Математика. 9 класс: решение задач повышенной сложности (2-е издание, исправленное) [Ю. В. Лепёхин] (pdf) читать онлайн
Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!
[Настройки текста] [Cбросить фильтры]
e
В помощь Ш шшЫШ\ 5=
преподавателю
Иг.'л%С?ъ%Р
Ш
Wfeg^K':
шШжзU » **"
{/fiSn ifi
№
с .
#
ж
Подготовка к ШЖ
ш
жШ
ШЖ
тщиЯт**
повышенной сложности
:4 > > > 7 - V , а л
.
'
-
%п
Издательство «Учитель»
МАТЕМАТИКА
9 класс
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ
СЛОЖНОСТИ
Автор-составнтсль Ю. В. Лепёхин,
народный учитель Российской Федерации
Издание 2-е, исправленное
Волгоград
УДК 372.016:51*09
ББК 74.262.21
М34
Автор-составитель Ю. В. Л е п ё х и н
Математика. 9 класс : решение задач повышенной
М34 сложности / авт.-сост. Ю. В. Лепёхин. - Изд. 2-е, испр. Волгоград : Учитель. - 291 с.
ISBN 978-5-7057-5697-1
В пособии представлены нестандартные математические задачи с подсказками
и ответами по темам: «Натуральные числа», «Уравнения и системы уравнений»,
«Текстовые задачи». «Неравенства», «Последовательности и прогрессии», «Функ
ции и графики», «Геометрические задачи». «Задачи с параметром».
Учащиеся найдут разнообразный и полезный материал для подготовки к итого
вой аттестации, познакомятся с наиболее важными идеями и методами решения
задач повышенной сложности, а учитель может использовать наборы задач при под
готовке школьников к ГИА, олимпиадам и конкурсам, построить урочную и вне
урочную деятельность обучающихся с учетом личноетно ориентированного, инди
видуального подходов в соответствии е требованиями ФГОС' ООО.
Адресовано учителям образовательных организаций, репетиторам по математи
ке; полезно обучающимся
УДК 372.016:51*09
ББК 74.262.21
ISBN 978-5-7057-5697-1
О Лепёхин Ю. В., автор-составитель
© Издательство «Учитель»
© Оформление. Издательство «Учитель»
ОТ АВТОРА
Замечательно сказал основоположник русской науки Михаил
Ломоносов: «Математику уже затем учить следует, что она ум
в порядок приводит». Решить сложную, оригинальную, нестан
дартную задачу —огромнейшее интеллектуальное наслаждение
для любого человека. Оригинальные находки, нестандартные
подходы, изобретательные выходы из трудных положений яв
ляются мощнейшим катализатором интеллектуального развития
растущего человека. Радость от достижений в интеллектуальной
области - одна из величайших радостей человеческого духа. Че
рез толщу веков, как огненный факел первооткрывателей, к нам
пробился звонкий девиз ищущих, эмоциональный порыв побе
дителей, гордый человеческий возглас: «Эврика! Я нашёл!». Его
гордо и радостно произнес Архимед в минуту высочайшего
интеллектуального напряжения, в минуту великого открытия,
в минуту славной победы человека над незнанием.
Математика даст уникальнейшую возможность воспитывать
смекалку, сообразительность, находчивость, настойчивость,
оригинальность решения, она будит мысли и призывает к точно
сти и обоснованности рассуждении. Запомнились замечатель
ные слова о молодом математике Эваристе Галуа: «Он читал
страницу за страницей, и пред ним простое и прекрасное, как
греческий храм, вставало здание геометрии. Вскоре всё окру
жающее: звуки, запахи, товарищи - исчезло. Здание росло у не
го на глазах. Читая быстро, он поймал себя на мысли, что уга
дывает, знает заранее, что будет дальше. Многие теоремы он
предвидел и только просматривал чертежи в подтверждение
своих мыслей»*.
В изумительной книге Розы Петер «Игра с бесконечностью»
есть такие проникновенные строки: «Я люблю математику
' Иифельд л. Эварист Галуа, М.: Молодая 1 вардия, 1965
3
нс только потому, что она находит применение в технике, но так
же и потому, что она прекрасна, потому, что человек, если хоти
те, вложил в неё любовь к игре, и потому, что математика
в состоянии справиться даже с самой увлекательной игрой сделать возможным «ухватить бесконечность». Математика даёт
нам чёткие сведения о бесконечности, о вещах, которые трудно
даже вообразить. И в то же время она поразительно человечна
и меньше всего похожа на пресловутое «дважды два - четыре»:
математика несёт на себе печать никогда не кончающейся чело
веческой деятельности».
Работа с оригинальной, необычной, интересной задачей важнейшая особенность в деятельности учителя математики.
Мне на всю жизнь запомнились мудрые слова академика
А. И. Маркушевича: «Мы только тогда выполним свой долг пе
ред молодым поколением, когда сумеем на своих уроках доне
сти до ребят то безграничное мужество, любовь к людям
и жертвенность, которые скрываются за скупыми строчками на
учных законов, формул и теорем».
Пособие условно можно разделить на 2 части. В первой час
ти рассматриваются задачи, которые собраны по темам: «Нату
ральные числа», «Ума палата», «Уравнения и системы уравне
ний», «Текстовые задачи», «Неравенства», «Последовательно
сти и прогрессии», «Функции и графики», «Геометрические
задачи», «Задачи с параметром». Во второй части предложены
ответы, указания и решения.
Учащиеся найдут для себя богатый и разнообразный матери
ал для подготовки к итоговой аттестации, познакомятся с наи
более важными идеями и методами, заложенными в решении
нестандартных задачах, а учитель может использовать наборы
задач в своей работе: при подготовке к ГИА, олимпиадам и кон
курсам. Важно при этом, чтобы эта работа велась регулярно,
продуманно, систематически, заинтересованно и увлечённо.
4
§ 1. УМА ПАЛАТА
(001) Ума палата. № 1.
На столе стоят вверх дном 25 стаканов. За один ход Ваня
может перевернуть любые два стакана. Сможет ли Ваня за не
сколько ходов поставить все стаканы правильно?
(002) Ума палата. № 2.
В клетках квадратной таблицы 4 x 4 расставлены знаки «+»
и «-», как показано на рисунке. Разрешается одновременно ме
нять знак во всех клетках, расположенных в одной строке, в од
ном столбце или на прямой, параллельной какой-нибудь диаго
нали (в частности, в любой угловой клетке). Докажите, что
сколько бы мы ни произвели таких перемен знака, нам не удаст
ся получить таблицу из одних плюсов.
+
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
(003) Ума палата. № 3.
В пробирке находятся марсианские амебы трех типов: А, В
и С. Две амебы любых двух разных типов могут слиться в одну
амебу третьего типа. После нескольких таких слияний в пробир
ке оказалась одна амеба. Каким может быть ее тип, если исход
но амеб типа А было 20 штук, типа В - 21 штука и типа С 22 штуки?
(004) Ума палата. № 4.
Можно ли таблицу 5 x 5 заполнить числами так, чтобы сум
ма чисел в любой строке была положительной, а сумма чисел
в любом столбце - отрицательной?
5
► Если левая часть равенства представляет
четное число, а правая часть - нечетное число,
то такое равенство невозможно.
£Х
Ю
О
о
С
ч :
(005) Ума палата. № 5.
Мальчик сказал: «Позавчера мне было 10 лет, а в будущем
году мне исполнится 13 лет». Может ли такое быть?
(006) Ума палата. № 6.
Найдите наибольшее пятизначное число, кратное 9, так, что
бы первая цифра была 3 и все цифры были различны.
(007) Ума палата. № 7.
Найдите сумму коэффициентов многочлена:
Р(х) = (2 - З.т + л-2)1996 (2 + З.т + л-2)1997.
(008) Ума палата. № 8.
Найдите значение выражения:
yja~ - 4 а + 4 + \jc'r —12а + 36 , если 2 < а < 6 .
(009) Ума палата. № 9.
Меню в школьной столовой состоит из п различных блюд.
Ученик решил каждый день выбирать себе завтрак по-новому
(включая пикантный завтрак из «0» блюд). За сколько дней ему
удастся это сделать?
(010) Ума палата. № 10.
7 человек должны перенести 7 одинаковых мешков. Сколько
способов распределить груз, если каждый может нести не более
2 мешков?
>я 3 Н
3
Ох
О
ы
ад
Я
О
О
► Прочитай (осмысленно и вдумчиво) о со
четаниях, размещениях и перестановках. Появилась, например, чудесная книга «Комбинаторика», написанная известным математиком
Н. Я. Виленкиным и дополненная его сыном
и внуком.
6
я
2
о
с
(011) Ума палата. № 11.
В ряд стоят 50 стульев. Нужно убрать 20 из них, но при этом
нельзя убирать никакие два стула, стоящие рядом. Сколькими
различными способами это можно сделать?
(012) Ума палата. № 12.
Определите, какая цифра стоит на тысяча первом месте по
сле запятой в десятичном представлении дроби 4/7.
► При делении на число 7 возможно только
2 2 j. 7 различных остатков: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6. Полез-
ю* | § 110 производить полный перебор по этим семи
Ч g
остаткам.
"|
g
С
(013) Ума палата. № 13.
Даны числа 2 1—1, 22 —1, 23 —1, .... 2"'1- 1, где п - нечетное
число, п > 3. Докажите, что хотя бы одно из данных чисел де
лится на п.
(014) Ума палата. № 14.
Квадратное поле разбито на сто одинаковых квадратных
участков, девять из которых поросли бурьяном. Известно, что
бурьян за год распространяется на те, и только те участки, у ко
торых не менее двух соседних (то есть имеющих общую сторо
ну) участков уже поросли бурьяном. Докажите, что поле нико
гда не зарастет бурьяном полностью.
(015) Ума палата. № 15.
На доске написаны числа 3, 4, 5, 6. Любую пару чисел а, b
можно заменить на пару чисел a + b +\]а2 +Ь~ и a + b - \Ja2 + b2 . Может ли на доске появиться число, меньшее 1?
(016) Ума палата. № 16.
Известно, что в наборе из 32 одинаковых по виду монет есть
две фальшивые монеты, которые отличаются от остальных
7
по весу (настоящие монеты все имеют один вес. а две фальши
вые - другой). Как разделить все монеты па две равные по весу
кучки, сделав не более четырех взвешиваний на чашечных весах
без гирь?
« '1
з
5
g- 2
н
(D
СО
ю
о о2 Оо
*
S
► Решая задачи на взвешивание на чашеч
ных весах без гирь, полезно имеющиеся мо
неты разбивать на три части. Две части по
мещать на чашечные весы, а третью часть
пока не рассматривать.
о
С
(017) Ума палата. № 17.
Три одинаковых бочки с тремя красками наполнены на две
трети. Имеется возможность переливать любую часть жидкости
из одной бочки в другую. Как сделать во всех банках одинако
вую смесь, если другой посуды нет и вылить краску нельзя?
(018) Ума палата. № 18.
Вычислите с точностью до 0,001.
1-2-17,33'
{ 1+ 17,33
3
J +1
17,3(2-17,33)^
J
1+ 17,33
(019) Ума палата. № 19.
Имеется 72 прямоугольных бруска размера 3x3x1. Можно ли
все эти бруски уложить в прямоугольную коробку размером
7x9x11 (коробка с крышкой)?
(020) Ума палата. № 20.
Корни уравнения х1 + ах + 1 = b являются натуральными
числами. Докажите, что а2+ /г - составное число.
(021) Ума палата. № 21.
Расставьте в вершинах пятиугольника действительные числа
так, чтобы сумма чисел на концах некоторой стороны была рав
на 1. другой- 2 , .... на концах последней стороны равна 5.
8
(022) Ума палата. № 22.
При каком наименьшем значении п число 122...221 делится
на 999999999?
7Х Г
| (_
vo" S й
1¾ “
► Если данное число а является произведепнем двух взаимно простых множителей, то
для того, чтобы h нацело делилось на а. необходимо и достаточно, чтобы /; делилось на каждый из двух взаимно простых множителей.
Ъ'
i
о
с
(023) Ума палата. № 23.
Двузначные числа от 19 до 80 выписаны подряд. Делится ли
полученное число 19202122...77787980 на 1980?
(024) Ума палата. № 24.
Найдите наибольшее целое .т такое, чтобы число 427 + 4 101Ю+ 4'
было полным квадратом.
(025) Ума палата. № 25.
Некоторая сумма денег находится в банке под 2 % годовых
(проценты простые). Через некоторое время эта сумма была взя
та вместе с полученными на нее процентными деньгами, что со
ставило 8502 р. Если бы эта же сумма была отдана под 3 % го
довых, но сроком на 1 год меньше, то процентные деньги с нее
составили бы 819 рублей. Какая сумма была положена в банк?
§ 2. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
(026) Числа. № 1.
Докажите, что при любом простом р > 3 число Юр2 - Зр + 2
составное.
(027) Числа. № 2.
На какую наименьшую величину могут отличаться друг
от друга натуральные числа т, п, если известно, что число
— —— натуральное?
З/и + 7/?
9
(028) Числа. № 3.
Докажите, что при любом натуральном значение п число
5 5n+1 +45u+- + з 5п делится на 1 1 .
(029) Числа. № 4.
Натуральные числа т, п таковы, что сумма наибольшего об
щего делителя и наименьшего общего кратного этих чисел будет
равна сумме данных чисел, то есть НОД (т, п) + НОК (т, п) =
= т + п. Докажите, что одно из чисел является делителем другого.
(030) Числа. № 5.
11
Число научно-технических книг в оиблиотеке равно —
от числа художественных. При переезде библиотеки книги по
грузили в 2 вагона. В первый вагон погрузили
часть научно-
1S
н
технических книг и — частей художественных. Во второй ва1
14
гон погрузили — художественных и — научно-технических.
Сколько книг каждого вида было в библиотеке, если в первом
вагоне оказалось более 10000 книг, а во втором - менее 10000
книг?
(031) Числа. № 6.
Разложите число 2 12 + 27 + 1 на четыре сомножителя, нс вычисляя самого числа, а используя только его выражение.
н
ьCQ
3S о
3 >5
ю л
о
с5 ¥
со
S
► Необходимо помнить, что к произведению
данных чисел всегда можно добавить любое
количество единиц или четное количество сомножителей, равных - 1 , от этого произведение
не изменится, зато сумма чисел при этом бу
дет меняться.
10
S
2
о
с
(032) Числа. № 7.
Можно ли найти 2008 целых чисел таких, что их сумма рав
на нулю, а произведение равно 20087
(033) Числа. № 8.
