Гаусс. Биографическое исследование [Вальтер Кауфман Бюлер] (pdf) читать онлайн

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


 [Настройки текста]  [Cбросить фильтры]

КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС
(1777— 1855)

В.БЮЛЕР

ГАУСС
БИОГРАФИЧЕСКОЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ

ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО А Л . ТООМА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ С.Г. ГИНДИКИНА

МОСКВА ’’НАУКА”
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1989

Б Б К 22.1г
Б98
УДК 51 (091)

W.K. Biihler
Gauss
A biographical study
Springer-Verlag
Berlin —Heidelberg - New York
1981

Б ю л e p В. Гаусс. Биографическое исследование: Пер. с англ.
А Л . Тоома / Под ред. С.Г. Гиндикина. —М.: Наука. Гл. ред. физ.мат. лит., 1989. - 208 с. - ISBN 5-02-013919-Х.
Впервые на русском языке издается книга, специально посвященная жиз­
ни и творчеству К.Ф. Гаусса (1777-1855) - одного из величайших матема­
тиков в истории человечества. Автор не стремился написать всеобъемлю­
щую научную биографию, ориентированную на узкий круг специалистов.
Его цель - нарисовать живой портрет ученого и человека. Много внимания
уделяется историческим событиям, на фоне которых протекала нелегкая
жизнь ученого.
Для студентов, преподавателей, научных работников и всех, кто любит
’ математику и ее историю.
Научное издание
Бюлер Вальтер Кауфман
ГАУСС
Биографическое исследование
Заведующий редакцией С.И. Зеленский. Редактор В.В. Донченко
Художественный редактор Т.Н. Колъченко
Технические редакторы С.В. Геворкян, СМ. Баронина
Корректоры Н.П. Круглова, Т.В. Обод
Набор осуществлен в издательстве на наборно-иечатающих автоматах
ИБ №41010
Сдано в набор 05.06.89. Подписана к печати 11.08.89
Формат 60 X 88/16. Бумага кнюкно-журнальная. Гарнитура Пресс-Роман
Печать офсетная. Уел. печ. л. 12,М. Уел. кр.-отт. 13,11. Уч.-йзд. л. !4ДЭ
Тираж 22400 экз. Тип. зак. U2& • Цена 1 р.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство ’’Наука”
Типография им. Котлякова
издательства ’’Финансы и статистика”
Государственного комитета СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
195273 Ленинград, ул. Руставели, 13
1602010000-120
053 (02)-89

@
©

ISBN 5-02-013919-Х

1981 by Springer-Verlag
New York Inc.
"Наука”. Физматлит,
предисловие редактора перевода,
перевод на русский язык, 1989

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА........................................
ПРЕДИСЛОВИЕ...............................................................................................................
ВВЕДЕНИЕ.................................................................. л ................................................

5
7
9

Глава 1
ДЕТСТВО И ЮНОСТЬ, 1777-1795 .......................................................................
Дополнение I
Политическая и социальная ситуации.................... ......................................... . . . .

12
17

Глава 2
СТУДЕНЧЕСКИЕ ГОДЫ В ГЕТТИНГЕНЕ, 1795-1798........................................

22

ДополнениеП
Организация Собрания трудов Гаусса.........................................................

24

Глава 3
ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ..................................................................
Дополнение П1
Влияние арифметических работ Гаусса............................................................ . . . »

27
43

Глава 4
ВОЗВРАЩЕНИЕ В БРАУНШВЕЙГ.

ДИССЕРТАЦИЯ.

ОРБИТА

ЦЕРЕРЫ

46

ЖЕНИТЬБА. ДАЛЬНЕЙШАЯ ЖИЗНЬ В БРАУНШВЕЙГЕ...................................

55

Дополнение IV
Политическая ситуация в Германии в 1789-1848 г о д а х ........................................

61

Глава 5

Глава 6
СЕМЕЙНАЯ ЖИЗНЬ. ПЕРЕЕЗД В ГЕТТИНГЕН....................................................

66

Глава 7
СМЕРТЬ ИОГАННЫ И ВТОРОЙ БРАК. ПЕРВЫЕ ГОДЫ ПРОФЕССОРСТВА
В ГЕТТИНГЕНЕ............................................................................. .. ............................

71

Дополнение V .
Секция VII ’’Арифметических исследований” .........................................................

78

1*

3

Дополнение VI
Стиль Гаусса................................................................................ * ..................................

Глава 8
АСТРОНОМИЧЕСКИЕ РАБОТЫ. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.......................

87

Дополнение VII
Модулярные формы. Гипергеометрическая функция............................., ..............

96

Глава 9
ГЕОДЕЗИЯ И ГЕОМЕТРИЯ.........................................................................................

99

Глава 10
ПРИГЛАШЕНИЕ В БЕРЛИН И ОБЩЕСТВЕННАЯ РОЛЬ ГАУССА. КОНЕЦ
ВТОРОГО БРАКА..........................................................................................................

115

Глава 11
ФИЗИКА........................................................................................................ ................

126

Дополнение VIII
Личные интересы Гаусса после кончины его второй жены .....................................

136

Глава 12
ГЁТТИНГЕНСКАЯ СЕМЕРКА......................................................................................

140

Дополнение IX
Метод наименьших квадратов......................................................................................

143

Глава 13
РАБОТА С ЧИСЛАМИ. ДИОПТРИКА.......................................................................

147

Глава 14
1838-1855 ГОДЫ ..................................... ....................................................................

151

Глава 15
СМЕРТЬ ГАУССА.............................................................................................................

159

Дополнение X
Эпилог................................................................................................................................

161

Приложение А
Организация Собрания трудов Гаусса..................................... ....................................

163

Приложение В
Обзор вторичной литературы.........................................................................................

166

Приложение С
Указатель работ Гаусса........................................ ..................................................... .. *

171

ПРИМЕЧАНИЯ.................................................................... .......................................... ....... 181
БИБЛИ О ГРАФ И Я......................................................................................................... ....... 20!
Переписка.......................................................................................................................... ....... 201
Основные издания на русском языке трудов Гаусса и трудов, посвященных
его жизни и творчеству............................................................................................................203
УКАЗАТЕЛЬ.....................................................................................................................
205
4

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА

Личность Карла Фридриха Гаусса (1777-1855) интересует и профессио­
нальных математиков и любителей математики. Один из величайших мате­
матиков всех времен, в девятнадцать лет решивший проблему построения
правильного семнадцатиугольника циркулем и линейкой (стоявшую перед
математикой две тысячи л ет), через несколько дней доказавший квадра­
тичный закон взаимности — ’’золотую” теорему (что не удалось сделать
Эйлеру, Лагранжу, Лежандру), за два-три следующих года систематически
разработавший арифметику и алгебру настолько глубоко и далеко, что их
судьба была определена на сто лет вперед, затем обратившийся к анали­
зу и быстро увидевший основные моменты невиданной аналитической тео­
рии - теории эллиптических ф ункций... А потом он (в 25 лет!) факти­
чески прекращает занятия математикой, медлит с публикацией резуль­
татов об эллиптических функциях (через 30 лет их переоткрыли Якоби
и Абель), становится великим астрономом, затем геодезистом и физи­
ком. Но, сохраняя интерес к математике, лишь однажды на короткое
время (в связи с геодезией) Гаусс обратится к геометрии и заложит ос­
новы современной дифференциальной геометрии. А лотом выяснится,
что Гаусс первым открыл неевклидову геометрию, но не опубликовал
результатов, став свидетелем ее переоткрытия Бояи и Лобачевским. Мы
видим, что жизнь Гаусса содержит немало моментов, о которых можно
иметь мнение, не тратя силы на знакомство с его работами. Почему он
не опубликовал свои результаты, и имел ли он на это моральное право,
как он должен был вести себя по отношению к Абелю - Якоби, Бояи Лобачевскому? Эти сюжеты удачно дополнялись многочисленными анек­
дотами, в том числе историями о математическом детстве (о поразитель­
ных способностях к счету в раннем детстве, еще до того как он ’’научил­
ся говорить”) , историей о переоткрытии формулы для суммы арифмети­
ческой прогрессии, которые любил рассказывать в старости сам Гаусс
(как и многие другие великие ученые, например Галилей).
5

В книге Бюлера собран огромный фактический материал о жизни Гаус­
са в объеме, прежде не доступном советскому читателю (если он не яв­
ляется, конечно, профессиональным историком математики). Автор сам
много говорит о возможных жанрах научных биографий. На одном полю­
се находятся большие академические биографии с полным набором фак­
тов и мелких деталей (при неудачном исполнении превращающиеся в их
кладбищ е), на другом — популярные, часто беллетризованные биографии,
в которых читателю сообщается сложившаяся у автора версия с привле­
чением цитат и ссылок для иллюстрации, но не для доказательств.
Жанр, к которому относится книга Бюлера, занимает среднее положе­
ние. Она адресована не только профессионалу, отбор материала соответ­
ствует сложившемуся у автора образу героя, но все утверждения форму­
лируются аккуратно со ссылкой на содержащийся в книге документаль­
ный аппарат. Читатель имеет возможность оценить доказательность заклю­
чения автора. Например, меня не убедили доводы автора, опровергающие
принятое мнение (Сарториуса и Клейна) о том, что Гаусс в Брауншвейге
практически не имел доступа к серьезной математической литературе.
Один пример авторской манеры изложения. Он предполагает, что мать
Гаусса не умела писать, приводит отрывок из письма Гаусса к жене (вто­
рой) от 1810 г., где упоминается, что мать не может читать рукописный
текст, но сам предостерегает, что это могло быть связано с возрастным
ухудшением зрения. Заметим, что в бедной биографиями отечественной ли­
тературе книги, написанные в такой манере, практически отсутствуют.
В книге Бюлера три слоя: много места уделяется описанию историче­
ского фона, на котором проходила жизнь Гаусса, далее, имеется описа­
ние собственно жизни ученого и, наконец, обсуждаются его работы. По
моему мнению, наименее удалось автору последнее: он не смог найти
в этой части правильной тональности и не всегда понятно, какому чита­
телю адресованы пересказ и формулировки результатов. Возможно, бо­
лее уместным было бы адаптированное изложение хотя бы некоторых
результатов Гаусса (например, построение правильного 17-угольника).
Что же касается жизни Гаусса, то читатель получает большой, хорошо
продуманный* материал. Я не разделяю распространенного мнения, что
жизнь ученого — это его работы и что не следует углубляться в обстоя­
тельства его личной жизни. Проблемы взаимоотношения с обществом
великого ученого с его постоянными интеллектуальными перегрузка­
ми и погружением во внутренний мир — достаточно поучительный и до­
стойный предмет. Книга Бюлера хорошо это иллюстрирует.
Вальтер Кауфман Бюлер умер, когда готовилось русское издание его
книги. Специальный номер журнала ’’Mathematical Intelligencer” был посвя­
щен его памяти. Крупнейшие математики отмечали его заслуги в мировой
математической жизни, прежде всего, в издании математической литерату­
ры: на протяжении многих лет он руководил американским отделением изда­
тельства Шпрингер. Грустно, что автор не увидит издания своей книги на
русском языке, которого он с нетерпением ожидал.
6

ПРЕДИСЛОВИЕ
Ргосгеаге iucundum,
sed parturire molestum. *

(Гаусс, по словам Эйзенштейна)

План этой книги зародился восемь лет назад. Рукопись медленно меня­
лась, пройдя несколько стадий, пока не приняла свой нынешний вид в
1979 году. Вряд ли стоит перечислять имена всех друзей и специалистов.,
с которыми я обсуждал различные варианты рукописи, но кого мне хо­
чется упомянуть — это мистер Гэри Корнелл, который не только обсуж­
дал со мной многие детали рукописи, но и правил ее стиль.
Интерес к жизни Гаусса широко распространен в математическом ми­
ре, и оказанной мне великодушной помощью я, конечно, обязан скорей
этому, чем любым достоинствам или недостаткам моей рукописи. За
все фактические неточности, ошибки в суждениях и другие недостатки,
конечно, отвечает автор. Самые рискованные и, в некотором смысле, са­
мые легкие решения, которые мне пришлось принять, — те, что были обу­
словлены моим личным вкусом в выборе и освещении тем. Многое при­
шлось опустить или обсудить лишь мимоходом.
Николаус фон Фусс, небезызвестный тем, кто изучает жизнь Гаусса,
начинает свою ^Хвалебную речь Эйлеру” (Lobrede auf Herrn Euler) (Эйлер*
Труды, I) с замечательного описания задачи биографа: ’’Описывать жизнь
великого человека, прославившего свой век значительной степенью про­
свещенности, —значит превозносить человеческий ум ” .**
Эта биография — попытка следовать программе Фусса, хоть я и не знаю,
подписался ли бы Гаусс под его просвещенным заявлением. Он не стай
бы, надеюсь, возражать против него в применении к жизни самых вели­
ких, Архимеда и Ньютона.
В этой книге много цитат, даже длинных отрывков из работ Гаусса.
Сначала я собирался дать их на языках оригинала, но потом меня убе­
*Творить приятно, но рождать мучительно {дат.). - Примеч. ред.
**Далее Фусс приводит обширный список требований, которым должен удовлет­
ворять биограф. Я не могу не согласиться с ним; но не могу похвастаться знанием
всего, что требует знать Фусс.
7

дили перевести их на английский.* Их стиль от этого не стал лучше, пото­
му что Гаусс писал по-немецки ясно и очень энергично — kraftvoll, как
сказали бы по-немецки. Оригинальные тексты почти всех цитат можно най­
ти в примечаниях в конце книги.
Наконец, с удовольствием выполняя свой долг, я благодарю те библио­
теки, чьими превосходными услугами я мог пользоваться в процессе ра­
боты: библиотеку Института математических наук им. Куранта Нью-Йорк ского университета, Публичную городскую библиотеку Нью-Йорка и Нижне-Саксонскую государственную библиотеку (Niedersachsische Staatsbibliothek) в Гёттингене, где хранится архив Гаусса.
Эта книга посвящается моей жене, никогда не проявлявшей ревности
к старшему сопернику.
Март 1981.
Гора Киско, Нью-Йорк

* В данном издании они переведены на русский.

В.К. Бюлер

ВВЕДЕНИЕ

В 1977 году исполнилось двести лет со дня рождения Гаусса; в 1980-м
году состоялась 125-я годовщина со дня его смерти. Таким образом, об­
стоятельства, сформировавшие Гаусса, восходят к давнему прошлому —
к далекому от нас миру 18-го века и первых десятилетий 19-го. Понять
эти времена теперь нелегко.
Писать биографию Гаусса будет все труднее с каждым годом. Придет­
ся привлекать все больше и больше дополнительного материала и все
больше объяснять читателю, чей исходный круг интересов, возможно,
не будет включать историю. Пожалуй, именно сейчас мы достигли крити­
ческой точки: через несколько лет мир очень изменится, и следы века Про­
свещения и эпохи романтизма больше не будут восприниматься как часть
нашего наследия.
Эта книга описывает жизнь математика и ученого Карла Фридриха Гаус­
са. Гаусс жил в эпоху, исключительно богатую политическими и социаль­
ными событиями, даже по сравнению с нашим переменчивым и бурным
веком. Ему было 12 лет, когда разразилась Французская революция, 29,
когда была распущена казавшаяся вечной тысячелетняя Священная Рим­
ская империя, 38, когда был разгромлен Наполеон, и за 70, когда в са­
мой Германии произошла либеральная революция 1848 года. В тот же про­
межуток времени произошла так называемая первая промышленная ре­
волюция, резко и необратимо изменившая и быт и политический и социаль­
ный порядок. Ясно, что все это влияло на жизнь Гаусса явным и ощути­
мым образом. Были очевидные моменты — такие, как осуществление ра­
нее невозможных крупномасштабных и эффективных научных экспери­
ментов или совершенствование телескопов и других оптических инстру­
ментов, но мы встретим и более тонкие эффекты — такие, как послед­
ствия замены старого феодального порядка абсолютистскими правитель­
ствами ’’нового стиля” в Германии, и все больший комфорт в повсе­
дневной жизни.

Эта биография адресована современному математику и ученому, а
не историку науки или психологу, коллекционирующему скальпы ве­
ликих людей. Ее скромная цель не в том, чтобы написать биографию Гаус­
са в ее окончательном виде. В то же время было бы нескромно или даже
претенциозно специально выискивать в жизни и работе Гаусса такие ас­
пекты, которые бьрш бы занимательны и пришлись бы по вкусу читате­
лю, не слишком интересующемуся историей и не видящему причин, по­
чему он должен ею интересоваться.
Деятельность Гаусса, особенно в математике, и сегодня жива и пред­
ставляет научный интерес. Ее имеет смысл изучать не только из любо­
пытства, но и как глубокий источник вдохновения. Гаусс глубоко разо­
брался в таких вопросах, которые даже сегодня еще не поняты до кон­
ца. Хорошая научная работа, особенно в математике, не стареет. В этом
внутренняя причина нашего интереса к Гауссу; стараться понять его идеи
и его жизнь небессмысленно и небезнадежно. Эта биография была заду­
мана как путеводитель по области, куда нелегко войти, где нет еще хо­
роших карт местности, но которая способна к щедрой награде.
Чтобы быть полезным, руководство должно быть избирательным. Чи­
татель, хотя не будучи полностью во власти руководства, должен иметь
доверие к его сведениям, и что еще важнее, к его вкусу. При написании
этой книги я систематически избегал общих слов: образ мыслей Гаусса,
его работа и отличия того и другого от его предшественников и совре­
менников показываются на конкретных примерах. Решение, что включить,
а что опустить, часто было произвольным, и многие важные результаты
не могли быть упомянуты. Мы надеемся, что общая картина получилась
удовлетворительной, несмотря на многие возможные несоответствия,
пропуски и мелкие ошибки.
Личная судьба Гаусса, его непрерывное развитие в почти всегда добро­
желательной и готовой помочь среде совершенно исключительны для
Германии. Это представляет определенный интерес для историка, но это
должны иметь в виду и те, для кого исторические аспекты жизни Гаус­
са не стоят на первом месте. Отсутствие препятствий повлияло на дей­
ствия Гаусса несколько раз на протяжении его карьеры и развития; более
того, это заметно повлияло на образ его мыслей. Что Гаусс ’’выпадает”
из интеллектуальной картины Германии 18- и 19-го веков, это ясно; то,
что его путь был так исключительно гладок, может быть одной из причин
того, почему прежняя литература о нем страдает таким недостатком пони­
мания многих вненаучных аспектов жизни Гаусса.
Из посмертной литературы о Гауссе два самых важных и полезных про­
изведения связаны с именем Феликса Клейна. Одно - это обзор научной
деятельности Гаусса, сделанных Клейном в его лекциях о развитии ма­
тематики в 19-м столетии, второй - это собрание очерков, которые по
инициативе Клейна были включены в X и XI тома Академического изда­
ния трудов Гаусса. Работа Клейна и эти очерки обсуждаются в эпилоге и
в одном из приложений к этой книге.
10

Первоначально предполагалось сопроводить собрание трудов Гаусса
его биографией, но эта часть плана Клейна не была осуществлена, как и
полный указатель, который также планировалось издать.
В этой книге очень мало такого, что не было бы уже известно специа­
листу. Практически вся имеющаяся здесь информация может быть найдена
в опубликованных источниках. Собрание трудов Гаусса достаточно полно;
большая часть корреспонденции Гаусса, относящейся к делу (и масса
не относящейся к делу) опубликована. Об источниках, первичных и вто­
ричных, говорится также в двух из трех приложений к этой книге.
Эта биография никогда не могла бы быть написана без обширной вторич­
ной литературы, касающейся жизни и творчества Гаусса (ср. в этой свя­
зи мое замечание в начале Библиографии). Работа Клейна и очерки, опу­
бликованные в тт. X, XI Собрания трудов Гаусса, уже упомянуты; еще
один незаменимый источник — это биография Г.У. Даннингтона
”К.Ф. Гаусс — титан науки” (1955). В ней содержится невероятное коли­
чество материала, результат десятилетий работы.
В силу особенностей этой биографии было трудно оценить, какой сте­
пени обоснованности или детальности читатель ждет или хочет. Различные
подстрочные примечания, сопровождающие текст, дают интересующему­
ся читателю ссылки, а иногда дополнительную информацию. Торопли­
вые и доверчивые могут не обращать на них внимания.
Естественно, что многое из того, что говорится, не получает здесь обосно­
вания, но я постарался снабдить оговорками большинство наиболее рис­
кованных утверждений.

