ОГЭ 2022. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов [Иван Валериевич Ященко] (pdf) читать онлайн

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


 [Настройки текста]  [Cбросить фильтры]

JS S S L

ПРОЕКТ С УЧАСТИЕМ РАЗРАБОТЧИКОВ КИМ ОГЭ

МАТЕМАТИКА
ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

Ш\\Ш

ПРОЕКТ С УЧАСТИЕМ РАЗРАБОТЧИКОВ КИМ ОГЭ

ШКОЛЕ

СМ

см
о
см
О Т Л И Ч Н Ы Й

Р Е З У Л Ь Т А Т

У Ч Е Б Н А Я КНИГ А У Ч А С Т Н И К А ОГЭ
Краткая теория • Алгоритм выполнения • Примеры решения
Диагностические работы • Тренировочные задания • Типовые
варианты ОГЭ • Анализ типичных ошибок • Рекомендации
по правильному выполнению заданий • Комментарии и ответы

АКТИВИЗИРУЙ
ЗНАНИЯ

НАЦИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАНИЕ

ОГЭ 10ГЭ

РАЗВИВАЙ
НАВЫКИ

у/ут.н а ц и он ал ьн ое обр азов ан и е.рф

У ч е б н о -м е т о д и ч е ск о е со п р о в о ж д е н и е

w w w .nobr.ru

АНО ДПО «Национальный институт качества образования»

НАЦИОНАЛЬНЫЙ
ИНС1ИТУТ
КАЧЕСТВА
ОБРАЗОВАНИЯ

ПОСОБИЕ П РО Ш Л О
Н АУЧН О-М ЕТОДИ ЧЕСКУЮ
ОЦЕНКУ Ф ГБН У

ПРОЕКТ С УЧАСТИЕМ РАЗРАБОТЧИКОВ КИМ ОГЭ

ШКОЛЕ

см
СМ

СМ
ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН

МАТЕМАТИКА
ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ


ПОД Р Е Д А К Ц И Е Й



И. В. ЯЩЕНКО

НАЦИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАНИЕ
Москва
2022

УДК 373.167.1:51
ВБК 22.1я721
0-39
Пособие прошло научно-методическую оценку ФГБНУ «ФИПИ»
ЧОУДПО «Московский Ц е н т р непрерывного м атем ати ч еск ого образования»

А в т о р ы - с о с т а ви т е л и :

И. В. Ящ енко, И .Р . Высоцкий, Е. А. Коновалов
Под редакцией И. В. Ященко,
руководителя комиссии по разработке КИМ, используемых при проведении
государственной итоговой аттестации по образовательным программам
основного общего и среднего общего образования по математике

В книге использовались задачи следующих авторов:
Е. А. Бунимович, И. Р. Высоцкий, Е. А. Коновалов,
Л. А. Титова, Л. О. Рослова, А. В. Семёнов, А. С. Трепалин,
С. А. Ш естаков, Д.Э. Ш ноль, И. В. Ященко

ОГЭ' М атем атика : типовые экзаменационные варианты :
0 -3 9 36 вариантов / под ред. И .В . Я щ ен ко. — М о с к в а : И здательство
«Н ац и он ал ьн ое о б р азо в а н и е », 2 0 2 2 . — 2 2 4 с __ ( о г ч
Ф И П И — ш коле).
1
IS B N 978-5-4454-1563-3.
Серия подготовлена разработчиками контрольных измерительных
материалов (КИМ) основного государственного экзамена.
В сборнике представлены:
36 типовых экзаменационных вариантов, составленных в соответствии
с проектом демоверсии КИМ ОГЭ по математике 2022 года;
• инструкция по выполнению работы;
• ответы ко всем заданиям;
• решения и критерии оценивания заданий части 2.
Выполнение
заданий
типовых
экзаменационных
вариантов
предоставляет обучающимся возможность самостоятельно подготовиться
к государственной итоговой аттестации в 9 классе, а также объективно
оценить уровень своей подготовки.
Учителя могут использовать типовые экзаменационные варианты для
организации контроля результатов освоения школьниками образовательных
программ основного общего образования и интенсивной подготовки
обучающихся к ОГЭ.
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я721

ISB N 978-5-4454-1563-3

© ЧОУ ДПО «Московский Центр
непрерывного математического
образования», 2022
© ООО «Издательство «Национальное
образование», 2022

Содержание
4
Введение..............................................................
Справочные материалы поматематике......................................................................... 5
Инструкция по выполнению раб оты ............................................................................. 7
Карта индивидуальных достижений обучающегося.................................................. 8
Вариант 1 .............................................................................................................
1Q
Вариант 2 .....................................................................................................
45
Вариант 3 ........................................................................................................
20
Вариант 4 .............................................................................................................
25
Вариант 5 ................................................................................................................................
Вариант 6 ................................................................................................................................
Вариант 7 ................................................................................................................................
Вариант 8 ................................................................................................................................
Вариант 9 ................................................................................................................................
Вариант 10................................................................................................................................
Вариант 11...............................................................................................................................62
Вариант 12...............................................................................................................................67
Вариант 13...............................................................................................................................72
Вариант 14...............................................................................................................................78
Вариант 15...............................................................................................................................84
Вариант 16.............................................................................................................................. 89
Вариант 17.............................................................................................................................. 94
Вариант 18.............................................................................................................................. 99
Вариант 19......................................................................................................................... 104
Вариант 20......................................................................................................................... 109
Вариант 21......................................................................................................................... 114
Вариант 22............................................................................................................................ 119
Вариант 23.............................................................................................................................124
Вариант 24......................................................................................................................... 130
Вариант 25............................................................................................................................ 136
Вариант 26......................................................................................................................... 141
Вариант 27............................................................................................................................ 146
Вариант 28............................................................................................................................ 152
Вариант 29.............................................................................................................................158
Вариант 30......................................................................................................................... 164
Вариант 31......................................................................................................................... 169
Вариант 32......................................................................................................................... 174
Вариант 33............................................................................................................................ 179
Вариант 34............................................................................................................................ 184
Вариант 35......................................................................................................................... 189
Вариант 36.............................................................
194

О тветы .................................................................................................................................. 199
Решения и критерии оценивания...................................................................................217
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

Введение
Основной государственный экзамен в 9-м классе продолжает совершенствоваться.
Аттестация за курс основной школы проходит не по алгебре, как было многие годы,
а по математике. В контрольные измерительные материалы ОГЭ также включаются
задания по геометрии, по теории вероятностей и статистике.
Сближаются концепции экзаменов ОГЭ и ЕГЭ; в частности, в ОГЭ стало больше
практических заданий, в которых проверяются не только формальные знания,
но и общематематическая компетентность выпускника.
Варианты этого сборника созданы на основе проектов демоверсии и спецификации,
опубликованных на сайте ФИПИ.
Набор вариантов позволит своевременно осуществлять диагностику проблемных зон,
эффективно выстраивать стратегию и тактику итогового повторения и подготовки
к экзамену.
В книге дана карта индивидуальных достижений обучающегося, которую можно
использовать для отслеживания динамики результативности выполнения заданий типовых
экзаменационных вариантов.
Залог успеха на экзамене
регулярные занятия математикой в течение всего времени
обучения в школе, своевременное выявление и ликвидация возникающих (неизбежно!)
проблем. Хотелось бы предостеречь обучающихся от замены регулярного изучения
математики прорешиванием заданий данной книги, заданий открытого банка, типовых
вариантов, в избытке публикуемых в книгах и интернете. Это самый неэффективный
способ подготовки к экзамену.
Учителя и обучающиеся при организации подготовки к экзамену с помощью этого
сборника имеют возможность вести планомерную подготовку к экзамену, включая задания
сборника в классную и домашнюю работы. Наличие однотипных вариантов позволяет
учителю организовать работу обучающихся в классе по вариантам и в группах.
Обучающиеся имеют возможность самостоятельно выстраивать тактику подготовки
к экзамену с использованием материалов данного издания, открытого банка математических
заданий с опорой на школьные учебники.
Авторы выражают уверенность в том, что задания сборника позволят не только успешно
подготовиться к экзамену, но и закрепить математические знания, которые пригодятся
в обычной жизни и при продолжении образования.

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
А ЛГЕБРА

• Формула корней квадратного уравнения:

-Ъ ±-ТБ

п

х =— ----- , где Б = Ъг -Аас.

• Если квадратный трёхчлен ах2 + Ьх + с имеет два корня х 1 и х 2, то
ах2 + Ъх + с = а(х - х г)(х - х 2);
если квадратный трёхчлен ах2+ Ьх + с имеет единственный корень х 0, то
ах2 + Ьх + с = а(х - х 0)2.
• Формула п-го члена арифметической прогрессии (а„), первый член которой равен аг,
и разность равна d :
an = ay +d ( n - l ) .
• Формула суммы первых п членов арифметической прогрессии:
S„ =

(а1+а„)п

• Формула тг-го члена геометрической прогрессии (Ьп), первый член которой равен blt
а знаменатель равен д:
bn =b1-qn~1.
• Формула суммы первых п членов геометрической прогрессии:

Т аб л и ц а квад ратов двузн ач н ы х чисел

Д е ся т к и

0

Е ди н и ц ы
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

2

400

441

484

529

576

625

676

729

784

841

3

900

961

1024

1089

1156

1225

1296

1369

1444

1521

4

1600

1681

1764

1849

1936

2025

2116

2209

2304

2401

5

2500

2601

2704

2809

2916

3025

3136

3249

3364

3481

6

3600

3721

3844

3969

4096

4225

4356

4489

4624

4761

7

4900

5041

5184

5329

5476

5625

5776

5929

6084

6241

8

6400

6561

6724

6889

7056

7225

7396

7569

7744

7921

9

8100

8281

8464

8649

8836

9025

9216

9409

9604

9801

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

6

ГЕОМЕТРИЯ
• Сумма углов вы пуклого га-угольника равна 180°(га-2).
V3
• Ради ус г окруж ности, вписанной в прави льн ы й треугольн и к со стороной а , равен ~^~а'
• Ради ус R окруж ности, описанной около правильного тр еу го л ьн и ка со стороной а,
V3
р а в е н ---- а.
3
Д л я треугол ьн и ка А В С со сторонам и А В = с, А С = Ь, ВС = а:
а
sin A

Ъ
sin В

с
- = 2R ,
sin С

где R — радиус описанной окруж ности.
Д л я треугол ьн и ка А В С со сторонами А В = с, АС = Ь, ВС = а :
с2 = a2 + b2- 2 a b cos С.
Ф орм ула д лины I окруж ности радиусом R:
l= 2nR .
Ф орм ула д л и н ы I дуги окруж ности радиусом R , на которую оп и р ается ц ен тр ал ьн ы й угол
в

В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, четыре
неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине
фонарик окажется исправен.
Ответ:

Зц______________ .

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их
задают.

т

\
\

/

/

А

/

\ /

1 ---0

X

ФОРМУЛЫ
1) i/ = x2-7x+14

2) у =х2+7х +Ы

3) у =- х 2-7 х -1 4

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

12

А Б

В

1

7

Энергия заряженного конденсатора W (в Дж) вычисляется по формуле W =----- ,

2

где С — ёмкость конденсатора (в Ф), a U — разность потенциалов на обкладках
конденсатора (в В). Найдите энергию конденсатора (в Дж) ёмкостью 10~4 Ф,
если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 16 В.
Ответ: ______ - - ?>__________ .
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

вариан т

13

1

Укажите решение системы неравенств
J-27 + Зд; > О,
6 -З х < -6.
3) (9; +оо)
4) (-оо; 9)

1) (4; +00)
2) (4; 9)
%

Ответ: _________

В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем —
на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?
:
Ответ: _______________________.

Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС,
пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно,
АС = 44, M N = 24. Площадь треугольника АВС равна 121.
Найдите площадь треугольника M N B.

в

Ответ: ______________________ .

16

На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты
точки М и N . Известно, что Z NBA = 68°. Найдите
угол N M B . Ответ дайте в градусах.
Ответ:

V,

/ л .________________ ■

62«% f

(9 о -

-

L|i/

С-ТЧ -..7. - =
Диагонали АС и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке О,
ВО = 37, АВ = 56. Найдите АС.
Ответ:

чН

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображена
трапеция. Найдите длину её средней линии.
Ответ:

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

14

ОГЭ. ТИП О ВЫ Е Э К ЗАМ Е Н А Ц И О Н Н Ы Е ВАРИАНТЫ

Какое из следующих утверждений верно?
1) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого
треугольника.
2) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
3) Диагонали ромба равны.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ: _______ /3 ?
1) 2

2) 3

3) 4

4) 5

В ответ запишите номер выбранного варианта.
Ответ: Q |
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 4

27

Найдите значение выражения а6 а19:а 22 при а = 3.
Ответ: _______

Найдите корень уравнения 2х + 7 = :
Ответ:

На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 4 с мясом, 5 с рисом
и 21 с повидлом. Андрей наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того,
что пирожок окажется с повидлом.
Ответ: _____________

На рисунках изображены графики функций вида у = kx + Ъ. Установите соответствие
между знаками коэффициентов k и Ъ и графиками функций.
КОЭФФИЦИЕНТЫ
A) k < О, Ъ< О

Б) k < О, b > О

В) k> О, Ъ< О

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью
более 5 минут рассчитывается по формуле С = 180 + 15(1 - 5), где t — длительность
поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 16-минутной
поездки. Ответ дайте в рублях.
Ответ:
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

28

Укажите решение неравенства
4х - х 2 < 0.
1 )

/ / / / / / / / / / / / / / / щ ____________ ¢ / / / / / / / / / / / / / / / / / ^ .

2)

3) ________¢/////////////////^
0

4

0

¢ //////////////////////////^

О

4)

4

4

Ответ = □

У Юли есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После
первого отскока мячик подлетел на высоту 450 см, а после каждого следующего
отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После
какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 20 см?
Ответ:

В треугольнике АВС угол С равен 90°, ВС = 15, АС = 3.
Найдите tgB.
Ответ: _______________________.

Угол А трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, вписанной
в окружность, равен 76°. Найдите угол С этой трапеции.
Ответ дайте в градусах.
Ответ: _______________________.

Две стороны параллелограмма равны 7 и 12, а один
из углов этого параллелограмма равен 30°. Найдите
площадь этого параллелограмма.
Ответ: _______________________.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего
катета.
Ответ: _______________________.
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 4

29

Какие из следующих утверждений верны?
1) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
3) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку
касания.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ: ________________
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите
чётко и разборчиво.
Решите неравенство (2 х -5 )2 < (5л:-2)2.
Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной
скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 55 км/ч,
а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого
на 6 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом.
Найдите скорость первого автомобилиста.
Постройте график функции */ = {*_ 36* + 6 „ри х 0

1

3) ж2 - 1 > 0

4) х 2 - х < 0

Ответ: _________________________ .
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

34

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые
8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу
изотопа через 32 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.
Ответ: ______________________ .
В треугольнике АВС угол С равен 90°, М — середина
стороны АВ, АВ = 76, ВС = 46. Найдите СМ.
Ответ: ______________________ .
А
16

Касательные в точках А и В к окружности с центром
в точке О пересекаются под углом 88°. Найдите угол АВО.
Ответ дайте в градусах.
Ответ:

17

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины С,
делит основание AD на отрезки длиной 14 и 19. Найдите
длину основания ВС.
Ответ: ______________________ .

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
треугольник. Найдите его площадь.
Ответ: _______________________.

19

Какое из следующих утверждений верно?
1) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.
2) Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм
является ромбом.
3) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ:
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 5

35

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ Л® 2. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите
чётко и разборчиво.
1х2 +у2 =25,
Решите систему уравнений \ху
= 12.
Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет
заказ, состоящий из 112 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий,
выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Постройте график функции у = — ----- .
5х2-8 х
Определите, при каких значениях k прямая у - k x имеет с графиком ровно одну
общую точку.
Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются
в точке М. Найдите МС, если АВ = 14, DC = 56, АС = 40.

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты ААХ и ССГ Докажите, что
углы СС1А 1 и CAAj равны.
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280,
можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей
трапеции до её меньшего основания.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответ­
ствующего задания.

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 6
ЧАСТЬ 1
О т вет ам и к за д а н и я м 1-19 я в л я ю т с я чи сло и л и п о след о ва т ельн о ст ь ц и ф р ,
кот оры е след ует за п и са т ь в Б Л А Н К ОТВЕТОВ Л? 1 сп р а ва от н о м е р а
соот вет ст вую щ его за д а н и я, н а ч и н а я с п ервой к л е т о ч к и . Е с ли о т в е т о м
я в л я е т с я послед оват ельност ь циф р, т о за п и ш и т е её без пробелов, з а п я т ы х
и дригих д о п о л н и т е ль н ы х с и м в о ло в. Каж дый с и м в о л п и ш и т е в о т д е ль н о й
к лет о ч ке в со о т вет ст ви и с п р и вед ён н ы м и в б ла н ке о бразцам и.
П р о чи т а й т е в н и м а т е ль н о т екст и вы п о л н и т е за д а н и я 1 -5.

В ж и л ы х домах установлены бытовые электросчётчики, которы е ф и к си р у ю -^
расход электроэнергии в киловатт-часах (кВт • ч). Учёт расхода э л е к т р о э н е р г и и
мож ет быть однотарифным, двухтариф ны м или трёхтариф ны м .
П ри однотарифном учёте стоимость 1 кВт • ч электроэнергии не м еняется в т е ч е н и е
суток. П ри двухтарифном и трёхтарифном учёте она разли чн а в з а в и с и м о с т и
от времени суток (сутки разбиты на периоды, назы ваемы е тариф ны м и зонами).
В таблице дан а стоимость 1 к В т -ч электроэнергии в рублях в 2021 году.

О днотариф ны й учёт

I полугодие
2021 г.

II п о лу го д и е
2021 г.

5,47

5,66

Д вухтариф ны й учёт (распределение по двум тариф ны м зонам):
н очная зона Т2 (2 3 :0 0 -7 :0 0 )

2,13

2,32

дн евная зона Т1 (7 :0 0 -2 3 :0 0 )

6,29

6,51

Т рёхтариф ны й учёт (распределение по трём тариф ны м зонам):
ночная зона Т2 (2 3 :0 0 -7 :0 0 )

2,13

2,32

полуп и ковая зона ТЗ (1 0 :0 0 -1 7 :0 0 ; 2 1 :0 0 -2 3 :0 0 )

5,47

5,66

"

п иковая зона Т1 (7 :0 0 -1 0 :0 0 ; 1 7 :0 0 -2 1 :0 0 )

6,57

6,79

''

В квартире у П етра Сергеевича установлен трёхтарифны й счётчик, и в 2021 г о д х
П ётр Сергеевич оплачивал электроэнергию по трёхтарифному учёту.
Н а рисунке точками показан расход электроэнергии в квартире П етра С ергеевич
по тарифны м зонам за каж ды й месяц 2021 года. Д ля наглядности точки с о е д и н е н ^
лин и ям и.

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

37

ВАРИАНТ 6



ночная (Т2)

—• — полупиковая (ТЗ)

пиковая (Т1)

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов
времени характеристику расхода электроэнергии.
ХАРАКТЕРИСТИКИ

ПЕРИОДЫ
A) февраль — март
Б) май — июнь
B) июль — август
Г) октябрь — ноябрь

1) максимально уменьшился расход в пиковой зоне
2) расход уменьшился во всех трёх тарифных зонах,
но больше всего — в ночной зоне
3) расход в пиковой и ночной зонах увеличился
одинаково
4) расход в полупиковой зоне уменьшился, а в пиковой
и ночной — увеличился

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Г

В каком месяце 2021 года расход электроэнергии был наименьшим? Запишите
в ответ расход электроэнергии (в кВт •ч) в этом месяце.
Ответ:
Сколько рублей должен был бы заплатить Пётр Сергеевич за электроэнергию,
израсходованную в июне, если бы пользовался однотарифным учётом?
Ответ: ______________________ .
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

38

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

На сколько процентов больше заплатил бы Пётр Сергеевич за электроэнергию,
израсходованную в марте, если бы пользовался двухтарифным учётом? Ответ
округлите до десятых.
Ответ: _______________________.
Соседи Николая Андреевича, семья Сидоровых, исходя из данных по расходу
электроэнергии за 2021 год в своей квартире, рассчитали средний расход
электроэнергии за месяц по тарифным зонам:
- ночная зона — 18 кВт • ч,
- полупиковая зона — 51 кВт-ч,
- пиковая зона ■
— 76 кВт-ч.
Сидоровы предполагают, что в 2022 году средний расход электроэнергии будет
таким же. Исходя из этого, выберите наиболее выгодный вариант учёта
электроэнергии для семьи Сидоровых в 2022 году (однотарифный, двухтарифный
или трёхтарифный). Считайте, что стоимость 1 кВт • ч электроэнергии будет такой
же, как во II полугодии 2021 года. Оцените общие расходы Сидоровых на оплату
электроэнергии (в рублях) за 2022 год (по наиболее выгодному варианту учёта),
если средний расход электроэнергии действительно будет таким же.
1)
2)
3)
4)
5)
6)

менее 5 тыс. руб.
от 5 тыс. руб. до 10 тыс. руб.
от 10 тыс. руб. до 15 тыс. руб.
от 15 тыс. руб. до 20 тыс. руб.
от 20 тыс. руб. до 25 тыс. руб.
более 25 тыс. руб.

