Математика. 9 класс: решение задач повышенной сложности (2-е издание, исправленное) [Ю. В. Лепёхин] (pdf) читать онлайн

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


 [Настройки текста]  [Cбросить фильтры]

щ в ш т ш ж m т%ШтШМ
e
В помощь Ш шшЫШ\ 5=
преподавателю

Иг.'л%С?ъ%Р

Ш

Wfeg^K':
шШжзU » **"

{/fiSn ifi



с .

#

ж

Подготовка к ШЖ

ш

жШ
ШЖ
тщиЯт**
повышенной сложности

:4 > > > 7 - V , а л

.

'

-

%п

Издательство «Учитель»

МАТЕМАТИКА
9 класс
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ
СЛОЖНОСТИ
Автор-составнтсль Ю. В. Лепёхин,
народный учитель Российской Федерации
Издание 2-е, исправленное

Волгоград

УДК 372.016:51*09
ББК 74.262.21
М34

Автор-составитель Ю. В. Л е п ё х и н

Математика. 9 класс : решение задач повышенной
М34 сложности / авт.-сост. Ю. В. Лепёхин. - Изд. 2-е, испр. Волгоград : Учитель. - 291 с.
ISBN 978-5-7057-5697-1
В пособии представлены нестандартные математические задачи с подсказками
и ответами по темам: «Натуральные числа», «Уравнения и системы уравнений»,
«Текстовые задачи». «Неравенства», «Последовательности и прогрессии», «Функ­
ции и графики», «Геометрические задачи». «Задачи с параметром».
Учащиеся найдут разнообразный и полезный материал для подготовки к итого­
вой аттестации, познакомятся с наиболее важными идеями и методами решения
задач повышенной сложности, а учитель может использовать наборы задач при под­
готовке школьников к ГИА, олимпиадам и конкурсам, построить урочную и вне­
урочную деятельность обучающихся с учетом личноетно ориентированного, инди­
видуального подходов в соответствии е требованиями ФГОС' ООО.
Адресовано учителям образовательных организаций, репетиторам по математи­
ке; полезно обучающимся

УДК 372.016:51*09
ББК 74.262.21

ISBN 978-5-7057-5697-1

О Лепёхин Ю. В., автор-составитель
© Издательство «Учитель»
© Оформление. Издательство «Учитель»

ОТ АВТОРА
Замечательно сказал основоположник русской науки Михаил
Ломоносов: «Математику уже затем учить следует, что она ум
в порядок приводит». Решить сложную, оригинальную, нестан­
дартную задачу —огромнейшее интеллектуальное наслаждение
для любого человека. Оригинальные находки, нестандартные
подходы, изобретательные выходы из трудных положений яв­
ляются мощнейшим катализатором интеллектуального развития
растущего человека. Радость от достижений в интеллектуальной
области - одна из величайших радостей человеческого духа. Че­
рез толщу веков, как огненный факел первооткрывателей, к нам
пробился звонкий девиз ищущих, эмоциональный порыв побе­
дителей, гордый человеческий возглас: «Эврика! Я нашёл!». Его
гордо и радостно произнес Архимед в минуту высочайшего
интеллектуального напряжения, в минуту великого открытия,
в минуту славной победы человека над незнанием.
Математика даст уникальнейшую возможность воспитывать
смекалку, сообразительность, находчивость, настойчивость,
оригинальность решения, она будит мысли и призывает к точно­
сти и обоснованности рассуждении. Запомнились замечатель­
ные слова о молодом математике Эваристе Галуа: «Он читал
страницу за страницей, и пред ним простое и прекрасное, как
греческий храм, вставало здание геометрии. Вскоре всё окру­
жающее: звуки, запахи, товарищи - исчезло. Здание росло у не­
го на глазах. Читая быстро, он поймал себя на мысли, что уга­
дывает, знает заранее, что будет дальше. Многие теоремы он
предвидел и только просматривал чертежи в подтверждение
своих мыслей»*.
В изумительной книге Розы Петер «Игра с бесконечностью»
есть такие проникновенные строки: «Я люблю математику
' Иифельд л. Эварист Галуа, М.: Молодая 1 вардия, 1965

3

нс только потому, что она находит применение в технике, но так­
же и потому, что она прекрасна, потому, что человек, если хоти­
те, вложил в неё любовь к игре, и потому, что математика
в состоянии справиться даже с самой увлекательной игрой сделать возможным «ухватить бесконечность». Математика даёт
нам чёткие сведения о бесконечности, о вещах, которые трудно
даже вообразить. И в то же время она поразительно человечна
и меньше всего похожа на пресловутое «дважды два - четыре»:
математика несёт на себе печать никогда не кончающейся чело­
веческой деятельности».
Работа с оригинальной, необычной, интересной задачей важнейшая особенность в деятельности учителя математики.
Мне на всю жизнь запомнились мудрые слова академика
А. И. Маркушевича: «Мы только тогда выполним свой долг пе­
ред молодым поколением, когда сумеем на своих уроках доне­
сти до ребят то безграничное мужество, любовь к людям
и жертвенность, которые скрываются за скупыми строчками на­
учных законов, формул и теорем».
Пособие условно можно разделить на 2 части. В первой час­
ти рассматриваются задачи, которые собраны по темам: «Нату­
ральные числа», «Ума палата», «Уравнения и системы уравне­
ний», «Текстовые задачи», «Неравенства», «Последовательно­
сти и прогрессии», «Функции и графики», «Геометрические
задачи», «Задачи с параметром». Во второй части предложены
ответы, указания и решения.
Учащиеся найдут для себя богатый и разнообразный матери­
ал для подготовки к итоговой аттестации, познакомятся с наи­
более важными идеями и методами, заложенными в решении
нестандартных задачах, а учитель может использовать наборы
задач в своей работе: при подготовке к ГИА, олимпиадам и кон­
курсам. Важно при этом, чтобы эта работа велась регулярно,
продуманно, систематически, заинтересованно и увлечённо.
4

§ 1. УМА ПАЛАТА
(001) Ума палата. № 1.
На столе стоят вверх дном 25 стаканов. За один ход Ваня
может перевернуть любые два стакана. Сможет ли Ваня за не­
сколько ходов поставить все стаканы правильно?
(002) Ума палата. № 2.
В клетках квадратной таблицы 4 x 4 расставлены знаки «+»
и «-», как показано на рисунке. Разрешается одновременно ме­
нять знак во всех клетках, расположенных в одной строке, в од­
ном столбце или на прямой, параллельной какой-нибудь диаго­
нали (в частности, в любой угловой клетке). Докажите, что
сколько бы мы ни произвели таких перемен знака, нам не удаст­
ся получить таблицу из одних плюсов.
+

-

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

(003) Ума палата. № 3.
В пробирке находятся марсианские амебы трех типов: А, В
и С. Две амебы любых двух разных типов могут слиться в одну
амебу третьего типа. После нескольких таких слияний в пробир­
ке оказалась одна амеба. Каким может быть ее тип, если исход­
но амеб типа А было 20 штук, типа В - 21 штука и типа С 22 штуки?
(004) Ума палата. № 4.
Можно ли таблицу 5 x 5 заполнить числами так, чтобы сум­
ма чисел в любой строке была положительной, а сумма чисел
в любом столбце - отрицательной?
5

► Если левая часть равенства представляет
четное число, а правая часть - нечетное число,
то такое равенство невозможно.

£Х

Ю
О

о

С

ч :

(005) Ума палата. № 5.
Мальчик сказал: «Позавчера мне было 10 лет, а в будущем
году мне исполнится 13 лет». Может ли такое быть?
(006) Ума палата. № 6.
Найдите наибольшее пятизначное число, кратное 9, так, что­
бы первая цифра была 3 и все цифры были различны.
(007) Ума палата. № 7.
Найдите сумму коэффициентов многочлена:
Р(х) = (2 - З.т + л-2)1996 (2 + З.т + л-2)1997.
(008) Ума палата. № 8.
Найдите значение выражения:
yja~ - 4 а + 4 + \jc'r —12а + 36 , если 2 < а < 6 .
(009) Ума палата. № 9.
Меню в школьной столовой состоит из п различных блюд.
Ученик решил каждый день выбирать себе завтрак по-новому
(включая пикантный завтрак из «0» блюд). За сколько дней ему
удастся это сделать?
(010) Ума палата. № 10.
7 человек должны перенести 7 одинаковых мешков. Сколько
способов распределить груз, если каждый может нести не более
2 мешков?
>я 3 Н
3
Ох

О

ы
ад

Я

О
О

► Прочитай (осмысленно и вдумчиво) о со­
четаниях, размещениях и перестановках. Появилась, например, чудесная книга «Комбинаторика», написанная известным математиком
Н. Я. Виленкиным и дополненная его сыном
и внуком.
6

я
2
о
с

(011) Ума палата. № 11.
В ряд стоят 50 стульев. Нужно убрать 20 из них, но при этом
нельзя убирать никакие два стула, стоящие рядом. Сколькими
различными способами это можно сделать?
(012) Ума палата. № 12.
Определите, какая цифра стоит на тысяча первом месте по­
сле запятой в десятичном представлении дроби 4/7.
► При делении на число 7 возможно только
2 2 j. 7 различных остатков: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6. Полез-

ю* | § 110 производить полный перебор по этим семи
Ч g
остаткам.

"|
g
С

(013) Ума палата. № 13.
Даны числа 2 1—1, 22 —1, 23 —1, .... 2"'1- 1, где п - нечетное
число, п > 3. Докажите, что хотя бы одно из данных чисел де­
лится на п.
(014) Ума палата. № 14.
Квадратное поле разбито на сто одинаковых квадратных
участков, девять из которых поросли бурьяном. Известно, что
бурьян за год распространяется на те, и только те участки, у ко­
торых не менее двух соседних (то есть имеющих общую сторо­
ну) участков уже поросли бурьяном. Докажите, что поле нико­
гда не зарастет бурьяном полностью.
(015) Ума палата. № 15.
На доске написаны числа 3, 4, 5, 6. Любую пару чисел а, b
можно заменить на пару чисел a + b +\]а2 +Ь~ и a + b - \Ja2 + b2 . Может ли на доске появиться число, меньшее 1?
(016) Ума палата. № 16.
Известно, что в наборе из 32 одинаковых по виду монет есть
две фальшивые монеты, которые отличаются от остальных
7

по весу (настоящие монеты все имеют один вес. а две фальши­
вые - другой). Как разделить все монеты па две равные по весу
кучки, сделав не более четырех взвешиваний на чашечных весах
без гирь?
« '1
з
5
g- 2

н
(D

СО
ю
о о2 Оо

*

S

► Решая задачи на взвешивание на чашеч­
ных весах без гирь, полезно имеющиеся мо­
неты разбивать на три части. Две части по­
мещать на чашечные весы, а третью часть
пока не рассматривать.

о
С

(017) Ума палата. № 17.
Три одинаковых бочки с тремя красками наполнены на две
трети. Имеется возможность переливать любую часть жидкости
из одной бочки в другую. Как сделать во всех банках одинако­
вую смесь, если другой посуды нет и вылить краску нельзя?
(018) Ума палата. № 18.
Вычислите с точностью до 0,001.
1-2-17,33'
{ 1+ 17,33

3

J +1

17,3(2-17,33)^

J

1+ 17,33

(019) Ума палата. № 19.
Имеется 72 прямоугольных бруска размера 3x3x1. Можно ли
все эти бруски уложить в прямоугольную коробку размером
7x9x11 (коробка с крышкой)?
(020) Ума палата. № 20.
Корни уравнения х1 + ах + 1 = b являются натуральными
числами. Докажите, что а2+ /г - составное число.
(021) Ума палата. № 21.
Расставьте в вершинах пятиугольника действительные числа
так, чтобы сумма чисел на концах некоторой стороны была рав­
на 1. другой- 2 , .... на концах последней стороны равна 5.
8

(022) Ума палата. № 22.
При каком наименьшем значении п число 122...221 делится
на 999999999?
7Х Г

| (_
vo" S й
1¾ “

► Если данное число а является произведепнем двух взаимно простых множителей, то
для того, чтобы h нацело делилось на а. необходимо и достаточно, чтобы /; делилось на каждый из двух взаимно простых множителей.

Ъ'
i
о
с

(023) Ума палата. № 23.
Двузначные числа от 19 до 80 выписаны подряд. Делится ли
полученное число 19202122...77787980 на 1980?
(024) Ума палата. № 24.
Найдите наибольшее целое .т такое, чтобы число 427 + 4 101Ю+ 4'
было полным квадратом.
(025) Ума палата. № 25.
Некоторая сумма денег находится в банке под 2 % годовых
(проценты простые). Через некоторое время эта сумма была взя­
та вместе с полученными на нее процентными деньгами, что со­
ставило 8502 р. Если бы эта же сумма была отдана под 3 % го­
довых, но сроком на 1 год меньше, то процентные деньги с нее
составили бы 819 рублей. Какая сумма была положена в банк?
§ 2. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
(026) Числа. № 1.
Докажите, что при любом простом р > 3 число Юр2 - Зр + 2
составное.
(027) Числа. № 2.
На какую наименьшую величину могут отличаться друг
от друга натуральные числа т, п, если известно, что число
— —— натуральное?
З/и + 7/?
9

(028) Числа. № 3.
Докажите, что при любом натуральном значение п число
5 5n+1 +45u+- + з 5п делится на 1 1 .

(029) Числа. № 4.
Натуральные числа т, п таковы, что сумма наибольшего об­
щего делителя и наименьшего общего кратного этих чисел будет
равна сумме данных чисел, то есть НОД (т, п) + НОК (т, п) =
= т + п. Докажите, что одно из чисел является делителем другого.

(030) Числа. № 5.
11

Число научно-технических книг в оиблиотеке равно —

от числа художественных. При переезде библиотеки книги по­
грузили в 2 вагона. В первый вагон погрузили

часть научно-

1S
н
технических книг и — частей художественных. Во второй ва1
14
гон погрузили — художественных и — научно-технических.
Сколько книг каждого вида было в библиотеке, если в первом
вагоне оказалось более 10000 книг, а во втором - менее 10000
книг?