ГЛАВА 1

ДЕТСТВО И ЮНОСТЬ, 1777—1795
О
детстве и юности Гаусса известно очень мало характерного и интерес­
ного. В основном нам приходится довольствоваться формальными биогра­
фическими данными плюс информация того рода, какую можно вьюестииз
общего знакомства с социальной и политической ситуацией того време­
ни. Наш единственный крупный источник конкретных сведений о Гауссе —
это он сам; истории его детства, которые он любил рассказывать в ста­
рости, были сохранены и переданы его учениками и друзьями 1 и теперь
прочно вошли в сложившийся образ Гаусса. Многие их этих рассказов
невозможно подтвердить, да и серьезного интереса они не представляют.
Позднейшие исследования открыли некоторые детали происхождения
семьи Гаусса и судьбы некоторых его родственников. Кульминацией этих
усилий стало обширное генеалогическое древо, простирающееся в такие
области, как американский Средний Запад и пригород Бруклина; в прида­
чу к прямым родичам и потомкам Гаусса, оно включает много дальних
и даже сомнительных, разве что потенциальных, ветвей. В Германии со­
хранилось немного прямых потомков Гаусса, но в Соединенных Штатах
семья, видимо процветает.2
Иоганн Фридрих Карл Гаусс родился 30 апреля 1777 года. Он был, на­
сколько известно, единственным ребенком четы, состоявшей из Гебхарда
Дитриха Гаусса, родившегося в 1744 году, и Доротеи Бензе, бывшей на
год старше мужа. Был другой мальчик, несколькими годами старше, сын
отца от первого брака .3 Семья отца Гаусса, из мелких фермеров, перееха­
ла в город Брауншвейг около 1740 года, сменив жизнь батраков или ф ак­
тически бесправных сельских хозяев да столь же бедное, но сулившее
хоть какие-то надежды существование ’’полуграждан” Брауншвейга, глав­
ного города герцогства Брауншвейг-Вольфенбюттель. Как и многим
другим тогдашним пришельцам из деревни, этот переезд дал семье
Гауссов надежду на постепенное улучшение судьбы и на более свет­
лое будущее. Не было легкого способа улучшить свою участь; средневе12

ковые гильдии (Z linfte), державшие в своих руках ремесла, тем са­
мым контролировали в большой степени и жизнь города и не допуска­
ли экономических новшеств. Они были закрыты для пришельцев,
и даже спустя поколение отец Гаусса не смог в них вступить и вы­
нужден был пробавляться неблагодарными случайными заработками:
то в саду, то на канале, то уличным мясником, то бухгалтером похорон­
ного общества .4
Одной из первых важных задач семьи было приобрести собственный
дом. Только владелец дома, расположенного в пределах города, мог стать
полноправным горожанином со всеми соответствующими правами и при­
вилегиями . 5
Через несколько лет после того как дом был приобретен, мир, в кото­
ром Карл Фридрих родился, перестал существовать. Это была внезапная
и неожиданная катастрофа, когда германские государства, включая Браун­
швейг, были опустошены победоносными армиями революционной Фран­
ции. 1780-е годы, в которые рос Гаусс, не обещали иного или лучшего
будущего.
Карл Фридрих Гаусс родился в маленьком доме на улице Венденграбен.
Позже дом стал числиться под номером 30 по Вильгельмштрассе.6 Через
несколько лет после рождения сына родители уехали из этого дома, с к о ­
торым связана одна из хорошо известных историй о детстве Гаусса, со­
гласно которой будущий князь математиков чуть не утонул в близлежа­
щем канале в возрасте трех-четырех лет.
И отец и мать Гаусса были не очень-то образованными: отец, судя по
тому, кем он работал, хотя бы умел читать и писать; кроме того, он вла­
дел элементарной арифметикой. Мать, вероятно, умела читать, но не пи­
сать.* Гаусс, как кажется, не был особенно близок с отцом, и мы знаем
из поздних замечаний, что он считал свою одаренность унаследованной
от матери. В 1817 году, после смерти мужа, она переехала в Гёттинген и
жила в доме сына, пока не умерла в 1839 году в возрасте 96 лет. Доро­
тея Гаусс происходила из семьи каменщиков и попала в Брауншвейг в
1769 году. Ее предки, как и предки ее мужа, жили к северу от города.
Первая жена Карла Фридриха, видимо, была знакома с его матерью еще
раньше, быть может, с тех времен, когда Доротея, еще до замужества,
работала служанкой у семьи Риттер. Можно предположить, что истории
о своем детстве7 и сведения о родственниках Карл Фридрих узнавал
в основном от матери.
/
Достоверная информация, дошедшая до нас, начинается с 1784 года,
когда Карл Фридрих впервые пошел в школу. Сам факт, что он учился
*Письмо Гаусса его будущей второй жене (см. с.
тельную информацию. Мы знаем, что Доротея Гаусс не
написанный от руки, в 1810 году, но это может быть
ее старческой слепоты. Выводить отсюда большее —

74) дает дополни­
могла читать текст,
ранним симптомом
пустая спекуляция.
13

в школе, неудивителен: дети, жившие в больших городах, в то время обыч­
но имели такую возможность .8 Но мальчику исключительно повезло в
другом: судя по всему, ему попался знающий и заботливый учитель. Бюттнер заинтересовался мальчиком, стараясь помочь ему и подбодрить его.
Теперь нетрудно себе представить, чем блестящий Гаусс мог выделиться
на фоне других учеников. Но тогда его надо было заметить среди пяти­
десяти с лишним детей разных возрастов и различной подготовки, сидев­
ших в одной комнате. Есть данные о том, что Гаусс пришел в школу, уже
научившись читать и писать, причем безо всякой помощи со стороны ро­
дителей . 9 Едва трех лет от роду он уже умел считать и выполнять эле­
ментарные вычисления. Бюттнер очень заинтересовался маленьким Гаус­
сом: в 1786 году он получил из Гамбурга специальный арифметический
текст для необычного ученика, уже знавшего стандартные пособия вдольи поперек. Ассистентом Бюттнера в эти годы был Мартин Бартельс (1769—
1836), позже профессор математики Казанского университета, бывший
лишь восемью годами старше Гаусса. Он быстро распознал гений Гаусса*
и стал уделять маленькому ученику особое внимание. Мы не знаем, как
родители поощряли своего одаренного сына, и поощряли ли вообще;
времена, при тогдашней нужде и бедности, были утилитарные и не спо­
собствовали тому, чтобы ценить школьную учебу и академические успе­
хи. Доброжелательное, хотя и безучастное удивление родителей хорошей
учебой сына уж, конечно, не было связано с надеждами на его успех в
жизни. В их узком и ограниченном мире для сына поденщика могли най­
тись, по правде говоря, дары поважнее и более обещающие, чем забав­
ная способность к счету и арифметике.
Карл Фридрих покинул маленький родительский мир в 1788 году, ког­
да с помощью Бюттнера поступил в школу следующей ступени. В этой
новой школе были упорядоченные и регулярные лекции; впервые Гаусс
учился в классах разумной численности, с соучениками одного возраста
и уровня знаний. Впрочем, состав предметов был старомоден и однобок
даже для того времени, с чрезмерным упором на древние языки, особен­
но латынь.
Таким образом, большая часть того, что оказалось решающим для даль­
нейшего развития Гаусса, произошла уже к концу 1780-х годов, задолго
до того, как рухнул старый политический и социальный порядок. Гауссу
было 12 лет, когда началась Французская революция, и около 30, когда
ее последствия коснулись Германии. Лишь после 1806 года общество
стало более демократично; к этому времени Гаусс в социальном плане
был уже сформировавшейся личностью. Его кругозор был, несомненно,
узок; с его собственной точки зрения, так же как и с точки зрения его
родителей, его ранние школьные успехи немногого стоили. Можно было
думать только о том скромном и убогом достатке, на какой рассчиты­
вали его отец и его старший брат, ставший ткачом. В лучшем случае мож*Слово ’’гений” было в ходу в то время. См. обсуждение этого слова ниже (с. 20).
14

но было надеяться на не очень-то привлекательную карьеру протестант­
ского пастора или учителя.
Гаусс не терял даром времени в новой школе: он хорошо выурш ла-Л
тынь, необходимую для дальнейшей учебы и академической карьеры. Кро­
ме того, он освоил официальный верхненемецкий, тот самый язык, на ко­
торый Лютер перевел Библию. До этого Гаусс говорил только на местном
диалекте . 10
В 1791 году Карл Фридрих, в качестве одаренного и многообещающего
молодого горожанина, был представлен государю - герцогу БрауншвейгВольфенбюттельскому. Видимо, юноша произвел впечатление на герцога:
тот для начала пожаловал Гауссу стипендию в 10 талеров в год. Награды
такого рода не были необычными в то время, особенно в таких малень­
ких и хорошо управляемых государствах, как Брауншвейг. Их следует
рассматривать как зачатки сегодняшнего официального и регулярного
финансирования ученых. Без них социальные барьеры были бы непрео­
долимы для одаренных детей из низов; они составляли важный фактор
в развитии эффективной и лояльной гражданской службы, необходимо­
го орудия абсолютистских правительств того времени.
Гаусс никогда не пробился бы без прямой помощи ряда людей, заин­
тересованных в признании его талантов. Самую важную поддержку
оказал советник (H ofrath) фон Циммерман, профессор учебного заве­
дения ’’Коллегия Карла” (Collegium Carolinum), крупный чиновник й
личный доверенный герцога — типичный представитель абсолютистской ад­
министрации. Его благосклонное влияние сопровождало Гаусса до 1806 го­
да, когда государство Брауншвейг-Вольфенбюттель было разрушено На­
полеоном, и за год до того, как Гаусс стал директором обсерватории в
Гёттингене. Сохранилось много свидетельств той благодарности и глу­
бокого уважения, которые Гаусс выражал по отношению к Циммерма­
ну; их примеры можно найти в его переписке с астрономом ОльберсоЦ
позднее выступившим по отношению к Гауссу в той же роли: уже в
1802 году Ольберс предложил Ганноверскому правительству назначить
Гаусса директором обсерватории в Гёттингене.
В 1792—1795 годах Гаусс был учеником новой гимназии — Коллегии
Карла, основанной не ранее, чем за десять лет до этого. Он был принят
туда благодаря своим успехам в учебе. Это было прогрессивное, науч­
но ориентированное учреждение, одно из лучших учебных заведений ё
своем роде, основанное и управляемое непосредственно правительством
и ставшее для него главным поставщиком высококвалифицированных,
лояльных чиновников и военных. Заведения такого типа были нередки
в Германии того времени. Это были школы для избранных, откуда выш­
ли многие известные писатели и ученые 18-го и начала 19-го веков.1'
Семья Гаусса больше ничего не могла сделать для его развития и ин­
теллектуального роста; своими знаниями он был обязан своим учите­
лям и своим способностям. Отдаление от семьи, видимо, не тяготило
Гаусса; кажется, он и не был никогда особенно близок со своими роди15

телями. Знаем мы о его отношении к родителям лишь в зрелом возра­
сте, когда он был очень обособлен: например, он характеризует своего
отца как честного и работящего, но и как узкого и вспыльчивого, и упо­
минает с удивительной прямотой, что у его родителей были несовмести­
мые темпераменты и что их брак был несчастливым .* 1 2 Получить возмож­
ность расширить знания и упражнять ум, должно быть, значило для Гаус­
са все в то время. Школа была в центре его жизни, а все остальные инте­
ресы и требования —в стороне.
Размышляя о школьных успехах Карла Фридриха, мы должны иметь
в виду, что его путь был бы несравненно более трудным, если бы он не
выучился так хорошо латыни и греческому. Без этого его успех никог­
да не был бы таким постоянным, независимо от изобретательности и ус­
пехов в математике. Есть много примеров из того же времени, когда
жесткость формального образования и огромное значение, придававшее­
ся классическим языкам, ломали карьеры многообещающих молодых
людей. Среди тех, кто не смог справиться с системой, — такие люди, как
Базедов, Венцель и Арндт, которых подчас назьюают ’’ужасными людьми”
(Schreckensmanner) .* 3
За годы учебы в академии Гаусс встретил несколько молодых людей,
с которыми подружился на долгие годы; в их числе - А.В. Эшенбург
и К. Иде. Отец Эшенбурга преподавал в академии, и его переводами пьес
Шекспира восторгался К.М. Виланд, один из знаменитейших поэтов Гер­
мании. Его сын, подружившийся с Гауссом на всю жизнь, стал высоко­
поставленным чиновником в Пруссии. Иде, как и Гаусс, стал математи­
ком и астрономом. Он поступил на работу в один из русских универси­
тетов и умер молодым. Еще одним другом Гаусса был Мейерхоф, который
несколько лет спустя правил и отделывал латынь в ’’Арифметических
исследованиях” Гаусса.
. В Коллегии Карла была на редкость хорошая библиотека, и можно
предположить, что в ней было многое из классической математической
литературы. За время учебы Гаусс изучил многие из этих текстов, вклю­
чая Ньютона, которым он восхищался. (Ньютон и Архимед — единствен­
ные, к кому Гаусс применял в своих работах характеристику ’’светлей­
ший” (illustrissim us),) Другими важными книгами были ’’Алгебра” и
’’Анализ” Эйлера и несколько работ Лагранжа.**
*
Этому утверждению не следует придавать слишком большого значения, потому
что понятия Гаусса о семье и отношении к ней отличались от современных. Совре­
менные представления - во многом продукт 19-го века. Впоследствии Гаусс усвоил
теперешний взгляд на семью, но не следует думать, что он непременно применял
его к своим родителям.
** Мы не можем сказать с уверенностью, какие книги были доступны для Гаусса
в то время. В своей работе 'Памяти Гаусса” (Gauss zum Gedachtnis) Сарториус заявля­
ет, что Гаусс не имел доступа к книгам высокого уровня до своего приезда в Гёт­
тинген, но в этом можно усомниться. Основаниями для возражений служат поздние
заявления самого Гаусса и, что еще важнее, уровень и зрелость его первых матема-

16

Покидая Коллегию Карла, Гаусс знал уже достаточно, чтобы читать
текущую литературу. Он мог проводить самостоятельные исследования,
не переоткрывая слишком часто уже известное. Из его дневника мы знаем,
что в то время Гаусса интересовали больше всего теория чисел и алгебра,
но было бы неправильно проводить четкие границы между различными
областями математики на этой стадии его работы. Во время пребывания
в академии Гаусс в основном усваивал: его математический голод был
универсален и всепоглощающ, хотя и обращен, как обычно, на специаль­
ные задачи и вопросы. Хорошее, но беспорядочное знание старой литера­
туры, приобретенное им в этот период, выражается в его исторических
замечаниях и в кажущихся внезапными перескоках с одной темы на дру­
гую, бросающихся в глаза в категоричных утверждениях его дневника.
Мы видели, как гений Гаусса был замечен уже в начальной школе;
пожалуй, лучшее, что учителя сделали для его образования, — это то, что
они дали ему возможность учиться независимо. Первый эффектный
успех пришел к Гауссу, когда ему не было еще девятнадцати - доказа­
тельство того, что можно построить правильный 17-угольник циркулем и
линейкой. Часто заявляют, что это открытие побудило Гаусса занимать­
ся математикой, а не классическими языками. Циммерман объявил об
этом результате Гаусса в журнале ’’Новости культуры” (Intellegenzblatt
der allgemeinen L itteratu rzeitung) } 4
Другие вопросы, которыми Гаусс интересовался в эти годы (в том
числе уже в 1791 году), были (доступная на элементарном уровне, но
сложная и далеко идущая) теория арифметико-геометрического среднего
и распределение простых чисел. Обе эти темы ведут к интересным вы­
числениям. Числами и манипуляциями с ними Гаусс интересовался сильно
и не только в ранние годы.

