Вычислительная математика для физиков [Игорь Борисович Петров] (pdf) читать онлайн

1

УДК 519.63 (075.8)
ББК 22.19я73
П 30
П е т р о в И. Б. Вычислительная математика для физиков.
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2021. — 376 с. — ISBN 978-5-9221-1887-3.

—

Рассматриваются вычислительные методы решения задач физики (в частности, механики, в том числе механики сплошных сред), а также различных прикладных задач. В книгу включены элементы функционального анализа, методы
точных решений разностных уравнений, вопросы теоретического минимума
по вычислительной математике для физиков и задачи для вычислительного
практикума.
Для студентов университетов (факультетов физико-математического профиля) и технических вузов.

c ФИЗМАТЛИТ, 2021


ISBN 978-5-9221-1887-3

c И. Б. Петров, 2021


2 / 35

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Г л а в а 1. Введение в предмет вычислительной математики
9
1.1. Из истории вычислительной математики. . . . . . . . . . . . .
9
1.2. Вычислительный эксперимент. Высокопроизводительные
вычисления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Особенности вычислительной математики. . . . . . . . . . . . 18
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Г л а в а 2. Необходимые сведения из функционального анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Примеры метрических пространств . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Линейные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Примеры линейных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Линейные нормированные пространства . . . . . . . . . . . . .
2.6. Банаховы и гильбертовы пространства . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Операторы в гильбертовом пространстве. . . . . . . . . . . . .
2.9. Операторные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10. Производные Гато и Фреше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11. Корректность задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Г л а в а 3. Численные методы решения систем линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ) . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Число обусловленности СЛАУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Обусловленность СЛАУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Прямые методы численного решения СЛАУ . . . . . . . . . .
3.4. Метод простых итераций (МПИ) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Сходимость итерационного процесса. . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Итерационные вариационные методы последовательных
приближений (итераций) численного решения СЛАУ . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25
25
26
28
29
30
33
34
37
38
39
40
41
42
42
45
47
51
53
58
62

Г л а в а 4. Приближение функций (аппроксимация функций
в функциональных пространствах). Метод наименьших
квадратов (МНК) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2. Существование и единственность полинома наилучшего
приближения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3 / 35

4

Оглавление

4.3. Сходимость полинома наилучшего приближения. . .
4.4. Полиномы Бернштейна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Аппроксимация тригонометрическими полиномами .
4.6. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

69
70
72
72
78

Г л а в а 5. Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Неподвижная точка отображения, сжимающий оператор
5.3. Метод простых итераций (МПИ) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79
79
80
82
85
93

Г л а в а 6. Методы интерполяции функций . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Интерполяционный полином в форме Лагранжа . . . . . . .
6.3. Интерполяционный полином в форме Ньютона . . . . . . . .
6.4. Конечные разности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Погрешность интерполяции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6. Минимизация погрешности интерполяционного процесса
6.7. Сходимость интерполяционного процесса . . . . . . . . . . . .
6.8. Другие виды интерполяции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9. Многомерная интерполяция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10. Интерполяция с кратными узлами . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11. Кусочно-полиномиальная сплайн-интерполяция. . . . . . . .
6.12. B-сплайны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94
94
95
98
100
101
105
106
109
110
112
113
119
121

Г л а в а 7. Численные методы интегрирования функций . . . .
7.1. Интерполяционные квадратурные формулы . . . . . . . . . . .
7.2. Квадратурные формулы Чебышëва, Гаусса, Гаусса–Кристоффеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Вычисления кратных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Вычисления интегралов с особенностями . . . . . . . . . . . .
7.5. Апостериорная практическая оценка погрешности квадратурных интерполяционных формул. . . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122
122

Г л а в а 8. Численное решение задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) . . . . . . . . . .
8.1. Методы Рунге–Кутты (нежесткие задачи). . . . . . . . . . . .
8.2. Метод Ричардсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Барьеры Бутчера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128
137
138
141
143
144
144
154
156
160

4 / 35

5

Оглавление

Г л а в а 9. Численное решение задачи Коши для систем жестких обыкновенных дифференциальных уравнений . . . .
9.1. Понятие жестких систем ОДУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Устойчивость жестких систем ОДУ . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3. Нелинейные жесткие системы ОДУ . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4. Численные методы решения жестких систем ОДУ . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161
161
165
168
172
181

Г л а в а 10. Численные методы решения краевых задач для
обыкновенных дифференциальных уравнений . . . . . . . 183
10.1. Метод фундаментальных систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2. Краевые задачи для уравнения второго порядка . . . . . . .
10.3. Метод прогонки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5. Метод Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6. Методы Ритца и Галëркина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

183
187
190
195
198
200
206

Г л а в а 11. Точные решения разностных уравнений. . . . . . . . 207
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Г л а в а 12. Основные понятия теории разностных схем . . . . . 218
12.1. Сходимость, аппроксимация и устойчивость методов. . . . 218
12.2. Построение разностных схем. Исследование на сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Г л а в а 13. Численные методы решения дифференциальных
уравнений в частных производных параболического
типа (уравнения диффузии, теплопроводности) . . . . . . 239
13.1. Однородное линейное уравнение теплопроводности . . . . .
13.2. Нелинейное одномерное уравнение теплопроводности . . .
13.3. Методы расщепления для численного решения многомерных уравнений параболических типа . . . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Г л а в а 14. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа . . .
14.1. Двухслойные разностные схемы для численного решения
линейного уравнения переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2. Двухслойные разностные схемы для решения нелинейного уравнения переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3. Трехслойные разностные схемы для решения уравнения
переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

239
244
247
256
257
257
271
275

5 / 35

6

Оглавление

14.4. Разностные схемы для решения волнового уравнения
и акустической системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
14.5. Гибридные разностные схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Г л а в а 15. Разностные методы для численного решения
уравнений эллиптического типа (уравнения электростатики, Лапласа, Пуассона) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1. Постановка задачи Дирихле для уравнения Пуассона . . .
15.2. Итерационные методы решения задачи Дирихле для
уравнения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Г л а в а 16 (дополнительная). Математические модели механики сплошных сред (МСС) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1. Вывод уравнений механики сплошных сред . . . . . . . . . .
16.2. Уравнения МСС в интегральной форме. . . . . . . . . . . . . .
16.3. Система уравнений газовой динамики. . . . . . . . . . . . . . .
16.4. Уравнение Навье–Стокса, описывающее течение вязкой
жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.5. Система уравнений теории упругости . . . . . . . . . . . . . . .
16.6. Нестационарная модель динамики морских и океанических течений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.7. Уравнения магнитной гидродинамики (МГД) . . . . . . . . .
16.8. Система уравнений Прандтля ламинарного пограничного
слоя в несжимаемой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.9. Система уравнений теории мелкой воды . . . . . . . . . . . . .
16.10. Система уравнений акустики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.11. Введение в разностные схемы газодинамики . . . . . . . . . .
16.12. Уравнение бесстолкновительной плазмы (уравнение Власова) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

291
291
295
307
308
308
311
312
314
315
317
318
322
323
324
325
331
333

П р и л о ж е н и е 1. Теоретические вопросы к курсу лекций
по вычислительной математике (теоретический минимум) . . . 335
П р и л о ж е н и е 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

6 / 35

Предисловие
Предмет вычислительной математики имеет большую историю. Упоминание о вычислительных методах можно найти
у средневековых китайских математиков (например, схема Горнера для вычисления значений полиномов, предложенная Горнером
в XIX в., была известна в Китае в XV в.).
Дальнейшее развитие вычислительная математика получила в XVII в., благодаря работам Ньютона, Эйлера, Лейбница,
Лагранжа (интерполяционные полиномы, разделенные разности,
первые методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисления интегралов).
Методы вычислений разрабатывались Гауссом, Эрмитом, Чебышëвым (теория приближения функций в функциональных
пространствах, методы интерполяции, решения систем линейных уравнений, высокоточные методы вычисления интегралов).
В конце XIX – начале XX вв. бурное развитие получили высокоточные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, разработанные в трудах Галëркина, Бубнова,
Ритца, Рунге, Кутты, Крылова, Розенброка, Адамса, Бутчера
и других математиков.
Примерно в середине XX в. начали развиваться численные
методы решения дифференциальных уравнений в частных производных в работах Куранта, Фридрихса, Лакса, Вендроффа,
Харлоу. Большой вклад в развитие этих методов внесли советские (российские) ученые: О. М. Белоцерковский, С. К. Годунов,
А. А. Самарский, В. С. Рябенький, Р. П. Федоренко, Н. Н. Яненко, А. С. Холодов, Г. И. Марчук, Н. С. Бахвалов, Б. Н. Четверушкин, А. И. Толстых, В. В. Русанов.
Актуальность этих работ была обусловлена двумя главными причинами: появлением первых электронно-вычислительных
машин, а также ядерного оружия, поскольку было необходимо предсказывать последствия ядерного взрыва и разрабатывать
средства его доставки.
Разумеется, в дальнейшем эти численные методы нашли
свое применение в решении других (промышленных, медицинских, экологических) задач, например: климатических, геофизических (разведка полезных ископаемых), термодинамики морей

7 / 35

8

Предисловие

и океанов, арктических, аэрокосмических, химической физики,
распространения электромагнитных волн и др.
Огромный вклад в решение сложнейших вычислительных
задач внесло развитие высокопроизводительных многопроцессорных систем, для которых необходимо было адаптировать (распараллеливать) известные методы и алгоритмы. Быстрый рост
их производительности приводит к возможности решения все
более и более сложных задач. В настоящее время уже идет речь
о создании экзафлопсного компьютера.
Автор искренне благодарит своих учителей — выдающихся
ученых: академиков РАН О. М. Белоцерковского, А. С. Холодова,
Б. Н. Четверушкина, докторов физико-математических наук
В. С. Рябенького и Р. П. Федоренко за те бесценные знания,
которые он получил от них.
Автор выражает благодарность В. С. Ароловичу, В. Д. Иванову, Д. В. Кибардиной и А. В. Фаворской за содействие в написании данной книги.

8 / 35

Глава 1
ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

1.1. Из истории вычислительной математики
Вычислительная математика, как прикладная математическая
дисциплина, имеет достаточно долгую историю. По-видимому,
простейшие вычислительные алгоритмы были известны еще в античные времена. Трудно представить без предварительных расчетных оценок умение измерять площади, диагонали земледельческих участков, строить пирамиды в Древнем Египте, огромные
сооружения в Элладе, Китае, Индии, Древнем Риме и мн. др.
К сожалению, до наших дней дошло немного, однако античная
математика, механика, связанные с ними вычисления, создали некоторые предпосылки для развития вычислительных наук
в значительно более поздние времена. Нам известны знаменитые
ученые древности: Пифагор, Архимед и др., но, по-видимому,
многие имена остались в забвении.
Настоящий подъем вычислительной математики происходил
примерно начиная с XVII в. Развитие небесной механики, геодезии в связи с потребностями навигации и мореплавания, составлением тригонометрических функций, появление артиллерии
диктовали необходимость разработок расчетных методов даже
при отсутствии вычислительной техники. В эти времена появляется важнейший математический аппарат для решения многих
прикладных задач — интегральное и дифференциальное исчисление, разработанное И. Ньютоном и Г. Лейбницем; появились
первые дифференциальные уравнения: сначала обыкновенные,
а затем и в частных производных. Для решения многих задач, сводящихся к решению дифференциальных уравнений, взятию интегралов, приближения функций и др. было необходимо разрабатывать как приближенные, так и численные методы.
Так появились первые интерполяционные полиномы Лагранжа
и Ньютона, первый численный метод Эйлера решения задачи
Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, формулы Ньютона–Котеса для вычисления определенных интегралов. Позже Гаусс предложил высокоточные методы численного
интегрирования для достаточно гладких функций. В связи с развитием небесной механики Лапласа, механики сплошных сред

9 / 35

10

Гл. 1. Введение в предмет вычислительной математики

Эйлера и Лагранжа появилась необходимость в решении уравнений в частных производных, а следовательно, и в численном
решении систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений. Так появились итерационный метод Ньютона для решения нелинейных алгебраических уравнений, метод исключения
Гаусса, итерационные методы решения линейных систем уравнений Якоби, Гаусса–Зейделя, ортогональные полиномы Якоби,
Лежандра, Эрмита, Чебышëва.
Важнейшую роль в развитии теории приближения функций,
являющейся одной из основных и в функциональном анализе,
и в вычислительной математике, сыграли работы П. Л. Чебышëва
(чебышëвская система функций, чебышëвские многочлены, теория равномерных приближений и др.). В начале прошлого столетия получили развитие численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (работы Галëркина, Ритца,
Рунге, Крылова, Кутты, Розенброка, Ван дер Поля, Адамса, Бутчера и др.), что позволило получить численные решения многих
важнейших прикладных задач. Эти методы представлены в [1, 2].
В XIX в. появились нелинейные разностные отображения в популяционной динамике (Ферхюльст), заложившие основы теории
нелинейных процессов, которая начала бурно развиваться уже
в XX в. и потребовала дальнейшего развития вычислительных
методов.
В том же XIX в. появились знаменитая теория и соответствующая система дифференциальных уравнений в частных производных Максвелла, описывающая поведение электромагнитных
полей во времени и пространстве. Разумеется, появилась и необходимость численного решения этой системы. Надо сказать, что
методы решения как систем уравнений механики сплошных сред,
так и системы Максвелла серьезно запаздывали, поскольку в те
времена не было вычислительной техники; в XIX в. стала использоваться логарифмическая линейка, позже — механические
арифмометры. Правда, нет худа без добра: в середине XX в. эти
простейшие вычислительные приборы привели к появлению до
того неизвестных алгоритмов параллельных вычислений. Действительно, очень нерациональным представлялось выстраивание
девушек-операторов в цепочку последовательных расчетчиков на
таких арифмометрах [3] (заметим также, что всем нам хорошо
известное слово «алгоритм» пришло из средневековой расчетной
практики — оно происходит от имени арабского врача, философа,
математика Аль-Хорезми). История создания вычислительной
техники довольно подробно и интересно описана в [4].

10 / 35

1.1. Из истории вычислительной математики

11

Математические основы численных методов решения уравнений в частных производных были заложены отечественными
математиками А. А. Самарским, В. С. Рябеньким, Н. Н. Яненко,
американскими учеными Р. Курантом, П. Лаксом, Дж. Нейманом. Ими были введены фундаментальные понятия теории
разностных схем: сходимость, аппроксимация, устойчивость,
доказана базовая теорема эквивалентности [5, 6]. Отметим,
что создание первых разностных схем, правда, низкой точности, связано с именами известнейших отечественных физиков:
Л. Д. Ландау, Н. Н. Меймана, И. М. Халатникова, которые, в отсутствие вычислительных методов решения уравнений газодинамики (система дифференциальных уравнений в частных производных) начали сами их разрабатывать. Отметим важнейшую
в развитии вычислительных наук роль, которую сыграли создатели первых отечественных электронно-вычислительных машин —
С. А. Лебедев и И. С. Брук; без них это развитие было бы невозможным [4].
Однако настоящий подъем вычислительной математики, как
прикладной, так и фундаментальной науки, произошел в конце
40-х – начале 50-х гг. XX в. Это было связано со следующими
причинами:
— интенсивное развитие новых систем вооружений, что было
обусловлено ходом Великой Отечественной войны;
— ядерная программа, которую возглавлял академик И. В. Курчатов, требовавшая проведения многочисленных расчетных
работ;
— начавшаяся гонка вооружений между СССР и США;
— начало развития ракетостроения, что связано со сложными
аэродинамическими, баллистическими, прочностными численными расчетами;
— развитие электронной техники, систем радиосвязи, для чего
необходимо было уметь численно решать систему уравнений
Максвелла;
— появление первых электронно-вычислительных машин.
В дальнейшем, разумеется, появились и многие другие вычислительные задачи: климатические, космические, геофизические, задачи сейсморазведки, глобальной сейсмики, термодинамики морей и океанов, физики атмосферных явлений, радиолокации,
акустики, механики грунтов, плавающей и наземной техники,
медицины, биологии, химической физики (см., например, [7–23]).
Каждый из указанных разделов науки имеет большую вычислительную часть, поэтому вычислительная математика, численные

11 / 35

12

Гл. 1. Введение в предмет вычислительной математики

методы, высокопроизводительные вычисления, информатика уже
давно стали столь же важными науками, преподаваемыми в высших учебных заведениях, как и высшая математика и физика.
В современном научно-техническом мире эти науки представляются, в определенном смысле, единым циклом, владеть которым
необходимо каждому научному работнику и инженеру.
Одними из первых сложнейших вычислительных задач были задачи о ядерном взрыве и об аэродинамическом обтекании
затупленных тел потоком сверхзвукового газа (задача об отошедшей ударной волне). Вторую из этих задач первым решил численно, создав новый вычислительный метод, академик О. М. Белоцерковский. В это же время разработкой нового численного
метода решения этой же задачи занимался сибирский математик,
ныне академик С. К. Годунов. В результате этих исследований
появились два численных метода, которыми пользуются до сих
пор исследователи во всем мире [7, 8]. Американские вычислители решили эту задачу несколько позже. В конце 50-х гг. XX в.
появился совершенно новый метод Харлоу [9], позволявший рассчитывать процессы с сильно изменяющимися границами области интегрирования (например, расплескивание капли воды
при падении на твердую поверхность, разрушение при взрыве
и т. п.) — это был первый метод расщепления по физическим
процессам. Разработка численных методов расщепления по координатным направлениям связана с именами советских математиков-вычислителей: А. А. Самарский, О. М. Белоцерковский,
Г. И. Марчук, Н. Н. Яненко, В. М. Ковеня. Разработка численных методов решения задач вязкого газа проводилась научными группами академиков А. А. Дородницына, О. М. Белоцерковского, профессора Г. А. Тирского [7] и другими авторами.
Гибридные методы, позволяющие рассчитывать разрывные
решения в механике сплошных сред, были предложены в работах
Р. П. Федоренко, В. П. Колгана, Ван Лира; затем они получили
свое развитие в работах А. Хартена (TVD-схемы), Б. Н. Четверушкина, А. С. Холодова, С. Ошера, Ч.-В. Шу, И. Б. Петрова
и др. (см., например, [24–31]). А. С. Холодов предложил математически обоснованную теорию построения квазимонотонных разностных схем в пространстве неопределенных коэффициентов [30].
Численные методы высокого порядка точности были
предложены в работах В. В. Русанова, С. Бурштейна, У. Рида
и Т. Хилла (разрывный метод Галëркина), Э. Ф. Торо, А. И. Толстых, а также в работах А. С. Холодова, И. Б. Петрова (сеточнохарактеристические методы, см., например, [25–28, 30–32]).
Большую популярность приобрели методы конечных элементов,

12 / 35

1.2. Вычислительный эксперимент

13

основанные на хорошо известных вариационных методах
Галëркина и Ритца [33], полностью консервативные схемы [10],
метод конечных объемов [34], разрывный метод Галëркина,
метод спектральных элементов (см., например, [35, 36]) для численного решения задач газодинамики, физики плазмы, магнитной гидродинамики, теории упругости.
Значительное развитие получили методы построения расчетных сеток, описание которых можно найти в [37, 52]. Для задач
со значительными изменениями границ области интегрирования
были предложены бессеточные методы, например, [38, 39].
Отдельную часть вычислительной математики представляют
численные методы оптимизации (см., например, [40–42]), методы
решения некорректных задач [42, 54]. В 60 – 80-х гг. XX в. получили развитие итерационные методы решения уравнений нелинейных алгебраических уравнений [50], методы решения уравнений
в частных производных эллиптического типа, описанные, например, в монографии [43], среди которых особо отметим методы,
разработанные в Институте прикладной математики РАН, в Институте вычислительной математики РАН, многосеточные методы Р. П. Федоренко, а также численные методы решения нелинейных уравнений параболического типа (см., например, [11–13]).
Сегодня особую популярность приобретают методы и алгоритмы, ориентированные на многопроцессорные высокопроизводительные вычислительные системы (распараллеленные алгоритмы), (см., например, [3, 29, 48, 49]). Обзор по работам в области вычислительной математики — это отдельная, довольно трудоемкая работа, поэтому во вводной главе ограничимся очень
кратким их описанием.

1.2. Вычислительный эксперимент.
Высокопроизводительные вычисления
Важно отметить тот факт, что в последние десятилетия
появился относительно новый метод теоретического изучения
сложнейших многомерных нелинейных физических процессов —
численный эксперимент, т. е. исследование естественно-научных
процессов методами вычислительной математики.
Обычно реализация такого эксперимента состоит из следующих этапов:
¯ формулировка задачи;
¯ построение (или выбор) математической модели исследуемого
явления;

13 / 35

14

Гл. 1. Введение в предмет вычислительной математики

¯ построение (или выбор) численного метода решения определяющей системы уравнений;

¯ построение вычислительного алгоритма, в том числе распа-

раллеленного;
реализация расчетной программы;
тестирование и оптимизация расчетной программы;
проведение расчетов на вычислительных системах;
анализ полученных расчетных результатов;
верификация результатов;
визуализация результатов расчета;
уточнение математической модели и численного метода, если
это необходимо;
¯ машинное обучение, задачи с большими данными.
Отметим некоторые важнейшие направления вычислительных исследований, в которых использование многопроцессорных
высокопроизводительных систем (суперкомпьютеров) оказывает
решающее влияние на развитие соответствующей отрасли:
¯ авиационная и ракетно-космическая техника;
¯ ядерная и термоядерная энергетика;
¯ оптимизация сложных систем;
¯ биотехнологии, медицина;
¯ разведка углеводородов;
¯ задачи освоения Арктики;
¯ создание ситуационных центров в интересах государственных
структур;
¯ фундаментальные исследования (астрофизика, теория турбулентности, квантовая химия и др.);
¯ машинное обучение, задачи с большими данными.
Отметим также очень быстрый рост производительности суперкомпьютеров. Производительность, которая считалась рекордной 3–5 лет назад, в настоящее время считается уже не рекордной, хотя и весьма серьезной, достаточной для списка TOP500.
Сейчас к высокопроизводительным системам предыдущего поколения условно относят компьютеры с производительностью до 100 терафлопсов. Хорошей производительностью считаются компьютеры, приблизительно реализующие 1 петафлопс (1 петафлопс
103 терафлопсов), причем в ближайшие годы парк машин
пополнится компьютерами с производительностью 150, 300 петафлопсов [16]. Речь идет о создании экзафлопсных вычислительных систем (2022–2024 гг.).
Однако, хотя перспективы и представляются хорошими, ситуация на самом деле не столь оптимистична. Существующий

¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯

14 / 35

1.2. Вычислительный эксперимент

15

программный продукт, как правило, ограничен диапазоном используемой производительности на одну задачу в 10 терафлопсов
или 103 процессорных ядер. И, при наличии на сегодняшний
день в мире более 10 комплексов с производительностью более
1 петафлопса, количество задач на них с одновременным использованием 104 ядер (или свыше 100 терафлопсов) на один вариант
невелико. Как правило, такие комплексы работают в многозадачном режиме, одновременно производя расчеты 100 и более
вариантов. Данная ситуация не случайна, а связана с принципиальными трудностями использования существенно многопроцессорных вычислительных систем. Эти трудности только усугубляются при переходе к вычислительным системам последующих поколений. К таковым относятся: системы на процессорах
общего назначения с повышенным числом ядер на процессор; системы, использующие в качестве элементов различного рода ускорители. Наиболее применяемым типом ускорителей являются
графические платы. Причинами, вызывающими переход к новым
архитектурам, являются высокая стоимость и в первую очередь
запредельное энергопотребление. Так, вычислительный комплекс
с производительностью 1 петафлопс на четырехъядерных процессорах общего назначения имеет энергопотребление в диапазоне
3–4 МВт. Многопроцессорные высокопроизводительные системы,
активное применение которых началось около четверти века тому
назад, в значительной мере сместили акценты требований к алгоритмам прикладной математики. К этим требованиям можно
отнести, в частности, следующие:
1) внутренний параллелизм, позволяющий разбить задачу на
равноценные с точки зрения объема вычислений части, число которых должно быть не меньше числа используемых процессоров;
2) обеспечение минимизации обмена информацией между
процессорами;
3) корректность используемых алгоритмов и моделей, что
становится особенно актуальным в случае подробной пространственно-временно́й дискретизации задачи;
4) логическая простота алгоритмов;
5) равномерность загрузки процессоров.
Быстрый темп развития вычислительной техники приводит
к периодической смене приоритетов в области создания вычислительных алгоритмов. Естественно, что адаптация логически
несложных алгоритмов к архитектуре многопроцессорных систем
более проста. Но это не столь критично для систем, состоящих из относительно небольшого числа процессоров. Главное

15 / 35

16

Гл. 1. Введение в предмет вычислительной математики

достоинство таких алгоритмов состояло в том, что при быстрой
смене вычислительной техники, сопровождающейся в той или
иной степени ревизией программного продукта, последнюю операцию можно было проводить достаточно быстро и безболезненно. Однако нынешняя ситуация представляется более сложной.
Возможность одновременного использования большого количества процессорных ядер ( 104 , усложнение архитектуры вычислительных систем (общая память для ядер внутри процессора
и распределенная между процессорными узлами) приводит к тому, что применение сколь-нибудь логически сложных алгоритмов
дает слишком малую эффективность параллельной обработки.
С другой стороны, хорошо распараллеливаемые простые алгоритмы обладают низкой эффективностью однопроцессорного
расчета, которая к тому же, как правило, резко уменьшается
при переходе к более подробной пространственной дискретизации. Эти проблемы усугубляются, когда в качестве ускорителей
используются графические платы, обладающие большим количеством процессорных ядер, со сложной иерархической структурой.
Рассматривая перспективы развития вычислительной техники,
следует обратить внимание на то, что существующие системы,
опирающиеся на использование процессоров с небольшим числом ядер, имеют естественный предел по производительности
порядка 1 петафлопса. Заметное, например в 10 раз, увеличение
производительности приведет к запредельной стоимости проекта,
обременительной даже для экономически развитых стран. Однако самой существенной причиной ограничения станет огромное
энергопотребление. Так по оценкам энергопотребление системы
такого типа, обладающей производительностью 10 петафлопсов,
составит около 30 МBт. Решение этой проблемы заключается
в разработке и последующем использовании процессоров со все
бо́льшим числом ядер. При этом соотношение энергопотребления процессора и его цены к пиковой производительности будет
падать. Вычислительные системы, опирающиеся на использование существенно многоядерных процессоров общего назначения,
будут одним из направлений развития суперкомпьютеров в ближайшем будущем.
Отметим, что уже сейчас существуют процессоры, содержащие несколько сот вычислительных ядер, — это графические
платы. Первоначально графические платы предназначались лишь
для целей визуализации. Однако в последние годы за счет создания достаточно сложного программного инструментария CUDA
удалось приспособить графические платы GPU для решения задач, описываемых уравнениями математической физики. Такие

16 / 35

1.2. Вычислительный эксперимент

17

платы, используемые для решения научно-технических задач, получили название GPGPU (general purpose computing on graphics
processing units). Однако применение систем, использующих
GPGPU, связано с принципиальными трудностями. Не останавливаясь на архитектуре графических плат, отметим, что они
создавались для решения проблем визуализации, которая допускает максимальную независимость работы вычислительных
ядер. Одним из путей выхода из создавшейся ситуации является
использование гибридных (гетерогенных) узлов, в которых соединены процессоры общего назначения GPU и GPGPU. В этой
комбинации процессоры общего назначения берут на себя выполнение сложных логических операций, а GPGPU ведут обработку большого количества однородных потоков информации. Как
показывает существующая практика, такие гибридные суперкомпьютеры обладают при той же пиковой производительности
приблизительно на порядок меньшими стоимостью и энергопотреблением, чем системы одинаковой производительности на основе процессоров общего назначения. Однако даже в комбинации
с процессорами общего назначения использование графических
плат в качестве инструмента вычислений сталкивается с серьезными дополнительными трудностями. Во-первых, использование
программистских средств CUDA достаточно сложно. Проблема
заключается в том, что освоение этих средств достаточно трудоемко, написанные с помощью CUDA программы довольно объемны и непрозрачны. Это вызывает заметные проблемы при переписывании давно работающих и отлаженных программ с целью
использования их для расчетов на гибридных вычислительных
системах. Вторая трудность состоит в необходимости использования или создания алгоритмов, требующих в основном своем
объеме переработки больших массивов однородной информации.
Заметим, что первая трудность может быть преодолена за
счет дополнительных трудозатрат программистов. Кроме того,
в настоящее время ведутся интенсивные разработки, позволяющие создать языки программирования более высокого уровня для
графических плат.
Особую важность приобретают такие направления, как аэромеханика летательных аппаратов [7, 8, 10, 11, 44] прочность
аэрокосмической техники, проектирование композиционных покрытий [14, 51], безопасность железных дорог [15], сейсмостойкость объектов атомной энергетики, глобальная сейсмика [16],
задачи, связанные с освоением запасов нефти и газа в условиях Севера и Арктики (безопасность и устойчивость ледостойких платформ, нефтегазопроводов, ледоколов и судов ледового

17 / 35

18

Гл. 1. Введение в предмет вычислительной математики

класса, миграция крупных ледовых образований) [17]. Важнейшей проблемой, решаемой с помощью высокопроизводительных
вычислительных систем, является сейсмо- и электроразведка углеводородов, особенно в шельфовых зонах российских северных
морей (прямые и обратные задачи георазведки [18, 19]). Суперкомпьютерное моделирование также позволяет успешно моделировать сложнейшие процессы в теле человека, происходящие при
операциях, травмах, иных процессах в медицинской практике
(см., например, [20, 45, 53]), в биологических объектах [46].
Примеры численного решения сложных климатических задач
представлены в [21, 47]. Вычислительным методам решения системы уравнений Максвелла (расчет элеткромагнитных полей)
посвящена большая работа [22], численному решению задач физики плазмы — сборник статей [23].

1.3. Особенности вычислительной математики
Вычислительная математика является неотъемлемой частью
высшей математики, компьютерных наук и науки о математическом моделировании. Однако она имеет свою специфику.
1. Дискретизация области интегрирования, работа как
с непрерывными, так и с таблично заданными функциями:
  , 0, . . . ,
2. В расчетах используются числа с ограниченным количеством
знаков после запятой, т. е. в расчетах всегда присутствует
машинная погрешность, округление, чего нет в классической
математике.
3. Выбор численного метода влияет на результат решения задачи метод решения;
4. Экономичность вычислений — существенное качество вычислительного метода.
5. Обусловленность задачи, т. е. чувствительность ее решения
по отношению к малым изменениям входящих данных.
6. Устойчивость численного алгоритма.
7. Приведем пример влияния конечноразрядной арифметики на
результат вычисления.
Требуется вычислить корень алгебраического уравнения:

 

4



4



3  82
1

2,01;

16

  15, 9
9 

2

8

1,99;

3,4

24

10

2  102

8

0,



18 / 35

19

1.3. Особенности вычислительной математики

Если компьютер округляет свободный член в рассматриваемом
уравнении до 16, то будет решаться уравнение вида



2 4

0,



имеющее 4 одинаковых корня: 1,2,3,4 2, которые не совпадают
с корнями исходного уравнения.
Рассмотрим пример влияния метода вычисления на количество арифметических действий, требуемое для решения задачи.
Допустим, мы вычисляем значение полинома




 









0

самым простым способом, вычисляя значение каждого слагаемого
На это, как несложно подсчитать, потребуется
 
 и суммируя.

2 

умножений и

2

 сложений.

Очевидное ускорение этого алгоритма — вычисление величины  1 путем умножения величины  на — приводит к замет1 умноному ускорению алгоритма, который уже требует 2
жений на сложений.
Наиболее вычислительно экономичным алгоритмом является
схема Горнера











  . . .     1    2  . . . 0 ,
для реализации которой требуется  сложений и  умножений.






Приведем пример неустойчивого вычислительного процесса,
для чего рассмотрим простую рекуррентную формулу:


1



,

0,

,

0

0,

0





При проведении вычислений на компьютере на -м шаге
вычислений возникает погрешность округления и реальное значение 
 будет следующим:

  Æ ,




Æ





где  — машинная погрешность на
вместо 
1 имеем



 Æ 

,

0, 1, . . .


 1



-м шаге. В таком случае





1 

Æ



,

или

Æ 1


Æ



Æ 1



 1





1 

19 / 35

20

Гл. 1. Введение в предмет вычислительной математики

Видно, что при  
1 машинная погрешность будет только
возрастать с ростом
и вычислительный метод оказывается
неустойчивым. При   1 этого явления не происходит.
Также приведем пример, демонстрирующий понятие обусловленности задачи. Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения:




10 ,

 0 0,
 0, 1

Как известно из курса обыкновенных дифференциальных уравнений, его решение имеет вид:



0

10

 0



Поскольку начальное значение ( 0  известно приближенно, с машинной точностью, то в реальных расчетах



 10



0

0

;

соответственно, погрешность имеет вид







0

0

 10

 0



Пусть задана точность вычисления решения
ке 0, 1.
В таком случае
  ,



0 на отрез-



откуда получим



0,1





   1 

1 



0

 101

0



Из последнего равенства получаем требования к точности задания начальных данных :

Æ

т. е. при, например,

0



0:


0

 Æ,

Æ   10

Это значит, что требования к точности задания начальных данных превышают требования к точности, предъявляемой к решению задачи, что представляется нереальным. Решение задачи
при
1 оказывается очень чувствительным к малым вариациям
начальных данных, т. е. задача плохо обусловлена.

20 / 35

21

1.3. Особенности вычислительной математики

Приведем также пример плохой обусловленности задачи из
линейной алгебры. Точным решением системы из двух линейных
алгебраических уравнений

  10 11,
100  1001
являются числа  1;  1.

1101

Внесем небольшое возмущение в правую часть рассматриваемой системы:
 10 11,01,
1101
100  1001















Тогда решением будут числа
11,01;
0,00, оно значительно отличается от решения невозмущенной системы уравнений
вследствие плохой обусловленности исходной задачи.
Заметим, что на плоскости  ,  две прямые, соответствующие двум уравнениям системы, будут почти параллельными.
Классическим примером влияния машинной погрешности является результат вычисления функции
в виде сходящегося
при всех ряда Тейлора:







 



3
3

 5

5

7
7

  

При 1  0,5236 (30Æ ) получим, с точностью до четырех значащих цифр,
0,5000. При вычислении этой же элемен1
тарной функции при 2  25,66 (1470Æ ) с помощью того же
алгоритма, имеем
24, . . ., что является невозможным
2
результатом.
Выход из данной ситуации очевиден — использование тригонометрических формул приведения, т. е. использование, вообще
говоря, другого алгоритма.
Теперь определимся с понятиями абсолютной и относительной погрешностей.
Определение 1.1. Абсолютной погрешностью приближенного значения некоторого приближения  величины назовем
величину   , удовлетворяющую неравенству










   

Относительной погрешностью называется величина
удовлетворяющая неравенству

 


Æ   ,

 Æ 

21 / 35

22

Гл. 1. Введение в предмет вычислительной математики

Определение 1.2. Положим, что некая величина
есть
функция независимых переменных 1 , . . . ,  ;  — ее приближенное значение. Абсолютной предельной погрешностью назовем величину





  

   1, . . . ,  

1 ,..., 



Предельная относительная погрешность определяется в соответствии с формулой

  
  

Список литературы
1. Хайрер Э., Нерсет С., Ваннер Г. Решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с.
2. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. Долгопрудный:
Интеллект, 2008. 503 с.
3. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. СПб.:
БХВ-Петербург. 2002.
4. Шилов В. В. Удивительная история информатики и автоматики. М.: ЭНАС,
2011. 216 с.
5. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука. 1973. 400 с.
6. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач.
М.: Мир, 1972. 418 с.
7. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механикесплошных
сред. М.: Наука. Физматлит, 1994. 442 с.
8. Годунов С. К. (ред.) Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. 384 с.
9. Харлоу Ф. Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967.
С. 317–342.
10. Utyuzhnikov S. V., Tirskiy G. A. Hypersonic Aerodinamics and Heat Transfer. N. Y.: Begell, 2014. 536 p.
11. Андерсен Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика
и теплообмен. Т.1. М.: Мир, 1990. 384 с.
12. Марчук Г. И., Дымников В. П., Галин В. Я. и др. Гидродинамическая модель общей циркуляции атмосферы и океана. Новосибирск, 1975.
13. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.
14. Беклемышева К. А., Васюков А. В., Ермаков А. С., Петров И. Б. Численное моделирование при помощи сеточно-характеристического метода разрушения композиционных материалов // Матем. моделир. 2016. Т. 28, № 2.
С. 97–110.
15. Петров И. Б., Фаворская А. В., Хохлов Н. И. и др. Мониторинг состояния
подвижного состава с помощью высокопроизводительных вычислительных
систем и высокоточных вычислительных методов // Матем. моделир. 2014.
Т. 26, № 7. С. 19–32.