Докажите, что при любом нечетном п число пъ + 3гг - п - 3
делится на 48.
(034) Числа. № 9.
Можно ли в трехзначном числе, делящемся на 37. переста
вить цифры так, чтобы полученное число тоже делилось на 3?
(035) Числа. № 10.
Определите количество натуральных чисел на числовом от
резке от 1 до 23091942 таких, которые не делятся ни на 2, ни на 3,
ни на 5.
(036) Числа. № 11.
Найдите все пары простых чисел вида (а" - 1, а" + 1), п > 1,
где а и п - натуральные числа.
(037) Числа. № 12.
Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого
оканчивается цифрами 2001 в заданном порядке.
(038) Числа. № 13.
Можно ли заменить звездочки в равенстве 1*2*...* 10 = 0
на знаки «+» или «-» так, чтобы равенство стало верным?
(039) Числа. № 14.
Числа 21000 и 5 1000 выписаны одно за другим в десятичной за
писи. Сколько всего цифр выписано?
(040) Числа. № 15.
Докажите, что простых чисел бесконечно много.
(041) Числа. № 16.
Докажите, что число 11... 11 делится на 27,
11
(042) Числа. № 17.
Если числитель дроби есть разность квадратов двух нечет
ных чисел, а знаменатель - сумма квадратов этих же чисел,
то такая дробь сокращается на 2, но не сокращается на 4. Дока
жите это.
(043) Числа. № 18.
Допишите к числу справа 523... три цифры так, чтобы полу
ченное шестизначное число делилось на 7, 8, 9.
(044) Числа. № 19.
Рассматриваются всевозможные десятизначные числа, все
цифры которых различны. Есть ли среди них числа, делящиеся
на 11 ? Если да, то укажите наибольшее и наименьшее из них.
(045) Числа. № 20.
Найдите семизначное число, у которого первая цифра равна
количеству нулей в числе, вторая - количеству единиц в числе,
третья - количеству двоек в числе и так далее.
(046) Числа. № 21.
Найдите десятизначное число, у которого первая цифра рав
на количеству нулей в числе, вторая - количеству единиц в чис
ле, третья - количеству двоек в числе и так далее.
(047) Числа. № 22.
Произведение четырех последовательных нечетных чисел
оканчивается девяткой. Найдите предпоследнюю цифру произ
ведения.
(048) Числа. № 23.
Сколько натуральных чисел, не превосходящих тысячу, в за
писи которых цифра 9 использована хоть один раз?
► Признак делимости на 11: рассмотрим раз
ность
между суммой цифр, стоящих на нечетЗ3м
К
ных местах и суммой цифр, стоящих на чето. 5
ю СЗ О
О
о
о ных местах. Для того чтобы данное число дсU-I
5
лилось на 11, необходимо и достаточно,
чтобы полученная разность делилась на 11.
12
(049) Числа. № 24.
Пес Шарик умножил первые десять простых чисел и полу
чил число 2-3-5-7 1113-1719-23-29 = 6 469 693 250 = а. «Ты не
прав», - сказал ему кот Матроскин. Почему?
(050) Числа. № 25.
Найдите шесть последовательных чётных чисел, сумма
квадратов которых равна четырёхзначному числу, все цифры
которого равны между собой.
(051) Числа. № 26.
Докажите, что ни при каком натуральном значении п выра
жение п~+ 5п+ 16 не делится па 169.
(052) Числа. № 27.
Произведение числа 21 на некоторое четырехзначное число
«****» - точный куб. Найдите множитель «****».
(053) Числа. № 28.
Докажите, что любое целое число можно представить в виде
суммы кубов пяти целых чисел.
(054) Числа. № 29.
Придумайте и докажите формулу для суммы квадратов всех
целых чисел от 1 до п.
(055) Числа. № 30.
Квадрат целого числа имеет вид ... 09 (оканчивается цифра
ми 0 и 9). Докажите, что третья справа цифра - четная.
§ 3. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
(056) Уравнения. № 1.
Решите уравнение: 23д-2 + 2010л* + 1987= 0.
«
м 5
S. |
т u
► Разумный подбор очевидных и простых значений корней уравнений всегда помогает при
решении задач, а иногда является просто единственным способом решения.
13
_.
5
о
(057) Уравнения. № 2.
Решите уравнение: ,v3 - ( 1 + л/3 )-.т2+ 3 = 0 .
(058) Уравнения. № 3.
Решите уравнение: 6 - 5.v + .v2 = 2(.v - 3) - f d .
(059) Уравнения. № 4.
Найдите корни многочлена: 2т5+ ,v4 - 1Or - 5.r + 8.v + 4.
(060) Уравнения. № 5.
Решите уравнение: .у3 - 7,у + 6 = 0.
► Человеку очень легко даётся сложение. 3 + 2 = 5 ,s _ это сообразит каждый, а вот обратная логическая
а о операция - разбиения числа на два слагаемых,
§■ s особенно если одно из слагаемых будет отрица1-0
тельным, всегда представляет значительную слож
ность, но открывает путь к решению задачи.
(061) Уравнения. № 6.
D
4л'
5v
1 г
Решите уравнение: —т--------- +—г----------- = -1,5.
-У+.у + З г -5.У + 3
(062) Уравнения. № 7.
п
У -12.V + 15
4лРешите уравнение: —г------------ = —-------------- .
.Г -б л + 15 Л--10.У + 15
(063) Уравнения. № 8.
Решите уравнение: (.у2 + 5.т + 1)(.у2 + 4.у) = 20(д- + 1)2.
(064) Уравнения. № 9.
Решите уравнение: (2у - З)4 +(Zv - 5)4 = 2.
(065) Уравнения. № 10.
Решите уравнение: .у4 - 5.у3 + 8л-2 - 5.У+ 1 = 0.
(066) Уравнения. № 11.
4л
З.у
Решите уравнение: — ------------ 1----- -------------= 1.
4.у2 - 8.у + 7 4,у2 - 10л + 7
14
£
о
(067) Уравнения. № 12.
Решите уравнение: |д-2 - 9| + |д-2 - 4| = 5.
(068) Уравнения. № 13.
Решите уравнение: \х + 3| + 2|.v +11= 4.
(069) Уравнении. № 14.
Решите уравнение: |.т-3|л
= |.\--3|'.
(070) Уравнения. № 15.
Решите уравнение: |.т2 - 4,т + 3| + |.т2 - 5,т + 6| = 1.
(071) Уравнения. № 16.
Решите уравнение в целых числах:
15л-V - 8к г + 28у х + ,т2 + 5 г - 3 8.уг + 8.т - 24у + 16 = 0.
(072) Уравнения. № 17.
Решите уравнение: \j(x + 1)2 + 2\](х-1)~ = Зл/л'2 - 1 .
(073) Уравнения. № 18.
Не решая квадратного уравнения ах~ + Ьх + с = 0, найдите
сумму кубов его корней.
(074) Уравнения. № 19.
Сколько решений в целых числах имеет уравнение
2х + 7у = ху - 1?
(075) Уравнения. № 20.
Найдите все целые решения уравнения 3.V2 - 1ху + 2уг = 0.
(076) Уравнения. № 21.
Решите систему уравнений:
J 10.г2 + 5у 2 - 2ху - 3 8.V- 6 v + 41 = 0,
13.v2 - 2 к2 + 5дгк - 17д- - 6у + 20 = 0.
(077) Уравнения. № 22.
Решите в натуральных числах уравнение:
хА+ г х 1у - х ' л-)Г = 1 .
15
(078) Уравнения. № 23.
f^x + Vy=3,
Решите систему уравнений: <
(7^+ 77 = 9.
(079) Уравнения. № 24.
Решите уравнение: (л-2 + 5д- + З)2 + 5(х“ + 5.y) + 18= .v.
is _.
я “
§■ 2
Иногда решение уравнения сводится к решению системы двух уравнении с двумя неизвестными.
*
jS
(080) Уравнения. № 25.
Решите уравнение: (л2 + Зх - 2)2 + 3 (7 + З.т - 2) - 2 = х.
(081) Уравнения № 26.
Решите уравнение: (л-2 - .v + l)4+ 9.7= 10.v2(.v2 -,v + 1)2.
(082) Уравнения. № 27.
Найдите три числа, каждое из которых равно квадрату раз
ности двух других.
(083) Уравнения. № 28.
Решите уравнение: (.т2- 9.v + 18) ( 7 - 1l.r + 28) + 2 = 0.
(084) Уравнения. № 29.
Решите систему уравнений:
Г7
3у
___ 1_:_
У'
4х
8у
6.V
X
у
(085) Уравнения. № 30.
Решите систему уравнений:
\х - у = 3,
{.т4+З л- 7 - 4 / = 0.
16
(086) Уравнения. № 31.
|ЛТ + С= 94,
Решите в целых числах систему уравнений:
■V+ yz = 95.
(087) Уравнения. № 32.
9.у:
_]|
Злт
2(1- л ) ; ~ + 2(1 — а-)’
Решите систему уравнений:
2д-2 + ,yv = 1.
(088) Уравнения. № 33.
.V+ у + Z + и
=
1,
у + z + u + v = 2,
Решите систему уравнений:
z + и + v + .V—3.
и + v + .V+ у = 4,
V+ .V+ у + Z
=
6.
(089) Уравнения. № 34.
Д-‘ + у- +z~ =1,
Л3 +, у 3+,Z3 = 11.
Решите систему уравнений:
(090) Уравнения. № 35.
Решите систему уравнений:
А- + .У
y +z
—
.
=2-у.
X + Z
(091) Уравнения. № 36.
J.y + .v = 2000,
Решите систему уравнений: j.T)- = z2 + 1000000.
17
(092)
Уравнения. № 37.
/ л - у = 3,
Решите систему уравнений:
(093)
[х 4 + Зл'2 v - 4 v: = 0 .
Уравнения. X® 38.
I -v|>| y - z + t\.
IУ
Решите систему уравнений:
l>l -v -
г + Г |,
|/|>|л--v + z|,
Jz | > | .Y -,••+ / ! .
(094) Уравнения. № 39.
В области действительных чисел найдите решения системы
уравнений:
Л", + х, + X, = 6,
х, + -V, + х4 = 9,
.V, + л4+ л*5= 3,
х4 + х, + х6 = -3 ,
л-5+ л-6+ л-7 =
- 9,
.v6+.v7+.vs =-6,
х7 + * „ + * , = - 2 ,
л'8 + х, + х, = 2 .
(095) Уравнения. № 40.
Решите уравнение: у/х +1 + yjx- 1 = yfl .
(096) Уравнения. № 41.
fxV + 2 x V + х у } = 4 ,
Решите систему уравнении: <
\ х + у + х гу + ху2 = 4 .
(097)
Уравнения. X» 42.
6xz + Зх = 2z - 2,
Решите систему уравнений: •xy + zy = 2( z - x + l),
zy - 6xz + у = 3.Y+ 3.
IX
(098) Уравнения. № 43.
Решите систему уравнении:
л-+ v
уз
У+X+ Z
(099) Уравнения. № 44.
Решите уравнение:
Сх2 - З)3 - (4.v + 6)3+ 216 = 18 (4л- + 6)(3 - л-2).
(100) Уравнения. № 45.
Решите уравнение: х5+ (л- + 1)3+ (х + 2)5+ ... + (д- + 1998)^= 0.
§ 4. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
(101) Текстовые задачи. № 1.
Трехзначное число начинается цифрой 4. Если эту цифру
3
перенести в конец числа, то получится число, составляющее —
4
от исходного. Найдите исходное число.
(102) Текстовые задачи. № 2.
Математик купил картошки и по дороге домой выполнил
вычисления: он умножил целую часть цены 1 кг картошки на це
лую часть массы купленной картошки и получил 24. Потом он
умножил целую часть цены на дробную часть массы и получил
1, 2. Наконец, он умножил дробную часть цены на целую часть
массы и получил 2. Определите стоимость купленной картошки.
Целая часть числа дг есть наибольшее целое число, не превосхо
дящее х, ее обозначают: [л]. Дробная часть числа х есть разность
19
между числом и его целой частью, ее обозначают :{д-| [5] = 5;
[3,4] = 3; {5} =0; {3,4] =0,4.
(103) Текстовые задачи. № 3.
Определите год рождения тех людей, которым в 2003 году
исполнилось столько лет, какова сумма цифр года их рождения.
(104) Текстовые задачи. № 4.
У отца спросили, сколько лет его двум сыновьям. Отец отве
тил, что если к произведению чисел, равных их возрасту, приба
вить сумму этих чисел, то будет 14. Сколько лет сыновьям?
(105) Текстовые задачи. № 5.
В контейнер упаковывают изделия двух видов. Стоимость
и вес одного изделия составляют 400 р. и 12 кг для первого типа
и 600 р. и 15 кг для второго типа. Общий вес изделий равен
321 кг. Определите максимальную и минимальную возможную
суммарную стоимость изделий, находящихся в контейнере.
(106) Текстовые задачи. № 6.
На заводе рабочий пятого разряда изготовляет за 1 час целое
количество деталей, больше 5, а рабочий третьего разряда
на 2 детали меньше. На выполнение заказа рабочему пятого раз
ряда требуется целое количество часов, а двум рабочим третьего на 1 час меньше. Какое количество деталей составляет заказ?
(107) Текстовые задачи. № 7.
Два маляра, работая вместе, могут покрасить забор за 3 ч.
Производительности труда первого и второго относятся как 3 : 5.
Маляры стали работать по очереди. За сколько часов они покра
сят забор, если второй маляр сменит первого после того, как тот
покрасит половину забора?
(108) Текстовые задачи. № 8.
Возраст одного человека в 1990 году был равен произведе
нию цифр его года рождения. В каком году он родился, если из
вестно, что ему меньше 90 лет.
20
(109) Текстовые задачи. № 9.
Двое рабочих могут напилить за день 5 поленец дров, а на
колоть 8 поленец. Сколько поленец дров они должны напилить,
чтобы успеть наколоть их в тот же день.
(110) Текстовые задачи. № 10.
В бассейн проведены две системы труб равной производи
тельности. В I системе первая труба наполняет весь бассейн
за /|, вторая за /2, ... п-я за [„. Во второй системе груб все грубы
одинаковы и их тоже п штук. За какое время труба второй сис
темы заполнит весь бассейн?
(111) Текстовые задачи. № 11.
Из пункта А по реке отправляется плот. Одновременно на
встречу ему отправляется катер из пункта В, расположенного
ниже по течению относительно пункта А. Встретив плот, катер
сразу поворачивает и идет вниз по течению. Какую часть пути
от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт
В, если скорость катера в стоячей воде в четыре раза больше
скорости течения реки?
