Геометрия. Дидактические материалы. 7 класс [Валерий Александрович Гусев] (pdf) читать онлайн

В. А. Гу сев
А. И. МедяниИ

D

О

В. А. Гусев

А. И. Медяник

ГЕОМЕТРИЯ
АНАЛИТИЧЕСКИЕ
МАТЕРИАЛЫ

Учебное пособие
для общеобразовательных
организаций

17-е издание

МОСКВА
« ПРОСВЕЩЕНИЕ »

2020

6+

УДК 373.5.016:514
ББК 74.262.21
Г96

Рецензент

учитель-методист школы № 67 Москвы Л. И. Звавич

Г96

Гусев В. А.
Геометрия. Дидактические материалы. 7 класс :
учеб, пособие для общеобразоват. организаций / В. А. Гу­
сев, А. И. Медяник. — 17-е изд. — М. : Просвещение,
2020. — 80 с. : ил. — ISBN 978-5-09-076815-3.
Данное пособие содержит дополнительный заданный материал
по курсу геометрии 7 класса. Оно ориентировано на учебник
А. В. Погорелова «Геометрия. 7—9 классы».
Пособие содержит 25 самостоятельных работ, составленных как
к основным пунктам учебного пособия по геометрии, так и ко всем
его параграфам, одиннадцать дифференцированных заданий по ос­
новным разделам курса и систему дополнительных задач к каждо­
му параграфу пособия.
УДК 373.5.016:514
ББК 74.262.21

ISBN 978-5-09-076815-3

© Издательство «Просвещение», 1995
© Издательство «Просвещение», 2016,
с изменениями
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2003, 2019
Все права защищены

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основной целью пособия является помощь учителю в
организации самостоятельной работы и контроля знаний
учащихся на уроках и вне их. Задания составлены с учётом
выделения главных и наиболее важных разделов курса.
Самостоятельные работы предназначены для обучения
семиклассников самостоятельному решению задач по толь­
ко что изученному материалу, способствуют его повторе­
нию и закреплению. Задачи, содержащиеся в работах, мо­
гут быть также использованы как индивидуальные задания
при опросе и в качестве домашних заданий. Многие из
предлагаемых заданий помогают отрабатывать практиче­
ские умения и навыки учащихся, однако учителю каждый
раз следует внимательно следить за обоснованностью и чёт­
костью выводов. Каждая самостоятельная работа рассчита­
на на 10—15 мин.
Представление о содержании самостоятельной работы
даёт следующее распределение их по темам:
С-1. Точка и прямая. Отрезок.
С-2. Измерение отрезков. Полуплоскости.
С-3. Угол.
С-4. Треугольник.
С-5. Параллельные прямые.
С-6, С-7. Основные свойства простейших геометрических
фигур (§ 1).
С-8. Смежные углы. Вертикальные углы.
С-9, С-10. Смежные и вертикальные углы (§ 2).
С-11. Первый и второй признаки равенства треугольников.
С-12. Равнобедренный треугольник.
С-13. Применение признаков равенства треугольников к ре­
шению задач.
С-14, С-15. Признаки равенства треугольников (§ 3).
С-16. Углы при параллельных прямых и секущей. (Ко вто­
рым заданиям можно дать рисунки.)
С-17. Сумма углов треугольника. Внешний угол треуголь­
ника.
С-18, С-19. Сумма углов треугольника (§ 4).
С-20. Окружность. Касательная к окружности.
С-21. Построение циркулем и линейкой треугольника и
угла, равного данному. Стороны треугольников обозначены
а, Ъ и с, а углы, лежащие против этих сторон, — а, Р, у
соответственно.
С-22. Деление циркулем и линейкой отрезка пополам. По­
строение циркулем и линейкой перпендикулярной прямой.
С-23. Геометрическое место точек. Метод геометрических
мест.
С-24, С-25. Геометрические построения (§ 5).
3

С целью учёта индивидуальных особенностей школьни­
ков самостоятельные работы даются в четырёх вариантах,
причём первый из них самый простой, а четвёртый — наи­
более сложный. Второй и третий варианты имеют проме­
жуточную сложность и являются примерно равноценными,
что позволяет использовать их одновременно. В случае не­
обходимости можно использовать одновременно и работы
разной сложности, включая и наиболее простую. Но это
вовсе не предполагает постоянное деление класса на сла­
бых, средних и сильных учащихся. Такое деление являет­
ся весьма условным и рассматривается как временное. При
проведении самостоятельной работы варианты должны
быть распределены так, чтобы могли развиваться способ­
ности всех без исключения учащихся. Критерий такого
распределения сводится к тому, чтобы для каждого учени­
ка работа была посильна, т. е. реально выполнима, но тре­
бовала напряжения и усилий для её выполнения.
Предполагается, что учитель во время выполнения уча­
щимися самостоятельной работы будет консультировать
учеников, если это окажется необходимым. Самостоятель­
ные работы носят обучающий характер. Поэтому учитель
в зависимости от поставленной им цели и от подготовки
учащихся может предложить для решения в классе лишь
часть из заданий самостоятельной работы.
Если в условии задачи не говорится, при помощи каких
инструментов следует выполнять построение, то ученик мо­
жет воспользоваться любым из инструментов: линейкой,
циркулем, угольником, транспортиром.
Время, необходимое для выполнения заданий самостоя­
тельных работ, существенно зависит от требований к
оформлению решения задач и набора инструментов, с по­
мощью которых выполняются построения. Поэтому уча­
щимся нужно чётко указывать эти требования. При выпол­
нении заданий на построение от учащихся не всегда
следует требовать описания построений. При решении за­
дач на вычисление и доказательство учащиеся должны
кратко записать решение.
Оценка работы проводится учителем с учётом самосто­
ятельности её выполнения. Если самостоятельная работа
носила обучающий характер, то неудовлетворительные
оценки не выставляются.
Особое место в системе самостоятельных работ занима­
ют самостоятельные работы к параграфам, которые призва­
ны помочь контролю усвоения всего материала параграфа.
Эти работы, составленные по две к каждому параграфу,
могут рассматриваться как подготовительные к выполне­
нию контрольных работ. Время, необходимое для их вы­
полнения, — 15—20 минут. Учитель по своему усмотрению
4

может использовать задания, предложенные в этих рабо­
тах, при составлении контрольных работ.
Дифференцированные задания являются естественным
продолжением и развитием самостоятельных работ. Но если
разделение на варианты при составлении и проведении само­
стоятельных работ сталкивается с трудностями учёта инди­
видуальных особенностей учащихся, то дифференцирован­
ные задания учитывают их автоматически. В то же время
такие задания предполагают более высокий уровень разви­
тия учащихся, так как направлены на развитие у них логи­
ческого мышления. Следует добавить, что дифференцирован­
ные задания помогут успешнее овладеть строго дедуктивным
школьным курсом геометрии в учебнике А. В. Погорелова.
Цель дифференцированных заданий состоит в том, что­
бы не только способствовать развитию логического мышле­
ния обучающихся, но и контролировать уровень такого
развития, что очень важно для всего учебного процесса.
Структура заданий позволяет выявить учащихся, склон­
ных к дедуктивному мышлению, способствует дальнейше­
му их развитию и помогает подтянуть до более высокого
уровня остальных. Такие задания приучают к последова­
тельности в мышлении, к его чёткости и точности.
К одной и той же теме в некоторых случаях даётся от
двух до четырёх вариантов.
В пособии три типа дифференцированных заданий.
В заданиях первого типа требуется доказать четыре
утверждения. Первое утверждение — самое простое, а чет­
вёртое — наиболее сложное (оно предназначено для хорошо
успевающих учащихся). Доказательство каждого последу­
ющего утверждения опирается на предыдущие. Иногда это
специально подчёркивается в тексте задания. Задания это­
го типа можно отнести и к обучающим, так как они вы­
рабатывают умения аргументировать, доказывать. В этих
заданиях схема доказательства последующих утверждений
определяется структурой самого задания.
Дифференцированные задания этого типа являются
одной из форм к о л л е к т и в н о й деятельности учащихся^.
Отличительной особенностью выполнения этих заданий
является одновременное участие в его выполнении всех
учащихся. Организация такой общей работы сопряжена^с
большими трудностями (установление личностных связей,
взаимопонимание, осуществление контроля и оценки), од
нако она позволяет консолидировать внимание и силы все­
го коллектива, показывая всем одновременно их достиже­
ния и ошибки.
При выполнении дифференцированных задании первого
типа соотношения индивидуальной и коллективной дея
тельности учащихся могут быть различными. Здесь велика
5

роль учителя в обеспечении высокого уровня самостоятель­
ности при выполнении заданий к аж д ы м учащ им ся отдель­
но и в то ж е время в постоянном вовлечении всего класса
в поиск, в понимание полученны х результатов и чёткости
постановки новых задач.
Использовать дифференцированные задан и я этого типа
учитель может к ак на уроке, так и во внеклассной работе.
Эти задания можно предлож ить взамен соответствующих
самостоятельных работ, потребовав от учащ и хся выполне­
ния определённого количества заданий (наприм ер, двух или
трёх). Оставшиеся задания могут быть предлож ены для са­
мостоятельной работы дома. Важно, чтобы вне зависимости
от возможностей отдельных учащ ихся весь коллектив клас­
са представлял себе всё задание целиком , поним ая полу­
ченные результаты. Д ля этого учитель долж ен найти время
и оценить возможности каж дого учащ егося отдельно.
К дифференцированным заданиям первого типа относят­
ся задания Д-1, Д-2, Д-3, Д-4, Д-5, Д-6, Д-7 (вариант 1),
Д-8, Д-9, Д-10 (варианты 1 и 2), Д-11.
В дифференцированных заданиях второго т и п а пред­
лагается найти по два существенно различны х доказатель­
ства одного и того ж е утверж дения (отдельные учащ иеся
могут найти больше таких доказательств). З адан и я второго
типа являю тся творческими, так к ак в них учащ им ся надо
найти идею доказательства.
При выполнении заданий этого типа мож ет быть ис­
пользована г р у п п о в а я работа. Она позволяет наиболее
полно реализовать основные условия коллективности: осоз­
нание будущей цели, целесообразное распределение обязан­
ностей, взаимосвязь и контроль.
Большое значение для успеха групповой деятельности
имеет понимание учащ имися её конечной цели и последо­
вательности всего процесса. Учитель долж ен поставить за ­
дачу дл я всего класса, а затем дать основные направления
поиска доказательств для соответствующих групп учащ их­
ся (например, по рядам). П ри этом направления поиска
долж ны быть чётко определены, хотя целесообразно остав­
л ять некоторые положения для творческого поиска самими
учащ имися. После выполнения заданий отдельными уча­
щ имися необходимо разобрать все полученные варианты
доказательств. Часто проводить такую работу на уроках, к
сожалению, не удаётся, поэтому эту работу можно прово­
дить на внеклассны х и ф акультативны х зан яти ях. К диф ­
ференцированным заданиям этого типа относятся задания
Д-7 (вариант 2) и Д-10 (вариант 4).
Д ифференцированные задания третьего т и п а носят
ярко вы раж енны й к о л л е к т и в н ы й характер их выполне­
н и я. Эти задания состоят из одной задачи, но из-за её тру-

6

доём кости к реш ению п р и влекается весь класс. К о л лекти в­
н ы е дей ствия здесь вы ступаю т на первы й п лан, что
создаёт благоп риятны е условия д л я сбли ж ен и я уровней
р азв и т и я отдельны х у чащ и х ся. У читель по своему усмотре­
нию разбивает класс (или группу учащ и х ся, зан им аю щ и х­
ся в к р у ж к е и ли ф акультати ве) на необходимое количество
групп , определяемое числом возм ож ны х направлений вы ­
п олн ен ия зад ан и я. П ри этом необходимо, чтобы весь к о л ­
л ек т и в пони м ал к а к саму задачу, так и предлагаем ы е н а­
п равл ен и я и сследования (реш ения). Успех вы полнения
зад ан и я зави си т к а к от умелого руководства учителем от­
дельн ы м и группам и учащ и х ся, так и от чёткого подведе­
н и я итогов проделанной у чащ им ися работы. Задание тако­
го ти п а только одно — Д-10 (вариант 3).
Р азд ел доп ол н и тел ьн ы х зад ач развивает систему задач,
и м ею щ ихся в учебнике А. В. П огорелова. Эти задачи р ас­
пределены по параграф ам . В конце пособия даны ответы,
у к азан и я и реш ен и я. Д ополнительны е зад ан и я могут быть
п редлож ен ы д л я самостоятельной работы у чащ им ся, успеш ­
но сп равл яю щ и м ся с задачам и учебника. Кроме этого, д ан ­
н ая система задач м ож ет быть рекомендована д л я проведе­
н и я к р у ж к о в ы х зан яти й и при организации ф акультативов.
Н аиболее слож н ы е задачи отмечены звёздочкой (*).
Пособие содерж ит 4 контрольн ы е работы по курсу гео­
м етри и д л я 7 кл асса. Сформулируем основные требования,
к оторы м и м ы руководствовались при их составлении.
1. В к аж д о й контрольной работе долж на бы ть чётко вы ­
делен а т а часть, которая проверяет обязательны е результа­
ты обучения. В связи с этим учитель долж ен совершенно
ясно п редставлять тот м атери ал, которы й считается этим
обязательн ы м уровнем (для каж д ой контрольной работы
м ы его назовём , но здесь не долж но бы ть категоричности
в определении уровня, т а к к а к учитель в зависимости от
условий м ож ет этот уровень менять).
2. З ад ач и , отраж аю щ и е обязательны й уровень результа­
тов обучения, дол ж н ы бы ть составлены т а к , чтобы при их
вы п олнен ии учащ и м и ся было ясно видно, к а к и м приёмом
(и ли приём ам и) учен и к не владеет. В предметны х ко н т­
рол ьн ы х работах эти задачи отмечены круж очком .
3. В аж но, чтобы учитель представлял, како в уровень
требований к задачам , вклю чаем ы м в контрольную работу,
за вы полнение которы х м ож ет быть поставлена оценка
«хорошо» и ли «отлично». Эти задачи долж ны носить н е­
стан дартн ы й , творческий характер.
4. Все вариан ты контрольн ы х работ рассчитаны на их
одновременное использование.
К он тр о л ьн ая раб о та № 1 по тем е «Основные свойства
п ростейш и х геом етрических фигур»
7

Н а уровне о б я зател ь н ы х р е зу л ь т а т о в о б у ч е н и я в этом
параграф е м ож ет бы ть д в а вопр о са:
а) свойство и зм ер ен и я д л и н о т р е зк о в (п р о в е р я е т с я свой ­
ство аддитивности д л и н о тр езк о в);
б) свойство и зм ер ен и я в е л и ч и н у гл о в (п р о в е р я е т с я свой­
ство аддитивности и зм е р е н и я у гло в ).
О пределение рав н ы х т р е у го л ь н и к о в у м естн ее п р овер ять
при изучен и и п р и зн ак о в р а в ен ств а т р е у г о л ь н и к о в .
По усмотрению у ч и т е л я о б я за т е л ь н ы е з а д а н и я этой
работы могут бы ть усл о ж н ен ы по о б р азц у за д а ч № 15 (4),
26 (4) к § 1 учеб н ика.
К о н трол ьн ая р аб о та № 2 п о т е м е « С м еж н ы е и в е р ти ­
к а л ь н ы е углы »
Н а уровне обязател ьн ы х р езу л ьтато в о б у ч е н и я в этом
п араграф е два вопроса:
а) определение см еж н ы х угло в и п р и м е н е н и е теоре­
м ы 2.1;
б) определение в ер ти к а л ь н ы х угло в и п р и м е н е н и е тео­
рем ы 2.2.
К он трол ьн ая раб о та № 3 по тем е « П р и зн а к и р а в е н с т в а
треугольников »
Эта к онтрольн ая работа охваты вает довольно зн а ч и т е л ь ­
ны й м атери ал програм м ы . Н а уровне о б я за т е л ь н ы х р е зу л ь ­
татов обучения м ож но вы нести следую щ ие вопросы :
а) п онятие равенства треу го льн и ко в (без к о торого бес­
смы сленно говорить о п р и зн а к а х равенства);
б) прям ое прим енение п р и зн ак о в равен ства тр е у го л ь н и ­
ков;
в) определение равнобедренного тр е у го л ь н и к а и п р и ­
м ен ен ие теоремы 3.3 (о равенстве углов п р и о сн ован ии
в равнобедренном треугольнике).
З ам ети м , что в одной работе н а уровне о б я зател ь н ы х
резул ьтатов обучения п роверить все три вопроса трудно.
В п редлож ен н ой работе м ы проверяем то л ько п у н к т ы а)
и б). П ровери ть владени е п у нктом в) п р ед став ляется воз­
м о ж н ы м п ри проведении соответствую щ ей сам о сто ятел ь­
ной работы , а т а к ж е при вы п олнен ии тр етьи х зад а н и й
кон трол ьн ой работы .
К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 4 п о тем е «С умма угло в т р е ­
угольн и ка»
Н а о б язател ьн ом уровне обучен ия после и зу ч е н и я м а т е ­
р и а л а этого п а р а гр а ф а м о ж н о в ы н ести следую щ ее:
а) ум ен и е н аходи ть вн у тр ен н и е н ак р ест л е ж а щ и е и
односторонние у гл ы п р и п ересечен ии п а р а л л е л ь н ы х п р я ­
м ы х сек ущ ей и непосредственное п р и м ен ен и е п р и зн а к о в
п арал лел ьн ости п р я м ы х (теорем ы 4 .2 и 4.3 );
б) непосредственное п р и м ен ен и е теорем ы 4 .4 , в том ч и с ­
л е и д л я п рям оугольн ого тр еу го л ь н и к а.
8

С А М О С ТО Я ТЕЛЬ Н Ы Е РАБОТЫ

В ар и ан т 1
С-1
О тметьте н а листе бумаги две точки В и Р.
а) П роведите через точки В и Р прямую .
б) О тметьте на п рям ой В Р две точки , прин адлеж ащ и е
отрезку В Р .
С-2
1. Н а прям ой даны три точки А , С и В . И звестно, что
А В = 15 см, ВС = 6 см, А С = 9 см. П ринадлеж ит ли точка В
отрезку АС?
2. Д ан а п р ям ая а. Отметьте две точки А и В , яе п р и ­
н ад л еж ащ и е прям ой а , т а к , чтобы отрезок А В пересекал
прям ую а.
С-3
1. Н а ри сунке 1 изображ ён угол.
О пределите н а глаз градусную меру
этого у гл а. П роверьте ваш ответ, и з­
м ери в угол транспортиром.
2. П остройте угол в 45°. Возьмите
н а к аж д о й его стороне по одной точ­
к е и соедините и х отрезком . П рове­
ди те л уч, п роходящ ий м еж ду сторо­
н ам и этого угла. Н айдите образовав­
ш и еся утлы .
3. М еж ду сторонами угла (аЬ), равного 40°, проходит
л уч с. Н айдите углы (ас) и (Ьс), если угол (Ьс) меньш е угла
(ас) н а 15°.
С-4
1. Н а ри сунке 2 изображ ены три
отрезка. Есть ли среди этих отрезков
равны е? Ответ объясните.
2. A A B C = A A jB j C l А А = 60°,
В С = 10 см , А С = 77°. О предели те
углы А 1 и Cj и сторону В 1С1 треуголь­
н и к а А 1В 1С1.
9

С-5
Н а ри сунке 3 дан ы п р я м а я а и
точка В, не л еж ащ ая на ней. П ользуясь
л и н ей к о й и у го л ь н и к о м , п р о в е д и ­
те прямую , параллельн ую п р ям о й а
и проходящ ую через точку В.

