Численный расчет тонкостенных стержней открытого профиля в MSC Patran-Nastran [Виталий Афанасьевич Жилкин] (pdf) читать онлайн

УДК 539.3 + 004.42
Численный расчет тонкостенных стержней открытого профиля
В MSC Patran-Nastran
В. А. Жилкин
Около 2000 г. в России появилась новая отрасль строительной индустрии, ориентированная на изготовление несущих и ограждающих конструкций малоэтажных зданий различного назначения из легких
стальных тонкостенных конструкций (ЛСТК) из гнутых профилей, изготавливаемых из оцинкованной стали. Это потребовало разработки методов проектирования и исследования таких конструкций. Конечно-элементный (КЭ) расчет ЛСТК стандартными программными продуктами затруднен в связи с тем, что при
использовании стержневой аппроксимации они зачастую не учитывают стесненное кручение конструктивных элементов, что не позволяет точно определить напряженно-деформированное состояние конструкции.
Использование КЭ оболочки приводит к возрастанию числа узлов и элементов по сравнению со стержневой аппроксимацией в несколько раз, что нежелательно при расчете сложных конструкций. Это явилось
причиной разработки новых аналитических и численных методов расчета тонкостенных стержневых систем, создания специальных конечных элементов, имеющих не шесть, а семь степеней свободы (седьмая
степень свободы учитывает депланацию) сечения. MSC Patran-Nastran имеет конечный элемент CBEAM,
обладающий семью степенями свободы, однако процедура его использования в научной литературе не описана. В данной работе приводится методика использования элемента CBEAM и результаты сопоставления
численного анализа напряженно-деформированного состояния тонкостенного стержня открытого профиля
в условиях несимметричного нагружения при стержневой, оболочечной и трехмерной аппроксимациях.
MSC Patran-Nastran, при применении элементов CBEAM, позволяет, используя стержневую аппроксимацию
балок, выполнять расчеты балок открытого тонкостенного профиля на прочность и жесткость. Напряжения
и перемещения в точках поперечных сечений балки при стержневой аппроксимации не противоречат аналогичным величинам, найденным при оболочечной и трехмерной аппроксимациях.
Ключевые слова: тонкостенный стержень, депланация поперечных сечений балки, свободное и стесненное кручение, бимомент, секториальная площадь, секториальный момент кручения, MSC Patran-Nastran,
элемент CBEAM.

Историческая справка [12]
Для тонкостенных стержней открытого
профиля гипотеза плоских сечений применима
только в том случае, если равнодействующая
внешней нагрузки проходит через центр изгиба,
точку сечения, относительно которой момент
касательных сил, действующих в сечении при
поперечном изгибе, равен нулю. В этом случае
стержень испытывает только изгиб (без кручения). В противном случае при изгибе возникает
кручение. Если продольные перемещения точек
поперечных сечений балки не стеснены, то возникает чистое кручение, при котором в качестве
оси поворота сечения (оси кручения) может
рассматриваться любая ось, параллельная оси
стержня. Расчетные соотношения (значения
напряжений, жесткость на кручение и др.) не
зависят от выбора центра поворота сечений;
перемещения определяются с точностью до
движения стержня как твердого тела. В задачах

стесненного кручения, когда некоторые сечения
стержня закреплены, такой произвол отсутствует – ось кручения становится вполне определенной. Стесненное кручение приводит к возникновению нормальных напряжений, которые
по величине могут превосходить напряжения,
вызванные изгибом балки.
Отклонение от закона плоских сече­ний при
действии на балку поперечной нагрузки, не проходящей через центр изгиба, впервые обнаружил
экспериментальным путем в 1909 г. Бах [13].
Современная теория тонкостенных стержней возникла как частный случай из более общей теории В. З. Власова [14] и основана на
рассмотрении тонкостенного стержня как пространственной системы типа цилиндрической
или призматической оболочки с жестким профилем. Им были введены новые геометрические характеристики сечения, испытывающего депланацию, и новое внутреннее усилие –
84