В ответ запишите номер верного варианта оценки расходов.
Ответ: ________
Найдите значение выражения

JL
15 + 12J

11

Ответ:
На координатной прямой точки А, В, С и D соответствуют числам ——; — ;
50 50
11

11

15’

50'
СD

,

11
Какой точке соответствует ч и с л о -----?
50
2) В
1) А
3) С

4) D

Ответ: ^
Найдите значение выражения

9V7 •2V2 •7Г4 .

Ответ:
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 6

39

Решите уравнение х 2 - 4 = 2х - 1.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Ответ: ______________________ .
Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет),
равна 0,14. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите
вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Ответ: _____________________

.

Установите соответствие между
и графиками этих функций.

формулами,

которыми

заданы

функции,

ФОРМУЛЫ
A) y =j ох

В) у =Л

В) у Л
х

х

ТУ

Ч)

V

X

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Потенциальная энергия тела (в джоулях) в поле тяготения Земли вблизи её
поверхности вычисляется по формуле Е = mgh, где т — масса тела (в килограммах),
g — ускорение свободного падения (в м/с2), a h — высота (в метрах), на которой
находится это тело, относительно поверхности. Пользуясь этой формулой,
найдите т (в килограммах), если g = 9,8 м/с2, h = 5 м, а Е = 196 Дж.
Ответ: ______________________ .
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
Ш / / / / / / / / / / / Щ _____________

0
1) л:2 - 16 < 0

2 ) х2- 4 х 0

4) ж2 - 16 > 0

Ответ: ______________________ .
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.

Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

40

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые
6 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу
изотопа через 42 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.
Ответ:

В треугольнике АВС угол С равен 90°, М — середина
стороны АВ, АВ = 64, ВС = 44. Найдите СМ.
Ответ:

Касательные в точках А и В к окружности с центром
в точке О пересекаются под углом 56°. Найдите угол АВО.
Ответ дайте в градусах.

А

Ответ: ______________

Высота
равнобедренной
трапеции,
проведённая
из вершины С, делит основание А В на отрезки длиной 8
и 17. Найдите длину основания ВС.
Ответ: ____
A

18

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
треугольник. Найдите его площадь.
Ответ: ___

Какое из следующих утверждений верно?
1) Диагонали ромба равны.
2) Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
3) В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ:
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

D

ВАРИАНТ 6

41

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите
чётко и разборчиво.
\х2+у2 = 65,
Решите систему уравнений \ху
= 8.
Первый рабочий за час делает на 6 деталей больше, чем второй, и выполняет
заказ, состоящий из 140 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий,
выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
Постройте график функции
7х-6
7х 2-6 х '

Определите, при каких значениях k прямая у = kx имеет с графиком ровно одну
общую точку.
Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются
в точке М. Найдите МС, если АВ = 15, DC = 30, АС = 39.
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты ААг и ВВ]. Докажите, что
углы ВВ1А1 и ВААХ равны.
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 20, а площадь равна 20,
можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей
трапеции до её меньшего основания.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответ­
ствующего задания.

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 7
ЧАСТЬ 1
О т вет ами к заданиям 1-19 явля ю т ся число и л и последоват ельност ь цифр,
которые следует записат ь в Б Л А Н К ОТВЕТОВ № 1 справа от ном ера
соответствующего задания, начиная с первой клет о чки . Е сли от вет ом
являет ся последоват ельност ь цифр, то запиш ит е ее без пробелов, за п я т ы х
и других дополнит ельны х сим волов. Каждый си м во л п и ш и т е в от дельной
клет очке в соот вет ствии с приведённы м и в бланке образцам и.
П рочит айт е вним ат ельно т екст и вы п о лн и т е за д а н и я 1 5.

На рисунке изображён план сельской местности.
Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновку
(на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается
отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово.
Из Антоновки в Богданово можно проехать по просёлочной дороге вдоль реки. Есть
другой путь — по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым
углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит
по просёлочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть
на шоссе до Богданово. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино,
от Доломино до Горюново по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горюново
до Богданово по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорки,
по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино и по шоссе от Жилино
до Богданово.
Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники.

ВАРИАНТ 7

43

По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по просёлочным
дорогам — со скоростью 30 км/ч. Расстояние от Антоновки до Доломино равно
12 км, от Доломино до Егорки — 4 км, от Егорки до Ванютино — 12 км, от Горюново
до Ванютино — 15 км, от Ванютино до Жилино — 9 км, а от Жилино до Богданово —
12 км.
Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены деревни.
Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр
без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Деревни
Цифры

д. Богданово

д. Горюново

д. Доломино

Найдите расстояние от Антоновки до Богданово по прямой.
в километрах.

д. Егорка

Ответ дайте

Ответ: ______________________ .
Сколько минут затратят на дорогу Таня с дедушкой из Антоновки в Богданово,
если поедут через Егорку и Жилино мимо конюшни?
Ответ: _______________________.
За какое наименьшее количество минут Таня с дедушкой могут добраться
из Доломино в Горюново?
Ответ: ______________________ .
На просёлочных дорогах машина дедушки расходует 8,2 литра бензина на 100 км.
Известно, что на путь из Антоновки до Богданово через Ванютино и путь напрямик
ей необходим один и тот же объём бензина. Сколько литров бензина на 100 км
машина дедушки расходует на шоссе?
Ответ: ______________________ .
7,2
Найдите значение выражения тгт;—г - —
8,о-8,о

Ответ:
Между какими целыми числами заключено число
1) 8 и 9

2) 9 и 10

3) 10 и 11

170
19
4) 11 и 12

Ответ
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ- ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

44

при х = 5 и у = 2.

Найдите значение выражения
Ответ:

Найдите корень уравнения 7 + 8х = - 2 х - 5 .
Ответ:______________________ ■

10

В среднем из каждых 60 поступивших в продажу аккумуляторов 51 аккумулятор
заряжен. Найдите вероятность того, что выбранный в магазине наудачу аккумулятор
не заряжен.
Ответ:
На рисунках изображены графики функций вида у = ах2 + Ьх + с. Установите
соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов а и с.
ГРАФИКИ

КОЭФФИЦИЕНТЫ
1) а < 0, с > 0

2) а > 0, с > 0

3) а > 0, с < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б

В

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется
,
a+b- с
,

по формуле г = — -— , где а и о — катеты, а с — гипотенуза. Пользуясь этой
а

формулой, найдите с, если а = 20, 6 = 21 и г = 6.
Ответ: ____________
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

Укажите решение неравенства
5х - х 2 > 0.
1)

(-со; 0) и (5; +оо)

3) (5; +со)

2)

(0; 5)

4) (0 ;+ со )

Ответ:

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой
поместили колонию микроорганизмов массой 3 мг. Каждые 20 минут масса
колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через
80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Ответ:

В треугольнике АВС известно, что АВ = 5, ВС = 10, АС = 11.
Найдите cosZABC.
Ответ: ______________________ .

Через точку А, лежащую вне окружности, проведены
две прямые. Одна прямая касается окружности
в точке К. Другая прямая пересекает окружность
в точках В и С, причём АВ = 4, АС = 64. Найдите АК.
Ответ: ______________________ .

Основания трапеции равны 8 и 18, а высота равна 5. Найдите
среднюю линию этой трапеции.
Ответ: ______________________ .

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1
фигура. Найдите её площадь.

изображена

Ответ:

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

46

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

Какие из следующих утверждений верны?
1) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его
катетов.
2) В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
3) Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ: ______________________ .
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите
чётко и разборчиво.
Решите систему уравнений

f(* -8 )(tf-9 ) = 0,
У~5 _ ^
U + 1/-13

Расстояние между пристанями А и В равно 45 км. Из А в В по течению реки
отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая,
прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени
плот проплыл 28 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость
течения реки равна 4 км/ч.
Постройте график функции у = Цх + 2 \-х 2.
Определите, при каких значениях т прямая у - т имеет с графиком ровно три
общие точки.
Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла В
треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите АВ, если АН = 4, АС = 16.
Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая,
пересекающая стороны ВС и AD в точках К и М соответственно. Докажите, что
отрезки ВК и DM равны.
25

Четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 40 и CD = 10 вписан в окружность.
Диагонали АС и BD пересекаются в точке К, причём ZAKB = 60°. Найдите радиус
окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответ­
ствующего задания.

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 8
ЧАСТЬ 1
О т вет ам и к заданиям 1-19 я в ля ю т ся число и ли последоват ельност ь цифр,
кот орые следует записат ь в Б Л А Н К ОТВЕТОВ № 1 справа от номера
соот вет ст вую щ его задания, начиная с первой клет очки. Если от вет ом
я в л я е т с я последоват ельност ь цифр, то запиш ит е её без пробелов, за п ят ы х
и других дополнит ельны х сим волов. Каждый сим вол пиш ит е в от дельной
клет очке в соот вет ст вии с приведённы м и в бланке образцами.
П рочит айт е вним ат ельно т екст и вы полнит е задания 1-5.

Юля летом отдыхает у дедушки и бабушки
в деревне Царёво. Юля с дедушкой собираются
съездить на машине на железнодорожную
станцию Таировку. Из Царёво в Таировку
можно проехать по шоссе до деревни Ключи,
где нужно свернуть под прямым углом налево
на другое шоссе, ведущее в Таировку через
посёлок Демидово. Из Царёво в Таировку
можно проехать через посёлок Демидово
и не заезжая в Ключи, но тогда первую часть
пути надо будет ехать по прямой лесной дороге.
Есть и третий маршрут: доехать по прямой
грунтовой дороге мимо озера до села Федяево
и там, повернув направо, по шоссе добраться
до Таировки.
По шоссе Юля с дедушкой едут со скоростью
60 км/ч, а по лесной и грунтовой дорогам —
45 км/ч. Расстояние по шоссе от Царёво до Ключей равно 72 км, от Таировки
до Ключей — 60 км, от Таировки до Демидово — 30 км, а от Таировки до Федяево —
27 км.
Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены
населённые пункты. В ответ запишите полученную последовательность пяти цифр.
Насел, пункты п. Демидово д. Ключи

ст. Таировка

с. Федяево

д. Царёво

Цифры

Найдите расстояние от деревни Царёво до посёлка Демидово по лесной дороге.
Ответ дайте в километрах.
О твет:________________________■
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

48

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

Сколько минут затратят на дорогу Юля с дедушкой, если поедут на станцию через
Ключи?
Ответ: _______________________.
Определите, на какой маршрут до станции потребуется меньше всего времени.
В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Юля с дедушкой, если поедут
этим маршрутом.
Ответ: _______________________.
На шоссе машина дедушки расходует 6,5 литра бензина на 100 км. Известно,
что на путь из Царёво до Таировки через Ключи и на путь через Федяево ей
необходим один и тот же объём бензина. Сколько литров бензина на 100 км
машина дедушки расходует на грунтовых дорогах?
Ответ: _______________________.

Найдите значение выражения

2,1

2,4-6,6 '

Ответ:

Между какими целыми числами заключено число -----?
17
1) 5 и 6
2) 6 и 7
3) 7 и 8
4) 8 и 9
Ответ = □

Найдите значение выражения

---- х 10у 2 при
16

х

=2 и

у

= 3.

Ответ:

Найдите корень уравнения 1 -

\0 х = 5х +

10.

Ответ:

10

В среднем из каждых 50 поступивших в продажу аккумуляторов 47 аккумуляторов
заряжены. Найдите вероятность того, что выбранный в магазине наудачу
аккумулятор не заряжен.
Ответ:

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

49

ВАРИАНТ 8

На рисунках изображены графики функций вида у = ах1
2 + Ьх + с. Установите
соответствие между знаками коэффициентов а и с и графиками функций.
КОЭФФИЦИЕНТЫ
А) а > 0, с < О

Б) а > 0, с > О

В) а < 0, с > О

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется
по формуле г = а + ^—£ ( Где а и b — катеты, а с — гипотенуза.Пользуясь этой
формулой, найдите с, если а = 12, Ъ= 35 и г = 5.
Ответ: ______________________ .
13

Укажите решение неравенства
6х - х 2> 0.
1) [0; +со)

3) [0; 6]

2) (-оо; 0] и [6; +оо)

4) [6; +со)

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой
поместили колонию микроорганизмов массой 16 мг. Каждые 20 минут масса
колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через
60 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Ответ: ______________________ .
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

15

В треугольнике АВС известно, что АВ = 6, ВС = 8, АС = 4. Найдите
cosZABC.
Ответ:

Через точку А, лежащую вне окружности, проведены
две прямые. Одна прямая касается окружности
в точке К. Другая прямая пересекает окружность
в точках В и С, причём АВ = 4, ВС = 12. Найдите АК.
Ответ: ____

Основания трапеции равны 4 и 14, а высота равна 8. Найдите
среднюю линию этой трапеции.
Ответ:

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1
фигура. Найдите её площадь.

изображена

Ответ: ____

19

Какие из следующих утверждений верны?
1) Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
2) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке,
являющейся центром окружности, описанной около этого треугольника.
3) Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм
является ромбом.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ:
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 8

51

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и о т в е т . Пишите
чётко и разборчиво.

20

Г ( *- 4 ) ( у - 7 ) = 0,
Решите систему уравнений 1 у - 5
- 2.
^ х + у -9
Расстояние между пристанями А и В равно 60 км. Из А в В по течению реки
отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая,
прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени
плот проплыл 30 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость
течения реки равна 5 км/ч.

Постройте график функции у = 2 \х -5 \-х 2 + 1 1 х - 3 0 .
Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно три
общие точки.

Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла В
треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите АВ, если АН = 9, АС = 36.

Биссектрисы углов А и D трапеции ABCD пересекаются в точке М, лежащей
на стороне ВС. Докажите, что точка М равноудалена от прямых АВ, AD и CD.

Четырёхугольник ABCD со сторонами АВ —12 и СИ —30 вписан в окружность.
Диагонали АС и BD пересекаются в точке К, причём ZA KB- 60°. Найдите радиус
окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Проверьте, чтобы каждый о т в е т был записан рядом с номером со о твет­
ствующего задания.

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 9
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1—19 являю т ся число или последовательность цифр,
которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
являет ся последовательность цифр, то запишите её без пробелов, запят ы х
и других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1-5.

Два друга Петя и Вася задумались
о том, как рассчитать площадь поверхности
зонта.
На первый взгляд зонт кажется
круглым, а его купол напоминает часть
сферы (сферический сегмент). Но если
присмотреться, то видно, что купол зонта
состоит из восьми отдельных клиньев,
натянутых на каркас из восьми спиц
(рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии
достигается за счёт гибкости спиц и эластичности
ткани, из которой изготовлен зонт.
Петя и Вася сумели измерить расстояние между
концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 38 см.
Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 25 см,
а расстояние d между концами спиц, образующих
дугу окружности, проходящей через вершину
зонта, — ровно 100 см.

Рис. 1

Длина зонта в сложенном виде равна 25 см
и складывается из длины ручки (рис. 3) и трети
длины спицы (зонт в три сложения). Найдите
длину спицы, если длина ручки зонта равна
6,2 см.
Ответ: ______________________ .
Поскольку зонт сшит из треугольников, рассуждал Петя, площадь его поверхности
можно найти как сумму площадей треугольников. Вычислите площадь поверхности
зонта методом Пети, если высота каждого равнобедренного треугольника,
проведённая к основанию, равна 53,1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах
с округлением до десятков.
Ответ: ______________________ .
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 9

53

Вася предположил, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите
радиус R сферы купола, зная, что ОС = R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.
Ответ: ______________________ .
Вася нашёл площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента
по формуле S = 2nRh, где R — радиус сферы, a h — высота сегмента. Рассчитайте
площадь поверхности купола способом Васи. Число к округлите до 3,14. Ответ
дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.
Ответ: ______________________ .
Рулон ткани имеет длину 35 м и ширину 80 см. На фабрике из этого рулона были
вырезаны треугольные клинья для 29 зонтов, таких же, как зонт, который был
у Пети и Васи. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь
1050 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона
пошло в обрезки?
Ответ: ______________________ .
Найдите значение выражения

1_Т_.

2

5 25 7

Ответ:
5
Какое из следующих чисел заключено между числами - — и
1) -0,2

2) -0,3

3) -0,4

7

?

4) -0,5

В ответ запишите номер выбранного варианта.
Ответ = □
Найдите значение выражения
Ответ:

59 -96
456 -

_______________

Найдите корень уравнения 2х2 = 9х.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Ответ:
В девятом физико-математическом классе учатся 13 мальчиков и 7 девочек.
По жребию они выбирают одного дежурного по классу. Какова вероятность того,
что это будет мальчик?
Ответ:
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.

Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

54

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

Установите соответствие между
и графиками этих функций.

формулами,

ФОРМУЛЫ
Б) г/ = -2 х - 6

А) у = 2х + 6

которыми

заданы

функции,

С) у = -2 х + 6

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Скорость камня (в м/с), падающего с высоты h (в м), в момент удара о землю
можно найти по формуле v = yJ2gh . Найдите скорость (в м/с), с которой ударится
о землю камень, падающий с высоты 40 м. Считайте, что ускорение свободного
падения g равно 9,8 м/с2.
Ответ:
Укажите решение системы неравенств
-9 + Зл:3
4 20 ’ 7 '

Ответ:
Какое из следующих чисел заключено между числами
1) -0,6

2) -0,7

3) -0,8

8

и

14 „
?

4) -0,9

В ответ запишите номер выбранного варианта.
Ответ:

I

Найдите значение выражения

244
З2 -83

Ответ:
Найдите корень уравнения 5х2 = Зх.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
Ответ: ______________________ .
В десятом физико-математическом классе учатся 19 мальчиков и 6 девочек.
По жребию они выбирают одного дежурного по классу. Какова вероятность того,
что это будет мальчик?
Ответ: ______________________ .
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 10

59

Установите соответствие между
и графиками этих функций.

формулами,

которыми

заданы

функции,

ФОРМУЛЫ
А) у = \ х - 2

Б) у = ~ х + 2

С) у = - —х - 2

5

£>

5

ГРАФИКИ
У.

0

У

X

0

X

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Скорость камня
можно найти по
о землю камень,
падения g равно

(в м/с), падающего с высоты h (в м), в момент удара о землю
формуле v = -J2gh . Найдите скорость (в м/с), с которой ударится
падающий с высоты 90 м. Считайте, что ускорение свободного
9,8 м/с2.

Ответ:
Укажите решение системы неравенств
f -2 7 +Зх > 0,
[б -З ж -б .
^ / / // / / // / / // //////////////^ .

1)

2)

///////ш/ш/шм/тд.

Ответ:
14

-------

9

3)
4)

^ / / / / / / / / / / / / / / / / / 0.
^/////////////////////////^

1)

2)

-4
_______________ t f / / / / / / / / / / / / / / / / A

-4

8

3)

^//////////////////////////^

8

4) м/////////////щ_______ ^////////////////^.
-4
8

Ответ

В течение 20 банковских дней акции компании дорожали ежедневно на одну и ту
же сумму. Сколько стоила акция компании в последний день этого периода, если
в 9-й день акция стоила 555 рублей, а в 13-й день — 631 рубль?
Ответ: ______________________ .

Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая
к этой стороне, равна 27. Найдите площадь этого
треугольника.
Ответ: ______________________ .

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС
равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ
дайте в градусах.
Ответ: ______________________ .

Диагональ прямоугольника образует угол 63° с одной
из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями
этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Ответ: ______________________ .

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображена
трапеция. Найдите её площадь.
Ответ:

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей пе допускается

ВАРИАНТ 12

71

Какие из следующих утверждений верны?
1) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
2) Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.
3) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ: _____________________ .
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов М 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите
чётко и разборчиво.

20

Решите уравнение х 6 = - (7х + 10)3.
Два велосипедиста одновременно отправляются в 224-километровый пробег. Первый
едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа
раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
Постройте график функции у = х2 - 3|х| - х и определите, при каких значениях т
прямая у = т имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги,
длины которых относятся как 6 : 11 : 19. Найдите радиус окружности, если
меньшая из сторон равна 15.
Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 75, АС = 30.
Докажите, что треугольники СДА и ACD подобны.
Биссектрисы углов А к В параллелограмма ABCD пересекаются в точке К. Найдите
площадь параллелограмма, если ВС = 2, а расстояние от точки К до стороны АВ
равно 8.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответ­
ствующего задания.

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 13
ЧАСТЬ 1
~
§ли последовательность цифр,
Ответами к заданиям 1-19 являю тся число
^ ^ у справа от номера
которые следует записать в БЛАНК О
__ клеточки. Если ответом
соответствующего задания, начиная с первой
^ П„„с,„т,пв. запят ы х
являет ся последовательность цифр, то запишит
„шиите в отдельной
и других дополнительны ^си м во ло в. Каждый "
Л
« соответствии О т н е с ё н н ы м и в бланке образцами.___ __________
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1

Автомобильное колесо, как правило, представляет из себя
с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром
внутреннего отверстия в шине.

Рис. 1

Рис. 2

Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений.
Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число (число 195 в приведённом примере)
обозначает ширину шины в миллиметрах (параметр В на рисунке 2). Второе число
(число 65 в приведённом примере) — процентное отношение высоты боковины
(параметр Н на рисунке 2) к ширине шины, то есть 100----.
В
Последующая буква обозначает тип конструкции шины. В данном примере
буква R означает, что шина радиальная, то есть нити каркаса в боковине шины
расположены вдоль радиусов колеса. На всех легковых автомобилях применяются
шины радиальной конструкции.
За обозначением типа конструкции шины идёт число, указывающее диаметр
диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Таким образом, общий диаметр
колеса D легко найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Возможны дополнительные маркировки, означающие допустимую нагрузку
на шину, сезонность использования, тип дорожного покрытия и другие.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает
на них шины с маркировкой 205/60 R16.
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 13

73

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны
разрешённые размеры шин.
Диаметр диска
(дюймы)

15

16

17

18

195/65
205/60

195/60
205/55,205/60

195/55
205/50

215

215/60

215/55

215/50

Не разр.
205/45
215/40,
215/45

225

Не разр.

225/50

225/50,
225/45

Ширина шины (мм)
195
205

225/40

Какой наименьшей ширины шины можно устанавливать на автомобиль, если
диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Ответ:____________ ____
На сколько миллиметров радиус колеса с маркировкой 195/55 R17 больше, чем
радиус колеса с маркировкой 225/45 R17?
Ответ: _______
Найдите диаметр D колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте
в сантиметрах.
Ответ: ________
На сколько миллиметров уменьшится диаметр D колеса, если заменить шины,
установленные на заводе, шинами с маркировкой 225/40 R18?
Ответ: __________
На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса,
если заменить шины, установленные на заводе, шинами с маркировкой 225/40 R18?
Округлите результат до десятых.
Ответ:_______________________.

Найдите значение выражения

Ответ:
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИ П О В Ы Е Э К З А М Е Н А Ц И О Н Н Ы Е ВАРИАНТЫ

74

На координатной прямой отмечены точки А, В, С и D.
В
D

73
Одна из них соответствует числу — . Какая это точка?
14
1) точка А

2) точка В

3) точка С

4) точка D

Ответ: |
Сколько целых чисел расположено между числами Vl3 и УТ30 ?
Ответ: ________________________ .
Решите уравнение (х - 1)(—д: - 4) = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Ответ: ________________________ .
При подготовке к экзамену Олег выучил 40 билетов, а 10 билетов не выучил.
Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Ответ:
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их
задают.

ФОРМУЛЫ
14

2

1

1) У = - - х + 4

2) У= - * - 4

3)

у= з х+4

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 13

75

Закон Кулона можно записать в виде F =k - ^ ~ - , где F — сила взаимодействия
г

зарядов (в ньютонах), qi и q2 — величины зарядов (в кулонах), k — коэффициент
пропорциональности (в Н • м2/К л2), а г — расстояние между зарядами (в метрах).
Пользуясь формулой, найдите величину заряда qj (в кулонах), если
k = 9 • 109 Н • м2/К л2, q2 = 0,002 Кл, г = 2000 м, a F = 0,00135 Н.
Ответ: ______________________ .

Укажите решение системы неравенств
л: + 0 ,6< 0,

х-1> -4.
1)

(-оо;-3]

2) [-0,6; +оо)

3) (-со; -3] и [—0,6; +со)
4) [-3; -0,6]

Ответ
При проведении химического опыта реагент равномерно охлаждали на 7,5 °С
в минуту. Найдите температуру реагента (в градусах Цельсия) спустя 6 минут
после начала проведения опыта, если начальная температура составляла -8,7 °С.
Ответ: ______________________ .

В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 30°,
ВС = 8>/2. Найдите АС.
Ответ:

Площадь круга равна 69. Найдите площадь сектора этого круга,
центральный угол которого равен 120°.
Ответ: ______________________ .

Диагонали параллелограмма равны 7 и 24, а угол между
ними равен 30°. Найдите площадь этого параллелограмма.
Ответ:
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

76

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 отмечены три
точки: А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС.

в
А

Ответ:

с
Какое из следующих утверждений верно?
1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника,
то такие треугольники подобны.
2) Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса
другой окружности.
3) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ:
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите
чётко и разборчиво.

20

Решите уравнение (х - 1) (х2 + 6х + 9) = 5(х + 3).
Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной
концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 65 %
кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор
будет содержать 60 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится во втором
растворе?

22

2Ы -1
Построите график функции у =х \-2 х 1
Определите, при каких значениях k прямая у = kx не имеет с графиком общих
точек.

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 13

77

Высота АН ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 20 и СН = 5. Найдите
высоту ромба.

Точка К — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь
треугольника АВК равна сумме площадей треугольников ВСК и AKD.

Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки AM = 8 и МВ = 13.
Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через
точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.

П роверьт е, чт обы каж дый от вет бы л записан р я д о м с ном ером соот вет ­
ст вую щ его задания.

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 14
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1-19 являются число или последовательность цифр,
которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
является последовательность цифр, то запишите её без пробелов, запятых
и других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1—5.
А в то м о б и л ь н о е к о л е с о , к а к п р а в и л о , п р е д с т а в л я е т и з себ я м е т а л л и ч е с к и й ди ск
с у с т а н о в л е н н о й н а н его р е зи н о в о й ш и н о й . Д и а м е т р д и с к а с о в п а д а е т с д и ам етр о м
в н у т р е н н е г о о тв е р с ти я в ш и н е .

Рис. 1

Р ис. 2

Д л я м а р к и р о в к и а в то м о б и л ьн ы х ш и н п р и м е н я е т с я е д и н а я с и стем а о бозначени й .
Н ап р и м ер , 1 9 5 /6 5 R 1 5 (рис. 1). П ервое чи сл о (число 195 в п р и в едён н о м прим ере)
обозначает ш и р и н у ш и н ы в м и л л и м е т р а х (п ар ам етр В н а р и с у н к е 2). В торое число
(число 65 в п риведён ном прим ере) — процен тное отн о ш ен и е вы со ты боковины
(п арам етр Н н а р и су н к е 2) к ш и р и н е ш и н ы , то есть 1 0 0 ---- .
В
П ослед ую щ ая б у к в а обозначает ти п к о н с т р у к ц и и ш и н ы . В д ан н о м п рим ере
бук в а R озн ачает, что ш и н а р а д и а л ь н а я , то есть н и ти к а р к а с а в бо ковин е ш и ны
р асп ол ож ен ы вдоль радиусов колеса. Н а всех л егк о в ы х ав то м о би л ях п р и м ен яю тся
ш и н ы р ад и ал ьн о й к о н стр у к ц и и .
З а обозначением т и п а к о н стр у к ц и и ш и н ы идёт чи сло, у к азы в аю щ ее диам етр
д и ск а к ол еса d в дю й м ах (в одном дю йме 2 5 ,4 м м ). Т аки м образом , общ ий диам етр
к о л еса D легко н ай ти , зн а я ди ам етр д и ск а и вы соту боковины .
В озм ож н ы д о п о л н и тел ьн ы е м а р к и р о в к и , о зн ачаю щ и е доп усти м ую н а гр у зк у
н а ш и н у , сезонность и сп о л ь зо в ан и я , ти п дорож н ого п о к р ы т и я и други е.
З авод п рои зво ди т л егк о в ы е автом обили оп ределённой модели и у стан авл и вает
н а н и х ш и н ы с м ар к и р о вк о й 1 8 5 /6 0 R 1 6 .
© 2 0 2 2 . ООО «И зд ател ьство « Н ац и он альн ое о б р азо ван и е» . © 2 0 2 2 . ЧО У Д П О «М ЦНМ О*.
К о п и р о ван и е , рас п р о с тр а н е н и е и и сп о л ь зо в ан и е в к о м м е р ч ес к и х ц е л я х без п исьм енн ого р аз р е ш е н и я п равооб л ад ател ей пе д о п ускается

ВАРИАНТ 14

79

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны
разрешённые размеры шин.


Диаметр диска
(дюймы)

14

15

16

17

175/70
185/70

175/65
185/60

Не разр.
Не разр.

195

195/65

195/60

205
215

205/60
Не разр.

205/55
Не разр.

Не разр.
185/55
195/50,
195/55
205/50
215/45

Ширина шины (мм)
175
185

195/45
205/45
215/40

Какой наименьшей ширины шины можно устанавливать на автомобиль, если
диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Ответ:
На сколько миллиметров радиус колеса с маркировкой 175/65 R15 больше, чем
радиус колеса с маркировкой 205/55 R15?
Ответ:
Найдите диаметр D колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте
в сантиметрах.
Ответ:
На сколько миллиметров увеличится диаметр D колеса, если заменить шины,
установленные на заводе, шинами с маркировкой 205/45 R17?
Ответ:
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса,
если заменить шины, установленные на заводе, шинами с маркировкой 205/45 R17?
Округлите результат до десятых.
Ответ:

—I Найдите значение выражения —1—-1

1+



11

Ответ: ________
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИ П О В Ы Е Э К З А М Е Н А Ц И О Н Н Ы Е ВАРИАНТЫ

80

На координатной прямой отмечены точки А, В, С и D.
А
В
С
D
ч —
6
7
132
Одна из них соответствует числу т г т :. Какая это точка?
1)точка А

2) точка В

3) точка С

4) точка D

Ответ
Сколько целых чисел расположено между числами 3V7 и 7V3 ?
Ответ: _______________________ .
Решите уравнение (х + 20)(-д: + 10) = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
Ответ: _______________________ .
При подготовке к экзамену Егор выучил 16 билетов, а 9 билетов не выучил.
Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Ответ: _______________________ .
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их
задают.

ФОРМУЛЫ
1) г/ = |ж + 2
5

2) У = \ х - 2
о

3) г/ = - | * + 2
о

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 14

81

Закон Кулона можно записать в виде F = k ■-Щ- , где F — сила взаимодействия
г2

зарядов (в ньютонах), qy и q2 — величины зарядов (в кулонах), k — коэффициент
пропорциональности (в Н ■м2/К л2), а г — расстояние между зарядами (в метрах).
Пользуясь формулой, найдите величину заряда qx (в кулонах), если
k = 9 • 109 Н • м2/К л2, q2 = 0,004 Кл, г = 500 м, a F = 1,008 Н.
Ответ: ______________________ .

13

Укажите решение системы неравенств
х - 6 , 6 > 0 ,

х+1>5.
1) [4 ;-Не)

3) [6,6; +со)

2) [4; 6,6]

4) (-со; 4]

Ответ

При проведении химического опыта реагент равномерно охлаждали на 5,6 °С
в минуту. Найдите температуру реагента (в градусах Цельсия) спустя 5 минут
после начала проведения опыта, если начальная температура составляла + 6,2 °С.
Ответ: ______________________ .

В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 60°,
ВС = 4V6 . Найдите АС.
Ответ: ______________________ .

Площадь круга равна 180. Найдите площадь сектора этого
круга, центральный угол которого равен 30°.
Ответ: ______________________ .

17

Диагонали параллелограмма равны 10 и 26, а угол между
ними равен 30°. Найдите площадь этого параллелограмма.
Ответ: ______________________ .

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

82

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 отмечены
три точки: А, В и С. Найдите расстояние от точки А
до прямой ВС.
Ответ:

19

Какое из следующих утверждений верно?
1) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
2) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является
ромбом.
3) Основания любой трапеции параллельны.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ:
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов М 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите
чётко и разборчиво.

20

Решите уравнение х(х2 + 2х + 1) = 6(¾ + 1).

21

Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 42 кг раствора кислоты различной
концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 40 %
кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор
будет содержать 37 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится во втором
растворе?

22

Постройте график функции у =

2,5|*|-1
\х\-2,5х2

Определите, при каких значениях k прямая у = kx не имеет с графиком общих
точек.
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 14

83

1 Высота АН ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 24 и СН = 6. Найдите
——— высоту ромба.

24

Точка Е — середина боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что сумма
площадей треугольников ВСЕ и ADE равна половине площади трапеции.

25

Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки AM = 4 и МВ = 9.
Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через
точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.

Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответ­
ствующего задания.
___________________

О 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». ® 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО«.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 15
ЧАСТЬ 1
О т вет ами к заданиям 1 19
ОТВЕТОВ № 1 справа от ном ера
которые следует записат ь в Б Л А Н К O T B E l U B ^
omeemoM
соответствующего задания, начин
^ ш ит е её ^
проделов. за п я т ы х
я вляет ся последоват ельност ь цифр,

„ от дельной
и, дпигих дополнит ельны х сим волов. Каждый сим вол
клет очке в соот вет ст вии с приведённы м и в бланке образцам и.
___________
П рочит айт е вним ат ельно т екст и вы п о лн и т е за д а н и я 1 5.

Общепринятые форматы листов бумаги
обозначают буквой А и цифрой: АО, А1,
А2 и так далее. Площадь листа формата
АО равна 1 кв. м. Если лист формата АО
разрезать пополам параллельно меньшей
стороне, получаются два листа формата
А1. Если так же лист А1 разрезать
пополам, получаются два листа формата
А2 и так далее.
Отношение длины листа к его
ширине у всех форматов, обозначенных
буквой А, должно быть одно и то же,
то есть листы должны быть подобны
друг другу. Это сделано специально,
чтобы можно было сохранить пропорции текста на листе при изменении формата
бумаги (размер шрифта при этом тоже соответственно изменится). На практике
размеры листа округляются до целого числа миллиметров.
В таблице 1 даны размеры листов бумаги четырёх форматов: от АЗ до А6.
Т аблица 1
П ор ядк овы е н ом ер а

Ш и ри н а (м м )

Д л и н а (м м )

1

210

297

2

297

420

3

105

148

4

148

210

Для листов бумаги формацтов А6, А5, А4 и АЗ определите, какими порядковыми
номерами обозначены их размеры в таблице 1. Заполните таблицу ниже, в бланк
ответов перенесите последовательность четырёх цифр.
Ф орм аты бум аги

А6

А5

А4

АЗ

П ор ядк овы е н ом ер а

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

85

ВАРИАНТ 15

Сколько листов бумаги формата А6 получится при разрезании одного листа бумаги
формата АО?
Ответ:

И

Найдите длину меньшей стороны листа бумаги формата А2.
в миллиметрах.

Ответ дайте

Ответ:
Найдите площадь листа бумаги формата А5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ:
Размер (высота) типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен
1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт (в пунктах), чтобы
текст был расположен на листе формата АЗ так же, как этот же текст, напечатанный
шрифтом высотой 10 пунктов на листе формата А4? Размер шрифта округляется
до целого.
Ответ:
Найдите значение выражения 3 ,2 -3 ,5 -6 ,4 .
Ответ: _____________________ •
31 37 41 47

Одно из чисел — , — , — , — отмечено на прямой, точкой.

Какое это число?
1)

"

2

Ответ: |

) —

11

11

3) "
11

4) —

11

}

Найдите значение выражения т/0,36р4дй при р - 5 и д - 2 .
Ответ:______ ________________ •
Решите уравнение х2 + 8х + 15 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Ответ: _______ ____________ _ •
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

86

10

В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии
и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется
жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен
не из России.
Ответ:
Установите соответствие между формулами, которыми заданы функции, и графиками
этих функций.

ФОРМУЛЫ
о
А) у =- X

9
Б) i,= *
X

Б) У = - ~


ГРАФИКИ
У1


У.

У



X

1

/
0

X

/

У

/

1
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б В

Закон Джоуля
Ленца можно записать в виде Q = I 2Rt, где Q — количество
теплоты (в джоулях), I
сила тока (в амперах), R — сопротивление цепи (в омах),
а f
время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление цепи
R (в омах), если Q = 1296 Дж, 7 = 9 А, 1 = 2 с.
Ответ:

13

Укажите решение неравенства (ж + 2)(ж - 10) > 0.
!) (~2->10)

3) (10; +оо)

2)

4)

(-с о ;- 2 ) и ( 1 0 ; +оо)

( - 2 ; +оо)

Ответ = □
____
® 2 0 2 2 ‘ ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*
копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

v

ВАРИАНТ 15

87

В амфитеатре 20 рядов. В первом ряду 56 мест, а в каждом следующем —
на 2 места меньше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Ответ: ______________________ .
Точки М и N являются серединами сторон АВ и ВС
треугольника АВС соответственно. Отрезки A N и СМ
пересекаются в точке О, A N = 18, СМ = 21. Найдите ОМ.
Ответ: ______________________ .
Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность,
равен 33°. Найдите угол С этого четырёхугольника. Ответ
дайте в градусах.
Ответ: ______________________ .

Найдите
площадь
на рисунке.

параллелограмма,

изображённого

Ответ:

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
ромб. Найдите длину его меньшей диагонали.
Ответ: _______________________.

Какое из следующих утверждений неверно?
1) Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
2) Все равносторонние треугольники подобны.
3) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ:
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

88

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛ А Н К ОТВЕТОВ № 2.
Сначала укажите номер задания, а затем запиш ите его реш ение и ответ.
Пишите чётко и разборчиво.

20

Решите неравенство

-18
(* + 4)2-10

>

0

.

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста.
Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 51 минуту,
а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние
между городами составляет 251 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч,
скорость второго
20 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал
второй велосипедист, до места встречи.
Построите

график

функции

( л: + 3)( л:2 -Зж + 2)
у =-------- ----- --------- и

определите,

при каких

значениях ш прямая у = ш имеет с графиком ровно одну общую точку.
Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р
соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если
АР = 34, а сторона ВС в 2 раза меньше стороны АВ.
В треугольнике АВС с тупым углом АВС проведены высоты ААг и ССГ Докажите,
что треугольники А1ВС1 и АВС подобны.
25

Углы при одном из оснований трапеции равны 53° и 37°, а отрезки, соединяющие
середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2. Найдите основания
трапеции.
Проверьте, чтобы каждый
соответствующего задания.