(112) Текстовые задачи. № 12.
Бикфордов шнур горит неравномерно, сгорая за 1 минуту.
Как, имея два таких совершенно одинаковых шнура, измерить
время 45 секунд?
(113) Текстовые задачи. № 13.
Из пункта А реки одновременно поплыли: мяч по течению
реки и спортсмен против течения. Через 10 минут пловец повер
нул назад и догнал мяч в 1 км от А. Собственная скорость плов
ца постоянна. Какова скорость течения реки?
(114) Текстовые задачи. № 14.
3
Пройдя - длины моста АВ, человек услышал гудок автомо-
8
биля, приближающегося к месту с постоянной скоростью
60 км/ч. Если он побежит назад, то встретится с автомобилем
21
в А, а если побежит вперед, то автомобиль нагонит его в В. Как
быстро бегает этот человек?
(115) Текстовые задачи. № 15.
Из пунктов А и В одновременно выехали навстречу друг
другу два велосипедиста и встретились в 70 км от А. В конеч
ных пунктах они отдыхали по часу и выехали назад с прежними
скоростями. Вторая встреча состоялась на расстоянии 40 км
от А. Найдите длину пути АВ.
(116) Текстовые задачи. № 16.
Войсковая колонна имеет длину' 5 км. Связной, выехав из кон
ца колонны, передал пакет в начало колонны и вернулся обрат
но. Колонна за это время прошла путь 12 км. Какой путь про
ехал связной?
(117) Текстовые задачи. № 17.
Из пункта А по одному шоссе выезжают одновременно два
автомобиля, а через час вслед за ними - третий. Еще через час
расстояние между третьим и первым автомобилем уменьшается
в 1,5 раза, а между третьим и вторым в 2 раза. Во сколько раз
скорость первого автомобиля больше скорости второго, если
третий автомобиль не обгонял ни первый, ни второй авто
мобили?
(118) Текстовые задачи. № 18.
Два поезда движутся друг другу навстречу по параллельным
путям. Скорость одного 60 км/ч, другого 80 км/ч. Пассажир, си
дящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шел мимо
него 6 с. Какова длина первого поезда?
(119) Текстовые задачи. № 19.
Два мальчика, Миша и Гриша, учатся в школе, которая рас
положена от их жилья на расстоянии 6 км. Однажды автобус,
которым они ехали, сломался и мальчики пошли в школу пеш
ком. Миша первую половину пути шел со скоростью 4 км/ч,
а вторую половину со скоростью 2 км/ч. Гриша поступил иначе:
22
первую половину времени ом шел со скоростью 4 км/ч. а вторую
со скоростью 2 км/ч. Пришел ли кто-то из мальчиков в школу
раньше? Если «да», то насколько?
(120) Текстовые задачи. № 20.
В аудитории собралась молодежь: студенты и студентки.
Вместе их было больше 70, но меньше 90. Всего скамеек, на ко
торых сидели студенты и студентки, было на 1 больше, чем си
дело на каждой из них студентов. Студентки сидели по одной
на каждой скамейке. Сумма числа скамеек и студентов состави
ла число молодежи. Сколько человек находится в аудитории
и на скольких скамейках они сидели?
(121) Текстовые задачи. № 21.
В классе 85 % учащихся владеют языком Бейсик, 80 % язы
ком Паскаль, а 75 % знают оба языка. Сколько процентов уча
щихся не знают ни одного из этих языков?
(122) Текстовые задачи. № 22.
В сосуде имеется спирт 70 %. В результате неправильного
хранения из сосуда испарилось 11 г спирта и 1 г воды. Сколько
граммов 96 % спирта нужно долить в сосуд, чтобы восстановить
в нем прежнюю концентрацию.
(123) Текстовые задачи. № 23.
Проценты содержания (по весу) спирта в трех растворах об
разуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый,
второй и третий растворы в весовом количестве 2:3:4, то полу
чится раствор, содержащий 32 % спирта. Если же смешать их
в весовом соотношении 3:2:1, то получится раствор, содержа
щий 22 % спирта. Сколько процентов спирта содержит первый
раствор?
(124) Текстовые задачи. № 24.
Процент сотрудников компании, получивших премию, за
ключен между 2,9 % и 3,1 %. Найдите минимальное возможное
количество всех сотрудников компании.
4) 33;
5) 90.
1)100;
2)78;
3)59;
23
(125) Текстовые задачи. № 25.
В банк поместили вклад 1000 р. В первый год ставка была
50%, а затем каждый год ставка уменьшалась на 10 %. В конце
каждого года после начисления процентов вкладчик дополни
тельно вносил на счет одну и ту же сумму. К концу четвертого
года после начисления процентов оказалось, что размер вклада
увеличился по сравнению с начальным вкладом на 722 %. Ка
кую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?
(126) Текстовые задачи. № 26.
Магазин выставил на продажу товар с наценкой 60 % от за
купочной стоимости. После продажи половины всего товара ма
газин снизил назначенную цену на 30 % и распродал оставший
ся товар. Сколько процентов от закупочной цены товара соста
вила прибыль магазина?
(127) Текстовые задачи. № 27.
В двух банках в конце года на каждый счет начисляется
прибыль: в первом банке — 60 % к текущей сумме на счете,
во втором - 40 % к текущей сумме на счете. Вкладчик в начале
года часть имеющихся у него денег положил в первый банк,
а остальные деньги во второй банк с таким расчетом, чтобы че
рез два года суммарное количество денег на обоих счетах уд
воилось. Какую часть денег вкладчик положил в первый банк?
(128) Текстовые задачи. № 28.
В школьной столовой обед из двух блюд стоит на 40 % де
шевле, чем в кафе, причем первое стоит на 60 % дешевле, а вто
рое на 30 % дешевле, чем в кафе. Во сколько раз в школьной
столовой второе стоит дороже, чем первое?
(129) Текстовые задачи. № 29.
Две трубы вместе наполняют бассейн за 6 часов. Определи
те, за сколько часов наполняет бассейн каждая труба в отдель24
ности, если известно, что из первой трубы в час вытекает
на 50 % воды больше, чем из второй.
(130) Текстовые задачи. № 30.
Осенью в магазине цена растительного масла увеличивалась
на одно и то же число процентов от предыдущей цены. За два
месяца цена 1 литра масла возросла с 40 р. до 57,6 р. На сколько
процентов ежемесячно увеличивалась цена масла?
(131) Текстовые задачи. № 31.
Из сосуда, содержащего 54 л чистой кислоты, вылили
несколько литров и после этого долили сосуд водой до прежнего
объема. Затем из сосуда вылили столько же литров смеси как
и в первый раз. В результате в смеси, оставшейся в сосуде,
осталось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в пер
вый раз?
(132) Текстовые задачи. № 32.
Банк предоставляет ипотечный кредит (кредит на покупку
квартиры под залог квартиры) сроком на 20 лет под 12 % годо
вых. Это означает, что ежегодно заемщик возвращает 12 %
от непогашенной суммы кредита и 1/20 суммы кредита. Так,
в первый год заемщик выплачивает 1/20 суммы кредита и 12 %
от всей суммы кредита, во второй год заемщик выплачивает 1/20
суммы кредита и 12 % от 19/20 суммы кредита и т. д. Во сколько
раз сумма, которую должен выплатить банку заемщик, больше
суммы займа, если согласно договору досрочное погашение кре
дита невозможно?
(133) Текстовые задачи. № 33.
Половину пути от дома до стадиона спортсмен прошел ша
гом, а вторую половину бегом, затратив на весь путь 16 минут.
Со стадиона он вернулся домой за 12 минут, причем половину
времени он шел, а вторую половину бежал. Сколько времени
ему нужно, чтобы дойти шагом от дома до стадиона?
25
(134) Текстовые задачи. № 34.
В дошкольном учреждении провели опрос. На вопрос «Что
вы предпочитаете, компот или кашу?» большая часть ответила
«кашу», меньшая «компот», а один респондент «затрудняюсь
ответить». Далее выяснили, что среди любителей компота 30 %
предпочитают абрикосовый, а 70 % грушевый. У любителей
каши уточнили, какую именно кашу они предпочитают. Оказа
лось, что 56,25 % выбрали манную, 37,5 % рисовую и лишь один
ответил «затрудняюсь ответить». Сколько детей было опрошено?
(135) Текстовые задачи. № 35.
В первый год было добыто 100 тысяч тонн руды. В течение
следующих нескольких лет годовая добыча руды увеличивалась
на 25 % по сравнению с предыдущим годом, а затем на протя
жении последующих трех лет поддерживалась на достигнутом
уровне. Общий объем руды за все время добычи составил 850 ты
сяч тонн. Сколько лет разрабатывалось месторождение?
§ 5. НЕРАВЕНСТВА
(136) Неравенства. № 1.
Найдите вес значения х, при которых расстояние между со
ответствующими точками графиков функций f(x) = ———
х- 2
и g(x) = 6 меньше, чем 0,7.
(137) Неравенства. № 2.
Определите, сколько целочисленных решений имеет нсравенство(/72 - 1)(/г —1 1)(/72 —101 )(/г - 1001 )< 0.
(138) Неравенства. № 3.
Найдите
сумму
натуральных
k ± fe l > 0
9 - х 2
26
решений
неравенства
(139) Неравенства. № 4.
п
I
к +5
Про число к известно, что --------------- > О
(A- +3)(/- -1)
к- 1
n п
и 77— 77—;— 77 < 0 . Выясните, можно ли определить по этим
(A +4)(/: + 3)
данным знак числа к, и, если возможно, найдите этот знак.
(140) Неравенства. № 5.
Решите неравенство: |.v2 - 5.v| < 6.
(141) Неравенства. № 6.
Докажите, что для любого числа Г выполняется неравенство
t* -t + - > 0 .
2
(142) Неравенства. № 7.
Без использования калькулятора докажите, что 2 |9Ч5> 5Кз4.
(143) Неравенства. № 8.
Числа a, h, с удовлетворяют неравенству (а + b + с) с < 0.
Докажите, что b2 > 4ас.
(144) Неравенства. № 9.
Докажите, что для а > 0, Ь > 0, с > 0 справедливо неравенст
во а4 + Ь4 + с2 > 2 V2 abc.
(145) Неравенства. № 10.
Найдите площадь фигуры, координаты точек которой явля
ются решениями системы неравенств:
| (* + 3>’)('Y- 4у) > 0,
[-13 0, с> 0 выполняется неравенство
27
-------------- 1----------------1-------------—> —,
(ci +b)(a + c)
(b + c)(b + a)
(c + a)(c + b)
4
(148) Неравенства. № 13.
Найдите наибольшее значение функции
;------ , гдеа > 0 , Ь > 0 , с > 0 .
ах + for +с
(149) Неравенства. № 14.
Докажите, что при х > 0 и у > 0 выполняется неравенство
у=
(150) Неравенства. № 15.
Решите неравенство: лг - 3,5х + 4 + щ х < l/cos2.v.
(151) Неравенства. № 16.
1 1 1
9
Докажите неравенство: —+ —+ —> ---------- , если а > О, b > 0,
а b с а+Ь+с
с> 0
.
(152) Неравенства. № 17.
Решите неравенство: у1 х + 5 > .г - 1.
(153) Неравенства. № 18.
Решите неравенство: V.v + 3 < 3 - х .
(154) Неравенства. № 19.
Решите неравенство: |,т2 - 2лг| 0 .
(х - 2 ) 4(л -4 )
(157) Неравенства. № 22.
Решите неравенство: (д-- l)V.v2 - х - 2 > 0 .
28
(158) Неравенства. № 23.
Решите неравенство: .v2 + 2.v- \J.r + 2.x + 2 < 0.
(159) Неравенст ва. № 24.
Решите неравенство: >/з.\- - 4 + J2.\ - 13 > \/l 3 - 2.v
(160) Неравенства. № 25.
Докажите неравенство: 2а2+ /г + с2> 2а (Ь + с).
§ 6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОГРЕССИИ
(161) Прогрессии. № 1.
Найдите сумму чисел от 1 до 1000, делящихся на 7 и не де
лящихся на 13.
(162) Прогрессии. № 2.
.
4r
1
Пусть f(x) = ------- . Вычислите сумму /(0) + /( -------) +
'
4 +2
3 А
Я 1976
(163) Прогрессии. № 3.
Найдите все значения b, при которых выражение
принимает целые значения при
всех натуральных значениях п.
(164) Прогрессии. № 4.
В арифметической прогрессии аъ = 13, а7 = -7. При каком
значении п сумма первых членов прогрессии S„ максимальна?
Найдите эту сумму.
(165) Прогрессии. № 5.
Составьте формулу общего члена последовательности вида
0; 2; 2; 4; 4; 6; 6...
29
(166) Прогрессии. № 6.
Найдите сумму всех трехзначных чисел, не делящихся на 11
и имеющих последнюю цифру 5.
(167) Прогрессии. № 7.
Сумма нескольких подряд идущих чисел в 20 раз больше
наибольшего из них и в 30 раз больше наименьшего. Найдите
эти числа.
(168) Прогрессии. № 8.
Восемь чисел образуют геометрическую прогрессию. Сумма
первых трех равна 21, а сумма последних трех равна 672. Най
дите сумму всех восьми членов прогрессии.
(169) Прогрессии. № 9.
Числа a, b, с, d являются последовательными членами гео
метрической прогрессии. Известно, что Ьъ + с3 = 288, ad = 24.
Найдите a + d.
сз
§■ S
м
°
Полезно помнить некоторые важные фор
мулы для прогрессии.
Сумма п первых членов арифметической
прогрессии равна произведению полусуммы крайних членов на число членов.
На практике очень помогает формула:
^
g
с
5
(170) Прогрессии. № 10.
Сумма квадратов членов геометрической прогрессии в 3 раза
больше суммы ее членов и в 3,6 раза меньше суммы четвертых
степеней ее членов. Найдите второй член прогрессии.
(171) Прогрессии. № 11.
Существует ли геометрическая прогрессия, среди членов ко
торой имеются числа 2, 3, 5?
30
(172) Прогрессии. № 12.
Сумма пятого и девятого членов геометрической прогрессии
равна 7. Произведение шестого и восьмого членов равно 12.
Найдите а5~+ п92.
(173) Прогрессии. № 13.
Возрастающая арифметическая прогрессия состоит из нату
ральных чисел. Может ли сумма 1995 последовательных членов
прогрессии равняться числу: а) и|чм; б) 1994" . где п - натураль
ное.