Рис. 3

С-6
1. Среди отрезков А В = 1,5 см, В С — 2 см , С В = 2 ,5 см,
D E = 2 см, Е Р = 1,5 см, B E = 2 ,5 см н ай д и те равны е.
2. Треугольники А В С и D E F равны .
а) Известно, что утлы тр еу го льн и ка А В С р авн ы : А А =
= 35°, А В = 50°, АС = 95°. Н айдите углы тр еу го льн и ка D EF.
б) И звестн о, что у гл ы т р е у г о л ь н и к а D E F р ав н ы :
A D = 85°, А Е = 50°, A F = 45°. Н ай д и те у гл ы т р е у го л ь н и ­
к а ЛВС.
С-7
1. Среди углов А Л = 22°, А В = 40°, АС = 38°, А Е = 40°,
A D = 38°, А Р = 22° найдите равны е.
2. Т реугольники ЛВС и К Р М равны .
а) Известно, что стороны треугольн и ка К Р М К Р = 2 см,
Р М = 4 см, К М = 5 см. Н ай д и те стороны т р е у г о л ь н и ­
к а АВС .
б) Известно, что стороны треугольн и ка ЛВС В А = 4 см,
ЛС = 6 см, ВС = 7 см. Н айдите стороны треугольн и ка К Р М .
С-8
1. П остройте два см еж н ы х у гл а и н ай д и те и х м еру
в градусах.
2. Д ан угол А В С , равны й 40°. П остройте угол, верти ­
к ал ьн ы й с ним. Ч ем у равен этот угол?
С-9
1. Н айд ите углы , см еж ны е с углам и: 15°, 24°, 48°, 69°,
85°, 100°. К аком у из дан н ы х углов соответствует м еньш ий
см еж н ы й угол?
2. М огут л и д ва см еж н ы х у гла быть равны м и: а) 65°
и 115°; б) 72° и 88°; в) 91° и 99°?
3. Н ай д и те см еж н ы е у гл ы , если и х градусн ы е меры
отн осятся к а к 7 : 8.
10

С-10
о1- Н айдите углы , см еж ны е с углам и: 160°, 145°, 123°,
94 , 72 , 60 , К аком у из дан н ы х углов соответствует боль­
ш и й см еж ны й угол?
2. М огут ли два см еж ны х угла быть равны м и: а) 75°
и 85°; б) 94° и 96°; в) 83° и 97°?

С-11

2. В треугольн и ке А В С проведена высота B D (рис. 5).
И звестно, что A A B D = A C B D . Д окаж и те, что A A B D = A C B D .
С-12
1. П ерим етр равнобедренного треугольника равен 20 см.
Его боковая сторона в 2 р аза больше основания. Н айдите
стороны этого треугольника.
2. У равнобедренны х треугольников А В С и А 1В 1С1 рав­
н ы основания А В и А 1В 1 и A B A C = А В 1А 1С1. Д окаж и те, что
эти треугольн и ки равны .
С-13
1. Т очки А и С л еж а т в разн ы х полуплоскостях относи­
тельно п р ям о й B D . И звестно, что А В ~ СВ и A D = CD.
Д о к аж и те, что A B A D = A B C D .
2. П р я м ая , п ерпен ди кулярн ая биссектрисе у гла О, пере­
секает стороны угла в точках А и В , а биссектрису в точ­
ке С. Д о к аж и те, что биссектриса угла делит отрезок А В
пополам .
И

С-14
1. Н азовите треугольн и ки ,
р авн ы е т р е у г о л ь н и к у А В С
(рис. 6), и у к аж и те п р и зн ак ,
по которому они равны .
2. Т р еу го л ьн и к и А ВС и
А гВ гС j р ав н о б ед р ен н ы е , с
основаниями А В и А 1В 1. По
каком у п ри зн ак у равны эти
треугольники, если:
а) А В = А 1В 1, А В = А В 1;
б) ВС = B j C j , АС = А С Х\
в) А В = А 1В 1, А С = A jC j ?
С-15
1. Н азовите треугольники,
р авн ы е т р еу го л ь н и к у А В С
(рис. 7), и ук аж и те п ризн ак,
по которому они равны .
2. Т реу го л ьн и к и АВС и
А 1В 1С 1 р ав н о б ед р ен н ы е , с
основаниями АС и А 1С1. По
каком у п ри зн ак у равны эти
треугольники, если:
а) АС = А 1С1, АС = А С г;
б) АВ = А 1В 1, A B = A B t ;
в) А С = А 1С1, ВС = В 1С1?

В,

С-16
1. В нутренние односторонние углы , образованны е при
пересечении двух п араллельны х п рям ы х третьей п рям ой,
относятся к а к 2 : 3 . Ч ем у равны эти углы ?
2. О трезки АС и B D пересекаю тся в точке О т а к , что
А О = ОС. И звестно, что АВ || DC. Д окаж и те, что OB = OD.
С-17
1. В равнобедренном треугольн и ке угол при верш ине,
п роти вол еж ащ ей основанию , равен 40°. Н айдите угол при
основании.
2. Б и ссектри сы А К и CD равностороннего треугольн и ­
к а А В С п ересекаю тся в точке О. Н айдите угол DOA.
12

С-18
1. Н айдите неизвестны й угол треугольн и ка, если его два
у гл а равны : а) 18° и 65°; б) 30° и 70°; в) 53° и 94°; г) 61°
и 102°.
2. Н ай д и те углы равнобедренного тр еу го льн и ка, если
угол при его основании равен: а) 55°; б) 70°; в) 45°; г) 28°.
3. Н ай д и те углы т р еу го л ьн и ка, если они п ропорцио­
н альн ы числам 2, 3, 7.
С-19
1. Н айдите неизвестны й угол треугольн и ка, если его два
у гл а равны : а) 20° и 80°; б) 52° и 111°; в) 23° и 60°; г) 57°
и 90°.
2. Н айд ите углы равнобедренного тр еу го льн и ка, если
угол, противолеж ащ и й основанию , равен: а) 90°; б) 104°;
в) 48°; г) 50°.
3. Н ай д и те углы тр еу го льн и ка, если они пропорц и о­
н альн ы числам 3, 4 и 8.
С-20
1. П остройте п роизвольны й отрезок А В . О тметьте на
плоскости несколько точек, расстояния до которы х от точ­
к и А равны А В . К акую ф игуру образуют все так и е точки?
2. Д ан а окруж ность с радиусом 3 см. Проведите о к р у ж ­
ность с ради усом 1 см, имею щ ую с данной внутреннее
касан и е, и окруж ность с радиусом 2 см, имеющую с дан ­
ной внеш нее касани е.
С-21
1. П остройте треугольник по трём
сторонам а, Ъ, с.
2. Н а р и сун к е 8 дан угол А О В .
П остройте угол, равны й этому углу.
Рис. 8
С-22
1. Д ан ы п р я м а я а и п р и н а д л е ж а щ а я ей т о ч к а М .
П остройте перпен ди куляр к прям ой а, проходящ ий через
точк у М .
2. П остройте прям оугольны й треугольник по к атету а
и п ри л еж ащ ем у острому углу р.
13

С-23
1. Найдите геометрическое место центров всех окруж­
ностей, проходящих через две данные точки А и В.
2. Дан острый угол АВС. На стороне ВА этого угла най­
дите точку, равноудалённую от точек М и К , принадлежа­
щих стороне ВС.
С-24
1. Постройте треугольник АВС по стороне А В = 4 см
и углам: ZA = 40°, АВ = 60°.
2. Дан треугольник. Проведите в нём из одной вершины
биссектрису и высоту.
3. Дан треугольник АВС. Опишите около него окруж­
ность.
С-25
1. Постройте треугольник АВС по сторонам АС = 3 см,
ВС = 5 см и углу С, равному 50°.
2. Дан треугольник. Проведите в нём из одной вершины
медиану и высоту.
3. Дан треугольник АВС. Впишите в него окружность.

14

С А М О С ТО Я ТЕЛЬ Н Ы Е РАБОТЫ

В ар и ан т 2

С-1
Д аны две точки М и К .
а) П роведите через точки М и К прям ую . С колько таких
п р ям ы х м ож но провести?
б) Отметьте н а прям ой М К две точки , не п р и н адл еж а­
щ и е отрезку М К .

С-2
1. Т очка М л еж и т на прям ой, проходящ ей через точки
К и С, м еж ду этим и точкам и. И звестно, что К М = 8 см,
М С = 3 см. Н айдите КС.
2. Д ан ы п р ям ая Ъ и три точки А , В и С, не леж ащ ие
на этой п рям ой , так и е, что отрезок А В пересекает прямую
Ь, а отрезок ВС её не пересекает. П ересекает ли прямую Ь
отрезок А С ?

С-3
1. Н а р и сун к е 9 и зображ ён угол.
О пределите н а гл аз градусную меру
этого у г л а . П ро вер ьте в аш ответ,
изм ери в угол при помощ и транспор­
ти ра.
2. П остройте угол в 122°. Возьмите
н а к аж д о й его стороне по одной точке
и соедините и х отрезком . П роведите
л у ч , п р о х о д я щ и й м еж ду сторонам и
этого у гл а. Н айд ите образовавш иеся
углы .
3. М еж ду сторон ам и у гл а (т п ),
равного 100°, проходит луч k. Н айдите
углы (m k) и (nk), если их градусные
м еры отн осятся к а к 3 : 1 .

Р ис. 9

15

С-4
1. Н а ри сун ке 10 и зо б р аж ен ы
отрезки и углы . Есть ли среди них
равные? Ответ объясните.
2. А А В С = А М К Р , ВС = 6 м,
LC = 26°, А В = 92°. К а к и е у г л ы
и каку ю сторону А М К Р м ож но
определить по этим данны м?

С-5
Н а рисунке 11 даны две пересе­
каю щ иеся прям ы е а и Ь и точка А ,
не принадлеж ащ ая ни одной и з них.
С помощью л и н ей к и и у го л ь н и к а
проведите п р ям ы е, п а р ал л ел ь н ы е
прямы м а и Ь и проходящ ие через
точку А .

Рис. 11

С-6
1. Н а отрезке А В дли н ой 20 см отм еч ен а т о ч к а D .
Н айдите длины отрезков AD и B D , если отрезок B D на
4 см длиннее отрезка AD.
2. Т реугольн ики А В С и P Q R р ав н ы . И звестн о , что
АВ = 3 дм, ВС = 4 дм, P R = 6 дм. Н айдите остальны е сто­
роны этих треугольников.
3. Точки Л и В леж ат в разн ы х п олуплоскостях отно­
сительно прямой с. Могут ли прям ы е А В и с бы ть п а р а л ­
лельны м и ? Объясните ответ.

С-7
1. Н а о тр езк е А С дли н ой 20 см о тм ечена т о ч к а В.
О трезок А В в 4 р аза больше отрезка ВС. Н айдите длины
эти х отрезков.
2. Т р еу го л ьн и к и А В С и K L M р авн ы . И звестн о, что
А А = 20°, А В = 40°, / Ы = 120°. Н айдите о стал ьн ы е у глы
э ти х треугольн и ков.
3. П р ям ы е А В и CD п ар ал лел ьн ы . М огут ли точки С
и D л еж ат ь в р азн ы х полуп лоскостях относительно прям ой
А В ? О бъясн и те ответ.

16

С-8
1. Н айдите угол, в 4 раза мень­
ш и й , чем см еж ны й с ним угол.
2. Н а ри сунке 12 угол А О В р а ­
вен 120°. Ч ем у равны углы А О В ,
и A jO B j ?

С-9
1. Н айдите см еж ны е углы , если один из н их в 5 раз
больш е другого.
2. С умма двух углов, которые получаю тся при пересе­
чен и и двух п р ям ы х , равна 150°. Н айдите эти углы .
3. В К — би ссектриса у гла А В С . Н айдите угол А В К ,
если угол А В С равен 130°.

С-10
1. Н ай д и те см еж ны е у глы , если один из н и х на 40°
м еньш е другого.
2. Один из углов, которые получаю тся при пересечении
двух п р ям ы х , в 8 раз больше другого. Н айдите эти углы .
3. У гол м еж д у би ссектрисой у гл а и п родолж ен и ем
одной и з его сторон равен 138°. Ч ем у равен этот угол?

С-11
1. Д о к аж и те равенство треугольн и ков, изображ ённы х
н а ри сунке 13.
D

2. Т очки А и С л еж ат в разн ы х полуплоскостях относи­
тельно п рям ой B D (рис. 14). И звестно, что A A B D = / СВ В
и /.A B C = ACD A. Д окаж и те, что A A D B = A C B D .
17

С-12
1. Периметр равнобедренного треугольника равен 26 см;
его основание в 6 раз меньше боковой стороны. Найдите
стороны этого треугольника.
2. У равнобедренных треугольников АВС и А 1В 1С1 с
основаниями АС и А ХСХ равны боковые стороны АВ и А ХВ Х
и углы С и Сх. Докажите, что эти треугольники равны.
С-13
1. Точки С и D лежат в одной
полуплоскости относительно прямой
АВ. Известно, что А А В С = A B A D
(рис. 15). Докажите, что A ACD =
= ABDC.
2. Через середину О отрезка АВ
проведена прямая СП, перпендику­
лярная прямой АВ. Докажите, что
полупрямая СО является биссектри­
сой угла АСВ.

С

D

С-14
1. Периметр равнобедренного треугольника равен 4,5 м,
а основание — 1,3 м. Найдите боковую сторону треугольни­
ка.
2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
проведена медиана М В. На продолжении медианы за точку
М взята точка D. Докажите, что A A M D = ACM D .
3. У равных треугольников АВС и А ХВ ХСХ из вершин В
и В х проведены биссектрисы BD и B 1D 1. Докажите равен­
ство треугольников CBD и С1В1П1.
С-15

1. Периметр равнобедренного треугольника равен 3,2 м,
основание меньше боковой стороны на 1 м. Найдите сторо­
ны треугольника.
2. Треугольники АВС и АВП равны, причём отрезок СП
пересекает отрезок АВ в точке О. Докажите, что СО ± АВ.
3. Даны два равнобедренных треугольника АВС и АВП
с общим основанием АВ. Докажите, что прямые АВ и СП
перпендикулярны в случае, когда точки С и П лежат по
одну сторону от прямой АВ.
18

С-16
1. Один из внутренних односторонних углов, образован­
ных при пересечении двух параллельных прямых третьей
прямой, больше другого на 32°. Чему равны эти углы?
2. Отрезки А В и CD пересекаются в точке О так, что
AACO = ABDO, СО = DO. Докажите, что АСАО = ADBO.

I

017

1. В равнобедренном треугольнике А В С (АВ = ВС ) внешний угол
В С К равен 150° (рис. 16). Найдите
угол А ВС .

А

у'
х.
________ х
Рис. 16

С

К

2. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом
С проведена биссектриса B D . Найдите углы треугольника
A B D , если A CBD = 20°.
С-18
1. Разность двух внутренних односторонних углов при
двух параллельных прямых и секущей равна 50°. Найдите
эти углы.
2. Один из внешних углов равнобедренного треугольни­
ка равен 110°. Чему равны углы этого треугольника?
3. Докажите, что у равнобедренного треугольника высо­
ты, проведённые из вершин при основании, равны.
С-19
1. Сумма двух внутренних накрест лежащих углов при
двух параллельных прямых и секущей равна 120°. Чему
равны эти углы?
2. Один из внешних углов равнобедренного треугольни­
ка равен 80°. Найдите углы этого треугольника.
3. Докажите, что у равных треугольников А ВС и А 1В 1С1
высоты, проведённые из вершин А и А г, равны.
С-20
1. Постройте окружность радиусом 3 см с центром О,
отметьте на ней точку D. Найдите на окружности точки,
расстояния до которых от точки D равны: а) 3 см; б) 5 см.
Обозначьте найденные точки и соедините их с точкой D.
Сколько отрезков получится? Лежит ли центр окружности
на одном из этих отрезков?
2. Две окружности с диаметрами 10 см и 15 см касают­
ся внутренним образом. Чему равно расстояние между цен­
трами этих окружностей?
19

С-21
1. На рисунке 17 дан треугольник
АВС. Постройте угол, равный углу А
треугольника АВС.
2. Постройте равнобедренный тре­
угольник по основанию а и боковой
стороне Ъ.
Рис. 17
С-22
1. Дан треугольник АВС. Постройте медиану этого тре­
угольника, проведённую к стороне АВ.
2. Постройте равнобедренный прямоугольный треуголь­
ник по его катету а.
С-23
1. Даны две пересекающиеся прямые а и Ь. Найдите
геометрическое место точек, равноудалённых от этих пря­
мых.
2. Даны окружность с центром О и точка А на ней.
Найдите на этой окружности точки, равноудалённые от
точек О и А.
С-24
1. Дан треугольник АВС. Постройте треугольник, все
стороны которого вдвое меньше сторон треугольника АВС.
2. Даны две параллельные прямые а и Ъ и точка А,
лежащая на прямой а. Постройте окружность, которая
касается прямой а в точке А и прямой Ь.
3. Даны точки А и В. Постройте окружность радиуса г
(2г > АВ), проходящую через точки А и В.
С-25
1. Дан треугольник АВС. Постройте треугольник А В М
с углами при вершинах А и В, вдвое меньшими, чем соот­
ветствующие углы треугольника АВС.
2. Даны прямая а и точка А на ней. Постройте окруж­
ность с радиусом 3 см, касающуюся прямой в точке А.
3. Даны три точки А, В, С. Постройте окружность, про­
ходящую через точки А и В, центр которой находится на
данном расстоянии d от точки С.
20

С А М О С ТО Я ТЕЛЬ Н Ы Е РАБОТЫ

В ариан т 3

С-1
Д ан ы две точки А и В.
а) П роведите прям ую , проходящ ую через точки А и В.
С колько т ак и х п рям ы х м ож но провести?
б) Отметьте на прям ой А В две точки , отличны е от А
и В . П ри н адл еж ат ли они отрезку АВ?

С-2
1. Н а прям ой даны три точки О, Р и М , причём точ­
к а О л еж и т меж ду точкам и Р и М . Известно, что О М =
= 14 см, ОР = 8 см. Н айдите Р М .
2. Д аны п р ям ая с и три точки К , М и Р, не леж ащ ие
н а этой п рям ой , такие, что отрезок К Р не пересекает п р я ­
мую с, а отрезок М Р её пересекает. П ересекает ли эту п р я ­
мую отрезок К М ?