22 / 35

Список литературы

23

16. Фаворская А. В., Петров И. Б., Голубев В. И., Хохлов Н. И. Численное моделирование сеточно-характеристическим методом воздействия землетрясений на сооружения // Матем. моделир. 2015. Т. 27. С. 109–120.
17. Petrov I. B. Problems of Modeling Natural and Anthropogenics Processes in
the Arctic Zone of the Russian Federation // Math. Modeling a. Computer
Simulation. 2019. V. 11, № 2. P. 226–246.
18. Жданов М. С. Геофизическая электромагнитная теория и методы. М.:
Научный мир. 2012. 680 с.
19. Leviant V., Kvasov I., Petrov I. Numerical Modeling of Seismic Responses
from Fractured Reservoirs by the Grid-characteristic Method // Geophysics
Developments. 2019. № 17. 256 p.
20. Белоцерковский О. М., Холодов А. С. (отв. ред.). Медицина в зеркале информатики. М.: Наука. 2008. 242 с.
21. Яковлев Н. Г.
Математическое
моделирование
земной
системы.
М.: МАКС-Пресс, 2016. 328 с.
22. Taflove A., Hagness S. C. Computational electrodynamics. Boston, London.:
Artech house. 2005. 1006 p.
23. Олдер Б., Фернбах С., Ротенберг М. Вычислительные методы в физике
плазмы. М.: Мир, 1974. 514 с.
24. Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семëнов А. Ю. Математические
вопросы численного решения гиперболических систем уравнений.
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. 656 с.
25. Toro E. F. Riemann Solvers and numerical Methods for Fluid Dynamics.
Springer. Berlin. Heidelberg. 1997.
26. Osher S., Chahravarthy S. High resolution schemes for hyperbolic system of
conservation laws // Math. Comp. 1982. V. 38. P. 339–374.
27. Shu C.-W. TVD uniformly high-order schemes for conservation law // Math.
Comp. 1987. V. 49. P. 501–511.
28. Harten A. On class of high resolution schemes for hyperbolic conservation
law // J. Comp. Phys. 1983. V. 49. P. 357–393.
29. Четверушкин Б. Н. Прикладная математика и проблемы использования
высокопроизводительных вычислительных систем // Тр. МФТИ. 2011.
Т. 3, № 4. С. 55–67.
30. Магомедов К. М., Холодов А. С. Сеточно-характеристические методы.
М.: Наука. 1988. 288 с.
31. Петров И. Б., Холодов А. С. О регуляризации некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим
методом // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 27, № 8. С. 1172–1188.
32. Толстых А. И. Компактные и мультиоператорные аппроксимации высокой
точности для уравнений в частных производных. М.: Наука. 2015. 350 с.
33. Батэ К.-Ю. Методы конечных элементов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
1022 с.
34. LeVegue R. J. Finite volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge:
Cambridge University Press, 2011. 558 p.
35. Cochburn B. An introduction in the discontinuous Galerkin method for
convection-dominated problems // SIAM J. Sci Comput. V. 16. P. 173–261.
36. Patera A. T. A spectral elemet method fluid dynamic laminar flow in channel
expansion // Journal of Computational Physics. V. 54. P. 468–488.

23 / 35

24

Гл. 1. Введение в предмет вычислительной математики

37. Лисейкин В. Д. Разностные сетки. Теория приложения. Новосибирск:
Изд. СО РАН, 2014. 253 с.
38. Дьяченко В. Ф. Об одном новом численном методе решения нестационарных задач газовой динамики с двумя независимыми переменными //
Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1965., Т. 5, № 4. С. 680–688.
39. Monaghan J. J. Simulation of free surface floros with SPH // J. Comp. Phys.
1994. P. 399–406.
40. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления.
М.: Наука. 1978. 486 с.
41. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974.
376 с.
42. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издательство. 2009. 456 с.
43. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений.
М.: Наука, 1978. 591 с.
44. Чернышев С. Л. (ред.) Результаты фундаментальных исследований в прикладных задачах авиастроения М.: Наука, 2016. 511 с.
45. Беклемышева К. А., Васюков А. В., Петров И. Б. Численное моделирование динамических процессов в биомеханике сеточно-характеристическим
методом // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015., Т. 55, № 8. С. 96–106.
46. Мюррей Дж. Математическая биология. Т. 1. М.: Ижевск. 2001. 774 с.
47. Марчук Г. И. Методы расщепления. М.: Наука. 1988. 263 с.
48. Карпов В. Е., Лобанов А. И. Численные методы, алгоритмы и программы.
Введение в распараллеливание. М.: Физматкнига, 2014. 190 с.
49. Якобовский М. В. Введение в параллельные методы решения задач.
М.: МГУ, 2013. 327 с.
50. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986.
446 с.
51. Кукуджанов В. Н. Вычислительная механика сплошных сред. М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2008. 320 с.
52. Василевский Ю. В., Данилов А. А., Липников К. Н., Чугунов В. Н. Автоматизированные технологии построения неструктурированных расчетных
сеток. Т. IV. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016. 214 с. (Нелинейная вычислительная
механика прочности / Под общ. ред. В. А. Левина: в 5 т. Т. IV).
53. Марчук Г. И. Математические модели в иммунологии. М.: Наука, 1985.
239 с.
54. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.
М.: Наука, Физматлит, 1986. 287 с.
55. Petrov I. B., Favorskaya A. V., Favorskaya M. N. et al. Smart Modeling for
Engineering Systems. Springer, 2019. 346 p.
56. Паттерсон Дж., Гибсон А. Глубокое обучение с точки зрения практика.
М.: ДМК Пресс, 2018. 418 с.

24 / 35

Глава 2
НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Определение 2.1. Под функциональными пространствами
понимают пространства, элементами которых могут быть числовые последовательности или функции.

2.1. Метрические пространства



Определение 2.2. Назовем множество
метрическим пространством, если каждой паре его элементов , в соответствие поставлено число  , , (называемое расстоянием между элементами , , или метрикой пространства ), которое
удовлетворяет следующим аксиомам метрик:








 ,   , ;
 ,  0;
 ,    ,     , ;
 ,  0 при  

(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)

Соотношения (2.1), (2.3) называются аксиомами симметрии
и треугольника соответственно.
Определение 2.3. Величина

  

  , 

,







(2.5)

называется диаметром множества , где — подпространство
пространства , имеющее ту же метрику, что и . При этом
называется ограниченным, если  
, т. е.
элемент
 и постоянная
0 такие, что


 






 ,   для   
Сферой радиуса 
0 с центром в точке 0 назовем
множество, для которого выполняется  , 0  ; шаром —
для которого выполняется  , 0 
; замкнутым шаром —
 , 0  .

25 / 35

26

Гл. 2. Необходимые сведения из функционального анализа

2.2. Примеры метрических пространств

 



2.2.1. Положим
, где — множество всех вещественных чисел (числовая прямая); в этом случае

 ,    для ,   
2.2.2.   , где  — -мерное пространство вещественных векторов 
1 , . . . ,  ,  1 , . . . ,  , ,    .










В этом случае метрика может быть введена одним из следующих
равенств:
 ,   
,
(2.6)



 



 , 

=



 ,

(2.7)



 2 ,

(2.8)

1

 , 



=
1

причем каждая метрика порождает свое метрическое пространство. По этой причине правильнее было бы метрическое пространство обозначать как  , .
2.2.3. Для пространства  ограниченных числовых последовательностей
 1 , . . . ,  , . . . (для
0 такая,
что   
для
 определим расстояние между элементами , так:
 ,  

(2.9)




 










 

  



2.2.4. Метрику в пространстве Чебышëва  ,  непрерывных функций, заданных на отрезке  , , введем с помощью
равенства
 1, 2    1   2   ,
(2.10)


   
 , 

 
где 1 , 2    — множество всех непрерывных функций,
заданных на , .
Метрика в пространстве Чебышëва  ,  непрерывных




вместе с -ми производными функций вводится по формуле

 1, 2



   


0






1 
2 
 , 





,

1

  ,

(2.11)

где 1  , 2    — множество всех непрерывных функций
на  , , имеющих на  ,  непрерывные производные до -го порядка (
1) включительно.



26 / 35

27

2.2. Примеры метрических пространств

2.2.5. Рассмотрим пространства функций, интегрируемых
с первой и со второй степенью: 1  ,  и 2  , . Для них
вводятся метрики, соответственно:

 

 1, 2
 1, 2
   





 

1  2 ,

(2.12)

1  2 2 ,

(2.13)



— множество всех непрерывных функций
где 1  , 2   
на  , .
В случае пространства
 , , 1, функций, интегрируемых с -й степенью, имеем

  



 1, 2

1

1  2  



(2.14)

Для всех введенных метрик справедливы приведенные выше аксиомы.
назовем пределом бесконечОпределение 2.4. Точку 
ной последовательности     ,
1, 2, . . . (
  ,
),
если

  ,  0 при



 

 
 








(сходимость по расстоянию).
Можно доказать следующее утверждение: последовательность    метрического пространства сходится только к одному
пределу. Две метрики на множестве элементов 
называются эквивалентными, если сходимость по одной из них означает
сходимость и по другой.
Определение 2.5. Точка  ,
является внутренней
точкой множества , если
0 такое, что шар Æ  
.
Определение 2.6. Точка  является предельной точкой
множества , если существует последовательность   такая,
что 
Множество, полученное присоединением к
всех его предельных точек, называется замыканием множества , обозначается . Множество
называется замкнутым, если
;
называется открытым, если все его точки являмножество
ются внутренними. Окрестностью точки
называется любое
открытое множество , содержащее точку
 : например,
любой шар Æ  .



 

  
Æ
 










 

  












 

 

27 / 35

28

Гл. 2. Необходимые сведения из функционального анализа

Определение 2.7. Назовем расстоянием от точки
множества
число



 ,  





  , 



до

(2.15)

  называется элементом наилучшего прибли   , или экстремальным элементом, если
   ,  

Элемент
жения для



 

Это определение является самой общей постановкой задачи
о наилучшем приближении индивидуального элемента

фиксированным аппроксимирующим множеством .
Определение 2.8. Последовательность    
( — метрическое пространство) называется фундаментальной (или сходящейся в себе), если для
0
  такое, что   ,  
при ,
 .
Можно доказать следующие утверждения:
¯ любая фундаментальная последовательность является ограниченной;
¯ если последовательность    сходится к некоторому пределу , то она фундаментальна.
Определение 2.9. Метрическое пространство
называется
полным, если всякая фундаментальная последовательность в нем
имеет предел, принадлежащий этому пространству.
Рассмотренные выше пространства 1 ,  ,  , ,   , ,
1 , 2 — полные.
Определение 2.10. Множество 
называется компактным, если из последовательности      можно выделить
фундаментальную подпоследовательность.
Следствие. Всякое компактное множество ограничено.



  



 

  
 









    
 
 

 

2.3. Линейные пространства



Определение 2.11. Множество
называется линейным
пространством, если в нем определены две следующие
операции.
1. Каждым двум элементам ,  поставлен в соответствие
элемент     — сумма плюс .
2. Каждому элементу
 и скаляру в соответствие
 — произведение на элемент .
поставлен элемент

 

 



 
 







28 / 35

29

2.4. Примеры линейных пространств

При этом выполняются следующие аксиоматические свойства
и
,  :
суммы и произведения, справедливые для



 

     ;
         
Нулевой элемент 0  :
  0 ;
1 2 12 ;

(2.16)
(2.17)

коммутативность:
ассоциативность:

элементы 0 и 1:
дистрибутивность:

где

0

  1 ;

0,

      ;
1  2   1  2 ,

1, 2 — скаляры.
 также определяется противоположный элемент  ; при
  1 ;     1     1  1 1  0;
  0;      

В
этом:

2.4. Примеры линейных пространств
Линейными пространствами являются уже известные метрические пространства:

1,  ,  , ,  , , 1, 2, 1 , , 2 , ,  , 
Линейные пространства образуют также: полиномы ! 
степени не выше , прямоугольные матрицы  порядка   " .








Определение 2.12. Сумма вида

11     










называется линейной комбинацией элементов 1 , . . . ,  
( — скаляры).
Элементы
 , 1, . .. , , называются
линейно зависи



  


 ,  1, . . . , 
 


мыми, если

0 , такие, что

1








0



1

29 / 35

30

Гл. 2. Необходимые сведения из функционального анализа

Если последнее равенство выполняется только при условии
0,
1, . . . , , то элементы ,
1, . . . , , назовем линейно
независимыми.
Совокупность всех возможных линейных комбинаций ви
да
, где — некоторое множество в ) называ (  
ется линейной оболочкой множества , или линейным многообразием. Замкнутое линейное многообразие называется подпространством.
Определение 2.13. Линейное пространство называется конечномерным ( -мерным), если в нем система из
линейно
независимых элементов, линейная оболочка которых совпадает
с ; всякая линейно независимая система из элементов представляет базис в ; пространство, не являющееся конечномерным, — бесконечномерное.
Пусть   
базис в -мерном линейном пространстве; то1
гда
 представляется в виде







 

 





















 









#
1

Это представление называется разложением элемента по бази1, . . . , , —
су   1 ; разложение является единственным; ,
координаты элемента в базисе   1 .
Определение 2.14. Отрезком, соединяющим точки 1 , 2 ,
назовем совокупность всех точек таких, что





# 



 1  2 ,

 1



 

(2.18)

0 множество (2.18) называпри всевозможных  0, 1; при
ется лучом, исходящим из точки 1 .

в линейном проОпределение 2.15. Множество
 отрестранстве
называется выпуклым, если для
1, 2 
зок (2.18) принадлежит .











 



2.5. Линейные нормированные пространства



Определение 2.16. Линейное пространство
называется
нормированным, если на множестве его элементов 
определена вещественная функция — норма  , удовлетворяющая
следующим аксиомам для любых элементов , 
и постоянной :
  0;
        ;
(2.19а)
      ;





 




 
 

 
 

30 / 35

31

2.5. Линейные нормированные пространства








0 при 
0 при

0;
0

(2.19б)

(следствие третьей аксиомы).
В нормированном пространстве можно ввести расстояние
между элементами:
 ,  
,
(2.20)



 

т. е. любое нормированное пространство является метрическим;
следовательно, все определения, введенные для метрических
пространств, справедливы и для пространств нормированных.
Приведем примеры некоторых норм, аналогичных метрикам
(2.6)–(2.8), соответственно.
Нормы векторов в пространстве  :



1   , 1    ,
2
 ,


(2.21)

1


3
Нормы в пространстве





2 
1



:

  , 1    
(2.22)
В пространствах  , ,  ,  , ,   вводятся сле



дующие нормы соответственно:

  
 ;
 , 
    ;






 

0


 



0

где

  


$


  ;
 , 
   ,






   1 , . . . ,  
,
1  2  . . .  
1

(2.23)



2

0   ,

— мультииндекс (вектор) с целыми неотрицательными компонентами:
 1, . . . ,  ,  
,
0,

$

$

$

$

$

$

31 / 35

32

Гл. 2. Необходимые сведения из функционального анализа

или в

 , :






   
 , 
  , . . . , 
  
 , 
 , 
 , 








(2.24)

Нормы в

1 , , 2 , ,  ,  соответственно будут:
 

  ;

1

 



 2  ;

 



   

2



(2.25)

В пространстве полиномов








степени не выше
с формулой







0

 может быть введена норма в соответствии


 

 







(2.26)

0

Все эти нормы удовлетворяют введенным выше аксиомам.
Определение 2.17. Нормы  1 ,  2 назовем эквивалентными, если постоянные 1 0 и 2 0 такие, что для

выполняется
(2.27)
1  1   2  2  1 ;



%

 



%



 

 

в этом случае

если








2 1 2  1  1 12;
 в Æ1, то    и в Æ2, и обратно.

(2.28)




Можно показать, например, что введенные три нормы в пространствах  эквивалентны.



32 / 35

33

2.6. Банаховы и гильбертовы пространства

2.6. Банаховы и гильбертовы пространства
Определение 2.18. Полное линейное нормированное пространство называется банаховым ( ).
Поскольку пространства 1 ,  ,
 , ,   , , 1 , 2,
 ,  являются полными линейными нор1  , ,
2  , ,
мированными (следовательно, и метрическими) пространствами,
то они также являются и банаховыми пространствами.
В банаховом пространстве
определена линейная комбинация элементов ,
1, . . . , :

&
      

     
 



&



,
1

&

поскольку — линейное пространство.
Определение 2.19. Линейное вещественное пространство
называется евклидовым, если любой паре его элементов ,
поставлено в соответствие вещественное число ( , , называемое скалярным произведением, для которого справедливы
следующие аксиомы:



,  0, ,  0, если 
  ,  ,   , ;
,  , ;
,   , 

0;



(2.29)
(2.30)
(2.31)
(2.32)

Норма в нормированном евклидовом пространстве определена
следующим образом:





,  ;

для нее справедливо неравенство Коши–Буняковского:

,     

(2.33)



Определение 2.20. Комплексное линейное пространство
называется унитарным, если паре его элементов поставлено
в соответствие комплексное число  , , которое называется
скалярным произведением.
При этом выполняются аксиомы (2.27), (2.28) и аксиома
 ,   , ; здесь черта соответствует комплексно сопряженному числу.
Определение 2.21. Полное евклидово или полное унитарное
пространство называется гильбертовым ( ).
является линейным, нормированным, банаховым (следовательно, и метрическим) одновременно; для него справедливы





'



'

33 / 35

34

Гл. 2. Необходимые сведения из функционального анализа

все введенные выше определения, понятия и аксиомы для метрических, линейных, нормированных и банаховых пространств.
Определение 2.22. Система  ,
1, . . . , , элементов
гильбертового пространства называется ортонормированной,
если для
, справедливо равенство  ,  
 . Если в
элемента
 0, ортогонального всем , то такая система
называется полной.
Примерами гильбертовых пространств являются:

со скалярным произведением




 


"



Æ

'





, 

2 со скалярным произведением
, 

,
1

,
1

2 ,  со скалярным произведением
 ,  

     

В гильбертовом пространстве имеет место равенство параллелограмма

  2   2



2

2  2



,

поскольку

  2   2   ,        
,   2 ,   ,   ,  2 ,   , 

2 2   2 

2.7. Линейные операторы
Определение 2.23. Линейным отображением (или линейным оператором) линейного пространства
в линейное пространство
 
 называется
отображение, для любых
и постоянных ,  справеддвух элементов которого ,  
ливо
           
(2.34)

(
 (  



 

(     (   (  

Множество всех линейных отображений (операторов) обозначим  , .

) 

34 / 35

35

2.7. Линейные операторы

При естественном определении сложения элементов этого
множества
 1  2
1    2  ,

(

(  (  ( 

оно образует линейное пространство (или линейное пространство
операторов).
Пусть

— линейное отображение. Тогда множество элементов      0 называется ядром отображения :

     0
(2.35)

( 

(


  ( 
(   ( 

( 
(



Теорема 2.1. Для того чтобы отображение

было взаимно однозначным, необходимо и достаточно, чтобы
0.
его ядро состояло только из нулевого элемента 
Определение 2.24. Говорят, что два линейных пространства
изоморфны, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее алгебраические
операции, т. е. если  ,    , то:

   
      ,
  

Определение 2.25. Пусть оператор (или отображение)
, где , — два банаховых пространства, ставящий
элемент  , опредев соответствие каждому элементу 
лен на множестве    (область определения оператора ).
называется линейным, если   — линейОператор 
ное пространство:

 




 
  

 

 


 1  *2 1  *2
1, 2    и постоянных , *; если 

для
нулевой оператор.
При этом если



(2.36)
0, то

—

 ,    ,   + ,
(2.37)
то множество элементов + 
   ,  ,    
называется множеством значений оператора ;  — образом
элемента ,  — прообразом элемента  ; при этом +  есть
образ  : +   .
В пространстве  отображение   , где    , 1 —
квадратная матрица   , а ,  — векторы-столбцы из  ,
задает оператор .









Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

35 / 35

36

Гл. 2. Необходимые сведения из функционального анализа

Норма оператора задается следующим соотношением (при
этом оператор называется ограниченным):

,
 


(2.38)

    

(2.39)


откуда



 

Здесь (2.39) — согласованная, (2.38) — подчиненная норма оператора  .
; 
назовем операСуммой операторов 
тор, определенный для
 в соответствии с равенством



 &   
 
   &;



(2.40)

 будет
   &    &    &   ,
т. е.      & , с учетом (2.38) и (2.39).
Если   
 , &   , , то на множестве   опреде, — произведение операторов &
лен оператор  &;   
и , такой, что
 & & ;
 &  &     &     ,
(2.41)
   &   
 
  1 называется спектральным
Величина  
радиусом оператора ;   не зависит от выбора норм, причем
  Æ .
Определение 2.26 (действия с операторами в & -пространствах). Пусть , & — множествa линейных операторов в нормированном пространстве  ,  — банахово пространство, на котопри этом норма







ром определены операции

  &     &,   ;
  & ,  также будут линейными операторами,

тогда
т. е.
множество всех линейных операторов является линейным пространством, поскольку все соответствующие аксиомы для него
выполняются.
Теорема 2.2. Множество линейных операторов, определенных всюду в нормированном пространстве
со значениями в банаховом пространстве является нормированным
пространством.





1 / 35

37

2.8. Операторы в гильбертовом пространстве

)

Можно доказать, что это пространство  ,  является
банаховым.
Сходимостью последовательности операторов  в этом
пространстве, или равномерной сходимостью к оператору
называется сходимость по норме:














 0

    определены единичный
   , -  1, и степень

В пространстве операторов  0 ,
оператор такой, что
для
оператора  :

-

- 


   2   ; 3   2, . . . ,     1; 0 -
Тогда     и полиномы от операторов определяются








следующим образом:



 











;

(2.42)

0

Определяются функции от операторов: например,










0



1 называется обратным
Определение 2.27. Оператор
1
взаимно обратными, если 
к , а операторы и
1
и
, определенный на
 , принимающий значения в   такой, что:





 


При этом:

 

.

  

 1 ,    
 1 ,   . 

 1 - , & 

& 1   1

1

2.8. Операторы в гильбертовом пространстве
Определение 2.28. Оператор
оператору , если



Для



называется сопряженным

,   ' ,  ,  

,  выполняется

 ;

2 / 35

38

Гл. 2. Необходимые сведения из функционального анализа








оператор
называется кососимметрическим, если 
,

 ; оператор
и нормальным, если
представи́м
в виде суммы самосопряженного  и кососимметрического 
операторов:
   ,





  
 12   ,
 12  ,
кроме того: ,   , ,  , 



0.
Определение 2.29. Числовой радиус оператора
ется как число:
    ,  1, 





 

 определя-

 '


'
 
 
 
Æ  Æ
 '
 &  &
 & 0  &  0
Определение 2.31. Числа 1
 1,  и 2
 ,  называются границами оператора .

Определение 2.30. Оператор , действующий в
, называется положительным, если  ,  0; неотрицательным,
если  ,  0; положительно определенным, если  , 
 , , 0,  ; неравенство
(  ) означает:





1

2.9. Операторные уравнения
Линейные алгебраические уравнения, линейные интегральные уравнения, линейные дифференциальные уравнения, обыкновенные уравнения, уравнения в частных производных могут
быть записаны в операторном виде:

 ,
где  — линейный оператор,    ,    ,   )  ,  .

(2.43)

В этом случае решение (2.43) может быть также записано
в операторном виде:
1
(2.44)

  

Разумеется, здесь возникают вопросы существования, единственности, корректности и разработки методов решения, корректности задачи (2.43). Изучение свойств этого уравнения является одной из основных задач функционального анализа, создание

3 / 35

39

2.10. Производные Гато и Фреше

методов решения — одной из центральных проблем вычислительной математики, породившей широкий спектр численных
методов.
Определение 2.32. Если число и элемент 
такие,
( — оператор), то называется собственным элечто
ментом (собственной функцией) оператора , — собственным значением.
Определение 2.33. Пусть — линейный ограниченный опе1 (оба
ратор и обратный линейный ограниченный оператор
оператора определены в нормированных пространствах).
Тогда


1

  





 
 





*    





называется числом обусловленности оператора .
— полное метрическое проОпределение 2.34. Пусть
странство с метрикой  , ; ,  , 
; пусть в  задан
, переводящий множество  в себя (  
).
оператор
Элемент   называется неподвижной точкой отображения
(оператора) , если
 ,
(2.45)





 







  

т. е. неподвижная точка является решением (2.45).
Определение 2.35 (принцип сжимающих отображений).
Оператор
назовем сжимающим отображением (оператором
,   выполняется условие (условие
сжатия) в , если для
Липшица):
  ,      , ,
(2.46)



где


   

$  0, 1 — константа.

$ 

2.10. Производные Гато и Фреше

 ,  — два нормированных про (   . Если для , /   предел


Определение 2.36. Пусть
странства над полем 1 , 
(сходимость по норме ), т. е.

( , /










 0

0















,

то этот предел называется дифференциалом Гато (слабый дифв точке на приращении .
ференциал) оператора
Ограниченный оператор   , определяемый равенством

(


( 
( ; / (    /,

/

называется производной Гато (слабой производной) оператора
в точке .

(



4 / 35

40

Гл. 2. Необходимые сведения из функционального анализа


 
 
  
/ 
(   / (  /  00 , /,
где 00 , / — остаточный член, для которого верно соотношение
 , 
0
 
 0
Оператор ( называется сильно дифференцируемым, а линейная
часть приращения / — дифференциалом Фреше функции ( .

Определение 2.37. Пусть , — два вещественных банаховых пространства, 
— оператор, действующий из в .
Производной Фреше в точке 
назовем линейный опетакой, что для
 выполняется
ратор 

(  

0







2.11. Корректность задачи

 
 
 
 

 
 
 



Æ Æ
 
 
 Æ  

Задача поиска элемента
 в соответствии с данным
называется корректно поставоператорным уравнением
ленной по Адамару (или корректной), если:
1) для

решение  ;
2) это решение единственное в ;
3) решение
 уравнения
непрерывно зависит
от правой части 
(малые изменения в исходных данных
поставленной задачи, т. е. в , вызывают малые возмущения
решения ).
0
  такое, что для  ,   таких,
Или: для

, выполняется  , 
; ,  .
что  , 
Пример (корректная и некорректная задачи). Пусть




%  ,



0

2

2

— одномерное линейное однородное уравнение теплопроводности
при нулевых граничных условиях:

0, 

1, 

0



Решение этого уравнения представляется в виде ряда

 , 

$     


 1





где













,

2 2

2

,

— коэффициенты Фурье.

5 / 35

Список литературы

41

При
0 гармоники затухают (задача корректная); при
0
(обратная задача теплопроводности) гармоники растут неограниченно (задача некорректная).

Список литературы
1. Лебедев В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика.
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 296 с.
2. Ильин В. П. Численный анализ. Ч. 1. Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН,
2004. 334 с.
3. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика.
М.: Мир, 1969. 448 с.

6 / 35

Глава 3
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
(СЛАУ)
3.1. Число обусловленности СЛАУ
Рассматривается система линейных алгебраических уравнений вида:
,
(3.1)

 

 
  ,

где



 
   



1



..
.

1

..
.

2





(3.2)



  1 

— векторы-столбцы ( — искомое решение, — правая часть),
принадлежащие -мерному евклидову пространству  ,
       — квадратная матрица  ,    —
линейное нормированное пространство квадратных матриц.
Теорема 3.1 (Адамара о невырожденности матрицы). Матрица    является невырожденной, т. е.   0, если
для нее выполняется условие диагонального преобладания:




1 

 



 

 , 

1, 2, . . . ,



1,





Д о к а з а т е л ь с т в о (от противного). Пусть
денная матрица; в этом случае СЛАУ

— вырож-

 

имеет ненулевое решение

 1, . . . ,  ,


т. е.



 




Положим, что

0,



1

элемент



 






1, 2, . . . ,



такой, что

  

1



0



7 / 35

43

3.1. Число обусловленности СЛАУ

Для строки с номером

имеем:

 








1,


     



или

1



  



    ,













откуда

     

 ,











1



 







1



Однако последнее неравенство противоречит условию строгого
диагонального преобладания; следовательно матрица
невырождена.
Теорема 3.2 (Гершгорина). Все собственные значения матрицы    лежат в объединении кругов Гершгорина:

 

   



 , 

1, 2, . . . ,








1



Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим, что — собственное значение матрицы . В этом случае матрица

 вырожденная:
; 
 , где — собственный
и критерий Адамара для нее не выполняется, т. е.
вектор





     
где













 ,





1

   — диагональные элементы матрицы 
. Объединяя весь спектр собственных значений 

матрицы , получаем утверждение теоремы, которая дает простой, но очень приближенный способ нахождения границ спектра
матрицы.
В дальнейшем будем полагать, что   0, решение существует и единственно. Из линейной алгебры известно правило
Крамера нахождения решения (3.1). К сожалению, это правило
не применимо к системам линейных алгебраических уравнений
из-за очень больших затрат машинного времени. Поэтому для
численного решения реальных задач используются два типа методов: прямые и итерационные (или методы последовательных
приближений).

8 / 35

44

Гл. 3. Численные методы решения СЛАУ

С помощью прямых методов можно получить точное решение задачи за конечное количество арифметических действий
на идеальном компьютере (бесконечноразрядном), который, очевидно, не существует, поэтому численные решения всегда будут приближенными. Итерационные методы позволяют искать
решение системы как предел последовательности 
 

( — точное решение (3.1)).
Рассмотрим, в первую очередь, способы оценки погрешностей, образующихся при численном решении систем линейных
алгебраических уравнений. В функциональном анализе вводятся
нормы векторов в -мерном линейном векторном пространстве
(евклидово пространство  ):







 



1   ,


2

 ,

(3.4)

1



3

(3.3)



1



, 

2 ,
1

(3.5)

 

   в линейном
а также подчиненные им нормы матриц
пространстве матриц, в соответствии с равенством:
  
Ü

 

(3.6)



При помощи несложных алгебраических преобразований
можно получить эти нормы, в соответствии с (3.4):

 1
 2
 3


1

1







 ,

(3.7)

 ,

(3.8)





1






1

  

1





,

(3.9)

При этом в последнем случае для симметрической матрицы
справедливо
     ,
1





что можно показать самостоятельно.

9 / 35

45

3.2. Обусловленность СЛАУ

В качестве примера получим третью норму матрицы

 3

 
Ü







, 
, 



Ü







 






 


причем 
Ü
учтено, что

















  


1

2


 

2



достигается при



:









   ,  
1
1 







  ,  


1
1



1

 

Ü 








Ü



, 
, 



Ü







,





  





1



,











(3.10)

. При выводе (3.10)



1, . . . , ,

а также тот факт, что вещественная матрица 
является
симметрической, следовательно, имеет вещественных чисел
(
1, . . . , ) и базис из
собственных векторов
 
(
1, . . . , ).














3.2. Обусловленность СЛАУ

 и правая часть СЛАУ
  ; ,   
приращения
,    , соответственно, т. е.

Теорема 3.1. Пусть матрица





получают
решается СЛАУ вида


Пусть также




1

        


1 ,    0, 
1   0, 1
*  


*

  , — параметр обусловленности СЛАУ.
В таком случае справедливо неравенство
  

 1 




      
 





(3.11)
0,

*

(3.12)

10 / 35

46

Гл. 3. Численные методы решения СЛАУ

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (3.11) получаем



1

 



 ,

откуда, переходя к нормам, имеем


   



1

или


   



1





    

    
  1  



1

          






   ,

    

1
    


1





   


   

После несложных алгебраических преобразований получим неравенство (3.12).
Теорема доказана.
Отметим, что если положить

   ,

т. е. пренебречь малыми величинами, то (3.12) упростится:


   *      

 
 


или
где





Æ  * Æ  Æ ,
Æ  , Æ   , Æ




,

 
 


(3.13)

Во многих практически интересных случаях можно положить

Æ  ; тогда
где

* * 
1








1

Æ  *  Æ ,

  , причем * 1, поскольку
 

1 
  1    *




Можно показать, что для симметрической матрицы
ливо:
  


 


*



(3.14)
справед(3.15)

Параметр обусловленности СЛАУ является важнейшим показателем «чувствительности» ее решения при малых изменениях

11 / 35

3.3. Прямые методы численного решения СЛАУ

47

входных данных. Обусловленность СЛАУ — это ее свойство, существенно влияющее на точность ее численного решения, поскольку погрешности в задании входных всегда присутствуют
например, погрешности округления.

3.3. Прямые методы численного решения СЛАУ
Рассмотрим наиболее известные прямые методы численного
решения СЛАУ.
В случае если матрица
является верхнетреугольной:

   
             ,
11

12

0

22

0

...

...
...

1
2

(3.16)

0

то алгоритм решения задачи выглядит следующим образом. Из
1
последнего уравнения находится 
  , из предпоследнего  1 , затем  2 , . . . , 1 , причем каждое  вычисляется по
рекуррентной формуле
















1





 








1



  

(3.17)





Если же мы имеем матрицу общего вида, то представляется
целесообразным привести ее к верхнетреугольному виду (прямой
ход), затем вычислить компоненты вектора
в соответствии
с (3.17) — обратный ход. Этот алгоритм носит название метода
Гаусса.
Представим систему (3.1) в скалярном виде:



111  122  . . .  1  1,
211  222  . . .  2  2,
(3.18)
.

 .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
 11   22  . . .     
Предположим, что 11  0; тогда умножим первое уравнение на
21211
21 и сложим со вторым, затем первое уравнение
умножим на 31 211
31 и сложим с третьим, и т. д. до
-го уравнения, т. е. получим систему 1 1 следующего

вида:
111  122  . . .  1  1,



1222  . . .  12  11,
(3.19)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...



1 22  . . .  1   1 ,
1

 1  1; , " 2, . . . , .
где 1
1  1 ; 












































12 / 35

48

Гл. 3. Численные методы решения СЛАУ



Для (3.19) проводим аналогичную процедуру исключения 2
из всех уравнений, кроме первого и второго (прямой ход метода
Гаусса).
Продолжая аналогичным образом исключать 3 , 4 , . . ., полу1
чим СЛАУ вида  1
 , или

 

 









111  122  133  . . .  1 
1222  1233  . . .  12 
2333  . . .  23 














1,
21,
31,

(3.20)


... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...



 1
 1











,



решение которой находится по рекуррентной формуле (обратный
ход метода Гаусса)
!







 1


" 1












1





1





 1






(3.21)

Этот алгоритм легко реализуется, если так называемые ведущие
 1  0 или не являются малыми параметрами
элементы 
!  1
"
 1 . Количество арифметических действий прямого хода

метода Гаусса оценивается как  2 3 3 , обратного — как  2
С точки зрения матричной алгебры, метод Гаусса является
представлением матрицы общего вида
в виде произведения
двух матриц — нижнетреугольной и верхнетреугольной.
Сначала получаем СЛАУ вида





2 

1

затем



  1,

  2, . . . , 1  1,
1 ,  1 1 ; здесь 1     — элемен



2

причем 1
тарная треугольная матрица вида

1
2

2



   

                 ,
  
1

1
 21
 31

0
1
0



... ... ... 1

1

2 1

0
0
1

,

... 0
... 0
... 0

 2 21 ,

13 / 35

49

3.3. Прямые методы численного решения СЛАУ





                   , . . . ,

 

где:

2
 1

!



 1

1
0
0
0

0
1
 32
 42

0
0
1
0

0



0 ... ... 1

...

1 

"
1

2

0
0
0
1



,

0
0
0
0

 1

0
0
0
0



1  ,
 ; , , 1, . . . , 
 1

...

1 1 . . .  1
1
1 
   , где  — верхнетреугольная матрица вида (3.20):
откуда:





   


               ,



— нижнетреугольная матрица


 

               ,
11

12
1
22

0

а

...
...

1
1
2

0

...

0

1

1

21

0
1

31

32

0
0
1

... 0
... 0
... 0



1



2



(3.22)

(3.23)

... ... 1

представляется в виде произведения
Таким образом, матрица
верхнетреугольной и нижнетреугольной матриц и .
Однако существует стандартный метод разложения матрицы — метод
-разложения.
Представим систему (3.1) в виде





   ,

или





"



,
,



  ,
  ; , 1, . . . , , т. е. в виде двух СЛАУ
с нижнетреугольной и верхнетреугольной матрицами:

1 1,
211  2 2,

 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
 11  . . .   , 1 1  ,

  122  . . .  1  1,

 11 1
2,
22 2  . . .  2 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...


 ,
























(3.24)



14 / 35

50

Гл. 3. Численные методы решения СЛАУ

решения которых находятся по известным рекуррентным формулам (3.21). Коэффициенты  ,  находятся из системы линейных уравнений порядка  :


 

    
             
11

12

21

22

...
...

1

2

...

При этом:

11



   
                             
1

1
2

0
1

21

1

2

... 0
... 0

0

22

... ... 1

0

...

11

12

...
...

1
1

0

(3.25)

11 ,

12





12 ,

. ..;
1










1



0
0







  ";

,

1


1



1









,

 "



(3.26)

-разложение возКак известно из линейной алгебры, такое
можно, если главные миноры матрицы
отличны от нуля.
Количество арифметических действий в методе
-разложения оценивается как  2 3 .
Важным следствием этого метода являются случай симмет , которую можно представить в виде
рической матрицы
произведения нижнетреугольной матрицы на транспонированную, т. е. верхнетреугольную матрицу  :






 
                 ,
11

0

0
0

21

22

1

2

...
...

0
0



... ...

   
             
11

21

0

22

...
...

0

...

0

1
2

В этом случае СЛАУ представляется в виде

,



(3.27)

;



для ее решения требуется приблизительно  2 2 операций.
Алгоритм в этом случае аналогичен алгоритму, используемому в методе
-разложении. Коэффициенты  находятся
из СЛАУ:
,



    
             

или, в развернутом виде:
11

12

21

22

...
...

1

2

...

1
2



 
   
                          
11

0

21

22

...
...

1

2

...

0
0

11

21

0

22

...
...

0

...

0

1
2

15 / 35

51

3.4. Метод простых итераций (МПИ)

В результате получается СЛАУ, которая решается с помощью
рекурентных формул:

11 11 ,  1
#
22 212 ,  2

22

1
,  2, . . . , ;
11
2 1 2
,  3, . . . , ;
22

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
#













1 2
2

2



 1 1 2 2




...



,
2



(3.28)
1

,

,1 ,1

...

 1, . . . , 

,

Этот метод называется методом квадратного корня, или методом Холецкого.