ДОПОЛНЕНИЕ I

ПОЛИТИЧЕСКАЯ И СОЦИАЛЬНАЯ СИТУАЦИИ
В этом коротком экскурсе мы попытаемся возместить недостаток
конкретных знаний о детстве и юности Гаусса общими замечаниями о
тогдашней социальной и исторической ситуации. Город Брауншвейг, в к о ­
тором рос Гаусс, расположен в северной (протестантской) части Германии,
Хотя религия в ту пору еще была важной составной частью повседневной
жизни, родители Гаусса, видимо, не были особенно религиозны и, во вся­
тических работ. Важным косвенным аргументом является список тех книг, кото­
рые Гаусс, будучи студентом, брал в Гёттингенской университетской библиотеке
(этот список перепечатан в [Даннингтон]). В него входят труды Санкт-Петербургской Академии и другая исследовательская литература, но очень мало классических
и учебных текстов, с которыми Гаусс, стало быть, был уже знаком.
17

ком случае, не проявляли тех евангелических (пиетистских) тенденций,
которые тогда были распространены в этом слое общества1. Когда в 1840-х
годах вспыхнул интерес к столоверчению и тому подобным сеансам, он,
возможно, напомнил Гауссу о суевериях времен его юности. Неудивитель­
но, что когда его бывший студент В. Герлинг, ставший профессором физи­
ки в Марбургском университете, консультировался с ним по этому поводу,
его замечания были определенно отрицательными: Гаусс категорически
отверг мистический опыт этого (и любого) рода и решительно дал понять,
что научной основы здесь нет .2
Брауншвейг когда-то был богатым торговым центром. Он входил в
средневековую Ганзейскую Лигу, но в последние 150 лет все больше хирел.
В средние века и даже еще в первые годы 17-го столетия Брауншвейг был
важным торговым центром, серьезным соперником Гамбурга и Амстерда­
ма. Он был политически независим, хотя и под номинальной властью
герцогов Брауншвейг-Вольфенбюттельских. Управлял им, согласно старой
олигархической конституции, избираемый совет, члены которого обычно
происходили из одних и тех же семей, но его ослабили народные восста­
ния и катастрофические последствия Тридцатилетней войны. В 1671 году
он без боя потерял свою политическую независимость и был включен в
герцогство Брауншвейг-Вольфенбюттельское, став его столицей в
1736 году. Вследствие этих пертурбаций многие старые знатные семьи
уехали в Гамбург и Нидерланды, в результате чего город и его экономика
хирели еще больше, достигнув низшей точки около 1750 года, когда в го­
роде было всего двадцать тысяч душ. Постепенно эти потери были воз­
мещены пришельцами из окрестностей, для которых теперь в город
открылся свободный доступ. Среди них была и семья отца Гаусса, пришед­
шая в город с севера.
В Брауншвейге-Вольфенбюттеле, как и в других маленьких германских
государствах того времени, основу экономики составляло сельское хо­
зяйство, откуда и черпало свои финансы правительство. Несколько попы­
ток индустриализации, по примеру Франции и Пруссии, были не слишком
успешны. Это неудивительно, если учесть, что под ’’индустриализацией”
понимались такие проекты, как систематическое разведение тутовых
деревьев и шелковичных червей или канализация реки Окер, каковой
нереалистичный проект был заброшен после слабых попыток осуществ­
ления.
По всей Германии большие города, безжизненные памятники былой
славы, превратились в гигантские богадельни. Жесткий старый социальный
порядок казался непоколебимым без каких-либо признаков зарождения
тех радикальных перемен и политических бурь, которым суждено было
снова сделать город центром прогресса и цивилизации. Один факт, не
такой уже важный сам по себе, покажет душную атмосферу того времени,
как раз перед штормом: несколько имперских эдиктов, направленных на
защиту хорошо организованных суконщиков, запрещали применять меха18

нический ткацкий станок, тот самый, чей успех ознаменовал начало ин­
дустриальной революции в Англии.
Одной из немногих сфер подлинного прогресса в 18-м веке было народ­
ное образование; здесь была заложена основа для перемен, происшед­
ших в 19-м столетии. Хотя обязательное посещение школы не проводилось
в жизнь очень жестко, в большинстве своем поколение Гаусса могло читать,
писать и делать простейшие расчеты. В некоторых районах даже препода­
валась элементарная латынь. Карьера самого Гаусса — хороший пример
продвижения одаренного ребенка из простонародья: у него не было иной
надежды на продвижение, кроме помощи и личного участия князя, богато­
го купца или другого богатого и влиятельного покровителя. Коллегия
Карла была лишь одной из многих школ такого рода; более знамениты
академия в Шульпфорте (Schulpforta) и Карлсшуле (Karlsschule) в
Штутгарте. С появлением этих школ церкви потеряли еще одну традицион­
ную опору в образовании, потеряв уже, по крайней мере в большинстве
протестантских стран, значительную часть контроля над университетами
во время Реформации3.
Роман ’’Антон Рейзер ” 4 - не столько вымысел, сколько горькое и
реалистичное изображение детства и отрочества его автора; он дает хорошее
представление о том, каково было одаренному ребенку расти в бедной
семье на протестантском севере Германии во второй половине 18-го века.
Автор К. Мориц вышел из того же социального слоя, что Гаусс; его книга
описывает ограничения, лишения и унижения бедняков и эмоциональную
и интеллектуальную борьбу ребенка, растущего под покровительством
неизвестного благотворителя.* С окончанием среднего учебного заведения
выпускник, такой как Гаусс, обычно переставал получать прямую под­
держку, и это считалось естественным. Это была еще одна критическая
точка, где часто внезапно и преждевременно кончалась многообещающая
карьера. Но, как мы увидим, с Гауссом было не так: его путь был прям
и упорядочен, без почти неизбежных сюрпризов и отступлений.
Размышляя о чей-либо жизни, мы смотрим на нее сквозь психологи­
ческие и социологические теории, сложившиеся в последние 75 лет. Те­
перь мы знаем, что родители, взаимоотношения с ними и вообще социаль­
ные и психологические факторы имеют решающее значение. В случае Гаус­
са сведения об этих важнейших обстоятельствах отсутствуют, и мы должны
спросить себя, не делает ли это нашу задачу неразрешимой. Быть может,
мы действительно беремся за нее с пустыми руками, но не стоит так уж
*
Подобно автору, герой романа с трудом заканчивает школу и не имеет возмож­
ности продолжать образование и карьеру ожидаемым упорядоченным и независимым
образом. Если бы он не смог выразитьсебя в литературе, Мориц умер бы без ipoma
и был бы забыт, как многие другие. Эта книга - превосходный источник для понима­
ния того социального и культурного фона, на котором протекала юность Гаусса,
особенно если учесть, что Ганновер, в котором рос Мориц, всего милях в тридцати
к западу от Брауншвейга.
19

сожалеть о недостатке информации. Что, если психологический и социоло­
гический подход — не только достижение научного прогресса последних
ста лет, но к тому же симптом нашего века? Вполне можно представить
себе, что те новые категории, которые мы научились применять, начиная
с конца прошлого столетия, не так уж хороши для понимания прежних
времен, даже такого близкого нам времени, как эпоха Гаусса. Тогда нас
не так уж и огорчит отсутствие информации такого рода: по крайней мере
мы будем гарантированы от недоразумений и (возможно, врожденной)
склонности к осовремениванию прошлого.
Хотя в целом наш подход будет ’’нерёвизионистским” , мы все же зай­
мемся детальным психологическим обсуждением семейной жизни Гаусса.
Взаимоотношения Гаусса с его двумя женами и детьми от обоих браков
глубоко влияли на его развитие как человека и как ученого. Мы увидим,
как ’’чувство семьи” (Familiensinn) Гаусса, его отеческая озабоченность
социальным успехом семьи и карьерами его детей развивалась в согласии
с общими тенденциями того времени. В этом отношении Гаусс резко отли­
чался от того, что он сам испытал со стороны своих родителей, людей
18-го века; только в ретроспективе его отношение к детям предстает
как выражение семейных идеалов среднего класса, ставших одним из
первых порождений начала 19-го века. Возможно, на него повлияли совре­
менники и друзья — Шумахеры, Ольберсы и Бессели, и особенно — его
вторая жена. За эту идею быстро ухватились младшие современники и
биографы Гаусса. Объясняя те или иные его действия, охотно предлагали
частные, индивидуальные объяснения, даже если можно было найти и
другие (’’объективные”) мотивы. Примером служит традиционное
объяснение ссоры с астрономом Бесселем в 1832 году: Гаусс якобы на­
писал недостаточно рекомендательных писем для зятя Бесселя, геогра­
фа, а Бессель, видите ли, не прислал письмо с соболезнованием, когда
умерла вторая жена Гаусса. 5 Мы еще вернемся к этому конфликту, пото­
му что Бессель (да еще разве что Ольберс) был единственным компетент­
ным математиком и равным партнером в астрономической теории и наблю­
дениях среди регулярных корреспондентов Гаусса.
Став взрослым, Гаусс довольно рано порвал большую часть из тех
’’осмысленных” социальных и эмоциональных связей, какие у человека
могут быть. Он не был близок со своими родителями, и мы не знаем дру­
гих сильных привязанностей, которые он бы пронес из детства во взрослую жизнь.
Обратимся теперь к вопросу, который кажется неловким, но становит­
ся совершенно нормальным, если его интерпретировать в терминах
18-го столетия, когда слово ’’гений” имело особый смысл. Гаусс не стре*
милея выглядеть гением и участвовать в том движении, которое было i
большой моде во времена его молодости. Тогда был настоящий культ и не только среди людей искусства — молодости, одаренности и твор
чества; одним из признаков творчества и гения было пренебрежение *
установленным правилам — и в частной жизни и в творениях. Такой подхо*
20

был весьма оригинальным и революционным для своего времени, но Гаусс,
на свои националистические и антифранцузские настроения,
не участвовал в нем и не проявлял к нему симпатии. Этот подход отвер­
гал классическое образование как античного, так и французского образ­
ца, и отказывался от некритической веры в силы прогресса, столь типич­
ной для века Просвещения. Гений — подлинный, неиспорченный продукт
природы — сам создавал себе правила и жил, работал и развивался в соот­
ветствии с ними. В Германии главными участниками этого движения были
те представители творческой молодежи, которые объединились под ло­
зунгом ’’Буря и натиск” (Sturm und Drang). Они, с свою очередь,вдохно­
вили многих хорошо известных поэтов и философов романтической ш ко­
лы, включая Ф. Гёльдерлина и Г.В. Гегеля .6 Некоторые обстоятельства
дальнейшей жизни Гаусса позволят нам понять его полное неприятие ро­
мантического движения; детство и юность не внушили Гауссу никакой
симпатии к миру благородного дикаря,
несм отря

’’Буря и натиск” — немецкий вариант духовных исканий всей Европы
конца 18-го века. Его специфические корни следует искать в политической
ситуации того времени, особенно в стремлении поднимающегося среднего
класса играть конструктивную роль в обществе. Оптимистическое кредо
Просвещения казалось бессильным горожанам столь же н е относящимся
к делу, как и предшествовавший ему бесплодный ортодоксальный дог­
матизм. Большинство участников ’’Бури и натиска” , а позднее романти­
ческих поэтов принадлежало к той социальной группе, которая во Франции
поддерживала и питала Великую революцию, но в менее развитой Герма­
нии никакое политическое и социальное движение не м огло надеяться на
политический успех без помощи из-за рубежа. Гаусс жил в ином мире,
не затронутом этими потрясениями. По крайней мере в первые тридцать
лет своей жизни Гаусс не чувствовал конфликта между своим личным
развитием и феодальным политическим порядком. С его точки зрения,
его собственная карьера казалась лучшим примером того, как работает
такая разновидность феодализма, как просвещенный абсолютизм с его
политическими и педагогическими концепциями.
Можно сделать еще один вывод, более гипотетический. Н е только про­
исхождение и воспитание Гаусса, но и его опыт работы ученого и математи­
ка мог оказать на него консервативное влияние. Этому утверждению
невозможно придать количественный смысл, но, рассматривая жизнь
Гаусса, мы не раз наткнемся на свидетельства его нетерпимости к любым
переменам, могущим затронуть его научную работу и даже повседневную
жизнь. 7

21

ГЛАВА 2

СТУДЕНЧЕСКИЕ ГОДЫ В ГЁТТИНГЕНЕ, 1 7 9 5 - 1798
В 1795 году, восемнадцати лет от роду, Гаусс покинул свой родной
Брауншвейг, чтобы изучать математику в университете в Гёттингене, ма­
леньком городе примерно в 65 милях к югу. Гёттинген был уже ”за грани­
цей” — в другом государстве, Ганновере; Гаусс отправлялся туда против
воли своего герцога, хотевшего, чтобы он поступил в местный универси­
тет в Гельмштедте * Местный университет был старым, без особой науч­
ной репутации; в нем господствовали факультеты богословия и права.
Мы знаем, что Гёттингенский университет привлек Гаусса хорошей библио­
текой 1 , но на его решение могла повлиять также его репутация как научно
ориентированного и ’’реформистского”. Король Англии Георг И, будучи
заодно и князем Ганноверским, основал университет в Гёттингене, взяв
за образцы Оксфорд и Кембридж; этот университет лучше снабжался и
к тому же был более независимым от правительства и церкви, чем боль­
шинство университетов Германии. Факультета богословия там не было
вообще; зато развивались факультеты медицины и естественных наук .2
По обычаю германских университетов, Гаусс распоряжался своим вре­
менем совершенно свободно, пользуясь полной ’’академической свободой” .
Никто ему не указывал, на какие лекции он должен ходить, с ним не за­
нимались никакие наставники, не было ни экзаменов, ни систематическо­
го контроля даже в среде самих студентов.**
Гаусс познакомился с несколькими профессорами, в том числе с физи­
ком Лихтенбергом, астрономом Зайфером и лингвистом Гейне. Он ходил
на их лекции, причем Гейне и Лихтенберг, видимо, произвели на него
наибольшее впечатление.*** Скорее, разочарование у Гаусса вызвал про­
фессор математики В, Кестнер, хорошо известный своими популярными
тогда учебниками. Кестнер не был творческим математиком, и Гаусс
так и не признал его ни учителем, ни коллегой, Гаусс отзывался о нем
с понятной, но порой ненужной резкостью, и даже в старости, спустя
много лет после смерти Кестнера, любил высмеивать его . 3 Зайфер в
*Выбор Геттингена был не таким уже исключением. Иде, на два года старше Гаусса
и тоже из Брауншвейга, также предпочел Гёттинген. В обоих случаях герцог продол­
жал оказывать финансовую помощь.
** Студенческие братства (Verbindungen), позже столь знаменитые и влиятель­
ные, возникли только после 1815 года, когда Наполеон был окончательно побеж­
ден. Они заменили некоторые прежние организации, существовавшие в большинст­
ве германских университетов, но не в Гёттингене. Эти прежние организации были
типа землячества.
***С именем Лихтенберга связаны многие остроумные эпиграммы и афоризмы.
Он ввел термины ’’положительный” и ’’отрицательный” и соответствующие знаки
и «__*» для электрических зарядов.
22

позднейшей корреспонденции изображается как некомпетентный, но
приятный в общении коллега * 4
Во всяком случае, Гаусс не зря приехал в Геттинген уже потому, что
часто пользовался библиотекой. Сохранился список книг, которые он брал;
интересно, что он содержит не только, как и следовало ожидать, математи­
ческую литературу, но и романы того времени, включая ’’Клариссу” Ри­
чардсона, которую он читал по-английски, и шведскую грамматику ,5
У Гаусса было немного друзей среди студентов. Единртвенная прочная
дружба, о которой мы знаем, завязалась у него с Вольфгангом (Фаркашем)
фон Бояи. Бояи был венгерским дворянином из Трансильвании, где кроме
венгров было немало немцев. Для нас самый важный результат этой друж­
бы — переписка, длившаяся более пятидесяти лет, начиная с 1779 года,
когда Гаусс на время уезжал из Гёттингена, и до 1853 года, за два года
до смерти Гаусса. Эти письма - один из важнейших источников для нашего
понимания Гаусса как человека, а с математической стороны — для иссле­
дования возникновения неевклидовой геометрии. Дополнительную ин­
формацию дает краткая автобиография, которую Бояи написал для Вен­
герской академии наук, и его письмо от 1855 года первому биографу
Гаусса Сарториусу .6
Вольфганг фон Бояи был на два года старше Гаусса; он записался в
Гёттингенский университет в 1796 году для изучения философии. Такая
формулировка в то время подразумевала и занятия математикой, но
Бояи действительно интересовался философией, Его непосредственное
общение с Гауссом продолжалось
1еньше трех лет и окончилась
с возвращением Бояи в Венгрию в 1799 году. В математике его увлекли
основания геометрии. В автобиографическом наброске, написанном в
1840 году, он описывает, как подружился с Гауссом:
. , . и я познакомился с Гауссом, который тогда там (т.е. в Геттингене) учился
и с которым я и теперь дружу, хотя я никогда не мог даже отдаленно сравниться
с ним. Он был очень скромен и сдержан; не три дня, как с Платоном, а годы можно
было общаться с ним, не подозревая о его исключительности. Жаль, что я не знал,
как открыть эту молчаливую книгу без названия и прочесть ее. Я не знал, как много
он знает, а он, узнав меня поближе, высоко оценил меня, не зная, как я мал. Нас
связывала (не проявлявшаяся вовне) страсть к математике и наше духовное
сродство; часто мы гуляли вместе часами, каждый занятый своими мыслями, не
обмениваясь ни словом.7

В знак дружбы Гаусс и Бояи обменялись трубками и поклялись курить
их ежедневно в определенный час, вспоминая друг друга .8
Бояи отнюдь не был богачом, но все же принадлежал к другому социаль­
ному классу. Это был скромный молодой человек, с энтузиазмом отно­
сившийся к математике и восхищавшийся своим другом открыто и без­
*Суждения Гаусса о Кестнере и Зейфере, кажется, с годами становились все резче.
В ранней переписке с Бояи они гораздо мягче. Видимо, решающим во взаимоотно­
шениях с Кестнером стал момент, когда тот не смог понять теорию деления круга
Гаусса, Некомпетентность Зайфера стала ясной лишь позднее, когда Гаусс стал ра­
ботать как астроном. Мы еще встретим у Гаусса подобные перемены во мнениях.
23

условно. Когда они впервые познакомились, Гаусс еще ничего не опубли­
ковал, и его гений был отнюдь не очевиден. На.Кестнера, например, спо­
собности Гаусса, видимо, не .произвели никакого впечатления.9 В июне
1799 года друзья виделись в последний раз (в этом мире) в деревне Клаусталь, на полпути между Гёттингеном и Брауншвейгом. Бояи возвращался
домой, и Гаусс предложил встретиться.
В течение всех трех лет в Гёттингене Гаусс был совершенно свободен
в выборе занятий. Осенью 1798 года он покинул университет по причинам,
неясным, для нас; к этому времени у него уже зародились основные идеи
почти всех его важных математических статей, которые он опубликовал
в последующие двадцать пять лет. Гаусс ушел из Гёттингена без диплома.
Следуя, как он написал Бояи, желанию своего герцога, 10 он в 1799 году
представил свою докторскую диссертацию в Гельмштедтский универси­
тет. Степень была присуждена без обычного устного экзамена (in absentia).
В письме к Бояи Гаусс без обиняков отклонил Гёттинген в качестве
места их последней встречи перед возвращением Бояи в Венгрию. Вероят­
но, было неправильно подозревать Гаусса в скрытых мотивах* — ничего
не было сказано открыто ни тогда, ни позже, включая 1807 год, когда
Гаусс вернулся в Гёттинген как директор обсерватории. Скорее всего,
возвращаясь в Брауншвейг, Гаусс был убежден, что в Гёттингене ему
больше учиться нечему, так что и оставаться там не стоит.
Для математического образования Гаусса общение с Кестнером, воз­
можно, было и не таким уж бесплодным, как казалось, Кестнер был опыт­
ным педагогом и неплохим историком математики. Уступая, конечно,
Ламберту, Кестнер, вероятно, испытывал его влияние, также интересуясь
основаниями геометрии, то есть системой аксиом Евклида и соотноше­
нием десятой аксиомы (о параллельности) с другими .11 Вполне возможно,
что Бояи и даже Гаусс получили полезную информацию и советы от
Кестнера.
ДОПОЛНЕНИЕ II

ОРГАНИЗАЦИЯ СОБРАНИЯ ТРУДОВ ГАУССА
Самым заметным результатом пребывания Гаусса в Гёттингене явился
трактат ’’Арифметические исследования” (D isquisitiones A rithm eticae),
опубликованный в 1801 году. Это основная работа Гаусса по теории чисел
и одна из важнейших работ за всю историю математики. Прежде чем пе­
рейти к ее содержанию, сделаем несколько методологических замечаний.
*
Можно себе представить (по аналогии с подобными реакциями в других слу­
чаях), что Гаусс боялся, что его скрытые мотивы могут быть неверно поняты (или,
если угодно, поняты слишком хорошо). Быть может, это и толкало Гаусса на то,
чтобы избежать Гёттинген в то время.
24