С-3
1. Н а ри сун ке 18 изображ ён
угол. О пределите н а глаз его гра­
дусн ую м ер у . П р о вер ьте ваш
ответ, и зм ери в угол при помощи
транспортира.
2. П о стр о й те угол в 135°.
В озьмите н а к аж д ой его стороне
по одной точке и соедините их
отрезком . П роведите луч, прохо­
д я щ и й м еж д у сторонам и этого
Р и с. 18
у г л а . Н ай д и те образо вавш и еся
углы .
3. М еж ду сторонами у гла (cd), равного 120°, проходит
л уч а. Н айдите углы (са) и (da), если их градусные меры
относятся к а к 4 : 2 .
21

С-4
1. На рисунке 19 изображены
отрезки и углы. Есть ли среди них
равные? Объясните ответ.
2. АМВС = А А К Р , АВ = 68°,
ВС = 8 см, A M = 84°. Какие углы
и какую сторону ААКР можно опре­
делить по этим данным?

С-5
Даны угол АВС и точка К
(рис. 20). С помощью линейки и
угольника проведите прямые, парал­
лельные сторонам угла АВС и про­
ходящие через точку К.
Рис. 20
С-6
1. Даны прямая и четыре точки А, В, С и D, не лежа­
щие на этой прямой. Пересекает ли данную прямую отре­
зок АВ, если отрезки BD и CD её пересекают, а отрезок
АС не пересекает?
2. Точки А , В, С лежат на одной прямой. Принадлежит
ли точка С отрезку АВ, если АВ = 7,5 см, ВС = 7,8 см,
АС = 0,3 см?
3. Между сторонами угла (аЬ), равного 75°, проходит
луч с. Угол (fee) в 2 раза больше угла (ас). Найдите эти
углы.
С-7
1. Даны прямая и четыре точки А, В, С и D, не лежа­
щие на этой прямой. Пересекает ли прямую отрезок АС,
если отрезки АВ, CD и BD пересекают её?
2. Точка А принадлежит отрезку ВС, равному 12 м.
Найдите отрезки АВ и АС, если отрезок АВ длиннее отрез­
ка АС на 3 м.
3. Может ли луч с проходить между сторонами угла (afe),
если A (afe) = 35°, А(ас) = 45°, А(Ьс) = 80°?
22

С-8
1. Найдите угол, в 5 раз мень­
ший, чем смежный с ним угол.
2. На рисунке 21 угол COD ра­
вен 30°. Чему равны углы АО К
и DOK1
С-9
1. Найдите углы, которые получаются при пересечении
двух прямых, если сумма трёх из этих углов равна 200°
(развёрнутые углы не рассматривать).
2. Известно, что А В = 4 см, ВС = 5 см, АС = 3 см.
Докажите способом от противного, что точки И, В и С не
лежат на одной прямой.
3. В М — биссектриса угла АВС. Найдите угол АВС,
если угол С ВМ равен 57°.

С-10
1. Чему равен угол, если два смежных с ним угла
составляют в сумме 180°?
2. Известно, что А(аЬ) = 100°, Х(бс) = 110°. Докажите
способом от противного, что луч с не проходит между сто­
ронами угла (аЪ).
3. Какой угол образует биссектриса угла в 30° с про­
должением его стороны?
С-11
1. У треугольников АВС и DMC А В = MD, А В X АС и
M D X СВ (рис. 22). Докажите равенство треугольников
АВС и DM C.

Рис. 23

2. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях отно­
сительно прямой АС (рис. 23). Известно, что / ВСА —/ DAC
и Z JJC B = Z.BAD. Докажите, что ААВС = ACDA.
23

С-12
1 Периметр равнобедренного треугольника равен 35 см.
Его основание больше боковой стороны в 1,5 р аза. Найдите
стороны данного треугольника.
2. У треугольника АЛЛ угол В равен 90 . На продолже­
нии стороны AD отложен отрезок DC = AD (точка D лежит
между А и С). Докажите, что треугольник АВС равнобед­
ренный.

С-13
1. Точки А и В лежат в разных
полуплоскостях относительно пря­
мой CD. Известно, что ACDA =
= ACDB. Докажите, что ААВС и
A BAD равнобедренные.
2. Отрезки АЛ и CD пересекают­
ся в точке О так, что АО = DO и
ACAD = ABDA (рис. 24). Докажите
равенство треугольников АОС и DOB.

С

В

Рис. 24

С-14
1. Периметр равнобедренного треугольника равен 3,4 м,
а боковая сторона— 1,3 м. Найдите основание этого тре­
угольника.
2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
проведена биссектриса ВМ . На продолжении биссектрисы
за точку М взята точка D. Докажите равенство треуголь­
ников AMD и CMD.
3. У равных треугольников АВС и А 1В 1С1 из вершин С
и Cj проведены медианы CD и C1D 1. Докажите равенство
треугольников CBD и C1B 1D 1.
С-15
1. Периметр равнобедренного треугольника равен 4,9 м.
Его основание больше боковой стороны на 1 м. Найдите
стороны треугольника.
2. Дан треугольник АВС. На продолжении его медианы
CD отложен отрезок D E, равный отрезку CD. Докажите
равенство треугольников ЛАЕ и АВС.
3. Даны два равнобедренных треугольника АВС и ABD
с общим основанием АЛ. Докажите, что прямые АЛ и CD
перпендикулярны, если точки С и D лежат по разные сто­
роны от прямой АЛ.
24

С-16
1. Один из внутренних односторонних углов, образован­
ных при пересечении двух параллельных прямых третьей,
в 4 раза больше другого. Чему равны эти углы?
2. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены
соответственно точки Р и Q так, что AAPQ = ААВС.
Докажите, что AAQP = ААСВ.
С-17
1. В равнобедренном треугольни­
ке В Р М (BP = В М ) внешний угол
В Р Т равен 126° (рис. 25). Найдите
угол Р М В .
2. В треугольнике АВС, в кото­
ром А А = 60°, АВ = 80°, проведена
биссектриса А В . Найдите углы тре­
угольника ACD.

В

С-18
1. Один из углов, которые получаются при пересечении
двух параллельных прямых секущей, равен 45°. Найдите
остальные семь углов.
2. Найдите острые углы прямоугольного треугольника,
если известно, что биссектриса этого треугольника, прове­
дённая из вершины острого угла, образует с противолежа­
щей стороной углы 60° и 120°.
3. Дан треугольник АВС. Докажите, что его вершины
равноудалены от прямой, проходящей через середины сто­
рон А В и АС.
С-19
1. Один из углов, получающихся при пересечении двух
параллельных прямых секущей, равен 75°. Может ли один
из остальных семи углов равняться 85°? Объясните ответ.
2. Биссектриса острого угла прямоугольного треуголь­
ника образует с противолежащей стороной углы, один из
которых равен 75°. Найдите острые утлы этого треуголь­
ника.
3. Вершины треугольника АВС равноудалены от пря­
мой, которая пересекает стороны А В и ВС в точках А1
и Cj соответственно. Докажите, что точки А , и С j являют­
ся серединами сторон А В и ВС.
25

С-20
1. Постройте окружность радиусом 2 см с центром О,
отметьте на ней точку М . Найдите на окружности точки,
расстояния до которых от точки М равны: а) 2 см; б) 3 см.
Обозначьте найденные точки и соедините их отрезками с
точкой М. Сколько отрезков получено? Лежит ли центр
окружности на одном из этих отрезков?
2. Две окружности с диаметрами 4 см и 8 см касаются
внешним образом. Чему равно расстояние между центрами
этих окружностей?

С-21

М

1. На рисунке 26 дан треугольник
М К В. Постройте угол, равный углу В
треугольника М КВ.
2. Постройте треугольник АВС
сторонам АС = Ь, ВС = а и углу С, рав­
ному у.

С-22
1. Дан треугольник М К Р. Постройте медиану этого тре­
угольника, проведённую к стороне М Р.
2. Постройте прямоугольный треугольник по его кате­
там а и Ъ.

С-23
1. Найдите геометрическое место точек, равноудалён­
ных от двух данных параллельных прямых.
2. Найдите на данной окружности точки, равноудалён­
ные от точек А и В , лежащих на этой окружности.

26

С-24

1. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к
ней углу и биссектрисе второго угла, прилежащего к этой
стороне.
2. Даны параллельные прямые а и Ь и точка В на пря­
мой Ь. Постройте окружность, касающуюся прямых а и Ь,
причём прямой Ь в точке В.
3. Даны две точки А и В и прямая а, проходящая через
точку А. Постройте окружность, которая касается пря­
мой а в точке А и проходит через точку В.

С-25
1. Постройте треугольник по стороне и прилежащим
к ней углам.
2. Даны прямая Ь и точка В на ней. Постройте окруж­
ность данного диаметра, касающуюся прямой Ъ в точке В.
3. Даны две точки А и В и прямая с, параллельная
прямой АВ. Постройте окружность, проходящую через точ­
ки А и В и касающуюся прямой с.

27

28

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

В ариан т 4

С-1
Д ан ы три точки А , В и С, не леж ащ ие на одной п р я ­
мой.
а) П роведите п рям ы е, проходящ ие через каж д ы е две из
эти х точек. С колько так и х п рям ы х мож но провести?
б) С колько разл и чн ы х отрезков задаю т три данны е точ­
ки?
в) С ущ ествует л и то чк а, п р и н ад л еж ащ ая к аж д о й из
проведённы х п рям ы х? Объясните ответ.

С-2
1. Н а прям ой даны три точки В , С и М , точка М леж ит
меж ду точкам и В и С. Известно, что ВС = 14 см, С М = 8 см.
Н айдите В М .
2. Д аны п р ям ая а и точки А , В , С, D, не п ринадлеж а­
щ ие этой прям ой.
а) П ересекает ли прям ую а отрезок ВС, если отрез­
к и А С , A D и B D её не пересекаю т?
б) М огут ли отрезки А В, А С и ВС каж ды й пересекать
прям ую а?

С-3
1. Н а р и с у н к е 27 и зо б р аж ён угол.
О пределите н а гл аз градусную м еру этого
у гл а. П роверьте ваш ответ, и зм ерив угол
тран спорти ром .
2. П остройте угол в 160°. П роведите луч,
п ро х о д ящ и й м еж ду сторонам и этого угла.
Н айдите образовавш иеся углы .
3. Л уч с проходит меж ду сторонами угла
(аЬ), равного 90°, и делит этот угол пополам,
а луч d проходит меж ду сторонами угла (ас).
Н ай д и те угол (dc), если градусны е м еры
углов (ad) и (dc) относятся к а к 1 : 2 .

Рис. 27

29

С-4

1. На рисунке 28 изображены от­
резки и углы. Есть ли среди них рав­
ные? Объясните ответ.
2. Даны три равных треугольника
ABC, M KD и РОЕ. АА = 92°, А К = 64°,
/_Е = 24°. Найдите остальные утлы
данных треугольников.
Рис. 28
С-5

Даны треугольник АВС и точка К
(рис. 29). С помощью линейки и
угольника постройте прямые, парал­
лельные сторонам треугольника АВС
и проходящие через точку К.

В

С
Рис. 29

С-6

1. Три точки А , В и С лежат на одной прямой. Известно,
что АВ = 7,2 см, ВС =10,5 см, АС = 3,3 см. Какая из трёх
точек А, В и С лежит между двумя другими? Объясните
ответ.
2. Может ли луч а проходить между сторонами утла (6с),
если А(аЬ) = 65°, /-(be) = 60°?
3. Докажите, что середины всех сторон треугольника не
лежат на одной прямой.
С-7

1. Могут ли точки А, В, С лежать на одной прямой,
если АВ = 4 дм, ВС = 5 дм, АС = 7 дм? Объясните ответ.
2. Может ли луч 6 проходить между сторонами угла
(ас), если А(аЬ)= 70°, /.(be) — 120°?
3. Точка А, принадлежащая прямой ВС, не лежит меж­
ду точками В и С. Через точку А проведена другая прямая
а. Докажите, что прямая а не пересекает отрезок ВС.
С-8

1. Два смежных угла относятся как 4 : 5. Найдите эти
углы.
2. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух
прямых, равен сумме смежных с ним углов. Чему равны
углы?
30

С-9
1. Один из углов, которые получаются при пересечении
двух прямых, равен 37°. Чему равны остальные углы?
2. Дан угол, равный 78°. Найдите угол, образованный
биссектрисой этого угла и его стороной.
3. Точка С лежит на прямой между точками А и В,
а точка D — вне этой прямой. Докажите, что прямые АВ
и CD перпендикулярны, если ZA.CD = ABCD.
С-10
1. Из вершины развёрнутого угла (ааД проведены
в одну полуплоскость лучи б и с . Известно, что А(аЬ) = 40°,
А(ас) = 70°. Найдите углы (atb), (а, с) и (Ьс).
2. Найдитеугол, если его биссектриса образует с его
стороной угол, равный 67°.
3. Углы ABD и CBD прямые. Докажите, что точки А,
В тл С лежат на одной прямой.
С-11
1. На рисунке 30 АС = DK, ВС = DE, АВСК = AADE.
Докажите, что A ABC = AKED.

2. У треугольников АВО и ADK (рис. 31) AAKD —АЛОВ
и А К = АО. Докажите, что эти треугольники равны.
С-12
1. Отрезок, соединяющий середину основания равнобед­
ренного треугольника с противолежащей вершиной, равен
5 см. Периметр одного из отсечённых им треугольников
равен 30 см. Найдите периметр данного треугольника.
2. Перпендикулярно биссектрисе угла О проведена пря­
мая, пересекающая его стороны в точках А и В. Докажите,
что треугольник АОВ равнобедренный.
31

С-13
1. Отрезки АС и BD пересекаются
в точке О. Известно, что A B=A D и
ВС = CD. Докажите, что BD _1_ АС.
2. Для определения расстояния от
точки В до недоступной точки А про­
вешивают произвольную прямую ВС,
измеряют углы АВС и АСВ и откла­
дывают их по другую сторону от ВС
(рис. 32). Докажите, что расстояние
BD равно искомому расстоянию А В .
С-14
1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ
проведена медиана CD. Найдите её длину, если периметр тре­
угольника АВС равен 36 см, а треугольника ACD — 28 см.
2. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный,
если у него медиана BD является биссектрисой.
3. У треугольников АВС и А 1В 1С1 основания высот BD
и B 1D1 принадлежат сторонам АС и А 1С1 соответственно.
Известно, что BD = В1Н1, AABD = A A 1B 1D 1, ACBD = C1B 1D 1.
Докажите равенство треугольников АВС и А 1В 1С1.
С-15
1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС
проведена медиана AD. Найдите её длину, если периметр
треугольника АВС — 64 дм, а треугольника AB D — 52 дм.
2. В равнобедренных треугольниках АВС и АуВ^С^
с основаниями АС и А,С; и / В = / В ; проведены равные
медианы BD и B 1D 1. Докажите, что треугольники равны.
3. У треугольников АВС и А1В1С1 проведены биссектри­
сы BD и B 1D1. Известно, что BD = B 1D1, А В = А В г, AADB =
= Z A 1D 1B 1. Докажите равенство этих треугольников.
С-16
1. Найдите каждый из восьми углов,
образованных при пересечении двух
параллельных прямых третьей прямой,
если один из внутренних односторон­
них углов в 3 раза меньше другого.
2. Отрезки BD и СА пересекаются
в точке О. Известно, что ВС || AD и
ВС = DA (рис. 33). Докажите, что
A ABO = ADOC.
32

С-17
1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если
один из его углов равен 40°.
2. В треугольнике АВС, в котором АА = 40°, АС = 80°,
проведена высота AD. Найдите углы треугольника A DB.

С-18
1. У треугольников А ВС и CDA вершины В и О лежат
по разные стороны от прямой АС. Известно также, что
АВ = CD и В С = A D . Докажите, что прямые АВ и CD парал­
лельны.
2. Биссектриса равнобедренного треугольника, прове­
дённая из вершины при основании, образует с противоле­
жащей стороной углы, равные 30° и 150°. Найдите углы
данного равнобедренного треугольника.
3. Докажите равенство треугольников по двум углам
и высоте, проведённой из вершины третьего угла.

С-19
1. Треугольники А ВС и A B D — равные равнобедренные
треугольники с общим основанием АВ. Докажите, что пря­
мые АС и B D параллельны.
2. Биссектриса равнобедренного треугольника, прове­
дённая из вершины при основании, образует с противоле­
жащей стороной углы, один из которых равен 60°. Найдите
углы этого треугольника.
3. Докажите равенство треугольников по стороне и про­
ведённым к ней медиане и высоте.

С-20
1. Постройте две окружности с центром в данной точ­
ке О, радиусы которых равны г, и г2. Заштрихуйте фигуру,
состоящую из всех точек X , для которых выполняется
условие: гг < О Х < г2.
2. Даны две окружности с общим центром и радиусами
4 см и 8 см. Проведена третья окружность, касающаяся
первых двух окружностей (возможны два случая). Чему
равен радиус этой окружности?
33

С-21
1. Постройте угол, равный углу А треугольника АВС,
если АВ = 30°, АС = 50°.
2. Постройте треугольник АВС по стороне ВС = а и
углам АВ = Р, АС = у.
С-22
1. Постройте серединные перпендикуляры к сторонам
данного треугольника.
2. Постройте треугольник по стороне а, углу В , равно­
му Р, и медиане т , проведённой к стороне а.
С-23
1. Даны две параллельные прямые на расстоянии d друг
от друга. Найдите геометрическое место точек, сумма рас­
стояний от которых до этих прямых равна 2d.
2. Найдите на данной окружности точки, равноудалён­
ные от двух данных пересекающихся прямых а и Ъ, точка
пересечения которых лежит внутри окружности.
С-24
1. Окружности радиусами 8 м и 12 м касаются. Найдите
расстояние между их центрами в случае внешнего и вну­
треннего касания.
2. Постройте треугольник по стороне, медиане и высоте,
проведённым из одной и той же вершины, если известно,
что сторона равна 4 см, медиана — 3 см, высота — 2 см.
3. Постройте точку, равноудалённую от данных парал­
лельных прямых а и Ь и находящуюся на заданном рас­
стоянии d от данной точки С.
С-25
1. Могут ли касаться окружности, если их радиусы рав­
ны 15 дм и 20 дм, а расстояние между центрами 30 дм?
Объясните ответ.
2. Постройте треугольник по углу и проведённым из его
вершины биссектрисе и высоте, если известно, что угол
равен 60°, биссектриса треугольника — 3 см, высота —
2 см.
3. Постройте точку, равноудалённую от данных парал­
лельных прямых а и Ь и данных параллельных прямых с
и d.
34

ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЕ ЗАДАНИЯ
Д-1. Взаимное расположение точек на прямой
1. Точки А , В и С лежат на одной прямой. Чему равна
длина отрезка А В , если точка С лежит между точками
А и В?
2. Найдите отрезок А В , если АС = 3,4 см, ВС =1,9 см
и точка С лежит между А и В.
3. Точка С принадлежит отрезку АВ длиной 16 м.
Найдите длины отрезков АС и ВС, если отрезок ВС длин­
нее отрезка АС на 5 м.
4. На отрезке АВ отмечена точка С, а на отрезке АС —
точка D. Какой отрезок больше: AD или АВ? Объясните
почему.
Д-2. Разбиение плоскости на две полуплоскости
Вариант 1

1. Проведите горизонтально прямую а. Отметьте в верх­
ней полуплоскости точки А и В, а в нижней — точки С
и D. Соедините эти точки между собой отрезками. Назовите
отрезки, пересекающие прямую а, и отрезки, не пересека­
ющие её.
2. Объясните теперь, почему отрезки АВ и CD не пере­
секают прямую а, а остальные — пересекают.
3. Прямая а пересекает отрезки PQ и QR. Пересекает
ли она отрезок РВ? Дайте ответ по своему рисунку и объ­
ясните его.
4. Выполните предыдущее упражнение, не пользуясь
рисунком.
Вариант 2