в центре поворота, ограниченного радиус-векторами, определяющими положения начальной
точки отсчета дуг и текущим значением дуговой координаты s;
p(ξ) – длина перпендикуляра, опущенного
из центра поворота на направление касательной
к средней линии контура сечения в точке ξ;
u0 – осевое смещение в точке начала отсчета дуг.
Из (1) следует пропорциональность депланации сечения (u – u0) секториальной площади ω(s).
Третья гипотеза позволяет, воспользовавшись законом Гука для линейного напряженного состояния, определить нормальные напряжения σ, вызванные стесненным кручением

изгибно-крутящий бимомент. В отличие от сил
и моментов, рассматриваемых в статике твердого тела, бимомент не может быть определен из
уравнений равновесия тела, так как он определяется самоуравновешенной системой сил.
Техническая теория изгиба с кручением
тонкостенных стержней [15]
Все законы и формулы, приводимые в стандартных курсах «Сопротивление материалов»,
связанные с расчетами брусьев на прочность
и жесткость, справедливы лишь при принятии
гипотезы плоских сечений. Плоские сечения
имеют шесть степеней свободы: три линейных
перемещения u, v, w в направлении координатных осей x, y, z и три угловых перемещения φx,
φy, φz относительно координатных осей x, y, z.
При нарушении плоскостности поперечного сечения – депланации сечения – возникает седьмая
степень свободы, приводящая к дополнительным напряжениям и деформациям и к новым
внутренним силовым факторам.
В дальнейшем будем считать, что ось x направлена вдоль оси стержня, а оси y и z лежат
в плоскости поперечного сечения стержня.
При стесненном кручении тонкостенных
стержней принимают три основные гипотезы:
1) сечение стержня не искажается в своей
плоскости;
2) в срединной поверхности стержня отсутствуют деформации сдвига;
3) «поперечные» нормальные напряжения отсутствуют (волокна бруса не давят друг
на друга).
В соответствии с первой гипотезой поперечное сечение стержня поворачивается на
угол θ(x) как жесткое целое, что позволяет
определить составляющую us перемещения
θ(x)r точки контура вдоль касательной к контуру (r – расстояние точки от центра поворота).
Используя соотношения Коши
=
γ

σ x =E ε x =E

0,
∫ Eω( s )dF =
F

σ x =−

d 2θ
Eω ( s ) ,
dx 2

(4)

из которого следует, что нормальные напряжения стесненного кручения пропорциональны
секториальной площади и не могут быть определены ранее, чем будет определена функция
углов поворота θ(x).
Для стержня постоянного сечения с постоянными характеристиками жесткости по длине
дифференциальное уравнение стесненного кручения имеет вид
2
m ( x)
d 4θ
2 d θ
,
−
β
= k
4
2
EJ ω
dx
dx

∂us ∂u
+
∂x ∂s

dθ
u=
− ω ( s ) + u0 ,
dx

Jω=

∫ p ( ξ )d ξ

(3)

где F – площадь поперечного сечения, из (2) получают выражение для нормального напряжения стесненного кручения:

где

где ω ( s )=

(2)

где E – модуль упругости материала бруса.
Выбирая центр поворота сечения в центре
кручения (центре изгиба) и начало отсчета дуг
в точке, для которой выполняется условие

и вторую гипотезу γ = 0, находят частную производную перемещения u от дуговой координаты ∂u ∂s . Интегрируя выражение для частной
производной, определяют осевое смещение точек срединной линии сечения

s

∂u
d 2θ
∂u
=− 2 E ω ( s ) + 0 E ,
∂x
∂x
dx

(5)

GJ
(6)
β2 = k ,
EJ ω
mk(x) – распределенный крутящий момент;

(1)

∫ ω dF
2

– секториальный момент инерции;

F

EJω – секториальная жесткость сечения;