ответ

был

записан

рядом

с

номером

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 16
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1-19 являю т ся число или последовательность цифр,
которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ Л® 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
являет ся последовательность цифр, то запишите её без пробелов, запятых
и_ др угих дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1-5.
Общепринятые форматы листов бумаги
обозначают буквой А и цифрой: АО, А1,
А2 и так далее. Площадь листа
формата АО равна 1 кв. м. Если лист
формата
АО
разрезать
пополам
параллельно меньшей стороне, получаются
два листа формата А1. Если так же
лист А1 разрезать пополам, получаются
два листа формата А2 и так далее.
Отношение длины листа к его ширине
у всех форматов, обозначенных буквой А,
должно быть одно и то же, то есть листы
должны быть подобны друг другу. Это
сделано специально, чтобы можно было
сохранить пропорции текста на листе при изменении формата бумаги (размер шрифта
при этом тоже соответственно изменится). На практике размеры листа округляются
до целого числа миллиметров.
В таблице 1 даны размеры листов бумаги четырёх форматов: от АЗ до А6.
Таблица 1
Ширина (мм)
148
297
105
210

Порядковые номера
1
2
3
4

Длина (мм)
210
420
148
297

Для листов бумаги форматов А6, А5, А4 и АЗ определите, какими порядковыми
номерами обозначены их размеры в таблице 1. Заполните таблицу ниже, в бланк
ответов перенесите последовательность четырёх цифр.
Форматы бумаги
Порядковые номера

А6

А5

А4

АЗ

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

90

Сколько листов бумаги формата А5 получится при разрезании одного листа бумаги
формата А2?
Ответ: _______________________ .
Найдите длину меньшей стороны листа бумаги формата А1.
в миллиметрах.

Ответ дайте

Ответ: _______________________ .
Найдите площадь листа бумаги формата А6. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: _______________________ .
Найдите отношение длины меньшей стороны листа к большей у бумаги формата А2.
Ответ дайте с точностью до десятых.
Ответ: _______________________ .
Найдите значение выражения 6 ,1 -4 ,5 -5 ,4 .
Ответ: _______________________.
Л
55 64 72 79

Одно из чисел — , — , — , — отмечено на прямой точкой.
19 19 19 19

1.)


19

Ответ:

2)

64
19

4)

79
19

_J

Найдите значение выражения л/0,25т6п4 при т = 3 и п = 4.
Ответ: ______________________ .
Решите уравнение х 2 + 10х + 24 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Ответ: ______________________ .
10

В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии
и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется
жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен
из Норвегии или Швеции.
Ответ:

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 16

91

Установите соответствие между формулами, которыми заданы функции, и графиками
этих функций.
ФОРМУЛЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б В

Закон Джоуля — Ленца можно записать в виде Q =I 2Rt, где Q — количество
теплоты (в джоулях), I — сила тока (в амперах), R — сопротивление цепи (в омах),
a t — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление цепи
R (в омах), если Q = 1152 Дж, I = 8 A, t = 6 с.
Ответ: ___________

Укажите решение неравенства {х + 3)(х - 6) > 0.
1) (6; +оо)

3) (-те; -3) и (6; +со)

2) (-3; +оо)

4) (-3; 6)

Ответ:

!

В амфитеатре 30 рядов. В первом ряду 12 мест, а в каждом следующем —
----- на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Ответ: ______________________ .
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письмепного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

92

Точки М и N являются серединами сторон АВ и ВС
треугольника АВС соответственно. Отрезки A N и СМ
пересекаются в точке О, A N = 33, СМ = 15. Найдите ON.
Ответ: _______________________.

Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность,
равен 62°. Найдите угол С этого четырёхугольника. Ответ
дайте в градусах.
Ответ: _______________________.

Найдите площадь
на рисунке.

параллелограмма,

изображённого
8

Ответ: _______________________ .

18

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Ответ:

Какое из следующих утверждений неверно?
1) . Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
2) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам
другого треугольника, то такие треугольники равны.
3) Любые два равносторонних треугольникаподобны.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ:
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.
О 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 16

93

ЧАСТЬ 2
П ри вы п о лнени и заданий 2 0 -2 5 используйт е Б Л А Н К ОТВЕТОВ № 2.
С начала укажи?пе номер задания, а зат ем запиш ит е его реш ение и ответ.
П иш ит е чёт ко и разборчиво.

20

Решите неравенство

-16
- < 0.
(ж+2)-5

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста.
Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 28 минут,
а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние
между городами составляет 286 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч,
скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал
второй велосипедист, до места встречи.
(ж-1)(ж2-4 )
Постройте график функции у =--------- ------ и определите, при каких значениях т
х -2

прямая у = т имеет с графиком ровно одну общую точку.
Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р
соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если
А К = 7, а сторона АС в 1,4 раза больше стороны ВС.
В треугольнике АВС с тупым углом ВАС проведены высоты В В 1 и ССГ Докажите,
что треугольники ABjCj и АВС подобны.
Углы при одном из оснований трапеции равны 80° и 10°, а отрезки, соединяющие
середины противоположных сторон трапеции, равны 20 и 17. Найдите основания
трапеции.
Проверьте, чтобы каждый
соответствующего задания.

ответ

был

записан

рядом

с

номером

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 17
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1-19 являются цифра, число или последовательность
цифр, которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
является последовательность цифр, то запишите её без пробе лов запят ы х,
и дригих дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1-5.
Сергей Петрович решил построить на дачном участке теплицу длиной 4 м.
Для этого он сделал прямоугольный фундамент. Для каркаса теплицы Сергей
Петрович заказал металлические дуги в форме полуокружностей длиной 5 м каждая
и покрытие для обтяжки.

В пелелней
КУПИТЬ ПЛёНКУ ДЛЯ ПеРе«ней и задней стенок теплицы.
ВСС R где точки" “
РуетСЯ вход’ доказанный на рисунке прямоугольником
ВССВ1, где точки В, О и С делят отрезок AD на четыре равные части B hvtdh
теплицы Сергей Петрович планирует сделать три грядки по длине теплицы одну центральную широкую грядку и две узкие грядки по краям. Между грядками
будут дорожки шириной 40 см, для которых необходимо купитГ тротуарную
плитку размером 20 х 20 см.
у
тротуарную
Какое наименьшее количество дуг нужно зякяяятп.
соседними дугами было не более 60 см?


расстояние между

Ответ:
~2 I Сколько упаковок плитки необходимо купить лля

----- она продаётся в упаковках по 6 штук? У
Д°Р°жек между грядками, если
Ответ:

ВАРИАНТ 17

95

Найдите ширину теплицы. Ответ дайте в метрах с точностью до десятых.
Ответ: ______________________ .
Найдите ширину центральной грядки, если она в два раза больше ширины узкой
грядки. Ответ дайте в сантиметрах с точностью до десятков.
Ответ: ______________________ .
Найдите высоту входа в теплицу. Ответ дайте в сантиметрах.
Ответ: _______

____________ .
1

Найдите значение выражения

1
JL
36 + 45
.

Ответ: ____________________

На координатной прямой отмечены числа х, у и г .
г

х

у

Какая из разностей х - у , у - г , z - x положительна?
1) х - у
Ответ: |

2) у - г

3) z - х

4) ни одна из них

[

Найдите значение выражения

Я-7 . Я2

Ответ: _______________________.

Решите уравнение *2-20 = л:.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
Ответ: ______________

Вероятность того, что новый фен прослужит больше года, равна 0,98. Вероятность
того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,86. Найдите вероятность того,
что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Ответ: __________________
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

96

На рисунках изображены графики функций вида у =ах2+Ьх +с. Установите
соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов а и с.
ГРАФИКИ

КОЭФФИЦИЕНТЫ
1) а > 0, с > О

2) а > О, с < О

3) а < О, с > О

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б В

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле А =——, где U —

н

напряжение (в вольтах), R — сопротивление (в омах), t — время (в секундах).
Пользуясь этой формулой, найдите А (в джоулях), если t = 9 с, Г = 8 В и Д = 12 Ом.
Ответ: _______________________.

13

Укажите решение неравенства
-3-5лг< х + 3.
1) (-оо;0]
Ответ: |

14

2) [-1; +оо)

3) [0 ;+оо)

4) (-со;-1]

[

В 11:00 часы сломались и за каждый следующий час отставали на одно и то же
количество минут по сравнению с предыдущим часом. В 21:00 того же дня часы
отставали на двадцать минут. На сколько минут отставали часы спустя 24 часа
после того, как они сломались?
Ответ:

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 17

97

В треугольнике АВС угол С равен 90°, АС = 14, АВ = 20. Найдите
sin В.
Ответ: ______________________ .

Отрезки АС и BD — диаметры окружности с центром О.
Угол АСВ равен 53°. Найдите угол AOD. Ответ дайте
в градусах.
Ответ: ______________________ .

Площадь параллелограмма ABCD равна 92. Точка Е —
середина стороны АВ. Найдите площадь трапеции DAEC.
Ответ: ______________________ .
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
треугольник АВС. Найдите длину его медианы, проведённой
из вершины С.
Ответ: ______________________ .

19

Какие из следующих утверждений верны?
1) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу,
опирающемуся на ту же дугу.
3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую,
перпендикулярную этой прямой.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ:
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

98

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛ АН К ОТВЕТОВ № 2.
Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ.
Пишите чётко и разборчиво.
Решите уравнение х4 =(2 х -3 )2 ■
Моторная лодка прошла против течения реки 132 км и вернулась в пункт
отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против
течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки
равна 5 км/ч.
Постройте график функции у =х2+З х -3 \х +2\ +2 и определите, при
значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно три общие точки.

каких

Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках К и N
соответственно. Известно, что АВ = 12, ВС = 15, АС = 24, АК = 7, CN = 11. Найдите
длину отрезка KN.
Сторона АВ параллелограмма ABCD вдвое больше стороны АВ. Точка К — середина
стороны АВ. Докажите, что DK — биссектриса угла АВС.

В трапеции АВСВ основания АВ и ВС равны соответственно 34 и 14, а сумма
углов при основании АВ равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через
точки А и В и касающейся прямой СВ, если АВ = 12.
Проверьте, чтобы каждый
соответствующего задания.

ответ

был

записан

рядом

с

номером

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 18
ЧАСТЬ 1
О т вет а м и к за д а н и я м 1 -1 9 я в л я ю т с я циф ра, число и л и последоват ельност ь
циф р, кот оры е следует записат ь в Б Л А Н К ОТВЕТОВ М 1 справа от ном ера
соот вет ст вую щ его зад ан ия, на чи н а я с первой к лет о чки . Е сли от вет ом
я в л я е т с я по следоват ельност ь циф р, то запиш ит е её без пробелов, за п я т ы х
и д р у г и х доп о л н и т е л ь н ы х си м во ло в. Каж дый си м во л п и ш ит е в от дельной
к ле т о ч к е в соот вет ст вии с приведённы м и в бланке образцам и.
П р о ч и т а й т е вни м а т ельн о т екст и вы п о лн и т е зад ания 1 -5 .

Сергей Петрович решил построить на дачном участке теплицу длиной 4 м.
Для этого он сделал прямоугольный фундамент. Для каркаса теплицы Сергей
Петрович заказал металлические дуги в форме полуокружностей длиной 5 м каждая
и покрытие для обтяжки.

Отдельно требуется купить плёнку для передней и задней стенок теплицы.
Внутри теплицы Сергей Петрович планирует сделать три грядки по длине
теплицы — одну центральную широкую грядку и две узкие грядки по краям.
Между грядками будут дорожки шириной 40 см, для которых необходимо купить
тротуарную плитку размером 20 х 20 см. Высота теплицы показана на рисунке
отрезком H F.
Какое наименьшее количество дуг нужно заказать, чтобы расстояние между
соседними дугами было не более 70 см?
О твет:________ _______________■
Сколько упаковок плитки необходимо купить для дорожек между грядками, если
она продаётся в упаковках по 12 штук?
Ответ: ---------- ------ ---------------- '
--------------------------------га оо22 ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
и
* я игпользование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается
Копирование, распространение и

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

100

Найдите высоту теплицы. Ответ дайте в метрах с точностью до десятых.
Ответ: _______________________ .
Найдите площадь участка, отведённого под теплицу. Ответ дайте в квадратных
метрах. Результат округлите до целых.
Ответ: _______________________ .
Сколько квадратных метров плёнки необходимо купить для передней и задней
стенок, если с учётом крепежа её нужно брать с запасом 10 % ? Ответ округлите
до десятых.
Ответ: _______________________ .
1

Найдите значение выражения

21 + 28

Ответ:
На координатной прямой отмечены числа х, у и г.
г

х

у

Какая из разностей у - г , у - х , х - г отрицательна?
1) у - г
Ответ: |

2) у - х

3) х - z

4) ни одна из них

|
о -6

об

Найдите значение выражения ---2 - ---s
Ответ:
Решите уравнение * 2-35 = 2х.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Ответ: ______________
Вероятность того, что новый утюг прослужит больше года, равна 0,94. Вероятность
того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,85. Найдите вероятность того,
что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Ответ: ______________________ .
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

101

ВАРИАНТ 18

На рисунках изображены графики функций вида у = а х 2+Ьх + с. Установите
соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов а и с.
ГРАФИКИ
А)

yi
\

у
0

В)

В)

\\
\

.
X

'

/
0

\

х

КОЭФФИЦИЕНТЫ
1) а > 0, с < 0

2) а < 0, с > 0

3) а > 0, с > О

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б В

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле A = I 2Rt, где I —
сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах), t — время (в секундах).
Пользуясь этой формулой, найдите А (в джоулях), если f = 10 с, / = 4 А и К = 2 Ом.
Ответ: ________________________ .

Укажите решение неравенства
-3-д:2д:-4,

__#шшшшт/ш^
-1,5
2) /шш/тшшшш^

-1,5

3)
41

# ////////////////////////^

0,5
/////////////////////////////j

-0,5

Ответ: | j
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

112

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время
этой процедуры в каждый следующий день на 5 минут. В какой по счёту день
продолжительность процедуры достигнет 1 часа?
Ответ: _______________________.
В равнобедренном треугольнике АВС
с основанием АС угол АВС равен 98°.
Найдите внешний угол при вершине С.
Ответ дайте в градусах.

В

Ответ: _______________________.

Сторона АС треугольника АВС проходит через центр
описанной около него окружности. Найдите Z C , если
ZA = 33°. Ответ дайте в градусах.
Ответ: _______________________.

17

Периметр ромба равен 56, а один из углов равен 30°.
Найдите площадь ромба.
Ответ: ______________________ .

18

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
угол. Найдите тангенс этого угла.
Ответ: ______________________ .

19

Какое из следующих утверждений верно?
1) Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
2) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
3) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам
другого треугольника, то такие треугольники равны.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ:
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

113

ВАРИАНТ 20

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛ А Н К ОТВЕТОВ № 2.
Сначала у к а ж и т е номер задания, а з а т е м зап и ш и те его решение и о т в е т .
П и ш и те ч ё тк о и разборчиво.
_____

20

Решите неравенство (х -5 )2 < *J7 (х - 5 ) .
Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба.
Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом
100 литров она заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба?

Постройте график функции
j - x 2 -2 х + 3, если х > - 2 ,
У [-jc + l, если х < - 2 ,
и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две
общие точки.

23

В равнобедренной трапеции АВСП с большим основанием АП биссектриса угла А
пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону СП
в точке К . Известно, что угол AFC равен 150°. Найдите F K , если CF —12>/3.

Известно, что около четырёхугольника АВСП можно описать окружность и что
продолжения сторон АВ и СП четырёхугольника пересекаются в точке М.
Докажите, что треугольники МВС и МПА подобны.
На стороне ВС остроугольного треугольника АВС (А В ф АС) как на диаметре
построена полуокружность, пересекающая высоту АП в точке М, АП = 90,
МП = 69 , Н —• точка пересечения высот треугольника АВС. Найдите АН.

Проверьте, чтобы каждый
соответствующего задания.

ответ

был

записан

рядом с номером
________________

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 21
ЧАСТЬ 1
О т вет ам и к за д а н и я м 1—19 я в л я ю т с я циф ра, чи сло и л и п о следоват ельност ь
циф р, кот оры е следует записат ь в Б Л А Н К О ТВЕТО В № 1 справа от ном ера
соот вет ст вую щ его зад ан ия, н а ч и н а я с пер во й к лет о ч к и . Е с ли от вет ом
я в л я е т с я последоват ельност ь циф р, то за п и ш и т е её без п р о белов, за п я т ы х
и д р у ги х д о п о лн и т е льн ы х си м в о л о в . Каж дый с и м в о л п и ш и т е в от дельной
к лет о чке в соот вет ст вии с п р и в ед ё н н ы м и в б ла н к е о бр азцам и.
П ро чи т а й т е в н и м а т е льн о т екст и в ы п о л н и т е за д а н и я 1 -5 .

Дима летом отдыхает у дедушки в деревне Васильевке. Во вторник они собираются
съездить на велосипедах в село Плодородное на ярмарку. Из деревни Васильевки
в село Плодородное можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный
путь: по прямолинейному шоссе через деревню Шарковку до деревни Рассвет,
где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село
Плодородное. Есть и третий маршрут: в деревне Шарковке можно свернуть на прямую
тропинку в село Плодородное, которая идёт мимо пруда.
Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Дима с дедушкой едут со скоростью 25 км/ч, а по лесной дорожке
и тропинке — со скоростью 18 км/ч. На плане изображено взаимное расположение
населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 3 км.
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 21

115

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены
населённые пункты.
Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр
без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Н а с е л , п ун к ты

д. Васильевна

д. Рассвет

д. Шарковка

Ц ифры

Сколько километров проедут Дима с дедушкой от деревни Васильевки до села
Плодородного, если они поедут по шоссе через деревню Рассвет?
Ответ: ______________________ .
Найдите расстояние от деревни Шарковки до села Плодородного по прямой. Ответ
дайте в километрах.
Ответ: ______________________ .
Сколько минут затратят на дорогу из деревни Васильевки в село Плодородное
Дима с дедушкой, если они поедут сначала по шоссе, а затем свернут в Шарковке
на прямую тропинку, которая проходит мимо пруда?
Ответ: ______________________ .
В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах,
расположенных в деревне Васильевке, селе Плодородном, деревне Шарковке
и деревне Рассвет.
Н а и м ен о в а н и е
п р од ук та

д . В аси л ьевк а

с. П л од ор од н ое

д . Ш арковка

д . Р а ссв ет

37

38

36

39
21

Молоко (1 л )
Хлеб (1 батон)

16

18

22

Сыр «Российский»
(1 кг)

240

280

250

260

Говядина (1 кг)

420

430

415

410

Картофель (1 кг)

30

28

35

25

Дима с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 кг говядины и 2 кг картофеля.
В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ
запишите стоимость данного набора в этом магазине.
Ответ: __________________
Найдите значение выражения

.
9,5+8,9
2,3

Ответ:
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

116

___________________________________________________

о г э . Т И П О В Ы Е Э К З А М Е Н А Ц И О Н Н Ы Е ВАРИАНТЫ

На координатной прямой отмечено число а.
а


I- - - - - - - - - 1- - - - - - - - - - - 1- - - - - - - - - - 1- - - - - - - - - - 1—

О

• —

I- - - - - - - - - - 1- - - - - - - - - - - 1- - - - - - - - - - 1_ _ _ _ _ _ _

1

Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
1) а - 8 > 0
Ответ: [

2) 7 - а < 0

3) а - 3 > 0

4) 2 - а > 0

|

Найдите значение выражения а '13-(а5)3 при а = 7.
Ответ: ____________
Найдите решение уравнения 2х2+ 5 х -7 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Ответ:
10

В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем,
одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 4 раза меньше, чем
пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой
коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.
Ответ:
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

у

7

-i

~ 7А
0

1

Г^с

ФОРМУЛЫ
1)

у = х 2- 5х + 3

2)

у =- х 2+5 х -3

3)

у = х2+5х +3

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:

А Б В

© 2022. ООО «Издательство .Национальное образование.. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
опирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

117

ВАРИАНТ 21

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле
д = —- — , Где а — сторона, а а — противолежащий ей угол треугольника.
2sina ’
Пользуясь этой формулой, найдите R, если a = 10 и sina = —.
Ответ:_______________________•
Укажите решение неравенства
2 х -8 >4 jc+ 6.
1) (-со; 1)
Ответ:

2) (1; +оо)

3) (- -2 ,
х0
Ответ: |

2) 5 - а < 0

3) а - 3 < 0

4) 2 - а < 0

|

Найдите значение выражения t>12-(tr3)3 при Ь = 5.
Ответ: ______
Решите уравнение 5л:2+4 ж-1 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
Ответ: ______
В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем,
одинаковые на вид, причём пакетиков с зелёным чаем в 7 раз меньше, чем
пакетиков с чёрным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой
коробки пакетик окажется пакетиком с чёрным чаем.
Ответ:
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ФОРМУЛЫ
1) у = -3*2+24 x -42

2)

у=Зхг-24х+42

3)

у= -Зхг-2 4 х -4 2

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б В

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

122

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле
Д = — - — , где а — сторона, а а — противолежащий ей угол треугольника.
2sin а
g
Пользуясь этой формулой, найдите а, если Я = 10 и sin a = — .
Ответ: _______________________..
Укажите решение неравенства
5 х+ 4 < х +6.

