нашёлся Сева и выразительно посмотрел на Таню.

– Да, но это совсем другое дело. Там постоянно гостит моя подруга – Пятёрка. Она гораздо лучше меня, и я на неё нисколько не сержусь.

Сева вспыхнул и хотел было что-то ответить, но в это время – и очень кстати – к Четвёрке подбежали малыши.

– Ой, какие красивые яблоки в этом саду! Можно их попробовать?

– Отчего же, – сказала Четвёрка, – но для этого яблоки надо сперва сорвать.

– Мы хотели, но у нас не получается. Очень высоко.

– А разве вы не знаете нашего правила? Яблоки сами упадут на землю – стоит только решить какую-нибудь задачу.

К нашему удивлению, малыши ничуть не огорчились. Они деловито достали из карманов маленькие палочки и приготовились записывать на песке условие задачи.

– Итак, – продолжала Четвёрка, – на трёх тарелках лежат яблоки. На первой тарелке лежит половина всех яблок. Когда с этой тарелки взяли половину того, что лежало на второй тарелке, а затем половину того, что было на третьей, на первой тарелке осталось всего два яблока. Спрашивается, сколько яблок лежало вначале на каждой тарелке? Понятно?

Малыши сосредоточенно засопели, водя палочками по песку, некоторые от усердия даже высунули языки. Скоро, однако, настроение у них явно испортилось. Многие даже заплакали. Четвёрка нисколько этому не удивилась, достала ослепительно белый носовой платок и аккуратно вытерла маленькие мокрые носы.

– Нечего плакать, – сказала она, – эта задача для вас ещё трудновата. Пусть её решат наши гости. И тогда мы все вместе попробуем чудесных яблок.

– Таня, вся надежда на тебя! – шепнул Сева. Ему давно уже не терпелось поближе познакомиться с яблоками.

Очень скоро сад был буквально засыпан спелыми плодами.

– Молодец, Таня! – в восторге закричал Сева. – Я знал, что ты решишь задачу!

Малыши дружно захлопали в ладоши и бросились подбирать яблоки. Но Таня стояла смущённая, щёки её пылали.

– Это не я решила задачу! – с трудом выговорила она и, закрыв лицо руками, отвернулась.

– Вот те раз! Кто же это? – заволновались малыши.

– Во всяком случае, не я! – буркнул Сева.



Тогда все посмотрели на Олега. Он, как обычно, молчал. А рядом с ним на песке все увидели три числа. Это был ответ на задачу.

– Совершенно правильно! – сказала Четвёрка, взглянув на числа, и сейчас же стёрла их ногой.

– Зачем, зачем вы это сделали? – запищали малыши.

– Пусть тот, кто не решил этой задачи, обязательно решит её сам. А мне пора на площадь Добрых Напутствий. Если хотите увидеть интересное зрелище, – любезно обратилась она к нам, – я с удовольствием вас провожу.

Мы охотно согласились и последовали за нашей новой знакомой.

Таинственные знаки

Город кишел народом. Со всеми своими улицами и многочисленными переулками он был похож на большой, но хорошо изученный лабиринт.

В этом легко было убедиться, видя, как безошибочно и быстро находили жители Арабеллы дорогу к широкому проспекту Действующих Знаков.

Отовсюду стекались сюда оживлённые карликане. Были среди них дети и старики, торопливые и медлительные, болтуны и молчальники, смешливые и задумчивые. Но, несмотря на большую толпу, никто никого не толкал, никто никому не наступал на ноги.

Многие дружелюбно кивали нам в знак приветствия, а иногда и пожимали руки – словом, вели себя как добрые знакомые.

По обе стороны проспекта тянулись длинные здания со множеством вертящихся дверей. Карликане то и дело ныряли в них и тотчас же возвращались с небольшими чемоданчиками, в которых что-то мелодично позвякивало.

На каждом шагу попадались вывески с крупной надписью:

СКЛАД ДЕЙСТВУЮЩИХ ЗНАКОВ
Под этой надписью была другая, поменьше:

ЭКОНОМЬТЕ РАСХОД КРЕСТИКОВ!
– Что это за крестики такие? – вслух недоумевал Сева. – И почему это их надо экономить?



Но вот из одной вертящейся двери выпорхнула школьница с тремя смешными косичками. Это была маленькая Тройка.

– Троечка, что это у вас в чемодане? – спросил у неё Сева.

– Здравствуйте! – ответила воспитанная Тройка.

– Ах да, я совершенно забыл, – спохватился Сева. – Конечно, здравствуйте! Не скажете ли вы, что это звенит у вас в чемодане?

– Действующие знаки. – Тройка указала на вывеску: – Тут же всё написано. Разве вы не умеете читать?

– Умею, но не понимаю, что это за знаки и как они действуют?

– Ах нет, нет. Они не могут сами действовать. Они только помогают другим производить различные действия.

– Театральные действия? – сострил Сева.

– Скажете тоже! – Тройка энергично замотала косичками. – Не театральные, а арифметические!

– Понимаю: сложение, вычитание, умножение и деление.

– И многие другие.

– Какие же другие? – удивилась Таня. – Кроме этих четырёх, других действий не бывает.

– Что вы! – воскликнула Тройка. – Кроме арифметических, могут быть и совсем другие действия – например, алгебраические.

– Не знаю таких, – пожала плечами Таня. – Никогда даже не слышала.

– Неужели?! – Тройка изумлённо всплеснула руками.

Трах! Это упал на землю чемоданчик, и всё его содержимое высыпалось наружу. Мы поспешно бросились подбирать.

Чего там только не было! И точки, и запятые, чёрточки маленькие, чёрточки большие, крестики, скобки круглые, скобки квадратные, скобки фигурные и ещё много-много совсем непонятных знаков.

– Ой, какая я неловкая! – огорчилась Тройка. – Пожалуйста, осторожнее. Это очень важные знаки. Вот эта маленькая чёрточка, например. Если забыть поставить её между двумя числами, то никто и не догадается, что из одного числа нужно вычесть другое.

– Это минус! – выпалил Сева.

– Разумеется! – обрадовалась Тройка. – А вот если я две такие чёрточки помещу одну над другой, это уже будет не два минуса, а…

– …знак равенства, – не удержался Сева.

– Так вы же всё знаете! Я думаю, дальше вам и объяснять не нужно. Вот, например, этот крестик…

– Это плюс, – сказал Сева. – Он нужен для сложения. А вот почему у вас висит объявление «Экономьте расход крестиков!»? Неужели для того, чтобы поменьше складывали?

– Ой, что вы! – засмеялась Тройка. – Складывайте на здоровье, сколько душе угодно! Дело в том, что крестик употребляется не только как знак сложения, но и как знак умножения. Стоит только поставить его на обе ножки – вот так: X. Поэтому крестиков у нас не хватает, и мы решили заменить их точками.

– Но такую точку легко спутать со знаком препинания!

– Нет, нет! – Тройка замахала руками. – Это же очень просто: наша точка ставится чуточку выше, чем знак препинания.

– А это что такое? – спросил Сева, вытащив из чемоданчика забавную фигурку. – Сачок для ловли бабочек?

– Какой вы смешной! – прыснула Тройка. – Это тоже знак. Он применяется при извлечении корней из чисел. И зовут его радикал.

– Выходит, у чисел есть корни, такие же, как у деревьев? – обрадовался Сева.



– Какой ужас! – воскликнула Тройка. – Вы всё понимаете буквально.

– Но что же это всё-таки за корни?

– Позвольте мне на ваш вопрос ответить вопросом: сколько будет трижды три?

– Разумеется, девять!

– Великолепно! Сами того не замечая, вы произвели важное и прекрасное действие: возвели тройку в степень!

– Нет, – возразил Сева, – я просто умножил тройку саму на себя.

– Вот именно. Но это же и есть возведение в степень. И при том – во вторую степень.

– А разве можно ещё и в третью? – спросила Таня.

– Конечно. Для этого надо девять ещё раз умножить на три.

– Значит, три, помноженное на три и ещё раз на три, – это и есть третья степень трёх? – сказала Таня.

– Совершенно верно. Поэтому третья степень трёх равна…

– …двадцати семи, – закончила Таня.

– Но ведь так можно поступать без конца! – сказал Сева.

– Как вы это правильно заметили! – восхитилась Тройка. – Именно без конца! И тогда будут получаться четвёртая, пятая, шестая степени…

– Любопытно.

– Но вернёмся к началу нашего вопроса, – продолжала Тройка. – Вы спросили, что такое радикал? Начнём от печки. Трижды три – девять. А теперь я задам вам тот же вопрос с конца: какое число нужно возвести во вторую степень, чтобы получить девять?

– Три, – сразу ответил Сева.

– Видите, по девятке мы узнали, какое число было возведено во вторую степень. И число это оказалось тройкой.

– Вот это действие и называется извлечением корня? – спросила Таня.

– Ну да! – обрадовалась Тройка. – И обозначается оно радикалом.

– А ты думал, им ловят бабочек, – съехидничала Таня.



Сева торжественно поднял руку:

– Клянусь, теперь я всегда буду помнить, чему равен корень из девяти.

– И всё-таки, – продолжала Тройка, – не следует думать, что корень из девяти всегда равен трём! Всё зависит от того, какой корень вы извлекаете.

– Как, – опешил Сева, – разве корни бывают разные?

– Совершенно разные! Есть корни и третьей, и четвёртой степени. Об этом вы узнаете в своё время. А теперь простите меня. Я боюсь опоздать на площадь Добрых Напутствий.

Тройка схватила чемоданчик и убежала.

И тут только мы заметили, что Четвёрка с бантиком куда-то исчезла. Посоветовавшись, мы решили продолжать путь одни. Это было нетрудно: все жители города двигались сейчас в одном направлении.

Площадь добрых напутствий

Это было огромное поле, сплошь заполненное жителями Арабеллы. И, так же как и на проспекте Действующих Знаков, здесь царил совершеннейший порядок.

У входа на площадь возвышалось какое-то удивительное сооружение. Мои ребята с восторгом осматривали его, поднимались на ступеньки, заглядывали внутрь через круглые разноцветные окошечки.

– Это ракетная установка?

– Нет, это космический корабль!

– А по-моему, атомная станция!

Я молчал: пусть разбираются сами.

Неожиданно в разговор вмешалась толстая Восьмёрка, которая вела за руку маленького Нулика.

– Здравствуйте! – обратилась она к нам.

– Здравствуйте! – повторил за ней Нулик и вкусно зевнул.

Восьмёрка покачала головой:

– Ну что с ним делать? Заснул только под утро, а теперь зевает. Как я отпущу его в такое серьёзное путешествие?

– Не вы ему пели: «Спи, мой Нулик, спи, сынок»? – спросила Таня.

– Кто же, кроме меня, может петь песенку, которую я сама сочинила? А не вы ли гуляли ночью под моими окнами? – в свою очередь поинтересовалась Восьмёрка.

– Да, да, это они гуляли! – обрадовался Нулик. – Вот эта девочка, – он показал на Таню, – спросила, как почтальоны доставляют нам письма, если все дома под одним номером.



– Не всё ли равно, кто получит письмо, – возразила Восьмёрка. – Письма, адресованные кому-нибудь из нас, одинаково касаются всех.

– И меня, и меня касаются! – закричал Нулик.

– Какой умный ребёнок! – умилилась Восьмёрка.

– Раз уж вы так любезны, – обратился к ней Сева, – не скажете ли, уважаемая Восьмёрка, откуда у вас сын Нулик? Я думал, ваши дети тоже Восьмёрки.

– Конечно, у меня, как и у всех других мам-восьмёрок, дети тоже восьмёрки. А у пятёрок – пятёрки, у двоек – двойки, и так далее. А вот нулики имеются у всех. Нулики – это наши приёмные дети. Но мы их любим, как своих родных, даже, пожалуй, больше. Ведь они такие маленькие, такие беззащитные. Они без нас совсем ничего не значат.

– Откуда же они у вас появились? – спросил удивлённо Сева.

– О, это очень длинная история! Вы, наверное, знаете, что на нашей родине, в Индии, было только девять цифр. Эти девять старейших и образовали Арифметическое государство. Теперь они заседают в Совете Старейших и управляют нами. Вскоре люди решили, что очень неудобно обходиться без нулей. Ну, подумайте сами: вам нужно записать число 205, а у вас только девять цифр, нуля нет. Что вы будете делать? На месте сотен поставите двойку, на месте единиц – пятёрку. А что вы поставите на месте десятков? Ведь десятков в этом числе нет! Нельзя же писать число 205 так: 2НЕТ5! Это было бы ужасно!

И люди решили вместо слова «нет» ставить нуль. Так появились в нашем государстве эти милые, прелестные крошки, которых мы с радостью усыновили. Вот откуда у меня такой круглый сынок… Ну, иди, иди, мой маленький, а то мы опоздаем на ракету. Скажи всем «до свидания».

– До свида-а-а-ния! – пропел Нулик и покатился следом за своей солидной мамашей.

В это время мы услышали знакомый голос:

– Вот они! А я уже думала, что никогда вас не найду. – Перед нами стояла Четвёрка с бантиком. – Извините меня, пожалуйста, я должна была посадить моих малышей в скоростной самолёт. Ведь они сегодня в первый раз улетают.

– Странно, – сказал Сева. – Куда это у вас все летят?

– Как – куда? – удивилась Четвёрка. – Да к вам, к людям. На фабрики, на заводы, в колхозы. К рабочим, счетоводам, учёным. И к школьникам, разумеется. Нас ждут всюду: в аулах, на полярных станциях, на кораблях дальнего плавания, в космических ракетах. С каждым годом мы нужны всё больше и больше. Нас разрывают на части. Вернее, на все пять частей света: приглашают в Азию, в Африку…



Четвёрка не успела докончить, потому что в это время заговорили десятки мощных репродукторов:

«Внимание! Карликане! Через минуту вы отправитесь в далёкое путешествие к людям. Слушайте доброе напутствие Совета Старейших. У микрофона Карликан Первый.

– Дорогие друзья, храбрые путешественники, неутомимые труженики! Совет Старейших желает вам доброго пути и благополучного возвращения. Мы уверены, что вы не посрамите нашего славного государства и будете честно трудиться на благо человечества. В руках добрых людей вы принесёте пользу, в руках злых можете принести разрушение. Служите добрым людям, остерегайтесь злых. Счастливого вам пути!»

Заиграла музыка, и в воздух одна за другой стали подниматься огромные сверкающие машины. Их было много, и каждая отвозила миллионы карликан. Восхитительное зрелище!

Мы долго не могли опомниться и всё глядели в небо, где давно уже ничего не было, кроме лёгких белых облаков.

– Странно, – заговорил наконец Сева, – улетело столько, что не сосчитать, а толпа на площади не убывает. Может быть, это мне только кажется?

– О, напротив, вы очень наблюдательны! – заметила Четвёрка. – Толпа в самом деле не убывает.

– Как же так? – недоумевал Сева. – Если даже из огромной коробки всё время брать по конфете, то конфеты когда-нибудь кончатся.

– Конфеты, конечно, кончатся, – улыбнулась Четвёрка, – а карликане – никогда.

– Чепуха! – отрезал Сева.

– Довольно слабое доказательство, – сухо заметила Четвёрка. – Я в таких случаях прекращаю спор. Но на этот раз сделаю исключение. Мне вас жаль, потому что вы не знаете, что такое бесконечность.

– Почему это я не знаю? – обиделся Сева. – Бесконечность – это когда чего-нибудь очень много. Ужасно много!

– Нет, нет, нет! – возразила Четвёрка. – Это совершенно неверно. У нас так не рассуждают даже нулики. Бесконечность – это то, у чего нет конца. Совсем нет конца.

– Ну, где-нибудь конец всё-таки есть? – не сдавался Сева.

– В том-то и дело, что нигде! Вот вам кажется, что вы уже дошли до самого конца, заглянули дальше, а там… А там снова бесконечность. И так бесконечно. Вы её догоняете, а она убегает всё дальше. Идёшь сквозь огромную толпу карликан, идёшь-идёшь, уже и ноги не держат, а впереди всё столько же народу, сколько было раньше. И сколько бы вы ни шли, вы всегда находитесь в самой середине толпы. Идите хоть сто, хоть тысячу, хоть миллион лет! Вот что такое бесконечность!… И не возражайте, пожалуйста! – строго остановила она Севу, уже открывшего было рот. – Если вам непонятно, то к этому вопросу я ещё вернусь, потому что о бесконечности можно говорить бесконечно.

– Скажите, что это за махина такая? – спросил Олег, чтобы загладить Севину бестактность. Он указал на странное сооружение, которое ещё вначале привлекло наше внимание.

– Не махина, а машина, – поправила Четвёрка, – электронно-счётная машина. Это наш большой друг. В Карликании таких машин много, и каждая занята своим делом.

– А чем занята эта? – спросил Сева. Он удивительно быстро оправился от смущения.

– Эта машина производит самые точные вычисления. Она может сосчитать, сколько карликан отправилось в путешествие, с какой скоростью им надо лететь, чтобы прибыть вовремя. Машина сама выберет кратчайший маршрут; она управляет полётом и помогает обойти все препятствия, которые встречаются на пути ракеты. Это очень умная машина!



– Должно быть, её обслуживают много карликан.

– Всего только две цифры, две самые маленькие цифры: нулик и единичка. Но они прекрасно справляются со своей работой. Представьте себе, у них превосходная память. Стоит только им узнать что-нибудь, и можете быть уверены: они этого никогда не забудут.

– Счастливые! – вздохнул Сева.

– А почему в этой машине работают только нулик и единичка? – спросила Таня.

– А больше никто и не нужен. Вы ведь знаете, что нуль – это ничто. Вот он и обозначает слово «нет», тогда как единицей обозначается слово «да». Оказывается, этих двух слов совершенно достаточно, чтобы решить любую задачу.

– Как это так? – недоверчиво спросил Сева.

– Давайте сыграем в такую игру, – предложила Четвёрка. – Угадайте, что у меня в кармане? Задавайте мне какие хотите вопросы, но так, чтобы я должна была отвечать только «да» или «нет». Начали?

Ребята не заставили себя упрашивать. Вопросы посыпались один за другим:

– У вас в кармане что-нибудь съедобное?

– Нет.

– Школьный предмет?

– Да.

– Жидкий?

– Нет.

– Твёрдый?

– Нет.

– Мягкий?

– Да.

– Длинный?

– Нет.

– Круглый?

– Нет.

– Прямоугольный?

– Да.

– На нём пишут?

– Нет.

– Им промокают?

– Нет.

– Им стирают?

– Да.

– Резинка! – сказал Олег.

– Правильно! – ответила Четвёрка. – Видите, вы решили задачу только по моим ответам, с помощью всего двух слов: «да», «нет». Так и машина работает. Только работает она очень-очень быстро. Её так и называют – быстродействующая. У нас имеется прекрасный дворец, где быстродействуют эти умные машины. Это Дворец Кибернетики. Обязательно побывайте там. А теперь я приглашаю вас на стадион – повеселиться. Там скоро начнётся представление – балет на льду. Маленькие карликане на коньках! Советую посмотреть.

Надо ли говорить, с какой радостью мы отправились на стадион!


Балет на льду

Это был школьный утренник, очень похожий на те, к которым мы привыкли у себя дома. Добрую половину зрителей составляли взволнованные мамы, тёти и бабушки маленьких артистов. Они оживлённо переговаривались и с нетерпением поглядывали на большое ледяное поле, где только что установили декорации, изображающие дремучий лес.

Режиссёр – тоненькая, гибкая Семёрка – грациозно пересекла ледяную сцену и подкатила к нам, приветливо улыбаясь.

– Спасибо, что пришли. Это ведь я просила моего друга Четвёрку привести вас сюда.

Нас усадили в первом ряду, как почётных гостей.

И сразу над ледяным полем вспыхнул ослепительно яркий свет.

Дирижёр взмахнул палочкой, и под звуки весёлой музыки на сцену выбежали два малыша. Они развернули длинное полотнище, и все прочитали название балета:

ВОЛШЕБНЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ
И ВЕСЁЛЫЕ ПЕРЕСТАНОВКИ!
Малыши убежали, а вместо них появились другие, в разноцветных хитончиках, во главе с добрым Вычислителем-Строителем.

Он красноречиво (хотя и без слов) рассказал, какие великие дела предстоит им совершить на благо людей. Цифры не менее красноречиво (тоже без слов) выразили полную готовность следовать за добрым Вычислителем-Строителем.

Вдруг в оркестре загремели барабаны, и на сцене появился злой Вычислитель-Разрушитель.

Завидев его, цифры бросились кто куда. Они боялись, что он возьмёт их в плен и заставит работать на себя. А этот злодей занимался очень плохими делами. Он ненавидел людей и хотел их уничтожить.

Добрый Вычислитель-Строитель стал на защиту испуганных малышей.

Тогда Вычислитель-Разрушитель, увидев, что одному ему не справиться, кликнул на помощь своё войско. И вот появились воины в белых мундирах с чёрными крестами на груди. Они схватили доброго Вычислителя-Строителя, крепко-накрепко связали и стали с силой вклиниваться между насмерть перепуганными цифрами, а те всё время увёртывались от них. Так продолжалось довольно долго.

По правде говоря, мои ребята ничего не понимали.

– Скажите, пожалуйста, – шёпотом обратился Сева к Четвёрке, – почему эти цифры так боятся воинов с плюсами на груди?

– Да потому, что сейчас они ещё свободные цифры. А когда плюсы начнут их складывать, они превратятся в числа. И тогда уж волей-неволей им придётся работать на злого Вычислителя-Разрушителя.

– А я думал, – возразил Сева, – что цифры и числа – это одно и то же!

– О нет! Разница между цифрами и числами такая же, как между буквами и словами. Слова составляются из букв, а числа – из цифр. Цифр и букв немного, а слов и чисел множество. С числами можно производить различные действия, а с цифрами нельзя. Когда цифра становится числом, этому числу можно дать любое наименование. Числа можно назвать птицами, книгами, яблоками, а можно – ружьями и пушками. Этого и добивается злой Вычислитель-Разрушитель. Вот почему цифры так его боятся.

Между тем с помощью своих воинов, Плюсов, и их командира Знака Равенства злой Вычислитель-Разрушитель заставил наконец цифры расположиться следующим образом:

1 + 3 + 4 + 2 = 10
Бедные цифры, превратившись в числа, сразу замерли. Они были очень грустные. В зале плакали. А Вычислитель-Разрушитель торжествовал. Он хорошо знал, что числа никогда не посмеют нарушить равенство, не посмеют убежать от него. Ведь десять всегда должно быть равно десяти!

Теперь числа в его власти!

И вдруг (какая же сказка без волшебного «вдруг»!)… вдруг маленький Нулик из числа 10, точная копия нашего знакомого, быстро встал по другую сторону Единицы. И вместо десятки получилось какое-то ни то ни сё – 01!



В зале ахнули. Это было неслыханное геройство. Знак Равенства тут же упал в обморок – он не вынес подобного нарушения. А Вычислитель-Разрушитель так перепугался, что побежал звонить в пожарную команду, потому что пожарных в Карликании тоже вызывают по телефону 01. Совсем как у нас.

Зрители громко зааплодировали, а цифры быстро развязали своего доброго предводителя и на радостях затеяли весёлую игру, в которой приняли участие недавние их враги – Плюсы и Знак Равенства. Им тоже надоело служить злому волшебнику. С этих пор они будут делать только добро.

Сначала под звуки плавного вальса числа образовали знакомую уже нам группу:

1 + 3 + 4 + 2 = 10
Потом началось феерическое зрелище. Освещённые то жёлтыми, то красными, то синими прожекторами, юные фигуристы стали меняться местами, образуя всё новые и новые группы:

3 + 1 + 2 + 4 = 10
2 + 3 + 4 + 1 = 10
4 + 1 + 3 + 2 = 10
1 + 4 + 2 + 3 = 10
и так далее.

И только десятка, стоявшая после Знака Равенства, всё время оставалась на месте. А числа в танце низко кланялись Нулику, и он стоял довольный, но скромный, как и подобает герою.

Так продолжалось до тех пор, пока конькобежцы не вернулись к исходному положению.

– Сколько же раз они менялись местами? – спросил Сева. – Я считал и запутался.

– Ровно двадцать четыре раза, – ответила Четвёрка.

– Неужели так много?

– Если вы сомневаетесь, проверьте сами, – усмехнулась она.

Тут первое отделение подошло к концу. Артисты выстроились полукругом и, взявшись за руки, запели:

Всё хорошо, что хорошо кончается!
Но в пьесе вывод полагается:
От перемены мест слагаемых
Сумма не ме-ня-е-тся!

Первое знакомство

В антракте мы пошли за кулисы, чтобы поблагодарить Семёрку и всех артистов за интересный спектакль.

Это оказалось труднее, чем мы думали. За кулисами была ужасная толчея, такая же, как у нас после концерта школьной самодеятельности. Маленьких артистов душили в объятиях счастливые родственники и восторженно пророчили им великое будущее. Родственники всегда немного преувеличивают!

Нам всё-таки удалось добраться до Семёрки. Мы выразили ей свой восторг. Она была счастлива и попросила нас обязательно посмотреть второе отделение.

– Мы покажем вам воздушное умножение. Это самый лучший номер нашей программы!

– А Нулик тоже в нём участвует? – спросила Таня, которой очень понравилась игра маленького артиста.

– Да, конечно. Но в этот раз он играет вспомогательную роль.

– Почему? – огорчилась Таня.

– Нельзя же всегда играть главные, – ответила Семёрка. – Наши артисты должны исполнять всякие роли. Скажу по секрету: Нулик очень на нас за это обиделся. Мама внушила ему, что он талант.

В это время раздался громкий визг. Дверь костюмерной распахнулась. Кто-то вихрем промчался мимо нас и исчез в толпе.

Начался страшный переполох. Цифры бросились врассыпную. Совсем как в балете при появлении злого Вычислителя-Разрушителя.

Все беспорядочно кричали:

– Спасите! Отнимите у него! Он нас уничтожит!…

– Так я и знала! Противный мальчишка! Он стащил знак умножения. – И Семёрка храбро бросилась в самую гущу толпы.

– Кто стащил знак умножения? – спросили мы у Четвёрки.

– Как – кто? Нулик! – пискнула она, робко прячась за наши спины. – Тот самый, которого вы так расхваливали.

– А зачем ему знак умножения?

– Он мстит за то, что ему не дали главной роли.

– Подумаешь, страшная месть, – рассмеялся Сева, – стащил знак умножения.

– Не говорите так! – с ужасом воскликнула Четвёрка. – Разве вы не знаете, какую беду может натворить Нулик со знаком умножения? Стоит ему встать рядом с любым числом – и оно немедленно обращается в ничто. Какой-нибудь час – и все жители Арабеллы обратятся в нули. Представляете себе государство, состоящее из одних нулей?!

Мимо нас пробежал отряд пожарников. (Как известно, пожарники есть в каждом театре.) У них были очки с сильными увеличительными стёклами (для поисков самых маленьких чисел). В руках они держали длинные, тонкие прутья. Как выяснилось, специально для ловли нулей.

Тем временем Нулик выскочил на ледяное поле. Тогда пожарники и кучка отчаянных смельчаков во главе с нашей славной Семёркой окружили поле плотным кольцом и стали осторожно приближаться к виновнику переполоха.

На Нулика нацелился лес длинных палок.

Но он как ни в чём не бывало выделывал ногами вензеля и показывал преследователям язык.

Казалось, ещё минута – и его схватят. Но не тут-то было!

Озорник ловко подпрыгнул и вскарабкался на самую макушку декоративного дерева.

– Сейчас же бросай знак умножения! – потребовала Семёрка.

– А вот и не брошу! – захихикал Нулик, весело болтая ножками.

– Тогда будешь сидеть здесь до скончания века!

– А я возьму и перепрыгну через ваши головы. Прямо в публику! – И Нулик сделал вид, что собирается выполнить угрозу.

В толпе началась настоящая паника. Зрители в ужасе побежали к выходам. В дверях образовались пробки. И тогда Семёрка бросилась к телефону.

– Скорую арифметическую помощь!… – закричала она в трубку. – Это Скорая?… Ужасное несчастье!… Да, да, опять Нулик! Пришлите немедленно великанов!

– Что за великаны такие? – спросил Сева у Четвёрки.

– Это жители Бесконечности – бесконечно большие числа! – ответила она.

– А им не страшен Нулик со знаком умножения?

– Конечно, нет! Ведь им сделали противонуликовую прививку! Поэтому при умножении на нуль они сами в нуль не превращаются. Разве только иногда. Для разнообразия. Когда самим захочется. И тогда они превращаются в любое число по своему выбору.

Скорая помощь не заставила себя ждать. Не прошло и минуты, как над ледяным полем поднялся сильный ветер и откуда-то сверху долетело:

– Привет из Бесконечности!

К Нулику протянулась гигантская ладонь, и тот покорно положил на неё похищенный знак умножения. Он знал, что с Великаном шутки плохи.

Два огромных пальца приподняли Нулика и осторожно поставили налёд.

– Ура Великану!… – закричали все. – Да здравствуют добрые великаны!…

Великан приветливо помахал рукой и исчез так же внезапно, как появился.

Нулик сидел на льду и жалобно всхлипывал.

– Ну, – спросила Семерка, – как ты объяснишь свое поведение?

– Простите меня. Я не хотел ничего плохого, – взмолился Нулик. – Я думал только немножко всех попугать. Пожалуйста, не выгоняйте меня из драмкружка!

– Ну, это мы еще посмотрим! – грозно сказала Семерка и… упала в обморок. Теперь, когда все волнения были позади, силы покинули ее.



Пришлось объявить, что по техническим причинам спектакль продолжаться не может.

Так состоялось наше первое знакомство с Великаном из далекой Бесконечности.

Чудесные признаки

Мы с трудом уговорили Четвёрку с бантиком пойти домой. Ей надо было отдохнуть после стольких волнений. Назначив нам час и место встречи, она убежала, а мы отправились бродить по городу.

Вскоре мы вышли на широкую, светлую улицу, где стояли красивые дома из пластиката, стекла и алюминия. Разноцветные световые рекламы делали их особенно нарядными.

Улица называлась «Автоматическая». Мы подошли к большому зданию.

– «Выдача и прием призраков от трёх до четырёх часов», – прочитал Сева.

– Ну как ты читаешь?! – возмутилась Таня. – Не призраков, а признаков!

– Слава богу! А я уж испугался, – обрадовался Сева. – Признаки – это совсем другое дело.

– Ах, другое? – не унималась Таня, – Не объяснишь ли ты, что это за «другое»?

– Пожалуйста, – небрежно ответил Сева. – Вот, например, ехидство – признак дурного характера!

– А болтливость – признак глупости! – не осталась в долгу Таня.

– Чем попусту пререкаться, лучше зайдем и узнаем, о каких признаках речь, – сказал Олег.

Возразить против этого было нечего: он, как всегда, оказался прав.

Мы очутились в светлом зале. Сначала нам показалось, что там никого нет. Вдруг Сева дёрнул Таню за руку и указал глазами на маленькую Пятерку, стоявшую у стены.

Тихим, неуверенным голоском Пятёрка что-то говорила. Но кому? Ведь рядом совершенно никого не было!

И вдруг раздался голос невидимого собеседника. Это было как гром с ясного неба. Мы невольно посмотрели на стеклянный потолок.

Голос на миг умолк и сейчас же загремел снова, очевидно обращаясь к нам:

– Здравствуйте, люди! Мы вам рады! Меня зовут Автомат. Я обучаю эту достойную карликаншу делению целых чисел. Она собирается стать учительницей.

И тут мы увидели, что Пятерка стоит у огромной машины, занимающей целую стену. Посредине светился серебристый экран, окружённый разноцветными лампочками, которые то вспыхивали, то гасли. Внутри что-то постукивало, потрескивало. Иногда раздавался тоненький мелодичный звонок.

– Вы разрешите мне продолжить занятия? – любезно осведомился Автомат.

– Пожалуйста, – ответил Сева. – Мы тоже с удовольствием поучимся делению.

– Как, вы ещё не умеете делить? Хр-пр-тр! Извините, это моя самая маленькая шестерёнка повернулась не в ту сторону. Вы её расстроили.

– Нет, вы меня не поняли, вообще-то мы делить умеем.

– Ах, умеете? Ну, тогда совсем другое дело. Не хотите ли решить примерчик? Я как раз собирался предложить его моей юной ученице.

На экране засветились числа:

135 227 : 9 =?
– Позвольте мне, – сказала Пятёрка. – Начнём по правилам: сначала делим тринадцать на девять…

– Хр-пр-тр! Чтобы ответить на мой вопрос, вовсе не нужно делить. Я собирался вас спросить: делится ли это число на девять? Да или нет?

– Как, вы хотите, чтобы мы сказали это сразу, не разделив числа? – изумился Сева.

– Вот именно!

– Но это совершенно невозможно! – воскликнула Таня.

– Отчего же? – с достоинством ответил Автомат. – Для этого стоит только взглянуть, какая лампочка загорелась над экраном. Посмотрите-ка.

– Красная! – крикнула Пятёрка.

– Ну вот, всё ясно. Раз загорелась красная, значит, это число на девять не делится. А теперь взгляните ещё раз на экран.

Там уже стояло совсем другое число:

264 852 : 9 = ?
– А теперь зажглась зелёная лампочка, – сообщила Пятёрка.

– Так и должно быть, потому что это число делится на девять.

– Это же очень просто, – сказала Пятёрка, – красная лампочка – число не делится на девять, зелёная – делится на девять.

– Ха-ха-ха! – засмеялся Автомат. – Это просто потому, что лампочки зажигаю я. А попробуйте-ка зажечь сами нужную лампочку. Ха-ха-ха!

Маленькая Пятёрка покраснела до ушей.

– Ну, не огорчайтесь, я пошутил, – утешил её Автомат. – Дело в том, что у чисел есть признаки, по которым можно с первого взгляда определить, желают ли они делиться на некоторые числа или не желают. К сожалению, я располагаю очень небольшим набором таких признаков. Поэтому, если кто-нибудь из вас найдёт новый, неизвестный нам признак делимости, немедленно сообщите мне. Это будет замечательно! Вы даже не можете себе представить, какую большую пользу принесёте людям. Мне известны признаки делимости чисел на 2, на 3, на 4, на 5, на 6… Даже на 10 и на 11. Ещё несколько признаков – и это всё!

– Расскажите о каком-нибудь признаке, – попросила Пятёрка. – Это очень интересно.

– В таком случае вернёмся к тем двум числам, которые я только что показывал на экране. Напомню их.

На экране появились числа: 135 227 и 264 852.



Как видите, каждое число состоит из шести цифр. Будем эти цифры принимать за числа. И поставим между ними знаки плюс.

На экране под первым числом появилась сумма:

1 + 3 + 5 + 2 + 2 + 7 = 20.
– А теперь скажите: делится ли число двадцать на девять? Нет, не делится. Значит, и все число тоже не делится на девять. Попробуем проделать то же самое со вторыми числом.

На экране снова засветилась сумма:

2 + 6 + 4 + 8 + 5 + 2 = 27.
– Видите, получилось двадцать семь. А это число как раз делится на девять. Значит, и всё число тоже делится на девять. Вот каков признак делимости на девять. Его очень легко изложить так: число делится на девять, если сумма его цифр делится на девять.

– В таком случае, – сказал Олег, – я знаю и признак делимости на три. Ведь девять – это трижды три! Значит, если сумма цифр числа делится на три, то и само число тоже делится на три.

– Совершенно верно! Вы будете великим математиком! – торжественно изрёк Автомат.

– Я тоже знаю один признак: если сумма цифр числа делится на пять, то и число делится на пять, – сказал Сева. Ему тоже хотелось стать великим математиком.

– Ни в коем случае, ни в коем случае! – воскликнул Автомат, возмущённо замигав всеми своими лампочками. – Тр-пр-хр! Разве можно мерить всех одной меркой? Ведь число двадцать три не делится на пять, хотя сумма его цифр равна пяти. Признак делимости на пять очень прост: на пять делятся только те числа, которые оканчиваются пятёркой или нулём. Например, 75, 210, 625, 4 168 596 895 и так далее.

– Как просто! – засмеялась Таня.

– Есть признаки и посложнее. Например, признак делимости на одиннадцать.

– Ах, пожалуйста, расскажите об этом признаке! – попросила Пятёрка.

– Хорошо. Слушайте меня внимательно. Возьмём число 175 362 121 693.

– У-у-у! – протянули ребята. – Это число и прочитать трудно.

– Хр-пр-тр! Сто семьдесят пять миллиардов триста шестьдесят два миллиона сто двадцать одна тысяча шестьсот девяносто три! – единым духом выпалил Автомат. – Ничего особенного. Посмотрим, делится ли оно на одиннадцать. Расположим цифры этого числа таким образом:



– Видите, я каждую вторую цифру опустил чуть пониже. А теперь поставим в каждом ряду между цифрами знаки плюс. Получаем:

1 + 5 + 6 + 1 + 1 + 9 = 23,
7 + 3 + 2 + 2 + 6 + 3 = 23.
В обоих рядах сумма цифр одинакова. А это и значит, что число непременно разделится на одиннадцать.

– Неужели? – усомнился Сева.

– Проверьте, – предложил Автомат.

– Это было бы слишком долго, – ответил Сева.

Тогда Олег показал нам страничку из блокнота, на которой он уже произвёл деление.

– Совершенно правильно! – сказал Автомат. – Вы действительно будете хорошим математиком.

А на экране вспыхнули числа:

175 362 121 693 : 11 = 15 942 011 063.
– Вот вам и ответ: пятнадцать миллиардов девятьсот сорок два миллиона одиннадцать тысяч шестьдесят три.

– Значит, на одиннадцать делятся только такие числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, равна сумме цифр, стоящих на чётных? – спросил Олег.

– Нет, не только эти числа делятся на одиннадцать. Есть более общий признак делимости. Вот, например…

В это время раздался продолжительный звонок, возвестивший конец рабочего дня. Автомат едва успел с нами попрощаться, как все его лампочки погасли. Жаль!

Мы вышли на улицу. Теперь надо было поспеть на площадь Радостей и Огорчений, где нам назначила свидание Четвёрка с бантиком.

На этой площади ежедневно приземлялись воздушные корабли, возвращающиеся от людей в Карликанию.


Неожиданное огорчение

Мы пришли вовремя. Первая ракета только что приземлилась. Спустили трап, и тысячи путешественников очутились в объятиях своих родных и друзей.

Рядом с нами какая-то счастливая мама-Пятёрка обнимала свою младшую дочку.



– Мне было так без тебя скучно! – жаловалась она.

– А мне было так весело! – щебетала дочка. – Нас послали к одному архитектору – ему поручили строить дома в новом городе. Он долго думал: поскольку этажей должно быть у этих домов? То возьмёт Четвёрку, то Девятку. А потом посмотрел на меня и сказал: «Дома будут пятиэтажные!»

– Ах, ты моя красавица! – умилилась мать, но тут же ахнула: – Где это ты так перепачкалась? Хороша красавица!

– Это один неловкий чертёжник пролил на меня пузырёк с тушью. Я уж оттирала-оттирала резинкой, не сходит.

Мимо важно прошли трое карликан, громко распевая:

– Ту-ту-ту… ту-ту-ту!

Это были цифры 1, 0, 4.



– Отчего они так важничают? – спросил Сева.

– Разве вы не узнали этих трёх героев? – откликнулась шагавшая за ними карликанша. – Их портреты вывесили сегодня на реактивном самолёте. Среди них и мой сын. Этот самолёт называется «Ту-104». Теперь они только и знают, что поют: «Ту-ту-ту… ту-ту-ту!»

– А я была в цирке, – рассказывала своей маме крохотная Двойка. – Я видела, как дядя в рыжем парике делал двойное сальто. Можно, я тоже попробую сделать дома двойное сальто? Ведь я Двойка – у меня должно выйти.

– Я вот нашлёпаю тебя, – ответила мама, – и думать перестанешь о своём сальто! Ты что, хочешь голову сломать?



Снова загудели моторы, и на площадь опустился многоместный самолёт. Из него стали выходить пассажиры. Они прижимали к глазам маленькие белые платочки.

Сразу же все на площади перестали смеяться и сделались грустными. Площадь Радостей превратилась в площадь Огорчений.

– Какое несчастье! Какое горе! – причитала какая-то Девятка, спускаясь по трапу. – Пропал, пропал бедный маленький Нулик. Утром на площади Добрых Напутствий с нами было сорок три нулика. Потом нас отправили в школу, в третий класс. Там было так хорошо, так весело! Школьники учились делить целые числа. Мы перебегали с парты на парту, из тетради в тетрадь. А потом, когда мы сели в самолёт, чтобы возвращаться домой, у нас оказалось только сорок два нулика! Один пропал. Какое горе!

– Это мой сыночек пропал! – заголосила знакомая толстая Восьмёрка. Она уже успела пересмотреть всех прибывших нуликов. – Почему я не поехала с ним? Что я буду без него делать?

– Может быть, он ещё вернётся? Может быть, он сел по ошибке в другой самолёт? – утешали бедную маму.

– А может быть, – сказала наша Четвёрка с бантиком, – он и не уезжал отсюда? Он у вас такой баловник! Утром при посадке спрятался, а потом убежал в кино.

– Нет, скорее всего, – предположила какая-то Единица, – на футбольный матч.



– А может быть, он в цирке делает двойное сальто? – сказала крошка Двойка.

– Бедный мой сыночек! Где ты сейчас? – не унималась мама-Восьмёрка.

– Успокойтесь, – сказала Четвёрка, – найдётся ваш Нулик. Утро вечера мудренее. Если он не появится сегодня, завтра перевернём всё Арифметическое государство и найдём его обязательно.

В это время объявили о прибытии самолёта с малышами. Четвёрка озабоченно пересчитала своих питомцев и облегчённо вздохнула. Они оказались целы и невредимы.

Все вместе мы возвращались обратно. По дороге малыши наперебой рассказывали о своих приключениях.

Мы дошли до Числовой площади, где пожелали друг другу спокойной ночи и расстались.

Так закончился наш первый день в Карликании.

День второй

Простота…

Проснувшись утром, мы обнаружили, что Сева исчез. Так как все знали его непоседливый характер, никто не стал особенно беспокоиться.

Мы были правы. Через некоторое время он прибежал огорчённый: Нулик так и не нашёлся!

Сева нарочно встал пораньше, чтобы разузнать в городе о пропавшем малыше.

– Давайте сразу же после завтрака отправимся на поиски, – предложила Таня.

– Верно! – обрадовался Сева. – Я слышал, в Карликании есть какое-то местечко. Называется Рим.

– Почему – местечко? Рим – это город, он в Италии, – сказала Таня.

– В Италии один Рим, а в Карликании другой! – отрезал Сева.

– Рим – древнее государство, – сказал Олег. – Его уже давно не существует, а вот остатки Рима, наверное, сохранились здесь.

Я слушал, не вмешиваясь в разговор. Сева спросил меня:

– Не попал ли Нулик в Рим?

– Он не мог туда попасть, – ответил я, – ему там совершенно нечего делать.

– Почему вы знаете?! – кипятился Сева. – Искать – так всюду.

– Ну что ж, я не прочь, – согласился я. – Кстати, познакомимся с обитателями этого «местечка».

Мы пересекли Числовую площадь, прошли кусочек Автоматической улицы и свернули налево.

Перед нами была бесконечная аллея. У входа в неё сидел старый-престарый карликан и смотрел в телескоп.

– Не видно, опять не видно… – бормотал он себе под нос.



– Чего не видно? – заинтересовался Сева. – Дайте мне взглянуть. Может быть, я увижу.

– Ну как же вы можете увидеть то, чего не видно? Не видно конца! Ещё только вчера я заметил в самом конце аллеи огромнейшее число и подумал: «Ну вот, теперь всё. Дальше ничего не может быть». А сегодня взглянул: за тем числом ещё число, да больше вчерашнего!

– А что это за число? – спросила Таня.

– Так вам сразу и объясняй! Какие прыткие! Лучше пройдитесь по этой аллее и глядите во все глаза. Может быть, тогда и поймёте. Может быть!… – И старый ворчун уткнулся в свой телескоп.

Мы пошли по левой стороне аллеи и вдруг услышали команду:

– По порядку номеров ра-а-а-ассчитайсь!

– Это что же, утренняя перекличка? – спросил Сева.

Стоящие по левую сторону числа стали выкрикивать:

– Два, три, пять, семь, одиннадцать, тринадцать…

Голоса становились всё глуше, уходя вдаль.

– Это уже не порядок, а беспорядок номеров, – заметила Таня.



Однако числа называли себя точно в той последовательности, в какой они стояли:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 и так далее.

– Что за сумасшедшие числа? – недоумевал Сева.

– Сами вы сумасшедшие! – возмутился старый карликан. – Да ещё и невежды. Неужели вы не прочитали надписи при входе?

– Нет, – растерялся Сева.

– Ведь это же аллея Простых Чисел! Поняли?

– А что такое простые числа?

– Посмотрите направо, – сказал карликан, – может быть, это прояснит вам мозги.

По правую сторону аллеи стояли совсем другие числа: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27 и так далее.

– Это как раз те числа, – сказала Таня, – которых недостаёт на левой стороне аллеи.

– А им туда нельзя! – захихикал карликан. – Это же составные числа, а не простые.

– Зачем же их здесь держат?

– У меня, кажется, начинает болеть печень от ваших нелепых вопросов! Разве вы не видите, что над вами? Нельзя смотреть только под ноги, иногда не мешает и наверх поглядеть.

Мы подняли головы.

– Волейбольная сетка! – ахнул Сева.

В самом деле, над всей аллеей была натянута гигантская сетка.

– Опять вы сказали чепуху! – рассердился карликан. – При чём здесь волейбол? Это вам не игрушки! И там вовсе не сетка, молодой человек, а решето!

– Решето?! Что же через него просеивают?

– Числа! Числа просеивают!! – закричал карликан, потеряв всякое терпение. – Посмотрите, как их основательно перетряхивают! Всякие отходы, вроде составных чисел, проваливаются сквозь решето, и их отводят на правую сторону аллеи. А в решете остаются в самом чистом виде наши драгоценные, наши ненаглядные простые числа. Их бережно, по порядку расставляют по левую сторону аллеи. Посмотрите, не правда ли, они очаровательны? – растрогался он вдруг.

Ребята из вежливости покивали головами, хотя никто из них никакого очарования в простых числах не находил.

К счастью, в это время нас догнала верная Четвёрка с бантиком. Все шумно обрадовались.

– Какой злой старикан! – пожаловался Сева. – Только и делает, что ворчит…

– Что вы! – рассмеялась Четвёрка. – Самый добрый карликан во всём государстве! Просто он не любит это показывать. Но не стоит отвлекать старика от работы. Я сама вам всё расскажу.

Мы с удовольствием уселись на скамью. И Четвёрка с бантиком начала свой рассказ:

– Давным-давно люди заметили, что есть такие числа, которые никого, кроме самих себя, не признают. Ни на какое другое число, кроме себя, они не делятся. И делают исключение только для единицы. И то только потому, что это деление на них никак не отражается: после деления на единицу они остаются такими же, какими были прежде. Вот эти-то числа люди и назвали простыми, хотя не так. Просто найти их среди других. Более двух тысяч лет назад в Греции знаменитый математик Эратосфен придумал очень остроумный способ выискивать простые числа. Он предложил для этого применять особое решето, сквозь которое все ненужные числа будут просеиваться, а все нужные – простые – оставаться.

– Совсем как промывают золото, – сказал Олег. – Песок уходит, а золото остаётся.

– Прекрасное сравнение! – воскликнула Четвёрка. – Простые числа – это действительно наше золото. Итак, – продолжала она, – чудесное решето назвали решетом Эратосфена. Теперь посмотрим, как оно действует. Давайте запишем все числа, начиная с двойки, до…Впрочем, «до» я сказала не подумав. Ведь числам нет конца. Итак, расставим числа, начиная с двойки, по порядку:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 и так далее.

Такой ряд чисел называется натуральным рядом. Выбросим из этого ряда те числа, которые наверняка не являются простыми, то есть делятся не только на себя, но и на другие числа. Сперва отсеем числа, которые делятся на два. Какие это числа?

– Я знаю, – сказала Таня. – Все чётные числа делятся на два.

– Верно. Отсеем все чётные числа, кроме двойки, и тогда останется вот что:

2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41 и так далее.

Теперь отсеем все числа, которые делятся на три.

Это 6, 9, 12, 15, 18, 21… Но все чётные – 6, 12, 18… – мы уже раньше отбросили. Что же теперь останется в ряду? Вот что:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53…

Видите, всё меньше и меньше остаётся составных чисел в решете.

А дальше выбросим все числа, которые делятся на пять, потом те, что делятся на семь… Так постепенно из ряда натуральных чисел будут выбывать составные числа и оставаться простые, то есть те, которые делятся только сами на себя и на единицу.

Теперь мы уже знаем очень много простых чисел.

Вот первые из них:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97…

Эти-то числа, как видите, и стоят на левой стороне аллеи.

– Очень просто! – заявил Сева. – Я дома тоже устрою такую аллею и выпишу все-все простые числа…

– Не торопитесь, – перебила его Четвёрка. – Это не так легко: выписать все простые числа. Ведь чем больше число, тем сложнее определить – простое оно или составное. Если бы мы знали, в каком порядке они следуют друг за другом, это было бы замечательно! К сожалению, никто ещё до сих пор этот порядок установить не сумел. То простые числа стоят совсем рядом, их тогда называют близнецами, то между двумя ближайшими простыми числами образуется огромное расстояние, и оно сплошь заполнено составными числами. Люди очень далеко прошли по этой аллее, они знают множество простых чисел, и всё-таки не все!

– А может быть, дальше и нет ни одного простого числа? – усомнился Сева.

– Нет! Не может быть! – ответила Четвёрка. – Уже давным-давно один великий учёный, тоже грек, Эвклид, предшественник Эратосфена, доказал, что конца простым числам нет. Вот почему так озабочен наш добрый карликан! У него очень много дела. Только вчера в конце аллеи он увидел огромное простое число, а сегодня за этим числом стоит ещё большее: 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727. А завтра, может, появится новое, если люди его вычислят. И так без конца. Есть отчего потерять голову. И говорить об этом тоже можно без конца… Давайте-ка лучше займёмся поисками бедного Нулика, – закончила свой рассказ Четвёрка.

– А мы как раз идём для этого в Рим, – сказал Сева.

– За Нуликом в Рим?! – удивилась Четвёрка. – Его там не может быть!

– А мы всё-таки пойдём! – упорствовал Сева.

– Как вам будет угодно! – согласилась наша проводница. – Желание гостя для нас закон.


…И совершенство

Мы свернули на маленькую улочку.

– Какая прелестная улица! – захлопала в ладоши Таня.

– Но это же улица Совершенства, – пояснила Четвёрка. – Здесь живут очень немногие числа. Но зато все они совершенные. Их так и зовут – совершенные числа. В отличие от простых, они-то уж обязательно делятся на всякие другие числа.

– Значит, они составные? – спросила Таня.

– Безусловно, составные. Но особенные. Совершенные числа равны сумме тех чисел, на которые делятся. Разумеется, кроме самих себя. Возьмём совершенное число – 6. На какие числа делится это число? На 1, на 2 и на 3. Теперь сложим эти три числа:

1 + 2 + 3 = 6
– Изумительно! – воскликнула Таня.

– Или вот другое совершенное число – 28, – продолжала Четвёрка. – Помните, какие у него младшие делители?

– Помним, – ответила Таня. – 1, 2, 4, 7 и 14.

– Сложите их:

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
– Здóрово! – закричал Сева.

– Ага! – догадался Олег. – Значит, совершенные числа равны сумме всех своих младших делителей.

– Молодец! – похвалила Четвёрка.

– А много ли на этой улице совершенных чисел? – поинтересовался Сева.

– К сожалению, – сокрушённо вздохнула Четвёрка, – всего двадцать четыре: 6, 28, 496, 8 128, 130 816… Дальше они растут всё быстрее и быстрее, а вычислять их всё сложнее и сложнее. Эта улица только ещё заселяется. Если вам доведётся найти новое совершенное число, скажите ему, что здесь его ждут с нетерпением.

– Никогда не думал, что в Карликании так много интересных чисел, – задумчиво сказал Сева.

– Ах, это только малая крупица наших богатств! – с гордостью ответила Четвёрка. – Многим не хватает жизни, чтобы познакомиться со всеми. Вот, например, недалеко отсюда живут неразлучные друзья. Они так любят друг друга, что делятся всем, что имеют. Это числа 220 и 284. Они замечательны тем, что каждое из них равно сумме младших делителей другого. Какие делители у числа 284? 1, 2, 4, 71, 142. А у числа 220 делители: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Попробуем сложить делители каждого числа:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220,
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284.
Вот почему эти числа называются дружественными.

Недаром знаменитый греческий математик Пифагор сказал: «Друг – это второе я!» – и при этом сослался на числа 220 и 284.

А ведь таких чисел-друзей много!

Тут завязался разговор о дружбе, о верности. И мы не заметили, как очутились за городом.


Развалины Рима

Мы шли довольно долго, пока наконец на холме не показался Рим. Он был окружён древними полуразрушенными крепостными стенами. Под ними находился ров, некогда наполненный водой, а теперь высохший и густо заросший сорными травами. Шаткий деревянный мост был поднят. Покосившиеся ворота заперты. Их охраняла дряхлая волчица.

– Здешние римляне утверждают, – не без юмора сказала Четвёрка, – что это прапрапраправнучка той самой волчицы, которая вскормила двух близнецов: Ромула и Рема – основателей древнего Рима.

– Смотрите, смотрите, – закричал Сева, – у них на башне гусь!

– Может быть, и это прапрапраправнук тех гусей, которые Рим спасли? – предположила Таня, с интересом рассматривая забавный флюгер.

– Как это гуси могли Рим спасти? – возмутился Сева.

– Очень просто, – ответил Олег. – Гуси загоготали как раз тогда, когда враги подобрались к спящему городу. Воины проснулись и прогнали неприятеля.

Мы с опаской подошли ко рву. По правде говоря, нас смущала волчица.

– Не бойтесь, – улыбнулась Четверка, – она уже давно никого не трогает.

И действительно, волчица широко раскрыла пасть и… зевнула.

В городе нас, очевидно, заметили. Из широкой щели в воротах выглянула и тотчас же скрылась какая-то тощая фигурка, похожая на спичку. Следом за ней стали высовываться другие спички.

Через некоторое время на башне показалась спичка с какой-то длинной трубой. Она приложила её ко рту, и… из трубы вылетели две перепуганные мышки. Послышались хриплые звуки, напоминающие рёв осла.

Вслед за этим с невероятным скрипом и скрежетом медленно опустился мост через ров – точь-в-точь древний старик, суставы которого срослись от долгой неподвижности.

Между тем за воротами происходила странная возня. Похоже было, что огромным ключом пытаются открыть ржавый замок, но это никак не удаётся.

Но вот ветхие петли не выдержали – ворота, так и не раскрывшись, плашмя упали на землю, и мы увидели большую площадь.

Сквозь каменные плиты пробивалась трава. На нас пахнуло запахом плесени и запустения.

– Ничего не поделаешь – древность! – вздохнул Сева. Но что это?

Из-за поворота показалась четвёрка полудохлых лошадей, тащившая весьма странное сооружение на двух огромных вихляющихся колёсах. По обе стороны этой развалюхи выстроились целые полчища спичек, охранявшие своего предводителя – старичка, повисшего на костылях. Его скрюченные подагрой ноги касались друг друга носками. Вся его нелепая фигура напоминала букву «М».

Старик обратился к нам с длинной, высокопарной речью на латинском языке, из которой мы поняли только, что нас приглашают войти в город.

– Идите, – сказала Четвёрка, – а я подожду вас здесь.

– Как, вы нас покидаете? – огорчились ребята.

– Лучше мне туда не ходить, – пояснила Четвёрка. – Римляне не любят жителей Арабеллы. Они нам завидуют. Люди мало пользуются римскими цифрами, а мы всегда нарасхват.

Мы вошли в город. Он был запущенный и бедный.

– Я-то думала, что мы увидим Колизей, – сказала разочарованно Таня, – гладиаторов, львов, а тут…

Сразу же выяснилось, что римляне не умеют говорить на нашем языке. Они засуетились и стали искать переводчика. Он у них был только один, и его никак не могли добудиться.



Наконец привели заспанную спичку, которая долго зевала. Это и был переводчик.

После многих церемоний, сопровождавших знакомство, Сева наконец задал самый главный вопрос:

– Нет ли у вас Нулика?

– Повторите, пожалуйста, ещё раз, – попросил переводчик. – Я не расслышал!

– Я спрашиваю: нет ли у вас Нулика?

Переводчик пренебрежительно усмехнулся:

– Какого Нулика? Вы, наверное, говорите о том маленьком кружочке, который неизвестно для чего живёт в Арабелле и ровно ничего из себя не представляет? Нет, нет, у нас нет нуликов! Они совершенно бесполезны. Кроме того, никогда не разберёшь, где у них начало, а где конец. Мы, римляне, признаём только прямые линии. Это очень удобно. Сразу видно, где ноги, где голова.

– Как же вы составляете числа, например десять, сто, если у вас нет нуликов?

– Всё это можно изобразить одними палочками.

– Даже большое число?

– Даже большое. Смотрите.

Переводчик хлопнул в ладоши, и стоявшие на площади спичечные воины мгновенно образовали несколько правильных рядов.

– Как физкультурники на стадионе, – заметил Сева.

– Каждый из этих воинов, – пояснил переводчик, – единица. Ничего более. Но из этих единиц я могу составить всё, что угодно. Сейчас я заставлю их превратиться в двойки. Раз, два! – скомандовал он.

На площади произошла перегруппировка. Все спички расположились парами.

– Теперь вы видите перед собой число два. Прошу дальше. Раз, два, три!

Не успели мы глазом моргнуть, как в каждом ряду стояло по три спички.

– Вот вам и число три, – сказал переводчик.



– А четыре? – спросила Таня.

– Сначала познакомьтесь с нашей пятёркой, – таинственно ответил переводчик и снова подал команду.

Спички опять перегруппировались по две, вплотную придвинулись друг к другу и отклонились в стороны.

Мы увидели фигуру, которую у нас обычно называют галочкой, – V.



– Теперь нетрудно получить и четвёрку и шестёрку, – продолжал переводчик. – Поставим палочку слева от пятёрки, получим четыре – IV, поставим её справа, получим шесть – VI.



– Значит, всё дело в том, – догадалась Таня, – чтобы из пятёрки либо вычесть единицу, либо прибавить. Если единица слева, значит, её надо вычесть, если справа – надо прибавить.

– Понимаю! – воскликнул Олег. – Если приставить к пятёрке справа две палочки, будет семь, а три палочки – восемь.

– Мы так и поступаем. Видите, как просто, – с гордостью сказал переводчик.

– Тогда я знаю, как получить девятку, – заявил Сева. Переводчик посмотрел на него насмешливо:

– Уж не собираетесь ли вы для этого прибавить к пятёрке четыре палочки? Эту ошибку делают многие. Между тем девятку у нас изображают по-другому. Ведь она стоит ближе к десятке, чем к пятёрке. Значит, проще поставить единицу слева от десятки – вот вам и девятка!

– Но как у вас изображают десятку? – поинтересовался обескураженный Сева.

Переводчик подал знак, и птички-спички превратились в ловких акробатов. Одни пятёрки перевернулись и стали кверху ногами, другие легко вскочили на них – X.



– Здорово! – воскликнул Сева.

– Красиво и просто! – подтвердил переводчик. – А дальше наше обычное правило: единица слева – девять, IX; единица справа – одиннадцать, XI. Потом XII, XIII, XIV, XV, XVI… Затем две десятки – двадцать, XX; три десятки – тридцать, XXX…

– Четыре десятки – сорок, – в тон ему продолжал Сева.

– Стоп! – сказал переводчик. – Я забыл вам сообщить, что, кроме палочек, у нас имеются четыре латинские буквы: М, D, С и L. М – это тысяча и, как самое большое число, наш предводитель. Его помощники: D – пятьсот, С – сто и L – пятьдесят. Итак: сорок – это пятьдесят минус десять. Значит, изображается это так: XL. Допустим, вы хотите получить число 1663… – Переводчик низко поклонился, вызывая нужные буквы.



Ждать пришлось довольно долго: престарелые пенсионеры передвигались медленно. С трудом образовали они задуманное число: MDCLXIII.

– Как видите, мы прекрасно обходимся без Нулика! – ехидно заметил переводчик.

– По-моему, это очень долго и неудобно, – сказала Таня. – Теперь я понимаю, почему люди больше вами не пользуются.

– Ошибаетесь, – ответил переводчик, покраснев от негодования. – Не далее как вчера нас вызвали на девяностолетний юбилей вашего уважаемого учёного. Мы целый вечер красовались над столом президиума – ХС – и слушали длинные похвальные речи в адрес юбиляра. При этом сам юбиляр часто поглядывал на свои фамильные часы, где на циферблате были только римские цифры. Потом учёному преподнесли роскошное издание его трудов. И что же вы думаете? Все главы были обозначены только римскими, слышите – римскими цифрами!

– Ну, для юбилея вы ещё можете пригодиться, – заметила Таня, – но производить сложные вычисления с вами очень неудобно. Ведь вас даже нельзя столбиком ни сложить, ни перемножить, я уж не говорю о делении. Как вы это делаете?

Переводчик притворился, что не расслышал Таниных слов. На него снова напала нервная зевота.

Больше осматривать в этом городе было нечего, и мы покинули его, довольно холодно распрощавшись.

Очевидно, все на нас обиделись, потому что даже волчица отвернулась, когда мы спускались по мостику, а у гуся был надутый и рассерженный вид.

У ворот нас поджидала Четвёрка с бантиком.

– Какая вы красивая! – обняла её Таня. – И какие противные эти обгорелые спички!



– Значит, вам там не понравилось? – просияла Четвёрка. – Я, признаться, этому очень рада. И всё же не стоит с ними ссориться. Они ещё будут попадаться на вашем пути.

– С меня довольно и арабских цифр! – сказал Сева. – Не понимаю, зачем это люди навыдумывали какие-то другие?

– Свои цифры были у многих народов, – ответила Четвёрка, – большинства из них вы теперь уже нигде не встретите.

– Что это за цифры? Какие они были? – заинтересовалась Таня.

– Хотите посмотреть?… Тут неподалёку ведутся археологические раскопки. Может быть, и нам попадётся что-нибудь интересное?

– А может быть, именно там и прячется Нулик? – предположили ребята.

– Увы! – вздохнула Четвёрка. – Там его тоже не может быть. И всё же пойдёмте хоть ненадолго. Это очень любопытно.

Мы с восторгом согласились – ведь это была наша первая археологическая экспедиция.

Интересные находки

Идти было нелегко. То и дело попадались огромные ямы, возле которых громоздились насыпи щебня и земли. Всюду мы видели трудолюбивых, как муравьи, карликан. Они копались в земле с таким удовольствием, точно это был не тяжёлый труд, а весёлая игра. Ещё бы! Разве не интересно восстанавливать прошлое своего государства по ржавым и замшелым останкам старины, пролежавшим в земле тысячелетия!

Мы остановились у одной из таких ям и с любопытством наблюдали за работой. Как раз в это время степенный карликан вытащил из кучи земли какие-то маленькие вещицы.

– Ой, какие хорошенькие брошечки! – закричала Таня. Она ведь недаром была девочка.

Карликан улыбнулся:

– Как вы сказали? Брошечки? Такими брошками в Древнем Египте изображали слова. Называются они иероглифами. Когда-то иероглифы были очень сложными, потом упрощались, но становилось их всё больше. Иероглифами стали обозначать и числа.

– Да! – Сева задумчиво почесал затылок. – Если бы иероглифами ставили отметки в дневнике! Мама никогда бы не догадалась, что я плохо отвечал!

– Для этого вам надо поехать в Египет, – улыбнулся карликан.

– Или в Китай, – добавил другой карликан, стоявший рядом. – Там тоже сохранились иероглифы.

И он показал нам китайские иероглифы, изображающие первые десять чисел:



– Но самые забавные иероглифы были всё же в Древнем Египте, – сказал первый карликан, протягивая нам какой-то обломок.

– Птичка! – в восторге закричала Таня.



– Эта птичка у египтян обозначала число сто тысяч. А вот этот человечек, – он показал другой обломок, – означает миллион.



– Какой ужас! – вздохнул Сева. – Не завидую египетским школьникам! Тут с арабскими-то цифрами не всегда справляешься, а уж им, наверное, совсем туго приходилось.

Мы поблагодарили карликан и отправились к следующей группе археологов.

Мы уже были совсем близко от них, когда Сева споткнулся о какую-то железку. Он вытащил её из земли и стал рассматривать, как заправский исследователь.

– Посмотрите, какая интересная закорючка!

– Это вовсе не закорючка, – вежливо сказала Четвёрка, взглянув на его находку. – Это титло.



– Вы хотите сказать, титул, – поправил Сева. – До революции титулы давали всяким богатым людям – граф, барон…

– Почти так! – засмеялась Четвёрка. – Древние славяне отмечали титлом буквы. Когда над буквой ставили титло, буква превращалась в число.

– Выходит, Сева прав, – сказал Олег. – Буквам давались титулы. Только титулованные буквы становились не графами и не баронами, а числами.

– Посмотрите на эту табличку, – сказал слышавший наш разговор карликан. – Здесь изображены славянские буквы с титлами. Под каждой написано название буквы и числа, которое она обозначает.



– А как же записать числа, которых здесь нет? – спросила Таня. – Например, двенадцать?

– Я знаю, – сказал Сева, – десять и рядом два. Вот так:



– Как раз наоборот, – возразила Четвёрка, – сперва два, а уж потом десять. И читалось это так: два на десять. Интересно, что этот порядок чтения чисел сохранился до наших дней: двенадцать, пятнадцать – несмотря на то, что пишем мы сначала десятки, а потом единицы.



– Таким способом писать маленькие числа, может быть, и легко, – сказал Сева, – а как написать большое число?

– А вот как, – вмешался в разговор карликан и показал несколько одинаковых позеленевших медных значков:



Этим значком обозначалась тысяча. Значок ставили впереди числа тысяч.

Например,



обозначает двадцать,



а вот так – это уже двадцать тысяч. Два таких значка обозначают тысячу тысяч, то есть миллион. Вот это уже двадцать миллионов.



– Но должна заметить, – сказала Четвёрка, – что древние славяне не знали чисел больше тысячи. А когда они познакомились с числом десять тысяч, оно показалось им таким огромным, что его стали называть тьмой.

– Оттуда, наверное, и пошло, – сказал Олег, – выражение тьма-тьмущая. Это когда чего-нибудь очень много!

– Так много, что в глазах темно, – добавила Таня.

– Потом, однако, – продолжала Четвёрка, – славяне научились считать и больше чем до десяти тысяч. Сперва дошли до миллиона и стали уже его называть тьмой:



– А потом дошли до миллиона миллионов. Это у них был легион.



– А дальше?

– А дальше пошёл легион легионов – леодр.



– А леодр леодров они знали?

– Знали и называли его вороном.



– Прямо как птицу, – засмеялся Сева.

– Это понятно, – вставил Олег, – ворон чёрный, темнее тьмы.

– А как назывался у них ворон воронов?

– А такого у них и не было, – ответила Четвёрка. – Больше ворона, говорили они, несть уму разумети.

– Значит, дальше – стоп! – сказал Сева.

– Не совсем, – ответила наша провожатая. – В одной рукописи было найдено число побольше ворона – десять воронов. И называлось это число колода.



И в той рукописи сказано: «Того числа несть больше».

– Значит, об эту колоду они споткнулись и дальше не пошли, – заключил Сева.

– А мы пойдём дальше, – улыбнулась Четвёрка.

По дороге нас ожидала ещё одна приятная неожиданность.

У Олега развязался шнурок на ботинке. Он нагнулся, чтобы его завязать, и заметил, что стоит на глиняной плите. Он счистил с неё слой земли. И все увидели, что плита покрыта множеством довольно глубоких чёрточек-клинышков.

– Это, наверное, какая-то древняя письменность, – решил Олег.

– Вы не ошиблись, – ответила Четвёрка. – Это клинопись. Так писали в Древнем Вавилоне. Маленькими заострёнными палочками вавилоняне выдавливали свои письмена на мокрой глине, а потом обжигали глиняные плитки на ярком солнце. Палочками трудно было писать замысловатые фигуры. Поэтому вавилонские письмена состояли из маленьких клинышков.

– Скажите, – спросил Сева, – в Вавилоне тоже писали числа буквами?

– Нет, – ответила Четвёрка, – у вавилонян, в отличие от славян, существовали цифры, с помощью которых они записывали числа. Цифры изображались в виде тоненькой палочки с маленьким треугольничком наверху.

– Совсем как гвоздик! Со шляпкой!

– Действительно, похоже на гвоздик, – согласилась Четвёрка. – Только у гвоздика одна шляпка, а у цифр могло быть много. Вот как писались девять вавилонских цифр:



– Смотрите, у девятки целый шляпный магазин! – обрадовалась Таня.

– Их очень легко сосчитать, эти шляпки, – сказал Олег.

– Это потому, что их не больше девяти. А вот сорок треугольников, пожалуй, и не сосчитаешь, – ответил Сева.

– А зачем же надо считать сорок треугольников? – удивилась Четвёрка. – Ведь для цифры десять у них был другой, простой знак. Вот такой:



Если нужно было написать двадцать, выдавливались два таких знака. А двадцать четыре писали, как и мы сейчас, – сперва число десятков, а затем число единиц. Вот так:



– Да это и в самом деле проще иероглифов, – обрадовался Сева.

– Это не только проще, но это уже похоже и на наш способ написания чисел. Справа единицы, а за ними десятки, потом сотни… Словом, все цифры становятся на свои позиции, как в строю. Потому этот способ и называется позиционным.

– Значит, мы записываем числа позиционным способом? – спросила Таня.

– Конечно, – ответила Четвёрка. – И начало этому положено в Вавилоне.

– Понимаю, – добавил Сева, – у нас счёт вавилонский…

– Вот и неверно, – остановила его Четвёрка. – Счёт у нас не вавилонский, а свой, особенный. Ведь мы считаем по десятичной системе, а у вавилонян была шестидесятиричная!

– Это как же так? – спросил Сева.

– А вот как: возьмём какое-нибудь число, ну, например, 3662. В нашей системе двойка здесь обозначает число единиц, за ней стоит шестёрка – это число десятков, а следующая шестёрка – число сотен, наконец, тройка – число тысяч.

Значит, это число можно бы написать и так:

3000 + 600 + 60 + 2 = 3662.
А у вавилонян всё совсем по-другому. Если бы они знали арабские цифры, они бы это число записали так:

1 1 2.
По их системе двойка, как и у нас, остаётся числом единиц – первый разряд. А вот стоящая слева от неё единица – это не число десятков, а число шестидесятков – второй разряд. А следующая единица – уже число 60 x 60 = 3600 – третий разряд. Заметьте, что между разрядами нужно обязательно оставлять свободное место, иначе можно легко запутаться, что, кстати, частенько случалось.

Таким образом, наше число по вавилонской системе выглядело бы так:

3600 + 60 + 2 = 3662.
Вот как они считали, – закончила Четвёрка.

– Ой, как трудно! Хорошо, что у нас так никто не считает! – воскликнула Таня.

– Ошибаетесь, – поправила её Четвёрка. – Вы тоже считаете так… иногда.

– Я? Никогда!

– А я вам сейчас напомню. Скажите, пожалуйста, сколько в часе минут?

– Минут? Шестьдесят.

– Так. А сколько в часе секунд?

– Сейчас скажу. Шестьдесят на шестьдесят… Три тысячи шестьсот, – сосчитала Таня.

– Вот видите. Вы же делите часы и минуты не на десять частей, а на шестьдесят! Значит, и вы считаете по шестидесяткам!

Таня только руками развела:

– Вот не знала, что у нас осталось что-то от Древнего Вавилона!


Музей Пушкина

– Где мы только не побывали сегодня! – задумчиво сказал Олег, когда мы возвращались в Арабеллу. – И в Риме, и в Китае, и в Египте, и у древних славян, и в Вавилоне, а Нулика так нигде и не нашли.