Основная публикация этой и других научных работ Гаусса, на которую
мы ориентируемся, — это академическое издание собрания трудов (Carl
Friedrich Gauss’ Werke). Опубликованное в 12 томах, с 1863 по 1929 год,
оно организовано по плану, разработанному вскоре после смерти Гаусса,
и составлено под руководством Феликса Клейна, не дожившего, однако,
до публикации последнего тома. Кроме тех трудов, которые опубликовал
сам Гаусс, Собрание трудов содержит достаточно полную* подборку его
неопубликованных и незаконченных статей, фрагментов и набросков,
никогда не предназначавшихся для публикации, и отрывки из писем.
Первые семь томов — тематические: теория чисел (тт. I и II), анализ
(т. III), теория вероятностей и геометрия (т. IV) , математическая физика
(т. V) и астрономия (тт. VI и VII). Том VIII содержит различные добавле­
ния. Том IX продолжает том VI и посвящен геодезии. Тома X и XI изданы
в двух частях: первая часть каждого содержит различные статьи и доку­
менты, а вторая часть — обширные и подробные очерки о вкладе Гаусса
в различные области, написанные весьма компетентными математиками
и другими учеными. Хотя и неравные по качеству и по интересу, который
они могут вызвать, эти очерки - лучшее руководство по работам Гаусса.
Том XII содержит различные короткие статьи и атлас земного магнетизма,
составленный и изданный Гауссом вместе с Вильгельмом Вебером и его
ассистентом В. Гольдшмидтом.
Есть две причины того, почему это собрание трудов несколько несисте­
матично. Не все статьи, принадлежащие Гауссу, были известны, когда
первые тома готовились к печати; более того, первоначальный редактор,
Шеринг, умер в 1897 году, между выходом в свет VI и VII томов. Следую­
щие тома готовили различные редакторы, в основном специалисты в соот­
ветствующих областях.
К материалам, никогда не предназначавшимся для публикации самим
Гауссом, принадлежит ’’математический дневник” **, случайно найденный
в 1898 году, спустя сорок с лишним лет после смерти его автора. Его
записи начинаются в 1796 и кончаются в 1814 году, но непрерывно про­
должаются лишь до 1801 года. Он помогает точнее датировать многие
результаты Гаусса; более того, он дает некоторое представление об идей­
ном мире Гаусса в наиболее продуктивные годы. Большинство из 146
составляющих его записей относятся к анализу, алгебре и теории чисел;
все это довольно скупые заявления без доказательств и объяснений. Види­
мо, дневник был для Гаусса чем-то вроде вахтенного журнала для фик­
сации наиболее осмысленных или привлекательных открытий. Первая
запись говорит о возможности построения 17-угольника; другие важные
*Не буквально, конечно, а в смысле математической значимости. Только антиквар
может быть неудовлетворен этой публикацией, но его можно утешить, сказав, что
кое-какая работа оставлена и для него.
** Собрание трудов, т. X, с. 483-574.
25

темы - это разложение рядов в непрерывные дроби, разложение чисел в
суммы квадратов или ’’треугольных” чисел, квадратичный закон взаим­
ности, деление круга и лемнискаты, суммирование определенных интегра­
лов и рядов, параллелограмм сил, движение комет и планет, основания
геометрии, формула для датировки пасхи до 1999 года и арифметико­
геометрическое среднее, играющее центральную роль в исследовании Гаус­
сом эллиптических интегралов. Было бы неправильно считать, что днев­
ник действительно отражает развитие Гаусса (для этого он слишком краток
и категоричен и служит, очевидно, другой цели); скорее, он показывает,
какие вопросы или какого рода вопросы интересовали Гаусса и как он
оценивал свои результаты. Надежным историческим источником дневник
служить не может: не все записи понятны, а некоторые даты сомнительнее,
чем кажутся на первый взгляд . 1
Гаусс, особенно в ранние годы, не мог тратить бумагу так легко, как
это принято теперь. Некоторые из его важных результатов появляются на
полях и пустых страницах книги по элементарной арифметике (которую
мы будем называть ’’Ляйсте” (Leiste) по имени ее автора). Гаусс купил
эту книгу задолго до того, как отправился в Гёттинген, и использовал
ее как записную книжку. Записи в Ляйсте и в его систематических запис­
ных книжках (Schedae) не даны в Собрании трудов полностью, но многое
в этих заметках представляет лишь антикварный интерес. Большинство
рукописей Гаусса, конечно, утрачено, но сохранившийся материал доста­
точен для методологических целей и позволяет реконструировать основ­
ные процессы с разумной точностью.
Собрание трудов дает всю необходимую информацию для понимания
и оценки работы Гаусса. В архивах 2 осталось очень мало неопубликован­
ного, могущего внести существенный вклад. В Приложении А мы обсудим
некоторые мелкие вопросы, касающиеся организации и подлинности собра­
ния трудов и изданий переписки Гаусса. Хотя, как мы увидим, кое-что
вызывает возражения, в общем эти издания заслуживают доверия.
Большая часть переписки Гаусса, безусловно, включающая все важней­
шее, хорошо издана. Лишь немногие из писем посвящены обсуждению ма­
тематических вопросов, но эти немногие очень важны. В письмах к Бесселю
даются последовательно формулировка, доказательство и обсуждение
интегральной теоремы Коши3 . Вероятно, это наиболее известный случай,
когда письма Гаусса имеют математическое значение, но есть и много дру­
гих примечательных случаев.
Даже если бы ’’Арифметические исследования” не были первой круп­
ной публикацией Гаусса, все же имелись бы веские основания начать рас­
сказ о математических работах Гаусса с теории чисел, а рассказ о вкладе
Гаусса в теорию чисел начать именно с этой работы. Гаусс называл теорию
чисел ’’царицей математики” ; для него это была первая и важнейшая часть
математики, которую он, в свою очередь, называл ’’царицей наук ” .4
Есть и методологические причины для такого начала: арифметика может
26

служить примером для всей математической и научной работы Гаусса.
Даже его работа в прикладной математике и в таких областях, как астро­
номия, стремится к той сжатости, которая присуща и подобает теории
чисел.

ГЛАВА 3

ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Трактат ’’Арифметические исследования” был опубликован в Лейпциге,
тогдашнем центре книжного дела в Германии. Это было летом 1801 года,
года через три после возвращения Гаусса в Брауншвейг. Мы ограничимся
кратким обзором этого произведения, не претендуя на оценку его и его
роли в развитии теории чисел.
Трактат разделен на семь частей, которые мы, следуя латинскому ориги­
налу, будем называть ’’секциями”. Из них первые три вводные, секции
IV—VI образуют центральную часть работы, а секция VII — это короткая
монография, посвященная отдельной, хотя и связанной с остальными,
теме. Трактат посвящен герцогу Брауншвейгскому, без чьей помощи он
никогда не был бы написан. Предисловие поясняет, какое место занимает
трактат в традиции исследований по теории чисел, восходящей к антич­
ности, причем упоминаются Диофант, Ферма, Эйлер, Лагранж и Лежандр*
Первая секция, длиной всего в пять страниц, содержит элементарные
понятия и результаты, такие как вывод признаков делимости на 3, 9 и 11.
В качестве самого основного понятия работы определяются сравнения
целых чисел по натуральному модулю и доказываются их элементарные
свойства, в том числе алгоритм деления.
В секции II (24 страницы) Гаусс доказывает единственность разложения
целого числа на простые множители и дает определение наибольшего об­
щего делителя и наименьшего общего кратного. Определив выражение
а = Ъ (mod с), Гаусс переходит к ’’уравнению” ах + t = с.** Он выводит
алгоритм для его решения и упоминает возможность использования непре­
рывных дробей вместо алгоритма Евклида. Другая тема — функция Эйле­
ра у ( m ) f то есть число натуральных чисел, меньших т и взаимно простых
с т . Для изучения этой функции привлекается техника, равносильная

* Много позже, в письме к астроному Шумахеру, Гаусс выразил свое низкое мнение
о Диофанте яснее, чем в парадно-загадочной ссылке в этом предисловии.
** Это обозначение введено Гауссом; само понятие, конечно, много старше.
27

использованию мультипликативных свойств остатков по простым мо­
дулям.
Секция III (35 страниц) называется ”0 степенных вычетах” ; в ней ис­
следуются вычеты степени данного числа по простому (нечетному)модулю.
Основой при этом служит знаменитая ”малая” теорема Ферма ар ~~1 =
= 1 (mod р ) , где р простое, причем а не делится на р . Гаусс дает два дока­
зательства: одно методом ’’исчерпывания” , восходящим к Эйлеру или, воз­
можно, даже к Лейбницу; другое, тоже, в сущности, не новое, опирается
на ’’биномиальную теорему” (а + Ъ + с + . . . )
ар + Ьр + ср + . . . (mod р ) .
Это ведет к понятию первообразного корня: а называется первообразным
корнем, если степени а, то есть а , а 2, я 3, ... , дают (по модулюр) все целые
числа, взаимно простые с р; используя это понятие, Гаусс определяет ин­
декс е числа b относительно а следующим образом:
ае = b (mod р).
В этом соотношении а —фиксированный, но произвольный первообразный
корень (Basis) по модулю р. Гаусс показывает, как пользоваться этими
индексами при вычислениях, и сравнивает их с логарифмами . 1 Для удобст­
ва читателя в качестве приложения дана таблица индексов, составленная
самим Гауссом. Пользуясь представлением с помощью индексов, Гаусс
получает критерий ’’квадратичности” числа (то есть того, является ли число
квадратичным вычетом по модулю р) . Эта теорема была известна уже
Эйлеру, но вывод и доказательство Гаусса полнее и убедительнее. Другое
следствие —теорема Вильсона
1 - 2 - 3 ■. . . • О — 1) = — 1 (m odр).2
В сущности секции I—III представляют собой систематическое введение в
элементарную теорию чисел и подготавливают читателя к основной части
книги, секциям IV и V.
Центральная тема четвертой секции (47 страниц) —квадратичный закон
взаимности. Название этого закона происходит от формализма, придуман­
ного Лежандром, а сформулировать его можно следующим образом. Пусть
р, q - нечетные простые числа. По определению, выражение ( — j равно
\Р )
+ 1 , если х 2 = q (mod р) разрешимо в целых числах, и равно - 1 в про­
тивном случае. Тогда квадратичный закон взаимности выражается равенст­
вом
^
р - 1 • • • , g p ~ 2 конгруэнт­
ны по модулю р (не обязательно в том же порядке) числам 1, 2,3, . . \ \ р — 1 .
79

Это означает, что

можно записать как

или, в более общем виде, как

/

если X Ф 0 по модулю п.
Пусть g — другой первообразный корень и р — 1 = е •/. Обозначив ge = К
g e = t i . Тогда 1, К h2 , . . . , / / _ 1 конгруэнтны (не обязательно в/том же
порядке) числам
/г'2 , . . . ,
Или, в более общем в^де [X],
[Х/г], . • • , [X //- 1 ] конгруэнтны числам [X], [ Х / г ' ] [X/ г ' ^ 1^ ] по
модулю п.
|
Будем кратко записывать сумму [X] + [Xh] + . . . + [Xh^~l ] к$к (/, X);
множество корней (/, X) назовем периодом (/*, X). Параграф заканчивает­
ся примером: вычислением периодов ( 6 ,]), (6,2) и (6,3) для р = 19 и
первообразного корня 2, В переводе на современный язык, в § 343 гово­
рится, что группа Галуа многочлена X циклична и порождена автомор­
физмом
§ 344-351 посвящены исследованию периодов корней Г2.
§ 344. Два периода одной длины совпадают, если у них есть общий
корень;
может быть представлено периодами (/, 1 ), ( /,# ) , • . . , (f , ge~ l ),
где / = р - 1 .
§ 345. Произведение двух периодов (/*, ц) и (/, X) одинаковой длины
состоит из ’’агрегата” (суммы) / периодов одинаковой длины. В парагра­
фе делаются дополнительные утверждения о произведениях периодов,
прямо следующие из определений.
§ 346. Пусть 11 и X - числа, не делящиеся на п . Пусть р и а — периоды
равной длины. Тогда q можно записать как
а + 0р + 7 Р 2 + . . Л в р е ~ х,

где а, /3, у , . . . являются определенными рациональными величинами. И
это утверждение легко следует из определений и результатов предыдущего
параграфа. Дается конкретный числовой пример.
§ 347. Пусть F — симметрическая функция того типа, что рассматри­
валась в § 340. Пусть / переменных t, и, v, . . . —ее аргументы. Если вместо
t, и, v , .. . подставить корни (/, X), то F можно будет записать в виде
(см. § 340)
§ 348. Еще о связи между периодами и многочленом, корни которого
принадлежат данному периоду. Рассматривая периоды и принадлежащие
им многочлены, получаем разложение X па е множителей степени/. Дается
следующий конкретный пример.
80

Т1усть n - 19. Пусть сумма всех корней из периода (6,1) равна а. Сумма
произведений этих корней по два равна

з\(6 ,1 ) + (6,4) = 0,
\

сумма\произведений по три равна
2

+ 1 ( 6 , 1 )+ ( 6 ,2 ) = 7.

по четыре
3 + (6^1) + (6,4).= 5
И ПО ПЯТЬ, (6,1) = 6 .
Поскольку произведение всех корней равно 1, то получаем уравнение
Z = х 6 а х 5 + Рх4 - у х 3 + 8 х 2 —ел: + 1 = 0 .
§ 349. Методы § 348, прямо опирающиеся на представление коэффи­
циентов многочлена в виде симметрических функций его корней, не
годятся для больших / из-за своей громоздкости. Вместо этого можно
применить теорему Ньютона и выразить коэффициенты через суммы степе­
ней корней.
В §§ 350 и 351 Гаусс продолжает свое исследование того, как связаны
периоды, корни и многочлены. В § 351 даны два примера: в одном дня
р = 19 ищется уравнение, имеющее периоды (6,1), (6,2) и (6,4); в другом,
тоже для р = 19, ищется уравнение с периодами (2,1), (2,7) и (2,8).
В § 352 излагается план дальнейшей процедуры. Здесь мы уже близки
к полному исследованию П. Во-первых, разложим р — 1 на простые множи­
тели:
р — 1 = а(3у . . .
Теперь пусть g - первообразный корень по модулю р. Множество Г2 можно
разбить на а периодов, по 0, 7 , 6 , . . . корней в каждом. Затем надо опреде­
лить уравнения, принадлежащие этим периодам, и повторять этот процесс,
пока это возможно. Решив получившиеся в конце концов уравнения, ис­
пользуя таблицы, если это необходимо, мы идем обратно и в конечном
счете получаем требуемые углы.
§ 353. Пример,где р - 19 и первообразный корень равен 2.
§ 354. Пример, где р = 17 и первообразный корень равен 3. Вместе с
этим параграфом заканчивается решение основной проблемы седьмой
секции ’’Арифметических исследований”. В последних одиннадцати пара­
графах речь идет об интересных вопросах, связанных с этой проблемой, и
о приложениях.
§ 355. Если период содержит четное число корней, то он вещественен;
только сами корни комплексные.
В § 356 впервые упоминаются так называемые гауссовы суммы
kf R

кШ

и
2

Ш

sin----- 2 эт —2 sin------2л = 0 ,
Р
Р

/
/ (**)
/

где SK пробегает все положительные квадратные вычеты по модулю р ,
меньшие р, а 91 пробегает соответствующие невычеты. Когда Гаусс писал
”Арифметические исследования”, он был вынужден оставить открытым
вопрос о знаке (*). Этот вопрос был решен им в другой статье ’’Суммирование некоторых рядов особого вида”, опубликованной в 18р8 году
(ср. с. 37). Гауссовы суммы возникают в этом контексте при ра£смотре1

нии квадратных уравнений, принадлежащих к периоду с —р( р — JI) корня­
ми. Гаусс показывает, что эти уравнения имеют вид
х 2 + х + — (1 —( - 1 )(р ~ ^ ! 2р) = 0 .
4
Они играют важную роль в двух других доказательствах закона квадратич­
ной взаимности (опубликованных лишь посмертно как часть ’’Учения о вы­
четах”) . В этом параграфе Гаусс с помощью этого многочлена находит
квадратичный характер - 1 /р.
§ 357. Здесь Гаусс доказывает, что выражение {4хр - 1 )/(х - 1), гд ер
простое, всегда представимо в виде X 2 ± р У 2, где Х 9 Y — рациональные
целые функции х. Этот результат основан на изучении периода (т, 1)
корней многочлена
я "1 - а х т - 1 +Ьхт ~ 2

=0

с помощью преобразований § 348. Дается численный пример; сам резуль­
тат уже был объявлен в четвертой Секции (§ 124) ’’Арифметических ис­
следований”.
В § 358 речь идет о распределении элементов П по трем периодам (для
р = Зк + 1 ) . Соответствующие многочлены вычисляются очень сложно, но
при этом получается еще один интересный арифметический результат, а
именно соотношение
Ар

=

х2

+

21 у 2

для простых чисел вида в т + 1, Оно уже известно из теории бинарных
квадратичных форм.
В § 359—360 делается окончательный шаг доказательства, сведение
вспомогательных уравнений для определения Г2 к таким уравнениям, чье
решение сводится к радикалам ( ’’чистым” уравнениям на языке Гаусса;
вообще говоря, вспомогательные уравнения бывают ’’смешанными”). На
современном языке это означает, что группа Галуа разрешима путем прямо­
го разложения. Для этого Гаусс использует хорошо известную технику,
82

та^ называемую резольвенту Лагранжа. Рассуждения Гаусса сложны и
изложены очень отрывочно; Гаусс не выполнил обещания и так и не опуб­
ликовал детального изложения этой части теории. Посмертная статья
’’Дальнейшее развитие исследований, связанных с чистыми уравнениями”
(Disquisitionum circa aequationes puras ulterior evolutio) поясняет дело,
но очень мало. Она обрывается после введения гауссовых сумм, уже рас­
смотренных, как мы знаем, в специальной статье ’’Суммирование некото­
рых р яд о в ..
В § 359 содержится знаменитое замечание, добавленное
Гауссом при корректуре, что было бы тщетно искать общую формулу
решения уравнений степени выше четвертой.
§ 361-364 связывают исследование корней X с тригонометрическими
функциями углов, которые первоначально и были предметом Секции VII
’’Арифметических исследований”. Здесь основная проблема - приписать
углы конкретным корням (не используя тригонометрических, таблиц).
Необходимая для этого процедура объясняется в § 361 элементарным
способом; в § 362 говорится об определении других тригонометрических
функций по синусу и косинусу, не используя деления. В § 363 и 364 дается
короткий обзор процедуры, если имеешь дело с уравнениями, имеющими
в качестве корней прямо тригонометрические функции вместо гораздо
более простого уравнения X. Само изложение очень сжато, но в § 364
подробно рассматриваются два информативных примера, где и =? 1 7 ,/ = 8 и
\р - косинус и п = 1 7 ,/= 8 и —синус.
§ 365. Этот предпоследний параграф ’’Арифметических исследований” ,
наконец, дает ответ на первоначальный вопрос седьмой секции. Правильный
17-угольник и, в более общем виде, правильный (1}V + 1)-угольник может
быть построен циркулем и линейкой (если 2 2 + 1 простое). Для cos (2я/17)
Гаусс приводит следующее явное выражение:
1

1

----

1

/

— + — VT7+ — V 3 4 - 2 V 1 7 +
16
16
16
+ i л/17 + 3 VT7 - л/34 - 2 V T 7 - 2 \ / з 4 + 2 VT7 .