1) (—оо; 0,5)
Ответ: |

2) (2,5; +°о)

3) (-с»; 2,5)

4) (0 ,5 ;+оо)

j

Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается
делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после
пятикратного деления их стало 960?
Ответ: _______________________ .
Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30.
Найдите гипотенузу этого треугольника.
Ответ:

Точка О — центр окружности, на которой лежат точки А , В
и С. Известно, что Z АВС = 103° и ZOAB = 24°. Найдите
угол ВСО. Ответ дайте в градусах.
Ответ: _______________________ .

В трапеции ABCD AB=CD , ZBD A = 14° и ZBDC = 106°.
Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах.
Ответ:

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
параллелограмм. Найдите его площадь.
Ответ: _______________________ .
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 22

123

Какие из следующих утверждений верны?
1) Если диагонали параллелограмма равны, то он является ромбом.
2) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно
радиусу.
3) В любом тупоугольном треугольнике есть острый угол.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ:
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ М 2.
Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ.
Пишите чётко и разборчиво.
Решите уравнение х3 +4х2- х - 4 = 0.
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же
места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя 20 минут, когда одному
из них оставалось 400 м до окончания первого круга, ему сообщили, что второй
бегун пробежал первый круг 2 минуты назад. Найдите скорость первого бегуна,
если известно, что она на 3 км/ч меньше скорости второго.
Постройте график функции
\х 2- 2 х +4 при
у =\ 9
при

х> —1,
х < -1 .

Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно одну
общую точку.
23

Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если
АВ = 2 4 , а расстояния от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно
16 и 12.

24 | Высоты ВВ1 и СС1 остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Е.
Докажите, что углы ВВ1С1 и ВСС\ равны.
| 25 | В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Точка F
принадлежит отрезку АС. Известно, что ВО = 19, ВО = 16, АС = 24. Найдите AF,
если
площадь
треугольника
FCD
в
три
раза
меньше
площади
четырёхугольника ABCD.
Проверьте, чтобы каждый
соответствующего задания.

ответ

был

записан

рядом

с

номером

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 23

125

1

2



3

4

ночная (Т2)

5

6

7

8

9

в

полупиковая (ТЗ)

10

11

12

пиковая (Т1)

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов
времени характеристику расхода электроэнергии.
A)
Б)
B)
Г)

ПЕРИОДЫ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

май — июнь
июнь — июль
июль —■август
октябрь — ноябрь

1) расход уменьшился во всех трёх тарифных зонах
2) расход в полупиковой и ночной зонах увеличился
одинаково
3) расход в полупиковой зоне увеличился, а в пиковой
и ночной — уменьшился
4) расход в ночной зоне уменьшился на столько же,
на сколько увеличился расход в пиковой зоне

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Г

Сколько месяцев в 2021 году расход электроэнергии в ночную зону превышал
расход в пиковую зону?
Ответ:

И

На сколько рублей больше заплатил бы Олег Борисович за электроэнергию,
израсходованную в январе, если бы пользовался двухтарифным учётом?
Ответ:

© 2022. 0 0 0 .Издательство .Национальное образование.. © 2022. ЧОУ ДПО .МЦНМО.,
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИ П О ВЫ Е ЭК З АМ Е Н А Ц И О Н Н Ы Е ВАРИАНТЫ

126

На сколько процентов общий расход электроэнергии в квартире Олега Борисовича
в марте был больше, чем в феврале? Ответ округлите до десятых.
Ответ: _______________________.
Соседи Николая Андреевича, семья Прониных, исходя из данных по расходу
электроэнергии за 2021 год по своей квартире, рассчитали средний расход
электроэнергии за месяц по тарифным зонам:
- ночная зона — 48 кВт • ч,
- полупиковая зона — 70 кВт • ч,
- пиковая зона — 107 кВт •ч.
Пронины предполагают, что в 2022 году средний расход электроэнергии будет
таким же. Исходя из этого, выберите наиболее выгодный вариант учёта
электроэнергии для семьи Прониных в 2022 году (однотарифный, двухтарифный
или трёхтарифный). Считайте, что стоимость 1 кВт • ч электроэнергии будет такой
же, как во II полугодии 2021 года. Оцените общие расходы Прониных на оплату
электроэнергии (в рублях) за 2022 год (по наиболее выгодному варианту учёта),
если средний расход электроэнергии действительно будет таким же.
1) менее 5 тыс. руб.
2) от 5 тыс. руб. до 10 тыс. руб.
3) от 10 тыс. руб. до 15 тыс. руб.

4) от 15 тыс. руб. до
5) от 20 тыс. руб. до
6) более 25 тыс. руб.

20 тыс. руб.
25 тыс. руб.

В ответ запишите номер верного варианта оценки расходов.
Ответ: ______________________ .
Найдите значение выражения 5,3-9 (-4,4).
Ответ: ______________________ .
На координатной прямой отмечены точки М, N, Р, Q. Одна из них соответствует
числу 754. Какая это точка?
М

N

6
1) точка М
Ответ:

Р

Q

— •------- •

7

3) точка Р

2) точка N

---------- ►

1

8

4) точка Q

Q J

Найдите значение выражения

при а = 4.

Ответ: ____________________
Найдите корень уравнения 4(ж + 10) = -1.
Ответ: ______________________ •
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 23

127

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Македонии,
9 спортсменов из Сербии, 7 спортсменов из Хорватии и 5 — из Словении. Порядок,
в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность
того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Македонии.
Ответ: __________

____.

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А В В

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле Р = I 2R , где I —
сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой,
найдите мощность Р (в ваттах), если сопротивление составляет 8 Ом, а сила тока
равна 8,5 А.
Ответ: _________________

Укажите решение неравенства
5д:-2(2л:-8) 9 .
1) [15; +оо)

Ответ: |

2) (-о о ;-3 3 ]

3) (-со; 15]

4) [-33; +оо)

|

| Врач прописал больному капли по следующей схеме: в первый день 10 капель,

— а в каждый следующий день на 10 капель больше, чем в предыдущий, до тех пор,
пока дневная доза не достигнет 60 капель. Такую дневную дозу (60 капель) больной
ежедневно принимает пять дней, а затем уменьшает приём на 10 капель в день
до последнего дня, когда больной принимает последние десять капель. Сколько
пузырьков лекарства нужно купить на весь курс, если в каждом пузырьке 5 мл
лекарства, то есть 130 капель?
Ответ: ______________________ .
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

134

В треугольнике ABC ZBAC = 86°, AD
Найдите ZBAD. Ответ дайте в градусах.

В

биссектриса.

Ответ:

А

На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что
ZAOB = 122°. Длина меньшей дуги АВ равна 61. Найдите
длину большей дуги АВ.
Ответ: _______________________.

Сторона ромба равна 14, а один из углов этого ромба
равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
Ответ: _________

18

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
прямоугольный треугольник. Найдите длину его гипотенузы.
Ответ:

19

Какое из следующих утверждений верно?
1) Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
2) Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
3) Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ: _______

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

С

ВАРИАНТ 2 4

135

ЧАСТЬ 2
П ри вы полнении заданий 2 0 -2 5 и сп ользуй т е Б Л А Н К ОТВЕТОВ № 2.
С н ачала укаж ит е ном ер за д ан и я , а зат ем запиш ит е его реш ение и от вет .
П иш ит е чёт ко и разборчи во.

Реш ите систему уравнений (5х2 + у 2 =36,
(10л:2+2г/2 = 36л;.
2 1 | Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 75 к м /ч , проезжает мимо пеш ехода,
идущего параллельно путям со скоростью 3 к м /ч навстречу поезду, за 30 секунд.
Н айдите длину поезда в метрах.
Постройте график функции у - \ х \ ( х + 2 ) - 5 х и определите, при к ак и х зн ачен иях т
прям ая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.
П рям ая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС
в точках М и N соответственно. Найдите BN, если M N = 15, АС = 25, АТС = 22.
В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаю тся в точке О.
Д окаж ите, что площ ади треугольников АОВ и COD равны.
В параллелограм ме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром
окруж ности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А
и прям ы х AD и АС соответственно равны 25, 13 и 7. Н айдите площ адь
параллелограм м а ABCD.

П роверьт е, чтобы каждый
соот ветствующ его задания.

ответ

был

записан

рядом

с

номером

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 25
ЧАСТЬ 1
'
миопп или последовательность
Ответами к заданиям 1-19 являю тся цифр ^
№ j
ва от номера
цифр, которые следует записать в БЛАНК О! В
чкв> Если ответом
соответствующего задания, начиная
* Р
пробелов, запятых
является последовательность цифр, то запишит
ДДД “ отдельной
„ Дп,,,,,» Пополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке о разцами.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1-5.
Ваня летом отдыхает у дедушки и бабушки
в деревне Николаевке. Ваня с дедушкой
собираются съездить на велосипедах в село
Игнатьево на железнодорожную станцию.
Из Николаевки в Игнатьево можно проехать
по шоссе до деревни Сосновки, где нужно
свернуть под прямым углом направо на другое
шоссе, ведущее в Игнатьево через посёлок
Дачный. Из Николаевки в Игнатьево можно
проехать через посёлок Дачный и не заезжая
в Сосновку, но тогда первую часть пути надо
будет ехать по прямой лесной дорожке. Есть
и третий маршрут: доехать по прямой тропинке
мимо озера до деревни Кулички и там, повернув
налево, по шоссе добраться до Игнатьево.
По шоссе Ваня с дедушкой едут со скоростью
20 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке —•
15 км/ч. Расстояние по шоссе от Николаевки
до Сосновки равно 15 км, от Игнатьево
до Сосновки — 24 км, от Игнатьево
до Дачного — 16 км, а от Игнатьево
до Куличек — 8 км.
Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены
населённые пункты. В ответ запишите полученную последовательность пяти цифр.
Н а сел , пункты

д. Николаевка с. Игнатьево д. Сосновка п. Дачный д. Кулички

Цифры

На сколько процентов скорость, с которой едут Ваня с дедушкой по тропинке,
меньше их скорости по шоссе?
Ответ:
© 2022. 0 0 0 ♦Издательство ♦Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО ♦МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 25

137

Найдите расстояние от деревни Николаевки до посёлка Дачного по лесной дорожке.
Ответ дайте в километрах.
Ответ: ________________________ .
Сколько минут затратят на дорогу Ваня с дедушкой, если поедут на станцию через
Сосновку?
Ответ: ________________________ .
Определите, на какой маршрут до станции потребуется меньше всего времени.
В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Ваня с дедушкой, если поедут
этим маршрутом.
Ответ: ________________________ .
Найдите значение выражения

0,8

1- 1
9

'

Ответ:
4
7 „
Какое из следующих чисел заключено между числами — и — ?
1) 0,2

2) 0,3

3) 0,4

4) 0,5

В ответ запишите номер выбранного варианта.
Ответ:

__

J

Найдите значение выражения



Ответ:
Решите уравнение (5ж -2)(-л; + 3) = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Ответ: ________________________ .
-

В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают трёх человек,
которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того,
что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
Ответ: ________________________ .

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

138

Установите соответствие между формулами, которыми заданы функции, и графиками
этих функций.
ФОРМУЛЫ
А)

у = - х 2+ 2х + 4

Б)

у = хг- 2 х - 4

В)

у = - х 2- 2 х + 4

У.

У
/

/

/

А
/

/ 0
/
/
Г1

N

L

\
Д
1

\

4

L

\
\_

\

/
А
1

X

0

/

Л

V


L

А\

X

А

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:

12

А Б В

Теорему синусов можно записать в виде
треугольника, а а и р
соответственно.
и sinp =

-, где а и b
две стороны
sin а sinp
углы треугольника, лежащие против этих сторон

Пользуясь этой формулой,

найдите а,

если

6= 6,

sin a = —
12

8

Ответ:
Укажите решение неравенства
х 2- 4 9 > 0 .

1) [-7; 7]

3) (-оо;-7]и[7;+оо)

2) нет решений

4 ) (-с о ; +оо)

Ответ:

I

К концу 2009 года в городе проживало 53 100 человек. Каждый год число жителей
города возрастало на одну и ту же величину. В конце 2018 года в городе проживало
60 390 человек. Какова была численность населения этого города к концу
2015 года?
Ответ: _______________
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 25

139

Точки М и N являются серединами сторон АВ и ВС
треугольника АВС, сторона АВ равна 73, сторона ВС
равна 31, сторона АС равна 42. Найдите M N.
Ответ: _______________________.

Угол А трапеции ABCD с основаниями А В и ВС, вписанной
в окружность, равен 77°. Найдите угол С этой трапеции.
Ответ дайте в градусах.
Ответ: _______________________.

В ромбе ABCD угол АВС равен 68°. Найдите угол ACD.
Ответ дайте в градусах.
Ответ: ____________________

.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
треугольник. Найдите его площадь.
Ответ: _______________________.

Какие из следующих утверждений верны?
1) Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
2) Все углы ромба равны.
3) Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ:
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

140

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20 -2 5 используйте БЛ А Н К ОТВЕТОВ № 2.
Сначала у к аж и т е номер задания, а з а т е м зап и ш и те его решение и о т в е т .
П и ш и те ч ё тк о и разборчиво.

Найдите значение выражения 41а-Ь + 45, если

а-6 6 + 5
6а-Ь+5

Шесть одинаковых рубашек дешевле куртки на 8 % . На сколько процентов девять
таких же рубашек дороже куртки?

Постройте

график

функции

(х 2 + 0,25)(л; + 1)
У= -------- -——------

и

определите,

при

каких

значениях k прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К.
Найдите периметр параллелограмма, если В К = 10, СК = 18.

Окружности с центрами в точках Е и F пересекаются в точках С и D, причём
точки Е и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что C D L E F .

В треугольнике АВС биссектриса B E и медиана AD перпендикулярны и имеют
одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника АВС.

П роверьте, чтобы каждый
соответствую щ его задания.

ответ

был

записан

рядом

с

номером

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

142

Найдите расстояние от посёлка Дачного до станции Путятино по прямой. Ответ
дайте в километрах.
Ответ: __________________________.
Сколько минут затратят на дорогу Маша с дедушкой, если поедут на станцию
по прямой грунтовой дороге от Дачного до Путятино?
Ответ: _________________________ .
На грунтовых дорогах машина дедушки расходует 9 ,2 литра бензина на 100 км.
Известно, что на путь из Дачного до Путятино через Ковылкино мимо озера
и на путь через деревню Лесную ей необходим один и тот же объём бензина.
Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на шоссе?
Ответ: _________________________ .

Найдите значение выражения

Ответ:

19 и —
17 о?
Какое из следующих чисел заключено между числами —
8
7

т,

1) 2,4

2) 2,5

3) 2,6

4) 2,7

В ответ запишите номер выбранного варианта.
Ответ

Найдите значение выражения

493

73 '

Ответ:
Решите уравнение ( х - 6 ) ( - 5 х - 9 ) = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Ответ: _____

В группе туристов 20 человек. С помощью жребия они выбирают трёх человек,
которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того,
что турист К., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
Ответ: _________________________ .
© 2022. ООО «Издательство «Национальноеобразование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 26

143

Установите соответствие между формулами, которыми заданы функции, и графиками
этих функций.
ФОРМУЛЫ
А) у =- х 2+бж-10

Б) у =- х 2- 6 х - 1 0

В) у = х2- 6 х +10

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:

А Б В

Теорему синусов можно записать в виде ------=------ , где а и Ъ — две стороны
sin a sinp
треугольника, а а и р — углы треугольника, лежащие против этих сторон
соответственно. Пользуясь этой формулой, найдите величину sin а , если а = 21,
Ъ= 5, sinp = i .
Ответ: ______________________ .
Укажите решение неравенства
х2-25> 0.

1)

( - о о ; -5)и(5;+со)

2) (-5; 5)
Ответ: |

3) нет решений
4)

(-со ; +со)

|

К концу 2011 года в городе проживало 102 300 человек. Каждый год число жителей
города возрастало на одну и ту же величину. В конце 2018 года в городе проживало
114 340 человек. Какова была численность населения этого города к концу
2016 года?
Ответ:
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

О ГЭ. Т И П О В Ы Е Э К З А М Е Н А Ц И О Н Н Ы Е ВАРИАНТЫ

144

Точки М и N являются серединами сторон АВ и
треугольника АВС, сторона АВ равна 57, сторона
равна 74, сторона АС равна 48. Найдите M N .
Ответ: _______________________ .

Угол А трапеции ABCD с основаниями АЛ и ВС, вписанной
в окружность, равен 83°. Найдите угол В этой трапеции. Ответ
дайте в градусах.
Ответ: _______________________ .

В ромбе ABCD угол АВС равен 58°. Найдите угол ACD. Ответ
дайте в градусах.
Ответ: _______________________.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
треугольник. Найдите его площадь.
Ответ: _______________________.

19

Какие из следующих утверждений верны?
1) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
2) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую,
параллельную этой прямой.
3) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен разности квадратов
катетов.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ:
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

145

ВАРИАНТ 26

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАН К ОТВЕТОВ № 2.
Сначала у к аж и т е номер задания, а з а т е м зап и ш и те его решение и о т в е т .
П и ш и те ч ё т к о и разборчиво.

Найдите значение выражения 3 1 а -4 6 + 5 5 , если

а -4 6 + 7
4 а -6 + 7

Семь одинаковых рубашек дешевле куртки на 9 % . На сколько процентов десять
таких же рубашек дороже куртки?
( х^ + 4)(л+1)
Постройте график функции у = ----- —-------- и определите, при каких значениях k
-1 -х
прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К.
Найдите периметр параллелограмма, если В К = 8 , СК = 13.
Окружности с центрами в точках Р и Q пересекаются в точках К и L, причём
точки Р и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что P Q 1 K L .

25

В треугольнике АВС биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют
одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника АВС.
П роверьте, чтобы каждый
соответствую щ его задания.

ответ

был

записан

рядом

с

номером

© 2022, ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 27
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1 -19 являю т ся цифра, число и ли последоват ельност ь
цифр, которые следует записать в Б Л А Н К ОТВЕТОВ Л? 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клет очки. Если ответом
являет ся последовательность цифр, то запиш ит е её без пробелов, запят ы х
и других дополнит ельны х сим волов. Каждый сим вол пиш ит е в отдельной
клеточке в соответствии с приведённым и в бланке образцами.
Прочит айт е внимат ельно текст и вы полнит е задания 1-5.
Два друга Коля и Боря задумались
о том, как рассчитать площадь поверхности
зонта.
На первый взгляд зонт кажется круглым,
а его купол напоминает часть сферы
(сферический
сегмент).
Но
если
присмотреться, то видно, что купол зонта
состоит из десяти отдельных клиньев,
натянутых на каркас из десяти спиц
(рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии
достигается за счёт гибкости спиц и эластичности
ткани, из которой изготовлен зонт.
Коля и Боря сумели измерить расстояние между
концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 36 см.
Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 20 см,
а расстояние d между концами спиц, образующих дугу
окружности, проходящей через вершину зонта, —
ровно 116 см.

Длина зонта в сложенном виде равна 27 см
и складывается из длины ручки (рис. 3) и трети
длины спицы (зонт в три сложения). Найдите
длину спицы, если длина ручки зонта равна
6,5 см.