– Выходит, мы с вами были правы, – лукаво улыбнулась мне Четвёрка. – Но не беспокойтесь, друзья! Нулика мы обязательно найдём! На всякий случай заглянем в музей Пушкина.

– Как, у вас есть музей Пушкина? – изумились ребята. – Поэт в Арифметическом государстве? Какое он имеет к вам отношение?

– Пушкин был очень разносторонним человеком, – возразила Четвёрка. – Он прилежно изучал историю, любил музыку и интересовался нами, жителями Арабеллы.

В это время мы подошли к небольшому дому, украшенному портретом великого поэта.

Четвёрка с бантиком ввела нас в комнату, где не было ничего, кроме странного рисунка, висевшего на стене.



– Этот рисунок взят нами из рукописей Александра Сергеевича, – продолжала Четвёрка. – Дело в том, что с давних пор люди ломали головы над тем, откуда взялось начертание арабских цифр. Существует много всевозможных догадок. Пушкин тоже предложил свой остроумный домысел, который нам очень понравился. Он решил, что все десять арабских цифр, включая нуль, помещаются в этом магическом квадрате. Чтобы легче разобраться в его рисунке, взгляните сюда.



Четвёрка достала большую папку, которой мы вначале не заметили. Там было десять листов. На каждом – всё тот же рисунок, но всякий раз жирная линия обрисовывала новую фигуру, в которой мы без особого труда узнавали какую-нибудь из наших цифр. Только пятёрка немного подгуляла – у неё не хватало хвостика.

Четвёрка с бантиком объяснила, что в древние времена у пятёрки хвостика не было. Он вырос несколько позже.

– Интересно! – сказал Олег. – Но можно ли считать, что предположение Пушкина верно?

– Многие его оспаривают. Но нам, арабелльдам, оно по душе. Приятно сознавать, что ты вышел из магического квадрата!

– Здесь даже и нуль квадратный, – подхватил Сева.

– А нашего Нулика так и не видно, – сокрушённо вздохнула Таня. В это время мы услышали звон старинных часов. Било двенадцать.

– Ай-ай-ай! – заторопилась Четвёрка. – Через час начнётся диспут, и я в нём участвую. Надо спешить.

– Что за диспут? – полюбопытствовал Сева.

– Очень важный диспут в Клубе любителей поспорить. По всему городу развешаны объявления. Разве вы не видели?

– Мы тоже хотим пойти! – решительно заявили ребята.

– Буду очень рада! – любезно поклонилась Четвёрка. – Вы ведь тоже можете принять участие в споре.

– А о чём спор?

– О том, что больше: 4/7 или 2/3. У нас, оказывается, ещё не все это знают.

И мы отправились в клуб.


Любители поспорить

Зал был набит до отказа.

На помосте стоял большой судейский стол и два маленьких – по бокам. Справа и слева находились площадки, похожие на вышки в бассейне.

Прозвенел звонок, и на сцену поднялись трое судей в красных мантиях.

Главный Судья поднёс к губам рупор и начал:

– Любители поспорить! Открываем наш очередной, два миллиона четыреста сорок первый спор. Его затеяли вчера наши младшие школьники. Спор, начатый в классе, продолжался на улице. У противников появились синяки и шишки. Учительница не сумела справиться с драчунами. И вот мы, любители поспорить, получили приятную возможность перенести этот спор в наш клуб. Да здравствуют спорщики! Что бы мы без них делали? Итак, перехожу к существу: одни утверждают, что дробь 4/7 больше дроби 2/3. Другие, сами понимаете, доказывают обратное. Попрошу капитанов обеих команд занять свои места.

На сцену поднялись две карликанские школьницы – Единица и Пятёрка. Они сели за маленькие столики.



В зале зашумели, засвистели, захлопали.

– Не подкачай, Пятерка! – кричали одни.

– Держись, Единица! – кричали другие.

– Тишина! – крикнул Главный Судья. Зал нехотя затих. – Для полной наглядности прошу обе дроби, послужившие причиной спора, подняться сюда.

Четверо карликан, среди которых была и наша Четвёрка с бантиком, заняли места на боковых площадках, образуя дроби:

4/7 и 2/3.
«Слово предоставляется Единице», – загремел рупор.

Единица встала, поклонилась судьям и заговорила:

– Утверждаю со всей ответственностью, что 4/7 больше, чем 2/3. (Свист, аплодисменты.) Нечего свистеть! У меня имеется веское доказательство. Вот оно.



Единица подняла над головой палку и угрожающе помахала ею в воздухе. (Шум, оживление в зале.) Потом она подошла к первой дроби и поставила палку рядом с ней.

– Вы видите, – сказала Единица, – эта палка доходит Четвёрке до самого бантика. А теперь измерим вторую дробь… Ага, что я говорила? Палка намного выше верхней цифры 2!

– Это потому, что я сегодня в тапочках! – обиженно пискнула Двойка.

И опять смех, свист, аплодисменты.

С трудом успокоив публику, Главный Судья предоставил слово Пятёрке.

– Не знаю, против чего я должна возражать, – спокойно начала она. – Если мой противник не смеётся над нами, то он, очевидно, глуп.

– Прошу записать в протокол, что меня оскорбили! – заявила Единица.

– Призываю вас к порядку, Пятёрка, – сказал Главный Судья.

– Великий Судья, – обратилась к нему Пятёрка, – разве дроби измеряют палками? Ведь одни школьники пишут большие цифры, другие – маленькие. Если цифры измерять по росту, то Девятка может оказаться меньше Нулика.

– Ах, вам не нравится моя палка! – вскочила с места Единица. – Так бы и сказали. Я могу дать другое доказательство. Положим обе дроби на весы. И вы увидите, что первая весит больше, чем вторая.

– Вы намекаете на то, – закричала упитанная Семёрка, – что я съела сегодня за завтраком слишком много пирожков с мясом?! (Шум, смех, аплодисменты) Я протестую! Прошу занести в протокол, что меня оскорбили.

– Тише, – сказал Судья, – я вам, кажется, не давал слова!… Продолжайте, Пятёрка.

– Мне не о чем говорить, – возразила Пятёрка. – Я знаю, что числа имеют вес, но это надо понимать не в прямом, а в переносном смысле.

– Я возражаю против такого способа спорить, – заявила Единица. – Пятёрка отметает все мои доказательства и не предлагает сама никаких. Потому что у неё их нет! (Свист, аплодисменты.)

– Я могу повторить только то, что сказала вначале, – спокойно ответила Пятёрка. – Величина дроби определяется не весом и не ростом, а значением!

– Способ, способ! – кипятилась Единица. – Вы только болтаете. Вы задавака!

– Прошу отметить в протоколе, что меня оскорбили! – возвысила голос Пятёрка.

– Делаю обоим спорщикам строгое предупреждение! – снова рявкнул Главный Судья. – Спор должен быть взаимно вежливым. Продолжайте.



– Я утверждаю, что 2/3 больше, чем 4/7, – сказала Пятёрка. – И сейчас вам это докажу. Без палок и весов! Попрошу на сцену моих помощников. Двух близнецов. Уважаемый ОЗ, поднимитесь, пожалуйста, сюда имеете со своим братом.

На сцене появились два одинаковых числа – 21.

– Почему она их называет ОЗами? – спросил шёпотом Сева.

– Это, наверное, сокращённые имена, – сказал Олег. – Ну конечно, это же общие знаменатели – ОЗы!

– Эти братья, – продолжала Пятёрка, – не что иное, как произведение знаменателей наших дробей – Тройки и Семёрки. Ведь семь, умноженное на три, равно двадцати одному. Попрошу вас, дорогие близнецы, встать на место знаменателей обеих дробей: вместо Семёрки и Тройки.

– Уважаемая Пятёрка, – возразили в один голос Общие Знаменатели, – мы никак не можем исполнить вашу просьбу. Если мы сейчас займём места знаменателей, вы проиграете спор – первая дробь окажется меньше второй!

– Ага, что я говорила?! – обрадовалась Единица.

– Не радуйтесь преждевременно, – остановила её Пятёрка, – Я просто немного поспешила. Спасибо вам, дорогие ОЗы, за ваше замечание. Конечно, надо одновременно изменить и числители обеих дробей. Я не успела об этом сказать. Ведь при замене знаменателей сами дроби не должны меняться. Итак, заменим одновременно и числители и знаменатели.

И тут произошло нечто необыкновенное: Семёрка поднялась к Двойке, Тройка – к Четвёрке, и между каждой парой мгновенно блеснул знак умножения.

На секунду погас свет, и мы увидели по бокам сцены новые дроби: 14/21 и 12/21.

– Хоть эти дроби и новые, – пояснила Пятёрка, – но величины их ведь не изменились. Как вы думаете? 2/3=14/21, а 4/7=12/21. Так? Единица сделала презрительную гримасу и ничего не ответила.

– Итак, моё доказательство готово! Как видите, знаменатели у дробей одинаковые, а числители разные. Так какая же из этих дробей больше?

– Та, у которой больше числитель! – не выдержал Сева.

– Прошу не подсказывать с места! – загремел Главный Судья.

– Вы совершенно правы, милый школьник, – заметила Пятёрка. – Дробь 14/21, конечно, больше, чем дробь 12/21. Следовательно, истина на моей стороне.

Зрители неистово аплодировали. Судьи, посовещавшись, встали.

– Объявляю решение суда! – протрубил Главный Судья. – Победила Пятёрка! («Молодец!» – пронеслось по залу.) Отныне запрещаю при сравнении дробей пользоваться каким-либо иным способом! Диспут окончен!

– Внимание! – крикнули из зала. – У меня есть объявление! Для участников диспута сегодня состоится цирковое представление. Небывалый трюк – «Дроби на трапециях»! Вход в цирк только по клубным билетам. Нервных просят не приходить.

Толпа хлынула на улицу.


Смертельный атракцион

Оркестр сыграл веселое вступление.

На манеже, у главного входа, выстроились униформисты, и представление началось.

Жонглеров сменяли акробаты, акробатов – гимнасты… Вот на арену выбежала тоненькая, гибкая Тройка; она исполнила пластический этюд: сперва под музыку медленно превратилась в Шестёрку, затем в Девятку и, наконец, в Восьмёрку.

Потом молодая наездница – изящная Пятерка танцевала на спине у лошади, прыгала на полном ходу сквозь обруч и так быстро вертела своей маленькой головкой направо и налево, что никто не мог различить: Пятерка это или Тройка.

Затем на манеж вышел фокусник. Он засучил рукава и предложил каждому зрителю задумать какое-нибудь число.

– Все задумали? – спросил он.

– Все! – ответили зрители хором.

Мои спутники тоже задумали – число 11.

– Попрошу, – сказал фокусник, – умножить задуманное число на 6. Зрители стали в уме умножать на шесть и при этом шевелили губами.

– Одиннадцать на шесть, – шептала Таня, – будет шестьдесят шесть.

– Прибавьте к полученному число 21, – скомандовал фокусник. – Прибавили?

У моих ребят получилось 87.

– Так! – неслось с манежа. – Разделите сумму на 3 («Двадцать девять!» – толкнул меня Сева). Затем вычтите 5 («Останется двадцать четыре», – зашептали ребята). Теперь разделите на 2! – приказал фокусник – Разделили?

– Сейчас, – крикнул кто-то с галерки – Одна минутка. Есть!

– Получается двенадцать, – переглянулись ребята.

– Теперь остается только одно, – заключил фокусник, – отнять единицу. И я вам скажу, какой у кого получился ответ. У каждого получилось то число, которое он задумал. Верно!

– Верно! – крикнул Сева. – Одиннадцать!

– Верно! – неслось со всех сторон. – Восемь! Верно – шесть! Верно – пять, семнадцать, четыре!

Под бурные аплодисменты фокусник долго раскланивался, а потом перешел к следующему фокусу.



– В этом ящике находятся обыкновенные нули. Они вам хорошо знакомы. Беру вот этот топор и разрубаю каждый нуль на любое число частей. (Цирк в ужасе ахнул.) Вот этот нуль на пять частей, этот – на семь, а этот – на тридцать две. Готово! Теперь осмотрите ящик, он совершенно пуст. Бросаю обломки нулей сюда. Накрываю ящик платком. Внимание! – Фокусник ударил по ящику волшебной палочкой и произнес. – Ой, люли, ой, люли! Выходите все нули!

Он быстро сорвал платок – из ящика один за другим выпрыгнули нули: они были целёхоньки!

Зрители неистовствовали.

– Видите, – сказал фокусник, – на сколько бы частей я ни делил нуль, он всегда останется нулем. Нуль, деленный на любое число, есть нуль! А теперь, – продолжал он таинственно, – я вам покажу самый страшный фокус. Попрошу кого-нибудь выйти на манеж. Пусть это будет самый маленький карликан, всё равно. Я на ваших глазах разделю его на нуль! Кто хочет выйти?

Никто не появлялся.

– Ну что ж, – пожал плечами фокусник, – придётся позвать моих ассистентов.

Он хлопнул в ладоши, и на манеж выбежали хрупкая Единица в розовой тюлевой юбочке и Нулик.

– Итак, делю эту Единицу на Нуль! Пугливых прошу отвернуться. Впрочем, я лучше закрою их вот этим покрывалом. Вот так. А теперь передаю им знак деления. Приготовились!



И фокусник произнёс волшебное заклинание:


На Нуль скорее разделись,
Перед нами появись!

Блеснула молния, раздался страшный гром барабанов.

Покрывало быстро взвилось кверху, и из-под него вылез… Великан!

Он рос с неимоверной быстротой. Вот его голова уже касается купола цирка. Вот она прорвала парусиновую крышу, а Великан всё рос, рос…

Зрители в страхе жались друг к другу.

– Довольно! – кричали с мест.

Фокусник взмахнул волшебной палочкой – и Великан мигом исчез. На манеже снова стояли хрупкая Единица и маленький Нулик.

– Теперь вы убедились, – сказал фокусник, – как опасно делить на Нуль даже Единицу.

Он изящно раскланялся и под бурные овации покинул манеж.

– Как это он делает? – спросил Сева. – И откуда у него появляется Великан?

– На то и фокусы, чтобы сразу не понять, – ответил я. – Впрочем, этот фокус я объясню потом. А сейчас посмотрим на клоунов.

На арену с разных сторон вышли два клоуна: белый, как мука, Тук и рыжий, как апельсин, Ток.

– Где ты пропадал, Ток? – спросил Тук.

– Я ходил покупать тебе подарок. Абрикосы!

– Я очень люблю абрикосы. Где же они?

– Я их по дороге съел.

– Все?

– Все. А потом я вернулся в магазин и попросил снова продать мне абрикосов. Но только половину того, что купил в первый раз.

– Где же они?

– Съел!

Тук угрожающе замахнулся палкой.

– Подожди, подожди! – закричал Ток. – Я ещё раз вернулся в магазин и попросил продать мне только четверть тех абрикосов, что купил в первый раз.

– И ты их опять съел?

– Съел!… Потом я вернулся и купил одну восьмую. И снова съел. – Ток рассмеялся. – Так я возвращался пять раз. Каждый раз я покупал вдвое меньше, чем в предыдущий. Видишь, я не забывал о тебе.

– Ты мне всё-таки принёс абрикосов или нет?

– Конечно, принёс. Вот, смотри.

– Но здесь всего один абрикос!

– У меня больше не осталось денег.

– Сколько же ты всего съел абрикосов?

– Я не считал. Считай сам!

– Ты ел, а я должен считать?

– Если ты не знаешь арифметики, пусть тебе помогут зрители.

– Друзья, – обратился Тук к зрителям, – вы не знаете, сколько абрикосов съел Ток?

В цирке зашумели, стали считать, спорить. Первым решил задачу Олег:

– Ток съел шестьдесят два абрикоса!

– Неправильно! – закричал Ток. – Шестьдесят три. – Он вырвал у Тука абрикос и тут же съел его. – Это и есть шестьдесят третий!

– Ты всегда был таким обжорой? – спросил Тук.

– Всегда. Вчера я съел двенадцать плиток шоколада, пятнадцать пирожных и двадцать порций мороженого. Вот сколько!

– И что же в сумме получилось?

– Расстройство желудка!

Под конец клоуны стали решать задачу: через сколько времени наполнится бассейн водой, если его наполнять сразу через две трубы. Вместо труб у Тука и Тока были в руках пожарные шланги. Клоуны спотыкались, падали, обливались водой и, так и не решив задачи, мокрые, убежали с манежа.



Из главного выхода появился карликан во фраке и торжественно объявил:

– Смертельный аттракцион! Дроби на трапециях! Из-под купола уже спустили две трапеции. Они покачивались одна против другой.

На манеж выбежали четверо юных карликан: Двойка, Тройка, Четвёрка и Пятёрка. Они ловко забрались по канату на трапеции: Двойка и Тройка – на левую, а Четвёрка и Пятёрка – на правую. Двойка и Четвёрка встали на перекладины и крепко ухватились руками за канаты.

А двое других гимнастов повисли на перекладинах под ними. Они плавно раскачивались и делали красивые движения: выгибались ласточкой, выворачивались на руках, висели вниз головой… Потом они сели на перекладины, чтобы передохнуть, а карликан во фраке объявил:

– Внимание! Заключительный трюк – деление дробей!

И тут же зловеще забила барабанная дробь.

Гимнастки снова заняли первоначальные места, и мы поняли, что они изображают две дроби. Между ними возникли две светящиеся точки – знак деления.



Гимнастки взглянули вниз – сетка была на месте. Без сетки этот номер делать не разрешалось. Секунда внимания, и… «Ап!» – раздалась команда.

И вот уже Пятёрка, сделав в воздухе сальто-мортале, поднялась на вторую трапецию и стала рядом с Двойкой. Одновременно с ней Четвёрка рыбкой полетела вниз и уцепилась за перекладину рядом с Тройкой.



Опять, как во время диспута, между цифрами молниями блеснули два знака умножения. На секунду погас свет, а когда он зажёгся, на первой трапеции уже раскачивалась дробь 10/12. Цирк ревел от восторга.



– Бис! Бис!… – неслось со всех сторон.

Трюк повторили. Однако теперь делимое и делитель поменялись местами.

Когда вновь зажёгся свет, на трапеции раскачивалась новая дробь: 12/10.

– Э-э! – закричал Сева. – Да это та же дробь, только вверх ногами!

– На то и цирк, – резонно заметил Олег.

Артисты легко спустились на манеж. Представление закончилось.


Нашёлся!

Когда мы вышли из цирка на улицу, город был празднично иллюминирован. Несмотря на позднее время, отовсюду слышалась весёлая музыка.

Жители Арабеллы ликовали. То тут, то там раздавались возгласы:

– Нашёлся!

– Какая радость!

– Он не мог пропасть!

– Бедная мама, как она волновалась!

Нетрудно догадаться, о ком говорили карликане. Они радовались возвращению Нулика.

Сегодня утром, когда с площади Добрых Напутствий отправлялась к людям очередная партия карликан, провожавшие дали им наказ: непременно разыскать Нулика. И вот он здесь! Он цел и невредим!

А нашли его так.

Десятка три карликан помогали школьникам второго класса решать задачу на деление целых чисел. Вот уже все ученики отдали тетради учительнице. Прозвенел звонок. Карликане вышли из класса, потому что там должен был начаться урок русского языка, и направились в следующий класс, где изучали обыкновенные дроби.

Весёлой толпой поднимались они по лестнице. Вдруг на площадке послышался жалобный писк. Осмотрелись – никого! Писк повторился.

Тогда одна догадливая Семёрка заглянула за урну, стоявшую в углу. Там она и увидела пропавшего Нулика.

– Я хочу к маме! – хныкал он. – А потом я хочу есть и спать. И вообще я устал.

Ну, его сейчас же обласкали, утёрли носик и глазки. Вот только накормить было пока нечем. Но Нулик и так сразу повеселел, даже немного попрыгал от радости. И все отправились в третий класс помогать детям складывать обыкновенные дроби.

Задача была очень трудная. И Нулику некогда было рассказывать, что с ним произошло. А после надо было спешить на самолёт. И только в самолёте Нулик поведал печальную повесть о своём исчезновении.

Этот рассказ ему пришлось повторять много раз: сперва попутчикам в самолёте, затем встречавшим, потом опоздавшим на встречу и, наконец, тем, кто хотел ещё раз послушать всё, с самого начала. Но так как этого хотели почти все, то в общей сложности Нулик рассказал свою историю 248 раз.

А тут ещё подошли мы и тоже попросили его рассказать. Но Нулик уже охрип, и вместо слов у него получались одни шипящие звуки.

И тогда счастливая мама, толстая Восьмёрка, всё рассказала за него. Она уже успела выучить этот рассказ наизусть.

– Вчера в первый раз я отпустила моего дорогого крошку в такое дальнее путешествие. Но я не смела его удерживать. Ведь он отправлялся к вам, людям, для очень важного дела. И вот привезли его в одну неполную среднюю школу. Я не знаю, почему её называют неполной, но то, что она очень средняя, совершенно ясно: ведь там-то и произошло несчастье с моим дорогим малюткой. И надо же, чтобы мой сыночек попал к самому плохому ученику во всей школе. Он-то и потерял моего Нулика. Да, да, потерял! Словно это иголка! Мыслимое ли дело, потерять такого красавца! – Она поцеловала Нулика в носик. – Учительница задала очень простую задачу: разделить 1836 на 18. Разве это трудно? Конечно, нет! И ответ-то очень простой: 102. Не больше и не меньше. А у этого лентяя получилось 12! Всего лишь 12! Подумайте только – он потерял Нулика! А почему это произошло? Да потому, что разделив 18 на 18 и получив правильно 1, ученик стал вдруг делить на 18 число 36. Надо было сперва разделить 3 на 18, а уж потом 36. Выскажете, что 3 на 18 не делится? Ну и пусть не делится! Если число не делится, то тут-то и надо было вспомнить о моём Нулике и поставить его после единицы. Тогда бы и получился правильный ответ – 102. А мальчишка поленился и стал сразу делить 36 на 18. Вот и выходит: поспешишь – людей насмешишь! А нам не до смеха, нам слёзы.



Ну хорошо. Допустим, ученик ошибся. Ошибки могут быть у всякого. Но ведь он мог себя легко проверить. Вы спрашиваете – как? Стоило только умножить частное 12 на делитель 18. И он бы получил вместо делимого, 1836, всего-навсего 216. Нет, вы только подумайте: вместо 1836 получить 216! Ужас! Спасибо добрым друзьям – карликанам. Если бы не они, так бы и пропал мой сынок.

– Уважаемая Восьмёрка, – заговорил Сева, – всё равно ваш Нулик нашёлся бы. Его обязательно нашла бы учительница. Она ещё просто не успела проверить тетради.

– Да, – ответила толстая Восьмёрка, – учительница, конечно, нашла бы. Но когда? Мой Нулик к тому времени мог умереть с голоду.

И она снова стала обнимать сына, целовать его в носик, в глазки, в ушки…

Мы решили не отвлекать её от этого приятного занятия и тактично удалились. Но через несколько шагов опять услышали знакомый голос:

– Вчера в первый раз я отпустила моего дорогого крошку в такое дальнее…

Счастливая мама по требованию вновь прибывших начала всё сначала.

День третий

Спичечный коробок

– Помните, – сказал мне Сева, – вы вчера обещали нам объяснить, как фокусник превратил Единицу в Великана.

– Ну что ж, – ответил я, – обещал, так объясню. Ребята уселись поближе и приготовились слушать.

– Возьмём какое-нибудь число, – начал я, – ну, скажем, сто. И разделим его сперва тоже на сто. Получим единицу, не так ли? Ну, а если мы разделим сто на пятьдесят, что тогда получим?

– Два!

– Правильно, два. Два – это уже больше, чем единица. А потом разделим сто на двадцать пять, получим ещё больше – четыре. Затем – на двадцать. Частное будет пять. А, если мы разделим сто на два, то частное будет ещё больше – пятьдесят. Так? Выходит, чем меньше делитель, тем больше частное. Разделим теперь сто на единицу.

– Так и останется сто, – сказал Сева.

– Нетрудно было догадаться, – продолжал я. – Ну, а если мы станем делить сто на числа, меньшие, чем единица. Что тогда? Частное будет уменьшаться или ещё больше увеличиваться?

– Увеличиваться, – сказала Таня.

– Конечно. Чем меньше делитель, тем всё больше и больше частное. Разделим 100 на 1/2, получим уже 200, а если разделить 100 на 1/5, то частное будет 500.

– Ну конечно, – сказал Олег, – разделить на 1/5 – это всё равно что умножить на 5.

– Молодец, – похвалил я Олега. – Так вот, если мы будем делить число на одну миллионную, то…

– …это всё равно что умножить это число на миллион, – победоносно закончил Сева.

– Вот и подумайте, – снова сказал я, – нуль маленькое число или большое?

– Нуль меньше любого малого числа, – ответил Олег.

– Что же получится, если разделить сто на самое маленькое число? – снова задал я вопрос.

– То же, что получится, если умножить сто на самое большое число, – ответил Сева.

– Правильно, – подтвердил я. – Фокусник разделил единицу на нуль – появился Великан! И никаких фокусов!

Ребята удовлетворённо вздохнули.

– Вот я вам покажу фокус так фокус! – продолжал я после некоторой паузы. – Как вы думаете, сколько чисел может уместиться в этом спичечном коробке?

– Это, смотря как писать, – озабоченно сказал Сева, – крупно или мелко.

– Ну, пусть будет мелко, – решил я великодушно.

– Тогда – много, – ответила Таня.

– Что значит – много?

– Тысяча! – закричал Сева.

– Больше.

– Миллион! – предположила неуверенно Таня.

– Еще больше! – подзадоривал я.

– Ну, это уж сказки! – проворчал недоверчиво Сева.

– Что ж, послушайте мою сказку. Сказку да не сказку. – Я вынул все спички из коробка. – Допустим, что этот коробок разделён на две равные части, ну, хотя бы спичкой. Поместим в одной части число 1.

– Пишите единицу, – деловито предложил Сева и протянул карандаш.

– Нет, – возразил я. – Единица будет воображаемая. Нам, математикам, без воображения нельзя! Итак, в этой половине – единица, а другая пустая.

– Очень неэкономно, – заявил Сева. – Целую половину коробка занимать единицей.

– Ничего, – ответил я, – места хватит. Теперь разделим свободную половину снова пополам. Тоже в воображении, конечно. Можем?

– Можем! – сказали ребята.

- Итак, у нас снова два пустых отделения. В одном из них опять-таки мысленно поместим число 2. А свободное отделение ещё раз разделим пополам. И в одну из этих половинок поместим число 3. Потом снова то же самое. Так и будем каждый раз в одно из свободных отделений помещать по числу: 4, затем 5, 6, 7… 100… 1000 и так далее. И каждый раз будем свободное отделение снова делить пополам.



– Нет, – остановил меня Сева, – тут что-то не то. Как же вы будете делить коробок? Если спичками, они туда не влезут.

– А я буду вместо спичек класть волоски, – ответил я.

– Всё равно, – не сдавался Сева, – можно разделить коробок на пятьсот, на тысячу частей, а потом и волосок не полезет!

– Какая же у тебя бедная фантазия! – покачал я головой. – Сумел же кузнец Левша подковать блоху да ещё на каждом гвоздике расписаться! Ведь ещё совсем недавно не было меньшего деления времени, чем секунда. А теперь учёные научились измерять даже миллиардные доли секунды! Раньше, желая похвалить пряху, говорили, что прядёт она нить с паутинку. Тоньше паутинки ничего и представить не могли. А уж измерить паутинку и вовсе не умели. А теперь измеряют размеры молекул, атомов, электронов… Перед ними паутинка что дуб перед мошкой! Так вот. Допустим, найдётся такой искусный мастер, который сумеет разделить наш коробок на самые-самые малые отделеньица. Далеко ходить не надо: разве воображение не лучший мастер на свете? Итак, мастер работает, отделения становятся всё меньше и меньше, вот уж ни в один микроскоп их нельзя разглядеть! А мастер всё делит и делит. Отделения становятся всё меньше, а числа, помещаемые в них, – всё больше. И чем меньше отделение, тем большее число мы в него помещаем. Будет ли этому конец? Нет, не будет! Ведь делить-то можно без конца, да и больших чисел тоже бесконечно много. Вот и выходит, что в этом коробке собрались все бесконечно малые и все бесконечно большие величины. Карлики и великаны!

– Так вот почему эта страна называется Карликанией! – обрадовался Олег.

– Вещий Олег! – сказала Таня.


Нулики снова шалят

Сказка произвела большое впечатление. Ребята никак не могли успокоиться, без конца обсуждая необычный «фокус».

К счастью, их разглагольствования были прерваны запыхавшейся Четвёркой с бантиком. Она прибежала сказать, что не может нас сейчас сопровождать: нулики так расшалились, что с ними не сладишь. А сегодня её дежурство на Числовой площади. Она тотчас же умчалась. Мы поспешили за ней и вот что увидели. По Числовой площади, обнявшись, прогуливались всевозможные числа. О чём-то шептались Двойка и Тройка, образовав число 23. Рядом шли шеренгой и пели песню шесть первых цифр. Из них получилось большое число – 123456, сто двадцать три тысячи четыреста пятьдесят шесть…

Между этими солидными, степенными числами шныряли озорники нулики, сбежавшие от своих мам из Десятичного переулка. Вот один из них, особенно бойкий, подбежал к числу 125 и стал слева от единицы, вот так: 0125. Никто не обратил на него особого внимания, потому что число 125 от этого ни капельки не изменилось. Тогда Нулик перебежал на другой конец числа и стал рядом с Пятёркой. Число мгновенно выросло, как на дрожжах, и стало в десять раз больше: не 125, а 1250!

Так как в этом числе все цифры были молодые девушки, им вовсе не хотелось превращаться в старух. Они прогнали Нулика прочь.

Тогда Нулик придумал новую шалость: снова забежал слева от Единицы и отделил себя от числа 125 запятой! И вот оно превратилось в десятичную дробь: 0,125 – стало в тысячу раз меньше, чем было до сих пор.

Цифры возмутились:

– Как ты смел сделать из нас такое маленькое число! Не хотим мы ни с того ни с сего уменьшаться!

А Нулику это так понравилось, что он позвал ещё двух своих приятелей и втиснул их между, Единицей и запятой.

Ой-ой! Теперь число 125 уменьшилось в сто тысяч раз и стало вот таким маленьким: 0,00125!

Между тем Нулик вошёл во вкус этой забавной игры. Он упивался своей силой.

– Подумайте только, – вскричал он радостно, – оказывается, чем больше нуликов встанет сразу после запятой, тем меньше сделается число! Ведь каждый из нас уменьшает его в десять раз!

Только он это сказал, как сразу ещё пять нуликов оттеснили Единицу и встали между ней и своими собратьями.

– Теперь вы уже не сто двадцать пять, – закричали нулики, – а сто двадцать пять десятимиллиардных! Вот: 0,0000000125!

О, ужас! Число стало таким маленьким, что без микроскопа и не разглядеть.

Какой интерес разговаривать с невидимкой!

Нулики разочарованно покинули свои места, и – ха-ха! – число 125 снова как ни в чём не бывало степенно разгуливало по площади.

– Ну, погодите, – воинственно сказала Четвёрка с бантиком, – сейчас я вас проучу! Напрасно вы так кичитесь своим могуществом, – обратилась она к нуликам. – Видите, гуляет число 9,1? Встаньте-ка между запятой и Единицей. Посмотрим, намного ли уменьшится от этого число?

– Ого-го-го! – ответил вызывающе Нулик. – Конечно, намного! Три нулика мигом стали так, как было предложено, и что же? Число 9,1 превратилось всего-навсего в 9,0001.

Нулики даже захныкали:

– Это обман! Число должно было уменьшиться в тысячу раз!

– Вы не учли, что перед запятой стоит цифра девять, а не нуль! В этих случаях ваша сила невелика. Ставьте после запятой хоть сто нулей, число всё равно будет больше девяти! Так что хвастаться нечего!

Но нуликов трудно было утихомирить. Долго ещё допекали они числа своими проказами и наконец так им надоели, что терпение у всех лопнуло.

Пришлось позвать заведующего главным складом. Он пришёл, дожёвывая свой девятьсот восемьдесят первый бутерброд с ветчиной, быстро и деловито собрал всех нуликов и поставил между ними по знаку плюс. Все нулики тотчас превратились в один общий нуль. Сколько нули ни складывай, они всё равно больше нуля не станут!

Общий нуль покатился по площади, закатился в свой Десятичный переулок, а там ударился о столб и снова распался на множество маленьких нуликов. Тут их поймали мамаши и развели по домам.


Зеркальная улица

На площади всё утихло. К нам подошла Четвёрка с бантиком.

– А у меня для вас сюрприз, – сказала она, таинственно улыбаясь.

– Какой? Какой? – приставали к ней ребята.

– Что ж это за сюрприз, если о нём проболтаться раньше времени! – отбивалась Четвёрка. – Сперва я вас чуточку повожу за нос.

– А долго вы нас будете водить? – спросил нетерпеливый Сева.

– Я же сказала – чуточку. Вот пройдём эту улицу, свернём в переулок, потом опять выйдем на улицу, ещё раз свернём в переулок…

– У-у-у! – разочарованно протянула Таня. – Так далеко?

– Ну, ну, я пошутила. Идти никуда не придётся. Поглядите-ка сюда.

Мы обернулись и… остолбенели. Перед нами стоял новенький, с иголочки, автобус! Он так и блестел на солнце своими красными глянцевыми боками.

– Неужели это для нас?! – воскликнул Сева.

– Конечно! – сияя от радости, ответила Четвёрка. – Это туристский автобус дальнего следования. На нём мы совершим поездку по одной замечательной улице.

Таня надула губы и сказала недовольным тоном:

– Стоило подавать автобус дальнего следования, чтобы проехать одну улицу!

– Что вы! – возразила Четвёрка. – Мы не сможем проехать эту улицу до конца.

– Это почему же?

– Да потому, что у той улицы конца нет!

– Понимаю, – сказал Олег. – Эта дорога ведёт к великанам.

– Не только к великанам, но и к карликам, – добавила Четвёрка.

– Но ведь как раз сегодня нам об этом рассказывали! – всплеснула руками Таня.

– Тем лучше, – обрадовалась Четвёрка и жестом опытного гида пригласила нас занять места в автобусе.

Ребята с удовольствием разместились на мягких удобных сиденьях. Четвёрка повернула какой-то рычажок, и автобус двинулся.

– А где же водитель? – удивились ребята. – Машина сама едет?

– Водитель далеко, на Автоматической улице. Он управляет автобусом на расстоянии.

– Это, вероятно, делает кибернетическая машина? – предположил Олег.

– Конечно! – с гордостью сказала Четвёрка. – В Арабелле всё по последнему слову техники! А теперь внимание! Подъезжаем к цели нашего путешествия.

Автобус выехал на широкую улицу. Теперь он двигался очень медленно.

– Посмотрите налево, – сказала Четвёрка.

Мы повернули головы и увидели длинную, бесконечно длинную кирпичную стену, на которой выстроились десятичные дроби:

0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 и так далее…

Чем дальше, тем больше нулей стояло после запятой и, следовательно, тем меньше становилась дробь.

Мы ехали всё вперёд и вперёд, а числа становились всё меньше и меньше. Автобус постепенно прибавлял ходу. Нули проносились мимо нас все быстрее и быстрее. Их становилось больше и больше. Появились уже такие маме числа, что прочитать их не было никакой возможности. А улице все не было конца!

– Вот уж действительно дорога карликов! – воскликнул Олег. Никогда я еще не видел его таким оживлённым.

– Карлики есть, – подтвердил Сева. – Но где обещанные великаны?

– Будут и великаны, – успокоила Четвёрка. – Держитесь крепче! Попрошу всех закрыть глаза. Даю космическую скорость!

Закрывать глаза никто, конечно, не собирался, но автобус вдруг дал задний ход и понёсся обратно так стремительно, что все поневоле зажмурились.

Не успели мы, как говорится, глазом моргнуть, как очутились на прежнем месте. Автобус остановился.

– А теперь посмотрите направо! – скомандовала Четвёрка. Мы повернули головы и снова увидели кирпичную стену. Но, вот странное дело, у стены стоял автобус, как две капли воды похожий на наш.

– Глядите-ка, еще одна экскурсия! – закричал Сева и помахал рукой.

Из автобуса тоже помахали. Сева снова помахал. Из автобуса снова ответили.

– Слушайте! – в страшном волнении закричал Олег. – Это же не стена – это зеркало!

Действительно, это было бесконечно длинное зеркало, и в нём отражалась кирпичная стена.



По-прежнему уходили в бесконечную даль числа. Но только теперь это были не десятичные дроби, а их отражения, превратившиеся в целые числа: 1,0 10,0 100,0 1000,0 10000,0 100000,0 и так далее.

Автобус тронулся, и вновь замелькали перед глазами нули, нули, нули… Числа росли с неимоверной быстротой.

– Вот вам и дорога великанов! – сказала Четвёрка.

И тут началась забавная игра. Ребята поворачивались налево – перед ними были карлики, поворачивались направо – вырастали великаны.

– Совсем как в волшебной сказке! – восхищалась Таня. Под конец у всех разболелись шеи. Это было сигналом к возвращению.

– Подумать только, – сказал Олег на обратном пути, – из одних и тех же цифр можно сделать и карликов, и великанов! Всё зависит от того, с какой стороны на них посмотреть.


Подземная дробилка

Мы расстались с нашим симпатичным гидом и, отдохнув после сильных впечатлений, снова пошли бродить по городу. Вскоре послышался отдалённый грохот.

– Неужели гроза? – струхнула Таня. Она боялась грозы.

– Нет, – сказал Олег, – это что-то другое.

– Пойдём, посмотрим, – предложил Сева. И мы пошли на шум.

Он становился всё сильнее и, наконец, привёл нас в какой-то пустынный переулок.

Вдруг грохот оборвался. И стало так тихо, что все даже испугались.

И тогда мы услышали чей-то скрипучий, ворчливый голос.

Из-под земли появилась седая голова старого карликана. Он тяжело дышал и, выкарабкавшись наверх, тотчас присел отдохнуть.

– Откуда вы? – спросила Таня.

– Оттуда, – показал он вниз.

– Что вы там делаете?

– Работаю. Адская у меня работа.

– Там что – карликанский ад? – спросил Сева.

– При чём тут ад?! – удивился старик. – У нас даже дети знают, что никакого ада нет. Я там кручу машину. Больше у меня уже сил нет. Кручу, кручу, и всё никакого толку. Пусть старейшие карликане сами попробуют. А мне пора на покой!



– А какую машину вы крутите, дедушка? – спросила Таня.

– И не спрашивайте. Машина самая бесполезная. И называется она дробилка. Да что толку в этой дробилке, если я ничего не могу раздробить до конца?

– Что же вы дробите? – спросил Сева.

– Что же ещё кроме чисел?

– Числа не камни, разве так трудно их дробить? – снова спросила Таня.

– Попробуйте сами разок, тогда не будете задавать такие вопросы. Ведь дроблю-то я числа, которые друг на друга не делятся. Те, что сами делятся – их и дробить незачем. А вы попробуйте разделить такое число, которое не желает делиться на другое.

– В таком случае надо эти два числа оставить в виде обыкновенной дроби, – посоветовала Таня.

– Ишь, какая прыткая! – рассердился старик. – «В виде обыкновенной дроби»! Здесь квартал десятичных дробей. Обыкновенным здесь жить не разрешается.

– Значит, вы их превращаете в десятичные? – не унималась Таня.

– Вот именно – в десятичные! – махнул рукой старик. – А они сопротивляются. Понятно?

– Что же это за дроби такие?

– Странный вопрос! Периодические, конечно! – ответил карликан.

– Но какой в них толк, если до конца ни одну раздробить не удаётся? – спросил Сева.

– Толк-то в них, конечно, есть, – почесал старик за ухом. – Периодическая дробь, в общем-то, очень близко подходит к обыкновенной. Чем больше дроблю, тем точнее получается ответ. Только успевай крутить! А я уж стар, тяжело мне.

– Можно нам посмотреть вашу дробилку? – спросил Сева.

– Отчего же нельзя? У нас всё можно. Можете и подробить на ней, если охота. А я отдохну малость.

– Ещё бы, с удовольствием! – заявили все хором.

Тут оказалось, что карликан вовсе не из-под земли вырос, а поднялся из круглого люка, которого мы сперва не заметили. По узкойвинтовой лестнице мы спустились в подземелье, где рядом с дробилкой стоял грубо сколоченный стол. На столе лежала бумажка с печатью. Это был приказ Совета Старейших:

«Предлагаем в 24 часа разделить единицу на три с помощью десятичных дробей. Представить в виде периодической дроби с точностью до миллиона знаков. Старейшие».

Внизу стояло девять подписей.

– Видите, – сказал старик, – с точностью до миллиона знаков. Попробовали бы они сами это проделать!

– Дайте-ка мне! – заявил Сева и начал крутить рукоятку огромной дробилки.

Из дробилки стали выскакивать цифры и становиться в ряд на полочку. Сперва выскочил нуль, за ним запятая. А потом пошли тройки, тройки… одна за другой. Сева уже устал, а тройки всё шли и шли.

На полке уже образовалась длиннющая очередь:

0,333333333333333333333333333333333333333…
А тройки всё продолжали выскакивать.

– Пожалуй, довольно? – спросил Сева, отирая пот с лица. – Ещё нет миллиона знаков?

– До миллиона далеко, – усмехнулся старик. – Да здесь это ни к чему. Тут Старейшие малость ошиблись. Они уже проверяли это дробление. Им наперед известно, что, кроме тройки, из дробилки больше ничего выскакивать не будет. Я уж им не один раз ответ посылал.

– И что же, так по миллиону цифр и отправляли? – удивилась Таня.

– Зачем? – замахал руками старик. – Миллион посылать ни к чему. Я придумал посылать им сокращённый ответ. Вот, прочитайте.

Сева взял бумажку и прочитал:

– «В ответ на ваш приказ сообщаю: при делении единицы на три получилось вот что: 0,(3). Старший Дробитель».

– А что это за скобки? – спросил Сева.

– А это мы так условились записывать, что, мол, кроме троек, ничего больше и не ждите. А тройку мы назвали периодом. Поэтому и дробь называется периодической. Вот тут ещё один приказ есть, – продолжал Старший Дробитель, – разделить единицу на семь. Это придётся сделать.

– Теперь дробить буду я, – заявил Олег.

Снова заработала дробилка. Опять выскочил сперва нуль, а за ним запятая. Потом появилась единица.

– Ну, теперь пойдут одни единицы, – сказал Сева.

– Не забегай вперед, – остановил его старик.

И он оказался прав. За единицей выскочила четвёрка, за ней двойка, потом восьмерка, пятерка, семёрка:

0,142857.
– Это уже не периодическая дробь! – обрадовался Сева.

– А ты его не слушай, – обратился Дробитель к Олегу. – Работай себе знай.

Олег продолжал вертеть ручку, и… выскочила снова единица. А за ней опять четвёрка, двойка, восьмёрка, пятёрка и, наконец, семёрка! Они выстроились в ряд:

0,142857142857.
– Значит, дальше всё опять начнется сначала, – решил Олег. – Очевидно, эти шесть цифр и будут теперь называться периодом? Ишь, какой большой период!

– А я знаю, как надо записать этот результат! – обрадовался Сева. – Вот так: 0,(142857). Правильно я поставил период в скобки?

– Лучше нельзя, – подтвердил старик.

– А вдруг дальше что-нибудь другое получится? – не верила Таня. – Ну-ка, ещё я покручу.

Но сколько ребята ни крутили, всё время выскакивали только эти цифры и всегда в одном и том же порядке.

Когда мы поднимались обратно на улицу, на полочке снова выстроилась длинная очередь:

0,142857142857142857142857142857142857142857142857…
Мы вылезли из люка и заглянули вниз. Старший Дробитель уже делил новую дробь. Мы увидели только его запись:

4 / 11 = 0,(36)
– Надо обязательно всё это проверить дома, – сказал Олег. Тут Севу словно осенило.

– Дедушка! – крикнул он в люк. – Дедушка! А почему бы вам на пенсию не выйти? Пусть лучше вашу работу делает какая-нибудь счётная машина. А вы отдыхайте на здоровье!

– Это меня-то на пенсию? – рассвирепел старый карликан. – Целый век дроблю, а теперь не нужен стал?

Ребята смущённо переглянулись.

– Но вы ведь сами говорили… – робко напомнила Таня.

– Мало ли что я говорил! Меня уж, почитай, двадцать лет уговаривают на покой уйти, да не на такого напали! Мне без этой работы и дня не прожить. «На пенсию»! Да вот я вас!… Убирайтесь отсюда, а то превращу всех в периодические дроби! Будете меня помнить!

Так неожиданно закончилось наше посещение подземной дробилки.


Н.Р.В.В

Этот день – наш последний день в Карликании – был поистине богат сюрпризами.

Добрая фея – Четвёрка с бантиком – снова разыскала нас, для того чтобы вручить приглашение Совета Старейших на торжественный приём.

Ребята немного растерялись – им ведь никогда не приходилось бывать на приёмах, да ещё торжественных.

– Как вы думаете, – озабоченно спросила Таня, – моё платье подойдёт для такого случая?

– Подойдёт, – уверенно ответил я. – В Карликании не особенно поощряется щегольство, зато в высшей степени ценится опрятность.

Таня с удовольствием отметила, что складки её школьной юбочки хорошо отглажены, а нарядный фартук сияет белизной.

Костюм Олега тоже был в порядке. С Севой дело обстояло несколько сложнее: не хватало двух пуговиц на куртке, карманы оттопыривались от всякой всячины. «Как у Тома Сойера», – говорила про него Таня. Однако после некоторой обработки Сева приобрёл почти сносный вид. И все мы, волнуясь и робея, направились на Числовую площадь. Огромное круглое десятиэтажное здание, казалось, сплошь состояло из стекла и просматривалось насквозь, как гигантский фонарь.

Каждый из девяти правителей Карликании занимал по этажу. Верхний, десятый, был общим. Там, в круглом зале, который назывался Залом Познания, собирался Совет Старейших. Оттуда можно увидеть не только улицы, площади, переулки и тупики Арабеллы, но бесконечные поля, леса, равнины и горы Арифметического государства – все его отдалённые уголки.

Четыре истёртые ступени вели к широкой массивной двери. На каждой из них было написано по одной букве.

Если читать снизу, получалось: Н.Р.В.В.

Сева уже поднял ногу, чтобы взойти на первую ступеньку, но Четвёрка с бантиком успела остановить его.

– Нет, нет! – воскликнула она. – Вам ещё нельзя подниматься по этим ступеням. Для гостей вашего возраста имеется отдельный вход.

– А что означают эти буквы? – спросил Сева, когда мы поднимались по боковой лесенке.

– Это начальные буквы четырёх слов – нашего главного девиза. Это самые важные, самые необходимые, самые любимые, самые великие слова во всём Арифметическом государстве.

– Но что же это за слова? – настаивал Сева.

Четвёрка не успела ответить. Широкая дверь отворилась, и мы увидели величественную картину. Описывать её бесполезно. Пусть лучше каждый представит её себе по-своему.

При нашем появлении девять Старейших встали, поздоровались и сели снова только тогда, когда мы заняли отведённые нам места. В этом зале не тратили попусту слов и времени. Здесь никогда не говорили о пустяках, не сплетничали и не злословили. Каждая секунда ценилась на вес мудрости, а ведь это дороже золота.

– Дорогие гости, – начал первый Старейший, – мы пригласили вас в Зал Познания, чтобы немного расширить ваш кругозор. Сквозь стеклянные стены вы можете видеть необъятные дали. У этих далей нет границ. В этом и заключается сущность познания. Всякое познание, даже маленькое, даётся нелегко. Четыре ступени – Н.Р.В.В. – ведут в этот Зал: Наблюдение, Размышление, Вычисление, Выводы!

За сотни веков многие поднимались по этим ступеням, входили в Зал Познания, чтобы затем рассказать другим людям об увиденном и приобщить их к науке. Многие спотыкались об эти ступени и не поднимались выше первой или второй.

Были и такие, что пытались проникнуть в Зал Познания обходными путями. Но это ни к чему не приводило. Для таких людей стены нашего Зала делаются непрозрачными. Обманщики сами становятся обманутыми.



Они говорят, что ничего интересного в познании нет, и возвращаются обратно, сбивая с толку своими рассказами тех, кто хочет проникнуть в наш Зал честным путём. К счастью, таких невежд гораздо меньше, чем хороших, пытливых людей. Недаром так истёрты четыре степени, ведущие к вершинам науки.

Сегодня мы приветствуем вас как своих дорогих гостей. Но мы верим: будет время – вы подниметесь по этим четырём ступеням и войдёте сюда не как гости, а как хозяева.

Первый Старейший кончил. Наступила небольшая пауза.

Тогда поднялся второй Старейший.

Вот его рассказ.


Космос в комнате

– Я расскажу вам об одном человеке, который жил около ста лет назад. Он медленно, но упорно поднимался по четырём крутым ступеням и вошёл в Зал Познания победителем.

Я хочу рассказать о нём потому, что этот человек возвеличил не только себя, не только человечество, но и Карликанию. Цифры в его труде сыграли очень важную роль.

Этого человека звали Урбен Жан Жозеф Леверье. Он был француз.

Леверье очень любил звёзды, планеты и, конечно, нашу Землю. А особенно любил он нас, карликан. Поэтому он и стал великим математиком.

Делить и перемножать громадные числа было для него так же просто, как для вас играть в волейбол. Он расправлялся с цифрами легче, чем жонглёр с мячами.

Дни и ночи сидел он за письменным столом и вычислял, вычислял, а потом шёл к телескопу и смотрел на звёзды. Он мог наблюдать за ними без конца.

Как видите, всё началось с наблюдения! Это и есть первое слово нашего девиза. Ведь если не наблюдать, то ничего и не заметишь, а тогда и не о чем будет размышлять!

Леверье наблюдал за планетами, за их движением. Особенно интересовал его любопытный характер одной из них, под названием «Уран».

Вы, конечно, знаете, что все планеты движутся вокруг Солнца, каждая по своей орбите, так же как мотоциклисты во время гонки на стадионе.

Они ведут себя очень дисциплинированно – ни одна не сходит со своей дорожки. Ни Меркурий, самая близкая к Солнцу планета, ни Венера, бегущая по второй дорожке, ни следующая по третьей дорожке – наша Земля. Все мчатся по своим орбитам – и Марс, и Юпитер, и Сатурн, и, наконец, Уран.



Других планет во времена Леверье никто не знал. Не знал и сам Леверье. Но вот что его удивляло. Все планеты движутся по вычисленным для них орбитам, все подчиняются небесным законам, а Уран не хочет им подчиняться. Пробежит часть своей дорожки и свернёт на соседнюю, ещё более удалённую от Солнца. Благо, эта дорожка пустая – ведь Уран самая последняя планета, и столкнуться ему там не с кем. Леверье внимательно изучил записи, которые производили различные учёные до него. Все отмечали странное поведение Урана.

И вот Леверье стал размышлять: отчего не нравится Урану бежать по своей дорожке? Почему он норовит свернуть с неё?

Так обычно поступают мальчики, когда спешат в школу. Бегут, бегут по улице и вдруг свернут с дороги в какой-нибудь переулок. А там, оказывается, продают мороженое. Мальчик купит мороженого и снова выбежит на главную улицу. Притягивает мальчиков вкусное мороженое – вот они и сбиваются со своего пути.

«Может быть, Урана тоже что-то притягивает, – решил Леверье, – и он бежит за своим мороженым?»

Вы знаете, что все планеты и Солнце испытывают взаимное притяжение. Если бы не сила солнечного притяжения, наша Земля давно бы улетела от Солнца, как говорится, за тридевять земель.

А чем больше планета, тем сильнее её притяжение. Солнце значительно больше всех своих планет, вместе взятых, вот оно и не даёт им от себя убежать.

Но, конечно, чем дальше планета, тем труднее Солнцу притягивать её к себе. А Уран, вы уже знаете, как раз самая отдалённая от Солнца планета.

Думал, думал Леверье и решил так: «Не притягивается ли Уран какой-нибудь другой, неизвестной планетой, ещё более удалённой от Солнца? Пусть об этой планете никто ничего не знает, и всё-таки она должна быть».

«Эта таинственная планета, – размышлял учёный, – притягивает Уран тогда, когда он проходит мимо неё, несясь по своей дорожке. Вот они поравнялись, как два гонщика. Притяжение неизвестной планеты на это время становится сильнее солнечного. Тогда Уран и сворачивает со своего пути. Но только на время. Потому что каждая планета движется со своей скоростью. Стоит Урану вырваться вперед, сила притяжения неизвестной планеты ослабнет, и беглец Уран снова возвратится на свою дорожку».

Когда Леверье закончил свои размышления, он стал вычислять. Мало выдумать новую планету, надо еще доказать, что она существует. Тут уж без нас, карликан, не обойтись!

Долго работал учёный.

Все мы очень волновались: сумеет ли он правильно вычислить, где и как разыскать новую планету? Ведь в те времена ещё не было вычислительных машин. Учёный исписал горы бумаги. Он очень устал, но желание добиться цели и вера в свою правоту победили.

Леверье закончил свои вычисления. Теперь он знал, где и когда надо искать планету-незнакомку; он даже подсчитал, сколько она весит и как далеко отстоит от Солнца, какова длина её орбиты и сколько времени она тратит, чтобы один раз обежать вокруг Солнца. Оказалось, что для этого одного года мало. Ей нужно почти сто шестьдесят пять лет, чтобы один раз обернуться вокруг Солнца.

Всё это учёный узнал так точно, как будто видел собственными глазами. На самом деле он не выходил из своего кабинета.

Когда Леверье кончил вычислять, он послал свои выводы в обсерваторию, откуда астрономы наблюдают за звёздами.

Там наставили телескоп на то место в небе, куда велел Леверье, и в точно назначенное время увидели новую светящуюся точку. Это и была планета, вычисленная Леверье.

Так мы узнали, что вокруг Солнца мчатся по своим орбитам не семь, а восемь планет.

Учёные назвали восьмую планету Нептуном.

А через несколько десятков лет всё повторилось сначала.

Английский учёный Персиваль Ловелл тоже вычислил новую планету, девятую по счёту, находящуюся ещё дальше Нептуна. Только через много лет астрономы разыскали её на небе.

Эту планету назвали Плутоном, и ей нужно почти двести пятьдесят лет, чтобы разок обежать вокруг Солнца.

Может быть, за Плутоном есть ещё одна, десятая, планета? Кто знает! Вполне вероятно, что честь её открытия выпадет кому-нибудь из вас…

Второй Старейший поклонился и сел.

Тогда встал третий.

– Посмотрите сюда, – сказал он, указывая на стеклянную стену. – Перед вами дорога Светлого Разума. Здесь находятся портреты тех, кто сумел по четырём ступеням подняться в Зал Познания.

Третий Старейший нажал кнопку.

Стены Зала Познания стали раздвигаться и одновременно уходить назад. Зал отдалялся всё больше и больше. Вот уже Старейшие где-то очень далеко, вот они превратились в едва видимые точки, и наконец Карликания исчезла совсем.

Дорога светлого разума

Перед нами была ярко освещённая беспредельная дорога Светлого Разума.

Справа и слева уходили вдаль длинные вереницы портретов великих математиков. Кого здесь только не было! Мы увидели умные, проницательные глаза тех, кто по кирпичику строил величественное Арифметическое государство.

Мы шли среди них, и нам казалось, что портреты улыбаются, вот-вот заговорят.

Но что это? Они и в самом деле улыбаются. Они действительно разговаривают, протягивают нам руки. Портреты живые!

Вот уже кто-то выходит из тесной рамы и идёт к нам навстречу. У него седая борода, вьющиеся волосы перехвачены ленточкой.

– Это же Архимед! – узнаёт его Олег.

– Странно, – говорит Таня, – он ведь умер?

– Да, это было больше двух тысяч лет назад, – подтверждает Олег.

– Ошибаетесь, – улыбаясь в бороду, отвечает Архимед, – я не умер. Вы, наверное, имеете в виду тот печальный случай, когда презренный римский воин пронзил меня копьём. Он тоже думал, что я умер, но жестоко ошибся. К сожалению, он только помешал мне решить одну задачу, которую я вычертил тогда на песке. Я предупредил его: «Не трогай моих фигур!» Но он был глух к науке. Знаете вы имя этого мерзкого воина?

– Понятия не имею! – ответил Сева.

– Ну вот видите, я тоже не знаю его имени.

– Зато люди очень хорошо знают законы Архимеда, – сказал я.

– Рад слышать, – поклонился Архимед. – Впрочем, то, что я открыл, – не мои законы. Это великие законы природы. Они существовали задолго до меня. Всегда! Я только сумел их подсмотреть.

В это время Таня часто заморгала и, вынув носовой платок, стала старательно тереть глаз.

– Отчего вы плачете, милая девочка? – спросил участливо Архимед. – Я вас чем-нибудь расстроил?

– Нет, что вы! – ответила Таня. – Мне попала в глаз песчинка.

– Подумаешь, песчинка! Пустяки! – пренебрежительно сказал Сева.

– Пустяки? – обиделся Архимед. – Молодой человек, никогда не говорите, не подумав. Я несколько лет своей жизни посвятил именно песчинкам.

– Обыкновенным песчинкам? – удивился Сева.

– Самым обыкновенным. Я задумал подсчитать, сколько песчинок может поместиться во Вселенной, если её сплошь заполнить песком – обычным песком, какой бывает на пляже.

– Разве это можно сосчитать? – развёл руками Сева. – Наверное, во Вселенной поместится бесконечно большое число песчинок!

– Нет, нет, вы неправильно выражаетесь! – остановил его древний учёный. – Вы хотите сказать: не бесконечно большое число, а очень большое число. Это совсем разные вещи.

– Но ведь Вселенная бесконечна! – вступила в спор Таня.

– Вы забываете, – спокойно ответил Архимед, – что мы, древние, представляли себе Вселенную иначе. В моё время считали, что в центре Вселенной находится неподвижная Земля, а вокруг неё обращаются Солнце, планеты и все звёзды, прикреплённые к небосводу, как к крышке огромной чаши. Так вот, я всё же сосчитал это огромное число песчинок и даже написал по этому поводу сочинение. Я его так и назвал: «Об исчислении песка в сфере неподвижных звёзд». Я бы с удовольствием подарил вам это сочинение со своим автографом, но – увы! – у меня нет под рукой экземпляра. Если вы его где-нибудь достанете, я с удовольствием надпишу.

– Это было бы замечательно! – загорелась Таня. – Я так люблю собирать автографы! У меня уже есть автограф Юрия Гагарина, потом ещё двух киноактёров. Но автограф Архимеда!… – Таня от удовольствия даже зажмурилась.

– Я вижу, что песчинка сама выскочила из вашего глаза, – сказал Архимед, – очень рад… А сейчас прошу меня извинить – у меня дело. Может быть, сегодня мне удастся отыскать наконец точку, которую я так долго ищу.

– Какую точку? – спросил Сева.

– Разумеется, точку опоры. Ведь, если я найду точку опоры, я смогу перевернуть Землю.

– Каким образом?

– С помощью рычага. Когда-то, когда я жил в своём родном городе – Сиракузах, я придумал эту очень простую машину…

Помахав нам на прощанье, Архимед быстро удалился.

А мы пошли дальше.

По дороге мы увидели уже знакомых нам Эратосфена с его знаменитым решетом, и Леверье, занятого очередным вычислением, и Эвклида, и Пифагора…

А вот идут два человека в старинных камзолах. Они о чём-то оживлённо разговаривают. Вот они поравнялись с нами.

– Позвольте представиться, – обратился к нам один из них, с длинными светлыми волосами. – Исаак Ньютон. Из Кембриджа. А это, – он указал на своего собеседника, – Готфрид Вильгельм Лейбниц. Из Лейпцига. Мы жили и работали в разных странах, но всегда уважали друг друга.

– О да! – подтвердил Лейбниц. – Пусть злые языки говорят, что мы соперничали, это неверно. Правда, мы с досточтимым сэром Ньютоном работали над одним общим вопросом, даже ещё не будучи знакомы…

– И одновременно решили эту важнейшую проблему!… – подхватил Ньютон.

– Не скромничайте, уважаемый сэр, – перебил его Лейбниц. – Вы решили эту проблему на семь лет раньше…

– Да, но вы, дорогой господин Лейбниц, открыли то же вполне самостоятельно, – перебил его в свою очередь Ньютон.

– Не будем вдаваться в подробности. Пусть это открытие принадлежит нам обоим, – заключил Лейбниц.

– Досточтимый сэр Ньютон и глубокоуважаемый господин Лейбниц, – обратился к ним Сева, – не будете ли вы столь благосклонны и не сообщите ли нам, что за открытие вы сделали?

– Позвольте мне, – сказал Ньютон, – ответить на ваш вопрос тоже вопросом. Были ли вы на Зеркальной улице в городе Арабелле?

– Были! – выпалил Сева. – Мы даже на автобусе катались. И видели там и карликов, и великанов.

– Так вот, – продолжал английский учёный, – этих-то карликов и великанов изобрели мы с господином Лейбницем.

– Сэр Исаак большой шутник! – усмехнулся Лейбниц. – Никаких карликов и великанов мы не изобретали, а просто-напросто ввели понятие о бесконечно малых и бесконечно больших величинах…

– И научили людей пользоваться ими, – закончил Ньютон.

Разговор был неожиданно прерван подошедшим к нам полным розовощёким человеком в шёлковом камзоле, отделанном тончайшими кружевами.

– Провалиться мне на месте, если это не Портос из «Трёх мушкетёров»! – закричал Сева.

– Ты с ума сошёл! – возмутилась Таня. – Откуда в Карликании мушкетёры?

– Нет, нет, я не мушкетёр, – засмеялся незнакомец, – хотя был лично знаком с д'Артаньяном! Я ведь тоже француз. Меня зовут Пьер Ферма.

– Могу вас заверить, – сказал Ньютон, – что наш дорогой Ферма один из самых любимых и почитаемых учёных в Карликании.

– Вполне понятно, – добавил Лейбниц, – ведь мсье Ферма один из создателей теории чисел. Если принять во внимание, что Арифметическое государство – страна чисел, вас не удивит огромная популярность мсье Ферма.

Ферма шутливо закрыл руками уши:

– Нельзя на одного человека взваливать всю тяжесть славы. Кроме меня, к теории чисел приложили руку очень многие. Достаточно вспомнить великого грека Пифагора или всех тех, кто жил после меня: петербургского академика Леонарда Эйлера, московского профессора Пафнутия Львовича Чебышёва или более поздних учёных – советских математиков Льва Генриховича Шнирельмана, Ивана Матвеевича Виноградова… Да я бы мог вам перечислить их сотню. А вы всё приписываете мне!

– И всё-таки, дорогой мсье Ферма, то, что сделано вами, отнять у вас нельзя.

Ферма загадочно улыбнулся и сказал:

– При всём при том я доставил людям массу неприятностей.

– Приятно, должно быть, доставить хоть одну такую «неприятность» человечеству! – заметил Ньютон.

– Никто бы из нас от этого не отказался, – добавил Лейбниц.

– Что же это за неприятность? – полюбопытствовал Сева.

– Мсье Ферма, – ответил Ньютон, – говорит о теореме, которую открыл и которую никто вот уже триста лет не может доказать.

– Её так и называют: великая теорема Ферма! – добавил Лейбниц.

– Зачем же так громко? Я никогда не называл её великой, – возразил Ферма. – Она пришла мне в голову, когда я читал превосходную древнегреческую «Арифметику» Диофанта. Очень простая теорема.

– Теорема-то простая, – сказал Лейбниц, – и всё-таки доказательства никто до сих пор не нашёл!

– Вы забываете, – заметил Ферма, – что для некоторых частных случаев кое-кому удалось найти доказательство.

– Я говорю о том, – ответил Лейбниц, – что нет ещё полного доказательства вашей теоремы.

– А сами вы её доказали? – спросил Сева у Ферма.

– Лучше не спрашивайте, милый друг, – грустно ответил учёный. – Я доказал её, но… Всё дело в этом маленьком «но». Я записал своё доказательство на полях книги Диофанта, и, подумайте только, этот листок оказался вырванным!

– Вот как нехорошо портить книжки! – с досадой заметил Ньютон.

– Но вы, наверное, помните своё доказательство? Скажите его мне на ушко, а я его потом опубликую, – предложил Сева.

Трое учёных покатились со смеху. Они долго не могли успокоиться.

– Мой дорогой Гаврош… Не знаю, как вас зовут по-настоящему, – обратился, наконец, Ферма к Севе. – Ведь прежде чем слушать доказательство, надо познакомиться с самой теоремой! Боюсь только, что это несколько преждевременно. Впрочем, если вам хочется, возьмите в библиотеке книжку и познакомьтесь с моей теоремой. Может быть, когда-нибудь я и раскрою вам эту тайну.

Учёные церемонно распрощались. И мы опять пошли вперёд.

К нам приближался человек с гордой осанкой, в завитом пудреном парике. Он вёл под руку старика в маленькой круглой шапочке.

– Михайло Ломоносов, помор Архангельской губернии, – представился он, подойдя к нам. – Счастлив видеть соотечественников, побывавших в превеликом царстве чисел. Числа не только пользу, но и радость несут человеку. Много ли преуспели в арифметике? – спросил Михайло Васильевич у Севы.

– Не очень-то много, – вздохнул тот. – Арифметика – наука ой-ой-ой! Не больно даётся. Трудная наука!

– Небось, самому приходится ума-разума набираться, книжки штудировать?

– Да нет, – ответил Сева, – мы в школе учимся, у нас есть учитель.

– Ах, в школе? – удивился Ломоносов, – И всё-таки трудно? Ага, понимаю. Учиться охота, только времени нехватка. Я ведь тоже отцу помощником был: невод в море забрасывал, улов вытягивал. Тоже трудно учиться было. Да и денег на учение не было.

– Да нет же, Михайло Васильевич, – возразил Сева. – Какой там невод! Я дома вообще ничего не делаю, даже за хлебом не хожу. Да и обучение у нас бесплатное.

Ломоносов задумался.

– Чудно! – сказал он. – И работать не работаете, и учитесь бесплатно. И всё ещё трудно! А я – всё сам. Сам по книжке и грамоте, и арифметике учился, да и то, когда время оставалось. «Арифметика» Магницкого – прекрасная книжка! Девятнадцати лет в Москву отправился. Пешим, в лаптях, с мешком за спиной… Так в наше время крестьянину учение-то доставалось.

– И всё-таки в ваше время, – вмешалась Таня, – учиться легче было. Ведь вы только одной арифметикой и занимались!

– Это кто же вам сказал?! – возмутился Ломоносов. – В моё время молодые учёные чем только не интересовались! И физикой, и астрономией, и химией… Мой друг, петербургский академик Леонард Эйлер, подтвердит это.

Ломоносов подвёл к нам старика, стоявшего в стороне. Тот улыбнулся, глядя куда-то мимо неподвижными глазами. И мы поняли, что он слепой.

– Да, – сказал Эйлер. – Мы многим интересовались. Я, например, ещё у себя на родине, в Швейцарии, изучал медицину, потом физику…И только когда переехал в Россию, твёрдо посвятил себя математике. Впрочем, увлекался и астрономией, даже расчётами колонн. В жизни много неизведанного. Всё хочется узнать, всё раскрыть. А Михайло Васильевич вот ещё и стихи писал.

– «Открылась бездна, звёзд полна, звездам числа нет, бездне дна!» – продекламировал Олег.

– Приятно, что вы это помните, – сказал Ломоносов. – Кто сказал, что наука и поэзия – разные вещи? По-моему, чтобы быть хорошим математиком, надо быть в душе поэтом. Как вы думаете, Софья Васильевна? – обратился он к проходившей мимо молодой женщине.

– Вы, как всегда, правы, Михайло Васильевич, – ответила она. – Всю жизнь меня тянуло и к математике, и к литературе. Я писала научные трактаты, но это не мешало мне сочинять романы, драмы…

– Познакомьтесь, – обратился к нам Ломоносов. – Софья Васильевна Ковалевская, первая русская женщина-профессор. Расскажите, Софья Васильевна, с чего началось ваше увлечение математикой?

– Это очень смешно, – смутилась Ковалевская, – мне неловко рассказывать. Когда я была совсем маленькой, то – не помню почему – в моей детской стены вместо обоев были оклеены листами из какой-то книжки. Оказалось, это учебник высшей математики. Перед моими глазами всегда мелькали цифры, незнакомые знаки, формулы… И я, видя их ежедневно, так ими увлеклась, что решила посвятить себя математике. Так что я, можно сказать, обойный математик!

– Да, – сказал Ломоносов, – сейчас Софья Васильевна шутит. А сколько мучений пришлось ей когда-то вынести! Никто не признавал за женщиной права учиться, тем паче учить других!

– Однако, – добавила Софья Васильевна, – мужчинам тоже приходилось не сладко. Не правда ли, Николай Иванович? – обратилась она к худощавому человеку в форменном сюртуке.

Это был казанский математик Лобачевский.

– И не говорите! – махнул рукой Лобачевский. – Мне даже вспоминать не хочется нелепости, которые распространяли невежды по поводу моих сочинений. Меня считали сумасшедшим!

– Но теперь вы можете торжествовать, – сказал я. – Ваши труды всемирно известны!

Лобачевский только скромно улыбнулся.

К нам подошёл старик с большой седой бородой. Все стоявшие рядом почтительно поклонились ему.

– Пафнутий Львович Чебышёв, уроженец Калужской губернии, – представился он.

– Пафнутий Львович, – шепнул я ребятам, – в шестнадцать лет он уже был студентом университета, а в двадцать пять защитил диссертацию.

Чебышёв слегка поморщился. Он всё слышал и тотчас переменил разговор.

– Как прекрасно сшито ваше платье! – обратился он к Тане. – Я бы так, наверное, не сумел.

– Вы?! – удивилась Таня. – Разве вы портной?

– Конечно! – засмеялся Чебышёв. – Кройка одежды – моя основная профессия.

– Это не следует понимать буквально, – сказал человек, подошедший к нам вслед за Чебышёвым. – Разрешите представиться! Меня зовут Александр Михайлович Ляпунов. Пафнутия Львовича я знаю очень хорошо – он мой учитель. И учил он меня не портняжному делу, а математике.

– А кто сказал, что математик не может быть и портным? – запальчиво воскликнул Чебышёв.

– Открою вам секрет, – улыбнулся Ляпунов. – Профессор Чебышёв нашёл способ кроить одежду с помощью математических расчётов…

– Так портной я или не портной? – перебил Чебышёв.

– Уж конечно, портной, если не считать, что, кроме того, написали не один десяток математических работ, – лукаво согласился Ляпунов. – Кстати, успели вы в Карликании побывать на аллее Простых Чисел? – обратился он к нам. – Успели? Превосходно! Так вот, имейте в виду, что мой дорогой учитель самый почётный гость на этой аллее. Пафнутий Львович много способствовал тому, чтобы облегчить поиски простых чисел. И весьма в этом преуспел!

– Ну, как вам не стыдно! – взмолился Чебышёв. – Вы же мой ученик! Выходит, я учил вас петь дифирамбы. Что подумают обо мне мои юные соотечественники! Если им это интересно, они сами прочтут мои сочинения.

– Дорогой Пафнутий Львович, – воскликнул Ляпунов, – узнаю вашу профессорскую рассеянность! Эти милые школьники не смогут прочитать ни одной вашей строчки. Ведь они ещё не знают высшей математики…

– Ну и что ж? – ответил Пафнутий Львович. – Пусть узнают. Пусть поскорей заканчивают школу, поступают в университет, и тогда-тогда уж…

На это возразить было нечего. Мы распрощались и снова двинулись дальше. И чем дольше мы шли, тем больше нам встречалось учёных. Здесь были и врачи, и физики, и агрономы, и литераторы, и биологи, и химики – ведь теперь без математики не обходится ни одна наука!

Всё чаще и чаще раздавался гул самолётов, стрекот кибернетических машин, разряды атомных реакторов…

И вдруг мы услышали музыкальную фразу – всего только несколько нот. Но их нельзя было не узнать. Наши позывные!