1. Прямая а параллельна прямой АВ. Докажите, что
точки А и В лежат в одной полуплоскости относительно
прямой а.
2. Прямая а, параллельная прямой АВ, пересекает отре­
зок AD . Докажите, что прямая а пересекает отрезок BD,
воспользовавшись предыдущим утверждением.
3. Прямая а, параллельная А В и пересекающая отрезок
AD, не проходит через точку С. Докажите, что прямая а
пересекает отрезок ВС или отрезок CD, воспользовавшись
предыдущим утверждением.
4. Даны прямая а и четыре точки А , В , С и D, не лежа­
щие на ней. Эти точки соединены отрезками AD, А В , ВС
и CD. Докажите, что если прямая а пересекает отрезок AD,
то она пересекает по крайней мере один из отрезков АВ,
ВС или CD.
35

Д-3. Луч проходит между сторонами угла
Вариант 1
1. Лучи а, б и с имеют общую начальную точку. Чему
равна градусная мера угла (ab), если луч с проходит меж­
ду его сторонами?
2. Найдите А(аЬ), если А(ас) = 35°, zl(Ьс) = 80° и луч с
проходит между сторонами утла (ab).
3. Между сторонами угла (ab), равного 140°, проходит
луч с. Найдите углы (ас) и (Ьс), если угол (ас) в 3 раза
меньше угла (Ьс).
4. Луч с проходит между сторонами угла (аЬ). Может
ли между сторонами угла (аЬ) проходить луч сх, дополни­
тельный к лучу с?
Вариант 2
1. Дан угол АОВ и точка С на его стороне ОВ. Докажите,
что прямая ОА не пересекает отрезок ВС.
2. Дан угол АОВ и точка С на его стороне ОВ. Докажите
с помощью утверждения 1, что если луч, исходящий из
точки О, пересекает отрезок АВ, то он пересекает также и
отрезок АС.
3. Дан угол АОВ. Докажите с помощью утверждения 2,
что если луч, исходящий из точки О, пересекает отрезок
АВ, то он пересекает любой другой отрезок CD с концами
на сторонах этого угла.
4. Даны угол АОВ и луч с, исходящий из его вершины.
Докажите, что если луч с не пересекает отрезка АВ, то он
не проходит между сторонами угла АОВ.
Д-4. Смежные углы
1. Может ли один из смежных углов быть острым,
а другой — прямым?
2. Найдите углы, смежные с углами в 65° и 66°.
3. Если даны два угла, то какому из них (большему или
меньшему) соответствует меньший смежный угол? Почему?
4. Докажите, что если углы АВС и CBD с одной общей
стороной прямые, то они смежные.
Д-5. Доказательство от противного
1. Три точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно,
что А В = 3,7 м, ВС = 4,3 м, АС = 8 м. Докажите, что точ­
ка С не лежит между А и В.
2. Докажите, что если А(ас) = 85°, А (Ьс) = 105°, то луч с
не проходит между сторонами угла (аЬ).
3. Сумма двух углов, которые получаются при пересе­
чении двух прямых, равна 160°. Докажите, что эти углы
вертикальные.
36

4. Даны три точки А , В и С, расстояния между кото­
рыми равны: А В = 2,6 дм, АС = 8,3 дм, ВС = 6,7 дм. Дока­
жите, что эти точки не лежат на одной прямой.
Д-6. Равнобедренный треугольник
1. Отрезки А В и CD пересекаются в точке О, которая
является серединой каждого из них. Докажите, что углы
АСО и BDC равны.
2. Отрезки А В и CD пересекаются в точке О, являющей­
ся их серединой. Известно также, что AACD = ABCD.
Докажите, что треугольник BCD равнобедренный.
3. Докажите, что прямые А В и CD из предыдущего
упражнения перпендикулярны.
4. Докажите, что если медиана треугольника является
его биссектрисой, то он равнобедренный.
Д-7. Применение признаков равенства треугольников
В ариант 1

Отрезки А В и CD пересекаются в точке О так, что
ОС = OD и AACD = ABDC. Докажите, что:
1. АС = BD и АО = ВО.
2. AD = ВС.
3. AACB = ABD A и ACAD = AD ВС.
4. Равные отрезки А В и CD пересекаются в точке О, так
что АО = СО. Докажите равенство углов АВС и CAD.
В ариант 2

Треугольники АВС и BAD равны. Их стороны AD и ВС
пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники АОС
и BOD тоже равны. Найдите два различных доказатель­
ства.
Д-8. Внутренние односторонние углы
при параллельных прямых и секущей
1. Один из внутренних односторонних углов при двух
параллельных прямых и секущей равен 75°. Найдите дру­
гой угол.
2. Углы а и (3 — внутренние односторонние при парал­
лельных прямых и секущей, угол у — смежный с углом (3.
Найдите угол у, если а = 36°.
3. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием
А В . Через точку А , на стороне АС треугольника проведена
прямая, параллельная его основанию, которая пересекает
сторону ВС в точке B v Докажите, что треугольник A iB lC
тоже равнобедренный.
4. Докажите, что прямые, параллельные перпендику­
лярным прямым, перпендикулярны.
37

Д-9. Внутренние накрест леж ащ ие углы
при параллельных прям ы х и секущей

1. Один из внутренних накрест лежащих углов при
параллельных прямых и секущей равен 75°. Чему равен
второй из этих углов?
2. Углы а и р — внутренние накрест лежащие при
параллельных прямых и секущей, угол у
вертикальный
углу р. Найдите угол у, если а = 108°.
3. Дан равнобедренный треугольник АВС с основани­
ем АВ. На луче, дополнительном к лучу СА, отмечена точ­
ка А 1. Через точку А, проведена прямая, параллельная АВ,
которая пересекает луч, дополнительный к лучу СВ, в точ­
ке В 1. Докажите, что треугольник А ХВ ХС тоже равнобедрен­
ный.
4. Докажите, что середина отрезка с концами на двух
параллельных прямых является серединой любого прохо­
дящего через неё отрезка с концами на тех же прямых.
Д-10. Сумма углов треугольника
В ари ант 1

1. В равностороннем треугольнике АВС проведена бис­
сектриса BD. Найдите углы треугольника BCD.
2. Могут ли все углы треугольника быть большими 60°?
Ответ объясните.
3. Может ли сумма любых углов треугольника быть
меньше 120°? Ответ объясните.
4. Дан равнобедренный треугольник АВС. Точки А и
В х, Cj — середины его сторон. Найдите углы треугольника

А 1В 1С1.

В ари ант 2

Дан треугольник АВС. Через вершину А проведена пря­
мая а, параллельная стороне ВС, а через вершины В и
С
прямые Ъ и с, параллельные соответственно сторонам
АС и АВ.
1. Докажите, что прямые а и Ь пересекаются (не парал­
лельны).
2. Пусть А1; Bj и Cj — точки пересечения пар прямых а
и с, Ь и с, а и b соответственно. Выразите углы треуголь­
ника A jB jCj через углы данного треугольника АВС, вос­
пользовавшись своим рисунком.
3. Докажите способом от противного, что углы САВ
и CjBA, а также углы СВА и С-ЛВ являются внутренними
накрест лежащими при секущей АВ и параллельных АС
и B jCj , / i ^С.'1 и ВС соответственно.
4. Докажите предыдущее утверждение другим способом,
используя дополнительное построение.
38

В ариант 3

Равнобедренный треугольник АВС с основанием А В раз­
бит отрезком A D на два других равнобедренных треуголь­
ника ACD и A BD . Найдите углы треугольника АВС.
В ариант 4

Докажите, что середины сторон равностороннего тре­
угольника являются также вершинами равностороннего
треугольника. Найдите два различных доказательства.
Д-11. Геометрическое место точек
Дана прямая а.
1. Точки В и С лежат по одну сторону от прямой а
и находятся от неё на одинаковом расстоянии. Через точ­
ку В проходит прямая Ъ, параллельная а. Докажите, что
точка С принадлежит прямой Ъ.
2. Докажите, что геометрическое место точек, удалён­
ных от прямой а на расстояние Л, состоит из двух прямых
Ь и с, параллельных а и отстоящих от неё на h.
3. Как построить треугольник по стороне а, опущенной
на эту сторону высоте h и радиусу R описанной окружно­
сти?
4. Докажите, что прямая а является геометрическим
местом точек, равноудалённых от параллельных прямых Ь
и с из утверждения 2.

39

40

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

К-1

Вариант 1

1°. Точка С принадлежит отрезку А В , АС = 10 см, СВ =
= 5 см. Найдите длину отрезка АВ.
2°. Луч с проходит между лучами а и Ь, /.(ас) = 30°,
/.(cb) = 10°. Найдите А(аЬ).
3. На отрезке А В длиной 20 см отмечена точка М .
а) Найдите длины отрезков A M и М В , если отрезок A M
на 5 см длиннее М В .
б) Найдите расстояние между серединами отрезков A M
и М В.
К-1

Вариант 2

1°. Точка А принадлежит отрезку КС, КС = 20 см, К А =
= 10 см. Найдите длину отрезка АС.
2°. Луч а проходит между лучами с и Ь, А(аЬ) = 12°,
/.(cb) = 22°. Найдите А(са).
3. а) На отрезке Р К длиной 16 см отмечена точка В.
Отрезок РВ на 6 см короче отрезка В К . Найдите длины
отрезков РВ и ВК.
б) На отрезке CD длиной 21 см отмечена точка F.
Расстояние между точками F и D в 2 раза меньше рассто­
яния между точками С и F. Найдите длины отрезков FD
и CF.
К-1

Вариант 3

1°. Точка М принадлежит отрезку В К , В М = 15 см,
В К = 26 см. Найдите длину отрезка М К .
2°. Луч р проходит между лучами а и Ь, А(аЬ) = 90°,
/-(ар) = 32°. Найдите А(pb).
3. Три точки А , В, С лежат на одной прямой, А В = 7 см,
ВС = 11 см.
а) Каким может быть расстояние АС? Для каждого из
возможных случаев сделайте чертёж.
б) Лежат ли точки Л, В и С на одной прямой, если
АС = 4 см, А В = 2 см, ВС = 3 см?
41

42

К-1

Вариант 4
1°. Точка О принадлежит отрезку А В , ОА = 12 см, ОВ =
= 6 см. Найдите длину отрезка АВ.
2°. Луч k проходит между лучами р и a, Z_(pk) = 70°,
A(ka) = 15°. Найдите А(ра).
3. Могут ли точки Р, М и К лежать на одной прямой,
если М Р = 2,8 см, М К = 2,3 см, Р К = 4 см? Ответ объяс­

ните.
4. Могут ли точки С, В и М лежать на одной прямой,
если длина большего отрезка В М меньше суммы длин
отрезков СМ и СВ?

К-2
На рисунке 34 изображены две прямые
А В и К Р , пересекающиеся в точке О.
1°. а) Какие из углов, образовавшихся
при пересечении этих прямых, являются
смежными? Ответ обоснуйте.
б) Выпишите пары равных углов, изо­
бражённых на рисунке. Объясните, почему
эти углы равны.
2. АКО В = 5 • ААОК. Найдите углы
АО К , КОВ и ВОР.
3. Сумма градусных мер углов А О К и
ВОР больше 180°. Какими (острыми, пря­
мыми или тупыми) могут быть эти углы?

К-2
На рисунке 35 изображены две прямые
М А и КС, пересекающиеся в точке В.
1°. а) Какие из образовавшихся углов
являются вертикальными? Каким свойст­
вом они обладают?
б) Выпишите, сумма каких углов равна
180°. Ответ обоснуйте.
2. АМ ВС - А М В К = 40°. Найдите углы
К В А , АВС и М В К .
3. Сумма градусных мер углов К ВА и
М ВС равна 180°. Какими (острыми, пря­
мыми или тупыми) могут быть эти углы?

Р и с. 34

Вариант 2

43

44

К-2
Вариант 3
На рисунке 36 изображены две пря­
мые АС и МО, пересекающиеся в точ­
ке К .
1°. а) Выпишите образовавшиеся при
пересечении этих прямых смежные
углы. Каким свойством они обладают?
б) Есть ли среди получившихся углов
равные? Если есть, то объясните по­
чему.
2. /.М К С - АСКО = 70°. Найдите
Ри„ ofi
углы АКО, А КМ и СКО.
3. Сумма градусных мер углов АКМ и ОКС меньше
180°. Какими (острыми, прямыми или тупыми) могут быть
эти углы?
К-2
На рисунке 37 изображены две пря­
мые Е К и АР, пересекающиеся в точ­
ке М .
1°. а) Выпишите образовавшиеся при
этом вертикальные углы. Какими свой­
ствами они обладают?
б) Есть ли среди образовавшихся
углов такие, сумма которых равна 180°?
Если есть, то объясните почему.
2. / РМ К = ЗААМК. Найдите углы
AM К , РМ К и ЕМ Р.
3. Найдите угол между биссектриса­
ми углов Е М Р и РМ К.

к-з

Вариант 4

Рис. 37

Вариант 1

1°. Треугольники АВС и РМ К рав­
ны. Известно, что АВ = 5 см, ВС =
= 10 см, АС = 36°. Найдите соответствую­
щие стороны и угол треугольника РМК.
2°. Отрезки AM и К Р пересекаются
в точке О, которая является серединой
каждого из них. Докажите, что PM = КА
(рис. 38).
3. Точки М и К являются соответ­
ственно серединами боковых сторон АС
и ВС равнобедренного треугольника АВС
(АВ — основание). Докажите, что АК —
= ВМ .
45

46

(Ski

2019702819

к-з

Вариант 2

1°. Треугольники BCD и A X E рав­
ны. Известно, что А Х = 20 см, А Х = 54°,
АЕ = 60°. Найдите соответствующие
углы и сторону треугольника BCD.
2°. Отрезки А В и CD равны и пер­
пендикулярны отрезку BD. Докажите,
что AD = СВ (рис. 39).
3. На основании АС равнобедренно­
го треугольника АВС взяты точки Е
и D, такие, что А Е = CD. Докажите,
что B E = BD.
Вари ан т 3

К-З

1°. Треугольники М ХА и DOB рав­
ны. Известно, что ХА = 74 см, МА =
= 12 см, АХ = 76°. Найдите соответст­
вующие стороны и угол треугольника

М

Р

DOB.

2°. Отрезки M X и РВ равны и обра­
зуют равные углы с отрезком Х В.
Докажите, что В М = Х Р (рис. 40).
3. На основании АС равнобедренного
треугольника АВС взяты точки X и М,
такие, что АВХА = АВМС. Докажите,
что В Х = ВМ .
К-З

Вариант 4

1°. Треугольники АВС и МРО рав­
ны. Известно, что ВС = 35 см, АА = 65°,
АС = 102°. Найдите соответствующие
утлы и сторону треугольника МРО.
2°. Отрезки АВ и CD равны, ААВХ =
= ACDM. Докажите, что AD = СВ
(рис. 41).
3. На боковых сторонах АС и ВС
равнобедренного треугольника АВС
(АВ — основание) взяты соответственно
точки Р и О, такие, что АР = ВО. До­
кажите, что АО = ВР.
Рис. 41
47

48

К-4

Вариант 1

1°. Параллельные прямые а и Ь
пересечены прямой с, А1 = 22°. Найди­
те А2 (рис. 42).
2°. В треугольнике ABC А А + АВ =
= 100°. Чему равен угол С?
3. В треугольнике АВС углы 1, 2,
3 •— внутренние, а углы 4, 5, 6 — внеш­
ние.
а) A1 : А2 : АЗ = 1 : 2 : 3 . Найдите
эти углы.
б) АЪ + Z6 = 120°. Найдите А \ .
К-4
1°. Параллельные прямые с и р
пересечены прямой а, А1 = 100°. Най­
дите А2 (рис. 43).
2°. В прямоугольном треугольни­
ке АВС (ВС — гипотенуза) угол В ра­
вен 30°. Чему равен угол С?
3. В треугольнике АВС углы 1, 2,
3 — внутренние, а углы 4, 5, 6 — внеш­
ние.
а) Могут ли углы 1 и 2 быть тупы­
ми?
б) А1 = 30°, А5 = 140°. Найдите А2
и АЗ.

Вариант 2

К-4
1°. Параллельные прямые б и с
пересечены прямой а, А1 = 54°. Найди­
те А2 (рис. 44).
2°. В равнобедренном треугольнике
АВС (АВ — основание) угол при вер­
шине С равен 60°. Найдите углы при
основании АС этого треугольника.
3. В треугольнике АВС углы 1, 2,
3 — внутренние, а углы 4, 5, 6 — внеш­
ние.
а) Могут ли А2 и АЗ быть прямы­
ми?
б) Аб = 3 - А 1 , АЗ = 2 • А1. Найдите

Вариант 3

A l , А2, АЗ.
49

60

К-4

В ариант 4

1°. П аралл ел ьн ы е п рям ы е а и с
пересечены прям ой b, А 1 = 43°. Н айди ­
те Z 2 (рис. 45).
2°. В равнобедренном треугольни­
ке А В С (А В — основание) угол А при
основании А С равен 35°. Н айдите углы
при верш ин ах В и С треугольн и ка
АВС.
3. В треугольн и ке А В С углы 1, 2,
3 — внутренние, а углы 4, 5, 6 — внеш ­
ние.
а) М огут л и /Л и А З быть п рям ы м
и тупым?
б) Z.6 = 120°. А1 - А 2 = 30°. Н айдите
углы 1, 2, 3.

51

62

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Задачи к § 1
1. Даны две прямые АВ и АС. Лежит ли точка В на
прямой АС? Объясните ответ.
2. Сколько точек пересечения могут иметь три прямые,
каждые две из которых пересекаются?
3. Прямая а пересекает прямую АВ. Пересекает ли пря­
мая а отрезок АВ?
4. Сколько точек пересечения могут иметь два отрезка,
не лежащие на одной прямой? Объясните ответ.
5. Даны три точки А, В и С, не принадлежащие прямой
а. Сколько отрезков из числа соединяющих три данные
точки может пересекать прямая а?
6. Могут ли для трёх точек А, В и С прямой выполнять­
ся одновременно равенства АВ + ВС =АС и АС + СВ = АВ?
7. Точка А лежит на прямой ВС. Лежит ли точка В
между точками А и С, если АВ + АС = ВС? Ответ объясните.
8. Расстояние от Земли до Солнца равно 150 млн км,
а до Луны — 400 тыс. км. Чему равно расстояние от Луны
до Солнца во время солнечного затмения? лунного затме­
ния?
9. Точки А, В и С лежат на прямой. Какая из этих
точек лежит между двумя другими, если АВ=АС? Объ­
ясните ответ.
10. Сколько углов, равных 60°, можно отложить от дан­
ной полупрямой?
11. Из вершины развёрнутого угла проведён луч, обра­
зующий с одной из его сторон угол в 40°. Какой угол обра­
зует этот луч с другой стороной данного развёрнутого угла?
Ответ объясните.
12. От полупрямой АВ отложены два различных угла
ВАС и BAD с одной и той же градусной мерой. Пересекает
ли прямую АВ отрезок CD?
13. Имеется кусок проволоки длиной 8 м. Можно ли
сделать из него треугольник, равный треугольнику со сто­
ронами, равными 2 м, 3 м и 4 м?
14*. Существуют ли два равных треугольника АВС и
A BD , вершины С и D которых лежат в разных полупло­
скостях относительно прямой АВ? Объясните ответ.
53

15. А А В С = /\P Q R . И мею тся л и равны е стороны у тр е­
угольн и ка A R C и к ак и е именно, если A R = Q R ?
16. Д аны пересекаю щ иеся п рям ы е А В и CD. Ч ер ез точ­
к у В проведена п р ям ая Ъ, п ар ал л ел ь н ая А С , а чер ез точ­
к у С — п р ям ая с, п ар ал лел ьн ая А В . Д о к а ж и те , что п р я ­
мы е б и с пересекаю тся (не п араллельн ы ).
17. Д ан треугольник А В С . С помощ ью у го л ь н и к а и
лин ей ки постройте другой треу го льн и к, стороны которого
л еж ат на п рям ы х, п ар ал лел ьн ы х п р ям ы м А В , В С и А С
соответственно.
18. Н а рисунке 46 п оказано, что четы ре то чк и могут
определять одну, четы ре и ли ш есть п р ям ы х . Д о к аж и те,
что других случаев нет.