Рис. 1

Рис. 3

! Ручка
1 зонта

Ответ:
Поскольку зонт сшит из треугольников, рассуждал Коля, площадь его поверхности
можно найти как сумму площадей треугольников. Вычислите площадь поверхности
зонта методом Коли, если высота каждого равнобедренного треугольника
проведенная к основанию, равна 58,8 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах
с округлением до десятков.
р
Ответ:
-----------------------------© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ НПО «м ттю гп
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладате

ВАРИ АН Т 2 7

147

Боря предположил, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите
радиус R сферы купола, зная, что ОС = R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.
Ответ:

Боря нашёл площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента
по формуле S = 2nRh, где R — радиус сферы, а Л — высота сегмента. Рассчитайте
площадь поверхности купола способом Бори. Число к округлите до 3,14. Ответ
дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.
Ответ:

Рулон ткани имеет длину 25 м и ширину 80 см. На фабрике из этого рулона были
вырезаны треугольные клинья для 16 зонтов, таких же, как зонт, который был
у Коли и Бори. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь
1100 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона
пошло в обрезки?
Ответ: ____
3 + —_.
7
Найдите значение выражения —
4 25
Ответ: ________________________.

На координатной прямой точки А, В, С и D соответствуют числам 0,508; 0,85;
-0,05; 0,058.
А В
С
D
Какой точке соответствует число 0,058?
1) А

2) В

3) С

4) Л

Ответ: |

Найдите значение выражения ('/Г7 3)(Vl7 + 3).
Ответ: ______ ______ ___________•

Найдите корень уравнения 4л: 7 2л:.
О твет:_________ _______________•
© 2022. 0 0 0 .Издательство .Национальное образование., © 2022. ЧОУ ДПО .М ЦН М О ..
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

148

Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 50 докладов:
первые два дня — по 13 докладов, остальные распределены поровну между третьим
и четвёртым днями. На конференции планируется доклад профессора К. Порядок
докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад
профессора К. окажется запланированным на последний день конференции?
Ответ: ______________________ .
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ

1)

у =- ~

2)

х

У=~ \ х 2
2

3)

У =\ х - 2

2

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б В

Площадь треугольника можно вычислить по формуле S =---- , где а, b и с —
4R
стороны треугольника, a R — радиус окружности, описанной около этого
треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите S, если а =11, 5 = 13, с = 20

Ответ:
13

Укажите множество решений системы неравенств

/////////////////////////w %

-3
2)

Ответ:

9

х< -3,
9 -х < 0 .
3)

^////////////////////////////////////////^

-3

9

4) система не имеет решений

|

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

149

ВАРИАНТ 27

Известно, что на высоте 2205 м над уровнем моря атмосферное давление составляет
550 мм рт. ст. Считая, что при подъёме на каждые 10,5 м давление уменьшается
примерно на 1 мм рт. ст., определите атмосферное давление на высоте 2415 м
над уровнем моря.
Ответ:

В треугольнике АВС угол С равен 90°, ВС =12, АВ = 15. Найдите cos В .
Ответ:

Четырёхугольник ABCD описан около
АВ =8, ВС = 12, СВ = 13. Найдите AD.

окружности,

Ответ: ______________________ .

17

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 94°.
Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.
Ответ:

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
треугольник. Найдите его площадь.
Ответ:

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

150

ОГЭ. ТИ П О ВЫ Е Э К З АМ Е Н А Ц И О Н Н Ы Е ВАРИАНТЫ

Какое из следующих утверждений верно?
1) Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то это
квадрат.
2) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
3) Смежные углы всегда равны.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ: _______________________.

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инст рукцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

ЧАСТЬ 2
П ри вы п о лнени и заданий 2 0 -2 5 исп ользуйт е Б Л А Н К ОТВЕТОВ № 2.
С начала укаж ите номер задания, а зат ем запиш ит е его реш ение и ответ.
П иш ит е чёт ко и разборчиво.

20

Решите уравнение ( х - 2 ) 4 + 3(ж-2)2-10 = 0.

Баржа прошла по течению реки 56 км и, повернув обратно, прошла ещё
54 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если
скорость течения реки равна 5 км/ч.

22

Постройте график функции
2х - 2, если х < 3,

1

-3*+13, если 3/13-V2)(Vl3 + -\/2).
Ответ: ___________________

.

Найдите корень уравнения 6 x - 3 = 8 jc.
Ответ: ______________
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

154

10

Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 50 докладов:
в первый день — 16 докладов, остальные распределены поровну между вторым
и третьим днями. На конференции планируется доклад профессора Н. Порядок
докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад
профессора Н. окажется запланированным на последний день конференции?
Ответ:
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые
их задают.
ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ
1)

У=

-* 2

2)

у =-х

3)

I/ = - -

х

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б В

Площадь треугольника можно вычислить по формуле S = —— , где а, Ь а с —
4R
стороны треугольника, a R — радиус окружности, описанной около этого
треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите Ь, если а = 13, с = 20, S = 66

Ответ:
13

Укажите множество решений системы неравенств

2

) у///////////////////////////#

2)

ft////////////////////////////////////////ft

-1

Ответ: |

л: > —1,
3 -х > 0 .
3) система не имеет решений
4)

-1

|

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 28

155

Известно, что на высоте 2205 м над уровнем моря атмосферное давление составляет
550 мм рт. ст. Считая, что при подъёме на каждые 10,5 м давление уменьшается
примерно на 1 мм рт. ст., определите атмосферное давление на высоте 1995 м над
уровнем моря.
Ответ: _______________________ .

В треугольнике АВС угол С равен 90°, АС = 9, АВ = 24. Найдите cos А.
Ответ: _______________________ .

Трапеция ABCD с основаниями А В и ВС описана около
окружности, А_В = 9, ВС = 7, CD = 11. Найдите AD.

В

С

Ответ: ______________________ .

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

156

Какое из следующих утверждений верно?
1) Все хорды одной окружности равны между собой.
2) Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равных треугольника.
3) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ: ______________________ .

Н е забудьт е перенест и все от вет ы в бла нк от вет ов № 1 в соот вет ст вии
с инст р ук ц и ей по вы полнению работ ы .
П роверьт е, чт обы каж дый от вет бы л записан в ст роке с ном ером
соот вет ст вую щ его задания.

ЧАСТЬ 2
П р и в ы п о л н е н и и за д а н и й 2 0 - 2 5 и с п о л ь з у й т е Б Л А Н К О ТВ Е Т О В № 2.
С н а ч а ла укаж ит е н о м ер за д а н и я , а за т е м за п и ш и т е его р е ш е н и е и от вет .
П и ш и т е чё т к о и р а зб о р ч и во .

20

Решите уравнение (ж-4)4 - 4 ( х - 4 ) 2 -21 = 0.

Баржа прошла по течению реки 88 км и, повернув обратно, прошла ещё
72 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если
скорость течения реки равна 5 км/ч.

Постройте график функции
2, 5 л:—1,

1

если

х 3 ,

и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две
общие точки.
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 28

157

Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 66° и 84°. Найдите ВС, если
радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 15.

Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 4,5 и 18, BD = 9.
Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех
его вершин. Найдите AD, если ВС = 19, а углы В и С четырёхугольника равны
соответственно 95° и 115°.

Проверьте, чтобы каждый
соответствующего задания.

ответ

был

записан

рядом

с

номером

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 29
ЧАСТЬ 1
О т вет ам и к за д а н и ям 1 -1 9 я в л я ю т с я циф ра, ч и с ло и л и п о след о ва т ель н о ст ь
циф р, кот оры е следует записат ь в Б Л А Н К О ТВЕТО В № 1 сп р а ва от ном ера
соот вет ст вую щ его за д а н и я, н а ч и н а я с пер во й к л е т о ч к и .
е л и о т вет о м
я в л я е т с я последоват ельност ь циф р, то за п и ш и т е её без п р о б ело в, за п я т ы х
и д ригих д о п о лн и т е льн ы х си м в о ло в . Каж дый с и м в о л п и ш и т е в от ельно и
клет о чке в соот вет ст вии с п р и вед ён н ы м и в б ла н ке о б р а зц а м и .______________
П рочит айт е вн и м а т е льн о т екст и в ы п о лн и т е за д а н и я 1 5

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом
доме. В правой части рисунка даны обозначения двери и окна, а также указано,
что длина стороны клетки на плане соответствует 0,4 м. Вход в квартиру находится
в прихожей. Кроме неё в квартире есть ещё два помещения без окон — это санузел
и кладовая, причём площадь кладовой меньше площади санузла. В квартире
имеются две застеклённые лоджии. Одна из них — прямоугольной формы —
примыкает к спальне. Другая — угловая. В кухне располагаются два одинаковых
по ширине окна: одно выходит на улицу, а другое — на лоджию. В гостиной тоже
два окна, но они разной ширины: узкое выходит на лоджию, а широкое —
на улицу.
1

Для помещений, указанных в таблице, определите, какими цифрами они
обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк перенесите последовательность
пяти цифр.
П ом ещ ен и я

гостиная

прихожая

спальня

кухня

санузел

Цифры
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 29

159

Плитка для пола размером 30 х 30 см продаётся в упаковках по 10 штук. Сколько
упаковок плитки необходимо купить, чтобы выложить пол лоджии, примыкающей
к спальне?
Ответ: ___
Найдите площадь угловой лоджии. Ответ дайте в квадратных метрах.
Ответ: ___
Сколько процентов составляет площадь гостиной от площади всей квартиры?
Округлите ответ до десятых.
Ответ:
В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики
стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице.
Планируется купить стиральную машину с фронтальной загрузкой, по глубине
не превосходящую 42 см.
Вмести­
Стоимость
Габариты
Стоимость
Тип
мость
Стоимость
доставки (%
(высота х
Модель
подключения
барабана загрузки
от стоимости
ширина х
(руб .)
(руб .)
(кг)
машины)
глубина, см)

А
Б
В

Г
д
Е
'V
T7*
JXV

3

и
к

7
5
5
6,5
6
6
6
6
5
5

верт.
фронт.
фронт.
фронт.
фронт.
верт.
верт.
фронт.
фронт.
верт.

28
24
25
24
28
27
27
20
27
27

000
000
000
000
000
600
585
000
000
000

1700
4500
5000
4500
1700
2300
1900
6300
1800
1800

бесплатно
10
10
10
бесплатно
бесплатно
10
15
бесплатно
10

85 х 60 х 45
85 х 60 х 40
85 х 60 х 40
85 х 60 х 44
85 х 60 х 45
89 х 60 х 40
89 х 60 х 40
85 х 60 х 42
85 х 60 х 40
85 х 60 х 40

Сколько рублей будет стоить наиболее дешёвый подходящий вариант вместе
с подключением и доставкой?
Ответ:

Найдите значение выражения -------.
4-4,8
Ответ:
в 2022. 0 0 0 .Издательство .Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО .МЦНМО..
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. Т И П О В Ы Е Э К З АМ Е Н А Ц И О Н Н Ы Е ВАРИАНТЫ

160

3
Какому из данных промежутков принадлежит число ^ ?
1) [ОД; 0,2]

2) [0,2; 0,3]

3) [0,3; 0,4]

4) [0,4; 0,5]

Ответ: |
при а = 4.

Найдите значение выражения
Ответ:
Решите уравнение - х 2-36 = 0.
4

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Ответ: _______________________•
10

В среднем из 300 садовых насосов, поступивших в продажу, 60 подтекают. Найдите
вероятность того, что случайно выбранный для контроля насос подтекают.
Ответ: ______________________ .
На рисунках изображены графики функций вида y = kx +b. Установите соответствие
между графиками функций и знаками коэффициентов k и Ь.
ГРАФИКИ

КОЭФФИЦИЕНТЫ
1) /г < 0, Ъ 0, Ь > 0

3) k 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б В

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

161

ВАРИАНТ 29

12

Площадь четырёхугольника молено вычислить по формуле S = —d] 0

4) х2-6 4 < 0

|

При проведении химического опыта реагент равномерно охлаждали на 4,3 °С
в минуту. Найдите температуру реагента (в градусах Цельсия) спустя 6 минут
после начала проведения опыта, если начальная температура составляла +9,8 °С.
Ответ: ______________________ .

В треугольнике АВС
Найдите AM.

АС =35, ВМ

медиана,

ВМ =13.

Ответ:

Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О.
Точки О и С лежат в одной полуплоскости относительно
прямой АВ. Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 73°.

С

Ответ: ______________________ .

Найдите величину тупого угла параллелограмма ABCD,
если биссектриса угла А образует со стороной ВС угол,
равный 21°. Ответ дайте в градусах.
Ответ:_______________

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

162

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображена
трапеция. Найдите её площадь.
Ответ:

19

Какое из следующих утверждений верно?
1) У любой трапеции боковые стороны равны.
2) Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла
между ними.
3) Всякий равнобедренный треугольник является остроугольным.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ:
Н е забудьт е перенест и все от вет ы в б л а н к от вет ов № 1 в соот вет ст вии
с и н с т р ук ц и ей по вы п о лн ен и ю работ ы .
П роверьт е, чт обы каж дый от вет бы л зап и са н в ст роке с ном ером
соот вет ст вую щ его задания.

ЧАСТЬ 2
П р и в ы п о л н е н и и за д а н и й 2 0 - 2 5 и с п о л ь з у й т е Б Л А Н К О Т В Е Т О В № 2.
С н а ч а л а ук а ж ит е н о м ер за д а н и я , а за т е м з а п и ш и т е его р е ш е н и е и от вет .
П и ш и т е ч ё т к о и р а зб о р ч и в о .

20

Решите неравенство -

12
х 2- 2 х - 1 5

>

0.

В сосуд, содержащий 5 литров 27-процентного водного раствора вещества, добавили
4 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

22

Постройте график функции У = \х2 + 2 х - 3 \ . Какое наибольшее число общих точек
график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

23

Найдите боковую сторону А В трапеции ABCD , если углы А В С и BCD равны
соответственно 45° и 120°, a CD = 34.

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

163

ВАРИАНТ 29

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма
площадей треугольников ВЕС и AED равна половине площади параллелограмма.

В треугольнике АВС известны длины сторон АВ = 28, АС = 56, точка О — центр
окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая BD, перпендикулярная
прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите CD.

Проверьте, чтобы каждый
соответствующего задания.

ответ

был

записан

рядом

с

номером

:
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 30
ЧАСТЬ 1
О т вет ам и к за д а н и ям 1 -1 9 я в л я ю т с я циф ра, ч и с ло и л и п о след о ва т ельн о ст ь
циф р, кот оры е следует записат ь в Б Л А Н К О ТВЕТО В № 1 сп р а ва о т ном ера
соот вет ст вую щ его зад ан ия, н а ч и н а я с первой к л е т о ч к и . Е с л и о т вет ом
я в л я е т с я последоват ельност ь циф р, то за п и ш и т е её без п р о б ело в, за п я т ы х
и д р уги х д о п о лн и т е льн ы х с и м в о ло в . Каж дый с и м в о л п и ш и т е в от д ельно й
клет о чке в соот вет ст вии с п р и вед ё н н ы м и в б л а н к е о б р а зц а м и .
П ро чи т а й т е вн и м а т е льн о т екст и в ы п о л н и т е за д а н и я 1 5.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом
доме. В правой части рисунка даны обозначения двери и окна, а также указано,
что длина стороны клетки на плане соответствует 0,4 м. Вход в квартиру находится
в прихожей. Слева от входа в квартиру располагаются кухня и санузел, а также
одна из застеклённых лоджий, в которую можно пройти из кухни. Также из кухни
можно попасть в гостиную - самое большое по площади помещение. Наименьшую
площадь в квартире имеет кладовая. В квартире есть ещё одна застеклённая
лоджия, куда можно попасть, пройдя через спальню.

1

Для помещений, указанных в таблице, определите, какими цифрами они
обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк перенесите последовательность
пяти цифр.
Помещения

кухня

спальня

санузел

кладовая

прихожая

Цифры
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 30

165

Плитка для пола размером 20 х 20 см продаётся в упаковках по 6 штук. Сколько
упаковок плитки необходимо купить, чтобы выложить пол в обеих лоджиях?
Ответ: _________________________ .
Найдите площадь гостиной. Ответ дайте в квадратных метрах.
Ответ: _________________________ .
На сколько процентов площадь лоджии, примыкающей к спальне, больше площади
кладовой?
Ответ: _________________________ .
В квартире планируется заменить электрическую плиту. Характеристики
электроплит, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется
купить электрическую плиту шириной 60 см с духовкой объёмом не менее 52 л.
Объём
М одель д ухо вк и
(л )

50
50
50
52
70
58
54
46
70
67

А
Б
В
Г

д
Е
ПТУ’
Лг
3

и
к

М ак си ­
м а л ь н ая
тем пература (°С )

280
300
250
250
275
250
270
250
275
250

Стоимость
Стоимость
плиты
подключения
(руб.)

(руб.)

8 890
9 790
11 690
17 490
17 990
18 890
18 900
20 990
21 690
22 990

1700
750
700
800
1400
1500
750
750
1500
1500

Стоимость
доставки (%
от стоимости
п ли ты )

бесплатно
10
10
10
бесплатно
бесплатно
15
10
бесплатно
бесплатно

Г аб а р и т ы
(в ы со т а х
ш ирина х
гл уб и н а , см )

85
85
85
85
85
85
85
87
85
85

х 50 х 54
х 50 х 54
х 60 х 60
х 60 х 60
х 60 х 45
х 50 х 60
х 50 х 60
х 50 х 60
х 50 х 60
х 50 х 60

Сколько рублей будет стоить наиболее дешёвый подходящий вариант вместе
с подключением и доставкой?
Ответ: ________________________ .

„Найдите


значение выражения -у

21


— .

Ответ: ________________________ .
5
Какому из данных промежутков принадлежит число — ?
1) [0,2;0,3]
Ответ: [

2) [0,3;0,4]

3) [0,4;0,5]

4) [0,5; 0,6]

j

© 2 0 2 2 . ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2 0 2 2 . ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

166

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

Ь7 ■
hw
Найдите значение выражения __i
_ при 6 = 9.

621

Ответ: _____________________



Решите уравнение ^ * 2-2 7 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Ответ:________________________.

В среднем из 150 садовых насосов, поступивших в продажу, 6 подтекают. Найдите
вероятность того, что случайно выбранный для контроля насос подтекает.
Ответ:
На рисунках изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие
между графиками функций и знаками коэффициентов k и 6.
ГРАФИКИ

КОЭФФИЦИЕНТЫ
1) k > 0 , 6 > 0

2) k < 0 , 6 > 0

3) k > 0, 6 < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б В

12

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = —c^sinoc, где dl
2

и d2 — длины диагоналей четырёхугольника, а — угол между диагоналями.
Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если 0¾= 4 ,

g

=18, a sina = —.

Ответ:
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

167

ВАРИАНТ 30

Укажите неравенство, которое не имеет решений.
1)

х2+15>0

Ответ:

2) д:2—15< 0

3) ж2-1 5 > 0

4) х2+150
Ответ: |

2) а - Ь < 0

3) аЪ2О

|

Найдите значение выражения

при а = 4 и 6 = 2.

Ответ: ________________________.

10

Найдите корень уравнения

3'

Ответ:
Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают
на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате
участвует 71 спортсмен, среди которых 22 спортсмена из России, в том числе Т.
Найдите вероятность того, что в первом туре Т. будет играть с каким-либо
спортсменом из России.
Ответ: ________________________.
На рисунках изображены графики функций вида у =ах2 + Ъх + с. Установите
соответствие между знаками коэффициентов а и с и графиками функций.
А) а > 0 , с >0

КОЭФФИЦИЕНТЫ
В) а 0

В) а >0, с 0

3
3) *2-9 < 0

4) д:2+9О

2) х 2- З х +110

Ответ: £

В 12:00 часы сломались и за каждый следующий час отставали на одно и то же
количество минут по сравнению с предыдущим часом. В 22:00 того же дня часы
отставали на полчаса. На сколько минут отставали часы спустя 15 часов после
того, как они сломались?
Ответ: _______________________ .
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИ П О ВЫ Е Э К З А М Е Н А Ц И О Н Н Ы Е ВАРИАНТЫ

192

V7

15

Синус острого угла А треугольника АВС равен — . Найдите cos А
4
Ответ:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD
равен 37°, угол CAD равен 58°. Найдите угол АВС. Ответ дайте
в градусах.
Ответ: _______________________.