Мгновение – и в небо взвилась длинная сверкающая стрела, оставляя за собой огненный хвост.

И тут же заговорило радио:

«В Советском Союзе запущен ещё один космический корабль…»



Мощное «ура» заглушило голос диктора.

И мы не узнали, под каким номером значится очередная космическая ракета.

На возвышении стояла группа людей. Конечно, это были конструкторы ракеты.

Мы протиснулись вперёд, чтобы увидеть их лица. Но это нам так и не удалось, потому что… потому что…

Мы по-прежнему сидели в школьном саду, за дощатым столом.

– Какую интересную сказку вы рассказали, – задумчиво произнёс Олег.

– Неужели ничего этого не было? – вздохнул Сева. – Ни Четвёрки с бантиком…

– Ни балета на льду… – подхватила Таня.

– Ни Зеркальной улицы… – продолжал Олег.

– Может, не было, – сказал я. – А может, и было… Посмотрите, вот листок! Мне передал его для вас один из тех, кого вы только что видели.

Я положил на стол страничку, вырванную из обыкновенной тетради в клетку. И ребята прочитали слова великого русского математика Николая Ивановича Лобачевского:


«Кажется, нельзя сомневаться… в истине того, что всё в мире может быть представлено числами».


Голицыно

Лето 1962 г.


Черная Маска из Аль-Джебры Путешествие в письмах с прологом

Пролог Снова в Карликании!

Трое путешественников шагают по прямым улицам Арабеллы. Их нетрудно узнать, хоть они повзрослели и вытянулись. Это наши давние знакомые — Таня, Сева и Олег. На этот раз их сопровождает маленький пушистый клубок. Клубок то убегает далеко вперед, то возвращается, то снова надолго исчезает в каком-нибудь закоулке. И тогда слышатся беспокойные возгласы его хозяев:

— Пончик, Пончик, назад!

Пончик — самый веселый, самый ласковый пес на свете. Больше всего он любит лаять — не от злости, как иные собаки, а просто потому, что все вокруг ему нравится.

Пончик очень любопытен: никогда не пройдет мимо открытой двери, обязательно остановится и осторожно заглянет, но стоит кому-нибудь появиться — сейчас же отойдет с самым безразличным видом.

От природы Пончик совершенно бел. Правда, для того чтобы это выяснить, надо его хорошенько вымыть. Пончик терпеть не может мыла, зато обожает грязные лужи. Но сейчас он белешенек. Перед тем как снова отправиться в Карликанию, Сева устроил ему основательную баню. Нельзя же заниматься чистой наукой в таком грязном виде!

Пончик всей душой хочет вернуться к своему привычному состоянию, но попробуйте найти в Арабелле хоть одну грязную лужу…

Не подумайте, впрочем, что в Карликании вообще нет воды. Тот, кто сказал это, конечно, пошутил.

Город сверкает чистотой. Солнце отражается в его зеркальных, тщательно протертых стеклах. Газоны только что политы, и на траве дрожат и вспыхивают крупные капли.

Приятно возвратиться в город, в котором уже однажды побывал.

Ребята с удовольствием убедились, что не только сами хорошо помнят столицу Карликании, но и здесь их тоже не забыли.

Со всех сторон тянутся к ним дружелюбные руки. Карликане сердечно приветствуют своих добрых знакомых и наперебой зазывают в гости.

Четверка с бантиком приглашает их в Клуб любителей поспорить на очередной двенадцать миллионов тысяча семьсот тридцать первый диспут, Семерка с палочкой вручает билеты на новое представление. Даже Старший Дробитель, который был так нелюбезен напоследок, вылез из своей подземной дробилки. Он предлагает ребятам покрутить ручку, чтобы получить дробь с каким-то длиннющим периодом…

Путешественники тронуты. Они благодарят за приглашения. Но им не до развлечений. Мысли их заняты непонятной телеграммой Нулика. Да, да, того самого Нулика, который потерялся и которого нашли потом на школьной лестнице. Что с ним стряслось? И зачем ему понадобилось вызывать ребят в Карликанию?

— Покажи-ка еще разок! — озабоченно говорит Сева. — Может быть, мы как-нибудь не так прочитали!

Олег молча подает ему аккуратно сложенный листок.

— «Совершенно секретно…» — начинает Сева.

— Не надо, — перебивает Таня, — я могу наизусть: «Совершенно секретно пропало лицо тайна стручке приезжайте на поиски Нулик». А на деле никакой тайны и нет. Просто очередная шалость.

— А если и вправду тайна? — возражает Олег.

— Вот бы славно, — мечтательно улыбается Сева. — Даром что ли я взял с собой ищейку!

— Хороша ищейка, — поддразнивает Таня, — ее саму искать надо. Вот, например, сейчас: куда она пропала?

— Не беспокойся, найдется. Лучше объясни, куда запропастился Нулик. Отчего он нас не встретил? Как его найти? Эта задача потруднее.

— Ничего трудного, — снисходительно замечает Таня, — Нулик живет на Восьмой улице.

— На Восьмой улице живет не только Нулик, но и его мама. О ней ты подумала? Вот и доверяй после этого тайны девчонкам!

Таня вспыхивает, но не успевает ответить: где-то неподалеку слышится заливистый лай Пончика.

— Пончик, ко мне! — зовет Сева.

Щенок не показывается и упорно продолжает лаять.

— Держу пари, он что-то учуял!

Сделав непроницаемое, «детективное» лицо. Сева идет на лай.

Таня и Олег следуют за ним.

Очень скоро все они оказываются в том самом саду, где в прошлое посещение Карликании решали задачу с яблоками.

Здесь они видят Пончика. Не переставая лаять, он прыгает под яблоней.

А на самой верхушке ее сидит Нулик.



Он никогда еще не видел ни одной собаки, и маленький белый песик показался ему разъяренным чудищем. А Пончику просто-напросто захотелось поиграть с симпатичным малышом, у которого к тому же такой забавный хохолок.

Нулика снимают с дерева и, наскоро познакомив с Пончиком, забрасывают вопросами: кто потерял лицо? О какой тайне речь? И вообще, что произошло?

А произошло вот что.

После того как Нулик потерялся, мама Восьмерка решила пока что не отпускать своего любимца к людям.

Пусть подрастет!

Бедная мама, если бы она знала, что из этого выйдет!…

От безделья Нулик, который и прежде был порядочным шалуном, совсем от рук отбился. И, в отличие от других Нуликов, его стали называть Нуликом-Озорником.

Вот и вчера, собрав на Числовой площади своих дружков-приятелей, он такое вытворял, что впору было вызывать на помощь Великанов из Бесконечности. Вы ведь помните, что Нулики только их и боятся по-настоящему. К счастью, до этого не дошло. Просто рассерженные мамы развели своих питомцев по домам, строго-настрого запретив выходить на улицу.

Один только Нулик-Озорник убежал от наказания. Убежал так далеко, что очутился в совершенно незнакомом месте.

Здесь он наконец остановился и, тяжело дыша, посмотрел назад.

Никто за ним не гнался.

Он был один, совершенно один.

На минуту Нулику стало страшно, но любопытство пересилило страх.

В нескольких шагах от себя он заметил большой мшистый камень.

Малыш подошел к нему и осторожно потрогал. Ему, как и прочим маленьким Нуликам, необходимо было все трогать руками.

— Ничего особенного! — сказал он независимо. — Может, с другой стороны есть что-нибудь интересное?

Нулик обошел камень и остолбенел: прямо на него уставилась большая черная дыра! Он заглянул в темную каменную пасть. Брр! В лицо пахнуло холодом. Постепенно глаза его привыкли к темноте. Он увидел неровные каменные ступеньки, уходившие куда-то вниз. Нулик стал на четвереньки, чтобы заглянуть поглубже, но в это время кто-то легонько хлопнул его по спине. Нулик зажмурился и втянул голову в плечи. Он страсть как перепугался. Зачем, зачем он убежал от мамы Восьмерки? Велика беда — просидеть три дня дома без сладкого!

Он уже собирался заплакать, но тут его снова шлепнули, на этот раз посильнее.

— Кто это? — спросил Нулик, дрожа и все еще не оборачиваясь.

— Я, — ответил глухой незнакомый голос.

— Кто вы?

— К сожалению, этого я и сам не знаю.

— Вы что, смеетесь? — возмутился Нулик. — Я умираю от страха, а надо мной издеваются! Каждый обязан знать, кто он.

— А вы знаете, кто вы?

— Что за вопрос! Я — Нулик. Это всем известно.

— Счастливый! — позавидовал голос. — А вот кто я, никому не известно.

— Сказки! — осмелел Нулик. Он наконец рискнул обернуться и открыть глаза, но сейчас же зажмурился снова.

Перед ним стояло странное существо, закутанное в черный бархатный плащ, из-под которого виднелись две тоненькие ножки. На лице у существа была черная повязка.

— Ой, — сказал Нулик, — я боюсь! Где ваше лицо?

— Под маской.

— Так снимите ее, — предложил немного успокоенный Нулик и снова взглянул на незнакомца.

— Невозможно, — вздохнул тот. — Я заколдован и обречен носить черную маску до тех пор, пока кто-нибудь не раскроет моей тайны.

Тайна?! Нулик даже руками всплеснул от неожиданности.



— Как жаль, что мы не встретились раньше! — пылко воскликнул он. — Я ужасно люблю раскрывать тайны.

— В таком случае мне повезло! — Черная Маска поклонилась. — Но должен вас предупредить, что мою тайну раскрыть не так-то просто. Готовы ли вы преодолеть все препятствия, которые встретятся вам на пути?

— Что за вопрос! Я-то готов на все. Но…

— Как? Вы еще ничего не начали, а у вас уже имеется «но»?

— Что вы, что вы! — всполошился Нулик. — Никакого «но» у меня нет… Но… у меня есть мама…

— Ни слова больше! Никогда не позволю себе стать причиной огорчения вашей мамы. Прощайте.

Незнакомец отвесил печальный поклон и повернулся, чтобы войти в подземелье. Сейчас он исчезнет там навсегда.

— Не уходите! — взмолился Нулик. — Не уходите, пожалуйста! У меня ведь есть еще и друзья! Это ребята, школьники. Я подружился с ними, когда они были в Карликании.

— Ах, вы возвращаете мне надежду! — обрадовался неизвестный. Но тут же озабоченно спросил: — А на них можно положиться?

— Как на меня самого, — заверил Нулик.

— Ну, так слушайте. Сейчас я передам вам волшебный талисман. С его помощью вы должны одолеть чары и вернуть мне мое лицо. Закройте глаза и протяните руку.

Нулику ужасно хотелось подсмотреть, что будет дальше, но он честно сжал веки. На ладони его очутилось что-то узкое, продолговатое, и глухой голос произнес:

— Вы вскроете этот талисман только тогда, когда придут ваши друзья. А теперь прощайте. И помните: отныне моя судьба в ваших руках.

Когда Нулик открыл глаза, Черной Маски уже не было. А на ладони у него лежал… стручок! Стручок зеленого горошка.

Нулик очень любил зеленый горошек. В другое время он бы съел его не задумываясь. Но от этого стручка зависела чья-то судьба… Малыш посмотрел на него, облизнулся и опрометью кинулся на телеграф.


Тайна зеленого стручка

Все вышло не совсем так, как хотелось Нулику. Он требовал, чтобы стручок был вскрыт в самой таинственной обстановке: ровно в полночь участники экспедиции сходятся где-нибудь в глухом месте. Все они в черных масках и бархатных плащах. У каждого маленький фонарик со свечой внутри…

Что и говорить, это был прекрасный план, но он начал разваливаться с самого начала как карточный домик.

Во-первых, вы уже знаете, что у Нулика не было никакого«но», зато у него была мама. И время встречи как-то само собой передвинулось с двенадцати ночи на восемь вечера. Не лучше получилось и с плащами. Вместо того чтобы явиться в бархатных, ребята пришли в непромокаемых. А уж о фонариках и говорить нечего: взамен трех оказался один-единственный, да и то электрический.

Нулик перенес это разочарование довольно стойко и был вознагражден по заслугам, когда наступил черед выбирать название отряда.

Предложений было много: «Тайна Черной Маски», «Рыцари зеленого стручка», «Охотники за потерянным лицом»… Но Нулику все они не нравились. Он предложил свое: «Раскрыватели великих тайн». К большой его радости, на том и остановились. Для удобства решили называться сокращенно — отряд РВТ.

Теперь можно было приступить к самому главному.

Нулик достал из кармана талисман и тяжело вздохнул. Ему очень не хотелось с ним расставаться. Но уговор дороже денег! И вот уже стручок у Олега. Тот нажимает большим пальцем на бледно-зеленый шов, стручок лопается…



— Смотрите, ребята, здесь какая-то бумажка!

— А где же горошины?

— Да-да, где горошины? — суетится Нулик.

— Постой, сейчас не до горошин. Сперва посмотрим, что в бумажке. — Сева торопливо разворачивает свернутый в трубочку листок.

Вот что там написано:

«Трэялрп вюоп ф нира дфявзоо, жфой Очсмл тфпъзб тэим пзрф уфлцэ йц, идшйн ршднишорм ож уп едж, ож уп шкьехж дхесыэфь, рхасеэфф пчбфбрб а рфбщяем, б Очесл гкъчшм нпж рхасеэфф усжп, шфп по ршднишорм; ртштн едж дхесыэфь а рфуфяом, б рцнгльйжя фрит гйшйс? Тшязжфл».

— Ничего не понимаю. Чепуха какая-то.

— Может быть, незнакомый язык? — предположила Таня.

— Но буквы-то русские!

— Ну и что ж! В Болгарии тоже пишут русскими буквами.

— Не только в Болгарии, но и в Югославии, и в Азербайджане, и на Украине…

Сева досадливо отмахнулся:

— Я все равно, кроме русского, никакого не знаю.

Олег взял у него записку и внимательно перечитал.

— Постойте-ка, — сказал он, — в любом языке слова состоят из гласных и согласных букв. А здесь попадаются из одних согласных. Например, «пчбфбрб». Такого и не выговоришь. А в этом слове хоть и есть гласная, но ее все равно что нет: «тшязжфл».

— Ой, — засмеялся Нулик, — у меня язык слипся!

— По-моему, говорить на таком языке невозможно! — сказала Таня.

— А на нем никто и не говорит. — Олег загадочно улыбнулся. — Такого языка вообще нет.

— Что же это? — Таня указала на записку.

— А это — шифрованное письмо.

— Ух ты! — выдохнул Сева. — Ну и голова у тебя!

— Погоди радоваться, — остановила его Таня. — Ведь письмо надо еще расшифровать.

— Легко сказать. А ключ к шифру? Где его возьмешь?

Ребята задумались.

Все началось так удачно — и на тебе!

Особенно огорчился Сева. В мечтах он уже видел себя прославленным сыщиком, раскрывшим тайну Черной Маски. И вот все рухнуло. Даже знаменитая ищейка Пончик не мог ему ничем помочь.

Кстати, где он?

— Пончик, Пончик, сюда!

Пончик подбежал, добродушно виляя хвостом. В зубах у него белела какая-то бумажка. Уж не новое ли сообщение от Черной Маски? Но нет, это всего-навсего телеграмма Нулика, которую Сева обронил по дороге. Теперь он в сердцах скомкал и отшвырнул ее в сторону.

Олег поднял и бережно расправил смятый листок.

— Слушайте, — сказал он немного погодя, — какое слово стоит обычно в конце телеграммы?

— Нулик! — обрадовался малыш.

— Это в твоей телеграмме, а в любой другой?

— Конечно, подпись, — сказала Таня.

— Так, может, и эта записка кончается подписью?

— Хоть бы и так. Мы-то все равно не знаем, чья она.

— Зато мы знаем, что в имени семь букв: «Тшязжфл».

— Кто же мог подписать записку?

— Я знаю! — догадался Нулик. — Маска!

— Не годится. В слове «маска» всего пять букв.

— Не маска, так стручок! — предположила Таня.

— Подходяще. В этом слове как раз семь букв.

Олег вынул карандаш и написал на обороте телеграфного бланка шифрованную подпись, а под ней слово «стручок»:


Т  Ш  Я  З  Ж  Ф  Л
С  Т  Р  У  Ч  О  К

— Вот здорово! Значит, теперь мы знаем целых семь букв из этого шифра: Т — это С, Ш — это Т, Я — Р…

Ребята принялись подставлять буквы в слова, обозначая неразгаданные точками. Вот что у них получилось:

«С..рк.. .... о .... .ор.у.., чо.. ....к со..у. с... .у.о .ок.. .., ..т.. .т...т... .ч .. ..ч, .ч .. т....ч ......о., ......оо ...о... . .о..р.., . ....к ....т. ..ч ......оо ..ч., то. .. .т...т...; .стс. ..ч ......о. . .о.ор.., . ....к..чр о..с ..т..? Стручок».

— Да, — протянул Сева, — маловато.

— Нелепость какая-то, — заметила Таня. — Что это за слово, которое кончается двумя «о»?

— Мороженоо! — закричал Нулик.

— Во-первых, в этом слове девять букв, а в зашифрованном — восемь; а потом, такого слова нет.

— Как это нет, если я его ел? — возмутился Нулик.

— Может, и ел, только не мороженоо, а мороженое.

— А вот и еще! Знаете вы слово, которое кончается на «чр»? — спросил Сева.

— Нет такого слова.

— Значит, подпись не та. Не стручок.

Олег задумался.

— Подпись-то может и та, да шифр другой.

— Что в лоб, что по лбу! — вздохнул Сева. — Тайны стручка нам все равно не разгадать.


Погоня

Смеркалось.

В Арабелле начали зажигаться огни.

Ребята сидели на обочине шоссе, ведущего к Римским развалинам, и уныло глядели на пустой стручок.

Неожиданно поднявшийся ветер подхватил его и погнал вдоль дороги.

— Держи! Держи! — закричали все и бросились вдогонку… Куда там!

Стручок несся с такой быстротой, что поймать его было невозможно. Он словно дразнил своих преследователей: остановится, подпустит поближе, а потом возьмет да и ускользнет из-под самого носа.

Тем временем совсем стемнело, а отважные раскрыватели великих тайн все еще бежали за неуловимым талисманом. Впопыхах никто из них не удивился, что теперь стручок светится изнутри зеленоватым светом.

Но вот он сделал крутой поворот и остановился у большого камня. Это была та самая пещера, где Нулик встретил Черную Маску. К ней-то и подбежали измученные путешественники.

На этот раз стручок и не думал удирать. Он плавно покачивался в воздухе над входом в подземелье, легко уклоняясь от ловивших его рук.

И тут Нулик не выдержал.

— Послушайте, — сердито закричал он стручку, — это не по-товарищески! Чего вы от нас хотите?

И, как бы в ответ на его слова, стручок сделал круг над головами изумленных зрителей и… скрылся в подземелье.

Следом за ним с яростным лаем кинулся Пончик.

— Пончик, назад! — изо всех сил закричал Сева.

Но не тут-то было! Лай знаменитой ищейки, отраженный сводами подземелья, звучал все глуше и глуше и, наконец, затих совсем.

— Что ты наделал? — набросился Сева на Нулика. — Нашел на кого кричать! Это же волшебный стручок!

— А ведь Нулик прав, — заступился Олег. — Он спросил у стручка, чего тот от нас хочет.

— А стручок обиделся и ушел.

— И вовсе он не обиделся, а указал, что нам делать.

Таня посмотрела на Олега круглыми, испуганными глазами.

— Как? Неужели мы должны спуститься в подземелье?

— Конечно, если хотим раскрыть тайну Черной Маски.

Сева хлопнул себя по лбу. Он всегда так делает, когда что-нибудь вспомнит или придумает.

— Какой же я болван! Ищейка идет по следу, а хозяин стоит и раздумывает!

— Ну как, пошли? — спросил Олег и посмотрел на Таню.

Она немного помедлила, а потом решительно тряхнула головой:

— Пошли!

И тут раздался громкий, отчаянный плач. Это плакал Нулик. Испуганные ребята бросились к нему: в чем дело? Он ушибся? Обиделся? Боится идти в подземелье?

— Нет, нет, нет! — твердил малыш, захлебываясь и размазывая слезы.

Таня достала носовой платок и вытерла ему нос и глаза. Она вовремя вспомнила о маме Восьмерке и сразу все поняла.



— Ничего не поделаешь, надо тебе отправляться домой.

— Не хочу, не хочу! — еще пуще заревел Нулик.

— Не плачь! — увещевала Таня. — Мы вернемся и все тебе расскажем.

— Да-а-а, — рыдал безутешный Нулик. — Я до тех пор от любопытства умру!

— Не умрешь, — сказал Олег, — мы тебе с дороги будем посылать письма.

— Подро-о-обные?

— Очень подробные.

— А как же тайна? Вы разве забыли, что письма у нас касаются всех?

— Не волнуйся, письма ты будешь получать прямо в руки, — пообещал Сева.

— Это как же? — Нулик заинтересованно приоткрыл один глаз.

— Тебе их будет приносить Пончик.

Слезы у Нулика сразу высохли.

— Пончик, Пончик, почтальончик! — в восторге запел он, но тут же спохватился: — Идите, идите скорее, а то вы его не догоните.

Ребята простились со своим маленьким товарищем и скрылись в пещере.

Теперь, когда Нулик остался один, ему снова стало грустно. Он постоял еще немного, вздохнул и побежал домой.


Переход (Олег — Нулику)

Дорогой Нулик! Как видишь, слово свое мы держим. Только писать решили по очереди. Начали было сообща, но чуть не перессорились. Ведь нам еще никогда не случалось писать письма вместе. Поэтому уговорились писать врозь. Но тут мы снова заспорили, кому писать первым. Бросили жребий. Вышло: начинать мне.

Что ж, начинать, так сначала.

Подземелье было узкое, длинное. Сперва мы освещали путь фонариком, но он вскоре погас: Сева забыл переменить батарейку. Ничего не поделаешь, с каждым может случиться…

По правде говоря, все мы порядком струсили. Пришлось пробираться на ощупь, в полной темноте.

Сколько это продолжалось — не знаю. По-моему, целую вечность. Представляешь себе, как мы обрадовались, когда далеко впереди блеснул яркий дневной свет!

А через минуту поднялся ужасный ураган. Теперь мы уже не шли, а бежали. Нас прямо-таки гнало вперед. Казалось, мы мчимся внутри огромной трубы. А у входа в нее стоит великан — такой, как в сказке «Мальчик с пальчик», помнишь? — и изо всех сил дует нам в спины.

Я слышал, что так испытывают самолеты. Самолет укрепляют в гигантской трубе. А сквозь трубу пропускают сильную струю воздуха. Если машина не разваливается, значит, и в полете с ней ничего не случится.

Мы, во всяком случае, испытание выдержали: нас благополучно выдуло наружу. Сам понимаешь, как все обрадовались, когда очутились наверху.

Сперва глаза наши ничего не различали и только щурились от утреннего солнца. Но потом…

Не хочется тебя разочаровывать, но потом они тоже ничего особенного не увидели. Мы даже подумали, что в темноте незаметно перепутали направление и вернулись обратно в Карликанию. Перед нами была дорога, очень похожая на ту, что ведет из Арабеллы к подземелью.

Но тут Сева (ты ведь знаешь, как он любит читать вывески!) задрал голову и прочитал:



Тогда и мы с Таней увидали эту странную надпись. Громадные разноцветные буквы выгнулись радугой прямо в воздухе, приглашая в какую-то непонятную Аль-Джебру. Что за Аль-Джебра? Город она? Или целая страна? И как мы пойдем туда без волшебного талисмана?

И досталось же ему, бедняге! Не очень-то вежливо мы о нем говорили. И зря: все это время стручок преспокойно лежал у меня в кармане. До чего ж я обрадовался, когда нащупал его там вместе с шифрованной запиской!

Теперь можно бы подумать о Черной Маске и начать поиски. Но где Пончик? Мы долго звали его, обшарили все кусты — напрасно. Как сквозь землю провалился! Сева и впрямь уверял, что Пончик остался в подземелье, и чуть не уговорил нас идти обратно.

Но только мы повернули, стручок в моем кармане беспокойно заерзал, а когда я попытался его успокоить, уколол мне ладонь острым хвостиком. Похоже, что предложение Севы ему не понравилось и он не прочь снова удрать. Как тут быть?

Посовещавшись, двинулись дальше. И правильно сделали. Потому что стручок сейчас же успокоился. Он будто знал, что не пройдет и пяти минут, как Пончик вынырнет из какого-то овражка и бросится нас облизывать.

Как видишь, Нулик, тебе беспокоиться нечего. Сейчас твой почтальон помчится выполнять свое первое поручение. А пока — до свидания. Все тебе кланяются.


Олег.


Обжоры (Сева — Нулику)

Привет, Нулик! Ты, конечно, ждешь, что я тебе сразу расскажу про Черную Маску. Но мы пока о ней ничего не узнали. Как говорится, никаких следов не обнаружено.

Вообще тайнами здесь и не пахнет. Оказывается, Карликания и Аль-Джебра — дружественные государства.

Удивляюсь, как ты этого не знал? Тут я срисовал для тебя один документ. Такие в Аль-Джебре висят чуть ли не на каждом столбе.

Вот, полюбуйся:


ВЕЛИКИЙ ДОГОВОР
О ВЕЧНОЙ ДРУЖБЕ И СОТРУДНИЧЕСТВЕ
МЕЖДУ ДВУМЯ МОГУЩЕСТВЕННЫМИ ГОСУДАРСТВАМИ
КАРЛИКАНИЕЙ И АЛЬ-ДЖЕБРОЙ.

А что там дальше, я списывать не стал. На это надо весь день потратить. Я бы и недели не пожалел, если бы все это имело хоть какое-нибудь отношение к Черной Маске. Но, скажи на милость, при чем тут Черная Маска?

На каждом шагу натыкаешься на карликан: разгуливают себе почем зря целыми пачками. Многие здесь и живут.

Только что мы побывали в одном карликанском поселке с ужасно смешным названием — Обжоры. Таня вспомнила, что у нас есть город Ижоры. Я не поверил. Тогда она прочитала стихотворение Пушкина «Подъезжая под Ижоры». То есть не все стихотворение, а только первые четыре строчки. Но и это, по-моему, лишнее: мы-то ведь попали не в Ижоры, а в Обжоры. Так что нечего хвастаться своей образованностью.

В Обжорах и впрямь живут страшные лакомки: все они без конца что-то жуют.

В поселке только одна улица, но каждая ее сторона имеет свое название: «Обжоры среднеарифметические» и «Обжоры среднегеометрические».

Сначала я не обратил на это внимания. Но оказалось, что между жителями двух сторон большая разница, хоть и те и другие одинаково зазывали нас в гости.

Ну, мы порядком проголодались и отказываться не стали.

Пошли сначала к обжорам среднеарифметическим. И здорово прогадали. Ничем, кроме разговоров, нас не угостили. Под конец им, правда, неудобно стало, и они рассказали, в чем дело.

Все жители у них, ясное дело, работают. Кто лучше, кто хуже, кто больше наработает, кто меньше. Но они на это не смотрят: складывают все вместе, а потом делят на всех поровну. У одного, например, на грядке выросло четыре килограмма огурцов, а у другого — девять. Сумма этих чисел равна тринадцати. Тринадцать делят на два. Вот каждый и получает по шести с половиной килограммов огурцов. Конечно, обжор-то не два, а гораздо больше. Но сколько бы их ни было, они складывают все, что наработали, сумму делят на число работников, и каждый съедает свою долю до крошки. Где уж тут гостей кормить! Могли бы, правда, оставить кое-что про запас, так нет! На то они и обжоры.

После такого приема не очень-то хотелось идти к обжорам среднегеометрическим. Но мы все-таки пошли, и на этот раз нас накормили на славу!

Мы никак не могли понять, в чем дело.

— Может быть, — спрашиваем, — у вас делят не поровну?

— Нет, — говорят, — тоже поровну.

— Так, может быть, — спрашиваем, — вы не обжоры?

— Нет, — говорят, — обжоры.

— Откуда же у вас такие запасы?

Тут они нам и объяснили. Дело в том, что собранные продукты они не складывают, а перемножают. То есть не продукты, конечно, а количество их.

Один, скажем, снял с грядки четыре килограмма огурцов, а другой опять-таки девять:


4 × 9 = 36.

Ты, наверное, думаешь, что тридцать шесть надо разделить на два? А вот и нет. Обжоры среднегеометрические и тут поступают по-своему. Они не делят, а извлекают из полученного произведения корень. Да, да, не удивляйся: у чисел есть корни и их можно извлекать. Об этом нам еще в прошлый раз рассказала Тройка с чемоданчиком на Проспекте действующих знаков. Эти самые знаки высыпались у нее из чемоданчика прямо на тротуар.



Помножь три на три. Получится девять. Знаешь, что ты сделал? Ты возвел три во вторую степень. Если же ты хочешь возвести три в третью степень, помножь его само на себя три раза. Получится двадцать семь. Пятая степень трех будет уже двести сорок три…

Так можно возвести число и в сотую, и в двухсотую, и в какую хочешь степень.

А теперь ответь на такой вопрос: какое число нужно возвести во вторую степень, чтобы получить девять? Разумеется, три. Вот это три и есть корень второй степени из девяти.

Стало быть, извлечение корня — действие обратное возведению в степень. Совсем как вычитание — действие обратное сложению, а деление — умножению.

Так вот, из числа тридцать шесть среднегеометрические обжоры извлекают корень квадратный, иначе говоря, корень второй степени. Получается шесть.

Выходит, каждому обжоре досталось по шести килограммов огурцов. Это немного меньше, чем получил бы обжора среднеарифметический. Но зато при такой дележке один килограмм остается в запасе.

Тут мне пришло в голову, что обжор среднегеометрических тоже ведь не двое, а гораздо больше. Ну и что ж, ответили мне, каждый соберет свое количество килограммов, мы все эти числа перемножим…

— И извлечете корень второй степени? — перебил я.

— Что вы, что вы, — возмутились обжоры, — мы извлечем корень той степени, сколько у нас жителей!

Таня поинтересовалась, как обжоры обозначают такое действие.

Как? Да очень просто; закорючкой, которая похожа на сачок для ловли бабочек и называется радикалом. Только над сачком порхает не бабочка, а число, обозначающее степень корня. И называется оно показателем корня.

√36 = 6.
Если в поселке четверо обжор, извлекается корень четвертой степени: 4√.

Ну, а если сто четыре? Тогда и корень будет сто четвертой степени: 104√.

Ты небось хочешь знать, почему это над радикалом не ставится двойка, когда извлекается корень квадратный? Почему, почему… Просто так уж условились.

Из всего, что мы увидели в Обжорах, мы с Таней поняли, что среднее арифметическое всегда больше среднего геометрического. Но Олег сообразил, что вовсе не всегда. Если бы жители Обжор собирали все до одного одинаковый урожай, среднее геометрическое и среднее арифметическое тоже были бы совершенно одинаковы. Не веришь? Я тоже сначала не поверил. Но Олег доказал.

Допустим, двое собрали по восьми килограммов огурцов. Среднее арифметическое найдется так:

(8 + 8) / 2 = 8.
А среднее геометрическое так: √(8 × 8) = 8. Вещий Олег!

Среднегеометрические обжоры долго нас не отпускали. Да и нам не хотелось расставаться с такими гостеприимными хозяевами. Но стручок в кармане у Олега так разбушевался, что нам пришлось попрощаться.

Все высыпали нас провожать. Каждый тащил на дорогу что ни попало: кто помидоров, кто яблок… Но вкуснее всего были пирожки. Жаль, ты не попробовал! Всем нам досталось по-разному. Олегу — четыре, Тане — два, а мне — один. Я, понятно, плакать не стал. Но ребята сами решили разделить пирожки по-честному.

Сначала попробовали делить, как обжоры среднеарифметические. Сложили число пирожков: 4 + 2 + 1 = 7.

А семь разделили на три. Получилось по два и одной трети пирожка на брата. Не очень-то удобно. Во-первых, у нас нет ножа. Да если б и был, все равно разделить пирожок на три равные доли очень трудно. И потом, как же Пончик? Он хоть и маленький, но ведь и ему есть надо!

Тогда решили вычислить среднее геометрическое.

Сначала число пирожков перемножили: 4 × 2 × 1 = 8.

А потом из восьми извлекли корень третьей степени: 3√8 = 2.

Вот и вышло по два пирожка на душу населения. А один остался для Пончика.

В общем, неплохо провели время. Но мне все равно досадно. Ведь не из-за пирожков мы сюда пришли, а из-за Черной Маски! А о ней пока ни гугу. В следующий раз меня в это бешеное подземелье никакими пирожками не заманишь.

Будь здоров.


Сева.


Воздушная монорельсовая дорога (Таня — Нулику)

Вот, Нулик, наконец наступила и моя очередь писать. Дожидаться пришлось долго, зато есть о чем порассказать. Понимаешь, мы в первый раз побывали на воздушной монорельсовой дороге.

Чтобы тебе зря не ломать голову, скажу сразу: монорельсовая — значит, с одним рельсом. «Монос» — слово греческое и означает «один».

Вообще-то надземные дороги теперь строят всюду. Но эта совсем, совсем особенная. Не знаю только, сумею ли я описать все как следует. На всякий случай наберись терпения и читай внимательно.

Представь себе, что твоя мама выстирала белье и хочет его развесить. И вот она берет веревку и натягивает туго-натуго прямо в воздухе. Веревка такая длинная, что концов ее не видно. А вместо белья на ней висят маленькие разноцветные вагончики. Белье прикрепляют к веревке зажимом, а у вагончиков имеется для этого специальное колесико на крыше.

Конечно, мама не смогла бы натянуть такую длинную веревку. Тем более, что это вовсе не веревка, а стальной рельс и концы его уходят неведомо куда.

Вдоль рельса, немного пониже, тянется такая же бесконечная платформа, и на ней, совсем как на линейке, на равном расстоянии друг от друга расположены числа по порядку: один, два, три, четыре, пять и так далее. К каждому числу с земли ведет узкий эскалатор. Разница в том, что числа на линейке откладываются только вправо от нуля, а здесь и влево. А между двумя единицами светится большой нуль, точь-в-точь как буква «М» над станциями метро. Это Нулевая станция.



Когда мы подошли к ней, было еще довольно рано. Мы поднялись на пустынную платформу и стали прогуливаться вдоль невысокой ограды, которая состоит из тоненьких палочек. От нечего делать начали их считать. На том месте, где находится число, палочка чуть повыше, вслед за ней — девять палочек пониже. Против следующего числа — снова палочка повыше. И так без конца.

Мы отошли уже довольно далеко вправо от Нулевой станции, как вдруг позади послышался детский плач. Обернулись: возле эскалатора, обозначенного числом 2, сидели две маленькие Двоечки. На них были прехорошенькие ситцевые платьица в горошек (обязательно сошью себе такое!), и обе они горько плакали. Мы подошли и спросили, что у них стряслось.

— Мама задала нам задачу, — сказала одна из них, — а она не решается!

— Не решается! — повторила другая.

И обе снова заплакали.

Прелестные малышки! Мне так жалко их стало! Я спросила, какая такая задача. Оказалось, она и впрямь чудная: вычесть из двух три. Мы подумали, что малыши перепутали и вычесть надо из трех два.

— Нет, нет, — закричала первая Двоечка, — из трех два — это мы умеем.

— Это мы умеем, — сейчас же отозвалась другая.

Мы очень рассердились на маму, которая мучает детей такими ужасными задачами. Но мама никого и не думала мучить. Она просто отлучилась куда-то ненадолго и вскоре появилась на платформе.



Это была симпатичная Двойка. Она приветливо поздоровалась, и Сева (ох уж этот Сева!) с места в карьер попросил ее рассказать, как устроена воздушная монорельсовая дорога. Я незаметно дернула его за куртку — неудобно все-таки! Но Двойка охотно согласилась стать нашим экскурсоводом.

— Ведь устройство этой дороги, — пояснила она, — имеет прямое отношение к тем правилам, которые я собираюсь растолковать моим близняшкам.

Вместе с ней мы снова подошли к Нулевой станции и увидели большой щит с множеством кнопок и клавиш. Как это мы его раньше же заметили? Кроме кнопок, там были еще микрофоны.

Хочешь знать, для чего все это нужно? Сейчас объясню.

Я ведь уже говорила, что эта дорога особенная. Здесь нет ни расписаний, ни запасных путей, ни депо. Никаких кондукторов, диспетчеров, кассиров, проводников… даже поездов. Каждый пассажир может в любое время вызвать вагончик и ехать куда вздумается. Станции здесь не имеют названий. Они обозначаются числами. Захочешь поехать на станцию номер 2782 — нажимаешь кнопку «вызов» и говоришь в микрофон нужное число.

И тут же, как Сивка-Бурка вещий Каурка, на Нулевой станции появляется совершенно бесцветный прозрачный вагончик, такой прозрачный, что сразу его и не заметишь. Садишься в него и через несколько секунд попадаешь туда, куда нужно.

— Очень хорошо! — обрадовался Сева. — Вот я вызову вагончик и поеду на станцию… ну, скажем, 75!

Он нажал кнопку и назвал число. На Нулевой станции сейчас же появился вагончик. Сева хотел в него войти, но мама Двойка живо оттащила его назад.

— Что вы делаете? — закричала она в ужасе. — Разве вам туда можно?

— А что? Это же совсем недалеко! Станция 75.

— Да, 75, но не вправо, а влево от нуля! Вы случайно задели рычаг, переключающий направление.

Она указала на большой минус, загоревшийся в воздухе слева от светящегося нуля.

— Знаете вы, что это такое?

— Минус!

— Не просто минус, а светофор, открывающий путь к отрицательным числам. И вам туда ни в коем случае нельзя.

— Но почему? — огорчились мы.

— Да потому, что отрицательные числа — воображаемые числа. И свободный проезд влево от нуля разрешен только нам, карликанам.

— Значит, мы туда никогда не попадем?

— Отчего же, — улыбнулась Двойка, — только для этого вам понадобится другой транспорт: воображение.

Все сразу приуныли, но мама Двойка заметила, что воображаемое путешествие иной раз ничуть не хуже настоящего. Нашего Севу это, конечно, не устраивало.

— На что нужны воображаемые числа — числа, которых не существует?

— Что вы такое говорите? — возмутилась мама Двойка. — Да еще при маленьких! Дети, не слушайте!

Двоечки послушно отвернулись.



— Отрицательные числа очень нужны, — продолжала мама Двойка, — и я это сейчас докажу. Дети, можете повернуться.

Двоечки не заставили себя упрашивать.

— Вам было задано: вычесть из двух три. Решили вы мою задачу?

— Мы решали, но она не решается! — сказала первая.

— Не решается! — подтвердила вторая.

— Тогда я покажу вам, как это делается. Сейчас, — добавила мама Двойка, обращаясь к нам, — вы увидите, что на нашей дороге не только ездят, но и учатся производить разные действия с числами.

Она прикоснулась к кнопке и негромко сказала в микрофон:

— Два!

Справа от Нулевой станции зажегся знак плюс и против числа два на монорельсе появился вагончик, на этот раз не прозрачный и не бесцветный, а ярко-красный.

— Начнем вычитать из двух три. Сперва вычтем один.

Двойка нажала кнопку, и вагончик передвинулся влево на станцию 1.

— Теперь вычтем еще один.

Раз — и вагончик исчез.

— Вот ничего и не осталось! — позлорадствовал Сева.

— Как это — не осталось! — возразила Двойка. — Посмотрите получше.

И мы увидели, что на Нулевой станции вагончик есть. Только из красного он превратился в бесцветный и прозрачный. Оттого мы его и не заметили.

Но Севу не так-то легко смутить.

— Ну и что ж, — сказал он, — пусть вагончик на нуле есть, но ведь нуль — это ничто, пустое место!

— Тут-то вы и неправы! — улыбнулась Двойка. — Нуль тоже число.

— Хоть бы и так, — горячился Сева, — но он все-таки меньше единицы. Как же из него эту самую единицу вычесть?

— Сейчас увидите.

Двойка нажала еще какие-то кнопки. Слева от светящегося нуля вспыхнул знак минус. И не успели мы глазом моргнуть, как вагончик очутился слева от Нулевой станции точно против числа минус единица. Только теперь из бесцветного и прозрачного он уже стал синим.

— Вот вам решение. Два минус три равно минус единице:


2 — 3 = -1.


Понятно вам теперь, для чего нужны отрицательные числа?

Сказать по правде, мы еще ничего не понимали. Просто нам всем понравилось смотреть, как ловко вагончики меняют цвета. Особенно Севе.

— Можно и мне повычитать? — спросил он и, не дожидаясь разрешения, приступил к делу.

Сначала вычел из трех пять — получил минус два: 3 — 5 = -2.

Потом из семи одиннадцать. Получилось минус четыре: 7 — 11 = -4.

Мы с Олегом тоже несколько раз попробовали. И каждый раз слева от нуля загорался знак минус, а красный вагончик, миновав Нулевую станцию, превращался в синий и останавливался против какого-нибудь отрицательного числа.

— Интересно! — сказал Олег. — Из пяти вычесть три — получится два, а из трех пять — тоже два, только со знаком минус. Значит, вычесть из меньшего числа большее — это все равно что вычесть из большего меньшее. Надо только перед разностью поставить знак минус. Очевидно, — добавил он, — знаки плюс и минус не имеют в этом случае ничего общего со знаками сложения и вычитания.

— Не забегайте вперед, — посоветовала Двойка. — А чтобы не было путаницы, советую вам на первых порах ставить знаки положительных и отрицательных чисел не слева от числа, а над ним. Вот так:


+2 — +3 = 1.

Мама Двойка хотела продолжать свое объяснение, но в это время Сева чихнул. Раз, другой, третий… Вечно на него что-нибудь нападает некстати — то смех, то насморк. Он полез за носовым платком — из кармана у него выпал зеленый стручок. Все мы сразу помрачнели, потому что вспомнили про Черную Маску. Если так пойдет дальше, ходить ей век заколдованной.

Тут, откуда ни возьмись, со страшным лаем вылетел Пончик. Он за кем-то гнался. Этот «кто-то» бежал так быстро, что рассмотреть его мы не успели. Пробегая мимо щита, незнакомец нажал кнопку, крикнул что-то в микрофон и вскочил в вагончик. В окне мелькнуло лицо, наполовину скрытое черной маской, и вагончика как не бывало.

— Держите! — закричал Сева. — Это он! Это она!

Мы бросились к щиту, чтобы вызвать другой вагончик и догнать беглеца, но в это время стручок взмыл в воздух и стал с такой быстротой кружиться перед нами, что нажать кнопку не было никакой возможности. Мы отмахивались от него, как от назойливой мухи, а он все кружился, кружился…

— Он не желает, чтобы мы уезжали, — вздохнул Олег.

Хочешь не хочешь, пришлось подчиниться. Стручок тотчас угомонился, и Сева снова спрятал его в карман.

Мама Двойка отнеслась к этому происшествию совершенно спокойно. Она и не думала спрашивать о причине переполоха, только сказала, ни к кому не обращаясь:

— Всякому овощу свое время!

И ушла, пообещав скоро вернуться и объяснить правила движения на монорельсовой дороге. Так мы и не поняли, о чем это она: то ли о стручке, то ли о Черной Маске!

Что было дальше, узнаешь из следующего письма. А пока веди себя прилично: не забывай, что ты теперь не просто Нулик, а действительный член отряда РВТ!


Таня.


Школа на числовой площади (Нулик — отряду РВТ)

Здравствуйте, ребята! Пишет вам Нулик. Ваши письма получил. Большое спасибо. Про Черную Маску я маме ничего не говорил. Но, по-моему, она кое о чем догадывается. Недавно, например, сказала, что за последнее время мой культурный уровень очень повысился и что меня просто нельзя узнать. Но я думаю, что еще не очень изменился, потому что Пончик узнает меня сразу.

Что у меня вправду переменилось, так это имя. Я уже больше не Нулик-Озорник. Теперь меня зовут Нулик-Профессор. Я открыл на Числовой площади школу для Нуликов. Они почти совсем не шалят, а учатся. Все мои ученики внимательно слушают ваши письма, и я объясняю непонятные места. Каждое письмо мы прочитали по нескольку раз. Пишите поскорей дальше, а то мне уже нечего объяснять и придется ни с того ни с сего объявить каникулы.

Недавно у нас были практические занятия. Нулик-Сластена принес четырнадцать пирожных. А у нас в школе пятнадцать Нуликов. Одному не хватило. И я сказал, что ему досталось отрицательное пирожное. Он заплакал и сказал: почему это всем положительные, а ему отрицательное? И нам стало его жалко. Тогда я вспомнил про ваших обжор. Решили разделить пирожные по среднеарифметическому способу. Это было очень трудно, но мы все-таки разделили. Каждому досталось поровну, а вот поскольку — я уже забыл. Хотел спросить у моих учеников, да побоялся потерять свой афторетет.



Ax да! Я очень расстроен. Как это вы упустили Черную Маску? Не подумайте, что я хвастаюсь, но со мной бы этого не случилось. Пока до свидания.


Действительный член отряда РВТ.

Нулик-Профессор.


(Совсем забыл спросить: зачем нужны отрицательные числа?)


Правила движения (Олег — Нулику)

Уважаемый Профессор! Тебе пришла в голову отличная мысль — занять своих товарищей полезным делом. Советую только: перед тем как что-нибудь объяснять другим, надо самому сперва хорошенько в этом разобраться. Вот лучший способ не потерять авторитета. Что же касается афторетета, то потерять его нельзя, потому что такого слова нет.

Если ты послушаешься меня, никому из твоих учеников не придется есть отрицательные пирожные. Отрицательными бывают только числа. И числа эти очень нужны. Без них многие задачи в Аль-Джебре так бы и остались нерешенными. Ты это мог понять хотя бы из той задачи, которую мама Двойка задала своим маленьким дочкам. Задача была простая. Но в Аль-Джебре есть и посложнее. Их здесь называют уравнениями. Мама Двойка сказала, что нам их пока решать рано. Сперва надо как следует познакомиться с правилами движения на монорельсовой дороге.

Как раз о них она сегодня и рассказывала.

Ты ведь помнишь, что справа от Нулевой станции живут только положительные числа, а слева — отрицательные. Так вот, отрицательные числа, так же как и положительные, можно складывать, вычитать, умножать и делить. Вагончики движутся там по тем же правилам, что и у положительных чисел только всегда в противоположном направлении. Уж очень они упрямы, отрицательные числа. Все у них наоборот!



Тут я нарисовал тебе, как мы складывали и вычитали положительные числа:


+5 + +3 = +8
+5 — +3 = +2

Против числа пять появлялся красный вагончик. При сложении он двигался вправо от пяти на станцию 8, а при вычитании — влево от пяти на станцию 2.

С отрицательными числами происходило то же самое, только в обратном направлении:


5 + 3 = 8
5 — 3 = 2

При этом против отрицательного числа пять появлялся синий вагончик, при сложении он переезжал влево — на станцию минус 8, а при вычитании вправо — на станцию минус 2.

— Понятно, — сказал Сева. — Но что будет, если одно слагаемое положительное, а другое — отрицательное?

— Какое же это имеет значение? — пожала плечами Двойка. — Правило движения во всех случаях одно и то же. Прибавляем положительное число — вагончик движется вправо, прибавляем отрицательное — влево. Вот смотрите:

— Гм! — Сева недоумевающе поднял брови. — Чудно как-то… Пять плюс три равно двум! Что-то я не очень понимаю такое сложение. Может, лучше повычитаем?

— Можно и повычитать, — согласилась мама Двойка. — Отнимем из минус пяти плюс три:


5 — +3.

Она нажала кнопку. Слева от нуля на станции минус 5 появился синий вагончик, который сейчас же покатился влево и остановился у станции минус 8.

— Час от часу не легче! — еще больше удивился Сева. — Вычитаем из пяти три и получаем восемь! Разве при вычитании числа увеличиваются?

— Не забывайте, что мы вычитали не из пяти, а из минус пяти, — ответила мама Двойка, — и получили не восемь, а минус восемь! А ведь минус восемь вовсе не больше, а меньше, чем минус пять!

— Вот те раз! Ничего не понимаю!

— Сейчас поймете. Чем ближе положительное число к Нулевой станции, тем оно меньше. Но при этом оно все-таки больше нуля. Так ведь? А числа, расположенные слева от Нулевой станции (то есть отрицательные числа), меньше нуля. И становятся все меньше и меньше, чем дальше они от Нулевой станции. Ведь у них все наоборот!

— Что же это, минус миллион меньше, чем минус тысяча?

— Конечно.

— Выходит, минус миллион на столько же меньше нуля, на сколько плюс миллион больше его, — сообразила Таня.

— Молодец! — похвалила мама Двойка. — Но так как оба миллиона находятся на одинаковом расстоянии от нуля, принято говорить, что они равны по абсолютным значениям. И записывается это так:


|+1 000 000| = |1 000 000|.

— А это что за черточки? — поинтересовался Сева.

Двойка насмешливо улыбнулась.

— Что-то вроде загонов, куда посадили числа, чтобы они не подрались.

— А чего они не поделили?

— Видите ли, положительные и отрицательные числа хорошо знают, какая между ними разница. Они терпеть не могут, когда их приравнивают по абсолютным значениям. Стоит их выпустить из загонов и сложить, как они тут же накинутся друг на друга и взаимоуничтожатся.

Она нажала какие-то кнопки, и на монорельсе появились сразу два вагончика: на станции плюс 3 — красный, на станции минус 3 — синий. Вагончики двинулись навстречу друг другу. Вот они достигли Нулевой станции и превратились в один бесцветный прозрачный вагончик.

— Чудо! — закричал Сева.

— Ну, если и чудо, то самое обыкновенное! — засмеялась наша провожатая. — Просто к числу плюс три прибавлялась отрицательная тройка, вот красный вагончик и поехал влево. А к числу минус три прибавлялась положительная тройка. И синий вагончик поехал вправо. А так как абсолютные значения этих чисел одинаковы, они взаимоуничтожились на Нулевой станции:


+3 + 3 = 0.


Ну, дорогой Профессор, не знаю, как у тебя, а у нас от всех этих премудростей головы вспухли. Хорошо еще чуткая мама Двойка заметила, как мы устали, и предложила нам немного погулять. Мы очень обрадовались, потому что она обещала повести нас в здешний парк.

На этом кончаю.

Следующее письмо тебе напишет Сева.


Олег.


Центральный Парк Науки и Отдыха (Сева — Нулику)

Здорово, Профессор! Ты, наверное, уже привык, что о Черной Маске ни слуху ни духу. Зато других новостей сколько угодно.

До сих пор не могу понять, что за государство такое Аль-Джебра! Уж очень оно разнообразное. То попадаешь в большой современный город, то в какой-то древний восточный городишко с узкими улочками, где не то что два троллейбуса — два осла не разойдутся! И называется этот городишко Хива.

Когда-то он был здесь столицей, потому что больше тысячи лет назад в нем жил основатель Аль-Джебры, Мухаммед ибн Муса аль-Хварезми. Не пугайся: имя хоть и длинное, но разобраться можно. Ибн Муса значит сын Мусы, по-нашему — отчество. Аль-Хварезми — читай из Хорезма. Хорезм — древнее государство, где находилась эта самая Хива. А в общем — Мухаммед Мусович Хорезмиец.

Ну, с Мухаммедом мы все выяснили. А вот что такое Аль-Джебра? Нам сказали, что это слово арабское и в переводе на русский язык означает «восстановление». Пусть так, но что здесь восстанавливают? На этот вопрос мама Двойка ответила своей любимой поговоркой: «Всякому овощу свое время». И пояснила, что из слова «Аль-Джебра» вышло название той самой науки, которую проходят у нас в каждой школе: алгебра. Вот те на! Отдохнули! Нигде от науки спасения нет. Даже парк, куда привела нас мама Двойка, называется Центральным Парком Науки и Отдыха. Я сразу скис. Но оказалось, что не так уж он плох, этот парк. Здесь столько аттракционов, что со всеми за один раз не познакомишься.

В парке полно народу. Кроме карликан, там разгуливают и буквы. Что-то часто они стали нам встречаться. Некоторых мы уже видели, но попадаются и совсем неизвестные. Мама Двойка со многими здоровалась и называла по имени: «Здравствуйте, дорогой Пи! Как вы себя чувствуете, уважаемая Омега? Ах, как я давно тебя не видела, крошка Эпсилон!»

Мы хотели разузнать об этих буквах получше, но мама Двойка, как на грех, разговорилась с какой-то толстушкой Сигмой. Тут мы увидели павильон с вывеской «Автоматическая справочная». Вот где нам ответят на все вопросы!

Поднялись по широким ступенькам и очутились в большом светлом помещении. Там всюду стоят пластикатные щиты. На каждом щите микрофон и динамик. Подходишь к микрофону, задаешь вопрос и тут же получаешь ответ. В Аль-Джебре, как и у вас в Карликании, секретов нет. Каждый может слышать, что автомат отвечает соседу.

Рядом с нами стояла какая-то непонятная буковка с маленьким красным зонтиком: i. Мы слышали, как она грустно спросила:

— Скажите, пожалуйста, найду ли я место в жизни?

Автомат призадумался, а потом ответил:

— И Мнимая Единица может на что-нибудь пригодиться.

Мнимая Единица облегченно вздохнула и выпорхнула из павильона. Ты что-нибудь понимаешь, Профессор? Мало нам отрицательных единиц, так тут еще появились мнимые!

Мы решили больше ничего не слушать и сразу приступили к делу. Олег подошел к микрофону и спросил:

— Скажите, пожалуйста, как нам разгадать тайну Черной Маски?

— Нет ничего проще! — ответил автомат. — Для этого нужно решить одно уравнение.

— Какое?

— То, которое вы сами составите.

— Но как это сделать?

— Прочитайте записку, которая была в зеленом стручке.

— А как ее расшифровать?

— Закусите в кафе «Абракадабра».

— Как туда попасть?

— Для этого надо познакомиться с обычаями нашей страны.

— Мы уже познакомились, — не выдержал я.

— Молодой человек, — вспылил автомат, — вы даже не успели до конца разобраться в правилах движения на монорельсовой дороге!

— Как это — не успели? — обиделся я. — Мы уже знаем сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел.

— И это все?! А умножение? А деление? А дробные числа? А мнимые? А…



И тут он пошел говорить такие слова, каких я и не слыхивал. Мы стали переспрашивать. Тогда автомат еще пуще раскипятился:

— Вот видите! Вы не понимаете самых обыкновенных вещей. Нет, нам положительно не о чем разговаривать!

И замолчал. Напрасно мы задавали ему всякие вопросы, он и ухом не повел. Но Таня все-таки его разжалобила — девчонки это умеют.

— Милый автомат, — сказала она, — не сердитесь, пожалуйста! Мы ведь еще такие неопытные. Лучше помогите нам!

Автомат нерешительно хмыкнул.

— Так ибыть, — проворчал он. — Возьмите с подноса жетон и опустите в щель под динамиком.

Наконец-то! Сейчас мы узнаем тайну зеленого стручка!

Я так разволновался, что никак не мог опустить жетон. И все зря. Из широкого отверстия в щите выпали две картонки. На них были фотографии тех самых букв, которых мы видели в парке. На каждой фотографии по две буквы. Одна большая, другая маленькая. А внизу — имя. Ну, прямо как на ежегодном снимке учеников нашего класса.



Я чуть не заплакал с досады. Но автомат (и как он только все замечает?) заворчал, что на первый раз хватит и этого и что, пока мы не будем знать каждую букву в лицо и по имени, лучше нам к нему не обращаться.

— Почтенный автомат, — сказал Олег, — мы готовы выучить все, что угодно, но объясните, пожалуйста, что это за буквы?

— Так бы и спрашивали, — подобрел тот, — от этого я никогда не отказываюсь. На первой картонке вы видите основных жителей Аль-Джебры — двадцать шесть букв латинского алфавита. Этот алфавит употребляется во многих странах. Ведь он был принят еще в Древнем Риме, и многие народы пользуются им до наших дней. Поэтому тем из вас, кто изучает какой-нибудь иностранный язык — английский, немецкий, французский, — эти буквы уже знакомы. Зато вряд ли вы знаете буквы, изображенные на другой картонке.

Это двадцать четыре представителя греческого алфавита. В Аль-Джебре они встречаются не так уж часто, но знакомство с ними вам еще пригодится.



Ну, мы рассмотрели и те и эти фотографии. Латинские буквы ничего себе, а греческие мне не особенно понравились. По-моему, они ужасные кривляки. Взять хотя бы Кси: прямо змея!

А потом за нами пришла мама Двойка. Мы простились с автоматом и вернулись на монорельсовую дорогу, чтобы раз и навсегда разделаться с этими трудными правилами воздушного движения.

Напоследок я успел опустить в щель еще один жетон и снова получил две картонки с фотографиями. Посылаю их тебе: пригодятся для следующих уроков.

А пока — кси-пси! Привет.


Сева.


Нулики подрались (Нулик — отряду РВТ)

Здравствуйте, ребята! Не знаю, может, вы и правы, что отрицательных пирожных не бывает, зато отрицательные Нулики встречаются. Сегодня утром один такой отрицательный Нулик напал на другого, который до сих пор считался очень положительным. Ну и драка была! Еще немного — и они бы взаимоуничтожились. Я уж думал, не рассадить ли их по разным загонам — ну, как эти самые… абсолютные значения. Но тут их растащили другие Нулики. Из этого я сделал вывод, что положительный Нулик только прикидывался положительным. На деле он самый что ни на есть отрицательный! И я им обоим поставил по поведению жирный минус.

В нашей школе занятия продолжаются.

Греческие буквы трудные. Мы их пока отложили. Зато латинский алфавит всем понравился. Только как туда попали русские буквы? И почему некоторые из них называются по-другому: Р — Пэ, В — Бэ? А вот «О» молодчина! И там и тут пишется одинаково. Это потому, что оно похоже на меня.

Если снова побываете у автомата, непременно спросите: куда ведет воздушная монорельсовая дорога? Не к тем ли Великанам, которых вызывают, когда мы безобразничаем? И где эти Великаны живут? Справа или слева от Нулевой станции?


Нулик-Профессор.


В тесноте, да не в обиде (Таня — Нулику)

Бедный, бедный Нулик! Ну и каша у тебя в голове! Сначала изобрел какие-то отрицательные пирожные, потом — положительных и отрицательных Нуликов!

Запомни раз и навсегда: нуль — единственное число, которое не бывает ни положительным, ни отрицательным. Это что-то вроде пограничника, который стоит на рубеже между положительными и отрицательными числами.

Конечно, в твоей школе тоже есть положительные и отрицательные Нулики. Но это ведь совсем другое дело. Просто одни из них хорошие, а другие — плохие.

Второй твой вопрос — о Великанах — очень интересный. Но ответил на него не автомат, а мама Двойка. Она говорит, что ты любознательный ребенок.

Оба конца монорельсовой дороги и вправду ведут в Бесконечность. А в Бесконечности, понятно, живут числа — Великаны. Бесконечность тоже бывает положительная и отрицательная. Только там свои, особые законы. Положительные и отрицательные Великаны прекрасно уживаются. Но как это им удается, мы не узнали. Это как раз один из тех вопросов, на которые мама Двойка отвечает: «Всякому овощу свое время».

А теперь танцуй! Мы научились умножать и делить отрицательные числа.

Ты ведь знаешь, что умножение можно рассматривать как сложение. Умножить два на три — все равно что сложить три двойки:


+2 × +3 = +2 + +2 + +2 = +6

То же самое происходит, когда отрицательное число умножают на положительное. Разве умножить минус два на плюс три — это не то же самое, что сложить три отрицательные двойки? А так как при сложении отрицательных чисел вагончики двигаются влево от Нулевой станции, то и произведение будет отрицательное — минус шесть:


2 × +3 = 2 + 2 + 2 = 6


— Ну, а если умножить минус три на плюс два? — спросил Сева. — Тогда что?

— Какая же разница? — сказала мама Двойка. — Как было минус шесть, так и останется минус шесть. Вот смотрите:


3 × +2 = 3 + 3 = 6


— Ясно! — кивнул Сева. — Пусть себе множители меняются знаками сколько хотят, произведение все равно остается то же. Оно всегда будет отрицательным, если мы перемножаем два числа с разными знаками. — Сева важно посмотрел на всех. Он был страшно собой доволен. — Все поняли? Тогда поехали дальше. Выясним теперь, что получится, если оба множителя отрицательные?

— Ну что ж, выясняйте, — сказала мама Двойка, — мы с удовольствием вас послушаем.

— Вы меня не поняли, — смутился Сева. — Это я вас собирался послушать.

— Ах вот оно что! Тогда другое дело.

Всем нам стало неловко за Севу. Мы подумали, что мама Двойка обиделась, но она посмотрела на нас смеющимися глазами и продолжала:

— Вы хотели знать, что происходит при перемножении двух отрицательных чисел? Нетрудно догадаться. Чтобы умножить любое число на положительное, надо отложить его на монорельсе в ту же сторону от Нулевой станции, с какой оно находится. Это мы только что видели.

Когда же мы умножаем любое число на отрицательное, все происходит наоборот. Вы ведь знаете, какие упрямцы эти отрицательные числа! Поэтому умножаемое откладывается не с той стороны, где оно находится, а по другую сторону от нуля:


+2 × 4 = 8

Теперь нетрудно понять, что получится при умножении отрицательного числа на отрицательное; в этом случае умножаемое надо откладывать вправо от нуля:


2 × 4 = +8

— Вот те раз! — Брови у Севы стали прямо как два вопросительных знака. — Отрицательное число, умноженное на отрицательное, становится положительным?! Чудеса!

— Такие чудеса случаются у нас в Аль-Джебре на каждом шагу, — ответила мама Двойка.

— Ну, если так, расскажите нам поскорее про деление. Там, наверное, будут какие-нибудь новые чудеса?

— Ничуть не бывало. Деление — действие, обратное умножению. Стало быть, и правила знаков не меняются:


6 : +3 = 2
6 : 3 = +2

Мы почувствовали себя ужасно образованными. А пуще всех — Сева.

— Теперь нам все нипочем! — заявил он. — Мы знаем эту дорогу как свои пять пальцев!

— Ошибаетесь, — сказала мама Двойка, — вы познакомились только с целыми числами.

— А разве здесь есть и другие?

— А как же!

— Вы, наверное, подразумеваете дробные числа, — предположил Олег.

— Не только. Дробные числа — это те, что расположены между целыми числами. — Мама Двойка указала на палочки ограды, которые мы недавно пересчитывали. — Здесь расстояние между двумя целыми числами разделено на десять равных частей. Каждая из них составляет одну десятую единицы. Но ведь этих делений может быть и гораздо больше. Мысленно мы можем разделить это расстояние на любое число частей.

— Значит, вагончик может останавливаться не только у целого числа, но и у любой дроби, то есть между станциями?

— Ну конечно! В любом месте, по первому требованию!

Мы тут же вызвали вагончик и заставили его остановиться сперва против числа 2,5, а потом против 3,44… Этого нам показалось мало. Мы назвали число минус пять и четыре миллионных: —5,000 004, и красный вагончик, миновав Нулевую станцию, превратился в синий и остановился на волосок дальше станции минус 5.

— Выходит, — неуверенно сказал Сева, — вся эта бесконечная дорога сплошь заполнена числами?

— Именно сплошь! — ответила мама Двойка. — Можно сказать, непрерывно. У нас очень большая плотность населения. На всем пути не сыскать ни одной точечки, не заселенной каким-нибудь числом. Есть среди этих чисел и такие, величину которых мы никогда не можем вычислить точно.

— Что ж это за число, которое нельзя вычислить?

— Ну, хотя бы корень квадратный из двух: √2. Попробуйте найти число, которое при возведении в квадрат давало бы два.



Сева наморщил лоб, подумал немного, потом махнул рукой и засмеялся:

— И много таких чисел?

— Бесконечное множество. Их называют иррациональными в отличие от рациональных. Латинское слово «рацио» значит «разум». Следовательно, рациональные числа — это разумные числа, то есть числа, постижимые разумом.

Сева прямо задохнулся от смеха:

— Ой, умираю! Рациональные — значит разумные. А иррациональные — сумасшедшие, что ли?

— Ну, зачем же так! — обиделась мама Двойка. — Просто они не поддаются точному вычислению. Поэтому их долгое время не признавали числами. Но с тех пор как у нас появилась воздушная монорельсовая дорога (или числовая прямая — так ее называют по-другому), иррациональные числа после долгих скитаний получили, наконец, точный адрес. Вычислить их по-прежнему можно только приближенно. Зато легко указать место на монорельсовой дороге, где они живут. Вместе с числами рациональными они образуют дружную семью действительных чисел, — закончила мама Двойка и снова заставила нас удивиться.

— А разве бывают и недействительные?

— Конечно. Есть числа мнимые, есть комплексные…

Сева не дал ей договорить.

— Вспомнил! — заорал он. — И Мнимая Единица может на что-нибудь пригодиться!

— Да, да, — подтвердила я, — так ответил автомат маленькой буковке с зонтиком: i.

— Оно и понятно, — сказала мама Двойка, — латинской буквой i (по-русски — И) в Аль-Джебре обозначается Мнимая Единица.

— Но почему мнимая? Она что, воображаемая?

— Настолько воображаемая, что ей, как и другим мнимым числам, не нашлось местечка на всей бесконечной монорельсовой дороге.

— Так вот почему она была такая грустная! — смекнул Сева.

— А где же тогда живут мнимые числа? — спросил Олег.

— Всякому овощу свое время.

Пришлось спрятать любопытство в карман. Мы распрощались с мамой Двойкой и пошли… Куда бы ты думал? Конечно, в Парк Науки и Отдыха.

Как мы там отдыхали, узнаешь из следующего письма.


Таня.


Молотобойцы (Сева — Нулику)

Здравствуй, старик! Не удивляйся, что вместо Олега пишу тебе я. Мне так захотелось самому рассказать, как я здорово отличился, что он уступил мне свою очередь.

Говорят, великие люди занимались физическим трудом и спортом. Лев Толстой косил траву, шил сапоги. Ученый Павлов играл в городки. А я решил стать молотобойцем.

Здесь в парке есть занятный аттракцион — силомер. Такие встречаются и у нас, но этот устроен немного по-другому.

У нас ударяешь молотом по наковальне, и гирька подскакивает вверх. Чем сильнее ударишь, тем выше она поднимется. На таком силомере меряются силами. На здешнем — знаниями.

Рейка, вдоль которой движется гиря, очень похожа на монорельсовую дорогу. Только числовая прямая здесь расположена по-другому: не в длину, а в вышину. И числа на ней, начиная с нуля, только положительные. На этом силомере возводят числа в степень.

Задумываешь число, возводишь в уме в какую-нибудь степень, а потом, чтобы проверить себя, бьешь молотком по наковальне. Гирька долетает до вычисленной степени. Если ты возвел правильно, у этого числа зажигается зеленый огонек, ошибся — красный.



Первый удар предоставили Тане. Ничего не поделаешь: девочка! Она возвела два в третью степень. У нее получилось восемь. Таня стукнула молотком, гирька взлетела к восьмерке, и зажглась зеленая лампочка.

Потом стукнул Олег. Он возвел два в десятую степень. Получилось 1024. И когда гирька долетела до этого числа, снова зажглась зеленая лампочка. Все это показалось мне очень уж обыкновенным. Захотелось отмочить что-нибудь такое, чтобы все ахнули. Я объявил, что сделаю удар в честь моего друга Нулика-Профессора.

Возвел двойку в нулевую степень. У меня получился нуль.

Я изо всей силы трахнул молотком по наковальне, и-ха-ха! — гирька осталась на нуле. Этого-то я и хотел! Но как же я удивился, когда вместо зеленого огонька зажегся красный! Может быть, я так сильно ударил, что силомер испортился? Но почему же тогда все кругом засмеялись?

Я не знал что и подумать, но тут какая-то латинская буковка — не то Эн, не то Эм — сказала, что таких ошибок у них даже дети не делают и что любое число, возведенное в нулевую степень, всегда равно не нулю, а единице. Я несколько раз проверил это на силомере — правильно! И пять, и сто, и двести — все они в нулевой степени равны единице.

Тогда я решил возвести в нулевую степень нуль. Я рассуждал так: коли нуль — это число, а все числа в нулевой степени равны единице, то и нуль в нулевой степени тоже равен единице. Ударил по наковальне и…

Лучше бы я этого никогда не делал!

Гирька словно взбесилась: сперва взвилась под облака, потом ушла куда-то под землю, потом опять взмыла вверх. И так она металась туда-сюда, пока кто-то не догадался выключить силомер.

Тут уж никто не смеялся. У всех были испуганные лица — почти как на том представлении, где твой тезка, Нулик, стащил знак умножения. Я и сам-то перепугался до смерти.

Страшнее всего было то, что гиря все время куда-то проваливалась. Оказалось, числовая прямая уходит другим концом в бездонный колодец, где помещаются отрицательные числа.

Наверное, у меня был очень несчастный вид, потому что та же буква — не то Эм, не то Эн — подошла ко мне и стала утешать.

— Успокойтесь, — сказала она, — так может быть со всяким, кто впервые в Аль-Джебре. Нуль и в самом деле число, но совсем особенное. Вы ведь помните, что оно не бывает ни положительным, ни отрицательным. Поэтому обращаться с ним надо осторожно. А когда возводишь нуль, да еще в нулевую степень, нужно быть осторожным вдвойне. Потому что при этом получается неопределенное число. Оно может быть и пятеркой, и миллионом, и бесконечностью, и положительным, и отрицательным, и даже нулем! Поэтому гирька до того растерялась и разнервничалась, что силомер испортился.

Славная буковка! Мне захотелось сказать ей что-нибудь приятное. Вообще-то у меня это плохо получается. Но я вовремя вспомнил, как тетя Нина разговаривает с гостями.

— Ах, ах, это в высшей степени интересно! — сказал я самым что ни на есть разлюбезным голосом.

— Благодарю вас, — засмеялась буковка. — Но не советую употреблять выражение «в высшей степени» в Аль-Джебре. Как бы ни была высока степень, всегда найдется еще более высокая. Ведь числа бесконечны.

Эх, подвела меня тетя!

Тут силомер снова наладили, и Тане вздумалось возвести число не в целую степень, а в дробную.

— Если возвести четыре в половинную степень, по-моему, получится два, — сказала она.

— С чего это ты взяла? — спросил я.

— А вот с чего: четыре в нулевой степени равно единице. Четыре в первой степени — четырем. Значит, четыре в половинной степени равно половине от четырех, то есть двум.

Таня стукнула молотком. Гирька остановилась у числа два, и вспыхнула зеленая лампочка. Тогда и мне захотелось попробовать.

— Возвожу девять в половинную степень, — объявил я. — Рассуждаю так: девять в нулевой степени — это единица. Девять в первой степени — девять. Значит, девять в половинной степени равно четырем с половиной.

Я торжественно стукнул молотком, гирька остановилась на четырех с половиной, и… вспыхнула красная лампочка. Я прямо обалдел. Несчастный я человек! Ну почему, почему мне так не везет? Ведь я рассуждал точно так же, как Таня!

И снова на помощь мне пришла та же буковка (а я так и не запомнил — Эм она или Эн!).

— Дело в том, — сказала она, — что эта девочка допустила ошибку, а вы ее повторили. Девять в половинной степени и вправду находится между единицей и девяткой. Но оно вовсе не равно половине от девяти. Для того чтобы возвести число в половинную степень, надо не делить его на два, а извлечь из него корень второй степени. А корень второй степени из девяти равен трем, а не четырем с половиной.

— Так почему же у Тани получилось правильно?

— Да потому, что корень второй степени из четырех равен двум, а два и есть как раз половина от четырех. И это — простое совпадение.

Таня, конечно, покраснела, а Олег (он всегда ее выручает), чтобы отвлечь от нее внимание, сделал вывод:

— Значит, возвести число в степень, равную одной пятой — это все равно что извлечь из этого числа корень пятой степени.

Например:


 31/5 = 5√3.

— Ваша правда, — подтвердила буковка.

— Тогда, наверное, и обратно, — продолжал Олег. — Возвести число в пятую степень — это все равно что извлечь из него корень степени одна пятая:


35 = 1/5√3.

Что ты скажешь! Он и на этот раз попал в самую точку!