Р и с. 46

19. С колько точек пересечения могут иметь четы ре
попарно пересекаю щ иеся п рям ы е? Д л я каж дого возм ож но­
го случая сделайте рисунок.
20*. Д окаж и те, что п ять точек могут определять одну,
п ять, ш есть, восемь или десять п рям ы х.
Зад ач и к § 2
21. К акой угол образуют часовая и м и н у тн ая стрелки
часов, когда они показы ваю т 18 ч, 13 ч, 15 ч?
22. Н айдите угол м еж ду стрелкам и часов, если они
показы ваю т 18 ч 15 м ин, 9 ч, 9 ч 15 мин.
23. В результате повы ш ения давлени я н а одну атмосф е­
ру стрел ка м анометра отклоняется вправо, о п исы вая угол,
равны й 6 . К акой угол опиш ет стрелка маном етра при уве­
личен ии давления н а 8 атмосфер?
24. Д аны два неравны х угла. Д о к аж и те, что больш ему
углу соответствует м еньш ий см еж ны й угол, а м еньш ем у —
больш ий см еж ны й угол.
54

25. Докажите, что если смежные углы равны, то они
прямые.
26. Почему при двойном складывании листа бумаги
получается прямой угол?
27. Дан угол (ab). Провели полупрямую а,, дополни­
тельную к полупрямой а. Затем провели полупрямую Ь.,
дополнительную к полупрямой Ь. Чему равен угол (aft,)?
Какими являются углы (а^Ь) и (a b j? Объясните ответ.
28*. Даны дополнительные полупрямые а г и а2. От этих
полупрямых в разные полуплоскости отложены углы (atb)
и (а2с). Докажите, что если углы (a,b) и (а2с) равны, то
они вертикальные.
29. Сумма вертикальных углов в 2 раза больше смеж­
ного с ними обоими угла. Найдите эти углы.
30*. Докажите, что если два различных прямых угла
имеют общую сторону, то они смежные.
31*. От полупрямой а в одну полуплоскость отложены
углы (аЪ) и (ас). Докажите, что если угол (ab) прямой, то
угол ( Ьс) острый.
32. От луча АВ в разные полуплоскости отложены углы
ВАС и BAD . Пересекает ли прямую А В отрезок CD? По­
чему?
33*. Углы (ab) и (ас) отложены от полупрямой а в одну
полуплоскость, причём угол (аЬ) больше угла (ас). Дока­
жите, что /.(be) = А(аЬ) - /.(ас).
34*. Углы ВАС и BAD отложены от полупрямой АВ в
разные полуплоскости. Докажите, что угол CAD равен сум­
ме этих углов или дополняет её до 360°. А именно, если
сумма градусных мер данных углов не превосходит 180°,
то ACAD = ABAC + ABAD, а если она больше 180°, то
ACAD = 360° - (ABAC + ABAD).
35*. Точки А, В и С не лежат на одной прямой, и точ­
ка Р не принадлежит прямым АВ, АС и ВС. Докажите, что
по крайней мере одна из прямых РА, РВ и PC пересекает
соответственно отрезок ВС, АС или АВ.
36. Докажите, что угол между стороной угла и его бис­
сектрисой не может быть тупым.
37*. Биссектрисы двух равных углов с общей вершиной
лежат на одной прямой. Докажите, что эти углы верти­
кальные.
38. Докажите, что полупрямая, дополнительная к бис­
сектрисе угла (аЬ), образует с его сторонами равные углы.
55

39. Р ав н ы е туп ы е у гл ы (аЬ) и (ас) отлож ен ы от п о лу ­
п р я м о й а в р азн ы е п олу п л о ско сти . Д о к аж и те, что луч а не
я в л я е т с я би ссектрисой у г л а (Ьс).
40. У гл ы , к оторы е образует би ссектриса у гла с его сто­
р о н ам и , н е я в л я ю т с я о стры м и. Ч ем у равен дан н ы й угол?
Задачи к § 3
41. Д ан а п о л у п р я м ая а с н ачалом в точке А .
а) О тл ож и те от п олупрям ой а в заданную полуплоскость
угол в х°. С колько углов с данной градусной мерой м ож но
о тл о ж и ть от п олуп рям ой а в заданную полуплоскость?
б) О тлож ите н а полупрям ой а отрезок А Б = у см. С коль­
ко отрезков с данной длиной м ож но о тлож и ть на п о лу п р я­
м ой а от её начальн ой точки?
в) О тлож ите н а другой стороне у гл а А отрезок А С =
= г см. С колько отрезков с данной длиной м ож но отлож и ть
н а лю бой полупрям ой а от её начальн ой точки?
г) Соедините точки В и С отрезком. И зм ерьте сторо­
н у ВС и углы В и С у треугольн и ка А В С . С равните и х с
соответствую щ ими углам и и стороной всех треугольников,
построенны х другим и учащ им ися. Р авн ы л и эти треуголь­
н и ки ?
42. Д аны треугольник А В С и п олуп рям ая. Сущ ествует
ли треугольник P Q R , равны й треугольнику А В С , которы й
располож ен так , что одна его верш ина совпадает с началом
данной полупрямой, другая
п рин адлеж ит полупрям ой,
а третья леж и т в заданной полуплоскости относительно
полупрямой и её продолж ения?
43. Три п осёлка В , С и D располож ены т а к , что С н ах о ­
дится в 7 км к ю го-западу от п осёлка В , а посёлок D —
в 4 км на восток от В . Три других п осёлка А , К и М р ас­
полож ены т ак , что посёлок М находится в 4 к м к ю гу от
п осёлка К , а посёлок А — в 7 к м к ю го-востоку от посёлка
М . Сделайте чертёж и докаж ите, что рассто ян и я м еж ду
посёлкам и С и В и посёлкам и К и А равны .
44*. И з п ун кта А к острову В требуется провести теле­
фонную связь. К ак, не п ереплы вая р еку , н айти необходи­
мое количество (длину) телефонного кабел я?
45. В равнобедренном треугольн и ке А В С с основанием
А В точка М — середина стороны А В . Н айдите у глы тр е­
угольн и ка В СМ , если А А = 40°, АС = 100°.
46. И з пунктов А и М , расстояние м еж ду которы м и
известно, требуется прорубить п росеки в н ап р ав л ен и ях А В
и M N (рис. 47). Н айдите дл и н у к а ж д о й п росеки до их
пересечения.
56

м

47. От оконного стекла треугольной формы откололся
один из его углов. Можно ли по сохранившейся части зака­
зать стекольщику вырезать оконное стекло той же формы?
Какие следует снять размеры?
48. Дан равносторонний треугольник АВС. На его сто­
ронах А В, ВС и СА отложены соответственно равные отрез­
ки ААХ, В В 1 и СС1. Докажите, что треугольник А 1В 1С1
равносторонний.
49. Дан равносторонний треугольник АВС. На полупря­
мых А В, ВС и СА отложены соответственно равные отрез­
ки ААХ, В В Х и CCj, которые больше стороны данного тре­
угольника. Докажите, что треугольник А 1В 1С1 равносто­
ронний.
50*. Найдите ошибку в доказательстве следующего
утверждения: «Любой треугольник равнобедренный».
Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник.
Отметим на стороне ВС такую точку D, что BD = DC и
AD ± ВС. Тогда AADB = A ADC. Это значит, что АВ =АС,
т. е. треугольник АВС равнобедренный.
51. В треугольнике медиана равна половине стороны,
к которой она проведена. Докажите, что один из углов это­
го треугольника равен сумме двух других.
52. Треугольник, периметр которого равен 15 см, делит­
ся медианой на два треугольника с периметрами 11 см
и 14 см. Найдите длину этой медианы.
5 3*. Докажите, что если биссектриса треугольника
делит его периметр пополам, то треугольник равнобедрен­
ный.
5 4*. Докажите, что если высота треугольника делит его
периметр пополам, то треугольник равнобедренный.
55. Докажите, что если медиана треугольника делит его
периметр пополам, то треугольник равнобедренный.
57

56. При постройке кровель, мостов и подобных соору­
жений скрепляют опорные брусья или балки так, чтобы
они образовывали систему треугольников. Почему такое
расположение балок лучше обеспечивает неизменность
формы сооружения, чем другие?
57. Столяру надо заделать отверстие треугольной фор­
мы. Какие размеры нужно снять, чтобы изготовить латку?
58*. Найдите ошибку в решении следующей задачи:
«Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС.
На луче, исходящем из вершины А и пересекающем осно­
вание ВС, отмечена такая точка D, для которой AABD =
= /_ACD. Равноудалена ли точка D от точек В и С?»
Решение (рис. 48). Так как треугольник АВС равнобед­
ренный с основанием ВС, то /.ABC = Z.ACB, А по условию
ААВП = AACD. Значит, ADBC = A DCB (каждый из этих
углов равен разности соответственно равных углов).
Получается, что у треугольника DBC углы при вершинах
В и С равны. По теореме 3.4 этот треугольник равнобедрен­
ный. Поэтому BD = CD, т. е. точка А находится на одина­
ковом расстоянии от точек В и С.

Задачи к § 4

59. Докажите, что середина отрезка с концами на двух
параллельных прямых является серединой проходящего
через неё другого отрезка с концами на тех же прямых.
60. Докажите, что прямые, параллельные перпендику­
лярным прямым, сами перпендикулярны.
61. Постройте какой-нибудь треугольник АВС. Измерьте
его углы А, Б и С и найдите их сумму. Сравните её с сум­
мой углов треугольников, построенных другими ученика­
ми. Чему равна сумма углов произвольного треугольника?
58

62. 1) Докажите, что если сумма внутренних односто­
ронних углов меньше 180°, то их стороны, не лежащие на
одной прямой, пересекаются.
2) Дан треугольник АВС. От полупрямой А В в полупло­
скость, где лежит точка С, отложен угол ВАМ, меньший
угла А треугольника А ВС. Пересекает ли луч A M отре­
зок ВС? Ответ обоснуйте.
3) Докажите, что любые две биссектрисы треугольника
пересекаются.
4) Докажите, что любые две медианы треугольника
пересекаются.
63. 1) Докажите, что не существует треугольника, сум­
ма любых двух углов которого меньше 120°.
2) Докажите, что у треугольника, каждый из углов
которого меньше суммы двух других, все углы острые.
64. Докажите, что если у равнобедренного треугольника
угол при вершине, противолежащей основанию, равен 60°,
то такой треугольник равносторонний.
65. У равнобедренного треугольника угол при основании
равен 60°. Докажите, что треугольник равносторонний.
66. Докажите, что два внеш­
них угла треугольника, построен­
ные при одной вершине, равны.
67. На рисунке 49 A B E D = 80°,
A ED C = 25°. Чему должен рав­
няться угол А ВС , чтобы пря- д
мая А В была параллельна пря­
мой C D ?
Рис. 49
68. Докажите, что данный треугольник нельзя разбить
на два равных треугольника прямой, которая проходит
через его вершину и не перпендикулярна противолежащей
стороне.
69. Прямая, проходящая через вершину треугольника,
разбивает его на два равных треугольника. Докажите, что
данный треугольник равнобедренный.
7 0*. У треугольников А ВС и А 1В 1С1 АА = АА1г АС = А 1С1
и А В + В С = А 1В 1 + В 1С1. Докажите, что треугольники
А ВС и А 1В 1С1 равны.
7 1*. У треугольников АВС и А 1В 1С1 АА = ААи АС = А 1С1
и А В - В С = А 1В 1 - В 1С1. Докажите, что треугольники АВС
и А 1В 1С 1 равны.
7 2*. Докажите, что треугольники с равными периметра­
ми и двумя соответственно равными углами равны.
7 3*. Внимательно проанализируйте приводимое ниже
59

в

Рис. 50
д ок азател ьств о теорем ы о сумме углов тр еу го льн и ка и н ай ­
д и те в нём логи ческую ош ибку.
Д ок азател ьство. П усть А В С — дан н ы й треугольн и к.
Р азоб ьём его н а два треугольн и ка, к а к п оказано на ри сун ­
к е 50. О бозначим через ж сумму углов треугольн и ка. Тогда
АХ + А 2 + А З = х; А 4 + А 6 + Z.5 = ж.
С кл ад ы в ая почленно эти равенства, получаем
A 1 + А 2 + А З + А 4 + А 5 + А 6 = 2 х.
Н о АЗ + А4 = 180°, a А1 + А2 + А5 + А6 есть сум м а углов
треугольн и ка А В С , т. е. х . И так, х + 180° = 2 х , откуда
ж = 180°.
74*. Д аны отрезок А В и п р ям а я M N , пересекаю щ ая его.
К ак построить треугольник А В С , такой, чтобы биссектриса
угла С л еж ал а на прям ой M N 2
75. Д ан равнобедренный треугольник А В С с основанием
А В . Н а сторонах А С и ВС взяты соответственно то чки Р и
Q, такие, что А Р = CQ. Д окаж и те, что середина о тр езка PQ
л еж и т н а прям ой, проходящ ей через середины боковы х
сторон треугольника.
76. Д ан равнобедренный треугольник А В С с основани­
ем А В . Через точку О, леж ащ ую н а его основании, про­
ведена п рям ая, пересекаю щ ая п рям ы е А С и В С соответст­
венно в точках Р и Q. Д о к аж и те, что о трезки ОР и OQ
равны .
77. Д ва населённы х п у н к та расп олож ен ы по разн ы е сто­
роны от ж елезной дороги н а одинаковом р асстояни и от неё.
Где надо построить ж елезнодорож ную станцию , чтобы она
бы ла равноудалена от обоих н аселённы х пунктов?
78. Ч ерез селение А провести прям ую дорогу так и м
образом, чтобы пункты В и С о казал и сь н а одинаковом
расстоянии от дороги.
79. Равны е отрезки А В и С В , закл ю ч ён н ы е м еж ду
п араллельн ы м и п рям ы м и А С и B D , п ересекаю тся в точ­
ке О. Д окаж и те, что А О = СО и В О = DO.
60

80. Докажите, что треугольник с двумя равными высотами равнобедренный.
Задачи к § 5
81. Ученик начертил окружность радиусом 30 мм, но
забыл отметить её центр. Как найти центр окружности?
82. В пунктах А , В и С находятся радиостанции мест­
ной связи. Известно, что А В = 12 км, ВС = 15 км, АС =
= 21 км. Радиус уверенного приёма станции, находящейся
в пункте А , равен 9 км, станции в пункте В — 12 км, а
станции в пункте С — 18 км. Взяв масштаб (1 см — 3 км),
изобразите на чертеже зоны уверенного приёма: 1 ) каждой
станции; 2) двух станций — А и В ; 3) станций В и С;
4) всех трёх станций; 5) хотя бы одной станции.
83. Докажите, что если две окружности касаются друг
друга, то точка касания принадлежит прямой, проходящей
через центры этих окружностей.
8 4 *. Стороны А В , ВС и АС треугольника АВС равны
соответственно 4 см, 5 см и 6 см. Постройте три окруж­
ности, центры которых находятся в вершинах треугольни­
ка А ВС , такие, что каждая из окружностей касается внеш­
ним образом двух других.
85. Даны три окружности с центрами 0 lt 0 2 и Оэ и
радиусами соответственно 1 см, 2 см и 3 см, касающиеся
попарно внешним образом. Найдите периметр треугольни­
ка O j Oj CV
86. Даны три окружности с центрами Ol , 0 2, Оэ и ради­
усами соответственно 4 см, 4 см и 10 см, каждая из кото­
рых касается двух других, причём окружности радиусом
4 см касаются окружности
радиусом 10 см внутренним
0
образом. Найдите периметр
треугольника 0 г0 20 3.
87. На рисунке 51 все
проведённые
касательные
проходят через одну и ту же
точку О. Докажите, что
ОА = OD.
88. На железной дороге
требуется построить стан­
цию с таким расчётом, что­
бы она находилась на одина­
ковых расстояниях от двух
населённых пунктов. В ка­
ком случае такую станцию
построить невозможно?
рис. 51
61

89. Какой фигурой является геометрическое место цен­
тров окружностей, отсекающих от данной прямой данный
отрезок АВ?
90. Ученик начертил окружность, но забыл отметить её
центр. Как найти центр окружности, если её радиус тоже
неизвестен?
91. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрез­
ку АВ является геометрическим местом точек пересечения
(касания) окружностей равных радиусов с центрами в точ­
ках А и В.
92. Даны две пересекающиеся прямые. Постройте
окружности, которые касаются этих прямых, причём одной
из них в данной точке.
93. Даны два смежных угла АОВ и ВОС. Постройте две
окружности, каждая из которых касается прямой АС и
прямой ОВ в данной точке.
94. Найдите геометрическое место точек, равноудалён­
ных от двух пересекающихся прямых.
95. Постройте точки, равноудалённые от двух пересека­
ющихся прямых а и Ъ и находящиеся на одинаковом рас­
стоянии от двух данных точек А и В.
96. Два наблюдательных пункта М и N расположены
на двух прямых — пересекающихся дорогах АВ и АС. Как
найти место, равноудалённое от дорог и наблюдательных
пунктов?
97*. 1) Докажите, что центром окружности, описанной
около прямоугольного треугольника, является середина его
гипотенузы.
2) Катеты прямоугольного
треугольника равны а и Ь,
гипотенуза — с. Докажите,
что радиус г вписанной в
него
окружности
равен
а +Ь-с