(031) Числа. № 6.
Разложите число 2 12 + 27 + 1 на четыре сомножителя, нс вычисляя самого числа, а используя только его выражение.
н
ьCQ
3S о
3 >5
ю л
о
с5 ¥
со
S

► Необходимо помнить, что к произведению
данных чисел всегда можно добавить любое
количество единиц или четное количество сомножителей, равных - 1 , от этого произведение
не изменится, зато сумма чисел при этом бу­
дет меняться.
10

S
2
о
с

(032) Числа. № 7.
Можно ли найти 2008 целых чисел таких, что их сумма рав­
на нулю, а произведение равно 20087
(033) Числа. № 8.
Докажите, что при любом нечетном п число пъ + 3гг - п - 3
делится на 48.
(034) Числа. № 9.
Можно ли в трехзначном числе, делящемся на 37. переста­
вить цифры так, чтобы полученное число тоже делилось на 3?
(035) Числа. № 10.
Определите количество натуральных чисел на числовом от­
резке от 1 до 23091942 таких, которые не делятся ни на 2, ни на 3,
ни на 5.
(036) Числа. № 11.
Найдите все пары простых чисел вида (а" - 1, а" + 1), п > 1,
где а и п - натуральные числа.
(037) Числа. № 12.
Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого
оканчивается цифрами 2001 в заданном порядке.
(038) Числа. № 13.
Можно ли заменить звездочки в равенстве 1*2*...* 10 = 0
на знаки «+» или «-» так, чтобы равенство стало верным?
(039) Числа. № 14.
Числа 21000 и 5 1000 выписаны одно за другим в десятичной за­
писи. Сколько всего цифр выписано?
(040) Числа. № 15.
Докажите, что простых чисел бесконечно много.
(041) Числа. № 16.
Докажите, что число 11... 11 делится на 27,

11

(042) Числа. № 17.
Если числитель дроби есть разность квадратов двух нечет­
ных чисел, а знаменатель - сумма квадратов этих же чисел,
то такая дробь сокращается на 2, но не сокращается на 4. Дока­
жите это.
(043) Числа. № 18.
Допишите к числу справа 523... три цифры так, чтобы полу­
ченное шестизначное число делилось на 7, 8, 9.
(044) Числа. № 19.
Рассматриваются всевозможные десятизначные числа, все
цифры которых различны. Есть ли среди них числа, делящиеся
на 11 ? Если да, то укажите наибольшее и наименьшее из них.
(045) Числа. № 20.
Найдите семизначное число, у которого первая цифра равна
количеству нулей в числе, вторая - количеству единиц в числе,
третья - количеству двоек в числе и так далее.
(046) Числа. № 21.
Найдите десятизначное число, у которого первая цифра рав­
на количеству нулей в числе, вторая - количеству единиц в чис­
ле, третья - количеству двоек в числе и так далее.
(047) Числа. № 22.
Произведение четырех последовательных нечетных чисел
оканчивается девяткой. Найдите предпоследнюю цифру произ­
ведения.
(048) Числа. № 23.
Сколько натуральных чисел, не превосходящих тысячу, в за­
писи которых цифра 9 использована хоть один раз?
► Признак делимости на 11: рассмотрим раз­
ность
между суммой цифр, стоящих на нечетЗ3м
К
ных местах и суммой цифр, стоящих на чето. 5
ю СЗ О
О
о
о ных местах. Для того чтобы данное число дсU-I
5
лилось на 11, необходимо и достаточно,
чтобы полученная разность делилась на 11.
12

(049) Числа. № 24.
Пес Шарик умножил первые десять простых чисел и полу­
чил число 2-3-5-7 1113-1719-23-29 = 6 469 693 250 = а. «Ты не
прав», - сказал ему кот Матроскин. Почему?
(050) Числа. № 25.
Найдите шесть последовательных чётных чисел, сумма
квадратов которых равна четырёхзначному числу, все цифры
которого равны между собой.
(051) Числа. № 26.
Докажите, что ни при каком натуральном значении п выра­
жение п~+ 5п+ 16 не делится па 169.
(052) Числа. № 27.
Произведение числа 21 на некоторое четырехзначное число
«****» - точный куб. Найдите множитель «****».
(053) Числа. № 28.
Докажите, что любое целое число можно представить в виде
суммы кубов пяти целых чисел.
(054) Числа. № 29.
Придумайте и докажите формулу для суммы квадратов всех
целых чисел от 1 до п.
(055) Числа. № 30.
Квадрат целого числа имеет вид ... 09 (оканчивается цифра­
ми 0 и 9). Докажите, что третья справа цифра - четная.
§ 3. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
(056) Уравнения. № 1.
Решите уравнение: 23д-2 + 2010л* + 1987= 0.
«
м 5
S. |
т u

► Разумный подбор очевидных и простых значений корней уравнений всегда помогает при
решении задач, а иногда является просто единственным способом решения.
13

_.
5
о

(057) Уравнения. № 2.
Решите уравнение: ,v3 - ( 1 + л/3 )-.т2+ 3 = 0 .
(058) Уравнения. № 3.
Решите уравнение: 6 - 5.v + .v2 = 2(.v - 3) - f d .
(059) Уравнения. № 4.
Найдите корни многочлена: 2т5+ ,v4 - 1Or - 5.r + 8.v + 4.
(060) Уравнения. № 5.
Решите уравнение: .у3 - 7,у + 6 = 0.
► Человеку очень легко даётся сложение. 3 + 2 = 5 ,s _ это сообразит каждый, а вот обратная логическая
а о операция - разбиения числа на два слагаемых,
§■ s особенно если одно из слагаемых будет отрица1-0
тельным, всегда представляет значительную слож­
ность, но открывает путь к решению задачи.
(061) Уравнения. № 6.
D

4л'

5v

1 г

Решите уравнение: —т--------- +—г----------- = -1,5.
-У+.у + З г -5.У + 3
(062) Уравнения. № 7.
п
У -12.V + 15
4лРешите уравнение: —г------------ = —-------------- .
.Г -б л + 15 Л--10.У + 15
(063) Уравнения. № 8.
Решите уравнение: (.у2 + 5.т + 1)(.у2 + 4.у) = 20(д- + 1)2.
(064) Уравнения. № 9.
Решите уравнение: (2у - З)4 +(Zv - 5)4 = 2.
(065) Уравнения. № 10.
Решите уравнение: .у4 - 5.у3 + 8л-2 - 5.У+ 1 = 0.
(066) Уравнения. № 11.

З.у
Решите уравнение: — ------------ 1----- -------------= 1.
4.у2 - 8.у + 7 4,у2 - 10л + 7
14

£
о

(067) Уравнения. № 12.
Решите уравнение: |д-2 - 9| + |д-2 - 4| = 5.
(068) Уравнения. № 13.
Решите уравнение: \х + 3| + 2|.v +11= 4.
(069) Уравнении. № 14.
Решите уравнение: |.т-3|л

= |.\--3|'.

(070) Уравнения. № 15.
Решите уравнение: |.т2 - 4,т + 3| + |.т2 - 5,т + 6| = 1.
(071) Уравнения. № 16.
Решите уравнение в целых числах:
15л-V - 8к г + 28у х + ,т2 + 5 г - 3 8.уг + 8.т - 24у + 16 = 0.
(072) Уравнения. № 17.
Решите уравнение: \j(x + 1)2 + 2\](х-1)~ = Зл/л'2 - 1 .
(073) Уравнения. № 18.
Не решая квадратного уравнения ах~ + Ьх + с = 0, найдите
сумму кубов его корней.
(074) Уравнения. № 19.
Сколько решений в целых числах имеет уравнение
2х + 7у = ху - 1?
(075) Уравнения. № 20.
Найдите все целые решения уравнения 3.V2 - 1ху + 2уг = 0.
(076) Уравнения. № 21.
Решите систему уравнений:
J 10.г2 + 5у 2 - 2ху - 3 8.V- 6 v + 41 = 0,
13.v2 - 2 к2 + 5дгк - 17д- - 6у + 20 = 0.
(077) Уравнения. № 22.
Решите в натуральных числах уравнение:
хА+ г х 1у - х ' л-)Г = 1 .
15

(078) Уравнения. № 23.

f^x + Vy=3,
Решите систему уравнений: <

(7^+ 77 = 9.

(079) Уравнения. № 24.

Решите уравнение: (л-2 + 5д- + З)2 + 5(х“ + 5.y) + 18= .v.
is _.
я “
§■ 2

Иногда решение уравнения сводится к решению системы двух уравнении с двумя неизвестными.

*
jS

(080) Уравнения. № 25.

Решите уравнение: (л2 + Зх - 2)2 + 3 (7 + З.т - 2) - 2 = х.
(081) Уравнения № 26.

Решите уравнение: (л-2 - .v + l)4+ 9.7= 10.v2(.v2 -,v + 1)2.
(082) Уравнения. № 27.

Найдите три числа, каждое из которых равно квадрату раз­
ности двух других.
(083) Уравнения. № 28.

Решите уравнение: (.т2- 9.v + 18) ( 7 - 1l.r + 28) + 2 = 0.
(084) Уравнения. № 29.

Решите систему уравнений:
Г7

___ 1_:_

У'





6.V

X

у

(085) Уравнения. № 30.

Решите систему уравнений:
\х - у = 3,
{.т4+З л- 7 - 4 / = 0.
16

(086) Уравнения. № 31.
|ЛТ + С= 94,

Решите в целых числах систему уравнений:

■V+ yz = 95.

(087) Уравнения. № 32.
9.у:

_]|

Злт

2(1- л ) ; ~ + 2(1 — а-)’

Решите систему уравнений:

2д-2 + ,yv = 1.

(088) Уравнения. № 33.
.V+ у + Z + и

=

1,

у + z + u + v = 2,

Решите систему уравнений:

z + и + v + .V—3.
и + v + .V+ у = 4,

V+ .V+ у + Z

=

6.

(089) Уравнения. № 34.
Д-‘ + у- +z~ =1,
Л3 +, у 3+,Z3 = 11.

Решите систему уравнений:
(090) Уравнения. № 35.
Решите систему уравнений:
А- + .У

y +z


.
=2-у.

X + Z

(091) Уравнения. № 36.
J.y + .v = 2000,

Решите систему уравнений: j.T)- = z2 + 1000000.
17

(092)

Уравнения. № 37.
/ л - у = 3,

Решите систему уравнений:
(093)

[х 4 + Зл'2 v - 4 v: = 0 .

Уравнения. X® 38.
I -v|>| y - z + t\.


Решите систему уравнений:

l>l -v -

г + Г |,

|/|>|л--v + z|,
Jz | > | .Y -,••+ / ! .

(094) Уравнения. № 39.
В области действительных чисел найдите решения системы
уравнений:

Л", + х, + X, = 6,
х, + -V, + х4 = 9,

.V, + л4+ л*5= 3,
х4 + х, + х6 = -3 ,
л-5+ л-6+ л-7 =

- 9,

.v6+.v7+.vs =-6,
х7 + * „ + * , = - 2 ,
л'8 + х, + х, = 2 .
(095) Уравнения. № 40.
Решите уравнение: у/х +1 + yjx- 1 = yfl .
(096) Уравнения. № 41.
fxV + 2 x V + х у } = 4 ,
Решите систему уравнении: <
\ х + у + х гу + ху2 = 4 .
(097)

Уравнения. X» 42.
6xz + Зх = 2z - 2,

Решите систему уравнений: •xy + zy = 2( z - x + l),
zy - 6xz + у = 3.Y+ 3.
IX

(098) Уравнения. № 43.
Решите систему уравнении:
л-+ v

уз
У+X+ Z

(099) Уравнения. № 44.
Решите уравнение:
Сх2 - З)3 - (4.v + 6)3+ 216 = 18 (4л- + 6)(3 - л-2).
(100) Уравнения. № 45.
Решите уравнение: х5+ (л- + 1)3+ (х + 2)5+ ... + (д- + 1998)^= 0.
§ 4. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
(101) Текстовые задачи. № 1.
Трехзначное число начинается цифрой 4. Если эту цифру
3
перенести в конец числа, то получится число, составляющее —
4
от исходного. Найдите исходное число.
(102) Текстовые задачи. № 2.
Математик купил картошки и по дороге домой выполнил
вычисления: он умножил целую часть цены 1 кг картошки на це­
лую часть массы купленной картошки и получил 24. Потом он
умножил целую часть цены на дробную часть массы и получил
1, 2. Наконец, он умножил дробную часть цены на целую часть
массы и получил 2. Определите стоимость купленной картошки.
Целая часть числа дг есть наибольшее целое число, не превосхо­
дящее х, ее обозначают: [л]. Дробная часть числа х есть разность
19

между числом и его целой частью, ее обозначают :{д-| [5] = 5;
[3,4] = 3; {5} =0; {3,4] =0,4.
(103) Текстовые задачи. № 3.
Определите год рождения тех людей, которым в 2003 году
исполнилось столько лет, какова сумма цифр года их рождения.
(104) Текстовые задачи. № 4.
У отца спросили, сколько лет его двум сыновьям. Отец отве­
тил, что если к произведению чисел, равных их возрасту, приба­
вить сумму этих чисел, то будет 14. Сколько лет сыновьям?
(105) Текстовые задачи. № 5.
В контейнер упаковывают изделия двух видов. Стоимость
и вес одного изделия составляют 400 р. и 12 кг для первого типа
и 600 р. и 15 кг для второго типа. Общий вес изделий равен
321 кг. Определите максимальную и минимальную возможную
суммарную стоимость изделий, находящихся в контейнере.
(106) Текстовые задачи. № 6.
На заводе рабочий пятого разряда изготовляет за 1 час целое
количество деталей, больше 5, а рабочий третьего разряда
на 2 детали меньше. На выполнение заказа рабочему пятого раз­
ряда требуется целое количество часов, а двум рабочим третьего на 1 час меньше. Какое количество деталей составляет заказ?
(107) Текстовые задачи. № 7.
Два маляра, работая вместе, могут покрасить забор за 3 ч.
Производительности труда первого и второго относятся как 3 : 5.
Маляры стали работать по очереди. За сколько часов они покра­
сят забор, если второй маляр сменит первого после того, как тот
покрасит половину забора?
(108) Текстовые задачи. № 8.
Возраст одного человека в 1990 году был равен произведе­
нию цифр его года рождения. В каком году он родился, если из­
вестно, что ему меньше 90 лет.
20