Тут мне пришло в голову, что если можно возводить числа в положительные степени, то почему бы не попробовать в отрицательные? Буковка посмотрела на меня пристально:

— Уж очень вы торопитесь! Аль-Джебра — государство большое. Для того чтобы с ним как следует познакомиться, нужны не дни, не недели, а годы…

Еще чего! А как же Черная Маска? Так и останется без лица?

Посовещались немного и решили, что довольно ходить вокруг да около. Пора приниматься за дело. Но прежде неплохо бы закусить! То-то мне стали вспоминаться гостеприимные обжоры…

Буковка словно угадала мои мысли:

— Может быть, вы проголодались? Тогда советую зайти в кафе «Абракадабра».

А нам только того и надо!

Хочешь знать, что дальше? Потерпи немножко. Всякому овощу…


Сева.


Нулик-пограничник (Нулик — отряду РВТ)

Пламенный привет от Нулика-Пограничника! Теперь наша школа называется пограничной. Мы не пропускаем ни одной цифры, пока не узнаем, какой у нее знак отличия: плюс или минус. Один Нулик даже не пустил домой собственную маму, потому что она рассердилась и не хотела отвечать на его вопросы. Кончилось тем, что мама его наказала, пожаловалась моей маме и нашу школу чуть не закрыли.

Хорошо еще, что у меня такая добрая мама. Она меня простила и даже подарила силомер. Получше вашего-то: волшебный! Выбираешь число, задумываешь, в какую степень его возвести, бьешь молотком, и гирька сама показывает ответ.

Я принес силомер в школу, и все стали возводить нуль в разные степени. Но как мы ни старались, гирька ни разу не поднялась выше нуля. Словно ее приклеили. Как вы думаете, отчего это? Может, у нас сил не хватает, чтобы ударить как следует?

Потом я надумал сделать то, чего вы не успели: возвести целое положительное число в отрицательную степень.

Но и от этого толку мало: какое число ни возьмешь, гирька хоть и поднимается, но очень немножко, не выше единицы. Тогда мы взяли большущее число 1000 и возвели его в минус третью степень: 1000-3. Ухватились за молоток сообща и как трахнем! А противная гирька почти не сдвинулась с места. Что ж это такое? Неужели мама подарила мне испорченный силомер?

Я на нее очень обиделся, но она только рассмеялась. Она вообще любит смеяться. А потом сказала, что если возводить целое положительное число в целую отрицательную степень, то больше единицы никогда не получится. И чем большее число возводишь, тем меньшее число получается. Вот силомер и показал всего — навсего одну миллиардную: 0,000000001.



Пришлось поверить на слово. Потому что, отчего это происходит, мама не объяснила. Зато она сказала, что число, которое возводится в степень, называется основанием степени, число, в которое возводится это основание, — показателем степени, а уж сама степень получается только в ответе.

На этом основании я могу сказать, что не только вы меня, но и я вас могу кое-чему научить. Вот как!


Нулик-Пограничник.


P.S. Когда же вы напишете про кафе «Абракадабра»?


Карнавал (Олег — Нулику)

Здравствуй, дружище! Ты просишь рассказать про кафе «Абракадабра», но так случилось, что мы опять туда не попали. Заколдованное оно, что ли? Мы уже были совсем близко, но тут дорогу нам преградило веселое карнавальное шествие.

Впереди всех шли цифры. Многие держали на плечах маленьких Нуликов. Прямо как у нас на первомайской демонстрации.

Вслед за цифрами дружно выступали латинские и греческие буквы.

Четким строевым шагом прошли знаки равенства, за ними — действующие знаки.

Легко подпрыгивали разноцветные точки, похожие на целлулоидовые мячики. Некоторые плавали в воздухе, как воздушные шары.

Вот промелькнули, кувыркаясь на ходу, ловкие гимнасты: знаки сложения и вычитания. Проковыляли на ходулях радикалы. Над ними — ни дать ни взять рой бабочек — порхали показатели корней.

А потом пошли скобки, скобки, скобки… Круглые, квадратные, фигурные…

Позади маршировал сводный оркестр восклицательных знаков.

— Слава доблестным факториалам! — закричали в толпе. Мы хотели спросить, что за слово такое, но тут эти самые факториалы грянули марш. Разом ударились друг о друга десятки медных тарелок, загремели трубы. Защебетали, словно стая ласточек, флейты, и все кругом запели.

Так никто нам и не объяснил, что такое факториал и что вообще происходит.

— Может быть, это праздник Кирилла и Мефодия? — сказала Таня.

Ее мама недавно была в Болгарии. Там каждый год устраивают торжества в честь создателей славянской письменности. В этот день жители надевают свои лучшие платья и выходят на улицу, чтобы посмотреть парад букв. В параде участвуют школьники. Каждый из них изображает какую-нибудь букву.

— При чем тут Кирилл и Мефодий? — фыркнул Сева. — Аль-Джебра — государство математическое. Не пойму только, как сюда попали буквы? Наверное, по недоразумению?

Он, как всегда, сказал это чересчур громко. Вот когда нас наконец услышали!

— Как это — по недоразумению? — возмутились толпившиеся кругом буквы. — Это мы-то по недоразумению? Нас оскорбляют! Нас унижают!

— Да знаете ли вы, — кипятилась латинская буква Тэ, — знаете ли вы, что без нас, может, и не было бы никакой Аль-Джебры!

— Может, и не было бы! — подтвердили хором другие буквы.

Мне с трудом удалось объяснить им, что Сева не хотел никого обидеть. Просто мы здесь впервые и многого еще не знаем. Буквы сменили гнев на милость и стали наперебой что-то нам объяснять. Но они так волновались и галдели, что ничего нельзя было разобрать.



— Граждане буквы, — сказал я, — говорите по очереди! Так мы легче поймем друг друга.

Тогда из толпы вышел важный Дэ.

— Пусть каждый из вас, — сказал он, — задумает какое-нибудь число. Задумали? Хорошо. Теперь умножьте его на три. Так. Прибавьте четыре. Готово? Теперь пусть каждый скажет, какое число у него получилось.

— Десять! — объявила Таня.

— Нет, девятнадцать! — возразил Сева.

— А у меня шестьдесят четыре, — сказал я.

— Видите, вас трое, и у каждого получилось по-разному.

Но в этой игре могут быть тысячи, миллионы участников. Каждый может задумать любое число, и мы получим целую гору ответов. Для того только чтобы прочитать их — не то что записать, — понадобится уйма времени. А я вот записал на этом клочке бумаги все возможные ответы.

И Дэ показал нам свою запись:


3a + 4.

— Позвольте, где же девятнадцать? — всполошился Сева.

— Да здесь же. Вы, как я догадываюсь, задумали число пять. Трижды пять — пятнадцать. Прибавим четыре — получится девятнадцать.

— Но где же тут пять?

— Да вот оно: буква а.

— Значит, а — это пять?

— Для вас, — улыбнулся Дэ. — Для другого оно три. И тогда ответ будет тринадцать. Для третьего — сто. В этом случае ответ — триста четыре. Буква а может быть по вашему желанию заменена любым числом.

— Вот не знал, что она такая особенная! — почтительно сказал Сева.

— Ничего особенного в ней нет. Вместо а вы можете поставить любую другую букву. Ответ нисколько не изменится:


3с + 4.

— Дайте нам еще одну задачу! — попросила Таня, — А мы запишем ее буквами.

— Пожалуйста. Задумайте два числа. Первое умножьте на два, второе — на пять и сложите эти произведения.

— Очень просто, 2а + 5а, — сказал Сева.

Дэ удивленно поднял брови:

— Вы что, задумали два одинаковых числа?

— Нет, разные.

— Тогда почему же они обозначены одинаковыми буквами? У нас, слава богу, и других достаточно. Уж если вы задумали разные числа, так и обозначайте их разными буквами:


2а + 5b.


— Почему это, — спросила Таня, — вы говорите, что умножаете два на а, пять на b, а знаков умножения не ставите? Может, вы экономите крестики? Поставили бы хоть точку.

— Мы и вправду экономим, но не крестики, а время. И не только время, но и место. Разве 2а не тоже самое, что а, умноженное на два, иначе говоря: а, взятое два раза? Для чего же тратить место на знак умножения? Однако что же это мы здесь стоим! — спохватился Дэ. — На стадионе, наверное, уже начался физкультурный парад. Вот где вам покажут разные действия, которые у нас называются алгебраическими.

И мы заторопились на стадион. А теперь, как в театре, антракт.


Олег.


Примечание: скажи тому Нулику, который не пускал домой маму, — пусть зарубит на носу, что положительными и отрицательными бывают только числа, а не цифры. А так как у вас, в Карликании, все мамы цифры, то дома никаких знаков отличия у них нет. Эти знаки появляются только на работе, когда мамы-цифры становятся числами. Вот как!


Круг почета (Таня — Нулику)

Дорогой Нулик! Праздник был просто замечательный!

Мы пришли как раз вовремя. Переполненный стадион гудел, как пчелиный улей. Но вот на главной трибуне в убранной цветами ложе появился величественный А. Он подошел к микрофону, поднял руку, и улей сейчас же затих.



— Дорогие сограждане! Дорогие друзья! — начал А. — Приветствую вас в день ежегодного праздника Аль-Джебры. Сегодня мы чествуем всех, кто в разные века и в разных странах трудился во славу нашего великого государства.

Все вы знаете, что государство это очень древнее. Но многие ученые, создававшие его, жили задолго до его рождения. Они работали не так, как мы сейчас — сообща, в тесном содружестве, а врозь, разделенные временем и пространством. Они начинали эту науку, а начинать всегда труднее. Тем выше их заслуги перед людьми, а значит, и перед нашим государством.

Государство это не всегда было таким, как сейчас. Да оно и не сразу стало государством. Но необходимость в нем появилась давным-давно, еще у древних народов: вавилонян, китайцев, индийцев, а потом и у греков.

Это были народы большой культуры. Развитие земледелия, торговли, мореходства требовало решения трудных арифметических задач. Но вот беда! Рассуждения древних математиков были так длинны и запутанны, что простые люди не могли в них разобраться.

Тогда ученые стали думать, как бы упростить решения задач. И не только упростить, но и обобщить, то есть найти для многих однородных задач одно общее решение. Достаточно подставить в него нужные числа — и ответ готов.

Ученые трудились не напрасно: решать задачи становилось все легче. Зато сами задачи становились все труднее. Потому что жизнь шла вперед. Некоторые задачи ставили даже математиков в тупик: их нельзя было решить ни одним известным способом. И тут на помощь пришли особые, до тех пор незнакомые числа: отрицательные, иррациональные, мнимые и другие.

Числа эти входили в обиход долго, с трудом. Многие математики их поначалу не признавали. Отрицательные числа они называли ненужными, а мнимые — ложными. Но со временем польза этих чисел стала очевидной для всех. Теперь она ясна каждому школьнику, побывавшему на воздушной монорельсовой дороге. Попробовал бы он обойтись без отрицательных чисел при вычитании из меньшего числа большее!

Но особую роль в расцвете Аль-Джебры сыграли буквы. Они сразу навели порядок в беспорядочном ворохе самых различных задач.

Буквенные обозначения появились очень давно. Их ввел в арифметику двадцать четыре столетия назад величайший мыслитель древности Аристотель. Однако широкое применение буквы нашли не сразу.

Сейчас научные новости распространяются быстро. Еще бы! Ведь у нас есть и печать, и радио, и телевидение! Но в далекие времена ничего этого не было. И понадобилось двадцать веков, чтобы люди по достоинству оценили изобретение Аристотеля.

Это было начало новой эпохи в геометрии, физике, астрономии, химии и других науках. А уж о математике и говорить нечего! Вряд ли сам Мухаммед ибн Муса аль-Хварезми мог мечтать о таком расцвете своего детища.

Не хочу этим сказать, что нашим ученым больше уже нечего делать. Ничего подобного! У науки нет предела. Развитие ее бесконечно. Ведь что такое Бесконечность, объяснять не нужно. Все вы это отлично знаете. Поэтому мы с особенным удовольствием приветствуем сегодня всех, кто изучает историю и законы нашего государства. Мы возлагаем на них особые надежды: ведь им предстоит решить многие нерешенные задачи!

Вдруг оратор повернулся в нашу сторону и низко нам поклонился. И все сидящие на трибунах встали и громко зааплодировали.

Мы просто не знали, куда деваться, и очень обрадовались, когда зрители снова уселись на места.

Но тут А скомандовал: «Поднять флаги!» — и все встали опять. Заиграла музыка, и в воздух взвились десятки разноцветных полотнищ. Здесь были флаги многих стран. Некоторые мы видели впервые, но одно узнали сразу: алое знамя Советского Союза.

Потом начался парад. На огромном зеленом поле появился движущийся помост. На помосте толпились костюмированные буквы и цифры. Кого только они не изображали! Были здесь и важные бородатые восточные мудрецы, и древние греки в белоснежных одеждах. В маленьких пагодах сидели китайцы в черных шапочках и пестрых халатах. Ах, Нулик! Это была целая костюмерная! У меня до сих пор в глазах рябит от фесок, тюбетеек, шаровар, пудреных париков, камзолов, фраков, сюртуков…

Мы спросили у Дэ, что означает этот маскарад.

— Как?! Неужели вы не поняли? Перед вами ученые, которым посвящен сегодняшний праздник. Они совершают круг почета. Впереди в белой чалме Мухаммед аль-Хварезми, рядом — Аристотель.

— А это кто? — Сева указал на длиннокудрую маску в плаще и широкополой шляпе с перьями.

— Знаменитый французский математик Виет. Ему мы обязаны тем, что буквы в шестнадцатом веке получили, наконец, всеобщее признание. Справа от него стоит другой великий француз — математик и философ Рене Декарт. Он жил несколько позже, в семнадцатом веке, и тоже многое сделал для Аль-Джебры.

— А вот и еще один древний грек! — обрадовалась я.

— Вы, наверное, говорите о Диофанте? — догадался Дэ. — О, это замечательный человек! Еще в третьем веке нашей эры он решал сложнейшие алгебраические задачи. Диофант изложил их в своей знаменитой книге «Арифметика». Правильнее было бы назвать ее «Алгебра», но тогда этого слова еще не знали.

— На полях «Арифметики» Диофанта записал свою теорему Ферма, — сказал Олег.

Дэ посмотрел на него недоверчиво:

— Вы знакомы с Ферма? С великим французским математиком?

— Мы встречались с ним на Дороге Светлого Разума, когда возвращались из Карликании. Да вот он, рядом с Диофантом!



— Ребята, ребята, смотрите, Лобачевский! — тормошил нас Сева.

— Как, вы и Николая Ивановича знаете? — еще больше изумился Дэ.

— Конечно! — важно ответил Сева. — Он нам и письмо прислал: «Кажется, нельзя сомневаться в истине того, что все в мире может быть представлено числами…»

— И буквами, — добавил Дэ. — Уверен, Лобачевский не сказал так лишь потому, что это само собой разумеется.

Платформа с учеными сделала три круга и покинула поле под гром приветствий.

И тогда началось самое интересное.

Но об этом тебе расскажет Сева.

Так что жди письма.


Таня.


Не думай, что я такая умная и запомнила все, что говорил А.

Речь его была тут же отпечатана и размножена. Мне оставалось только переписать. Листочек же я сохранила на память.


Разноцветные береты (Нулик — отряду РВТ)

Дорогие ребята! Как мне досадно, как мне обидно, что я не смог побывать на стадионе и увидать карнавал!

Но зато я сделал важное открытие. То есть открытие сделала мама. И вообще это не открытие, а давно известная вещь. Но для меня она была открытием.

Дело было так.

Мои ученики тоже решили устроить карнавал. И семь Нуликов явились в школу в новеньких беретах, — все береты разных цветов: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий и фиолетовый. Словом, семь цветов радуги. Нулики в беретах должны были идти во главе карнавального шествия. Но мне не понравилось, в каком порядке они стоят. Мне показалось, что красный берет должен быть рядом с синим, а синий — с оранжевым. А другому Нулику захотелось, чтобы желтый был рядом с фиолетовым. Тут каждый стал вносить свои предложения:

— Желтый с красным!

— Красный с синим!

— Фиолетовый с желтым!

Все так расшумелись, что я долго не мог их успокоить. Порешили перепробовать все перестановки. А потом большинством голосов выбрать самую красивую.

И началось! Расставили Нуликов так, как они стояли вначале: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый.

Потом Нулики стали меняться местами. Красный оказался на месте оранжевого, потом перешел на место желтого, потом на место зеленого и так до тех пор, пока он не очутился на месте фиолетового. Теперь впереди оказался Нулик в оранжевом берете. Мы стали его тоже постепенно передвигать вправо. Так же поступили и с зеленым, и со всеми остальными. А когда красный берет опять оказался первым слева, мы решили его оставить на месте, и стали двигать вправо другие береты: желтый, зеленый, синий… Переставляем, переставляем… Второй день переставляем. О карнавале никто уж не заикается. Сделали 527 перестановок, а до конца — далеко.

Мы было хотели бросить, но тут появилась моя мама. Пришлось рассказать, в чем дело. А она давай смеяться! А когда отсмеялась, спросила:

— Неужели вы не знаете, что такое факториал?

— Знаю! — выпалил я, вспомнив ваше письмо. — Это оркестр восклицательных знаков.



Мама стала смеяться снова. А потом сказала, что факториалы могут, конечно, играть в оркестре. Но это не мешает им оставаться математическим знаком. Его ставят после какого-нибудь числа. И тогда он показывает, сколько чисел натурального ряда надо перемножить. Вот например: если написать 3! — значит, надо перемножить все числа натурального ряда от единицы до трех включительно:


3! = 1 × 2 × 3 = 6.

А записывается это так, чтобы было покороче. Задумали перемножить числа от единицы до миллиона — пожалуйста: пишем 1000000! Коротко и ясно.

А еще мама сказала, что слово «факториал» произошло от латинского слова «фактор». По-нашему это «производящий действие». Вот факториал и производит перемножение чисел натурального ряда.

Ну, это я запомнил сразу. Одного только никак не мог понять: при чем здесь разноцветные береты?

— А вот при чем, — сказала мама. — Если вы хотите узнать, сколько раз надо переставить семь Нуликов в разноцветных беретах, чтобы сделать все возможные перестановки, надо вычислить факториал числа семь, то есть перемножить все числа натурального ряда от единицы до семи. Стали перемножать и получили большущее число:


7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040.

Пять тысяч сорок! Пять тысяч сорок перестановок! А мы сделали всего 527. Ужас!…

Хорошо, что в разноцветных беретах явились всего семь Нуликов. А что если бы двадцать семь? Пришлось бы вычислять факториал двадцати семи. Нет уж, дудки! Хотите — считайте сами. А я не буду.

Всего вам хорошего. С нетерпением жду новых сообщений.


Нулик-Факториал.


Репортаж со стадиона (Сева — Нулику)

Внимание, внимание! Говорят все радиостанции Аль-Джебры! Начинаем репортаж с Центрального стадиона. Здесь сейчас будут выступать самые юные гимнасты страны. Слышите гул приветствий? Это на поле выбегают дошкольники — латинские буковки а в зеленых костюмах, за ними буковки b, — они в красном, и, наконец, с — в светло-желтом. Они образуют несколько рядов и замирают. Теперь каждая из них не просто буква. Здесь она называется одночлен.

Сверху нам открывается чудесное зрелище: пестрый прямоугольник из букв. Но вот грянул оркестр факториалов. Звучит вальс, и прямоугольник приходит в движение. Буквы делают шаг в сторону. Одни вправо, другие влево. Потом они берутся за руки, и вот уже перед нами десятки разноцветных пар:


аb, ас, bc.

Зеленое с красным, желтое с зеленым, красное с желтым…

Юные гимнасты показывают действие, которое называется перемножением одночленов. Разумеется, никаких знаков умножения при этом нет. Каждый младенец в Аль-Джебре знает, что если две буквы стали рядом, значит, они помножены друг на друга.

Не подумайте только, что от перемножения буквы превратились в двучлены. Боже упаси! Это грубая ошибка! Они как были, так и остались одночленами.

Но вот идет новая перестановка. Теперь буковки объединяются по три:


abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Легко догадаться, что это тоже произведения и каждое из них опять-таки одночлен.

Умножение одночленов закончилось. Буквы снова заняли первоначальные позиции. Оркестр играет веселую полечку. На стадионе появляются знаки сложения и вычитания. Плюсы и минусы занимают места между буковками-одночленами:


а + b, b + с, a — b, b — с.

Вот когда буквы из одночленов превратились в двучлены. Но не успели зрители как следует полюбоваться этой картиной, как буквы образуют уже другие суммы:


a + b — c, a + c — b, а — b — c…

Теперь это уже трехчлены. Жаль, что в упражнениях принимают участие только а, b и с. Будь здесь другие буквы, мы увидели бы еще более сложные алгебраические суммы.

Внимание! Начинается новое упражнение. Забавно! Очень забавно! Знаки плюс стали между одинаковыми буквами. Сейчас сложились семь буковок а, и… о чудо! Вместо семи осталась только одна. Остальные шесть исчезли на наших глазах, а вместо них на поле появилось число Семь. Оно стало слева от буквы а, и весь стадион хором прочитал: «семь а».

Это волшебное алгебраическое упражнение называется приведением подобных. Оно возможно только тогда, когда все слагаемые действительно подобны, то есть совершенно одинаковы. Какая экономия места, времени и чернил! В Аль-Джебре очень любят экономию. В самом деле, к чему писать


а + а + а + а + а + а + а,

если можно записать коротко и ясно:


7а.

Семерка немного важничает. Оно и понятно: ведь она одна заменила шесть одинаковых букв и ей присвоено почетное звание числового коэффициента при букве а.

Ага! Другим буквам это тоже понравилось. Они просят плюсы занять места между ними. И вот число букв стремительно уменьшается. Вместо них на поле появляются числа-коэффициенты. Вместе с оставшимися буквами они образуют одночлены:


12b, 8а, 24abc, 3bс,

и так далее.

Их зорко охраняют рыцари-коэффициенты.

Упражнениям нет конца! Только что на поле образовался многочлен


abc + abc + abc + abc + abc + abc,

как мигом произошло приведение подобных и появился верный рыцарь — коэффициент шесть:


6abc.

Но что это? Оркестр замолкает… Понимаю: сейчас произойдет перегруппировка и начнется новое упражнение. В самом деле: минусы и плюсы покидают поле под дружные аплодисменты. Буковки снова образовали пестрый прямоугольник. Но теперь в первом ряду стоят буквы в зеленом, во втором — в красном, в третьем — в светло-желтом. Они повторяют самое первое упражнение — перемножение одночленов. Только теперь все сомножители одинаковые. И опять происходят чудеса. Как только две одинаковые буквы перемножатся, одна из них сейчас же исчезает, а на поле появляется число Два. Буква протягивает руку, и Двойка ловко вскакивает к ней на ладошку:


а2.

Вы думаете, число Два называется коэффициентом? Ничего подобного! Это показатель степени. Вы уже с ним знакомы. Ведь упражнение, которое сейчас проделывают буквы, — это возведение в степень!

Вот перемножились три b, и получилось Бэ в кубе:


b3.

Десять с, перемножившись, образовали одночлен — Цэ в десятой степени:


с10.

Одна комбинация сменяется другой. Перед нами возникают:


a25, b40, c16, a6

И вот появляется Цэ в степени эн:


сn.

Это уже что-то новое. Правда, только на первый взгляд. Мы ведь уже знаем, что буквамиобозначаются числа. Цэ в энной степени означает Цэ, возведенное в любую степень. Подставьте вместо эн любое число — и ответ готов.

Музыканты после небольшой паузы снова заиграли вальс. Начались самые пластичные, самые замысловатые гимнастические упражнения: умножение многочленов на одночлен. Вот уже образовались двучлены: а + b, а + с, потом трехчлены: а + b + с и много других. Сейчас они начнут умножаться на одночлены… Но в чем дело? Произошла какая-то заминка. Музыка смолкла. Ага! Теперь все ясно: оказывается, многочлены не могут ни на что умножаться, если их предварительно не заключить в скобки. Иначе может выйти ужасная путаница: никто не узнает, где тут одночлен, а где многочлен.

На поле появляются круглые скобки. Они становятся по бокам каждого многочлена. Ну вот, все в порядке, можно продолжать.

Начинается представление, под названием «Хитрый обманщик».

На поле появляется выражение:


(а + b)с.

Цэ стучится в скобку, как в дверь.

Цэ. Хозяева дома?

А+Бэ (вместе). Да! А кто это?

Цэ. Это я, Цэ.

A+Бэ. А с вами никого нет?

Цэ (невинным голосом). Никого.

А+Бэ. Тогда входите.



Скобки открываются, Цэ входит и… раздваивается. Одно Цэ подходит к А, другое — к Бэ. И вот мы уже видим новую сумму:


ас + bс.

Все негодуют. Свист, крики:

— Гоните обманщика!

А+Бэ (вместе). На помощь! Спасите!!



Вбегают дружинники и выносят отчаянно сопротивляющихся Цэ за скобки. Здесь обе буквы снова превращаются в одно Цэ.

Обманщик наказан. Справедливость торжествует. На поле снова красуется прежнее выражение:


(а + b) с.

Пьеса имеет шумный успех. Артистов вызывают много раз, точнее, эн раз — n раз.

Сказав так, я никого не обману, и дружинникам не придется выносить меня за скобки.

Дорогие радиослушатели! Как видно, эти упражнения никогда не кончатся, а я уже устал. Очень прошу вас, возьмите карандаши и бумагу и придумайте сами пример на перемножение многочленов.

До свидания.

Репортаж с Центрального стадиона Аль-Джебры вел


Сева.


Пекари-жонглеры (Снова Сева — Нулику)

Ну как, Нулик, здорово у меня вышло? Конечно, у того комментатора, который вел передачу со стадиона, получалось лучше. А по мне сойдет и так.

А сейчас я тебе своими словами расскажу, что было дальше.

По радио объявили: «Следующий номер нашей программы — Веселые Пекари! Высший класс жонглирования! Перемножение и деление степеней!»

На зеленое поле выбежали три буквы Цэ. Все они были в белых поварских колпаках, у каждой палка, а на палке кольца — похоже на детские пирамидки. Только там кольца разноцветные, одно другого меньше, а здесь одинаковые, золотистые, как толстенькие поджаристые бублики. У одного пекаря — два бублика, у другого — три. У третьего колец на палке не было.

Заиграла музыка.

Первый пекарь снял с палки верхнее кольцо и ловко метнул. Кольцо очертило в воздухе плавную дугу и угодило на пустую палку третьего пекаря. Вслед за первым кольцом туда же полетело второе. То же самое сделал другой пекарь, и вот уже у третьего пекаря на палке все пять колец, а первые два пекаря остались ни с чем.

Потом жонглеры перестроились. Теперь у одного на палке было три кольца, у другого — шесть, у третьего опять ничего. Снова заиграла музыка, замелькали кольца. И опять у третьего пекаря на палке — девять бубликов, а у других — ничего.

— Чистая работа, — сказал Дэ, — ни одно колечко не упало.

— Работа-то чистая, но при чем здесь умножение степеней? — спросил я. — Не понимаю.

— А я понимаю, — похвасталась Таня. — При перемножении степеней показатели надо складывать:


с3 × с6 = с3 + 6 = с9.

— Совершенно правильно, — подтвердил Дэ. — Число колец на палке обозначает показатель степени.

— Пусть, — сказал я, — а мне все равно непонятно.

— Поглядите на поле, — предложил Дэ, — тогда уж обязательно поймете.



Я поглядел и увидел, что два Цэ (у одного на палке три кольца, у другого — шесть) стали рядом и между ними появился знак умножения — точка. И тут на поле выбежали еще девять Цэ. У этих на палках было только по одному кольцу. Трое из них встали на место Цэ с тремя кольцами, а шестеро заменили Цэ с шестью кольцами. Тогда пекарь с пустой палкой отделился от них знаком равенства и стал следом за ними. А первые два пекаря отдали ему свои кольца и получилось вот что:


с * с * с * с * с * с* с * с * с = с9

На этот раз и вправду все было понятно: Цэ в третьей степени, умноженное на Цэ в шестой, — это все равно, что Цэ, умноженное само на себя девять раз, или попросту Цэ в девятой степени.

Потом началось деление степеней. На поле выкатили двухэтажную тележку. На верхнюю площадку вскочил жонглер с тремя кольцами на палке — числитель, на нижнюю — жонглер с двумя кольцами — знаменатель:


с3 / с2


Снова заиграла музыка, и, можешь себе представить, пекари стали снимать с палок кольца и с аппетитом их есть. Оказалось, это и впрямь самые настоящие бублики. И очень вкусные. С маком. Нас потом угостили.

Так вот, Цэ стали лопать свои бублики: числитель съест один, и знаменатель — один, числитель — один, и знаменатель — один… Когда Цэ-знаменатель съел все свои бублики, он исчез. На площадке осталась только его палка.

А Цэ-числитель — у него на палке еще болтался один бублик — продолжал стоять наверху как ни в чем не бывало.

— Ясно, — сказал Олег. — Деление — действие, обратное умножению. Значит, показатели степеней надо при этом не складывать, а вычитать.

— Верно! — поддержала Таня. — Из трех бубликов отняли два. В знаменателе очутилась палка-единица. А в числителе — Цэ с одним бубликом, то есть Цэ в первой степени.

— Первая степень не пишется, — вспомнил я. — Стало быть, просто Цэ:


с3 / с2 = с3-2 = с.

— Вот вам и частное от деления двух степеней, — пояснил Дэ. — Посмотрим теперь, что будет, если Цэ в квадрате разделить на Цэ в кубе.

Теперь на верхней площадке стоял Цэ-числитель с двумя бубликами, а на нижней Цэ — знаменатель с тремя. Опять они принялись уплетать, но теперь уже без бубликов оказался Цэ-числитель. Он исчез, оставив на площадке свою палку. А Цэ — знаменатель, у которого оставался один бублик, продолжал стоять на площадке.



— Видите, — сказал Дэ, — частное от деления равно единице, деленной на Цэ, или одной цэтой, как у нас говорят.

— Позвольте, — вмешался Олег, — при делении степеней показатели вычитаются. Значит, это можно изобразить так:


с2/ с3 = с2 — 3 = с-1.

— Ой! — испугалась Таня. — У тебя получилась отрицательная степень!

— Вполне законно, — возразил Дэ. — Одна цэтая — это то же самое, что Цэ в минус первой степени.

Вон оно что! Выходит, если целое число возвести в отрицательную степень, оно превращается в дробь:


с-1 = (1/с)1 = 1/с
с-2 = (1/с)2 = 1/с2
с-3 = (1/с)3 = 1/с3

и так далее.

Слышишь, Нулик? Ты, помнится, хотел знать, отчего гирька твоего силомера не желала подниматься выше единицы? Вот тебе и ответ. Возвести пять в минус вторую степень — все равно что возвести одну пятую в плюс вторую степень:


5-2 = (1/5)2 = 1/25

Иначе и быть не может. Ведь у отрицательных чисел все наоборот! И чем большее число возводишь в отрицательную степень, тем меньше получается дробь. Потому-то тысяча, возведенная в минус третью степень, оказалась равной одной миллиардной:


(1000)-3 = (1/1000)3 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

А теперь слушай дальше. В числителе и знаменателе очутились Цэ с тремя бубликами.

Каждый Цэ съел свои бублики и скрылся. На площадках остались только их палки.

— Вот так фокус! — не удержался я.

— Ну, что вы! — скромно сказал Дэ. — Это просто деление двух одинаковых степеней с равными основаниями. И получается при этом единица, деленная на единицу.

— Или просто единица, — добавила Таня.

— Уж конечно! — ввернул я. — Подумаешь, открытие! Всякое число, деленное само на себя, равно единице. Двадцать, деленное на двадцать, равно единице; тридцать, деленное на тридцать, равно единице; Цэ в третьей степени, деленное на Цэ в третьей степени, равно единице. Об этом и говорить не стоит.

— Ты думаешь? — возразил Олег. — А по-моему, стоит.

— Отчего же?

— Оттого, что теперь я знаю, почему любое число в нулевой степени равно единице.

— Да ну?! Как это ты догадался?

— Очень просто:


c3: c3 = 1,

но


с3: с3 = c3 — 3 = с0.

Следовательно:


с0 = 1.

Ну и голова у этого Олега! Жаль только, что он до этого не додумался раньше. Не пришлось бы мне срамиться там, у силомера. Впрочем, жалеть об этом не время. Письмо у меня и так получилось очень длинное. Но ты уж потерпи. Осталось немного.



Пекари — жонглеры убежали. А вместо них на поле вышли… Нет, нипочем тебе не догадаться кто! На поле вышли Черные Маски. Мы-то думали, что Черная Маска одна, а появилась целая армия. Во всяком случае, никак не меньше ста. И тут меня что-то кольнуло. Это проснулся в кармане талисман, о котором мы, сказать по чести, совсем забыли. Уж не хочет ли он намекнуть, что и наша Черная Маска тоже здесь? Но как ее найдешь? Ведь все они похожи друг на друга как две капли воды… вернее, как две капли чернил. Добро бы еще здесь был Пончик. Но он, как назло, куда-то запропал.

Только я это подумал, как по рядам вихрем пронеслось что-то белое, мохнатое. Зрители шарахнулись. Секунда — и Пончик врезался в самую гущу растерявшихся артистов. Тут один из них как побежит! А Пончик — за ним!

— Держите, держите! — заорал я и помчался следом. Таня и Олег — за мной.

Что было! Все перепугались, вскочили. У выходов началась давка. Не знаю, что бы мы делали без стручка. Он снова выскользнул из моего кармана и полетел впереди, указывая дорогу. Скоро мы очутились у совершенно свободного запасного выхода, а там и на улице.

Я хотел спрятать стручок, а он все летел, летел, пока не привел нас к какому-то красивому зданию.

У широких стеклянных дверей сидел Пончик. Он тяжело дышал и смотрел на нас виноватыми мокрыми глазами. А над дверьми поблескивала большая треугольная вывеска: «Абракадабра». Чувствуешь?


Сева.


Лично Севе от Нулика

Уважаемый радиокомментатор! Большое Вам спасибо за репортаж. Если бы не подпись в конце, я бы ни за что не догадался, что он невзаправдашний.

А сейчас послушайте мой радиорепортаж.

Наша школа выросла. Теперь в ней учатся не только Нулики, но и другие карликанские малыши-цифры. Им очень понравилась алгебраическая гимнастика. Но так как букв у нас нет, решили проделать ее с цифрами.

Пять Двоек взяли четыре знака сложения и поставили их между собой:


2 + 2 + 2 + 2 + 2.

Потом четыре Двойки убежали. Осталась одна, а около нее встал коэффициент Пять:


52.

Тогда взрослые карликане подняли нас на смех. У вас, говорят, получилось пятьдесят два, а вовсе не пять Двоек. Чтобы правильно сделать приведение подобных, надо между Пятеркой и Двойкой поставить знак умножения. Тут вам, говорят, не Аль-Джебра, да и вы, говорят, не буквы, а числа.

Выходит: если рядом стоят две цифры — это двузначное число; если же рядом стоят две буквы — это их произведение. Я решил все проверить на практике.

Потом я спросил, как написать буквами двузначное число? Оказывается, очень просто:


10а + b.

Здесь а показывает число десятков, b — число единиц. Я сейчас же записал 52 алгебраическим способом:


10 × 5 + 2 = 52.

Тут нам пришлось прекратить занятия, потому что прибежала одна Единичка. Она горько плакала. Ей ужасно хотелось стать коэффициентом при какой-нибудь букве. А мама ей сказала, что коэффициент Единица никогда не пишется, а только подразумевается. А эта Единичка подразумеваться не хотела.

Ну, мы как могли ее утешили и заодно сделали другое великое открытие: при любой букве всегда имеется коэффициент, только его не всегда видно. Коэффициент, равный Единице, превращается в невидимку. Как только Единичка об этом узнала, она сразу развеселилась. Еще бы! Это ведь не всякий может — стать невидимкой. Ну вот и все.

С горячим приветом.


Нулик-Комментатор.


P.S. А почему это в вашем репортаже алгебраической суммой называется


а + b — с?

До сих пор мы знали, что сумма получается только при сложении, а здесь ведь не только складывают, но и вычитают?!


«Абракадабра» (Олег — Нулику)

Уф! Вот мы и в «Абракадабре»!

Это очень красивое кафе. Оно все прозрачное, вроде фонаря. Такие у нас встречаются на каждом шагу. Только все в нем из треугольников: стены, двери, окна. Даже вывеска, где слово «абракадабра» можно читать по-всякому — и сверху вниз, и ступеньками — как вздумается.

Когда-то это загадочное слово было магическим заклинанием. Теперь так называют всякую бессмыслицу.

Уж не потому ли нам советовали сюда зайти? Нам ведь тоже нужно расшифровать абракадабрскую записку!

Кроме вывески, за зеркальными витринами висят и другие треугольные таблички:




А одна табличка круглая — не то солнце, не то циферблат башенных часов, только без стрелок. Вместо цифр по кругу написаны русские буквы. Все они перенумерованы. А что это значит, мы так и не поняли. Абракадабра!



Нам повезло: все столики были свободны. Мы ведь намного опередили зрителей, покидавших стадион. Из-за стойки, уставленной всякими вкусными вещами, навстречу нам поднялся директор, дородный Пэ из латинского алфавита.



— Очень рад познакомиться. Сегодня у нас исключительно вкусные треугольники. — Он посмотрел на нас многозначительно и добавил:

— Уверен, что именно вам они очень понравятся.

Он подвел нас к треугольному столу и усадил на треугольные стулья. Сева, конечно, не удержался от вопроса:

— Отчего это у вас все треугольное?

— В честь Паскаля, — ответил директор.

— Но кто такой Паскаль? Нельзя ли с ним познакомиться?

— Отчего же! Это долг каждого культурного человека. Блез Паскаль — почетный гражданин Аль-Джебры. Он жил в семнадцатом веке во Франции. О! Это был щедро одаренный человек! Он известен не только как талантливый ученый — математик, физик, философ, но и как писатель. В этом вы когда-нибудь убедитесь, прочитав его интересное сатирическое сочинение «Письма к провинциалу». Но занятия литературой не помешали Паскалю изобрести первую счетную машину — прапрабабушку нашего арифмометра. Кроме того, Паскаль знаменит тем, что открыл очень важный закон физики. Это закон давления жидкостей и газов на стенки сосуда. В нашем кафе можно увидеть его в действии. Если вы захотите кофе…

— Что за вопрос! — перебил Сева. — Конечно, мы хотим кофе!

— Тогда подойдите к этим аппаратам. — Пэ подвел нас к стойке, где стояли до блеска начищенные кофеварки.

— Все эти сосуды, — продолжал он, — самой различной формы, но, заметьте, одинаковой высоты. И рассчитаны они на разное количество жидкостей. В этом — четверть литра, в этом — литр, а в этом — два литра крепкого черного кофе. Зато донышки сосудов, так же как и высота, совершенно одинаковых размеров. Они прижаты к сосудам особым механизмом с пружинками. Как только вес жидкости в сосуде становится больше силы, с которой пружинки прижимают донышко к сосуду, донышко опускается и отводится в сторону рычажком.

Мы подумали, что пружинки в разных сосудах прижимают донышко с разной силой.

— Ничего подобного, — возразил директор, — пружинки всюду совершенно одинаковые.

— Как же так? — удивились мы. — Ведь сосуды вмещают разное количество жидкости. Чем больше налито кофе, тем больше будет его давление на дно?

— В том-то и суть закона Паскаля, что давление на дно не зависит от количества жидкости в сосуде! — воскликнул Пэ. — Оно зависит лишь от высоты сосуда.

— Проверим! — сказал Сева и решительно направился к самому большому сосуду. Он уже собирался нажать кнопку, чтобы налить себе кофе, но директор его остановил:

— Как? Вы хотите выпить сразу два литра? Но ведь это же очень вредно! Из этого сосуда мы отпускаем кофе на дом многосемейным. Прошу вас за столик. Сейчас я подам вам по чашечке кофе и большую вазу с треугольниками. Они тоже приготовлены по рецепту Паскаля.

Вот не думал, что можно питаться треугольниками! При слове «треугольник» мне сейчас же вспоминаются папины чертежные принадлежности.

Слава богу, треугольники в кафе «Абракадабра» вовсе не пластмассовые, а вафельные. И с самой разной начинкой: шоколадные, фруктовые, сливочные, ореховые, миндальные. Мы перепробовали все, какие были, и так увлеклись, что не заметили, как кафе заполнилось публикой. Скоро все столики были заняты. К этому времени у нас оставалось всего-навсего три вафли. Все взяли по одной и хотели уже прикончить, но нас остановила Таня.

— Смотрите, — сказала она, — на моем треугольнике какая-то надпись.

Тогда и мы посмотрели и увидели, что на вафлях написано: «Треугольник Паскаля».

— Что-то вроде штампа фабрики, — сообразил Сева. — Как у нас «Красный Октябрь» или «Фабрика имени Бабаева».

— А это тоже фабрика Бабаева?

Таня перевернула треугольник другой стороной. Там были выпуклые числа. Мы сличили свои вафли; числа на всех были одинаковые.

Сначала нам показалось, что они расположены беспорядочно. Только слева и справа в каждом ряду обязательно стоит единица. Приглядевшись, мы увидели, что числа определенным образом чередуются. Вот, например, в пятом ряду: 1, 4, 6, 4, 1. В седьмом: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Мы заметили также, что если спускаться по левой стороне треугольника, в первом наклонном столбце написаны единицы, во втором — натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9… Дальше числа стоят вразброд: 1, 3, 6, 10, 15, 21… А потом и того хуже: 1, 4, 10, 20, 35, 56…



— Одним словом, абракадабра! — проворчал Сева.

— Напрасно думаете, — заметила наша соседка, латинская буква Эс. — В этих числах есть определенный порядок, и разобраться в нем вовсе не трудно.

— Ну, где тут порядок? Где? — горячился Сева.

— Немножко наблюдательности — и вы перестанете спорить. Заметьте, что любое число в этом треугольнике равно сумме двух чисел, стоящих над ним.

— Правда! — сказала Таня. — Число 28 из девятого ряда равно сумме семи и двадцати одного, которые стоят над ним.

— А 126 из десятого ряда равно сумме семидесяти и пятидесяти шести, — сосчитал Сева.

— Вот видите! Никогда не торопитесь с выводами, — сказала Эс. — Часто то, что кажется неразберихой, на самом деле имеет строгий порядок. Надо только его обнаружить.

В том-то и задача каждого ученого.

— До чего интересный треугольник придумал Паскаль! — вздохнула Таня.

— О, в этом треугольнике еще много замечательного. Сложите числа каждого ряда. В первом ряду так и будет единица. Во втором?

— Два.

— В третьем?

— Четыре. В четвертом — восемь, в пятом — шестнадцать, затем — тридцать два, шестьдесят четыре…

— Слушайте! — закричал я. — Ведь это же разные степени числа два:


20 = 1;
21 = 2;
22 = 4;
23 = 8;
24 = 16;
25 = 32.

Мне показалось, что Эс посмотрела на меня одобрительно.

— Не кажется ли вам, — сказала она, — что все эти степени можно записать одним алгебраическим выражением: 2n — 1 — два в степени эн минус единица?

— Почему же не просто два в степени эн?

— Оттого, что эн обозначает порядковый номер строки, а показатель степени здесь всегда на единицу меньше порядкового номера. В первой строке — нуль, во второй — единица, в третьей — два, и так далее.

— Ага! — догадалась Таня. — Выходит, сумма чисел, стоящих в десятой строке, будет равна двум в девятой степени, что можно изобразить так: два в степени десять минус единица: 210 — 1.

— Или два в степени эн минус единица, — победоносно закончил Сева.

— Очень приятно, что вы это поняли, — обрадовалась Эс. Но Сева сейчас же доказал, что радоваться рано.

— Жаль, что такое удивительное изобретение используется только для приготовления вафель, — заявил он.

Эс даже поперхнулась.

— Что вы такое говорите! Треугольник Паскаля широко применяется в Аль-Джебре. Он блестяще используется при возведении в степень двучленов. Кстати, этим вопросом занимался не только Паскаль, но и его великий современник, сэр Исаак Ньютон. С его формулой, известной под названием бинома Ньютона, вы познакомитесь несколько позже. Каждому овощу свое время…

— А! Ньютон! — небрежно отмахнулся Сева. — Это тот самый, который подошел к нам вместе с Лейбницем на Дороге Светлого Разума. Они там вдвоем что-то такое открыли, а потом разбирались, кто из них первый…

— Это «что-то такое» положило начало высшей математике. И называется оно анализом бесконечно малых и бесконечно больших величин.

И Эс, сухо попрощавшись, удалилась.

Сева так смутился, что нам его жалко стало.

Но не прошло и пяти минут, как он уже составлял какие-то новые треугольники, которые решил, конечно, назвать своим именем.

Вот один из них. Покажи его своим ученикам. Может быть, вы наведете в нем порядок.

Будь здоров. Олег.


Да! Совсем забыл ответить на твой вопрос. Ты хочешь знать, почему а + b — с называется суммой.

Дело в том, что знаки плюс и минус, обозначающие положительные и отрицательные числа, в то же время обозначают сложение и вычитание.

Что значит, например, +3 + 2? Разве это не то же самое, что 3 — 2?

И то и другое равно единице.

Потому-то в алгебре сумму и разность часто объединяют одним названием: алгебраическая сумма.

Напиши а + b — с так:


+а + +b + с

и ты увидишь, что Сева нисколько не ошибся.


Горячо — Холодно (Сева — Нулику)

Ну, Нулик, держись! Это письмо тебя наверняка удивит и обрадует, потому что… Впрочем, нет! Рассказывать, так по порядку.

Все еще торчим в «Абракадабре». То никак не могли попасть, то никак не выберемся. Совсем уж собрались уходить, но вдруг я вспомнил о стручке, сунул руку в карман — пусто!

Искали, искали, лазали по полу — хорошо, пол здесь чистый, — нигде его нет… А потом я подошел к столу, где мы сидели, и вижу: в вазе на круглой бумажной салфетке лежит один треугольник. Откуда он взялся? Помнится, мы съели все.

Очень мне захотелось взять эту вафлю. На память. Тетя Нина говорит, что это неприлично. Ну, да один раз — куда ни шло! Да и вафелька-то была совсем маленькая. Я поднял ее. Глядь! А стручок-то под ней. Неспроста!

Стали мы рассматривать вафельку. Чисел на ней не было. Зато было пять рядов букв. Буквы стояли вразброс, но мы уже знали, что беспорядок бывает обманчивым. И все-таки как мы ни старались, никаких закономерностей не открыли. Тогда Таня перевернула вафлю. На другой стороне тоже было пять рядов букв. Посмотрели — и ахнули! Прочитай, что там было написано, и ахнешь тоже:

Первая весточка от Черной Маски! Вот она, тайна, где-то рядом. Как в игре «горячо — холодно». Я чуть не закричал: «Горячо, горячо!»

— Может быть, это ключ к шифру! — сказал Олег.

Он осторожно расслоил вафлю. Вместо одной толстой получились две тоненькие. Мы положили их рядом и стали сличать буквы. Олег вынул карандаш и бумагу и написал два ряда букв:


я от вас ушел маска
а пу гвт фыим ндчоб

Вот когда мы расшифруем записку!

Но Олег снова задумался:

— Нет, тут что-то не так. В первом ряду буква «а» повторяется три раза. Но каждый раз она зашифрована по-разному. Сначала «а» — это «в», потом — «д», потом — «б». Значит, шифр все время меняется. Но как?

То-то и оно!

Мы опять приуныли.

Я с досадой взглянул на стручок. Разлегся как лодырь на круглой бумажной салфетке, а до нас ему и дела нет.

Только сейчас я заметил, что на салфетке, точь-в-точь как на круглой табличке в витрине, написаны буквы русского алфавита. Под каждой буквой номер. Мы стали рассматривать салфетку.



И вдруг стручок начал медленно вращаться. Совсем как часовая стрелка. Острый кончик его медленно скользил от буквы к букве.

— Смотрите! — сказал я. — После «я» на салфетке написано «а». И в шифре вместо «а» надо читать «я». После «о» стоит «п». И в шифре «п» означает «о». Значит, буквы надо заменять соседними.

— Ничего подобного! — заспорила Таня. — В слове «вас» буква «а» заменена буквой «в». А ведь буква «в» не соседняя, а вторая после «а». А в слове «ушел» буква «ш» заменена «ы». А это уже третья буква после «ш».

Ну и задача! Абракадабра!

Мы растерянно смотрели на вафли. Но что это! Хочешь верь, хочешь не верь: буквы на шифрованном треугольнике исчезли. Вместо них появились числа.

Треугольник Паскаля! Вот так штука!

Олег внимательно переводил глаза с бумажки на салфетку, с салфетки на вафлю.

— Смотрите-ка, в слове «вас» буква «а» заменяется буквой «в». Это как раз вторая буква после «а». Теперь поглядим на треугольник Паскаля. Там на этом месте тоже двойка. То же самое и в слове «ушел». Буква «ш» заменяется «ы», которая занимает третье место после «ш». И в треугольнике Паскаля там тоже стоит тройка.

Вот тебе и ключ к шифру! Только подойдет ли он к нашей записке?

Олег вынул ее из потайного кармана, и мы стали расшифровывать. Сначала, правда, запнулись. Понимаешь, слова записки не были заключены в треугольник. А нам надо было знать, по какой строчке треугольника расшифровывать каждое слово. Но Олег быстро догадался, как это делается: если в слове пять букв — расшифровывай по пятой строке треугольника, если восемь — по восьмой, и так далее.

Первое слово записки — «трэялрп». В нем семь букв. Но в нашем треугольнике было всего пять строк. Пришлось попросить большой треугольник. Для научных целей. Директор выбрал самый что ни на есть огромный.

Посмотрели на седьмую строчку. Там были такие числа:


1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

Подписали под ними первое слово:


1  6  15  20  15  6  1
т   р   э   я   л   р   п.

Теперь надо было отодвинуться по кругу от «т» на одну букву, от «р» — на шесть, от «э» — на пятнадцать… Стали отсчитывать буквы по ходу часовой стрелки. Но вот беда: стручку это почему-то не понравилось. Он упорно двигался в обратном направлении.

Тогда мы смекнули, что по часовой стрелке надо отсчитывать буквы, когда зашифровываешь. А мы-то расшифровываем! Значит, и отсчитывать следует против часовой стрелки. Отсчитали от «т» одну букву назад — получили «с», от «р» шесть букв — получили «к», от «э» пятнадцать букв — получили «о»…

И вот уже вместо дурацкого слова «трэялрп» перед нами хорошее русское слово «сколько». Точно так же расшифровали и следующее слово «вюоп». В нем четыре буквы. Посмотрели на четвертую строчку треугольника: 1, 3, 3, 1. Оказалось, что это никакое не «вюоп», а просто «было».

Так, слово за слово, распутали мы всю абракадабру. Вот что оказалось в записке:

«Сколько было у меня горошин, если Нулик сперва съел одну треть их, затем прихватил не то две, не то четыре горошины, половину остатка я потерял, а Нулик вернул мне половину того, что он прихватил; потом две горошины я подарил, а последнюю унес ветер? Стручок».

Час от часу не легче! Разгадал одну загадку — теперь разгадывай другую.

Вот какие дела, старик!


Сева.


Старый знакомый (Таня — Нулику)

Дорогой Нулик! Мы все еще в том же заколдованном месте.

Расшифровали записку и стали решать задачу стручка. Бились, бились — ничего не выходит! Хотели уж идти в Автоматическую справочную, но Пэ отсоветовал.

— Если вы в самом деле хотите помочь одному незнакомцу, — сказал он таинственно, — решите эту задачу сами. Но для этого необходимо составить уравнение…

Легко сказать, составить уравнение! Составить треугольник Паскаля — это еще куда ни шло, но уравнение?…

— Понимаю, — посочувствовал Пэ, — вы еще не были на нашем образцовом строительстве. Иначе вы уже знали бы, с чем это едят.

— Строительство и уравнение? — покачал головой Сева.

— Ничего удивительного! Неужели вы думаете, что можно построить что-нибудь без уравнений?

Мы хотели сейчас же, сию минуту отправиться на это необыкновенное строительство, но директор напомнил, что сегодня праздник. Придется подождать до завтра.

— Кстати, — добавил он, — сейчас в нашем кафе начнется выступление знаменитого фокусника. Хотите посмотреть?

Не стоило и спрашивать. Кто же откажется от такого удовольствия? И можешь себе представить, на эстраде появился тот самый фокусник, который выступал в карликанском цирке! Мы обрадовались ему, как родному. Сейчас он станет делить нуль на тысячу частей, покажет Великана из Бесконечности… Но все было иначе.

Фокусник поднял руку, и в ней неизвестно откуда появилась длинная палка. Потом он выпустил палку, но она не упала, а продолжала лежать в воздухе, как на столе. Фокусник предложил публике убедиться, что палка не какая-нибудь фальшивая, а выточенная из цельного куска дерева.

Первым на эстраду выскочил Сева, за ним — еще несколько посетителей. Все они подтвердили, что никакого обмана нет.

Тогда фокусник взмахнул рукой, и вот уже на палке, как воробьи на проводах, уселись его ассистенты-числа:



— Обратите внимание, — сказал фокусник, — числа расположены на палке в определенном порядке. Каждое, начиная слева, больше предыдущего на одно и то же число.

— На два! — крикнули из зала.

— Правильно, на два.

Фокусник снова взмахнул рукой, и на палке появились другие числа:



— Попрошу уважаемую публику ответить: какой порядок в этом ряду чисел?

— Каждое число больше предыдущего на пять, — сказала я.

— Благодарю вас, — поклонился фокусник. — Так вот, должен вам сделать потрясающее сообщение: ряд чисел, где каждое последующее число больше предыдущего на постоянную величину, называется ар-р-р-ифметической пр-р-р-ро-грессией. Но это еще не все. Эта постоянная величина называется разностью прогрессии. И более того: сами числа называются членами прогрессии!

— Ага! Значит, в первом случае разность прогрессии была равна двум, а во втором — пяти, — сказал кто-то.

— Браво! — воскликнул фокусник.

Сева толкнул меня локтем:

— Все это хорошо, но когда начнутся фокусы?

Фокусник, наверное, услышал его слова. Он лукаво посмотрел на Севу и снова взмахнул рукой. И вдруг палка, толстая палка, выточенная из цельного куска дерева, согнулась посредине и концы ее сошлись. Теперь числа, сидевшие, на равном расстоянии от концов, оказались точно друг против друга: три — против сорока восьми, восемь — против сорока трех, и так далее.



— Попрошу сложить любую пару чисел, — предложил фокусник.

Мы сложили: три и сорок восемь. Получилось пятьдесят один. Затем восемь и сорок три. Снова пятьдесят один. Тринадцать плюс тридцать восемь… Что такое? Опять пятьдесят один! И восемнадцать плюс тридцать три, и двадцать три плюс двадцать восемь — все они в сумме давали одно и то же число: пятьдесят один.

— Вот это уже фокус! — закричал Сева.

— Где фокус? — развел руками фокусник. — Это вы называете фокусом? Ха-ха-ха! Обыкновеннейшее алгебраическое правило.

— Но в чем же тогда фокус? — хорохорился Сева.

Фокусник небрежно разогнул палку, словно она была из бумаги.

— Попробуйте положить палку в воздухе, согнуть ее пополам, потом снова разогнуть и вы не станете задавать мне такие вопросы!

Все засмеялись, захлопали, а фокусник продолжал: — Предлагаю сделать небольшой опыт. Кто из вас быстрее сложит все числа этой арифметической прогрессии? Раз, два, три — начали!

В зале зашептались, зашуршала бумага, задвигались карандаши. Мы тоже стали складывать:


3 + 8 + 13 + 18 + 23 + 28 + 33 + 38 + 43 + 48.

Сначала складывали в уме, потом — столбиком. От волнения все время сбивались. Нам очень хотелось сосчитать быстрее. Но почему-то получалось медленно. Под конец чуть не подрались.

Но тут фокусник поднял руку:

— Стоп! Никуда не годится, слишком долго считаете. Можно гораздо быстрее. — И он снова согнул палку пополам. — Попрошу убедиться! Перед вами пять пар чисел. Сумма каждой — пятьдесят один, а сумма пяти пар в пять раз больше. Беру пятьдесят один, умножаю на пять. И что я получаю? Я получаю двести пятьдесят пять! А теперь попробуйте сами. Желающие, проходите, проходите, не стесняйтесь!

Мне уж давно хотелось принять участие в опытах, да как-то неловко было. Но Олег подтолкнул меня, и я очутилась на эстраде.

Теперь на палке были уже другие числа:



— Прошу найти сумму этих чисел, — сказал фокусник. — Быстренько, быстренько!

— В прогрессии восемь членов, — сказала я, — значит, четыре пары. Сумма крайних членов — сорок два. Умножаю сорок два на четыре. Получается сто шестьдесят восемь. Правильно?

— Абсолютно правильно! — подтвердил фокусник. — Сто шестьдесят восемь!

— Но позвольте, — вмешался Сева, — почему вы в Аль-Джебре решаете карликанские задачи? Это же простая арифметика!

— Вот именно простая. Применяя такой способ, мы упрощаем решение. Обратите внимание: упрощение — один из главных девизов Аль-Джебры. Другой ее девиз — обобщение. Правило, которое я сейчас вам показал, справедливо для любой арифметической прогрессии. И следовательно…

— Следовательно, его можно выразить буквами, — перебил Олег.

— Великолепно! — воскликнул фокусник. — Вы попали в самую точку. Итак, размещаю на палке не числа, а буквы. Каждый член прогрессии обозначаю буквой а и снабжаю ее порядковым числом, чтобы не было никакой путаницы. Такое число называется индексом и ставится чуть ниже и справа от буквы.

Фокусник подал знак, и буквы а в сопровождении индексов быстро расселись на палке:


a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8.

— Внимание! Приступаю к выводу формулы. В этом ряду под а1 и а2 можно подразумевать любые числа.

— Ну конечно, — сказал Сева, — так же как и под всеми остальными.

— Думайте, думайте, молодой человек! — возразил фокусник. — Ведь все эти а — члены одной арифметической прогрессии. Поэтому произвольно могут быть взяты только первые два а. Величины остальных зависят от разности между двумя первыми. Итак, обозначаю разность буквой d. Ведь разность прогрессии постоянна. Тогда:


a2 = а1 + d;
а3 = а2 + d;
a4 = a3 + d.

И так до конца прогрессии. Понятно?

— Понятно, понятно! — закричали все.

— Продолжаю! Надеюсь, все заметили, что в этой прогрессии восемь членов. Или четыре пары. Сумму крайних членов записываю так: а1 + а8.

Обозначаю сумму всех членов большой латинской буквой Эс — S. Ведь слово «сумма» начинается с этой буквы! Значит,


S = 4(а1 + a8).

Кто-то спросил:

— А если в прогрессии десять членов? Как тогда вычислить сумму?

— Точно так же, — ответил фокусник. — Только пар станет уже не четыре, а пять, и последний член прогрессии будет a10:


S = 5(a1 + a10).

— Стало быть, это справедливо для любого числа членов? — не унимался дотошный зритель.

— Какое число членов вам угодно сложить?

— Пять! Двадцать! Сто семьдесят пять! Двести сорок! Миллион семьсот тысяч! — неслось со всех сторон.

Фокусник закрыл уши руками:

— Тише, тише! Сейчас все ваши просьбы будут исполнены.

Он подождал, когда все успокоятся, и снова заговорил:

— Обозначаю число членов буквой Эн — n. Тогда последний член прогрессии будет а энное — an, а сумма крайних членов


a1 + an.

Нетрудно догадаться, что число пар будет в два раза меньше числа n, то есть n/2. Вот и выходит, что сумма членов запишется так:


S = (a1 + an) × n/2.

— Разрешите спросить, — сказал Олег, — если число членов прогрессии нечетное, как вы его разобьете на пары?

— А уж над этим вы подумайте сами. Но поверьте честному слову фокусника — формула нисколько не изменится.

Он еще раз сложил свою палку, и она тут же исчезла. Все захлопали, засмеялись. Фокусник тоже сложился пополам и исчез так же неожиданно, как его палка.

Вот какие фокусы показывают в Аль-Джебре.


Таня.


Последняя калитка (Нулик — отряду РВТ)

Здравствуйте, ребята! Письмо Тани нам ужасно понравилось. И все мои ученики сразу захотели стать фокусниками. Но я сказал, что фокусником буду я, а они — моими ассистентами. Их дело — сидеть на палке.

Сначала на палке никто сидеть не хотел. А когда я их уговорил, оказалось, что сидеть не на чем. Потому что мы нигде не могли найти палку, которая складывается. Я очень расстроился, а все, наоборот, обрадовались и побежали кататься на калитке. Это у нас игра такая. В Арабелле давно уже нет никаких заборов. Случайно остался один по дороге в Римскую провинцию. Там еще такая скрипучая калитка. Сядешь на нее и ездишь. Вперед-назад, вперед-назад!

Ну, я тоже поплелся. Все стали кататься, а я стоял в сторонке и смотрел. А потом догадался: вот она, палка, которая складывается! То есть не палка, а забор с калиткой. Ведь калитка, если ее открыть, доходит до самого забора! А забор сделан из редких поперечных планок. В калитке четыре поперечные планки. Отсчитать еще четыре на заборе. Выбрать восемь ассистентов — на каждой планке по одному — и открыть калитку до самого конца. Мое предложение понравилось. На палке не хотел сидеть никто, зато на заборе захотели сидеть все. Чтобы не было скандала, я отобрал восемь ассистентов по порядку: Единицу, Двойку, Тройку, Четверку, Пятерку, Шестерку, Семерку и Восьмерку.

Сказать по правде, я думал, что это никакая не прогрессия, а натуральный ряд чисел, но у меня другого выхода не было, иначе все бы передрались.

Числа стали на планки. Несколько других ассистентов ухватились за калитку. Я взмахнул рукой, калитка со страшным скрипом поехала к забору… И вот уже у нас получились четыре пары чисел:


4 и 5;
3 и 6;
2 и 7;
1 и 8.

Сложили каждую пару — получилось девять. Вот так штука! Выходит, я сделал открытие: натуральный ряд чисел тоже прогрессия. И разность ее равна единице.

Я сложил все числа натурального ряда от единицы до двухсот. Прямо в уме! Вот где мне пригодилась формула фокусника.

Первый член прогрессии a1 = 1, а последний an = 200. Значит, сумма прогрессии равна:


S = (1 + 200) × 200/2 = 201 × 100 = 20100.



Двадцать тысяч сто! Вот здорово! От радости я изо всех сил ухватился за калитку и стал ее раскачивать вместе с ассистентами. И тут ржавые петли не выдержали, калитка отвалилась, и все попадали на землю. Настроение сразу испортилось. Еще бы! У кого синяк под глазом, у кого штаны порваны… И мы пошли домой.

По дороге я придумал еще одну прогрессию:


1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + …

И так до тысячи. В этой прогрессии разность равна нулю. Ведь нуль все-таки число! Подставил числа в формулу, и получилось:


S = (1 + 1) × 1000/2 = 2 × 500 = 1000.

А дома мне здорово влетело от мамы — ей уже успели на меня нажаловаться.

— Это еще что за фокусы? — сказала она. — Никаких калиток! Чтобы больше этого не было!

Больше и не будет. Потому что кататься все равно не на чем. Калитка-то отвалилась, а она ведь была последняя!

Привет.


Нулик-Фокусник.


Простота и невероятность (Олег — Нулику)

Вот мы и расстались с «Абракадаброй». Директор подробно объяснил, как нам завтра пройти на строительство. Мы поблагодарили его за угощение и пошли побродить.

Был уже вечер. Ярко светились огни домов, вспыхивали и гасли разноцветные вывески. Из раскрытых окон доносилась музыка. Там за накрытыми столами собрались жители Аль-Джебры, чтобы отметить свой праздник.

Нам вдруг стало не по себе. Почему-то захотелось домой. Но тут совсем близко раздался голос из репродуктора: «Внимание! Внимание! Через пять минут в Павильоне невероятных задач начнется праздничное состязание. Председателем жюри единогласно избран всемирно известный барон Мюнхгаузен. Желающих принять участие просят поторопиться!»

Ты, уж наверное, догадался: мы снова очутились рядом с Парком Науки и Отдыха. Можно подумать, ноги несли нас туда сами!

Вот и Павильон невероятных задач. С трудом отыскали свободные места. На эстраду вышли судьи. Мюнхгаузена встретили громкими аплодисментами. Кстати, роль его исполняла буква Ка. Барон учтиво раскланялся и начал:

— Уважаемая публика! Разрешите мне объяснить правила предстоящего состязания. Каждый участник должен придумать задачу. На первый взгляд она должна быть очень простой — такой простой, чтобы всем показалось, что решить ее легче легкого. Это — первое условие. Второе… О, второе условие — невероятность решения! Разумеется, я не говорю о решении на бумаге. Наоборот, задача должна быть решена в числах, но практически она должна быть невыполнима.

Итак,повторяю: условие состязания — простота и невероятность. Я мог бы для примера рассказать вам что-нибудь из своей практики. Но, к сожалению, все истории, которые со мной случались, были не только просты, но и вполне вероятны. Почему высмеетесь? Все знают, что барон Мюнхгаузен самый правдивый человек на свете. Разве не правда, что я верхом на пушечном ядре влетел в неприятельский город? Разве не правда, что я нанизал на бечевку целую стаю живых уток и вместе с ними взлетел в воздух? Таких правдоподобных историй у меня сколько угодно. Ваше же дело — придумать задачу, не выполнимую на практике. Не подумайте только, что она должна быть бессмысленной. За бессмысленные задачи участники платят штраф и вызывают из состязания. Ну что ж, начнем? Попрошу желающих. На сцену поднялись пухлая Шестерка и латинская буква Эн. Барон Мюнхгаузен предложил им тянуть жребий. Первой получила слово Шестерка. Вот что она рассказала:

— В давние времена, на Востоке, жил могущественный и грозный шах. Он был несметно богат. Все трепетали перед ним. Приближенные не только исполняли, но и предупреждали любое его желание. Сначала это нравилось шаху. Но настал день, когда все ему наскучило. Не радовали его больше ни наряды, ни яства, привезенные со всех концов света…

День ото дня становился он все угрюмее. Напрасно поэты слагали в его честь стихи. Напрасно пели для него самые искусные певцы, танцевали самые прославленные красавицы. Ничто не могло развлечь скучающего владыку. Целыми часами сидел он в своих роскошных покоях, бессмысленно глядя в одну точку. Дошло до того, что он заболел.

Врачи сменялись у его ложа чародеями и предсказателями. Но все их старания ни к чему не приводили. От шаха осталась одна тень. И все поняли, что дни его сочтены.

И вот у решетки шахского дворца появился странник. Босые ноги его были изранены, сквозь грязные лохмотья просвечивало тело. Странник сказался искусным врачом и потребовал, чтобы его пустили к шаху. Стража грубо оттолкнула оборванца. Тот поднял отчаянный крик. Услыхал его вопли шах и пожелал видеть безумца, который осмелился нарушить его покой. Нищего впустили.

— О великий шах, — сказал он, — я пришел, чтобы излечить тебя от тяжкого недуга.

— Чтобы излечить, надо знать причину болезни, — возразил шах. — Откуда знать тебе то, чего я и сам не знаю?

— Ошибаешься, — сказал странник, — причина твоей болезни — скука. Скука — бич богатых. Им нечего желать, потому что желания их тут же исполняются. Им не о чем думать, потому что за них думают другие. Я принес тебе лекарство, которое заставит тебя думать.

Странник достал из-под рваного плаща небольшую доску, расчерченную черными и белыми квадратами. Он положил ее на низенький столик рядом с шахским ложем и выстроил на ней черные и белые фигурки.

— Эту игру, — сказал он, — я назвал шахматами: ведь ей предстоит излечить шаха.

С этой минуты шах ни о чем, кроме шахмат, и знать не хотел. Целые дни проводил он вместе со странником за шахматной доской и подолгу размышлял над каждым ходом. Здоровье его заметно улучшилось. А когда ему удалось впервые выиграть партию, он почувствовал себя совершенно исцеленным.

— Требуй у меня всего, чего пожелаешь, — сказал он своему спасителю. — Захочешь, подарю тебе гору золота, захочешь — табун чистокровных арабских скакунов…

— О шах, — перебил его странник, — не надо мне ни золота, ни скакунов. В твоей стране столько голодных! Накорми их, — это будет для меня лучшим подарком.

— Какое мне дело до других! — воскликнул разгневанный шах. — Я обещал одарить тебя.

— Для себя мне немного нужно, — улыбнулся странник. — Видишь эту шахматную доску? На ней шестьдесят четыре клетки. Положи на первую клетку одно зернышко риса, на вторую — два зернышка, на третью — четыре, на четвертую — восемь. И так удваивай число зерен на каждой следующей клетке, до тех пор, пока не заполнишь последнюю. Вот и все.

— Только-то?! — облегченно вздохнул шах. — Мало же ты просишь! Я бы потребовал больше.

Принесли мешок риса, и шах сам начал выкладывать зерна. На первую клетку положил одно, на вторую — два, на третью — четыре…

Уже на седьмой клетке для шестидесяти четырех зерен не хватило места.

— Что же, — сказал странник, — вели ссыпать зерна в мешок.

Но шаху быстро наскучило считать. Он кликнул слуг. Теперь стали отсчитывать зерна они: шестьдесят четыре, сто двадцать восемь, двести пятьдесят шесть, пятьсот двенадцать, тысяча двадцать четыре…

Но это была еще только одиннадцатая клетка!

Стемнело. Зажгли светильники. Слуги чуть не падали от усталости. Когда они дошли до семнадцатой клетки, им нужно было отсчитать шестьдесят пять тысяч пятьсот тридцать шесть зерен. Но тут они сбились со счета. Несмотря на то что была уже глубокая ночь, шах велел разбудить мудрецов. Теперь он уже не смеялся, — побледнел, осунулся…

Прошли сутки, и еще одни сутки, и еще одни сутки, а мудрецы все считали… Вот уже и они стали валиться от усталости, а конца все еще не было видно. Слуги вносили все новые и новые мешки…

Но вот вбежал насмерть перепуганный хранитель шахских запасов. Он доложил, что в амбарах не осталось ни одного рисового зернышка.

— Негодяй! — закричал шах страннику. — Ты разорил меня!

— Я просил тебя накормить голодных, — ответил странник, — ты не захотел этого. Тогда я изменил свою просьбу. И ты счел меня глупцом. Попробуй теперь сосчитать, сколько зерен нужно положить на последнюю, шестьдесят четвертую клетку, и ты поймешь, кто из нас глупец. Опустоши все рисовые поля на свете — тебе и этого не хватит, чтобы со мной расквитаться.

— Ах так! — в бешенстве закричал шах. — Сейчас ты узнаешь, умею ли я платить сполна. Отрубить ему голову!

— Такова шахская справедливость, — закончила свой рассказ Шестерка. — А теперь прошу вас убедиться, что задача эта очень проста, но практически невыполнима. Число рисовых зерен росло по такому правилу: 1, 2, 4, 8, 16, 32, и так далее. Каждое последующее число больше предыдущего в два раза.

Такой ряд чисел называется геометрической прогрессией. Только, пожалуйста, не путайте ее с арифметической. В арифметической прогрессии каждое последующее число больше предыдущего на одно и то же число — оно называется разностью прогрессии. В геометрической прогрессии каждое последующее число больше предыдущего в одно и то же число раз, и число это называется знаменателем прогрессии.

В нашей задаче знаменатель прогрессии равен двум. Если хотите, эту прогрессию можно записать и так:


20, 21, 22, 23, 24, 25, 26

Нетрудно догадаться, что на шестьдесят четвертой клетке должно быть 263 — два в шестьдесят третьей степени зерен, потому что на первую клетку приходится 20 — два в нулевой степени зерен, то есть одно зерно. Но если вы попробуете сосчитать, чему равно два в шестьдесят третьей степени, вы ужаснетесь. Такого огромного количества зерен никогда не смог бы раздобыть жестокий шах. Он не смог бы даже прочитать это число. Вот оно:


9 223 372 036 854 775 808 —

девять квинтиллионов двести двадцать три квадриллиона триста семьдесят два триллиона тридцать шесть миллиардов восемьсот пятьдесят четыре миллиона семьсот семьдесят пять тысяч восемьсот восемь… Уф!