--- ---- (рис. 52).
Рис. 52

62

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ

С-1
При выполнении всех заданий данной работы, кроме последнего
задания варианта 4, от учащихся не требуется никаких обоснований.
Учащиеся отвечают на поставленные вопросы по рисунку, который они
сделают сами.
В а р . 2. а) Одну прямую.
В а р . 3. а) Одну прямую.
В а р . 4. а) Три прямые; б) три отрезка; в) не существует.
В самом деле, прямые А В и АС пересекаются в точке А . Прямые АВ
и ВС пересекаются в точке В, а прямые ВС и АС — в точке С. Других
общих точек у этих прямых нет, так как две прямые могут пересекать­
ся только в одной точке.
С-2
При выполнении первых заданий достаточно ссылки на основное
свойство измерения отрезков (Ш). Вторые задания касаются взаимного
расположения точек на плоскости и требуют обоснования более полного
(варианты 2—4). Задачи подобного типа решаются, как это делается в
учебнике (задача 17). При этом свойства, которыми по определению
обладает разбиение плоскости на две полуплоскости, применяются в
зависимости от того, что известно, т. е. как для выяснения вопроса,
пересекает ли данную прямую отрезок, концы которого ей не принад­
лежат, так и для обоснования расположения концов отрезка относитель­
но этой прямой, что, безусловно, возможно, так как эти свойства харак­
теризуют разбиение плоскости на две полуплоскости.
В а р . 1. 1. Не принадлежит.
В а р . 2. 1. К С = \1 см. 2. Пересекает.
В а р . 3. 1. Р М = 22 см.
В а р . 4. 1. В М = 6 см. 2. а) Не пересекает; б) не могут. В самом деле,
если отрезки А В и АС пересекают прямую а, то точки В и С лежат
в одной полуплоскости (а именно в той, в которой точка А не лежит).
Тогда отрезок ВС не может пересекать прямую а.
С-3
Наиболее существенным моментом работы является отработка опре­
деления понятия «луч проходит между сторонами угла* и опирающегося
на него основного свойства измерения углов.
В а р . 1 —4. 3. У к а з а н и е . Воспользоваться основным свойством изме­
рения углов (V).
В а р . 4. 2. У к а з а н и е . Воспользоваться определением луча, проходя­
щего между сторонами угла.
С-4
Первые задания данной работы (во всех вариантах) направлены на
отработку определения равных отрезков и углов. При этом следует учи­
тывать, что как геометрические построения, так и измерения с помощью
линейки и транспортира не могут быть проведены с абсолютной точно­
стью. Поэтому, для того чтобы сделать вывод о равенстве изображённых
отрезков или углов в данной работе, достаточно измерить их с одинако­
вой точностью. Вторые задания (во всех вариантах) имеют своей целью
отработку важного для всего дальнейшего изучения геометрии определе­
ния равных треугольников. Работу можно провести сразу же после изу­
чения этого определения на уроке.
63

В а р . 1 . 2. A A t = 60°, А С, = 77°, В ,С , = 10 см.
В а р . 2 . 2 . /_ К = 9 2 ', А Р = 2 6 ', К Р = 6 см.
В а р . 3 . 2. АА = 84°, А К = 68°, К Р = 8 см.
В а р . 4 . 2 . У гл ы т р е у го л ьн и к а АВС: АА = 92°, АВ = 64°, АС = 24°.
У дв у х д р у ги х тр еу го л ьн и ко в у гл ы р авн ы соответственно эти м углам .
С-5
П р о во д и ть п р ям у ю , п ар ал л ел ьн у ю данн ой , с помощ ью л и н ей ки и
у го л ь н и к а у ч а щ и е с я ум ею т. Д ан н ая работа проводится с целью н ап ом ­
н и т ь это п остроени е, которое понадобится им в дальн ей ш ем п ри вы пол­
н ен и и ч е р т е ж е й к до казательств ам теорем и р еш ен и ям задач.
С-6
Д а н н а я сам о сто я тел ь н ая работа, к а к и следую щ ая (С-7), охваты вает
п р а к т и ч е с к и всё содерж ан ие § 1. П оэтом у она дублирует в некоторой
степ ен и все п редш ествую щ ие работы , что п редставляет более ш ирокие
возм ож н о сти д л я орган изац ии сам остоятельной работы учащ и хся.
В частн о сти , если некоторы е и з преды дущ и х работ не бы ли проведены
по како й -л и б о причин е, то этот недостаток м ож но будет устран ить, рас­
п о р яд и вш и сь соответствую щ им образом м атериалом данной и следую щ ей
работ. Тем сам ы м п оявляется возмож ность координировать исп ользова­
н и е обы чны х сам остоятельны х работ и итоговы х к п араграф ам . П ри этом
следует им еть в виду, что вари ан ты работ С-6 и С-7, имею щ ие один и
тот ж е п орядковы й номер, примерно равноценны и , более того, относят­
с я к одной группе вопросов (этим , наприм ер, м ож но воспользоваться д л я
п одготовки у чащ и хся к вы полнению контрольной работы). П ричём за д а ­
н и я первого вари ан та устного хар ак тер а. П о усмотрению у ч и тел я н еко ­
торы е задан и я, в которы х требую тся обоснования, могут вы по л н яться с
сокращ ённы м и (свёрнуты ми) объяснен иям и и л и вовсе без н их . Т аки е
реком ендации ум естны , наприм ер, если задание носит вы чи сли тельн ы й
харак тер и ли если аналогичны е задани я (элементы задани я) у ж е вы п ол ­
н ял и сь учащ и м и ся раньш е. Во всяком случае надо стрем иться к тому,
чтобы с полным объяснением (доказательством) учащ и еся вы п о л н яли не
более одного задани я засамостоятельную работу.
В а р 1. 1. А В = Е Р , BC = D E , CD = B E . 2. a) A D = 35°, А Е = 50°,
A F = 95°; б) А А = 85°, А В = 50°, АС = 45°.
В а р . 2 . 1. A D = 8 см, B D = 12 см. 2. А С = 6 дм, PQ = 3 дм , Q R = 4 дм.
3. Не могут.
В а р . 3 . 1. Н е пересекает. 2. Н е п р ин ад леж и т. 3. А (ас) = 25°,
А(Ьс) = 50°.
В а р . 4 . 1. Т очка А . 2. Н е м ож ет. 3. У к а з а н и е . П р им ен и ть теоре­
м у 1.1.
С-7
В а р . 1. 1. А А = А Р , А В = А Е , АС = AD . 2. а) А В = 2 см , В С = 4 см,
А С = 5 см; б) К Р = 4 см, К М = 6 см, Р М = 7 см.
В а р . 2 . 1. А В = 16 см, В С = 4 см. 2. А В = 40°, А С = 120°, / К = 20°3. Н е могут.
В а р . 3 . 1. П ересекает. 2. А В = 7,5 м , ВС = 4 ,5 м. 3. Н е м ож ет.
В а р . 4. 1. Н е могут. 2. Н е м ож ет. 3. У к а з а н и е . В оспользоваться
тем , что две п рям ы е могут п ересекаться только в одной то чке (см. реш е­
ние задачи 3 к § 1 учебника).
С-8
П ервое задание данной работы н а см еж н ы е у гл ы , а второе ком б ин и ­
рованное.
В а р . 1 . 2. 40°.
В а р . 2 . 1. 36°. 2. A A O B j = 60°, А А хО В , = 120°.
В а р . 3 . 1. 30°. 2. А А О К = 30°, A D O K = 150°.
В а р . 4. 1. 80° и 100°. 2. 60° и 120°.

64

С-9
Относительно данной и следующей работ справедливы все замечания
и рекомендации, высказанные по поводу проведения работ С-6 и С-7.
Кроме того, следует иметь в виду, что работу С-8 можно провести толь­
ко после изучения темы «Вертикальные углы». В то же время первый
вариант двух рассматриваемых работ касается лишь смежных углов, что
позволяет задействовать его раньше работы С-8.
В ар. 1. 1. 165°, 156°, 132°, 111°, 95°, 80°. Большему углу. 2. а) Могут;
б) не могут; в) не могут. 3. 84° и 96°.
В ар. 2. 1. 150° и 30°. 2. 75° и 75°. 3. 65°.
В ар. 3. 1. 20°, 20°, 160° и 160°. 3. 114°.
В ар. 4. 1. 37°, 143°, 143°. 2. 39°. 3. У казан и е. Воспользоваться свой­
ством смежных углов.
С-10
В ар. 1. 1. 20°, 35°, 57°, 86°, 108°, 120°. Меньшему углу. 2. а) Не

могут; б) не могут; в) могут.
В ар. 2. 1. 70° и 110°. 2. 160° и 20°. 3. 84°.
В ар. 3. 1. 90°. 3. 165°.
В ар. 4. 1. 140°, 110°, 30°. 2. 134°. 3. У казан и е. Применить теоре­
му 2.3.
С-11

Обоснование равенства треугольников по данному рисунку имеет сво­
ей целью научить учащихся видеть рисунок, в частности находить вер­
тикальные углы и общие элементы треугольников. При этом, конечно,
многократно повторяются и сами признаки равенства треугольников.
С-12
Задания этой работы предназначены для отработки определения рав­
нобедренного треугольника. В связи с этим вторые задания (во всех вари­
антах), требующие применения для их решения первых двух признаков
равенства треугольников, могут вызвать у учащихся определённые
затруднения. Поэтому в случае необходимости следует обратить внима­
ние учащихся на комбинированный характер этих заданий.
В ар. 1. 1. 4 см, 8 см, 8 см. 2. У к азан и е. Применить II признак
равенства треугольников.
В ар. 2. 1. 2 см, 12 см, 12 см. 2. У казан ие. Применить I признак
равенства треугольников.
В ар. 3. 1. 15 см, 10 см, 10 см. 2. У казан ие. Применить I признак
равенства треугольников.
В ар. 4. 1. 50 см. 2. У казан и е. Применить II признак равенства
треугольников.
С-13
Данная работа может проводиться после изучения учащимися всех
трёх признаков равенства треугольников.
В ар. 1. 2. У к азан и е. Применить II признак равенства треугольни­
ков.
Вар. 2. 2. У к азан и е. Доказать сначала, что треугольник АВС рав­
нобедренный с основанием АВ.
Вар. 3. 2. У к азан и е. Применить теорему 3.3 и П признак равенства
треугольников.
Вар. 4. 1. У к азан и е. Доказать сначала, что треугольники АОВ и
AOD равны, а затем воспользоваться свойством «если смежные углы рав­
ны, то они прямые*.

65

С-14
Задания первого варианта этой работы могут быть предложены для
устного решения. В остальных вариантах первое задание выполняется
без обоснований (задачи подобного типа уже решались). Второй и третий
варианты данной работы примерно одинаковой сложности. В случае
необходимости при выполнении одного из заданий варианта подробных
объяснений можно не требовать. Достаточно, например, чтобы учащиеся
назвали только признак, по которому равны треугольники.
В а р . 1. 1. ААВС = ААС2В (по стороне и прилежащим к ней двум
углам); ААВС = А А В 1С 1 (по двум сторонам и углу между ними);
ДСАВ = АСА^В (по трём сторонам).
В а р . 2. 1. 1,6 м. 2. AAMD = ACMD по двум сторонам и углу между
ними.
В а р . 3. 1. 0,8 м. 3. ACBD = AC1B lD l по двум сторонам и углу меж­
ду ними.
В а р . 4. 1. CD = 10 см.
С-15
По поводу данной работы справедливы все рекомендации, касающи­
еся предыдущей работы. Надо только заметить, что задания этой работы,
особенно в вариантах 2—4, более трудоёмки, чем в С-14. Поэтому одно
из двух последних заданий при её проведении можно снять.
В а р . 1. 1. ААВС = АА В2С (по стороне и прилежащим к ней углам);
ААВС = А А ВХСУ(по двум сторонам и углу между ними, АСАВ = АС1А В 1
как вертикальные); ААВС = А А ХСВ (по трём сторонам).
В а р . 2. 1. 0,4 м; 1,4 м; 1,4 м. 2. ADBO = АСВО в равнобедренном
треугольнике DBC, а значит, ВО является и медианой, и высотой AD BC,
т. е. ВО -L СО. 3. У к а з а н и е . Воспользуйтесь теоремами 3.5 и 2.3.
В ар . 3. 1. 1,3 м; 1,3 м; 2,3 м.
В ар . 4. 1. 20 дм.
С-16
Отличительной особенностью этой работы следует считать необходи­
мость обоснования того (при решении вторых заданий), являются ли
данные углы внутренними односторонними или накрест лежащими (для
отработки этих определений). Делается это с помощью аксиомы разбие­
ния плоскости на две полуплоскости (IV). Но если в § 1 ссылки на акси­
ому IV были развёрнутыми, полными, то здесь они становятся свёрну­
тыми, укороченными и только содержательными. Например, «эти углы
являются внутренними накрест лежащими для прямых АС и BD и секу­
щей АВ, так как точки С и D лежат по разные стороны от секущей
(отрезок CD пересекает прямую АВ в точке О)* или «эти углы являются
внутренними односторонними для..., так как точки С и ! ) лежат по одну
сторону от секущей (отрезок CD не пересекает прямую А В )*. Причём
слова, стоящие в скобках, могут произноситься только устно, а в тетра­
ди не записываться, что позволяет и сэкономить время, и сделать
процесс повторного чтения решения учащимися активным. Отсутствие
некоторых аргументов, которые легко восстанавливаются, заставит их
читать текст более вдумчиво и внимательно. В последующем, начиная
с \ПП класса, от записи обсуждаемой аргументации в тетради следует
отказаться вовсе, ограничившись одной констатацией факта: «такие-то
углы внутренние односторонние, а такие-то накрест лежащие».
В а р . 1. 1. 72°, 108°.
В а р . 2. 1. 74°, 106°.
В а р . 3. 1. 36°, 144°.
В а р . 4. 1. 135°, 45°. Имеется ещё три угла по 135° и три угла по 45°.

66

С-17
Данную самостоятельную работу можно проводить после изучения
пункта 34 учебника.
В а р . 1. 1. 70°. 2. ADOA = 60°.
В а р . 2. 1. ZABC = 120°. 2. /LDAB = 50°, IA B D = 20°, AADB = 110°
В а р . 3. 1. А Р М В = 54°. 2. ADAC = 30°, ADCA = 40°, ZADC = 110°
В а р . 4. 1. 40°, 70°, 70°; 40°, 40°, 100°. 2. AADB = 90°, ZABD = 60°
ABAD = 30°.
С-18
Напоминаем, что работы С-18 и С-19 охватывают практически всё
содержание § 4, поэтому требовать от учащихся обоснований во всех
решениях не следует.
В а р . 1. 1. а) 97°; б) 80°; в) 33°; г) 17°. 2. а) 55°, 55°, 70°; б) 70°, 70°,
40°; в) 45°, 45°, 90°; г) 28°, 28°, 124°. 3. 30°, 45°, 105°.
В а р . 2. 1. 115° и 65°. 2. 70°, 70°, 40° или 70°, 55°, 55°.
В а р . 3. 1. Три угла по 45° и четыре по 135°. 2. 60° и 30°.
В а р . 4. 2. 20°, 20°, 140°. 3. У к а з а н и е . Основания данных высот
леж ат у треугольников либо на стороне, прилежащей к этим данным
углам, либо на её продолжении.
С-19
В а р . 1.
38°; в) 48°,
В а р . 2.
В а р . 3.
В а р . 4.

1. а) 80°; б) 17°; в) 97°; г) 33°. 2. а) 90°, 45°, 45°; б) 104°, 38°,
66°, 66°; г) 50°, 65°, 65°. 3. 36°, 48°, 96°.
1. По 60°. 2. 100°, 40°, 40°.
1. Не может. 2. 30° и 60°.
2. 80°, 80°, 20° или 40°, 40°, 100°.

С-20
Эта работа даётся на закрепление определения окружности и свойств
взаимного расположения двух окружностей. Задания в работах достаточ­
но просты и не требуют обоснований.
В а р . 1. 1. Построение точек выполняется с использованием циркуля.
2. Построив данную окружность, проведём её радиус и продолжим его
во внешнюю часть окружности. На радиусе и на его продолжении оты­
скиваем центры искомых окружностей.
В а р . 2. 1. Получено 4 отрезка. Центр окружности не лежит на этих
отрезках. 2. 2,5 см.
В ар. 3. 1. См. вар. 2, задание 1. 2. 6 см.
В а р . 4. 2. Точка касания двух окружностей лежит на прямой, соеди­
няющей их центры. Так как данные окружности имеют общий центр, то
точки касания третьей окружности с ними принадлежат прямой, про­
ходящей через их центры. Значит, четыре точки — два центра и две
точки касания — лежат на одной прямой. При этом точки касания могут
лежать либо по одну сторону от общего центра, либо по разные.
С-21, С-22
В качестве заданий этих работ предлагаются простейшие геометри­
ческие построения, поэтому для их выполнения учащимся достаточно
указать последовательность построений и произвести их на чертеже.
С-23
Решение первых заданий (во всех вариантах) этой работы предпо­
лагает соответствующие доказательства. Для выполнения вторых зада­
ний используются свойства серединного перпендикуляра (теорема 5.3).
В ар. 1. 1. Серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
В ар. 2. 1. Искомое геометрическое место точек состоит из биссектрис
четырёх углов, образованных при пересечении данных прямых.
67

с
в

в

ь

А

а

ъ

_________________ а_

А

Рис. 53

С

Рис. 54

В а р . 3 . 1. П р я м а я , п ар а л л ел ь н а я д ан н ы м , п р о х о д ящ ая н а оди н ако­
вом расстояни и от них.
В а р . 4 . 1. П усть С — то ч к а иском ого геом етрического места точек.
П роведём через то чку С п р ям ую , п ер п ен ди ку л яр н у ю данн ы м п ар а л л ел ь­
н ы м п рям ы м а и Ь. Она пересечёт их в некоторы х то ч ках А и Б . И меем
А В = d , А С + В С = 2 d . Т очка С не м ож ет л е ж а т ь м еж ду А и С, т а к к а к
АС + В С = 2d * d . Если то ч к а В л еж и т м еж ду А и С (рис. 53), то А В + В С =
= АС, т. е. АС = ВС + d . Р е ш а я систем у уравн ен ий
(АС + ВС = 2d,
[АС + BC = d,
d
Ь
2
находим: АС = 3^-, ВС =
Если то ч к а А
л еж и т м еж ду Б и С (рис. 54), то аналогично
находим: АС =
ВС = 3 ^ . П оэтому искомое

d
а
d

геометрическое место точек состоит из двух
п рям ы х, п араллельны х а и Ь, отстоящ их от
н их на расстояниях ^ и 3 ^ (рис. 55).