(109) Текстовые задачи. № 9.
Двое рабочих могут напилить за день 5 поленец дров, а на­
колоть 8 поленец. Сколько поленец дров они должны напилить,
чтобы успеть наколоть их в тот же день.
(110) Текстовые задачи. № 10.
В бассейн проведены две системы труб равной производи­
тельности. В I системе первая труба наполняет весь бассейн
за /|, вторая за /2, ... п-я за [„. Во второй системе груб все грубы
одинаковы и их тоже п штук. За какое время труба второй сис­
темы заполнит весь бассейн?
(111) Текстовые задачи. № 11.
Из пункта А по реке отправляется плот. Одновременно на­
встречу ему отправляется катер из пункта В, расположенного
ниже по течению относительно пункта А. Встретив плот, катер
сразу поворачивает и идет вниз по течению. Какую часть пути
от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт
В, если скорость катера в стоячей воде в четыре раза больше
скорости течения реки?
(112) Текстовые задачи. № 12.
Бикфордов шнур горит неравномерно, сгорая за 1 минуту.
Как, имея два таких совершенно одинаковых шнура, измерить
время 45 секунд?
(113) Текстовые задачи. № 13.
Из пункта А реки одновременно поплыли: мяч по течению
реки и спортсмен против течения. Через 10 минут пловец повер­
нул назад и догнал мяч в 1 км от А. Собственная скорость плов­
ца постоянна. Какова скорость течения реки?
(114) Текстовые задачи. № 14.
3
Пройдя - длины моста АВ, человек услышал гудок автомо-

8

биля, приближающегося к месту с постоянной скоростью
60 км/ч. Если он побежит назад, то встретится с автомобилем
21

в А, а если побежит вперед, то автомобиль нагонит его в В. Как
быстро бегает этот человек?
(115) Текстовые задачи. № 15.
Из пунктов А и В одновременно выехали навстречу друг
другу два велосипедиста и встретились в 70 км от А. В конеч­
ных пунктах они отдыхали по часу и выехали назад с прежними
скоростями. Вторая встреча состоялась на расстоянии 40 км
от А. Найдите длину пути АВ.
(116) Текстовые задачи. № 16.
Войсковая колонна имеет длину' 5 км. Связной, выехав из кон­
ца колонны, передал пакет в начало колонны и вернулся обрат­
но. Колонна за это время прошла путь 12 км. Какой путь про­
ехал связной?
(117) Текстовые задачи. № 17.
Из пункта А по одному шоссе выезжают одновременно два
автомобиля, а через час вслед за ними - третий. Еще через час
расстояние между третьим и первым автомобилем уменьшается
в 1,5 раза, а между третьим и вторым в 2 раза. Во сколько раз
скорость первого автомобиля больше скорости второго, если
третий автомобиль не обгонял ни первый, ни второй авто­
мобили?
(118) Текстовые задачи. № 18.
Два поезда движутся друг другу навстречу по параллельным
путям. Скорость одного 60 км/ч, другого 80 км/ч. Пассажир, си­
дящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шел мимо
него 6 с. Какова длина первого поезда?
(119) Текстовые задачи. № 19.
Два мальчика, Миша и Гриша, учатся в школе, которая рас­
положена от их жилья на расстоянии 6 км. Однажды автобус,
которым они ехали, сломался и мальчики пошли в школу пеш­
ком. Миша первую половину пути шел со скоростью 4 км/ч,
а вторую половину со скоростью 2 км/ч. Гриша поступил иначе:
22

первую половину времени ом шел со скоростью 4 км/ч. а вторую
со скоростью 2 км/ч. Пришел ли кто-то из мальчиков в школу
раньше? Если «да», то насколько?
(120) Текстовые задачи. № 20.
В аудитории собралась молодежь: студенты и студентки.
Вместе их было больше 70, но меньше 90. Всего скамеек, на ко­
торых сидели студенты и студентки, было на 1 больше, чем си­
дело на каждой из них студентов. Студентки сидели по одной
на каждой скамейке. Сумма числа скамеек и студентов состави­
ла число молодежи. Сколько человек находится в аудитории
и на скольких скамейках они сидели?
(121) Текстовые задачи. № 21.
В классе 85 % учащихся владеют языком Бейсик, 80 % язы­
ком Паскаль, а 75 % знают оба языка. Сколько процентов уча­
щихся не знают ни одного из этих языков?
(122) Текстовые задачи. № 22.
В сосуде имеется спирт 70 %. В результате неправильного
хранения из сосуда испарилось 11 г спирта и 1 г воды. Сколько
граммов 96 % спирта нужно долить в сосуд, чтобы восстановить
в нем прежнюю концентрацию.
(123) Текстовые задачи. № 23.
Проценты содержания (по весу) спирта в трех растворах об­
разуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый,
второй и третий растворы в весовом количестве 2:3:4, то полу­
чится раствор, содержащий 32 % спирта. Если же смешать их
в весовом соотношении 3:2:1, то получится раствор, содержа­
щий 22 % спирта. Сколько процентов спирта содержит первый
раствор?
(124) Текстовые задачи. № 24.
Процент сотрудников компании, получивших премию, за­
ключен между 2,9 % и 3,1 %. Найдите минимальное возможное
количество всех сотрудников компании.
4) 33;
5) 90.
1)100;
2)78;
3)59;
23

(125) Текстовые задачи. № 25.
В банк поместили вклад 1000 р. В первый год ставка была
50%, а затем каждый год ставка уменьшалась на 10 %. В конце
каждого года после начисления процентов вкладчик дополни­
тельно вносил на счет одну и ту же сумму. К концу четвертого
года после начисления процентов оказалось, что размер вклада
увеличился по сравнению с начальным вкладом на 722 %. Ка­
кую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?
(126) Текстовые задачи. № 26.
Магазин выставил на продажу товар с наценкой 60 % от за­
купочной стоимости. После продажи половины всего товара ма­
газин снизил назначенную цену на 30 % и распродал оставший­
ся товар. Сколько процентов от закупочной цены товара соста­
вила прибыль магазина?
(127) Текстовые задачи. № 27.
В двух банках в конце года на каждый счет начисляется
прибыль: в первом банке — 60 % к текущей сумме на счете,
во втором - 40 % к текущей сумме на счете. Вкладчик в начале
года часть имеющихся у него денег положил в первый банк,
а остальные деньги во второй банк с таким расчетом, чтобы че­
рез два года суммарное количество денег на обоих счетах уд­
воилось. Какую часть денег вкладчик положил в первый банк?
(128) Текстовые задачи. № 28.
В школьной столовой обед из двух блюд стоит на 40 % де­
шевле, чем в кафе, причем первое стоит на 60 % дешевле, а вто­
рое на 30 % дешевле, чем в кафе. Во сколько раз в школьной
столовой второе стоит дороже, чем первое?
(129) Текстовые задачи. № 29.
Две трубы вместе наполняют бассейн за 6 часов. Определи­
те, за сколько часов наполняет бассейн каждая труба в отдель24

ности, если известно, что из первой трубы в час вытекает
на 50 % воды больше, чем из второй.
(130) Текстовые задачи. № 30.
Осенью в магазине цена растительного масла увеличивалась
на одно и то же число процентов от предыдущей цены. За два
месяца цена 1 литра масла возросла с 40 р. до 57,6 р. На сколько
процентов ежемесячно увеличивалась цена масла?
(131) Текстовые задачи. № 31.
Из сосуда, содержащего 54 л чистой кислоты, вылили
несколько литров и после этого долили сосуд водой до прежнего
объема. Затем из сосуда вылили столько же литров смеси как
и в первый раз. В результате в смеси, оставшейся в сосуде,
осталось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в пер­
вый раз?
(132) Текстовые задачи. № 32.
Банк предоставляет ипотечный кредит (кредит на покупку
квартиры под залог квартиры) сроком на 20 лет под 12 % годо­
вых. Это означает, что ежегодно заемщик возвращает 12 %
от непогашенной суммы кредита и 1/20 суммы кредита. Так,
в первый год заемщик выплачивает 1/20 суммы кредита и 12 %
от всей суммы кредита, во второй год заемщик выплачивает 1/20
суммы кредита и 12 % от 19/20 суммы кредита и т. д. Во сколько
раз сумма, которую должен выплатить банку заемщик, больше
суммы займа, если согласно договору досрочное погашение кре­
дита невозможно?
(133) Текстовые задачи. № 33.
Половину пути от дома до стадиона спортсмен прошел ша­
гом, а вторую половину бегом, затратив на весь путь 16 минут.
Со стадиона он вернулся домой за 12 минут, причем половину
времени он шел, а вторую половину бежал. Сколько времени
ему нужно, чтобы дойти шагом от дома до стадиона?
25

(134) Текстовые задачи. № 34.
В дошкольном учреждении провели опрос. На вопрос «Что
вы предпочитаете, компот или кашу?» большая часть ответила
«кашу», меньшая «компот», а один респондент «затрудняюсь
ответить». Далее выяснили, что среди любителей компота 30 %
предпочитают абрикосовый, а 70 % грушевый. У любителей
каши уточнили, какую именно кашу они предпочитают. Оказа­
лось, что 56,25 % выбрали манную, 37,5 % рисовую и лишь один
ответил «затрудняюсь ответить». Сколько детей было опрошено?

(135) Текстовые задачи. № 35.
В первый год было добыто 100 тысяч тонн руды. В течение
следующих нескольких лет годовая добыча руды увеличивалась
на 25 % по сравнению с предыдущим годом, а затем на протя­
жении последующих трех лет поддерживалась на достигнутом
уровне. Общий объем руды за все время добычи составил 850 ты­
сяч тонн. Сколько лет разрабатывалось месторождение?

§ 5. НЕРАВЕНСТВА
(136) Неравенства. № 1.
Найдите вес значения х, при которых расстояние между со­
ответствующими точками графиков функций f(x) = ———
х- 2
и g(x) = 6 меньше, чем 0,7.

(137) Неравенства. № 2.
Определите, сколько целочисленных решений имеет нсравенство(/72 - 1)(/г —1 1)(/72 —101 )(/г - 1001 )< 0.
(138) Неравенства. № 3.
Найдите

сумму

натуральных

k ± fe l > 0
9 - х 2

26

решений

неравенства

(139) Неравенства. № 4.
п
I
к +5
Про число к известно, что --------------- > О
(A- +3)(/- -1)
к- 1
n п
и 77— 77—;— 77 < 0 . Выясните, можно ли определить по этим
(A +4)(/: + 3)
данным знак числа к, и, если возможно, найдите этот знак.
(140) Неравенства. № 5.
Решите неравенство: |.v2 - 5.v| < 6.
(141) Неравенства. № 6.
Докажите, что для любого числа Г выполняется неравенство
t* -t + - > 0 .
2
(142) Неравенства. № 7.
Без использования калькулятора докажите, что 2 |9Ч5> 5Кз4.
(143) Неравенства. № 8.
Числа a, h, с удовлетворяют неравенству (а + b + с) с < 0.
Докажите, что b2 > 4ас.
(144) Неравенства. № 9.
Докажите, что для а > 0, Ь > 0, с > 0 справедливо неравенст­
во а4 + Ь4 + с2 > 2 V2 abc.
(145) Неравенства. № 10.
Найдите площадь фигуры, координаты точек которой явля­
ются решениями системы неравенств:
| (* + 3>’)('Y- 4у) > 0,
[-13 0, с> 0 выполняется неравенство
27

-------------- 1----------------1-------------—> —,
(ci +b)(a + c)

(b + c)(b + a)

(c + a)(c + b)

4

(148) Неравенства. № 13.
Найдите наибольшее значение функции
;------ , гдеа > 0 , Ь > 0 , с > 0 .
ах + for +с
(149) Неравенства. № 14.
Докажите, что при х > 0 и у > 0 выполняется неравенство
у=

(150) Неравенства. № 15.
Решите неравенство: лг - 3,5х + 4 + щ х < l/cos2.v.
(151) Неравенства. № 16.

1 1 1

9

Докажите неравенство: —+ —+ —> ---------- , если а > О, b > 0,
а b с а+Ь+с
с> 0

.

(152) Неравенства. № 17.
Решите неравенство: у1 х + 5 > .г - 1.
(153) Неравенства. № 18.
Решите неравенство: V.v + 3 < 3 - х .
(154) Неравенства. № 19.
Решите неравенство: |,т2 - 2лг| 0 .
(х - 2 ) 4(л -4 )
(157) Неравенства. № 22.
Решите неравенство: (д-- l)V.v2 - х - 2 > 0 .
28

(158) Неравенства. № 23.
Решите неравенство: .v2 + 2.v- \J.r + 2.x + 2 < 0.
(159) Неравенст ва. № 24.
Решите неравенство: >/з.\- - 4 + J2.\ - 13 > \/l 3 - 2.v
(160) Неравенства. № 25.
Докажите неравенство: 2а2+ /г + с2> 2а (Ь + с).

§ 6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОГРЕССИИ
(161) Прогрессии. № 1.
Найдите сумму чисел от 1 до 1000, делящихся на 7 и не де­
лящихся на 13.
(162) Прогрессии. № 2.
.
4r
1
Пусть f(x) = ------- . Вычислите сумму /(0) + /( -------) +
'
4 +2
3 А
Я 1976

(163) Прогрессии. № 3.
Найдите все значения b, при которых выражение
принимает целые значения при
всех натуральных значениях п.
(164) Прогрессии. № 4.
В арифметической прогрессии аъ = 13, а7 = -7. При каком
значении п сумма первых членов прогрессии S„ максимальна?
Найдите эту сумму.
(165) Прогрессии. № 5.
Составьте формулу общего члена последовательности вида
0; 2; 2; 4; 4; 6; 6...
29

(166) Прогрессии. № 6.
Найдите сумму всех трехзначных чисел, не делящихся на 11
и имеющих последнюю цифру 5.
(167) Прогрессии. № 7.
Сумма нескольких подряд идущих чисел в 20 раз больше
наибольшего из них и в 30 раз больше наименьшего. Найдите
эти числа.
(168) Прогрессии. № 8.
Восемь чисел образуют геометрическую прогрессию. Сумма
первых трех равна 21, а сумма последних трех равна 672. Най­
дите сумму всех восьми членов прогрессии.
(169) Прогрессии. № 9.
Числа a, b, с, d являются последовательными членами гео­
метрической прогрессии. Известно, что Ьъ + с3 = 288, ad = 24.
Найдите a + d.