3.4. Метод простых итераций (МПИ)
Метод простых итераций получается путем приведения системы линейных алгебраических уравнений

 
к виду





&

$



(3.29)
,

(3.30)

где , ,  (банаховы, т. е. полные линейные нормированные
пространства), , $ 
  , и введением итерационных индексов (они могут быть как нижними, так и верхними):

1 

 1


$

 


,

0



(3.31)

Решение
(3.30) вычисляется как предел последователь&
% системы

, где
— точное решение рассматриваемой
ности



СЛАУ. При этом   & и   & , т. е. итерационные процессы








рассматриваются в банаховых либо в гильбертовых пространствах, поскольку в этих процессах важным свойством пространства является его полнота (т. е. всякая фундаментальная последовательность в таком пространстве имеет предел, принадлежащий этому пространству).
Примерами такого итерационного процесса являются методы
Якоби и Зейделя. В этом случае матрица
представляется

16 / 35

52

Гл. 3. Численные методы решения СЛАУ

в виде суммы трех матриц — нижнетреугольной
и верхнетреугольной :
ной





, диагональ-

   ,

(3.32)

а рассматриваемая система принимает вид

      

(3.33)

Итерационный метод Якоби имеет вид

   1  


откуда следует



 1

,



(3.34)

 1       1 ,





а матрица $ и правая часть
соответственно в виде:

в этом случае представляются

 1   ,

$

(3.35)

 1 

(3.36)

Скалярная форма итерационного процесса Якоби может быть
представлена следующим образом:

1 1 111!!122  133  . . .  1  1"",
2 1 221 211  233  . . .  2  2 ,
. . . . . . . . . . . . . . . !. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1  1  11   22  . . .   , 1 1 
01 1, . . . , 0  ;
0, 1, . . . 





































"

,







Полученный итерационный процесс можно представить в виде (3.31), положив





$



0




21
22
1

12

...

11



0

23

... 
... 

1
11
2

22

...

...

22

...

0



,



 
 ,
1

..
.






1
11

..
.

1









Этот итерационный процесс, также можно получить, учитывая,
1 являются величичто элементами диагональной матрицы
1
ны  .
Итерационный процесс Зейделя получается из метода Якоби,
если итерационный индекс (  1) получат неизвестные при
нижнетреугольной матрице :





 1   1 1    ,
   1      1  ;


или

 1








(3.37)

17 / 35

53

3.5. Сходимость итерационного процесса

при этом матрица $ и правая часть

   1 ,

$

( будут иметь вид:
   1  

Скалярная форма метода Зейделя имеет следующий вид:

1 1 111 !!122  13  . . .  1  1", "
2 1 221 !211 1  233  . . .  2  2 ,
 1  1  11 1   22 1  . . .   , 1 11  ",
01 1, . . . , 0  ;
0, 1, . . .
(3.38)














































Обобщением метода Зейделя является метод релаксации
( — итерационный параметр, позволяющий ускорять итерационный процесс):
1 

3

3   

1

 







Доказано, что итерационный метод сходится к решению СЛАУ,
если матрица симметрическая и положительно определенная, а также 0
2, причем при 0
1 этот итерационный процесс,
называющийся методом нижней релаксации, не используется
в практических вычислениях, в отличие от случая 1
2—
метода верхней релаксации. Для этого метода получим

3

3

3

 1


3    1 1 3    3    3 3   1  


3.5. Сходимость итерационного процесса
После построения численного итерационного метода необходимо доказать, что он сходится к точному решению СЛАУ
при
, и найти условия сходимости.
Достаточное условие сходимости итерационного процесса
(в методе простых итераций) дает следующая теорема.
Теорема 3.4. Последовательность   ,
0, 1, . . ., порожденная итерационным процессом



 1 $   ,
 системы линейных
 $ 


сходится к решению
уравнений



алгебраических

со скоростью геометрической прогрессии, если выполняется
условие
 
$
1
 



18 / 35

54

Гл. 3. Численные методы решения СЛАУ

Д о к а з а т е л ь с т в о. Вычитая из итерационного уравнения (3.31) равенство
$  ,



получим:







или:





$





!





1

",

$  1 ,


— итерационная разность -го приближения
где 
и точного решения системы.
Далее, построив цепочку неравенств, получим следующую
оценку:

 

    $    

 

1



&


 0
 



 0


 ,

1, то

из которой видно, что если 0
%



...

1

,

0, 1, . . .



Из последнего неравенства получим:

 



0,

(3.39)

откуда следует оценка количества итераций, требуемого для
обеспечения точности решения :








0



(3.40)

В теории итерационных методов доказывается следующая важная теорема о критерии сходимости метода простой итерации.
Теорема 3.5. Для сходимости итерационного процесса

 1

$



 


необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы $ были по абсолютной величине строго меньше единицы.
Если сопоставить количества арифметических действий,
необходимые для получения численного решения СЛАУ методом
Гаусса:  2 3 3 , где
— количество уравнений в системе,
и методом простых итераций:  2 2  , где — количество
итераций, то окажется, что при

2 



 -

-

-

3

19 / 35

55

3.5. Сходимость итерационного процесса

метод итераций становится более эффективным. В реальных
задачах это условие в основном выполняется, и бóльшая часть
задач решается итерационными методами.
Следует также заметить, что возможна ситуация, при которой критерий сходимости выполняется, а численное решение
возрастает по модулю. Этот эффект не вызван неустойчивостью,
поскольку решение сначала возрастает, а затем стремится к точному. Связано это явление с тем, что при выполнении критерия
сходимости достаточное
условие сходимости может не выпол
$


няться, т. е.
1.
Проведем оценку влияния ошибки округления на результаты
численного решения СЛАУ.
Представим реальный вычислительный процесс в виде
где








$




Æ — суммарная



;





получим:






погрешность округления на -й итерации,
— реальное «машинное» значение  .
Вычитая из этого уравнения итерационное соотношение
$






 1 Æ




 










2  2







 1


 2












,



 Æ  


1

 Æ

  Æ

 1




1

 !



1

 0


"
 1





...

 ... 

;



0 
1, . . . ,



Понятно, что так как начальное

приближение задается с макси0
мальной точностью, то  0
0; положим также









Æ  Æ 

и оценим сумму полученной геометрической прогрессии:


 1
Æ








  Æ


1

1





Мы получили важный результат: при 0
1 погрешность не
зависит от количества итераций.
Итерационный процесс (3.31) также можно представить
в виде
1

  ,
(3.41)
где
$
,
,



 3  3
 3
3

3 — итерационный параметр, используемый для его ускорения.

20 / 35

56

Гл. 3. Численные методы решения СЛАУ

Двухслойные итерационные процессы (методы), в которых
нужно помнить результаты только одной итерации, представляются в каноническом виде:
1    , 0 ,
0, 1, . . .
(3.42)
1
1





 





Здесь 1 — обратимая матрица, задающая итерационный метод, 1 — итерационный параметр, вообще говоря, зависящий
от номера итерации.
Оператор
1 иногда называют предобусловливателем
СЛАУ; он должен относительно просто вычисляться; тогда (3.42)
можно представить в виде:

3



 1   3 1 1 1 











— это семейство итерационных методов, зависящих от выбора
итерационного параметра  и матрицы 1 1 , что можно использовать для ускорения итерационного процесса.
При 1
метод называется явным, в противном случае — неявным; стационарным, если 1 и 1 не зависят от
номера итерации , и нестационарным в противном случае.
Теорема 3.6. (достаточное условие сходимости итерационного процесса Якоби). Итерационный процесс Якоби сходится к решению системы линейных уравнений
при
выполнении условия диагонального преобладания:



3







3

 



 


 , "

1, . . . ,



 1
 



(3.43)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если условие диагонального преобладания выполняется, то в любой строке матрицы


     
   

  
  
   
                                              


0

$





21
1

12

11

0

22






13

11

23

22

...

2

...
...

... 




,

1

11

2

22

1

сумма модулей элементов матрицы меньше единицы, так как из

 





 


 1
 

21 / 35

57

3.5. Сходимость итерационного процесса

следует


 1
 




1



т. е. одна из норм матрицы $ меньше 1. При этом достаточное
условие сходимости выполняется. Критерий сходимости метода
Якоби дается следующий теоремой.
Теорема 3.7. Для того чтобы итерационный процесс Якоби сходился к решению соответствующей СЛАУ, необходимо
и достаточно, чтобы все корни уравнения

  . . .  
  11 12 . . . 1 
  21      22        2 
 1 . . . . . .  

0

были по модулю меньше единицы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что все корни этого уравнения являются собственными числами матрицы

   

$

Если — собственный вектор $ , соответствующий собственно1  
му значению , то: $
, или
, откуда
следует
    0





 









Эта система линейных алгебраических уравнений имеет нетривиальные решения, если

     

0,


 



1    — это
т. е. собственные значения матрицы $
 0, которые
корни полученного уравнения    
должны быть по модулю меньше единицы, в соответствии с критерием сходимости итерационного процесса (МПИ).
Теорема 3.8. Для того чтобы итерационный процесс Зейделя сходился к решению соответствующей СЛАУ, необходимо и достаточно, чтобы корни уравнения

   . . .  
 11 12 . . . 1 
  21     22        2 
1 . . . . . .  

0

были по модулю меньше единицы.

22 / 35

58

Гл. 3. Численные методы решения СЛАУ

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что корни этого уравнения
являются собственными значениями матрицы $ . Из $
следует
  1
,









поскольку в итерационном методе Зейделя $
; тогда СЛАУ



    

0



   

 

   0,
имеет нетривиальное решение, если  
т. е. корни этого уравнения должны быть по модулю меньше
единицы, в соответствии с критерием сходимости Зейделя.
Теорема 3.9 (сходимость метода Зейделя). Если в СЛАУ

1 

 ; ,   



матрица
    — нормальная, то итерационный меназывается нортод Зейделя сходится (система
мальной, если матрица — симметрическая и положительно
определенная).
Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы сводится к проверке

того, что из положительной определенности матрицы
   следует выполнение критерия сходимости МПИ (все
   1  меньше едисобственные значения матрицы $
ницы по модулю).
Отметим, что любая СЛАУ вида

 





 

может быть симметризована умножением обеих частей на матрицу  (симметризация по Гауссу):





 

(3.44)

Эта система является нормальной (что доказывается в курсе
линейной алгебры), поэтому для ее решения можно использовать
метод Зейделя.

3.6. Итерационные вариационные методы
последовательных приближений (итераций)
численного решения СЛАУ
Рассмотрим квадратичную функцию (функционал) вида:

(   , 

   %,

2 ,

(3.45)

23 / 35

59

3.6. Итерационные вариационные методы

 '

%

для которого , 
(гильбертово пространство), — скаляр,
— линейный оператор, действующий в гильбертовом пространстве.
Поскольку

 ,   ,  , ,
то (  совпадает с функцией  
 ,  2   %,
т. е. без ограничения общности мы будем полагать, что опера ; поскольку (  можно представить
тор симметричен:
в виде:

( 





2



, 

   %

2 ,

Покажем, что задачи решения СЛАУ и минимизации рассматриваемой квадратичной функции эквивалентны.
Теорема 3.10. Пусть оператор
симметричен и положи 0). Тогда единственный элетельно определен (
мент  , доставляющий минимум квадратичной функции

 '

(   , 

   %

2 ,

и являющийся решением системы линейных алгебраических
уравнений
(3.46)

 



— решение систеД о к а з а т е л ь с т в о. Положим, что
мы (3.46).
В этом случае будет справедливо следующее неравенство
( — приращение к ):




(       ,    2  ,     %
 ,    ,    ,    ,  2  ,     %
(   2  ,  2  ,    , 
(   2    ,    ,  (    ,  ( ,

поскольку

   , 

0



Теперь докажем обратное: пусть



  Ü ( ,


доставляет минимум квадратичной функции
т. е.
ком случае является решением СЛАУ вида



( ; в та-

 

24 / 35

60

Гл. 3. Численные методы решения СЛАУ

Если это условие выполняется, т. е.

  Ü

,



то:

 ( 

или:

  , 

откуда:

 ( 

2



0,

   %

2 ,



2



0,

 

2

0,

также является решением системы линейт. е. в этом случае
ных алгебраических уравнений

 

Теорема доказана.
можно замеЭто значит, что задачу решения СЛАУ
нить на задачу о нахождении минимума квадратичной функции

 

(   , 

   %,

2 ,

и наоборот.
Представим методы градиентного и наискорейшего спуска
для решения системы линейных алгебраических уравнений.

 ,



для чего рассмотрим функцию

(   , 

0,

   %

2 ,

и итерационный процесс для нахождения ее минимума:

   

 1 


В нашем случае
поэтому



( 

2

 ( 

 1 

2

  ,

3    
Найдем 3 из условия минимума (  по 3 :
(  3 ,  1   1,  1    1,  1








2

(3.48)











 1,  1








  1

2 ,



(3.47)



2



   1 
  1

2 ,
,
1

все производные в этом выражении берутся по

3







0;

.

25 / 35

61

3.6. Итерационные вариационные методы

Далее:

  1  ,  1    1  ,   
  3      ,   
   ,    3     , 
















3

откуда получим выражение

3





















0,

:

  ,  
  ,  










 , 
 , 









,

(3.49)


— невязка.

Этот метод называется методом наискорейшего спуска.
Метод минимальных невязок состоит в минимизации функции  1 ,  1 , где

где

1

 1  ;

,  ,   ' ,

;





с целью вычисления итерационного параметра в итерационном
процессе
(3.50)
1

 





3 

Для этого вычтем из равенства

 1 

1
равенство







получим уравнение



;

 1  

1 



3 







,

которое после возведения в квадрат, в смысле скалярного произведения, будет иметь вид





1 , 1 

 ,  


2



3   ,    3 2   ,  ,












откуда






1 , 1 

 ,    23   ,  

2

Из этого выражения получим формулу для определения итерационного параметра

3







 , 
 , 






(3.51)

26 / 35

62

Гл. 3. Численные методы решения СЛАУ

В качестве примера построения итерационных процессов
Якоби, Зейделя, верхней релаксации рассмотрим СЛАУ вида


  2
2

или





,

1,
1,

 ,
1
1 ,

2 1
1 2



Метод Якоби для этой системы имеет вид




 1

  1

1
2
1
2





или

  12 ,
 12 , 0, 0 , ,




 1


где

$

$

  ,


0
12
12
0



Метод Зейделя и верхней релаксации могут быть представлены в следующих видах соответственно:







 1

  1




 1  1
  1
1




  12 ,
 1 12 ;
3    2 1  ,
3   2 1   
1
2
1
2













Список литературы
1. Рябенький В. С. Введение в вычислительную математику. М.: ФИЗМАТЛИТ,
2008. 288 с.
2. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы.
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. 622 с.
3. Воеводин В. В. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Наука,
1977. 304 с.
4. Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике.
М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. 522 с.

27 / 35

Список литературы

63

Дополнительная литература
5. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. 548 с.
6. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. СПб.: Лань, 2002. 736 с.
7. Коновалов А. Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры.
Новосибирск: Наука, 1993. 158 с.
8. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения.
М.: Мир, 2001. 429 с.
9. Аристова Е. Н., Завьялова Н. А., Лобанов А. И. Практические занятия по
вычислительной математике. Ч. I. М.: МФТИ, 2014. 242 с.
10. Демченко В. В. (ред.). Упражнения и задачи контрольных работ по вычислительной математике. М.: МФТИ, 2017. 203 с.
11. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. 2nd Ed. Philadelphia:
Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003. 547 p.

28 / 35

Глава 4
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
(АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ).
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (МНК)
4.1. Постановка задачи
Определение 4.1. Обобщенным полиномом называется линейная комбинация следующего вида:

! 


0



40   . . .  4 


4  

4 ,



(4.1)

0



 , 0, . . . , , — система базисных функций, обладаюгде
щих необходимыми свойствами гладкости.
Требуется приближенно заменить (аппроксимировать) заданную функцию   полиномом
   так, чтобы отклонение   от    было наименьшим, в некотором заданном
смысле, что достигается путем соответствующего выбора коэффициентов 0 , . . . ,  . При этом    называется аппроксимирующим полиномом, может принадлежать как непрерывному
отрезку  , , так и точечному множеству


! 



! 

! 




5





/, /   2,



0



В вычислительной практике часто используются в качестве базисных степенные или тригонометрические функции:




Если рассматривается точечное множество  


,  ,

;

0, . . . ,


  0

и выполняется условие, представляющее собой систему линейных алгебраических уравнений:

!     ,








0, . . . , ,

т. е. в узловых точках значения аппроксимируемой функции
и аппроксимирующего полинома наинизшей возможной степени
совпадают, то решается задача интерполяции.

29 / 35

65

4.1. Постановка задачи

В случае определения коэффициентов обобщенного полинома    из решения задачи минимизации функции (квадратичного отклонения) на точечном множестве   
 0:

! 





6

!     2









(4.2)



0

приходим к задаче об аппроксимации функции методом наименьших квадратов; при этом количество разбиений рассматриваемого отрезка превышает степень полинома   .
Если мы хотим приблизить непрерывную функцию   на
отрезке  ,  обобщенным полиномом    (4.1), то коэф0, . . . , , подбираются из условия минимума
фициенты  ,
квадратичного отклонения:



6



! 
! 





!    
2





 

2

4    ;

(4.3)

0

что, в случае (4.2), в соответствии с МНК, минимум достигается
к нулю:
путем приравнивания частных производных  по




0,



0, . . . ,

;

6

(4.4)

в результате получаем систему линейных алгебраических уравнений порядка .
Определение 4.2. Среднеквадратичное отклонение функции    от   на отрезке  ,  определим как величину




! 

6



1

 



  ! 2  ;


! 

 

на множестве

   !  2 

(4.6)

среднеквадратичное отклонение
 1 , . . . ,   имеет вид
точек







6







1

(4.5)



от



1

Формулу (4.5) можно рассматривать как предельный слу.
чай (4.6) при
Во многих случаях при обработке результатов численных,
лабораторных или натурных экспериментов квадратичное или
среднеквадратичное приближение оказывается вполне приемлемым.
Однако в некоторых случаях, при более жестких требованиях



30 / 35

66

Гл. 4. Приближение функций. Метод наименьших квадратов (МНК)

 

! 

к аппроксимации функции   полиномом   , пользуются
другой оценкой погрешности, называемой абсолютным отклонением:
      
(4.7)

6

 , 



  ! 
! 
! 
 

Определение 4.3. Полином   , доставляющий минимум
невязке (4.7), называется полиномом наилучшего приближения.
Если обобщенный полином    аппроксимирует функцию   на системе точек
 1 , . . . ,  , то погрешность
(абсолютное отклонение) определяется следующим образом:

 

6



    !  







1  

(4.8)



Таким образом, задача о наилучшем приближении функции   обобщенным полиномом    состоит в нахождении
0, . . . , , полинома, при которых великоэффициентов  , 
чина  будет минимальной. При выборе  в виде (4.5), (4.6)
имеем задачу о наилучшем среднеквадратичном приближении,
при выборе  в виде (4.7), (4.8) — о наилучшем равномерном
приближении.

 
6

! 



6

6

4.2. Существование и единственность полинома
наилучшего приближения
Теорема 4.1 (существование и единственность обобщенного
).
полинома наилучшего равномерного приближения для
Пусть     , . Тогда на  ,  существует единственный обобщенный полином наилучшего равномерного прибли-

 



! 

жения $  






4 :

$

0

!$  


4









    !  
   , 

 





Теорема 4.2 (Чебышëва об альтернансе). Пусть функция   непрерывна на отрезке  , , содержащем не менее
  2 точек. В этом случае среди полиномов степени не
полином
выше
   является полиномом наилучшего
равномерного приближения для непрерывной функции  
на данном отрезке тогда и только тогда, когда на  , 
система из по крайней мере   2 точек:








! 

70 71



...




7



 1

(4.9)

31 / 35

67

4.2. Полином наилучшего приближения

(называемых чебышëвским альтернансом), таких, что разность

  ! 


поочередно принимает в них наибольшие по модулю положительные и отрицательные значения
и
, где

1 1

  ! 
 , 

1





Эта теорема говорит о том, что максимальная ошибка аппроксимации функции многочленом наилучшего приближения реализуется в числе точек, на 2 большем, чем степень многочлена при
чередовании знаков [2].
В простейшем случае для    2 ,  0, 2 , полином
3-й степени наилучшего равномерного приближения имеет вид





!3 

8

0,

так как в этом случае на всем рассматриваемом отрезке
разность

1 
 2 1 0,
 , 
  !   2




принимает последовательные значения
0,

2

,

8,

8

1 в пяти точках:

8

3
,
2

2 ,

которые для данного примера являются чебышëвским альтернансом.
Теперь приведем полную постановку задачи о наилучшем
приближении функций, предложенной в работах П. Л. Чебышëва
и являющейся одной из основных в функциональном анализе.
Задача о наилучшем приближении элемента 
аппроксимирующим множеством ( — метрическое пространство с метрикой  , , ,  — элементы ,
 состоит в определении функционала

  

 

 

  

+ , ,    , 



  , ,

(4.10)

 

представляющего собой расстояние между элементом
и множеством
(наилучшее приближение). Элемент
для которого выполняется

 



+ , ,    , ,

 , есть элемент наилучшего приближения для
тремальный элемент):
    , 


 

 


 ,
(4.11)

 (или экс-

(4.12)

32 / 35

68

Гл. 4. Приближение функций. Метод наименьших квадратов (МНК)

 

Определение 4.4. Множество
, обладающее тем свойством, что для
 в нем всегда существует элемент 
наилучшего приближения, называется множеством существования (или чебышëвским множеством, если этот элемент единственен). В случае чебышëвского множества любому 
соответствует ближайший к нему элемент  .
Задача наилучшего приближения в линейном нормированном
пространстве формулируется следующим образом.

Пусть
— -мерное линейное пространство с нормой  , образованное системой линейно независимых элементов

0, . . . ,  

 



 







4

4

 

Среди всевозможных линейных комбинаций вида

!

40  . . .  4
требуется найти элемент 4   , который наименее уклоняется
от аппроксимируемой функции    , т. е. доставляет минимум
величине
 4
   4 




0











 

Совокупность всех таких линейных комбинаций называется линейной оболочкой системы линейно независимых элементов   , или линейным многообразием.
Достаточным условием единственности элемента наилучшего приближения является строгая нормированность пространства , т. е.        , что достигается только тогда,
когда
,
0. В функциональном анализе доказывается,
что гильбертово пространство
является строго нормированным.
Теорема 4.3. Пусть — замкнутое выпуклое множество
В этом случае
в гильбертовом пространстве ;  , 
единственный элемент  такой, что

4


 9
 $9 $



9
'



'  2   '

 ,    


Иными словами, множество должно содержать все свои предельные точки, т. е. быть полным, причем отрезок, соединяющий две точки 1  и 2  , должен целиком входить в ,
т. е.
 0, 1
 2 .
1  1
 , ,  — множество поЕсли функции    ,
линомов степени не выше :

$

   
 $
$ '
    


! ; ! 













'





,

0

33 / 35

69

4.3. Сходимость полинома наилучшего приближения

то можно доказать существование и единственность экстремального полинома    — полинома наилучшего приближения для
функции  . Нахождение такого полинома представляет собой
довольно сложную задачу.
Пусть
  ,
, , где 2 — пространство
2
функций, интегрируемых с квадратом;  — множество тригонометрических полиномов   , степени не выше :


 

! 

 

! ; ! 



88

! 

'

















    




(

 



0

! 

 


В этом случае экстремальным полиномом   , или полиномом, наименее (в среднем) отклоняющимся от  , является
тригонометрический полином, коэффициенты  ,  которого
являются коэффициентами Фурье функции  :

0 28



1

  ; 



8







8



1

    ;




1

 

 ;

1, . . . ,





Теорема 4.4 [1, гл. 2]. Пусть в гильбертовом пространзаданы множество и точка  ; расстояние от
стве
до есть
 ,  

,
 
(4.13)

 '

 
   
Тогда выпуклое замкнутое множество  в ' является множеством существования и единственности, или чебышëвским
множеством ( — проекция элемента  
2  на ).


'


 

 

4.3. Сходимость полинома наилучшего приближения
Если проблема существования и единственности полинома
наилучшего приближения решена, то встает вопрос о его сходимости к аппроксимируемой функции   при определенных
предположениях о ее гладкости. В случае, когда базисные функции    являются степенными, ответ на этот вопрос дает
следующая теорема функционального анализа.



4

34 / 35

70

Гл. 4. Приближение функций. Метод наименьших квадратов (МНК)

Теорема 4.5 (Вейерштрасса). Если аппроксимируемая функция     , , то для
0 полином    (т. е.
и ,
0, . . . , ) такой, что для
  ,  выполняется


 






! 

 
  !  





Существуют и более точные оценки наилучших равномерных
приближений, требующие определенной степени гладкости  .
Теорема 4.6. Если аппроксимируемая функция   непрерывна на отрезке  1, 1 и имеет непрерывную производную
  , удовлетворяющую условию Липшица:









       , ,    1, 1,
алгебраический полином   порядка не выше  та





то
кой, что











1

! 








1 
1 ,
 1 

1 




1



— не зависящая от , , константа, — постоянная
где
Липшица [2].
Примером полиномов наилучшего приближения являются полиномы Чебышëва первого рода, наименее уклоняющиеся от
функции   0, поскольку нормированный полином



: 

2



 1 

   

имеет коэффициент при старшей производной, равный единице,
1
а на отрезке  1, 1 он имеет экстремальные значения  1 ,
2
достигаемые в точках







1





,

0, . . . ,



4.4. Полиномы Бернштейна
Прикладной интерес также представляют полиномы Бернштейна, имеющие вид:

& 









 

  1 





0





 




 

& , ,


0

  0, 1,
& ,  — базисный полином Бернштейна -го порядка.







,



Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

35 / 35

71

4.4. Полиномы Бернштейна

Преобразование

 1  ,   0, 1,
переводит единичный отрезок в отрезок , ; тогда


& ,  , ,  & ,    1       









 

(4.14)

При этом имеет место
Теорема 4.7. Если аппроксимируемая функция
резке  1, 1 удовлетворяет условию Липшица:

  на от-

       ,

то имеет место оценка

  &   2 


Эта теорема устанавливает факт равномерной сходимости
в случае слабых требоваполиномов Бернштейна при
ний к гладкости  . Также показывается, что данная оценка
неулучшаема.
Теорема 4.8. Если функция   имеет всюду на отрезке 0, 1 непрерывную производную -го порядка   , то









&   сходится равномерно к   .





Отметим еще одно свойство полинома Бернштейна: он реализует разложение единицы
1



1   



& , 



  1 







0



 





0

Кроме того, имеет место реккурентное соотношение

& ,  &

 1,



  1  &

 1,



Для задач построения поверхностей и кривых с заданными
свойствами широко используются кривые Безье, представляющие собой специальную форму записи полиномов Бернштейна:

&  , 


&





 & , ,







0



где ,   — базисные полиномы Бернштейна,
ные коэффициенты.





— веществен-

1 / 35

72

Гл. 4. Приближение функций. Метод наименьших квадратов (МНК)

4.5. Аппроксимация тригонометрическими
полиномами
Данный подход позволяет аппроксимировать непрерывные
периодические функции периодическими полиномами вида

:  0 





    






,

1

осуществляющими равномерное приближение непрерывной периодической функции  .
Теорема 4.9 (вторая теорема Вейерштрасса). Если   —
непрерывная периодическая функция с периодом 2 , то для
0 тригонометрический полином    такой, что для
  ,  имеет место неравенство






: 

8



  :  


Иными словами, непрерывная периодическая функция периода 2 может быть представлена как предел равномерно сходящейся последовательности тригонометрических полиномов.
Теорема 4.10 (Джексона). Если непрерывная периодическая
функция   с периодом 2 имеет производную -го порядка,
удовлетворяющую условию Липшица, то тригонометрический полином    порядка не более такой, что
1
       1  ,

8



8

: 

 : 
где  — константа Липшица, 1 не зависит от , , .
4.6. Метод наименьших квадратов

Аппроксимацию функций можно реализовывать и в других
функциональных пространствах; наиболее удобным в прикладных задачах оказалось пространство 2  ,  функций, интегрируемых с квадратом и некоторым весом  , с нормой

 


 

2



   2   

(4.15)

В этом пространстве определены скалярное произведение

1, 2 

  1  2  

2 / 35

73

4.6. Метод наименьших квадратов

и норма

 2

 ,  ,

2

поэтому оно является гильбертовым.
Важной прикладной задачей является аппроксимация функции   по известным ее значениям 
   в точках  ;
0, . . . , .
В этом случае отклонение определяется суммой



-









  

 

 









!  2




0





  , 






 

!



; (4.16)



  0,
  0 — векторы   1-мерного пропри этом
странства, а скалярное произведение определяется как сумма
, 








 

0

!

Построение наилучшего квадратичного приближения
на системе   1 линейно независимых элементов   0  2 реализуется путем решения задачи о минимизации функционала
невязки






  ,




4



0



0



2

которая сводится к решению системы линейных алгебраических
уравнений относительно
следующего вида:














0



,







0,

0, . . . ,



0

Можно показать, что вторые производные полученного функционала по  положительны, т. е. последнее равенство обеспечивает минимум функционала.
В результате получается система вида



 $ ,

где

 0, . . . ,  ,
$
  , 0,  , 1 , . . . ,  ,  




3 / 35

74

Гл. 4. Приближение функций. Метод наименьших квадратов (МНК)

   
  

— векторы-столбцы,



%!

 , 

0,

"&

0,

 ,  
 ,  

 ,  

0
1


0, 

1

0

1

1

1

 ,  
 ,  

 ,  

...
...

...

0
1




— матрица Грама, симметрическая и положительно определенная;
!
!

 , 

 , 

"



4    4  ,






"



0

— скалярные произведения.
Этот метод называется методом наименьших квадратов.
Он используется также для решения переопределенных систем
линейных алгебраических уравнений вида

  
 
(4.17)
 
  
 ,  1, . . . ,     ,  1, . . . ,     ,
где  и  — линейные векторные нормированные простран'

11 1  . . .  1 
1,
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
,
1 1  . . .   












ства со скалярными произведениями вида

, 
и

, 



, 



 — весовая матрица.

,







 



1

 

0;

,  



,

Перепишем систему (4.17) в более удобном виде:

 ,

11 . . . 1

 1 ...  



К такой системе может привести, например, задача о приближении таблично заданной функции   0 степенным полиномом
-й степени. Например, для приближения функции, заданной
тремя точками, полиномом первой степени, получим систему





111  122 1 








21 1
22 2
2


311  322 3



4 / 35

75

4.6. Метод наименьших квадратов

Определим обобщенное решение полученной системы как элемент гильбертова пространства, доставляющий наименьшее значение функционалу

0     ,    


Теорема 4.11 [1]. Пусть столбцы матрицы
линейных алгебраических уравнений

 

системы


; '

линейно независимы, т. е. ранг матрицы равен . В этом
единственный элемент пространства   , явслучае
ляющийся обобщенным решением системы (4.17) и решением
системы вида

 ,
(4.18)

 



решение которой доставляет минимум скалярному произведению
 
,

(4.19)

0

Д о к а з а т е л ь с т в о.
-м столбцом матрицы :



1





    
Пусть вектор   


, ... ,

  ;





Видно, что матрица

1, . . . ,





является



 

квадратная (проверяется непосредственно),  
.
Элемент  этой матрицы, стоящий на пересечении -й строки и -го столбца:

"





 ,  





 ,  







 ,   










В силу коммутативности скалярного произведения 
 ,
.
симметрическая:
т. е. матрица
следует из того, что ранг матНевырожденность матрицы
 ,   ;
равен
. Также заметим, что  ,  

рицы
  ,    , что проверяется непосредственно представлением данного равенства в развернутом виде.
Тогда



 
0





 , 

 




 , 










  , 

,  

Так как матрица
невырождена и положительно определена,
то (4.18) имеет решение, которое обозначим   .
Покажем, что — единственное обобщенное решение (4.19).

 

5 / 35

76

Гл. 4. Приближение функций. Метод наименьших квадратов (МНК)

Для этого установим справедливость неравенства

0    0 



(

0)

для

0         ,     



     ,   ,     ,   
2   ,
   ,  0   2    ,  
  ,  0   2    ,   , 
0   2   ,  0 ,
















что и требовалось доказать. При этом использовалось:

  ,





    ,

откуда









  

  ,





0,

  ,

что и требовалось доказать.
Приведем пример. Пусть переопределенная система имеет
следующий вид:
'

11 1  12
21 1  22
31 1  32

2
2
2



1,
2,
3;

1
2 ;

11 12
21 22 ;
31 32

 ;


1
2
3



Система уравнений, полученная в доказанной теореме, будет
иметь вид

 ,

 

где





11 21 31
21 22 32 ,

 ;

в таком случае для определения коэффициентов
СЛАУ второго порядка

11 21 31
21 22 32

1 0 0
0 1 0
0 0 1

11 12
21 22
31 33

1,

2

получим

1
2
11 21 13
21 22 32

1 0 0
0 1 0
0 0 1

1
2
3



6 / 35

77

4.6. Метод наименьших квадратов

После перемножений матриц получим

211  221  231
11 12  21 22  31 32
11 12  21 22  31 32
212  222  232



1
2
11 1  21 2  31 3 ,
12 1  22 2  32 3

здесь:



11 12  21 22  31 32 ;
211  221  231
11 12  21 22  31 32
212  222  233





11 1  21 2  31 3
12 1  22 2  32 3

 

1
2 ;



Если система векторов удовлетворяет равенству

 ,  



Æ









, "

;

1, . . . ,

,


оказывается единичной, тогда решение
то матрица
системы (4.18) будет иметь простой вид



  



Необходимо сказать, что при
5, если базисные функции
не выбираются специальным образом, система алгебраических
уравнений (4.18) часто оказывается плохо обусловленной, например при   
,
1, . . . , . В этом случае получаем
систему вида




































1




1




 







2

 ... 

0



0



2

2  ... 



0







0









  ,



0





 1

0

  



,

0

. . .. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. ... ... ... ... ......






1



0







 1

2

 ... 

0



2



 1

0





    


0

Если скалярные произведения выбрать в интегральном виде
!

 , 

"

1

   ,


0

7 / 35

78

Гл. 4. Приближение функций. Метод наименьших квадратов (МНК)

то после минимизации функционала
1

 
где

(  — заданная

(  9 2,

0

функция,

9 







0





— аппроксими-

рующий полином, получим систему линейных алгебраических
уравнений вида

 1   ,  1   " 1 , 11 
 1 называется матрицей Гильберта и







Матрица 
является
классическим примером плохо обусловленной матрицы;

 


0, . . . ,

*







'

1



;



'



1

(  , . . . ,  (   



1

0



0

*

При
1:
 
 20, при
9:  1013 .
Если для аналогичной аппроксимации используется не отрезок, а система точек, то при стремлении их количества к
мы получим матрицу Гильберта.
Основная идея так называемого предобусловливания матрицы системы линейных алгебраических уравнений, с целью улучшить ее обусловленность, состоит в замене исходной системы
на эквивалентную
, где матрица
будет
хо!
"
1
1 
рошо обусловленной, либо на систему вида

1 .
В последнем случае матрица
выбирается симметрической,
положительно определенной, хорошо обусловленной.

 
 

  










Список литературы
1. Рябенький В. С. Введение в вычислительную математику. М.: ФИЗМАТЛИТ.
2008. 288 с.
2. Ильин В. П. Численный анализ. Ч. 1. Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН,
2004. 334 с.

8 / 35

Глава 5
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

5.1. Введение
Методы численного решения нелинейных алгебраических
уравнений и систем нелинейных алгебраических уравнений
СНАУ в основном являются итерационными (или методами последовательных приближений) и имеют много общего с методами решения задач оптимизации (чаще всего это задачи поиска
минимума функции от нескольких переменных). Заметим, что
слово «итерация» происходит от латинского iterare — «еще раз
вспахать». В математике это слово означает повторение некоторой заданной математической операции.
Постановка задач о поиске минимума функции многих переменных имеет следующий вид: найти значение , доставляющее

  ,   
Ø
при условиях

 
 

при этом




0,
0,



,

 




1

..
.

(5.1)

<

1, . . . , ,
1, . . . , ;

  Ø  

Такие задачи возникают как при решении задач оптимизации, например, ресурсов в математической экономике, так и при
решении вариационных задач математической физики. Функция    предполагается достаточно гладкой, например, имеющей вторые непрерывные производные.
Рассматриваемые системы алгебраических нелинейных уравнений имеют вид
  0,



где

— вектор-столбец:

 
  ,
1

..
.

 


9 / 35

80

Гл. 5. Решение нелинейных алгебраических уравнений

Задачи минимизации функции и решения СНАУ, вообще говоря,
сводятся друг к другу. Так, если     достигается в точØ
ке 0   и функция    дифференцируема в этой точке, то
эта точка является решением системы уравнений

 






0,

1, . . . ,



(5.2)

0 при
С другой стороны, если некоторая функция   
0,
то
решение
СНАУ


 1, . . . ,   0, 0, . . . , 0, 0, . . . , 0
(  0

равносильно минимизации функционала

 1  , . . . ,   ,


т. е. для поиска системы уравнений строится некий функционал,
минимум которого достигается на решениях системы. Обычно
эти методы итерационные. Областью сходимости метода называется множество начальных условий, при которых итерации
сходятся к решению рассматриваемой задачи.

5.2. Неподвижная точка отображения,
сжимающий оператор

(

Определение 5.1. Оператором (или отображением)
называется закон, по которому каждому элементу  однозначно ставится в соответствие определенный элемент  из множе или 
ства  ( и  могут совпадать): 
 .
Говорят, что отображение
действует из в  ; отображение

— преобразование множества в себя. Если ,  —
числовые множества, то оператор
называют функцией.
Определение 5.2. Пусть
— полное метрическое пространство с метрикой (расстоянием).

,

, , ,
( , ,

( ,

(



(

,

,
, ,

(
,,

 , , ,    ,
 — замкнутое множество в  .
Пусть также на  задан оператор  , переводящий  в себя,
т. е.   
.
  называется неподвижной точкой оператоЭлемент
ра  , если имеет место равенство
  ,
(5.3)
— т. е. неподвижная точка является решением уравнения (5.3).