2

Рис. 55

С-24, С-25
Эти самостоятельны е работы даны ко всему п ятом у п ар агр аф у , поэто­
м у в н их имею тся все виды задач, встречавш иеся в работах и п ун ктах
§ 5. Н аряду с этим здесь в значительной степени исп ользуется и м ате­
риал всего курса геометрии VII класса. П оэтому эти две работы м ож но
использовать и при подготовке к контрольной работе по § 5, и при орга­
н изац ии повторения всего курса геометрии V II класса.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫМ ЗАДАНИЯМ
Д-1

У к а з а н и е . П ри вы полнении первы х трёх у п р аж н ен и й и спользуется
основное свойство и зм ерения отрезков: первое уп раж н ен и е непосред­
ственно связан о с ним, а два остальны х рассчитаны на его прим енение.
Это ж е свойство используется и д л я объяснения ответа на вопрос четвёр­
того уп р аж н ен и я: A D < АС, т ак к а к то чка D по условию п р и н ад леж и т
отрезку АС; АС < А В , т а к к а к С — точка отр езка А В , зн ачи т, A D < А В .
Задан и е м ож но п редлагать после и зучен ия п у нкта « И зм ерени я отрез­
ков*.
Д -2
В а р . 1 . У к а з а н и е . П ри реш ении задани й 2 —4 использую тся сооб­
р а ж ен и я , с помощ ью которы х реш ались у п р аж н ен и я 17— 18 к § 1 учеб68

ника. По усмотрению учителя при выполнении задания 2 можно огра­
ничиться двумя отрезками: пересекающим прямую а и не пересекающим
её. Предлагать задания для выполнения следует после изучения пункта
«Полуплоскости».
В ар. 2. 4. У к а зан и е . Следует дважды использовать теорему 1.1.
Д -з

В ар. 1. У к а зан и е . Первые три упражнения этого задания вполне

аналогичны соответствующим упражнениям Д-1. При их решении при­
меняется основное свойство измерения углов. Четвёртое упражнение
относится к самому определению луча, проходящего между сторонами
угла. Ответ на поставленный в нём вопрос положителен, если угол
\ab) — развёрнутый. Кстати, для угла, который меньше развёрнутого,
только один из двух дополнительных лучей сх или с может проходить
между сторонами угла (ab ). Задание можно предлагать как во время
изучения § 2 учебника, так и непосредственно после изучения пункта
«Угол».
В ар. 2. У к а зан и е . Проведите доказательство утверждения 1 спосо­
бом от противного. В доказательстве утверждения 2 используется теоре­
ма 1.1. Для доказательства третьего надо провести отрезок с концами на
сторонах угла, соединяющий точку А с одной из точек С или D.
Последнее утверждение при доказательстве способом от противного сво­
дится к третьему, так как по определению луч, проходящий между сто­
ронами угла, пересекает какой-нибудь отрезок CD с концами на сторонах
этого угла. В формулировке использовано упражнение 49 к § 1 учебника.
Задание можно предлагать после изучения пункта «Доказательство от
противного».
Д-4
У к а зан и е . Задание преследует цель закрепления свойств смежных
углов. В упражнении 4 углы АВС и CBD имеют общую сторону, а зна­
чит, остаётся доказать, что полупрямые А В и BD — дополнительные.
Для этого надо рассмотреть полупрямую, дополнительную к АВ (или
BD ), и доказать, что она совпадает с полупрямой BD (или АВ) с помо­
щью аксиомы VII.
Д-5
У к а зан и е . Упражнения, включённые в это задание, или им подоб­
ные учащиеся уже решали при изучении предшествующего материала.
Но тогда их решения не связывались явно с рассуждением от противно­
го. Поэтому целесообразно прорешать эти задачи снова, акцентируя вни­
мание учащихся на том, что все объяснения проводятся единым спосо­
бом.
д -6

У к а зан и е . Задание построено на материале пункта «Равнобедренный
треугольник» и упражнения 1 к § 3, которое решено в самом учебнике.
Упражнение 1 является подготовительным для упражнения 2, а оно, в
свою очередь, — для упражнения 3. Для доказательства утверждения
упражнения 4 надо продолжить медиану на её длину. Тогда получится
ситуация, рассмотренная в предыдущих упражнениях.
Д-7

В ар. 1. У к азан и е. Чтобы доказать равенство каких-нибудь двух
отрезков или углов, надо указать равные треугольники, у которых
данные отрезки и углы являются соответствующими элементами.
С помощью утверждения упражнения 1 доказывается утверждение
упражнения 2, а с помощью последних — утверждение упражнения 3.
Упражнение 4 включает элементы двух предыдущих. При этом сначала
69

надо устан о ви ть равенство отрезков О В и O D , и сп о л ьзу я условие.
В р е ш е н и я х и сп ользую тся все тр и п р и зн а к а равенства тр еу го л ьн иков,
п оэтом у зад ан и е м ож н о п р едл агать после и х и зу чен и я.
В а р . 2 . У к а з а н и е . П р едл о ж ен н ая зад ач а м о ж ет бы ть реш ен а с
пом ощ ью р а зл и ч н ы х п р и зн а к о в равенства тр еу гольн иков. Всего н асч и ты ­
вается до сем и вари ан тов р еш ени й. У чащ и м ся п р едл агается н ай ти т о л ь­
к о д в а и з н и х . П одводя и тоги, ж елательн о п р о ан али зи р о вать все сущ е­
ственно р азл и ч н ы е доказательств а, н айденны е у ч ащ и м и ся . П ри этом
надо обратить особое вн и м ан и е на «чистоту» доказательства: в каж дом
доказательстве не долж но бы ть т а к и х у твер ж дени й, которы е не исп оль­
зую тся по сущ еству д л я реш ен и я задачи . Т а к а я постановка вопроса п р и ­
учает у ч а щ и х ся к наиболее эконом ном у по объёму п исьм енном у оф орм ­
лению реш ени я и способствует разви тию логи ческого м ы ш л ен и я.
Д -8
У к а з а н и е . Все у п р аж н ен и я данного зад ан и я реш аю тся с помощью
теоремы 4 .3 в части, касаю щ ей ся вн утрен н их односторонних углов
(уп раж н ени я 1—3), и её следствия (у п р аж н ен и е 4).
Д -9
У к а з а н и е . П ервы е тр и у п р аж н ен и я данного за д а н и я вполне ан ал о­
ги чн ы соответствую щ им у п р аж н ен и ям преды дущ его. Д л я реш ен и я всех
уп раж н ен и й и спользуется та ж е теорема 4 .3 , но в части , касаю щ ей ся
вн утрен н их н акрест л е ж а щ и х углов.
Д-10
В а р . 1. У к а з а н и е . У п р аж н ен и я 1 и 4 задан и я посвящ ен ы равн о­
стороннему треугольнику (кстати , д л я р еш ени я последнего и з н и х надо
сначал а доказать, что тр еугольн ик А 1В 1С 1 равносторонний). В объясне­
н и я х к ответам н а вопросы уп раж н ен и й 2 и 3 п рим ен яется д о к а за те л ь­
ство от противного. Задание п редлагается после и зучен ия соответствую ­
щ его п ункта учебника.
В а р . 2 . У к а з а н и е . П ри доказательстве у тверж дени я у п р аж н ен и я 3
предполож ить, что точки С и С, л е ж а т по одну сторону от п р ям ой А В ,
тогда углы САВ и С гВ А , а т а к ж е углы С В А и С 1А В будут внутренним и
односторонними, т. е. /.С А В + /,С 1В А = 180° и /.С В А + /_С1А В = 180°. Но
сумма углов САВ и СВА (к а к углов треугольн ика А В С ) и углов С гВ А и
CjAB (к а к углов треугольника СХА В ) меньш е 180°. П риходим к проти во­
речию. Это утверж дение т а к ж е мож но д о казать, вы полн ив доп олни тель­
ны е построения: через каж дую верш ину треугольн ика А В С и середину
противополож ной стороны провести лу чи и построить на н и х то ч к и A lt
В j, Cj точно т ак ж е , к а к строилась то чка D в доказательстве теоремы
4.4 о сумме углов треугольника.
В а р . 3. У к а з а н и е . Чтобы реш ить задачу, сначала надо у становить,
к а к и е стороны равнобедренны х треугольников A C D и A B D м огут бы ть
и х основаниям и. М ожет л и сторона А В бы ть основанием тр еу гол ьн ика
A B D ? Н ет, не м ож ет, т ак к а к / D A B < /.С А В = / В . Зн ач и т, его основа­
н и я м и могут быть только стороны AD и B D . М ожет л и сторона A D бы ть
основанием равнобедренного треугольн ика A D C ? Н ет, не м ож ет, потому
что CD < ВС = АС . Зн ач и т, основаниям и этого тр еу го л ьн ика м огут быть
только стороны А С и CD.
И так , возмож ны четы ре случая:
1. А В = B D и А С = A D (основания A D и CD).
2. А В = B D и A D = CD (основания A D и АС ).
3. А В = A D и A D - CD (основания B D и АС).
4. А В = A D и A D = А С (основания B D и CD).
Разобрав со всем классом н ачало р еш ени я, следует п редл о ж и ть у ч а ­
щ и м ся рассмотреть эти случаи подробно. П ервы й случай — первы й вар и ­
ант, второй — второй вар и ан т и т. д. П ричём учащ и еся д о л ж н ы либо

70

найти углы треугольника АВС, либо доказать, что рассматриваемый ими
случай невозможен. Ответ. Случаи 1 и 4 невозможны, так как смежные
углы AD B и ADC не могут быть оба острыми, т. е. углами при основании
равнобедренного треугольника; в случае 2 / A = / R =
f /_с =
в случае 3 А А —AS —72 , АС —36°. Задача представляет собой развитие
темы задачи № 28 к § 4 учебника.
В а р . 4. У к а зан и е . Задача повторяет упражнение 18 к § 3 учебника.
Но если раньше (при изучении материала § 3) учащиеся могли решить
её только с помощью признаков равенства треугольников, то в конце го­
да они могут применить все знания, которые они получили в VII классе.
Поэтому возможны решения этой задачи с использованием теоремы 4.4.
Отметим два из них. Основная идея первого — доказать, что каждая
сторона исследуемого треугольника (с вершинами в середине сторон дан­
ного) равна половине стороны исходного, используя свойство равнобед­
ренного треугольника с углом 60°, противолежащим основанию. Основ­
ная идея второго — доказать сначала, что все углы исследуемого
треугольника равны 60°. Следует подчеркнуть, что, хотя первое из от­
меченных доказательств сложнее решения с помощью первого признака,
оно даёт больше информации о свойствах рассматриваемого треугольника.
Д-11
У к а зан и е . Задание представляет собой развитие темы упражнения
50 к § 4. Использовано также упражнение 41 к § 5 (утверждение 2).
Обоснование первых двух утверждений опирается на свойство парал­
лельных прямых как равностоящих. Выполнение третьего задания пред­
полагает только изложение схемы построения. В случае необходимости
дать следующие вводные данные: а = 2 см, Л= 4 см, г = 2 см. Для дока­
зательства утверждения упражнения 4 надо установить, что любая точка
плоскости, равноудалённая от прямых Ъ и с, принадлежит прямой а.
При этом проще всего воспользоваться следующим свойством трёх точек
на прямой: если В Х = Х С , то X — середина отрезка ВС.
ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

К-1
В ариант . 1. 1°. А В = 15 см. 2°. А(аЬ) = 40°. 3. a) A M =12,5 см,
М В = 7,5 см; б) расстояние между серединами отрезков A M и М В равно

10 см.

В а р и а н т 2. 1°. АС = 10 см. 2°. А(са) = 10°. 3. а) РВ = 5 см, В К =
= 11 см; б) FD = 7 см, CF = 14 см.
В а р и а н т 3. 1°. М К = 11 см. 2°. А(рЬ) = 58°. 3. АС может равняться

18 см или 4 см. 4. Не лежат.
В а р и а н т 4. Г. А В = 18 см. 2°. А(ра) = 85°. 3. Не могут. 4. Не могут.
К-2
В а р и а н т 1. 1°. a) АКОВ и АВОР, АВОР и APQA, АРОА и ААОК,
ААОК и / КОИ (У казан ие. Обосновать, что эти пары углов смежные,
можно для одной пары); б) ААОК = АВОР, ААОР = АВОК. 2. ААОК = 30°,
АКОВ ---150°, АВОР = 30°. 3. Эти углы тупые.
В а р и а н т 2. 1°. а) A M В К и ААВС, /АКВА и АСВМ , А М В К = AASC,
А К В А = АСВМ; б) А М В К + /Ж В А = 180°, АКВА + ААВС = 180°,
ААВС + АСВМ = 180°, АСВМ + А М В К = 180°. 2. А К В А = 110°, ААВС =
= 70°, А М В К = 70°. 3. Эти углы прямые.
В а р и а н т 3. 1°. а) А А К М и АМ КС , A M КС и АСКО , АСКО и АОКА ,
АОКА и А АК М . Сумма каждой пары углов равна 180°; б) А А К М = АСКО,
ААКО = АСК М , так как эти углы вертикальные. 2. А А К О -125,
А А К М = 55°, АСКО = 55°. 3. Эти углы острые.
71

В а р и а н т 4 . 1°. a) А Е М Р и А К М А , А Р М К и /LA M E , А Е М Р —А К М А ,
А Р М К = /L A M E ; б) А Е М Р + А Р М К = 180°, А Р М К + А К М А = 180°,
А К М А + А А М Е = 180°, А А М Е + ZLEMP = 180°. С умма эти х углов равна
180°, т а к к а к эти у гл ы см еж н ы е. 2. А А М К .= 4 Ъ °, А Р М К = 135°,
А Е М Р = 45°. 3. И ско м ы й угол равен 90°.
К -3
Вариант
Вариант
Вариант
Вариант

1.
2.
3.
4.

1°.
1°.
1°.
1°.

P M = 5 см, К М = 1 0 см, А К = 36°.
ВС = 20 см , АС = 54°, A D = 60°.
D B = 12 см, О В = 74 см , АО = 76°.
ОР = 35 см, A M = 65°, АО = 102°.

К-4
В а р и а н т 1. 1°. А2 = 22°. 2°. АС = 80°. 3. а) А 1 = 30°, А2 = 60°,
А З = 90°; б) А 1 = 60°.
В а р и а н т 2 . 1°. А 2 = 100°. 2°. А С = 60°. 3. а) Не могут; б) Z.2 = 40°,
А З

=

110 ° .

В а р и а н т 3. 1°. А 2 = 54°. 2°. У глы при основании р авн ы по 60° к а ж ­
ды й . 3. а) Н е могут; б) А1 = 34°, А З = 78°, А 2 = 68°.
В а р и а н т 4 . 1°. А 2 = 43°. 2°. А В = 35°, АС = 110°. 3. а) Н е могут;
б) А 1 = 75°, А2 = 45°, А З = 60°.

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
К ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ ЗАДАЧАМ
1. Не леж и т, т ак к а к у п р ям ы х А В и А С у ж е есть одна общ ая точ­
к а (А).
2. Три и ли одну.
4. Одну и ли ни одной, т а к к а к п р ям ы е, содерж ащ ие данны е отрезки ,
могут иметь не более одной точки пересечения.
5. Три точки по отнош ению к данной п рям ой могут зан и м ать два
различны х п олож ения: 1) все три то чки л е ж а т в одной и з полуп лоско­
стей, определяем ы х прям ой а; в этом случае ни один и з отрезков не
пересекает прямую ; 2) две точки п р ин ад леж ат одной и з уп ом януты х
полуплоскостей, а третья — другой; в этом случае п р я м ая а пересекает
два отрезка, соединяю щ их третью точку с двум я п ервы м и, и не пересе­
кает отрезок с концам и в этих двух то чках .
6. Не могут, потому что и з трёх точек на п р ям о й то л ько одна л еж и т
м еж ду двумя другими (аксиом а П).
7. Н е леж и т.
8. 149 млн 600 тыс. км ; 150 м лн 400 ты с. км .
9. Точка А.
10. Д ва. По одному в каж дой и з двух полуплоскостей, н а которы е
д ан н ая п олуп рям ая и её продолж ение разбиваю т плоскость.
11. 140°. По аксиом е и зм ерения углов.
12. П ересекает. Воспользуйтесь аксиом ам и V II и IV.
13. Н ельзя.
14. Существую т. В самом деле, сущ ествует то чка С, не п р и н ад л е ж а ­
щ а я прям ой А В (1^. Т очки А , В и С я вл яю тся верш и нам и тр еу го л ьн ика,
т а к к а к не л е ж а т на одной прям ой. П р я м а я А В разбивает п лоскость на
две полуплоскости (IV). В одной и з н их л е ж и т то чка С, а в другой сущ е­
ствует т а к а я то чка D , что A A B D = А А В С (по VTTT)
15. И мею тся: А В = ВС.
16. Р е ш е н и е . Если бы прям ы е & и с бы ли п ар ал л ел ьн ы м и , то через
т очку С проходили бы две прям ы е, п араллельны е п рям ой Ь: п р ям ая с и
п р я м ая АС (АС || b по условию). А это невозмож но (по основному свой­
ству п арал л ел ьны х п рям ы х). (У чащ иеся могут дать и другое реш ение,
в котором будет ф и гурировать вместо то чки С то чка В .)
72

17. У к а за н и е . При решении этой задачи предполагается способ
построения прямой, параллельной данной, с помощью линейки и уголь­
ника, который описывается в учебнике на с. 16.
18. У к а за н и е . Для решения данной задачи надо рассмотреть все
возможные случаи: из данных четырёх точек либо все они лежат на этой
прямой, либо только три, либо никакие три не лежат на одной прямой.
19. Одну, четыре или шесть. У к а за н и е . Либо все четыре прямые
проходят через одну точку (рис. 56, а), либо три, а четвёртая их все
пересекает (рис. 56, б), либо никакие три из них не пересекаются в
одной точке (рис. 56, в).
20. Главное при решении этой задачи — исследовать все случаи. Их
возможная классификация такова: 1) все пять точек лежат на одной пря­
мой (рис. 57, а); 2) четыре точки лежат на одной прямой, а пятая — вне
этой прямой (рис. 57, б); 3) существуют три точки (но не более), лежа­
щие на одной прямой. Здесь два подслучая — существует одна такая
тройка (рис. 57, в) или две (рис. 57, г); 4) не существует ни одной трой­
ки точек, лежащих на одной прямой (рис. 57, д, е).
21. 180°, 30°, 90°.
22. 97°, 5°; 90°; 172°, 5°.