(174) Прогрессии. № 14.
Докажите, что для всякой арифметической прогрессии я,,
02,--- , а,, имеет место равенство:
л -1
(175) Прогрессии. № 15.
В двух числовых последовательностях (ап) и (h j каждый
член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, при
чем а | = 1 , 02 = 2, />1 = 2, = 1• Сколько существует чисел, встре
чающихся как в первой, так и во второй последовательности?
(176) Прогрессии. № 16.
Найдите все тройки ненулевых а, /;, с, образующих арифме
тическую прогрессию, и таких, что из чисел —; —; — также можа b с
но составить арифметическую прогрессию.
(177) Прогрессии. № 17.
В арифметической прогрессии о5 = 16, & = 51. Определите
все значения л, при которых одновременно а„< 38, S„> 129.
(178) Прогрессии. № 18.
Пусть дт и л'г корни уравнения х~ - 4.т + а = 0, а л-3 и лд - корни
уравнения лг2 - 36.Y + 6 = 0. Известно, что л'| > 0, х2 > 0, лд > 0,
* 4 > 0 и лт; лч; Х)\ л'4 - последовательные члены некоторой гео
метрической прогрессии. Найдите а и Ь.
31
(179) Прогрессии. № 19.
В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого
и последнего членов равна 164, а произведение второго и предпо
следнего членов равно 324. Найдите последний член прогрессии.
(180) Прогрессии. № 20.
Уравнение л-2+ Ьх + с = 0 имеет два различных корня ,V| и дэ.
Известно, что числа b, хь с, Л; в указанном порядке образуют
арифметическую прогрессию. Найдите разность этой прогрессии.
(181) Прогрессии. № 21.
Сумма членов возрастающей арифметической прогрессии,
одним из членов которой является 1, равна 0. Найдите сс раз
ность, если известно, что сц ■Дц = 1.
(182) Прогрессии. № 22.
В арифметической прогрессии сумма восьми первых членов
равна 32, а сумма двадцати первых членов равна 200. 11айдите
сумму первых двадцати восьми членов прогрессии.
(183) Прогрессии. № 23.
Каждый член числовой последовательности, начиная со вто
рого, равен произведению двух соседних с ним членов. Произ
ведение первых десяти членов равно 18, а произведение первых
двадцати членов равно 12. Найдите произведение первых 75
членов этой последовательности.
(184) Прогрессии. № 24.
Если к четырем последовательным членам арифметической
прогрессии прибавить соответственно 7; 1; -3; -6, то получим
четыре первых члена бесконечной геометрической прогрессии.
Найдите ее сумму.
(185) Прогрессии. № 25.
Сумма первых п членов некоторой последовательности вы
ражается формулой S„- 5/Г - Т п + З. Докажите, что члены этой
последовательности, начиная со второго, образуют арифметиче
скую прогрессию.
32
§ 7. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
(186) Графики. № 1.
Постройте график функции у
2). Один из столбцов со
стоит из 10 фальшивых монет. Фальшивая монета отличается
на 1 г от настоящей, тяжелее или легче - неизвестно. Имеются
точные весы с гирями. Как при помощи одного только взвеши
вания определить, в каком столбце будут фальшивые монеты.
(333) Почти просто. № 28.
Даны к ящиков. В некоторых из них положили по к ящиков
меньшего размера, затем в некоторые из них положили к ящиков
и т. д. В результате количество ящиков, в которых есть другие
ящики, равно т. Сколько всего ящиков было использовано?
(334) Почти просто. № 29.
1996 человек поставили по кругу. Каждый второй выбывает.
Кто останется последним?
(335) Почти просто. № 30.
Значение квадратного трехчлена у = .v + ах + b в двух после
довательных целых точках - соответственно квадраты двух по
следовательных натуральных чисел. Докажите, что значения
трехчлена во всех целых точках - точные квадраты.
(336) Почти просто. № 31.
Вычислите а4+ hA+ с4, зная, что a + b + с = 0 и а2+ Ьг + с~ = 1.
(337) Почти просто. № 32.
По кругу записаны 5 чисел. Известно, что любое число
не меньше суммы двух соседних с ним чисел и не больше сум
мы двух несоседних с ним чисел. Какие числа могут быть запи
саны?
(338) Почти просто. № 33.
В левом нижнем углу шахматной доски 6x6 находится ко
роль. За один ход он может передвинуться либо на одну клетку
54
вправо, либо на одну клетку вверх, либо на одну клетку по диа
гонали вправо и вверх. Сколькими различными путями король
может пройти в правый верхний угол доски?
(339) Почти просто. № 34.
д-г г 2ч/лг
Сократите д р о о ь---------------(340) Почти просто. № 35.
Доцент МФТИ ежедневно в 4 часа приезжает на электричке
на Казанский вокзал. К этому времени на машине подъезжает
его жена и везет его домой. Однажды он приехал в 3 часа, пошел
домой пешком, встретил по дороге машину с женой, едущей
за ним, сел в машину. Развернувшись и не теряя времени, ма
шина повезла его домой, куда они прибыли на 10 минут раньше,
чем обычно. Сколько времени шел доцент?
(341) Почти просто. № 36.
Найдите все значения параметра а, при которых неравенство
д-2+ ( с г + 2 а 1 - 4).\- - Ъ ? - с г + 6а - 5 > 0 имеет хотя бы одно ре
шение из промежутка [-1; 2 ].
(342) Почти просто. № 37.
Молоко разлито по 30 стаканам. Мальчик пытается добить
ся, чтобы во всех стаканах молока стало поровну. Для этого он
берег любые два стакана и уравнивает в них количество молока.
Можно ли налить молоко в стаканы так, чтобы мальчик не смог
добиться свой цели, сколько бы долго он ни занимался перели
ванием?
(343) Почти просто. № 38.
Двое играют на поле размером 8x9. Первый ставит фишку
размером 1x1, а второй размером 1x2. Ставить фишку можно
только на свободное место, накладывать их друг на друга нель
зя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход.
55
Начинает игру первый. Для какого игрока есть выигрышная
комбинация? Найдите ее.
(344) Почти просто. № 39.
Освободитесь от иррациональности в знаменателе
2+
n/ 6
- v/3 + V 2 - 1 '
(345) Почти просто. № 40.
Изобразите на плоскости все точки, координаты которых
( у < х/1- д-2,
удовлетворяют системе <
____ и найдите площадь иолу[л < х / 1 - V2.
ченной фигуры.
(346) Почти просто. № 41.
Куб со стороной 20 разбит на 8000 единичных кубиков,
и в каждом кубикезаписано число. Известно, что в каждом
столбике из 20 кубиков, параллельном ребру куба, сумма чисел
равна 1. В некоторый кубик записано число 10. Через этот кубик
проходит три слоя 1x20x20, параллельных граням куба. Найдите
сумму всех чисел всех этих слоев.
(347) Почти просто. № 42.
Докажите, что число Ш ... 1-22...2 является квадратом на
турального числа.
(348) Почти просто. № 43.
Вычислите с точностью до 0,001:
1-2(17,3),з > ^ 7 ,3 -(2 -(1 7 ,3 )3) °
+
+ 17,3'.
1+ (17,3)3
1+ (17,3)3
(349) Почти просто. № 44.
Укажите моменты времени, когда впервые после полуночи
56
угол между минутном и часовой стрелкой будет равным 1°, при
том, что минутная стрелка показывает целое число минут.
(350) Почти просто. № 45.
Двое играют в такую игру: первый! называет натуральное
число от I до 9. Второй прибавляет к нему еще какое-нибудь
однозначное число и называет сумму. К этой сумме первый
прибавляет еще однозначное число и опять называет сумму
и так далее. Выигрывает тот, кто первым назовет 66. Как нужно
играть в такую игру, чтобы выиграть? Кто выиграет при пра
вильной игре - начинающий или его партнер?
(351) Почти просто. № 46.
Извлеките корень и—(11...1-33...3 00...0).
(352) Почти просто. № 47.
Найдите четырехзначное число кратное 7 и представляющее
собой сумму куба и квадрата одного и того же целого числа.
(353) Почти просто. № 48.
Четырехзначное число, у которого все цифры одинаковы,
имеет только два простых делителя. Что это за число? Каковы
его простые делители?
(354) Почти просто. № 49.
Найдите несократимую дробь, которая не изменит своего
значения при добавлении к числителю 4, а к знаменателю 10.
(355) Почти просто. № 50.
Известно, что 8 % одного числа равны 64 % другого. Сумма
этих чисел равна 162. Найдите эти числа.
(356) Почти просто. № 51.
Вычислите 2379 • 23782378 - 2378 • 23782379.
57
(357) Почти просто. № 52.
Какое наименьшее число прямоугольников 1x2 клетки нуж
но закрасить на доске 8x8 клеток, чтобы любой квадрат 2x2 со
держал по крайней мере одну закрашенную клетку?
(358) Почти просто. № 53.
Двое играющих по очереди красят клетки квадрата 8x8.
За один ход игрок красит своим цветом одну клетку. Перекра
сить клетки нельзя. Первый стремится закрасить своим цветом
квадрат 2x2. Может ли второй помешать первому независимо
от его игры?
(359) Почти просто. № 54.
Разрежьте данный остроугольный треугольник на три тра
пеции.
(360) Почти просто. № 55.
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плос
кости условиями:
х > 0,
■у > х - 1,
у < - 2.V+ 5.
(361) Почти просто. № 56.
Можно ли к числу 1996 приписать слева несколько цифр так,
чтобы получился полный квадрат?
(362) Почти просто. № 57.
Найдите значение выражения
у/a2 - 4 а + 4 + х/я' -1 2 а + 36 , если 2 < а < 6 .
(363) Почти просто. № 58.
Упростите выражение:
58
УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ
§ 1. УМА ПАЛАТА
(001) Ума палата. № 1. Покажем, что число стаканов, стоя
щих вверх дном (стоящих неправильно), будет нечетно. Вначале
их было 25 - нечетное число. 11усть па каком-то шаге вверх
дном стоит 2к + I стакан. Если Ваня выберет два стакана, стоя
щих правильно, и перевернет их. го неправильно стоящих ста
канов станет 2к + 3 - нечетное число. Если Ваня выберет два
стакана, стоящих неправильно, и перевернет их, то неправильно
стоящих стаканов станет 2/с - 1 - нечетное число. Если Ваня вы
берет два стакана, один из которых стоит правильно, а другой неправильно, и перевернет их, то неправильно стоящих стаканов
останется 2/г +1 —нечетное число. Если бы Ваня смог поставить
все стаканы правильно, то неправильно стоящих стаканов было
0 - четное число. А поскольку всегда на столе будет нечетное
число стаканов, стоящих неправильно, то Ваня не сможет поста
вить все стаканы правильно.
О т в е т : не сможет.
(002) Ума палата. № 2. Рассмотрим 8 отмеченных клеток
(см. рис. 2). Любая операция затрагивает либо 2 клетки из этих
8, либо ни одной. Таким образом, при указанных операциях со
храняется четность числа минусов, стоящих в отмеченных клет
ках. А так как изначально в этих клетках стоял 1 минус (нечет
ное число), то таблицу из одних плюсов мы получить не можем
(так как в этом случае в отмеченных клетках будет стоять 0 ми
нусов - четное число).
59
(003) Ума палата. № 3. Покажем, что разность между коли
чеством амеб двух разных типов будет сохранять свою четность.
Покажем, например, что разность между количеством амеб ти
пов А и С будет четной. Изначально эта разность четна. Если
в какой-то момент слились амебы типов А и С, то количество
амеб каждого из типов А и С уменьшилось на 1, а разность
не изменилась. Если в какой-то момент слились амебы типов А
и В, то получилась амеба типа С, количество амеб типа А умень
шилось на 1, а типа С увеличилось на 2, и разность изменилась
на 2, то есть осталась четной. Если в какой-то момент слились
амебы типов С и В, то разность также изменится на 2, то есть
останется четной. Аналогично показывается, что разность меж
ду количеством амеб типов А и В и разность между количеством
амеб типов С и В будет нечетной. Если бы в конце осталась аме
ба типа А, то разность между количеством амеб типов А и С бу
дет равна 1 - числу нечетному, а она должна быть четной. Ана
логично нс могла остаться амеба типа С. Поэтому в конце оста
нется амеба типа В.
О т в е т : тип В.
(004) Ума палата. № 4. Если бы это было возможно, то сум
ма всех чисел таблицы, подсчитанная «по строкам», была бы
60
положительной, а «но столбцам» - отрицательной, что невоз
можно.
О т в е т : нельзя.
(005) Ума палата. № 5. Может. Например, день рождения
31 декабря 1997 года. Говорит мальчик 1 января 1998 г. Дейст
вительно, позавчера ему было 10 лет, сейчас 11 лет, 12 лет будет
31 декабря 1998 г., а в следующем году 31 декабря 1999 г. ис
полнится 13 лет.
О т в е т : может.
(006) Ума палата. № 6. После цифры 3 для получения наи
большего пятизначного числа вставим последовательно цифры
9, 8, 7. Получим: 3987.V, где х - последняя неизвестная цифра.
3 + 9 + 8 + 7 = 27. На последнее место можно ставить 0 или 9,
чтобы число делилось на 9. но 9 уже есть в записи, значит, вста
вим цифру 0.
Наибольшее пятизначное число, кратное 9, так, чтобы пер
вая цифра была 3 и все цифры были различны, будет 39870.
О т в е т : 39870.
(007) Ума палата. № 7. Сумма коэффициентов многочлена
будет равна значению многочлена при х = 1.
Р(1) = (2 - 3 +1)|996(2 + 3 + l)l w = 0.
О т в е т : 0.
(008) Ума палата. № 8.
sla1 - 4 а + 4 + %/а2-1 2 а + 36 = ^ ( а - 2 ) 2 + ^ ( а - в ) 2 =
=|о-2| +|а-б|.
Так как 2 < а < 6 , то \а - 2\ = а - 2, \а - 6| = а - 6, поэтому
|а - 2| + \а - б| = а - 2 + 6 - а = 4. Значит, при любом 2 < а < 6
значение данного выражения будет равно 4.
Ответ: 4.
61
(009) Ума палата. № 9. Из одного блюда возможно соста
вить два варианта. Из двух блюд: количество вариантов удваи
вается, можно взять все предыдущие варианты и еще к каждому
из них можно присоединить новое блюдо - 2 x 2 = 2“.
Рассуждая аналогично, последовательно находим количест
во вариантов из трех блюд - 22 х 2 = 2s , из четырех = 2s х 2 = 24.