10 / 35

81

5.2. Неподвижная точка отображения, сжимающий оператор

Если в итерационном процессе






,

то такая точка называется притягивающей, а в противном случае — отталкивающей.
Напомним, что полным называется метрическое пространство,
в котором всякая фундаментальная последовательность   0
элементов сходится к своему пределу, принадлежащему этому
пространству. Последовательность элементов   0 называется
фундаментальной (сходящейся в себе), если
0
0 
такое, что
 , 
при
,
0 





  

Определение 5.3. Оператор (отображение)
сжимающим (или оператором сжатия) на
,   выполняется условие







,

 

называется
если при

  ,     , ,

где 0 
1 — коэффициент сжатия.
Если последовательность   ,




 1



  ,


(5.4)

0, 1, . . ., такая, что
0, 1, . . . ,

то оператор задает на  итерационный процесс, а последовательность    называется итерационной.
Итерационный процесс состоит из двух частей: первая — локализация корня, вторая — уточнение корня. Для первой части полезно напомнить теорему из курса математического анализа:
если непрерывная функция   принимает значения разных знаков на концах отрезка  , , т. е.      0, то внутри этого
отрезка содержится по крайней мере один корень уравнения





   

  0,
т. е. хотя бы одно число 6  ,  такое, что
 6 0
При этом  6 будет заведомо единственным, если производная    существует и сохраняет постоянный знак внутри
отрезка , , т. е. если    0 или    0 на отрезке , .

На этой теореме базируется метод деления отрезка пополам
(бисекции), применяемый как для локализации (отделения) корней,
так и для их уточнения. Пусть корень находится на отрезке  , ;



11 / 35

82

Гл. 5. Решение нелинейных алгебраических уравнений

 

границы 0 , 0 нулевого приближения отрезка локализации
корня положим равным координатам его концов:

0 , 0 ,

первое приближение корня

%1

 %

1

— их среднему арифметическому:

0  0 
 %1 , где  — заданная
1
2

Если  1  0 (точнее,
численного решения задачи), то решение найдено.
Пусть  1   0  0; тогда полагаем:

точность

 %  

1 0, 1 %1,
если  %1   1  0, 1 %1 , 1 0 и т. д.
На -м шаге получим отрезок  ,   длины
   2  ,  0, 1, . . . 
1
Если принять %
     за приближенное
2
-м шаге, то получим ( — точное решение):
 6   12   2  
















решение на



Тогда для того чтобы вычислить корень с точностью , требуется
выполнить количество итераций, равное
)

*

+


2 ,

2

 1

5.3. Метод простых итераций (МПИ)
Метод простых итераций состоит в следующем. Представим
систему уравнений   0 в виде


  ,

или



 1, . . . ,  , 




(5.5)

1, . . . , ,

и построим итерационный процесс:

 1   , 0 ,
уточнения его решения; 0 ,   ,




для
метрическое пространство.



0, 1, . . .
1, . . .,

(5.6)

 — полное

12 / 35

83

5.3. Метод простых итераций (МПИ)



Теорема 5.1. Пусть
является сжимающим оператором
единственное решение
системы (5.5),
на . Тогда в 
являющееся пределом последовательности    из (5.6). При
этом скорость сходимости оценивается в соответствии
с неравенством

 ,      0, 1,   ,
(5.7)




  
сжатия,  0 , 1 
0 — расстояние





1

где — коэффициент
между первым и начальным приближениями к решению (5.5).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку (5.5) — сжимающий оператор, то

  1,       ,   1 
    ,  1  . . .    0, 1
















В таком случае можно построить цепочку неравенств при



 0 
:

  ,      ,  1  . . .    1,   
 0 

0 1   ,
 . . .   0   0




1







0

откуда видно, что, в соответствии с критерием Коши существования предела последовательности, последовательность   ,
0, 1, . . ., стремится к своему пределу , поскольку правая
часть стремится к нулю при
(последовательность   ,
0, 1, . . ., сходится, если для
0 номер
0 такой, что
при
и натуральных , (
) выполняется
















  ,  1 )




Далее, переходя в полученном неравенстве к пределу при
получим

 ,   





1





,



Докажем, что
является корнем рассматриваемого уравнения. Для этого рассмотрим в полном метрическом пространстве
расстояние между двумя элементами ,   и воспользуемся
неравенством треугольника:

 

 ,     ,  1    1,  

 ,  1     ,    0 1     ,  




1







 0 1

1

 0 1


1



2

 1

0 1  

13 / 35

84

Гл. 5. Решение нелинейных алгебраических уравнений

Так как — произвольное натуральное число, а левая часть от
не зависит, то
 ,   0,



т. е.

  

Если рассматривается банахово (полное линейное нормированное) пространство , то

&



 ,   

&

Обычно     ;
0, 1, . . ., т. е. итерационные процессы
рассматриваются в банаховых пространствах (С. Л. Соболев:
«. . . теория вычислений, которую сейчас так же невозможно себе
представить без банаховых пространств, как и без электронных
вычислительных машин.» [5, с. 7]).
Для скалярного нелинейного уравнения получим

  1,    1    1  ;   , ;
тогда при   , :
(  =   1   . . .
 1   (   (  1  
,


























... 






( = 1 0 ,
,

откуда следует сходимость итераций при

  , ,



= 


(  = 
,

(5.8)
1;

1, 2, . . .;   , .
называется выпуклой,
Определение 5.4. Область  
если наряду с любыми двумя точками ,   она включает все
точки соединяющего их отрезка:






  

,

Теорема 5.2. Пусть область
ты функции

 

  
 

 1

0



1

1, . . . ,

2

1, . . . ,
1, . . . ,






выпукла, а компонен-





имеют непрерывные производные первого порядка в .
Тогда оператор   является сжимающим в , т. е.


      

; ,  ,

14 / 35

85

5.4. Метод Ньютона



            



если норма матрицы

1

  




...

1


...

1

1






не превосходит единицы.
Достаточным условием сходимости итерационного процесса
для СНАУ будет неравенство



где

1,

 — матрица Якоби для рассматриваемой системы уравнений.

5.4. Метод Ньютона

( , входящую в правую часть урав ( ; , ( ,   ,

Представим функцию
нения
в виде
где

(    3 ,

3 — итерационный параметр:
 1   3  , 0 




Значение итерационного параметра выбираем из условия

(  

(  

1,

1

3  

Если положить (предельный случай)

(    0,

то

  

3

1

,

в результате чего получим итерационный процесс следующего
вида:
  
,
(5.9)
1

0
   
Проведем линеаризацию функции   путем ее разложения
в ряд Тейлора:





 


                > ! 2 "
!
"
Положив > 2   0, т. е. пренебрегая членами второго поряд















ка малости, получим

         








0,

15 / 35

86

Гл. 5. Решение нелинейных алгебраических уравнений



откуда, учитывая



 1


 1  , будем иметь
   , 0 














(5.10)

Формулы (5.9) и (5.10) представляют собой итерационный процесс Ньютона.
В случае построения подобного итерационного процесса для
системы уравнений
  0
получим:











1 1 1 




1 

1

1  . . . 




1 








0,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...


 
 

1




.
.
.

  0,


1
1

откуда получаем систему линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ) вида
,
(5.11)
где













 

  
 ,





 
 



1

..
.

1

..
.



            



— векторы-столбцы правых частей и искомых функций,






1



...

1



1

  

...



1










— матрица Якоби; , ,
  , 1 1  . Отсюда
получим итерационный процесс Ньютона для СНАУ:

 1 


    1    , 







0



(5.12)

К этому же результату (5.12) можно прийти путем линеаризации вектор-функции   0:


          ,






откуда следует



        0
Если принять   1 , то получаем (5.12). Очевидно, необходимо при этом предполагать невырожденность матрицы Якоби .










16 / 35

87

5.4. Метод Ньютона

Теорема 5.3 (о сходимости метода Ньютона). Сделаем следующие предположения о функции   и начальном приближении:
1.    2  , ;



2.
3.
4.

  
    1;
    2;
   1  1


(отображение

дено);

  равномерно невырож-

  

1.
5. 12 2   0  
При этих предположениях метод Ньютона сходится с квадратичной скоростью сходимости.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Разложим функции   в ряд Тейлора:
! 2 "
 1           
 ,

 

 

 

  1  






Для метода Ньютона

         




0,




> 



или



В таком случае из первого разложения получим

   >


! 2

 "  2  2




2

  
   

так как по условию
Невязка

6

    2 ,   



имеет вид

в таком случае
ка неравенств:

6 1  6


6



 112   2 ,


 1 

  ;



2,

1

2

  

   



где

 212; далее следует цепоч-

61  602 , 62  612  3604, 63  622  7608;

в результате будем иметь

6 1   1 60 2 


Полученные неравенства

6 1  62 , 6 1   1 602






позволяют определить порядок скорости сходимости (второй порядок для метода Ньютона).

17 / 35

88

Гл. 5. Решение нелинейных алгебраических уравнений

Также очевидно, что метод Ньютона сходится при следующем
условии:
  0   1,
0

6

 

т. е. получим ограничение на начальное приближение. Теорема
доказана.
Аналогичным путем можно получить итерационные методы
третьего и четвертого порядков сходимости, однако требования
к   и 0 будут существенно более жесткими:

 







1

1



 

   2
,
 2  3
  2 2  3
,
3
5
2  
2  






(5.13)

  .

Уменьшить количество арифметических действий в методе Ньютона при решении СЛАУ позволяет метод Ньютона–
Канторовича, т. е. обратная матрица      1 вычисляется не
на каждой итерации, а один раз в точке
0:
где

 
 
  0  1   0, 0 

 1 
В случае, когда   задана таблично, можно использовать метод






секущих:

  
3 ,
    1  

 1 




Эта формула получается при замене
лянтом:

3









(5.14)

  ее линейным интерпо-

$       1     






0 

1,



1


 

Разумеется, скорость сходимости этого метода уже не квадратичная.
Если функцию   приблизить полиномом второй степени,
то получим (метод парабол):



          ,  1 
      1     ,  1 ,  2 ;
обозначив
  , получим квадратное уравнение вида
 2    % 0,




















18 / 35

89

5.4. Метод Ньютона

где

   ,  1,  2,
   ,  1    1    ,  1,  2, %   






















В качестве следующего приближения выбирается тот из корней,
который ближе к  .
Метод Ньютона с параметром, позволяющим ускорить итерационный процесс, имеет вид



(     
или

 1 




1





1

3 1


 (  

0,





 
;
 



0 

Для численного решения нелинейной системы

 1, . . . ,  



0,





1, . . . , ,

можно также применить метод Якоби:

 !1 , . . . , 

 1,  1, . . . ,  " 0
(5.15)
В этом случае для вычисления  1 необходимо решить  ска



1,










лярных уравнений, например, каким-либо итерационным методом.
Модификацией (5.15) является метод Зейделя, учитывающий
результаты вычислений на предыдущих итерациях:

 !1 1, . . . ,  11,  1,  1, . . . , 

"

 1, . . . ,  (5.16)
Если в (5.16) для определения значения
 1 используется
итерационный метод Ньютона, то такой метод называют гибридным. Например, из (5.16) получим, линеаризуя функцию  :
"
" ! 1
 ! 1 1


,  , . . . ,  11 ,  ,  1 , . . . , 



!
"
  1 1 ,  11 , . . . ,  ,  1 , . . . , 
0,
где ? — итерационный индекс, соответствующий внутренним итерациям по Ньютону, — внешним по Зейделю, ?
0, 1, . . . , ;

1

1
0
  ,
 ,  1, . . . , . Здесь ? — «внутренний», —











0,





































«внешний» итерационные индексы.
Итерационный процесс, проводимый по методу Ньютона,
с итерационным индексом для определения 1 , называется
внутренним итерационным процессом, а процесс, реализуемый

?



19 / 35

90

Гл. 5. Решение нелинейных алгебраических уравнений

по методу Зейделя, т. е. с учетом результатов предыдущих итераций — внешним. Представим этот метод в скалярной форме:








! 1
"

, 2 , . . . , 
0,
1 1
! 1
"
1

2  ,  ,  , . . . ,  " 0,
! 1 11 2 1 3
3 1 , 2 , 3 ,  , . . . ,  0,



. . . . . . . . . . . .!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .". . . . . .



 1 1, 2 1, . . . ,  0,


































после линеаризации получим внутренний итерационный процесс
по методу Ньютона с итерационным индексом :

?


















. ! 1 "1 ! 1 "1 
1 -! 1 " 


,

,
.
.
.
,

1
1


1
2
1
-! 1 " 
.
!
"
  1 , 2 , . . . ,  0, 1 1 0
. ! 1 "1 ! 1 "1
2 - 1 ! 1 " 

,

,
.
.
.
,

2
2




1
3
2
2
- 1 ! 1 "
.
!
"
0
  
, . . . , 
0,
1

1 ,








1
2,
2
2



.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..


- 1 1
! 1 " . ! 1 "1 ! 1 " 





, 2 , ... , 




 1


- 1 1
! 1 " .
! 1 "0








  1 , 2



, ... ,





0,



1






?

После проведения внутренних итераций по для всех уравнений итерационный процесс повторяется с новыми значениями 1 (теперь они будут обозначаться   с первого уравнения
и далее, до последнего (внешние итерации).
0);
Иногда ограничиваются одной внутренней итерацией (
1

1
,
):
тогда ( 0















" !
 ! 1 1

, 2 , . . . , 11 ,  , 1 , . . . ,   1
1

!
"
  1 1 , . . . , 11 ,  , 1 , . . . ,  0;

 "


0, 1, . . .



Например, для СЛАУ из двух уравнений:

1 !!1 1, 2 ""
2 1 , 2 1







0,
0,

(5.17а)

20 / 35

91

5.4. Метод Ньютона

рассмотрим итерационный процесс, который будет иметь следующий вид:



"
!  "
1 1 , 2 ! 1





0,
1
1
1, 2
1
 11  !
(5.17б)
"
! 1  "

2 1 , 2
1



, 2
0
1
2  2
2





2

  





 





Если не ограничиваться одной итерацией, то итерационный
1
1
, 2
:
процесс будет иметь вид ( 1
1
2

   !
"
! 
"
1 1 , 2

1





0,
1
1
1
1
2
1
 

"
! 1  "

2 1 1 , 2 ! 1




, 2
0
2
1
2
2

2













 





 





Рассмотрим еще один вариационный подход к итерационным
методам решения СНАУ на примере системы из двух уравнений:
 ,  0,
 ,  0

 
9



Построим функционал вида

 ,   2 ,   92 , 
Поскольку  0, то точка 6 , #  такая, что
6, #    , 

При этом  ,   9 ,   0, т. е. минимум  ,   достигает

ся на решении исходной СНАУ. Построим итерационный процесс
(метод градиентного спуска):


3

1



¼
3    , ,  
1



,

где  — итерационный параметр, выбираемый из условия минимальности   1 , 1  в заданном направлении.
В качестве примера рассмотрим также применение методов
простой итерации (МПИ) Ньютона для системы из двух нелинейных уравнений
 ,  0,
 ,  0





 
9



Для МПИ имеем итерационный процесс:
1  , 
1
0, 1, . . . ;
1
2   ,  ;




(  
(  

0 , 0 

21 / 35

92

Гл. 5. Решение нелинейных алгебраических уравнений

Условие сходимости этих итераций, в соответствии с рассмотренной ранее теоремой (  1, где — матрица Якоби) будет
иметь вид

 1

  2  1,





 1

 1

 2








или











 2

 1

 2




1,



1,



1



В соответствии с методом Ньютона построим итерационный процесс:
  ,     ,   
1
  ,    ,     ,  
 1


,

 ,  
 

 ,  
 ,   
1



,

 1


  
 1 ,    1 ,  






<

 







<

 



 ,  



Здесь:

   
< ,     



  , 

 , 
 
0; !/3",
а на всем отрезке , :
6   24 12/2, или 6 > !/2"
3

















Таким образом, квадратурная формула средних для приближенного вычисления значения интеграла

-

  

имеет второй порядок точности.
Формула трапеций, приближающая интеграл
ном отрезке, имеет вид

-



    /   2


 1

1





- на элементар-



(7.12)

При этом подынтегральная функция приближается интерполяционным полиномом первой степени:

   1  

 1 









  





1





19 / 35

125

7.1. Интерполяционные квадратурные формулы

Остаточный член этого интерполянта вычисляется следующим
образом:

61



   

  1 

2

  1    ,




откуда

6





 

 1


2



   1


  1  



 1


 1     
 6  ,



2

 1

или

6  12 /3


2

Аналогично предыдущему случаю (формула средних для отрезка  , ), интеграл по всему отрезку  ,  будет вычисляться
по формуле



-



   




/



  1

1
2

2

1



/    1








1

В случае равномерного разбиения рассматриваемого отрезка,
т. е. 
  , получим

/

/

-

  2

    /

0

1
2

0    



1



1



1

 

(7.13)





Погрешность формулы трапеций на отрезке  ,  для равномерной сетки оценивается как сумма погрешностей  по элементарным отрезкам   1 ,  :




! "
6    12 12/2, 6  > /2 ,


6







т. е. эта формула имеет такой же порядок точности (второй),
как и формула средних, но погрешность при этом вдвое больше
последней.
Эту формулу можно уточнить, используя многочлены Эрмита. Если на концах отрезка  ,  заданы не только значения



20 / 35

126

Гл. 7. Численные методы интегрирования функций



 ,  

функции, но и значения ее производных:   и
и   , то мы получаем формулу Эйлера–Маклорена:

 

     2       

-

 2



12

При равномерном разбиении отрезка


-  / 12 0  12   1  2  . . .  


     

,  получим


 12      ;
2

 1

причем остаточный член этой формулы имеет вид

6

     ,

4


720

т. е. незначительное усложнение формулы трапеции увеличивает
порядок точности на два порядка.
Проведем теперь аппроксимацию подынтегральной функции   многочленом второй степени, проходящим через узлы
1,
1 2, :
нашей сетки  , ,



2  

  
2
   2,  
   



 1 ,  ,
 
12 

1
 1
  1 12
  1 2   11     
12
12

 12  1 
     1
12








— интерполяционный полином второй степени в форме Лагранжа.
После интегрирования по элементарному отрезку получим

-



 1



   

!

2  

6

 1





1

 4

"



1 2

 




На всем отрезке  ,  приближенная формула интегрирования
(формула Симпсона) имеет вид

-

    16

/ !









1

 4



1 2

"





;

1

21 / 35

127

7.1. Интерполяционные квадратурные формулы

в случае равномерного разбиения отрезка (
получим

/



/   2 )

-  6 0     2 1  2  . . .   1 
!
 4 1 2  3 2  . . .  




".
 1 2



(7.14)

Формулу Симпсона можно записать и без дробных индексов:

-  6 0     2 2  4  . . .  2 2 
 4 1  2  . . .  2 1 




(7.15)
Погрешность формулы (7.15) на элементарном отрезке оценивается так:
5

   ,


4 ,
4


6

1 1  ,  


а на всем отрезке ,  — по формуле

6   180
  /4 , 14 
   
,
290



1 

4



Формулы численного интегрирования (7.8), (7.13), (7.15), основанные на аппроксимации подынтегральной функции интерполяционным многочленом на отрезке  , , называются квадратурными формулами интерполяционного типа. Важным свойством этих формул является положительность коэффициентов
квадратурных формул (  0). Такие формулы называются правильными. Квадратурные формулы интерполяционного типа для
равномерной сетки называются формулами Ньютона–Котеса.
Заметим, что если в этих формулах 0
, 
, то их
называют формулами замкнутого типа; если же хотя бы один
из узлов ( 0 или  ) не совпадает с соответствующей граничной
точкой ( или ) отрезка  , , то такие формулы называются
формулами открытого типа.
Показывается, что при
7 в (7.1) встречаются 
0,
причем



,




%











 












%

%

0

%

т. е. квадратурные формулы при  , имеющие разные знаки,
оказывается неустойчивыми, что связано с неустойчивостью интерполяционного процесса при больших , соответствующих росту постоянных Лебега. По этой причине квадратурные формулы интерполяционного типа для больших , как правило, не
применяются. Из них наиболее часто используются в практике
инженерных расчетов формулы Симпсона.





22 / 35

128

Гл. 7. Численные методы интегрирования функций

7.2. Квадратурные формулы Чебышëва, Гаусса,
Гаусса–Кристоффеля
Однако если выбирать определенным образом узлы сетки, то
можно добиться не только того, чтобы все коэффициенты квадратурных формул были положительны, но и повышения точности
квадратурных формул. Такие формулы были предложены Гауссом
и Чебышëвым.
Отметим еще одну важную особенность квадратурных формул интерполяционного типа: эти формулы точны для полиномов
степени , построенных по (  1) узлам   
 0 , т. е. если
  — полином степени ,  — коэффициенты квадратурной
формулы, то мы получаем точную формулу численного интегрирования






 %

-

  





%   




(7.16)



0

Чебышëв предложил в квадратурной формуле

-

1

   

1





%   




(7.17)



1

выбирать узлы  так, чтобы выполнялись следующие условия:
¯ коэффициенты квадратурной формулы равны между собой, т. е.
...
;

1
2

%

%

%

%

¯ квадратурная формула (7.17) точна для всех многочленов

до степени
Пусть  
если 
(

%


%

 включительно.
1 (многочлен нулевой степени). В таком случае
1, . . . , ), то
% , или % 2 ,
2






1

т. е. квадратурная формула Чебышëва имеет вид

-

1

1

    2




  

(7.18)





1

Чтобы определить узлы  , заметим, что эта формула должна
быть точной для следующих функций:

  ,   2,

... ,

   


23 / 35

7.2. Квадратурные формулы Чебышëва, Гаусса, Гаусса–Кристоффеля 129

Подставляя эти функции в (7.18), получим систему нелинейных
алгебраических уравнений для определения узлов  (
1, . . .
. . . , ):

















1  2  . . .  
21  22  . . .  2



0,

,

3
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...



1  2  ...  







2





1

1   11



(7.19)



П. Л. Чебышëв доказал, что решение (7.19) сводится к решению алгебраического уравнения -й степени. Для
2, . . . , 7
эти значения  затабулированы. С. Н. Бернштейн показал, что
при
8 и
10 это уравнение не имеет действительных
корней, отметив, что точность этой формулы достаточно высока
и при
7. На отрезке  ,  интеграл вычисляется при помощи
простого преобразования


















 2

2

,

тогда:

-



Пусть





  

2



  ,




1

  2  




3. Тогда




1  2  3
2  22  23
 31

1  32  33

0,
1,
0



(7.20)

Рассмотрим замену переменных:

1 1  2  3,
2 12  13  23,

3 1  2  3,



(7.21)

24 / 35

130

Гл. 7. Численные методы интегрирования функций

при этом из (7.20) получим


1





 2




3







0, 

" 

!

1  2  3 2 21  22  23 2 12 0 1 12 ,
"
!
1  2  3 2 3 1  2  3  21  22  23 
!
"
1
 2 31  32  33
0 0  0 0
6

1
2

1
6

В таком случае получаем систему нелинейных уравнений вида




1  2  3 0,
12  13  23


123 0

1
,
2

 2, 3.
3 0.

Эта система симметрична относительно переменных 1 ,
Положим, например (см.
 последнее уравнение системы):
1 2.
Тогда: 1
2
Формула Чебышëва приобретает следующий вид:





1

2

  

2
3

 



1



  0   1

1

2

2





Гаусс поставил следующую задачу: найти коэффициенты
1, . . . , ) и координаты узлов
квадратурной формулы  (
(
1, . . . , ) так, чтобы квадратурная формула

%



1

1

  





%   








1

1

была точна для полиномов наивысшей возможной степени .
Отметим, что недостатком квадратурных формул является
их относительно невысокий порядок точности, что обусловлено
неустойчивостью интерполяционных формул, использующихся
для аппроксимации подынтегральной функции. Таким образом,
мы имеем ситуацию, при которой подынтегральная функция может иметь высокий порядок гладкости, при этом в выражении
для погрешности квадратурной формулы будут присутствовать
производные невысокого порядка, т. е. такое свойство, как гладкость подынтегральной функции (если, конечно, это свойство
присутствует), недостаточно используется в квадратурных формулах интерполяционного типа, что и было замечено Гауссом.
Как уже отмечалось, существуют подынтегральные функции

25 / 35

7.2. Квадратурные формулы Чебышëва, Гаусса, Гаусса–Кристоффеля 131

(полиномы), для которых квадратурные формулы являются точными.
Положим, что подынтегральная функция является полиномом
степени :



-

  

  


Аппроксимируем этот интеграл с помощью квадратурной формулы вида


  

%   ,









1

или


  

%   











1

 

Представим    в виде интерполяционного полинома, записанного в форме Лагранжа:








  


1

 



1 



    % 








Отсюда получим выражение для коэффициентов


%






1

%



:

 
,


1 

которые являются интегралами от базисных функций интерполяционного полинома Лагранжа.
Теперь поставим вопрос: можно ли построить квадратурную
?
формулу, точную для полинома    степени
Положим:

 

   

 





-

  








%   





%   





1

,

0








1

26 / 35

132

Гл. 7. Численные методы интегрирования функций

В таком случае выполняется




  



%   ,





0







1

или в развернутом виде:

0   1    . . .    




%1 !!0  10  220  . . .   0 "" 
 %2 0  11  !2 21  . . .   1 
"
 . . .  % 0  1  22  . . .    



















Приравнивая выражения в левой и правой частях полученного
равенства при  , получим



%  %   % 0 ,
%   %   . . .  %  1,
%121  %222  . . .  % 2 2,



 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
%11  %21  . . .  %  

...
1
2



 1 1
2 2




где

3

Ê

 ;




















в частности, для



1,

,



1:

0

2,

0, . . . .
Для того чтобы система могла иметь решение, необходимо,
чтобы число уравнений (  1) было равно числу неизвестных 2 , откуда получаем







2



1



Исследование данной системы на единственность и существование ее решения в общем случае невозможно; однако Гаусс
предложил иной подход к решению этой проблемы, которую
сформулировал в виде теоремы.
Теорема 7.1. Пусть коэффициенты квадратурной формулы  при   1, 1, определяются как интегралы от базисных функций интерполяционного полинома Лагранжа:

%



1

%



1



 
,

 
0



27 / 35

7.2. Квадратурные формулы Чебышëва, Гаусса, Гаусса–Кристоффеля 133





а узлами  
1, . . . , , в квадратурной формуле являют,
ся корни полинома Лежандра   . В этом случае квадратурная формула
1





  

%   




1



1



является точной для полиномов степени (2
1).
Полиномы Лежандра определяются по рекуррентной формуле

  1 1  2  1  
1 ,
1! 2
1,
, 2  3 3 1", . . .
1 
0 






и образуют ортогональную систему полиномов на отрезке  1, 1:
1

 


0 при

1

  ",

  

1



Погрешность формулы Гаусса на

1

1, 1 имеет вид

6   22 1  $   2 6, 6  
При 6  ,  получаем:
6      $   2 6,
$

2
2 1












3

 

 "



1, 1









0 при



4









Квадратурные формулы Гаусса являются высокоточными, на2; 3; 4; 5 получим соответственно:
пример, для



62

25  24

2
  6 
  6 


5 432
5 23
2
63 15750
   6;
2
64 3472875
   6;
13
65 1237732650
   6
9

3





3







 

135

;

Важное свойство этих формул заключается в том, что они явля0 (
0, . . . , ), что обеспечивает
ются правильными, т. е. 
устойчивость вычислительного алгоритма.

%



28 / 35

134

Гл. 7. Численные методы интегрирования функций

Если положить



будут числа:

3, то корнями полинома Лежандра



1

1! 3
5
2

3 



2

3
,
5

"

3



3

0,

3
,
5

а для весовых коэффициентов квадратурной формулы получим
систему трех нелинейных уравнений:

%  %  %3 2,
%1  35 %3
5



2
 3%  3%
,
1
5
5 2
3

1 2




3

откуда получим:

%1 %3

следовательно,

-

1

%2

5
,
9

2 0  1
1
3
5
9
5

  

0,

8
,
9
0 13
3
5
5



 8 0  

1

В случае, когда интегрирование проводится по отрезку
применяется замена переменной:


2



, ,

  2  ,

откуда получим

  
где



2

 
2

  2 







%   ,






1



,



1, 2, . . . , ,

— нули многочлена Лежандра:     0.
Квадратурные формулы Гаусса–Кристоффеля, которые иногда называют формулами наивысшего алгебраического порядка,
имеют вид

-

     



%    






1

29 / 35

7.2. Квадратурные формулы Чебышëва, Гаусса, Гаусса–Кристоффеля 135



Здесь введена весовая функция  , которая непрерывна и положительна на отрезке  , , а также должна быть интегрируема
на  , , т. е. должен существовать интеграл





   


При   1 эта формула является формулой Гаусса, так как
функция   удовлетворяет этим требованиям.
" 1
!
2
Например, положив
1,
1,  
1
и, взяв
в качестве узлов квадратурной формулы   0 корни полинома
Чебышëва, получим квадратурную формулу Эрмита:







 

 





1

2





%   










1

Веса этой квадратурной формулы вычисляются следующим
образом:
1





где

1

: 

#   
,
2 #       

1

   — нормированные многочлены Чебышëва.
После вычисления этого интеграла получим

%



%

2

,

1, 2, . . . ,



Окончательный вид формулы Эрмита:
1

 


1



1



2

 



  ,




1

 — корни многочлена Чебышëва.
К настоящему времени рассчитано большое количество таблиц для формул Гаусса при
1,
1,   1, а также
формул с весовыми функциями следующего вида (интегралы
Якоби):
  1   1 & ; ,
1,

где





и


1

   




,




1, 

$



$A

1
1,

  0, 

(формула Чебышëва–Лагерра).

30 / 35

136

Гл. 7. Численные методы интегрирования функций

В этих случаях имеем:
1

-

1  1      


1

  







&

%   ,






1


,  
квадратурные формулы называются
формулами соответственно Лагерра и Эрмита:


-

2

     
0





%   ,




 — корни многочлена Лагерра.
Многочлены Лагерра   ,  0,
куррентной формуле

где

  





 1





1

, вычисляются по ре-

  1     2
0 1, 1   1

2



 1



0;

Для них выполняются условия ортогональности:

        

 ",

0,
,





0

"

Весовые коэффициенты вычисляются по формулам:

%
0

   % 

     

-

     



1  








'



 1

'   



2

  '   2' 






1

 — корни многочлена Эрмита.
Многочлены Эрмита   , 
рекуррентным формулам

где

,

%   ,

2

0

2

1



,
0,

, вычисляются по

'0

1,

'1



2 ;

для них выполняются условия ортогональности:

  '   '  
2





0,
2 

8 ,

 ",

"

31 / 35

137

7.3. Вычисления кратных интегралов

Весовые коэффициенты вычисляются по формулам

&  % 

  &  
2

%

2

1

1





 &2 2 






7.3. Вычисления кратных интегралов
Для вычисления кратного интеграла, например, с подынтегральной функцией двух переменных  , , можно использовать
формулу средних:





/

 ,     /  /  


 , /

'





     
2

 %



-

  ,   

,

;

2

; значение вычисляется в точке пересе

чения диагоналей прямоугольника со стороной  ,  .
В случае использования формулы Симпсона представим интеграл в виде

/ /



'

и применим эту формулу для вычисления первого (внешнего)
интеграла:

-

'

6



 ,    4 

'







'


2

,





  

'

    ,  



(



 , %  4 , 2   ,  
6 
 6




 6   2  , %  4  2  ,  2     2  , % 6 





 6  , %  4 ,  2    ,    , 


 , %   ,    , %   ,  
  36 






 4  ,  2    ,  2     2  ,     2  ,  


 16  2  ,  2  






















При разбиении области интегрирования на элементарные прямоугольники:

     1,      1,








32 / 35

138

Гл. 7. Численные методы интегрирования функций

квадратурные формулы используются для вычисления интегралов по каждому такому прямоугольнику; далее интеграл по всей
области вычисляется как их сумма.
Идея метода Монте-Карло вычисления -кратных интегралов

-



...



 1, . . . ,   1 . . . 




состоит в следующем.
Сначала генерируется совокупность 0 случайных точек
внутри -мерного куба 1 , . . . ,    , заключающего в себе
рассматриваемую область , по которой берется -кратный интеграл. Пусть ( точек попали в и вычислена сумма









5







5
 







1

5 значение   двумя способами.
  ' ,
где < — искомое значение интеграла по 5 , B   20 — объем 5 , и приравняем его к среднему значению функции, вычис-

Вычислим среднее по области
Возьмем значение

(

(

ленному по другой формуле:




   

1

  

(




В этом случае приближенное значение кратного интеграла будет
иметь вид


  

1


<

(



0

7.4. Вычисления интегралов с особенностями
Рассмотрим способы вычисления несобственного интеграла
первого рода

-

  
0

Первый способ состоит в замене переменной





1





33 / 35

7.4. Вычисления интегралов с особенностями

При этом

1

-


1



0


2






1





139



Если подынтегральная функция ограничена, то можно использовать известные квадратурные формулы.
Второй способ состоит в следовании определению несобственного интеграла:

-

)

  

   

)





В этом случае вычисляется значение определенного интеграла

-

)1

1

)

  ,



а затем — значение

-

)2

2

)

  , 2 1,



после чего эти значения сравниваются по модулю, а модуль
разности сопоставляется с заданной точностью :

-

1

)

-  



2

)

Если последнее неравенство выполняется, то расчет прекращается; если нет, то вычисляется интеграл при
3 , который
сравнивается по модулю с интегралом при
,
и
т. д.
2
Если подынтегральная функция представлена в виде

 
 

   ,






*




или  
, то можно использовать формугде  
лы Лагерра или Эрмита соответственно.
Рассмотрим вычисление интеграла второго рода с особенностью в точке
  , :


 % 
-

2

  

Представим интеграл в виде

- 0
Æ

'

Æ

   



  

,

' Æ

34 / 35

140

Гл. 7. Численные методы интегрирования функций

-

далее вычислим абсолютную величину интеграла Æ и сравним
его значение со значением Æ 2 :

-

-  
Æ

Æ 2

При выполнении последнего неравенства расчет прекращается;
если неравенство не выполняется, то уменьшаем вдвое и повторяем процедуру расчета:

Æ

-

-

Æ 4

Æ 2

  и т. д.

Идея метода выделения особенностей Канторовича состоит
в представлении подынтегральной функции   в виде


  (     ( ,

и, соответственно, интеграла —

-

  

(     (  

(  выбирается таким образом, чтобы она была инте(    , ,

Функция
грируемой:
а разность

  ( 

— ограниченной. Например,
1

-

0

1


 1  2 

0





1


 1  2 

0

1 

В этом случае первый интеграл вычисляется аналитически,
а второй можно вычислить по квадратурным формулам, так как
подынтегральная функция ограничена.
Для вычисления несобственного интеграла также можно использовать разложение в ряд Тейлора: например,

-

1

  

1



0

0

1

2 2



4 4



12

1

0



...

1 2 


1
2

1

3 2  

0

1

72
4

 ... 

0

Полученные интегралы берутся в квадратурах.

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

35 / 35

141

7.5. Апостериорная практическая оценка погрешности

При необходимости вычисления интеграла от быстроосциллирующей функции

-

   5  

ее можно аппроксимировать интерполяционным полиномом

   


и далее вычислить полученный интеграл аналитически.

7.5. Апостериорная практическая оценка
погрешности квадратурных интерполяционных формул
Пусть
ла

- 

Ê

   — приближенное значение интегра-

- на отрезке , .

Для погрешности этой формулы справедливо представление
вида


 ,

 /

- -

/

6

  . 
называется главным членом погрешности,
Величина
а — порядком точности соответствующей квадратурной формулы. Оказывается, что вычислительным путем можно увеличить порядок точности такой формулы и оценить погрешность
вычисления интеграла.
Заметим, что приближенная формула

где

/

- -  /




позволяет, несмотря на простоту, сделать вывод о том, что при
уменьшении в раз погрешность квадратурной формулы также
уменьшается примерно в  раз.
. Тогда
Пусть 

/

/


/2
- -  /





1



/ 


Вычитая из предпоследней приближенной формулы последнюю,
получим


 1    ,

-

-

/

/

1 / 35

142

Гл. 7. Численные методы интегрирования функций



откуда определим постоянную :

( (
(    (  ( 
(



  1
 1
 1

В таком случае мы можем вычислить приближенное значение
искомого интеграла с шагом 
:



 1    (  (1

/





/ /2
/ -

- -



Например, при уменьшении шага в два раза получим

-

-  21 /

2

откуда находим







 
2

!

2

 (2

"

2

1 ,

(
1



В таком случае апостериорная оценка погрешности квадратурной
формулы для шага /2 имеет вид
2

2
 (2 (1 ,

/

- -

где величину в правой части приближенного равенства называют
поправкой Ричардсона.
Эту оценку называют правилом Рунге, или двойным пересчетом; с ее помощью можно также достаточно простым способом
увеличить порядок точности квадратурной формулы:
2

 2  (2 (1

- -



Заметим, что если при
2 мы получаем формулу трапеций
для 2 , то формула соответствует формуле Симпсона. Если,
например,
4 ( 2 — значение , вычисленное по формуле
Симпсона), то экстраполяция Ричардсона дает
( 2 ( 

-

-

-

--

2

15



Алгоритм Ромберга, позволяющий таким образом увеличить
порядок точности квадратурной формулы интегрирования, заключается в следующем.
1. Вычисляем значение интеграла 0 по формуле трапеций ( 0
).

 

2. Уменьшаем шаг вдвое:

-

/1

0

2

(далее полагаем

/

/

/ 122.

2 / 35

143

Список литературы

3. Далее для



1, 2, . . . вычисляем поправку Ричардсона:

6



 / 

1

2

1
1

- /  - / 1

и приближенное значение интеграла:

-   /  - 




 /   6  1 / ;

1

 — номер приближения.