сз

§■ S
м

°

Полезно помнить некоторые важные фор­
мулы для прогрессии.
Сумма п первых членов арифметической
прогрессии равна произведению полусуммы крайних членов на число членов.
На практике очень помогает формула:

^
g
с

5
(170) Прогрессии. № 10.
Сумма квадратов членов геометрической прогрессии в 3 раза
больше суммы ее членов и в 3,6 раза меньше суммы четвертых
степеней ее членов. Найдите второй член прогрессии.
(171) Прогрессии. № 11.
Существует ли геометрическая прогрессия, среди членов ко­
торой имеются числа 2, 3, 5?
30

(172) Прогрессии. № 12.
Сумма пятого и девятого членов геометрической прогрессии
равна 7. Произведение шестого и восьмого членов равно 12.
Найдите а5~+ п92.
(173) Прогрессии. № 13.
Возрастающая арифметическая прогрессия состоит из нату­
ральных чисел. Может ли сумма 1995 последовательных членов
прогрессии равняться числу: а) и|чм; б) 1994" . где п - натураль­
ное.
(174) Прогрессии. № 14.
Докажите, что для всякой арифметической прогрессии я,,
02,--- , а,, имеет место равенство:
л -1
(175) Прогрессии. № 15.
В двух числовых последовательностях (ап) и (h j каждый
член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, при­
чем а | = 1 , 02 = 2, />1 = 2, = 1• Сколько существует чисел, встре­
чающихся как в первой, так и во второй последовательности?
(176) Прогрессии. № 16.
Найдите все тройки ненулевых а, /;, с, образующих арифме­
тическую прогрессию, и таких, что из чисел —; —; — также можа b с
но составить арифметическую прогрессию.
(177) Прогрессии. № 17.
В арифметической прогрессии о5 = 16, & = 51. Определите
все значения л, при которых одновременно а„< 38, S„> 129.
(178) Прогрессии. № 18.
Пусть дт и л'г корни уравнения х~ - 4.т + а = 0, а л-3 и лд - корни
уравнения лг2 - 36.Y + 6 = 0. Известно, что л'| > 0, х2 > 0, лд > 0,
* 4 > 0 и лт; лч; Х)\ л'4 - последовательные члены некоторой гео­
метрической прогрессии. Найдите а и Ь.
31

(179) Прогрессии. № 19.
В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого
и последнего членов равна 164, а произведение второго и предпо­
следнего членов равно 324. Найдите последний член прогрессии.
(180) Прогрессии. № 20.
Уравнение л-2+ Ьх + с = 0 имеет два различных корня ,V| и дэ.
Известно, что числа b, хь с, Л; в указанном порядке образуют
арифметическую прогрессию. Найдите разность этой прогрессии.
(181) Прогрессии. № 21.
Сумма членов возрастающей арифметической прогрессии,
одним из членов которой является 1, равна 0. Найдите сс раз­
ность, если известно, что сц ■Дц = 1.
(182) Прогрессии. № 22.
В арифметической прогрессии сумма восьми первых членов
равна 32, а сумма двадцати первых членов равна 200. 11айдите
сумму первых двадцати восьми членов прогрессии.
(183) Прогрессии. № 23.
Каждый член числовой последовательности, начиная со вто­
рого, равен произведению двух соседних с ним членов. Произ­
ведение первых десяти членов равно 18, а произведение первых
двадцати членов равно 12. Найдите произведение первых 75
членов этой последовательности.
(184) Прогрессии. № 24.
Если к четырем последовательным членам арифметической
прогрессии прибавить соответственно 7; 1; -3; -6, то получим
четыре первых члена бесконечной геометрической прогрессии.
Найдите ее сумму.
(185) Прогрессии. № 25.
Сумма первых п членов некоторой последовательности вы­
ражается формулой S„- 5/Г - Т п + З. Докажите, что члены этой
последовательности, начиная со второго, образуют арифметиче­
скую прогрессию.
32

§ 7. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
(186) Графики. № 1.
Постройте график функции у

2). Один из столбцов со­
стоит из 10 фальшивых монет. Фальшивая монета отличается
на 1 г от настоящей, тяжелее или легче - неизвестно. Имеются
точные весы с гирями. Как при помощи одного только взвеши­
вания определить, в каком столбце будут фальшивые монеты.
(333) Почти просто. № 28.
Даны к ящиков. В некоторых из них положили по к ящиков
меньшего размера, затем в некоторые из них положили к ящиков
и т. д. В результате количество ящиков, в которых есть другие
ящики, равно т. Сколько всего ящиков было использовано?
(334) Почти просто. № 29.
1996 человек поставили по кругу. Каждый второй выбывает.
Кто останется последним?
(335) Почти просто. № 30.
Значение квадратного трехчлена у = .v + ах + b в двух после­
довательных целых точках - соответственно квадраты двух по­
следовательных натуральных чисел. Докажите, что значения
трехчлена во всех целых точках - точные квадраты.
(336) Почти просто. № 31.
Вычислите а4+ hA+ с4, зная, что a + b + с = 0 и а2+ Ьг + с~ = 1.
(337) Почти просто. № 32.
По кругу записаны 5 чисел. Известно, что любое число
не меньше суммы двух соседних с ним чисел и не больше сум­
мы двух несоседних с ним чисел. Какие числа могут быть запи­
саны?
(338) Почти просто. № 33.
В левом нижнем углу шахматной доски 6x6 находится ко­
роль. За один ход он может передвинуться либо на одну клетку
54

вправо, либо на одну клетку вверх, либо на одну клетку по диа­
гонали вправо и вверх. Сколькими различными путями король
может пройти в правый верхний угол доски?
(339) Почти просто. № 34.
д-г г 2ч/лг
Сократите д р о о ь---------------(340) Почти просто. № 35.
Доцент МФТИ ежедневно в 4 часа приезжает на электричке
на Казанский вокзал. К этому времени на машине подъезжает
его жена и везет его домой. Однажды он приехал в 3 часа, пошел
домой пешком, встретил по дороге машину с женой, едущей
за ним, сел в машину. Развернувшись и не теряя времени, ма­
шина повезла его домой, куда они прибыли на 10 минут раньше,
чем обычно. Сколько времени шел доцент?
(341) Почти просто. № 36.
Найдите все значения параметра а, при которых неравенство
д-2+ ( с г + 2 а 1 - 4).\- - Ъ ? - с г + 6а - 5 > 0 имеет хотя бы одно ре­
шение из промежутка [-1; 2 ].
(342) Почти просто. № 37.
Молоко разлито по 30 стаканам. Мальчик пытается добить­
ся, чтобы во всех стаканах молока стало поровну. Для этого он
берег любые два стакана и уравнивает в них количество молока.
Можно ли налить молоко в стаканы так, чтобы мальчик не смог
добиться свой цели, сколько бы долго он ни занимался перели­
ванием?
(343) Почти просто. № 38.
Двое играют на поле размером 8x9. Первый ставит фишку
размером 1x1, а второй размером 1x2. Ставить фишку можно
только на свободное место, накладывать их друг на друга нель­
зя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход.
55

Начинает игру первый. Для какого игрока есть выигрышная
комбинация? Найдите ее.
(344) Почти просто. № 39.
Освободитесь от иррациональности в знаменателе

2+
n/ 6

- v/3 + V 2 - 1 '

(345) Почти просто. № 40.
Изобразите на плоскости все точки, координаты которых
( у < х/1- д-2,
удовлетворяют системе <
____ и найдите площадь иолу[л < х / 1 - V2.
ченной фигуры.
(346) Почти просто. № 41.
Куб со стороной 20 разбит на 8000 единичных кубиков,
и в каждом кубикезаписано число. Известно, что в каждом
столбике из 20 кубиков, параллельном ребру куба, сумма чисел
равна 1. В некоторый кубик записано число 10. Через этот кубик
проходит три слоя 1x20x20, параллельных граням куба. Найдите
сумму всех чисел всех этих слоев.
(347) Почти просто. № 42.
Докажите, что число Ш ... 1-22...2 является квадратом на­
турального числа.
(348) Почти просто. № 43.
Вычислите с точностью до 0,001:
1-2(17,3),з > ^ 7 ,3 -(2 -(1 7 ,3 )3) °
+
+ 17,3'.
1+ (17,3)3
1+ (17,3)3
(349) Почти просто. № 44.
Укажите моменты времени, когда впервые после полуночи
56

угол между минутном и часовой стрелкой будет равным 1°, при
том, что минутная стрелка показывает целое число минут.
(350) Почти просто. № 45.
Двое играют в такую игру: первый! называет натуральное
число от I до 9. Второй прибавляет к нему еще какое-нибудь
однозначное число и называет сумму. К этой сумме первый
прибавляет еще однозначное число и опять называет сумму
и так далее. Выигрывает тот, кто первым назовет 66. Как нужно
играть в такую игру, чтобы выиграть? Кто выиграет при пра­
вильной игре - начинающий или его партнер?
(351) Почти просто. № 46.
Извлеките корень и—(11...1-33...3 00...0).
(352) Почти просто. № 47.
Найдите четырехзначное число кратное 7 и представляющее
собой сумму куба и квадрата одного и того же целого числа.
(353) Почти просто. № 48.
Четырехзначное число, у которого все цифры одинаковы,
имеет только два простых делителя. Что это за число? Каковы
его простые делители?
(354) Почти просто. № 49.
Найдите несократимую дробь, которая не изменит своего
значения при добавлении к числителю 4, а к знаменателю 10.
(355) Почти просто. № 50.
Известно, что 8 % одного числа равны 64 % другого. Сумма
этих чисел равна 162. Найдите эти числа.
(356) Почти просто. № 51.
Вычислите 2379 • 23782378 - 2378 • 23782379.
57

(357) Почти просто. № 52.
Какое наименьшее число прямоугольников 1x2 клетки нуж­
но закрасить на доске 8x8 клеток, чтобы любой квадрат 2x2 со­
держал по крайней мере одну закрашенную клетку?
(358) Почти просто. № 53.
Двое играющих по очереди красят клетки квадрата 8x8.
За один ход игрок красит своим цветом одну клетку. Перекра­
сить клетки нельзя. Первый стремится закрасить своим цветом
квадрат 2x2. Может ли второй помешать первому независимо
от его игры?
(359) Почти просто. № 54.
Разрежьте данный остроугольный треугольник на три тра­
пеции.
(360) Почти просто. № 55.
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плос­
кости условиями:
х > 0,
■у > х - 1,
у < - 2.V+ 5.
(361) Почти просто. № 56.
Можно ли к числу 1996 приписать слева несколько цифр так,
чтобы получился полный квадрат?
(362) Почти просто. № 57.
Найдите значение выражения
у/a2 - 4 а + 4 + х/я' -1 2 а + 36 , если 2 < а < 6 .
(363) Почти просто. № 58.
Упростите выражение:
58

УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ
§ 1. УМА ПАЛАТА
(001) Ума палата. № 1. Покажем, что число стаканов, стоя­
щих вверх дном (стоящих неправильно), будет нечетно. Вначале
их было 25 - нечетное число. 11усть па каком-то шаге вверх
дном стоит 2к + I стакан. Если Ваня выберет два стакана, стоя­
щих правильно, и перевернет их. го неправильно стоящих ста­
канов станет 2к + 3 - нечетное число. Если Ваня выберет два
стакана, стоящих неправильно, и перевернет их, то неправильно
стоящих стаканов станет 2/с - 1 - нечетное число. Если Ваня вы­
берет два стакана, один из которых стоит правильно, а другой неправильно, и перевернет их, то неправильно стоящих стаканов
останется 2/г +1 —нечетное число. Если бы Ваня смог поставить
все стаканы правильно, то неправильно стоящих стаканов было
0 - четное число. А поскольку всегда на столе будет нечетное
число стаканов, стоящих неправильно, то Ваня не сможет поста­
вить все стаканы правильно.
О т в е т : не сможет.
(002) Ума палата. № 2. Рассмотрим 8 отмеченных клеток
(см. рис. 2). Любая операция затрагивает либо 2 клетки из этих
8, либо ни одной. Таким образом, при указанных операциях со­
храняется четность числа минусов, стоящих в отмеченных клет­
ках. А так как изначально в этих клетках стоял 1 минус (нечет­
ное число), то таблицу из одних плюсов мы получить не можем
(так как в этом случае в отмеченных клетках будет стоять 0 ми­
нусов - четное число).

59

(003) Ума палата. № 3. Покажем, что разность между коли­
чеством амеб двух разных типов будет сохранять свою четность.
Покажем, например, что разность между количеством амеб ти­
пов А и С будет четной. Изначально эта разность четна. Если
в какой-то момент слились амебы типов А и С, то количество
амеб каждого из типов А и С уменьшилось на 1, а разность
не изменилась. Если в какой-то момент слились амебы типов А
и В, то получилась амеба типа С, количество амеб типа А умень­
шилось на 1, а типа С увеличилось на 2, и разность изменилась
на 2, то есть осталась четной. Если в какой-то момент слились
амебы типов С и В, то разность также изменится на 2, то есть
останется четной. Аналогично показывается, что разность меж­
ду количеством амеб типов А и В и разность между количеством
амеб типов С и В будет нечетной. Если бы в конце осталась аме­
ба типа А, то разность между количеством амеб типов А и С бу­
дет равна 1 - числу нечетному, а она должна быть четной. Ана­
логично нс могла остаться амеба типа С. Поэтому в конце оста­
нется амеба типа В.
О т в е т : тип В.
(004) Ума палата. № 4. Если бы это было возможно, то сум­
ма всех чисел таблицы, подсчитанная «по строкам», была бы
60

положительной, а «но столбцам» - отрицательной, что невоз­
можно.
О т в е т : нельзя.
(005) Ума палата. № 5. Может. Например, день рождения
31 декабря 1997 года. Говорит мальчик 1 января 1998 г. Дейст­
вительно, позавчера ему было 10 лет, сейчас 11 лет, 12 лет будет
31 декабря 1998 г., а в следующем году 31 декабря 1999 г. ис­
полнится 13 лет.
О т в е т : может.
(006) Ума палата. № 6. После цифры 3 для получения наи­
большего пятизначного числа вставим последовательно цифры
9, 8, 7. Получим: 3987.V, где х - последняя неизвестная цифра.
3 + 9 + 8 + 7 = 27. На последнее место можно ставить 0 или 9,
чтобы число делилось на 9. но 9 уже есть в записи, значит, вста­
вим цифру 0.
Наибольшее пятизначное число, кратное 9, так, чтобы пер­
вая цифра была 3 и все цифры были различны, будет 39870.
О т в е т : 39870.
(007) Ума палата. № 7. Сумма коэффициентов многочлена
будет равна значению многочлена при х = 1.
Р(1) = (2 - 3 +1)|996(2 + 3 + l)l w = 0.
О т в е т : 0.
(008) Ума палата. № 8.
sla1 - 4 а + 4 + %/а2-1 2 а + 36 = ^ ( а - 2 ) 2 + ^ ( а - в ) 2 =

=|о-2| +|а-б|.
Так как 2 < а < 6 , то \а - 2\ = а - 2, \а - 6| = а - 6, поэтому
|а - 2| + \а - б| = а - 2 + 6 - а = 4. Значит, при любом 2 < а < 6
значение данного выражения будет равно 4.
Ответ: 4.
61

(009) Ума палата. № 9. Из одного блюда возможно соста­
вить два варианта. Из двух блюд: количество вариантов удваи­
вается, можно взять все предыдущие варианты и еще к каждому
из них можно присоединить новое блюдо - 2 x 2 = 2“.
Рассуждая аналогично, последовательно находим количест­
во вариантов из трех блюд - 22 х 2 = 2s , из четырех = 2s х 2 = 24.
Следовательно, количество вариантов из п блюд равно 2"'1х
х 2 = 2". Методом математической индукции можно доказать,
что количество вариантов из п блюд будет равно 2".
В комбинаторике известно равенство, обосновывающее по­
лученный вариант: С°„ + С1„ +С2,, + ... + С'„ = ( 1 + 1)" = 2".
О т в е т : 2”.
(010) Ума палата. № 10. Подсчитаем количество всех вари­
антов.
1) Ни у какого человека нет двух мешков, тогда получается,
что каждый человек несет ровно по 1 мешку. Получается 1 ва­
риант.
2) Один человек несет 2 мешка, следовательно, еще у одного
человека нет ни одного мешка. Выбрать в каждом из этих случа­
ев человека, у которого нет ни одного мешка, можно еще ше­
стью вариантами. Всего получаем 7x6 = 42 (варианта). Получа­
ется 42 варианта.
3) Двое несут 2 мешка, двое по 0 мешков. Число вариантов
выбора двух человек из семи, то есть будет число сочетаний
2
из 7 по 2: C tj, а число вариантов выбора двоих из пяти остав­
шихся будет число сочетаний из 5 по 2: С“ . Таким образом,
общее количество случаев будет
2 2 7-6 5-4
-Сд = —-----— = 210. Получается 210 вариантов.