8

Он добавляет, что было бы бесполезно пытаться разделить круг в случаях
п = 7, 11, 13, 19, . . . , но что рамки трактата не позволяют ему доказать это.
Ни в одной из статей Гаусса нет никакого указания на полное доказательст­
во этого последнего утверждения.
Выше мы упомянули о том, что Гаусс знал уже очень рано о возможнос­
ти геометрического построения 17-угольника. В 1801 году, перед публика­
цией ’’Арифметических исследований”, Гаусс послал в Санкт-Петербургскую академию короткую рукопись, где элементарными средствами дока­
зал возможность построения 17-угольника. Это доказательство, конечно,
в принципе не отличается от методов седьмой секции, но в нем не исполь­
зуется ни одной из тех сложных и абстрактных понятий, на которые Гаусс
83

опирался в опубликованном варианте. Очень вероятно, что санктпетербургская рукопись похожа на оригинальное доказательство Гаусса. Редак­
торы собрания трудов Гаусса не знали об ее существовании; ее ко^ия с
коротким комментарием (на русском языке) опубликована.*
§ 366 содержит список тех 38 чисел, меньших 300, для которых пбстроение правильного и-угольника возможно. Вот они: 2, 3, 4, 5, 6 , 8 / 10, 12,
15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 6 8 , 80, 96, 102, 120, 128,
13 6 ,1 6 0 ,170,192,204, 240, 255, 256, 257, 272.

ДОПОЛНЕНИЕ VI

СТИЛЬ ГАУССА

Вюрой брауншвейгский период с 1798 по 1807 год был решающим
для дальнейшего развития Гаусса. Он научился оценивать свои силы, выби­
рать области исследования, чтобы посвятить им свое время и энергию,
и утверждать себя в научном мире. Его развитие не ограничивалось теоре­
тической или научной сферой; выдвинувшись, Гаусс оказался перед не­
обходимостью встать в определенное отношение к тем ученикам и колле­
гам, которые спрашивали у него совета. Очень скоро ему должно было
стать ясно, что он не мог ожидать многого от таких дискуссий и обменов
мнениями; почти всегда он давал, а не получал. Возможно, тут было не­
которое искушение, но Гаусс никогда не замыкался в себе и не отгоражи­
вался от обычных научных контактов. Он хорошо сознавал долг гения
объяснять (себя) и представлять проблемы, в которых сам он мог разо­
браться быстро, в форме, доступной более широкой аудитории. Он прини­
мал в качестве собеседника или коллеги всякого, чьи честные усилия
или интерес мог заметить. Переписка, особенно с Шумахером и Герлингом,
дает лучшие свидетельства этого, но есть и другие примеры, например,
необычный посмертный очерк ”К метафизике математики” (Zur Metaphy-.
sik der M athematik ) . 1 Сегодня он был бы назван дидактической статьей,
рассматривающей ’’основания математики”, например, определения сложе­
ния и умножения. Написан он был, вероятно, в начале'1800-х годов, в то
время, когда Гаусс думал, что ему придется готовиться к карьере препода­
вателя математики. Очерк этот не очень глубок и не предвосхищает того
развития в области оснований математики, которое началось немногим
позже и связано, в частности, с именем Больцано. Этот очерк отражает
математические поиски Гаусса; он соответствует общепринятым взглядам
и радикален лишь в том смысле, что в нем тщательно проводятся рассужде­
* См. выходные данные в № 7, 13, в списке работ, добавленном при переводе.
84

ния и ни одно из традиционных понятий в нем не принимается как очевид­
ное с самого начала.
Отношение Гаусса к его ученикам (и ко всем, кто просил у него совета,
например к Репсольдсам из Гамбурга, хорошо известным мастерам астро­
номических инструментов) заслонила его репутация сурового, даже неспра­
ведливого критика чужих работ. Его приватные суждения, особенно о
коллегах, часто были весьма произвольны и непоследовательны; в них
заметна, если можно так выразиться, непредсказуемость гения, не знающе­
го, какую шкалу применять. В переписке можно найти резкие замечания
о Лагранже, Лежандре и Деламбре, которым достается за их поверхност­
ность, банальности, недостаток проницательности и околичности .2
Добавим здесь несколько слов о стиле Гаусса. Выше мы обсудили его
математический стиль; теперь обратимся к языковому и литературному
аспектам. Большинство его опубликованных при жизни работ написано
по-латыни, но есть и работы, написанные по-немецки; работы, опублико­
ванные посмертно, написаны частью по-латыни, частью по-немецки. Наи­
более сжатые и лингвистически наиболее трудные работы — те, что он
публиковал по-латыни; из них ’’Арифметические исследования” - самая
утонченная. Писать по-латыни было почти анахронизмом, но этот язык
соответствовал идеалу Гаусса - предельно прямой и чистой линии мысли.
Гаусс тщательно избегает повторений, излишеств-и всего, что может быть
воспринято как риторика. Перевод Гауссом своих работ на, в общем-то,
нелюбимый им язык, видимо, усилил его тенденцию писать в ’’научном и
классическом” стиле. Фактически, знаменитая латынь ’’Арифметических ис­
следований” правилась другом Гаусса Майерхофом - очевидно, потому,
что собственными результатами Гаусс не был вполне доволен.
Аналогичные утверждения можно сделать о статьях, опубликованных
им по-немецки; они слегка более доступны, будучи не подвергнуты пере­
воду на ’’международный язык науки”.* О немецких резюме латинских
статей, большая часть которых была опубликована в журнале Гёттинген­
ской академии ,3 следует сказать отдельно. В этих резюме не было под­
робных математических рассуждений; скорее это были неформальные
изложения основных идей Гаусса, совершенно отличные от того, чего от
них можно было бы ждать. Проиллюстрируем нашу мысль следующей
цитатой из ’’Суммирования некоторых рядов” :
. . . Итак, в этой работе "Арифметические исследования” исследование продви­
нулось очень далеко, так что осталось только определить знак при произвольном
значении к\ после решения главного вопроса могло показаться, что это уже будет
легко, тем более, что индукция ведет к очень простому наблюдению: при к = 1 и
при всех значениях к , являющихся квадратичными вычетами по модулю п, корни
в вышеприведенных формулах всегда положительны. Однако при попытках доказать
это замечание мы встречаемся с совершенно неожиданными трудностями, и тот самый
* Видимо, Гаусс писал черновики некоторых своих латинских статей по-немецки;
Другие были прямо задуманы на латыни и не нуждались в переводе.
85

процесс, который так успешно привел к определению абсолютных величин ряда,
оказывается совершенно непригодным, когда речь заходит о полном определении
знаков. Метафизическую причину этого явления (пользуясь выражением, принятым,
у французских геометров) следует искать в том обстоятельстве, что анализ деления
круга не различает между собой дуги w, 2w, З ц . . . , (п - 1)а;; все эти дуги рас­
сматриваются единообразно; это сообщает исследованию новый интерес, и поэтому
профессор Гаусс увидел в этом как бы вызов испробовать все возможные средства
для решения этой проблемы. После многих разнообразных тщетных попыток он
достиг успеха способом, который примечателен сам по себе.. .4

Не будем обсуждать стиль опубликованных нематематических статей
(например, по астрономии и геодезии); они ясны, точны и фактически
написаны по образцу его математических исследований. Они стали образ­
цом для его современников и последующих поколений ученых в Германии*
Письма и незаконченные математические статьи написары более вольно;
там больше ’’мотивировок” и словесных пояснений, но не следует прида­
вать слишком большого значения этому различию. Даже там рассуждения
Гаусса обычно сжаты и исключительно точны; чего там может не быть —это окончательной концептуальной ясности и той характерной упрощен- £
ности, которой Гаусс так часто достигал в своих опубликованных работах. *
Гаусс широко пользовался латынью, даже во многих заметках и в своем
личном дневнике, однако нет сомнения, что он не любил ее и что перевод^
утяжелял и осложнял его стиль. Если принять эти внешние влияния во
внимание, то вполне можно придти к выводу, что различные уровни стиля4
суть не что иное, как подходящие формы выражения в различных ситуа­
циях.
В противоположность высказываниям Гаусса о других математиках
и ученых, его обзоры опубликованных работ обычно мягки и полны благо- '
желательных похвал. Опубликованные обзоры, решительно негативны, |
только если рецензируемые работы лишены всякого математического %
смысла или если экспериментальные результаты фальсифицированы и |
потому непригодны для дальнейших исследований. Гаусс был очень ак-^
тивным рецензентом; в области неевклидовой геометрии Гаусс выражал £
свой интерес и свои убеждения публично только в обзорах .5
Сравнительно много обзоров посвящено математическим таблицам и ?
сводкам экспериментальных результатов. Интерес Гаусса отражает огром-4
ную потребность в расширении численной основы математики, в таблицах ^
логарифмов, в теоретико-числовых таблицах вроде тех, какими сам Гаусс 1;
сопроводил свои ’’Арифметические исследования”. Гаусс любил обсуждать 4
полезность таких книг и даже их композицию и оформление. (См., напри*
мер, обзор таблиц Буркхардта во втором томе Собрания трудов, с. 182 и |
далее.) Помимо той пользы, какую приносили эти таблицы, Гауссу, види­
мо, доставляли удовольствие разумно упорядоченные коллекции чисел*,
даже если они не представляли математического и научного интереса.Сре^
ди его заметок есть списки важных исторических дат, дней рождения, биб?&
лейских ссылок и т.п., которые Гаусс составлял для своего удовольствия*6.
86

В томе IV собрания трудов можно найти знаменитые обзоры книг Шваба,
]\4еттерниха и Мюллера (1816, 1822), в которых Гаусс признается в том,
гцо убежден в существовании неевклидовых геометрий. В этих обзорах,
как и в других, Гаусс конструктивно использует возможности; иногда
такой обзор, видимо, служил отправной точкой для нового и независимо­
го исследования. Примером служит влияние исследований Зебера7 свойств
положительных тернарных квадратичных форм. Эти исследования Гаусс
рецензирует в ’’Гёттингенских научных сообщениях” (Gottingische Gelehrte Anzeigen) за 1831 год. Зебера, в прошлом ученика Гаусса, вдохновило
соответствующее место в ’’Арифметических исследованиях ” ,8 и Гаусс
воспользовался случаем еще раз очертить некоторые свои идеи и доказать
строго теорему, которую Зебер сформулировал, но не доказал. Другим
результатом влияния книги Зебера был (недолгий) интерес к кристалли­
ческим структурам. Он выразился в кратком описании связи между тер­
нарными формами и кристаллическими структурами, которое Гаусс вклю­
чил в свой обзор.

ГЛАВА 8
АСТРОНОМ ИЧЕСКИ Е Р А Б О Т Ы . Э Л Л И П Т И Ч Е С К И Е Ф У НКЦИИ
В 1809 году гамбургский книготорговец Пертес издал работу Гаусса
’Теория движения небесных тел, вращающихся вокруг Солнца по кони­
ческим орбитам” (Theoria motus corporum coeiestium in sectionibus conicis Solem am bientium ). Эта книга, в Собрании трудов занимающая пример­
но 300 страниц, дает итог исследований Гаусса по теоретической астроно­
мии, но она не всегда описывает те методы, которыми Гаусс фактически
пользовался в своей работе. Как и ’’Арифметические исследования”, эта
работа опубликована на латинском языке; Гаусс писал ее на немецком,
но ему пришлось перевести ее, потому что Пертес считал, что так она лучше
разойдется* Основной предмет книги — определение эллиптических и
гиперболических орбит планет и комет по минимальным данным и безовсяких излишних и необоснованных предположений. В предисловии Гаусс
упоминает недавний пример Цереры, открытие которой послужило пер­
вым толчком к развитию тех методов, которым посвящена книга.
’Теория движения небесных т е л .. с” систематична до педантства; она
состоит из двух книг, одна из которых содержит предварительный мате­
риал, а другая — решение общей проблемы. Эта книга — первое строгое
изложение методов Гаусса для вычисления орбит небесных тел, прямо
* Вполне естественно было бы выбрать французский язык, но Гаусс избегал его,
Вероятно, по политическим причинам.

87

выведенных из законов Кеплера. Вплоть до этого времени астрономы
использовали различные частные способы, менявшиеся от случая к случаю,
несмотря на то, что теоретические основы были ясны уже в течение более
чем ста лет. Ключевой вклад Гаусса состоял в соединении исчерпывающего
знания теории с той исключительной алгебраической техникой, благодаря
которой он справлялся со значительными сложностями, возникающими
при прямом решении этих уравнений и его опыте астронома-практика.
В отличие от своих предшественников (включая Ньютона, решавшего эту
проблему путем геометрической аппроксимации), Гаусс не предполагает
заранее, каким из конических сечений является орбита наблюдаемого тела.
Это усложняет вычисления, но позволяем работать с новыми кометами и
планетами, не опознав их как таковые *

Гаусс на террассе новой обсерватории

До Гаусса ближе всех к решению этой проблемы подошел Лаплас, но
его уравнения были столь сложны, что из них нельзя было надеяться полу:;
чить численные результаты. Подход Лапласа был прямом, основанным
непосредственно на законах Кеплера и дифференциальных уравнениях;:для задачи двух тел. Вывод Гаусса, который мы вкратце опишем, оче№
похож на лапласовский. Решающая новая идея Гаусса состояла в исполу
зовании отношений площадей секторов и треугольников, ограниченны^:
двумя радиус-векторами.
*
Практически очень трудно отличить планету от кометы на основе лишь не?
скольких наблюдений.
88

Четыре части книги I обсуждают соотношения между различными пара­
метрами, описывающими движения небесного тела вокруг Солнца. В час­
ти 1 определяется большая часть понятий, включая радиус-вектор, истин­
ную и среднюю аномалию, эксцентриситет, и даются тригонометрические
формулы, необходимые для описания положения данного тела в данной
точке орбиты. Здесь же даются краткие практические указания по экстра­
поляции таблиц и аппроксимации парабол эллипсами и гиперболами.
Часть 2 посвящена определению геоцентрического локуса небесного
тела как функции трех координат. Гаусс начинает с определений характе­
ристических параметров таких, как эклиптика и узел : в § 48 определяются
семь параметров, характеризующие движение небесного тела. Это средняя
долгота (’’эпоха”) , среднее движение, главная полуось, эксцентриситет,
долгота восходящего узла и наклонение орбиты. В следующих параграфах
Гаусс выводит и обсуждает (тригонометрические) соотношения между
этими параметрами. Как и в части 1, здесь есть критерии для распознава­
ния различных конических сечений. Заканчивается часть 2 выводом диф­
ференциального уравнения для движения небесного тела в геоцентрических
координатах и применением этих теоретических соображений к практи­
ческому примеру. Здесь тоже есть замечания о влиянии ошибок наблю­
дений.
Третья часть посвящена проблеме вычисления орбиты по нескольким
наблюдениям (т.е. нескольким точкам в пространстве). Все преобразова­
ния здесь элементарны; ч то б ы получить результаты, которыми можно
пользоваться, разложения в степенные ряды обрываются после несколь­
ких первых членов (без обсуждения сходимости, впрочем - очевидной);
так же Гаусс поступает с непрерывными дробями. Особый упор делается
на определении орбит по двум параметрам и на обширных конкретных
вычислениях. Первые фразы этой части выражают взгляд Гаусса на задачи
его работы; они могли бы послужить эпиграфом к любой из его статей и
книг:
. .. Обсуждение соотношений между двумя и большим числом положений небесно­
го тела как на его орбите, так и в пространстве, изобилует красивыми утверждениями,
из которых легко составить целый том. Но наш план не настолько обширен, чтобы
исчерпать эту плодотворную тему; наша основная задача - максимально облегчить
решение великой проблемы определения неизвестных орбит по наблюдениям; поэто­
му, пренебрегая всем, что уводит нас от этой цели, мы тем более тщательно изучим
все, что может хоть как-то приблизить нас к ней. . . [Цитата из английского перево­
да Девиса.]