1, . . . , ;

Окончание вычислений — при выполнении условия

6



где

 / 

1

 Æ,

Æ — заданная точность. При этом полагаем:
-  -   / 


Список литературы
1. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 430 с.
2. Вержбицкий В. М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002.

Дополнительная литература
3. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы.
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. 622 с.
4. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 2001. 575 с.
5. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копчëнова Н. В. Вычислительные методы.
М.: МЭИ, 2008. 671 с.

3 / 35

Глава 8
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ КОШИ
ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ (ОДУ)

8.1. Методы Рунге–Кутты (нежесткие задачи)
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) были
предложены Ньютоном (1671 г.) и Лейбницем (1693 г.) для решения задач небесной механики. Для некоторых из них удавалось найти точные решения; однако их круг был серьезно
ограничен, и уже в XVIII в. Эйлер («Интегральные исчисления»,
1768 г.) предложил первый численный метод (метод ломаных)
для численного решения задачи Коши для ОДУ. Однако из-за
отсутствия вычислительной техники развитие вычислительных
методов решения ОДУ в течение долгого времени не имело
серьезного развития.
Лишь в 1895 г. появилась работа Рунге, в которой был
предложен метод численного решения ОДУ, имеющий более высокий порядок точности, чем метод Эйлера, который в настоящее время используется, в основном, в учебно-методических
целях. В 1901 г. появился классический четырехстадийный метод
Рунге–Кутты. Бутчером была разработана технология построения методов типа Рунге–Кутты, что позволило построить высокоточные вычислительные методы. В конце XIX–начале XX вв.
английский математик Адамс разработал семейство многошаговых методов, достоинством которых является возможность сравнительно простого повышения порядка их точности. Эти методы
являются рабочими и в наше время.
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)




где

  , ,

0,

 0 ,

(8.1)

 и  являются векторами-столбцами:


 
 ,
1

..
.



  
 ,
1

..
.

и принадлежат евклидову пространству.

4 / 35

145

8.1. Методы Рунге–Кутты (нежесткие задачи)

В случае необходимости численного решения скалярного
ОДУ -го порядка

 
 1 ,

,
,
,
.
.
.
,
0,









 



 0 0,  0 1, . . . , 






1





1,

последнее уравнение приводится к системе вида

,

1




1

,

2





... ... ... ...



2







,




... ... ... ...



 1


,










, 1,


1



   2, . . . ,  ,
где: 1 0 0 , 2 0 1 , . . . ,  0  1 .








Заметим, что встречаются задачи, которые решать численно
более экономично, чем искать их аналитическое решение, имеющее неудобный с вычислительной точки зрения вид.
Например, решение обыкновенного дифференциального уравнения




 


представляется в виде трансцендентного алгебраического уравнения:
"
1 ! 2
  2     ,



2



численное решение которого найти не проще, чем численно решить само дифференциальное уравнение.
Напомним теорему существования и единственности решения ОДУ.
Теорема 8.1. Пусть   0   ,
 — множество точек  , , на котором определена непрерывная
функция  , , удовлетворяющая условию Липшица

 

для любых
Липшица.



:



  , 1    , 2    1 2 
  0, :  и произвольных 1 , 2 ;  — постоянная

5 / 35

146

Гл. 8. Численное решение задач Коши для ОДУ

В этом случае для каждого начального значения
ствует единственное решение   задачи Коши



  , ,  0 ,
0,

определенное на отрезке  0 , : .
Введем на отрезке  0 , :  расчетную сетку
5 
0, . . . ,  ; 3 :
0  /; 
0  2 ,




и сеточную функцию
сетки  :

5



0 суще-

0



, значения которой определены в узлах

 





Заметим, что если необходимо вычислять значения между узлами, то можно использовать аппарат интерполяции функций.
Простейший способ приближенного решения скалярного
ОДУ вида

 , , 0
(8.2)



 





состоит в разложении решения в ряд Тейлора


    0   0 ,



0



    находятся из (8.2):
   ,     ,   ,
    ,   2   ,       ,  2     ,  
Подставив
0 в (8.2) и в последнее соотношение,
0, 
получим:
  0,   0, . . . 
где производные












Следует заметить, что если 
0  больше радиуса сходимости полученного ряда, то погрешность полученного решения не
стремится к нулю при
. Однако аналитические выражения
производных высоких порядков становятся довольно сложными.
Кроме того, современные численные методы оказываются более
экономичными в машинных расчетах, чем приведенный метод.
Рассмотрим простейшие аппроксимации скалярного ОДУ
(простейшие разностные схемы):



1 


  ,  




(8.3)

6 / 35

8.1. Методы Рунге–Кутты (нежесткие задачи)

147

Этот метод предложен Эйлером в 1768 г., а в 1820 г. Коши
доказал для него теорему о сходимости;
1 
 1, 1 
(8.4)







— неявный метод Эйлера;
1 1

  , 

2



(8.5)



— метод второго порядка аппроксимации.
Алгоритмическая реализация первой схемы (схема Эйлера) —
«бегущий счет», т. е. рекуррентное соотношение, позволяющее
вычислять 1 по значениям  :




 1   3  ,  , 0 
Последовательно вычисляются 1 , 2 , . . .:
1 0  3  0, 0   3  0, ;
2 1  3  1, 1; 3 2  3  2, 2, . . . 








Вторая схема (неявная схема Эйлера) представляет собой нелинейное алгебраическое уравнение, которое решается на каждом
слое
 , причем в качестве начального приближения берется
решение с предыдущего слоя, которое чаще всего по норме не
сильно отличается от решения на следующем слое. По этой
причине итерации для достаточно гладких функций в правых
частях обычно сходятся быстро:

 1  1 








3 , 

 , 1 

 1



 1

0, 1, . . .

.

0;



Критерием остановки вычислений может служить неравенство

 11 





 1



 ,

где — заданная точность. Также для решения этого уравнения
можно применить метод Ньютона.
Алгоритмическая реализация третьего метода — «бегущий
счет»:
 ,  , 0
1
 1 2





3









Однако для начала вычислений необходимо задать, кроме 0 ,
еще и 1 , вычислив его, например, из нелинейного уравнения



1 0


1
2

  0, 0     1, 1 ,

которое можно решить, к примеру, методом Ньютона или простых итераций.

7 / 35

148

Гл. 8. Численное решение задач Коши для ОДУ

Другой класс расчетных формул для численного решения
ОДУ (8.2) можно получить, аппроксимируя с помощью квадратурных формул интеграл в равенстве

   3    






 # #



(8.6)



Так, применяя формулу прямоугольников, получим

   3      3    >!3 2",




а так как





     ,  ,








то

   3      3  ,    >!3 2"
! "
Пренебрегая членами второго порядка малости > 3 2
значив
 1
 3,     ,














и обо-



получим явный метод Эйлера

1 


  ,  , 0 




Для получения вычислительного метода более высокого порядка точности, используем формулы трапеций:

   3      2        3   >!3 3"












или

   3      2   ,   
! "
    3 ,    3   > 3 3 ,
! "
откуда, отбросив > 3 3 , получим неявную формулу трапеций,














или неявный метод Адамса второго порядка точности:

1 


1
2

  ,     




 , 1 ;

 1

0 

(8.7)

Мы получили нелинейное алгебраическое уравнение, которое
можно решить итерационным методом. При аппроксимации интеграла с помощью метода средних будем иметь




   3      3    2  >!3 3",






8 / 35

149

8.1. Методы Рунге–Кутты (нежесткие задачи)

или

   3     3  












 2 ,   2  > 3 3
!

"

,

откуда получим неявный метод:

1 

где

 ! 1 2, 
0 ,


  1



 1 2







 1 2

"

,

(8.8)

,

 2




 1 2



 2 

Более точные расчетные формулы также можно получить,
используя подход, называемый «предиктор–корректор». Например, схеме (8.7) будет соответствовать явный двухэтапный
метод:

$ 1   3    ,  ,
  2    ,      1, $ 1










 1











(8.9)



Схеме (8.8) соответствует метод «предиктор–корректор» следующего вида:

  ,  ,
 
1 2
2

(8.10)



,


1
1 2






 3



2







Методы (8.9) и (8.10), а также метод Эйлера относятся
к классу методов Рунге–Кутты, которые записываются в достаточно общем параметрическом виде:

   3          3 






0

2
3

,

(8.11)

1

где — число стадий, коэффициенты
мулам:
1





вычисляются по фор-

  ,  ,
   23 ,   321 1,
   33 ,   3 31 1  32 2,












... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
   ,    1 1  2 2  ... 



3

3



(8.12)

,

1

1



9 / 35

150

Гл. 8. Численное решение задач Коши для ОДУ

  

Здесь
,
, , — определяющие конкретный метод Рунге–
Кутты коэффициенты, которые обычно представляют в виде таблицы Бутчера:
0

2
3

21
31

..
.

32

..
.



1

2

1

2

...
...



,

1
1



При вычислении этих коэффициентов, как правило, обычно используется условие Кутты









,

которое, вообще говоря, не является обязательным.
Существуют также неявные методы Рунге–Кутты, для которых коэффициенты
имеют вид:




3 
3 

3 
3 







   1 ,    11 1  12 2  . . .  1 ,
1
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
   ,    1 1  2 2  ... 
,
а таблица Бутчера оказывается заполненной полностью:

1
2
..
.



11

12

21

22

...
...

1
2

..
.
1

1

2

2

...
...



,

Приведем примеры таблиц Бутчера для трех неявных методов: Эйлера, Эйлера с пересчетом, Рунге–Кутты 4-го порядка
точности

0

0
1

0
1/2

0
1/2
0

1

0
1/2
1/2
1

0
1/2
0
0
1/6

1/2
0
2/6

1
2/6

1/6

10 / 35

151

8.1. Методы Рунге–Кутты (нежесткие задачи)

Представим выражения для коэффициентов
в последнем случае:

 





1
2
3
4







 ;
 12 3 ,   3  12
 12 3 ,  3  12
 3 ,  3 3

,



,



1, . . . , 4,



;



1



2



;



Таблицы Бутчера для двух неявных методов Рунге–Кутты (метод
средних и метод Хаммера–Холлинсворта) имеют следующий вид:

1/2

12 

1/2
1

12






3 6
3 6

14

14




1/2

1 4 
3 6


3 6

14
1/2

Эти методы относятся к классу многостадийных одношаговых методов (т. е. сеточная функция вычисляется по данным на слое  ).
Представим также коэффициенты для метода высокого порядка точности (метод Дормана–Принса 5-го порядка):

1
4
1
2
3
4
5

6

7

2
5

35
;
384
125
;
192

 








3

0;

2187
;
6784

500
;
1113

6

11
,
84

 ;

 15 3 ,   5 1 ;


 103 3 ,   3 403 1  409 2 ;


56
32
 45 3 ,   3 44
;
1
2
3
45
15
9
 89 3 ,  

25360
64448
 3 19472
1
2
6561
2187
6561
   3,  
355
49
 3 9017
 46732
 176
1
4
3168
33 2
5247 3
   3 ,  1


,























3

212
729 5



5103
18656 5



;


;



11 / 35

152

Гл. 8. Численное решение задач Коши для ОДУ

Рассмотрим получение метода Рунге–Кутты первого порядка
(метод Эйлера). Введем погрешность вычисления решения на
одном шаге :

3
6 3     3 



   3







6 3  в ряд Маклорена:

 0
3

6 3 

)



1

Разложим



1

 



0

и положим:

6  0



1



0,



"  1
3 , 0  #  1,





0, . . . , ,

т. е. погрешность на одном шаге вычисляется по формуле
1
   "  1,
где



63

3

)  1



— порядок точности метода.
Рассмотрим простейший случай:

0 

1



В этом случае

6 3     3     31 1
Видно, что 6 3  0. Для 6  3  имеем
6 0    1 1 1 1    ,  ,






так как

   1   ,  
Поскольку 6  0 0, то 1 0, т. е. мы получаем одностадийный
(0 1) метод Рунге–Кутты первого порядка ( 1).






Приведем пример исследования разностной задачи

1 


 

0 ; 



0;

0, 1, . . . ,

аппроксимирующей задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

на сходимость.


 


0,

0,

 0 ,

12 / 35

153

8.1. Методы Рунге–Кутты (нежесткие задачи)

Точные решения дифференциальной и разностной задач соответственно имеют вид:

    ;
 1 3  1 3


 1
а погрешность 6 вычисляется по формуле
6  1 3 















,





Разложим в ряд Тейлора выражение:

1 3 







1 3 
 

! 2"

2  2
  3  2  > 3


- ! 2 ".
2 









  > 3

       








1

2 
2

2
! 2" 1

> 3





!

 > 32


 3  
2
2

".


!

"

 > 32 

В таком случае решение разностного уравнения может быть
записано в виде
2
! "

     2 ,




3

2



>3

а величина погрешности принимает вид

6

3  2 
2



!



6

 > 32

"

> 3 ,

3

0
т. е. полученная погрешность  стремится к нулю при
и имеет первый порядок.
Таким образом, мы провели исследование разностного метода Эйлера для линейного обыкновенного дифференциального
уравнения. Однако для этого нам потребовалось знание точных
решений как дифференциального, так и разностного уравнений,
чего не бывает при решении реальных задач. Тем не менее
иногда подобные исследования, когда они возможны, могут быть
полезны для изучения свойств разностного метода.
В реальных задачах сходимость решений разностных уравнений доказывается путем их исследования на аппроксимацию
и устойчивость, о чем будет идти речь ниже.

13 / 35

154

Гл. 8. Численное решение задач Коши для ОДУ

8.2. Метод Ричардсона
При численном решении задачи Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения методами Рунге–Кутты можно
достаточно просто повысить порядок точности метода, т. е. найти
поправку, добавление которой к решению, полученному по схеме
-го порядка, дает численное решение (  1)-го порядка точности. Этот метод называется методом Ричардсона, а оценка
точности метода — оценкой Рунге.
Пусть  — проекция точного решения ОДУ на расчетную
сетку на -м шаге, 1 — численное решение ОДУ на -м шаге, вычисленное с постоянным шагом
методом Рунге–Кутты
-го порядка точности соответственно. В этом случае справедлива оценка
! 1 "

,
(8.13)

1
















3

>3

   3  — константа.
Если 2 — численное решение,
Рунге–Кутты с шагом 322, то






3

полученное тем же методом

 +



2 

!

> 3

2

1 ",

(8.14)

Вычитая из первого соотношения второе, получим выражение
для :
 



 2 2 1  > 3 
После подстановки  в (8.14) будем иметь
+







1

2

2  2
2

1 
1

> !3

1 "

Величина, стоящая в скобках:

$2 2  2
2

1
1

,



 1.
является уточненным численным решением порядка
В этом и состоит метод Ричардсона, а способ оценки точности
решения называется методом (оценкой) Рунге. В данном случае
эта оценка (разность между точным и численным решениями)
имеет вид
! 1 "
2 1


2

2
1





>3



14 / 35

155

8.2. Метод Ричардсона

С помощью такого способа оценки погрешности можно выбирать
шаг интегрирования , необходимый для достижения точности
на одном шаге:

3



2 1
2

 

1

Если последнее неравенство не выполняется, то шаг уменьшается вдвое; если вновь не выполняется, то шаг вновь уменьшается
вдвое и т. д.
Формулы Рунге–Кутты, различающиеся на один порядок аппроксимации, называют вложенными. Для них выписываются
два соотношения Рунге–Кутты:



 3



и







 1

 3







1



1

 



 1







Соответствующая таблица Бутчера будет иметь вид
0

2
..
.



21

..
.
1

1
1

...
...
...

,




1
1
1




Например, методы Фельберга 2(3) и Кутты–Мерсона 4(5)
имеют следующие таблицы Бутчера (здесь запись   означаи :
ет два порядка точности вложенной формулы:

1
 1

0

0

1

1

1/2

1/4

1/4

1/2

1/2

0

1/6

1/6

4/6

0

0

1/3

1/3

1/3

1/6

1/6

1/2

1/8

0

3/8

2

1

1/2

0

32

2

0

1/2

0

0

2/3

1/6

15 / 35

156

Гл. 8. Численное решение задач Коши для ОДУ

Приведем расчетные формулы для 5-стадийного метода
Кутты–Мерсона:
1
2
3
4
5


$



 1



 1

  ,  ;

  3 ,   5 ;


  3 ,   6  6 ;


  2 ,   8  38 ;

  3 ,   8 38  2


  3 2 32  2 4 ;


$  3 6  23 6 























1
1

1

3

1

4

2

1

3

1

2


4

;

5

8.3. Барьеры Бутчера
Довольно часто в вычислительной практике используются
методы более высоких порядков: Фельберга 7(8) и Дормана–
Принса 7(8), причем последний метод имеет наименьшую погрешность среди всех методов Рунге–Кутты 8-го порядка точности [6].
Казалось бы, что с увеличением стадий (этапов) в методах
Рунге–Кутты на единицу так же будет увеличиваться и порядок
точности метода. Этот вопрос был исследован Бутчером. Оказалось, что лишь для явных методов Рунге–Кутты с количеством
стадий  4 возможно соотношение

0

 0

0

Однако при увеличении количества стадий
5 ситуация изменяется, о чем говорит теорема, доказанная Бутчером (первый
барьер Бутчера).
Теорема 8.2. Среди явных методов Рунге–Кутты с числом стадий, равным 5, не существует методов 5-го порядка
точности.
Более того, было показано, что при количестве стадий
5   7 максимально возможный порядок точности меньше
1. Второй барьер Бутчера — это
числа стадий на единицу:
переход от
7к
8. В этом случае оказалось, что
2
(при
8, 9. При дальнейшем увеличении количества стадий

0

0

0

0

 0

 0

16 / 35

157

8.3. Барьеры Бутчера

0 

разность
также увеличивается. В частности, для третьего
барьера Бутчера 
10, 11 имеем:
3, и т. д.
Барьеры Бутчера являются следствием роста постоянных Лебега при интерполяции на равномерной сетке, поскольку построение методов Рунге–Кутты связано с квадратурными формулами вычисления интегралов интерполяционного типа. Например,
наиболее известный метод Рунге–Кутты 4-го порядка основан на
квадратурной формуле Симпсона. Однако с повышением порядка
аппроксимации, как известно, в квадратурных формулах для
вычисления интегралов

0

 0

  

%  6




1



%

не все коэффициенты квадратур  будут положительными, т. е.
эти формулы становятся неправильными. Это является следствием роста постоянных Лебега, поскольку квадратурные формулы являются интерполяционными, откуда и появляются барьеры
Бутчера. Этих недостатков лишены неявные методы, использующие квадратурные формулы Гаусса для вычисления интегралов.
Важнейшим вопросом при численном решении методами
Рунге–Кутты является их устойчивость. Представим семейство
этих методов численного решения задачи Коши для ОДУ






в виде:

  , ,

1







 0 

(8.15)

 ,  , 0 ,

(8.16)

0,




 ,  — так называемая функция приращения метогде
дов Рунге–Кутты, вычисляемая с помощью пересчетов правой части (8.15). Докажем теорему об устойчивости методов
Рунге–Кутты, представленных в виде (8.16).
Теорема 8.3. Если функция  , , являющаяся правой
частью ОДУ вида

 




  , ,  0 ; ,   
липшиц-непрерывна по :
  ,    ,     ,
  3 3





,

3

причем
  ,  1, где — постоянная, — шаг интегрирования, то разностное уравнение, аппроксимирующее

17 / 35

158

Гл. 8. Численное решение задач Коши для ОДУ

рассматриваемое ОДУ, представленное в виде





1



 ,  , 0 




является устойчивым; при этом выполняется















0

0

  2+*



,

где — малое возмущение правых частей разностного уравнения, а , — решения двух близких систем разностных уравнений:
1   ,    ,
(8.17)







1




 ,     ,















  ,   

(8.18)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Вычитая (8.18) из (8.17) и переходя
к неравенству в норме, получим







 1

 1

  





  3   , 


С учетом условия липшиц-непрерывности
неравенства следует







 1

 1

  1  3  

 ,   23
 ,  из полученного







 1

 1

  23

После последовательного применения этого неравенства получим
 1 1  1    0 0  2 ;



3 
3
2 2  1  3  1 1  23 
 1  3 2 0 0  23 1  1  3 ;
3 3  1  3  2 2  23 


 1  3 3 0 0  23 1  1  3   1  3 2 ; . . .
  1  3  2 2 
. . . , 


 23 1  1  3   . . .  1  3  1 ,








или, после суммирования геометрической прогрессии:

     1    0 0  2 1  +  1 



3





 1  3  0


3
0

1  + 

2*



1

 +

18 / 35

159

8.3. Барьеры Бутчера

1  3 







  2+* 

  0

0



0



3

0

  2+*



,

 1. Теорема доказана.
если
Заметим, что для устойчивости численного метода необходимо, чтобы
1




3 > 
Это будет выполняться, если
> 1, так как  >1,
т. е. устойчивость при выполнении условия Липшица доказана
для временны́х интегралов порядка >1. Для интегрирования
на бóльших временны́х отрезках необходимо изучение других,
более «тонких» свойств правых частей ОДУ. Условие 3  1
можно переписать в виде    3  1 Это усиленное неравенство
является условием выбора шага интегрирования 3 при численном




решении ОДУ методами Рунге–Кутты.
Следствие. Положим, что для матрицы

       .

12







  ,    , ,

выполняется

 

строго отрицательны для любых  , и
0.
т. е. матрицы
Такие траектории, в окрестности которых выполняется данное неравенство, называются устойчивыми. В этом случае при
интегрировании ОДУ методом Рунге–Кутты -го порядка аппроксимации погрешность численного решения есть   для
любых ,
 1. При этом выполняется



3







  1  3  0


0

>3

  2+*  0

0

  2+* 

Так как в правой части неравенства отсутствует экспонента,
то утверждение доказано; метод Рунге–Кутты устойчив при
любом . Это важный результат для практических вычислений.
Если     ,    0, т. е. тип траекторий — нейтральные
(или не неустойчивые), то в этом случае показывается, что







 1

или





!





 1

  1  3

поскольку

!

"

  1  3 2 

"
2 

 > 3 , 



0

0





1  + 2



1
  23

2
+
!
  0 0  > 3
 2 

0.

  23,

1

"

,

19 / 35

160

Гл. 8. Численное решение задач Коши для ОДУ

Из последнего неравенства
что при расчетах на вре! 1видно,
"
менны́х интервалах 
, так как

>3
3 2 3



> 1;

метод устойчив, но его точность понижается до

> !3

1

"

.

Список литературы
1. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. 400 с.
2. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. Долгопрудный: Интеллект, 2008. 503 с.
3. Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике.
М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. 522 с.

Дополнительная литература
4. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.:
Мир, 1972. 418 с.
5. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы.
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. 622 с.
6. Хайрер Э., Нерсет С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с.

20 / 35

Глава 9
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
ДЛЯ СИСТЕМ ЖЕСТКИХ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

9.1. Понятие жестких систем ОДУ
Примерно в середине XX в. специалисты по численному решению задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений встретились с неожиданными трудностями. Задачи решались явными методами Рунге–Кутты с автоматическим выбором
шага интегрирования. Однако при численном решении некоторых
задач шаг интегрирования становится столь малым, что при
использовании первых электронно-вычислительных машин проведение расчетов практически останавливалось. По-видимому,
эти проблемы впервые возникли при решении задач химической
кинетики, которые можно представить в достаточно общем виде
следующим образом:

!



&    

# # 

# #

#



,

, ,

#,



1, . . . ,

1

Здесь  — концентрации различных веществ, принимающих
участие в реакциях; # , # — постоянные величины, характеризующие скорость протекания химических реакций.
Специалисты отмечали значительную разницу в значениях
этих компонент — они могли различаться на много порядков.
Существенная разница могла появляться и в поведении самих
концентраций: концентрации различных веществ могли существенно различаться и по величине и по характерным временам
заметных их изменений, они могли сильно меняться с течением
времени. Приведем один пример такой системы ОДУ, описывающей изменение концентраций трех веществ ( , , ):

& 





!
!



!

  0







4  10 2  104 ,
10 2
104
3  107
3  107 2 ,
1,




 0 0,

0

2,
0



21 / 35

162

Гл. 9. Численное решение задачи Коши для систем жестких ОДУ

В дальнейшем подобные системы ОДУ встречались при численном решении многих задач биофизики, экономики, радиофизики,
астрофизики, механики и др.
Характерным для такого рода задач было наличие участков с быстрым и с медленным изменением искомых параметров
исследуемого процесса, которые назвали пограничным слоем
и квазистационарным слоем соответственно. В качестве примера можно привести такую систему из двух уравнений:

! $  Æ 1,
! Æ 1,
 0 ,  0 & ,
, & , $ > 1, 0 Æ  1

Точное решение такой системы ОДУ имеет вид:

      $   & 1  $Æ !1  -  "$    ! Æ
  &  Æ 1 

1

".

;

В данном случае решение состоит из быстро убывающей и медленно изменяющейся компонент. Видна большая разница в кои . К тому же если эту же систему ОДУ
эффициентах
представить в матричном виде

$



Æ

!



,

где
 ,  1 — вектор-столбец искомых функций,
а 2  2 — матрица с постоянными заметно различающимися
коэффициентами, то собственные числа этой матрицы также
будут существенно различными:

 2

1  Æ

1

,

2 > 1,

т. е.  1   2   1.
При численном решении такого рода задач исследователи
столкнулись со следующей вычислительной проблемой. В самом начале процесса искомая функция (или одна из искомых
функций) претерпевала значительное изменение, в соответствии
с которым выбирался шаг численного интегрирования, который
оказывался малым по причине быстрого изменения функции.
Однако через небольшой промежуток времени характер процесса
существенно не изменился качественно: траектория становится
медленно меняющейся, однако расчет продолжается с тем же
шагом. Если существенно увеличить шаг интегрирования, в соответствии с медленным изменением одной из искомых функций,

22 / 35

163

9.1. Понятие жестких систем ОДУ

то происходит вычислительная катастрофа: численное решение
начинает быстро колебаться и расти по абсолютной величине.
Дело в том, что исходя из условия устойчивости явного
метода Рунге–Кутты для численного решения системы ОДУ вида

!  ;  ,   



,

 0 

шаг интегрирования должен выбираться из неравенства

3     1


Однако в таком случае этот шаг будет соответствовать самому
быстрому из исследуемых процессов; расчеты же медленных процессов приведут к неоправданно большим затратам машинного
времени. В этом случае необходимо либо решать рассматриваемую систему ОДУ с малым шагом , соответствующим самому
быстрому процессу, либо проводить численное интегрирование
с большим шагом, соответствующим медленно протекающим
процессам. Однако тогда нам придется использовать (или разработать) такой метод, который позволил бы проводить расчет
с шагом
1

3

3     


Поскольку величина   соответствует постоянной Липши-

ца, то такие системы ОДУ называют системами с большой
константой Липшица, или жесткими системами.
Дадим строгое определение жесткой системы ОДУ.
Определение 9.1. Задачу Коши для ОДУ вида




  , ,

0,

 0 ; ,   



назовем жесткой, если спектр матрицы

<   


можно разделить на две части:
1) жесткий спектр, для которого выполняется:

"   

#   "  , "

0,







1, . . . ,

1 ;

2) мягкий спектр, для которого

   0 

 ("
0   ,
Здесь









1, . . . ,
0

)

" 1  1, . . . , 

— собственные значения матрицы

  .


0,

,



23 / 35

164

Гл. 9. Численное решение задачи Коши для систем жестких ОДУ

2

Отношение 0 0 называется показателем жесткости си1, величина 0  1
стемы ОДУ; при этом обычно 0
в приложениях бывает больше 106 .
Что же касается устойчивых численных методов, обеспечивающих интегрирование при больших , таких, что



>

3

3     1,
*

то такими являются неявные разностные методы: в частности,
неявные методы Рунге–Кутты, примеры которых были приведены
выше.
Для объяснения этого факта удобно рассмотреть систему
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений вида

,  0 

!

(9.1)

и ее аппроксимацию с помощью явной и неявной разностных
схем.
Представим точное решение этой системы в виде

 

1






, 





1




1

1




, 





(9.2)

Видно, что в этой сумме значение первого слагаемого экспоненциально убывает, как    0  и вне пограничного слоя
является пренебрежительно малой величиной, практически не
влияющей на решение. Второе же слагаемое соответствует квазистационарному участку решения системы (9.1).
Точное решение системы явных разностных уравнений, аппроксимирующей исходную систему ОДУ





1

или







0 ,

,

 1   3  





(9.3)

,

имеет вид [1]
1





 1  3 










1




1

1

 1  3 






,

(9.4)

— собственные векторы матрицы .
Первое слагаемое полученной суммы (жесткую компоненту
решения) можно оценить так:
где

1  3    3 0 






;

24 / 35

165

9.2. Устойчивость жестких систем ОДУ

3


очевидно, что при
0  1, что реализуется в практических
задачах, это слагаемое будет быстро расти, изменяя знак при
каждом изменении , т. е. мы получим осциллирующую функцию с быстро растущей амплитудой.
Для второго слагаемого (мягкой компоненты решения) при
0  1 получаем оценку

3

1  3 







 ,

1  > 30,  :23 ,

 :,

0

т. е. нежесткая компонента решения аппроксимирует соответствующую компоненту точного решения рассматриваемой системы ОДУ. Таким образом, для численного решения системы (9.1)
явная разностная схема (9.3) непригодна по причине ее неустойчивости.
Что касается неявной разностной схемы, аппроксимирующей (9.1), имеющей вид
1 
,
,
(9.5)

 1 0 
 3  1  ,





 1

или





то ее точное решение представляется в виде
1





 1 3 










1




1

1

 1 3 








(9.6)

В данном случае, как хорошо видно, жесткая часть разностного
решения (первая сумма) стремится к нулю как  0   и качественно верно описывает поведение решения в пограничном
слое, а нежесткая часть (вторая сумма) аппроксимирует поведение соответствующей части точного решения рассматриваемой
системы ОДУ.
Заметим, что если нас интересует решение исходной системы (9.1) в зоне погранслоя, то его можно получить путем интегрирования с малым (в сравнении с шагом на квазистационарном
участке) шагом:  0 1 .

3

3

9.2. Устойчивость жестких систем ОДУ
Исследование разностных схем, аппроксимирующих ОДУ,
обычно иллюстрируется на тесте Далквиста [5].
Дифференциальное уравнение вида




,

0,

 0 , 

0,

(9.7)

25 / 35

166

Гл. 9. Численное решение задачи Коши для систем жестких ОДУ

имеет точное решение

   0

,

,



которое монотонно убывает при
Рассмотрим простейшую разностную аппроксимацию (9.7)
с помощью явного метода Эйлера:

1 

откуда следует









0 , 

,

1  3 

 1



 



0, 1, . . . ,

(9.8)

,

1, 2, . . ., означающее устойчит. е. неравенство  1     ,
вость (9.8), выполняется при 1    1
При
0 это условие эквивалентно ограничению на шаг
интегрирования :
 2
(9.9)
0



3

3



3  

Функция

 3

1

3

называется функцией устойчивости.
Определение 9.2. Разностный метод называется абсолютно
устойчивым, если выполняется условие

 3  1

3

при любых , и условно устойчивым, если он устойчив при
некотором ограничении на .
В частности, явный метод Эйлера является условно устойчивым при выполнении условия (9.9), а неявный метод Эйлера:

3

1 

для которого

3



,

 1

 3

0 , 

1 3

1

0, 1, . . . ,
1

при любом , является примером абсолютно устойчивого разностного метода.
Условная устойчивость явных методов является их недостатком вследствие ограничения на шаг . Неявные методы лишены
этого недостатка, однако при их использовании приходится решать систему алгебраических уравнений, вообще говоря, нелинейную.

3

26 / 35

167

9.2. Устойчивость жестких систем ОДУ

0
 0 

Для -стадийных методов Рунге–Кутты с порядком аппрок(  4) функции устойчивости имеют следующий
симации
вид:

2 3
3 3
4 3

3  12 3,
1
1
1  3  32  33 ,
2
6
1
1
1
2
1  3  3  33 
34 
2
6
24
1

Видно, что эти функции являются частичными суммами ряда
Тейлора для функции  ,.
Определение 9.3.
Схема называется
-устойчивой, если     1 при
"   0.
-устойчивой, если она
-устойчива
Схема называется
0 при
.
и  
-устойчивой, если она -устойчива
Схема называется
и  
0 при  
.
Таким образом, схема -устойчива, если область устойчивости представляет собой левую полуплоскость комплексной плоскости "   0
В случае если область устойчивости включает в себя угол
в левой полуплоскости комплексной плоскости с вершиной в начале координат и с углом полураствора , то метод называется
 -устойчивым. Например,  -устойчивыми являются некоторые неявные методы, о которых речь пойдет ниже.
Теорема 9.1 (барьер Далквиста). Не существует -устойчивых разностных схем порядка аппроксимации выше второго.
Свойством -устойчивости, например, обладает неявный метод трапеций:





3

3

3
 3
 3

3

 3







$

$

$





1 


1
2

  ,     




 , 1 

 1

В этом случае для уравнения (9.7) получаем

" 3



3

4



3 ,
т. е. метод является -устойчивым, так как " 3 0.
Таким образом, для повышения порядка аппроксимации необходимо конструировать другие, например, $-устойчивые раз1

1
2

1

1
2

ностные схемы.

27 / 35

168

Гл. 9. Численное решение задачи Коши для систем жестких ОДУ

При разработке разностных схем для численного решения
жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений
необходимо учитывать следующие требования:
¯ схема должна быть аппроксимирующей;
¯ схема должна обладать устойчивостью, например: ,  ,
(0), -устойчивостью;
¯ схему необходимо верифицировать на известных тестовых
задачах.



 $

$

9.3. Нелинейные жесткие системы ОДУ
Рассмотрим следующую систему двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (система А. Н. Тихонова)

Æ  ! ( , ,
! + , ,  0 ,  0 ,

(9.10)

и перепишем ее в виде:

! ( , ,
! + , ,
Æ 1,  0 ,  0 
В этой системе: 0 Æ  1 — малый параметр;  1 — большой
параметр; , , ( , + > 1.
Из характеристического уравнения

  



















0



находятся собственные значения матрицы Якоби :

1  (  , 2 > 1,

(9.11)



откуда видно, что система (9.10) является жесткой при (

так как

0,

1 2 2  1

Теперь дадим важное для данной темы определение сингулярно
возмущенной задачи.
Определение 9.4. Пусть соответственно:

 (

(  Æ(
(9.12)
— невозмущенная и возмущенная системы ОДУ,  и (   —
и

  Æ  
Æ

Æ

Æ



дифференциальный оператор и правая часть невозмущенной системы.
Задачу

  Æ  
Æ

Æ

(  Æ(

Æ

28 / 35

169

9.3. Нелинейные жесткие системы ОДУ

называют регулярно возмущенной, если выполняется

     

Æ

при

Æ

0;

в противном случае задача называется сингулярно возмущенной.
Можно показать, что (9.10) является сингулярно возмущенной.
Рассмотрим в данной системе случай правых частей вида
'

(  13 3  ,
+ 
График функции ( ,   представлен на рис. 9.1. Соответствующая кривая делит плоскость ,   на две части, в которых
( 0 и ( 0; вне этой кривой поле скоростей близко к горизонтальному, на ней выделяются два участка: 1 2 , 3 4
(устойчивые) и один 2 4 — неустойчивый.
y
F >0

A2

A3

1

0

− 3

F Æ

Качественное поведение решения в плоскости  ,  можно
описать следующим образом.
Траектория движения из начальной точки 0  ,  в некоторую точку устойчивой ветви 1 2 кривой 1 2 3 4 представляет собой пограничный слой. Поскольку поле скоростей
вне этой кривой почти горизонтально, то 0 1 является почти
горизонтальным отрезком в плоскости  , , на котором за
некоторый временной интервал
  траектория из 0
0
переходит в малую -окрестность рассматриваемой кривой. Поскольку этот участок траектории решения нашей системы почти
горизонтален, то решение определяется системой

Æ



! Æ 1( , ,
!  0,  0 0
В малой Æ -окрестности кривой ( ,   0 выполняется
(  0;


в таком случае можно сделать следующую оценку:

(  (   ! (   ( ,
из которой видно, что ( ,   на данном отрезке экспоненциально стремится к нулю (как экспонента с показателем (  , (  0
за время
> Æ.
0
Движение точки   ,    по участку 1 2 рассматри









ваемой кривой является квазистационарным; в этом случае оно
подчиняется системе ОДУ вида

( ,  0,
! + , 
Здесь время движения точки   ,    оценивается так:
> 1,
1

и поведение системы является устойчивым, после чего она приходит к неустойчивому положению в точке 2 . Затем движение
за малое время
  переходит в точку 3 , поскольку
2
траектория, соответствующая части 2 4 рассматриваемой кривой, не может быть реализована по причине ее неустойчивости.
Далее реализуется квазистационарный участок кривой 3 4
(здесь 
0), где время движения



>Æ







(

3

> 1,

30 / 35

171

9.3. Нелинейные жесткие системы ОДУ



после чего на участке 4 1 происходит быстрое, за время
 , движение («скачок» из точки 4 в точку 1 .
4
Замкнутая кривая (траектория) 1 2 3 4 1 называется предельным циклом. Графики искомых функций также будут иметь
два квазистационарных участка ( 1
1, 3
1) и два
быстрых, реализуемых за времена


и
 .
4
0
Численная реализация решения рассматриваемой системы
с помощью явной схемы: например, схемы Эйлера

>Æ


>
>Æ





1 

1 






>

>Æ

(  ,  ,
+ ,  , 0 ,  ,






представляется затруднительной, поскольку в зоне погранслоя
должно выполняться условие, существенно ограничивающее шаг
по времени:
     1

3

(



3

При расчете квазистационарного участка параметр можно выбирать много бóльшим, поскольку времена движения на этих
двух участках существенно разные:   и 1.
В этом случае целесообразным было бы использование неявной схемы, например,

Æ





1 

1 


(  1,  1,
+  1,  , 0 ,  ,








решение которой может быть реализовано итерационным методом: например, методом простых итераций или методом Ньютона.
Заметим, что в малой окрестности точки 2 рассматриваемая
система алгебраических уравнений может иметь более одного
решения, одно из которых может принадлежать участку 2 4
кривой 1 2 3 4 1 . Такая ситуация может произойти при выборе большого шага интегрирования, при котором неявная разностная схема не теряет устойчивость. По этой причине при использовании неявных разностных схем для численного решения
сингулярных жестких систем обыкновенных дифференциальных
уравнений необходимо учитывать возможность получения нефизичного решения на неустойчивых ветвях.