62

4) Трое несут по 2 мешка, трое по 0 мешков. Рассуждая ана­
логично предыдущему случаю, получаем
7-6-5
С3 -С 3
■4 = 140 . Получается 140 вариантов.
7 4
1-2-3
Всего 1 + 42 + 210 + 140 = 393 (варианта).
О т в е т : 393.
(011) Ума палата. № 11. К ряду стульев добавим (виртуаль­
но) еще один стул слева. Если убирать какой-либо стул, кроме
первого, то слева от него стоит стул (возможно, виртуальный),
который нельзя убрать. Такую пару стульев обозначим 0, а дру­
гие пары соседних стульев обозначим I. Между множеством
способов, которыми можно убрать стулья, и множеством после­
довательностей из 0 и 1 (где нуль встречается 20 раз, а единица
11 раз) имеется взаимно-однозначное соответствие. Получаем
число сочетаний из 31 по 11: С 1,1,.
С", =84672315.
О т в е т : 84672315.
(012) Ума палата. № 12. Обыкновенную дробь 4/7 запишем
в виде бесконечной десятичной периодической дроби с перио­
дом Т = 6. 4/7 = 0,(571428). Число 1001 представим в виде:
1001 = 166x6 + 5. На тысяча первом месте после запятой в деся­
тичном представлении дроби 4/7 стоит та же цифра, которая
стоит на пятом месте, то есть цифра 2.
О т в е т : 2.
(013) Ума палата. № 13. Рассмотрим л - 1 четных чисел: 21,
22, 23,
2"'1. При делении этих чисел на я, получаем: 2к- nq + г.
Возможны л различных остатков г. 0, 1. 2, 3 , . . . , л-1.
1) Если г = 0, то 2к= nq. Это равенство невозможно, так как
2* не может делиться на нечетное число п.
2) Если г = 2, то 2к = nq + 2, то 2* - 2 = nq, 2(2Ы - 1) = nq.
2*"1— 1 делится на нечетное число л и данное утверждение до­
казано.
63

3) Если г Ф0 и г ф 2, то среди п - 1 остатков будет только п - 2
различных остатков и по принципу Дирихле найдутся два числа,
имеющих одинаковые остатки: 2* = nq + г. 21' = ns + г. Положим
для определенности, что к > р, q > s. Вычтем из первого равен­
ства второе: 2*-2r = n(q - s). 2р(2к'р~ I ) = n (q -s).
2Г не делится на нечетное п, поэтому 2к~1’ - 1 будет нацело
делится на п. Число 2к~р - 1 является одним из чисел данного ря­
да чисел 21- 1, 21 - 1, 23 —1 , 2 " " ' - 1. Значит, для любого слу­
чая доказано, что хотя бы одно из данных чисел делится на п.
(014) Ума палата. № 14. Рассмотрим суммарную .длину гра­
ниц участков, заросших бурьяном. Заметим (смотри рисунок),
что при разрастании бурьяна эта суммарная длина границы
не увеличивается.



vW

64

Так как изначально суммарная длина границ участков, за­
росших бурьяном, не больше 4 ■9 = 36, то поле не сможет цели­
ком зарасти бурьяном, так как длина границы поля равна 40.
(015) Ума палата. № 15. Из того, чго a + b -\jct2 +Ь2 - \/а2 +Ь2 + 2ab - -Jet2 + b2 > 0 при а. Ь > 0 следует, что после
указанных операций числа на доске остаются положительными.
Покажем, что после указанной операции не меняется сумма об­
ратных величин чисел, написанных на доске. Действительно,
2.v + 2v
т -------X + у + \] ДГ + у

2л- + 2у

1

1 1
X + y - \ j 1 и 2,
B) из 1 и 2 => 3,
Получилось поровну!!!
О т в е т : Поровну.

2

3

3

I
]

2

2

1

1

3

3

1

1

1

2

2

2

3

3

3

1

1

1

2

2

2

3

3

3

С) из 2 => 1,
D) из 1 и 3 => 2.

(018) Ума палата. № 18. Обозначим 17,33= а, тогда
( 1-2 a f а '( 2 - а ) ' |
(1-2а )3 + д ( (2 - а ) 3 +(1 + а)3)
I 1+а J + (1 + а ) 3 ' а ~
(1+а)3
_ (1 —2а)1 + а(3(4- 4 а + а" —2 + а - 2 а + а2 +1 + 2« + а 2))
(1+а)3
_ 1- 6а + 12а2 - 8а} + 9а' - 9а1 + 9а _ а 3 + За: + За + 1 _
(1 + а)!
а3+За: +За + 1
С точностью до 0,001 получим 1,000.
О т в е т : 1,000.
67

(019) Ума палата. № 19. Рассмотрим слой (единственный
слой) прилегающий к грани размером 7x11. Внутри этого пол­
ностью заполненного слоя должны находиться либо полностью
брусочки 3x3x1, тогда они занимают объем 9 единичных куби­
ков, либо один из слоев бруска размером 3x1, занимающей объ­
ем в 3 единичных кубика. Всего в этом слое 7x11 = 7 7 единич­
ных кубиков Они должны быть представлены в виде 9/ + 3/с, где
t и к принимают целые неотрицательные значения. Получим
9t +3 k = 77,
3(3/ + к) = 77, а этого быть не может, так как левая часть ра­
венства кратна 3, и 77 на 3 не делится. Значит, уложить бруски
в коробку не удастся.
О т в е т : Нельзя.
(020) Ума палата. № 20. х2 + ах + 1 —Ь = 0. Применяя теоре­
му Виета, получаем:
Л | Л '2 = 1 - Ь ,

Л'|Л"2 = - п ;

сг + Ъ ~



Ь



= 1 — X |Л'2,
|

+Х|)~+(1

— Х ] Х т )~

—х 2+2 Х \ Х 2 + х 2

+ 1 + Л-^.V j- х ] ( х \

+

!



2 .Y | .y ; +

+ 1) + (-Y2 + 1)

= (л*2 + l)-(xf +1). (*:; + 1)(-Гf + 1 ) - число составное.
(021) Ума палата. № 21. Обозначим последовательно числа,
стоящие в вершинах пятиугольника: .г, у, д, /, и. По условию за­
дачи получаем систему пяти линейных уравнений с пятью неиз­
вестными:
" х + у = 1,
у + z = 2,
.V
< 2 + 1 —3,
/ + и = 4,
5
j i + х = 5.
и

2 (х + у + z + t + и) = 15,
68

4

.у + г + --*-/ + и 7,5 ,
1 + 3 + и = 7,5 .
и = 3,5; .у = 1,5; / = 0,5; - = 2,5; г - -0,5.
О т в е т : ,v= 1.5; г =-0,5; г = 2,5: / =0.5; « = 3.5.
(022) Ума палата. № 22.
10+ 11. ..I
п

10/) + /7= 11/7

лвоск

2) 11... 11* 11 = 999999099*/!.
н+1
П...11,*11 = 9 * 1 11111111*к
а -I

^ = 11...11,: 9 »*/)= 11...11 : Ш И П П
I I -1

//+1

3) п + 1 кратно 9, п + 1 принимает значения 9. 18. 27. 36, 45,
54, ...
Получаем /)=11. . . 11 11... 11 1 1 . . . 1 1 . . . =

I... 11 ,*( 100000000,1000000004 00000000,...) =

= 111111111*сv----- У----- '
9

4) с делится на 9, поэтому число единиц в числе с должно
быть кратно 9. Минимальное число единиц должно быть 9.
9x9 = 81 =п + 1,/) = 80.
О т в е т : 80.
(023) Ума палата. № 23. Представим число 1980 в виде про­
изведения двух взаимно простых чисел 99 и 20.
1980 = 99-20, £>(99, 20)= 1.
69

Значит, достаточно докатать делимость на 20 и на 99,
Число оканчивается па 80, значит, делится на 20.
Найдем S) - сумму первых цифр,
S, = 1 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 8 = 279.
51 - сумма вторых цифр.
52 = 9 + 6 • 45 = 279.
По признаку делимости на 9: 279 + 279 = 5 58: 9.
2 7 9 -2 7 9 = 0.
Поэтому число делится на 11.
Итак, число делится на 20, 9 и 11, значит, делится на 1980.
О т в е т : делится на 1980.
(024) Ума палата. № 24. Пусть ,t > 27, тогда
427 + 4 1000 + 4л = 427( | + 4»7Э+ 4 >-27) = (Э:7)2-( 1 + 2 • 2 '445 + (2 ‘)2)

при г = 1945, т. е. при.т= 1972 наше выражение полный квадрат.
Если х > 1972. т. е. у > 1945, то
(

21) ’

<

1 + 2 -2т 5

+ (

2')2 < ( 1 + 2' ) - .

В этом случае выражение 1 + 2 • 2 14,17 + (2’)“ строго заключе­
но между двумя последовательными квадратами и само полным
квадратом не является, а с ним и все выражение 427 + 4 1000 + 4' не
является полным квадратом
О т в е т : 1972.
(025) Ума палата. № 25.
11усть дг р. - было положено и прошло t лет на 2 % вкладе.
[д- + 0.02 л -/ =8502,
1+ 0.02/ _ 2834
10,03.v(/ —1) = 819.
0 ,0 3 /-0 ,0 3 ^ 273 ’
100 + 2/

2834

27300 + 546/ = 8502/-8 5 0 2 ,
3 /- 3
273
7956/ = 35802, / = 4,5.
819
27300
Y=
= 7800 р.
0,03-3,5
3,5
О т в е т : 7800 р.
70

§ 2. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
(026) Числа. № I. Л ю бое простое число большее трех д е­
лится на 3 с остатком I или 2. Значит, р может быть вида либо
3А+ 1, либо З/i + 2. Рассмотрим оба случая.
1) П усть р = ЗА + 1, тогда 10(ЗА + I ) ' - 3(3A + 1) + 2 =
10(9А2 + 6А + 1) - 9А - 1 = 90А2 + 60А + 10 - 9А - I = 90А2 + 51А + 9 =
= 3(30А2 + 17А + 3 ). Значит, данное число составное.
2) Пусть р = ЗА + 2, тогда
10(3А + 2 ) 2 - 3(3А + 2) + 2 = 10(9А2 + 12А + 4) - 9А - 4 =
= 90А2 + I20A + 40 - 9А - 4 = 90А2 + 111А + 36 = 3(30А2 + 37А + 13).
Значит, число составное.
Таким образом, при лю бом простом р > 3 число Ю р" - Зр + 2
составное.

(027) Числа. № 2. Для того чтобы дробь была натуральной,
необходимо, чтобы 89 нацело делилось на 3/// + 7/7. 89 - простое
число, значит 3 т + 7 / ) = 1 пли 3 т + 1п = 89. 3/7) + 7 / 7 = 1 - невоз­
можно, так как т и л долж ны быть натуральными.
Тогда 3//7 + 7/; = 89.
89-3/7/
и = -----------. М етодом полного переоора находим натураль7
ные значения //. При //) = 4, 11, 18, 25 (период Т = 7) соответст­
венные значения п будут равны 11, 8. 5, 2 (Т = 3). Наименьшая
разница будет равна 3.
Ответ: 3

(028) Числа. № 3.
5 5„+1+ 4 5„+2 + 3 5„= 5 . 3 1 2 5 "+ 16 • 1024" + 2 4 3 ” .
3125" при делении на 11 имеет остаток 1.
5 - 3 1 2 5 " при делении на 11 имеет остаток 5.
1024 при делении на 11 имеет остаток 1.
71

1024" при делении на 11 имеет остаток 1.
16-1024" при делении на 11 имеет остаток 16 или 5.
243" при делении на 11 имеет остаток 1.
Значит, 5-3125"+ 16-1024"+ 243" при делении на 11 имеет
остаток 5 + 5 + 1 = 11 равно 0,
Получаем: 5 1*5"+|+4''"+‘ + 35" нацело делится на 11.Что и тре­
бовалось доказать.
(029) Числа. № 4. Пусть d = НОД(га, и), тогда т = dnu
и п = dn\, где НОД(шь /ц) = 1, то есть числа пц и п\ взаимно
простые.
Данные числа можно представить в виде т = d ■т\ и п = d -Ль
HOK(ra, п) = dm\fi\. По условию задачи получаем:
d + dm\ti\ = dm\ + dn\.
1 + т\П\ = m 1+ «|,
1 + л? |/I | -

mi

-

1Ц=

0,

I + n iiiii - m i + ii] = 0,
(1 - m i ) - i i i i i t i ] - 1) = 0,
(1 -/7()(1 -m 0 = 0;
111 = 1 или mi = 1 .