– секториальная площадь,

L

J=
k

0

равная удвоенной площади сектора с вершиной
85

1 3
δ ( s ) ds – момент инерции при кручении;
30

∫

В е с т н и к ЧГАА. 2013. Том 65

Решение тестовой задачи методами
сопротивления материалов
Исследуем напряженное и деформированное состояния стальной консольной балки
длиной L = 600 мм, левый торец которой жестко защемлен, а правый загружен сосредоточенной силой Р = 1000 Н, приложенной в центре
тяжести поперечного сечения. Упругие характеристики материала балки: E = 2·105 Н/мм2;
G = 8·104 Н/мм2. Поперечное сечение балки –
швеллер № 14.
Ось x координатной системы направим
вдоль оси недеформированной балки, направление осей y и z определяются правилом векторного произведения векторов.
Учитывая, что в дальнейшем при создании КЭ модели поперечного сечения швеллера
будем использовать конечные элементы в виде
прямоугольников и параллелепипедов, модифицируем вид поперечного сечения швеллера,
приняв ширину полки b = 60 мм, толщину стенки δ1 = 5 мм, толщину полок δ = 8 мм. Так как
швеллер относят к тонкостенным брусьям, то
его геометрические характеристики зачастую
вычисляют, приняв за основу среднюю линию
сечения. Примем h = 132 мм, b = 57,5 мм.
Для вычисления геометрических характеристик модифицированного сечения воспользуемся возможностями приложения Properties
MSC Patran. Результаты вычислений геометрических характеристик швеллера в MathCAD по
формулам сопротивления материалов и в MSC
Patran приведены в таблице 1.
Так как величины геометрических характеристик, вычисленные в MathCAD и MSC Patran,
близки, то в дальнейшем используются результаты расчета в MSC Patran.
При поперечном плоском изгибе в плоскости наибольшей жесткости (xoz) при приложении нагрузки в центре изгиба максимальные
нормальные напряжения σmax и максимальный
прогиб zmax свободного торца балки равны:

δ(s) – толщина поперечного сечения;
s – дуговая координата.
Решение однородного дифференциального
уравнения (5) в матричной форме имеет вид


(7)
θ ( x ) = Φ ⋅ θ ( 0) ,
где
 Φ1
 ′
Φ
Φ = 1
 Φ1′′

 Φ1′′′

Φ2
Φ′2
Φ′′2
Φ′′′2

Φ3
Φ′3
Φ′′3
Φ′′′3

Φ4 

Φ′4 
,
Φ′′4 

Φ′′′4 

Фi (i = 1, 2, 3, 4) – нормальные фундаментальные функции;
Ф1(x) = 1; Ф2(x) = x; Ф3(x) = ch(βx) – 1;
Ф4(x) = sh(βx) – βx.
Частное решение:
∗
Φ=
( x)

x

1
Φ4 ( x − ξ) m (ξ) d ξ .
EJ ω 0

∫

(8)

При отсутствии распределенной нагрузки
Φ∗ ( x ) ≡ 0 .
При изгибе и кручении тонкостенного
стержня с постоянными параметрами упругости нормальные напряжения определяются по
формуле
N
My
M
d 2θ 
=
σ E + z
− y z − 2 ω
F
Jy
J z dx 

или, вводя понятие бимомента
M ω=

∫ σωdF ,
F

σ=

My
M
M
N
+z
− y z +ω ω .
F
Jy
Jz
Jω

(9)

Здесь оси x и y являются главными осями
инерции.

Таблица 1
Сопротивление
материалов, MathCAD
F = 1,58·103
Площадь, мм2
4
Осевой момент инерции, мм
Jx = 4,971·106
Геометрическая жесткость на кручение, мм4
Jk = 2,513·104
Центр тяжести поперечного сечения, мм
xЦТ = 19,241
Расстояние от стенки швеллера до центра жесткости, мм
xC = 20,702
Расстояние между центром жесткости и центром тяжести, мм xЦТ + xC = 39,911
Геометрическая характеристика

86

MSC Patran
A = 1580
Jx = 4981307
Jk = 25126,67
xЦТ = 19,20886
xC = 20,701754
39,91061