Попробуйте подсчитать, сколько это килограммов риса, если каждое зернышко в среднем весит 0,0182 грамма. Знаете, что получится? Больше ста шестидесяти семи триллионов килограммов! Стоит ли доказывать, что моя задача хоть и проста, но практически невыполнима?

Шестерка поклонилась и села. Ей долго хлопали. Потом поднялась латинская буква Эн. Она сказала так:

— Уважаемая Шестерка познакомила нас с геометрической прогрессией, где все числа непрерывно растут. Такая прогрессия называется возрастающей. Я позволю себе занять ваше внимание сразу двумя геометрическими прогрессиями — возрастающей и убывающей. И сделаю это на одном и том же примере. Задача моя будет так же проста, как предыдущая, и так же невыполнима. Моя предшественница рассказала прелестную сказку об изобретателе шахмат и коварном шахе. Позвольте и мне задать вам задачу, связанную с шахматами.

Эн вынула из кармана платок, развернула его и показала публике. На платке были нарисованы шестьдесят четыре квадрата, черные и белые, — как на шахматной доске.

— Будем считать, — продолжала Эн, — что этот платок заменяет нам шахматную доску. Обратите внимание — толщина платка равна 0,1 — одной десятой миллиметра. Складываю платок пополам. Теперь его толщина стала вдвое больше: две десятых миллиметра. Зато и площадь его стала меньше в два раза. Складываю платок еще раз вдвое. Теперь его толщина в четыре раза больше первоначальной, но и площадь уменьшилась в четыре раза. Я предлагаю складывать этот платок вдвое до тех пор, пока возможно. А потом продолжайте складывать мысленно.

Эн бросила платок в зал, кто-то его подхватил и стал перегибать: раз, второй, третий… Перегнул в шестой и крикнул:

— Готово! Теперь видна только одна клетка. Толщина платка увеличилась в шестьдесят четыре раза. Ничего невозможного тут нет.

— Вы сложили платок только шесть раз, — возразила Эн самонадеянному зрителю, — а надо было шестьдесят четыре! Понимаете разницу? Если бы вам удалось это сделать, толщина платка стала бы такой большой, что он перерос бы горы, миновал солнце и уперся бы в какую-нибудь отдаленную звезду.

— А вы докажите! — крикнули в зале.

Тогда Эн стала решать задачу на доске.

— Неужели вы не догадались, что я почти повторила предыдущую задачу? После каждого перегибания толщина платка увеличивается вдвое и возрастает по закону геометрической прогрессии: 2, 4, 8, 16, 32, 64 и так далее. Разница только в том, что после шестидесяти четырех перегибаний толщина платка станет больше не в 263, а в 264 раз. Оно и понятно: ведь эта прогрессия начинается не с 20 — двух в нулевой, а с 21 — двух в первой степени. Толщина развернутого платка 0,1 миллиметра. Чтобы вычислить толщину сложенного платка, надо 0,1 умножить на 264. Получается


1 844 674 407 371 километр.

Один триллион восемьсот сорок четыре миллиарда шестьсот семьдесят четыре миллиона четыреста семь тысяч триста семьдесят один километр.

А ведь расстояние от Земли до Солнца всего-навсего около ста пятидесяти миллионов километров!

Кажется, условие состязания выполнено: задача проста и практически невыполнима.

— А где же обещанная убывающая прогрессия? — спросил Сева.

— Да здесь же, — ответила Эн. — Ведь в то время как толщина платка увеличивается, площадь его все время уменьшается:


1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64,

и так далее. Это и есть убывающая геометрическая прогрессия. После шестидесяти четырех перегибаний площадь станет в 1/264 раз — в одну вторую, взятую в шестьдесят четвертой степени раз, меньше первоначальной. И если бы мы складывали платок дальше, то она все время приближалась бы к нулю, а толщина (или высота) стремилась бы к Великанам в Бесконечность. Вы согласны? Тогда благодарю за внимание.

В зале снова зашумели, захлопали. Барон Мюнхгаузен позвонил в колокольчик и сказал:

— Жюри одинаково восхищено и той и другой задачей. Обеим участницам вручается первый приз.

Он передал победительницам шахматные доски с красивыми фигурами из слоновой кости и добавил:

— Меня так заинтересовали оба выступления, что следующее путешествие я совершу в Бесконечность. А потом — кто знает? — может быть, доберусь и до Нуля!

Барон поклонился. Соревнования кончились, и мы отправились спать. Ведь завтра нам идти на строительство! А перед этим не мешает хорошенько отдохнуть.


Олег.


Новые открытия Нулика (Нулик — отряду РВТ)

Здравствуйте, ребята! Ну и работу вы нам задали! Теперь мы только и делаем, что играем в шахматы. Каждый сам смастерил себе доску и фигуры. Играем с утра до вечера — то друг с другом, а то и каждый сам с собой. Но я все-таки успел сделать открытие: по шахматной доске сразу видно, что Карликания и Аль-Джебра друзья. Ведь каждая шахматная клетка имеет свое обозначение, которое состоит из цифр и букв. Например, е5, а4, d8. Разве это не доказательство дружбы?

Задачу с зернами все-таки решили проверить. Конечно, без риса. Просто все стали писать на своих досках, сколько надо положить рисинок на каждую клетку: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… Когда заполнили первый ряд, выяснилось, что одни пишут слева направо, а другие справа налево.

Стали спорить, как надо писать. Положили две доски одну под другой. На одной числа написаны внизу, слева направо, на другой — вверху, справа налево. Числа, одинаково отстоящие от края, оказались друг против друга. Прямо как на палке у фокусника!

Я попробовал сложить каждую пару, но одинаковых чисел не получилось. Понятно: ведь прогрессия-то не арифметическая, а геометрическая! Тогда я их перемножил и сделал второе открытие: все произведения оказались совершенно одинаковые:


1 × 128 = 128;
2 × 64 = 128;
4 × 32 = 128;
8 × 16 = 128.

Да, теперь я уже не тот Нулик, что прежде. Меня и вправду не узнать. А всё ваши письма!



Дальше считать зерна никто не захотел — кому же охота писать такие огромные числа? Но один Нулик задал интересный вопрос: если на шестьдесят четвертую клетку надо положить девять с лишним квинтиллионов зерен, то сколько всего зерен будет на доске, если, конечно, заполнить все клетки?

— Что тут думать! — сказал другой Нулик. — Всего на доске будет зерен два в шестьдесят третьей степени. То есть вот эти девять квинтиллионов.

— Ничего подобного, — возразил третий, — девять квинтиллионов будет только на последней клетке, а на всей доске во много раз больше.

Они заспорили, а я снова посмотрел на свою шахматную доску, где в первом ряду написана геометрическая прогрессия:


1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.

После треугольника Паскаля я вообще стал очень внимательно рассматривать числа — все время ищу закономерности! Вот и сейчас сложил первый член прогрессии со вторым: 1 + 2 = 3. Сумма их оказалась на единицу меньше третьего члена — четверки. Потом я сложил 1 + 2 + 4. Получилось семь. А это на единицу меньше восьми. 1 + 2 + 4 + 8 = 15. И это тоже меньше шестнадцати на единицу. Выходит, сумма всех предыдущих членов этой геометрической прогрессии меньше последующего всегда на единицу. А это значит, что на шестидесяти трех клетках шахматной доски будет столько же зерен, сколько на последней, шестьдесят четвертой, только на одно зернышко меньше. А всего на доске зерен будет в два раза больше, чем на последней клетке, минус единица:


2 × 263 — 1.

А это ведь все равно что


264 — 1.

Так я сделал третье открытие. И для этого мне не понадобилось ни писать всю прогрессию до конца, ни умножать девять квинтиллионов с хвостиком на два. Хорошая штука алгебра!


Нулик-Шахматист.


Волшебная практика (Сева — Нулику)

Мы чуть не опоздали к началу рабочего дня. И все из-за Тани. На стройках, говорит, всегда пыль и грязь. Как бы мне, говорит, там не испортить любимого платья в оборочках. Наконец она появилась в комбинезоне и сапогах, на голове косынка, защитные очки. Прямо хоть снимай для газеты: «Знатная электросварщица Татьяна Н.».

Девчонок хлебом не корми — дай надеть какую-нибудь обновку. Я-то знаю, что не платья ей жалко, — просто захотелось покрасоваться в комбинезоне.

Ну и лицо у нее было, когда она увидела, что строительство больше похоже на ухоженную детскую площадку, где ребята заняты разными техническими играми — пилят, вырезают, конструируют… Только «игрушки» здесь были гораздо крупнее. Кружевные стрельчатые краны легко передвигали в воздухе разноцветные пластикатные детали.

К нам подошла нарядная латинская буква Эф. Она удивленно покосилась на Танин костюм:

— Хотите познакомиться с нашим экспериментальным строительством? Я вас провожу.

Первым долгом поинтересовались, что здесь строят.

— Да все, что угодно, — ответила Эф. — Дома, машины, бассейны…

Мы залюбовались высоким домом из разноцветных кубиков… Он вырос прямо на наших глазах — ни дать ни взять воздушный замок. И как же мне жалко стало, когда этот замок вдруг рассыпался, а на его месте возникло длинное двухэтажное здание с плоской крышей.

— Охота была строить, а потом разрушать! — подосадовал я.

Но Эф объяснила, что здесь не просто строят, а делают расчеты, которые тут же проверяют на практике. Я подумал, что если это и практика, то, во всяком случае, волшебная.

К нам подошел солидный карликан, Девятка.

— Здравствуйте, — обратился он к Эф. — Мы строим дом. Нам надо вырыть котлован для фундамента. Имеются три экскаватора. Первый может вырыть котлован за четыре часа, второй — за три, третий — за двенадцать. Через сколько часов будет готов котлован, если все три экскаватора работают одновременно? Это очень важно! Без этого я не смогу составить график строительства.

— Обратитесь к Главному Составителю, — ответила Эф.

Мы переглянулись.

— Нельзя ли и нам повидать Главного Составителя? — спросила Таня.

— А вы разве умеете решать уравнения? — поинтересовалась Эф.

Таня только покраснела. А я сказал напрямки, что мы об этом понятия не имеем.

— В таком случае вам придется начать с азов! Чтобы решить уравнение, следует прежде всего познакомиться с отрицательными числами.

Ну, это-то мы знали!

Эф облегченно вздохнула:

— Тогда я могу зачислить вас на строительство в качестве практикантов.

— И мы сейчас же начнем составлять уравнения? — брякнул я.

— О, до этого далеко. Сперва придется поработать в весовой.

Что ты скажешь? Опять отсрочка! В кармане лежит готовая задача, а ты, изволь радоваться, работай весовщиком!

Эф заметила, как мне досадно.

— В нашем деле лучше не торопиться, — сказала она, — это верный способ сэкономить время.

Ничего не поделаешь, пошли в весовую. Кстати, я давно не взвешивался. А в этой Аль-Джебре похудеешь!


Сева.


Весовая (Таня — Нулику)

Что ни говори, Нулик, Аль-Джебра — удивительное государство! Вчера были в современном кафе, сегодня на сверхскоростном строительстве, и вот, не успели опомниться, как попали в гости к древнему восточному кудеснику.

Как ты себе представляешь весовую? Большой амбар, тяжелые неуклюжие весы. У весов — дюжий весовщик в брезентовом фартуке и рукавицах. А вокруг — мешки, ящики, корзины…

Так вот, ничего подобного не было. Нас ввели в полутемный сводчатый зал с тонкими витыми колоннами, такой высоченный, что потолка не видно. Будто над тобой ночное небо, только без луны и звезд. Вместо них в полумраке светятся какие-то закорючки и загогулины. Должно быть, восточные письмена. Посреди зала — большие старинные весы: тяжелые медные чашки, подвешенные на цепях к концам металлического коромысла. Весы тоже сплошь в закорючках и загогулинах. Они парят в воздухе, как большая диковинная птица. А между чашками, словно глазок радиоприемника, сверкает зеленый кошачий глаз.

— Садитесь, — шепнула Эф.

Мы оглянулись: ни стульев, ни кресел. Только несколько пестрых ковриков на полу. Эф уселась на одном из них, скрестив ноги. Мы сделали то же самое.

Бам! Что-то зазвенело — будто стукнулись два медных подноса, — и из темноты вынырнула фигура в длинном черном балахоне с желтыми разводами. На голове — белая шелковая башня. Называется «тюрбан». И борода у него тоже белая и шелковистая.

— Главный Весовщик, — шепнула Эф. — Следите за ним внимательно.

Весовщик приложил руку к сердцу и поклонился. Мы тоже приложили руки к сердцу и поклонились. Потом он взмахнул палочкой, и на каждой чашке весов появилось по Семерке. — обе в светящихся костюмах. Я так на них загляделась — даже не заметила, что в кошачьем глазке засветились две черточки. Эф легонько толкнула меня локтем:

— Это знак равенства. Семь равно семи, — негромко сказала она.



7 = 7

— Уж конечно, не восьми, — фыркнул Сева.

Но тут Весовщик снова взмахнул палочкой, и на правой чашке весов вместо Семерки оказалась Восьмерка. Чашка сразу опустилась. Мы взглянули на зеленый глазок: черточки знака равенства соединились слева и образовали уголок:


7 < 8.

— А вот знак неравенства. Он обозначает, что семь меньше восьми, — пояснила Эф.

Тут Восьмерка и Семерка поменялись местами. Теперь уже опустилась левая чашка. Черточки в кошачьем глазке снова задвигались и соединились правыми концами:


8 > 7.

— Понятно, — сказал Олег, — этот знак показывает, что восемь больше семи. Выходит, там, где палочки сходятся, стоит меньшее число, а там, где они расходятся, — большее.

— Детские игрушки, — проворчал Сева.

Весовщик не обратил внимания на его дерзость. Он взмахнул палочкой, и вот уже вместо чисел на весах засветились буквы: слева а + b, справа с. Между ними загорелся знак равенства:


а + b = с.

Но в Севу точно бес вселился! Все ему не нравилось.

— Почему это, — придрался он, — Весовщик думает, что


а + b = с?

— А он вовсе и не думает — он требует этого, — ответила Эф. — Наверное, ему для какой-то задачи понадобилось, чтобы левая часть непременно была равна правой.

— А может быть, он все-таки ошибается? — заупрямился Сева. — Ведь под буквой можно подразумевать любое число! Вот я сейчас попрошу заменить все три буквы числами.

Он встал и подошел к Весовщику. Признаться, я очень испугалась: вдруг Весовщик рассердится и превратит Севу в какое-нибудь неравенство? Но он вовсе не рассердился. Наоборот, прижал руку к сердцу, и вот уже на левой чашке весов вместо буквы а стоит число Четыре, вместо b — Пять, а на другой чашке вместо с — Девятка:


4 + 5 = 9.

Но Сева не унимался.

— Нет, так не пойдет, уважаемый Главный Весовщик! Вы просто поставили те числа, которые вам выгодно. Позвольте, я сам!

Он назвал другие числа. Весовщик улыбнулся и снова пустил в ход свою палочку. Коромысло закачалось, в глазке зажегся знак неравенства. И мы увидели вот что:


6 + 7 < 20.

— Что я говорил! — закричал Сева. — Выходит, а плюс b не равно с.

И тут молчаливый Весовщик не выдержал.

— О неразумный отрок! — заговорил он тонким скрипучим голосом. — Если ты хочешь стать мудрецом, не болтай языком, не подумав. Под буквами действительно можно подразумевать произвольные числа. Но только до тех пор, пока они не связаны знаком равенства. В равенстве а + b = с можно произвольно заменить числами не три, а только две буквы. Величина третьей выяснится сама собой. Замени две из этих букв числами.

Сева подумал, пошевелил губами…

— Пусть а будет равно пяти, а с — двенадцати. На весах появилось выражение:


5 + b = 12.

— Скажи теперь, — улыбнулся Весовщик, — можно ли вместо b подставить любое число?

Но Сева не успел и рот открыть, как на весах вместо буквы b засветилась Семерка:


5 + 7 = 12.

Сева почесал за ухом.

— Да! С этими равенствами не разгуляешься. Зато уж в неравенстве подставляй что душе угодно — так неравенством и останется.

Весовщик укоризненно покачал головой:

— Опять говоришь не подумав. Неравенство неравенству рознь.

Oн взмахнул палочкой. На левой чашке весов появились c + d, на правой е, а между ними — знак неравенства:


c + d < e.

Правая чашка весов опустилась.

— Назови вместо этих букв любые числа, — предложил Весовщик.

Сева назвал. И на левой чашке весов мы увидели 4 + 8, а на правой 9. Левая чашка опустилась, и знак неравенства повернулся острием вправо:


4 + 8 > 9.

— Ага! Неравенство сохранилось, — обрадовался Сева.

— Да, — сказал Весовщик, — но теперь левая часть стала больше правой, а не меньше, как мы условились.

— Почтенный Весовщик, — вмешался Олег, — вы хотите сказать, что, подставив в левую часть этого неравенства 4 + 8, справа можно подставить любое число, но при одном условии: оно должно быть больше двенадцати. Тогда левая часть всегда будет меньше правой.

— Вот именно, вот именно! — умилился Весовщик и так закивал головой, что вот-вот борода отвалится! Потом он перестал кивать и взглянул на Севу. Тот стоял надутый, взъерошенный, как воробей после драки.

— Вижу, — сказал Весовщик, — тебе во что бы то ни стало хочется подставлять любые числа под все буквы. Так и быть, попробуй еще разок.

На весах засветилось равенство:


3а + 2b = 2а + 3b — b + а.

— Нет уж, спасибо! — Сева даже руками замахал. — Теперь меня не проведешь.

— Зря отказываешься. В этом примере можно подставлять вместо а и b любые числа, какие вздумается.

Весовщик подставил вместо а — Четверку, вместо b — Тройку:


3 × 4 — 2 × 3 = 2 × 4 + 3 × 3 — 3 + 4.

И сейчас же числа эти исчезли, уступив место числу 18 на каждой чашке весов:


18 = 18.

Сева растерянно поморгал глазами. Опять он попал впросак. Но почему?

— Да потому, — ответил Весовщик, — что это равенство особое. Оно называется тождеством. Какими числами ни заменяй буквы в тождестве, равенство все равно сохранится.

— Но как отличить тождество от обычного равенства, не подставляя чисел вместо букв? — спросила я.

— Для этого надо обе части равенства сделать совершенно одинаковыми. Смотрите!

Мы увидели на весах прежнее тождество:


3а + 2b = 2а + 3b — b + а.

Тут Весовщик протянул руки к правой чашке весов и как закричит:

— Подобные, приведитесь!

И сейчас же 2а в правой части соединились еще с одним а, 3b, из которых вычли одно b, превратились в 2b, и на весах образовалось другое выражение:


За + 2b = 3а + 2b.

Покончив с тождеством, Весовщик взмахнул палочкой, и на ней очутился металлический обруч. С таким у нас занимаются художественной гимнастикой.

Я чуть не фыркнула: неужели Весовщик собирается танцевать с обручем? Вот будет весело! Но танцевать он не стал, а достал веревочку и измерил ширину круга в самом его широком месте.

— Эта ширина называется диаметром круга, — пояснил он. Хотя кто же этого не знает?

Потом Весовщик стал укладывать этот веревочный диаметр по обручу, чтобы измерить длину окружности. Сделал отметку, уложил веревочку один раз, второй, третий, но до отметки все еще не дошел. Выходит, длина окружности больше, чем три ее диаметра. Весовщик стал откладывать веревочку в четвертый раз, но ее оказалось слишком много. На глаз получалось, что надо отложить только одну пятую веревочки. Весовщик отрезал одну пятую, но и этот кусочек оказался длиннее, чем нужно. Значит, длина окружности меньше чем три и одна пятая диаметра.

Тогда Весовщик разрезал этот кусочек веревки пополам, и он стал равен одной десятой диаметра. Но теперь его не хватило до отметки. Значит, длина окружности меньше чем три и одна пятая, но больше чем три и одна десятая диаметра.

Долго Весовщик возился с этой задачей, а потом улыбнулся и сказал:

— О мои юные друзья, я пошутил. Я и раньше знал, что решить эту задачу точно невозможно. Мне только хотелось, чтобы вы убедились в этом сами. Во сколько раз длина окружности больше своего диаметра, можно подсчитать только приближенно. Вычислите это число с точностью хоть до миллиона знаков, оно все равно не будет совершенно точным.

— Значит, это — иррациональное число? — спросил Олег.

— Конечно! — подтвердила Эф. — Мы можем указать, где оно живет на монорельсовой дороге, но выразить его точным числом нельзя. В Аль-Джебре его обозначают греческой буквой Пи. Смотрите, вот оно.


π

На левую чашку весов вспорхнула буковка, слегка напоминающая русское «п», а на правой появилось число 3,14.

— Число Пи приближенно равно трем целым и четырнадцати сотым, — объяснил Весовщик.

Он взмахнул палочкой. Чашка с буквой Пи чуть-чуть опустилась, а в кошачьем глазке появились две волнистые линии:

— Это знак приближенного равенства, — пояснила Эф. — На самом деле Пи немножко больше чем 3,14. Поэтому левая чашка слегка перевешивает.

Снова стукнулись два медных подноса, и Главный Весовщик исчез. Прямо-таки растаял.

— Перерыв на пятнадцать минут! — объявила Эф.

Как ты думаешь, может, и мне объявить небольшой перерыв?


Таня.


Аль-Джебр! (Сева — Нулику)

Знаешь, Нулик, напрасно я злился на этого Весовщика. Он даже почище фокусника. Фокусников и у нас пруд пруди. А настоящего живого чародея днем с огнем не сыщешь.

В перерыве я подговаривал ребят смыться. Сколько можно возиться с неравенствами, равенствами и всякими Пи? Пришли составлять уравнение, так чего там!… Но Олег сказал, что сперва неплохо бы выяснить, что такое уравнение. Ах да! Я и позабыл.

Снова стукнулись медные подносы, вернулась наша Эф, и мы опять уселись на коврики.

Только я хотел спросить, где же Весовщик, а он уж тут как тут! Сидит под весами, словно никуда не исчезал.

Весовщик взмахнул палочкой, и над каждой чашкой весов появилось по числу 14. В глазке засверкал знак равенства.

«Здравствуйте! — подумал я. — Все сначала!»

Но я ошибался. Кроме чисел 14, на каждой чашке весов появилось по Пятерке:


14 + 5 = 14 + 5.

Чашки не дрогнули, глазок по-прежнему показывал равенство. Потом вместо этих чисел на весы стали две суммы:


а + b = с + d.

И снова подле каждой из них засветились одинаковые числа, на этот раз Тройки:


a + b + 3 = c + d + 3.

Чашки не шелохнулись.

— Видите, — сказал Главный Весовщик, — если к обеим частям прибавить по одинаковому числу, равенство не нарушится. Понятно, что можно не только прибавить, но и вычесть по одинаковому числу. Можно умножить обе части или разделить их на одинаковые числа, — равенство все равно сохранится.

— А если прибавить не числа, а одинаковые буквы? — спросил я.

— На здоровье! — ответил Весовщик. — Ведь буква — то же число. Вот смотрите.

Теперь к суммам на весах прибавились буквы n. Равенство не исчезло:


a + b + 3 + n = c + d + 3 + n.

Ox, и заскучал я от этих равенств, даже спать захотелось! Но тут случилось такое, что сон с меня как ветром сдуло.

На левой чашке весов засветилась буква, на которую я до сих пор и внимания не обращал, — Икс из латинского алфавита: x. Ты ее знаешь, она точь-в-точь знак умножения или русское Ха. Ставь ее на голову, поворачивай спиной — со всех сторон одинаковая! Рядом с Иксом засветилась Тройка, между ними вспыхнул знак минус, а на правой чашке весов оказался твой тезка, Нулик:


х — 3 = 0.

В кошачьем глазке появился знак равенства и… Только не пугайся! Икс быстро обернулся (он, оказывается, стоял к нам спиной), и мы увидели, что на нем черная маска. Вот так история! Подумать только, под Черной Маской скрывается Икс!

Тут мы все повскакали, бросились к этому Иксу, схватили его за руки — а вдруг опять убежит? А он и не думает убегать. Стоит себе, глазами хлопает.

— В чем дело? — спрашивает. — Мы как будто незнакомы.

— Как? Разве не вы та самая Черная Маска, которая подбросила Нулику зеленый стручок? И разве не вас мы должны расколдовать?

— Нет, я не тот, кого вы ищете. Ведь в Аль-Джебре нас, Иксов, как капель в море. Этой буквой обозначается неизвестное число.

Пришлось нам извиниться и вернуться на свои коврики. Но кое-что мы все-таки разузнали: Черная Маска — неизвестное число.

А Весовщик продолжал как ни в чем не бывало:

— Перед вами равенство х — 3 = 0. Но оно немного отличается от тех, что я вам показывал до сих пор. Это не тождество, не просто равенство, а уравнение первой степени.

«Давно бы так!» — подумал я.

— В чем его особенность? — продолжал Весовщик. — Если в тождестве можно заменить любыми числами все буквы, а в обычном равенстве — только некоторые, то в уравнении первой степени вместо буквы Икс может стоять только одно-единственное число. Иначе равенство нарушится. Найти это единственное неизвестное число и значит решить уравнение. Пока уравнение не решено, никто не знает, чему равен Икс. Потому-то он и надевает черную маску. Стоит решить уравнение, и маска упадет сама собой.

С этой минуты скуки моей как не бывало. Я вдруг понял, что все, что мы до сих пор узнавали в Аль-Джебре, нужно, чтобы решить уравнение и расколдовать Черную Маску. Не зря мы дрожали от страха в темном подземелье, не зря торчали на воздушной монорельсовой дороге, корпели над шифром в «Абракадабре», не зря и сейчас слушаем этого кудесника с белой башней на голове. А в том, что он кудесник, можешь не сомневаться. Разве простой человек заставил бы меня полюбить то, что я терпеть не мог?

Теперь Весовщик говорил, а я смотрел ему в рот, боялся словечко пропустить.

— Как же решается уравнение х — 3 = 0? Это очень простое уравнение. Чтобы решить его, достаточно, пожалуй, одного заклинания.

Он распахнул руки в широченных шелковых рукавах и завопил:

— Аль-джебр!

— Аль-джебр, аль-джебр! — отозвалось где-то наверху. И сейчас же на весах появилось равенство:


х — 3 + 3 = 3.

— Вы уже знаете, — пояснил Весовщик, — если прибавить к обеим частям равенства по одинаковому числу, ничего не изменится. Вот я и поставил на каждую чашку весов по числу Три.

Но тут обе Тройки слева от знака равенства исчезли.

— Куда это они? — удивился я.

— Неужели ты забыл правила движения на монорельсовой дороге? Минус Три и плюс Три — числа с разными знаками. Значит, они взаимоуничтожаются. Получается, что Икс равен Трем.

На весах появилось новое равенство:


х = 3.

Черная маска, закрывавшая лицо Икса, свалилась. Икс низко поклонился и убежал.

— Занятно! — Олег задумчиво поглядел на весы. — В уравнении х — 3 = 0 Тройка была на левой чашке весов. Теперь она очутилась на правой.

— Правильно, — подтвердил Весовщик. — Но слева она была со знаком минус, а справа оказалась со знаком плюс. Хоть он там и не стоит, но подразумевается.

— Зачем же тогда добавлять к обеим частям уравнения по Тройке? — сказал Олег. — Можно ведь просто перенести Тройку с левой чашки весов на правую, только с обратным знаком.

— Твои слова для меня как мед! — поклонился Весовщик. — Именно так и решают уравнения. А Тройки я прибавил лишь затем, чтобы вы поняли, почему можно переносить число с одной стороны на другую. Да будет вам известно, что перенос отрицательного числа из одной части равенства в другую называется восстановлением. Название это осталось у нас с тех самых пор, когда отрицательные числа считались бессмысленными. Перенос отрицательного числа в другую часть равенства с обратным знаком как бы восстанавливал его в правах, превращал в положительное число. Восстановление — по-арабски «аль-джебр». Это волшебное слово завещал нам великий ученый Мухаммед ибн Муса аль-Хварезми. Оно есть в заглавии написанной им книги, которая положила начало нашему государству и называется «Книга восстановлений и противопоставлений».



Он указал на светящиеся в полумраке арабские письмена и прочитал: «Китаб аль-джебр валь-мукабала».

— Большое вам спасибо, — сказал Олег. — Что такое восстановление, мы как будто поняли. Но что такое противопоставление?

Тут снова стукнулись медные подносы. Весовщик загадочно улыбнулся и растаял в темноте. Мне послышался голос мамы Двойки: «Всякому овощу свое время!» С тех пор как мы здесь, эта пословица так и звенит у меня в ушах!

Даже не верится: неужели настанет день, когда мы сядем рядом, возьмем задачу зеленого стручка и решим ее сами, без всяких провожатых и весовщиков?


Сева.


Вверх-вниз! (Олег — Нулику)

Что ты скажешь, Нулик, не дают нам лететь вперед сломя голову!

Вышли из весовой, спрашиваем у Эф:

— Когда начнем составлять уравнения?

А она:

— Сперва научитесь решать.

— Вот те раз! Сперва решать, а составлять потом?

— В Аль-Джебре считают, что так целесообразней.

Что ж, решать так решать. Чем скорее, тем лучше.

— Как раз наоборот, — отвечает Эф, — чем скорее, тем хуже. На сегодня довольно. Ваш рабочий день кончился. Отдохните, а завтра приходите снова.

И мы пошли отдыхать. В общем, это не так уж плохо, особенно если под боком Парк Науки и Отдыха.

В парке, как всегда, было полно народу.

Стали думать, куда пойти. Сева непременно хотел посмотреть что-нибудь новенькое. Тане не терпелось опять побывать у силомера. Но я их помирил: предложил пойти к силомеру и все-таки увидать кое-что новое. Потому что мы ведь не успели заглянуть в колодец, где живут отрицательные числа!

Когда мы подошли к молотку, какой-то чудак возводил в квадрат квадратные корни. Задумает, например, корень квадратный из трех и возведет его в квадрат. Понятно, ничего, кроме трех, при этом получиться не может. Потому что извлечение корня и возведение в степень — действия взаимоуничтожающиеся.


√(32) = 3.

Представь себе, что к какому-нибудь числу прибавили пять и тут же снова вычли. От этого число не изменилось.

Точно так же не изменится число, если из него сперва извлекут корень квадратный, а потом снова возведут в квадрат.

Покончив с квадратными корнями, чудак стал возводить в третью степень корень третьей степени из пяти и, конечно, получил пять:


3√(53) = 5.

Он долго стучал молотком, и каждый раз зажигалась зеленая лампочка.



Сева спросил у него, зачем он зря тратит время. Чудак неодобрительно хмыкнул:

— Погостите у нас — узнаете, что без этого иной раз не проживешь.

Наконец он устал и отошел в сторону. А молоток взяла крохотная буковка Вэ — v. Она возвела в квадрат число 41. Гирька взлетела высоко-высоко, к числу 1681, и зажглась зеленая лампочка. Малютка Вэ запрыгала от радости: ничего, мол, что росточком не вышла, зато гирьку вон куда забросила!

Подошла очередь Севы.

— Дайте-ка мне возвести в квадрат отрицательное число. Возведу, а потом загляну в колодец. Только гирьки, пожалуй, там и не увидишь. Ведь чем больше число, тем глубже она уходит в колодец. А я возьму число не маленькое. Ну, хотя бы минус сорок один. Насколько я понимаю, минус сорок один в квадрате равно минус тысяче шестистам восьмидесяти одному.

Кругом зашептались. Сева стукнул молотком, гирька ушла вниз. Мы заглянули в колодец: где-то там, в темной глубине, зажглась красная лампочка.

— В чем дело? — всполошился Сева. — Что-нибудь не так?

— Конечно, — пропищала крошка Вэ, — вы забыли переменить знак. Ведь отрицательное число, возведенное в квадрат, становится положительным.

Сева схватился за голову.

— Какой же я осел! Ведь возвести в квадрат — значит помножить число само на себя! А минус на минус дает плюс.

Он отошел, уступив место Тане.

Она возвела в квадрат минус три. Получилось плюс девять. Гирька подскочила и загорелся зеленый огонек. Потом Таня возвела минус три в третью степень. Получилось минус двадцать семь. Гирька ушла в колодец, и там снова вспыхнула зеленая лампочка.

— Дай-ка мне!

Я взял у Тани молоток и стал возводить минус три в четвертую степень, пятую, шестую, седьмую…

Гирька по очереди то подпрыгивала все выше и выше, то уходила все глубже в колодец. И каждый раз загорался зеленый огонек. Тут-то я и понял, что, когда отрицательное число возводишь в четную степень, ответ получается положительный, а когда в нечетную — отрицательный. Хочешь знать почему? Возьми карандаш и разберись сам.

Наконец мы решили, что достаточно углубили свои знания в колодце, и отправились дальше.

По дороге нам повстречалась старая знакомая — та самая Мнимая Единичка, которая спрашивала у автомата, найдется ли ей место в жизни. Мы ее сразу узнали по маленькому красному зонтику.

— Здравствуйте, как поживаете?

— Отлично, — ответила она. — Автомат сказал правду: и Мнимая Единица может на что-нибудь пригодиться.

— Неужели вы нашли себе место на воздушной монорельсовой дороге?

— Конечно, но не на той ветке, где живут действительные числа. У нас, Мнимых Единиц, собственная дорога. Она пересекает воздушную монорельсовую как раз на Нулевой станции.

— Как же мы ее не заметили? — спросил Сева.

— Так ведь наша дорога мнимая и не сразу бросается в глаза.

— Жаль, что не сразу! — сердито отрезал Сева. — Теперь придется возвращаться, чтобы посмотреть на нее.

— Возвращаться к старому иногда полезно, — заметила Мнимая Единичка. — Но с небольшим кусочком мнимой дороги вы можете познакомиться и здесь. В парке построен новый аттракцион. Он называется «Мнимая карусель». Я там работаю. Хотите взглянуть?

Хотим ли мы взглянуть на карусель, да еще мнимую? Как ты думаешь?


Олег.


Мнимая карусель (Таня — Нулику)

Вот тебе, Нулик, наши последние новости.

По дороге к аттракциону все чаще мелькали рекламные плакаты:


ПЕРВАЯ В МИРЕ МНИМАЯ КАРУСЕЛЬ!
ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО ДЛЯ МНИМЫХ ЕДИНИЦ!
ЕДИНСТВЕННОЕ МЕСТО,
ГДЕ МНИМЫЕ ЕДИНИЦЫ МОГУТ СТАТЬ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ!
МНИМЫЕ ЕДИНИЦЫ, КРУЖИТЕСЬ НА ЗДОРОВЬЕ!


Наша симпатичная подружка щебетала без умолку и рассказала кучу интересного.

Оказывается, Мнимая Единица — это просто-напросто корень квадратный из отрицательной единицы:


i = √-1.

— А разве из минус единицы нельзя извлечь корень? — спросил Сева. — Ведь корень квадратный из единицы всегда равен единице.

— Ой-ой-ой! — ужаснулась Мнимая Единичка. — Это касается только положительной единицы. Ведь что значит извлечь корень квадратный, скажем, из девяти?

— Это значит найти такое число, которое при возведении в квадрат равнялось бы девяти, — ответил Олег. — Это число три.

— Верно. А теперь попробуйте найти число, которое при возведении в квадрат дает минус единицу!

Мнимая Единичка тоненько засмеялась.

Сева озадаченно взъерошилволосы:

— М-да! Такого числа нет. Какое число ни возводи в квадрат, положительное или отрицательное, ответ все равно получится положительный. Уж я-то знаю!

— Вот видите. Потому-то корень квадратный из минус единицы называется мнимой единицей.

— Выходит, мнимые единицы совсем особые числа. Наверное, и дорога у вас устроена как-нибудь особенно.

— Ничуть. Наша дорога очень похожа на ту, где живут действительные числа, только расположена она под прямым углом к ней. Это такая же бесконечная прямая, в центре которой находится все та же Нулевая станция.

— Раз у вас есть Нулевая станция, значит есть положительные и отрицательные числа?

— Что вы! Разве мнимые числа могут быть положительными и отрицательными? Просто на нашей дороге, так же как и на дороге действительных чисел, есть два направления от нуля. Одно из них условились обозначать знаком плюс, другое — знаком минус.

— Но как же мнимые числа отличают от действительных?

— С помощью буквы i:


2i, 5i, -8i, -12i.

— Вот как! У вас, как и у других букв в Аль-Джебре, тоже есть коэффициенты?

— Конечно.

— А где же ваш коэффициент? — ляпнул Сева.

И когда только он научится вести себя в обществе? Хорошо еще, воспитанная Единичка сделала вид, что не заметила его бестактности.

— Мой коэффициент — единица, и он, как всегда, невидимка.

Но Сева уже закусил удила. Ужасный он спорщик!

— Вот вы говорите, что мнимая монорельсовая дорога похожа на действительную. Значит, и правила движения на ней те же. Так ведь? Тогда при чем здесь карусель? Ведь на обычной монорельсовой дороге движение идет по прямой, а карусель-то кружится?

— Вы отчасти правы, — ответила Мнимая Единичка. — Правила движений у нас более разнообразны. При сложении и вычитании вагончики на мнимой дороге движутся по прямой и по тем же правилам, что и действительные числа:


2i + 3i = 5i;
8i — 15i = -7i,

или вот еще:


-3i + 9i = 6i,

ну и конечно:


5i — 5i = 0.

Мнимые Единички с разными знаками и одинаковыми коэффициентами взаимоуничтожаются на Нулевой станции.

Иное дело — умножение, деление, возведение в степень… Тут уж Мнимые Единицы двигаются не только по прямой, но и по кривой. Именно это вы сейчас и увидите.

Мы вошли в круглый павильон. Там было полным-полно Мнимых Единиц. Все они с нетерпением ждали своей очереди покружиться.

Павильон очень похож на цирк. Места расположены амфитеатром. В центре — арена, ее под прямым углом друг к другу пересекают две перекладины. Одна перекладина изображает монорельсовую дорогу действительных чисел. На концах ее укреплены таблички +1 и -1. Другая перекладина изображает дорогу мнимых чисел. Здесь на концах находятся таблички +i и -i. На пересечении дорог, в центре арены, — Нулевая станция. Здесь укреплена вращающаяся ось, и на нее (совсем как патефонная пластинка) надет прозрачный пластмассовый круг.

Когда мы вошли, карусель только что остановилась. С нее легко соскочила Мнимая Единица с зеленым зонтиком. Вместо нее на круг, точно против таблички +i, стала Мнимая Единица с желтым зонтиком.

Наша спутница подошла к микрофону и скомандовала:

— К возведению в степень приготовиться!

Прозвенел звонок, и под звуки плавного вальса круг тронулся. Только не по часовой стрелке, а в обратную сторону. И тут-то начались необыкновенные вещи!

Мнимая Единица с желтым зонтиком пересекла дорогу действительных чисел у таблички -1 и превратилась в действительное число — Отрицательную Единицу.

Возле таблички -i снова стала Мнимой Единицей, но уже со знаком минус. Вот она снова пересекла действительную дорогу, поравнялась с табличкой +1 и — невероятно! — опять превратилась из Мнимой Единицы в Действительную, да еще положительную. А потом как ни в чем не бывало возвратилась к табличке i. Тут она снова стала Мнимой.



Оркестр заиграл песню «Каким ты был, таким остался!», и все началось сначала. Карусель кружилась, а Мнимая Единица все превращалась и превращалась.

— Не понимаю, — сказал Сева. — Мнимая Единица превращается в Действительную, Действительная — опять в Мнимую… Как это?

— На то и возведение в степень! — отозвалась Мнимая Единичка. — Ведь Мнимая Единица равняется корню квадратному из минус единицы: i = √-1. Но если возвести в квадрат корень квадратный из любого числа, что получится?

— Подкоренное число, — ответил Олег.

— Так это же мы недавно видели! — вспомнил Сева. — Один карликан целый час возводил в квадрат то корень квадратный из трех, то корень квадратный из двух… И каждый раз получалось число, стоящее под радикалом.

— То же самое происходит и с Мнимой Единицей:


i2 = i × i = (√-1)2 = -1.

— Ну, это понятно. А как же действительное число — минус единица превращается в мнимое?

— При этом Мнимая Единица возводится уже не в квадрат, а в куб, то есть в третью степень:


i3 = i2 × i.

А это ведь все равно что умножить минус единицу на i:


-1 × i = -i.

— Теперь, — сказал Олег, — нетрудно понять, как Мнимая Единица с минусом -i превращается в Действительную Единицу со знаком плюс +1. Она возводится в четвертую степень:


i4 = i2 × i2

А это можно представить себе и так:


-1 × -1 = +1.

— Прекрасно! — воскликнула Мнимая Единичка. — Остается выяснить, как Действительная Единица снова становится Мнимой.

В самом деле, как? Тут даже Олег ни до чего не додумался. Но оказалось, что для этого Мнимую Единицу надо возвести в пятую степень.

— Не может быть! i5 равно i?! — растерялись мы. — Что же это такое?

— Да ничего особенного: i4 = 1. Чтобы получить i5, умножим единицу на i. А это ведь все равно что i, взятое один раз, то есть просто i:


1 × i = i.

— Вот так история! Мнимую Единицу нельзя возвести более чем в четвертую степень? — удивился Олег.

— Отчего же! — возразила Мнимая Единичка. — Возводите себе на здоровье и в шестую, и в седьмую, и в сто двадцать первую… Словом, в любую целую степень. Но ничего, кроме того, что уже было, не получится. На то и карусель!

Тут Севе срочно понадобилось выяснить, чему равняется i17.

— Ну, это совсем нетрудно, i в пятой равно i, — сказала Мнимая Единичка. — Значит, i в девятой тоже равно i…

— Понимаю! — перебил Сева. — Каждый раз надо прибавлять к показателю степени четыре: i13 равно i, значит, i17 тоже равно i.

Вот, Нулик, хорошая задача для твоих учеников. Попробуйте вычислить, чему равно i24? А чтобы вам легче было, загляните в чертеж мнимой карусели.

Долго еще любовались мы превращениями Мнимых Единиц, а когда уже собрались уходить, Сева хлопнул себя по лбу:

— Чуть не забыл спросить! Вы сказали, что при возведении в степень Мнимые Единицы движутся по кривой. А ведь здесь они движутся по окружности!

— Окружность тоже кривая, но такая, где все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра. При умножении и возведении в степень перемещаются по окружности только Мнимые Единицы.

— А как движутся другие мнимые числа при возведении в степень? — спросил Олег. — Два i, три i, четыре i?

— На нашей карусели вы этого не увидите, — сказала Мнимая Единичка. — Да оно и к лучшему. Это очень сложный вопрос. Нельзя же все сразу…

— Всякому овощу свое время? — подмигнул Сева.

— Пожалуй, — улыбнулась Мнимая Единичка.

Мы поблагодарили ее и распрощались. Но тут пришла очередь Олегу хлопать себя по лбу.

— Извините, пожалуйста, — сказал он, обернувшись, — а зачем вообще нужны мнимые числа?

— Это вы поймете, когда начнете решать уравнения второй и третьей степени. Там в ответе часто получаются мнимые числа.

— На что нужны уравнения с мнимыми ответами? — буркнул Сева.

— Спросите об этом у физиков, химиков, инженеров, астрономов… Мнимые числа помогают им решать вовсе не мнимые, а действительно важные практические задачи.

— Но почему же тогда вас называют мнимыми?

— По привычке, — грустно ответила буковка i. — Так нас окрестил французский ученый Рене Декарт. Это было в семнадцатом веке, когда мнимые числа ни во что не ставились. Но с тех пор многое переменилось. Если бы Декарт жил в наши дни, он непременно придумал бы для нас более подходящее название.

— Например, «необходимые числа», — сказал Олег.

— О! Это было бы чудесно! — вздохнула Мнимая Единичка.

Мы еще раз попрощались и ушли. На этот раз совсем.


Таня.


Аль-Мукабала! (Сева — Нулику)

Селям алейкум, старина! Я теперь тоже умею говорить по-восточному. Поживешь в Аль-Джебре — не то еще узнаешь!

Сегодня мы учились решать уравнения. Правда, пока еще первой степени. Но и это не так уж мало.

Здесь есть особая площадка, где решают эти уравнения. И не как-нибудь вручную, а подъемными кранами. Механизация!

Когда подходишь к этой площадке, видишь одни только краны. Длинношеие, вроде жирафов. Жирафы то поднимают голову, то опускают, то тянутся друг другу навстречу. Только переносят они не кирпичи, не блоки, а буквы, числа, знаки сложения, вычитания. Словом, все, что понадобится.

Таня оставила в покое свой фасонистый комбинезон, пришла в школьном платье. И очки сняла. Правильно сделала: электросваркой ей здесь заниматься не пришлось.

Что нам бросилось в глаза, — это иксы. Их здесь видимо-невидимо. Ведь там, где решают уравнения, без иксов не обойтись.

Эф не отпускала нас ни на шаг. Наверное, боялась, как бы кого не ушибло краном, хотя везде и так развешаны плакаты:


ПОД КРАНОМ НЕ СТОЯТЬ!
ВО ВРЕМЯ АЛЬ-ДЖЕБРЫ И АЛЬ-МУКАБАЛЫ К УРАВНЕНИЯМ НЕ ПОДХОДИТЬ!

Высоко-высоко, в кабинке крана, сидела молоденькая крановщица — буква Ка. Она передвигала рычаги и зорко следила за регулировщицей Эр. Та стояла внизу. В каждой руке — по флажку. Ими она указывала крановщице, куда двигать кран.

Под краном чинно стояли Икс в черной маске, Двойка и Шестерка. Они образовали такое уравнение:


х — 2 = 6.

Регулировщица медленно опустила один флажок, и так же медленно наклонил свою жирафью шею кран с большим крюком на конце. Крюк осторожно подцепил Двойку, которая торопливо прихватила свой минус. Регулировщица помахала флажком, и кран замер. Потом она крикнула: «Аль-джебр!» — прямо как у нас кричат «майна» или «вира». И вот уже Двойка с минусом заболтала ножками в воздухе и поплыла к правой части уравнения.

Когда она поравнялась со знаком равенства, регулировщица скомандовала: «Переменить знак!» Двойка быстро положила минус в карман и вынула оттуда знак плюс. И вот уже она рядом с Шестеркой в правой части равенства:


х = 6 + 2.

А через секунду вместо этого мы увидели:


х = 8.

Черная маска упала, Икс поднял ее, низко поклонился Ка и Эр и скрылся. А мы перешли к другому крану. Там уже стояло такое уравнение:


3х + 6 = 12.

Снова крановщица нажимала на рычаги, снова регулировщица махала флажками, кричала: «Аль-джебр!» — и скоро под краном появилось вот что:


3х = 12 — 6.

Мы переглянулись.

— В чем дело? — спросила Эф. — Что-нибудь непонятно?

— Непонятно, — признался Олег. — До сих пор нам показывали только такие задачи, где отрицательное число переносится из левой части равенства в правую и превращается в положительное. Действие это называется «аль-джебр», по-нашему — восстановление. На этот раз в левой части равенства было положительное число шесть, и его перенесли в правую часть со знаком минус. При чем же здесь восстановление?

— Законный вопрос, — развела руками Эф. — Но вспомните, что «аль-джебр» — слово, пришедшее к нам из далекой древности. А древние слова по дороге часто теряют свое первоначальное значение. Взять хоть слово «чернила». Поначалу чернила были только черные. Сейчас есть и красные, и зеленые, и синие, и фиолетовые. Но никто же не называет их ни краснилами, ни синилами!

— Как интересно! — сказала Таня. — Таких слов, наверное, много.

— Перочинный ножик! — вспомнил я. — Раньше им перья чинили, а теперь карандаши.

— Правильно! — сказала Эф. — То же самое случилось и со словом «аль-джебр». Мухаммед ибн Муса применил его тогда, когда отрицательные числа были бесправными. Перенося их в правую часть равенства с положительным знаком, он восстанавливал их в правах. Но отношение к отрицательным числам давно уже переменилось. И теперь понятие «аль-джебр» расширилось. Оно означает не только перенос отрицательного числа из одной части равенства в другую с положительным знаком, но и вообще перенос любого числа с обратным знаком. Но вернемся все-таки к нашему уравнению, — закончила свою речь Эф.

Мы посмотрели на площадку. Там теперь вместо 3х = 12 — 6 стояло:


3х = 6.

Странное дело: уравнение решено, а на Иксе по-прежнему черная маска.

— Ошибаетесь, — сказала Эф. — Решить уравнение — значит вычислить, чему равен один икс. Мы же пока знаем, чему равны три икса.

— Ну, это нетрудно, — сказал Олег. — Чтобы вычислить икс, надо шесть разделить на три.

И словно в ответ на его слова, кран приподнял число Шесть над землей и плавно опустил на двухэтажную тележку. Потом крюк подцепил коэффициент при Иксе — Тройку, перенес ее в правую часть равенства и поставил под числом Шесть:


х = 6/3

Тележку быстро откатили, и на месте дроби 6/3 появилась Двойка:


х = 2.

— Э-э, нет, — запротестовал я, — так не годится. Ведь числа переносятся в правую часть равенства с обратным знаком. Почему же это Тройку перенесли с тем же?

— Да потому, что в этом уравнении Тройка не слагаемое, а коэффициент при Иксе. А коэффициент — это множитель, не так ли? Коли три в левой части множитель, так в правой оно превращается в делитель. Стало быть, правило сохранилось, потому что деление и умножение такие же обратные действия, как сложение и вычитание.



Не удается мне их подловить на ошибке. Пришлось прикусить язык и вместе со всеми перейти к следующему уравнению. Его решал уже не один, а два крана. В каждом сидела крановщица. А регулировщица, как и прежде, была всего одна. Наверное, многостаночница.

Уравнение было такое:


6х — 7 = 2х + 8 — x.

На этот раз регулировщица дала команду подлиннее: «Аль-джебр! Аль-мукабала!». И сейчас же один кран подцепил все иксы справа вместе с коэффициентами и перенес с обратными знаками в левую часть уравнения. В то же время второй кран подхватил Семерку с минусом и перенес в правую часть. При этом Семерка тоже переменила знак минус на плюс:


6х — 2х + х = 8 + 7.

Потом регулировщица (точь-в-точь как Главный Весовщик) скомандовала: «Подобные, приведитесь!» — и вместо прежнего выражения перед нами очутилось новое:


5х = 15.

Что было дальше, ты, уж наверное, сам догадался. Под краном появилось:


х = 3,

и черная маска упала.

— Скажите, — спросила Таня, — почему это в первый раз регулировщица кричала только «аль-джебр», а теперь прибавила какую-то алькула… альбума…

— Аль-мукабалу, — подсказала Эф.

— Да, да, аль-мукабалу!

— Так ведь это и есть противопоставление. То самое действие, о котором не успел рассказать Главный Весовщик.

— Что же здесь противопоставляется?

— Неизвестные — известным. Все иксы переносятся в левую часть уравнения, все свободные числа — в правую.

И тут мне невтерпеж стало. Восстановление, противопоставление… А где же составление? Когда мы до него доберемся?

И в эту самую минуту Эф сказала:

— Ну, теперь, пожалуй, можно бы перейти к составлению уравнений…

— Ура! — выпалил я.

Эф посмотрела на меня хитрыми глазами:

— А может, все-таки решить еще одно?

Я даже зубами заскрипел: издевается она надо мной, что ли? Но сдержался. Если хочешь научиться терпению, приезжай в Аль-Джебру, Нулик. Здесь из тебя сделают человека.

И мы пошли решать новое уравнение. Оно было какое-то чудное:


4ах — 7с = b + с — 2ах.

— Ты что-нибудь понимаешь? — спросил я у Тани вполголоса.

Зря спрашивал. Разве она сознается?

— Вас, наверное, смущает выражение 4ах? — сказала Эф. — Ничего особенного в нем нет. Икс — неизвестное, 4а — коэффициент при Иксе. Ведь под а можно подразумевать любое число. Скажем, семь. Тогда числовой коэффициент при Иксе равен:


4 × 7 = 28.

Вот и вся премудрость.

И опять регулировщица скомандовала: «Аль-джебр! Аль-мукабала!» — задвигались краны, и мы увидели вот что:


4ах + 2ах = b + с + 7с.

Потом она закричала: «Подобные, приведитесь!» — и вместо прежнего выражения появилось новое:


6ах = b + 8с.

Мы с интересом ждали, что же дальше? И дождались:


x = (b + 8c) / 6a


— Дудки! — сказал я. — Какое же это решение? Маска с Икса нипочем не свалится.

Но маска все-таки свалилась.

— Вы привыкли, что Икс равен числу, — улыбнулась Эф. — Но не забывайте, где вы находитесь. Ведь главный девиз Аль-Джебры…

— Упрощение и обобщение! — сказали мы хором.

— Правильно. Вот в этом решении и собраны все возможные ответы при любых числовых значениях а, b и с. Замените буквы какими угодно числами, и вы убедитесь, что я права.

Вот, когда я наподставлялся в свое удовольствие! Это было так здорово, что ребята чуть не силком оттащили меня от этого занятия.

Мы пошли дальше. По дороге Таня все время ворчала:

— Несуразный ты человек! То покоя не давал — торопился составлять уравнения, а теперь, когда уже можно составлять, тебя отсюда калачом не выманишь!

Я, конечно, мог бы ей ответить как следует, но промолчал. Мужчина я или кто?


Сева.


У цели (Олег — Нулику)

Да, Нулик, вот мы и у цели.

Эф привела нас на то самое место, где вырос и тут же разрушился воздушный замок. Помнишь, он нам еще так понравился?

— Теперь, — сказала Эф, — пора вам составлять уравнения. Подходите к любому Составителю. Каждый научит вас чему-нибудь новому. Здесь составляются уравнения на все случаи жизни.

Ну и дела! Без уравнений теперь «и ни туды и ни сюды». Задумал построить мост — составляй уравнения, хочешь запустить космический корабль — составляй уравнения. И для атомного реактора, и для нефтяной скважины, и даже для того, чтобы сшить на фабрике ботинки, — для всего нужно сперва составить уравнения, решить их и только тогда приступать к делу. Это уж точно.

Мы тут наблюдали за многими Составителями. Чтобы написать про всех, надо гору бумаги. Поэтому я расскажу тебе о двух-трех. На первый раз хватит.

Кроме Составителей, на этом строительстве много практикантов вроде нас.

Они тоже еще только учатся и потому часто попадают впросак. Но Составители на них не сердятся, а терпеливо разъясняют ошибки.

Один практикант строил стену из кирпичей. Положит несколько рядов, рассыплет и опять начнет. Мы слышали, как он сам с собой разговаривал:

— Так и через десять лет не построишь! Ну и задачка!

— Что это вы делаете? — спросила Таня.

— Стену строю, — вздохнул тот, — да вот ничего не получается.

— Наверное, потому, что вы не кладете цемента, — догадался Сева.

— Нет, цемент тут ни при чем.

Он протянул нам листок, где была написана такая задача: «Построить стену высотой в пять кирпичей так, чтобы в каждом следующем ряду было на два кирпича меньше, чем в предыдущем. При этом надо использовать 145 кирпичей».

— Разве это так трудно? — удивились мы.

— Еще бы! Ведь здесь не сказано, сколько кирпичей надо уложить в первом ряду. А без этого у меня ничего не получается. Положил 30 кирпичей. Тогда во втором надо уложить 28, в третьем — 26, в четвертом — 24, в пятом — 22. А 15 кирпичей остается! Попробовал положить в первый ряд 35 кирпичей, во второй — 33, и так далее. На пятый ряд кирпичей уже не хватило.

— Дайте-ка мне попробовать! — попросил Сева.

Он положил в первый ряд 34 кирпича, во второй — 32… Дошел до пятого, — опять не хватило!

— Не угадаешь!

— А тут гадать не надо, — сказал незнакомый голос.

Это к нам подошел Составитель уравнений Тэ. Мы познакомились.

— Чем гадать, — продолжал он, — лучше составить уравнение. Обозначим неизвестное число кирпичей в первом ряду буквой икс. Сколько же в таком случае их будет во втором ряду, если там должно быть на два кирпича меньше, чем в первом?

— Конечно, х — 2, — сообразила Таня.

— Правильно. Тогда в следующем ряду будет х — 4, затем х — 6 и, наконец, в последнем, пятом ряду х — 8 кирпичей. Сколько же всего пойдет кирпичей на строительство?

— Сумма всех этих чисел, — подсказал Сева, —


х + (х — 2) + (х — 4) + (х — 6) + (х — 8).

— Верно. А так как все это вместе по условию равно ста сорока пяти, получим уравнение:


х + х — 2 + х — 4 + х — 6 + х — 8 = 145.

— Ну, теперь уж просто, — отмахнулся Сева. — Остается сказать: «Аль-джебр! Аль-мукабала!» Одна минута, и бульон готов!

— Нет, — возразил Составитель, — не готов! Вы забыли привести подобные члены в левой части уравнения.

Привели подобные. Получилось:


5х — 20 = 145.

— Вот теперь и в самом деле можно приступить к восстановлению.

Перенесли число минус 20 в правую сторону с обратным знаком. Вышло, что 5х = 165, а х =33.

Я забыл тебе сказать, что составляли и решали уравнение мы не на бумаге: нам помогали живые буквы и цифры. А как только уравнение было решено, расколдованный Икс помахал нам своей маской и убежал. Мы стали проверять ответ и построили стену. И все оказалось правильно:


33 + 31 + 29 + 27 + 25 = 145.

Потом мы увидели того самого карликана, который собирался рыть котлован для фундамента. Он стоял возле одного Составителя, и они решали его задачу. Мы подошли и стали помогать. Это уравнение оказалось посложней первого.

— Итак, — сказал Составитель, — у вас три экскаватора. Первый может вырыть котлован за четыре часа, второй — за три, третий — за двенадцать. Неважный, наверное, экскаватор. Вы хотите, чтобы все три работали одновременно. Конечно, так они выроют котлован быстрее. Но за какое время? Составим уравнение. Что примем за Икс?

— Время, за которое все три экскаватора выроют весь котлован, — предложил я.

— Верно. Давайте дальше.

Тут я, как назло, запнулся. Ни туда ни сюда.

— Ладно уж, — сказал Составитель, — придется помочь. Выясним, какую часть котлована выроет каждый экскаватор за один час? Для этого условимся, что объем всего котлована равен единице.

— И что из этого следует? — спросил Сева.

— А из этого следует, — догадался я, — что первый экскаватор за час выроет одну четверть котлована, второй — одну треть, третий — одну двенадцатую.

— Ну конечно! — обрадовался Составитель. — Какую же часть они выроют за час, если будут работать все вместе?

На этот раз ответил Сева:

— Вот какую:


1/4 + 1/3 + 1/12

— Молодец! А за икс часов?

— А за икс часов они выроют в икс раз больше, — сказала Таня. — Это и будет весь котлован, объем которого мы приняли за единицу.

Так у нас получилось уравнение:


х(1/4 + 1/3 + 1/12) = 1.

Ну, а решить такое уравнение было уже совсем легко:


8/12 х = 1.

Значит, Икс равен двенадцати восьмым, или


х = 3/2.

Выходит, что три экскаватора, работая вместе, выроют котлован за полтора часа.

Неловко об этом говорить, но мне было очень приятно, когда маска с Икса упала и он стал нас благодарить.

Карликан заторопился к своим экскаваторам, а Составитель тут же предложил решить еще одну задачу, точно такую же, но… Что это за «но», ты сейчас поймешь.

— Признаться, надоели мне такие уравнения, — сказал Составитель, — слишком часто приходится их составлять. Везде идут стройки, везде роют котлованы. Пора бы уж сразу найти один ответ на все подобные вопросы. Ведь мы как-никак живем в Аль-Джебре…

— И потому должны упрощать и обобщать, — докончил Сева.

— Уж конечно! Не хотите ли вместе со мной вывести такое единое решение?

Мы молча кивнули, и Составитель начал:

— Так как экскаваторы бывают разных мощностей, то пусть первый из них роет котлован за а часов, второй — за b часов, ну а третий, допустим, за с часов. Спрашивается, за сколько часов выроют они котлован, если будут работать вместе?

— По-моему, — сказал я, — решение должно быть таким же, как и в предыдущей задаче. Только та задача была в числах, а мы ее изобразим буквами. Снова примем за Икс число часов, необходимое, чтобы закончить работу, а всю работу — за единицу.

— Так-так-так, — подбадривал Составитель.

Теперь рассуждала Таня:

— Очевидно, первый экскаватор совершит за час 1/а часть работы. Это, наверное, читается так: одну атую часть работы?

— Хорошо, хорошо.

— Тогда второй, — сказал Сева, — за час совершит одну бэтую: — 1/b, а третий одну цэтую: 1/c часть работы. А все вместе они выроют за час сумму этих дробей:


1/a + 1/b + 1/c.

Теперь нетрудно составить уравнение, — ведь за икс часов они выполняют работу в икс раз большую:


x(1/a + 1/b + 1/c).

И все это должно быть равно единице:


x(1/a + 1/b + 1/c) = 1.

Вот вы и составили уравнение, — похвалил Составитель.

— Теперь приведем подобные, — сказал Сева. Вспомнил, наверное, как он недавно оплошал.

— Нет, — возразил Составитель, — здесь я не вижу никаких подобных. Просто надо сложить три дроби, которые стоят в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю и введем дополнительные множители у каждой дроби.

— Это мы знаем, — вмешалась Таня и тут же написала:


1/a + 1/b + 1/c = bc/abc + ac/abc + ab/abc = (bc + ac + ab)/abc,
или

x × (bc + ac + ab)/abc = 1

— Вот какой огромный коэффициент оказался у Икса! — заметил Сева. — С таким провожатым ничего не страшно.

— Что же остается сделать, чтобы найти Икс? — спросил Составитель.

— Разделить правую часть уравнения — единицу — на этот коэффициент, — ответила Таня.


х = 1:((bc + ac + ab) / abc)

С этим она справилась быстро:


x = abc/(bc + ac + ab)

Икс подошел к Тане и поклонился, помахав вместо шляпы черной маской. Д'Артаньян, да и только!

— Вот вам и уравнение, пригодное для любых трех экскаваторов, — сказал напоследок Составитель. — Может быть, хотите проверить?

Тут уж пришел на Севину улицу праздник. Подставлять — его любимое занятие. Вместо а, b и с он подставил числа из предыдущей задачи — 4, 3 и 12:


x = 4 × 3 × 12 / (3 × 12 + 4 × 12 + 4 × 3) = 144/96.

Сократил дробь и получил:


x = 3/2.

— Упрощение и обобщение! Упрощение и обобщение! — приговаривал он, похлопывая себя по животу, словно только что съел что-нибудь вкусное.

Потом он придумал другие числа, и опять другие. И каждый раз, вычислив Икс, выкрикивал те же слова и снова хлопал себя по животу. Забыл он, что ли, что теперь в самый раз разобраться в задаче зеленого стручка и попробовать составить уравнение самим?! Пришлось обратиться к талисману. В последнее время он что-то совсем притих — лежит себе в кармане и помалкивает. Видно, не считает нужным вмешиваться. Я вынул его и поднес к самому Севиному носу. Увидев стручок, Сева снова хлопнул себя — на этот раз по лбу, — и через несколько минут мы уже сидели на скамейке в Парке Науки и Отдыха.

Ну вот и все пока. Наберись терпения и подожди следующего письма. Так всегда делают в журналах — прерывают рассказ на самом интересном месте и пишут: «Продолжение следует».


Олег.


Пончик на крючке (Нулик — отряду РВТ)

Дорогие ребята! Вся наша школа страшно волнуется. Как-то вы раскроете тайну Черной Маски? Но больше всех переживаю я: может быть, сейчас вы уже расколдовываете моего незнакомца. Когда чего-нибудь ждешь, время тянется ужасно медленно. Прямо не знаешь, куда деваться. Вот мы и решили обмануть время и чем-нибудь заняться.

А так как на уме у нас только составление уравнений, мы захотели сами придумать какую-нибудь задачу.

Эту мысль нам подсказал Пончик. Я с ним очень подружился. Не могу даже подумать что скоро нам придется расстаться!

Так вот, я заметил, что путь в Аль-Джебру и обратно занимает у Пончика все больше времени. Каждый раз он все дольше задерживается в дороге с письмами. Наверное, потому, подумал я, что вы постоянно продвигаетесь вперед. Последний раз Пончик вернулся только через тридцать четыре часа.



Мы решили выяснить, как далеко вы ушли. Расставили наблюдателей с часами, и они подсчитали, что Пончик мчится прямо-таки с космической скоростью: двенадцать километров в час!

Потом мы стали думать, сколько времени он проводит у вас в Аль-Джебре. Наверное, столько же, сколько и у нас. Минут сорок.

Теперь слушайте, как мы составили уравнение. Во-первых, что мы ищем? Мы ищем расстояние. Его-то и приняли за икс. А так как Пончик бежит со скоростью двенадцать километров в час, то на путь к вам он затратит х/12 часов, или 1/12 × х часов. Стало быть, на два конца уйдет вдвое больше времени, то есть 2/12 × х часов.

Прибавим к этому 40 минут, которые Пончик пробудет в Аль-Джебре. Получится:


2/12 × х + 40.

Вот сколько часов займет все его путешествие.

— Ерунда какая-то, — сказал один Нулик. — Прежде считали в часах, а потом прибавили 40 минут. Так нельзя. Выбирайте что-нибудь одно: либо часы, либо минуты.

Пришлось поставить вопрос на голосование. Большинство было за то, чтобы превратить минуты в часы.

В часе 60 минут. Значит, 40 минут — это 2/3 часа. Подставили дробь в наше выражение:


2/12 х + 2/3.

Так мы записали, сколько времени путешествовал Пончик. А путешествовал он, как известно, 34 часа. Вот и получилось уравнение:


2/12 × х + 2/3 = 34.

Теперь надо было его решить. Вроде дело нехитрое: бери карандаш, бумагу и решай на здоровье! Но нас это не устраивало. Мы непременно хотели решать, как в Аль-Джебре. Подъемным краном. Для этого у нас было все — и крановщики, и регулировщики. Не хватало только крана. Тут все приуныли. Но я все-таки нашел. Не кран, конечно, а большую удочку с леской и крючком. При желании она вполне сойдет за подъемный кран.

Ну, все опять повеселели и стали вырезать из картона цифры и букву икс. А потом сделали для этого картонного Икса маску из черной бумаги.

Когда все было готово, Нулик-Регулировщик взмахнул флажком, а я взял удочку и скомандовал:

— Аль-джебр! Аль-мукабала!

Подцепил на крючок дробь 2/3 и перенес ее вправо со знаком минус. Получилось:


2/12 × х = 34 — 2/3.

Привели правую часть к общему знаменателю. После вычитания получилось вот что:


2/12 × х = 100/3

Потом я поддел на крючок коэффициент при иксе 2/12, перенес его в правую сторону и разделил на него 100/3.


х = 100/3 : 2/12 = 200.

Ой-ой-ой! Неужели вы уже так далеко ушли от меня? На двести километров! Мне даже грустно стало.

В это самое время появился Пончик. Все бросились к нему, чтобы скорее прочитать ваше письмо. Но на этот раз письма не было. Сначала мы расстроились, а потом надумали снова решить уравнение, только не с бумажным, а с живым Иксом.

Роль Икса поручили Пончику. Надели на него черную маску, обвязали клетчатым шарфом и сделали бантик на спине. Пончик отчаянно визжал и вырывался. Мне очень хотелось его выпустить, но наука прежде всего!

Я крикнул: «Аль-джебр! Аль-мукабала!» — зацепил крючком шарф и стал поднимать Пончика удочкой. Как раз в это время прибежала моя мама. Она сейчас же развязала собаку, отобрала удочку и посмотрела на меня сердитыми глазами.

— Вот когда я тебя снова узнаю! — сказала она. А потом улыбнулась и прибавила: — А может, это к лучшему?

Так закончилось наше приключение с подъемным краном.

С нетерпением ждем ваших сообщений. Ни пуха ни пера!


Нулик-Крановщик.


Тайна раскрыта! (Таня — Нулику)

Исполнилось наше желание. Нулик! Мы пошли в парк, уселись на скамью и первый раз в жизни сами составили уравнение.

Конечно, это было нелегко. Пришлось-таки поломать голову. Начали с того, что внимательно перечитали задачу зеленого стручка. Не мешает вспомнить ее и тебе:

«Сколько было у меня горошин, если Нулик сперва съел одну треть их, затем прихватил не то две, не то четыре горошины, половину остатка я потерял, а Нулик вернул мне половину того, что он прихватил; потом две горошины я подарил, а последнюю унес ветер? Стручок».

Сперва мне показалось, что задача очень трудная и нам ее ни за что не решить. Ну, да ведь рядом Олег! С таким не пропадешь. Успокоит, подбодрит. Глядишь — все и вышло.

— Что ж, — сказал он, — начнем рассуждать. Сперва выясним, что у нас неизвестное.

— Число горошин в стручке.

— Верно. Вот и обозначим это число через икс.

Олег вынул бумагу и приготовился записывать. Но его перебил Сева.

— Смотрите, смотрите! — закричал он вдруг.

Несносный мальчишка! Вечно глазеет по сторонам. Я повернулась, чтобы отчитать его хорошенько, и обомлела: по аллее чинно выступала дружная парочка — белый как снег Пончик и Черная Маска. Глядя на них, никто не сказал бы, что недавно они были совсем в других отношениях.

Икс подошел к скамейке и застенчиво поклонился. Он был такой смирный и воспитанный! Сева даже засомневался: а вдруг это опять не наш?

Но это был наш Икс. Икс из нашего уравнения. Вот он стоит и ждет, когда его наконец расколдуют. И мы принялись расколдовывать.

Обозначили число горошин через икс. Одну треть их съел Нулик. Стало быть, он слопал 1/3 × х. Потом он прихватил еще несколько горошин — не то две, не то четыре.

— Будем считать, что Нулик прихватил две горошины, — сказал Сева.

— А если четыре?

— Значит, придется решать задачу два раза.

— Но тогда получатся два разных ответа, — не соглашалась я. — Так не бывает.

Как всегда нас помирил Олег:

— К чему спорить? Лучше вспомним, как в таких случаях поступают в Аль-Джебре. Обозначим число прихваченных Нуликом горошин буквой а.

Отличная идея! Ведь под буквой можно подразумевать любое число, — значит, и два, и четыре.

— Итак, — продолжал Олег. — Нулику досталось 1/3 × х + а горошин. Поехали дальше. Здесь сказано: «Половину остатка я потерял».

— Сколько же осталось, когда Нулик ушел? — спросил Сева.

— Ну, если всего горошин было х, то осталось х — 1/3 х — а горошин, — сосчитала я.

— Или 2/3 × х — а, — уточнил Сева.

— А так как стручок потерял половину этого остатка, — рассудил Олег, — выходит, что потеряно было


1/2 × (2/3 х — а).

— Теперь уже из стручка исчезло


1/3 х + a + 1/2(2/3 × x — a) горошин.

— Смотрите-ка, — заметил Сева, — оказывается. Нулик вернул половину того, что прихватил. А это не то одна, не то две горошины.

— А раз он прихватил а горошин, то и вернул 1/2 × а, — сообразил Олег.

— Значит, число исчезнувших горошин стало меньше на 1/2 × а, — сказала я:


1/3 × х + а + 1/2(2/3 х — а) — 1/2 × а

— И наконец, две горошины стручок подарил, а последнюю унес ветер, — сказал Сева. — Считайте, что исчезло еще 3 горошины.

Тогда мы написали, сколько всего исчезло горошин из стручка:


1/3 × х + а + 1/2(2/3 х — а) — 1/2 × а + 3.

— Все это прекрасно, но уравнения я еще не вижу, — вздохнул Сева.

— Отчего же? — удивился Олег. — Ведь ветер унес последнюю горошину. Поэтому то, что мы написали, и есть число всех горошин, которые были в стручке.