В четвертой и последней части книги I рассматривается случай, когда
все наблюдения лежат в одной плоскости с Солнцем. Снова выводятся
тригонометрические соотношения; особенно полезным оказывается образ
пирамиды с Солнцем в вершине (§ 112). Эта короткая часть завершается
замечанием, что уравнения, выведенные для этого частного случая, беспо­
лезны для эллиптических орбит.
39

Проделав в книге I всю подготовительную работу, в книге II Гаусс пря­
мо приступает к главной проблеме — определению орбиты небесного тела
по фактическим наблюдениям. Он решает эту проблему в два этапа: сначала

он аппроксимирует орбиту по трем или четырем наблюдениям, а затем
улучшает этот результат на основе дальнейших данных. Первому этапу
посвящены части 1 и 2 книги II, улучшению —части 3 и 4.
Как указано выше, для определения орбиты требуется вычислить семь
ее параметров. В части 1 Гаусс показывает, как вычислить шесть из них
по минимальному числу наблюдений, а именно - трем. Седьмой параметр массу приходится определять отдельно, Каждое наблюдение дает два неза­
висимых параметра - долготу и широту; вот почему трех наблюдений
достаточно, если орбита не лежит в плоскости эклиптики и не слишком
близка к ней. Этот особый случай разбирается во второй части; он требует
четырех независимых наблюдений (потому что три равные или почти рав­
ные нулю геоцентрические широты уже нельзя использовать как незави­
симые параметры).
В первых параграфах части 1 рассматриваются такие предварительные
проблемы, как влияние фактического положения наблюдателя на Земле
и вращения Земли. Орбиту нельзя найти прямо, потому что получаются
слишком сложные уравнения; чтобы упростить их, Гаусс делит проблему
на части, рассматривая два уравнения 1 и F c двумя неизвестными х и у,
в свою очередь являющимися функциями параметров орбиты. X и Y
сначала формулируются в очень общем виде, а затем уточняются путем
сходящейся итерации. В этом месте Гаусс подытоживает соотношения,
полученные и объясненные в книге I, и выясняет, какие подстановки
и дальнейшие аппроксимации можно осуществить с их помощью. Соста­
вив таким образом полное представление обо всех имеющихся возмож­
ностях, в § 140 и 141 Гаусс выводит точные уравнения для параметров;
они получаются сложными и сводятся к многочленам восьмой степени.
Чтобы упростить их, Гаусс обсуждает астрономический смысл входящих
в них величин и указывает на несколько условий, до этих пор не исполь­
зованных. Здесь Гаусс вводит вышеупомянутое отношение площадей
секторов и треугольников, ограниченных двумя радиус-векторами. Это
отношение, характеризующее кривизну орбиты, удобно для итерирования
и дает желаемые численные результаты. Эта часть составляет почти четверть
всей работы, так сложны необходимые вычисления. Математический аппа­
рат Гаусса несложен: это всего лишь алгебра и (сферическая) тригономет­
рия. Заканчивается часть 1 несколькими примерами; снова обсуждаются
границы ошибок (являющихся на этот раз следствием необходимых упро­
щений) .
Во второй части Гаусс рассматривает случай четырех независимых наблю­
дений. из которых только два должны быть полными. Методблогическй

здесь up- ничего нового, но этот случай, как мы уже указывали, важен,
если орбита наблюдаемого небесного тела совпадает или почти совпадает

с эклиптикой Земли. В этом случае маленькие ошибки наблюдений могут
оказывать огромное влияние, если работать только с тремя наблюдениями.
Гаусс снова приводит пример, на этот раз — данные Весты, малой планеты
с особенно маленькой эклиптикой.
Последние две части книги II посвящены задаче уточнения приближен­
ных орбит, полученных способом, описанным в первых двух секциях. В
части 3 Гаусс впервые публикует метод наименьших квадратов — свое
самое эффективное и удобное средство улучшения орбит. Этот метод,
который Гаусс описывает (§ 186) как ’’тот принцип, что сумма квадратов
разностей между наблюденными и вычисленными величинами должна быть
минимальна” , был применен им с большим успехом при вычислении орби­
ты Цереры. Первая его публикация принадлежит Лежандру, но Гаусс, оче­
видно, применял его раньше, чем Лежандр .2 Здесь он дает две совершенно
новые и оригинальные его мотивировки. Мы еще вернемся к этой спорной
и очень важной для Гаусса теме (см. с. 143 и далее).
Часть 3 очень коротка и разочарует того, кто надеется найти в ней объяс­
нение сложных и интересных аппроксимационных методов Гаусса; эти мето­
ды, по крайней мере частично, Гаусс объяснил в более поздних статьях;
для более тесного знакомства можно рекомендовать неполные вычисления
возмущений Паллады.
В столь же краткой четвертой секции Гаусс делает несколько замеча­
ний о возмущениях эллиптических орбит, вызванных большими планета­
ми. Гаусс не входит в детали, но подчеркивает важность вопроса о точном
вычислении орбит и об определении масс тел, вызывающих эти возмуще­
ния. 3
Работа заканчивается несколькими обширными таблицами, поясняющи­
ми соотношения между различными параметрами орбиты.
Главные недостатки ’’Теории движения. . .” — это то, что в ней не рас­
смотрены параболические орбиты ^то еще раньше сделал Ольберс, и не опи­
саны весьма эффективные аппроксимационные методы Гаусса. Несмотря
на эти недостатки, в течение десятилетий после своего выхода в свет эта
работа Гаусса была самым важным и влиятельным руководством по теоре­
тической астрономии.
Мы уже указывали, что в своей практической работе Гаусс не всегда
следовал тем методам, которые он описал в книге; но не будем входить
в подробности. Скажем только в пояснение, что, поскольку книга эта была
задумана как систематическое и образцовое руководство, Гаусс, видимо,
иногда предпочитал путь, теоретически более прямой, пути непрямому,
хотя практически более эффективному. Тут поучительно сравнение с его
ранней работой ’’Краткий обзор методов. . —оно показывает, что ранние
подходы Гаусса были гораздо более эвристичны: успешны, но формально
менее четки.
91

Это краткое описание ’’Теории движения. .
завершает наше обсужде­
ние работ Гаусса по теоретической астрономии; его практическую дея­
тельностью мы обсудим ниже.*
Прежде чем закончить обсуждение этого периода жизни Гаусса, кратко
обрисуем некоторые аспекты его математической работы, о которых мы
еще не говорили, корни которых восходят к началу его математической
деятельности. Мы не будем здесь касаться оснований геометрии и некото­
рых вопросов прикладной математики; о них мы скажем позже в ином
контексте.
Большую часть той работы, о которой мы говорим, описал JT. Шлезин­
гер, чей очерк под названием ’’Анализ” помещен в т. X, 2 Собрания трудов.
Заглавие ’’Анализ” здесь неинформативно, потому что Шлезингер поль­
зуется этим термином для характеристики нескольких различных облас­
тей математической работы Гаусса. Следуя Шлезингеру, мы различаем три
основные темы, видимо, вдохновлявшие Гаусса и послужившие темой
большей части его работ. Это арифметико-геометрическое среднее (тради­
ционно обозначаемое agM), гипергеометрическая функция и теория эллип­
тических интегралов. Вот важнейшие статьи в этой области (звездочкой *
отмечены статьи, опубликованные noci зртно) :
’’Общие исследования о бесконечных рядах. .. , часть первая” (Disquisitiones generales cira seriem infmitam. . Pars prior), 1812;
’’Определение нашего ряда посредством дифференциального уравнения
второго порядка” (Determinatio seriei nostrae per aequationen differentialem secundi ordinis)*;
’’Новый метод нахождения целых величин путем аппроксимации” (Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi), 1814;
’’Трактат о новых методах в теории интерполяции” (Theoria interpolationis methodo nova tractata)*;
’’Определение притяжения, которое производила бы в любой заданной
точке планета, если бы ее масса была распределена по всей орбите про­
порционально времени, в течение которого отдельные части орбиты опи­
сываются” (Determinatio attractions quam in punctum quodvis positionis
*
Романтические биографы называли Палладу ’’звездой судьбы” (Schicksalstern)
Гаусса. Вычисление ее возмущений - единственное крупное дело, которое Гаусс ос­
тавил незаконченным - после гигантских вычислений и огромных усилий, оставшихся
невознагражденными, Его ошибка, видимо, состояла в том, что он оставлял
слиш­
ком мало членов в разложенииях этих возмущений - всего три, тогда как требова­
лось четыре или пять.4 Особая ирония судьбы состоит в том, что в других случаях
Гаусс зачастую проводил более точные вычисления, чем это было нужно. Феликс
Клейн 5 сообщает, что видел посреди вычислений орбиты Паллады замечание, напи­
санное рукой Гаусса: ’‘Лучше смерть, чем такая жизнь” (Lieber der Tod alsein solches
Leben).
92

datae exerceret planeta, si eins massa per totam orbitam ratione temporis quo
singulae partes describuntur^uniformiter esset dispertita), 1818.
Несколько статей, посмертно опубликованных в тт. Ill, VIII и XСобра­
ния трудов*.
Из этого списка видно, что значительная часть работ опубликована пос­
мертно. Поэтому трудно проследить развитие Гаусса сколько-нибудь
детально, и мы ограничимся очерком его результатов, не пытаясь рекон­
струировать тот путь, которым могла идти мысль Гаусса (что пытался сде­
лать Шлезингер). В общем и целом мы принимаем выводы Шлезингера.
Видимо, Гаусс очень рано начал интересоваться арифметико-геометри­
ческим средним, но наше знание о его развитии основано лишь на кос­
венных данных и случайных разрозненных рукописных замечаниях. Скорее
всего, первоначально Гаусса привлекла численная сторона дела. Лишь поз­
же Гаусс заинтересовался результатами, получаемыми после простых преоб­
разований. Арифметико-геометрическое среднее (agM) определяется
следующим образом. Пусть даны два числа п и т . Тогда их среднее ариф­
метическое т определяется как т* = (т + и)/2, а среднее геометричес­
кое п определяется как п * - \ f rnn, Продолжая процесс усреднения, то есть
определяя т" - (т + п ' ) / 2 и п п = yjm п и так далее, получаем две чис­
ловые последовательности, имеющие один и тот же предел, обозначаемый
М (т, п). Выражение ’’арифметико-геометрическое среднее” принадлежит
самому Гауссу и впервые встречается в заметке, которую Шлезингер счи­
тает написанной, скорее всего, до 1797 года и заведомо не позже 1798 го­
да. 6 Положим Тт( 1 + х ) = agM (1,1 + х ) . Тогда
1
1
,
1
*
21
Тт( 1 + х ) “ 1 + —х ------- х + — х --------------х
2
16
32
1024

31
+ --------- X s - . . .
2048

4

В той же самой заметке Гаусс переходит к вычислению функции, в некото­
ром смысле обратной к Тт{ 1 + х ), и устанавливает связь между двумя
рядами. Более поздние заметки содержат дальнейшие вычисления, связан­
ные с взаимоотношениями между agM и эллиптическими интегралами;
их мы сейчас обсудим.
Лагранж и Гаусс ввели функцию agM независимо друг от друга. Лагранж
(чья публикация относится к 1784—85 годам) взял за отправную точку
так называемое преобразование Лендена
,

•v =

У О ± р 2>, 2 ) ( 1 ± < ? У )
1

±*v

и применил его к подынтегральному выражению эллиптического интегра­
ла, тем самым получив алгоритм, ведущий к приближенному вычислению
93

интеграла
Ndy

* (i ± p V

) 0

± ч 2у 2У ’

где tv - произвольная рациональная функция у. К этому выражению при­
ходишь, вычисляя длины эллипсов и гипербол. Ясно, как эллиптические
(а также связанные с лемнискатой и так далее) интегралы связаны с agM:
если взять agM двух подходящих функций, то приходишь к ряду того типа,
который встречается в теории интегрирования эллиптических интегралов.
Одним из первых открытий Гаусса было соотношение
1

1

М( 1+х, 1 - х )

я

dip

я о V l - * 2cosV

которое он использовал (с новым вьюодом) в ’’определении притяжения”
(1818) для вычисления вековых возмущений, т.е. непериодической части
возмущений. Из всех результатов Гаусса по теории арифметико-геометрического среднего это единственный, опубликованный им.
Многое из того, что у Гаусса осталось разрозненным, относится к теории
лемнискаты .7 К наиболее примечательным результатам относится представ­
ление формулы лемнискаты как .частного двух целых функций Р и Q, яв­
ное вычисление Р и Q и правильное определение двух периодов лемниска­
ты: 2оУ и 2/ со. Первый период действительный, второй — чисто мнимый.
Р и Q - это, в сущности, частные случаи в -функций Якоби.
Лемниската или sin lem, как Гаусс называл ее, интересовала его не толь­
ко потому, что вела ко многим интригующим функциональным соотно­
шениям, но также и потому, что служила естественным мостом к общей
теории эллиптических функций. Важным ориентиром было соотношение
Я

(*)
на которое Гаусс набрел в 1799 году, случайно заметив, что значения левой
и правой части равны.
Следующий шаг состоял в обобщении (*); полученные формулы
Я

со =

Я

и

со

(**)

дают период лемнискаты в частном случае /1 = 1 . Эти формулы составляют
часть теории обратной функции (эллиптического интеграла общего вида).
Гаусс определяет S через элементарные дроби по аналогии со следующим
94

полученным им ранее представлением:

со и

~
п = 1

п_ х

sin(2« — 1) фтт
2/1-1

ы

( --- 2I— * Со----11)

2/i-l

( ------- 21—

+ е

oj

со

-7Г)

Кроме того, он сумел представить S как отношение двух функций
’’типа в -функции”, которое он явно вычислил.
Хотя Гаусс пользовался хорошо известной техникой, его успех был зна­
чительным и привел к результату, восходящему к классическим и наиболее
трудным проблемам анализа 18-го века. Способ изложения Гаусса странно
противоречит новаторской сути его работы: ни новой техники, ни ком ­
плексных чисел, ни даже формального рассмотрения вопросов сходимости,
и в то же время много очень глубоких результатов, полное понимание
котороых стало возможным лишь много позже, когда теория эллиптичес­
ких функций была уже завершена.
Тот факт, что Гаусс опубликовал лишь немногие из своих результатов
и так никогда и не развил ’’общей и полной трактовки” (die allgemeine
und luckenlose Behandlung), что он, как мы знаем из его дневника, намере­
вался сделать, — не простая случайность. Кроме внешних факторов — та­
ких, как его растущая занятость астрономией, — была внутренняя причина
того, что эта программа осталась невыполненной: эллиптические функции
многозначны. Хотя предположение о комплексном периоде было для
Гаусса, конечно, не слишком неестественным благодаря связи между три­
гонометрическими и экспоненциальными функциями, вопросы о множест­
ве значений функции оказались непреодолимыми в ту эпоху, когда не бы­
ло, скажем, теории римановых поверхностей.
Мы уже видели, что Гаусс в ходе своих исследований об обратных функ­
циях эллиптического интеграла открыл в -функции (которые лишь нес­
колькими годами спустя независимо ввел и рассмотрел Якоби) и иссле­
довал их трансформационные свойства.8 Хотя Гаусс был хорошо знаком
с комплексной плоскостью и ее геометрическим представлением, он очень
скупо пользовался интегрированием в ней.
Ни один из этих результатов об agM ц об эллиптических интегралах не
был опубликован при жизни Гаусса, и он не оспаривал приоритета Абеля
и Якоби. Его приватные заявления, как мы знаем из переписки, были,
конечно, иными. В одном из писем он заявляет что одна статья Абеля из­
бавила его от забот по публикации примерно трети своих результатов в
этой области .9 Один из случаев, вызвавших у него наибольшее удовлет­
ворение, — это когда agM снова возникло у него при аппроксимации возму­
щений Паллады, — еще один пример того, как ’’чистая”, утонченная мате­
матика помогает раскрывать секреты природы.

95

ДОПОЛНЕНИЕ VII

МОДУЛЯРНЫЕ ФОРМЫ. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Между аналитической работой Гаусса и теорией квадратичных форм
его связи, которые видел уже он сам. Некоторые фрагменты начала 1800-х
годов показывают, что Гаусс был знаком с зачатками той теории, которую
впоследствии завершили Клейн и Фрике своими работами по модуляр­
ным формам. И Ф. Клейн и Р. Фрике много занимались публикацией ра­
бот Гаусса и имели возможность тщательно изучить их фрагменты.
Для Гаусса арифметико-геометрическое среднее, вероятно, давало са­
мый прямой и простой доступ к теории модулярных форм. Эта связь уста­
навливается преобразованиями, отображающими бесконечно много ’’экви­
валентных” форм данной agM друг в друга . *
Сегодня мы не можем сказать, как действовал Гаусс — сохранились
лишь разрозненные фрагменты, большая часть которых была опубликова­
на посмертно (с аннотациями Клейна и Ф рике). На их основе трудно эк­
страполировать, даже если и удастся надежно их датировать. В этом вопро­
се мы следуем той правдоподобной реконструкции, которую дает Шлезин­
гер в своем очерке. Отправной точкой Гаусса была теория чисел; к теории
модулярных функций его привела, видимо, теория приведения квадратич­
ных форм. Центральной является следующая проблема (Собрание трудов,
том III, с. 386). Пусть (я, b, с) и (А, В, С) - две эквивалентные формы с
отрицательным дискриминантом —р. Рассмотрим такую функцию / , что
f ( t ) = f ( u ) всегда, когда (/ - u)/i целое или t = 1/м. Гаусс называл эту
функцию ’’сумматорной функцией” (Summatorische Function), хотя
нигде явно не определил ее; фактически эта функция — абсолютный инва­
риант модулярной группы всех линейных подстановок
f' = (осг —//3)/(5 +/7Г),
где а, 0 , у, 5 целые, причем об —(Зу = 1 .
В записных книжках Гаусса есть несколько иллюстраций, показываю­
щих, что он понимал геометрическую сторону этой теории. Геометрическое
представление модулярных функций строится следующим образом. Кон­
кретная форма отождествляется с решеткой в комплексной области путем
выбора единичного вектора в качестве одного из базисных векторов. За­
тем рассматриваются функции / второго базисного вектора, идентичные
на решетках, принадлежащих эквивалентным формам. Функция / сумматорная в смысле Гаусса, если она инвариантна относительно действия данной
модулярной группы. Нижеприведенный рисунок следует одному из наиболее
удачных набросков Гаусса (см. том VIII, с. 103) с некоторыми поправками
*
Очевидно, что, вообще говоря, есть бесконечно много способов представить
данную функцию как agM двух других..

Шлезингера. Неравенства [III] и [IV] описывают внешние области, ограни­
ченные окружностями с центрами / / 2 и —// 2 ; неравенство [I] должно
иметь вид — 1 < у < 1; неравенство [II] описывает внешнюю область,
ограниченную окружностью с Центром //4 и радиусом 1/4. Если положить
t = х + iy, то эта фигура характеризует фундаментальную область некото­
рой модулярной функции / (t ). Арифметически, заштрихованная область —
это геометрическое место точек г = (1 + IV)/а для приведенной формы
(af Ь, с) с определителем —1. Функция f ( t ) (см. выше) принимаете этой
области каждое комплексное значение ровно один раз. Этот факт, уже из­
вестный Гауссу, переоткрыл Дедекинд. Шлезингер в своем очерке на
с. 102 и далее объясняет этот набросок Гаусса гораздо подробнее.

СШу < 2 х г + 2у*

Ш Л (у+$)2

1'2

Фактически невозможно коротко и адекватно описать работу Гаусса
в теории модулярных функций. Возникающие концептуальные сомнения
не дают уверенности в том, что фактически означали заметки и наброски
Гаусса и в какой степени они предвосхитили дальнейшую работу Дедекинда, Фрике, Клейна и других. Мы привели лишь образец тех концепций,
которые развивал Гаусс, и тех результатов, которые он получал; вдаваться
в детали имеет смысл только при попытке полной реконструкции, как это
делали Шлезингер или Клейн. Видимо, эта часть работы Гаусса, опублико­
ванная лишь посмертно, имеющая много точек соприкосновения с рабо­
тами Якоби, Эйзенштейна и других, не осталась без последствий. Ее знали
и, видимо, испытали ее влияние Дедекинд, Клейн, Фрике. Сам Гаусс, нес­
мотря на всю свою работу в этой области, на свои вычисления различных
инвариантов, на найденные им связи между арифметикой, в -функциями и
эллиптическими интегралами, видимо, не считал, что в этой области есть
связная теория. Скорее всего, Гаусса и не могла заинтересовать такая аб­
страктная теория - здесь приходит на ум аналогия с теоретико-групповыми понятиями в ’’Арифметических исследованиях ” .3
Ч . В. Бюлер
97

Работа Гаусса с гипергеометрической функцией продолжала обширное
исследование Эйлера ее аналитических свойств .4 Вклад Гаусса выразился
в двух статьях, из которых он сам опубликовал лишь первую. Написанная,
вероятно, в 1811 году, она вышла в 1812 году под заглавием ’’Общие ис­
следования о бесконечных рядах. . . , часть первая” . Она начинается с опре­
деления ряда
а-0

а ( а + I)j3(i3 + 1)

,

F( х) = 1 + ------- X + ~T Z — ^----- 7 — х
1*7

1

• 2 • 7 ( 7 + 1)

Это может вызвать удивление: Эйлер к тому времени уже определил этот
ряд с помощью дифференциального уравнения, дающего и Гауссу, казалось
бы, естественный способ ввести эту функцию. Но он даже не упоминает
о такой возможности, взамен сопровождая свое определение соображения­
ми о его сходимости. В этих соображениях используется геометрический
ряд, причем видно, что, определяя F , Гаусс имел в виду не только действи­
тельные значения х. Затем Гаусс выводит основное функциональное урав­
нение
dF (a, 7 , х)



а • (3

- ■— = —

dx

7

.