σ max=

Так как на правом торце балки при x = L
напряжения σ отсутствуют, то

M max_ изг PL h
=
= 8, 432 Н/мм2 (МПа),
Wy
Jy 2
=
zmax

∫

3

PL
= 0,072 мм.
3EJ y

F

σωdF = −

d 2θ
EJ ω = 0 и, следовательно,
d2x

d 2θ
При изгибе в плоскости наибольшей жест(13)
( L) ≡ 0 .
d 2x
кости (xoz), но при приложении нагрузки в центре тяжести поперечного сечения швеллера
Крутящий момент на правом торце балки
балка не только изгибается, но и скручивается. равен Mk = Pe, и, принимая во внимание уравнеЖесткое защемление одного из торцов балки ние (5), получим
препятствует свободному перемещению точек
dθ
d 3θ
сечений, примыкающих к заделке, в резуль(14)
GJ k
L
EJ
L =
Pe .
−
( )
ω
3 ( )
dx
dx
тате чего сечения депланируют. Каждая точка
срединной линии тонкостенного сечения хаОткуда при учете (13), (11) (14), (11) и (12)
рактеризуется теперь не двумя, а тремя коор- после преобразований найдем
динатами: y, z, ω. Если при вычислении сектоB
Pe
.
(15)
риальных характеристик поперечного сечения
A=
− th ( βL ) ; B = −
EJ ω
β
выбраны главная нулевая секториальная точка
По (10) и (15) угол поворота поперечных
(для нее секториальная координата равна нулю)
и центр поворота в центре изгиба, то сектори- сечений определяется выражением
альный момент инерции
Pe
=
θ
{th(βL) ch (βx ) − 1 − sh (βx ) + βx} , (16)
3
2
9
6
β EJ ω
J ω =∫ ω dF =1,74 ⋅ 10 мм
а нормальные напряжения, вызванные стеснен(F )
остается единственной геометрической величи- ным кручением, по формуле
ной, характеризующей сопротивляемость тонPeω sh β ( L − x ) 
костенного стержня искривлениям поперечных
.
(17)
σω ( x ) = 
βJ ω
ch ( βL )
сечений.
Определим угол поворота свободного торПостроим эпюру нормальных напряжеца балки.
ний стесненного кручения σω(0) в опасном сеВ рассматриваемом нами случае при x = 0
чении профиля в MathCAD (рис. 1). Точки с1
и с2 – крайние точки полок швеллера (с1 – нижdθ
няя точка, с2 – верхняя точка); точки с11 и с22 –
θ ( 0) ≡ 0 ,
( 0) ≡ 0
dx
угловые точки швеллера, нижняя и верхняя.
решение (7) дифференциального уравнения (5)
Эпюра суммарных нормальных напряжений
примет вид
в опасном сечении приведена на рисунке 2. Как
следует из приведенного рисунка, максимальные
A
B
,
(10)
суммарные нормальные напряжения значитель=
θ
ch
β
x
−
1
+
sh
β
x
−
β
x
(
)
(
)
(
)
(
)
β2
β3
но превышают нормальные напряжения, вызвангде для сокращения записей введены обозна- ные изгибом (21,006 МПа против 8,432 МПа).
чения:
При деформации изгиба сечение стержня
получает
поступательное смещение вдоль осей
d 2θ
d 3θ
y и z. Деформация кручения приводит к повороA = 2 ( 0) ; B = 3 ( 0) .
dx
dx
ту на угол θ вокруг оси, проходящей через ценНайдем производные от выражения (10)
тры жесткости сечения. Связь упругих перемещений (V, W) центров тяжести сечений стержня
dθ A
B
и центров жесткости (V1, W1) выражается следуsh ( βx ) + 2 ( ch ( βx ) − 1) ;
=
dx β
β
ющими соотношениями:
d 2θ
B
= Ach ( βx ) + sh ( βx ) ;
2
β
dx
d 3θ
= Aαsh ( βx ) + Bch ( βx ) .
dx3

(11)

V = V1 + ez θ ; W = W1 + e y θ ,

(12)

где ey, ez – координаты центра жесткости,
ezθ = const и eyθ = const.
87

В е с т н и к ЧГАА. 2013. Том 65

Рис. 1

Рис. 2

Properties…, указывается, что с опцией General
Section Beam будет использоваться элемент BAR
(рис. 3), элемент общего назначения, который
применяется при расчетах на растяжение-сжатие, кручение и поперечный изгиб в двух перпендикулярных плоскостях. В этом элементе
реализуется гипотеза плоских сечений и потому он не может учесть депланацию сечения
тонкостенных профилей.
После задания граничных условий на экране монитора появится изображение сечения
с приложенной к оси бруса силой, проходящей
через центр тяжести сечения (рис. 4).
Результаты расчета балки в приложении
Analysis, в точности совпадающей с величиной максимальных изгибных напряжений σmax,
найденных по формулам сопротивления