Если iii = I, to n = d, при этом in —d ■in|. Значит, in нацело
делится на п, что и требовалось доказать.
Если mi = 1, то т = d,n = d ■щ.
Значит, п нацело делится на га, что и требовалось доказать.
(030) Числа. № 5. Пусть было х художественных книг. Тог11

да научно-технических было — .т книг. В первом вагоне тогда бы1 11
18
3719
_
_
14 11
ло — •— •х + ---- х = ------- ■.V. Во втором вагоне бы ло-----— v +
15 13
19
3705
15 13 '
3121
+
■х. Так как в первом вагоне оказалось более 10000
3705
книг, а во втором менее 10000 книг, то
72

Г 3719

------ ■х > 10000,
3705

3121
L3705
9962

10000;
1322
3719

< .V< I 1871

3121
л делится на 3705, так как количество книг —целое число.
Получаем х —3 • 3705 = 11115. Это единственное натураль­
ное число вида 3105к, ]де к — натуральное число, удовлетво­
ряющее найденному интервалу.
Научно-технических книг, таким образом, было — • 11115 =
13
= 9405.
О т в е т : 11115, 9405.
(031) Числа. № 6.
2 12 + 27 + 1 = 2 |2 + 2-2(’ + I = (2(’ + 1)2 = (2Ь+ 2-23 + 1 - 2Y =
= ((23 + 1)2 - 42)2 = ((23 + 1 - 4)(23+ I + 4))2 = (23 - З)2(23 + 5)2. Получили четыре множителя и не важно, что среди них две пары
одинаковых.
О т в е т : (23 - З)(23 - 3 )(23 + 5)(23+ 5).
(032) Числа. № 7. Разложим число 2008 на множители. 2008 =
= 8-251, где 251 - простое число. 2008 = 2 - 4 - 2 5 1 .
2 + 4 + 251 = 257. Для получения суммы, равной нулю, вы­
берем 257 раз число (-1). Получилось 3 + 257 слагаемых. Оста­
ется найти еще 2008 - 260 = 1748 слагаемых, которые не долж­
ны изменить ни найденной суммы, ни найденного произведения.
Проблема решается, если взять 874 единицы и 874 числа, рав­
ных (-1). Все 2008 целых чисел найдены: числа 251, 4 и 2 взяты
по одному разу, единица выбрана 874 раза, а -1 будет встре­
чаться 1131 раз. Общее количество слагаемых 1 + 1 + 1 +
+ 874 + 1131 = 2008, при этом их сумма равна нулю, а произве­
дение равно 2008.
73

О т в е т : Можно. Числа 251, 4 и 2 взяты по одному разу,
единица выбрана 874 раз, а -1 будет встречаться 1131 раз.
(033) Числа. № 8.
п3 + 3/г - п - 3 = п~(п + 3) - (/; + 3) = (// + 3 )(/г - 1) =
= (// +3)(/( + 1)(// - 1). Возьмем теперь нечетное число // = 2к + 1.
Получаем: (2к + 4)(2к + 2 ) - 2 к = 8к(к + 1)(к + 2). Из двух после­
довательных натуральных чисел одно кратно 2, значит, данное
число кратно 16, а из трех последовательных натуральных чисел
одно кратно 3, значит, данное число кратно 3 и делится на 48.
(034) Числа. № 9. Докажем, что если число N = abc делится
на 37, то в этом случае число Л/ - Ьса также делится на 37.
Имеем: N = 100н + 10Л + с = 37к, отсюда: с = 37/с - 100с/ - 10/;.
Тогда: М = 100// + Юс + а = \00Ь + 10 (37/с - 100с/ - 10Ь) + а =
= 370А' - 999с/ = 37(10/с - 27). Последнее равенство доказывает,
что М делится на 37. Значит, в трехзначном числе, делящемся
на 37, можно переставить цифры так, чтобы полученное число
тоже делилось на 3.
О т в е т : Можно.
(035) Числа. № 10. Наименьшее общее кратное чисел 2, 3 и 5
будет 30. От 1 до 30 имеется 8 чисел, удовлетворяющих усло­
вию задачи: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. В любой следующей по­
следовательности из 30 последовательных натуральных чисел
будет ровно 8 чисел, удовлетворяющих условию задачи.
23091942 = 769731 ■ 30 + 12. В 769731 периодах находится
7697с? 1 • 8 = 6157848 искомых чисел. В двенадцати оставшихся
числах расположено ещё три искомых числа. Таким образом,
всего на числовом отрезке от 1 до 23091942 будет всего 6157851
таких чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 3. ни на 5.
О т в е т : 6157851.
74

(036) Числа. № II. Применим формулу разложения на мно­
жители выражения а" - Ь".
а" - 1= я" - Iя = (а - 1)(«''■' + ...). Число (а" - I) нацело делит­
ся на (я - 1). Число а"+1 простое, значит, а = 2. При а = 2 полу­
чаем, что 2" +1 и 2 "-1 - простые. Число 2" не может быть
кратно трем.
Если 2" = ЗЛ + 1, то 2" - I = ЗА + I - 1 = 3//. 2" - I в этом слу­
чае делится на три.
Если 2" = ЗА - 1, то 2" + 1 = ЗЛ - 1 + 1 = 3/;. 2" + I в этом слу­
чае делится па три.
Значит, при нечетном п 2" +1 делится нацело на 3, при чет­
ном п 2" -1 делится нацело на 3.
Таким образом, возможен только один вариант: 2" - 1 = 3 ,
2я = 4 , п = 2. Получается единственная искомая пара простых
чисел (3; 5).
О т в е т : (3: 5).
(037) Числа. № 12. гг = 10000.V + 2001 . Последнее равенство
доказывает, что п - нечетное
(2А + 1)2 =10000x4-2001,
4/t2+4A- = 10000.v + 2000,
А(А+ 1) = 2500л-+ 500,
к(к +1) = 125(20л + 4).
Либо к = 125t, либо к = 1251- 1.
Наименьшее значение к = 124, тогда п = 249.
п2 = (850 - 1)2 = 62500-500 +1 = 62001.
О т в е т : 249.
(038) Числа. № 13. Заменив в выражении все звездочки
на плюсы, мы получим, что значение выражения в левой части
равно 55. Станем заменять некоторые плюсы на минусы. При
75

этом каждый раз значение выражения будет уменьшаться на чет­
ное число. То есть значение выражения, стоящего слева, всегда
будет нечетным числом. Значит, четное число 0 мы получить
не сможем.
О т в е т : Нельзя.
(039) Числа. № 14. Пусть 2 К1П" - m-значное число, и 5

v

^ 01000 , ,п,„

л-значное число.
Эго означает, что
ш
0.
.т2 - 5.V + 6 = 2(.\- - 3) %/х ,

(л- - 2)(л- - 3) - 2(л- - 3) Va- = 0,
(.V- 3)(т —2 - 2 л/л ) = 0,
х = 3 или х - 2 %/х - 2 = 0.
х - 2 %/х- 2 = 0.

Пусть %/х = г, 2 >0.

^ - 2 2 + 1 - 3 = 0,
( г - 1 ) 2 = 3,
z - 1 = ±%/3 ,z = 1 ±%/3 ,
Z| = 1

%/з

< 0 , Z2 = 1 + %/3 .

%/д = 1+ %/з,
х = 1 +2х/з + 3, х = 4+ 2 %/3 .
Условие х > 0 выполнено.
О т в е т : х = 3, х = 4 + 2 %/з .
(059) Уравнения. № 4. Разложим данный многочлен на мно­
жители, а затем, приравняв к нулю, решим уравнение:
83

2j> +

v4_ io.v'- 5.гт 8.v + 4 = ,v4(2х+ l)-5 .r(2 v + l) + 4(Zv+ l) =

= (2л- + 1)(.v4 - 5.Г + 4);
(2л-+ 1)(л-4 —5.V2+ 4) = 0,
"2л-+ 1 =0,
_л-4 - 5л-2+ 4 = 0.
О т в е т : -1 /2 ,-1 ,-2 . 1.2.
(060) Уравнения. № 5. Представив слагаемое —7л в виде
суммы -л" + (-6л), получим:
.г3 - Л" — 6.V + 6 = 0.

.v(.v-2 - 1) —6(.v — 1) = 0,
х(х - 1)(л- + 1) - 6(л- - 1) = 0,
(л- - 1)(л-2 + .V- 6) = 0,
л- = 1 или л-2 + х - 6 = 0.
Решаем квадратное уравнение: Л"? = 2, xj = - 3.
От в е т : 1; 2; -3 .
(061) Уравнения. № 6. Если .т = 0, то 0 + 0 = -1,5 ложно. По­
этому л- Ф 0. Разделим числитель и знаменатель каждой дроби
на Л'.
-+ = -1,5.
. 3 '
. 3
-Y+ 1+ - Л--5 + X
X
*2
Обозначим л' + —= z , тогда
4
г+1

5
г-5

3
2

:0 ,

8г - 4 0 + 10г + 10 + Зг2 - 12г - 15
= 0,
2(г + 1)(г-5)
z2+ 2 z - 15 = 0,
Зг~ + 6 г - 4 5
=
0
о
<
г -1,
’(z + l)(z-5 )
z * 5.

84

z2 + 2r - 15 = О,

z, = - 5, z, = 3.
1) 2 = - 5 ,
3

Л-+— = -5,

хфО.

x
A-2 + 5.v + 3 = 0
/) = 2 5 - 12= 13.
—5 ± л/Гз
x = ------.

2
2 ) 2 = 3,

*4=3,
-V

a2 -

За + 3 = 0
/) = 9 - 12 х = 1.

(066) Уравнения. № 11. Так как на нуль делить нельзя, то
А) 4.г - 8.v + 7 = 0, — = 1 6 - 28 = -1 2 < О,
4
88

Б) 4л-2 - Юл- + 7 = О, — -25 - 28 - -3 < О
4
ОДЗ: (-со; +оо).

Зл
-—

; ---------------------------------- 1---------------- ; -----------------------------—

4 Г - 8л + 7

— 1 .

4 л --Ю л + 7
Учитывая, что л" = 0 не является корнем данного уравнения.
разделим числитель и знаменатель каждой дроби на л Ф 0.
4
,
3
7+
7
4л - 8 + — 4л - 10 + —
л
л

л
1
4
3 ,
Пусть 2 = 4л + —, тогд а----- + --------= 1.
л
2 -8 2-10
4г - 40 + 3z - 24 - z 2 +18 ~ - 80 _ д
( 2 - 8)(2 - 10)
“ ’
-z 2 + 2 5 z-1 4 4
(2- 8)(2 - 10)

:0 .

Учитывая, что 2 Ф 8 и z Ф 10, получаем
22 - 2 5 г + 144 = 0,

г, г, = 144,
+ z2 =25.

: 9, Zi = 16.

Условия z Ф 8 и г Ф 10 выполнены.
1)2 = 9.
4л + — = 9, л Ф О
л
4л2 - 9л + 7 = О,
0 = 81 - 4-4-7 = 81 - 112=-31 -1

-x

Зх+ 5 = 4. З л = - 1 ,л - = - 1 , - I e ( i ; +OQ).
Получили X = — .

(069) Уравнения. № 14. Пусть \х - 3| = 0.
Тогда д--3 = 0, л' = 3.
Получили О'1= О2 верно.
х = 3 - корень уравнения.
Основание равно 1.
|.v -3 |= 1,
х - 3 = 1 или х - 3 = 1,
х=4
или
х = 2.
Подставив, убедимся, что получаем верное равенство 1 - 1.
Получили .V= 2, х = 4.
Если |х - 3| Ф 0 и |.v - 3| ф 1, то в силу монотонности функции
У = а', получаем лг - х = 2, х2 - х - 2 = О,
А] = -1, -V2 = 2.
Получили еще один корень х = -1.
О т в е т : {—1; 2; 3;4}.
(070) Уравнения. № 15. дг - 4т + 3 = лг“ - З.т —х + 3 =
= х(х- 3) - (Л- - 3) = (л- - 1)(л- - 3),
х2 - 5х + 6 = . г - 2 х - З.т + 6 = х(х - 2) - 3(х - 2) = (х - 2)(х - 3).
91

Уравнение имеет вид:
|(.v - 1)(.v - 3)| + |(.v - 2)(.v - 3)| = 1.
Раскроем модули, используя таблицу.

л< 1
,v: - 4.V+ 3
K-V- !)(■' - 3)|
л-2- 5.V+ 6
|(.y - 2)(.v —3)|
К-v - 1)(.г - 3)| + -л- + 3
+ К-'' - 2)(.v - 3)|

1< Л- < 2
+ 4л- - 3
л2- 5.т + 6
-2Г + 9.Г-9
- Л -2

2 3
-л-2+ 4л - 3 л2- 4л- + 3
л2- 5.v + 6 -л2 + 5.V- 6
2v2 + 9л - 9 2 г - 9х + 9

Пусть х < 1 или х > 3, тогда уравнение примет вид
2.т2 —9.v + 9 = 1,
2дг - 9х + 8 = 0,

D = 81 -4-2-8 = 17.
..

9±Vi7


г ~

9 -V i7
'

х'

9 + VT7

= — :— • л 2 = — :—

з±2И>з ,

Л-2 > 3

9 + л /п >12,
VT7 > 3 .

Очевидно.

Повторив данное рассуждение в обратном порядке, получим,
что неравенство д-2 > 3 доказано методом сведения к очевидному.
Получили корень уравнения t = ? +

4

_ 9 - VT7
1
92

'

9 —s/l 7

4

4

9 + х/п > 4 ,

9 + VT7 VP7,

VT7 = 81 - 8 0 = 1,
9+ 1

-V,, = ------, д-| = 2, х -t = 2,5.

4

2 g (2 ;3 )

2,5 е (2 :3 ).

Получили .v = 2,5 - корень данного уравнения.

4

(071) Уравнения. № 16. Рассмотрим данное уравнение как
квадратное относительно переменной у.
( 15.т2 + 28.V + 5 ) / - 2(4л-2 + 19х + \2)у + (л- + 4)2 = 0.
Разложим квадратны е трехчлены на линейные множители,
а) 15 .г + 28л- + 5 = (З.г + 5)(5.r + 1),

D

— = 1 4 6 -7 5 = 121,

4

-1 4 + 11

5

1

93

б) 4х 2+ 19л- + 12 = (л- + 4)(4v + 3),
0 = 361 - 192= 169.

(3.v + 5)(5.v + 1 )/ - 2(.v + 4)(4.v + 3)v + (х + 4)2 - 0.
= (л- + 4)2(4.y + З)2 - (л- + 4)2(15.Г + 28л- + 5) = (.т + 4)2( 16л-2 +
4
+ 24л- + 9-15л-2- 28л- - 5) = (,v + 4)2(.y2 - 4.v + 4) = (л: +4)2(.v - 2)2.