— Ага! — повеселел Сева. — Их-то мы обозначили через х.

— Тогда


х = 1/3 × х + а + 1/2(2/3 х — а) — 1/2 × а + 3.

— И уравнение составлено! — закончил Олег.

Мы смотрели друг на друга и глупо улыбались. Сева вдруг запел басом: «Еще одно последнее сказанье, и летопись окончена моя». Сумасшедший!

Мы с Олегом опасливо оглянулись. Но что это? Отовсюду за нами наблюдали внимательные, сочувственные глаза. Ба! Да здесь целая толпа знакомых. Вот милые, улыбающиеся лица мамы Двойки и ее близнецов. Вот важный Дэ. Пришли сюда и наша недавняя провожатая Эф, и фокусник, и Главный Весовщик, и Составители уравнений, и директор кафе «Абракадабра». Даже скромная Мнимая Единичка покинула на время свою карусель.

— Что случилось? — растерянно спросил Сева.

— Не удивляйтесь, — ответила мама Двойка. — С тех самых пор, как вы появились в Аль-Джебре, мы следим за каждым вашим шагом. Нам так хочется, чтобы вы полюбили нашу страну и чтобы пребывание в ней сделало вас сильнее и богаче!

— Спасибо вам, дорогие друзья! — растроганно сказал Олег. — Без вас мы никогда не составили бы уравнения, никогда не раскрыли бы тайны Черной Маски…

Смирно стоявший в сторонке Икс осторожно потянул его за рукав.

— Не забывайте, что тайна еще не раскрыта, — шепнул он, указывая на свою маску.

В самом деле! Составив уравнение, мы на радостях позабыли его решить.

— Ну, это уж пустяки, — отмахнулся Сева. — Сперва раскроем скобки…

Раскрыли. Получилось:


х = 1/3 × х + а + 1/3 × х — 1/2 × а — 1/2 × а + 3

— А теперь, — скомандовала я, — подобные в правой части уравнения, приведитесь!

Подобные привелись. И вышло из этого вот что:


х = 2/3 × х + 3.

— Полюбуйтесь-ка, все а исчезли! Куда это они?

Олег посмотрел на Севу укоризненно:

— А ты подумай! У нас было а с плюсом и две половинки а с минусами. Но это все равно что целое а с минусом. Вот они и взаимоуничтожились. Понял? Тогда продолжаем. Что будем делать сейчас?

У Севы даже глаза заблестели.

— Сейчас я скажу, ладно? Аль-джебр! Аль-мукабала!

Мы перенесли неизвестное вместе с коэффициентом из правой части равенства в левую и поменяли у него знак. Получилось:


х — 2/3х = 3

А это не что иное, как


1/3 × х = 3.


— Стало быть, Икс в три раза больше трех, — сказала я.

— А раз так, значит, Икс равен девяти! — торжественно объявил Олег.


х = 9.

И как только он это сказал, черная маска упала на землю.

— Ура!!! — закричали мы.

— Ура! — подхватили жители Аль-Джебры.

Пока мы решали уравнение, они стояли так тихо, словно их вовсе не было. Зато теперь шумели и радовались вовсю. Особенно Икс. Он чуть не задушил нас в объятиях, а потом сплясал какой-то диковинный танец. Но больше всех веселился Пончик. Не переставая лаять, он перебегал от Севы к Олегу, от Олега — ко мне, прыгал, заглядывал в глаза и все время норовил лизнуть в нос…

Только один участник нашей экспедиции вел себя так тихо, что о нем чуть не позабыли: стручок.

Но о нем все-таки вспомнили. Сева достал его из кармана. И как же мы удивились, когда вместо пустого стручка увидели целый! На плотной глянцевитой кожуре отчетливо обозначились бугорки. А внутри, как в уютном зеленом вагончике, прижавшись друг к другу, лежали девять горошин.

Удивительный день! Я могла бы написать о нем еще десять писем, но зачем? Скоро вернемся в Карликанию и все тебе расскажем сами.


Таня.



В глубь Аль-Джебры! (Отряд РВТ — Нулику)

Дорогой Нулик! Первый раз пишем тебе втроем. И как ни странно, не ссоримся. Уж если мы вместе составили уравнение, написать сообща письмо для нас теперь сущие пустяки.

Как видишь, дни, проведенные в Аль-Джебре, многому нас научили. Особенно тот день, когда мы расколдовали Черную Маску.

Долго, до самого вечера, беседовали мы с альджебрийскими друзьями и поняли, что нам еще пока что хвастаться нечем. Мы ведь составили всего-навсего уравнение первой степени. А есть еще и квадратные, и кубические, и уравнения четвертой степени… И чем выше степень уравнения, тем труднее его решать. Альджебрийцы говорят, что даже ученые научились этому не сразу.

Правда, квадратные уравнения известны были давно. О них знали еще древние китайцы и вавилоняне. Греческий математик Диофант умел уже решать некоторые уравнения более высоких степеней. Но он не нашел единого способа решения. Это потому, что такие уравнения решаются с помощью отрицательных, иррациональных, мнимых чисел. Диофант же знал только об отрицательных, да и то не считал нужным ими пользоваться.

А ведь числа эти были известны задолго до Диофанта индийским ученым. От индийцев отрицательные числа перешли к арабам, которые завоевали Индию. Но арабским ученым они не понравились. Не нравились они и создателю алгебры Мухаммеду ибн Мусе аль-Хварезми. Потому-то он и восстанавливал отрицательные числа, превращал их в положительные. И признавал только такие уравнения, где в ответе получалось положительное число.

Через сто лет после Мухаммеда аль-Хварезми в том же Хорезме родился другой замечательный ученый. Имя у него еще длиннее: Абу Рейхан-Мухаммед ибн Ахмед аль-Бируни. Бируни был ученый-энциклопедист. Это значит, что он занимался многими науками: математикой, физикой, астрономией. Он изучал также ботанику, географию, историю, минералогию — науку о камнях — и еще много других. Но в Аль-Джебре, конечно, больше всего интересуются его работами по математике. Бируни удалось решить интересное уравнение третьей степени. Но только одно!

Прошло еще сто лет. В Средней Азии появился новый замечательный математик. Но о том, что он математик, знают не все. Он больше известен как великий поэт Омар Хайям.

Оказывается, наука и искусство часто идут рука об руку. Таких случаев много.

Блез Паскаль был не только великим физиком и математиком, но и писателем, Михаил Ломоносов — поэтом. Первая русская женщина-математик Софья Ковалевская писала романы и пьесы. Композитор Бородин, автор оперы «Князь Игорь», был талантливым химиком, соратником великого русского ученого Менделеева.

Рассказали нам и еще одну забавную историю.

Ты, может быть, читал удивительную сказку «Алиса в стране чудес». Написал ее английский писатель прошлого века Льюис Кэррол. Сказка очень понравиласьанглийской королеве. Она потребовала, чтобы ей доставили все сочинения этого замечательного сказочника. Принесли целую кучу книг. Королева открыла одну и тотчас захлопнула.

— Что вы мне принесли? — воскликнула она. — Вместо сказок здесь какие-то цифры. К тому же на обложке совсем другая фамилия. Не Кэррол, а Чарлз Доджсон!

Выяснилось, что «Алису в стране чудес» написал известный математик Доджсон, который подписывал свои литературные произведения псевдонимом Кэррол. А королеве принесли его математические труды.

Математика не мешала Доджсону заниматься литературой. Не мешала она и Омару Хайяму заниматься поэзией. А может быть, и помогала. К сожалению, мы еще не читали стихов Хайяма. Но говорят, что они отличаются удивительной точностью и краткостью. В стихотворение, состоящее всего из четырех строк, поэт умудрялся вложить большое содержание. В его поэзии много метких наблюдений и глубоких мыслей. Потому так любят ее люди всего мира. А математики почитают Хайяма еще и за то, что он первый по-настоящему занялся общим решением уравнений третьей степени. Жаль только, что он пренебрегал отрицательными и мнимыми числами. Поэтому решение у него получилось неполное.

Много времени прошло, пока ученые поняли, что без этих чисел им не обойтись. Они стали применять их для решения алгебраических уравнений. И тогда дело пошло на лад.

В шестнадцатом веке итальянские ученые Тарталья и Кардано научились решать любые уравнения третьей степени. Другой итальянский математик, Феррари, придумал способ решения уравнений четвертой степени.

В тот вечер мы узнали еще много интересного. Всего не опишешь да и не запомнишь как следует с первого раза. Но одно мы поняли и запомнили навсегда.

Алгебра создавалась веками. Ее строили сотни, тысячи людей. Сначала это была маленькая постройка. Но постепенно она превратилась в огромное, сложное здание со множеством пристроек, башенок, переходов. Строительство его не закончено и не закончится никогда. Никто не знает, сможет ли он заложить хоть один камешек в стены этого здания. Такое удается не каждому. Зато каждый может войти в него и изучить то, что уже построено.

Вот тут-то мы и подошли к самому главному. Не хочется тебя огорчать, но лучше уж сразу сказать правду: не жди нас, Нулик. Мы решили идти дальше. Обидно останавливаться в самом начале дороги. Ведь впереди столько неизведанного и увлекательного!

Конечно, мы не раз еще с тобой встретимся. Грустно было бы думать, что мы расстаемся навсегда! Все мы тебя очень полюбили и при первой же возможности приедем к тебе в гости.

А сейчас, чтобы ты не слишком расстраивался, прими от нас подарок: стручок. И еще маску. Это уже от Икса. Он очень тепло вспоминает о встрече с тобой. Ведь ты тоже помог ему найти потерянное лицо!

И вот еще что. Это письмо, как всегда, передаст тебе наш бессменный почтальон Пончик. Пусть он остается у тебя. С ним тебе будет веселее путешествовать по Аль-Джебре. Если, конечно, ты когда-нибудь вздумаешь туда отправиться. А пока хватит с тебя и того, что ты узнал из наших писем. Всякому овощу свое время.

Крепко тебя обнимаем. Горячий привет маме Восьмерке и всем карликанам.

Твои друзья из отряда РВТ: Таня, Сева и Олег.


Голицыно

Лето 1964 года



Нулик-мореход

Правдивые рассказы, записанные в судовом журнале собственноручно юнгой Нуликом, обо всём, что он увидел, услышал, понял и не понял во время плавания по геометрическим морям и океанам в месяце нуляля тысяча девятьсот семьдесят неизвестно какого года

Смелость + находчивость = удача

Наконец-то моя заветная мечта сбылась: я попал на настоящий корабль.

Как вам должно быть известно, я перебрал много профессий - был Нуликом-крановщиком, Нуликом-фокусником, Нуликом-пограничником... Даже Нуликом-профессором! А теперь я Нулик-мореход.

Я очень люблю плавать, да всё как-то не приходилось. Хотя на уроках учительница не раз говорила: "Опять ты, Нулик, плаваешь!" И ставила мне в классном журнале... Ну, что она там ставила, не так уж интересно. То ли она скажет теперь, когда я поплыву по-настоящему, к тому же на Фрегате капитана Единицы!

Да, у меня от счастья так закружилась голова, что я забыл вам представиться. Будем знакомы: Нулик из государства чисел Карликании. Живу я в городе Арабелле, на Восьмой улице, в доме номер восемь, на восьмом этаже, в восьмой квартире. И мама моя, представьте себе, тоже Восьмёрка. Я её очень люблю, и она меня тоже, но почему-то частенько качает головой и вздыхает: "Ох, горе ты моё!" Это она про меня...

А теперь всё по порядку. Буду краток. Я всегда краток.



Вас, конечно, интересует, кто помог мне попасть на Фрегат капитана Единицы? Никто! Только смелость. Я очень смелый! Шесть раз поднимал телефонную трубку и всё не решался позвонить капитану. В седьмой раз я смело набрал номер и сказал:

- Здравствуйте, капитан Единица! Правда, что завтра, первого нуляля, вы отправляетесь в плавание? Если так, очень прошу вас взять меня с собой. Я никогда не плавал, а это должно быть весело!

- Во-первых,- ответила трубка,- почему ты звонишь мне ночью? По ночам я сплю. Во-вторых, я и в самом деле завтра, первого нуляля, отправляюсь в рейс. В-третьих, там будет не только весело, но и трудно. В-четвёртых, твоя мама никогда не разрешит тебе броситься в пучину невероятных опасностей, неслыханных лишений и отчаянных схваток! Конечно, кроме опасностей, лишений и схваток, нас ждут волшебные открытия. Но без согласия мамы я ни за что не возьму тебя с собой.

Я не только смел, но и находчив, и потому ответил так:

- Величайший из капитанов, моя мама-Восьмёрка сама - да, сама! - умоляет вас взять меня с собой. Она говорит, что такому опытному, знаменитому, храброму капитану, как вы, она может доверить даже меня. Она просит вас...

- Ну, если мама сама... тогда другое дело! Я счастлив оказать ей эту услугу. Так и быть, назначаю тебя юнгой. Но тебе придётся здорово поработать.. На моём Фрегате лентяев не держат. Спокойной ночи!

- Подождите! Вы не сказали главного: куда мы плывём?

- Это секрет! Но тебе, мой юнга, я его открою. Наш путь лежит через геометрические - треугольные, прямоугольные, шестиугольные, пирамидальные и прочие - моря и океаны. Мы будем качаться на рейдах, проходить заливы и проливы в приливы и отливы, мы увидим гавани, порты, бухты...

- Ух, ты! - выдохнул я и спросил, где стоит Фрегат.

- В бухте А,- ответил капитан.- Да не в букве, а в бухте. И вообще не мешай мне спать. Привет маме.

Одно дело было сделано: капитана я уговорил. Оставались самые пустяки - уговорить маму.

Я её тотчас разбудил. Мама перепугалась, решила, что я заболел, но я выпалил единым духом: что совершенно здоров что. сейчас звонил капитан Единица он не хотел её будить а у него неприятность заболел юнга и капитан умоляет отпустить меня в рейс а я сказал что мама ни за что на это не согласится... Уф!



- Что ты?!- Мама всплеснула руками.- Разве я могу запретить тебе ехать, если сам капитан умоляет? Да, но как я отпущу тебя одного в такое опасное плавание? Что мне делать?

Я дал маме слово, что всё будет о'кэй, и она тотчас же позвонила капитану, снова разбудила его и долго благодарила за заботу, а капитан долго благодарил маму за доверие.

Вот так я и очутился на Фрегате. Я поступил нехорошо? Возможно. Но что поделаешь, наука требует жертв!


Лиха беда начало!

1 нуляля
Начинаю свой судовой журнал. Очень прошу вас, читайте его понемногу, по одной главке в день - так, как я его буду писать. А то поспешишь - людей насмешишь!

Итак, внимание! Торжественная церемония отплытия начинается. Вот уже капитан Единица появляется на своём мостике. Вот уже раздаётся его команда: "Отдать концы!" - и... грянула отвальная:


Фрегат готов к отплытию.
Ведёт нас капитан
К невиданным открытиям,
К неслыханным открытиям
В открытый океан,
В открытый океан!
Надёжны все крепления.
И в шторм и даже в штиль
Пройдём никак не менее,
Да уж никак не менее
Тра-та-та тысяч миль,
Тра-та-та тысяч миль!
Порядок полагается
Повсюду и всегда,
И рейс наш начинается,
Да, рейс наш начинается
Из первой бухты А,
Да, да - из бухты А!

Тут отдали эти самые концы, и Фрегат медленно двинулся вдоль бухты А. Почему эта бухта так называется, мне ещё неизвестно. Пока что осваиваю Фрегат.

Первым делом я увидал пушку. Нечего и говорить, что она мне страшно понравилась. Вот бы пальнуть из неё разок!

У пушки суетились капитан Единица и штурман Игрек. Я спросил, не собираются ли они дать салют? Но капитан только плечами пожал: кто же салютует из телескопа?! К тому же Фрегат не военное, а учебное судно. Да, я и забыл, что здесь придётся учиться...

Я стал допытываться, что это капитан разглядывает в телескоп.

- Телеграфные провода, - отвечал он. - Хочу убедиться, что они не провисли, а остались прямыми линиями, как и положено. Кстати, знаешь ли ты, что такое прямая линия?

Ну, я, конечно, сказал, что прямая линия - это такая линия, которая прямая. Капитан возмутился: не определение, мол, а кит знает что! А штурман прямо зарычал от негодования:

- Разрази меня гром, бом-брам-фок! Прямая линия - это же кратчайшее расстояние между двумя точками!

- Верно, да не совсем,- возразил капитан.- Кратчайшее расстояние между двумя точками - всего лишь отрезок прямой. А прямая тянется в обе стороны бесконечно.

Я взял карандаш и прямо на палубе нарисовал длиннющий отрезок прямой. Но капитан сказал, что моя прямая - вовсе не прямая, а...

Это я и сам видел. Кривой она получилась потому, что палубу качает. А вообще-то я умею рисовать прямые линии. Такие прямые, как верёвки, что натягивают паруса: проведи по ним смычком, и они запоют!

- Бом-брам-фок!- снова загремел штурман.-Во-первых, не верёвки, а ванты. А во-вторых, они слишком толсты, чтобы называться прямыми линиями.

- Видишь ли,- пояснил капитан,- прямые в геометрии - дело особое. Хочешь видеть настоящие геометрические прямые - взгляни на здешние телеграфные провода.

Я взглянул на берег и... никаких проводов не увидел. Тогда капитан велел мне посмотреть в телескоп, и - вот так штука! - между столбами в самом деле были натянуты провода, тоненькие-претоненькие. Капитан сказал, что они вовсе не имеют толщины, только длину, и так тонки, что без волшебного телескопа их не увидишь, разве что вообразишь.



Но вот вопрос: как эти воображаемые провода держатся на столбах? Оказалось, так же, как и любые другие провода - на изоляторах. А изоляторами здесь служат геометрические точки. И вот почему их тоже не видно. Ведь у геометрических или математических точек (что одно и то же) нет ни длины, ни ширины, ни толщины! Они тоже воображаемые.

Штурман покрутил ещё какие-то винтики, и я наконец увидел крохотные точки-изоляторы.

- Здорово вы мне всё это доказали... - начал я, но тут же осекся, потому что случилось что-то непонятное.

Сверкнула молния, загремел гром. Фрегат качнуло так, что я чуть не полетел за борт, а море закипело, и из него вылез бородатый старик в золотой, обросшей водорослями короне. Старик размахивал огромной трезубой вилкой и чуть не угодил мне в глаз.

- Кто нарушает законы бухты А? - грозно завопил он.- Кто тут собирается что-то дока... и так далее?!

Капитан и штурман бухнулись на колени и, перебивая друг друга, заголосили:

- Ваше нептунское величество! Повелитель морей и океанов! Простите его! Он не нарочно!

Здравствуйте! Оказывается, я же ещё и виноват!

- О горе мне и всему подводному царству! - застонал старик.- Неужели этот юнга не знает, что А-сокращённое название бухты Аксиома, где что-либо доказывать строго воспрещается?!

- Ваше величество, могучий царь Нептун! - взывал капитан. - Стоит ли волноваться из-за новичка, который понятия не имеет об аксиоме? Поберегите свои нервы!

Услыхав про нервы, Нептун вдруг притих, задумчиво почесал трезубцем в затылке, потом нерешительно хмыкнул и вдруг... нырнул в воду.

Сообразив, что опасность миновала, я потребовал объяснений, но получил их только через несколько часов, когда злосчастная бухта осталась далеко позади.



Капитан подозвал меня и спросил:

- Станешь ли ты дружить с тем, кто может ни с того ни с сего обидеть собаку? Или мучить кошку?

- Само собой, не стану,- сказал я.

- А придёшь ли на помощь другу, если он попал в беду?

- Что за вопрос? Конечно, приду. Ясно, как шоколад, и не требует доказательств.

- Прекрасно! - обрадовался капитан.- Именно так мы и объясняем значение слова "аксиома". Аксиома - это то, что само собой разумеется и доказательств не требует. Впрочем, учёные говорят немного иначе. По их мнению, аксиомой называется то, что принимается без доказательств.

- Что в лоб, что по лбу! Одно и то же!

- Ошибаешься, - возразил капитан. - По мнению математиков, аксиома не то что бы НЕ ТРЕБУЕТ доказательств - её НЕВОЗМОЖНО доказать. Поэтому и приходится ПРИНИМАТЬ её на веру.

Я спросил: как учёные придумывают эти аксиомы? Оказалось, они их вовсе не придумывают, а принимают после долгих наблюдений и опытов.

- Всякая наука начинается с аксиом, - заключил капитан.

Так вот почему мы начали рейс из бухты А: всё всегда начинается с начала!

Я спросил капитана, какую он знает самую простую математическую аксиому? Он ответил, что все аксиомы простые, и, в свою очередь, пожелал узнать, сколько, по-моему, прямых линий можно провести через две точки. Я догадался, что, наверное, не больше одной.

- Правильно! То, что ты сказал, и есть математическая аксиома,- похвалил меня капитан. (Люблю, когда меня хвалят!)

- Теперь уж вовек не забуду, что между двумя точками можно провести только одну прямую! - хвастливо сказал я.

Но тут снова откуда-то появился штурман Игрек и заявил, что я сказал чепуху. Потому что между двумя точками можно провести не одну, а сколько угодно прямых.



Он взял лист бумаги, поставил по краям две точки и провёл между ними штук пятнадцать прямых! Из чего следует, что говорить надо не "МЕЖДУ двумя точками", а "ЧЕРЕЗ две точки".

Вот как важно подобрать точное слово, если хочешь, чтобы тебя правильно поняли!


Тень на плетень

2 нуляля
Денёк выдался что надо! Солнце светит вовсю. Ветер попутный. Паруса раздувает. Фрегат мчится вперёд...

Но самое главное - у меня появился друг. Младший кок. Знаете, кто такой кок? Самая важная персона на корабле! Он готовит для команды всякие вкусные вещи.

Зовут моего нового друга Пи. Странное имя! Наверное, так сокращённо зовёт его мама, а полное имя у него другое. Ну, хотя бы Пиноккио, то бишь Буратино. И так как это одно и то же, то он с одной стороны Пи, а с другой - Бу.

Тут мне пришла в голову блестящая идея: почему бы и мне не обзавестись сокращённым именем? Например, Ну? А что, кажется, неплохо! Обдумаем на досуге...

Между прочим, Пи на Фрегате почти так же недавно, как я. И он здесь тоже работает и учится. Это у капитана Единицы воспитательная система такая... Что ж, будем набираться ума-разума вместе. Так веселей!

Познакомился я с Пи самым приятным образом. Утром он принёс мне в каюту завтрак. Всё моё самое любимое! ПИ-рожки с капустой, ПИрожные с кремом и аПИльсиновый сок. Мы с ним всё это враз уничтожили, подружились навеки и тут же разошлись по своим делам: Пи - вниз, в камбуз, а я - наверх, на капитанский мостик. Нет, не командовать, конечно, а спросить, нет ли каких поручений.

Капитан одной рукой крутил штурвал, другой придерживал торчащую изо рта трубку.

- Зюйд-вест! - обрадовался он. - Ты явился как раз вовремя. Идём мимо архипелага Фигурный. Вернее, не мимо, а внутри.

Действительно, всё кругом настолько кишело островками, что воды почти не было видно. Островки были самых причудливых очертаний, и капитан, огибая их, выделывал такие кренделя, что куда там фигуристам на льду!

- Уж не назван ли этот архипелаг в честь чемпионов по фигурному катанию? - сострил я.

Но капитан сказал, что кое-что общее тут и впрямь найдётся. И очертания островов, и то, что рисуют коньками фигуристы на льду, - всё это одинаково напоминает геометрические фигуры.

- Почему же только напоминает? - не согласился я.- Вот, например, этот островок - самый настоящий треугольник.

- Верно, - кивнул капитан, - но только наполовину. Раз треугольник настоящий, значит, уже не геометрический. Геометрические фигуры, так же как и геометрические линии и точки,- понятия воображаемые. Они не имеют толщины.

- Понятно! - вздохнул я. - Значит, увидеть геометрическую фигуру без вашего волшебного телескопа нельзя.

- Как сказать, - хитро улыбнулся капитан. - Точку и линию, в самом деле, без волшебства не увидишь, а вот фигуру...

Капитан достал сигнальный треугольный флажок, снял его с древка и велел мне крепко держать его за два конца, а сам ухватился за третий и сильно натянул.

- Вот тебе и геометрический треугольник! - победоносно заявил он.

- Э, нет, - энергично запротестовал я, - меня не проведёшь! У этого флажка толщина хоть и маленькая, а всё-таки имеется.



- Не туда смотришь! - усмехнулся капитан. - Ты не на флажок - на палубу смотри.

И правда: на ярко освещённой палубе чернела чёткая треугольная тень от натянутого флажка. Я только в затылке почесал - как Нептун!

- Так-то! - засмеялся капитан. - Фигура есть, а толщины нет.

Тут он выдернул у меня из рук флажок, и воображаемый геометрический треугольник, будто корова языком слизала!

- Выходит, геометрия - только тень всего, что нас окружает, - заключил я.

- Ну, это ты, брат, хватил! Это уж не обобщение, а упрощение.

Тут капитан резко крутанул штурвал, и, надо сказать, вовремя: ещё миг - и мы бы налетели на очередной островок.

- Вот что значит два дела делать: вести корабль и языком болтать, - смутился он. - А островок, между прочим, прелюбопытный. Называется Прямоугольный треугольник. Это потому, что один из углов у него прямой.

- А другие - кривые? - съязвил я.

- Кит знает, что ты мелешь!- проворчал капитан. - Углы бывают прямые, острые и тупые.- При слове "тупые" он выразительно посмотрел на меня.- Острый угол всегда меньше прямого, а тупой - больше. Углы принято измерять в градусах или ещё в...

Я перебил его, вспомнив, что температуру тоже измеряют в градусах. Но он сказал, что никакой путаницы быть не может. Одно дело градусы температурные, другое - градусы угловые.

Слово "градус" в переводе с латинского означает "ступень" или "шаг". Когда у больного повышается температура, ртуть в градуснике поднимается вверх по шкале, как по ступенькам лестницы. А вот стрелки часов - те шагают по угловым градусам. Например, кончик секундной стрелки за один полный оборот, то есть за 60 секунд, описывает окружность и отмеряет при этом угол в 360 градусов, что записывается так: 360°. Значит, за секунду стрелка пробегает 6 градусов (360:60=6). За ту же секунду минутная стрелка отмеряет угол в 60 раз меньший - ведь в минуте 60 секунд. Ну, а часовая стрелка движется ещё медленнее: в 12 раз.

Капитан вынул часы.

- Три часа, - сказал он. - Как раз то, что нам надо. В это время угол между часовой и минутной стрелками равен 90 градусам, а именно это и называется прямым углом. Стрелки в этом случае располагаются, как принято говорить, взаимно перпендикулярно. Точь-в-точь как два берега этого Прямоугольного острова, которые примыкают к прямому углу. Их, между прочим, называют катетами, а третий берег, расположенный против прямого угла, - гипотенузой. Понятно?



- В общем, да,- важно сказал я.- Но один вопросик всё же имеется. Почему окружность делится на 360 градусов? Почему не на 425? Или 621?

- Так уж вышло, - хмыкнул капитан.

- Но почему? - не отставал я.

Капитан погладил меня по голове и сказал, что это разговор особый.



- Давным-давно, - начал он, - в Древнем Вавилоне, лет этак пять тысяч тому назад, а может, и ещё раньше - у древних шумеров (была когда-то и такая народность) счёт вели не по десяткам, как у нас, а по шестидесяткам. Вот оттуда-то и пошло деление окружности на 360 градусов. Ведь 360 не что иное, как 60, повторённое 6 раз. Но самое любопытное дальше. Знаешь ты, что такое квадрат? Разумеется, знаешь, но на всякий случай напомню. Квадрат - прямоугольник, все стороны которого одинаковы. Так вот, как ты думаешь, чему равен каждый из углов квадрата?

- 90 градусам, - выпалил я. - На то он и прямоугольник.

- Ну, а сумма всех четырёх углов квадрата?

- Трёмстам шестидесяти градусам.

- Иначе говоря, числу градусов в окружности.

- Любопытно! - задумался я.- А вот чему равна сумма углов этого прямоугольного острова, натощак не подсчитаешь. Один-то угол у него прямой, а два других невесть какие! Ведь у разных прямоугольных треугольников они могут оказаться любыми.

- Любыми, да не совсем, - сказал Единица. - Каждый из двух других углов должен быть непременно острым, то есть меньше девяноста градусов, потому что сумма всех трёх углов всегда равна ста восьмидесяти градусам.

- Ну да?! - удивился я. - У всех прямоугольных треугольников?

- Не только у прямоугольных. Ста восьмидесяти градусам равна сумма углов всякого треугольника.

Ну и дела! Сговорились они, что ли? Я уж приготовился к очередному вопросу, но тут вахта капитана кончилась, и он удалился в свою каюту, а я побежал к Пи, чтобы поделиться с ним своей потрясающей новостью.

Но Пи сказал, что если это и новость, так только для меня. Лично он узнал об этом много раньше. Ещё вчера!

Ну, я слегка загрустил, но он тут же развеселил меня, сообщив, что с завтрашнего дня мы с ним будем узнавать все потрясающие новости вместе.


Вдоль берега точных доказательств

3 нуляля
Управившись со своими делами, мы с коком вышли на палубу. Капитан был уже там и рассматривал что-то в бинокль. Зюйд-зюйд-ост! - приветствовал он нас. - Фрегат идёт вдоль Берега Точных Доказательств. Здесь надо вести судно особенно осторожно: всюду подстерегают подводные камни. Один неумелый манёвр, и можно утонуть в море Ошибок. Впрочем, штурман Игрек моряк опытный...

- Хотел бы я знать, что это такое - Берег Точных Доказательств? - шепнул я на ухо Пи.

Но капитан всё равно услышал и протянул нам что-то вроде значка. Оказалось, однако, что это не значок, а герб Берега Точных Доказательств. На нём были всякие геометрические фигуры и надпись: "Слава точным и кратким доказательствам!"

Да, это вам не бухта Аксиома, где ничего доказывать нельзя! Здесь не только можно, а и нужно. Но капитан сказал, что без аксиом и тут не проживёшь. Потому что без них ничегошеньки не докажешь. Ни одной теоремы!



Опять новое слово! Теорема. Мы спросили, что это такое, и узнали, что "теорема" - слово греческое, и означает оно "обдумывание". Чтобы доказать теорему, надо много думать.

-В таком случае доказывать теоремы - дело трудное,- сказал я.

Трудное,- согласился капитан,- но вполне возможное. Если только думать логически, то есть последовательно. Умение рассуждать последовательно необходимо каждому, а математику - особенно.

Мы попросили капитана доказать какую-нибудь теорему. Он нарисовал два прямоугольных треугольника (теперь-то я знаю, что это за штука!) и велел запомнить, что точки, где сходятся стороны треугольника, называются вершинами. Таких вершин у треугольника, само собой разумеется, три. Он обозначил их латинскими буквами. В одном треугольнике - большими (А, В, С), в другом - маленькими (а, в, с).

-Эти два треугольника замечательны тем, что меньшие и большие их катеты одинаковы по длине. Требуется доказать, что в этом случае треугольники конгруэнтны.

Как он сказал? Кон-гру... Ну и словечко!

Мы с Пи так хохотали, что чуть в воду не свалились!

-В чём дело? - растерялся капитан.- По-моему, я не сказал ничего смешного.

Лицо у него было такое обиженное, что нам сразу расхотелось смеяться, зато очень захотелось узнать, что за слово такое.

Тут капитан подобрел и спросил, известно ли нам, что такое равенство двух фигур?



- Уж конечно, известно,- бодро заявил я.- Это когда две фигуры равны между собой.

Тут я с капитаном поменялся ролями: на сей раз хохотал он, а обижался я. Но потом он признал, что, в общем-то, объяснение у меня правильное. Только вместо "равны между собой" теперь говорят коротко и ясно - конгруэнтны.

Вот так коротко! Вот так ясно! Да этакого натощак и не выговоришь!

Но капитан сказал, что это разве с непривычки не выговоришь, а вообще-то слово как слово. По-латыни - "совпадение". Если две геометрические фигуры или линии при наложении друг на друга полностью совпадают, значит, они конгруэнтны.

После этого спорить было бесполезно, и мы перешли к теореме.

- Займёмся доказательством,- предложил капитан.

- Ну, это просто,- сказал Пи.- Вырежем из бумаги два прямоугольных треугольника, у которых меньшие и большие катеты одинаковы, наложим один на другой, и если треугольники совпадут, стало быть, они конру... конгруэнтны.

- Не доказательство, а кит знает что! - проворчал капитан.- Во-первых, нам может только показаться, что треугольники одинаковы. Ведь ножницы, циркуль, линейка, да и глаз человеческий - всё это инструменты далеко неидеальные. Во-вторых, если даже допустить, что треугольники действительно одинаковы и совпали в точности, то мы докажем лишь то, что совпали именно эти два треугольника. А теорема должна быть справедливой для всех прямоугольных треугольников с соответственно конгруэнтными катетами.

- Что же делать? - растерялся я.

Что? - Капитан прищурился и пососал свою трубку.- Прежде всего, отказаться от бумажных треугольников и заменить их воображаемыми. Ну и, конечно, рассуждать логически. Итак, у нас есть два воображаемых треугольника, у которых катеты соответственно конгруэнтны. Допустим, что я мысленно накладываю вершину прямого угла одного треугольника на вершину прямого угла второго. То есть точку А на точку а. А потом накладываю друг на друга два конгруэнтных катета. Совпадут концы этих катетов - точки В и в?

- Совпадут,- ответил Пи.- Ведь катеты конгруэнтны…

- Верно. Теперь допустим, что два катета крепко-накрепко склеились. Належатся друг на друга два других катета?

- Ясно, належатся,- ответил я.- Углы между катетами у обоих треугольников прямые - по 90 градусов.

- И длины у катетов тоже одинаковые,- добавил Пи.

- А вы делаете успехи,- заметил капитан.- Итак, логика помогла нам выяснить, что и два других катета обоих треугольников накрепко склеились. Остаётся установить, совпали ли гипотенузы.

Мы с Пи понимали, что гипотенузы обязательно совпадут, но капитан потребовал, чтобы мы это до-ка-за-ли! Да, нелёгкая это работа - из болота тащить бегемота! Хорошо ещё, капитан задал наводящий вопрос: все ли вершины треугольника совпали?

- Все! - заявил Пи.

- Значит,- сообразил я,- совпали и гипотенузы ВС и вс!

-Ой, ли? А из чего это следует? - прищурился капитан. Из чего? Ах я чудак этакий! Да из аксиомы! Из аксиомы о том, что через две точки можно провести только одну прямую!

-Логично,- кивнул капитан.- Теперь теорема доказана: треугольники в точности наложились один на другой. Стало быть, они кон-гру-энт-ны!

-Ура! Да здравствуют аксиомы! - закричали мы с коком. Вот какая у нас с ним конгруэнция!


День рождения капитана

4 нуляля
За утренним кофе Пи с важным видом перелистал мой судовой журнал и заявил, что хотя и неплохо написано, всё же он будет меня ре-дак-ти-ро-вать. Это значит, что писать мне придётся не так, как хочу я, а так, как хочет он.

Я было заартачился, но Пи сказал, что так уж полагается и что делает он это из самых лучших побуждений, потому что иначе мои писания никто издавать не станет.

- Посмотри только, что у тебя нацарапано: аПИльсиновый сок.

- Ну и что?

- А то, что нет слова "аПИльсиновый". Есть "аПЕльсиновый".

- Зато "апильсиновый" смешнее.

- Это по-твоему. А по-моему, просто неграмотно.

- А по-моему, у тебя нет этого... как его... чувства юмора!

- Это у меня нет чувства юмора? Нет, это у тебя нет чувства юмора...

Слово за слово - мы поссорились.

И вдруг раздался отчаянный треск. Кораблекрушение?! Ничего подобного! Трещали бамбуковые заросли на островке, мимо которого проходил наш Фрегат. Они здесь были необыкновенно густые и высокие, и островитяне срубали их маленькими топориками.

- Идём мимо Бамбукового острова,- сказал Пи, сразу позабыв о нашей ссоре, и безо всякой связи добавил: -Отсюда вытекает, что сегодня день рождения нашего капитана.

- Почему это день рождения вытекает из острова? - удивился я.

- Да потому, что рождение своё капитан Единица отмечает не по календарю, а в тот день, когда Фрегат проходит мимо Бамбукового острова.

- Ну да?! А ты откуда знаешь?

- От штурмана Игрека. На этом острове бамбук -тоже своего рода единица. Местная единица измерения длины. Вроде нашего метра.

- Ну и что?

- Как ты не понимаешь! - рассердился кок.- Капитана-то нашего как зовут? Единица. Стало быть, он бамбуковой единице что-то вроде тёзки. Только та чуток подлиннее будет. Когда-то древние бамбукяне подобрали небольшой такой бамбуковый стебелёк, метров с пять, и приняли его за эталон. И теперь он хранится у них в музее имени капитана Единицы.

- Таким бамбучищем мало что измеришь,- заметил я.-А единицы поменьше у них тоже есть?

- Ага. Сотая часть бамбука - бука, а десятая часть буки - минибука.

- Совсем как сантиметр и миллиметр,- сообразил я.-Скажи, а ты не знаешь, с чего это бамбукяне на берегу так суетятся? Топливом, что ли, запасаются?

- Ну, это, говорят, сложная история,- отмахнулся Пи.- Так что спроси лучше у капитана. Да смотри не забудь его поздравить.

- За кого ты меня принимаешь? - гордо возразил я.

Только мы вышли из каюты, как на острове грохнул салют. Островитяне побросали свои топорики и приветствовали капитана радостными возгласами. А капитан, в новенькой, с иголочки, парадной форме, приложил руку к козырьку своей фуражки и засиял, как медная пуговица.

Потом запустили фейерверк. Вот было красиво! А когда всё кончилось, я таки поздравил капитана с днём рождения и попросил рассказать про Бамбуковый остров.

И что бы вы думали? Оказалось, у острова этого тоже форма прямоугольного треугольника! Но самое интересное, что стороны его равны трём, четырём и пяти бамбукам. А 3, 4 и 5-числа весьма примечательные. Ведь это единственные последовательные натуральные числа, которые могут быть сторонами прямоугольного треугольника!

И тут капитан рассказал нам одну правдивую легенду.

Случилось это давным-давно, когда на Бамбуковом острове было всего-навсего три жителя: мама и два сына. Маму звали Гипотенузой, а сыновей - Катетами: старшего Катетом- большим, а младшего - Катетом-маленьким.



Все трое очень любили плавать. А чтобы дети не заплывали чересчур далеко, мама раздобыла канат и отгородила им в море квадратный участок возле самого длинного берега - того, что в 5 бамбуков длины. И так как каждая из четырёх сторон этого квадрата была равна пяти бамбукам, площадь для плавания оказалась вполне подходящей: 25 квадратных бамбуков. Ведь площадь квадрата равна произведению двух его сторон. А пятью пять - двадцать пять!



И вот однажды мама отправилась путешествовать, а сыновей оставила дома. Только она уехала - те сразу стали ссориться. Каждый говорил, что другой мешает ему плавать стилем брасс. И решили они друг от друга отгородиться - разделить плавательный участок на две части. Такие уж они были нехорошие, эти Катеты.

Ну, Катет-большой достал новый канат, отмерил 4 бамбука по берегу, столько же отложил на одной стороне прежней канатной ограды и отделил себе славный участок в 16 квадратных бамбуков (4 x 4 = 16). А оставшиеся 9 квадратных бамбуков (25 - 16 x 9) отдал брату.



Очень скоро Катет-маленький понял, что его обделили, потому что брату достался удобный квадратный бассейн, а ему два каких-то закутка, где ни кролем, ни брассом не развернёшься.

Дело дошло до драки, да хорошо, мама вернулась вовремя. Она отшлёпала обоих, выкинула лишние канаты в море и сказала, что теперь весь этот участок оставляет только для себя, а сыновьям отделила два новых, тоже квадратных, участка. Один примыкал к берегу длиной в 4 бамбука, другой - к берегу длиной в 3.

Так каждый из братьев получил по собственному участку для плавания: старший - площадью в 16, младший - в 9 квадратных бамбуков. И оказалось, что площади участков обоих братьев в сумме равны маминому участку:


3 х 3 + 4 х 4 = 5 х 5.


Теперь все купались, не мешая друг другу, а потом шли на берег греться и пить кофе. Вот и вся легенда!

Остаётся добавить, что описанное в ней примечательное свойство любого прямоугольного треугольника называется теоремой Пифагора - по имени древнегреческого математика, который вывез эту теорему из Египта. И звучит теорема так: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

- А ещё эту теорему называют "пифагоровы штаны",-добавил Пи.- Наверное, потому, что рисунок её напоминает плохо скроенные трусики.

- Плохо скроены, да крепко сшиты,- заметил капитан.

- Недаром они так долго служат людям.

- Любопытная легенда,-сказал я,- но всё это дела давно минувших дней. А я хочу знать, что происходит на острове сейчас.

Капитан, однако, пропустил мой намёк мимо ушей. Видимо, ему показалось, что он и так достаточно поработал языком в день своего рождения. Так что ответ на свой вопрос я получил только на следующее утро. К тому же не от капитана, который всё ещё отдыхал после вчерашнего банкета, а от штурмана Игрека.


Бег на длинную дистанцию

5 нуляля
Рассказ штурмана Игрека начался знаменитым восклицанием "Бом-брам-фок!" и был так обильно сдобрен морскими словечками, что пришлось переводить его с морского на общедоступный. Как я с этим справился, судите сами.

Прошли годы. Много правителей сменилось на Бамбуковом острове. И вот появился нынешний - самый любознательный, но и самый нетерпеливый, по прозвищу Хочувсёзнатьскорейскорей.



День-деньской сидит он в своём дворце, построенном на самой вершине прямого угла, читает учёные книги, придумывает мудрёные задачи и сам же их решает. А верный его слуга с чудным таким именем Периметр три раза на дню обегает остров и докладывает правителю, что новенького.

Периметр - бегун на славу! Фигура его то и дело мелькает перед глазами бамбукян.



- Аи да Периметр! Что за Периметр! - слышится повсюду.

Жители так привыкли к этому имени, что незаметно для себя стали называть периметром не только бегуна, но и путь, который он проделывает вдоль берегов треугольного острова, то бишь сумму длин трёх его сторон, а там и сумму сторон всякого многоугольника: квадрата, ромба... Словом, любого.

Как уже было сказано, Периметр бегун хоть куда! Но нетерпеливому Хочувсёзнатьскорейскорей всё кажется, что он движется чересчур медленно. Он не раз пытался убедить его бегать быстрее, но из этого ничего не вышло. И тогда Хочувсёзнатьскорейскорей придумал вот что. Если нельзя сократить время пробега, стало быть, надо сократить путь.

- Да, да,- заявил он,- остров надо перестроить. Да так, чтобы периметр у него стал меньше. Но при этом владения мои не должны уменьшиться не то что на одну квадратную буку, но даже на минибуку! Посему объявляю всебамбуковый конкурс по реконструкции моего острова. И прошу также учесть, что треугольная форма мне надоела и не худо бы заменить её прямоугольной. Итак, думайте!

- Ну и что же, - спросил Пи, когда Игрек умолк, - додумались?

- Где там! - вздохнул штурман.- Всё ещё ищут подходящую длину сторон.

- Так вот почему они всё время рубят тростник! -догадался я и тут же закричал: - Идея! Немедленно включаемся во всебамбуковый конкурс! Предложение первое: стороны нового прямоугольного острова должны быть равны одному и двум бамбукам. При этом периметр прямоугольника получится 6 бамбуков ( 1 + 2 + 1 + 2 = 6 ), а это ровно вдвое меньше нынешнего периметра острова, который равен двенадцати бамбукам ( 3 + 4 + 5 = 12 ).

- Ура! - завопил кок.- Премия! Требуем премии!

- Ишь чего захотели! - ухмыльнулся Игрек.- Обойдётесь и без премии.

- Это почему же?

- Да потому, что вы не учли самого главного: после реконструкции площадь острова должна остаться неизменной.

- А чему она равна, площадь острова? - спросил я упавшим голосом.

- С того-то и надо было начинать! - укоризненно покачал головой штурман. - Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

- Ну, это ещё надо доказать,- возразил я.

- С нашим удовольствием, бом-брам-фок! - гаркнул штурман. - Возьмём два одинаковых прямоугольных треугольника...

- Вы хотите сказать - конгруэнтных,- важно перебил я.

- Ясное дело, конгруэнтных,- проворчал тот.- Итак, стало быть, возьмём два конгруэнтных прямоугольных треугольника и приложим друг к другу так, чтобы совпали их гипотенузы. Что получим?

- Прямоугольник, что же ещё? - сказал Пи.- А площадь прямоугольника будет равна произведению двух его сторон: 3 x 4 = 12. В таком случае, площадь каждого из двух треугольников равна половине от двенадцати, то есть шести. Что и требовалось доказать!



Но тут, к великому нашему огорчению, оказалось, что площадь предложенного мною прямоугольника со сторонами 1 и 2 равна вовсе не шести, а всего-навсего двум квадратным бамбукам. Потому что 1 x 2 = 2. Стало быть, площадь не осталась неизменной, а уменьшилась в три раза.



- Что ж,- уныло вздохнул я,- придётся нам поискать другой прямоугольник. Такой, чтобы площадь его была конгруэнтна площади острова.

- Бом-брам-фок! - вскипел штурман.- Что он такое говорит, этот невежда? Какая может быть конгруэнтность у прямоугольника и треугольника? Равновеликость - дело другое. Но конгруэнтность - никогда!

Вот так история! Его послушать, так разные по форме фигуры конгруэнтными быть не могут, а равновеликими сколько угодно. Как же так?

Но Игрек объяснил, что, говоря о равновеликости, мы имеем в виду не формы фигур, а всего лишь величины их площадей. А величины эти могут быть одинаковыми и у разных, неконгруэнтных фигур...

После этого мы с Пи без труда нашли прямоугольник, равновеликий острову. И даже не один, а целых три: со сторонами 1 и 6; 1,5 и 4; 2 и 3. При этом площадь каждого равна шести квадратным бамбукам.

Оставалось выбрать самый выгодный из трёх, с наименьшим периметром. Стали проверять. У первого периметр оказался равен четырнадцати ( 1 + 1 + 6 + 6 ), у второго - одиннадцати ( 1,5 + 1,5 + 4 + 4 ), у третьего - десяти ( 2 + 2 + 3 + 3 ).



Ну, первый прямоугольник ни в какие ворота не лезет - его периметр больше, чем у острова. Зато у второго - поменьше, а у третьего ещё меньше двенадцати: всего лишь десять бамбуков.

На радостях мы сплясали, и Пи потребовал, чтобы Игрек немедленно отправил наше решение в конкурсную комиссию. Но тот только хмыкнул: а ну как найдётся равновеликий прямоугольник с ещё меньшим периметром?

- Не может быть! - вскипел я.

- А вот и может, - сказал штурман. - Да будет вам известно: из всех равновеликих прямоугольников наименьший периметр у квадрата.

Мы было снова обрадовались, но оказалось, найти сторону этого квадрата - дело нелёгкое. Попробуйте-ка подобрать такое число, чтобы оно, умноженное само на себя, давало в ответе шесть!

Вот если бы площадь была равна, скажем, двадцати пяти, задача решалась бы просто. Тогда сторона квадрата должна быть равна пяти ( 5 x 5 = 25 ). А тут - голову сломаешь!

Вот бамбукяне её и ломают. Потому что нет на свете такой единицы длины, которой можно измерить нужную им сторону квадрата. Как говорят математики, сторона этого квадрата несоизмерима ни с какой единицей длины, иными словами - иррациональна. А бамбукяне об иррациональных числах понятия не имеют. И мы с коком тоже.

Так что пришлось нам от участия в конкурсе отказаться.

Но тут штурман предложил нам другую задачу: как лучше разрезать остров, чтобы превратить его в прямоугольник со сторонами в 2 и 3 бамбука, не уменьшив при этом его площади ни на одну минибуковку?

На сей раз нам повезло: как ни трудна была задача, мы её решили.

Прежде всего нарисовали прямоугольный треугольник с катетами в 3 и 4 сантиметра (сантиметры как-никак удобнее бамбуков). Гипотенуза, само собой, оказалась равной пяти сантиметрам. Затем, не трогая катета, равного трём сантиметрам, отложили на другом катете 2 сантиметра от вершины прямого угла, то есть половину этого катета. Два эти отрезка (2 и 3) приняли за стороны прямоугольника и построили его так, как показано на рисунке.

Оказалось, что кусочек, который вышел при этом за треугольник, в точности конгруэнтен тому кусочку, который мы от этого треугольника отрезали (на рисунке оба эти кусочка заштрихованы).



Вот и всё. И волки сыты, и овцы целы. А почему заштрихованные кусочки конгруэнтны, это уж докажите сами.

Заодно поразмыслите и над тем, как разрезать треугольный остров, чтобы превратить его в прямоугольник со сторонами 1 и 6 бамбуков.

Засим, как говорит капитан, разрешите пожелать вам удачи и распроститься до завтра.


У праздничка

6 нуляля
Проснулся я рано и стал думать, что бы такое выкинуть? И представьте себе, придумал. Решил устроить себе день рождения. Почему этокапитану можно, а мне нельзя?

Перво-наперво я отправился в радиорубку и сам отстукал телеграмму: "Дорогая мама, поздравляю тебя с днём моего рождения. Подарки посылай на Фрегат. Твой Нулик".

Так,- сказал я сам себе.- Одно дело сделано. Остаётся известить команду Фрегата.

Команда явилась в полном составе, сверкая улыбками и надраенными пуговицами, а капитан от имени всех торжественно потряс мне руку и объявил, что сегодня я совершенно свободен и могу делать всё, что угодно.

Тут я срочно вспомнил, что мне давно уже угодно по лазать по мачтам, и мы с Пи отправились на палубу.

Мачта у самого носа Фрегата называется фок-мачтой. Мы на неё не полезли, потому что есть ещё грот-мачта. Она самая высокая и находится как раз посередине судна. А наверху у неё маленькая площадочка со странным названием "марс".

С марса, говорят, очень красивый вид, но мы туда тоже не полезли - всё-таки страшновато! А мачту на корме называют бизанью. Она низенькая, и потому лазить на неё не интересно.



В общем, мы остались на палубе. В конце концов, здесь тоже неплохо и вполне прилично видны все паруса.

Между прочим, у каждого паруса своё имя. Чем выше парус, тем название у него длиннее. Это потому, что паруса прикрепляются к мачтам, а мачты состоят из нескольких частей. И каждая называется по-своему.

Первый ярус мачты называется просто мачтой, второй -брам-стеньгой, а третий - бом-брам-стеньгой.

На первый взгляд, названия нелепые, но на самом деле очень даже лепые, они помогают узнать, на какой мачте и на каком ярусе укреплён парус.

Вот, например, грот-бом-брам-стаксель означает, что па рус по имени стаксель находится на грот-мачте, на её бом-брам-ярусе, то есть на самом верху.

Паруса здесь и треугольные, и квадратные, и ещё какие-то... Словом, всякие геометрические фигуры - от математики даже и в выходной никуда не денешься!

Стаксель, например,- парус треугольный: он висит впереди грот-мачты. А есть ещё другой треугольный парус -топсель. Его, видите ли, почему-то вешают всегда вверх ногами, а головой - то есть вершиной - вниз.

Вот сколько я уже здесь всего узнал. Придётся-таки идти в капитаны. Как пить дать! Не пропадать же моим знаниям зазря.

Ну, пока мы с Пи развлекались и распевали на разные голоса "стаксель-топсель, топсель-стаксель", Фрегат наш не заметно подошёл к рандеву - так по-нашему, по-морскому, называется место, где условились встретиться суда.

Здесь уже стояла шхуна. Шхуна - это корабль такой. Только у неё не три мачты, как у нас, а семь, и все до одного паруса косые.

Послышались приветственные гудки. Сигнальщики на обоих судах замахали флажками.

Вскоре к Фрегату подошла шлюпка с гостями. Гости с капитаном шхуны во главе поднялись на палубу, где уже стоял наш капитан, и оба капитана долго трясли друг другу руки. Потом все ушли в кают-компанию, а мы с Пи чуть замешкались, чтобы обменяться впечатлениями.

И вдруг...

И вдруг кто-то схватил меня за ногу. Потом за другую. Ну, я упал и, конечно, очень рассердился. А когда встал, увидел двух презабавных мартышек, и злости моей как не бывало!

Мартышки стали меня теребить, залезать мне пальцами в уши и в нос... Я смеялся, отбивался... А потом схватил их на руки и решил ни за что с ними не расставаться!

Но тут вернулись наши гости, и капитан Единица при казал мне немедленно отдать обезьянок хозяевам. Я уже готов был разреветься, но капитан шхуны объявил, что привык дарить друзьям то, что пришлось им по вкусу и отдал мне обезьянок насовсем.

Я так обалдел, что на радостях забыл поблагодарить. Хорошо, капитан Единица потихоньку напомнил! Я спохватился и благодарил так долго, что теперь уж пришлось меня останавливать.

А тут ещё Пи во всеуслышание заявил, что подарок кстати, потому что сегодня день моего рождения. И все опять стали меня поздравлять, а капитан шхуны - тот даже отдал мне честь и произнёс юбилейную речь. Очень, между прочим, интересную. До того интересную, что я запомнил её слово в слово.

Дорогой Нулик! - сказал он.- Мы счастливы, что день твоего рождения совпал с нашим рандеву. Это знаменательно. Ведь мы возвращаемся из далёкой Индии, которая справедливо считается родиной Нуля!

Рад отметить, что среди всех десяти цифр нашей десятичной системы счисления Нуль - едва ли не самая важная. Напрасно древние римляне говорили, что из ничего ничего и не выйдет. Достаточно познакомиться с Нулём, чтобы понять: из НИЧЕГО получается НЕЧТО. Недаром сказал один поэт: "Из ничего подобного выходит кое-что!"

Но не надо забывать, что Нуль не только цифра. Нуль ещё и число, притом с удивительными свойствами.

Нуль смел и справедлив. Что сталось бы без него с положительными и отрицательными числами? Они бы давно взаимоуничтожились! Хорошо, что Нуль стоит между ними, как верный страж мира, и, подобно зоркому пограничнику, храбро разводит их полки.

Нуль проворен и сообразителен. Без Нуля любая счётная быстродействующая машина мгновенно превращается в без действующую. Вы спросите, почему? Да потому что работать ей помогают всего две цифры, два незаменимых числа: Единица (тут оратор низко поклонился нашему капитану) и Нуль (теперь он поклонился мне). Единица означает "да", а Нуль-"нет". И этого, оказывается, вполне достаточно, чтобы решить самую сложную задачу. Да здравствует Нуль!

Но Нуль не только смел, справедлив и проворен. Нуль - грозная сила. Он запросто увеличивает и уменьшает любое число вдесятеро. Ему ничего не стоит уничтожить какое угодно большое число, приблизясь к нему со знаком умно жения. Ибо все знают, что всякое число, помноженное на нуль, тоже становится нулём.

А что станет с числом, к которому приблизится Нуль со знаком деления? Всякое, даже самое малое число, делённое на нуль, непременно превратится в бесконечно большую величину. А бесконечно большие величины бесконечно растут. И вот почему деление на нуль строжайше запрещено.

Но я ещё не кончил! Смелый, справедливый, проворный и грозный Нуль умеет и пошутить. Трудно себе представить, что произойдёт, если нуль вздумает разделиться на нуль. В этом случае может появиться любое - слышите? - любое число! Определить значение такого числа не так-то просто. Вот почему такие величины в математике называются неопределённостями.

Я мог бы ещё долго перечислять замечательные качества нашего дорогого юбиляра. Но время моё истекло. А потому ещё раз провозглашаю: да здравствует Нуль! Ура!

- Ура! - закричали все и бросились меня качать.

Я взлетал так высоко, что в полном смысле слова чувствовал себя на седьмом небе от счастья.

Но после удачи всегда жди огорчений...

Первое огорчение исходило от капитана Единицы. Он сказал, чтобы я не слишком-то зазнавался, потому что речь капитана шхуны, собственно говоря, относится не ко мне лично, а к нулю вообще.

Но ещё больше огорчила меня моя дорогая мама-Восьмёрка. Среди всеобщего ликования послышался голос из репродуктора: "Радиограмма юнге Нулику. Нулик, не валяй дурака, твоё рождение через три месяца. Целую. Мама".

Все так и застыли с открытыми ртами, а я чуть не сгорел от стыда и со всех ног бросился в свою каюту.

Вот какой я сам себе праздничек устроил. Хоть больше никому на глаза не показывайся! И не показался бы, если б не Пи.

Вечером он как ни в чём не бывало принёс мне ужин. Мы с ним поболтали о том о сём, но о недавней истории он и словом не обмолвился.

А потом он сбегал за обезьянками и сказал, что наконец-то придумал, как их назвать. Стаксель и Топсель - вот как. А сокращённо - Стакс и Топе. Они ведь умеют висеть вниз головами не хуже иных парусов!

Отличные имена, правда? Не знаю, как вам, а мне они до того понравились, что я почти забыл о своём позоре и даже рискнул выйти на палубу. Ну и неудобно было - жуть! К счастью, все, так же как и Пи, сделали вид, будто ничего не случилось. И скоро я уже носился по Фрегату и куролесил вовсю.

Вот что значит настоящая дружба!



Бесподобные отношения

7 нуляля
Ужасно не люблю числа семь. Да и за что его любить?

Судите сами: чуть я поторопился, а мама сейчас же: "Нулик, семь раз примерь, один - отрежь!" Или стоит мне забросить шахматы и увлечься теннисом, а мама тут как тут: "Нулик, у тебя семь пятниц на одной неделе!" Так мне эта семёрка опротивела - сил нет!

Вот и сегодня - взглянул на календарь и ахнул: седьмое нуляля! Стало быть, жди какой-нибудь пакости. Но никакой пакости не вышло. Наоборот: день выдался очень весёлый.

Как вам, например, понравится такое: мыс Отношений? Да, да, именно так называется берег, вдоль которого идёт наш Фрегат, и мы с коком чуть со смеху не лопнули, услыхав это названьице. Добро бы ещё мыс Добрых отношений. Или, на худой конец, мыс Плохих отношений... Но просто отношений?! Смешно!

Пи, впрочем, смеялся, как выяснилось, не над названием мыса, а надо мной. По его словам, мыс Отношений ни к добрым ни к плохим отношениям отношения не имеет. Это, видите ли, мыс Отношений математических.

Уж этот Пи! Вечно он всё узнаёт первым.

Я, конечно, потребовал объяснений, но Пи сказал, что сегодня не в форме, из чего я понял, что он знает немногим больше меня. Так что пришлось обратиться к капитану Единице.

Капитан написал на листке блокнота вот что: 12 : 4 = 3.

Ну, мы сразу сообразили, что это пример на деление. Верно,- сказал капитан,- но тот же самый пример на деление можно рассматривать как пример на отношение чисел. Разделив 12 на 4, мы выясним, как эти числа относятся друг к другу. Ага! - обрадовался я.- Значит, у чисел всё-таки есть какие-то отношения!

- Разумеется,- подтвердил капитан,- но не добрые и плохие, а ЧИСЛОВЫЕ. И если у нас с тобой (тут капитан подмигнул мне), если у нас с тобой отношения могут меняться в зависимости от твоего поведения (сегодня -хорошие, завтра - плохие), то у чисел они не меняются никогда. Отношение двенадцати к четырём всегда равно трём, десяти к двум - пяти, тридцати шести к четырём - девяти...

- Значит, разные числа относятся друг к другу по-разному? - сообразил Пи.

- Не всегда,- возразил капитан.- В том-то и дело, что есть множество пар РАЗНЫХ чисел, которые относятся друг к другу совершенно ОДИНАКОВО. Как вы уже знаете, отношение двенадцати к четырём равно трём. Но ведь трём равно и отношение шести к двум, и восемнадцати к шести, и ста двадцати к сорока... Таких пар можно подобрать сколько угодно.

- Что верно, то верно,- сказал я.- У меня к числам тоже самые разные отношения. Вот, например, к семёрке... Увы,- вздохнул капитан,- у тебя, Нулик, ко всем числам отношение совершенно одинаково безразличное. Ведь отношение нуля и к пяти, и к десяти, и к ста, и к миллиону одно и то же: оно равно нулю! Ибо на сколько нуль ни дели. нуль так нулём и останется.

Интересно, на что он намекает?

Но капитан ни на что не намекал. Он снова вынул блокнот и написал: 12 : 4 = 6 : 2.

- Видите,- сказал он,- здесь написаны два отношения. Между ними я поставил знак равенства и получил ПРОПОРЦИЮ. А пропорция и есть равенство двух отношений. Числа, образующие пропорцию, соответственно пропорциональны.

- Что значит "соответственно"? - спросил я.

- А то, что делимое каждого из отношений (12 и 6) пропорциональны их делителям (4 и 2).

Ничего не скажешь, понятно. Но, по правде говоря, суховато. Во всяком случае, ничего интересного от мыса Отношений мы уже не ждали. И напрасно!

Фрегат подошёл к причалу, и все сошли на берег. Мы с Пи двинулись за капитаном и штурманом и попали -куда бы вы думали? В кино, вот куда. Капитан сказал, что хочет объяснить нам числовые отношения наглядно.

Фильм назывался... Эх, забыл! Ну да не в том дело. Главное, было очень весело.

Герой перепрыгивал с небоскрёба на небоскрёб, болтал ногами в воздухе, держась за стрелки башенных часов, а потом летел вниз и плюхался прямо на спину лошади.



Да, но при чём тут всё-таки математика?

Это я понял только потом, когда сеанс окончился и капитан повёл нас в кинобудку. Здесь он попросил механика показать нам киноплёнку.

- Как видите,-сказал он,- плёнка состоит из отдельных кадров-картинок. Картинки эти до того маленькие, что и не разглядишь. На экране мы их видим увеличенными во много-много раз. Но при этом числовые отношения всех размеров изображения ничуть не меняются. Они остаются теми же, что на плёнке. Вот, скажем, небоскрёб. Высота его на плёнке, допустим, 8 миллиметров, а ширина - 2. На экране высота небоскрёба равна восьмидесяти сантиметрам, а ширина - двадцати. Сам дом вырос в сто раз, но отношение его высоты к ширине не изменилось. Восемь так относится к двум, как восемьдесят к двадцати. Следовательно, все размеры дома соответственно пропорциональны размерам на плёнке. Иными словами, на экране мы видим точное подобие того, что изображено на киноленте. Вот почему изображения, все размеры которых соответственно пропорциональны, называются подобными. В математике же подобными могут быть любые геометрические фигуры. К примеру, подобны два треугольника, все стороны которых соответственно пропорциональны. Однако углы их при этом остаются неизменными, то есть конгруэнтными.

Вот так компот! Выходит, подобные треугольники конгруэнтны?

- Что за чепуха! - рассердился капитан, услыхав моё замечание.- Я же не о треугольниках толкую, а об углах. Сами же подобные треугольники вовсе не конгруэнтны и, уж конечно, не равновелики: ведь площади у них совершенно различны!

Тут мне пришло в голову, что раз есть фигуры подобные, значит, должны быть и какие-то бесподобные. Это я, конечно, так сострил, но капитан сказал, что бесподобные фигуры и впрямь найдутся, и повёл нас в комнату смеха.

Да, на мысе Отношений тоже есть комната смеха - прямо как в нашем Парке науки и отдыха. И здесь тоже, как водится, понаставлены всякие зеркала. В одном ты - кубышка, поперёк себя толще, в другом - долговязая жердь.




Я очень люблю смотреться в такие зеркала и каждый раз хохочу до упаду. Только прежде я смеялся просто так, а сегодня по научному, потому что понял, что меня смешит.

Оказывается, смеюсь я оттого, что вместо подобной себе фигуры вижу неподобную, непропорциональную, где привычное соотношение всех частей тела изменено, нарушено. Вот что значит побеседовать с капитаном Единицей!

Впрочем, любопытство моё на том не успокоилось, и я спросил, для чего всё-таки нужны все эти подобия и неподобия, пропорциональности и непропорциональности? Да затем, сказал капитан, что без правильных пропорций не создашь ничего путного.

Когда архитектор строит дом, он заботится не только о его прочности и удобстве, но и о том, чтобы на него приятно было смотреть. А приятно смотреть на здание с красивыми пропорциями. Конечно, найти такие пропорции нелегко. Для этого надо быть не только хорошим строителем, но и художником с тонко развитым чувством прекрасного.

Капитан сказал, что чувство это было в высшей степени свойственно древним грекам. Недаром же созданные ими статуи и храмы до сих пор остаются для нас недосягаемыми образцами гармонии. А всё оттого, что греки знали совершенные, идеальные соотношения между частями целого. Потому-то найденные ими пропорции называют классическими. А ещё их называют золотым сечением. И это такое сечение отрезка прямой, при котором меньшая его часть так относится к большей, как большая ко всему отрезку в целом.



- Но ведь о золотом сечении знали не только древние греки. Оно известно и сейчас,- вмешался Пи.- Почему же нынешние дома вовсе не похожи на древнегреческие?

- В самом деле, почему? - подбоченился я.

- Наверное потому, что всё хорошо в своё время,-сказал Единица.- Мы можем любоваться древнегреческими зданиями, но копировать их сейчас было бы глупо. Ведь древние греки жили совсем не так, как мы. У них были иные потребности. И всё же напрасно вы думаете, что классические пропорции в наше время забыты. Они сплошь да рядом используются в современных постройках. Но рядом с прежними возникают новые вкусы, новые соотношения. Потому что всё на свете меняется. В том числе и понятие о прекрасном.

- Нет, - заявил я, - кое-что всё-таки остаётся неизменным. Это отношения чисел. Шесть, делённое на два, как ни верти, всегда равно трём.

- Это уж точно, - подтвердил капитан. - Так же точно, как то, что геометрия стоит на трёх китах.



- Ну да? - удивился я. - Первый раз слышу. В древности думали, что на трёх китах Земля держится, но мама говорит, что это было давно и неправда.

- Земля Землёй, - спокойно сказал Единица, - а геометрия геометрией, даром что родилась она из землемерия... Геометрия - наука о воображаемом. И киты, на которых она держится, тоже не всамделишные, что, впрочем, не делает их менее надёжными. Я говорю о трёх самых главных, самых опорных понятиях геометрии, которые по математическому обычаю можно бы обозначить буквами: К, Р, П. Это Конгруэнтность, Равновеликость и Подобие.

- А ведь правда, - сказал Пи после некоторого раздумья. - С самого начала плавания по геометрическим морям и океанам у нас только и разговору что о конгруэнтности да равновеликости. А сегодня вот и о подобии.

- Наконец-то я понял, - выпалил я, - почему вы повторяете ваше любимое "кит знает что!". Вы имеете в виду кита геометрического. Только вот какого из трёх?

- Всех разом, - засмеялся он и повёл нас на Фрегат.


Пропащий остров

9 нуляля
Если вы наблюдательны, то, должно быть, заметили, что в моём судовом журнале нет никаких записей за восьмое нуляля. И вот по какой причине.

Позавчера, вернувшись с прогулки по мысу Отношений, я вошёл в каюту и застал моих обезьянок в ужасном состоянии. Обе они лежали на полу и жалобно пищали, держась за животы.



Сначала я очень испугался, но потом заглянул в корзинку, которая ещё утром была доверху набита бананами, и увидел, что она пуста. Так вот в чём дело! Стакс и Топе объелись бананами.

Ну, я немедленно вызвал корабельного доктора, и тот отнёс обезьянок в изолятор, по дороге распорядившись, чтобы Пи сварил им рисовую кашку.

Очутившись в одиночестве, я загрустил, прилёг на койку и стал рассеянно отламывать по квадратику от шоколада, который мне дала с собой мама-Восьмёрка. Отломлю - и в рот, отломлю - и в рот...

Скоро шоколад исчез, а мне вдруг стало не лучше, чем Стаксу и Топсу, и меня тоже отправили в изолятор. Там-то я и провёл весь вчерашний день вместе с моими дорогими мартышками. Как говорится, болеть - так вместе!

Зато сегодня мне повезло. Случилось такое, что даже не верится!

Утром мы должны были по расписанию подойти к одному треугольному острову. И подошли. Но никакого острова не увидели!

- Кит знает что! - возмутился капитан и стал протирать свою подзорную трубу.- Неужто штурман сбился с кypca и привёл нас не туда?

Только штурман оказался ни при чём: он-то привёл нас туда, да вот остров исчез. Неужели украли? А может, ему просто вздумалось прогуляться?

Но капитан сказал, что острова если и совершают прогулки, то чрезвычайно редко и уж наверняка не тогда, когда ждут гостей.

Тут наверху послышался гул мотора. Мы задрали головы и... Что мы увидели! Высоко в небе летел вертолёт. С вертолёта свисал длинный трос с крюком на конце, а на крюке... На крюке легонько покачивался остров! Наш треугольный остров! Несмотря на предстоящих гостей, он всё-таки слетал погулять и теперь возвращался на место, хотя и с небольшим опозданием.

Ну все, понятно, страшно обрадовались, закричали, замахали бескозырками... А остров плавно снизился, стукнулся о борт нашего Фрегата, и скоро все мы были уже на земле.

У капитана оказались какие-то дела в порту, а мы с коком отправились осматривать берег.

Шли мы довольно уверенно, потому что один раз уже видели треугольный остров и знали, что у всякого треугольника имеются три вершины. Были они и здесь. У каждой вершины располагалась гавань, обозначенная латинской буквой: гавань А, гавань В и гавань С.



- Давай сперва отправимся к вершине прямого угла,- предложил Пи.- Тогда нетрудно будет понять, где здесь гипотенуза, а где катеты.

От гавани к гавани вдоль каждой из трёх сторон острова тянулись красивые зелёные бульвары. Мы обошли все, но ни один из них почему-то не назывался ни катетом, ни гипотенузой, а просто буквами: бульвар АВ, бульвар ВС и бульвар СА. Кроме того, все бульвары сходились в гаванях только под острыми углами - мы не нашли ни одного прямого. Что же это такое?

- А то,- догадался Пи,- что это не прямоугольный треугольник, а остроугольный.

Мы решили спросить об этом капитана и снова вернулись в гавань А. Капитан к тому времени уже освободился. Of подтвердил, что этот треугольник и вправду остроугольный.

А потом он предложил нам небольшую прогулку.

- Видите, из гавани А расходятся три нарядные, пряменькие улицы, выходящие на бульвар ВС,- сказал капитан.- Пусть каждый пойдёт по одной из этих улиц. Только, чур, одинаковым шагом. Вот так. Понятно? А теперь проверим, кто раньше всех придёт на бульвар.

Сказано - сделано. Признаться, я немного сплутовал и шёл чуть быстрее, чем условились,-уж очень мне хотелось прийти первым. Но как же я удивился, когда дошёл до бульвара ВС и увидел, что капитан уже там! Неужели и он сплутовал?

Последним удивился кок, хотя удивляться было нечему. Просто капитан хорошо знал этот остров и решил над нами слегка подшутить: выбрал самую короткую из трёх улиц - ту, что называется Высотой.



Капитан объяснил, что высотой треугольника называют отрезок прямой, который проводят из вершины какого-нибудь угла треугольника на противоположную ей сторону. И проводить прямую надо так, чтобы получились при этом прямые углы. Такую прямую ещё называют перпендикуляром. Так вот, этот-то перпендикуляр, то есть высота, и есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой ВС.

Я было обиделся: зачем капитан выбрал себе самую лучшую улицу? Но он сказал, что и две другие ничуть не хуже и что у каждой из них есть свои особенности.

Та, по которой шёл я, - у неё ещё такое красивое название: Биссектриса - делит угол треугольника при вершине А пополам.



- А какие особенности у моей улицы? - спросил Пи.

- Твоя улица привела тебя на самую середину бульвара, и называется она Медианой.

Вот какие занятные улицы выходят из гавани А! Но оказалось, что точно такие же улицы выходят и из гавани В и из гавани С. Ведь у любого треугольника три вершины - значит, три высоты, три биссектрисы и три медианы.