Таким образом, прогиб свободного торца
балки равен
=
W

PL3
+
=
θe 0,072 + 4,523 ⋅ 10−3 ⋅ 39,91
= 0, 253 мм.
3EJ y

Анализ напряженного и деформированного
состояний консольной балки
в MSC Patran. Стержневая модель
При создании конечно-элементной модели
балки будем использовать стандартные процедуры, описанные в [11].
Если в приложении Element Properties
с опциями Object : 1D, Type : Beam будем использовать General Section, Standart Formulation, то
на всплывающей панели Input Properties, появляющейся после нажатия на клавишу Input
88

материалов, в то время как погрешность в определении перемещения ymax (MSC Patran вывел
величину 0,0852 мм), составила
=
δwmax

изгиба и центром тяжести (e = –39,910614 мм).
Эта операция выполняется при задании свойств
конечных элементов (рис. 7).
В этом случае КЭ расчет балки приводит
к тем же самым величинам максимальных изгибных напряжений σmax. Стрелка прогиба
wmax = 0,266 мм. Ошибка в определении стрелки
прогиба, по сравнению с решением сопротивления материалов, составила

0,0852 − 0,072
=
100% 18,3% .
0,072

Если в приложении Element Properties
используется General Section (CBEAM), то на
всплывающей панели Input Properties указывается элемент CBEAM (рис. 5). В поле Warping
Option (опция коробления) следует задать условия коробления на торцах элемента.
В этом случае по умолчанию сила прикладывается к центру изгиба открытого профиля,
а ось балки совмещается с осью кручения профиля (рис. 6). КЭ расчет балки в этом случае
приводит к тем же самым величинам максимальных изгибных напряжений σmax и стрелке
прогиба ymax, что и для элемента BAR.
Для приложения силы в центре тяжести торцевого сечения ось балки необходимо передвинуть на величину расстояния между центрами

=
δwmax

0, 266 − 0, 253
=
100% 5,1% .
0, 253

Нормальные напряжения в точках поперечного сечения балки, вызванные депланацией
сечений, при стержневой аппроксимации балки
не могут быть определены в принципе. Поэтому
MSC Patran выдает только величины бимоментов Mω(x) (Warping Torque), график которых для
рассматриваемой задачи приведен на рисунке 8.
График бимоментов построенный по формулам сопротивления материалов приведен на
рисунке 9.

Рис. 3

Рис. 4

89

В е с т н и к ЧГАА. 2013. Том 65

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

90

Рис. 9

Рис. 10

Если наложить друг на друга рисунки 8 и 9,
то мы увидим, что распределения бимоментов
вдоль балки, определенных обеими методами,
практически совпадают (рис. 10), что влечет за
собой совпадение величин нормальных напряжений σ, вычисляемых по формуле (9).
Итак, при стержневой аппроксимации тонкостенной балки конечными элементами CBEM
удается определить как нормальные напряжения точек поперечного сечения, так и перемещения центров тяжестей поперечных сечений,
величины которых не противоречат величинам, найденным по формулам стержневой аппроксимации.

К верхней полке правого торца балки мы
должны приложить силу Р = 1000 Н, линия действия которой проходит через центр тяжести сечения. Однако при заданной нами сетке КЭ мы
сделать этого не можем. Силу мы можем приложить либо к узлу, либо к элементу. Так как размер конечного элемента вдоль полки 57,5/12 =
= 4,792 мм, то расстояние от стенки швеллера до
центра тяжести равно 16.741 4.792 = 3.494  3.5
КЭ. Поэтому при узловом приложении нагрузки
линия действия силы не будет проходить через
центр тяжести и граничные условия, принятые
нами при использовании формул сопротивления материалов, будут отличаться от принятых
в МКЭ. Если же нагрузку приложить к центру
тяжести четвертого от стенки элемента, то длина
балки уменьшится на 5 мм, так как размер элемента в направлении длины балки равен 10 мм.
Приложим нагрузку к третьему от стенки швеллера узлу. Деформированный вид балки, изополя
нормальных напряжений σx и их величины, величина максимальных перемещений w (в направлении оси z) приведены на рисунке 11. Эта модель
швеллера в большей степени по сравнению с одномерной моделью отображает реальное поведение тонкостенной балки, загруженной сосредоточенной силой, не проходящей через центр изгиба,
однако требует больших вычислительных затрат
и больших ресурсов ЭВМ.