Следовательно, количество вариантов из п блюд равно 2"'1х
х 2 = 2". Методом математической индукции можно доказать,
что количество вариантов из п блюд будет равно 2".
В комбинаторике известно равенство, обосновывающее по
лученный вариант: С°„ + С1„ +С2,, + ... + С'„ = ( 1 + 1)" = 2".
О т в е т : 2”.
(010) Ума палата. № 10. Подсчитаем количество всех вари
антов.
1) Ни у какого человека нет двух мешков, тогда получается,
что каждый человек несет ровно по 1 мешку. Получается 1 ва
риант.
2) Один человек несет 2 мешка, следовательно, еще у одного
человека нет ни одного мешка. Выбрать в каждом из этих случа
ев человека, у которого нет ни одного мешка, можно еще ше
стью вариантами. Всего получаем 7x6 = 42 (варианта). Получа
ется 42 варианта.
3) Двое несут 2 мешка, двое по 0 мешков. Число вариантов
выбора двух человек из семи, то есть будет число сочетаний
2
из 7 по 2: C tj, а число вариантов выбора двоих из пяти остав
шихся будет число сочетаний из 5 по 2: С“ . Таким образом,
общее количество случаев будет
2 2 7-6 5-4
-Сд = —-----— = 210. Получается 210 вариантов.
62
4) Трое несут по 2 мешка, трое по 0 мешков. Рассуждая ана
логично предыдущему случаю, получаем
7-6-5
С3 -С 3
■4 = 140 . Получается 140 вариантов.
7 4
1-2-3
Всего 1 + 42 + 210 + 140 = 393 (варианта).
О т в е т : 393.
(011) Ума палата. № 11. К ряду стульев добавим (виртуаль
но) еще один стул слева. Если убирать какой-либо стул, кроме
первого, то слева от него стоит стул (возможно, виртуальный),
который нельзя убрать. Такую пару стульев обозначим 0, а дру
гие пары соседних стульев обозначим I. Между множеством
способов, которыми можно убрать стулья, и множеством после
довательностей из 0 и 1 (где нуль встречается 20 раз, а единица
11 раз) имеется взаимно-однозначное соответствие. Получаем
число сочетаний из 31 по 11: С 1,1,.
С", =84672315.
О т в е т : 84672315.
(012) Ума палата. № 12. Обыкновенную дробь 4/7 запишем
в виде бесконечной десятичной периодической дроби с перио
дом Т = 6. 4/7 = 0,(571428). Число 1001 представим в виде:
1001 = 166x6 + 5. На тысяча первом месте после запятой в деся
тичном представлении дроби 4/7 стоит та же цифра, которая
стоит на пятом месте, то есть цифра 2.
О т в е т : 2.
(013) Ума палата. № 13. Рассмотрим л - 1 четных чисел: 21,
22, 23,
2"'1. При делении этих чисел на я, получаем: 2к- nq + г.
Возможны л различных остатков г. 0, 1. 2, 3 , . . . , л-1.
1) Если г = 0, то 2к= nq. Это равенство невозможно, так как
2* не может делиться на нечетное число п.
2) Если г = 2, то 2к = nq + 2, то 2* - 2 = nq, 2(2Ы - 1) = nq.
2*"1— 1 делится на нечетное число л и данное утверждение до
казано.
63
3) Если г Ф0 и г ф 2, то среди п - 1 остатков будет только п - 2
различных остатков и по принципу Дирихле найдутся два числа,
имеющих одинаковые остатки: 2* = nq + г. 21' = ns + г. Положим
для определенности, что к > р, q > s. Вычтем из первого равен
ства второе: 2*-2r = n(q - s). 2р(2к'р~ I ) = n (q -s).
2Г не делится на нечетное п, поэтому 2к~1’ - 1 будет нацело
делится на п. Число 2к~р - 1 является одним из чисел данного ря
да чисел 21- 1, 21 - 1, 23 —1 , 2 " " ' - 1. Значит, для любого слу
чая доказано, что хотя бы одно из данных чисел делится на п.
(014) Ума палата. № 14. Рассмотрим суммарную .длину гра
ниц участков, заросших бурьяном. Заметим (смотри рисунок),
что при разрастании бурьяна эта суммарная длина границы
не увеличивается.
■
vW
64
Так как изначально суммарная длина границ участков, за
росших бурьяном, не больше 4 ■9 = 36, то поле не сможет цели
ком зарасти бурьяном, так как длина границы поля равна 40.
(015) Ума палата. № 15. Из того, чго a + b -\jct2 +Ь2 - \/а2 +Ь2 + 2ab - -Jet2 + b2 > 0 при а. Ь > 0 следует, что после
указанных операций числа на доске остаются положительными.
Покажем, что после указанной операции не меняется сумма об
ратных величин чисел, написанных на доске. Действительно,
2.v + 2v
т -------X + у + \] ДГ + у
2л- + 2у
1
1 1
X + y - \ j 1 и 2,
B) из 1 и 2 => 3,
Получилось поровну!!!
О т в е т : Поровну.
2
3
3
I
]
2
2
1
1
3
3
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1
1
1
2
2
2
3
3
3
С) из 2 => 1,
D) из 1 и 3 => 2.
(018) Ума палата. № 18. Обозначим 17,33= а, тогда
( 1-2 a f а '( 2 - а ) ' |
(1-2а )3 + д ( (2 - а ) 3 +(1 + а)3)
I 1+а J + (1 + а ) 3 ' а ~
(1+а)3
_ (1 —2а)1 + а(3(4- 4 а + а" —2 + а - 2 а + а2 +1 + 2« + а 2))
(1+а)3
_ 1- 6а + 12а2 - 8а} + 9а' - 9а1 + 9а _ а 3 + За: + За + 1 _
(1 + а)!
а3+За: +За + 1
С точностью до 0,001 получим 1,000.
О т в е т : 1,000.
67
(019) Ума палата. № 19. Рассмотрим слой (единственный
слой) прилегающий к грани размером 7x11. Внутри этого пол
ностью заполненного слоя должны находиться либо полностью
брусочки 3x3x1, тогда они занимают объем 9 единичных куби
ков, либо один из слоев бруска размером 3x1, занимающей объ
ем в 3 единичных кубика. Всего в этом слое 7x11 = 7 7 единич
ных кубиков Они должны быть представлены в виде 9/ + 3/с, где
t и к принимают целые неотрицательные значения. Получим
9t +3 k = 77,
3(3/ + к) = 77, а этого быть не может, так как левая часть ра
венства кратна 3, и 77 на 3 не делится. Значит, уложить бруски
в коробку не удастся.
О т в е т : Нельзя.
(020) Ума палата. № 20. х2 + ах + 1 —Ь = 0. Применяя теоре
му Виета, получаем:
Л | Л '2 = 1 - Ь ,
Л'|Л"2 = - п ;
сг + Ъ ~
—
Ь
(х
= 1 — X |Л'2,
|
+Х|)~+(1
— Х ] Х т )~
—х 2+2 Х \ Х 2 + х 2
+ 1 + Л-^.V j- х ] ( х \
+
!
—
2 .Y | .y ; +
+ 1) + (-Y2 + 1)
= (л*2 + l)-(xf +1). (*:; + 1)(-Гf + 1 ) - число составное.
(021) Ума палата. № 21. Обозначим последовательно числа,
стоящие в вершинах пятиугольника: .г, у, д, /, и. По условию за
дачи получаем систему пяти линейных уравнений с пятью неиз
вестными:
" х + у = 1,
у + z = 2,
.V
< 2 + 1 —3,
/ + и = 4,
5
j i + х = 5.
и
2 (х + у + z + t + и) = 15,
68
4
.у + г + --*-/ + и 7,5 ,
1 + 3 + и = 7,5 .
и = 3,5; .у = 1,5; / = 0,5; - = 2,5; г - -0,5.
О т в е т : ,v= 1.5; г =-0,5; г = 2,5: / =0.5; « = 3.5.
(022) Ума палата. № 22.
10+ 11. ..I
п
10/) + /7= 11/7
лвоск
2) 11... 11* 11 = 999999099*/!.
н+1
П...11,*11 = 9 * 1 11111111*к
а -I
^ = 11...11,: 9 »*/)= 11...11 : Ш И П П
I I -1
//+1
3) п + 1 кратно 9, п + 1 принимает значения 9. 18. 27. 36, 45,
54, ...
Получаем /)=11. . . 11 11... 11 1 1 . . . 1 1 . . . =
I... 11 ,*( 100000000,1000000004 00000000,...) =
= 111111111*сv----- У----- '
9
4) с делится на 9, поэтому число единиц в числе с должно
быть кратно 9. Минимальное число единиц должно быть 9.
9x9 = 81 =п + 1,/) = 80.
О т в е т : 80.
(023) Ума палата. № 23. Представим число 1980 в виде про
изведения двух взаимно простых чисел 99 и 20.
1980 = 99-20, £>(99, 20)= 1.
69
Значит, достаточно докатать делимость на 20 и на 99,
Число оканчивается па 80, значит, делится на 20.
Найдем S) - сумму первых цифр,
S, = 1 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 8 = 279.
51 - сумма вторых цифр.
52 = 9 + 6 • 45 = 279.
По признаку делимости на 9: 279 + 279 = 5 58: 9.
2 7 9 -2 7 9 = 0.
Поэтому число делится на 11.
Итак, число делится на 20, 9 и 11, значит, делится на 1980.
О т в е т : делится на 1980.
(024) Ума палата. № 24. Пусть ,t > 27, тогда
427 + 4 1000 + 4л = 427( | + 4»7Э+ 4 >-27) = (Э:7)2-( 1 + 2 • 2 '445 + (2 ‘)2)
при г = 1945, т. е. при.т= 1972 наше выражение полный квадрат.
Если х > 1972. т. е. у > 1945, то
(
21) ’
<
1 + 2 -2т 5
+ (
2')2 < ( 1 + 2' ) - .
В этом случае выражение 1 + 2 • 2 14,17 + (2’)“ строго заключе
но между двумя последовательными квадратами и само полным
квадратом не является, а с ним и все выражение 427 + 4 1000 + 4' не
является полным квадратом
О т в е т : 1972.
(025) Ума палата. № 25.
11усть дг р. - было положено и прошло t лет на 2 % вкладе.
[д- + 0.02 л -/ =8502,
1+ 0.02/ _ 2834
10,03.v(/ —1) = 819.
0 ,0 3 /-0 ,0 3 ^ 273 ’
100 + 2/
2834
27300 + 546/ = 8502/-8 5 0 2 ,
3 /- 3
273
7956/ = 35802, / = 4,5.
819
27300
Y=
= 7800 р.
0,03-3,5
3,5
О т в е т : 7800 р.
70
§ 2. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
(026) Числа. № I. Л ю бое простое число большее трех д е
лится на 3 с остатком I или 2. Значит, р может быть вида либо
3А+ 1, либо З/i + 2. Рассмотрим оба случая.
1) П усть р = ЗА + 1, тогда 10(ЗА + I ) ' - 3(3A + 1) + 2 =
10(9А2 + 6А + 1) - 9А - 1 = 90А2 + 60А + 10 - 9А - I = 90А2 + 51А + 9 =
= 3(30А2 + 17А + 3 ). Значит, данное число составное.
2) Пусть р = ЗА + 2, тогда
10(3А + 2 ) 2 - 3(3А + 2) + 2 = 10(9А2 + 12А + 4) - 9А - 4 =
= 90А2 + I20A + 40 - 9А - 4 = 90А2 + 111А + 36 = 3(30А2 + 37А + 13).
Значит, число составное.
Таким образом, при лю бом простом р > 3 число Ю р" - Зр + 2
составное.
(027) Числа. № 2. Для того чтобы дробь была натуральной,
необходимо, чтобы 89 нацело делилось на 3/// + 7/7. 89 - простое
число, значит 3 т + 7 / ) = 1 пли 3 т + 1п = 89. 3/7) + 7 / 7 = 1 - невоз
можно, так как т и л долж ны быть натуральными.
Тогда 3//7 + 7/; = 89.
89-3/7/
и = -----------. М етодом полного переоора находим натураль7
ные значения //. При //) = 4, 11, 18, 25 (период Т = 7) соответст
венные значения п будут равны 11, 8. 5, 2 (Т = 3). Наименьшая
разница будет равна 3.
Ответ: 3
(028) Числа. № 3.
5 5„+1+ 4 5„+2 + 3 5„= 5 . 3 1 2 5 "+ 16 • 1024" + 2 4 3 ” .
3125" при делении на 11 имеет остаток 1.
5 - 3 1 2 5 " при делении на 11 имеет остаток 5.
1024 при делении на 11 имеет остаток 1.
71
1024" при делении на 11 имеет остаток 1.
16-1024" при делении на 11 имеет остаток 16 или 5.
243" при делении на 11 имеет остаток 1.
Значит, 5-3125"+ 16-1024"+ 243" при делении на 11 имеет
остаток 5 + 5 + 1 = 11 равно 0,
Получаем: 5 1*5"+|+4''"+‘ + 35" нацело делится на 11.Что и тре
бовалось доказать.
(029) Числа. № 4. Пусть d = НОД(га, и), тогда т = dnu
и п = dn\, где НОД(шь /ц) = 1, то есть числа пц и п\ взаимно
простые.
Данные числа можно представить в виде т = d ■т\ и п = d -Ль
HOK(ra, п) = dm\fi\. По условию задачи получаем:
d + dm\ti\ = dm\ + dn\.
1 + т\П\ = m 1+ «|,
1 + л? |/I | -
mi
-
1Ц=
0,
I + n iiiii - m i + ii] = 0,
(1 - m i ) - i i i i i t i ] - 1) = 0,
(1 -/7()(1 -m 0 = 0;
111 = 1 или mi = 1 .
Если iii = I, to n = d, при этом in —d ■in|. Значит, in нацело
делится на п, что и требовалось доказать.
Если mi = 1, то т = d,n = d ■щ.
Значит, п нацело делится на га, что и требовалось доказать.
(030) Числа. № 5. Пусть было х художественных книг. Тог11
да научно-технических было — .т книг. В первом вагоне тогда бы1 11
18
3719
_
_
14 11
ло — •— •х + ---- х = ------- ■.V. Во втором вагоне бы ло-----— v +
15 13
19
3705
15 13 '
3121
+
■х. Так как в первом вагоне оказалось более 10000
3705
книг, а во втором менее 10000 книг, то
72
Г 3719
------ ■х > 10000,
3705
3121
L3705
9962
10000;
1322
3719
< .V< I 1871
3121
л делится на 3705, так как количество книг —целое число.