Я попросил капитана вернуться в гавань А по Биссектрисе, и вскоре мы дошли до перекрёстка, которого я раньше не заметил. Здесь сходились и две другие Биссектрисы.

- Как? Все три Биссектрисы встретились в одном месте? - недоумевал я. - Может, случайно?

Но капитан объяснил, что вовсе не случайно. В треугольнике все три биссектрисы всегда пересекаются в одной точке.



- О, это замечательная точка, - добавил он. - Расстояния от неё до каждой из трёх сторон треугольника все совершенно одинаковы.

Пи предложил, что и все три медианы, наверное, тоже пересекаются в одной точке. Ведь медиана небось не хуже биссектрисы! Мы не поленились это проверить, и вышло, что кок совершенно прав.



Но самое интересное было впереди. В точке пересечения трёх медиан мы обнаружили ввинченное в землю толстое кольцо - то самое, за которое вертолёт поднимал остров в воздух.

Я спросил, отчего кольцо ввинчено именно здесь? - Да оттого,- ответил капитан, - что на пересечении медиан находится центр тяжести треугольника.

- Вы хотите сказать, центр тяжести треугольного острова, - уточнил Пи. - Потому что какая же тяжесть у геометрического треугольника, если он воображаемый!

- Хорошее замечание, хвалю! - просиял капитан. - И всё-таки я не ошибся, когда назвал точку пересечения медиан центром тяжести треугольника. Так она называется как бы в напоминание о том, что будь треугольник не геометрический, а действительно существующий и потому обладающий весом, центр тяжести его придётся именно на этом месте. Наглядный тому пример - наш "пропащий" треугольный остров. Судя по всему, кольцо у него ввинчено как раз там, где положено, не то не висел бы он на крюке так ровнёхонько, а непременно наклонился бы, и все жители его попадали бы в море...

Вот какой попался нам остров.

Было на нём ещё много любопытных улиц, только осмотреть их нам, к сожалению, не пришлось. Прибежал штурман Игрек и напомнил, что по расписанию Фрегату пора отчаливать. Но мы таки уговорили капитана пройтись напоследок по Высоте и убедились, что и все три высоты треугольника тоже пересекаются в одной точке.



Когда Фрегат снялся с якоря, нам с коком вздумалось начертить по памяти план острова.

Сперва вычертили треугольник. Провели из вершины А высоту. Затем стали проводить биссектрису: для этого разделили угол А пополам, затем... Странное дело! Биссектриса совпала с высотой. Тогда мы разделили сторону ВС пополам и провели её медиану. Что такое?! И медиана совпала и с высотой и с биссектрисой! Точно та же история повторилась, когда мы проводили высоты, медианы и биссектрисы из вершин В и С.

Таким образом, вместо девяти отрезков у нас получилось внутри треугольника только три. И все они пересекались в одной общей точке.

Сначала мы никак не могли понять, как это вышло, но потом всё-таки додумались. А вот до чего додумались - не скажу: сами догадайтесь!


Чудесная пластинка

10 нуляля
Бабах! Буме! Трах! Дзинь!

Фрегат валится на правый борт. Потом на левый. Чемоданы, графины, стаканы носятся по каюте как безумные...

- Мама! - крикнул я и проснулся.

По каюте действительно носились чемоданы, графины и стаканы. А заодно с ними Стакс и Топе. Выздоровели, голубчики!

И тут я вспомнил, что обещал моему другу Пи встать сегодня пораньше. Я быстро оделся, рассовал обезьянок по карманам и опрометью кинулся на палубу.

- Наконец-то, соня! - на ходу бросил мне Пи.- Чуть не проспал замечательного острова.

В самом деле! Про остров этот ещё вчера говорил нам капитан, и, судя по его рассказам, там не соскучишься.

Представьте себе огромную патефонную пластинку, надетую на диск проигрывателя. Только посерёдке у неё - там, где должен торчать шпенёк,- стоит высокая остроконечная башня - ратуша. От неё лучами расходятся прямые улицы. Все они ведут к морю. А чтоб жители пластинки ненароком не падали в воду, вся она по берегу обнесена красным канатом. Этот канат я увидел ещё с моря, и он мне очень понравился.

- Смотрите, смотрите, какой красивый красный круг! - завопил я.

- Наверное, ты хочешь сказать - окружность,-возразил капитан Единица.

Ну, я вежливо дал ему понять, что, по мне, всё едино: что круг, что окружность. Капитан ещё вежливее объяснил, что я говорю чушь. Окружность - линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. А круг -часть плоскости, ограниченная окружностью. Что ж, учтём!

Сойдя на берег, мы с коком тотчас решили отправиться к ратуше и спросили какого-то прохожего, как туда быстрее добраться. Тот посмотрел на нас с недоумением:

- Разве вы не знаете, что на острове Круг все улицы, ведущие от ратуши к берегу, совершенно одинаковой длины?

- Ха! Может, скажете, они и называются все одинаково? - съязвил я.

- Конечно! - невозмутимо отвечал прохожий, с любопытством рассматривая Стакса и Топса, которые выглядывали из карманов моей куртки.- Улицы эти называются Радиусами, и мы различаем их только по номерам.

- И много у вас таких улиц? - спросил Пи.

- У нас двенадцать,- отвечал тот.- Но вообще-то радиусов в круге можно провести сколько угодно. Бесконечное множество.

Тут обезьянкам стало невмоготу в заточении. Они вырвались на волю и принялись носиться как сумасшедшие по сочному, ровно подстриженному газону между двумя соседними Радиусами.

Пока они веселились, мы с коком растерянно топтались на месте в ожидании неприятностей. Но жители острова, казалось, сами обрадовались возможности порезвиться и затеяли с обезьянами шумную возню.

- Неужели вам не жаль топтать такой прекрасный газон? - спросил я у одного из них.

Но он только плечами пожал.

- На то и газон, чтобы его топтать. В других странах что ни шаг - объявления: "По траве не ходить!", "Собак не выпускать!", "Цветов не рвать!", а у нас все секторы засеяны такой травой, что её и нарочно не вытопчешь.

- Какие такие секторы? - полюбопытствовал я.

Тот посмотрел на нас с явным сочувствием.

- Бедняги! Неужели вы не знаете, что сектор - часть круга между двумя радиусами?

- Выходит, ваш остров разделён на 12 секторов, - сообразил я.

- Уж конечно, - ухмыльнулся прохожий, - где 12 радиусов, там и 12 секторов. И заметьте: они у нас все совершенно одинаковые.

- Конгруэнтные, - уточнил я важно, чтобы удивить его своей образованностью.

- Постой-ка, Нулик, - вмешался Пи, - а ведь мы об этом кое-что слышали. Помнишь, капитан рассказывал о часах? Теперь я вижу, что остров Круг очень похож на циферблат. Циферблат тоже разделён на 12 частей. Стрелки часов - те же радиусы, а кончики их очерчивают окружности.

- Только окружности разные, - догадался я. - Ведь часовая стрелка короче минутной - значит, и окружность, которую она очерчивает, будет меньше.



- Такие окружности называются кон-цен-три-чес-ки-ми, - ввернул наш собеседник.

- Наверное, потому, что у обеих окружностей общий центр, - бросил я небрежно.

- Посмотрите-ка на них! - засмеялся круговчанин. Они всё же что-то соображают.

Его похвала так нас окрылила, что мы принялись соображать вовсю. Во-первых, вспомнили, что за полный оборот стрелка часов отмеряет угол в 360 градусов. А так как на острове 12 конгруэнтных секторов, нетрудно вычислить, что угол между двумя соседними улицами равен 30 градусам. Во-вторых...

Во-вторых не последовало, потому что пришёл капитан и повёл нас осматривать ратушу.

Снаружи это башня как башня: круглая, со шпилем и, конечно, с флюгером на макушке. Прямо как из сказки Андерсена. Зато внутри - совершенно современное здание!

Скоростной лифт взлетел и в одно мгновение доставил нас на самый верхний этаж.

Здесь, в круглом зале, посетители играли в кегли. Только эти самые кегли были расставлены чуть иначе: по окружности.

Игрок тоже становился на эту окружность и объявлял, какую кеглю собирается сбить. Затем, прицелившись, пускал шар по полу. Если собьёт - получает приз. Чем дальше кегля от игрока, тем приз больше. Это потому, что отрезок прямой, по которой катился шар, длиннее.

Отрезок этот называется хордой - так по крайней мере сообщил нам капитан.

Самый большой приз доставался тому, кто сбивал кеглю, стоящую в противоположной точке окружности. Ведь в этом случае шар катится по самой длинной хорде! Капитан объяснил, что эта хорда делит круг на две конгруэнтные части и называется диаметром.

- Но ведь диаметр - это же всё равно что два радиуса! - сообразил Пи.

- Весьма тонко подмечено,- сказал один из игроков, который оказался распорядителем,- а потому примите от нас этот маленький подарок.

И он протянул коку блестящий металлический обруч, перегороженный диаметром.



- Большое спасибо,- смутился Пи,- отличный обруч...Но что я с ним буду делать?

- А уж это, уважаемый Пи, вам следовало бы знать самому. Попробуйте-ка с помощью этого диаметра измерить длину обруча.

- Подумаешь! - фыркнул я.- Проще пареной репы!

- Вы так полагаете? - улыбнулся распорядитель и взял из рук недоумевающего кока обруч.

Обруч неожиданно распрямился, и распорядитель ловко подхватил выпавшую палочку-диаметр.

- Длина этой палочки один метр,- сказал он.- На ней, как видите, имеются деления: сантиметры и миллиметры. Вот и попробуйте с помощью этого диаметра вычислить длину обруча, иначе говоря, длину окружности.

Пи взял диаметр и стал откладывать его на распрямлённой окружности. Отложил три раза, но небольшой кусочек остался неизмеренным. Пи стал вычислять его длину. Возился он очень долго, но всё безуспешно.



- Примерно три метра и четырнадцать с половиной сантиметров,- неуверенно сказал он.

- Слишком много,- возразил распорядитель.

- Тогда будем считать ровно четырнадцать,- сказал я.

- А это уже слишком мало...

- Ну ладно,- сдался Пи,- пусть будет четырнадцать и две десятых.

- Опять много,- повторил распорядитель.

- Чего вы от меня хотите? - не выдержал кок.- То много, то мало... У меня точнее не получается!

Все рассмеялись, а распорядитель сказал: и прекрасно, что не получается! Потому что это не получается ни у кого.

- Видите ли, между длиной окружности и её диаметром установились очень сложные отношения,- разъяснил он и добавил небрежно: - Кстати, отношения эти условились обозначать греческой буквой "пи" (?). И для того чтобы вычислить длину окружности, надо это самое "пи" помножить на длину её диаметра.

Кок так и ахнул, а я так даже чуть не подавился. Вот оно что! Мне-то думалось, Пи - неполное имя, а это, оказывается, кое-что очень и очень полноценное...

- И подумать только, что вы ничего не знали о себе самом!-всплеснул руками распорядитель, обращаясь к Пи.- В таком случае почту за честь объяснить вам смысл вашего имени. Греческой буквой "пи" обозначают число, показывающее, сколько раз диаметр укладывается в своей окружности.

- А почему это число вздумали обозначать буквой, вместо того чтобы записать его цифрами? - поинтересовался я.

- Цифрами? - Распорядитель вздохнул и пожал плечами.- К сожалению, такое число можно записать только с помощью бесконечной десятичной дроби. Ни одно натуральное число, ни одна обыкновенная дробь для этого не годятся. Тут необходимо особое число - из тех, что называются иррациональными, то есть несоизмеримыми с единицей. А такие числа можно записать цифрами только приближённо. Как правило, "пи" принимают приближённо за три целых и четырнадцать сотых (3,14). Но существуют и такие таблицы, где "пи" вычислено с точностью до нескольких тысяч знаков после запятой. Впрочем, великий грек Архимед предложил очень удобное и достаточно приближённое значение "пи" и с помощью обыкновенной дроби: двадцать две седьмых (22/7).



Сделав своё сногсшибательное сообщение, распорядитель откланялся и отошёл. А кок прямо не знал, куда деваться от неловкости!

Вот он какой, Пи! Важная шишка, а ничуточки не важничает. И это несмотря на то, что число "пи", как выяснилось, нужно ещё и для вычисления площади круга. Только длину окружности надо при этом помножить не на весь диаметр, а лишь на четверть его...

Тут я посмотрел на кока и вдруг расхохотался: от смущения уши у него пылали, как два кусочка раскалённого чугуна. Засмеялся и капитан. Он сказал, что эти уши охладить не худо в душе, и повёл нас на крышу ратуши.

Душа там, правда, не было, зато было уютное кафе. Здесь мы ели мороженое и любовались красивым видом. А Стакс и Топе, позабыв о недавних неприятностях, снова лопали бананы.

Что было дальше, рассказывать не стану. У меня от этого Круга уже голова кругом пошла...


Обезьяньи гонки

11 нуляля
Думаете, в математике чудес не бывает? Напрасно! Бывают, да ещё какие...

Расскажу, однако, всё по порядку, хотя порядок и мешает этому... как его... вдохновению.

Сегодня мы - я, капитан Единица, Пи... Нет, не так. Штурман Игрек говорит, что "я" всегда должно быть на конце. Итак, сегодня мы - капитан Единица, Пи, Стакс, Топс и я - отправились в Ботанический сад имени Мёбиуса.

Про Мёбиуса я до сих пор ничего не слыхал и подумал, что это, должно быть, учёный садовод или ботаник. Оказалось, ни то, ни другое. Мёбиус - немецкий математик, и с чего это его именем назвали ботанический сад, понять решительно невозможно.

Может, он просто любил гулять в этом саду? Так нет же! Он и не бывал-то здесь никогда. Да и что тут гулять? Ни единого цветочка. Только листья. Обыкновенные листья.

Впрочем, вру. Листья совсем не обыкновенные. Во-первых, растут прямо из земли, во-вторых, очень разнообразны по форме и расцветке. При этом каждый лист высотой с дерево. Да и ширины порядочной.

Не мудрено, что Стакс и Топс прямо влюбились в эти листья и стали бегать по ним как угорелые. Вверх-вниз, вверх-вниз... Причём Стакс по одну, а Топс по другую сторону листа. Ведь у всякого листа две стороны, как и у той страницы, на которой я пишу свой рассказ. По крайней мере так мне казалось до сих пор... Но я опять забежал вперёд.

Когда мы вдоволь налюбовались причудливыми яркими листьями, капитан Единица указал нам на один из них, изогнутый восьмёркой. Я, конечно, сразу вспомнил о маме и сказал, что лист этот очень на неё похож.

- Ну, эта восьмёрка особая, - сказал капитан, - и не худо бы устроить на ней обезьяньи гонки.

Обезьянки, казалось, только того и дожидались и быстро вскарабкались на лист. Стакс занял место на внутренней его стороне, Топс - на наружной. Пи хлопнул в ладоши, и бег начался.

Но что это? Стакс, который бежал внутри листа, оказался снаружи, а Топс наоборот - внутри. Странно! Могу поклясться, что никто из них не перелезал на другую сторону.

Потом им надоело бегать в одном направлении, и они помчались в разные.

Вдруг - хлоп! Обезьянки стукнулись лбами и с визгом шлёпнулись на землю.

Мы с Пи ничего не понимали.

- Так не бывает! - заявил я. - Ведь они бежали по разным сторонам листа?



- Странный вопрос, - пожал плечами капитан. - Ты же сам видел!

- В чём же дело?

- Дело в том, что это лист Мёбиуса.

- Понимаю! - догадался я. - Мёбиус не просто математик. Он - математик-волшебник.

- Да, - подтвердил капитан. - Мёбиус вырастил лист с волшебными свойствами. У обычного листа две стороны, две поверхности. У листа Мёбиуса - только одна! И очень загадочная. Со многими секретами.

Тут появился научный сотрудник сада. Он любезно предложил нам выбрать в подарок любой из растущих здесь листов Мёбиуса, чтобы изучить его свойства дома, на досуге.

Из скромности мы выбрали самый маленький листик - не больше надувной резиновой лодки. Я продел голову в одно отверстие "восьмёрки", Пи - в другое, и мы всей компанией двинулись обратно, на Фрегат.

Решено было приступить к исследованиям немедленно. Но капитан посоветовал нам для удобства экспериментировать не на самом листе - очень уж он велик, а на бумажной его модели.

Мы вырезали длинную, не менее полуметра, полоску бумаги пальца в три шириной. Соединили концы, перевернув сперва один из них на обратную сторону, и в таком положении концы эти склеили.

Потом мы взяли карандаш и стали водить им вдоль листа до тех пор, пока он снова не вернулся к началу своего путешествия. И увидели, что карандаш обошёл лист и снаружи, и внутри. И стало быть, лист односторонний. У него всего одна поверхность.

Потом капитан велел нам разрезать лист на две части по линии, очерченной карандашом.

- Кто знает, может быть, тогда каждый из вас получит по собственному листу Мёбиуса,-сказал он, загадочно щурясь.

Мы аккуратно разрезали лист ножницами по долевой линии, но вместо двух листов перед нами был по-прежнему один. Зато вдвое уже и вдвое длиннее. Вот те на! Единицу разрезали пополам и снова получили единицу, да ещё вдвое большую. Ну и листик придумал этот Мёбиус!

- Теперь проверим, остался ли удвоенный лист односторонним,-сказал капитан.

А с чего бы ему превращаться в двусторонний? Но проверить всё-таки не мешает.

Снова провели карандашом вдоль листа и снова вернулись к исходной точке. Значит, лист односторонний. Каким он был, таким он и остался, голубчик!

- Ой ли? - усомнился капитан. Мы с Пи ещё пазок внимательно осмотрели лист, и что бы вы думали? Оказалось, что карандаш обошёл его только с одной стороны. Вторая чиста. Выходит, лист из одностороннего превратился в двусторонний?

- Вот именно,- кивнул Единица.- Но это не беда. Разрежьте лист пополам снова.

Конечно, никто из нас уже не надеялся получить из одного листа два, и всё-таки лист раздвоился. Только на сей раз две его части цеплялись друг за дружку, как звенья цепочки. Попробуй, разними!

- Заколдованный лист! - вздохнул Пи и, по-моему, не ошибся.

Мы совсем уже обалдели, но капитан сказал, что надо сделать ещё один лист Мёбиуса.

- Для чего? - спросил я.

- Там видно будет, - ответил он.

Когда лист был готов, капитан снова велел нам обвести его карандашом, но не посередине, а на расстоянии хотя бы одной трети ширины листа. Ну, мы так и сделали, а потом разрезали лист по карандашной линии, и знаете, что получилось? Лист как был, так и остался ОДНОСТОРОННИМ!

Режешь посередине - двусторонний, не посередине - односторонний. Чудеса! Не верите? Проверьте сами.


Операция "Объемкость"

12 нуляля
Проснувшись и посмотрев в иллюминатор, я увидел, что Фрегат находится почти у самого берега, и подумал было, что мы собираемся пришвартоваться. На палубе, однако, я понял, что мы идём проливом, причём довольно узким.

Это, вероятно, не больно-то нравилось штурману Игреку (вести судно по такому коридору - задача не из лёгких), зато очень понравилась мне, потому что с палубы было отлично видно всё, что происходит на берегу.

А происходило там вот что: на земле стояли сосуды самой разной величины и формы. Люди брали одни сосуды, зачерпывали ими воду из пролива и переливали в другие.



- Эй, на берегу-у-у!-крикнул я.- Что вы там переливаете из пустого в порожне-е-е-е?

- Измеряем ёмко-о-ость,- отвечали мне.

- А что это за штука - ёмкость? С чем её едят?

- Так называется наш остров.

- Ну и что из того? - удивился я.- При чём тут ваши кувшины?

- А при том, что ёмкость - это вместимость сосуда,-снова ответили с берега.- Вот мы и узнаём, сколько воды помещается в каждом.

- Но зачем вы всё-таки переливаете воду из одного сосуда в другой? - приставал я.

К тому времени Фрегат порядком отдалился от моих собеседников, и отвечали мне ужедругие, которые сказали, что иначе объём причудливого сосуда не вычислить.

Вот чудаки! То они вычисляют ёмкость, то объём. Сами не знают, что измеряют...

Но оказалось, что объём воды в сосуде - это и есть его ёмкость.

- И как же вы эту объёмкость находите? - снова спросил я.

Но мы опять уже отъехали, и отвечали мне снова другие.

Так вот и продолжалась эта переходящая беседа, из которой я узнал-таки кое-что интересное.

Вычислить ёмкость сосуда замысловатой формы очень даже непросто. Тут без высшей математики не обойдёшься. Чтобы облегчить эту задачу, нередко прибегают к хитрости: сперва наполняют водой "сложный" сосуд, а затем переливают её в сосуд попроще, ёмкость которого вычислить - сущие пустяки.



Лучше всего взять для этого сосуд в форме куба, потому что объём вычисляется именно в кубических единицах. Ну, а что такое куб, известно всякому малышу, играющему в кубики. Куб - геометрическое тело, у которого шесть сторон, вернее, граней. Все эти грани совершенно одинаковы, и каждая из них - квадрат. А у квадрата все стороны равны.



Поставим куб на стол. Грань куба, которая соприкасается со столом, назовём основанием куба. Вычислим площадь основания. Для этого перемножим две его стороны, как это делала мама-Гипотенуза. А потом площадь основания умножим ещё и на высоту куба. Это и будет его объём.

Бывает, что вода из "сложного" сосуда не всегда заполняет куб доверху. Но это не беда! Измерялыцики быстро устанавливают, какого уровня достигла жидкость в кубе, то есть на какую она поднялась высоту, и умножают эту высоту на площадь основания куба. Одна минута - и ёмкость вычислена!

Мне не терпелось проделать тот же опыт самому. Я побежал в камбуз, всё объяснил коку, и операция "Объёмкость" началась!

Кок достал с полки фигурный графин с апельсиновым со ком и сказал:

- А теперь давай куб!

Легко сказать - давай! А откуда я его возьму? И тут я, к счастью, вспомнил, что штурман Игрек только что купил небольшой аквариум, который ещё не заселён рыбками.

Мы взяли графин и ринулись в логово тигра. Сами понимаете, что тигр - я хочу сказать: штурман - стоял в это время на вахте. Иначе мы не были бы такими храбрыми.

Итак, тигрек... то бишь Игрек стоял на вахте, аквариум стоял на столе. Кок вылил в него апельсиновый сок, достал из кармана рулетку, и тут... Тут оказалось, что аквариум - вовсе никакой не куб, потому что грани у него не квадратные.

Мы глядели друг на друга жалкими глазами и думали только о том, как бы вылить сок из аквариума обратно в графин. И надо же: как раз в это время послышались шаги.

Только мы успели спрятаться за занавеской, как в каюту вошёл Игрек (времени мы, что ли, не рассчитали? Или вахта у него кончилась досрочно?). Взглянув на свой аквариум, он вздрогнул и остановился как вкопанный. Потом подошёл к столу, опустил палец в оранжевую жидкость и осторожно облизнул...

От страха мы с коком совсем перестали дышать и чуть не задохлись. Но, вместо того чтобы рассвирепеть, штурман вдруг расхохотался. Да так, что стёкла задрожали: бом-брам-фок!

Ну, мы, конечно, сразу осмелели и вылезли на свет божий. И правильно сделали. Потому что Игрек очень даже хорошо помог нам вычислить эту самую объёмкость графина. И то, что аквариум не был кубом, нисколько ему не помешало, ведь объём прямоугольного аквариума вычисляется точно так же, как и объём куба. А нам это и в голову не приходило...

Всё шло как по маслу.

Сначала вычислили площадь основания. Одна его сторона была равна двадцати сантиметрам, другая - двадцати пяти. Перемножили 20 и 25 и нашли, что основание аквариума равно пятистам квадратным сантиметрам ( 20 см x 25 см = 500 кв. см ).

Затем измерили высоту. Это было очень просто, потому что сок поднялся всего на два сантиметра. Помножили 500 квадратных сантиметров на 2 сантиметра и выяснили, что ёмкость нашего графина равна 1000 кубических сантиметров ( 500 кв. см x 2 см = 1000 куб. см ). А это не что иное, как один литр.

И тут кок вспомнил, что графин-то литровый. Так что можно было всего этого не делать.

Пришёл капитан Единица, и мы вчетвером выпили этот злополучный сок. И каждому досталось по стакану.

А потом штурман вымыл аквариум, накрыл его куском стекла и сказал, что в таком виде он - чистый параллелепипед!

- Чистый, потому что вымытый? - спросил я.

- Чистый, потому что вылитый,- сказал штурман, и оба громко захохотали.

Я не знал, что и думать, и очень на них рассердился. Но потом они всё-таки объяснили, что "чистый параллелепипед", так же как и "вылитый", не стоит понимать впрямую.

В данном случае это выражение образное, означающее "похожий на что-то". Потому что аквариум и в самом деле похож на геометрическое тело, называемое параллелепипедом.

- Заметьте также,- добавил капитан,- что куб есть частный случай параллелепипеда. Это параллелепипед, у которого все грани конгруэнтны.

Мы с коком целый день потом повторяли новое словечко: "Пера... лиле... перал-леле..." Повторяли до тех пор, пока не научились выговаривать быстро и правильно: параллелепипед!


У открытого корыта

13 нуляля
Сегодня я весь день ждал неприятностей, потому что тринадцатое число, говорят, несчастливое. Но ничего плохого не случилось. Даже наоборот. Вот и верь после этого приметам!

С утра кинули якорь, и капитан объявил, что мы целый день простоим в порту Максимум.

К пристани в это время пришвартовывался огромный плавучий элеватор, и портовые рабочие подкатывали к нему какие-то странные железяки.

- Что там за корыто и каждое открыто? - спросил я скороговоркой.

- Не корыта, а желоба, - уточнил капитан. - По ним на элеватор потечёт зерно.

- Почему же не по трубам? - прицепился Пи.

Капитан пожал плечами и сказал, что так уж решили математики. Здравствуйте! При чем здесь математики?

Но оказалось, что именно они рассчитали, как надо загибать листы, чтобы получился самый выгодный, самый экономичный жёлоб.

Нечего и говорить, что мы потребовали объяснений, но вместо объяснений капитан молча протянул нам с коком по стакану лимонада с торчащей из него соломинкой. Мы стали было тянуть сок через соломинки, но скоро нам это наскучило, и мы прикончили лимонад залпом.

Капитан поинтересовался, почему мы отказались от соломинки.

- Так вкуснее, - сказал я.

- И быстрее, - добавил Пи. - У соломинки отверстие больно маленькое.

Глаза у капитана заблестели, и он даже пальцами щёлкнул от удовольствия.

- Ага! Понимаете, значит, что через широкое отверстие жидкость льётся быстрее, чем через узкое. Так и с желобами. Чем экономичнее жёлоб, тем быстрее наполнится элеватор и тем скорее люди получат хлеб.

- Но при чём тут всё-таки математика? - не сдавался я. - Просто надо сделать желоба побольше - и вся недолга.

- Думаешь, больше - значит и экономичнее? - прищурился капитан. - Боюсь, что всё это много сложнее. Железные листы для желобов сюда присылают определённого размера, шириной в 120 сантиметров каждый, и математики много потрудились, чтобы сделать из них желоба наиболее выгодные. Оказалось, для этого надо загибать их на расстоянии тридцати сантиметров от каждого края. Это и будет высота жёлоба. А на ширину останется 60 сантиметров. Таким образом, площадь сечения...

- Чего-чего? - перебил Пи.

- Я говорю, площадь сечения жёлоба,- повторил капитан. - Хотите знать, что это такое? Тогда представьте себе, что жёлоб накрыт крышкой и вы смотрите в него на свет, как в трубу. Что вы увидите?



- Небо, должно быть, - догадался я.

- Верно,- сказал капитан,-но не всё небо, а только кусочек его. Площадь этого кусочка и называют площадью поперечного сечения жёлоба.

Единица быстро подсчитал на бумажке, чему равна площадь сечения жёлоба, сделанного из ста двадцатисантиметрового листа, и вышло тысяча восемьсот квадратных сантиметров ( 30 см x 60 см = 1800 кв. см ). Так вот, по словам капитана, большей площади сечения из такого листа нипочём не получится. Это уж точно!

Но я всё-таки не поверил и решил убедиться сам. И убедился. Сначала выгнул - мысленно, конечно,-жёлоб высотой в 20 сантиметров. При этом ширина получилась 80 сантиметров. А площадь сечения почему-то уменьшилась: 20 см x 80 см = 1600 кв. см.

Тогда я попробовал увеличить высоту: загнул с каждой стороны листа по 50 сантиметров. На Ширину осталось 20 сантиметров. Снова подсчитал площадь сечения. На сей раз она стала совсем маленькая: 50 см x 20 см = 1000 кв. см. Как говорится, загибали - веселились, подсчитали - прослезились...

- Кит знает что! - воскликнул я, невольно подражая капитану. - Хвост вылез - нос увяз, нос вылез - хвост увяз...

- Сразу видно, что ты не математик,- сказал капитан.- Математик не стал бы перебирать варианты. Он бы сразу вычислил то, что в математике называется максимумом.

- Выходит, чтобы получить жёлоб-максимум, надо всегда загибать лист на 30 сантиметров с каждого края,-заключил Пи.

- Угу, - поддакнул капитан. - Но только на листе шириной в 120 сантиметров. А вообще-то на одну четверть ширины. Например, при ширине 160-на 40 сантиметров, при ширине 180-на 45... Таков закон высшей математики.

- Понятно,- протянул я.- Значит, высшая математика - наука о желобах.

Но капитан сказал, что высшую математику интересуют не только желоба, а тысячи самых разнообразных вопросов. В том числе не только максимумы, но и минимумы. Если, например, загнуть лист ста двадцати сантиметров ширины на расстоянии шестидесяти сантиметров от каждого края, то на ширину жёлоба ничего не останется, и площадь сечения будет равна нулю. Разумеется, это самая маленькая изо всех возможных площадей, то есть площадь-минимум. Хотя иногда минимум бывает и поменьше нуля.

- Наверное, тогда, когда минимум - число отрицательное, - сообразил я.

- Молодец, - сказал капитан и похлопал меня по плечу.

И тут мы заметили, что вдоль берега кто-то бежит. Да так быстро! Уж не Периметр ли? Но капитан сказал, что не Периметр, а... пример. Живой пример на минимум. Почтальон со срочным поручением на Фрегат от начальника почты.

- Зачем же тогда ваш пример бежит посуху, вместо того чтобы плыть? - удивился Пи. - Разве он не знает, что кратчайшее расстояние между двумя точками - прямая?

Но оказалось, что дело тут не в кратчайшем расстоянии, а в минимуме времени. Вся штука в том, что почтальон бежит гораздо быстрее, чем плавает. И мы решили, что раз так, почтальону следует большую часть пути бежать, а вплавь пуститься только тогда, когда он очутится прямо против Фрегата.

Почтальон, однако, прыгнул в воду гораздо раньше, чем мы полагали: добежал до красного флажка и - бултых! Красный флажок, как выяснилось, установили те же математики, и хорошо сделали. Потому что в этом случае на путь уйдёт и в самом деле минимум времени. Но почему?

Мы уж хотели спросить об этом у самого почтальона, но он, поднявшись на корабль и передав пакет Единице, тут же свалился и заснул. Так что за объяснениями пришлось обращаться опять-таки к капитану.

Тот начал с того, что установил по справочнику ближайшее расстояние от Фрегата до берега и расстояние от этой ближайшей точки до почты. Оказалось, первое в три раза меньше второго. Что же до скорости передвижения почтальона, то капитан и раньше знал, что бегает тот в два раза быстрее, чем плывёт, одолевая вплавь 4 метра в секунду.



Далее капитан выяснил, на каком расстоянии от почты вбит на берегу красный флажок и сколько времени потратил почтальон на весь путь от почты до Фрегата. Расстояния я не запомнил, а время оказалось числом иррациональным - примерно 9 минут и 53 секунды.

Капитан, впрочем, добавил, что если бы почтальон бежал по берегу до тех пор, пока не окажется точно против Фрегата, то времени на путь ушло бы больше: не 9 минут и 53 секунды, а 10 минут и 25 секунд.

- Ну, а если бы он сразу поплыл, от самой почты? - поинтересовался Пи.

- О, тогда бы он плыл больше тринадцати минут. К счастью, он доверяет высшей математике и потому уложился в минимум времени. А всё для чего? - Капитан посмотрел на нас хитрыми глазами. - Чтобы передать Нулику вот это!

И капитан подал мне посылку, где оказались хлорвиниловый пакет с маленькими шоколадками, какая-то картонка и письмо от мамы-Восьмёрки. Я, конечно, сразу развернул его и стал читать:

"Милый сыночек! Посылаю тебе твои любимые сладости, но есть их не смей... (Это ещё что за новости?) есть их не смей, пока не решишь моей задачи. К шоколаду приложена квадратная картонка со стороной в 60 сантиметров. Надо выгнуть из неё самую вместительную коробку. Крышку делать не нужно, но шоколад должен заполнить коробку доверху, вровень с краями. Да, не забудь угостить своих друзей! Горячий привет капитану Единице. Целую. Мама".

Я грустно посмотрел на шоколадки, и мы с Пи отправились в каюту - колдовать над коробкой-максимум.

Сперва я хотел загнуть края на четверть ширины с каждой стороны. Но вышла бы при этом не коробка, а жёлоб.

- Ясное дело, жёлоб, - подтвердил Пи. - Ведь делая жёлоб-максимум, надо искать максимальную площадь сечения, а делая коробку-максимум - максимальный объём.



В общем, мы этот максимальный объём до самого вечера проискали. Зато нашли! Сделали коробку высотой в 10 сантиметров, то есть загнули её со всех четырёх сторон на 1/6 ширины. И получили объём в 1600 кубических сантиметров. Потому что ширина дна при этом - 40 сантиметров, а 40x40x10=1600. Коробки большего объёма из такой картонки никому не выгнуть - можете не сомневаться! А кто сомневается, пусть проверит сам.

Между прочим, шоколадки в коробке уложились до единой, и я честно разделил их между всеми. Вот я какой справедливый. Прямо Нулик-праведник!


Тьфу-тьфу, не сглазить!

15 нуляля
Заметили? В моём журнале снова пропуск. А всё моя несчастная страсть к шоколаду! Хоть я и Нулик-праведник, а шоколада мне досталось вполне достаточно, чтобы снова попасть в изолятор. Я и попал. Хорошо ещё, что случилось это не тринадцатого, а четырнадцатого, не то пришлось бы мне снова поверить в приметы...

Но настоящая неприятность стряслась ещё позже - сегодня.

На рассвете я проснулся от страшного вопля, сразу узнал голос штурмана и, кое-как одевшись, выскочил на палубу.

Игрек сидел на бочке, обхватив голову руками, и мычал, как раненый бык. Подле него суетились Пи и капитан Единица.

Оказывается, ночью, когда штурман стоял на вахте, к Фрегату подплыла шлюпка, и на палубу шлюпнулась... то есть шлёпнулась какая-то корзина. После этого шлюпка удалилась, а штурман, наоборот, приблизился к корзине и осторожно приподнял крышку. Под крышкой, как в тёплом гнёздышке, мирно спали девять пушистых зверьков. Каждый не больше ладони.

- Странно, бом-брам-фок! - пробормотал штурман и, почесав в затылке, вернулся к прерванному дежурству.

После смены Игрек отнёс корзину в каюту и уснул как убитый. Но не прошло и получаса, как зверьки в корзине подняли возню, а потом выбрались на волю... И тут началось такое, что бедный штурман чуть не спятил.

Пушистые подкидыши носились по каюте, отчаянно визжа и царапаясь. Очень скоро лицо и руки Игрека были исцарапаны до крови, а одежда изодрана в клочья. Он с криком выскочил из каюты, и тут-то его обнаружили капитан Единица и кок. Заглянув в штурманскую берлогу, капитан испуганно отшатнулся. Он тотчас понял, что кто-то подбросил на Фрегат диких котят породы тьфу-тьфу - тех самых, что водятся на необитаемом острове Мяу. А с ними лучше не связываться! Будешь потом вспоминать и отплёвываться всю жизнь: "тьфу-тьфу!", непременно добавляя при этом "не сглазить!", чтобы, не дай бог, не повстречаться с ними снова...

Между прочим, тьфу-тьфу не только коварны и взбалмошны, но ещё и завистливы. А что может быть хуже зависти?

Раз завистник, значит, непременно ненавистник. Всё-то ему чудится, что другим лучше. И еда-то у них вкуснее, и постели мягче. Да и почёта больше! И вот почему тьфу - тьфу живут в постоянном раздоре, а уж общаться с ними - чистое наказание!

И тут выяснилось, что котят и впрямь подбросили в наказание. Штурман не сомневался, что это дело пирата по имени Чёрный альбинос, которого в прошлом году высадили на необитаемый остров Мяу за всякие тёмные делишки. Вот он и отомстил.

- Ох, ох! - стонал Игрек.- Сто чертей и одна кочерыжка! Пропала моя голова! Проклятые тьфу-тьфу сведут меняв могилу...

Но капитан сказал, что всё поправимо, и есть-таки способ утихомирить этих дьяволят. Стоит отделить их друг от друга, как они тотчас станут шёлковыми.



- Хорошо вам советовать,- причитал штурман,- а как мы их поймаем? Я, во всяком случае, для этого не гожусь!

- Не вы, так я,- сказал Пи и храбро ринулся в каюту. Здесь он мигом стянул с койки одеяло и набросил его на драчунов, которые сплелись в один пушистый комок и с шипением катались по полу. И что бы вы думали? Котята мигом присмирели.

Теперь надо было подумать о расселении. Хорошо бы, конечно, соорудить каждому по клетке, но клетки не скоро сделаешь. Я уж хотел перегородить для этой цели пустую коробку-максимум. Но она и для одного-то котёнка мала, не то что для девяти.

И снова нас выручил Пи.

- Ладно,- сказал он со вздохом,- так и быть, жертвую свою круглую коробку. Правда, я берёг её для большого праздничного торта, который собирался испечь ко дню нашего возвращения из плавания, да, видно, не судьба... Так что берите, берите, пожалуйста!

- Благородно! Великодушно! - сказал капитан растроганным голосом.- Остаётся подумать, как разделить коробку на девять совершенно равных отделений, чтобы котята и тут не завидовали друг другу.

- Ясно,- сообразил я,- все отсеки должны быть конгруэнтны.

- Не конгруэнтны, а равновелики,- уточнил он.-Для этого достаточно разделить дно нашей коробки, то есть круг, на девять равновеликих частей.

- Но ведь это же очень просто! - обрадовался я.-Разделим окружность на девять одинаковых дужек и соединим точки деления с центром круга радиусами. Вот вами девять одинаковых секторов. То есть отсеков. В общем, отсекторов...

- Для начала разделим 360 на 9,- предложил Пи.- Так мы узнаем, что на каждое отделение придётся по сорока градусов. А потом...

- Вот именно, что потом? - поинтересовался Единица.

- А потом возьмём транспортир... oКапитан поморщился.

- Транспортир - прибор ненадёжный. Истые геометры транспортирами не пользуются. Их оружие - только циркуль да линейка. К тому же слепая, без делений... Впрочем, должен вас огорчить. Да будет вам известно, что разделить круг на девять конгруэнтных секторов, как предлагает Нулик, даже и этим способом невозможно. Такое и Пифагору не удавалось!

- Выходит, одинаковые отсеки котятам не достанутся? -огорчились мы.

- Одинаковые по форме - не достанутся. Но ведь я уже говорил, что это и не обязательно. Важно, чтобы все девять помещений были одинаковы по площади, иными словами, равновелики. А это, к счастью, задача разрешимая.

Тут капитан удалился в свою каюту, а когда вернулся... Но о том, что было, когда он вернулся, поговорим завтра.


Циркуль, линейка, голова

16 нуляля
Когда капитан вернулся, в руках у него был чертёж. Мы с Пи заглянули в него и только плечами пожали: из чего следует, что круг разделён на равновеликие части?

Но капитан словно бы и не заметил нашего недоверия. Он положил чертёж на бочку и стал объяснять.

- Перед вами круг с двумя взаимно перпендикулярными диаметрами. Каждый диаметр разделён на три равные части, а каждая из этих трёх равных частей, в свою очередь, представляет собой диаметр малого круга. Как видите, таких малых кругов в большом круге пять, и они совершенно одинаковы, то есть конгруэнтны. Известно, что если диаметр круга уменьшить, допустим, в три раза, то площадь круга уменьшится при этом в трижды три раза. Иными словами, площадь круга зависит от диаметра, взятого во второй степени (или, как говорят, от диаметра в квадрате). Отсюда следует, что площадь каждого из пяти малых кругов в девять раз меньше большого. Ведь три в квадрате равно девяти (32 = 9)!



Капитан перевёл дух и продолжал:

- Остаётся вычислить, чему равна площадь каждой из четырёх заштрихованных частей, заключённых между малыми кругами.

- Ну, это просто! - сейчас же выскочил я.- Если площадь большого круга принять за 9/9, то площадь всех пяти малых кругов составит 5/9, а на оставшиеся четыре части придётся 4/9. И части эти, само собой, тоже конгруэнтны.

- Отсюда ясно,- подытожил Пи,- что площадь каждой из заштрихованных частей также составляет 1/9 часть площади большого круга. Вот и выходит, что площадь большого круга разделена на девять равновеликих частей.

- Ура! - заорал я и завертелся на одной ножке.-Задача решена! Но вот как вам удалось сделать такой точный чертёж? Неужели только с помощью циркуля и линейки?

- О чертеже - потом,- сказал Единица.- Сперва разгородим коробку и расселим буянов, пока они не разбушевались снова.

В общем, не прошло и часа, как все девять тьфу-тьфу мирно спали в своих равновеликих отсеках. А во сне им, между прочим, цены нет! Я даже думаю, не отсюда ли пошла поговорка: "Хорош, когда спит!" Эти, во всяком случае, были так хороши, что штурман Игрек, несмотря на свои болячки, прямо влюбился в них. Он то и дело заглядывал в коробку, гладил то одного, то другого и даже называл милыми крошками, не забывая, впрочем, каждый раз сплюнуть через левое плечо: "Тьфу-тьфу, не сглазить!" Должно быть, на всякий случай...

Но капитан нашёл-таки способ отвлечь его: хватит ему умиляться! Пусть лучше объяснит нам, как сделать чертёж.

Сказать по правде, мы не очень-то обрадовались. Штурман у нас - полная противоположность капитану: горячий, нетерпеливый, к тому же до отказа нафарширован морскими словечками.

На сей раз к обычному его присловью прибавилось нечто новенькое.

- Бом-брам-фок! - заревел он.- Четыре взмаха циркулем, один - линейкой!

Мы уж подумали, что это очередное морское изречение, но штурман объяснил, что четыре взмаха циркулем и один линейкой - вот всё необходимое, чтобы сделать наш чертёж, а затем уж и вообще решить любую геометрическую задачу на построение.

Далее выяснилось, что для решения любой задачи на построение надо, в свою очередь, уметь решать две простейшие. И так как никто не начинает со второго (кстати, любимая поговорка кока), Игрек начал объяснять первую.

- Отдать концы! - гаркнул он и начертил на бумаге отрезок прямой.- Вот вам отрезок АВ. Требуется провести через его середину перпендикуляр. Что ж вы стоите? Выполняйте!

Легко сказать - выполняйте! А как? Сперва стали искать середину. Пи согнул было листок так, чтобы точки А п В совместились. Но бумага, как на грех, не просвечивала, и у него ничего не вышло.

Бом-брам-фок! Штурман в сердцах швырнул бумажку за борт и достал большой деревянный циркуль с угольком вместо мела. Потом он вынул из кармана ещё один уголёк и провёл отрезок АВ прямо на палубе.

- Так-то! -сказал он ядовито.- Небось палубы пополам не перегнёшь!

- Уж конечно,- подтвердил я.- Но что же нам делать?

- Что за вопрос! - вскипел он.- А циркуль на что?

Он засек циркулем две дужки из точки А и две - из точки В, а точки пересечения дужек обозначил буквами С - НАД отрезком АВ и Д - это уж ПОД ним.



- Вот вам и четыре взмаха циркулем,-сказал он.-Остаётся один взмах линейкой.

Тут он схватил линейку, соединил точки С и Д и посмотрел на нас взглядом полководца, выигравшего битву.

- То-то, бом-брам-фок! С одной задачей покончено. Переходим ко второй.

Он снова вычертил отрезок АВ, а повыше и чуть правее точки А поставил ещё одну точку - С.

- Задачка - проще некуда,-заявил он - Предлагается провести через точку С отрезок прямой, параллельный отрезку АВ. Ну-ка, раз, два, взяли!

На этот раз нам повезло: мы почему-то сразу догадались, что засечку следует делать из точки С. Только на какое расстояние раздвинуть циркуль? Оказалось, на такое, чтобы уголёк пересек отрезок АВ. Так мы и сделали, а точку пересечения обозначили буквой Д.

Один взмах был позади, и мы перешли к следующему: воткнули ножку циркуля в это самое Д и тем же раствором провели вторую дужку, которая пересекла отрезок АВ чуть правее. Эту точку обозначили буквой Е.

Потом иголка воткнулась в точку Е, а ножка циркуля описала дугу над отрезком и засекла дужку примерно на уровне точки С. Это был уже третий взмах. Оставался четвёртый, и последний.

Тут циркуль снова вонзился в точку С и тем же раствором провёл четвёртую дужку, которая пересеклась с предыдущей. Эту четвёртую точку окрестили буквой F.



- Циркуль отставить! Линейку на абордаж! - скомандовал Игрек и соединил отрезком прямой точки С и F. Потом он отшвырнул линейку и заорал: - Отбой! Отрезок CF параллелен АВ!

Теперь можно было приступать к нашему чертежу, но штурман спохватился, что не познакомил нас с ещё одной, совсем крохотной, но необходимой задачкой на построение.

- Так как эта третья задачка сводится к двум первым, будете решать сами,-сказал он и снова начертил отрезок АВ.- Требуется разделить данный отрезок на несколько одинаковых частей. Хоть на три.

Что и говорить, не сразу нам это далось, зато теперь-то уж мы знаем, как это делается.

Берётся линейка, и к отрезку АВ из точки А проводится другой отрезок, любой длины и под любым острым углом. На нём, опять-таки от точки А, но уже с помощью циркуля откладываются ещё три совершенно одинаковых отрезка: АС, СД и ДЕ. Потом точки Е и В соединяются линейкой, а через точки Д и С проводятся отрезки, параллельные ЕВ (точки пересечения этих отрезков с АВ мы обозначили буквами К и F).



Так мы научились делить отрезок на равные части.

- Да, но почему эти отрезки равны между собой? Из чего это следует? Да из того, бом-брам-фок, что полученные нами треугольники AFC, АКД и ABE подобны! Ведь углы у них конгруэнтны! -загремел штурман.- А раз так - значит, стороны этих треугольников соответственно пропорциональны.

- Действительно,- согласился Пи.- Сторона АС относится к стороне АД как 1:2. Значит, как 1:2 относится также сторона AF к стороне АК. Отсюда AF=FK. По тем же причинам равны и отрезки FK и КВ.

Вот теперь можно было приступить к нашему чертежу.

Штурман начал с того, что вычертил окружность и предложил нам найти её центр.

- Что тут искать! - засмеялся я.- Центр там, где дырочка от циркуля.



- Э, нет, так дело не пойдёт! - сказал Игрек. Он достал блюдце, положил на палубу и обвёл угольком.

- Вот вам окружность без дырочки. Где у неё центр? Не знаете? А если я скажу, что диаметр, перпендикулярный к любой хорде, делит эту хорду пополам?

- Тогда другое дело! - обрадовался Пи.- Значит, надо провести какую-нибудь хорду, найти её середину, а затем провести через эту середину перпендикуляр. Так мы найдём диаметр круга. Теперь то же самое проделаем с диаметром, проведём через его середину перпендикуляр и получим, таким образом, ещё один диаметр. Ну, а точка пересечения двух диаметров и есть центр круга.

Тут мы принялись за дело, и через некоторое время на палубе появился чертёж капитана. Мы построили его сами, с помощью тех задач, с которыми нас познакомил штурман. При этом главную роль сыграли циркуль и линейка. Ну и, конечно же, голова! Без головы, как известно, ничего не делается. Даже глупости.


Порт Ариф

17 нуляля
В пять утра меня разбудил Пи. Он сказал, что к нашему Фрегату пришвартовалась быстроходная бригантина, идущая в Карликанию, и хорошо бы отправить на ней Стакса и Топса. А то с ними на судне хлопот не оберёшься: того и гляди, свалятся в воду!

Как ни жаль было расставаться с обезьянками, я всё же согласился и быстро снарядил их в дорогу. Воротясь в каюту один, я ещё поспал немножко и проснулся в прескверном настроении. Очень уж мне не хватало моих мартышек!

Но на нашем Фрегате не соскучишься. Иной раз обыкновенные, казалось бы, вещи оборачиваются здесь самым неожиданным образом.

Знаете ли вы, например, что такое насморк? Думаете, насморк - это когда чихаешь и всё время лезешь в карман за носовым платком? Ничего подобного! Насморк - функция сквозняка. Двойка в дневнике - функция невыученного урока. А хороший нагоняй - функция этой самой двойки в дневнике. По-вашему, я выдумываю? Честное слово, нет!

Дело было так. Наш Фрегат вошёл в порт Ариф.

"Красивое название! Наверное, от слова арифметика",- подумал я и ошибся.

Ариф - название сокращённое, и в нём объединились два слова: аргумент и функция. Впрочем, аргумент и функция - тоже понятия математические. И то и другое - величины переменные. Только вот аргументы - народ независимый. Они изменяются по собственной воле. А функции целиком зависят от аргументов. Иногда от одного, иногда - от многих.

Вот, например, скорость нашего Фрегата - функция, которая зависит от многих аргументов. От силы ветра. От его направления. От умения команды ставить паруса. От искусства штурмана держать правильный курс. Влияет на скорость также и вес судна, и даже форма его. Словом, скорость Фрегата зависит кит знает от скольких причин... то бишь аргументов. И потому эта функция не простая, а сложная.

То же относится и к погоде. Она-то уж от чего только не зависит! От времени года, от климата, от силы ветра, от его направления... И так далее и тому подобное. Неудивительно, что бюро прогнозов так часто ошибается!

Всё это мы узнали от капитана, который, к счастью, не слишком долго задерживался на функциях сложных и предложил нам заняться функциями попроще. Такими, которые зависят только от одного аргумента.

Тогда-то я и придумал про насморк и про двойку в дневнике. Но капитану про двойку не понравилось. Ведь функция - понятие переменное, а двойка в дневнике лодыря увы, штука постоянная! Сказав это, он подмигнул, да так выразительно, что я даже обиделся, но тут же об этом позабыл, засмотревшись на берег, где четверо юнцов развлекались странной игрой.

Сперва они притащили откуда-то резиновый канат с крепко-накрепко сваренными концами. Потом разделили его на четыре равные части меловыми чёрточками, и каждый ухватился обеими руками за свою отметину. Канат натянул и принял форму квадрата.

Тогда игроки стали меряться силами. Каждый тянул на себя и при этом понемножку отступал назад. Резина растягивалась, квадрат увеличивался, хотя и оставался по-прежнему квадратом. Видно, силы у игроков были равные.

Я спросил: во что они играют? Но капитан сказал, что вовсе они не играют, а работают. Это, мол, дети функционариев, которые с малолетства привыкли трудиться. Получив аргумент от аргументариев, они тут же начинают функционировать.

- Что-то я не вижу здесь ни аргументариев, ни аргументов, - сказал я.



- Неправда,- возразил капитан.- Разве ты не замечаешь, что площадь квадрата всё время растёт?

Действительно, вначале квадратик был совсем небольшой, потом - с боксёрский ринг, а теперь бы в нём свободно разместилась добрая сотня грузовиков.

- Так вот,- продолжал капитан,- площадь квадрата -это функция, а сторона квадрата, точнее, длина её -аргумент. Кроме того, здесь есть и ещё одна функция.

- Где, где? - заволновались мы с Пи.

- Да тут же! - пояснил капитан.- Это периметр. Ведь периметр квадрата прямо пропорционален длине его стороны! Ясно?

- Ясно,- сказал Пи.- Но ведь площадь квадрата тоже как будто пропорциональна его стороне?

- Уж конечно,- подтвердил Единица.- Но вот растёт она куда быстрее, так как пропорциональна не первой, а второй степени стороны. Увеличьте сторону квадрата вдвое -площадь мигом возрастёт в четыре раза.

Он говорил, а юнцы всё растягивали и растягивали свой квадрат, но мы на них уже не смотрели. Нас заинтересовали маленькие функционята, которые выдували через соломинки мыльные пузыри самых разных размеров.

- Как ты думаешь,- спросил я у Пи,- где здесь аргумент, а где функция?

- Наверное, аргумент мыльного пузыря - это его радиус,- сказал он, немного подумав,- а функция - его объём.

- А ещё площадь мыльной плёнки,-добавил я.

- Ты хочешь сказать - поверхность шара,- уточнил капитан.- Математики называют это сферической поверхностью, а короче - просто сферой.

- Выходит, и здесь от одного аргумента зависят сразу две функции: объём шара и его сфера,-гордо заявил я.

- А зависимость от радиуса у обеих, наверное, квадратная,- предположил Пи.

- Так, да не так,- поморщился Капитан.- Поверхность в самом деле зависит от второй степени радиуса, а насчёт объёма - подымай выше! Объём зависит от третьей степени радиуса.

- Ого! - задохнулся Пи.- Значит, если радиус увеличить втрое, поверхность шара возрастёт в девять раз, а объём...

- А объём - в целых 27 раз! - хвастливо ввернул я.

- Молодцы!-растрогался капитан.- Уж не податься ли вам в функционарии?

- Ну уж нет,- запротестовал я.- Очень надо всё время от кого-нибудь зависеть. То ли дело стать аргументарием! Тут я бы ещё подумал...



Но капитан сказал, что всё на свете относительно. Аргумент в математике запросто превращается в функцию, и наоборот: функция - в аргумент. Это уж как выгоднее для данной задачи.

- А мама говорит, что думать о выгоде нехорошо, - сказал я.

- Смотря где и когда,-возразил капитан. - Искать, к примеру, выгоды в дружбе - дело последнее, а искать выгоды в математике - первое... Задачу, во всяком случае, надо решать самым выгодным способом. Иногда выгоднее, чтобы аргументом был радиус шара, а функцией - его объём. Иногда - наоборот: чтобы аргументом был объём, а функцией -радиус шара.

- А что от этого меняется? - спросил Пи.

- Очень даже многое, - ответил капитан. - Меняется функциональная зависимость. Поверхность шара, например, есть функция второй степени его радиуса. А вот радиус шара - это уже функция корня квадратного из величины поверхности. Впрочем, иногда зависимость в обоих случаях сохраняется. И происходит это тогда, когда функция прямо пропорциональна аргументу. Тогда и аргумент прямо пропорционален функции.

- А пример? - сейчас же прицепился я.

- Сколько угодно, - ответил капитан.- Периметр квадрата прямо пропорционален длине его стороны. Но и сама сторона квадрата тоже прямо пропорциональна его периметру. Так что, в данном случае, что мы приняли за аргумент, а что - за функцию, значения не имеет. Ведь характер функциональной зависимости при этом не изменится.

Тут на берегу появились ещё два малыша, у каждого в руках по котёнку. Малыши подошли к тем, что выдували мыльные пузыри, и стали сажать на эти самые пузыри котят Один посадил котёнка на радужный шарик величиной с апельсин, другой - на шар размером с большой мяч.



Ну, с шарика поменьше котёнок тут же свалился, зато другой котёнок сидел себе на своём 'большом шаре как ни в чём не бывало.

Нечего и говорить, что мы с Пи от изумления рты разинули. Где это видано, чтобы котят сажали на мыльные пузыри? И что это за мыльные пузыри, которые при этом не лопаются? Но капитан сказал, что, путешествуя на таком Фрегате, как наш, и не такое увидишь!

- Нет, вы лучше над другим подумайте,-предложил он.- Почему это один котёнок на шаре не удержался, а другой - наоборот?



- Наверное, потому, что у маленького шарика поверхность крутая, а у большого - пологая, - догадался Пи.

- Отлично! - обрадовался капитан. - Правда, математики выражаются чуть иначе. Они говорят, что у одних поверхностей кривизна большая, а у других - маленькая. Чем больше радиус шара, тем меньше его кривизна. Вот и выходит, что котята познакомили вас ещё с одной функцией радиуса. И функция эта не прямо, а обратно пропорциональная.

- Совсем как у земного шара,- сообразил я.- У Земли радиус огромный, а кривизна такая маленькая, что её почти и не заметно.

Но тут капитана вызвали в рубку, и он так и не успел похвалить меня за отличный пример, зато, уходя, велел нам вычислить, сколько диагоналей у выпуклого многоугольника. Так, мол, мы выясним, какова функциональная зависимость между числом его диагоналей и числом сторон.

По правде говоря, мы приступили к делу не сразу, а после порядочной разминки. Как говорится, функция не волк, в лес не убежит. Кроме того, надо было хорошенько вспомнить всё, что нам известно о многоугольнике.

Признаться, меня очень смущало слово "выпуклый". То, что многоугольник - замкнутая геометрическая фигура, состоящая из отрезков прямой, ясно каждому. То, что диагональ - это отрезок прямой, соединяющий вершины многоугольника, не лежащие на одной стороне, тоже ни для кого не секрет. Но что такое выпуклый многоугольник?

К счастью, Пи оказался образованнее меня. Он уже где-то читал, что многоугольники бывают выпуклые и звёздчатые И первые отличаются от вторых тем, что все их диагонали находятся внутри многоугольника.

Теперь можно было заняться решением. Не скажу, что оно далось нам сразу, но всё-таки далось. А вот что за функция у нас получилась, рассказывать не стану. Над этим поразмыслите сами.


Полный назад!

18-21 нуляля
Вот уже четвёртый день идём в сплошном тумане. Дальше борта не видать ни зги. Ползём как улитки, а капитану вроде и горя мало. Знай себе мурлычет под нос: "На заре туманной юности..."

- Этак мы далеко не уплывём,- не выдержал я.

- Ну, это ещё не известно,- усмехнулся Единица.- За ночь мы уплыли почти на четыре тысячи...

- ...миллиметров,- сострил я.

- На четыре тысячи лет! - внушительно заявил он.- Я ещё с вечера дал команду: "Полный назад". И сейчас мы находимся примерно в двадцатом веке до нашей эры. В Древнем Египте. Должны же вы, наконец, познакомиться с родиной геометрии!

В это время туман стал быстро редеть, и мы увидели берег, где копошились какие-то полуобнажённые фигуры.

- Смотрите, смотрите! - возбуждённо закричал Пи.- Кто это там верёвкой размахивает?

- Вероятно, гарпедонапт,- небрежно сказал капитан.

- Кто-кто? - переспросил я.

- Гар-пе-до-напт,- повторил Единица раздельно.- А по-нашему - землемер. Древнеегипетские землемеры измеряли землю верёвкой с узелками, что не помешало им стать неплохими геометрами. Некоторые учёные считают гарпедо-наптов первыми геометрами в истории человечества.

- Дорогу! Дорогу Ахмесу! Дорогу писцу фараона! -донеслось до нас с берега, и мы увидели странное шествие.

Четверо дюжих чернокожих молодцов несли какую-то будочку, со всех сторон обвешанную богато расшитыми занавесками. Молодцы были совсем голые, если не считать коротких, раздувающихся на ветру юбочек. Их глянцевые, будто смазанные жиром, тела так и сверкали на солнце!

Я спросил, что за будочка такая? Уж не киоск ли для мороженого? Но капитан сказал, что это не киоск, а носилки. Носилки Ахмеса.

- Разве этот Ахмес болен? - удивился я.

- Не думаю,- возразил Единица.- Это в наши дни на носилках переносят больных. А когда-то таким способом путешествовали важные персоны.

Пи посмотрел на него с явным недоверием.

- При чём тут важные персоны? Насколько я понимаю, это всего-навсего носилки придворного писца.

- Думаешь, писец не может быть важной персоной? -усмехнулся капитан.- Как бы не так. Писцы в древности - это ведь не просто переписчики, а весьма образованны и уважаемые люди. К тому же, как правило, прекрасны математики. В Египте было даже целое сословие царски писцов.

- Выходит, древний писец - что-то вроде учёного.- сказал я.- Но из чего это следует?

- Странный вопрос! - пожал плечами капитан.-Из папируса.

Я уж подумал, что он имеет в виду папиросы, но оказалось, что речь идёт о свитках плотной бумаги, которые египтяне изготовляли из стеблей тростника под названием папирус.

Многие папирусы сохранились до нашего времени, записи египетских писцов поведали дальним потомкам давно исчезнувшем государстве, о его обычаях, верованиях и науках, в том числе и о египетской геометрии. О ней, к слову сказать, историки узнали из свитка, названного учёными папирусом Ахмеса.

В общем-то, папирус Ахмеса - это что-то вроде задачника, где собраны задачи по арифметике и геометрии, необходимые любому землемеру, строителю или купцу. И задачи эти позволяют судить о том, что знали египтяне из математики.

Конечно, на наш взгляд, знали они не так уж много. Но в глазах древних египтян человек, который может составить или даже просто переписать такой задачник, выглядит существом необычным. Ведь он должен не только хорошо владеть египетским письмом (а оно, как известно, было не из лёгких!), но и прекрасно разбираться в самих задачах. А по тем временам, далёким и тёмным, такое было доступно лишь избранным...

Пока капитан рассказывал, носилки успели уже скрыться из виду. Тут только мы с коком спохватились, что так и не повидали Ахмеса, и очень расстроились. Капитан тоже расстроился, но, как всегда, сумел нас утешить.

Он достал из кармана фотографию какой-то скульптуры, и мы увидели человека, сидящего скрестив ноги на коврике. В руке у него была тоненькая тростинка, заменяющая египтянам перо. Глаза глядели выжидательно и чуть насмешливо.

- Вот вам скульптурное изображение египетского писца,-сказал Единица.- Оно дошло до нас из тьмы веков и позволяет судить сразу и о высоком уровне египетского искусства, и о том, что представлял собой писец в Древнем Египте.

- По-моему, это парень с умом,- сказал я.- Вон у него какое смышлёное лицо!

- А по-моему, не только с умом, но и с достоинством,- добавил Пи, внимательно вглядываясь в фотографию.- Он хорошо знает цену своим знаниям и способностям. Сразу видно: человек науки.

- Совершенно с вами согласен,-сказал капитан, очень довольный.- И всё же наукой в полном смысле слова египетскую математику не назовёшь. Египетская геометрия, к примеру,- просто набор практических сведений, добытых опытом, но математически не обобщённых и не доказанных. Разумеется, египтяне знали способы вычисления площадей разных геометрических фигур и даже поверхностей и объёмов некоторых тел. Однако способы эти были сложны и не отличались математической точностью. Но что там умели в совершенстве, так это вычислять объём пирамиды (есть такое геометрическое тело), притом не только полной, но и усечённой - со срезанной верхушкой. На сей раз способ оказался таким точным, что им пользуются доныне...



Откровенно говоря, я не очень-то понял, что такое пирамида.

Но тут на берегу показалось странное сооружение из желтоватого камня, очень похожее на бумажный пакет из-под молока, но такой огромный, что мне даже неуютно стало. Очень уж маленьким я себе показался в сравнении с этой громадиной...



- Знакомьтесь! - торжественно объявил капитан. - Пирамида Хеопса!

- Бедняга Хеопс! - посочувствовал Пи. - Не хотел бы я жить в такой штуке.

- А кто тебе сказал, что он здесь живёт? - удивился капитан.- Пирамиды в Египте строили не для живых, а для мёртвых. Правда, египетский фараон Хеопс возвёл её для себя ещё при жизни, то есть где-то за три тысячи лет до нашей эры... Но с тех пор он давно уже успел умереть.

- А зачем ему понадобилась такая махина, да ещё после смерти? - спросил я.

- На этот вопрос не сразу ответишь, - сказал капитан, помедлив. - Большую роль здесь играли воззрения и религиозные обычаи древних египтян. Но, на мой взгляд, главную причину следует искать в желании утвердить своё могущество, прославиться в веках. В пышном надгробии фараоны видели как бы символ своего бессмертия. Что ж, отчасти они были правы. Что мы знаем о Хеопсе? Ничего или почти ничего. А имя его живёт до сих пор. И всё благодаря пирамиде, которая куда интереснее того, для кого построена.

- Вот уж ничего интересного! - пренебрежительно проворчал я.- Разве что громадная очень.

- Это на твой взгляд,- язвительно осклабился капитан.- А учёные почему-то иначе думают...

- Как же, как же! - подхватил Пи.- Я вот слыхал, будто бы размеры пирамиды Хеопса, углы наклона её граней и внутренних коридоров выбраны не случайно: все они связаны с различными астрономическими величинами. Отсюда следует, что древние египтяне хорошо знали и размеры нашей Земли, и наклон её оси, и даже расстояние от неё до Луны...

- Да,-подтвердил Единица,-есть такое мнение. Но наши, современные египтологи с ним не согласны. Во всяком случае, не все. Ну да это не единственный спорный вопрос в египтологии. Египет - одна из самых удивительных и загадочных стран древнего мира. Недаром же символом её считают сфинкса - колоссальное каменное изваяние, что-то вроде сочетания льва с человеком...

Ну, мы, понятно, забросали капитана вопросами и выяснили, что "сфинкс", как и "пирамида" - слова древнегреческие. У египтян они звучали иначе. Но именно в греческом переводе их переняли другие народы. А слово "пирамида", кроме того, вошло ещё в математику: так называется геометрическое тело, чьим основанием может быть любой многоугольник, зато боковые грани - обязательно треугольники, которые сходятся в одной точке, то есть в вершине пирамиды.



- Ну, а сфинкс? - нетерпеливо понукал я.

Капитан сказал, что на этот счёт существует занятное предание. Жил, дескать, когда-то злой демон по имени Сфинкс. Мстительные боги повелели ему уничтожить целый народ. Долго он думал, как ему поступить, и наконец надумал - засел в большую пещеру и всем прохожим задавал одну и ту же загадку: кто ходит утром на четырёх ногах, в полдень - на двух, а вечером - на трёх? Всякого, кто не мог её отгадать (а отгадавших пока что-то не было), он убивал. Так он погубил много ни в чём не повинных людей. Но боги предупредили Сфинкса, что если кто-нибудь ответит на его вопрос правильно, придётся ему лишить жизни себя самого. И вот однажды у пещеры остановился юноша по имени Эдип. Выслушал он Сфинкса и сказал: "Я разгадал твою загадку. Она имеет в виду человека. Ведь именно человек ребёнком ползает на четвереньках, потом ходит на двух ногах, а под старость - опираясь на палку". И пришлось Сфинксу броситься со скалы. А Эдип вскоре стал царём. С тех пор сфинкс считается символом загадочности.



Фрегат подошёл чуть ли не к самому берегу, и пирамида всплыла перед нами во всей своей царственной необъятности. (Не подумайте, что это мои слова! Их подсказал мне мой редактор Пи, а сам вычитал их в каком-нибудь журнале.)

Капитан сказал, что среди всех пирамид Египта эта - самая высокая. Основание её - квадрат со стороной 233 метра, стены - равнобедренные треугольники. Вершина пирамиды находится на расстоянии 146,5 метра от земли. Ну и высота! И как только умудрялись рабы поднимать такие огромные глыбы? Ведь у них не было подъёмных кранов!

Говорят, сперва пирамиду делали ступенчатой. По этим-то ступенькам и волокли люди тяжёлые камни. А потом ступеньки сравнивали, и получались гладкие стены. Впрочем, всё это только догадки...

Мы с коком решили обязательно побольше разузнать о Древнем Египте. По словам капитана, о нём написана целая гора книг. Ну, горы-то, пожалуй, нам не одолеть, а одну-две книжки прочитать надо. Непременно!

Воротясь в каюту, мы с Пи, надумали вычислить объём Хеопсовой пирамиды, благо нам это не впервой: мы ведь уже вычисляли объём куба, а потом и параллелепипеда, то бишь аквариума, и знаем, что для этого надо площадь основания помножить на высоту. Стало быть, и объём пирамиды вычисляется так же. Нужно лишь сперва вычислить площадь её основания. И так как это квадрат со стороной в 233 метра, нетрудно подсчитать, что площадь его равна 54 289 квадратных метров (233 x 233 = 54289).

Потом мы умножили площадь основания на высоту, получили число 7953338,5 кубометра (54 289 x 146,5 =  7 953 338,5) - и тут же побежали хвастаться к капитану.

Капитан, впрочем, сказал, что хотя всё и правильно, да не совсем: полученное нами число надо разделить на три. Почему? Да потому, что объём пирамиды равен всего лишь одной трети объёма параллелепипеда с той же высотой и с тем же основанием. Именно так вычисляли объём пирамиды древние египтяне.



- А вы уверены, что они не ошибались? - сказал я.

- Конечно! - обиделся капитан. - Справедливость этого правила давным-давно доказал древний грек по имени Эвдокс.

- На Эвдокса надейся, а сам не плошай, - сказал я и выразительно посмотрел на Пи.

Кок понял меня с полуслова (что значит настоящий друг!) и срочно вспомнил, что в камбузе у него имеется подходящая четырёхугольная банка с манной крупой и с квадратным основанием.

Мы быстро соорудили из картона пирамиду с точно таким же основанием и с такой же высотой, как у банки. Потом перевернули пирамиду вниз головой, то бишь вершиной, вынули картонное дно и высыпали туда крупу. И что же вы думаете? Нам пришлось ровно три раза наполнять пирамиду доверху, чтобы в ней побывало всё содержимое банки.



Выходит, египтяне знали, что делали: объём пирамиды и в самом деле равен одной трети объёма параллелепипеда с той же высотой и тем же основанием.

Так команда "Полный назад!" помогла нам продвинуться в геометрии.


На обратном пути

22-23 нуляля
Плывём вдоль берегов Древней Греции. До начала нашей эры остаётся менее шестисот лет.

Лево по борту показался весельный корабль. Завидев нас, загорелые, обнажённые до пояса гребцы подняли вёсла, а их капитан - смуглый бородач в белоснежном хитоне (это у них, у греков, такая длинная рубаха, перехваченная поясом) - сложил ладони рупором и зычно закричал:

- Салют капитану Единице! Благополучного возвращения в будущее!

- Привет славному Пифагору! - гаркнул в свою очередь Единица.-Счастливого плавания к берегам Африки! Добрых математических находок, занятных теорем!

Вот так встреча! Мы с коком даже растерялись от неожиданности: неужели это тот самый Пифагор, именем которого называется теорема о прямоугольном треугольнике?

- Он и есть,- подтвердил капитан и добавил, чуть понизив голос: - Хотя, помнится, я уже говорил, что теорему эту Пифагор не придумывал, а всего лишь вывез из Древнего Египта. Учёные, видите ли, бывают разного толка. И Пифагор скорее относится к собирателям и распространителям знаний, нежели к первооткрывателям. И всё же трудно переоценить его заслуги перед наукой. Неутомимый путешественник и верный рыцарь математики познакомил греков с математическими сокровищами Вавилона и Египта, что сыграло немалую роль в развитии древнегреческой, а отсюда и всей мировой математики!

Встречный корабль давно уже скрылся из виду, а Фрегат всё плывёт и плывёт, и как в кино мелькают перед нами страницы древнегреческой истории.

Сейчас, например, происходит сражение между ионийцами и мидянами (каких только народов не было на свете!). Противники дерутся отчаянно. Крики, топот, ржание, лязг мечей... Вот уже удача на стороне ионийцев. Мидяне обороняются из последних сил. И вдруг...

И вдруг среди бела дня небо потемнело, и через каких-нибудь десять - пятнадцать минут наступила самая что ни на есть настоящая ночь.

- В чём дело? - встревожился я.

- Солнечное затмение,- невозмутимо пояснил капитан, а потом как закричит: - Да здравствует Фалес Милетский!

Тем временем ионийцы и мидяне побросали оружие и разбежались кто куда. Ну, битве, само собой, конец. И прекрасно! Охота была калечить друг друга...

- Мы за мир! - запел я во всё горло, и все на Фрегате так и прыснули.