Анализ напряженного и деформированного
состояний консольной балки
в MSC Patran. Оболочечная модель
При создании оболочечной конечно-элементной модели балки будем использовать стандартные процедуры, описанные в [11]. Размеры
поперечного сечения швеллера зададим для его
средней линии. Вдоль длины балки создадим
60 элементов, по высоте швеллера – 26 элементов и по ширине полки – 12 элементов. Таким
образом, для оболочечной модели общее число
элементов равно 3000, в то время как для стержневой модели для решения поставленной задачи
нам потребовалось всего 20 элементов.
91

В е с т н и к ЧГАА. 2013. Том 65

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Ранее в MathCAD для средней линии сечения в полке мы получили линейную эпюру напряжений с крайними ординатами σx =
= –11,342 МПа и σx = 21,006 МПа (рис. 2). Таким образом, решения, полученные в MathCAD
и MSC Patran, близки, учитывая тот факт, что
92

MSC Patran выводит напряжения не средней
линии, а на верхней поверхности оболочечного
элемента.
Эпюры нормальных напряжений σx в опасном сечении приведены на рисунке 12 (полка швеллера) и рисунке 13 (стенка швеллера).

а

б
Рис. 14

Hex при создании 3D-элементов, необходимо
создать изопараметрические тела в приложении
Geometry с опциями Object : Solid и Method : XYZ.
Для того чтобы узлы элементов полки и стенки совпали, разбиваем ширину полки на 12 элементов по ширине и на 2 элемента по толщине.
Вдоль высоты стенки выбираем 124/4 = 31 элемент. По длине швеллера выбираем 120 элементов (600/5). Левый торец швеллера жестко защемим (рис. 14 а), а к правому торцу приложим сосредоточенную силу Р = 1000 Н (рис. 14 б).
Деформированный вид балки, изополя
нормальных напряжений σx и их величины, величина максимальных перемещений w (в направлении оси z) приведены на рисунке 15.
Перемещение в направлении оси z точки
стенки, лежащей на оси симметрии швеллера
и наиболее удаленной от центра тяжести, определенное MSC Patran, равно 0,17954 мм, по формулам сопротивления материалов – 0,181 мм.
Относительная ошибка в определении w составила порядка ~1 %. Относительная ошибка
в направлении угла поворота не превышает 5 %:

Напряжения выведены в узлах элементов (левый
рисунок) и в центре тяжести элементов (правый
рисунок). Как следует из этих рисунков, линейность эпюр σx нарушается в месте стыковки элементов полки и стенки; величины напряжений
в центре тяжести элементов ближе к результатам, полученным по формулам сопротивления
материалов.
Перемещение точки стенки, лежащей на оси
симметрии швеллера, в направлении оси z, определенное MSC Patran, равно 0,19 мм, по формулам сопротивления материалов –

.
Относительная ошибка определения w составила 5 %.
По углу поворота торцевого сечения относительная ошибка, по сравнению с решением
сопротивления материалов, составила ~1 %:

.

.
Эпюры нормальных напряжений σx в опасном сечении балки в трех горизонтальных сечениях верхней полки: для узлов, лежащих на
внешней стороне полки, на средней линии и на
внутренней стороне полки, приведены на рисунке 16. Значения напряжений, вычисленные

Анализ напряженного и деформированного
состояний консольной балки
в MSC Patran. 3D-модель
Для того чтобы в дальнейшем воспользоваться генератором сеток IsoMesh с элементами
93

В е с т н и к ЧГАА. 2013. Том 65

Рис. 15

Рис. 16

Выводы
MSC Patran-Nastran, при применении элементов CBEAM, позволяет, используя стержневую аппроксимацию балок, выполнять расчеты
балок открытого тонкостенного профиля на
прочность и жесткость. Напряжения и перемещения в точках поперечных сечений балки при
стержневой аппроксимации не противоречат
аналогичным величинам, найденным при оболочечной и трехмерной аппроксимациях.

