Определение геометрических характеристик поперечных сечений брусьев в программных продуктах SCAD, MSC.Patran-Nastran-2005 и MathCAD: методические указания [Виталий Афанасьевич Жилкин] (pdf) читать постранично

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ
И ОБРАЗОВАНИЯ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АГРОИНЖЕНЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра сопротивления материалов

Утверждаю.
Проректор по УР
А.Патрушев

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ БРУСЬЕВ
в программных продуктах
SCAD, MSC.Patran-Nastran-2005 и MathCAD
Методические указания

Челябинск 2007

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Методические указания предназначены для студентов 2-го курса всех специальностей дневной формы обучения и студентов-заочников 3-го курса, изучающих дисциплины «Сопротивление материалов», «Прикладная механика» и «Техническая механика».

Составитель
Жилкин В.А. - докт.техн.наук, профессор (ЧГАУ)

Рецензенты
Сапожников СБ. - докт. техн. наук, проф. (ЮУрГУ)
Кромский Е.И. - канд. техн. наук, доцент (Уральский филиал МАДИ)

Печатается по решению редакционно-издательского совета ЧГАУ

© ФГОУ ВПО "Челябинский государственный агроинженерный университет", 2007.

2

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ БРУСЬЕВ
МОМЕНТЫ СЕЧЕНИЯ

Рис.1
Под моментами сечения, приведенного на рис.1, понимаются определенные интегралы вида:
S y = ∫ zdF ; 

F
 - статические моменты сечения относительно осей y и z ;
S z = ∫ ydF ;

F
J y = ∫ z 2 dF ; 

F
 - осевые моменты инерции сечения относительно осей y и z ;
J z = ∫ y 2 dF ;
F

J yz = ∫ yzdF - центробежный момент инерции сечения относительно осей y и
F

z;
J ρ = ∫ ρ 2 dF = ∫ y 2 + z 2 dF = ∫ z 2 dF + ∫ y 2 dF = J y + J z

(

F

F

)

F

-

полярный

момент

F

инерции сечения относительно начала координат. Он равен сумме осевых моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей, проходящих через начало координат.
Моменты инерции J y , J z , J ρ всегда положительны и никогда не равняются
нулю. S y , S z , J yz могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.
Единицами измерения статического момента и момента инерции сечения являются м3, м4.
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ СЕЧЕНИЯ И СВОЙСТВО
СТАТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
Центром тяжести сечения называется точка (рис.2), координаты которой определяются по формулам:
Sy
S
.
(1)
yц .т = z ; zц .т =
F
F
3

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Понятию «центр тяжести» не следует придавать физического смысла.
Если положение центра тяжести известно, то из (1) следует
S z = yц .т ⋅ F ; S y = zц .т ⋅ F .

(2)

Статический момент сечения относительно оси равняется его площади, умноженной
на расстояние от центра тяжести сечения до этой оси.

Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральными.
Статические моменты сечения относительно центральных осей равны нулю, т.к. для
этих осей yc = 0 : zc = 0 .

ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ
Пусть оси y и z будут центральными (рис.3). В соответствии с определением
осевые моменты инерции сечения относительно параллельных осей y1 и z1 имеют вид
J y1 = ∫ (z + a ) dF ;

F

2
J z1 = ∫ ( y + b ) dF 
F

Раскрыв скобки и преобразовав выражения, получим
2

J y 1 = J y + a 2 F ;

J z 1 = J z + b 2 F . 

(3)

Осевой момент инерции сечения относительно произвольной оси, параллельной центральной, равен сумме момента инерции относительно центральной оси и произведения квадрата расстояния между осями на площадь сечения.
По определению, центробежный момент инерции сечения относительно перпендикулярных осей y1 и z1
4

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

J y1 z1 = ∫ ( y + a )(z + b )dF = J yz + abF .

(4)

F

Центробежный момент инерции сечения относительно перпендикулярных осей равен
центробежному моменту инерции относительно центральных осей, параллельных им,
сложенному с произведением расстояний между осями на площадь сечения.

ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО
ОСЕЙ, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ

Рис.4
Пусть известны координаты y и z левого нижнего угла площадки dF (рис.4).
Определим координаты y1 и z1 этой точки в системе координат y1Oz 1 , повернутой
относительно системы координат yOz на угол α :
y1 = y cos α + z sinα ; z1 = − y sinα + z cos α .
По определению:
2
J y1 = ∫ z1 dF = J y cos 2 α + J z sin 2 α − J yz sin 2α ;

F
(5)

2
J z1 = ∫ y1 dF = J y sin 2 α + J z cos 2 α + J yz sin 2α . 
F

Если сложить выражения (5), получим
J y1 + J z1 = J y + J z = const .

Сумма осевых моментов инерции относительно ортогональных осей есть величина постоянная.
J y1 z1 = ∫ y1 z 1dF =

J y − Jz

sin 2α + J yz cos 2α .
2
Формулы (5) можно переписать в виде:

(6)

F


cos 2α − J yz sin 2α 

2
2

J y + Jz J y − Jz
J z1 =
−
cos 2α + J yz sin 2α