Получаем х —3 • 3705 = 11115. Это единственное натураль
ное число вида 3105к, ]де к — натуральное число, удовлетво
ряющее найденному интервалу.
Научно-технических книг, таким образом, было — • 11115 =
13
= 9405.
О т в е т : 11115, 9405.
(031) Числа. № 6.
2 12 + 27 + 1 = 2 |2 + 2-2(’ + I = (2(’ + 1)2 = (2Ь+ 2-23 + 1 - 2Y =
= ((23 + 1)2 - 42)2 = ((23 + 1 - 4)(23+ I + 4))2 = (23 - З)2(23 + 5)2. Получили четыре множителя и не важно, что среди них две пары
одинаковых.
О т в е т : (23 - З)(23 - 3 )(23 + 5)(23+ 5).
(032) Числа. № 7. Разложим число 2008 на множители. 2008 =
= 8-251, где 251 - простое число. 2008 = 2 - 4 - 2 5 1 .
2 + 4 + 251 = 257. Для получения суммы, равной нулю, вы
берем 257 раз число (-1). Получилось 3 + 257 слагаемых. Оста
ется найти еще 2008 - 260 = 1748 слагаемых, которые не долж
ны изменить ни найденной суммы, ни найденного произведения.
Проблема решается, если взять 874 единицы и 874 числа, рав
ных (-1). Все 2008 целых чисел найдены: числа 251, 4 и 2 взяты
по одному разу, единица выбрана 874 раза, а -1 будет встре
чаться 1131 раз. Общее количество слагаемых 1 + 1 + 1 +
+ 874 + 1131 = 2008, при этом их сумма равна нулю, а произве
дение равно 2008.
73
О т в е т : Можно. Числа 251, 4 и 2 взяты по одному разу,
единица выбрана 874 раз, а -1 будет встречаться 1131 раз.
(033) Числа. № 8.
п3 + 3/г - п - 3 = п~(п + 3) - (/; + 3) = (// + 3 )(/г - 1) =
= (// +3)(/( + 1)(// - 1). Возьмем теперь нечетное число // = 2к + 1.
Получаем: (2к + 4)(2к + 2 ) - 2 к = 8к(к + 1)(к + 2). Из двух после
довательных натуральных чисел одно кратно 2, значит, данное
число кратно 16, а из трех последовательных натуральных чисел
одно кратно 3, значит, данное число кратно 3 и делится на 48.
(034) Числа. № 9. Докажем, что если число N = abc делится
на 37, то в этом случае число Л/ - Ьса также делится на 37.
Имеем: N = 100н + 10Л + с = 37к, отсюда: с = 37/с - 100с/ - 10/;.
Тогда: М = 100// + Юс + а = \00Ь + 10 (37/с - 100с/ - 10Ь) + а =
= 370А' - 999с/ = 37(10/с - 27). Последнее равенство доказывает,
что М делится на 37. Значит, в трехзначном числе, делящемся
на 37, можно переставить цифры так, чтобы полученное число
тоже делилось на 3.
О т в е т : Можно.
(035) Числа. № 10. Наименьшее общее кратное чисел 2, 3 и 5
будет 30. От 1 до 30 имеется 8 чисел, удовлетворяющих усло
вию задачи: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. В любой следующей по
следовательности из 30 последовательных натуральных чисел
будет ровно 8 чисел, удовлетворяющих условию задачи.
23091942 = 769731 ■ 30 + 12. В 769731 периодах находится
7697с? 1 • 8 = 6157848 искомых чисел. В двенадцати оставшихся
числах расположено ещё три искомых числа. Таким образом,
всего на числовом отрезке от 1 до 23091942 будет всего 6157851
таких чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 3. ни на 5.
О т в е т : 6157851.
74
(036) Числа. № II. Применим формулу разложения на мно
жители выражения а" - Ь".
а" - 1= я" - Iя = (а - 1)(«''■' + ...). Число (а" - I) нацело делит
ся на (я - 1). Число а"+1 простое, значит, а = 2. При а = 2 полу
чаем, что 2" +1 и 2 "-1 - простые. Число 2" не может быть
кратно трем.
Если 2" = ЗЛ + 1, то 2" - I = ЗА + I - 1 = 3//. 2" - I в этом слу
чае делится на три.
Если 2" = ЗА - 1, то 2" + 1 = ЗЛ - 1 + 1 = 3/;. 2" + I в этом слу
чае делится па три.
Значит, при нечетном п 2" +1 делится нацело на 3, при чет
ном п 2" -1 делится нацело на 3.
Таким образом, возможен только один вариант: 2" - 1 = 3 ,
2я = 4 , п = 2. Получается единственная искомая пара простых
чисел (3; 5).
О т в е т : (3: 5).
(037) Числа. № 12. гг = 10000.V + 2001 . Последнее равенство
доказывает, что п - нечетное
(2А + 1)2 =10000x4-2001,
4/t2+4A- = 10000.v + 2000,
А(А+ 1) = 2500л-+ 500,
к(к +1) = 125(20л + 4).
Либо к = 125t, либо к = 1251- 1.
Наименьшее значение к = 124, тогда п = 249.
п2 = (850 - 1)2 = 62500-500 +1 = 62001.
О т в е т : 249.
(038) Числа. № 13. Заменив в выражении все звездочки
на плюсы, мы получим, что значение выражения в левой части
равно 55. Станем заменять некоторые плюсы на минусы. При
75
этом каждый раз значение выражения будет уменьшаться на чет
ное число. То есть значение выражения, стоящего слева, всегда
будет нечетным числом. Значит, четное число 0 мы получить
не сможем.
О т в е т : Нельзя.
(039) Числа. № 14. Пусть 2 К1П" - m-значное число, и 5
v
^ 01000 , ,п,„
л-значное число.
Эго означает, что
ш
0.
.т2 - 5.V + 6 = 2(.\- - 3) %/х ,
(л- - 2)(л- - 3) - 2(л- - 3) Va- = 0,
(.V- 3)(т —2 - 2 л/л ) = 0,
х = 3 или х - 2 %/х - 2 = 0.
х - 2 %/х- 2 = 0.
Пусть %/х = г, 2 >0.
^ - 2 2 + 1 - 3 = 0,
( г - 1 ) 2 = 3,
z - 1 = ±%/3 ,z = 1 ±%/3 ,
Z| = 1
%/з
< 0 , Z2 = 1 + %/3 .
%/д = 1+ %/з,
х = 1 +2х/з + 3, х = 4+ 2 %/3 .
Условие х > 0 выполнено.
О т в е т : х = 3, х = 4 + 2 %/з .
(059) Уравнения. № 4. Разложим данный многочлен на мно
жители, а затем, приравняв к нулю, решим уравнение:
83
2j> +
v4_ io.v'- 5.гт 8.v + 4 = ,v4(2х+ l)-5 .r(2 v + l) + 4(Zv+ l) =
= (2л- + 1)(.v4 - 5.Г + 4);
(2л-+ 1)(л-4 —5.V2+ 4) = 0,
"2л-+ 1 =0,
_л-4 - 5л-2+ 4 = 0.
О т в е т : -1 /2 ,-1 ,-2 . 1.2.
(060) Уравнения. № 5. Представив слагаемое —7л в виде
суммы -л" + (-6л), получим:
.г3 - Л" — 6.V + 6 = 0.
.v(.v-2 - 1) —6(.v — 1) = 0,
х(х - 1)(л- + 1) - 6(л- - 1) = 0,
(л- - 1)(л-2 + .V- 6) = 0,
л- = 1 или л-2 + х - 6 = 0.
Решаем квадратное уравнение: Л"? = 2, xj = - 3.
От в е т : 1; 2; -3 .
(061) Уравнения. № 6. Если .т = 0, то 0 + 0 = -1,5 ложно. По
этому л- Ф 0. Разделим числитель и знаменатель каждой дроби
на Л'.
-+ = -1,5.
. 3 '
. 3
-Y+ 1+ - Л--5 + X
X
*2
Обозначим л' + —= z , тогда
4
г+1
5
г-5
3
2
:0 ,
8г - 4 0 + 10г + 10 + Зг2 - 12г - 15
= 0,
2(г + 1)(г-5)
z2+ 2 z - 15 = 0,
Зг~ + 6 г - 4 5
=
0
о
<
г -1,
’(z + l)(z-5 )
z * 5.
84
z2 + 2r - 15 = О,
z, = - 5, z, = 3.
1) 2 = - 5 ,
3
Л-+— = -5,
хфО.
x
A-2 + 5.v + 3 = 0
/) = 2 5 - 12= 13.
—5 ± л/Гз
x = ------.
2
2 ) 2 = 3,
*4=3,
-V
a2 -
За + 3 = 0
/) = 9 - 12 х = 1.
(066) Уравнения. № 11. Так как на нуль делить нельзя, то
А) 4.г - 8.v + 7 = 0, — = 1 6 - 28 = -1 2 < О,
4
88
Б) 4л-2 - Юл- + 7 = О, — -25 - 28 - -3 < О
4
ОДЗ: (-со; +оо).
4л
Зл
-—
; ---------------------------------- 1---------------- ; -----------------------------—
4 Г - 8л + 7
— 1 .
4 л --Ю л + 7
Учитывая, что л" = 0 не является корнем данного уравнения.
разделим числитель и знаменатель каждой дроби на л Ф 0.
4
,
3
7+
7
4л - 8 + — 4л - 10 + —
л
л
„
л
1
4
3 ,
Пусть 2 = 4л + —, тогд а----- + --------= 1.
л
2 -8 2-10
4г - 40 + 3z - 24 - z 2 +18 ~ - 80 _ д
( 2 - 8)(2 - 10)
“ ’
-z 2 + 2 5 z-1 4 4
(2- 8)(2 - 10)
:0 .
Учитывая, что 2 Ф 8 и z Ф 10, получаем
22 - 2 5 г + 144 = 0,
г, г, = 144,
+ z2 =25.
: 9, Zi = 16.
Условия z Ф 8 и г Ф 10 выполнены.
1)2 = 9.
4л + — = 9, л Ф О
л
4л2 - 9л + 7 = О,
0 = 81 - 4-4-7 = 81 - 112=-31 -1
-x
Зх+ 5 = 4. З л = - 1 ,л - = - 1 , - I e ( i ; +OQ).
Получили X = — .
(069) Уравнения. № 14. Пусть \х - 3| = 0.
Тогда д--3 = 0, л' = 3.
Получили О'1= О2 верно.
х = 3 - корень уравнения.
Основание равно 1.
|.v -3 |= 1,
х - 3 = 1 или х - 3 = 1,
х=4
или
х = 2.
Подставив, убедимся, что получаем верное равенство 1 - 1.
Получили .V= 2, х = 4.
Если |х - 3| Ф 0 и |.v - 3| ф 1, то в силу монотонности функции
У = а', получаем лг - х = 2, х2 - х - 2 = О,
А] = -1, -V2 = 2.
Получили еще один корень х = -1.
О т в е т : {—1; 2; 3;4}.
(070) Уравнения. № 15. дг - 4т + 3 = лг“ - З.т —х + 3 =
= х(х- 3) - (Л- - 3) = (л- - 1)(л- - 3),
х2 - 5х + 6 = . г - 2 х - З.т + 6 = х(х - 2) - 3(х - 2) = (х - 2)(х - 3).
91
Уравнение имеет вид:
|(.v - 1)(.v - 3)| + |(.v - 2)(.v - 3)| = 1.
Раскроем модули, используя таблицу.
л< 1
,v: - 4.V+ 3
K-V- !)(■' - 3)|
л-2- 5.V+ 6
|(.y - 2)(.v —3)|
К-v - 1)(.г - 3)| + -л- + 3
+ К-'' - 2)(.v - 3)|
1< Л- < 2
+ 4л- - 3
л2- 5.т + 6
-2Г + 9.Г-9
- Л -2
2 3
-л-2+ 4л - 3 л2- 4л- + 3
л2- 5.v + 6 -л2 + 5.V- 6
2v2 + 9л - 9 2 г - 9х + 9
Пусть х < 1 или х > 3, тогда уравнение примет вид
2.т2 —9.v + 9 = 1,
2дг - 9х + 8 = 0,
D = 81 -4-2-8 = 17.
..
9±Vi7
—
г ~
9 -V i7
'
х'
9 + VT7
= — :— • л 2 = — :—
з±2И>з ,
Л-2 > 3
9 + л /п >12,
VT7 > 3 .
Очевидно.
Повторив данное рассуждение в обратном порядке, получим,
что неравенство д-2 > 3 доказано методом сведения к очевидному.
Получили корень уравнения t = ? +
4
_ 9 - VT7
1
92
'
9 —s/l 7
4
4
9 + х/п > 4 ,
9 + VT7 VP7,
VT7 = 81 - 8 0 = 1,
9+ 1
-V,, = ------, д-| = 2, х -t = 2,5.
4
2 g (2 ;3 )
2,5 е (2 :3 ).
Получили .v = 2,5 - корень данного уравнения.
4
(071) Уравнения. № 16. Рассмотрим данное уравнение как
квадратное относительно переменной у.
( 15.т2 + 28.V + 5 ) / - 2(4л-2 + 19х + \2)у + (л- + 4)2 = 0.
Разложим квадратны е трехчлены на линейные множители,
а) 15 .г + 28л- + 5 = (З.г + 5)(5.r + 1),
D
— = 1 4 6 -7 5 = 121,
4
-1 4 + 11
5
1
93
б) 4х 2+ 19л- + 12 = (л- + 4)(4v + 3),
0 = 361 - 192= 169.
(3.v + 5)(5.v + 1 )/ - 2(.v + 4)(4.v + 3)v + (х + 4)2 - 0.
= (л- + 4)2(4.y + З)2 - (л- + 4)2(15.Г + 28л- + 5) = (.т + 4)2( 16л-2 +
4
+ 24л- + 9-15л-2- 28л- - 5) = (,v + 4)2(.y2 - 4.v + 4) = (л: +4)2(.v - 2)2.
—
•Vl>2_
(4,у2 + 19л + 12) ± (x2 + 2.y - 8)
15.y2 +28.Y + 5
3.y 2 + 17.y + 20 _ (3.Y + 5)(.y + 4) _
У' ~
Л- + 4
(2,y+ 5)(5.y+ 1) “ (3.y + 5)(5x +1) “ 5х + Г
5.v2+21.y + 4 _ (5.y + 1)(.y + 4) _ .y + 4
}’2 ~ (2л- + 5)(5.y + 1) ” (3.Y+ 5)(5.y + 1) ~ 3x + 5 ’
1) у = -------. Найдем 3v и выделим целую часть.