31 / 35

172

Гл. 9. Численное решение задачи Коши для систем жестких ОДУ

9.4. Численные методы решения
жестких систем ОДУ
Представим некоторые наиболее известные в вычислительной
практике численные методы для решения жестких систем уравнений.
Неявные методы Рунге–Кутты могут быть представлены в виде



 3







 1

,

(9.13)

1

где коэффициенты




рассчитываются по формулам:

3  3 



3  3 


а коэффициенты  ,  ; , " 1, . . . , 0 могут быть представлены
   1 ,    11 1  12 2  . . .  1 
1
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
   ,    1 1  2 2  ... 
,


в таблице Бутчера:

1
2
..
.



11

12

21

22

...
...

1
2

..
.
1

2

1

2

...
...



,

Такие таблицы для двух методов Гаусса, относящихся к классу
неявных методов Рунге–Кутты, были представлены в гл. 8 (метод
средних и метод Хаммера–Холлинсворта).
Таблицы для методов Радо, также принадлежащих к классу
неявных методов Рунге–Кутты для первого и третьего порядков
аппроксимации, имеют вид:
1

1/3
1

1
1

5/12
3/4
3/4

112
1/4
1/4

(неявный метод Эйлера).

Представим также таблицы для методов Лобатто второго
и четвертого порядков:
0
1

0
1/2
1/2

0
1/2
1/2

0
1/2
1

0
5/24
1/6
1/6

0
1/3
2/3
2/3

0
124
1/6
1/6

(неявный метод
трапеций).

32 / 35

173

9.4. Численные методы решения жестких систем ОДУ

Заметим, что наиболее известные неявные методы Рунге–Кутты
подразделяются на несколько типов: гауссовы методы, основанные на квадратурных формулах Гаусса; методы Радо IА, Радо IIА,
Лобатто IIIA, IIIB, IIIC, основанные на квадратурных формулах
Радо и Лобатто. Эти методы подробно описаны в [6]. Получение
приведенных расчетных формул можно найти в [1, 5, 6].
Следующий класс методов — безынтерационные (полуявные)
методы Розенброка, при вычислительной реализации которых
не приходится численно решать систему нелинейных алгебраических уравнений. Схема Розенброка выглядит следующим образом [1]:
!
"
    , (9.14)
2 2 1

 3  3 


где  — единичная матрица,
   



%3 





%

— матрица Якоби, , , — параметры метода, которые подбираются из условий устойчивости и обеспечения заданного порядка
аппроксимации. При этом для вычисления решения 1 необходимо дважды вычислить значения , вычислить компоненты
2 2 , а затем —
матрицы , обратной матрицы (
решения. Для метода Розенброка третьего порядка аппроксимации параметры , , имеют следующие значения:



 3  3 



%



1,077;

%

0,372;

0,577





Рассмотрим теперь метод неопределенных коэффициентов
для численного решения, в первую очередь, жестких систем
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Для получения численного решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения




  , ,

рассмотрим разностные схемы вида
0   1 1  . . .   
или:

 0

 


(9.15)

A0  A11  . . .  A 





  0 

0,







0



A




 

;





$ 




  

0
 

,

 

3A  


 

0;

 
 

33 / 35

174

Гл. 9. Численное решение задачи Коши для систем жестких ОДУ

  с уравнения
A0  A1 1  . . .  A 0,

Решение такого уравнения начинается при

0 



1 

1





...  

0







(9.16)
начальт. е. для того, чтобы начать расчет, необходимо задать
ных значений:
0, . . . ,
1. Обычно задается значение 0 ,
а значения 1 , . . . ,  1 вычисляются, например, с помощью методов Рунге–Кутты. Отметим также, что, в отличие от методов
Рунге–Кутты, в многошаговых методах правые части вычисляются только в узлах расчетной сетки.
При 0 0 многошаговый метод называется явным, поскольку значение  вычисляется явно при известных значениях
 1 , . . . ,   . Если же
0  0, то метод называется неявным.
В этом случае необходимо численно решать уравнение вида

"

A







$
 0
1





A







A0  ,  





A









$

1

 

1



 

с помощью итерационного метода, обычно для этого использует0
ся метод Ньютона при начальном приближении 
 1.
Поскольку коэффициенты в (9.16) определены с точностью
до множителя, вводится условие





A

1,







0

означающее, что правая часть разностного уравнения (9.16) аппроксимирует правую часть исходного ОДУ (9.15).
В практике численного решения задач распространение получили многошаговые методы Адамса, для которых:

$0

1,

$1

1,

$

0;



2, 3, . . . ,

,

т. е. в этих методах первая производная аппроксимируется по
значениям искомой функции в двух узлах:

 1


A



A 




 



(9.17)

0

A

При 0 0 имеем явные методы Адамса, при 0  0 — неявные.
В настоящее время для численного интегрирования жестких систем ОДУ наиболее широко используются чисто неявные

34 / 35

175

9.4. Численные методы решения жестких систем ОДУ

методы, или формулы дифференцирования назад (ФДН), для
которых:
1,  0;
1, . . . , ;
0
(9.18)
0   . . .   
 , 

A

A

"








 


Последнее уравнение является, вообще говоря, нелинейным:


$0 3  ,  




$




 

1

и решается итерационными методами.
Для исследования устойчивости многошагового метода (9.16)
рассмотрим однородное разностное уравнение вида

$0  $1


 1

 ...  $ 


 ,   1, . . . 

0,

 

(9.19)

Далее будем искать решение этого уравнения в виде











,

(9.20)

где значения
находятся из характеристического уравнения,
которое получим, если подставим  из (9.20) в уравнение (9.19):



$0  $1


 1

 ...  $

 

0,



(9.21)

Определение 9.5. Говорят, что метод (9.16) удовлетворяет
1, . . . , , характериусловию корней, если все корни  ,
стического уравнения (9.19) лежат внутри единичного круга на
комплексной плоскости и при этом на границе единичного круга
нет кратных корней.
Теорема 9.2 (устойчивость однородного разностного уравнения). Для того чтобы однородное разностное уравнение

 "

$0  $1


 1

 ...  $ 


 



 ,   1, . . . ,

0,

было устойчиво по начальным данным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие корней.
В теории разностных уравнений доказывается теорема существования и единственности решений однородного разностного
уравнения [7].
Далее рассмотрим задачу Коши для неоднородного разностного уравнения

$0  $1 1  . . .  $ 
3 ;
(9.22)
здесь  ,   1, . . .; значения 0 , 1 , . . . ,  1 заданы (началь— правая часть;  ,    ; ,    .
ные значения); 






 

 



 







Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

35 / 35

176

Гл. 9. Численное решение задачи Коши для систем жестких ОДУ

$

Если 0  0, то решение задачи Коши неоднородного разностного уравнения существует и единственно; оно может быть
найдено по рекуррентной формуле







0 



 1

0 



 1

1

0 

...



1

  



0

 

,

если заданы начальные условия:  ;
0, 1, . . . ,
1, и правая
часть.
Теорема 9.3 (устойчивость решений неоднородного разностного уравнения). Если однородное уравнение


$




0

 

1

устойчиво по начальным данным, то для неоднородного разностного уравнения


$




 

3

 

1

верна оценка

        1


 



3  ,    , 1  1 




0

Выполнение условий этой теоремы означает устойчивость
неоднородного разностного уравнения по начальным данным.
Отметим, что все методы Адамса вида

 1


A0    . . .  A  




 

удовлетворяют условию корней, так как для этих методов выполняется
1, 1
1, т. е.
1
1
0

$

$

 



Приведем пример разностного многошагового метода третьего
порядка, который аппроксимирует исходное дифференциальное
уравнение, но не удовлетворяет условию корней:

  41
6

52

21  2
3



Более подробно теория устойчивости многошаговых методов приведена в [3, 7].

1 / 35

177

9.4. Численные методы решения жестких систем ОДУ

Невязкой разностного метода является функция вида

Æ

3





1

$C








 

A 




0

 

,

C ,

(9.23)

 

0

C

где   — точное решение аппроксимируемой дифференциальной задачи, подставленное в разностное уравнение (проекция
точного решения на сетку).
Разложим функции   и   в ряд Тейлора [3]:

C

C



! 1 "
,   -   

>
3 ;
!

1  
 ,     > 3
   "3 

!
 0



 
 0



,

 







(9.24)
После подстановки полученных разложений (9.24) в (9.23) получим



0



Æ




0

 0







3

1

0

A

1
 0

0

0

0

 0




0




A 





 1





1

0

$ C 




1







,  -   
!
1
0

 1

 > 3 

,  -   
!




1

1

 "3 

0

 

 -!




 > 3 
 1



0

1

,  - 1  
!







0

,  -   
!





1




,
$

A

! 

 >3 

1



(9.25)

Из последнего выражения следует, что разностное уравнение
имеет порядок аппроксимации , если:







$





0

0,


"

 1

"$  ?A 




0;

?

1, . . . ,



(9.26)

0

2 / 35

178

Гл. 9. Численное решение задачи Коши для систем жестких ОДУ

Соотношение (9.26) с условием


A

1





(9.27)

1


$ A "

образуют систему из (  2) алгебраических уравнений
0, 1, . . . , . Если во втором
с 2  1 неизвестными  ,  ;
уравнении в (9.26) выделить уравнение с
1:





"$ 



A





0

0







?

(9.28)

0

и учесть условие нормирование (9.27), то получим систему линейных алгебраических уравнений с 2 неизвестными  ,  ;
0, 1, . . . , :

"











При этом







"$

1,



 1



"

 1

$ A

"$  ?A 


?

0;



2, . . . ,



(9.29)

1

$0 и A0 вычисляются из условий:


$0



$ , A0



A

1







1

(9.30)

1

Очевидно, что система (9.29) не будет переопределенной, если
выполняется неравенство

  2
Откуда следует, что порядок аппроксимации линейных многошаговых ( -шаговых) разностных методов не может быть больше 2 (для неявных методов 2 , для явных ).
1 (методы Адамса -го порядка) полуВ случае 0
1
чаем:

 1
  1;
2, 3, . . . , ;
 1
(9.31)

1
,
0





$



$

?

"




A

A

?





A

1

откуда следует, что наивысшие порядки неявных и явных мето1 и .
дов Адамса равны соответственно





3 / 35

9.4. Численные методы решения жестких систем ОДУ

179

Для чисто неявного многошагового разностного метода (фор0;
1, . . . , ;
мулы дифференцирования назад) имеем ( 
1)
0

A





$ 




3 

 

"

 , 1 



(9.32)

 1

0



При выполнении условий -го порядка аппроксимации система
линейных уравнений (9.29), (9.30) приобретает следующий вид:






















$0


$;




"$

1

1;



 1



"$


0;



(9.33)

?



2, . . . , ,

1

откуда следует, что максимальный порядок аппроксимации чисто
-шагового неявного метода равен .
Представим (9.33) в виде системы линейных алгебраических
уравнений:










$1  2$2  . . .  $
$1  22$2  . . .  2$

1;
0;

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.





0,

12
2  ... 


$

при этом

$

(9.34)

 $

$0 вычисляется так:
$0 $1  . . .  $ 

(9.35)



Чисто неявные методы обладают хорошими свойствами устойчивости, что делает их использование при численном решении
жестких систем ОДУ вполне приемлемыми.
Рассмотрим получение некоторых многошаговых разностных
методов, следующих из полученных систем линейных уравнений
(9.29), (9.31), (9.34).
Для явных -шаговых методов Адамса



 1


A1  

 1

 ...  A  


 

,

(9.36)

4 / 35

180

Гл. 9. Численное решение задачи Коши для систем жестких ОДУ

максимальный порядок аппроксимации равен
с (9.31) имеем



" 1A
#





1



,

. В соответствии

1, 2, . . . ,



(9.37)

1

При решении данной системы алгебраических уравнений для
получаем методы Адамса максимального порядка
различных
аппроксимации.
При
1 имеем





 1




(явный метод Эйлера)

 1





С увеличением
до значений 2, 3, 4 получим методы соответствующих порядков (2, 3, 4, 5):

 1

 1

 1




3
 1
2
1
23
12
1
55
24

 

1
2



 1

 

 1

 2

16



59



,

 2



 2

2;

 5 3, 

3;



 37

 3

9

(9.38)

 4, 


-шаговых методов Адамса
A0    A1   1 . . .  A  

4



В случае неявных

 1








 

;

(9.39)

мы имеем разностные методы с максимальным порядком аппроксимации
 1.
1 получаем неявный метод трапеций:
Так, при

 




 1


1
2

   1, 


2;



2, 3 получим соответствующие неявные методы
при
(  1)-го порядка:



 1
1
5  8 1  2 ,

12
 1
1
9  19 1 5 2  

24





3;


3 ,

4



(9.40)



Поскольку формулы (9.40) неявные (  входит в функцию  ),
то их необходимо решать численно, используя итерационные
методы. Так, для метода Адамса 4-го порядка аппроксимации

5 / 35

181

Список литературы



можно построить следующий итерационный процесс ( — итерационный индекс):

 
1 1
1
9
,    19 
,



 1 1
5 
 0, 1, . . .  (9.41)
2, 
2   
3, 
3 ,
0
Начальное значение  можно получить, используя явный метод




24



















Адамса третьего порядка:

0 1


 

1
9
12

 1

,

 1


16



 2 
 5  3,  3 
 2

,







(9.42)

Заметим, что если в итерационном процессе (9.41) ограничиться
одной итерацией (
1), то из (9.41) и (9.42) получим двухэтапный метод предиктор–корректор.
Чисто неявные методы, или формулы дифференцирования
назад для
1, 2, 3 можно получить из системы линейных
алгебраических уравнений (9.34).
Для
1 получим неявный метод Эйлера:
 1
 ,
;







для



11
6







 1





 1

2, 3, 4 получаем:



3
2




2



3





 1

 

1
25
12



 1

 12 

3 

 2

 32 


48 1  36
 2



1
3

 3
 2

 , 1 ,



 1

2;

3  1,  1,  3;
16 3  3 4 
3  1,  1,  4












Одним из наиболее популярных методов ФДН является метод Гира [5, 6], имеющий наивысший шестой порядок точности и использующий на первых этапах расчета методы ФДН
с
1, . . . , 5.



Список литературы
1. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. Долгопрудный:
Интеллект, 2008. 503 с.
2. Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике.
М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. 522 с.
3. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 430 с.

6 / 35

182

Гл. 9. Численное решение задачи Коши для систем жестких ОДУ

Дополнительная литература
4. Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979. 208 с.
5. Уатт Дж., Холл Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979. 312 с.
6. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999.
685 с.
7. Романко В. К. Курс разностных уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012.
199 с.
8. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. шк., 1990. 208 с.

7 / 35

Г л а в а 10
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

10.1. Метод фундаментальных систем
В отличие от задачи для ОДУ, для краевой задачи ставятся
условия не на одном, а на двух концах отрезка интегрирования.
В начале главы приведем метод решения краевой задачи для
системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
вида

     ,
(10.1)




 ( 
  1 


 





1 
 

где
 0, , , — -мерные векторы,       —
матрица  (    — пространство матриц размера  ),
0,  — интервал интегрирования, — независимая переменная.
Для замыкания задачи необходимо задать конечных соотношений (краевых условий):



 0     ,

,



  1   ,    


(10.2)

Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно,
что общее решение системы ОДУ (10.1) задается следующей
формулой (метод фундаментальных систем):

    
 



@,




1



(10.3)

где     — произвольное (частное) решение неоднородной
системы ОДУ


(10.4)





с некоторыми достаточно произвольными, например однородными, краевыми условиями, удобными для построения решения (10.1), а    — линейно независимые решения однородной
системы
 

 







с неоднородными краевыми условиями, обеспечивающими ли1, . . . , при любых .
нейную независимость векторов ,

 "



8 / 35

184

Гл. 10. Численные методы решения краевых задач для ОДУ

@



Коэффициентные  находятся из заданных краевых условий,
для чего необходимо решение вида (10.3) подставить в (10.2):


 0  





@  0      




1





@   






1

,
(10.5)

и полученное соотношение представить в виде


%

@





1

 0    &    0    






(10.6)

В результате мы получим систему из линейных алгебраических
1, . . . , , с матриуравнений относительно неизвестных  ;
цей, -й столбец которой имеет вид



"

@ "



 0    




Если эта система имеет единственное решение, то и краевая
задача имеет единственное решение. Обычно в реальных задачах
это условие выполняется; если решение этой системы не существует или не единственно, то задача считается вырожденной
(возможно, необходимо уточнить ее постановку).
Частное решение неоднородной системы ОДУ с однородными начальными данными 0 0 можно получить, используя
один из методов Рунге–Кутты, например, метод первого порядка
точности:



 1   /        ,


/ 

 C











0 0; 0, 1, . . . , .
1
;
Отметим, что в вычислительной практике, как правило, используются явные методы Рунге–Кутты более высоких порядков
точности.
Для получения линейно независимых численных решений    используются естественные начальные данные Коши:
где

 

 0


где



0, . . . , 1, 0, . . .


, "




1, . . . , ,

 — " -й орт -мерного векторного пространства.


Таким образом, численное решение краевой задачи свелось
к решению (  1)-кратного решения задачи Коши каким-либо
из известных явных методов Рунге–Кутты заданного порядка
точности.



9 / 35

185

10.1. Метод фундаментальных систем

Однако можно привести пример системы ОДУ, для которой
приведенный метод не даст желаемого результата:

!   +,
! &  +$ ,  0 0,  0

0



Решение такой системы можно представить в следующем виде
$
0):
(для простоты положим

+ +




 @1

 @1
где



1




 @2

 
,1 

1





2




2



,2 


 @2






 
,1 

3




4




,2 

,

1, 2 являются корнями характеристического уравнения






&




 

0,

.
т. е. 1,2 
и
достаточно большие ( 102 ), то поЕсли значения
лучение решение состоит из двух компонент (как в первой,
так и во второй квадратных скобках): одной — быстровозрастающей  100 , другой — быстропадающей  100 .

 &





и

Напомним, что
1

являются решениями двух одно2

родных систем ОДУ следующих видов:

! 1 1,
! 1 &1,
1 0 1, 1 0
'
! 2 2,
! 2 &2,
2 0 0, 2 0
'

и

0

1;

 ,  — частное решение соответствующей неоднородной систе-

мы с однородными краевыми условиями.
Правильное решение данной задачи (соответствующее, например, физике проблемы проникания потоков нейтронов через защиту реактора) соответствует падающей экспоненте, так как защита ослабляет потоки нейтронов; при этом растущие экспоненты должны взаимно уничтожиться. Однако при численном решении
экспонентам будут соответствовать большие погрешности.

10 / 35

186

Гл. 10. Численные методы решения краевых задач для ОДУ

Пусть, для примера, мы оцениваем машинное значение
( — машинная ошибка):

Æ



 1  Æ  100



$

!

1  10

10

"





$

> 1;

,

в этом случае рост погрешности  100 приводит к получению
нефизичного результата и от метода фундаментальных систем
трудно ожидать адекватного решения.
Важно отметить, что, как и в случае задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, краевые задачи для
ОДУ также могут быть жесткими. В этом случае систему ОДУ
вида

 ; ,  





 

с краевыми условиями вида




 0  ; 


- - ;

1, . . . , ;

1




    ;  -  1, . . . , ,


1

где  — некоторые постоянные, называем жесткой, если спектр
матрицы
разделяется на три части:
левый жесткий спектр:



"   0, #   0; "


1, . . . ,



1 ;

правый жесткий спектр:

" 



0, #   0; " 1  1, . . . , 2;


мягкий спектр:

@

   0 , " 2  1, . . . , 


 2

Число
0 0 является параметром, характеризующим
жесткость системы ОДУ; полагаем, что в случае жесткой системы
1,
0
0 1



>





Структура рассматриваемой системы следует из общего решения
одной задачи:

 

1


1

  ,    

2


1

1

  ,  








2

1

  ,    

В этом решении первые два слагаемых относятся соответственно
к левому и правому пограничным слоям, третье — к мягкому

11 / 35

187

10.2. Краевые задачи для уравнения второго порядка

спектру. Особенностью жестких краевых задач, вследствие ограниченности отрезка интегрирования, является ограниченность их
решения:
        ,







 >1,  1, . . . ,  
Заметим, что, вообще говоря, значение  может быть  
,
(вычиоднако мы рассматриваем задачи, где  >1  


0 -

0 

слительно корректные задачи). Можно показать, что необходимыми условиями вычислительно корректной задачи являются
неравенства:
¯ 1
(количество краевых условий
на левой границе
отрезка интегрирования должны быть не меньше количества
быстро убывающих вправо решений );
¯
1 (количество краевых условий на правой гра2
нице не должно быть меньше количества быстро убывающих
влево решений ).
Краевые задачи, в которых эти условия не выполняются, наможет
зываются вычислительно некорректными,
! а-величина
"
0
.
достигать очень больших значений: 



-

-

 - 

-



<



>

10.2. Краевые задачи для уравнения второго порядка
Задачи этого класса часто встречаются в физических приложениях. Их также называют краевыми задачами для уравнения
Штурма–Лиувилля (термин «задача Штурма–Лиувилля» обычно используется для спектральных краевых задач).
Классическая задача Штурма–Лиувилля может быть представлена в виде:
















 

 
 9  










0

    ?,  0;
 1 ?1 ,  
1 


 ,
 ;

(10.7)

Введем расчетную сетку

5







/ (

0, . . . ,

 ), / 2 

12 / 35

188

Гл. 10. Численные методы решения краевых задач для ОДУ

и построим аппроксимирующее уравнение следующего вида:
 
1




















где

1 


1 1

 1 2


2

 1 

 1 2

9











,

     0 ?0,  0;
1     1
?1,   ,


 12 / ,    ,
1 2
1



1, . . . ,



1;

(10.8)

0

1











 .





Разностная схема во внутренних точках может быть представлена в более компактном операторном виде:

/

2

!



 1 2






где 




 1 2

"



 2/


,
1
 

В случае  
к виду
1 2  1







1

,







 1







9









,

.
0, (10.8) преобразуется

,



или

"







2



!



1, . . . ,



1,

 
,
с теми же краевыми условиями.
Для построения вычислительного алгоритма запишем систему линейных алгебраических уравнений (10.8) в следующем
виде:
(10.9)
  1
    1
,



  % 



%



где  ,  ,  ,  — локальные коэффициенты разностной схемы,
для которых справедливы соотношения:





1
2

 1 2





1
2

 %







,

%





,

1



2



 1 2






 21



,

(10.10)

9

0,
0, что
Далее, для определенности, положим:
в большинстве случаев соответствует физике решаемых задач,
и напомним о важном для численного решения систем линейных алгебраических уравнений условии диагонального преобладания [1]:
(10.11)

  ,





%

которое иногда записывают в несколько ином виде [2]:





  %  Æ, Æ




0



(10.12)

13 / 35

10.2. Краевые задачи для уравнения второго порядка

189

Проведем аппроксимацию левого и правого краевых условий.
Левое краевое условие



0

1



0

0

может быть представлено в виде, аналогичном (10.9):

0 0  %0

1



0; 0



; %0

Аналогично и правое краевое условие
  1


1

представимо в виде

1











1

, 0 ?

?1



 



(10.13)

(10.14)



В дальнейшем для простоты изложения будем полагать:
0,
0, откуда 0
0 (эти неравенства соответствуют ряду
прикладных задач: например, расчету процессов теплопроводности и диффузии).
Таким образом, получена система линейных алгебраических
уравнений специфического вида (с матрицей трехдиагональной
структуры):
















%

0 0  %0 1 0;
  % 1  ,
1
 1, 2, . . . , 

 ,
1























1;



 ,

или
— квадратная матрица
где
ную (якобиеву) структуру:

  ,

(10.16)
имеющая трехдиагональ-


 
    

                            ,
                          


 


,  — векторы-столбцы:
     
   
   ;    
   


0

1

(10.15)



0

1

2



0

1

2

2



0

1

0
2

..
.



1



(10.17)

1

1
2

..
.

14 / 35

190

Гл. 10. Численные методы решения краевых задач для ОДУ

Специфика таких, часто встречающихся в приложениях, систем линейных алгебраических уравнений, состоит в том, что
их матрица
имеет, как правило, высокий порядок (  1,
 ) и в основном состоит из нулей. Использовать для
решения такого вида систем, например, стандартную программу
для метода Гаусса «в лоб» было бы нерационально. Поэтому для
таких систем был разработан метод прогонки (в американской
терминологии — алгоритм Томаса), относящийся к классу экономичных алгоритмов, число которых пропорционально количеству
уравнений в системе  .





:2/

>

10.3. Метод прогонки
В методе прогонки решения системы линейных уравнений

 

(10.18)

будем искать в следующем виде:





 1

 !

!







;

1, . . . ,

,

(10.19)

где  ,  — так называемые прогоночные коэффициенты. Очевидно, что после вычисления прогоночных коэффициентов система (10.15) с трехдиагональной матрицей преобразуется в систему
линейных уравнений с двухдиагональной матрицей.
Далее, используя краевые условия и соотношение (10.19), мы
находим вектор-столбец решений . Для этого приведем левое
краевое условие к стандартной форме прогоночного соотношения





1 1 !1,
020; в силу условия

(10.20)

0

% 2 !

 ! !

диагонального
где 1
1
0 0,
преобладания 1
1. Далее необходимо получить рекуррентные соотношения для определения прогоночных коэффициентов
2, 3, . . . ,  ;
2 , 3 , . . . ,  . Подставим прогоночное соотношение

 

в систему (10.9) для





!


 1

после чего получим

 










 1




%

!



1, 2, . . . ,









!  


1:









 1

%





 1



,




Полученное соотношение приводится к виду






 1



 1

!

,

 1

(10.21)

15 / 35

191

10.3. Метод прогонки

в котором прогоночные коэффициенты имеют вид




;
  .



 1

!



 1

 / 
,
  .

(10.22)

а из рекуррентных соотношений (10.22) определяются все прого0, 1, . . . ,
1. Из последнего
ночные коэффициенты  ,  ;
прогоночного уравнения

 ! 


1



!

 -го прогоночного уравнения



и правого краевого условия, или





1

вычисляется значение  . При этом говорят о разрешении правого краевого условия. Далее, исходя из прогоночного соотношения
(10.23)
  

 1



!



справа налево вычисляются все компоненты вектора
при
,
1, . . . , 1. На этом алгоритм прогонки завершается.
Далее следует рассматривать вопросы обусловленности
и устойчивости разностной задачи. Определение и достаточный
признак обусловленности разностной краевой задачи вида

 




0

 1

41 ,







%



42







 1

,





1, . . . , 

1;

(10.24)

были даны в [2].
Определение 10.1. Будем говорить, что разностная краевая
задача (10.24) с коэффициентами  ,  ,  , ограниченными в совокупности
 ,   ,    5,

  %
  % 1



хорошо обусловлена, если для всех достаточно больших
имеет одно и только одно решение    при произвольных правых
частях 1 , 2 ,    и если числа 0 , 1 , . . . ,  , образующие решение, удовлетворяют оценке

4 4 





5  
 1
41, 42,   




1




  %
Æ Æ

где 5 — некоторое число, не зависящее от .
Теорема 10.1. Если коэффициенты  ,  ,
ют условию
        ,
0,





%

,



удовлетворя(10.25)

то задача (10.24) хорошо обусловлена [2].

16 / 35

192

Гл. 10. Численные методы решения краевых задач для ОДУ

Теорема 10.2 (Годунова–Рябенького; критерии хорошей обусловленности краевой задачи с постоянными коэффициентами) [2].
Для хорошей обусловленности краевой задачи



 1

 %


0





 1

4,



,

D



0

 ,

с постоянными коэффициентами необходимо и достаточно,
чтобы корни 1 и 2 характеристического уравнения

 %

2

0

были по модулю один больше, другой меньше единицы:

 1
1
2

*

1 ,

1

2

*

2



Теперь проведем исследование вычислительной устойчивости
алгоритма прогонки, т. е. покажем, что вычислительные ошибки, обусловленные погрешностью округления машинных чисел,
и ошибки, обусловленные машинными вычислениями, не приводят к существенным ошибкам в результатах расчетов.
Пусть  — такая, например, машинная погрешность. Изучим, как она себя ведет в вычислительном процессе (соотношение  и 1 . «Машинная», т. е. реальная формула, по которой
идет расчет первого прогоночного коэффициента в компьютере,
имеет вид [1]



Æ

Æ





 1





 1



  .  * 



,

(10.26)

где
 — вычислительная ошибка, которая появляется при
выполнении машинных операций в правой части, связанных
с представлением коэффициентов  ,  ,  ; $1
1  1
( $1 — прогоночный коэффициент в машинном представлении).
Погрешность 1 состоит из наследственной погрешности, в которой суммируются предыдущие погрешности при вычислении
 ,  1 , . . ., и погрешности, появляющейся в результате одного
вычислительного шага    .
Линеаризация формулы (10.26) дает:

  % 







,

(10.27)



 







 1





 1


  .



 
 

 . 2



17 / 35

193

10.3. Метод прогонки

откуда следует соотношение для определения эволюции погрешности  :

 2  ;
0, 1, . . . ,
1,
(10.28)
1
 1 

.
поскольку 1
  .
Очевидно, что в реальном вычислительном процессе при
разбиении отрезка интегрирования значение
велико,
поэтому нас интересует асимптотическое поведение вычислительной погрешности  при
.
Теорема 10.3. Пусть коэффициент   является липшиц-непрерывной функцией, локальные коэффициенты разностной схемы  ,  ,  ,  удовлетворяют условию диагонального преобладания, 0  1  1 (для определенности будем
полагать:  ,  ,  ,  0).
Тогда:
1) для всех выполняется















 :2/







  % 

  % 

0   1  1;
2)  2%   1  /,    /, и
   0  +  ,    ,    /, /  1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что 0  1  1. Тогда
 1  .    0,
  % ; с другой стороны, получим
так как 
 1  .    .  1 .  1,






























т. е., как и требовалось доказать,
если 0 

1  1,



то 0 



 1





 1

(10.29)

Далее:




 2 
 
2  


1

> /

1

/;    /


В таком случае, с учетом полученной оценки для

 2    1     ;
1
 1 







/ 

(10.30)
1 , получим


 

(10.31)

18 / 35

194

Гл. 10. Численные методы решения краевых задач для ОДУ

Из (10.31), используя формулу для суммы геометрической прогрессии, будем иметь

1  + 



1



(10.32)

0



/ 



+

 и /  1 получим (/ : ):
   0  +  ,

Длябольших









(10.33)

что и требовалось доказать.
Отметим следующие особенности полученной оценки. Во втором слагаемом в знаменателе стоит малая величина , однако,
обычно малó:
1, поэтому поведение
отношение
погрешности определяется множителем  . При численном решении задач на больших отрезках 0,  величина
 1,
в этом случае возможно появление вычислительных проблем.
Однако при решении краевых задач довольно часто
1,
что в соответствии с полученной оценкой 1 вполне приемлемо. Аналогичные оценки можно провести и для второго прогоночного коэффициента  .
Проанализируем эволюцию погрешности в алгоритм обратной
прогонки:
(10.34)
  
,
 1

2/

 >

/





 >

Æ

!





!

обозначив через  погрешность при вычислении
значение  — через $
 :
$
 1





, а машинное

  Æ       !  $  

,
(10.35)
где , $ — погрешности в вычислении прогоночных коэффициентов  и  ,  — суммарная вычислительная погрешность
на (
1) шагах в алгоритме обратной прогонки.
Из полученного соотношения (10.35) следует:

Æ



 1

 1













!



 1

    Æ  $  
 

 





(10.36)

В последнем неравенстве главным является величина так называемого «параметра увеличения наследственной погрешности»  ;
в соответствии с условием теоремы:     1. Случай    1
проблематичен, так как погрешность может иметь катастрофический рост, что недопустимо в вычислительной задаче.
Важным классом краевых задач являются задачи, связанные
с определением точек спектра для уравнения Штурма–Лиувилля
(спектральная задача Штурма–Лиувилля):



 







 
 9  
0  


,

  0,  ,



(10.37)

19 / 35

195

10.4. Нелинейные краевые задачи для ОДУ



где — еще один параметр, краевые условия которого могут
иметь, например, следующий вид:

0

  C

0;



При некоторых значениях
(точки спектра) у этого уравнения появляются нетривиальные решения (в остальных точках
отрезка 0,  уравнение имеет тривиальные решения). Эти точки представляют основной интерес для различных приложений;
подбирается так, чтобы выполнялось второе условие (решается
задача Коши для начальных данных Коши: 0 0;  1),
т. е. численно решаются несколько задач Коши, затем численно
решается нелинейное уравнение   0.





( 

10.4. Нелинейные краевые задачи
для обыкновенных дифференциальных уравнений
Метод прогонки широко используется при численном линейных краевых задач, а также задач с переменными коэффициентами.
Оказывается, его можно использовать в совокупности с итерационными методами для численного решения нелинейных краевых задач. Рассмотрим в качестве примера следующую задачу:

2 
2

9  ,

0 ,

  ,

0

  

(10.38)

Ее разностная аппроксимация имеет вид


9  ; 


где


1, 2, . . . ,

1



/ 2 ,

1;

2  1
2



Вследствие нелинейности задачи (правая часть зависит от решения ), применить метод прогонки для ее решения нельзя.
0 — начальное приближение решения краеПусть   

вой задачи (10.38). Построим итерационный процесс для численного решения разностной краевой задачи:
! "
11 21  11
0
,
(10.39)
,

2

D



0, 1, . . . ;

9
 1, 2, . . . , 

1;

0

D
,





20 / 35

196

Гл. 10. Численные методы решения краевых задач для ОДУ

Его вычислительная реализация — метод прогонки на каждой
итерации, т. е. при каждом
0, 1, . . .:

1



2  1

1

1

9!

1

2

22  21

21

0

"

9!

2

D

0

,





1

"

,





,

1, . . .

0,



Вычислительный итерационный процесс можно заканчивать, например, по одному из двух критериев (или по обоим):

1

11


1


2

2



 ;



1
 
1

9!

"

 ,

(10.40)

— заданная точность.
Это метод является методом простых итераций в функциональном пространстве  , поскольку наша цель — найти вектор
решения

где



  
  ,
 
0
1

..
.



т. е. функцию   .
Однако итерационный процесс можно ускорить, применив
идею линеаризации правой части   — аналог итерационного
метода Ньютона (метод квазилинеаризации):

9

9!

1 "  9 !

"





 9

!

"!



"

1







В таком случае можно представить следующий итерационный
процесс:
! "
"
11 21  11
 ! " ! 1
 


 ,
2
(10.41)
0
0, 1, . . . ;
1, 2, . . . ,
1;
,

,
,

0

4




9



9





вычислительная реализация которого аналогична (10.38):

11
0


2

1

21  11

4

2



9!

0

"

9!

1

"



 9

! 0"! 1

0

"



0,

 9

! 1"! 2

1

"



1, . . .

*







,

;

22  21
2



*







,



21 / 35

197

10.4. Нелинейные краевые задачи для ОДУ

Критерием окончания итерационного процесса могут быть неравенства (10.40).
Возможно, первым методом численного решения нелинейных
краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
был метод стрельбы (или метод пристрелки), известный еще в артиллерии: стрельба по закрытым (например, холмами) мишеням.
Идея его состоит в следующем.
Предположим, что необходимо найти численное решение следующей краевой задачи:

2 
2

9 , ;   0, : ,

0 ,

  

Зададим некоторое значение первой производной при

 0

$1,

(10.42)



0:

что, разумеется, делается не произвольно, а, например, из физических соображений. Построим численное решение задачи Коши  , например, методом Рунге–Кутты:

2 
2

0 ,  0 $1 ,
и сравним его с точным значением :  :
 $1 ,   
1

9 , ;   0,  ,



Если значение 1 превышает заданную точность
численное решение следующей задачи Коши:

2 
2

9 , ;   0, : ;

и вычисляем значение
2

0 ,

(10.43)

1, то мы ищем

 0

$2

 $2,   


$ 

и т. д. Тем самым мы получаем серию значений
 , ,
1, 2, . . ., после чего решаем, например, методом Ньютона
нелинейное уравнение



( $

$,   

0,

из которого находим значение пристрелочного параметра
данной точностью:

$ с за-

 $ ,     ,

после чего решаем задачу (10.40) и находим искомое решение  ,  0, .

 



22 / 35

198

Гл. 10. Численные методы решения краевых задач для ОДУ

Однако отметим, что, в случае жестких краевых задач для
ОДУ с наличием погранслоев и малого параметра при старшей
производной, использование метода стрельбы может оказаться
затруднительным. В качестве примера можно привести краевую
задачу




 

  0, 1,
 1 2

2

,

2

0

1,

Точное решение этой задачи имеет вид

, 





1

.

1



.

 1 





1

2

.







.

1




2



.



1 

 2


.





.



В этом случае в решении задачи реализуются два пограничных
слоя вблизи краев отрезка интегрирования, величина которых
при малых
может оказаться много меньше длины всего отрезка. По этой причине при численном решении таких задач
необходимо либо выбирать малый шаг интегрирования, если мы
хотим использовать методы, сводящие решение краевой задачи
к численному решению нескольких задач Коши (например, метод стрельбы), либо выбирать большой шаг, игнорируя поведение решения в погранслоях. При этом необходимо использовать
неявные разностные схемы.