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 21 и 6.
Ответ: _______________________.

18

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
треугольник АВС. Найдите длину его средней линии,
параллельной стороне АВ.
Ответ:

19

Какие из следующих утверждений верны?
1) Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
2) Все диаметры окружности равны между собой.
3) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ:

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ЗДРИАИТ 35

193

ЧАСТЬ 2
П р и в ы п о л н е н и и за д а н и й 2 0 -2 5 и сп о л ь зу й т е Б Л А Н К О ТВ Е Т О В № 2.
С н а ч а л а ук а ж ит е н о м ер за д а н и я , а зат ем за п и ш и т е его р еш ен и е и о т вет .
П и ш и т е чё т к о и ра зб о р чи во .

Сократите дробь ^

£п_3- .

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 36 к м /ч , а вторую —
со скоростью 99 к м /ч . Найдите среднюю скорость автомобиля на протяж ении всего
пути.

Постройте график функции у = \х\х + \х \- 3 х и определите, при каки х зн ачен иях т
п рям ая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон
равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба.

Н а средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и ВС выбрали произвольную
точку F. Д окаж ите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине
площ ади трапеции.

В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведённую из верш ины В,
в отнош ении 1 3 :1 2 , считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной
около треугольника АВС, если ВС = 20.
П роверьт е, чт обы каждый
соот вет ст вую щ его задания.

от вет

бы л

записан

рядом

с

ном ером

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 36
ЧАСТЬ 1
О т вет ам и к за д а н и я м 1 -1 9 я в л я ю т с я циф ра, чи с ло и л и п о след о ва т ель н о ст ь
циф р, кот оры е следует записат ь в Б Л А Н К О ТВ Е ТО В № 1 сп р а ва от но м ера
соот вет ст вую щ его за д а н и я, н а ч и н а я с первой к л е т о ч к и . Е с л и о т вет о м
я в л я е т с я последоват ельност ь циф р, то за п и ш и т е её без пр о бело в, за п я т ы х
и д р уги х д о п о лн и т е ль н ы х си м в о ло в . Каж дый с и м в о л п и ш и т е в о т д ельно й
клет о чке в соот вет ст вии с пр и вед ён н ы м и в б ла н к е обр а зц а м и .
П р о чи т а й т е вн и м а т е льн о т екст и в ы п о л н и т е за д а н и я 1 5.

Сергей Петрович решил построить на дачном участке теплицу длиной 6 м.
Для этого он сделал прямоугольный фундамент. Для каркаса теплицы Сергей
Петрович заказал металлические дуги в форме полуокружностей длиной 5 м каждая
и покрытие для обтяжки.

Отдельно требуется купить плёнку для передней и задней стенок теплицы.
Внутри теплицы Сергей Петрович планирует сделать три грядки по длине
теплицы
одну центральную широкую грядку и две узкие грядки по краям.
Между грядками будут дорожки шириной 50 см, для которых необходимо купить
тротуарную плитку размером 25 х 25 см. Высота теплицы показана на рисунке
отрезком H F.
X
Какое наименьшее количество дуг нужно заказать, чтобы расстояние между
---- соседними дугами было не более 80 см?
Ответ: ______________________ .

ч

Сколько упаковок плитки необходимо купить для дорожек между грядками, если
она продаётся в упаковках по 10 штук?
Ответ:
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 36

195

Н айдите ш ирину теплицы . Ответ дайте в м етрах е точностью до десяты х.
Ответ: __________________________ .
Н айдите ш и р и н у узкой гр яд к и , если ш ирина центральной грядки относится
к ш и рине узкой гр яд к и к а к 5:3. Ответ дайте в сантим етрах. Р езультат округлите
до десятков.
Ответ: __________________________ .
С колько квад ратн ы х метров плёнки необходимо купить д л я передней и задней
стенок, если с учётом к реп еж а её нуж но брать с запасом 15 % ? Ответ округлите
до десяты х.
Ответ: __________________________ .
Н айдите значение вы раж ен и я

6 ,1 - 7 ,2

2,2
Ответ:

4 6 8 13

Одно из чисел —; —; —; — отмечено на прям ой точкой.
7 7 7
7
О

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-4 -

-4-

0,6

0,7

-4*

0,8

0,9

1

К акое это число?

2>?

1)

Ответ: [

•*?

4)

13

[

Н айдите значение вы раж ен и я (V45 - V5 )-V5.
Ответ: _________________________ .
Р еш ите уравнение х 24-4х = 21.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запиш ите м еньш ий из корней.
Ответ: _________________________ .

10

Н а семинар приехали 7 учёны х из А встрии, 8 — из России и 10 — из Ш веции.
К аж ды й учёны й подготовил один доклад. П орядок докладов определяется
случайны м образом. Н айдите вероятность того, что восьмым ок аж ется доклад
учёного из России.
Ответ:

© 2022. 0 0 0 ♦Издательство ♦Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО ♦МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей пе допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

196

Установите соответствие между
и графиками этих функций.

формулами,

которыми

заданы

функции,

ФОРМУЛЫ
А) у =- 3jc2+9 jc- 4

Б)

г/ = - —
х

В) у =—х~5
3

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б В

Кинетическая энергия тела вычисляется по формуле Е =

, где тп — масса тела

(в килограммах), а и — его скорость (в метрах в секунду). Пользуясь этой
формулой, найдите Е (в джоулях), если г = 5 м/с и т = 12 кг.
Ответ: _________________

13

Укажите неравенство, которое не имеет решений.
1)

х2-2 * -6 5 < 0

3)

2)

x2- 2 x -6 5 > 0

4) *2- 2 х + 65>0

Ответ: |

x2- 2 x + 65 6

11

321

23

10

12

15

25

7,2

Вариант 22
Номер задания

Правильный ответ

Номер задания

Правильный ответ

1

431

13

1

2

34

14

30

3

26

15

34

4

170

16

79

5

433

17

46

6

4,4

18

9

7

4

19

23

8

125

20

-4 ; - 1 ; 1

9

0,2

21

15 к м /ч

10

0,875

22

0 < m < 3; т > 9

11

312

23

32

12

3

25

6,5

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

210

Вариант 23
Г

Правильный ответ

Номер задания

Правильный ответ

4231

13

3

2

3

14

3

3

15,6

15

24

4

28,6

16

637

5

3

17

18

6

44,9

18

5

7

3

19

1

Номер задания
1

8

3,2

20

(3; 4); (3; -4 )

9

-1 0 ,2 5

21

700 м

10

0,16

22

-9 ; 4

11

312

23

52

12

578

25

924

Вариант 24
Номер задания

Правильный ответ

Номер задания

Правильный ответ

1

1324

13

2

2

164

14

5

3

163

15

43

4

13,4

16

5

5

17

6

29,5

18

119
'

7
10

7

2

19

3

8

40,5

20

(2; 4); (2; -4 )

9

- 2 ,7

21

650 м

10

0,12

22

-2 ,2 5 ; 12,25

11

213

23

33

12

32

25

1120

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОТВЕТЫ

211

Вариант 25
Номер задания

Правильный ответ

Номер задания

Правильный ответ

1

51432

13

3

2

25

14

57 960

3

17

15

21

4

117

16

103

5

116

17

56

6

0 ,9

18

6

7

3

19

13

8

64

20

15

9

0 ,4

21

38%

10

0 ,3 7 5

22

- 1 ; 1; 1 ,2 5

11

123

23

76

12

4

25

24-ч/ТЗ; 4 8 V I3 ; 72V 5

Правильный ответ

Номер задания

Правильный ответ

1

4312

13

1

2

44

14

110 900

3

75

15

24

4

90

16

97

5

6 ,8

17

61

6

1 ,8

18

3

7

1

19

12

8

343

20

6
30%
- 4 ; 4; 5

Вариант 26
Номер задания

9

- 1 ,8

21

10

0 ,1 5

22

11

213

23

58

12

0 ,7

25

Зч/ГЗ; 6ч/ГЗ; 9ч/5

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей но допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

212

Вариант 27
Номер задания

Правильный ответ

Номер задания

Правильный ответ

1

61,5

13

4

2

10 580

14

530

3

94,1

15

0,8

4

11 819

16

9

5

12

17

133

6

1,03

18

12,5

7

2

19

2

8

8

20

2 -7 2 ; 2 + 72

9

3,5

21

23 к м /ч

10

0,24

22

1; 4

11

312

23

6,5

12

66

25

372

Вариант 28
Номер задания

Правильный ответ

Номер задания

Правильный ответ

1

58,5

13

2

2

8800

14

570

3

65

15

0,375

4

10 613

16

13

5

8

17

71

6

3,95

18

7,5

7

1

19

3

8

11

20

4 - 7 7 ; 4 + 77

9

- 1 .5

21

17 к м /ч

10

0,34

22

0,5 ; 4

11

213

23

15

25

3873
3

12

11

© 2022. ООО «Издательство «Национальиое образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОТВЕТЫ

213

Вариант 29
Номер задания

Правильным ответ

1

62471

13

1

2

5

14

-1 6

3

6 ,2 4

15

17,5

4

26,1

16

3 6 ,5

5

28 800

17

138

6

1,25

18

4 5 ,5

7

2

19

2

8

64

20

( - 3 ; 5)

9

-1 2

21

15%

10

0 ,2

22

4

11

312

23

17\/6

12

17

25

42

Номер задания

Правильный ответ

Вариант 30
Номер задания

П равильный ответ

Номер задания

Правильный ответ

1

74132

13

4

2

50

14

- 3 0 ,9

3

2 4 ,9 6

15

2 7 ,5

4

120

16

57,5

5

19 390

17

65

6

1,5

18

3 8 ,5

7

3

19

2

8

81

20

( - 1 ; 4)

9

-9

21

12 %

10

0 ,0 4

22

4

11

213

23

25V3

12

32

25

96

С) 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

214

Вариант 31
Номер задания

Правильный ответ

Номер задания

Правильный ответ

1

275

13

1

2

7,25

14

1175

3

77,52

15

53

4

17,8

16

24

5

2,3

17

20

6

-3

18

4

7

4

19

13

8

8

20

(-1 ; 8); (1; 8)

9

-3

21

84 к м /ч

10

0,3

22

0,5

11

321

23

20,16

12

3,2

25

V30

Вариант 32
Номер задания

Правильный ответ

Номер задания

Правильный ответ

1

225

13

2

2

4,75

14

642

3

66,44

15

97

4

7,6

16

12

5

1,1

17

32

6

-2

18

6

7

1

19

13

8

0,2

20

(2; 10); (0,75; 0)

9

-2

21

80 к м /ч

10

0,74

22

1

11

213

23

240
13

12

85

25

2^/2

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменногоразрешения правообладателей не допускается

ОТВЕТЫ

215

Вариант 33
Номер зад ан и я

П равильны й ответ

Номер задания

П равильны й ответ

1

3241

13

4

2

32

14

700

3

594

15

18

4

1 2 4 7 ,4 ; 1 2 5 0

16

46

5

1250

17

109

6

0 ,7

18

7 ,5

7

4

19

2

8

25

20

-2

9

-4

21

420 кг

10

0 ,7

22

3 ; 3 ,5

11

213

23

16

12

4

25

112

Вариант 34
Номер зад ан и я

П равильны й ответ

Номер задания

П равильный ответ

1

4213

13

3

2

16

14

624

3

840

15

24

4

6 2 3 ,7 ; 6 2 5

16

12

5

540

17

91

6

1 ,2

18

32

7

1

19

3

8

32

20

-7

9

2

21

44 кг

10

0 ,8 5

22

3 ; 3 ,2

11

231

23

4 ,8

12

4

25

15

© 2022 ООО «Издательство «Национальное образование». © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

216

Вариант 35
Номер задания

Правильный ответ

Номер задания

Правильный ответ

1

10

13

2

2

23

14

45

3

1,6

15

0,75

4

100

16

95

5

62-63

17

63

6

-1 ,5

18

1,5

7

1

19

23

8

6

20

40

9

7

21

52,8 к м /ч

10

0,3

22

-1 ; 4

11

312

23

6 0 °; 120°

12

72

25

26

Вариант 36
Номер задания

Правильный ответ

Номер задания

Правильный ответ

1

9

13

3

2

10

14

68

3

3,2

15

0 ,7

4

60

16

50

5

9 -9 ,3

17

15

6

- 0 ,5

18

2,5

7

2

19

23

8

10

20

2000

9

-7

21

76,5 к м /ч

10

0,32

22

- 1 ; 16

11

321

23

60°; 120°

12

150

25

17

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ
Вариант 1
Решите уравнение х2-2л: + ч/б-я = -J6-X + 35.
Решение.
При х < 6 исходное уравнение приводится к виду:
х 2- 2л - 35 = О,
откуда х = -5 или х = 7. Условию л: < 6 удовлетворяет только решение х = -5 .
Ответ: -5 .
С одер ж ан и е к р итер и я

Баллы
2
1

О б о с н о в а н н о п о л у ч е н в ер н ы й ответ
Р е ш ен и е дов еден о д о к он ц а, но доп ущ ен а оп иск а и ли ош и бк а в ы ч и сли тельн ого
х а р а к т е р а , с е ё у ч ё т о м д а л ь н е й ш и е ш а ги в ы п ол н ен ы в ер н о

0

Р е ш е н и е н е со о т в е т с т в у е т н и о д н о м у и з к р и т е р и е в , п е р е ч и с л е н н ы х в ы ш е

2

М аксим альны й балл

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки
возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде,
если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления
теплоход возвращается через 23 часа после отплытия из него.
Решение.
Пусть собственная скорость теплохода равна v км /ч. Получаем:
Г216
, н -5

216 10
v +5

v > 5.

216 216 10
Решим уравнение: ----- +-------= 18;
п -5 п + 5
216п+1080 + 216н-1080 = 18н2- 450;
1>2- 2 4 у -2 5 = 0,
откуда о = 25 или и = -1 .
Условию v > 5 удовлетворяет корень v = 25.
Ответ: 25 км /ч.
Б аллы
2
1

С одер ж ан и е к ритери я
Х о д р е ш е н и я за д а ч и в е р н ы й , п о л у ч е н в ер н ы й от вет
Х о д р е ш е н и я в е р н ы й , все е г о ш а г и п р и с у т с т в у ю т , н о д о п у щ е н а о п и с к а и л и
о ш и бк а в ы ч и сли тельн ого хар ак тер а

0
2

Р е ш ен и е не соответствует ни о д н ом у и з к р и тер и ев, п ер еч и слен н ы х вы ш е
М аксим альн ы й балл

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

218

Постройте график функции у = х 2 - \6х + 5|.
Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно три
общие точки.
Решение.

ВС = 21, CF : DF = 5 : 2 .
Т

Решение.

Пусть Т — точка пересечения прямых АВ и CD. Поскольку прямые AD, EF и ВС
параллельны, треугольники ATD, ETF и ВТС подобны. Следовательно,
TD _ АР _ 5
ТС ~ ВС ~ 3 ’
2

6

10

41

откуда CD =—ТС , CF =—CD =— ГС, азначит, TF =— ТС.
3
7
21
21

EF TF 31
_
„„
Получаем:---- = ---- = — , откуда EF = 31.
ВС ТС 21
Ответ: 31.
© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

РЕШЕНИЯ и критерии оценивания

219

Баллы
2

Содержание критерия
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный
ответ

1

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные
объяснения или допущена одна вычислительная ошибка
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный, балл

0
2

Г~24 I Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена п рям ая,
I—пересекаю щ ая стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Д окаж ите, что
отрезки АЕ и CF равны.
Д оказательство.
В треугольниках АЕО и CFO стороны АО и СО равны
по свойству диагоналей параллелограмма, ZEAO = ZFCO
как накрест леж ащ ие углы при параллельны х прямых
АВ и CD и секущ ей АС, a Z EO A = ZFOC как вертикальные
углы.
Значит, треугольники АЕО и CEO равны по стороне и двум прилеж ащ им к ней
углам. Следовательно, отрезки А Е и CF равны.
Баллы
2
1
0
2

Содержание критерия
Доказательство верное, все шаги обоснованы
Доказательство в целом верное, но содержит неточности
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

В треугольнике АВС на его медиане В М отмечена точка К так, что В К : К М =6 : 7.
П рям ая А К пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади
треугольника В К Р к площ ади треугольника А В К .
Реш ение.

Медиана К М разбивает треугольник А К С на два равновеликих треугольника
пусть их площ ади равны по 7S.
SAbk В К _ 6
« о
П оскольку —--------л/гтг ~ г, > получаем, что

&лмк

мл

_ дс
- оЬ.

1

Пусть SPBK= X и SPCK= Y . Тогда

6S

=

АК

14S

v - 3Y
° ТСЮДа Х ~ Т ‘

10Y
Далее, 13 S = S ^ m = SCBM = Х + Y + 7 S , а тогда Х + У = — = 6 S ,
Копирование, РаспРострпнени'е ^Hcno/iMOBa'mie ^ KoMi^ep'ie^K^ix0 ц е л я ^ б о з 'mici.Me'HHoro

'правообладателей нс допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

220

то есть У = ------, а X = — .
5
5
П олучаем, что S BKP

9S
— :6 5 = 3 :1 0 .
5

Ответ: 3 : 10.
Баллы

Содержание критерия

2

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

1

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена описка или
ошибка вычислительного характера

0

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

2

Максимальный балл

© 2022. ООО «Издательство «Национальное образование*. © 2022. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

221

ДЛЯ ЗАМЕТОК

222

ДЛЯ ЗАМЕТОК

Издание для дополнительного образования
ОГЭ. Ф И П И — Ш КОЛЕ

ОГЭ. МАТЕМАТИКА
Т И П О В Ы Е ЭКЗА М ЕНАЦ ИОНН Ы Е ВАРИАНТЫ
36 ВАРИАНТОВ
П од р едак ц и ей И вана Валериевича Ященко
Главный редактор И. Федосова
Ответственный редактор О. Чеснокова
Художественный редактор О. Медведева
Компьютерная вёрстка Е. Осипова
Корректор В. Фавстова
Подписано в печать 06.09.2021. Формат 60x90V8.
Уел. печ. л. 28,0. Печать офсетная. Бумага типографская.
Тираж 100 000 экз. Заказ № 66608.
ООО «Издательство «Национальное образование»
119021, Москва, ул. Россолимо, д. 17, стр. 1, тел.: +7 (495) 788-00-75(76)
Свои пожелания и предложения по качеству и содержанию книг
Вы можете направлять по эл. адресу editorial@nobr.ru.
Отпечатано в филиале «Смоленский полиграфический комбинат*
АО «Издательство «Высшая школа*.
Российская Федерация, 214020, Смоленск, ул. Смольянинова, 1
Тел.: +7 (4812) 31-11-96. Факс: +7 (4812) 31-31-70
E-mail: spk@smolpk.ru http://www.smolpk.ru

Все книги издательства можно приобрести в книжных магазинах:
Ф едеральные
и нт е р н е т-м а га з и н ы
Интернет-магазин «Озон»
w ww .ozon ги
Интернет-магазин «Вайлдбериз»
www.wildberries ru
Интернет-магазин «Книжный
Лабиринт»
wwwlablrint.ru
М осква
О О О «ТК «Абрис»
www.textbook.ru
(495) 139-89-40
О О О «Развитие»
razvitleltd
e-mail, zakaz@razvitie.ltd
(495) 989-14-38, (498) 647-55-66
М ежрегиональны й центр «Глобус»
wwwroslit.ru
e-mail: sales@roslit.ru
(499) 391-74-67, (495) 728-01-54

Братск
О О О «Книголюб»
ул. Наймушина, д. 34
e-mail. bookisland@ m all ru
(3953)40-99-63

Белгород

Калуга
Калужский областной М Ц «Глобус»
ул. Баумана, д. 5
www.globus-kniga.ru
e-mail kaluga@ globus-kniga ru
(4842) 77-45-99

О О О «Новое качество образования»
пр-т Б Хмельницкого, 132-А
(800) 201-54-98

О О О «Школьный мир»
ул Достоевского, д 29, пом 66
(4842)57-58-51

О О О «Амиталь»
б-р Народный, 806
(4722) 42-48-42

Казань

Благовещенск
Книжный магазин «Опткнига»
ул. Горького, д. 155
(4162)51-27-30

Бугульма
О О О «ТД «Аист-Пресс»
ул. М Джалиля, 34
(85594)4-33-41

Книжный магазин «Библио-Глобус»
ул. М ясницкая, д. 6/3, стр. 1
bgshop.ru
(495) 781-19-00