F ( a + 1, 0+1, 7 + I , я).

Из этого соотношения следует много других уравнений того же типа,
связывающих F с тригонометрическими функциями (§ 4 и 5). В § 7—11
исследуются линейные соотношения между функциями

F(a,p,y, х),
F(a + \,j3 + n,y + v,x),
F(a + Х',/3 +fi, у + v , х), X, X', ц, ц \ v, v = 0

или ± 1 .

Очевидно, Гаусс стремится найти все важные функциональные соотноше­
ния. В § 12—14 исследуется разложение частного

F(a, Р + 1, у + 1,дс)
F (a, 0 ,г * )
f

с помощью цепных дробей. И методологически, и по существу эти парагра­
фы менее интересны.
В § 15—18 исследуется сходимость F ( a , 0, 7 , 1) при действительных
а, 0, 7 . Затем Гаусс вводит близкую ’’родственницу” функции Г (х), функ­
цию П(х), характеризуемую функциональным уравнением П(х + 1) =
= (л: + 1) П (jc) , и устанавливает ее связь с F. За исключением § 3 и § 15—18,
статья не представляет большого теоретического интереса, но ее доказа98

тельства и весь ход мысли изложены очень ясно, почему даже сегодня она
вполне заслуживает изучения.
Вторая часть, опубликованная посмертно, была написана, вероятно,
сразу после первой. Она состоит из девятнадцати, в сущности, законченных
параграфов. На этот раз Гаусс начинает с определения дифференциального
уравнения
О = o f i F - (7 - (а + 0 + 1) х )

dF
dx

(*)

и выбора граничных условий. Гаусс ограничивается значениями аргумента
| х I < 1 , потому что при | х | > 1 функция становится неоднозначной: в этом
случае ее значение зависит от того, по какому пути мы приходим к данно­
му значению х. Предмет статьи — это анализ различных интересных преоб­
разований и значений функции в некоторых точках. Из этих рассмотрений
хорошо видно, что Гаусс владел техникой интегрирования в комплексной
плоскости, но у него не было понятий аналитического продолжения и монодромии.
Шлезингер выдвинул предположение о том, что статья о гипергеометрической функции была задумана как введение к будущему систематическо­
му изложению теории трансцедентных функций.
Гипергеометрическая функция играла центральную роль в размышле­
ниях Гаусса, потому что в теории эллиптических интегралов и agM ему
встречалось очень много частных случаев гипергеометрического ряда.
Мы не будем здесь подробно обсуждать понятие интеграла у Гаусса.
Хотя это, очевидно, необходимо для полного понимания двух статей,
кратко описанных выше, мы отложим объяснение, которое будет умест­
нее дать ниже, в связи с обсуждением работы Гаусса в прикладной мате­
матике.

ГЛАВА 9
Г Е О Д Е З И Я И ГЕ О М Е Т РИ Я
В 1818-1832 годах большое место в жизни Гаусса занимал обширный
проект геодезического исследования Ганноверского королевства. Гаусс
лично руководил работами в первые годы, а все исследование продолжа­
лось примерно двадцать лет.
Тогдашний интерес к геодезии был в основном практического свойства,
хотя выяснение путем измерений точной формы Земли представляло и
4*

99

определенный теоретический интерес. Этот вопрос уже поднимался в во­
семнадцатом веке, когда обширные измерения привели к полному подт­
верждению ньютоновской теории тяготения . 1 И во времена Гаусса допол­
нительные количественные результаты представляли интерес, но были и
практические заботы. Геодезическая работа пользовалась официальным
одобрением и хорошо финансировалась, потому что военное и экономи­
ческое значение хороших карт было очевидно.
Основная методика различных съемок была проста. Начиная с некото­
рой основной линии очень точно определенной длины, территория, подле­
жащая измерению, должна была быть покрыта сетью треугольников, сторо­
ны которых короче пределов видимости. Фактически работа геодезистов
состояла в формировании такой сети и точном определении ее углов. Оче­
видно, что каждая ’’тригонометрическая точка” должна была быть видна,
как минимум, с двух направлений. Но лучше, когда точка видна с более
чем двух направлений и кроме основных, довольно маленьких, треуголь­
ников есть еще большие — контрольные. На эту работу уходило много вре­
мени; еще больше времени уходило на вычисления, так как никакой вы­
числительной техники не было.
Часть территории была измерена еще во времена Наполеона и соответ­
ствующая сеть была ’’привязана” к триангуляционной сети Нидерландов.
Но работа не была закончена, ее результаты не были достаточно точны, и
положение многих точек сети было забыто .2 После 1815 года все основные
государства центральной Европы предприняли геодезические съемки. Что
касается Ганновера (и Гаусса), инициатива исходила от Шумахера, органи­
затора аналогичных съемок в Дании. В 1818 году Шумахер навел справки,
не захочет ли Гаусс участвовать в продолжении на юг датской сети.* 3 Гаусс,
уже выполнявший небольшие геодезические измерения во время своего
второго брауншвейгского периода, немедленно загорелся этой идеей. Он
составил меморандум для своего правительства, включавший описание
проекта, необходимый штат работников и т.д. Вскоре последовал положи­
тельный ответ, и Гаусс был назначен директором проекта. Правительство
дало запрошенные субсидии, и Гауссу в помощники было придано нес­
колько солдат. В тот момент Гаусс, конечно, не подозревал, что берется
за дело, которое станет для него главным на десять лет жизни, но измере­
ния требовали времени, и трудностей оказалось больше, чем ожидалось.
Первоначальный план предполагал лишь соединение датской сети с уже
имевшимися результатами для Ганновера, но он вскоре был оставлен ради
совершенно независимого исследования Ганновера, а впоследствии и про­
должения сети на территорию вольного города Бремена. Это последнее
*
Датское королевство включало в те времена германские провинции Шлезвиг
и Гольштейн; последний граничил с Ганновером. Шумахер был датским служащим.
Он имел связи с Копенгагенским университетом и с Альтонской обсерваторией (близ
Гамбурга),
100

предприятие имело свои трудности, потому что прибрежная местность бы­
ла совершенно плоской и практически на уровне моря.
Трудности, в свое время заставившие прервать французское исследова­
ние, были обусловлены спецификой топографии Ганновера. Эта страна,
особенно ее западная и прибрежная части, —плоская и покрытая большими
лесами.* Там мало столь необходимых просек, устанавливать триангуля­
ционные столбы трудно, а во многих направлениях — невозможно. Самая
трудная местность — это так называемая Люнебургская пустошь, скудно
населенная полоса земли к югу от Гамбурга, как раз между Гёттингеном,
где была база Гаусса, и датской сетью.
Гаусс был не просто номинальным директором проекта, он лично руко­
водил им. В летние месяцы этих лет он едва ли хоть одну ночь провел в
своей постели и часто проводил лишь по нескольку суток в одном месте,
торопясь от деревни к деревне и перенося все неудобства сельской жизни
(от которой его отделяли всего два поколения) и летнюю жару. Мы видим
Гаусса, одетого по всей форме, в неизменном бархатном колпаке, потею­
щего и отдающего распоряжения солдатам, торгующегося с крестьянами
о том, во что обойдется срубить несколько деревьев, загораживающих
вид от одной тригонометрической точки до другой, организующего разда­
чу инструментов и т.п. Вечера отнимали почти ежедневная переписка с
Шумахером (со сложными указаниями о том, куда посылать письма и ка­
кие писать на них адреса) и бесконечные вычисления. Измерения произ­
водились с помощью небольшого числа гелиотропов, приборов, изобретен­
ных самим Гауссом. В них были передвижные зеркальца, отражавшие
(рассеянный) солнечный свет; после некоторых мелких улучшений они
превратились в очень эффективные орудия, позволяя Гауссу просматривать
гораздо большие расстояния, чем делалось до него, и работать при менее
ясной погоде, чем прежде — при небе, затянутом облаками, без прямых
солнечных лучей. Переписка с Шумахером, Ольберсом и Бесселем живо
воссоздает картину тех трудностей, с которыми приходилось справляться
Гауссу, особенно на Люнебургской пустоши и в окрестностях Бремена.
Некоторое время не было даже ясно, осуществима ли вообще требуемая
триангуляция, и Гаусс провел много недель в тоске и (почти) полном от­
чаянии; счастьем были те моменты, когда падение последнего дерева
открывало вид между двумя точками, подтверждая вычисления и догад­
ки Гаусса. Проиллюстрируем ситуацию выдержкой из письма Шумахеру,
датированного 30 августа 1822 года:
Я здесь со дня на день надеялся на Ваш приезд и все еще надеюсь на него, потому
что еще 8 дней не смогу двинуться отсюда; здесь еще надо установить два направле­
ния: на Вульфсоде, где еще находится Г, Мюллер, и на Кальбслох, куда он передви­
нется через несколько дней. Последнее необходимо потому, что крайне сомнительно,
Удастся ли прорезать линию между Хаузельбергом и Шарнгорстом, так как сама
местность Хасселя может оказаться слишком высокой. Гораздо вероятнее, что дело
* Во всяком случае была покрыта в то время.
101

удастся с Кальбслохом, но я не хотел бы менять Хаузельберг на Кальбслох, так как
из него не видно Вульфсоде.

Куда я отсюда отправлюсь, еще неясно; я хотел бы сначала обсудить это с Вами,
По моим предварительным расчетам, Вильседе стоит на 12,3 м выше уровня Гёттин­
генской обсерватории. Если вы измерили зенитное расстояние для башни Цфкви
св. Михаила в Гамбурге, то сможете уже т еп ^ь в предварительном порядке привести
все к уровню моря. Расстояние от Вильседе до Гамбурга должно составлять
42454 ± м. 4»5

Триангуляция Ганновера привела к двум крупным теоретическим
работам, а именно "Определение разности широт между обсерваториями
Гёттингена и Альтоны из наблюдений с зенитным сектором Рамсдена”
(Bestimmung des Breitnunterschieds zwischen den Sternwarten von Gottingen
und Altona durch Beobachtungen am Ramsdenschen Zenithsektor) (1828)
и ’’Исследования по высшей геодезии” (Untersuchungen iiber Gegenstande
der Hoheren Geodasie), части I и II (1843 и 1846). Обе работы оказали ог102

ромное влияние на развитие теоретической и экспериментальной геодезии,
но они представляют интерес в основном для специалистов. Ограничимся
их краткими сводками, причем начнем со второй работы. Вероятно, это
предварительный вариант задуманного, но так и не написанного большого
трактата по геодезии, наподобие ’’Теории движ ения..
Метод наименьших квадратов был для Гаусса главным средством об­
работки ггодезических наблюдений. Теоретический плод его усилий, теория
конформных отображений, составил тему труда, награжденного Копен­
гагенской премией (1823); мы обсудим его ниже.
В первой части ’’Исследований. . .” рассматривается частный случай кон­
формного отображения эллипсоида на сферу; это позволяет применить в
геодезии обычную сферическую тригонометрию. Маленькие области эллип­
соида отображаются на сферу по формуле
/ (у) = ом - / log к,
где i - мнимая единица, a v - произвольная точка эллипсоида. Константы
a vi к надо выбрать так, чтобы минимизировать искажение отображаемой
области. Техника, которую применял здесь Гаусс, относится к комплекс­
ному анализу и сферической тригонометрии. Общий метод иллюстри­
руется двумя численными примерами: один — на материале Ганновера,
другой — на материалах швейцарского исследования. Заканчивает первую
часть определение азимута на другом конце, его географическая длина и
разность долгот двух точек по длине одной стороны сферического треу­
гольника, азимуту на одном конце и его географической широте. Статья
очень обстоятельна, очевидно, чтобы сделать ее доступной читателям с пло­
хой математической и теоретической подготовкой.
Вторая часть посвящена решению этой же, закончившей первую часть,
задачи, только для треугольника на эллипсоиде, а не на сфере. С помощью
средних величин широт и азимутов, используя технику тригонометрии и
анализа, Гаусс выводит шесть формул (.§ 33), которые сводят задачу к
стандартным приемам, использующим таблицы, составленные им самим
и помещенные в приложении к статье. Эта методика, предложенная Гдуссом, хяала весьма популярной среди геодезистов и применялась до конца
прошлого века.
Что касается крупной геодезической работы, задуманной Гауссом, то
к ней есть лишь несколько отрывочных набросков, не содержащих ничего
интересного для нас здесь.
В работе ’’Определение разности широт. .
Гаусс определяет разность
географических широт двух астрономических обсерваторий — в Альтоне
и в Гёттингене. Он использует при этом крайне тщательные измерения и
сравнение соответствующих зенитных расстояний. Географические дол­
готы этих двух обсерваторий практически одинаковы; определение раз­
ности их широт пополнило геодезическую работу Гаусса и обеспечило
ей добавочный контроль. Измерения были сложными, но вычисления —
нет; примечательно то, как искусно и систематически Гаусс применяет
103

здесь метод наименьших квадратов. Заканчивает работу обсуждение нере­
гулярностей земной поверхности. В приложении Гаусс определяет ее
сжатие, применяя метод наименьших квадратов к имевшимся у него
данным.
Развитие теории конформных отображений прямо связано с геодези­
ческой деятельностью Гаусса. Другое важное направление работы Гаусса
в математике в это время — это систематическое применение метода
наименьших квадратов. И о том и о другом мы ниже скажем подробнее.
Есть менее прямая связь с возрождением и расширением интереса Гаус­
са к основаниям геометрии и к дифференциальной геометрии. Главной
проблемой в основаниях геометрии был в то время статус евклидовского
постулата о параллельных; это была единственная аксиома в системе
Евклида, которую не удавалось проинтерпретировать с помощью конечной
геометрической конструкции. Уже было предпринято много попыток
прояснить роль этой аксиомы, начиная с античности. Большинство из них
было направлено к тому, чтобы либо заменить эту неудобную аксиому
равносильным ’’финитным” утверждением, либо показать, что она выво­
дится из других аксиом Евклида. Интерес к этой проблеме резко возрос
в восемнадцатом столетии; в большинстве работ этого периода авторы
пытались доказать выводимость (и тем самым ненужность) этой аксиомы.
Разумеется, эти усилия успеха не имели, но они привели к получениюраз­
личных результатов, фактически являющихся теоремами неевклидовой
геометрии. В их числе было существование абсолютной длины; этот ин­
тересный факт доказал Ламберт во второй половине восемнадцатого
века. Поскольку это казалось абсурдным, существование абсолютной дли­
ны расценивалось как веское свидетельство в пользу ’’правильности”
и выводимости аксиомы о параллельных. Кстати, сам Ламберт так не
думал — у него была своя точка зрения, и он, кажется, чувствовал, что
возможна непротиворечивая система аксиом без аксиомы о парал­
лельных.
Кестнер в Гёттингене и Пфафф в Гельмштедте оба интересовались этой
проблемой, и Гаусс, возможно, обсуждал ее, будучи студентом, с ними,
а быть может, й с астрономом Зайфером. Дополнительная информация
об этом есть в переписке с Бояи и в заявлениях, сделанных Бояи много
позже, после смерти Гаусса.6
И Бояи и Гаусс пытались решить этот вопрос с помощью некоторых
геометрических построений, не опирающихся на аксиому о параллельных.
Бояи интенсивно работал в этом направлении и после своего возвращения
в Трансильванию и в 1804 году изложил свои открытия в письме к Гауссу.
Он пришел к вьюоду, что аксиома о параллельных на самом деле не неза­
висима, а следует из других евклидовых аксиом. Центральный аргумент
Бояи опирался на следующую конструкцию. Возьмем прямую, восставим
104

к ней на равных расстояниях друг от друга перпендикуляры равной длины
я соединим их коЬцы. В евклидовой геометрии, очевидно,, получится пря­
мая, параллельная исходной прямой, и Бояи старался показать, что: если
не сделать этого заключения, то получится противоречие. В своем ответе
Гаусс похвалил работу друга, но указал на принципиальный дефект в его
рассуждениях: Бояи необоснованно заменил бесконечную конструкцию,
из которой следовала аксиома о параллельных, конечной. Гаусс не указал
в то время, что думает он сам, но он не дал своему другу оснований подоз­
ревать, что не разделяет его убеждения в выводимости этой аксиомы. В
своем ответе Гаусс писал:
. . , Ты хочешь знать мое откровенное мнение без обиняков. Оно состоит в том,
что твой метод меня не удовлетворяет. Я постараюсь сделать камень преткновения,
который я еще там нахожу (принадлежащий к той же группе утесов и рифов, о кото­
рые разбивались до сих пор мои усилия), как можно лучше видным, Я все еще наде­
юсь, что через эти подводные камни удастся переплыть, и что это произойдет на моем
веку. Но теперь я крайне занят другими делами,,, 7

Поэтому вызывает удивление заявление Гаусса, сделанное в 1846 году,
что он был убежден в существовании неевклидовых геометрий в течение
пятидесяти лет (см. с. 155). Его первые решительные и позитивные заяв­
ления, известные нам, датируются не ранее, чем 1816 годом. В книжном
обозрении, вышедшем в этом году, Гаусс обсуждает несколько неверных
доказательств, якобы выводивших аксиому о параллельных из других
аксиом Евклида. Гаусс всегда был очень осторожен в своих публичных за­
явлениях по любому спорному вопросу, и тот факт, что он занял опреде­
ленную позицию, можно понимать как несомненный признак его пол­
ной уверенности в возможности существования неевклидовой геометрии.
Точный смысл этой ’’полной уверенности” неясен, и мы не можем, по край­
ней мере сейчас, выразиться более ясно.
Мы не знаем, как Гаусс фактически рассуждал, но, кажется, он разви­
вал то, что можно расценивать как непротиворечивую (тригонометричес­
кую) модель гиперболической геометрии, или, как он ее называл, транс­
цендентальной геометрии.* Насколько мы можем видеть, Гаусса не интере­
совал философский вопрос о независимости аксиомы о параллельных;
гораздо интереснее для него были фактические геометрические свой­
ства физического пространства. Современники Гаусса не различали долж­
ным образом эти два вопроса и, подобно В. Бояи, больше интересовались
философской стороной вопроса. Эмпирический вопрос, очевидно, не мог
быть решен во времена Гаусса, что он сам, видимо, вполне хорошо созна­
*
Это, конечно, не означает, что Гаусс понимал эту модель и вообще понятие не­
противоречивости в современном смысле. Он выводил теоремы подобно тому, как
это делалось в евклидовой геометрии, и был доволен тем, что в новой геометрии не
возникало противоречий. Не иначе действовали и Я. Бояи и Лобачевский, о работах
которых мы скажем ниже,
105