10.5. Метод Фурье
Рассмотрим приближенное решение задачи

1

2  1

9; 

2

0

0,





1, 2, . . . , 

 

0,

1,

методом Фурье.
Решение будем искать в виде разложения по базису из собственных функций разностного оператора

   / 2

 1



2







 1



Этот оператор имеет спектр из собственных значений





4
2

2

20

,

1, 2, . . . ,



1,

23 / 35

199

10.5. Метод Фурье

и соответствующую ему полную ортонормированную систему из
собственных векторов


5

2

0



2#

;

1, 2, . . . ,



1;

/,



что показывается прямой подстановкой в уравнение

5


5







Решение в таком случае ищется в виде разложения

 



1



1



 5  ; 


1, 2, . . . ,







1;



— подлежащие определению коэффициенты Фурье.
Представим также правую часть разностного уравнения
в виде фурье-разложения:




9

1



$ 5  , $










1



1

9 5  ,




1





после чего подставим фурье-разложения искомой функции
и правой части  в исходное разностное уравнение:

9



 1


 5  


 1



1



1







$ 5  






и учтем другое известное равенство

5


5







,

откуда получим выражение для коэффициентов Фурье:


1

  5  


 1







1



$ 5  , 


 1







$ 2




и приближенное решение исходного разностного уравнения:

 



1



 1

+
5  
  

24 / 35

200

Гл. 10. Численные методы решения краевых задач для ОДУ

10.6. Методы Ритца и Галëркина
Рассмотрим функционал следующего вида:

3

#

1
2

/

#

2

2

6

12

>3

/
# 2
!
"
2
> 3  / . Если

порядок аппроксимации равен
1 2) представить в виде
неявную схему с весами (т. е. при
12

#

2
 : 11   : 1  % : 11 


















,

32 / 35

243

13.1. Однородное линейное уравнение теплопроводности

где

"





2



,

"

1



2

%

,

"



2

,

то несложно увидеть, что для данной трехдиагональной системы
линейных алгебраических уравнений, решаемой методом прогонки, выполняется условие диагонального преобладания при
любых .
Исследование данной схемы на спектральную устойчивость
дает следующее условие устойчивости:

3

#



2

1
2

4



Две предыдущие схемы (13.5), (13.6) имели второй! порядок
"
 2.
аппроксимации по координате и первый по времени
Так, исследование на аппроксимацию явной разностной схемы
дает невязку следующего вида:

>3 /

:


:



 2 : 




4  > !3 2  /4 "
:
12



 ,

2



(13.8)

Если учесть дифференциальные следствия линейного однородного одномерного уравнения теплопроводности:

:

:  ; : 





: 



 

: 

;

2



: 4 ,


подставить это
в правую часть (13.8) и пренебречь
"
! 2выражение
4
 , то получим явную разностную схему на
слагаемым
пятиточечном шаблоне:

2
# 1 # 

1 2


1
(13.9)
 
  ,

>3

/

:



где



:




3

4

!

2


 2

4


 1

6

6

:






4


 1






 2

"

 ,

имеющую второй
! 2 порядок
" точности по времени и четвертый по
 4 . Аналогичную процедуру можно провекоординате:
сти и для неявной разностной схемы, которая будет устойчивой
при любом соотношении , .
Представим также трехслойную разностную схему, аппроксимирующую рассматриваемое уравнение вида

 1
# 1 2# 1  # 11
1 # 1 # 
#  # 1
,
2

>3

/

3/

2





3

/

и , обладающую порядком аппрокустойчивую! при любых
"
2  2 , монотонную (заметим, что схема Кранка–
симации
Никольсон не монотонна); шаблон этой схемы представлен на
рис. 13.4.

>3

/

33 / 35

244

Гл. 13. Численное решение ДУЧП параболического типа

Рис. 13.4

Рис. 13.5

Полезным также представляется исследование на аппроксимацию разностной схемы «крест»:

# 1 # 1
1
# 1  # 1

2
  1 ,
1

2

:

2

:

2

шаблон которой представлен на рис. 13.5.
Это связано с попытками построения неявных схем бегущего
счета для уравнения теплопроводности. Исследование этой схемы
на устойчивость приводит к квадратному уравнению для вида

2

2  
13

  11

3
 3

E

0,

анализ которого приводит к результату:



2

2

,

1  1, 2  1,

т. е. схема безусловно устойчива. Однако при ее исследовании
на аппроксимацию
в выражении для погрешности появляется
! 2 2"
член
, что ограничивает ее применение жестким условием на шаг по времени:  2 .

> 3 2/

3 /

13.2. Нелинейное одномерное уравнение
теплопроводности
Рассмотрим нелинейное нестационарное уравнение теплопроводности

#
 
  #   
(13.10)



:





 :

и аппроксимирующую его разностную схему

# 1 # 1
# 1 # 



/

1



 1 2

1

 1 2

# 1 # 11








, (13.11)

34 / 35

245

13.2. Нелинейное одномерное уравнение теплопроводности

где коэффициент теплопроводности может быть вычислен, например, в виде
1
2



 1 2

 :   :



 
#

или



 1 2



 ,


 1

#  1

2

(13.12а)



(13.12б)

Очевидно, что алгоритм прогонки в данном случае применим,
поскольку все данные берутся с нижнего временного слоя.
Однако метод простых итераций с нелинейностью на нижнем
слое имеет ограничение на шаг по времени:

3     1 
*

Поэтому если значение    достаточно велико, то в этом случае
*

имеет смысл использовать метод простых итераций с нелинейностью на верхнем временнóм слое:

# 1 # 


/


1




 1
 1 2

# 11 # 1



 1
 1 2

# 1 # 11

!

 :


"
1







(13.13)

Сначала рассмотрим метод простых итераций в функциональном пространстве и разностную схему с нелинейностью на
нижнем временнóм слое, которую
представим
в следующем



 виде.
1
1

Поскольку 1 2
,  1 2
, 
1 2
 1 2
!

 :

:

:



 ", то метод прогонки, как уже отмечалось, неприме-

 1


ним. Поэтому построим следующий итерационный процесс:

# 1 # 1
# 1 # 

/



1

:



 1 2

:

1

 1 2

# 1 # 11

!

"

 : 


(13.14)

Задав начальное приближение

:


:0 :






,




— численное решение уравнения теплопроводности на
где
нижнем слое (
 , можно воспользоваться методом прогонки
0, 1, . . . и т. д. до достижения заданной точности: надля
пример,
 1



(13.15)

 

:

:



Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

35 / 35

246

Гл. 13. Численное решение ДУЧП параболического типа

: 

Поскольку для достаточно гладкой функции
 ,  разность
в значениях искомой функции на нижнем и верхнем временном
слоях не очень велика, то начальное приближение оказывается
достаточно близким к решению итерационного уравнения, поэтому для выполнения условия не требуется много итераций.
Заметим также, что в отличие от итерационного решения алгебраического уравнения, где ищется один корень, в рассматриваемом случае мы вычисляем таблицу   ,  , т. е. в конечном
итоге, используя интерполяцию значений функций между узлами
расчетной сетки, находим функцию  , . Мы также можем
построить другой итерационный метод для численного решения
рассматриваемой задачи, например:

: 
: 

# 1 # 




/

1



 1 2

# 11 # 1

 1 2

# 1 # 11
!

 :

1 "







(13.16)

Однако в этом случае метод прогонки оказывается неприменим, поскольку правая часть вычисляется на (  1)-й итерации.
Выходом из данной ситуации оказывается метод квазилинеаризации, или метод Ньютона в функциональных пространствах.
Для его реализации достаточно линеаризовать правую часть, что
позволяет воспользоваться методом прогонки:



 1  -:  !: 1 :


где





 !:



".


!

    :


-

"!


: 1 :

"

,
(13.17)



"



.
В этом случае итерационный процесс будет иметь вид:


# 1 # 




/


1



 1 2

# 11 # 1

 1 2

!

"!

    :


-

# 1 # 11



: 1 :


"




(13.18)

и мы можем применить для вычисления искомой сеточной функции метод прогонки. Заметим, что коэффициент теплопроводности, в случае его существенной зависимости от температуры,
также можно линеаризовать:
!

: 1"


-

:  !: 1 ! :" ".  !
 :   :








-

"!


: 1 : "




(13.19)

1 / 35

247

13.3. Методы расщепления для решения многомерных уравнений

Рассмотренная выше шеститочечная разностная схема
Кранка–Никольсон в нелинейном виде будет иметь такой вид:

# 1 # 


2/



1


#  1 # 

 1 2



# 11 # 1


 1 2


 1 2



 1 2

#

# 1 # 11
#  1









!

      : 1 :




- 






"

,

где — итерационный индекс.

13.3. Методы расщепления для численного решения
многомерных уравнений параболических типа
В случае двух пространственных переменных уравнение теплопроводности имеет следующий вид:


#


0

: 

 ';

2#
2

  2#
2

 ,

0

0

,

(13.20)

 

  0 — коэффициЗдесь  , ,  — температура среды,
ент теплопроводности, начальные и граничные условия в случае
прямоугольной области интегрирования представляются в виде
(рис. 13.6):

: 0, , 
:  , 0, 
:  ,  , 
:  , , 0
:  , ,  

D , ,
41  , ,
42  , ,
43  , ,
44  , ,

0;
0
0
0
0

 ; 0   ;
 ',  0, 0   ;
 ';   , 0   ;
 ', 0   0;  0;
 ', 0   0;  
0

(13.21)
Введем для разностной аппроксимации (13.21) расчетную
сетку


5

3 ; 

$

/



0
;




/ ;
 0, 1, . . . , 1;
/ ;  0, 1, . . . , 1 ; / 6

0, 1, . . . ,
#



; 3



5

;







(13.22)



2 / 35

248

Гл. 13. Численное решение ДУЧП параболического типа

Рис. 13.6

Рис. 13.7

и аппроксимируем двумерное уравнение теплопроводности на
шаблоне, который имеет следующий вид (рис. 13.7):
# 1 # 



 1
#

1
2# 1  # 
1,

1,

#

2

1

1
2# 1  # 
, 1

, 1

2

,

(13.23)
или, с использованием операторных обозначений:
!
"
# 1 # 
1
1
,
 #   #
где



:



# 11,



:



# , 1 1

 1
#

 1
#

или
где

:

:



:

2

# 1

1

:#
:#
,




 1
#

1
2# 1  # 
1,
1
2# 1  # 
, 1
2

:

(13.24)

,
,

,

 1
#









Явная разностная схема, аппроксимирующая двумерное
нестационарное уравнение теплопроводности, представляется
в следующем виде:
# 1 # 


  #
  #

(13.25)



:

: 

Ее шаблон представлен на рис. 13.8.

3 / 35

249

13.3. Методы расщепления для решения многомерных уравнений

Исследование явной схемы на устойчивость проводится путем подстановки
решения в виде

:


#




 &# ;



$, A  0, 28,

после чего получим

 $

1



4

2



2

(13.26)



4

2

2

7

2

2

,

откуда следует, что рассматриваемая явная разностная схема будет устойчивой
при выполнении условия

3

-

!

2

/ 2/




Рис. 13.8

". 1
2

Для неявной схемы получим







14

2



4

2



7

2

2



(13.27)

 1

,

2

(13.28)

откуда следует, что неявная схема, аппроксимирующая нестационарное уравнение теплопроводности, будет устойчивой при
любом соотношении сеточных параметров: ,  ,  .
Что касается условия устойчивости явной схемы, то оно является довольно жестким для выбора временнóго шага:

3/ /

3  /2 , 3  /2 ;




по этой причине при численном решении как многомерных, так
и одномерных дифференциальных уравнений параболического
типа, чаще всего используются неявные схемы.
Исследование обеих рассматриваемых разностных схем на
аппроксимацию путем разложения сеточных
! функций
"в ряд Тейлора дает невязку следующего вида:
 2  2 , т. е. обе
схемы имеют первый порядок аппроксимации по времени и второй — по каждой из координат.
Алгоритмическая реализация явной разностной схемы (13.25),
как и в одномерном случае, представляет собой «бегущий счет» —
вычисление значений сеточной функции по рекуррентной формуле

>3 /

:



: 3 :

 1
#


#


#

,

/

(13.29)

т. е. вычислительный алгоритм использует два цикла: первый —
(по координате) от левой до правой границы области инпо
1
тегрирования, второй — по (значение сеточной функции #
на верхней временнóм слое вычисляется по известным ее значениям на нижнем).





:

4 / 35

250

Гл. 13. Численное решение ДУЧП параболического типа

В неявной разностной схеме (13.23)



:

,

: 3 :

 1
#

 1
#


#

(13.30)

на верхнем слое имеем 5 неизвестных; причем матрица получившейся системы линейных алгебраических уравнений не является
трех- или пятидиагональной, т. е. для ее решения мы не сможем
воспользоваться методом прогонки. Поскольку матрица сильно
разрежена, то использование метода Гаусса представляется нерациональным.
Писмэном, Рэкфордом и Дугласом в 1955 г. [4, 6] была
предложена схема переменных направлений (или продольнопоперечная схема, схема чередующихся направлений), идея которой состоит в реализации вычислительного алгоритма в два
этапа (схема типа предиктор-корректор). На первом этапе (полушаге /2) реализуется неявная аппроксимация координатной
производной по первому направлению и явная — по второму, на
втором этапе — наоборот, причем оба этапа аппроксимируют исходное дифференциальное уравнение:
# 12 # 
1 2
   ,
(13.31)
 #

3

:

:

2
# 1 # 12
2



:



 1 2
#





:



 1
#



(13.32)

В таком случае на каждом этапе можно использовать метод
трехточечной прогонки.
Представим полученную двухэтапную разностную схему
в операторном виде:


.

.

.




2



2







: 1 2 .  2
:



: 1 .  2
: 1 2

#




#




#




#

0,

(13.33)

0,

(13.34)

— единичный (тождественный) оператор. Подействуем на
где
первое
разностных уравнений
слева операто из представленных





и сло 2  , а на второе — оператором
ром

2
жим:

.

.





.  2
.

 .  2






2

.







:

2



 1
#









.  2

. 2




.  2

.  2
:





: 








#

 1 2
#


0



5 / 35

13.3. Методы расщепления для решения многомерных уравнений

251



.  2

В предположении коммутативности операторов






.





.

и

2

получим равенство



2











.

из которого следует
# 1 # 
1


2





2

 1
#







.  2

!







:

 : :



 1
#


#

2
4



.  2






#

0,

"

# 1 # 






:







(13.35)

Последнее разностное уравнение аппроксимирует исходное уравнение теплопроводности со вторым порядком по времени и координатам. Отметим, что каждое из разностных уравнений (13.31)
и (13.32) аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в частных производных с первым порядком аппроксимации
по и вторым — по . При
использовании порядок
! 2их совместном
"
 2.
аппроксимации будет
Проведем исследование разностной продольно-поперечной
схемы на устойчивость с помощью спектрального признака
Неймана, для чего положим:

3

:

/



 1 2
#

>3

:


#

1:


#

:

/





 &# ,
 : 1



 1
#

,

2

2 #

12  : 

#

Подставим (13.36) в (13.32), получим выражения для

1



2

14 2 


1

4

2



2

2

2

,
2

откуда получим

 12



1 4 2 


14 2 


2


2

2






2



2

14 2 


1

2

4


1 4 2 


14 2 


2

 1 и 2 :

2

,
2 
2


2

2



(13.36)






(13.37)

2

Видно, что    1, т. е. продольно-поперечная схема устойчива
при любых соотношениях ,  ,  .

3/ /

6 / 35

252

Гл. 13. Численное решение ДУЧП параболического типа

Пространственный шаблон продольно-поперечной схемы имеет
вид, представленный на рис. 13.9.
В книге [6] Н. Н. Яненко предложил отказаться от требования
аппроксимации исходного дифференциального уравнения на промежуточных шагах. Такие схемы получили название метода дробных
шагов, локально-одномерных схем
(по А. А. Самарскому [4]), или схем
Рис. 13.9
расщепления по направлениям.
Рассмотрим следующую двухэтапную разностную аппроксимацию нестационарного двумерного уравнения теплопроводности (13.20):
# 12 # 
1 2
,
(13.38)
 #

:



# 1 # 12

и представим ее в виде







.
.

2



2

:



:

:



 1
#





 1 2
#



 1
#



,

:

:

:


#



(13.39)

,

 1 2
#

(13.40)





 1 2

Исключив в (13.40) # , придем к эквивалентной одноэтапной схеме следующего вида:
# 1 # 
1
1
     #
  # ,



откуда следует, что порядок аппроксимации исходного дифференциального
"уравнения будет
!
 2  2 .
Поскольку схема дробных шагов неявная, то она устойчива
при любых ,  ,  , что также
можно показать с помощью спектрального признака Неймана.
Пространственный
шаблон
схемы представлен на рис. 13.10.

>3 /

:

3

:

/

3/ /

Рис. 13.10

7 / 35

13.3. Методы расщепления для решения многомерных уравнений

253

Представим трехмерный вариант схемы дробных шагов:
 13
 









 



23 13





1 23










 1 3
#



 2 3
#


11

,



 1
#

(13.41)

,



3/ / /

Схема устойчива при любых ,  ,  , 1 и аппроксимирует трехмерное дифференциальное нестационарное уравнение теплопроводности


#


2#
2

 #2  $#2
2

2

(13.42)

с !первым порядком" по времени и вторым — по координатам:
 2  2  21 . Локально-одномерную схему с весовым
коэффициентом
(Кранка–Никольсон) можно представить
в следующем виде:

>3 /

/

 12

#



/
#

#



2
# 12
2



 # 1



#





#: 1 2  1 # : ,


#: 1  1 # : 1 2 

#


#


#


#

(13.43)

Здесь 0   1. Эта схема будет устойчивой при любых
,  ,  ; при
1 2 она имеет второй порядок аппроксимации
! 2
"
по времени и по координатам:
 2  2 .
Ее шаблон представлен на рис. 13.11.

3/ /

#

2

>3

/

/

Рис. 13.11

8 / 35

254

Гл. 13. Численное решение ДУЧП параболического типа

Трехмерный вариант разностной схемы Кранка–Никольсон
представляется следующим образом:
 13

 






 23

 






 1



 



13



#



 1 3
#



2
23
2



 2 3
#



#

11



#



 1 #

,



 1 #

 1 3
#



,

(13.44)





 1 #

 1
#




#



 2 3
#

Аналогично двумерному случаю, схема будет устойчивой при
1 2, при
любых шагах по времени
и пространству, "если
! 2
2
2
2
1 2 невязка равна
   1 .
Рассмотрим также использующуюся в приложениях трехмерную схему Дугласа–Гана, имеющую следующий вид:

#

2

>3

 13

 












23













1








 1
2





 
13

23














/






#

 #


#

2



11


#

,

11


#

,


#


#





 1 3
#




#

/






1 3 


2 3 

 1 3
#


#



1
2

 2 3
#



1
2

 12





1
2

/

#

 12


#



11

(13.45)




1 


#


#





Двумерный аналог (рис. 13.12) этой схемы будет таким:
 12










1 


2





1
2
1
2









 1 2
#



 1 2
#





 12


#

#



!










#





 1
#

,
(13.46)




#

"



В заключение заметим, что после появления методов расщепления по направлениям были предложены и получили широкое распространение методы расщепления по физическим процессам, суть которых можно изложить на примере уравнения

9 / 35

13.3. Методы расщепления для решения многомерных уравнений

255

Рис. 13.12

конвекции–диффузии, часто используемом при решении задач
экологии, метеорологии и др.:

где

*



  

*


 

F



F

2 2

,
2 2

(13.47)

  0,   0.
Положим, что разностная схема
12 
2


1



,



 1 2



(13.48)

аппроксимирует уравнение конвекции вида


  

*


 

а схема

12 
2

!
2

,

 1

0,



 1

"

(13.49)

аппроксимирует уравнение диффузии




F



2 2

2 2



Можно показать, что двухэтапная схема расщепления (13.48), (13.49) аппроксимирует исходное дифференциальное
уравнение в частных производных (13.47). Методы расщепления
по физическим параметрам были предложены Ф. Х. Харлоу
и О. М. Белоцерковским в [7, 8].

10 / 35

256

Гл. 13. Численное решение ДУЧП параболического типа

Список литературы
1. Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике.
М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. 522 с.
2. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. Долгопрудный:
Интеллект, 2008. 503 с.
3. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. 400 с.

Дополнительная литература
4. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 656 с.
5. Ворожцов Е. В. Разностные методы решения задач механики сплошных
сред. Новосибирск: НГТУ, 1998. 83 с.
6. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. 196 с.
7. Харлоу Ф. Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С. 317–342.
8. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газовой
динамике. Вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1982. 391 с.
9. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 430 с.

11 / 35

Г л а в а 14
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
14.1. Двухслойные разностные схемы
для численного решения линейного
уравнения переноса
Наиболее простым уравнением гиперболического типа является скалярное линейное уравнение переноса











0,

  

0,

(14.1)

характеристиками которого являются прямые




;

(14.2)

при этом само уравнение может быть представлено в виде обыкновенного дифференциального уравнения вдоль характеристического направления:


  





   
  
   

 
 

0,

(14.3)

откуда следует, что на характеристиках значение искомой функции постоянно.
Обычно используются следующие постановки задач для уравнения переноса:
а) задача Коши:
0,
;
б) краевая задача:
0, 0
с начальным и краевым
условиями:
0,   ,  0, ,
 , 0  ,  0, ,



D
4






однако в вычислительной практике область интегрирования всегда конечна:  0, ,  0, .
Решением задачи Коши, как известно, из курса уравнений
математической физики, является функция («бегущая волна»)





:

 ,  D   ,

12 / 35

258

Гл. 14. Численное решение ДУЧП гиперболического типа

а краевой задачи — функция следующего вида:
'

 , 

D   ,  

4
,   


(14.4)

Как и выше, в рассматриваемой области интегрирования вводится расчетная сетка:


5

$

3 ; 



0, 1, . . . ,

; 3

#
;
5



/,
 0, 1, . . . , 1 , /


0



Выбрав для построения аппроксимирующего разностного уравнения двухслойный шаблон
%

 ,  &,





"

0, 1;

<

0, 1, . . . , ,

представим все возможные на нем линейные разностные схемы
в виде

1
(14.5)

  ,   ,


$

$ 3/

где  — коэффициенты, определяющие ту или иную разностную
схему.
В [4] предлагается рассматривать все такие схемы в пространстве неопределенных коэффициентов  с целью придания
им некоторых заданных свойств (например, порядка аппроксимации, монотонности и др.).
Заметим, что уравнение переноса (транспортное уравнение) — одно из фундаментальных уравнений математической физики, использующееся не только как самостоятельное уравнение,
но и в системах уравнений механики и электродинамики сплошных сред, экологии, динамики разреженного газа и плазмы;
в основном используется нелинейное уравнение вида

$









0,



(14.6)

или в дивергентной форме:





 



0,



2
2



(14.7)

Важным свойством для разностных схем, аппроксимирующих
уравнение гиперболического типа, является монотонность.

13 / 35

14.1. Двухслойные разностные схемы для линейного уравнения

259

Определение 14.1. Монотонными (по С. К. Годунову) называются линейные схемы, в которых для всех
выполняются
неравенства:



1
1
1
1






 0, если
1
 0, если
 1



 1



1








0;

 0

(14.8)

Теорема 14.1. Для того чтобы явная двухслойная линейная однородная разностная схема



 1


$






 



$

с постоянными коэффициентами  была монотонной, необходимо и достаточно, чтобы все ее коэффициенты были
неотрицательны, т. е.  0.
Теорема 14.2 (Годунова). Двухслойная линейная монотонная разностная схема, аппроксимирующая уравнение переноса
   0,
(14.9)



$



не может иметь порядок точности выше первого.
Для доказательства этих теорем необходимо рассмотреть
главный член погрешности аппроксимации рассматриваемых разностных схем.
Представим наиболее известные двухслойные разностные
схемы для линейного уравнения переноса, имеющие шаблоны,
представленные на рис. 14.1–14.12 (14.1 — «левый уголок», схема Куранта–Изаксона–Риса, Годунова, 14.2 — «правый уголок»,
схема Куранта–Изаксона–Риса, Годунова, 14.3 — центральная
четырехточечная схема Лакса–Вендроффа, 14.4 — неявная шеститочечная схема типа Кранка–Никольсон, 14.5 — «левый прямоугольник», схема Бабенко, 14.6 — «правый прямоугольник»,
схема Бабенко, 14.7 — центральная неявная четырехточечная
схема, 14.8 — «неявный левый уголок», схема Карлсона, 14.9 —
«неявный правый уголок», схема Ландау–Меймана–Халатникова, 14.10 — схема Бима–Уорминга, 14.11 — схема Фромма,
14.12 — схема Русанова).

Рис. 14.1

Рис. 14.2

Рис. 14.3

14 / 35

260

Гл. 14. Численное решение ДУЧП гиперболического типа

Рис. 14.4

Рис. 14.5

Рис. 14.6

Рис. 14.7

Рис. 14.8

Рис. 14.9

Рис. 14.10

Рис. 14.11

Рис. 14.12

По-видимому, наиболее простым методом построения разностных
схем для численного решения уравнения переноса представляется разложение функции  1 ,   в ряд Тейлора в окрестности
узлов   ,   расчетной сетки:



 1  3 ,  
 ,    3    ,    2




2











Поскольку из уравнения





следует

















!

"

 ,    > 33 




(14.10)





 

 

2

 ,


(14.11)

15 / 35

261

14.1. Двухслойные разностные схемы для линейного уравнения

то, подставив (14.11) в разложение (14.10), получим



3      2     > !3 3"
2 2


 




 1



 

(14.12)

Отсюда можно, отбросив последнее слагаемое и проведя аппроксимацию производных со вторым порядком точности:





    1  1 ;     1 22   1 ,
2

получить схему Лакса–Вендроффа (СЛВ):



E

3


2




 1



 1


 1



  32 
2


 1




2




 1



> !3

32/



(14.13)

/"

2 2
(
), имеющую порядок аппроксимации
и устойчивую при выполнении условия Куранта–Фридрихса–
Леви (КФЛ):

 1,

E

шаблон представлен на рис. 14.3.
Эту же схему можно представить в следующем виде (с односторонней производной):



 1


E








 1

3



1 E 

2

или (в приращениях):



где

E




 1








 1

2 

1 E

2



,


 1



3




2


 1







2 




 1






 1






2





 ,
(14.14)

 1

,



,

Исследование схемы Лакса–Вендроффа на аппроксимацию
приводит к равенству:
2
1   
  1  1   2   1 2   1 



2

2

      ,  6


 

2

!

1



E2"





!

"

 > /3 

Если пренебречь членами третьего порядка малости, то получим
так называемое первое дифференциальное приближение












6

2

! 2

E

1

"




0,

16 / 35

262

Гл. 14. Численное решение ДУЧП гиперболического типа

или

 6

0,

,





где









6





2

! 2

E

6

1

"

 


Смысл этого приближения в том, что реально решается численно
не уравнение переноса, а уравнение, называемое первым дифференциальным приближением. Если оставить член третьего
порядка малости, то получим второе дифференциальное приближение, четвертого порядка — третье и т. д. То есть первое
дифференциальное приближение получается путем прибавления
к исходному дифференциальному приближению главного члена
ошибки аппроксимации, имеющего минимальный порядок малости. Исследование схемы на спектральную устойчивость дает
уравнение для :
"
 1 % %
 ! 

2
0,





2



2



откуда, учитывая известные соотношения:
!

!





 

"
24
2





получим:






"

22
2


 2



$,
2
22

2

$22,

E $ 2E2 2 $22,
!
"
2 1 2E2 2 $22 2  E2 2 $
Условие устойчивости   1 выполняется при E  1.
1

Если провести аппроксимацию производных следующим образом:






   3 4 1   2 ;     2 2 1   2 ,
2

то получим схему «парабола»:



 1





3!
2

3




4


 1



 32

2

!


 2

или схему Бима–Уорминга (СБУ):



 1





E





 1



3




"



 1

2

1 E
2

!




> !3


2

"


 1

/2"

2
Схема имеет порядок аппроксимации
при  1, ее шаблон представлен на рис. 14.10.

E


 2

, (14.15)




 2

"



и устойчива

17 / 35

263

14.1. Двухслойные разностные схемы для линейного уравнения

Первое дифференциальное приближение для нее имеет вид





    6 E

E

1 2

2






0



Схема дает точное решение уравнения переноса при
и при
2.
Обе схемы можно представить в потоковой форме:

E



 1


где




 1 2




2



E 


 1



для СЛВ, и




 1 2









 1




 1 2


 1 2




 1



3



2

 2 1 E 







 1

1



,

(14.16)

 1


 1



E





для СБУ.
Представление разностных схем в потоковой форме важно
для создания целого класса численных методов (метод конечных
объемов, метод уменьшения полной вариации (TVD) и др.).
Если в (14.10) опустить слагаемое второго порядка малости
и аппроксимировать первую производную по координате одним
из соотношений:
 
 1 
 
(  

(правая разность);




 1  
(левая разность),
(  
 
то получим схему соответственно «правый уголок» или «левый
уголок» (схема Куранта–Изаксона–Риса, КИР, схема Годунова):



 1





E


 1








 1

,
,




0;
0,

(14.17)

где разность выбирается в соответствии с наклоном характеристики






Воспользуемся характеристическими свойствами линейного
уравнения переноса для построения аппроксимирующей его
разностной схемы. Для этого проведем линейную интерполяцию
значения
сеточной функции в точке пересечения
  $
характеристики
через узел  1 ,   с координатной


2





18 / 35

264

Гл. 14. Численное решение ДУЧП гиперболического типа

 ,

линией, между соседними узлами
меннóмслое:




$





 1

 





E

3



1

E





,

 1

на нижнем вре-

1 E

 1



,

0,

. Поскольку значение функции вдоль хатак как $

рактеристики в случае линейного одномерного однородного уравнения переноса остается неизменным, то значение   $ будет
1
равно значению 
 .
Эту же схему можно представить в других удобных видах
(характеристика проходит через упомянутые две точки):





 1




$,

или, с учетом интерполяционного соотношения:



1 E

 1





E


 1



Таким образом, мы пришли к схеме КИР, используя характеристические свойства уравнения переноса (обратный метод характеристик).
Эту же схему можно представить также в других видах:



 1










 1


где



1
2

3
2






 1


 1



-

 


 1






  ; 

1
2

  32  


 1

 



2








 1



,
(14.18)
(14.19)


 1

.

,

 .

В частности, в (14.18) явно выделен диссипативный член,
обеспечивающий устойчивость схеме (14.17). Потоковая форма
записи (14.16) обеспечивается, если положить:




 1 2






 1 2

1
2
1
2

 


 1

 









   


 1


 1

  




Схема КИР имеет порядок аппроксимации
наименьшей погрешностью (невязкой)

6




2

1 E






,


> 3  /, обладает

 1





среди всех схем первого порядка, условно устойчива при

E  1.

19 / 35

265

14.1. Двухслойные разностные схемы для линейного уравнения

Первое дифференциальное приближение для этой схемы получается при ее исследовании на аппроксимацию:
 
1 





     ,

 2   
,

1







2









!

,

 > 3 2  /2

"

0



Пренебрегая членами второго порядка малости, получим первое
дифференциальное приближение рассматриваемого уравнения:



















или







2



2

 2



0,

1 E



0,









E

1   называется аппроксимационной
где слагаемое
2
вязкостью (или аппроксимационной диффузией), а коэффици
ент
1  — коэффициентом аппроксимационной вяз2
кости (диффузии).
Схема Лакса вида

F

E



 1


1
2




 1






 1

3



2



является условно аппроксимирующей
аппроксимации
! с порядком
"
 2 , так как при  2
невязка имеет порядок   1.
Шаблон этой схемы представлен
на рис. 14.13.
Ее первое дифференциальное приближение имеет следующий вид:


> 3 / 23

6


 1


 1





1

(14.20)

n +1,m

3 /
>

 





 2



n +1,m −1

3

3


2

n ,m +1
Рис. 14.13

 2
2

0



Ее используют в основном как конструкционный элемент при
разработке схем более высокого порядка точности. Напомним,
что среди линейных схем только схемы первого порядка являются, в соответствии с теоремой Годунова, монотонными.
В [7] предложен следующий вид семейства разностных схем,
объединяющего три первые рассмотренные схемы:



 1





E





 1



3



1 E $
2





$

 1

, (14.21)

20 / 35

266

Гл. 14. Численное решение ДУЧП гиперболического типа

где

$

0



$
$
$


 1












1
2



для схемы КИР,

(14.22)




для схемы Лакса–Вендроффа,

(14.23)


 1

для схемы Бима–Уорминга,

(14.24)


 1


 1







для схемы Фромма

(14.25)

Схема имеет шаблон, представленный на рис. 14.11, и получается путем сложения разностных схем (14.23) и (14.24):



 1





3!


 1



4

3

 34




!

5


 1




 2

"


"

 (14.26)
!
"
Эта схема также имеет второй порядок аппроксимации > 3 2  /2 ,
2





 1




 1




 2

но с меньшей дисперсионной погрешностью, пропорциональной
третьей производной по координате.
Заметим, что разностная схема, имеющая тот же шаблон, что
и схема Лакса–Вендроффа вида
  1
1

,
(14.27)

 

E 2
"
обладает порядком точности > 3  /2 , однако она не является
!

устойчивой, так как для нее

 $2

1

E2

2

$

Исследование на аппроксимацию этой схемы дает невязку вида


1 





1







Если учесть, что


2

 


2

 

 2 2

 1





!

"

 > 3 2  /2 

(14.28)

0  2   ,
!
"
пренебречь членами второго порядка малости > 3 2  /2 и перенести из правой части (14.28) в левую член, равный 6 ,






1





2




2

;







то получим уже известную условно устойчивую схему Лакса–
Вендроффа, представленную в следующем виде:

 1  1
2   1
1 
2   1


0
2

2
2
(14.29)







21 / 35

267

14.1. Двухслойные разностные схемы для линейного уравнения

Разностные схемы, представленные на рис. 14.8 и 14.9 (неявные левый и правый уголки), имеют порядок аппроксимации
  , причем первая схема устойчива при любых ,
а вторая — при
1.
Неявная разностная схема вида

>3 /

E

E



E!




 1







 1
 1

 1
 1

"

(14.30)

обладает
порядком
аппроксимации
!
"
 2 и устойчива для любых , при решении задачи Коши (вопрос устойчивости при численном решении краевой задачи
следует рассматривать отдельно);
Рис. 14.14
шаблон представлен на рис. 14.14.
Первое дифференциальное приближение схемы имеет вид

>3 /
3/











/E





 6 E2
2

!

1

"



0





Шеститочечная схема типа Кранка–Никольсон



 1





34

#!




 1
 1



 1
 1

"

 1 # 


 1


 1



.



(14.31)
1 2 имеет второй порядок аппроксимации по времени
при
и по пространственной координате, устойчива при любом соотношении , . При
0 схема неустойчива, при
1 мы получим
неявную схему (14.30).
Первое дифференциальное приближение для этой схемы имеет вид
    2 !1  2 " 
(14.32)




#

2
3/

#

#



E

2



Устойчивость исследуется с помощью спектрального признака
Неймана, т. е. решение ищется в виде








,

(14.33)

подстановка этого решения в (14.31) при

с учетом



1





6

 4      
 $   $;
 1 
 4 2 $  2 $
- !





"

!



2

1 2 дает:


".

0

0

22 / 35

268

Гл. 14. Численное решение ДУЧП гиперболического типа


1


при



1

  
2
,

2

  1





Остановимся на алгоритмической реализации вычислительного процесса реализации схемы
1 2:
1
1


1 
  1  1   1  1 0,

#







2

4

0, 1, . . . ,

; 

1

0, . . . ,

Представим эту схему в виде прогоночного соотношения



 1
 1

где



3
4

,







 1


%

1,




%



 1
 1

3



,

4



,





0, . . . ,

3
4




 1

  при  0 имеем
1 4  1 ;
0

На левом краю отрезка 0,










1,



 1





0, краевое условие в дифференциальной
на правом краю, при
задаче не ставится, но для единственности решения разностного
уравнения необходимо задать дополнительное краевое условие,
например
1
1
0,
$
$ 1

H 2H

  0.
представляющее аппроксимацию условия 
В этом случае система уравнений с матрицей трехдиагональной структуры имеет вид:

1


0


1


 0



4 1,
 1 1 1  %1






 1

2

1 ,


... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...












1

 1
$ 2

$

1





 1
$ 1



 1
$

%

0





 1
$




$

1,

Эту же систему можно представить также и в матричном виде,
аналогично тому, как это делалось при реализации алгоритма
прогонки для уравнения теплопроводности:

 ,

23 / 35

269

14.1. Двухслойные разностные схемы для линейного уравнения

где




   
                   ,
1

0

0

0
0

0

0 ... 0
0 ... ... 0

,   

$

...
...
0 ...

0
0
0

   
  
  ,



1
2

..
.



1

1

 1

0




 



1
1
2

..
.



0

1



,


1 — векторы, принадлежащие 1  1-мерному линей-

1 1

1

 5   1    1 — матрица поному пространству,
рядка   1    1, имеющая трехдиагональную структуру (ненулевыми являются только элементы, лежащие на трех
главных диагоналях); 5 . . . — пространство матриц с постоянными коэффициентами.
Вычислительная реализация метода прогонки была описана
в гл. 10: решение ищется в виде

1

1

1



 1









 1
 1





;



0, 1,

 1

1,

прогоночные коэффициенты имеют вид












,
) 1
 ) 1

) 1

Как уже говорилось, хорошая обусловленность системы алгебраических уравнений достигается при выполнении условия диагонального преобладания:

     %   Æ,






0

Æ  1

 , ,% в это условие, получим
 E24  E24  Æ  1,

Подставив выражения для

откуда



3
2





 Æ  1,

т. е. в случае реализации неявных разностных схем для численного решения уравнений гиперболического типа условие диагонального преобладания налагает заметное ограничение на число

Куранта
, что существенно уменьшает преимущества использования схем, в отличие от численного решения методом
прогонки уравнений параболического типа, где таких жестких
ограничений на выбор не существует.