3.Y+ 5
Число 7 имеет ровно четыре целых делителя: -7, -1, 1, 7.
Рассмотрим эти четыре случая.
3.Y + 5 = 7,
Зл-+ 5 = - 7 , 3.Y+ 5 = 1 ,
Зх + 5 = 1,
3.Y = 2,
Зл- = -12,
З.т = - 4,
З.т = -6,
х 0Z .
х - -4,
х ■= 0 .
У = - 2-
94
Число 19 имеет ровно четыре целых делителя: -19,-1, 1, 19,
Рассмотрим эти четыре случая.
5.V+ 1 = -1 9 ,
5.т+ 1 = 1,
5.т = -2 0 ,
5л = 0,
л- = -4 .
л = 0,
х£ Z ■
v = 0.
v = 4.
О т в е т : (-2; - 2); (0; 4); ( -4 ; 0).
5.V+ 1 = 19,
5.v= 18,
5.v + 1
5х = ~:
xez.
(072) Уравнения. № 17. l](x + 1)2 + 2^/(.v- 1); = З-ч/.v* - 1,
V(* + l У' - 3-) = 0.
j x - y = 3,
{.т2 + 4у = 0.
Решим отдельно каждую систему:
1) |-v: .V= 3,
Jx - ,- 3 .
[ ( х " - у ) = 0.
|(.v2 - у ) = 0.
.г - x = 3,
-v2- х + 3 = 0,
D = 1 - 12=-11
r=l’
[2.v2 + xy = 1■
2(z2- x2) - v(z + л-) = 0,
(.v + z)(2z - 2-v - у) = О.
2 + .V = О
ИЛИ
1) г = -л*
3.V
,„
2 r - 2v = у.
--------------- г = - V, .V Ф О.
2(1 -.V)-
2л-2 - 4л- + 5 = 0,
D < 0 корней нет.
2 ) 2 г - 2 л - у = 0,
6л-
xy = 1 - 2л-2, у
■2х~у = О,
(1-л-)2
-2 x -b l
Зл-
=
(1-Л)3
0.
1 -2 л -2
ЗлCl-л -)2
Л-
Зл2 = 1 - 2л- + л-2
Л|
л/3-1
2
- , Л'2— -
-(л/з + 1)
2
При этом у = — -2 х ,
У1
,_ 2__ 2(л/з-1 ) _ 2(Уз + 1)
7 з -1
2
(7з-1)(л/з+1)
= V3 + 1-V 3+1 = 2.
Аналогично _у2 = 2.
О т в е т : (— —!.; 2), (
+ 1) . 7 ^
106
(л/3-1) =
(088) Уравнения. № 33.
x + y + z + и = I.
у + z + /( + >’ = 2.
. z + и + v + д- = 3,
и + v + .г + J'
= 4,
V + Л' + у + Z — 6.
Сложив уравнения, получим:
4(.т + у + z + и + v) = 16,
x + y + z + u + v = 4.
v = 3, х = 2, у = 1, z = 0, и = -2.
О т в е т : v = 3, .v = 2. у = 1, z = 0, и = -2.
(089) Уравнения. № 34.
{x2 + y 2+z 2 =l,
\ x 3+ y 3+z3 = \.
1) Каждое из неизвестных 0 < |г| < 1, 0 < |у| < 1, 0 < |.v| < 1.
Если, например, [v| > 1, то [>f > I и |.vf + [rf + |-|- > 1.
2) При 0 < х < 1 имеем 0 < л-3 < л-3 < 1.
При 0 < „т < 1 имеем 0 < .г3 < х2 < 1.
Если хотя бы одно из 3 неизвестных (.г, у, z) будет строго
больше 0 и меньше 1, то получаем для определенности 0 < х < 1,
.г3 < .г.
1 = .г3 +у3 + z3 < г 3 + У + z3 = 1, чего быть не может.
3) Значит, х, у, z равны только 0 или 1 При этом одно из не
известных будет 1, а другие 0.
Итак, получаем (0; 0; 1), (0; !; 0), (1; 0; 0).
О т в е т : (0; 0; 1), (0; 1; 0), (1; 0; 0).
107
(090) Уравнения. № 35.
V+ Z
X+ Z
лу + xz + yz
.V + у
yz + xy + xz
• ------- ;-------= 2 ,
y+z
XZ +
ЛТ +
yz _
x+ 2
Jx + у = 2у + 2z,
|y + z = x + z.
x = у, x + x = 2x + 2z, z = 0.
Из первого: — = 1; д- = 2, у = 2.
2.y
О т в е т : х = 2, у = 2, z = 0.
J-Y + у = 2000,
(091) Уравнения. № 36. \ху = z2 +1000000.
у = 2000 - х, (2000 - х)х - 1000000 = z2,
-(х - 1ООО)2 = z2.
(-оо; 0]
[0; +оо)
х = 1000,
■ z = 0,
у = 1000.
О т в е т : х = 1000,у = 1000,2 = 0.
108
(092) Уравнения. №37.
J .Y - V
= 3,
IX4 + 3.v2y - 4 y 2 = 0.
Рассмотрим второе уравнение.
л-4+Зл-2у - 4 у : =0.
д-4 + 4.г2у - ,Г у
-
4у2 = 0,
,v2(.v2 - 4 ) + 4у(л-’ - 4 ) = 0,
(л-2 -у)(.т2 +4у) = 0.
Система принимает вид:
л - у = 3,
Г - у = 0;
\ х —V = 3,
\
О
[(.V -у )(л " + 4у) = 0:
л--у = 3,
л-2 + 4у = 0.
.Y2 - .V= -3,
[.Y2 - = 0,
|. т - у = 3;
х —у = 3,
1)
-V2 -
v = 0;
л-2-.т + 3 = 0 .
/) =
1-12
-11 < о,
=
I
2)
х-
у =
д-2 + 4у
| г = л -3 .
3,
=
[д-2 + 4(jc—3 )
0;
д-2 + 4д- - 1 2
=
|лут,
|л-,+л-2 = -4;
= -12,
==
0;
0,
f.v,=-6.
1у,
=
-9;
Получили (-6:-9), (2;-1).
Отве т: (-6 ;-9 ),(2 :-1 ).
109
|,.= 2 ,
Ь = - 1
нет.
(093) Уравнения. № 38.
' \ x \ > \ y - z + t\,
| y \ > \ x - : + t\,
‘ \ t \ > \ x - y + z\,
Jz|>|-v- y + t\.
Так как обе части неравенства неотрицательные, то можно
возвести обе части в квадрат:
х2 - ( x - z + f): > 0,
(.V- у + z -1){х + у - z + 1) > 0,
Г - ( . v - r + ?)2 >0,
( у — X + Z — / )( V + х — Z + 1) > О,
Х<
Г - ( .v - y + z)2 > 0,
(I - X + у - з)(/ + х - у + z) > О,
z 2 —( x —y + t)2 > 0.
(z —X + у —/)(Z+ X—у + 1) >0.
~ ( х - у + z - t ) \x + у ~ + t f ( t + х + z - у)2(_у- х + z - tj1> 0.
Последнее неравенство невозможно, и система решений
не имеет.
О т в е т : Решений нет.
(094) Уравнения. № 39.
X, + .V, + X, = 6,
.V, + X, + ,т4 = 9 ,
-Н + -+: + Л*5 —3,
Л'4 + .v5 + .v6 = -3,
A-5+.v6 + .Y7 = -9 ,
.3 -,+ ^ 7 + ^ = -6 ,
-v7 +-v8 + -VI = ~2x8 + x, + x, = 2.
Сложим:
Сложим I, IV, VII:
Xi + X-> + X-K + Хл + Л \ + AV, + Xt_+ Xu +
= 6 - 3 - 2 = 1,
110
X| -
Сложим II, V, VIII; д? + д+ + дд + дд + ду, + л-7+ Лч, + .yl + - 2,
л-2 = 2.
Из I и следующих:
1 + 2 + X) = 6, л'з = 3,
2 + 3 + яд = 9, л'4 = 4.
3 + 4 + xs = 3, л-5 = -4,
4 - 4 + хь ~ -3, л'(, = —3,
-4 - 3 + л'7 = -9, л*7 = -2,
—3 — 2 + Л'и = —6. Л'8 — —1.
Итак, .Xi = 1, л‘2= 2,.yj= 3, л'4= 4, _y5= —4, л>, = —3, д-7= -2 , х« = - 1.
О т в е т : ду = 1, х2 = 2, ду = 3, лу = 4, л5 = -4, .v6 = -3, д-7 = -2,
Л8 = -1(095) У равнения.№ 40. six +\+slx-\ = \ Jl.
ОДЗ Л' > 1, х = 1 - корень.
f(x) = six + 1 + s i x - 1 возрастающая функция, значит,
х = 1 - единственный корень.
О т в е т : х = 1.
(096) Уравнения. № 41.
J.y' у + 2х 2у 2 + ху' = 4.
{л + у + л У + ху2 = 4.
|.ту(л2 + У2) + 2 * У = 4. Пусть v + y = 2i v>. = ,
[х + у + ху(х + у) = 4.
,Г + 2x y + y 2 = r , x L+ y = z 1-2 x y , z~ + у2= z1- 2t.
lt(z2 - 2t) + 2 r = 4, \ t r - I f 1+ 2r = 4, | tz- = 4, ( = _4_
j - + r/ = 4;
\ z + zl = 4;
\ z + z/= 4 .
2+
,..1 .= 4 , 2 + - = 4 , z2 + 4 = 4z, ^ - 4 ^ + 4 - 0 ,
( z - 2 ) 2= 0,
4
.
z - 2 = 0, z = 2, f = - = l.
Ill
О т в е т : (1; 1).
(097) Уравнения. № 42.
6.vz + 3.y = 2z - 2 ,
■ху +ту = 2(z -,v + 1),
ту - 6XZ + у = 3.Y+ 3.
1) Сложим первое и третье уравнения системы:
3.Y+ ту + у = 3.v + 2z + 1,
z (y -2 )= l-y .
2) Если у = 2, то z • 0 = 1, чего быть не может, поэтому
_ 1-Г
> '- 2 '
3) Из II Ху + ту - 2 z + 2х = 2,
х(у + 2) + z(y - 2 ) = 2,
л-0 + 2)+ - I z il( v - 2 ) = 2,
> -2
-vCv + 2) = 1 +у.
Если у = -2 ,
to .y • 0
= - 1, значиту ^ 2, ,v= 1+ >’
у +2
4) Подставляем в I уравнение:
3.v(2z + 1) = 2(z - 1),
? + 2 У . ( 2 ~ 2 У + у - 2 ^ п 1- у - у + 2
У+2
у -2
_3(,У+ 1) - у _ 2 ( 3 - 2 у) -Зу (у + 1)
У+2 у - 2
у - 2 ’ ~ 7 7 2 ~ = 6 _ 4 j;’
-Зу2- 3 у = 6 у -4 у 2+ 1 2 - 8у,
-Зу2 - Зу - бу + 4у2 - 12 + 8у = О,
У2- у - 12 = 0,
112
v>i = -3, V2-4.
5) При у = -3, .V= 2, z = -0,8. Имеем (2; -3; -0,8).
6) При у = 4, л- = - , г - -1,5. Имеем ( - ; 4; -1,5).
6
6
О т в е т : (2; -3; -0,8), ( - ; 4; - 1 ,5).
(098) Уравнения. № 43.
Рассмотрим систему:
у
А' +
= !-г,
Уг
------ = 2 —.Y,
y +z
X + Z
ху + xz + yz
=1,
х +у
yz + ху + -YZ
= 2,
y +z
xz + ху + yz
1-
.V+ Z
J .v + у = 2y + 2z,
[y + z = x + z .
х = у, х + х = 2 y + 2z, z = 0 .
XV
Из первого: — = 1; х
-
2, у
=
2.
О т в е т : .v = 2, у = 2, z = 0.
(099) Уравнения. № 44.
х6 - 9х4+ 27.г - 27 - 64.Г1- 288.Г - 432v =
= 18(12л-+ 18 - 4.г3 - 6а2).
113
/ _ 9.v4 - 64л3 - 26l.v2 - 432.v - 27 - 216л - 324 + 72л-1
+ 108л2= О,
хь _ 9 V44 By3 - 153л2 - 648л- - 3 5 1 = 0.
Поделив многочлен л6 - 9д4+ 8л-3 - 153л2 - 648.V - 351 на л- получим:
(.* _ 3)(Л-5 - Зл-4 + 8л-2 - 177л - 117) = 0.
.v5 - 3.Y4+ 8.v2 - 177л- 117 = 0,
(л24 ах - З)(л34 Ьх24 сх + 39) = 0,
^
^
v5 + /,л-4 + ^ + 39д-2 4 ах4 + abx3 + асх2 + 39ял - Зл’ - 36л2
- З е л - 117 = 0.
а + Ь = -3,
6 = -3-я,
с + аб —3 = 0,
Зс = 39я + 177,
39 4 ас - 36 = 8,
с = 13я 459.
39 я-Зс = - 1 17.
1За 4 59 4 а(-3 - а) - 3 - О,
1За + 59 - Зя - а2 - 3 =0,
—я2+ 10а 4 56 = О,
а2 - 10а - 56 = О,
— = 25 + 56 = 81.
4
5 ±9
а |.2= —j— ,
ai = -4,
02= 14,
/,, = 1,
6, = -17,
С) = 7,
с2= 241.
1) (л2- 4л - 3)(л3+ л2+ 7л + 39) = О,
л2- 4 л - 3 = 0.
— = 4 + 3 = 7. л = 2 ± л/7 .
4
л3+ л2+ 7л + 39 = 0.
114
Поделим этот многочлен на х + 3 уголком:
(л" + 3)(.v“ —2.v I 13) = 0,
,
D ,
,у = -3
или
—= 1-|3=_| ■= - - 8 = - = 4 , 8 .
З.у
л5
5
Половину забора первый покрасит за 4 ч, а второй свою по
ловину за 2,4 ч. Общее время при поочередной работе 4 ч + 2,4ч =
= 6,4 ч.
О т в е т : 6,4 ч.
(108) Текстовые задачи. № 8.
Пусть он родился в 19лу году.
9.Yу - произведение цифр его года рождения.
1990- 19лу = 1900 + 9 0 - 1900- Юа -> ' = 9 0 - \0 х-у .
118
9xy = 90 - 10.v - у.
9.yv +v = 90 - 10.v,
v(9.y + 1) = 90 -- IO.y,
-9.y -1 + 91 - .y _ 91 - .V
-1 .