вал. Есть указания на то, что Гаусс ’’предпочитал”, чтобы пространство бы­
ло неевклидовым.**
Такой радикальный подход к старому вопросу был очень смелым вспомним, что Кант в своей "Критике чистого разума” утверждал, что
евклидова концепция пространства — исходная составная часть нашего
мышления.10
Гаусс иногда упоминал позицию Канта, но никогда, конечно, не раз­
делял ее. Более примечательно то, что эта разница взглядов не повлияла
на, в общем, высокую оценку Гауссом философии Канта, Это отношение
заметно отличается от отношения физиков (позитивистов или неопозити­
вистов) двадцатого века, видевших крах системы кантовского идеализма
в свете частной теории относительности.
Одной из причин того, почему Гаусс, видимо, предпочитал неевклидову
геометрию, было существование абсолютной длины в неевклидовых систе­
мах. В письме к Герлингу он писал: ”в качестве единицы длины можно
взять сторону равностороннего треугольника с углом в 59°59*59", 9999
( . . . konnte man als Raumeinheit die Seite desjenigen glichseitigen Dreiecks
annehmen, dessen Winkel = 59° 59'59", 9999). Это вполне в духе стремле­
ния Гаусса к абсолютным и независимым единицам; другие примеры мож­
но найти в теории магнетизма (см. ниже) и в переписке, где он говорит о
различии между правым и левым.11 Как это должно было бы импониро­
вать Гауссу, если бы сама Природа дала абсолютную единицу своему само­
му важному измерению!
Сам Гаусс не опубликовал ни одной оригинальной статьи на эту тему.
В своей переписке, особенно с Шумахером и Герлингом, Гаусс был вполне
откровенен, но в то же время заботился,чтобы его высказывания не преда­
вались огласке. В числе наиболее значительных была работа Ф.А, Тауринуса, молодого юриста, опубликовавшего две короткие монографии о следст­
виях отказа от аксиомы о параллельных. Его работы не получили извест­
ности, но Гаусс, которому Герлинг указал на них, одобрил и, видимо,
изучал их.
*
Часто утверждают, будто Гаусс хотел решить эту проблему, измеряя очень боль*
шой треугольник, но, насколько мы знаем» это миф, Огромный треугольник Хохенгаген - Инзельберг - Брокен был нужен как контроль сети меньших треугольников,
содержавшихся в нем, Гаусс, несомненно, понимал, что ошибка измерения была
много больше того гипотетического отклонения от 180°, на основании которого,
при должной тщательности, можно было бы сделать вывод о неевклидовости прост­
ранства.9 Кстати, именно Лобачевский первый предложил исследовать звездный
треугольник для экспериментального решения вопроса.
Другой, более ощутимый, но в то же самое время и более гипотетический аспект
проблемы состоит в следующем. Форма Земли была определена в восемнадцатом
столетии путем весьма обширных геодезических измерений, организованных для
того, чтобы решить спор между декартовой и ньютоновской теориями тяготения.
Видел ли Гаусс возможность того, что эти измерения не достигают цели, если наша
геометрия неевклидова? Новое обсуждение основ теории Ньютона, несомненно, ни­
как не входило в то, чего Гаусс мог ожидать.
106

У Гаусса было несколько причин помалкивать о своих убеждениях и
не вступать в публичную дискуссию. Самым важным мотивом могло быть
нежелание вмешиваться в то, что, на его взгляд, было совершенно пустой
философской дискуссией по вопросу, который он должен был считать
в сущности неразрешимым.* По-настоящему интересным для Гаусса было
то, что физическое пространство внезапно оказалось не обязательно евкли­
довым. Едва ли есть хоть малое сомнение в том, что Гаусс развил бы соот­
ветствующую теорию, если бы были хоть какие-то экспериментальные
результаты или выполнимые программы наблюдений. Многие из (часто
фрагментарных) вычислений Гаусса, опубликованных посмертно, связаны
с ’’трансцендентальной тригонометрией”; они показывают, как стремился
Гаусс понять последствия отказа от аксиомы о параллельных. Его взгляд
на проблему очень отличался от нашего; он уподоблял геометрию механи­
ке, называя ее, на тогдашнем уровне ее развития, экспериментальной
наукой и подчеркивая важную роль интуиции.12 Несмотря на сильный
интерес к этому вопросу, Гаусс не мог ожидать, что его можно будет ре­
шить экспериментально, В письмах он выражал убеждение, что более совер­
шенные существа, чем мы, люди, могли бы быть способны интуитивно
видеть, какова реальная геометрия, - быть может, даже мы, смертные,
получаем эту способность после смерти.13
Первое математически корректное и весьма ’’полное” изложение свойств
неевклидовой геометрии было опубликовано в 1831 году. Его автором
был Янош Бояи, сын друга Гаусса, Статья Яноша вышла как приложение
к учебнику (Tentamen), написанному его отцом, немедленно после выхода
пославшим книгу в Гёттинген.14 Реакция Гаусса весьма характерна: он
признает математические успехи Яноша и его храбрость, проявившуюся
в публикации такого дискуссионного материала, но обходит полным
молчанием центральный вопрос о том, какую из различных потенциальных
геометрий следует выбрать.
Последние важные заявления Гаусса по этому вопросу были реакцией
на публикации Лобачевского (1841-1846). Некоторые статьи Лобачевско­
го Гаусс читал по-русски, другие по-немецки; он немедленно признал их
важность и оригинальность. В письме к Шумахеру он подчеркнул их ’’Под­
линно геометрический” характер (см. с. 155).
Начиная с 1815 года позиция Гаусса во всей дискуссии становится стран­
но застывшей и безразличной; кажется, он ограничивается вариациями
на тему о том, что все, что присылают ему, он уже давно знает. Особенно
обижен был Янош Бояи, когда Гаусс написал его отцу, что знает резуль­
таты Яноша вот уже 30-35 лет, что вводило в заблуждение, если вообще
*
Здесь представляется уместным кратко пояснить знаменитое заявление Гаусса
в письме к Бояи, что он молчит потому, что боится ’’крика беотийцев” (das Jeschrei der
Bootier). Это не следует понимать как заносчивое пренебрежение мнениями осталь­
ной части человечества, потому что именно это выражение, видимо, употребляли
Гаусс и его друзья в студенческие годы. ’’Беотийцы” - это необразованные, и слова
эти выражают презрение к необоснованным аргументам и дискуссиям.
107

было верно. Именно здесь (в письме к Бояи от 6 марта 1832 года) фигури­
рует недостойное высказывание Гаусса о том, что он не должен хвалить
работу Яноша, потому что ’’хвалить ее значило бы хвалить самого себя” .15
Интерес Гаусса к неевклидовой геометрии, как мы видели, получил
новый импульс во время его геодезической работы. Есть связи, хотя и не
прямые, между геодезической съемкой и основаниями геометрии; похожие
связи имеются и с работой Гаусса по дифференциальной геометрии и по
конформным отображениям, причем работа в двух последних направле­
ниях фактически началась под влиянием геодезических работ и испытыва­
ла их сильное влияние. Две важнейшие статьи на эти темы называются
’’Решение в общем виде задачи: изображение частей заданной поверхно­
сти на другой заданной поверхности с сохранением подобия в бесконечно
малых частях” (Allgemeine Auflosung der Aufgabe die Theile einer gegebenen
Flache so abzubilden, dass die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten
Theilen ahnlich wird, Собрание трудов, VI, 1822) и ’’Общие исследования
о кривых поверхностях” (Disquisitiones generates circa superficies curvas,
Собрание трудов, IV, 1827). Первая из этих двух статей была представ­
лена на конкурс Датской академии наук, и мы будем называть ее ’’Рабо­
той на Копенгагенскую премию” *
Аналитическая геометрия, как мы знаем, развивалась одновременно
с дифференциальным и интегральным исчислением. Первые важные шаги
в дифференциальной геометрии сделал Эйлер, из его ближайших последо­
вателей самый крупный - Лежандр. К числу первых проблем, вставших
в дифференциальной геометрии, относятся развертка двумерных поверх­
ностей (например цилиндров) на плоскость и общая проблема картогра­
фии, то есть поиск наилучшей проекции Земли на плоскость,
Гаусс активно участвовал в решении обеих проблем, но исторически
наиболее важней его вклад в дифференциальную геометрию состоит в
идентификации и исследовании некоторых инвариантов, внутренне прису­
щих геометрическим объектам; самый важный из них - кривизна. Идеи
Гаусса привели к совершенно новому взгляду на объекты дифференциаль­
ной геометрии, впоследствии названному ’’внутренней дифференциаль­
ной геометрией” . Свои основные результаты в этой области Гаусс опубли­
ковал сам; материал, опубликованный посмертно, не стоит обсуждать,
Исходный вопрос, который ’Табота на Копенгагенскую премию” призва­
на была решить, состоял в выводе всех возможных проекций, могущих
быть полезными при составлении карт. Говоря точнее, задача состояла в
том, чтобы отобразить произвольную заданную область в другую область
таким образом, чтобы ’’образ был похож на оригинал в своих мельчайших
♦После предложения Шумахера Гаусс сам сформулировал тему этой работы, од­
нако воздерживался от участия в конкурсе в течение двух лет. Но серьезных со­
перников не было, и он, наконец, представил свою работу; она была награждена
по справедливости.
108

частях” . Частными решениями были стереографическая проекция сферы,
известная еще с античности, и проекция Меркатора. Для отображения

сферы (глобуса) на плоскость проблема уже была решена во всей общно­
сти Ламбертом. В своем труде Гаусс дает полное решение, выводя общий
критерий конформности для отображений из произвольных областей в
произвольные. Его основными средствами служат интегральные преобра­
зования, нужные, чтобы привести квадрат линейного элемента к виду,
знакомому по исследованиям Эйлера и Лагранжа.
Ход рассуждений Гаусса прям и начинается со следующего условия
сходства (§ 4 ): ”. . . чтобы все бесконечно малые линии, начинающиеся
в некоторой точке первой области и целиком содержащиеся в ней, были
пропорциональны соответствующим линиям во второй области; и,
во-вторых, чтобы первые линии образовали такие же углы, что и вторые” .
Среди прочих результатов, Гаусс получил простое условие того, что две
области могут быть развернуты друг на друга. Работа на Копенгагенскую
премию заканчивается обсуждением трех примеров: конформного отобра­
жения плоскостей в плоскости, конформного отображения сферы в плос­
кость и конформного отображения эллипсоида вращения на плоскость.
Аналитические средства, применяемые в этой работе, — это так называе­
мые уравнения Коши—Римана16 и уже упомянутые преобразования квад-

Гаусс в 1828 году (литография С. Бендиксена)
109

ратов линейных элементов в соответствующих областях. В ней впервые
конформные отображения рассматриваются в общем виде; при этом
дается много примеров и есть зачатки теории изометрических отобра­
жений.
Основная работа Гаусса по дифференциальной геометрии — это ’’Общие
исследования о кривых поверхностях” (закончена в 1827 году, опублико­
вана в 1828 году). При всем своем значении, эта статья все же слишком
мала, чтобы сравниться с ’’Арифметическими исследованиями” и их ролью
в развитии теории чисел, несмотря на сходство заглавий. В ней Гаусс
ввел несколько новых концепций, в том числе уже упомянутую меру кри­
визны и развитую в § 13 основу для важного нового направления в диф­
ференциальной геометрии — внутренней дифференциальной геометрии.
Двумя главными источниками вдохновения Гаусса, как он сам писал,
были астрономические соображения, включая сферическую тригонометрию,
и теоретическая геодезия. Вся работа относится только к трем измерениям
и к евклидову пространству Е 3. Астрономические конструкции Гаусса
привели его к следующему определению меры кривизны £ (А) в точке А
поверхности М в Е 3:
площадь (f (£>*))
(*)
К (А) = Ит ----------------------- [’’гауссова кривизна”] ,
е -►о площадь (De )
где D 6 — компактная е-окрестность точки А в М , a f(.De) —соответствую­
щая гиперповерхность на S 2 ; фактически, это — полная кривизна (curvatura totalis или integra) рассматриваемой поверхности. Это модернизо­
ванная формулировка, особенно формула (*). Формулу меры кривизны
поверхности, которую дал Гаусс, можно найти в секции 10 ’’Общих ис­
следований . . .
D D " -D '2

к ~ (А2 +В2 +С2)2



где А, В, С и D, D ' , D" означают некоторые дифференциалы. Запись эта,
конечно, гораздо менее ясна, чем (*). Дальнейшая проблема состоит в
явном вычислении кривизны; самый выдающийся результат — это зна­
менитое уравнение
,
/ dE
dG
dF
dG
/ d G \2 \
4 (EG - F 2)k = E [ — ----------- 2 ------ • — + ( —
+
\d q
dq
dp
dq
\ dp) !
/d E
dG
dE
dG
dE dF
dF dF
dE d G \
+ F I ------ ----------------------------- 2 -------------+ 4 ----------------2 ------------ )+
\ dp
dq
dq
dp
dq dq
dp dq
dp dp /
/d E

dG

V dp

dp

^ dE d F ^ / d E \ 2 '
dp

, / d zE
— 2(EG - F ) ( — - 110
\d q 2

dq

\ dq/ -

d* F
d G \
2 -------- + — - ),
dpdq
dp2 )

где Е, F и G — параметры, характеризующие исследуемую поверхность.
Это уравнение называется ’’уравнением Гаусса” , Оно применимо к любой
области Л/, являющейся образом вложения / : U Е 3, где U — открытое
подмножество R 2 . Геометрический смысл этого уравнения выражает зна­
менитая ’’теорема чести” (theorema egregium) Гаусса:
Если область в Е 3 можно развернуть (то есть изометрично отобразить) в другую
область в Е 3 у то значения гауссовой кривизны в соответствующих точках равны.

Эта теорема привела к знаменитой и влиятельной программе Гаусса
по развитию внутренней дифференциальной геометрии. Процитируем
итог, подведенный самим Гауссом (Собрание трудов, том IV, с. 344—345) :
Эти теоремы ведут к новому взгляду на теорию кривых поверхностей и откры­
вают широкую, совершенно неизведанную область для исследования. Если интерпре­
тировать эти области не как границы твердых тел, а как пленки, которые можно изги­
бать, но не растягивать, то становится видно, что надо рассматривать два типа су­
щественно различных соотношений, а именно те, которые предполагают определен­
ную форму поверхности в пространстве, и те, что независимы от формы поверхности.
Здесь обсуждаются последние. Согласно сказанному выше, кривизна принадлежит
к их числу. Легко видеть, что фигуры на поверхности, их углы, их площади и полная
кривизна, кратчайший путь между точками и т*пв, попадают в эту же категорию.
Все эти исследования основаны на том факте, что природа кривой поверхности дана
неопределенным линейным элементом вида \j(E d p 2 + IFdpdq + Gdqа ) . 17

Дальнейшие результаты Гаусса связаны со свойствами некоторых геоде­
зических на гиперповерхности в J?3, в том числе известная лемма Гаусса
о существовании ортогональной сети кривых на М. В сводке Гаусс указы­
вает еще и на тот факт, что полная кривизна ’’геодезического треугольни­
ка” равна тому, на сколько сумма его углов превосходит 180 , Это зна­
менитое утверждение известно теперь как теорема Гаусса - Бонне. За­
канчиваются ’’Общие исследования . . .” обобщением теоремы Лежандра
о соотношении между углами сферического треугольника; Гаусс исследо­
вал это соотношение и для несферических треугольников. Одно потен­
циально важное приложение касалось геодезических треугольников: Гаусс
рассмотрел в качестве примера свой большой ’’проверочный треугольник”
(из своего геодезического исследования) Брокен - Хохенгаген - Инзельберг, для которого вычислил необходимые поправку. Сам Гаусс вполне
сознавал тот факт, что это только теоретическое упражнение; 1 марта
1827 года он писал Ольберсу следующее:
В практическом отношении это, однако, совершенно неважно, потому что на самом
деле даже для самых больших треугольников, которые можно измерять на Земле,
эта неравномерность в распределении незаметна, но честь науки требует ясного пони­
мания природы этой неравномерности . . . 18

Достаточно странно, что в опубликованной статье он приводит это
соображение лишь в завуалированной форме.
Быть может, стилистически ’’Общие исследования . . . ” - самая совер­
шенная из коротких работ Гаусса: изложение аналитично, прямолинейно
и очень четко. Гаусс имел все основания считать ее вполне законченным и
111

в разумном смысле полным выражением своих геометрических идей.
Часто жалеют о том, что там не упоминается неевклидова геометрия; одна­
ко, эта работа и так весьма насыщена содержанием: здесь Гаусс черпал из
всех источников, питавших его геометрическую интуицию, - анализа,
астрономии, сферической тригонометрии и геодезии; результатом явился
ряд понятий и теорем, отразивший весь диапазон его геометрических
идей и оказавший решающее влияние на дальнейшее развитие предмета.
По сравнению с Эйлером, самым важным своим .предшественником
в дифференциальной геометрии, Гаусс продвинулся намного дальше.
Хотя Эйлер употреблял термин ’’мера кривизны” , в его работе это — гло­
бальное свойство, неприменимое, скажем, к описанию кривизны Земли.
Мотивация работы Гаусса в дифференциальной геометрии прочно коре­
нится в его геодезической работе, хотя по степени общности она намного
превзошла свой источник.
Рассмотрим здесь же работу Гаусса в родственной области математи­
ки, вариационном исчислении. Это направление начало развиваться в во­
семнадцатом веке в связи с решением экстремальных проблем математи­
ческой физики; по физическим, так же как и по математическим и фи­
лософским причинам, вариационное исчисление было центральной темой
математики восемнадцатого века.
Средства решения экстремальных задач — это интегрирование по частям
и интегральные преобразования. Трудности при этом двоякие. Во-первых,
математическая формулировка экстремальной задачи часто неясна, и может
быть неочевидно, какой из нескольких возможных подходов приведет к
решению. Особенно трудно подобрать правильные или наилучшие гранич­
ные условия. Вторая из основных проблем состоит в разработке, в рамках
дифференциального и интегрального исчисления, адекватного и математи­
чески корректного метода для определения вариаций и работы с ними.
Исторически, было два принципиально различных подхода: вариация обла­
сти интегрирования и вариация независимой переменной. Первый метод
математически проще, но бесполезен, если нужно решать геометрическую
задачу. Лагранж нашел основную формулу для вариации независимой
переменной; проблема состоит в варьировании выражения
j = Я V(x, у, z , p , q , . . . ) d x d y ,
где z - функция независимых переменных л:, у, &р, q> . . . — частные про­
изводные .
При некоторых упрощающих предположениях Лагранж вывел формулу
/ Э(А + V8x)
Э(В + Уду) \
8 J = JJSlcodxdy + f f [ ----- ---------+ ----------------J d x d y ,
\
Ъх
оу
/
где
8 f z = J8zt
112

b d x = dbx,

8 d 2x = d 28 x

(формальное дифференцирование по х, у , 2, dx, d y , dz, — ) и
oj = Sz

- p b x - pby,

A = Po) + . . . ,

dp
bQ
£ l = N ------------ — ,
Эх
by

B= Qco + . . . ,

где
ЭК

ЭК

ЭК

э?

Эр

Э