•Vl>2_

(4,у2 + 19л + 12) ± (x2 + 2.y - 8)
15.y2 +28.Y + 5

3.y 2 + 17.y + 20 _ (3.Y + 5)(.y + 4) _
У' ~

Л- + 4

(2,y+ 5)(5.y+ 1) “ (3.y + 5)(5x +1) “ 5х + Г

5.v2+21.y + 4 _ (5.y + 1)(.y + 4) _ .y + 4
}’2 ~ (2л- + 5)(5.y + 1) ” (3.Y+ 5)(5.y + 1) ~ 3x + 5 ’

1) у = -------. Найдем 3v и выделим целую часть.
3.Y+ 5

Число 7 имеет ровно четыре целых делителя: -7, -1, 1, 7.
Рассмотрим эти четыре случая.
3.Y + 5 = 7,
Зл-+ 5 = - 7 , 3.Y+ 5 = 1 ,
Зх + 5 = 1,
3.Y = 2,
Зл- = -12,
З.т = - 4,
З.т = -6,
х 0Z .
х - -4,
х ■= 0 .
У = - 2-

94

Число 19 имеет ровно четыре целых делителя: -19,-1, 1, 19,
Рассмотрим эти четыре случая.
5.V+ 1 = -1 9 ,
5.т+ 1 = 1,
5.т = -2 0 ,
5л = 0,
л- = -4 .
л = 0,
х£ Z ■
v = 0.
v = 4.
О т в е т : (-2; - 2); (0; 4); ( -4 ; 0).
5.V+ 1 = 19,
5.v= 18,

5.v + 1

5х = ~:
xez.

(072) Уравнения. № 17. l](x + 1)2 + 2^/(.v- 1); = З-ч/.v* - 1,

V(* + l У' - 3-) = 0.

j x - y = 3,
{.т2 + 4у = 0.

Решим отдельно каждую систему:

1) |-v: .V= 3,

Jx - ,- 3 .

[ ( х " - у ) = 0.

|(.v2 - у ) = 0.

.г - x = 3,
-v2- х + 3 = 0,
D = 1 - 12=-11
r=l’
[2.v2 + xy = 1■
2(z2- x2) - v(z + л-) = 0,
(.v + z)(2z - 2-v - у) = О.
2 + .V = О
ИЛИ
1) г = -л*
3.V
,„

2 r - 2v = у.

--------------- г = - V, .V Ф О.

2(1 -.V)-

2л-2 - 4л- + 5 = 0,
D < 0 корней нет.
2 ) 2 г - 2 л - у = 0,
6л-

xy = 1 - 2л-2, у

■2х~у = О,
(1-л-)2
-2 x -b l
Зл-

=

(1-Л)3

0.

1 -2 л -2

ЗлCl-л -)2

Л-

Зл2 = 1 - 2л- + л-2

Л|

л/3-1
2

- , Л'2— -

-(л/з + 1)
2

При этом у = — -2 х ,

У1

,_ 2__ 2(л/з-1 ) _ 2(Уз + 1)
7 з -1
2
(7з-1)(л/з+1)

= V3 + 1-V 3+1 = 2.
Аналогично _у2 = 2.

О т в е т : (— —!.; 2), (

+ 1) . 7 ^

106

(л/3-1) =

(088) Уравнения. № 33.
x + y + z + и = I.

у + z + /( + >’ = 2.
. z + и + v + д- = 3,
и + v + .г + J'

= 4,

V + Л' + у + Z — 6.

Сложив уравнения, получим:
4(.т + у + z + и + v) = 16,
x + y + z + u + v = 4.
v = 3, х = 2, у = 1, z = 0, и = -2.
О т в е т : v = 3, .v = 2. у = 1, z = 0, и = -2.
(089) Уравнения. № 34.
{x2 + y 2+z 2 =l,
\ x 3+ y 3+z3 = \.
1) Каждое из неизвестных 0 < |г| < 1, 0 < |у| < 1, 0 < |.v| < 1.
Если, например, [v| > 1, то [>f > I и |.vf + [rf + |-|- > 1.
2) При 0 < х < 1 имеем 0 < л-3 < л-3 < 1.
При 0 < „т < 1 имеем 0 < .г3 < х2 < 1.
Если хотя бы одно из 3 неизвестных (.г, у, z) будет строго
больше 0 и меньше 1, то получаем для определенности 0 < х < 1,
.г3 < .г.
1 = .г3 +у3 + z3 < г 3 + У + z3 = 1, чего быть не может.
3) Значит, х, у, z равны только 0 или 1 При этом одно из не­
известных будет 1, а другие 0.
Итак, получаем (0; 0; 1), (0; !; 0), (1; 0; 0).
О т в е т : (0; 0; 1), (0; 1; 0), (1; 0; 0).

107

(090) Уравнения. № 35.

V+ Z
X+ Z

лу + xz + yz

.V + у
yz + xy + xz
• ------- ;-------= 2 ,
y+z
XZ +

ЛТ +

yz _

x+ 2
Jx + у = 2у + 2z,
|y + z = x + z.

x = у, x + x = 2x + 2z, z = 0.
Из первого: — = 1; д- = 2, у = 2.

2.y

О т в е т : х = 2, у = 2, z = 0.
J-Y + у = 2000,

(091) Уравнения. № 36. \ху = z2 +1000000.
у = 2000 - х, (2000 - х)х - 1000000 = z2,
-(х - 1ООО)2 = z2.

(-оо; 0]

[0; +оо)
х = 1000,
■ z = 0,
у = 1000.

О т в е т : х = 1000,у = 1000,2 = 0.
108

(092) Уравнения. №37.
J .Y - V

= 3,

IX4 + 3.v2y - 4 y 2 = 0.
Рассмотрим второе уравнение.
л-4+Зл-2у - 4 у : =0.
д-4 + 4.г2у - ,Г у

-

4у2 = 0,

,v2(.v2 - 4 ) + 4у(л-’ - 4 ) = 0,
(л-2 -у)(.т2 +4у) = 0.
Система принимает вид:
л - у = 3,
Г - у = 0;

\ х —V = 3,
\
О
[(.V -у )(л " + 4у) = 0:

л--у = 3,
л-2 + 4у = 0.
.Y2 - .V= -3,

[.Y2 - = 0,
|. т - у = 3;

х —у = 3,
1)

-V2 -

v = 0;

л-2-.т + 3 = 0 .
/) =

1-12

-11 < о,

=

I

2)

х-

у =

д-2 + 4у

| г = л -3 .

3,
=

[д-2 + 4(jc—3 )

0;

д-2 + 4д- - 1 2

=

|лут,
|л-,+л-2 = -4;
= -12,

==

0;

0,
f.v,=-6.

1у,

=

-9;

Получили (-6:-9), (2;-1).
Отве т: (-6 ;-9 ),(2 :-1 ).
109

|,.= 2 ,
Ь = - 1

нет.

(093) Уравнения. № 38.
' \ x \ > \ y - z + t\,
| y \ > \ x - : + t\,
‘ \ t \ > \ x - y + z\,
Jz|>|-v- y + t\.
Так как обе части неравенства неотрицательные, то можно
возвести обе части в квадрат:
х2 - ( x - z + f): > 0,

(.V- у + z -1){х + у - z + 1) > 0,

Г - ( . v - r + ?)2 >0,

( у — X + Z — / )( V + х — Z + 1) > О,
Х<

Г - ( .v - y + z)2 > 0,

(I - X + у - з)(/ + х - у + z) > О,

z 2 —( x —y + t)2 > 0.

(z —X + у —/)(Z+ X—у + 1) >0.

~ ( х - у + z - t ) \x + у ~ + t f ( t + х + z - у)2(_у- х + z - tj1> 0.
Последнее неравенство невозможно, и система решений
не имеет.
О т в е т : Решений нет.
(094) Уравнения. № 39.
X, + .V, + X, = 6,
.V, + X, + ,т4 = 9 ,

-Н + -+: + Л*5 —3,
Л'4 + .v5 + .v6 = -3,
A-5+.v6 + .Y7 = -9 ,
.3 -,+ ^ 7 + ^ = -6 ,
-v7 +-v8 + -VI = ~2x8 + x, + x, = 2.

Сложим:

Сложим I, IV, VII:

Xi + X-> + X-K + Хл + Л \ + AV, + Xt_+ Xu +

= 6 - 3 - 2 = 1,
110

X| -

Сложим II, V, VIII; д? + д+ + дд + дд + ду, + л-7+ Лч, + .yl + - 2,
л-2 = 2.
Из I и следующих:
1 + 2 + X) = 6, л'з = 3,
2 + 3 + яд = 9, л'4 = 4.
3 + 4 + xs = 3, л-5 = -4,
4 - 4 + хь ~ -3, л'(, = —3,
-4 - 3 + л'7 = -9, л*7 = -2,
—3 — 2 + Л'и = —6. Л'8 — —1.
Итак, .Xi = 1, л‘2= 2,.yj= 3, л'4= 4, _y5= —4, л>, = —3, д-7= -2 , х« = - 1.
О т в е т : ду = 1, х2 = 2, ду = 3, лу = 4, л5 = -4, .v6 = -3, д-7 = -2,
Л8 = -1(095) У равнения.№ 40. six +\+slx-\ = \ Jl.
ОДЗ Л' > 1, х = 1 - корень.
f(x) = six + 1 + s i x - 1 возрастающая функция, значит,
х = 1 - единственный корень.
О т в е т : х = 1.
(096) Уравнения. № 41.
J.y' у + 2х 2у 2 + ху' = 4.
{л + у + л У + ху2 = 4.
|.ту(л2 + У2) + 2 * У = 4. Пусть v + y = 2i v>. = ,
[х + у + ху(х + у) = 4.
,Г + 2x y + y 2 = r , x L+ y = z 1-2 x y , z~ + у2= z1- 2t.
lt(z2 - 2t) + 2 r = 4, \ t r - I f 1+ 2r = 4, | tz- = 4, ( = _4_
j - + r/ = 4;
\ z + zl = 4;
\ z + z/= 4 .
2+

,..1 .= 4 , 2 + - = 4 , z2 + 4 = 4z, ^ - 4 ^ + 4 - 0 ,

( z - 2 ) 2= 0,

4

.

z - 2 = 0, z = 2, f = - = l.
Ill

О т в е т : (1; 1).
(097) Уравнения. № 42.
6.vz + 3.y = 2z - 2 ,
■ху +ту = 2(z -,v + 1),
ту - 6XZ + у = 3.Y+ 3.
1) Сложим первое и третье уравнения системы:
3.Y+ ту + у = 3.v + 2z + 1,
z (y -2 )= l-y .
2) Если у = 2, то z • 0 = 1, чего быть не может, поэтому
_ 1-Г
> '- 2 '
3) Из II Ху + ту - 2 z + 2х = 2,
х(у + 2) + z(y - 2 ) = 2,
л-0 + 2)+ - I z il( v - 2 ) = 2,
> -2
-vCv + 2) = 1 +у.
Если у = -2 ,

to .y • 0

= - 1, значиту ^ 2, ,v= 1+ >’
у +2
4) Подставляем в I уравнение:
3.v(2z + 1) = 2(z - 1),
? + 2 У . ( 2 ~ 2 У + у - 2 ^ п 1- у - у + 2
У+2
у -2
_3(,У+ 1) - у _ 2 ( 3 - 2 у) -Зу (у + 1)
У+2 у - 2
у - 2 ’ ~ 7 7 2 ~ = 6 _ 4 j;’
-Зу2- 3 у = 6 у -4 у 2+ 1 2 - 8у,
-Зу2 - Зу - бу + 4у2 - 12 + 8у = О,
У2- у - 12 = 0,
112

v>i = -3, V2-4.
5) При у = -3, .V= 2, z = -0,8. Имеем (2; -3; -0,8).
6) При у = 4, л- = - , г - -1,5. Имеем ( - ; 4; -1,5).
6
6
О т в е т : (2; -3; -0,8), ( - ; 4; - 1 ,5).
(098) Уравнения. № 43.
Рассмотрим систему:
у

А' +

= !-г,

Уг

------ = 2 —.Y,
y +z
X + Z

ху + xz + yz
=1,
х +у
yz + ху + -YZ
= 2,
y +z
xz + ху + yz

1-

.V+ Z

J .v + у = 2y + 2z,
[y + z = x + z .
х = у, х + х = 2 y + 2z, z = 0 .
XV

Из первого: — = 1; х

-

2, у

=

2.

О т в е т : .v = 2, у = 2, z = 0.
(099) Уравнения. № 44.
х6 - 9х4+ 27.г - 27 - 64.Г1- 288.Г - 432v =
= 18(12л-+ 18 - 4.г3 - 6а2).
113

/ _ 9.v4 - 64л3 - 26l.v2 - 432.v - 27 - 216л - 324 + 72л-1
+ 108л2= О,
хь _ 9 V44 By3 - 153л2 - 648л- - 3 5 1 = 0.
Поделив многочлен л6 - 9д4+ 8л-3 - 153л2 - 648.V - 351 на л- получим:
(.* _ 3)(Л-5 - Зл-4 + 8л-2 - 177л - 117) = 0.
.v5 - 3.Y4+ 8.v2 - 177л- 117 = 0,
(л24 ах - З)(л34 Ьх24 сх + 39) = 0,
^
^
v5 + /,л-4 + ^ + 39д-2 4 ах4 + abx3 + асх2 + 39ял - Зл’ - 36л2
- З е л - 117 = 0.
а + Ь = -3,

6 = -3-я,

с + аб —3 = 0,
Зс = 39я + 177,
39 4 ас - 36 = 8,
с = 13я 459.
39 я-Зс = - 1 17.
1За 4 59 4 а(-3 - а) - 3 - О,
1За + 59 - Зя - а2 - 3 =0,
—я2+ 10а 4 56 = О,
а2 - 10а - 56 = О,
— = 25 + 56 = 81.
4
5 ±9
а |.2= —j— ,
ai = -4,

02= 14,

/,, = 1,
6, = -17,
С) = 7,
с2= 241.
1) (л2- 4л - 3)(л3+ л2+ 7л + 39) = О,
л2- 4 л - 3 = 0.
— = 4 + 3 = 7. л = 2 ± л/7 .
4
л3+ л2+ 7л + 39 = 0.
114

Поделим этот многочлен на х + 3 уголком:
(л" + 3)(.v“ —2.v I 13) = 0,
,
D ,
,у = -3
или
—= 1-|3=_| ■= - - 8 = - = 4 , 8 .
З.у
л5
5
Половину забора первый покрасит за 4 ч, а второй свою по­
ловину за 2,4 ч. Общее время при поочередной работе 4 ч + 2,4ч =
= 6,4 ч.
О т в е т : 6,4 ч.

(108) Текстовые задачи. № 8.
Пусть он родился в 19лу году.
9.Yу - произведение цифр его года рождения.