В е л и ки й Н о в го р о д
О О О «Канцеляр»
ул. Державина, д. 11
e-mail.Marina601802@mall.ru
8 (921)022-72-62

О О О «Дидактик»
г Долгопрудный, Новое шоссе, д 38
e-mail mdlr@didactlk.ru
(495) 788-01-41

О О О «Дальтест»
ул Шефнера, д. 2
8 (914) 705-60-36

Владивосток

О О О «Пегас»
ул Гвардейская, д. 9А
www.bookskazan.ru
(843) 272-72-73
О О О «ТД «Аист-Пресс»
ул. Адоратского, д. 63А
www.aistpress.ru
(843) 525-56-15, (843) 525-55-40

Кемерово
Филиал О О О «Книжный мир»
пр-т Кузнецкий, д. 102
e-mail, skazka@kmr.ru
(3842)21-14-88

Каменск-Уральский
О О О «Умная сова»
пр-т Победы, 87
(912) 623-68-59, (902) 150-90-68

Киселевск
О О О «КиселевскКнига»
пер Транспортный, д. 2
e-mail: kisbook1@yandex.ru
(384-64) 223-52

ГУП г. М осквы «Объединенный
центр «Московский дом книги»
ул Новый Арбат, д. 8
www.mdk-arbat.ru
(495) 789-35-91, (495) 648-17-68

Сеть м агазинов «Глобус»
ул. Овчинникова, д. 10
glo bu sb o o ks ru
(4232) 236-26-13

О О О «ТД «Образование»
ул. Каспийская, д. 22, корп. 1, стр. 5,
5-й эт., пом. IX
e-mail: zakaz@tdobr.ru
(495) 266-65-81

М агазин «Книги»
ул. Бородинская, д. 12
w ww .km v-book ru
(8672) 44-54-26

Владимир

Красноярск

Д ом книги «Медведково»
п р-дЗаревый,д. 12
w w w bearbooks.ru
(499) 476-16-90, (495) 656-92-97

Владимирский областной
М Ц «Глобус»
пр-т Ленина, д. 2
www.globus-knlga.ru
e-mail: vladim lr@ globus-kniga ru
(4922) 38-02-58

«Красноярский краевой
институт повышения
квалификации»
пр-т Мира, д. 76
(391) 227-90-00

Д ом книги «Молодая гвардия»
ул. Б ольш ая Полянка, д. 28
www.dkmg.ru
(499) 238-38-38
Сеть м агазинов «Шаг к пятерке»
ул. Новомарьинская, д.4, к. 1,
ул. Генерала Кузнецова, д. 28, к. 1;
г. Реутов, ш. Носовихинское, д. 13В
w w w jhkolkniga.ru
(499) 502-22-77
О О О «Новое качество образования»
пр-д Одоевского, д. 3, корп. 1
(800) 201-54-98

Владикавказ

Волгоград
О О О «КТП «Кассандра»
ул. Козловская, д. 60А
www.kassandra-kniga.ru,
e-mail: kassandra.volga@mail.ru
(8442) 97-55-55, (8442) 97-85-85
М Ц «Глобус»
ул. Аллея Героев, 3
e-mail 19126123@mail.ru
e-mail: volgograd@ globus-kniga ru
(8442) 49-23-69, (8442) 59-23-69

Вологда

О О О «Иглика-Пресс»
www.iglika-press.ru
e-mail: iglika-press@yandex.ru
8 (499) 136-62-62,8 (800) 770-74-86

О О О «Учебная литература»
ул. Гончарная, д. 2
(8172) 51-18-48, (8172) 51-57-10,
(8172)51-94-10

Интернет-магазин «Рослит»
www.roslit.ru
(495) 795-09-07, (495) 728-01-54

Воронеж

И П Сергеев. Интернет-магазин
ул. 1-я Останкинская, д. 55
www.bookschool.ru
(926) 542-01-35
Интернет-магазин «Амиталь»
www.amital.ru
(473) 223-00-02

Санкт-Петербург
О О О «УЧТОРГ»
пр-т Ж елезнодорожный, д. 20
e-mail: info@prosv-spb.ru
(812)612-11-03,327-04-50
Магазин «Учебники» ДК им. Крупской
пр-т Обуховской обороны, д. 105,
пав. N *4 3
(812) 335-01-61
О О О «Школьная книга»
пр-т Заневский, д. 51
w w w jbooks.ru
(812)336-16-65
И П Александров, «Учебная книга»
(812) 341 -04-58, (812) 342-41 -05

Абакан
ГАОУ РХ Д П О «Хакасский
институт развития образования
и повы ш ения квалификации»
ул. Хакасская, д. 73А
(3902) 22-70-12

Альметьевск
О О О «ТД «Аист-Пресс»
ул. Ленина, 100
8 (8553) 30-39-47
Сеть м агазинов «Дом Книги»
ул. Ленина, д.60
e-mail: lych@kazanbooks.ru
8 (8553) 32-72-75

Астрахань
М агазин «Глобус»
ул. Красная Набережная, д. 96Б
8 (9 0 8 )612-77-93

Барнаул
Представительство «Библионик»
Деповская, 7, оф. А1-106
e-mail: kulikJ@ blblionlk.ru
+ 7 (3852) 36-37-90

О О О «Амиталь»
пр-т Ленинский, д. 153
www.amital.ru
(473)223-17-02

Краснодар
О О О «Ремикс»
ул. Восточный обход, д. 10
(861)227-74-57
Дом книги «Когорта»
ул. Красная, д. 45
(861)262-99-20

О О О «СибВерк-Континент»
ул. Спандаряна, д. 12
e-mail: c-book@scn ru
(391)201-85-81
О О О «Библионик-Красноярск»
ул. Шахтеров, д. 16
e-mail: 120@ biblionik-krru
(391)200-84-18
Книжный магазин «Территория»
ул. Белинского, 8,
ТРК «КомсоМОЛЛ», 2-й эт.
e-mail: t2194746@yandex.ru
(391) 219-47-46, (913) 832-93-91
О О О «Сибкнига»
ул.9 Мая, д. 10
магазин «Яр Книга»
яркнига24.рф
e-mail: yarkniga@mail.ru
(391)22-33-500
О О О «Школьный мир»
ул. Молокова, д. 40
(391)272-83-34

Грозный

Комсомольск-на-Амуре

Магазин «Атлас»
ТЦ «Беркат», блок автостанции, 3-й эт.
(989) 904-92-59

О О О «Планета»
пр-т Первостроителей, д, 21
(4217)27-43-96

Екатеринбург

Курск

О О О «ТД Светоч»
ул. Зверева, 31Н
w ww joyzkanc.ru
(343) 357-33-55,357-33-40

О О О «Аистенок»
ул. Щепкина, 2 2 -2 4
www.alstenok-kursk.ru
(4712)52-86-10

О О О «Умная сова»
ул. Ленина, 99, цоколь
(922)152-854)1

О О О «Амиталь»
пр. Хрущева, д. 5А
(4712)51-91-15

Торговая компания «Люмна»
ул Студенческая, д. 1В
w ww lum na.ru
(343) 228-10-70, (343) 228-10-91

Ессентуки
Магазин «Твоя книга»
ул. Кисловодская, д. 73
(928) 704-93-87

Зеленодольск
О О О «ТД «Аист-Пресс»
ул. Татарстан, 9 ,2-й эт.
(950)947-35-14
О О О «ТД «Аист-Пресс»
ул. Комарова, 21
(927)
039-24-36

Иваново
И вановский областной М Ц «Глобус»
ул. Велижская.д. 70
www.globus-knlga.ru
e-m air lvanovo@globus-kniga.ru
(4932) 58-55-74

Иркутск
О О О «Продалитъ»
ул. Ракитная, 12а/1
e-mail: prodallt_order@prodalit.ru
e-mail: reallz@prodalit.ru
(3952) 50-08-39, (3952) 48-60-36
О О О «СибВерк-Байкал»
ул. Трактовая, д. 35
e-mail: Slbverk-balkal@mall.ru
(3952)482-190

Республика Крым, Симферополь
О О О «Торговая компания «Абрис»
ул. Крылова, 172
e-mail: znanie@textbook.ru
(3652) 788-365, + 7 (978) 091-05-91
Магазин «Школьный Мир»
ул. Караимская, 23-В
(978) 982-96-39
О О О «Иглика»
Розница: ул. Гагарина, д. 1;
ул. Кирова, 19;
о т г у л . Гагарина, д. 14А
(800) 770-74-86

Липецк
О О О «Амиталь»
пл. Плеханова, д. 7
(4742) 47-02-53, (4742) 27-31 -15

Махачкала
Магазин «Школьный базар»
ул. Ирчи Казака, д. 49/47, рынок,
10-й ряд
Книготорговая компания
«Дагкнигасервис»
ул. Белинского, д. 11 В;
пр-т Имама Шамиля, 1 «г»
(8722) 56-87-37

Междуреченск
М У П «Междуреченский головной
книжный магазин»
п. Коммунистический, д. 10
e-mail: book@rikt.ru
(3847) 52-32-18

М инеральны е Воды
Магазин «Твоя Книга»
ул Карла Маркса, д. 51
(928) 704-93-87

См олен ск
О О О «Книжный мир»
ул. О ктябрьской революции, д. 7
(4812) 38-19-25

Назрань
Магазин «Твоя Книга»
ул Фабричная, д 26
(928) 920-20-67

М агазин «Кругозор»
ул О ктябрьской революции, д. 13
(4812)65-85-03

Н ал ь чи к
Магазин «Твоя Книга»
ул Кирова, д. 353
8 (928) 704-93-87

«Книжный магазин»
ул. Чернореченская, д. 21
(846) 278-45-01, (917) 153-90-87

Н а б е р е ж н ы е Ч е лны
О О О «ТД «Аист-Пресс»
Сармановский тракт, 48а
(8552) 49-33-62
Н о в ы й Ур ен го й
О О О «Библиосфера»
ул. Губкина, д. 5
(3494) 94-55-84
Н и ж н и й Н о в го р о д
Книжный магазин «Учебная книга»
пр-т Ленина, д. 1
(831)245-11-98
Н о я б р ьс к
Магазин «Дом Книги»
пр-т Мира, Д.75А
(3496) 34-16-42, (3496) 35-40-96

Новосибирск
О О О «Академия школы»
ул Кривощёковская, оф. 106
e-mail: drem lugova_z@biblionik.ru
(383)375-52-59,233-55-65;
8(913) 943-93-99
Книжный магазин «Академия
школы»
ул. Геодезическая, 4/1,
ТЦ «Амстердам», эт. -2
e-mail, savinykh_s@biblionik.ru
instagram: @ aschoolbooks,
@comics_sketch
(383) 233-47-46, (383) 286-47-46
О О О «СибВерк»
ул. Линейная, д. 114/3
oook.sibverk.ru
(383) 200-01-55, (383) 200-06-29,
(383) 347-88-20
О О О «Библионик»
ул. Арбузова, д. 1/1, корп. 3
e-mail- zakaz@biblionik.ru
8 (383) 336-46-01, +7-913-457-33-58

Самара

Сеть м агазинов «Чакона»
www.chaconne.ru
(846) 331-22-33

Саратов
Сеть м агазинов «М оя книга»
ул Осипова, д. 10А
(8452) 72-65-65
Книготорговая
компания «Полиграфист»
ул Чернышевского, д. 57А
(8452) 29-42-98
С та р ы й О скол
О О О «Амиталь»
мкр-н Олимпийский, д. 62
8(4 7 2 5 ) 39-00-10

Ставрополь
М агазин «М ир знаний»
ул. Лермонтова, 191Б
(8652) 24-28-77,8 (909) 756-66-85

Сыктывкар
О О О «Бук-Регион»
www.book-region.ru
(8212) 57-04-05, (904) 862-73-97

Тамбов
ТАМБОВКНИГА
ул И нтернациональная, 52А
(4752) 72-00-47

Томск
О О О «Элион+»
ул. Сергея Лазо, д. 24
8 (923) 406-09-86,8 (913) 801-58-31
О О О «Учсервис»
ул. Усова, д. 37
tomuchservice.ru
(ЗВ2) 246-86-24

Тула
М агазин «Книжгород»
ул М аксима Горького, д. 33
(4872) 47-09-14

Оленегорск

Тюмень

М УП «Кругозор»
пр-т Ленинградский, д. 7
(921) 165-64-54

ЗА О «Фолиант»
ул. Республики, д. 137
(3452) 32-34-86

Омск

М агазин «Книжный мир»
ул. Рижская, д. 64, корп. 1
(3452) 20-08-11

Книжный магазин «Учебная
литература»
ул. Ленина, д. 10, оф. 20 ,2-й эт.
(3812) 24-45-37, (3812) 23-83-36

Оренбург
О О О «Фирма «Фолиант»
ул. Советская, д. 24
(3532) 77-46-92, (3532) 77-20-24,
(3532) 77-25-52

Пенза
О А О «Пензенский областной
учколлектор»
ул. Рахманинова, д. 11
(8412) 95-54-59, (8412) 52-07-26

Пермь
О О О «ТЦ «Светоч»
ул. Маршрутная, 9
www.soyzkanc.ru
(342) 235-75-78, 235-75-79
Пермский краевой М Ц «Глобус»
ул. Мира, 78А
www.globus-kniga.ru
e-mail: perm @globus-kniga.ru
kniga.perm@yandex.ru
(342) 212-34-26; 8 (912) 58-20-010,
8(912) 88-10-110

Пятигорск
О п тово-розничны й центр «Твоя
книга»
ул. Береговая, д. 14
www.lcmv-book ru
(8793) 39-02-53, (928) 285-02-46

Петропавловск-Камчатский
О О О «Новое качество
образования»
ул. Кавказская, д. 40
(800) 201-54-98

Рязань
Магазин «Учебники»
ул. Халтурина, д. 1Б
(4912) 44-67-75, (4912) 45-82-04

Россошь
О О О «Амиталь»
пр-т Труда, д.26А
(47396) 5-28-05

Ростов-на-Дону
Сеть книжных магазинов
«Магистр»
л. Б. Садовая, д. 67
ttps://www.booka.ru
e-mail, site@booka.ru
(863) 279-39-11,(863) 248-01-68

К

О О О «Фаэтон-пресс»
ул. Нансена, д. 149
https://faeton-press.ru
e-mail: faeton_svetlana@mail.ru
(863) 240-83-25, (863) 240-74-88,
(863) 322-12-84

Улан-Удэ
Магазин «ПолиНом»
w w w polm om 03.ru
(3012) 44-07-28, (347) 241-07-70
О О О «Ая ганга»
ул Ранжурова, д. 10, пом. 3
(924) 359-78-88

Ульяновск
Ульяновский областной М Ц «Глобус»
ул. Пушкинская, д. 15А
www.globus-kniga.ru
e-mail: simbirsk@globus-kniga.ru
(8422) 67-55-77

Уфа
О О О «Учебно-методический центр
«Эдвис»
ул. 5 0 лет СССР, д. 12
www.edvisrb.ru
(347) 282-52-01, (347) 282-56-30
Сеть книжных магазинов «Планета»
www.planetabook.ru
8-800-5000-338

Чебоксары
ГУП «Учколлектор»
М инобразования Чувашии
пр-т Школьный, д. 6А
(8352) 56-24-75, (8352) 564)8-55

Чита
Сеть магазинов «Генезис»
ул. Ангарская, д. 17
(3022) 21-10-34

Челябинск
Книжный магазин «Библио-Глобус»
ул, Молдавская, д. 1б, 4-й эт,
ТРЦ «Фокус»
(351) 799-22-05, (351) 799-21-76

Элиста
Книготорговая сеть «Учитель»
ул. Ленина, д. 247/20
(84722) 2-86-42

Якутск
О О О «Книжный маркет»
ул. Ярославского, д. 16/1
(4112) 34-20-47, (4112) 34-10-30,
(4112) 42-40-27

Ярославль
О О О «Компания «Школьный
проект»
ул. М. Пролетарская, д. 18А, оф. 234
wwwJcnoolproekt76.ru
(4852) 58-37-56, (4852) 58-37-57;
8(930)111-63-53
Магазин «Школьник»
ул. Светлая, д. 34
(4852) 41 -09-40, (4852) 41-09-54

ПОСОБИЕ ПРОШЛО
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКУЮ
ОЦЕНКУ Ф ГБ Н У

ПРОЕКТ С УЧАСТИЕМ РАЗРАБОТЧИКОВ КИМ ОГЭ

ШКОЛЕ

см
СМ

СМ
В СЕРИЮ
Д И А Г Н О С Т И К А

ВКЛЮЧЕНЫ:
И

К О Н Т Р О Л Ь :

О Типовые экзаменационные варианты ОГЭ: 10 вариантов
0 Типовые экзаменационные варианты ОГЭ: 20-36 вариантов
по

п р е д м е т а м :

МАТЕМАТИКА • РУССКИЙ ЯЗЫК • ИСТОРИЯ • ОБЩЕСТВОЗНАНИЕ
ЛИТЕРАТУРА • ФИЗИКА • ХИМИЯ • БИОЛОГИЯ • ГЕОГРАФИЯ
АНГЛИЙСКИЙ ЯЗЫК • ИНФОРМАТИКА И ИКТ
Тематические работы |

О

пробный

ОГЭ

э к з а м е н

п р о в е р о ч н ы х

р а б о т

| Индивидуальный экзаменационный комплект ОГЭ

гогэ

А К Т У А Л И З А Ц И Я

О
Отличный
результат
З З Н Я Т И Я ПО ВС6М

за д а н и я м варианта
ОГЭ

НАЦИОНАЛЬНОЕ
О БРАЗО ВАН И Е

с б о р н и к

И

С И С Т Е М А Т И З А Ц И Я

ОГЭ
1
г
м
ХИМИЯ

в

_i_

о
Учебная
тетрадь
занятия
по всем темам
ОГЭ

+7 (495) 788 00 75

I

З Н А Н И Й :

all.

' ^
О БЩ ЕСТВО ЗН АН И Е

0
Модульный
триактив-курс
тематические
м одули д л я
5 -1 1-х классов

\лм\л/.национальноеобразование.рф
ww w.nobr.ru

i

ПОСОБИЕ ПРОШЛО
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКУЮ
ОЦЕНКУ Ф ГБНУ

BflSIllil

Серия предназначена для диагностики готовности обучающихся
к основному государственному экзамену (ОГЭ), подготовки
обучающихся к ОГЭ в рамках учебного процесса на уроках
и дополнительных занятиях, самоподготовки к экзамену.

ШКОЛЕ
ДАННЫЙ СБОРНИК СОДЕРЖИТ:
• 36 типовых экзаменационных вариантов,
соответствующих проекту демоверсии ОГЭ 2022 года;
• ответы и критерии оценивания.

КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ И ИНФОРМАТИКЕ И ИКТ
ИЗДАТЕЛЬСТВА «НАЦИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ» —
ЭТО СИСТЕМА КОМПЛЕКСНОЙ ПОДГОТОВКИ К ОГЭ
ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 10 вариантов
ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов
ОГЭ. Информатика и ИКТ: типовые экзаменационные варианты: 10 вариантов
ОГЭ. Информатика и ИКТ: типовые экзаменационные варианты: 20 вариантов
Математика. 9 класс. Модульный триактив-курс

Учебно-методическое сопровождение

Для получения специальных условий

образовательного процесса с использованием

на онлайн-обучение при регистрации
на сайте https://oge.plus введите промокод —

изданий серии «ФИПИ — ШКОЛЕ» осуществляет
АНО ДПО «Национальный институт качества

НАЦИОНАЛЬНЫ Й
ИНСТИТУТ КАЧЕСТВА

образования», https://oge.plus.

IS B N : 978-5-4454-1563-3

9 785445 415633

ШШ

ваш уникальный цифровой код, расположенный
на голограмме на обложке книги.

www.nobr.ru
Н АЦИОН АЛЬНО Е
ОБРАЗОВАНИЕ

И»р5://национальноеобразование.рф