а)

б)

е)
Рис. 57
73

23. 48°.
24. У к а за н и е . Воспользоваться свойствами смежных углов.
25. Р е ш е н и е . Так как смежные углы равны, а их сумма равна 180°
(по теореме 2.1), то каждый из них равен 180° : 2 = 90°, т. е. они прямые.
26. См. решение упражнения 25.
27. Углы (а ^ ) и (a6t) вертикальные.
28. Р еш ен и е. Обозначим через 6j полупрямую, дополнительную к 6.
Углы (axb) и (а26г) вертикальные, а значит, равны. Поэтому углы (а2с) и
(а2Ь,) тоже равны. А так как они отложены от полупрямой а 2 в одну
полуплоскость, то луч с совпадает с лучом 6(. То есть данные углы (а,6)
и (а 2с) вертикальные.
29. По 90е каждый.
30. Р е ш е н и е . Пусть ZABC и ZABD — данные прямые углы с общей
стороной АВ. Прямые ВС и BD перпендикулярны прямой А В и проходят
через точку В этой прямой. По теореме 2.3 они совпадают. Значит, точ­
ки В , С и D лежат на одной прямой. Кроме того, точки С и D не могут
лежать в одной полуплоскости относительно прямой АВ (от данной полу­
прямой в заданную полуплоскость можно отложить только один угол,
равный 90°). Поэтому лучи ВС и BD — дополнительные полупрямые.
Это означает, что данные прямые углы смежные.
31. Р е ш е н и е . Пусть угол (ас) равен а . Если а < 90°, то угол (6с) =
= 90° - а , что меньше 90°. Если а > 90°, то £-(Ъс) ** а - 90е, что также
меньше 90°, так как a < 180° (по условию угол (ас) отложен в полупло­
скость, а значит, не является развёрнутым). В обоих случаях угол (6с)
острый.
32. У к а за н и е . Воспользоваться аксиомой IV о разбиении плоскости.
33. У к азан и е. Взять на лучах а , а 1 (дополнительный к а) и 6 точки
А, А, и В соответственно. Далее воспользоваться утверждением задачи 22
к § 2 учебного пособия применительно к лучу с и смежным углам (аб)
и (aj6).
34. У к а за н и е. Отрезок CD пересекает прямую АВ, т. е. луч А В или
дополнительный к нему. Рассмотрите эти случаи отдельно.
35. Р еш ен и е. Прямая АР разбивает плоскость на две полуплоско­
сти. Точка В лежит в одной из них. Если точка С лежит в другой полу­
плоскости, то отрезок ВС пересекает прямую АР. Что и требовалось дока­
зать. Рассмотрим теперь случай, когда точки В и С лежат в одной полу­
плоскости относительно прямой АР. Тогда углы АРВ и АРС отложены
на полупрямой РА в одну полуплоскость и угол ВРС равен их разности
(см. № 33). Если меньше угол АРВ, то луч Р В проходит между сторона­
ми угла АРС, а значит, он пересекает отрезок ВС с концами на сторонах
этого угла (см. № 49 к § 1 учебника). А если меньше угол АРС, то луч
PC проходит между сторонами угла АРВ, а значит, пересекает отрезок
АВ. Утверждение задачи доказало полностью.
36. Р еш ен и е. Если бы угол между биссектрисой и стороной угла
был тупым, т. е. большим 90е, то весь угол был бы большим 2 • 90° = 180°,
что невозможно.
37. У к а за н и е . Воспользоваться свойствами биссектрисы угла и
аксиомой УП об откладывании углов.
38. Р еш ен и е. Так как углы, которые образует биссектриса угла с
его сторонами, равны, то равны и смежные с ними углы (следствие тео­
ремы 2.1), что и требовалось доказать.
39. У к а за н и е . Проведите доказательство способом от противного.
40. 180е.
41. У к а за н и е . Задача представляет собой практическое задание,
направленное на лучшее усвоение учащимися доказательства первого
признака равенства треугольников. В процессе выполнения этого задания
повторяются аксиомы откладывания отрезков и углов, определение
равенства треугольников. При этом градусная мера угла А и длины
отрезков АВ и АС выбираются по согласованию с классом произвольно.
74

но они должны быть одними и теми же для всех учащихся. Проводить
аналогичную работу перед изучением второго признака не рекомендует­
ся, так как и данная работа, и доказательство первого признака явля­
ются для этого хорошей базой. К тому же повторение одного и того же
методического приёма будет нерациональной тратой времени.
42. Существует (по аксиоме VIII).
43. Части горизонта наносятся обычным образом так: север (N ) —
наверху, юг (S ) — внизу, восток (О) — справа, запад (W) — слева. По
условию посёлки В , С и D расположены так, как показано на рисун­
ке 58, а . А посёлки М , К и А расположены так, как показано на рисун­
ке 58, б. При этом B D = К М = 4 км, В С = М А = 7 км и ACBD = АКМ А.
Значит, треугольники CBD и К М А равны по первому признаку. А тогда
CD = К А , что и требовалось доказать.
44. Проведём прямую АС (рис. 59).
Отложим А ХС = А С . Через точку А х про­
ведём
прямую
А ХВ Х
так,
чтобы
АСАХВ Х= АСАВ. При этом точку В х выби­
раем так, чтобы она лежала на прямой
ВС. Тогда А А В С = & А ХВ ХС (по стороне и
двум прилежащим к ней углам). Искомая
длина кабеля равна А ХВ Х.
45. А В = 40°,
АС = 50°,
A M = 90°.
У к а за н и е . Докажите сначала равенство
треугольников A C M и ВСМ .
46. У к а за н и е . Построить треуголь­
ник по стороне A M и двум прилежащим
к ней углам В А М и A M N , а затем изме­
рить стороны, лежащие против этих
углов (см. рис. 47).
47. У к а за н и е . Анализируя условие
задачи, её формулировку можно записать
так: построить треугольник по стороне
и двум прилежащим к ней углам.
48. У к а за н и е.
Воспользоваться
Рис. 59
утверждением N° 12 к § 3 учебника.
75

lA.

49. Р еш ен и е. Пусть АВС — данный равносторонний треугольник,
на продолжении сторон которого отложены равные отрезки ААХ, В В Х и
CCj (рис. 60). Имеем ВАХ = АА1 - АВ, СВХ = В В Х- ВС, АСХ= ССХ- АС.
Правые части этих равенств равны (по условию). Значит, ВАХ= С ВХ= АСХ.
Так как у равностороннего треугольника все углы равны, то смеж­
ные с ними углы тоже равны (следствие теоремы 2.1), т. е. Z-AXB B X=
= /_В1СС1= АС1ААХ. Треугольники А ХВ В Хи В 1СС1 равны по первому при­
знаку. У них В В 1= СС1 по условию, а А1В = В 1С и /LAXB B X= /LBXCCXпо
доказанному. Из равенства треугольников следует, что А хВ х = В ХСХ. Точно
так же доказывается и равенство сторон В ХСХ и CjAp для чего надо рас­
смотреть треугольники В ХССХи СХААХ.
50. Точка D, обладающая указанными двумя свойствами, существует
не для любого треугольника, а только для равнобедренного с основанием
ВС (см. № 25 к § 3 учебного пособия). Поэтому наше допущение о том,
что такая точка существует для произвольного треугольника, является
ошибочным.
51. Р еш ен и е. Пусть медиана CD в треугольнике АВС равна полови­
не стороны АВ (рис. 61). Тогда треугольники ADC и В DC равнобедренные
с основаниями АС и ВС соответственно. По теореме 3.3 /LA = /LACD,
/ R = BCD, поэтому /LA + /LB = /LACD + /LBCD = /LACВ (по свойству
измерения углов), что и требовалось доказать.
52. 5 см. У к а за н и е. Сумма периметров двух меньших треугольников
равна периметру большего, увеличенного на удвоенную длину медианы.
53. У к а за н и е. Пусть АВС — данный треугольник и CD — его бис­
сектриса. Отложить на продолжении стороны СА (СВ) отрезок ADl =A D
(BD2 = BD). Провести отрезки DDXи DD2.
54. У к а за н и е . Пусть АВС — данный треугольник и CD — его высо­
та. Отложить на продолжениях стороны АВ отрезки ADX= АС и BD2 = ВС.
Соединить точки b j и D2 c С.
55. Р еш ен и е. Пусть BD — медиана треугольника АВС (рис. 62). Так
как BD делит периметр ААВС пополам, то АВ + AD = ВС + CD. Но
AD = DC (по определению медианы). Значит, АВ = ВС, т. е. треугольник
АВС равнобедренный (с основанием АС).
56. Балки таких сооружений сами по себе почти не поддаются ни
заметному растяжению, ни сокращению длины (сжатию). Под действием
силы возможно было бы лишь изменение их взаимного наклона. Но с
тремя сторонами данной длины может существовать только один тре­
угольник, так как все треугольники с соответственно равными сторонами
равны между собой. Поэтому при данной длине балок, скреплённых в
форме треугольника даже только шарнирами, углы, составленные ими,
должны оставаться неизменными.
58. В случае, когда точка D лежит на стороне ВС, наше рассуждение
теряет силу, поскольку тогда нет треугольника DBC (он вырождается
76

в отрезок) и н ел ьзя п р им ен ить теорему 3.4 . П ри этом то чка D , если она
не я в л я е тс я серединой о тр езка В С , не равноудалена от точек В и С.
59. Р е ш е н и е . П усть О — середина отр езка А В с концам и на п арал­
лельн ы х п р ям ы х . В озьм ём другой отрезок CD, которому п рин адлеж и т
точка О (рис. 63). Т р еу го л ьн и ки АО С и BO D равн ы по второму п ризн а­
к у . У н и х А О = В О по условию , углы АО С и BO D равны к а к вер тикал ь­
ны е, а угл ы АО С и BO D равны к а к внутренние н акрест л еж ащ и е при
п ар ал л ел ьн ы х А С и B D и секущ ей А В (точки С и D л е ж а т в разны х
п олуп лоскостях относительно п рям ой А В , т а к к а к отрезок CD по усло­
вию пересекает А В ). И з равенства треугольников следует, что СО = DO.
62 . У к а з а н и е . 1) Д о к аж и те сначала, что п рям ы е, содерж ащ ие эти
стороны , п ересекаю тся. А затем (воспользовавш ись теоремой о сумме
углов треу го л ьн и ка) д о к а ж и т е , что точка пересечения этих п рям ы х
л е ж и т в той п олуплоскости, где сум м а внутренних односторонних углов
меньш е 180°. 2) Д о к а ж и т е сначала, что лу чи A M и ВС пересекаю тся (как
в первом задани и ). Затем от противного доказы вается, что луч A M пере­
секает отрезок В С . 3) Д о к а ж и те сначала, к а к в преды дущ ем задании,
что би ссектриса одного у гл а тр еу го л ьн ика пересекает биссектрису друго­
го у гл а треу го л ьн и ка. 4) См. указан и е к преды дущ ему заданию .
63. 1) У к а з а н и е . Н адо взя ть все ком бинации и з углов треугольника
по два. Т а к и х ко м б ин ац и й будет тр и . По условию сумма углов любой
п ары м ен ьш е 120°. С лож ив три неравенства, слева получим удвоенную
сумму углов треу го л ьн и ка, а справа — 360е, что невозмож но, т ак к а к
сум м а углов тр еу го л ьн и ка равна 180°.
2) Р е ш е н и е . П редполож и м , что у треугольн ика есть тупой и ли п р я ­
мой угол. Т ак к а к его градусная мера ие м еньш е 90°, а сумма всех углов
треугол ьн и ка р авн а 180°, то сум м а двух других углов треугольника не
больш е 90е, что противоречит условию задачи.
64. У к а з а н и е . В оспользоваться теоремами 3.3 , 3.4 и 4.4.
65. У к а з а н и е . В оспользоваться теоремами 3.3 , 4 .4 и результатом
задачи 16 к § 3 (м ож но провести доказательство и независимо от зада­
чи 16).
67. 55°. У к а з а н и е . У глы АВС и D CB явл яю тся внутренними накрест
л е ж а щ и м и при п р ям ы х А В и CD и секущ ей ВС.
68. У к а з а н и е . Сравнить тупой угол одного из треугольников с угла­
ми другого, д л я чего воспользоваться теоремой 2.1 и следствием теоре­
м ы 4.5.
69. У к а з а н и е . В оспользоваться результатом предыдущ ей задачи.
70. У к а з а н и е . О тлож ить на луче, дополнительном к лучу В А (В ХА Х),
отрезок B D = ВС (B lD l = B j C j ).
71. У к а з а н и е . О тлож ить н а луче B A (B jA J отрезок B D - ВС (B XD X=
— B j C j ). Рассм отреть различны е случаи располож ения точек D и D x.
72. У к а з а н и е . Воспользоваться № 39 к § 4 учебника и соображени­
я м и , п рим ен явш и м ися при реш ении задачи 70.
73. О ш ибка в том, что данное «доказательство» опирается на утверж ­
дение о том , что у всех треугольников сумма углов одна и та ж е. А это
утверж дение не обосновано нами с помощью аксиом и доказанны х ранее
теорем.
74. Р е ш е н и е . П усть даны отрезок А В , пересекаю щ ая его прям ая
M N и построен треугольник А В С , в котором биссектриса угла С леж ит
н а п рям ой M N (рис. 64). Тогда, опустив из точки А перпендикуляр AD
на прям ую M N и продолж ив его до пересечения с прям ой ВС в точ­
к е В х, получим , что A D ~ D B X, где D — точка пересечения прям ы х А В Х
и M N на основании свойства биссектрисы равнобедренного треугольника
(см. № 28 к § 3 учебника). Отсюда вы текает построение: из точки А
опускаем перп енди куляр A D н а прямую M N и продолжаем его на рас­
стояние D B X—A D . Точку В х соединяем с точкой В и продолжаем до пере­
сечения с прям ой M N в точке С. Л егко доказать, что треугольник АВС
и ском ы й. И з ан ал и за видно, что в общем случае получится единственное
77

с

А

Рис. 63

л

Рис. 64

решение; если же прямая M N перпендикулярна АВ и проходит через его
середину, то имеем бесконечное число решений; если прямая M N _1_ АВ
и не проходит через середину отрезка АВ или проходит через его сере­
дину, но не перпендикулярна ему, то решения нет.
75. У к а за н и е . Опустить из точек Р и Q перпендикуляры на указан­
ную прямую и воспользоваться признаками равенства прямоугольных
треугольников.
76. У к а за н и е . Опустить из точек Р и Q перпендикуляры на пря­
мую, содержащую основание треугольника, и воспользоваться признака­
ми равенства прямоугольных треугольников.
77. Посередине между основаниями перпендикуляров, опущенных из
точек, изображающих населённые пункты, на прямую, изображающую
железную дорогу.
78. Если пункты А, В , С лежат на одной прямой, то дорогу следует
провести через них. Если пункты А, В , С не лежат на одной прямой, то
дорогу проводят либо через середину отрезка ВС, либо параллельно
направлению ВС в зависимости от того, какой из вариантов выгоднее.
79. У к азан и е. Опустить из точек А и С перпендикуляры на прямую
BD и воспользоваться свойствами параллельных прямых.
80. У к азан и е. Воспользоваться признаком равенства прямоуголь­
ных треугольников по гипотенузе и катету и теоремой 3.4.
81. Следует взять две точки окружности и построить окружности с
центрами в этих точках и радиусами 30 мм. Точка пересечения окруж­
ностей, находящаяся внутри данной окружности, будет искомым цент­
ром.
82. У к азан и е. Сначала с помощью циркуля строят точки А, В к С,
а затем окружности с центрами А, В , С радиусами 3 см, 4 см и 6 см
соответственно. Круги, ограниченные этими окружностями, — зоны приё­
ма каждой из станций (для наглядности их удобно показать различными
цветами). Для решения остаётся понять, что в случае 4) искомая зона —
общая часть трёх построенных кругов, а в случае 5) — их объединение.
83. У к а за н и е. Воспользоваться теоремой 2.3.
84. Допустим, что задача решена. Тогда из условия касания окруж­
ностей получим J г + г3 = 5,
Складывая уравнения системы, получим гх + г2 + г ,= 7,5. После чего
находим: /^ = 1,5 см, г2= 2 ,5 см, г3 = 3,5 см.
85. 12 см. У к а за н и е . Воспользоваться тем, что радиусы двух каса­
ющихся окружностей, проведённые в точку касания, лежат на одной
прямой.
86. См. указание к задаче 85.
87. У к а за н и е . Воспользоваться утверждением № 16 к § 5 учебника.
89. Серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
78

90. У к а з а н и е . Воспользоваться свойством серединного перпендику­
ляра (теорема 5.3), взяв на окружности три точки.
91. У к а з а н и е . Точки пересечения окружностей равных радиусов с
центрами в точках А и В равноудалены от этих точек, а значит, лежат
на серединном перпендикуляре (по теореме 5.3).
92. У к а з а н и е . Центр искомой окружности лежит на биссектрисе
одного из углов, которые получаются при пересечении данных прямых.
93. См. указание к № 92.
94. Две прямые, содержащие биссектрисы двух пар вертикальных
углов, которые образуются при пересечении данных прямых.
95. У к а за н и е . Точки, равноудалённые от прямых а и Ь, лежат на
биссектрисах четырёх углов, образованных при их пересечении. Точки,
находящиеся на одинаковом расстоянии от точек А и В, лежат на се­
рединном перпендикуляре к отрезку АВ.
96. См. указания к задаче 95.
97. У к а з а н и е . 1) Прямой угол данного треугольника можно разбить
на два угла, соответственно равных его острым углам. 2) Воспользоваться
утверждением задачи 18 к § 5 учебника.

79

U О 0 U 0 Содержание
Предисловие.........................................................................

Самостоятельные работы...................................................
Вариант
Вариант
Вариант
Вариант

1 .............................................................................
2 .............................................................................
3 ............................................................................
4 ............................................................................

Дифференцированные задания ......................................
Контрольные работы...............................................................
Дополнительные задачи........................................................
Ответы и указания к самостоятельным работам.......
Ответы и указания к дифференцируемым заданиям
Ответы к контрольным работам ....................................
Ответы, указания и решения
к дополнительным задачам..........................................

3
9
9
15
21

29
35
41
53
63
68

71
72

У чебное и зд ан и е
Гусев Валерий А лександрович
М едяник Анатолий И гнатьевич
ГЕОМЕТРИЯ. ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
7 класс
Учебное пособие
для общеобразовательных организаций
Редакция математики и информатики
Заведующий редакцией Е. В. Эргле. Ответственный за выпуск И. В. Рекмая. Редактор И. В. Рекман. Младший редактор Е. А Андреенкова.
Художники Е. В. Аненкова, А. Г. Бушин. Художественный редактор
Т. В. Глушкова. Компьютерная графика Н. Д. Николишина. Компьютер­
ная вёрстка и техническое редактирование О. В. Храбровой. Корректор
М. Г. Волкова
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005*93—
953000. Иэд. лиц. Серия ИД № 05624 от 12.09.01. Подписано в печать 10.04.20.
Формат 60x90Vie- Бумага офсетная. Гарнитура SchoolBook. Печать цифровая.
Уч.-иэд. л. 4,17. Тираж 500 экэ. Заказ № 59636СМ.
Акционерное общество «Издательство «Просвещение». Российская Федерация,
127473, г. Москва, ул. Краснопролетарская, д. 16, стр. 3, этаж 4, помещение I.
Предложения по оформлению и содержанию учебников — электронная почта
«Горячей линии» — fpu@proav.ru.
Отпечатано в России.
Отпечатано по заказу АО «ПолиграфТрейд»
в филиале «Смоленский полиграфический комбинат»
АО «Издательство «Высшая школа».
Российская Федерация, 214020, г. Смоленск, ул. Смольянинова, 1.
Тел.: +7(4812) 31-11*96. Факс: +7(4812) 31-31-70.
E-mail: epk@smolpk.ru http://www.amolpk.ru

2019702819
Дополнительные материалы размещены
в электронном каталоге издательства «Просвещение
на интернет-ресурсе w w w .prosv.ru

Завершённая предметная линия учебников по геометрии
для 7—9 классов общеобразовательных организаций:
• Геометрия. 7—9 классы (автор А. В. Погорелое)

Учебно-методический комплект по геометрии
для 7 класса общеобразовательных организаций:
• Сборник примерных рабочих программ
• Учебник (автор А. В. Погорелов)
• Рабочая тетрадь (автор Ю. П. Дудницын)

• Дидактические материалы (авторы В. А. Гусев, А. И. Медяник)
• Тренировочные задания (авторы Ю. П. Дудницын, В. Л. Кронгауз)
• Тематические тесты (автор Т. М. Мищенко)
• Поурочные разработки (авторы В. И.Жохов, Г. Д. Карташёва,
Л. Б. Крайнева)

Полный ассортимент издательства «Просвещение»
вы можете приобрести в официальном интернет-магазине

shop.prosv.ru:
•
•
•
•
•

низкие цены;
оперативная доставка по всей России;
защита от подделок;
привилегии постоянным покупателям;
разнообразные акции в течение всего года.

-00

стэ