А потом я, как водится, спросил, кто такой Фалес Милетский, и узнал, что это самый прославленный из семи мудрецов древности - великий астроном, предсказавший солнечное затмение, которое мы сейчас наблюдаем.

Между прочим, Фалес, как и Пифагор, тоже отлично знал не только греческую, но и вавилонскую науку и время затмения рассчитал по вавилонским астрономическим таблицам.

Как и многие учёные, Фалес был очень рассеян. Говорят, однажды, наблюдая движение звёзд, он оступился и упал в колодец, а какая-то рабыня, смеясь, сказала: "Хочет знать, что на небе, а что под ногами - не видит!"

А ещё Фалес был замечательным философом и математиком. Ему принадлежит доказательство многих геометрических теорем, дошедших до греков от вавилонян и египтян. Только ни те, ни другие доказать их так и не смогли, а вот Фалес смог! Недаром древнегреческий философ Платон частенько говаривал, что греки всегда доводили до совершенства то, что переняли у других народов.

А Фрегат плывёт всё быстрее и быстрее, и вот мы уже в пятом веке до нашей эры.

Иные времена - иные лица. Давно уже нет в живых ни Пифагора, ни Фалеса, а добытое их трудами не умирает. Наука идёт вперёд!

Большие успехи сделала и геометрия, чему очень способствовали последователи Пифагора - пифагорейцы, а их в это время появилось немало. Это они написали учебник "Предание Пифагора", по которому обучали геометрии всех желающих. К сожалению, книга погибла, и содержание её дошло до нас в пересказе более поздних учёных.

Пифагорейцы, впрочем, занимались не только геометрией но и другими науками. Кстати, "наука" - по-древнегречески "математа". Помимо геометрии, пифагорейцы изучали три математы: астрономию, арифметику и музыку.

- Вот те на! А я-то думал, музыка - искусство!

- Правильно! - подтвердил капитан. - Музыка - искусство, основанное на гармонии.

- Не только на гармонии, - запротестовал я. - И на рояле, и на скрипке, и на саксофоне...



Но оказалось, что капитан имел в виду не гармонь - музыкальный инструмент, а гармонию - науку о созвучиях, иначе говоря, о соразмерном слиянии музыкальных звуков. И, как всякая наука, гармония без математики не обходится.

- Кстати, знаете ли вы, отчего звучит скрипичная струна? - продолжал капитан. - Она звучит потому, что смычок заставляет колебаться струны. Струны, в свою очередь, заставляют колебаться воздух и образуют звуковые волны. А те уже попадают к нам в уши, заставляя вибрировать барабанные перепонки. И тогда мы слышим прекрасную музыку.

- А отчего это одни звуки бывают тонкие, высокие, а другие - низкие, густые? - спросил Пи.

- Это зависит от длины струны, - объяснил Единица. - Чем струна короче, тем звук выше.

Я вспомнил, что у рояля струны и в самом деле разной длины, зато у скрипки - совершенно одинаковой, а звуки, между прочим, тоже получаются разные. Почему?

- Да потому что скрипач прижимает струну пальцем,-сказал капитан,- и звучит при этом не вся струна, а только часть её. Кстати, хотите знать, кто первый вычислил, на какие части следует делить струну, чтобы получать звуки разной высоты? Пифагор!

- Правда? - удивился Пи. - Да ведь это открытие! Настоящее открытие! А вы говорили, Пифагор - всего лишь собиратель и распространитель знаний...

- Боюсь, ты не так меня понял, - возразил капитан. - Я вовсе не хотел сказать, что открытий у Пифагора не было совсем. Как видишь, открытия были, и искать их следует прежде всего в пифагоровом учении о гармонии.

- Вы хотите сказать, о музыке? - важно заметил я.

- И о музыке, - согласился капитан. - Но музыка - всего лишь одно из проявлений гармонии. Пифагор же считал, что на гармонии основано всё, решительно всё! Гармония, по его мнению, управляет миром. А так как всякое проявление гармонии сводится к соотношению чисел, Пифагор и его последователи стали приписывать числам особую, таинственную, божественную власть... Впрочем, тут надо бы потолковать не только об открытиях, но и о заблуждениях пифагорейцев, да это уж разговор не для нас с вами. Так что отложим до другого раза...

Ну вот, так я и знал! Как только что-нибудь интересное, так отложим до другого раза... Я уж хотел рассердиться, да не успел: Фрегат сделал мощный рывок лет этак на двести вперёд, и мы попали во времена для геометрии знаменательные, потому что именно тогда жил великий Эвклид!

Не подумайте только, что я знал о нём раньше. Про Эвклида нам рассказал всё тот же капитан Единица.

Оказывается, этому замечательному древнегреческому учёному удалось совершить то, что не удавалось никому прежде. Он свёл воедино все накопившиеся за многие века сведения по геометрии и сделал это так, что каждая теорема логически вытекает из предыдущих и служит, в свою очередь, опорой последующим. Стройное здание геометрии, возведённое Эвклидом, оказалось таким прочным, что служит людям и теперь.

- Да, это человек! - сказал Пи с уважением.

- На такого человека не худо бы взглянуть,- добавил я и выразительно посмотрел на капитана.

- Нет ничего проще! - отвечал тот и указал на берег.

И правда: там на берегу, у самой воды, на большом, до блеска отполированном волнами камне, сидел смуглый темнобородый грек. В руке у него была тонкая палочка, и он чертил ею на песке какую-то фигуру. Ветер трепал его волосы, рвал на нём старый плащ, но он, казалось, ничего не замечал, поглощённый своими мыслями...

Было в этом что-то такое, что у меня в носу защипало, и я ни с того ни с сего полез за фотоаппаратом. Просто так, чтобы не пустить слезу. Но капитан вдруг страсть как обрадовался и сказал, что это я здорово придумал: ведь до нас не дошло ни одного изображения Эвклида, и потому снимок мой будет уникальным!



- А вот и неверно, - заявил Пи. - Скульптурный портрет Эвклида сохранился, и я сам видел его фотографию в одном журнале.

- Должен тебя огорчить, - вздохнул капитан. - Ты видел изображение другого Эвклида. Он был тоже учёный, но жил в другие годы. Вот и вышла путаница...

Нечего и говорить, что после всего сказанного я просто умирал от желания заполучить фотографию Эвклида. Только ничегошеньки из этого не вышло! Нет, щёлкнуть-то я щёлкнул, но второпях забыл снять крышку с объектива, а когда спохватился - Эвклид был уже далеко...

Теперь наш Фрегат летел так быстро, что ничего не разглядишь. Я и не заметил, как мы перескочили в нашу эру, а когда узнал, расстроился. Жаль стало, что не всё увидал.

Но капитан сказал, что никто не обнимет необъятного. На первый раз и этого хватит! Хотя кое о чём он нам ещё порасскажет - потом, в свой срок...


Телеграмма-молния

25 нуляля
Утром я по привычке взглянул на свой автоматический календарь и сразу вспомнил, что мы уже в двадцатом столетии. Но вот что меня удивило: на календаре стояло 25 нуляля. А ведь я точно помню, что лёг спать двадцать третьего! Неужели я проспал лишние сутки?

- Вот именно,- подтвердил Пи, который как раз вошёл в каюту.- Всё дело в резком перепаде времени. Так на тебя подействовал быстрый переход из одной эры в другую. Но тыне расстраивайся! Что такое сутки по сравнению с вечностью? К тому же вчера снова был такой туман, что сквозь него всё равно ничего не увидишь. Зато сегодня...

В самом деле, сегодня денёк что надо! Небо синее, море спокойное, добродушное, совсем как капитан Единица, когда он в хорошем настроении.

После завтрака мы тотчас отправились на капитанский мостик, к штурману Игреку, который безмятежно посасывал свою трубку, напевая под нос "Ничего в волнах не видно...".

"Ничего в волнах не видно" - это его любимая песня, но на сей раз она оказалась явно некстати, потому что очень скоро в волнах показалась какая-то странная штуковина.

- Лево по борту вижу незнакомый предмет! - заорал я во всю глотку.

- Бом-брам-фок! - встрепенулся штурман и посмотрел в указанном направлении. - Так и есть! А я-то и не приметил...

Он тотчас вызвал капитана, тот приказал немедленно спустить шлюпку, и через некоторое время "незнакомый предмет" очутился на борту.

То была тёмно-зелёная, крепко закупоренная бутылка, а в бутылке...

- Телеграмма-молния! - сказал капитан Единица.

- Вот так молния! - расхохотался я. - Плавает небось с прошлой эры. Может, её ещё Эвклид написал...

Мы с трудом извлекли из бутылки засунутую туда бумажку. Но там оказалось что-то непонятное: "15° 30'14" зап. долг. 3° 10'05" сев. шир. Рыбаки".

Впрочем, капитан, как видно, всё-таки разобрался в этой абракадабре, и брови у него съехались к переносице.

- Дело серьёзное! Идём на выручку, - сказал он и приказал изменить курс.

Я спросил, откуда он знает, куда плыть?



- Но ведь тут же всё написано, - возразил он. -Точные координаты.

Я снова заглянул в бумажку и опять ничего не понял. Правда, слово "координаты" я слышал не впервые, но почему-то так и не удосужился спросить, что это такое. Пришлось спрашивать сейчас. Капитан, как всегда, не оставил моего вопроса без ответа и, пока Фрегат шёл себе по указанному адресу, рассказал вот что.

Координаты - это просто-напросто два числа, указывающие расстояния, по которым можно найти местонахождение любой точки или предмета на поверхности. Но поверхности бывают разные. Поверхность стола - плоская. Поверхность Земли - выпуклая, сферическая. А потому для разных поверхностей нужны и разные системы координат.

Чтобы найти точку на плоскости, применяют систему прямолинейных координат, а короче - прямолинейные координаты. Если же ищешь точку на сфере, удобнее прибегнуть к координатам криволинейным.

Пи спросил, как же всё-таки искать точку на плоскости?

Вместо ответа капитан вынул из кармана орешек и положил его на стол.

- Давайте определим координаты орешка,- сказал он.- Для этого выберем сперва оси координат, то есть две прямые, от которых и будем отсчитывать расстояния до орешка.

Ну, мы стали выбирать прямые и выбирали бы до вечера, если бы капитан не сказал, что прямые должны быть взаимно перпендикулярные, а потому очень удобно принять за оси координат две взаимно перпендикулярные стороны стола.

Так мы и сделали, и капитан обозначил одну сторону, то есть ось, латинской буквой икс (х), а другую - тоже латинской буквой игрек (у) (наверное, в честь нашего штурмана!). Угол стола, то есть точку, где оси х и у сходятся, он обозначил буквой О и сказал, что эта точка называется началом координат.

Теперь проведём от орешка два перпендикуляра,- предложил он,- один перпендикуляр на ось х, другой - на ось у, и измерим расстояния от начала координат до оснований этих перпендикуляров. Попросту, до тех точек, где перпендикуляры пересекаются с осями.

- В каких единицах будем измерять? - деловито спросил я.

- Да в каких угодно,- ответил капитан. - Хоть в километрах. Хотя километры для стола, пожалуй, длинноваты...

Решили вычислять в сантиметрах. Пи вынул из кармана рулетку, и мы увидели, что по оси х координата орешка равна шести сантиметрам, а по оси у - восьми.



- Вот вам и точные координаты орешка на столе,-сказал капитан, довольно потирая руки. - Шесть и восемь. И запомните, пожалуйста, что первое число всегда означает расстояние по оси х (между прочим, число это называется абсциссой точки), а второе расстояние - по оси у (его называют ординатой точки). Смотрите не меняйте эти числа местами, не то попадёте совсем по другому адресу. Понятно?

- Понятно, - кивнул я. - Только мы-то ведь ищем точку не на столе, а на Земле. А у Земли какие же края? Земля -шар.

- Неужели?! - хмыкнул капитан. - Всегда от тебя услышишь что-нибудь новенькое! Земля, конечно, шар. Правда, чуточку сплющенный, но это не в счёт. А я уже говорил: чтобы найти точку на шаре, прямолинейные координаты не годятся. Здесь нужны координаты криволинейные. Вообще-то криволинейных координат много. Но те, что пригодны для сферы, называют географическими. Ведь они тесно связаны с географией! Итак, чтобы найти точку на земной поверхности, за оси координат принимаются две взаимно перпендикулярные окружности. Одна из них - та, что делит Землю на северное и южное полушария,- называется экватором, другая - пересекающая Северный и Южный полюсы,- нулевым меридианом.

Тут мне страсть как захотелось узнать, отчего меридиан назвали нулевым: недаром я Нулик! Оказывается, через Северный и Южный полюсы можно провести сколько угодно меридианов, да вот вопрос: от какого из них вести отсчёт? Посовещавшись, выбрали меридиан, который проходит через пригород Лондона - Гринвич. И вот почему нулевой меридиан называют ещё и гринвичским.

Нулевой - гринвичский... Вот здорово! Я даже запрыгал от радости и тут же решил переименоваться из Нулика-праведника в Нулика Гринвичского. Но капитан строго заметил, что это к делу не относится, и снова вернулся к разговору об экваторе. Экватор, по его словам, разделили на 360 одинаковых частей, начиная с той точки, где он пересекается с нулевым меридианом, и провели 180 меридианов, разделив таким образом Землю на 360 долек.

- Прямо как апельсин,- засмеялся Пи.- Только что долек у апельсина поменьше.

Но я всё-таки не понял, как же так? Экватор разделили на 360 долек, а меридианов получилось всего-навсего 180!

- Так ведь каждый меридиан пересекает экватор не в одной, а в двух точках, - объяснил капитан. - А 360, делённое на 2, и есть 180.

Тут он достал карандаш и блокнот, нарисовал две взаимно перпендикулярные окружности, разделил экватор на 360 частей и провёл 180 меридианов. Затем он разделил расстояние между экватором и каждым полюсом на 90 равных частей и провёл 90 параллельных экватору окружностей - они так и называются параллелями.

- А это уже больше похоже на арбуз, нарезанный кружками,- сказал Пи (вечно у него на уме съедобное! Одно слово - кок).

- Так как у Земли два полюса,- продолжал капитан,-параллелей у нас, само собой, получилось 180, как и меридианов. Только меридианы по длине все одинаковы, а параллели - нет. Ведь чем параллель ближе к полюсу, тем радиус у неё меньше. А уж на самом полюсе он и вовсе превращается в точку.

- Значит, на полюсе параллель равна нулю! - победоносно закончил я.

- Ну да, самая маленькая параллель - полюс - равна нулю, а самая большая - экватор - нулевая по счёту,- подытожил Пи.

- Весьма тонко подмечено, - одобрил капитан. - Но двинемся дальше. Разделив сферу на 180 меридианов и 180 параллелей, мы как бы поместили земной шар в сетку...

- ...в авоську, - ввернул Пи.



- В самом деле похоже, - улыбнулся Единица и продолжал: - Расстояние между двумя ближайшими меридианами, отсчитанное по дуге любой параллели, условились считать одним градусом географической долготы, а расстояние между двумя параллелями, отсчитанное по дуге любого меридиана,- одним градусом географической широты. Каждый градус, в свою очередь, делится на 60 минут, минута -на 60 секунд. И если добавить, что градусы обозначаются кружком, минуты - одной вертикальной чёрточкой, а секунды - двумя, то теперь вы, пожалуй, сможете и сами разобраться в адресе, указанном рыбаками.

Я выхватил у него бумажку и прочитал: "Пятнадцать градусов тридцать минут четырнадцать секунд зап. долг..."

- Что ж ты запнулся? - спросил капитан. - "Зап. долг." - значит "западной долготы". Это сказано для того, чтобы понятно было, в какую сторону от гринвичского меридиана следует отмерять градусы долготы: на запад или на восток.

После этого действительно ничего не стоило прочитать записку до конца: "15 градусов 30 минут 14 секунд западной долготы, 3 градуса 10 минут 5 секунд северной широты" Туда-то мы и направляемся!

В это время с марса закричали: Люди за бортом!

Что тут началось! Все забегали, заволновались, и через несколько минут потерпевшие очутились на Фрегате. Все они были очень измучены и еле держались на ногах, но сразу же, пришли в себя, как только попробовали снадобья, приготовленного коком.

Пи сказал, что это его собственное изобретение. Оно называется "коктейль для утопающих". И когда только он успел его приготовить?

Так благополучно закончилась эта история. А скоро приключилась и другая.

Наступил полдень. Солнце висело над самой головой. Капитан сказал, что мы огибаем западный берег Африки, и посоветовал быть начеку, потому что нас ожидает...

Он не успел договорить. Волны закипели, забурлили, и из пучины вынырнул наш старый знакомый - Нептун. Я уж подумал, что опять в чём-то провинился. Но Нептун вовсе не выглядел сердитым. По-моему, он был даже чересчур весел, если только не навеселе...

Фрегат остановился. Спустили трап прямо в воду, и его величество повелитель морей и океанов проследовал на палубу, где уже построилась для встречи вся наша команда.

Нептун торжественно обошёл всех, каждому пожал руку, но когда поравнялся со мной и с Пи, неожиданно сгрёб нас в охапку и швырнул прямо за борт!

Ну, мы, понятно, заорали не своим голосом, но нас быстро выудили обратно. Все хлопали, смеялись, а мы стояли мокрые, взъерошенные, злые.

И тут Нептун подошёл к нам, будто ничего не случилось, крепко расцеловал и поздравил с посвящением в моряки.

Тогда только мы поняли, в чём дело. Есть у моряков такой обычай: всех, кто впервые пересекает экватор, окунать в море. А наш Фрегат как раз подошёл к экватору! И, стало быть, теперь мы с Пи настоящие морские волки.

По этому случаю кок налил себе и мне "коктейля для утопающих". Мы хлопнули по стаканчику и побежали переодеваться.


Домашние задания

26 нуляля
Двенадцать суток - и ни одной стоянки! Всё на воде да на воде. Так я, чего доброго, разучусь ходить по суше...

- Ты что такой кислый? - спросил капитан.

- Соскучился по твёрдой почве, - буркнул я.

- Вот как! - прищурился он. - Но разве наш Фрегат стоит не на твёрдой почве?

Ну и шутник! Мы с коком расхохотались. Но оказалось, капитан вовсе не шутит.

- Ведь у нас Фрегат математический, а разве математика не та твёрдая почва, на которой развиваются самые разнообразные науки? - спросил он. - Начать с того, что возникла она как подспорье для астрономии, а это самая древняя и самая необходимая людям наука.

- Почему самая необходимая? - удивился я. - Астрономия изучает небесные тела, а люди-то живут на Земле.

- Но Земля - тоже небесное тело, - отвечал капитан, - стало быть, между ней и другими небесными телами существует взаимосвязь. Это-то и понял в глубокой древности человек, когда научился сопоставлять разные явления. Он увидел, что многое, происходящее на Земле, связано с тем, что происходит на небе. С движением Солнца, например. Человек заметил, что Солнце появляется всегда с одной стороны неба, а уходит в другую. В зависимости от этого на Земле становится то светло, то темно. По Солнцу человек научился отмерять сутки, отделять день от ночи. Точно так же по движению Солнца среди звёзд человек разделил свою жизнь на годы и месяцы. Звёзды помогали ему определять, когда следует ожидать разлива рек, когда начинать сев. Они не давали ему заблудиться в открытом море. Вот почему я сказал, что астрономия в далёкие времена была самой жизненно необходимой наукой. Но астрономия никогда не могла бы существовать без математики, так же, впрочем, как и другие науки. Постепенно математика проникала в самые разнообразные отрасли человеческой деятельности и знаний. Без неё невозможно было бы ни землемерие, ни судостроение, ни мореплавание, ни торговля. А в наше время без математики не обходится ни одна наука. Физика, химия, медицина, агрономия, философия, политическая экономия, статистика, логика... Даже языкознание! Словом, - заключил капитан, - теперь вы, надеюсь, согласны, что математика - поистине твёрдая почва любой науки, а стало быть, и всей нашей жизни.

- Вы забыли о кулинарии,- сказал Пи.-Хорошему кулинару тоже без математики не обойтись. Он должен точно рассчитать, сколько ему потребуется продуктов, чтобы вкусно и сытно накормить едоков.

- Да,- согласился капитан,- умение считать - великое дело. Но ещё важнее умение мыслить. Тем более, мыслить математически. Для примера предложу вам одну задачку. Что-то вроде небольшого домашнего задания. Не возражаете? Ну, мы, конечно, не возражали, и капитан тотчас приступил к делу.

- Представьте себе маленький шарик - ну, хотя бы горошину, которая опоясана ниточкой по экватору. Снимем эту ниточку (разумеется, мысленно) с горошины, выпрямим её и удлиним другой ниткой ровно на один метр. Далее уложим эту удлинённую нитку на столе так, чтобы она образовала окружность, а горошину поместим в центре окружности. А потом измерим зазор между ниткой и поверхностью горошины, и окажется, что он равен примерно 16 сантиметрам - уж поверьте мне на слово!



- Ну и что? - спросил я разочарованно.

- Сейчас увидишь, - сказал Единица. - Проделаем тот же опыт, но уже не с горошиной, а с земным шаром.

- Ого-го-го! - воскликнул Пи. - Земля - не горошина!

- А воображение на что? - спросил капитан. - Итак, мысленно снимем с Земли экватор, распрямим его. Получится приличная ниточка длиной этак в 40 миллионов метров. И удлиним её тоже ровно на один метр.

- Всего-навсего на один? - переспросил Пи.

- Всего-навсего. А дальше всё, как с горошиной: соединим концы удлинённого экватора, снова придадим ему форму окружности и наденем эту окружность на земной шар. Нам придётся её придерживать, чтобы она не свалилась, потому что между экватором и поверхностью земного шара появится зазор. И как вы думаете, какой?

- Наверное, его и в микроскоп не разглядишь, - предположил я. - Что такое один метр по сравнению с сорока миллионами!

- Вот и видно, что математически ты мыслить не умеешь! - сказал капитан. - Расстояние между новым, удлинённым, и прежним экватором Земли будет то же, что и у горошины: около 16 сантиметров!

У нас от изумления глаза на лоб полезли.

- Чем зря таращиться, вспомнили бы лучше, каково отношение длины любой окружности к её диаметру, и подсчитали бы величину обоих зазоров, - посоветовал Единица.

Мы попросили его высказаться подробнее, но он стоял на том, чтобы мы решили задачу дома, по возвращении из плавания, для удобства проверив её на шаре диаметром в 100 сантиметров.

Но тут ему показалось, что одной задачи для домашнего задания мало, и он предложил нам вторую, о которой вспомнил, как видно, тут же, на месте.

Как раз в это время Фрегат наш вошёл в шлюз канала, и все мы стояли на корме, глядя, как медленно закрываются шлюзовые ворота. Сперва расстояние между створками было не менее 30 метров, потом оно стало постепенно уменьшаться. Вот уже просвет превратился в узкую длинную щёлку. Щёлка становилась всё меньше и меньше и наконец исчезла совсем. Да иначе и быть не могло! Так по крайней мере думал я.

Но капитан сказал, что веков двадцать пять назад в Древней Греции жил один мудрец по имени Зенон. Так вот, он утверждал, что можно сделать такую щель, которая не закроется, хотя и будет всё время уменьшаться. Эта-то задача и стала нашим вторым домашним заданием, которое мы с Пи записали от слова до слова:

"Однажды быстроногий Ахиллес решил состязаться в беге с черепахой. По условию он должен был бежать ровно в 10 раз быстрее её, но при этом дать ей 100 метров форы -то есть поставить её на 100 метров впереди себя. И вот состязание началось. Когда Ахиллес пробежал 100 метров, отделявших его от черепахи, её уже на этом месте не было: за это время она продвинулась вперёд на 10 метров. Ахиллес пробежал и эти 10 метров. Но за это время черепаха ушла вперёд ещё на 10 сантиметров. Так расстояние между ними всё время уменьшалось: то оно было равно одному сантиметру, потом одному миллиметру, одной десятой миллиметра, одной сотой, тысячной, миллионной, миллиардной... Черепаха всё время оказывалась впереди своего соперника. Хоть на самую малость, но впереди! Каким образом лучший бегун Греции не смог догнать самое медлительное существо на свете - черепаху?"

- Вы, конечно, понимаете, что Зенон малость ошибся,- сказал капитан, кончив диктовать.-А в чём его ошибка - потрудитесь разобраться сами.

- И потрудимся, - сказал я. - Но, во-первых, при чём здесь щель?



- Щель в данном случае - расстояние между Ахиллесом и черепахой, которое всё время уменьшается, но никогда не исчезнет.

- А это как раз то, чего я не понимаю во-вторых...

- ...и над чем тебе предстоит подумать дома, - закончил Единица.

И тут я разворчался. Зачем ломать голову над ошибками такого, с позволения сказать, мудреца?

Капитан задумчиво помолчал.

- Не торопись с выводами, юнга. Зенон, конечно, ошибся. Но он был, пожалуй, первым учёным, который представил себе бесконечно малую величину - то есть такую величину, которая всё время стремится к нулю, но никогда его не достигает. Вот и выходит, что Зенон как бы предвидел появление того самого научного понятия, которое много веков спустя, в XVII столетии, почти одновременно открыли два великих человека, англичанин Исаак Ньютон и немец Готфрид Вильгельм Лейбниц. А ведь это открытие означало целый переворот в науке! С помощью бесконечно малых величин учёным удалось решить многие, до тех пор нерешённые задачи. А главное, с тех пор практическое применение математики значительно расширилось. Кстати, изучение бесконечно малых величин остаётся одной из главных задач математики и доныне.

- Выходит, ошибки тоже иногда бывают полезными, - сказал Пи.

И тут мы с ним ни с того ни с сего развеселились и пустились куролесить вовсю: кувыркались по палубе, делали мостик и ещё невесть что.

- Да вы, я вижу, настоящие акробаты, - добродушно рассмеялся капитан. - Раз так, давайте проведём небольшое спортивно-математическое состязание.

В руках у него непонятным образом появилась мягкая широкополая шляпа из белоснежного фетра, на которой легонько трепыхалось курчавое страусовое перо. Чудесная была шляпа! Мы так и впились в неё глазами и очень обрадовались, когда узнали, что капитан собирается нам её подарит?, Правда, для этого надо сперва решить одну пустяковую задачку.

Сказав это, капитан повёл нас вниз, в большой зал кают-компании, и предложил тянуть жребий: кому из нас быть абсциссой, кому - ординатой. Ну, мне досталась абсцисса, а Пи, само собой, ордината. А потом капитан объяснил, что на полу, под ковром, находится кнопка звонка, и наша задача отыскать её.

Если принять за оси координат взаимно перпендикулярные кромки ковра, то координаты этой кнопки в сумме равны одиннадцати метрам. При этом абсцисса на 10 метров больше ординаты. Остаётся решить, какова длина абсциссы и какова длина ординаты. После этого каждый из нас должен на руках пробежать своё расстояние вдоль кромок ковра, а оттуда и до пересечения перпендикуляров, восстановленных из этих точек. И если мы рассчитали правильно, то обязательно попадём туда, где спрятана кнопка. Прозвучит звонок -и дело в шляпе!

Ну, мы посовещались немного, а потом встали на руки и побежали вдоль кромок. Я пробежал десять метров, Пи -один. Потом мы пробежали по перпендикулярам до точки нашего взаимного пересечения и... никакого звонка не последовало. Как же так? Всё как будто верно. Ведь сумма координат равна одиннадцати, а это и есть 10 + 1 !

- Так-то так,- сказал капитан.- Сумма у вас, действительно, правильная. Но вы забыли, что путь одного из вас должен быть на десять метров больше, чем путь другого, а у вас он больше только на девять метров ( 10 - 1 = 9 ). Выходит, с задачей вы пока не справились. Так что пусть уж она будет вашим третьим домашним заданием.

После этого мы с позором удалились, а шляпа -белоснежная мягкая фетровая шляпа - так и осталась у капитана. Неужто не найдётся на свете никого, кто бы помог нам её заполучить?


В проливе Бесконечности

27 нуляля
На рассвете вошли в пролив Бесконечности. Капитан приказал швартоваться, и все отправились на берег. Наконец-то я очутился на самой что ни на есть настоящей твёрдой почве...

Но что это? Навстречу нам поднялось с земли какое-то бородатое чудище. Вообще-то я не из трусливого десятка: если и нырнул за спину капитана, так только на всякий случай. Впрочем, ничего такого не случилось.

Чудище оказалось всего-навсего моряком с корабля, затонувшего здесь примерно 150 лет назад. Все матросы погибли, а этого подобрали чуть живого и обратили в рабство. С тех пор местный правитель заставляет его каждый день выполнять одну и ту же работу.

Правитель, кстати, совсем ещё молоденький: ему пошёл всего лишь три тысячи сто восьмидесятый годок. А дети у него и совсем крошки! Мальчику две тысячи сто восемьдесят пять лет, а девочке как раз вчера стукнуло тысяча двести тридцать два.

Ну, мы, конечно, удивились, когда капитан сказал, что в этом проливе живут вечно. Как-никак - пролив Бесконечности!

Потом он спросил у матроса, какую такую работу заставляет его делать правитель?

- Известно какую, - вздохнул бородач. - Кубики-шарики, шарики-кубики... Ну и понаделал я их за полтора-то века - не сказать! А им всё не так...

- Кому это "им"? - полюбопытствовал я.

- Да деткам правителя, - пояснил он. - Уж такие они привередливые, такие завидущие! Казалось бы, чего у них только нет, разве что птичьего молока, а им всё мало...

Ну, мы, понятно, стали его тормошить, расспрашивать и узнали вот что.

- Когда привели меня во дворец в первый раз, - начал матрос, - правитель поглядел на меня и сказал: "Ну, моряк, благодари судьбу! Ты у меня без работы не останешься. Наказываю тебе сделать такую игрушку, чтобы пришлась по вкусу разом и сынку моему, и дочке. А то у них четыре миллиарда триста восемьдесят цацок, а ни одна не по нраву! Даю тебе сутки сроку: угодишь обоим - награжу, не угодишь - пеняй на себя!"

Стал я думать, что бы такое смастерить? А потом и надумал: сделаю что-нибудь попроще. А ну как оно-то и понравится? Соорудил я им прозрачный кубик. Небольшой такой - ребро сантиметров в десять, не выше, а грани хоть и прозрачные, а все в разные цвета покрашены. Что ни грань - другая окраска. Прямо радуга... Всю ночь я с этим кубиком провозился, а наутро понёс во дворец.

Сынок правителя поглядел, поморщился и сказал: "Эка невидаль - кубик! Вот кабы сделать для него футляр, и чтобы футляр тот был - разъёмный шарик, и чтобы кубик точно в него вписывался!"

А дочка тоже поморщилась и так сказала: "Кубик как кубик - мне такой ни к чему! Вот кабы сам он был разъёмным футлярчиком, а в футлярчике - шарик, да чтобы точно в него вписывался - тогда бы я ещё подумала!" Вот оно, значит, как. Одному - одно, другому - другое. Ему подавай шарик, чтобы туда кубик влезал, ей - тот же кубик, только с шариком внутри...

На другое утро принёс я свою работу во дворец - всё честь по чести, как велено! Один шар около кубика описывается, другой в тот же кубик вписывается. А детки опять носы воротят. Сынок говорит: "Хорошо бы около большого шарика ещё один кубик описать!" А дочка своё ладит: пусть, говорит, в маленький шарик ещё один кубик вписывается... И опять промудрил я до рассвета. А утром всё повторилось сызнова. Сынок требует около большого кубика ещё один шарик описать, а дочка - в маленький кубик ещё один шарик вписать...



Так оно с тех пор и пошло. Одни сутки мастерю по два шарика, другие - по два кубика. А чтобы счёт дням не потерять, каждая пара шариков и кубиков у меня номерами помечена: 1, 2, 3 и так далее. Дескать, сделано в первые сутки, на вторые или там на двадцать пятые...

Матрос кончил рассказывать, тяжело вздохнул и задумался.

- Н-да, незавидная у вас работка, - сказал Пи. - И как только вам удаётся делать одни кубики и шарики всё больше и больше, а другие - мал мала меньше? Ведь самый малюсенький из них, поди, и в микроскоп не разглядишь!

- На то и пролив Бесконечности, - отвечал тот.

- А где же вы их храните? - поинтересовался я.

- Где? - переспросил матрос и вдруг засмеялся: - А нигде! До вчерашнего дня стояли они у меня на берегу друг за дружкой, по росту. А нынче ночью надумал я бежать. Надоели мне эти приказы-капризы хуже горькой редьки! Ну, сложил я все шарики и кубики по порядку один в другой, и - бултых в воду...

- Не может быть! - в один голос закричали мы с Пи. - Неужто мы так и не увидим вашей работы?!

- Кто его знает! - уклончиво хмыкнул матрос. - Коли очень захотите, может, и увидите. Не наяву, так в уме...

- Вы хотите сказать, в воображении? - уточнил я.

- Вот-вот, - обрадованно закивал матрос. - С воображением да с соображением чего не увидишь!

- Ваша правда, - подтвердил капитан. - Но вы забыли про знания. Чтобы вообразить себе что-нибудь как следует -ну хоть ваши кубики  и шарики, необходимо кое-что смыслить в геометрии. Надо, например, знать, что, с точки зрения геометрии, шар только тогда считается вписанным в куб по-настоящему, когда поверхность его касается всех шести граней куба, иначе говоря, имеет с ним шесть точек касания. Если же речь идёт о шаре, описанном вокруг, или, как говорят математики, около куба, значит, подразумевается, что поверхность его непременно проходит через все восемь вершин куба.

- Э, нет, - не согласился я, - раз шар описан около куба, стало быть, куб у него внутри. Но тогда с вершинами куба соприкасается не поверхность шара, а его внутренность...

- Вероятно, ты хотел сказать, внутренняя сторона его оболочки, - подсказал капитан. - Что ж, ты был бы прав, если бы речь шла о мячике - резиновом или, там, целлулоидовом, в который вписан кубик - деревянный или, скажем,пластмассовый. Иначе говоря, если бы имелись в виду тела физические. Но мы-то говорим о телах геометрических! Стало быть, у них не оболочка, а поверхность. А поверхность, как ты уже знаешь, двухмерна и толщины не имеет...

Тут я почему-то вспомнил треугольную тень от вымпела и перевёл разговор на другую тему.

- Интересно,- спросил я, обращаясь к матросу,- что вы смастерили под самый конец: шарики или кубики?

- А вы подумайте сами, - предложил тот. - Пробыл я здесь... ну, в общем, неважно сколько, и сделал всего 109 575 штук. В первые сутки - один кубик, а потом - по очереди - то по два шарика, то по два кубика. Вот и сосчитайте, что вышло последним.

- Прекрасная арифметическая задача, - похвалил капитан, - и, надеюсь, Нулик и Пи благополучно решат её дома. А сейчас нам пора на корабль. Ведь вы, надо думать, спешите? - добавил он и этак искоса, бочком посмотрел на матроса.

Нет, что ни говорите, а наш капитан самый удивительный из всех капитанов на свете! И как он только догадался, что матрос собирается бежать именно на нашем Фрегате?

А когда все мы были уже далеко от пролива Бесконечности, капитан задал нам ещё одну задачку, на сей раз геометрическую: во сколько раз диаметр описанного около куба шарика больше, чем диаметр вписанного? И ещё он сказал, что для этого надо сравнить диаметры этих шариков с ребром куба, а кроме того, знать теорему Пифагора, да хорошенько вспомнить, что такое диагональ.

Как видите, нелёгкая нам досталась работа, но уж во всяком случае не труднее той, что пришлось делать матросу. Так что вернёмся домой - повоюем!


Дракон Архимеда

28 нуляля
Ну и потрудились мы сегодня!

С утра капитан Единица приказал всем, а значит, и нам с коком, сойти на берег и помочь местным жителям достроить стадион. Оказывается, завтра здесь открывается всеинтегральная олимпиада, а стадион не готов.

Ну, я, понятно, не сразу уразумел, какая такая олимпиада?

- Всеинтегральная,- терпеливо повторил капитан и объяснил, что мы находимся на острове Интеграл, герб которого изображён здесь на всех флагах.

По случаю предстоящей олимпиады флагов на острове и впрямь хватало, и что ни флаг - то дракон. А может, змея? Этого я так толком и не выяснил, потому что штурман Игрек велел нам поторапливаться (бом-брам-фок!), и мы рысью побежали к стадиону.

Представьте себе толстую, распиленную вдоль трубу. Так вот, половинку такой трубы и напоминал стадион. Один его проём служил входом и должен был оставаться открытым, другой следовало застеклить. Не то все зрители начнут чихать и кашлять. Недаром кашель - функция сквозняка...

На площадке перед стадионом лежали стопки нарезанных полосками стёкол. Полоски были самые разные: длинные и короткие, узкие и широкие... Мы взяли одну, не широкую и не узкую, и тут только увидели, что у неё нет никакой толщины.

"Эге! Дело пахнет геометрией!" - сразу смекнул я и не ошибся.

По словам главного архитектора, лежащие здесь полоски - это не стёкла, а кусочки геометрической или, попросту, математической плоскости. А то, что у математической плоскости толщины не бывает, я теперь и во сне помню. Другое дело, как её изготовляют, эту математическую плоскость?

Я спросил об этом у архитектора, но вместо ответа он предложил нам вообразить геометрическую точку, которая движется в одном направлении и выпускает из себя капельку краски т- тоже, конечно, воображаемую. Ясно, что капелька как бы нарисует весь путь точки, то есть прямую линию. И у этой прямой есть уже одно измерение: длина.

- Теперь, - сказал архитектор, - представим себе, что получится, если эта начерченная краской прямая покатится, как карандаш, по гладко отполированному столу?

- Получится окрашенная плоскость, - сказал Пи.

- Верно, - согласился архитектор. - А у плоскости есть уже два измерения: длина и ширина. Теперь остаются сущие пустяки: застеклить полосками этой плоскости полукруглый проём стадиона.

По правде говоря, нам с Пи хотелось отделаться от работы поскорее, и вот почему мы отобрали полоски пошире. Но ничего хорошего из этого не вышло. Ведь полоски прямоугольные, а проём - полукруглый. И осталось при этом много незастеклённых прорех. Мы хотели было залатать их кусочками плоскости, отломанными от других полосок, но главный архитектор издали погрозил нам пальцем и указал на огромный плакат:


ЛОМАТЬ ПОЛОСКИ
СТРОГО ВОСПРЕЩАЕТСЯ!

Ничего не поделаешь, пришлось начинать всё сначала. На сей раз отобрали полоски поуже. И всё-таки дырок осталось - будь здоров! Разве что поменьше размером.

Тогда мы придумали вот что: набрать самых что ни на есть коротких полосок, застеклить ими прорехи - и дело с концом!

Действительно, не прошло и часа, как с дырками было покончено. Но главный архитектор, поглядев на нашу работу, только за голову схватился: ведь теперь наши прямоугольные плоскости торчали зубцами над крышей!

Пришлось застеклять проём в третий раз. Наученные горьким опытом, мы набрали полосок таких узких, что и не ухватишь. Получилось вроде бы неплохо, но главный сказал, что щели, хоть и незаметные, всё равно остались, и все спортсмены наверняка простудятся.

К тому времени мы с Пи совсем уже выдохлись и чуть не плакали от досады и усталости. И тут...

И тут появился наш дорогой, наш несравненный капитан Единица. И всё сразу пошло как по маслу. Оказывается, мы всё время отбирали полоски, годные только для прямоугольных проёмов, в то время как для полукруглых нужны особые, волшебные. Бесконечно малые по ширине.

Бесконечно малые? Стойте! Что-то такое мы об этом уже слышали...

- Ну конечно, - подтвердил Пи. - Вспомни задачу Зенона про Ахиллеса и черепаху.

- Молодцы, ребята! - обрадовался капитан. - Зенон был первым, кто представил себе бесконечно малую величину -иначе говоря, такую математическую величину, которая всё время стремится к нулю, но никогда его не достигает. Именно таковы и наши волшебные полоски. Ширина их всё время сама по себе убывает и непрерывно стремится к нулю. Но самое интересное, что при этом изменяется и высота полоски. Выступающие уголки её постепенно скругляются, сглаживаются.



- Выходит, высота этого выступающего кусочка плоскости есть функция ширины полоски, - сообразил я.

И тут случилось нечто небывалое. Капитан, всегда такой! спокойный и рассудительный, бросился мне на шею и рас целовал в обе щеки.

- Ай спасибо! - повторял он, улыбаясь во весь рот. - Вот спасибо! Теперь я вижу, что труды мои не пропали даром. Вы таки кое-что усвоили из пройденного...

Когда он наконец чуток успокоился, мы пошли за волшебными полосками, и я спросил, много ли их понадобится? Оказалось, не просто много, а бесконечно много. Вот здорово! Значит, бесконечным множеством бесконечно малых по ширине полосок можно точно застеклить площадь любой формы?!

- Ну конечно! - подтвердил Единица. - А из этого, в свою очередь, нетрудно понять, что площадь есть не что иное, как сумма бесконечного числа волшебных полосок. И называется эта сумма интегралом. С помощью интеграла можно вычислить кучу интереснейших вещей: самые разнообразные площади, объёмы, орбиты, скорости огромных планет и крохотных электронов... В общем, там, где требуется вычислить сумму бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых, без интеграла не обойдёшься.

- Всё это очень хорошо, - сказал Пи, - но почему у этого интеграла на гербе дракон?

- Не дракон, а что-то вроде латинского "эс" - S, - засмеялся капитан. - Недаром S - первая буква слова "сумма". Вот она и стала знаком интеграла.

- Интересно, а кто был первым интегральщиком на свете? - спросил Пи.

- Самым-самым? - Капитан почесал за ухом.- Самым первым можно, пожалуй, считать великого древнегреческого учёного Архимёда. Человечество обязано Архимеду многими открытиями в самых разных областях: в математике, механике, физике, инженерном и военном деле... Научное наследие Архимеда огромно. И немалое место занимает в нём трактат об исчислении песчинок.

- Об исчислении чего? - удивлённо переспросил я.

- Песчинок,- повторил капитан.- Архимеду захотелось узнать, сколько потребуется песчинок, чтобы заполнить ими шар - такой огромный, что в нём запросто может поместиться не только Солнце со всеми планетами, но и всё звёздное небесное пространство.

- И что же, удалось ему это? - полюбопытствовал Пи.

- Представь себе, удалось,- сказал капитан.- И раз так, значит, Архимед вычислил сумму огромного числа чрезвычайно малых слагаемых. А это хоть и не совсем, но почти интеграл. ,Вот почему Архимеда считают родоначальником интегрального исчисления, то есть математического метода, который по-настоящему стал развиваться только две тысячи лет спустя.

Пока Единица разглагольствовал, мы с коком времени зря не теряли. Полоски оказались и впрямь волшебными, и скоро проём был застеклён так аккуратно, что ни одной щёлочки и в микроскоп не углядишь.

- Что и говорить, проинтегрировано на славу! - сказал главный архитектор, придирчиво оглядев застеклённое пространство.

На радостях он подарил нам по медальке со знаком интеграла (мы тут же окрестили его драконом Архимеда) и сказал, что с этой минуты нас можно считать завзятыми интегральщиками.

Ну, мы, конечно, сделали серьёзные лица и вежливо поблагодарили, а потом не выдержали и со всех ног побежали на Фрегат.


Конический дуэт

29 нуляля
Утром на Фрегате появилась завлекательная афиша:



Весь день я и Пи только и делали, что смотрели на часы, ожидая, когда наступит 18.00. Правда, при чём тут пергское время, мы не больно-то поняли. А ещё нас очень рассмешила ошибка в объявлении, где вместо слова "комический" значилось "конический". Хотя капитан Единица утверждал, что никакой ошибки нет, потому что дуэт, по всей вероятности, будет и комическим и коническим одновременно.

И вот наконец долгожданное пергское время настало.

Нечего и говорить, что мы с коком ворвались в кают-компанию раньше всех и уселись в первом ряду, аккурат против занавески, откуда должны были по нашим расчётам выходить артисты.

Но клоуны, вопреки нашим ожиданиям, появились прямо из публики, притом с разных сторон. Маленький, толстенький Ап был в белом балахоне с разноцветными блёстками, а длинный, тощий Ол - в кургузом пиджаке и длинноносых ботинках. Да, забыл сказать: у Апа на голове был шлем, очень похожий на те, что носят мотоциклисты, и Ол, взглянув на него, закричал:

- Эй, Ап, что это у тебя на голове? Сейчас же сними эту дурацкую полусферу!

- Ха-ха! - отвечал Ап. - А вот и не сниму!

- Ну и не надо! - сказал Ол и загнутым носком своего клоунского башмака сшиб шлем с головы Апа.

Ну, у того, как водится, брызнули из глаз фонтанчики. А Ол положил шлем на наковальню, взял большущий молоток и стал колотить, крича во всё горло:

- Я из него лепёшку сделаю!

Но сколько он ни колотил, шлем хоть и сплющился, а в лепёшку почему-то не превращался. И тут уже у Ола брызнули фонтанчики из глаз, а Ап, наоборот, захохотал, и мы с Пи тоже, да так громко, что капитану пришлось нас останавливать. Он сказал, что, во-первых, смеяться так громко неприлично. А во-вторых, клоуны показывают очень серьёзные вещи. И даже не столько показывают, сколько доказывают.

- Что, что доказывают? - сейчас же прицепился я.

- Да то, что сферу никаким способом в лепёшку, то есть в плоскость, не превратишь, - пояснил капитан. - На языке математики это означает, что сферическая поверхность в плоскость не развёртывается - стучи по ней молотком хоть до скончания века!

Честно говоря, мы слушали капитана вполуха: очень уж интересно было, что делается на сцене.

Ап начертил на полу окружность, затем достал из кармана красную нитку и аккуратно поставил её на окружность. А потом отнял руку, и, можете себе представить, ниточка так и осталась стоять вертикально. Как стальная!



- Скажи, пожалуйста, Ап, что ты там делаешь? - спросил Ол.

- Да вот, новую шляпу, - отвечал тот, - цилиндр!

- А ниточка зачем? Чтобы шить?

- Не угадал! Ниточка поможет мне образовать цилиндрическую поверхность.

- Уж не хочешь ли ты сказать, что ниточка будет образующей твоего цилиндра? - снова спросил Ол.

- Вот теперь угадал! - обрадовался Ап. - И сейчас я отправлю эту ниточку в кругосветное путешествие.

- В кругосветное? - удивился Ол.

- Ну да, по окружности, - пояснил Ап.

- А ниточка не заблудится? - испугался Ол.

- Уж конечно, не заблудится! - заверил его Ап. На путь истинный её будет направлять окружность.

- Выходит, окружность у тебя будет направляющей?

- Да, да, да! - захлопал в ладоши Ап. И тут красная ниточка быстро побежала по окружности, по-прежнему сохраняя вертикальное положение. А вслед за ней, по всей её высоте, побежала блестящая красная полоса. Когда же ниточка вернулась к началу своего пути, на сцене стоял великолепный красный цилиндр - правда, без полей.

Ну, Ап, конечно, схватил его и тут же нахлобучил на голову. Но Олу новая шляпа не понравилась. Он сдёрнул её с головы приятеля, вытащил из цилиндра красную ниточку - образующую, и тогда цилиндр развернулся и превратился в красный прямоугольник. Одна сторона прямоугольника равнялась длине направляющей бывшего цилиндра, а другая - высоте образующей.

У Апа снова брызнули из глаз фонтанчики, а капитан сказал, что на сей раз клоуны наглядно убедили нас в том, что цилиндрическая поверхность - не сфера, и потому запросто развёртывается в плоскость.

К тому времени Ап уже утешился и придумал новую забаву. Он снова заставил красную ниточку путешествовать по окружности, но на сей раз не в вертикальном положении, а с наклоном. При этом верхний конец ниточки пришёлся точно над центром окружности. Ниточка бежала по окружности всё с тем же наклоном, а когда вернулась к месту своего старта, на сцене стоял остроконечный колпак. Да, да, самый настоящий клоунский колпак! А по-научному -конус.

Ап завизжал от восторга и хотел уже надеть его на голову, но тут Ол схватил турецкий ятаган, размахнулся - и хвать по колпаку! Видно, ему хотелось разрубить конус точно надвое. Но, вместо того чтобы пройти через ось конуса (капитан сказал, что так называется высота конуса, иначе говоря перпендикуляр, соединяющий вершину конуса и центр его основания), лезвие скользнуло где-то рядом, параллельно оси колпака.

Ну, Ол, понятно, рассердился и стал махать своим ятаганом как бешеный, а в это время Ап заменил рассечённый конус целым, и Ол снова рассек его, но уже в другом направлении. Ап опять заменил рассечённый конус новым...

Так продолжалось довольно долго, и всякий раз ятаган рассекал конус по-другому и от него отскакивал кусок другой формы. В конце концов мне это надоело.

- Не пойму, с чего он так прицепился к этому колпаку? - сказал я с досадой.

Но оказалось, что Ол машет своим ятаганом не без смысла. Он хочет показать, что каждое новое сечение образует на поверхности конуса другую кривую.

Если рассечь конус параллельно оси, чуть отступя от вершины, получится кривая, похожая на подкову с расходящимися концами - её называют гиперболой. Чем конус выше, тем концы гиперболы расходятся больше.

Мы с Пи было подумали, что гипербола получилась бы и в том случае, если бы Ол не промахнулся и рассек конус точно по его оси. Но оказалось, ничего подобного. При этом получается обыкновенный равнобедренный треугольник. Каждая боковая сторона у него - образующая конуса, а основание - диаметр окружности, то есть направляющей.



А вот если рассечь конус параллельно образующей, получится кривая под названием парабола. Она тоже похожа на подкову, только концы её почти параллельны друг другу.

Если же косым ударом отсечь у конуса верхушку, то кривая на поверхности получится замкнутой, яйцеобразной. И такую кривую называют эллипсом.

Но самое забавное случилось тогда, когда ятаган Ола отсек верхушку конуса параллельно основанию. На сей раз кривая на поверхности оказалась окружностью.

- Теперь вы видите,- сказал капитан,- что форма кривой всякий раз меняется в зависимости от наклона ятагана а лучше сказать - от наклона сечения. И вот почему кривые эти называются кривыми конических сечений, а представление нынешнее - коническим дуэтом.

- Остаётся выяснить одно,- сказал Пи.- Почему представление началось в 18.00 по пергскому времени?

- А потому, что теорию конических сечений разработал один из величайших геометров Древней Греции - Аполлоний Пергский, - объяснил капитан. - И вот, кстати, отчего клоуны отщипнули себе по кусочку его имени: Ап и Ол.

Между тем представление подходило к концу. Ол уже отбросил свой ятаган и снова ухватился за кончик красной ниточки. Когда он её выдернул, остроконечный колпак развернулся, и мы увидели, что конус превратился в сектор круга.

Так мы убедились, что конус, как и цилиндр, в плоскость разворачивается. Не то что полусфера! Уж она-то плоской нипочём не станет... А когда конический дуэт окончился, капитан сказал, что с одним из конических сечений нам ещё предстоит познакомиться поближе. Только уже не сегодня, а завтра. Как говорится, хорошенького понемножку...


От конического до космического - один шаг

30 нуляля
Завтра! Если бы я знал, что со мной случится завтра, я бы не спал так спокойно.

И вот он наступил, самый замечательный день в моей жизни! День, о котором только и говорить, что стихами.


Я упаду! Друзья! Держите!
Фрегат давно исчез вдали...
По эллиптической орбите
Летим, летим вокруг Земли!

Правда, это я уж потом сочинил, а тогда не до стихов было. Мы ведь и в самом деле побывали в космосе -капитан Единица, Пи и я. На корабле "Космос-1".

Скажу не хвастаясь: вёл я себя храбро. Весь полёт просидел как привязанный. Ну да меня ведь и вправду привязали к креслу. И кока тоже. Один капитан остался непривязанным и потому плавал и кувыркался в воздухе вовсю.

Капитан сказал, что если бы не ремни, мы с коком тоже могли бы поплавать, потому что находимся в состоянии невесомости. Иначе говоря, потеряли свой вес. И куда он только девался?

- Вот бы сюда мою маму-Восьмёрку! - вздохнул я.-Она так мечтает похудеть!

- Для этого вовсе не обязательно летать в космос,-возразил Единица.- Вес можно потерять и другим способом.

- Вы говорите о диетическом питании? - спросил Пи (кто о чём, а Пи - о питании!).

- Скорее о лечебной гимнастике,- улыбнулся капитан.- Чтобы стать невесомым, достаточно спрыгнуть... э-э-э, ну, скажем, со шкафа. Ведь всякое тело при свободном падении теряет свой вес.

- А когда же он к нему возвращается? - спросил я.

- Как только на пути падающего тела появляется препятствие, мешающее ему падать дальше,- отвечал Единица.- А попросту -как только грохнешься на пол.

- Не понимаю,- пожал плечами Пи,- вы говорите, что невесомость появляется при свободном падении. Но мыто сейчас никуда не падаем!

Капитан от возмущения даже перевернулся в воздухе:

- Как это не падаем?! Вот именно падаем. Каждую минуту. Каждую секунду. Непрерывно! Потому что нас притягивает Земля. Если бы не земное притяжение, мы давно бы уже улетели к какой-нибудь далёкой звезде. Туда, куда нас вытолкнула ракета.

- Трудно с вами разговаривать! - вздохнул я.- То мы падаем на Землю, то летим туда, куда нас вытолкнула ракета.

- Правильно,- сказал капитан.- Мы одновременно летим в двух направлениях, и оба они противоречат друг другу, вроде бы ссорятся. Ну, а наш космический корабль, чтобы не очень их огорчать, выбирает ни то, ни другое, а третье. Так из двух направлений образуется одно - кривая, по которой мы обращаемся сейчас вокруг Земли. Иначе говоря, орбита корабля.

- Кривая, по которой мы обращаемся вокруг Земли,- задумчиво повторил Пи.- Держу пари, что это окружность.

- Не держи, проиграешь!-сказал капитан.- Потому что это не окружность, а эллипс.

Эллипс! Та самая кривая, что появилась на поверхности конуса, когда Ол отсек от него наискось верхушку. Так вот что имел в виду капитан, когда намекал на более близкое знакомство с одним из конических сечений! Выходит, от конического до космического - один шаг...



- Разумеется,- подтвердил капитан мои рассуждения.- Ведь по эллипсу обращаются не только космические корабли вокруг Земли, но и планеты вокруг Солнца. И не только планеты, но и большинство комет. Правда, люди узнали об этом не сразу. Когда-то, в древности, думали, что Земля неподвижна, а все небесные тела обращаются вокруг неё. Землю тогда считали центром Вселенной. И только в XVI столетии великий польский астроном Николай Коперник открыл, что Земля - такое же небесное тело, как и другие планеты, и что все они с Землёй заодно обращаются вокруг Солнца - каждая по своей орбите. Долгое время учёные, совсем как ты, Пи, считали, что орбиты эти - окружности. Но немецкий астроном Иоганн Кеплер - он жил чуть позже Коперника - установил, что планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам.

- Насчёт планет - понятно,- сказал Пи. - Но меня интересуют кометы. Помнится, вы сказали, что по эллипсам обращаются не все кометы, а только большинство. Значит, остальные всё-таки движутся по окружности?

- Как бы не так! - усмехнулся капитан.- Иные кометы огибают Солнце по гиперболе, а возможно, и по параболе...

- Ого! - ужаснулся Пи. - Хорошо, что наш "Космос- 1" не комета. Не то не видать бы нам больше ни Земли, ни нашего родного Фрегата.

- Да здравствует эллипс! - закричал я и с ходу попросил капитана, чтобы он научил нас чертить эту замечательную кривую.

Капитан, однако, заметил, что чертить эллипс в состоянии невесомости не слишком удобно, и обещал вернуться к этому вопросу в более подходящей обстановке.

Разумеется, он сдержал слово. В точно предусмотренное время "Космос-1" совершил мягкую посадку на палубу Фрегата, и не прошло и часа, как нас пригласили в капитанскую каюту, где приготовлена была чертёжная доска с листом плотной бумаги.

Капитан взял нитку (прямо как клоун Ап!), сделал на обоих концах по узелку, воткнул в каждый узелок по обыкновенной канцелярской кнопке, а кнопки воткнул в бумагу на некотором расстоянии друг от друга, так, чтоб нитка лежала свободно. Потом он выбрал острый карандаш, туго натянул остриём нитку и, не ослабляя натяжения, провёл карандашом по бумаге. Получилась фигура, похожая на куриное яйцо, у которого оба конца тупые.

- Вот вам и эллипс,- сказал капитан. - Примерно такой путь совершает Земля вокруг Солнца.

- А где же тогда находится Солнце? - спросил я. - Наверное, посередине?

- Не угадал,- ответил капитан голосом Апа. - Солнце находится в одном из фокусов эллипса.

- Ха-ха-ха! - закатился я. - Фокусы эллипса! Можно подумать, эллипс работает в цирке.

- Не болтай глупостей,- остановил меня капитан.-Фокусами эллипса называются точки, куда воткнуты кнопки. А "фокус" слово латинское, и означает оно "очаг".

- А что, здорово! - восхитился Пи. - Солнце и в самом деле жаркий очаг, который согревает нашу Землю.

На том и закончился этот конически-космический день.


Трезубец Ньютона и другие

31 нуляля
Мы с коком сидели на корме и болтали о вчерашнем полёте. Но тут откуда-то вынырнул штурман Игрек и заявил, что нечего бить баклуши и не пора ли нам драить палубу?

Сказать по чести, драить палубу - не самое моё любимое занятие, и я сделал вид, что ничего не слышал. Но штурман пригрозил, что если мы немедленно не примемся за дело, так не видать нам праздника света как своих ушей. Ведь сегодня 31 число, предпоследний день месяца нуляля (да, не удивляйтесь: в нуляле 32 дня!), и именно в этот день, вернее, вечер происходят удивительные вещи.

Ничего не поделаешь, пришлось браться за швабру...

Когда свечерело, Фрегат стал на рейд вблизи красивой бухты. Все вышли на палубу. И вдруг высоко в воздухе появилась бесконечная светящаяся проволока. Она ярко выделялась на тёмном небе, разделяя его по горизонтали надвое.

Потом появился обруч, тоже светящийся. Он вскочил на проволоку, и на нём зажглась красная лампочка.

Заиграла музыка, и обруч плавно покатился по проволоке. Он катился всё быстрее и быстрее и вскоре исчез из виду. Зато линия, которую прочертила красная лампочка, так и осталась висеть в воздухе - точь-в-точь бесконечный железнодорожный мост, построенный из красных светящихся арок.

Я удивился: ведь лампочка вращается заодно с обручем -значит, должна вычерчивать в воздухе окружности, а получаются почему-то арки!



Но капитан Единица сразу раскусил, в чём моя ошибка. Оказывается, я не подумал о том, что лампочка не только вращается вместе с обручем, но одновременно движется заодно с ним по прямой. Да, лампочка движется по прямой, а получается при этом кривая, составленная из арок. Чудно! Но ещё чуднее, что кривая эта называется циклоидой. Так же, кстати, как и бухта, где мы остановились.

Капитан сказал, что "циклоида" - слово греческое, которое происходит, в свою очередь, от слова "циклос", по-нашему "круг". Вот почему слово это частенько встречается там, где речь идёт о круговом движении, то есть о вращении. Воздушный вихрь, например, называется циклоном. Ведь вихрь - это кружение воздуха!

А вот прибор для кружения самых маленьких, как говорят, элементарных или простейших частиц материи называется циклотроном. Таких частиц знают уже очень много: электроны, протоны, нейтроны, мезоны... А учёные открывают всё новые и новые. И помогает им в этом циклотрон.

Циклотрон - сооружение, очень похожее на огромную, пустую внутри баранку. Ещё его называют ускорителем. Ведь он заставляет находящиеся в нём частицы материи кружиться с бешеной скоростью! При этом одни частицы бомбардируют другие, разбивают их. И появляются новые, ещё неизвестные частицы материи. А физики изучают их повадки. Хотя многие из этих частиц живут ничтожные доли секунды...

Между прочим, одна из них называется пи-мезон. И можете себе представить, как это обрадовало кока. Ещё бы! Мало того, что имя Пи играет важную роль в геометрии, оно, оказывается, и в физике кое-что значит...

Но вернёмся всё-таки к празднику света.

Пока капитан рассказывал про циклотрон, светящийся обруч, который укатился на восток, успел вернуться обратно, только почему-то уже с запада, и остановился там, откуда начал своё путешествие.

И тут светящаяся проволока исчезла. Обруч повис в воздухе. Красная лампочка на нём погасла, но тут же вспыхнула на другом обруче, поменьше.

Снова заиграла музыка. Маленький обруч вскочил на большой, покатился по нему, и лампочка стала чертить в воздухе светящуюся линию. А когда маленький обруч вернулся на место, в небе светился красивый красный цветок.



Капитан сказал, что эта новая светящаяся кривая называется эпициклоидой. Я уже хотел спросить о смысле этого названия, но не успел, потому что маленький обруч забрался внутрь большого и снова покатился по его окружности. Красная лампочка нарисовала в воздухе ещё одну кривую -гипоциклоиду.

Тогда только капитан разъяснил, что "эпи" по-гречески означает "над", а "гипо" - "под". Когда маленький обруч катится поверх большого, получается эпициклоида, когда внутри него - гипоциклоида.



- Стало быть, надциклоида и подциклоида, - перевёл Пи и тут же озабоченно спросил: - Но как же тогда понимать выражение "в эпицентре событий", которое так часто встречается в газетах?

- В самом деле,- оживился капитан,- в этом не худо бы разобраться. Иные люди очень любят изъясняться научно но нередко употребляют словечки, точного смысла которых не знают. Возьмём фразу: "Мы находимся в эпицентре землетрясения". Что это значит? А то, что мы с вами находимся НАД центром землетрясения, в то время как центр его -где-то ПОД нами, в земных недрах. Выходит, в данном случае частица "эпи" вполне к месту. А вот выражение "мы находимся в эпицентре событий" - это уже бессмыслица. Человек, употребивший его, должен, как минимум, висеть где-нибудь в воздухе, наблюдая оттуда то, что происходит внизу, на земле. Так что лучше уж сказать просто "в центре".А ещё лучше- "в самой гуще событий"...

Когда с эпицентрами было покончено, Пи снова вспомнил об эпициклоидах, а заодно и обо всех светящихся кривых, которые мы только что видели.

- Конечно же,- сказал он,- все они очень красивы, но какой от них прок?

- Очень даже большой,- ответил капитан.-Особенно в технике. Циклоида, например, используется и в автомобиле, и в токарном станке, и в часах, и в лебёдке, которая выбирает наш якорь... Словом, всюду, где нужно заставить вращаться вал. Тут-то и выручают зубчатые колёса - шестерёнки. А изгибы этих зубцов нередко имеют форму циклоиды. Зубья одной шестерёнки попадают между зубьями другой. Происходит сцепление, точнее, циклоидальное зацепление. Одна шестерёнка заставляет вращаться другую, укреплённую на валу. Ну, а вал приводит в движение машину.

Тут нам с коком ужасно захотелось проверить, как шестерёнки зацепляются зубьями, и он растопырил пальцы, а я всунул между них свои. Казалось бы, ясно? Так нет же! Мы стали кататься по палубе, налетели друг на друга, и получилось такое циклоидальное зацепление, что нас насилу расцепили.

А праздник света всё ещё продолжался. Только уже не в воздухе, а на воде, откуда стали появляться различные светящиеся фигуры. Одна - похожая на улитку, другая - на сердце, третья - на трилистник... Всех не упомнишь!

Оказалось, что всё это тоже геометрические кривые. И капитан сказал, что их, как и всякую кривую, легко вычертить в системе координат. Если, конечно, знаешь уравнение этой кривой.

- Выходит, по каждому уравнению можно вычертить кривую? - спросил Пи. - Конечно! - подтвердил капитан.

Но самое интересное, как всегда, произошло напоследок.

Когда все улитки и трилистники погасли, над водой всплыл ярко светящийся трезубец. Ну, я, само собой, подумал, что это трезубец Нептуна и, по правде говоря, струхнул. Старик, чего доброго, опять швырнёт меня в воду, а ночные купания мне не больно по душе!

К счастью, выяснилось, что Нептун тут ни при чём. Трезубец оказался геометрической кривой, уравнение которой нашёл великий английский учёный Ньютон. И вот почему её величают трезубцем Ньютона.. Мне этот трезубец очень понравился, и я его непременно построю. Конечно, не сейчас, а когда-нибудь. Когда смогу разобраться в уравнении Ньютона. Правда, до этого ещё далеко. Зато близко до дома. Ведь завтра мы возвращаемся в Карликанию!



Между прочим, заметили вы, как похожи имена Нептун и Ньютон? Капитан сказал, что когда-то в России Ньютон именовался Невтоном. Так по крайней мере называл его великий русский учёный и поэт Михаило Ломоносов в одном из своих стихотворений. А Невтон - это уже почти Нептун! Так что трезубцы у обоих оказались неспроста.


Прощальная-причальная

32 нуляля
Что со мной происходит? С одной стороны, я чуть не прыгаю от радости, как только вспомню, что скоро буду дома, с другой - едва не плачу при мысли, что должен покинуть Фрегат.

Капитан сказал, что это парадокс. Опять новое слово! Не иначе, какая-то болезнь...

Впрочем, Пи сбегал за словарём и выяснил, что "парадокс" - никакая не болезнь, а просто-напросто греческое слово, которое можно бы перевести как "забавное несовпадение". В общем, нечто неожиданное и даже противоречащее здравому смыслу.

Ну, с несовпадением я ещё кое-как примирился, но почему оно забавное? Что, например, забавного в разлуке? Что забавного в том, что, получая одно, непременно теряешь другое? И почему это нельзя быть дома и на Фрегате одновременно?

Все эти мысли так меня расстроили, что я и впрямь чуть не заревел. Но тут вдали показалась бухта А - та самая, откуда началось наше плавание, и слёзы мои высохли сами собой.

Капитан в последний раз пригласил нас на свой мостик и произнёс прощальную речь:

- Друзья мои, вот и подошёл к концу славный месяц нуляля, а вместе с ним и наше плавание. За это время вы многое увидели и многое узнали. И всё же не мешает вам запомнить, что это лишь капля в море, именуемом Геометрией. Ведь мы только и успели слегка оглядеться во владениях Эвклида, и до настоящего знакомства с ними нам ещё далеко. А уж за границы эвклидовой геометрии мы и вовсе не заглядывали! Между тем есть в математике и такие области, где действуют совсем другие законы. Так, например, сумма углов треугольника там вовсе не равна 180 градусам. Да и в ходу там совсем иные теоремы, иные формулы. Это владения других, неэвклидовых геометрий, а в них не так-то легко разобраться! Возможно, когда-нибудь мы и отправимся туда на нашем Фрегате, но уж во всяком случае не прежде, чем ты, Нулик, и ты, Пи, благополучно окончите десятилетку. Ведь для того чтобы как следует освоиться с новыми, неэвклидовыми геометриями, надо хорошенько изучить старую, эвклидову. Так что работы у вас впереди достаточно. А посему позвольте пожелать вам удачи и... До новых встреч!

Тут капитан обнял каждого из нас и потихоньку смахнул слезу. Затем подошёл штурман Игрек. Он тоже обнимал нас и смахивал слёзы. Потом нас обнимал и обливал слезами весь экипаж. Неудивительно, что когда всё это кончилось, мы были так же мокры, как в тот раз, когда Нептун швырнул нас в море.

Итак, с прощаньем покончено. Начинаются встречи!

Фрегат уже входит в бухту.

С берега машут платками. А вот и моя дорогая мама-Восьмёрка со Стаксом и Топсом на руках! Грохочет якорная цепь. С пристани доносится троекратное "ура!", и команда Фрегата запевает прощальную-причальную:


Позади все моря-океаны,
Снегопады, и штормы, и зной.
Повидали мы разные страны
И опять возвратились домой.
Но поверьте матросскому слову:
Стоит лишь капитану моргнуть, -
Мы отправиться снова готовы
В дальний путь!
В дальний путь!
В дальний путь!

На том заканчивается мой судовой журнал. Надеюсь, вы прочтёте его не без пользы и удовольствия. Если у вас возникнут какие-нибудь вопросы, напишите. Непременно напишите! Особенно про то, как вы решили задачи.

Мой адрес: государство чисел Карликания, город Арабелла, Восьмая улица... Впрочем, все это я уже говорил в самом начале. Да и вообще, пишите мне лучше по адресу: 107078, Москва, ул. Басманная, д. 23, стр. 2, комн. 213, Издательский дом Мещерякова. Так-то будет вернее. Гуд бай!





Оглавление

  • Три дня в Карликании
  •   День первый
  •     В путь!
  •     Арабелла
  •     Самое древнее государство
  •     Яблоневый сад
  •     Таинственные знаки
  •     Площадь добрых напутствий
  •     Балет на льду
  •     Первое знакомство
  •     Чудесные признаки
  •     Неожиданное огорчение
  •   День второй
  •     Простота…
  •     …И совершенство
  •     Развалины Рима
  •     Интересные находки
  •     Музей Пушкина
  •     Любители поспорить
  •     Смертельный атракцион
  •     Нашёлся!
  •   День третий
  •     Спичечный коробок
  •     Нулики снова шалят
  •     Зеркальная улица
  •     Подземная дробилка
  •     Н.Р.В.В
  •     Космос в комнате
  •     Дорога светлого разума
  • Черная Маска из Аль-Джебры Путешествие в письмах с прологом
  •   Пролог Снова в Карликании!
  •   Тайна зеленого стручка
  •   Погоня
  •   Переход (Олег — Нулику)
  •   Обжоры (Сева — Нулику)
  •   Воздушная монорельсовая дорога (Таня — Нулику)
  •   Школа на числовой площади (Нулик — отряду РВТ)
  •   Правила движения (Олег — Нулику)
  •   Центральный Парк Науки и Отдыха (Сева — Нулику)
  •   Нулики подрались (Нулик — отряду РВТ)
  •   В тесноте, да не в обиде (Таня — Нулику)
  •   Молотобойцы (Сева — Нулику)
  •   Нулик-пограничник (Нулик — отряду РВТ)
  •   Карнавал (Олег — Нулику)
  •   Круг почета (Таня — Нулику)
  •   Разноцветные береты (Нулик — отряду РВТ)
  •   Репортаж со стадиона (Сева — Нулику)
  •   Пекари-жонглеры (Снова Сева — Нулику)
  •   Лично Севе от Нулика
  •   «Абракадабра» (Олег — Нулику)
  •   Горячо — Холодно (Сева — Нулику)
  •   Старый знакомый (Таня — Нулику)
  •   Последняя калитка (Нулик — отряду РВТ)
  •   Простота и невероятность (Олег — Нулику)
  •   Новые открытия Нулика (Нулик — отряду РВТ)
  •   Волшебная практика (Сева — Нулику)
  •   Весовая (Таня — Нулику)
  •   Аль-Джебр! (Сева — Нулику)
  •   Вверх-вниз! (Олег — Нулику)
  •   Мнимая карусель (Таня — Нулику)
  •   Аль-Мукабала! (Сева — Нулику)
  •   У цели (Олег — Нулику)
  •   Пончик на крючке (Нулик — отряду РВТ)
  •   Тайна раскрыта! (Таня — Нулику)
  •   В глубь Аль-Джебры! (Отряд РВТ — Нулику)
  • Нулик-мореход
  •   Смелость + находчивость = удача
  •   Лиха беда начало!
  •   Тень на плетень
  •   Вдоль берега точных доказательств
  •   День рождения капитана
  •   Бег на длинную дистанцию
  •   У праздничка
  •   Бесподобные отношения
  •   Пропащий остров
  •   Чудесная пластинка
  •   Обезьяньи гонки
  •   Операция "Объемкость"
  •   У открытого корыта
  •   Тьфу-тьфу, не сглазить!
  •   Циркуль, линейка, голова
  •   Порт Ариф
  •   Полный назад!
  •   На обратном пути
  •   Телеграмма-молния
  •   Домашние задания
  •   В проливе Бесконечности
  •   Дракон Архимеда
  •   Конический дуэт
  •   От конического до космического - один шаг
  •   Трезубец Ньютона и другие
  •   Прощальная-причальная