для 3D-модели, имеют непринципиальное отличие от величин, полученных для двух предыдущих расчетов. 3D-моделирование позволяет более детально исследовать напряженное
и деформированное состояния модели, но приводит к значительному увеличению вычислительной работы (число элементов 3D-модели –
9480, для 2D-модели – 3000 элементов и для
1D-модели – 20 элементов) и потому более
подходит для исследования напряженно-деформированного состояния в проблемных
зонах (например, у концентраторов, в местах
крепления элементов конструкции и т.п.).
Насколько полученные результаты соответствуют реальности, можно оценить только
после проведения экспериментальных исследований или сопоставления их с результатами
расчетов аналогичных эксплуатируемых конструкций.

Список литературы
1. Айрумян Э. Л. Особенности расчета конструкций из тонкостенных гнутых профилей
// Монтажные и специальные работы в строительстве. 2008. № 3. С. 2–7.
2. Eurocode 3: Desiqn of steel structures.
EN 1993-1-3: 2004 Part 1-3: General rules.
Supplementary rules for cold-formed members
94

and sheeting, Stage 34. CEN. European Committee
for Standardisation. 2004.
3. North American Specification for the
Design of Cold-Formed Steel Structural Members.
AISI STANDARD. 2001.
4. Расчет и проектирование легких стальных конст­рукций из гнутых тонкостенных профилей. Стандарт организации ООО «ТалдомПрофиль». СТО 50186441- 4.05.-2006.
5. Туснин A. P. Численный расчет конструкций из тонкостенных стержней открытого
профиля. М. : Изд-во АСВ, 2009. 144 с.
6. Лалин В. В., Рыбаков В.А. Конечные элементы для расчета ограждающих конструкций
из тонкостенных профилей // Инженерно-строительный журнал. 2011. № 8(26). С. 69–80.
7. Гордеева А. О., Ватин Н. И. Расчетная
конечно-элементная модель холодногнутого перфорированного тонкостенного стержня в программно-вычислительном комплексе
SCAD Office // Инженерно-строительный журнал. 2011. № 3(21). С. 36–46.
8. Bayan Anwer Ali, Sariffuddin Saad, Mohd
Hanim Osman, Yusof Ahmad. Finite Element

Analysis of Cold-formed Steel Connections
// International Journal of Engineering (IJE). 2011.
Vol. 5. № 2. Pp. 55–61.
9. Ватин H. И., Рыбаков В. А. Расчет металлоконструкций: седьмая степень свободы
// СтройПРОФИль. 2007. № 2(56). С. 60–63.
10. Рыбаков В. А. Основы строительной
механики легких стальных тонкостенных конструкций. СПб. : Изд-во СПбГПУ, 2010. 206 с.
11. Жилкин В. А. Азбука инженерных расчетов в MSC Patran-Nastran-Marc. Челябинск ;
СПб. : ЧГАА ; Проспект Науки, 2013. 574 с.
12. Жилкин В. А. Элементы прикладной
и строительной механики сельхозмашин. Челябинск : ЧГАУ, 2007. 349 с.
13. Bach-Baumann. Elastizitat und Festigkeit,
стр. 369-381 и 268-271, Berlin, 1924; VDI, 1909,
т. 53, стр. 1710; VDI, 1910, т. 54, стр. 385.
14. Власов В. 3. Тонкостенные упругие
стержни (прочность, устойчивость, колебания).
М. : Госстройиздат, 1940. 276 с.
15. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов. М. : Наука, 1986. 560 с.

Жилкин Виталий Афанасьевич, докт. техн. наук, профессор кафедры информационных технологий и прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Челябинская государственная агроинженерная
академия» (ЧГАА).
E-mail: Zhilkin_Vitalii@mail.ru.
* * *

95