1990- 19лу = 1900 + 9 0 - 1900- Юа -> ' = 9 0 - \0 х-у .
118

9xy = 90 - 10.v - у.
9.yv +v = 90 - 10.v,
v(9.y + 1) = 90 -- IO.y,
-9.y -1 + 91 - .y _ 91 - .V
-1 .
У=
97+4
“ 9.v + 1
1).v= 0
>'= 90 нет
6).v= 5
40/46
7.).v= 1
у = 8. (1918 r.) 7).y = 6
30/55
3) x = 2
70/19 дробь
8) л-= 7
20/64
4) -V= 3
60/28 дробь
9) л-= 8
10/73
5) a = 4
50/7
10) a-= 9
v = 0. (1990 r.)
О т в е т : 1918 или 1990.
(109) Текст овые задачи. № 9.
Время распила и время колки дров обратно пропорциональ­
но количеству, поскольку 1\ : ь = 8 : 5. Время распила составляет
8
_
. 8 40
— всего дня и за это время оудет распилено 5-— = — (поле13 13
13
нец) = 3 — поленец.
13
ГА

- 1

О т в е т : 3 — поленец.
13
(ПО) Текстовые задачи. № 10.
£ ______ 1
1’
п -1 +1— +

t„
п
1 1
1
—+ — + ... + —
/, U
/..
ОТЕ

П
1 1

1

---- 1-------h ... Н----^I
^/1

119

( Il l ) Текстовые задачи. № 11.
Плот

Катер

х/км

(4.v - л')/км

А

С

В

Катер
(4д- - д-)/км
1-й способ.
Пусть х км/ч - скорость течения реки и АВ = а км;
4г км/ч - скорость катера в стоячей воде; 5х км/ч - скорость
катера по течению реки;
3.Vкм/ч —скорость катера против течения реки;
allV+ 3.y) = а/(4х) - время до встречи в С.
АС = а/(4х) ■х = а/4(км); За/4 (км) = ВС;
0,75а/(5л-) = За/(20х) (ч) - время катера на путь ВС;
За/(20х) (км) —путь, пройденный плотом за это время;
а/4 + За/20 = 8а/20 = 2а/5 (км) — весь путь, пройденный
плотом;
2а/5/а = 2/5 —часть пути А В, которую прошел плот.
2- й способ.
На отрезке АВ плот движется в 3 раза медленнее катера
и до встречи пройдет путь втрое меньший: АС = а/4 км, ВС =
—За/4 км. На отрезке ВС плот движется в 5 раз медленнее кате­
ра и до встречи пройдет путь в 5 раз меньший, чем катер,
то есть За/20км. Весь путь, пройденный плотом, равен а/4 + За/20 =
= 2а/5(км), что составляет 2/5 пути АВ.
О т в е т : 2/5 пути АВ.

(112) Текстовые задачи. № 12.
Сложим два шнура АВ и А|В] сонаправленно ( г. е. с одина­
ковой степенью сгорания в направлениях от А к В и от А, к ВО.
120

Ai

С

В

1) Поджигаем А и В|. Огоньки встречаются в точках С и С'|.
Время сгорания tB. Сд, = /Д(, = tAC^ = tCB. Поэтому остатки СВ
и С|А| догорят за то же время, значит, tM = /а

= / 1С = /(Т) =

= 30 с.
2) В момент встречи огоньков в точках С и С, поджигаем А,
и В. Теперь СВ и С]А; горят с двух концов и сгорают одновре­
менно вдвое быстрее, т. е. за 15 с. К моменту их общего полного
сгорания пройдет 30 с + 15 с = 45 с.
(113) Текстовые задачи. № 13.
В системе координат, связанной с течением реки, пловец
проплыл 10 мин в одном направлении и 10 мин обратно. Общее
время 20 мин. Для мяча время будет таким же. Получаем, VTC., =
= 1000 м : 20 = 50 м/мин.
О т в е т : 50 м/мнн.
(114) Текстовые задачи. № 14.
3
Если человек пробежит в направлении В моста, то к этому
8

моменту автомобиль попадет в точку А и до момента встречи
5
3
1
в В человеку остается пробежать — — — - — моста, а автомо­
биль должен будет проехать весь мост. Поэтому скорость, с ко­
торой бежит человек в 4 раза меньше скорости автомобиля.
60 км/ч : 4 = 1 5 км/ч.
О т в е т : 15 км/ч.

121

(115) Текстовые задачи. № 15.
До первой встречи они вместе проехали АВ, а до второй ЗАВ. Поэтому первый проехал до второй встречи 70 км ■3 =
= 210 км. Еще ему оставалось проехать 40 км. Всего 210 км +
+ 40 км = 250 км, и это 2АВ. 2АВ = 250 км, АВ = 125 км.
О т в е т : 125 км.
(116) Текс товые задачи. № 16.
у км/ч - скорость связного, Л’ км/ч - скорость колонны.
5
5
12 5-2у _ 12
-------------- 1---------------— ------- ,

— — ------- ,
у - X у + X х у - Л'~ л*
5ху = 6v” - б.т2, 6_у2 - 5ху - 6.Y2 = 0, — = t,
6 Г - 5 1 - 6 = 0,
Z> = 25+144 = 169. t = ^ ^ , / = - , L = - , y = I.5.V.
12 ’
3 ’ л- 3
Так как колонна прошла 12 км, а скорость связного в 1,5 раза
больше, го и проехал он в 1,5 раза больше 12-1,5 = 18 (км).
О т в е т : 18 км.
(117) Текстовые задачи. № 17.
,v км/ч, у км/ч, 2 км/ч - скорости 1, 2 и 3-го автомобилей. В на­
чале выхода 3-го расстояния .т км и у км, а через час cl\s - 2т - 2,
d r ] =

2 у

{

— г .

х = 3)

у = 4.1
4.Т-3у = \ 2 х - 12у,

122

1)

Значит, отношение скоростей будет - .
8
9

Ответ: - .
8
(118) Текстовые задачи. № 18.
V\ + V i= 140 км/ч.

5 = 1 4 0 км/ ч - 6 с = 1 ^ = 1 ^ = 1 ^ 1 = М _ 23з 1
3,6

0,6

3

3

"

3

(м).

О т в е т : 233—м.
3

(119) Текстовые задачи. № 19.
3 3 9
/. = - + - = - = 2,25 (ч).
1 4 2 4
4.V + 2т = 6 , 6.Y = 6 , .т = 1; 2т = 2 (ч). Ь = 2 ч.
2,25 - 2 = 0,25 (ч).

О т в е т : Гриша пришел в школу на ‘А часа раньше.
(120) Текстовые задачи. № 20.
Пусть .т - студентов, у - студенток, г - скамеек, к - студентов
на каждой скамейке,
z = к+ 1,
70 < z + /cz < 90,
70 < z(k + 1) < 90,
70 < (к + 1)2< 90,

(к+

1)2= 81Д + 1 = 9 Д = 8,

z = 9,

9 + 8 - 9 = 81.

О т в е т : 81 человек, 9 скамеек.
(121) Текстовые задачи. № 21.
1) Сколько процентов учащихся владеют только языком Бей­
сик?
8 5 % - 7 5 % = 10%.
123

2) Сколько процентов учащихся владеют только языком
Паскаль?
80 % - 75 % = 5 %.
3) Сколько процентов учащихся не владеют ни одним язы­
ком?
100 % - 10 % - 5 % - 75 % = 10 %.
О т в е т :

10%.

(122) Текстовые задачи. № 22.
Спирт

Вода

Было 0,7а спирта, 0,3а воды. (0,7а - 11) г - осталось спирта,
(0.3а - I) г - осталось воды, г г добавили.
0,96г т - добавили спирта,
0,04- г - добавили воды.
(0,7а - 1 1 + 0,96z) г - стало спирта, (0,3а - 1 + 0,004z) г - ста­
ло воды.
Зная, что концентрация спирта стала прежней, получаем:
0 , 7 а - 11 + 0,96z 7
0 ,3 а - 1+ 0,04z " 3 ’
0,21а - 33 + 2,88z = 0,21а - 7 + 0,28z,
2,6z = 33 - 7,
26z = 260, z = 10.
О т в е т : 10 г.

124

(123) Текстовые задачи. № 23.

Л- %

ху %

XV2 %

Пусть первый раствор содержит ,v % спирта, второй - лгу %,
а третий - х}’2 %. Если смешать первый, второй и третий раство­
ры в весовом количестве 2:3:4, то получится: 2а л, За л, 4а л.
Всего 2а + За + 4а = 9а (л).
о/

т

2 а 'х

х % от 2а л : ------ л,
100

п/
,
За ■ху
ху % от За л : --------л,
100

2
.
4а •.V)'2
ху % от 4а л : ------1— л,
100

32 % от 9а л •

-3—л. По условию задачи получаем:
100

2а •.т За •.уу
100

+

100

4а •ху2 _ 9 а -32
100

100

2т + З.уу + 4ду 2=9 - 3 2 .
125

Если же смешать их в весовом соотношении 3:2:1 , го полу­
чится 3/> л, 2ft л, ft л.
3ft ■.г
х % от 3 ft л :
- л,

.

2ft •ли’

лт % от 2ft л : ------ —л,
100
XV2% от ft л :

- л,

100

3ft + 2ft + ft = 6ft (л).
22 % от 6ft л :

6ft -22

100
Получится раствор, содержащий 22 % спирта.
36-х
Т(Ю~

2Ь-ху
100

Ь-ху2 66-22
100 ~ 100 л

Зх + 2.VV+ .ту2=6- 22.
Составим и решим систему уравнений:

Jx(2 + 3 v + 4 v2) = 288,
|х(3 + 2у + у 2) = 132.
2 + Зу + 4у 2
3 + 2_у + у 2

24
11 '

(2 + Зу + 4у2) ■11 = (3 + 2у + у 2) • 24,
44т2+ ЗЗу + 22 - 2 4 / - 48у - 72 = 0,
20у2 - 15у -50 = 0,
4у2- Зу-10 = 0.
£> = 9 + 1 6 0 = 169
У],2

3 ± 13



~
8
8
Получили у = 2.
х(3 + 4 + 4) = 132,

126

11а = 132. .v —12.
О т в е т :

12% .

(124) Текстовые задачи. № 24.
Пусть всего только одни человек получил премию, а всего
работает .Vсотрудников.

100

100% , )о
2, 9а 0,

х —1
+ 0,7 0,
< 0;

17.Т-24

л— 2
3.V+ 4

л -2

.V-1> 0,

< 0;

17 > 0,

д—2
,с + 1л-- 2

133

- < 0.

Получили (-со; 1— ) и (2; +»).
+

+
■©--------------- З

■е-

получили

1

а­

-

( —1—; 2).

Найдем решение системы:

__ > v

1

7

Получили ( —1—; 1— ).

3

17

1

7

3

17

О т в е т ; ( —1—; 1— ).
(137) Неравенства. № 2.
Решим неравенство методом интервалов.
f(n) = (n2- 1)(л2- 11)(и2—101 )(и2 —1001).
f(n) = 0 при п = —-ч/ГооТ, п = —л/ТоТ, п = - VlT, п = -1, п = 1,
я = л/ГI, /7 =

л/ТоТ , 77= л/100 1 .
134

- vTooT-'/kh

-1

i

sju

ч/ioT -Леки

Получили ±2, ±3, ±11,+12,..., ±31. 2 3 -2 = 46.
О т в е т : 46.
(138) Неравенства. № 3.
Умножим обе части данного неравенства на -1 :
х~- 9
Решим неравенство методом интервалов:

1л-+ 2|—Ы

1) Обозначим f(x) = ----- г ------ ■
,г - 9
2) Найдем D(f). х~ ф 9,.y ф -3,.т ф 3 ,
D(j) = ( - » ; - 3 ) U (-3; 3) и (3; +оо).
3) Определим, где f(x) = 0.
|.v + 2| = |.v|

д- + 2 = л-

или

л + 2 = -т,

2= 0

2.\- = -2

ложно

X



,

—1.

4)

-3

. / ( 4 ) ^ Л > 0.
1 6 -9 7
5) Значит, ——J

-1

3

0 на (-= о ;-3) w [-1; 3).

'.V - 9

Сумма натуральных решений будет 1 +2 = 3.
От в е т : 3.
135

(139) Неравенства. № 4.

Получили (-5;-3)и(1;-ю о).

Получили (-о о ;-4 )и (—3; 1).
3) Так как оба условия должны выполняться одновременно,
то найдем значения п, при которых выполняются оба условия.

-

5

-

4

-

3

1

Получили значения N, при которых одновременно выполня­
ются оба условия -5 < к 0,
[(.V - 2 )(л - 3) > 0,
[л-2 - 5л < 6;
■V' - 5л- + 6 < 0;
1(л + I)(л - 6) < 0.
а)

Получили (^хз; 2) и (3 ; +оо);
б)

Получили (-1; 6).
Найдем решение системы.

- 1

2

3

6

Решение системы будет (-1; 2) и (3; 6).
О т в е т : (-1; 2) и (3 ; 6).
(141) Неравенства. № 6.
tA- t + - = /4 *-Г + - + Г - / + - = ( г - - ) : + П - - ) 2 > 0.
2
4
4
2
2
Равенство не достигается.
(142) Неравенства. JVs 7.
21995 _ 27-285_ (27)285= 128285> 125285= 53'285= 5855> 5854.
Значит, 2да5> 5854.
(143) Неравенства. № 8.
1-й способ. Пусть f(x) = ах1 + Ьх + с, тогда по условию имеем
Д1)._Д0) < 0, то есть на промежутке от 0 до 1 график функции
137

пересекает ось ОХ, то есть два корня у уравнения ах2 + ах + с = О,
а это значит, что D > О, Ь2 - 4ас > 0, 1г > 4ас и т. д.
2-й способ. По условию ас + Ьс + с2 < О,
4ас + 4Ьс + 4с2 < О,
Лас < -ЛЬс - 4с2(*).
Докажем, что -ЛЬс - Ас2 < 1г(**).
На самом деле -ЛЬс - Ас2 - Ь2 < 0.
4с2 + Ьс2 + > О,
(4с + Ь) > 0 очевидно.
Из (*) и (**) имеем, если 4ас < -ЛЬс - Ас1 и -ЛЬс - с2 < Ьг,
то 4ас < -ЛЬс - 4с2 и -ЛЬс - Ас2 < Ь2, то 4ас < Л2, значит, Ь2 > Лас
и т. д.

(144) Неравенства. № 9.
Применяем теорему о среднем арифметическом и среднем
геометрическом.
а4+ 64> 2стЬ~,
а4+ /;4+