У=
97+4
“ 9.v + 1
1).v= 0
>'= 90 нет
6).v= 5
40/46
7.).v= 1
у = 8. (1918 r.) 7).y = 6
30/55
3) x = 2
70/19 дробь
8) л-= 7
20/64
4) -V= 3
60/28 дробь
9) л-= 8
10/73
5) a = 4
50/7
10) a-= 9
v = 0. (1990 r.)
О т в е т : 1918 или 1990.
(109) Текст овые задачи. № 9.
Время распила и время колки дров обратно пропорциональ
но количеству, поскольку 1\ : ь = 8 : 5. Время распила составляет
8
_
. 8 40
— всего дня и за это время оудет распилено 5-— = — (поле13 13
13
нец) = 3 — поленец.
13
ГА
- 1
О т в е т : 3 — поленец.
13
(ПО) Текстовые задачи. № 10.
£ ______ 1
1’
п -1 +1— +
—
t„
п
1 1
1
—+ — + ... + —
/, U
/..
ОТЕ
П
1 1
1
---- 1-------h ... Н----^I
^/1
119
( Il l ) Текстовые задачи. № 11.
Плот
Катер
х/км
(4.v - л')/км
А
С
В
Катер
(4д- - д-)/км
1-й способ.
Пусть х км/ч - скорость течения реки и АВ = а км;
4г км/ч - скорость катера в стоячей воде; 5х км/ч - скорость
катера по течению реки;
3.Vкм/ч —скорость катера против течения реки;
allV+ 3.y) = а/(4х) - время до встречи в С.
АС = а/(4х) ■х = а/4(км); За/4 (км) = ВС;
0,75а/(5л-) = За/(20х) (ч) - время катера на путь ВС;
За/(20х) (км) —путь, пройденный плотом за это время;
а/4 + За/20 = 8а/20 = 2а/5 (км) — весь путь, пройденный
плотом;
2а/5/а = 2/5 —часть пути А В, которую прошел плот.
2- й способ.
На отрезке АВ плот движется в 3 раза медленнее катера
и до встречи пройдет путь втрое меньший: АС = а/4 км, ВС =
—За/4 км. На отрезке ВС плот движется в 5 раз медленнее кате
ра и до встречи пройдет путь в 5 раз меньший, чем катер,
то есть За/20км. Весь путь, пройденный плотом, равен а/4 + За/20 =
= 2а/5(км), что составляет 2/5 пути АВ.
О т в е т : 2/5 пути АВ.
(112) Текстовые задачи. № 12.
Сложим два шнура АВ и А|В] сонаправленно ( г. е. с одина
ковой степенью сгорания в направлениях от А к В и от А, к ВО.
120
Ai
С
В
1) Поджигаем А и В|. Огоньки встречаются в точках С и С'|.
Время сгорания tB. Сд, = /Д(, = tAC^ = tCB. Поэтому остатки СВ
и С|А| догорят за то же время, значит, tM = /а
= / 1С = /(Т) =
= 30 с.
2) В момент встречи огоньков в точках С и С, поджигаем А,
и В. Теперь СВ и С]А; горят с двух концов и сгорают одновре
менно вдвое быстрее, т. е. за 15 с. К моменту их общего полного
сгорания пройдет 30 с + 15 с = 45 с.
(113) Текстовые задачи. № 13.
В системе координат, связанной с течением реки, пловец
проплыл 10 мин в одном направлении и 10 мин обратно. Общее
время 20 мин. Для мяча время будет таким же. Получаем, VTC., =
= 1000 м : 20 = 50 м/мин.
О т в е т : 50 м/мнн.
(114) Текстовые задачи. № 14.
3
Если человек пробежит в направлении В моста, то к этому
8
моменту автомобиль попадет в точку А и до момента встречи
5
3
1
в В человеку остается пробежать — — — - — моста, а автомо
биль должен будет проехать весь мост. Поэтому скорость, с ко
торой бежит человек в 4 раза меньше скорости автомобиля.
60 км/ч : 4 = 1 5 км/ч.
О т в е т : 15 км/ч.
121
(115) Текстовые задачи. № 15.
До первой встречи они вместе проехали АВ, а до второй ЗАВ. Поэтому первый проехал до второй встречи 70 км ■3 =
= 210 км. Еще ему оставалось проехать 40 км. Всего 210 км +
+ 40 км = 250 км, и это 2АВ. 2АВ = 250 км, АВ = 125 км.
О т в е т : 125 км.
(116) Текс товые задачи. № 16.
у км/ч - скорость связного, Л’ км/ч - скорость колонны.
5
5
12 5-2у _ 12
-------------- 1---------------— ------- ,
“
— — ------- ,
у - X у + X х у - Л'~ л*
5ху = 6v” - б.т2, 6_у2 - 5ху - 6.Y2 = 0, — = t,
6 Г - 5 1 - 6 = 0,
Z> = 25+144 = 169. t = ^ ^ , / = - , L = - , y = I.5.V.
12 ’
3 ’ л- 3
Так как колонна прошла 12 км, а скорость связного в 1,5 раза
больше, го и проехал он в 1,5 раза больше 12-1,5 = 18 (км).
О т в е т : 18 км.
(117) Текстовые задачи. № 17.
,v км/ч, у км/ч, 2 км/ч - скорости 1, 2 и 3-го автомобилей. В на
чале выхода 3-го расстояния .т км и у км, а через час cl\s - 2т - 2,
d r ] =
2 у
{
— г .
х = 3)
у = 4.1
4.Т-3у = \ 2 х - 12у,
122
1)
Значит, отношение скоростей будет - .
8
9
Ответ: - .
8
(118) Текстовые задачи. № 18.
V\ + V i= 140 км/ч.
5 = 1 4 0 км/ ч - 6 с = 1 ^ = 1 ^ = 1 ^ 1 = М _ 23з 1
3,6
0,6
3
3
"
3
(м).
О т в е т : 233—м.
3
(119) Текстовые задачи. № 19.
3 3 9
/. = - + - = - = 2,25 (ч).
1 4 2 4
4.V + 2т = 6 , 6.Y = 6 , .т = 1; 2т = 2 (ч). Ь = 2 ч.
2,25 - 2 = 0,25 (ч).
О т в е т : Гриша пришел в школу на ‘А часа раньше.
(120) Текстовые задачи. № 20.
Пусть .т - студентов, у - студенток, г - скамеек, к - студентов
на каждой скамейке,
z = к+ 1,
70 < z + /cz < 90,
70 < z(k + 1) < 90,
70 < (к + 1)2< 90,
(к+
1)2= 81Д + 1 = 9 Д = 8,
z = 9,
9 + 8 - 9 = 81.
О т в е т : 81 человек, 9 скамеек.
(121) Текстовые задачи. № 21.
1) Сколько процентов учащихся владеют только языком Бей
сик?
8 5 % - 7 5 % = 10%.
123
2) Сколько процентов учащихся владеют только языком
Паскаль?
80 % - 75 % = 5 %.
3) Сколько процентов учащихся не владеют ни одним язы
ком?
100 % - 10 % - 5 % - 75 % = 10 %.
О т в е т :
10%.
(122) Текстовые задачи. № 22.
Спирт
Вода
Было 0,7а спирта, 0,3а воды. (0,7а - 11) г - осталось спирта,
(0.3а - I) г - осталось воды, г г добавили.
0,96г т - добавили спирта,
0,04- г - добавили воды.
(0,7а - 1 1 + 0,96z) г - стало спирта, (0,3а - 1 + 0,004z) г - ста
ло воды.
Зная, что концентрация спирта стала прежней, получаем:
0 , 7 а - 11 + 0,96z 7
0 ,3 а - 1+ 0,04z " 3 ’
0,21а - 33 + 2,88z = 0,21а - 7 + 0,28z,
2,6z = 33 - 7,
26z = 260, z = 10.
О т в е т : 10 г.
124
(123) Текстовые задачи. № 23.
Л- %
ху %
XV2 %
Пусть первый раствор содержит ,v % спирта, второй - лгу %,
а третий - х}’2 %. Если смешать первый, второй и третий раство
ры в весовом количестве 2:3:4, то получится: 2а л, За л, 4а л.
Всего 2а + За + 4а = 9а (л).
о/
т
2 а 'х
х % от 2а л : ------ л,
100
п/
,
За ■ху
ху % от За л : --------л,
100
2
.
4а •.V)'2
ху % от 4а л : ------1— л,
100
32 % от 9а л •
-3—л. По условию задачи получаем:
100
2а •.т За •.уу
100
+
100
4а •ху2 _ 9 а -32
100
100
2т + З.уу + 4ду 2=9 - 3 2 .
125
Если же смешать их в весовом соотношении 3:2:1 , го полу
чится 3/> л, 2ft л, ft л.
3ft ■.г
х % от 3 ft л :
- л,
.
2ft •ли’
лт % от 2ft л : ------ —л,
100
XV2% от ft л :
- л,
100
3ft + 2ft + ft = 6ft (л).
22 % от 6ft л :
6ft -22
100
Получится раствор, содержащий 22 % спирта.
36-х
Т(Ю~
2Ь-ху
100
Ь-ху2 66-22
100 ~ 100 л
Зх + 2.VV+ .ту2=6- 22.
Составим и решим систему уравнений:
Jx(2 + 3 v + 4 v2) = 288,
|х(3 + 2у + у 2) = 132.
2 + Зу + 4у 2
3 + 2_у + у 2
24
11 '
(2 + Зу + 4у2) ■11 = (3 + 2у + у 2) • 24,
44т2+ ЗЗу + 22 - 2 4 / - 48у - 72 = 0,
20у2 - 15у -50 = 0,
4у2- Зу-10 = 0.
£> = 9 + 1 6 0 = 169
У],2
3 ± 13
-ю
~
8
8
Получили у = 2.
х(3 + 4 + 4) = 132,
126
11а = 132. .v —12.
О т в е т :
12% .
(124) Текстовые задачи. № 24.
Пусть всего только одни человек получил премию, а всего
работает .Vсотрудников.
100
100% , )о
2, 9а 0,
х —1
+ 0,7 0,
< 0;
17.Т-24
л— 2
3.V+ 4
л -2
.V-1> 0,
< 0;
17 > 0,
д—2
,с + 1л-- 2
133
- < 0.
Получили (-со; 1— ) и (2; +»).
+
+
■©--------------- З
■е-
получили
1
а
-
( —1—; 2).
Найдем решение системы:
__ > v
1
7
Получили ( —1—; 1— ).
3
17
1
7
3
17
О т в е т ; ( —1—; 1— ).
(137) Неравенства. № 2.
Решим неравенство методом интервалов.
f(n) = (n2- 1)(л2- 11)(и2—101 )(и2 —1001).
f(n) = 0 при п = —-ч/ГооТ, п = —л/ТоТ, п = - VlT, п = -1, п = 1,
я = л/ГI, /7 =
л/ТоТ , 77= л/100 1 .
134
- vTooT-'/kh
-1
i
sju
ч/ioT -Леки
Получили ±2, ±3, ±11,+12,..., ±31. 2 3 -2 = 46.
О т в е т : 46.
(138) Неравенства. № 3.
Умножим обе части данного неравенства на -1 :
х~- 9
Решим неравенство методом интервалов:
1л-+ 2|—Ы
1) Обозначим f(x) = ----- г ------ ■
,г - 9
2) Найдем D(f). х~ ф 9,.y ф -3,.т ф 3 ,
D(j) = ( - » ; - 3 ) U (-3; 3) и (3; +оо).
3) Определим, где f(x) = 0.
|.v + 2| = |.v|
д- + 2 = л-
или
л + 2 = -т,
2= 0
2.\- = -2
ложно
X
—
,
—1.
4)
-3
. / ( 4 ) ^ Л > 0.
1 6 -9 7
5) Значит, ——J
-1
3
0 на (-= о ;-3) w [-1; 3).
'.V - 9
Сумма натуральных решений будет 1 +2 = 3.
От в е т : 3.
135
(139) Неравенства. № 4.
Получили (-5;-3)и(1;-ю о).
Получили (-о о ;-4 )и (—3; 1).
3) Так как оба условия должны выполняться одновременно,
то найдем значения п, при которых выполняются оба условия.
-
5
-
4
-
3
1
Получили значения N, при которых одновременно выполня
ются оба условия -5 < к 0,
[(.V - 2 )(л - 3) > 0,
[л-2 - 5л < 6;
■V' - 5л- + 6 < 0;
1(л + I)(л - 6) < 0.
а)
Получили (^хз; 2) и (3 ; +оо);
б)
Получили (-1; 6).
Найдем решение системы.
- 1
2
3
6
Решение системы будет (-1; 2) и (3; 6).
О т в е т : (-1; 2) и (3 ; 6).
(141) Неравенства. № 6.
tA- t + - = /4 *-Г + - + Г - / + - = ( г - - ) : + П - - ) 2 > 0.
2
4
4
2
2
Равенство не достигается.
(142) Неравенства. JVs 7.
21995 _ 27-285_ (27)285= 128285> 125285= 53'285= 5855> 5854.
Значит, 2да5> 5854.
(143) Неравенства. № 8.
1-й способ. Пусть f(x) = ах1 + Ьх + с, тогда по условию имеем
Д1)._Д0) < 0, то есть на промежутке от 0 до 1 график функции
137
пересекает ось ОХ, то есть два корня у уравнения ах2 + ах + с = О,
а это значит, что D > О, Ь2 - 4ас > 0, 1г > 4ас и т. д.
2-й способ. По условию ас + Ьс + с2 < О,
4ас + 4Ьс + 4с2 < О,
Лас < -ЛЬс - 4с2(*).
Докажем, что -ЛЬс - Ас2 < 1г(**).
На самом деле -ЛЬс - Ас2 - Ь2 < 0.
4с2 + Ьс2 + > О,
(4с + Ь) > 0 очевидно.
Из (*) и (**) имеем, если 4ас < -ЛЬс - Ас1 и -ЛЬс - с2 < Ьг,
то 4ас < -ЛЬс - 4с2 и -ЛЬс - Ас2 < Ь2, то 4ас < Л2, значит, Ь2 > Лас
и т. д.
(144) Неравенства. № 9.
Применяем теорему о среднем арифметическом и среднем
геометрическом.
а4+ 64> 2стЬ~,
а4+ /;4+
Последние комментарии
2 часов 50 минут назад
3 часов 10 минут назад
3 часов 35 минут назад
3 часов 39 минут назад
13 часов 9 минут назад
13 часов 13 минут назад