E

3

24 / 35

270

Гл. 14. Численное решение ДУЧП гиперболического типа

Разностная схема «прямоугольник», шаблон которой представлен на рис. 14.5, имеет вид
 1 1 
1     1 1 

 1    1 

1
1

0
2
2
(14.34)
Невязка, получаемая разложением в ряд Тейлора сеточных функций вблизи полуцелого узла    2; 
2, в предпо3
0,  имеет вид (отметим громоздкость
ложении  ,  
алгебраических выкладок):









 8



32 







 24

/2



> !3 2  /2",
т. е. имеем схему второго порядка аппроксимации по 3 , /. Ис6

32



1
24








 /2



1
8






следование ее на устойчивость, путем представления решения
в соответствии со спектральным признаком






дает

 











1  3   1
1  3   1

,



3 %
3 %

,

3/

т. е.   1; при любых соотношениях , схема устойчива.
Первое приближение этой схемы имеет вид








2

!

12

1

E2"



0





В [5] был предложен следующий вид записи двухпараметрических разностных схем на шеститочечном шаблоне:



 1


где




3! 


"

2




$



 1







2

2! 


2

 1 $




"




,

;

$, @ — параметры, определяющие конкретную схему.
Так, при $ 0, @ 1 мы получаем трехточечную схему Лакса, при $ 0, @ E   — схему Куранта–Изаксона–
Риса (Годунова), при $ 0, @ 1 — четырехточечную явную
неустойчивую схему, при $ 0, @ E  — схему Лакса–Вендроффа, при $ 0,5, @ 0 — неявную шеститочечную схему,
имеющую второй порядок аппроксимации по времени и по координате, при $ 1, @ 0 — неявную четырехточечную схему,
имеющую первый порядок по времени и второй по координате,
при @ 1, @ E   — схему «неявный уголок».

25 / 35

14.2. Двухслойные разностные схемы для нелинейного уравнения

271

14.2. Двухслойные разностные схемы для решения
нелинейного уравнения переноса
Нелинейное уравнение переноса







 

0



(14.35)

может быть представлено в дивергентной форме:



где



2



2

 

0,



(14.36)

2.
Представленные ранее схемы Лакса, Куранта–Изаксона–Риса
(Годунова), Лакса–Вендроффа в этом случае имеют следующий
вид, соответственно:



1
2

 1




 1














1

2

 1 2




 1











 1

'









1!
2
1!
2

 1 2
 1 2

 1





 1













 1




 1 2
 1 2



2


 1






















 1

"



2



"

2






 1






 1

,




0,

,




0,

!


!





 1












 1

,

(14.37)
(14.38)

"

,

"

(14.39)

— предиктор,

 1 2
 1 2



— корректор.

Все три указанные схемы устойчивы при выполнении условия
Куранта–Фридрихса–Леви



    1





(14.40)

Отметим, что на этапе «корректор» в схеме Лакса–Вендроф1
фа используются промежуточный слой  и шаблон «крест» —
2
схема «чехарда» (или «прыгающая лягушка» — «leap-frog»), которая может быть представлена в виде (14.39) или в недивергентной форме:


1 1 
1 
1
    1  
0;
(14.41)



2



2

ее шаблон показан на рис. 14.15.
Схема имеет второй порядок аппроксимации по , , устойчива при выполнении условия Куранта–Фридрихса–Леви. В схеме
«предиктор-корректор» (14.39) на этапе «предиктор» используется

3/

26 / 35

272

Гл. 14. Численное решение ДУЧП гиперболического типа

схема первого порядка Лакса, на втором
! 2этапе2 "— схема второго
порядка, итоговая аппроксимация —
 . Шаблон этой
схемы представлен на рис. 14.16.

>3

Рис. 14.15

/

Рис. 14.16

Рис. 14.17

Такие схемы называют центральными. Примером нецентральной схемы второго порядка аппроксимации является схема
Мак-Кормака:

 $







1
2

 1






!









 1








$ 


"

;



2

$

$






 1

!



$

 1









 1

,

"

;

(14.42)

ее шаблон показан на рис. 14.17.
Определенным достоинством последней схемы является отсутствие полуцелых индексов, что упрощает постановку граничных условий при численном решении краевой задачи. Схема
также устойчива при выполнении условия (14.40).
Центральная 3-этапная разностная схема более высокого,
третьего порядка точности по , была предложена В. В. Русановым [6]:

3/








































1!
2

 1 3
 1 2



 2 3







 1




!

24

!

5 24
4




2




 1



2
3


3
8


 2


 2
























 2 3
 1

 1


 1





6

!

3



 1 3
 1 2

 7
4

"







 2 3
 1

7






E2 E4  5  3, E 32/






 1 3
 1 2






 1



"

,
первый этап;

, второй этап;




 1

 2

4


 1


 2



1443

"

 2

"

0,

третий этап;

Соответствующий данной схеме шаблон представлен на рис. 14.18.

27 / 35

14.2. Двухслойные разностные схемы для нелинейного уравнения

273

Рис. 14.18

На первом шаге находятся четыре значения сеточной функции
по схеме Лакса, на втором — три значения по схеме «чехарда»,
схема устойчива при выполнении условия    
 .

В случае разностной аппроксимации линейного недивергентного уравнения схема Русанова приобретает следующий вид:

3 /2



 1  

3



2



3

 1 3

 2 3




 1


E

3
8
3!




3



2







2
3

 2 3
 1

E










 1 3
 1 2

 2 3
 1




;

 1 3
 1 2

;


 1







"




  7 1 7  1  2  2
8! 

4 
4 
1  6 

24 2


 2

1




 2

"



Нецентральная схема третьего порядка точности была предложена Уормингом, Кутером и Ломаксом [6]:

"
2 ! 



первый этап;
 $1 2

 ,
1

3







1 
2 $

$
$ 1 , второй этап;

$
$


1

2
3




 1
3 $$
$$

1
 1


14 44
8
"
 !






2
7
7
2

1
 1

2
 2

24
"

 ! 






4
6
4
,




1

1


2

2

24


третий этап;

 2
4








5

4

E





 









 

  



E  5  3

28 / 35

274

Гл. 14. Численное решение ДУЧП гиперболического типа

Схема устойчива при выполнении того же условия, что и в схеме
Русанова. Последнее слагаемое в обеих схемах третьего порядка
аппроксимации добавляется для их устойчивости. Шаблон данной схемы представлен на рис. 14.19 (крестиками везде обозначены узлы, принадлежащие промежуточным слоям по времени).

Рис. 14.19

Для аппроксимации линейного уравнения переноса схема
Уорминга–Кутлера–Ломакса принимает следующий вид:
$



 1


7





 1

2



2
3




E


 1




;

 
3
$
$
$ $ 1 ;
2
3


3!
3
$
$1 $
$ 1
2 
7 
 1
2
8
3
" 8 ! 







E

 2



4

 2

24



 1

6




4



 1




 2

"



Примером неявной двухслойной шеститочечной разностной
схемы с шаблоном, изображенным на рис. 14.4, является схема
Бима–Уорминга (заметим, что существует и явная схема Бима–
Уорминга, которая рассматривалась выше):



 1







2





 1 ,
    

  

(14.45)

где квадратные скобки означают разностную аппроксимацию
производных по .
1
Проведя линеаризацию сеточной функции 
в соответствии с формулой







 1




 

где













 1




  


* 



,

 













 









,

,

29 / 35

275

14.3. Трехслойные разностные схемы для уравнения переноса

получим схему вида



 1


 2






  

2


 




  
 










,

или, после разностной аппроксимации производных в квадратных скобках:





 1
 1




где:







2








 1


 4  1; 
 1  1  4 








%

1;

 1



 1
 1













%

4


 1





,

(14.46)


 1




,


4 


 1




 1





В результате мы получили систему линейных алгебраических
уравнений с матрицей трехдиагональной структуры.
Получим разностную схему для решения нелинейного уравнения переноса, записанного в дивергентной форме, на шеститочечном шаблоне, аналогично аппроксимации уравнения теплопроводности:


0

  


 



  

0



Аппроксимируем контурный интеграл по формуле средних:



или:

/ 

1 





 1 2
 1 2



3



 1


/



3

0,

0;



2

 1 2
 1 2

 1122  1122

2



14.3. Трехслойные разностные схемы для решения
уравнения переноса
В качестве примера трехслойной разностной схемы (кроме
схемы «чехарда») приведем схему «кабаре» [12], ставшую достаточно известной среди исследователей-вычислителей для решения задач газодинамики:
 1    




   1 11
   1 0, (14.47)



2

или



 1





1 !
2


 1

 1
 1

"

3
2







 1



(шаблон представлен на рис. 14.20).

30 / 35

276

Гл. 14. Численное решение ДУЧП гиперболического типа

Эта схема является точной для двух
значений
: 1 и 0,5. Первое дифференциальное приближение схемы имеет вид (см. шаблон на рис. 14.20)

E 32/













2

!

1

12

3

E  2E 2 "




0



Схема имеет второй порядок аппроксимации по , , устойчива при условии  1.
Рис. 14.20
Примером компактной трехслойной
разностной неявной схемы [8] для аппроксимации линейного
уравнения переноса является схема А. И. Толстых
5 1 
8 1 

3/

E

12



1
12

1

 12

1

1  1



5 1  1

 12

имеющая порядок аппроксимации
зан на рис. 14.21.



 812 

 1

8 1 1
0, (14.48)
12
"
! 3
3 ; ее шаблон пока-

> 3 /

Рис. 14.21

Рис. 14.22

Представим также неявную трехслойную схему Л. А. Тушевой

1  E




 1
 1

4



 1

 1
 1

 1  E

1 E 11 4E
 4 1  1 E






  4E  1 

 0, (14.49)


 1
 1
 1



аппроксимирующую линейное уравнение переноса (14.1) на шаблоне, представленном на рис. 14.22, с четвертым порядком аппроксимации.

31 / 35

14.4. Разностные схемы для решения волнового уравнения

277

14.4. Разностные схемы для решения
волнового уравнения и акустической системы
К уравнениям гиперболического типа относится также волновое уравнение, имеющее вид



2



 ,


(14.50)

которое может быть аппроксимировано на шаблоне «крест»
(рис. 14.23) с помощью явной трехслойной разностной схемы следующим образом:
1 2  1

2
или



 1




2

2

1



 1

0, (14.51)

2

2
 E2





 1

 1



2







 1





0



Рис. 14.23

Выражение для невязки получим с помощью разложения сеточной функции в ряд Тейлора

6



4
или, с учетом 

6

 2 4

2



12

4 :


 2! 2
/ E
12
4



12



2



4  > !3 4 , /4 ",

2

1

"

4  > !3 4 , /4 ",



3/

т. е. схема имеет второй порядок аппроксимации по , , а первое
дифференциальное приближение имеет вид





2





2
12

/2 !E2

1

"

4

0





(14.52)

Исследование схемы «крест» для численного решения волнового
уравнения при помощи спектрального признака дает

2



2 1

2

E2

2


2

1

0



В таком случае, в соответствии с теоремой Виета, произведение
корней этого уравнения есть

1  2

1,

32 / 35

278

Гл. 14. Численное решение ДУЧП гиперболического типа

и условие устойчивости выполняется при  1    2 
1, что означает комплексную сопряженность его
корней, а это возможно при отрицательном дискриминанте полученного квадратного уравнения:





4

E2



2



$ E2

2





1

2

0



Следовательно, условие устойчивости выполняется для любых
при  1.
Рис. 14.24
Трехслойная разностная схема
для рассматриваемого волнового уравнения может быть также
представлена в параметрическом виде (0   1) на девятиточечном шаблоне, показанном на рис. 14.24:

$

E

#



 1


 1


- !

 E #






 1
 1

 1
 1

"

 1
!
#

2

# 

 1
 1




 1
".
 1
 1






 1



(14.53)

Исследование на устойчивость по признаку Неймана дает
следующее условие:

#

1
4

1

43 2



Невязка в этой схеме имеет вид

6





4 
12

2

#43 4

2

12

4  > !3 4 , /4 ",



т. е. при выборе параметра

#

1
12

1
123 2

рассматриваемая схема имеет четвертый порядок аппроксимации
по , .
Заметим, что численное решение волнового уравнения можно
реализовать и на двухслойных разностных схемах, если заменить
его на систему двух уравнений переноса первого порядка


3/

;

Ê 
    :
0

'




;


; ,
2  


(14.54)



33 / 35

279

14.4. Разностные схемы для решения волнового уравнения

Одномерная акустическая система, описывающая распространение плоских звуковых волн, записывается в следующем виде:







 1  ) 0,
 9 

 )  %2  
0



1455а
1455б

%

Здесь
  — плотность среды,
  — скорость звука
в среде, — давление в среде, — скорость движения среды
в заданной точке пространства в данный момент времени .
Если мы умножим (14.55б) на 1   и сложим с (14.55а),
а затем вычтем из него, то получим систему уравнений акустики,
записанную в инвариантах Римана:





2 %













 !

0

0,
(14.56)

!
 

0,


)
; эта система имеет общее решение
9

)
,
9

?
0 (   , ? +   ,
откуда получим выражения для , :
    
9  
; 
2
2


где
вида



 











   



Очевидно, что значения инвариантов Римана остаются постоян
ными вдоль характеристических прямых
 Для разност
ной аппроксимации (14.56) можно использовать уже известную
схему Куранта–Изаксона–Риса (Годунова):



0
?




 1

 1


1 E 0  E0
1 E ? E?






 1

 1



,
,

(14.57)

которая исследовалась выше.
Полученная схема имеет двойной шаблон (левый и правый
уголки; рис. 14.25).

Рис. 14.25

34 / 35

280

Гл. 14. Численное решение ДУЧП гиперболического типа

Исследуем на устойчивость три другие разностные схемы, аппроксимирующие акустическую систему (для простоты положим
1):

 :


,
 
(14.58)


 :
,







записанную в матричном виде:

 




где

0,

(14.59)

 — вектор-столбец искомых функций,






0 1
ца 2  2:
1 0
Первая схема имеет вид
1








1

0



 — матри-

(14.60)

Для исследования данной схемы на спектральную устойчивость
будем искать решение разностного уравнения в виде








 


Подстановка решения в систему дает
% 1
 1
или

0





1

0

E !



1

(14.61)

0

"

0,
0

0



В развернутом виде полученное уравнение имеет вид

 
  1  3 % 1 : 0
3 %
1
 1



(14.62)

Данная система линейных алгебраических уравнений имеет решение в случае, если определитель отличен от нуля, т. е.



E2 !

1 2



1

"2

,

откуда получим:

1 1 E  E , 2 1  E E ,
т. е. корни 1 $ и 2 $ на комплексной плоскости пробегают
окружности радиуса E с центрами в точках 1 E и 1  E .




Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

35 / 35

14.4. Разностные схемы для решения волнового уравнения

281

По этой причине спектральное условие устойчивости не выполняется.
Рассмотрим другую схему — Лакса–Вендроффа, имеющую
в случае рассматриваемой системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (14.59) следующий вид:


1






1

1

2


2

2

2 


 1



2







 1



0



(14.63)

Для исследования схемы (14.63) на спектральную устойчивость, поступая, как и в предыдущем случае, получим следующие выражения для двух значений  :

$
1  E
$ 2E 2
1 E
$ 2E 2

1
2

откуда
1

1,2 $2

4

E2

4



2

2



2

2

!
2

;
,

E2",

1

т. е. рассматриваемая схема будет устойчивой при выполнении
условия Куранта–Изаксона–Леви

3  
Третья схема — «шахматная»:

12

1  : 12





12


 : 12



:1122

:1122

0,

 1 

0,

в которой введены полуцелые индексы (узлы):


1

;




 1 2
 1 2

2

;

 322,
  /22,


 1 2

!





 1 2

;





"

 1 2



Шаблон изображен на рис. 14.26.
Исследование схемы на устойчивость приводит к выражению





1 2
1 2

"0


0!



 2 ,
!

1 / 35

282

Гл. 14. Численное решение ДУЧП гиперболического типа

Рис. 14.26

C B

где 0 , 0 — некоторые постоянные. После подстановки в исходную схему получим систему

 1
% 2 % 2

 0
0,

0


% 2 % 2

 0  1 0,
0

B

C
C

B



которая имеет нетривиальное решение (относительно неизвестных 0 , 0 ) при условии

C B


 

2

,

1

2

2

 2


 2

,

1





0,



откуда получим уравнение для определения :


или



2



2






1 2

 4 2



1

2

2
2

2



0,

2
2


2

1

0



Подобное уравнение уже исследовалось (схема «крест»): схема
устойчива при  .

3 /

14.5. Гибридные разностные схемы
Идею построения гибридных схем для устранения (или минимизации) осцилляций численного происхождения в областях
больших градиентов численных решений впервые предложил
Р. П. Федоренко в 1962 г. Первая гибридная схема Федоренко

2 / 35

283

14.5. Гибридные разностные схемы

описана в [2, 3] на примере численного решения линейного
уравнения переноса











0



0

(14.64)

и разностной схемы КИР («левый уголок»):
1    1

0,
 





0



(14.65)

Исследование данной схемы на аппроксимацию дает
1   


  





или



1







 2

 ,



 ,





!





2

 > 3 2  /2
!

6



 ,

"

, (14.66)

"

 > 3 2  /2 

Учитывая дифференциальное следствие линейного уравнения переноса






и пренебрегая членами второго порядка малости в правой части (14.66) после аппроксимации второй производной  , получим известную нам разностную схему второго порядка аппроксимации по и Лакса–Вендроффа:

3 /





или
где



 1




E





3


 1

 1












2 



2

E




;





0,

2

1 E

;



2






(14.67)
2 

0,






 1




 1








;

Если при исследовании схемы КИР на аппроксимацию в разложении сеточных функций в ряд Тейлора оставить и аппроксимировать разностными соотношениями члены второго порядка
малости по и , то после аналогичных алгебраических выкладок получим разностную схему третьего порядка аппроксимации
по и следующего вида:

3 /

3 /


 1


где




3 



E


 1






3




3

1 E 
2

3


 1

3!

2 




 2

6

1

E2"

3 

,
(14.68)


.

3 / 35

284

Гл. 14. Численное решение ДУЧП гиперболического типа

Если предложить анализатор гладкости сеточной функции
в виде
'
2  
1, если
   ,


(14.69)

2 
0, если
   





F

и сконструировать разностную схему (14.67) с учетом (14.69):



E




 1


F  32 1 E







2 



,

(14.70)

то получим в областях с большими градиентами численного

решения 
0, в областях с гладкими численными решения
ми  1.
В первом случае реализуется схема КИР первого порядка аппроксимации 
0, во втором — схема Лакса–Вендроффа (
).
Такой же анализатор можно предложить и для схемы третьего порядка аппроксимации.
Заметим, что аналогичным путем можно получать разностные схемы более высоких порядков аппроксимации. Действи1
тельно, разложение в ряд Тейлора сеточных функций 
, 
1
для линейного уравнения переноса (для простоты выкладок положим в (14.1)
1)

F

F













0



дает следующее выражение для погрешности:



   2     . . .  



 
 
1

/



 1













где

6



1
2

2

 3     2     . . . 
2


 

 ,

6




 

 

!



!



> /
 
!
> 3



"



"

 1

0,





 1

0,

"












,

3 /   31 3 2 /2   . . .
1
 1  > !3

3
/

... 
1

















!



1

  1



E

1

"

 , /1 "

 1

 1  > !3 1 , /1 ",


4 / 35

285

14.5. Гибридные разностные схемы

что позволяет построить разностную схему (
аппроксимации

3 1



 1







E

E




  1)-го порядка

1

  1






1

0,

(14.71)

где 1 
 — -я конечная разность для сеточной функции
Дифференциальное приближение этой схемы имеет вид

3 1









/





1



1



1

1







.



Гибридизация (регуляризация) схемы высокого порядка точности проводится аналогичным образом.
В. П. Колганом впервые была предложена гибридная разностная схема, использующая четыре сеточных шаблона (рис. 14.1–
14.3, 14.10) [5, 13]:
1     

0,




1 


2



если










 2 


если

1 




если



1 




если









0,


 

2

 2








 1





2




 2


 1






;




,

0,

 1





(14.72)





 2



 2









 1

 2 




 1



,






,







2








 1




 1

,


 1



,



В зависимости от гладкости численного решения, которая определяется анализатором гладкости, в этом случае используются
схемы: 4-точечная с центральными разностями, Бима–Уорминга,
Куранта–Изаксона–Риса, Лакса–Вендроффа. Отметим, что из
четырех схем только одна является монотонной — схема КИР
первого порядка точности.
Развитием идей Федоренко и Колгана о построении гибридных разностных схем, с учетом представления схем в потоковой форме, предложенной Борисом и Буком [6], являются гибридные TVD-схемы Хартена, которые удовлетворяют условиям

5 / 35

286

Гл. 14. Численное решение ДУЧП гиперболического типа

уменьшения полной вариации (УПВ, Total Variation Diminishing,
TVD) [14]:
"
!
( 1  (   ,
(14.73)
где



(  



 1








.

Представим уже известную нам разностную схему Лакса–
Вендроффа в потоковом виде:



 1







E




E22 1 E


 1 2



!








 1 2




 1




 1 2

"




,

(14.74)

.
Эта схема не является монотонной, но ее можно сделать
таковой, если ограничить так называемые антидиффузионные
потоки с помощью функции   :

где

$

" !


 1 2

?



2

2



#



#?
E 1 E 


 1






,


  , — ограничитель (лимитер).

 

Оказывается, что полученная схема устойчива при выполнении условия:
'
0
     2 , 2, если  0;

где

#?

# ? 


0,

если

?
?  0

Пример функции-ограничителя:









 2, ? ,

# ? 


 2 ?





0,








если



?



?

1, градиент численного
решения убывает;

1,
градиент
решения

растет;
 0, численное решение
осциллирует.

?

, 1, если 0
если

?



Эта функция является анализатором гладкости численного решения и позволяет регуляризировать численное решение в областях
с большими градиентами.
Одним из наиболее эффективных методов построения разностных схем, аппроксимирующих соответствующие дифференциальные уравнения, с заданными свойствами аппроксимации
является метод неопределенных коэффициентов.
Построим, например, с помощью метода неопределенных коэффициентов явную разностную схему первого порядка точности, аппроксимирующую неоднородное линейное уравнение переноса


, 
(14.75)



 

6 / 35

287

14.5. Гибридные разностные схемы

Запишем ее в достаточно общем виде (14.4):











 $2



,

(14.76)

где





$1



 1











$ 




 $3


 1

,
Рис. 14.27

,

(
1, 2, 3) — неопределенные коэффициенты, и используем
шаблон «правый уголок» (рис. 14.27).
Будем искать неопределенные коэффициенты
из условия
аппроксимации с первым порядком:

$









 ,

 > 3  /

(14.77)

Разложение двух сеточных функций в ряд Тейлора в окрестности
точки   ,   дает:





 1






 1






!

"

 3    > 32 ,
! "
 /     > /2 

 


 

После подстановки этих выражений в уравнение (14.77)
с неопределенными коэффициентами получим, положив
:





 $2  $3 ! 1 $"1  $2  $3 

 $13    $3 /     > 3 2  /2 $1  $2  $3 ! "
 $1 E/    $1E  $3 /     > /2 ,
где в последнем равенстве производная по времени    заменена на выражение
   




$1

3 E/

 1


 








 








 





 





Для того чтобы выполнялись заданные условия аппроксимации
с первым порядком по и по , необходимо обеспечить выполнение равенств:

3

/


 1

$ E/ 1  > /,
$1  $2  $3 0  > /,

/ $1E  $2 0  > /

7 / 35

288

Гл. 14. Численное решение ДУЧП гиперболического типа

>/, то получим

Если в правой части опустить члены порядка
систему линейных уравнений следующего вида:



E/$1 1,
$1  $2  $3

$1E  $3 0,

0,

которая имеет единственное решение:

$1

1



$2

;

1

1



$3

;



1

Эти коэффициенты соответствуют хорошо известной схеме КИР
(Годунова, «явный правый уголок»):



1

 1



или





 1




1

1





E








 1



1




 1









,

  3 



Таким образом, для разностных уравнений, аппроксимирующих
дифференциальные уравнения в частных производных, можно
использовать следующие методы:
¯ аппроксимация производных;
¯ интегро-итерполяционный метод;
¯ проекционные вариационные методы (Бубнова–Галëркина,
Ритца, метод конечных элементов);
¯ метод неопределенных коэффициентов;
¯ метод характеристик.
Приведем точные решения одномерного нелинейного уравнения переноса











0;

 , 

0

;

0,

полезного при тестировании рассмотренных разностных схем для
двух начальных данных.
1. Начальное возмущение имеет вид треугольника:

0

0, 


2 



 2
2 2




 2

0,

1 
,
1

,
1





  1 ,  2  ;


   2  , 2 ;
 2 1, 2
1

1





2

2

8 / 35

289

Список литературы

Точное решение:

 , 


2  1 

,




1   2

2










 2 2  ,

2
1  2








2  1 


,


2
1   2





0,

где







  1, 

1



2

2



  1, 

,



0




1

 , 2

0
  1, 1   ,
 2 1, 2   ,
2



2

2 1  2 1   2



2

1 2 



2



;

,

2 1 



2

2 1 



2

2 1 



2

;
;





2. Начальное возмущение имеет вид прямоугольника:

0, 

1,
0,

  1, 2;
  1, 2

Точное решение:

 , 










1,






0,



1

,

 1
,












0,





  1, 1  , 0  2 2 1;
  1  , 2  22, 0  2 2 1;
 2 1, 2  22,  2 2 1;

  -1, 1  2 2 1 .,
2 2 1 ;

 2 1, 1  2 2 1 .,
2 2 1 

Список литературы
1. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука. 1973. 400 с.
2. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. Долгопрудный,
2008. 503 с.
3. Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике.
М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. 522 с.

9 / 35

290

Гл. 14. Численное решение ДУЧП гиперболического типа

Дополнительная литература
4. Магомедов К. М., Холодов А. С. Сеточно-характеристические методы.
М.: Наука, 1988. 288 с.
5. Шокин Ю. И., Яненко Н. Н. Метод дифференциального приближения.
Применение к газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1985. 364 с.
6. Андерсен Д., Танненхилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен. Т. 1. М.: Мир, 1990. 384 с.
7. LeVegue R. J. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge:
Cambridge University press, 2011, 558 p.
8. Толстых А. И. Компактные и мультиоператорные аппроксимации высокой
точности для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2015. 350 с.
9. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных
сред. М.: Наука. ФИЗМАТЛИТ, 1994. 442 с.
10. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П.,Кобельков Г. М. Численные методы.
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. 622 с.
11. Холодов Я. А., Уткин П. С., Холодов А. С. Монотонные разностные схемы
высокого порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического
типа: Учеб. пособие. М.: МФТИ, 2015. 68 с.
12. Головизнин В. М., Самарский А. А. Некоторые свойства разностной схемы
«кабаре» // Матем. моделир. 1998. Т. 10, № 1. С. 101–116.
13. Колган В. П. Применение принципа минимальных значений производной
к построению конечноразностных схем для расчета разрывных решений
газовой динамики // Уч. зап. ЦАГИ. 1972. Т. 3, № 6. С. 68–77.
14. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws //
J. Comput. Phys. 1983. V. 49, Is. 3. P. 357–393.

10 / 35

Г л а в а 15
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (УРАВНЕНИЯ
ЭЛЕКТРОСТАТИКИ, ЛАПЛАСА, ПУАССОНА)

15.1. Постановка задачи Дирихле
для уравнения Пуассона
В этом разделе будут рассмотрены разностные методы решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольной
области
$
 & 0   1; 0   1
(15.1)
с границей &:

+ +



24 24

2 2



 , ,

4  , ; ,   +;
4 ( , ; ,   &

или:

Совокупность внутренних точек, принадлежащих прямоугольнику $ , будем обозначать $  , граничных точек — & .
Аппроксимируем, как и выше, вторые координатные производные разностными соотношениями:

+

+



4

1

4

4



4

2

4

4







24

1,

,



4

1,

2



24

, 1



4

, 1

2

 42 ,
2

 42 ,
2

и рассмотрим разностную схему, аппроксимирующую исходное
дифференциальное уравнение в частных производных эллиптического типа (см. § 14.1)

4

1,

24

,
2



4

1,

4

24

, 1



4

, 1

2





,

4 , +
#



(15.2)
которое можно представить в операторном виде


4 
#



4

#



#

,

11 / 35

,

292

Гл. 15. Разностные методы для уравнений эллиптического типа

или же



,
есть оператор следующего вида:
#

где





граничные условия:

4



;

(  ,  ;  ,   & 


#



#

#



Таким образом, операторная запись сеточной задачи Дирихле
будет иметь вид

,
где

4


4




4

24

1,

4





4

1,

2

24

, 1



4

, 1

2

;

 ,    +,
(  ,  ;  ,    & 
(15.3)
Здесь (  ,   есть значение функции ( в точках  ,  ,
$ :
принадлежащих границе & области интегрирования +
  ,    ,  ,    + ,

(  ,   ( ,  ,    & 








4



#





#

#

#



#



#









#



#

#

#

#



#



#





Разностная аппроксимация производных в предположении существования четвертых производных дает:

4
4



 1,#

,#

1

4  > !/5 ",

4  / 4  2 4  6 4  24
4  / 4  2 4  6 4  24
2



#

3





2



#

4



3









4  >

4





! 5"

/ 


В таком случае погрешность аппроксимации имеет следующий вид:
2
2
! 4 4"
4 
4
(15.4)


 
, 

6

24

4

24

4

>/ / 

Если в разностном уравнении (15.3) аппроксимировать четвертые производные по
и по , то получим схему четвертого
порядка аппроксимации:







4 
#



#



 

#

1 ! 2
12 

/



#





где:


4

#

4 4# ,





4

"

4  /2
4
! 4
"
> /  /4 ,

#




#

(15.5)

4 4# ,



12 / 35

15.1. Постановка задачи Дирихле для уравнения Пуассона

или же, в более компактном виде,

4

1
12

#



/2



4  /2 4









4

#

 

293

(15.6)

#

В дальнейшем нам потребуется знание некоторых важных
свойств введенных операторов  ,  , .
В частности, можно показать, что все они принадлежат пространству линейных операторов :  ,  ,  , т. е. обладают
соответствующими свойствами, являются положительно определенными:

)







,





0,

и самосопряженными:


 ,








)

,





0,

 ,


,



0,



Кроме того, эти операторы имеют вещественные собственные
значения и соответствующие им собственные функции, которые
будут представлены несколько ниже.
Рассмотрим также проблему устойчивости полученной разностной схемы, для чего в пространстве  сеточных функций,
определенных в $ , введем норму

+

C

4 

 4 

 2

 , 3

(15.7)

#

Теорема 15.1 (принцип максимума для сеточных функций).
Каждое численное решение (сеточная функция) разностного
уравнения
0,   , #    ,
#

4

 

+

аппроксимирующего дифференциальное уравнение

4

0,

4 & ( , , ,   +,

достигает своих наименьшего и наибольшего значений в точках, принадлежащих границе области интегрирования & .
Д о к а з а т е л ь с т в о.
1. Покажем, что если для сеточной функции # выполняется
0
(15.8)
#

4

4

+

4

 

+

во всех внутренних узлах области интегрирования , то  #
,#
достигается в узле, принадлежащем границе & .
Допустим, что этот максимум не достигается на &; в таком случае он достигается в некоторой внутренней точке   , #    .

13 / 35

294

Гл. 15. Разностные методы для уравнений эллиптического типа

Однако в этой точке выполняется условие (15.8). Если расписать
его как разностное, то получим

4

1,



откуда следует

4

#



, 1



1,

4
4








,

, 1





1, 

, 1





, 1



0,

1, 



4

(15.9)
, 1

,

что противоречит предположению о том, что сеточная функция # является максимумом (т. е. не меньше, чем каждое из
четырех слагаемых).
2. Аналогично устанавливается, что из условия

4

4

#

0

4

следует, что минимум сеточной функции # достигается на
границе.
Таким образом, из двух доказанных утверждений следует
доказательство теоремы.
Из этой теоремы следует факт существования и единственности решения поставленной задачи, так как в силу доказанного
принципа максимума эта задача с однородными (нулевыми) граничными условиям имеет только тривиальное решение. Из курса линейной алгебры известно, что если однородная система
линейных алгебраических уравнений имеет только тривиальное
решение, то решение соответствующей неоднородной системы
существует и единственно (задача однозначно разрешена).
Для доказательства устойчивости решения рассматриваемого
разностного уравнения рассмотрим вспомогательную функцию
(разностную мажоранту Гершгорина) вида

C
где

1- 2
4

! 2

  2".    ( ,



    ; (    ,
#

3

3

#

 — радиус окружности с центром в начале координат 0, 0,
$ (в нашем
включающейв себя всю рассматриваемую область +
2 ).
случае 
Если к сеточной функции

;

#

4

#

C

#

применить разностный оператор Лапласа

;

#

   

, то получим, что

#

14 / 35

15.2. Итерационные методы решения задачи Дирихле

295

во всех внутренних точках области, откуда следует, что в соответствии с доказанной теоремой свое наибольшее значение
данная сеточная функция принимает на границе области интегрирования. Однако можно показать, что на границе области
интегрирования сеточная функция

;

#

4

C

#

#

принимает только отрицательные значения, откуда следует, что

4 C 0
$
+  &.
во всех точках области +
#

#

Если аналогичные рассуждения привести для другой сеточной функции
#
# 
# ,

I

4

C

то мы получим неравенство

4 C
#

#

0

также во всей области интегрирования.
В результате объединения двух полученных неравенств будем
иметь
2
 #    #   ;     ,
(15.10)

4

C

4



(

т. е. рассматриваемая разностная схема устойчива.
Рассмотрим теперь более практическую и непростую проблему нахождения решения плохо обусловленной системы линейных
алгебраических уравнений высокого порядка с матрицей специальной структуры. Основным вопросом является количество
арифметических действий, необходимых для решения СЛАУ
с заданной точностью, которое обычно оценивается как  ,
где — порядок системы,
0.



>



15.2. Итерационные методы решения задачи Дирихле
для уравнения Пуассона
Для численного решения СЛАУ высокого порядка с сильно
разреженными матрицами основными методами являются итерационные, в которых по заданному начальному приближению 0#
и алгоритму находят первое приближение 1# , затем по первому — второе 2# и т. д. Итерационный метод является сходящимся, если #
# ( # — проекция точного решения

4



C



C

на расчетную сетку), где
0, 1, . . . — номер итерации. Перед
реализацией итерационного метода, кроме установления факта

15 / 35

296

Гл. 15. Разностные методы для уравнений эллиптического типа

сходимости, необходимо оценить скорость сходимости и количество итераций. Скорость сходимости оценивается из неравенства



4



C

#

#






;

1 — параметр, индивидуальный для
здесь — константа, 0
каждого метода. Итерации заканчиваются при выполнении условия

 1


#  ,
#

4

4

 



, откуда следует оценка количества итераций, необгде 
ходимых для достижения заданной точности:

    2  2  

Представим метод простых итераций для численного решения
рассматриваемого уравнения в следующем виде:

4 3! 4
(,

4 1

#

#

4

#

4



#

24

1,

,



4

2

"

#

1,

 ,    + ;
 ,    & ;

,

4





#



#



24

, 1



,

2



(15.11)

4

, 1



Если из (15.11) вычесть очевидное тождество

4 4  3  4 
во внутренних точках, а из равенства 4 1 4 — тождество
4 4 в граничных, то для невязки 6 1 получим уравнение
;
6 1 0,6  3 6 ,  ,,    +
(15.12)
&,
#

#

#

#

#

#

#

#



#



#

которое может быть переписано в виде

6 1 .  3  6 

(15.13)

#

#

Далее переходим к неравенству в нормах:







6 1  .  3   6

или

#

#




6

#







,

(15.14)



 .  3   60 



#



Теорема 15.2. Пусть  и  — соответственно минимальное и максимальное собственные числа (границы спек 0 в итерационном процессе
тра) оператора

4 1 4  3 ! 4
#

#

#

"



#

,

16 / 35

297

15.2. Итерационные методы решения задачи Дирихле

построенном для решения уравнения в частных производных
эллиптического типа:

4  , 
Тогда последовательность 4  сходится
нию (15.15), если 0 3 22 .
При этом выполняется







(15.15)
к точному реше-



4   40,
3, 1 3 — параметр,

 1
где
щий наименьшее значение, равное



при

 4




1

3 3опт

1








2





принимаю-



(15.16)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Непосредственной подстановкой в известное равенство


5 

 5 





показывается, что числа



1

 



4
2

) 
,
2



1, . . . ,
1 — номер собственного значения,
— номер
где
сеточного узла, являются собственными функциями операто
ра  ;  — соответствующие им собственные функции:

/

2

5





 1 
8




2



)





4



/

2

  1 
8
 
2 )





)






Аналогично показывается, что функции



%
#

5 5 



%



#

являются собственными функциями оператора
 
а соответствующими собственными значениями — величины



%



    
%

4

/

2



2



) 

2

2





,

 

2

Несложно определить границы спектра собственных значений
оператора  :
1 4 2 2
 2,






/

2

8

17 / 35

298

Гл. 15. Разностные методы для уравнений эллиптического типа

поскольку

/ 1

 

$

1  1;

1,



4

1

2





2



1

2

4

2

2

4

2

Соответственно, границами спектра оператора

  282;   8/

2

8

/

2

4

1 2

будут значения:

1 2

Число обусловленности системы линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующих исходное уравнение в частных производных, вычисляется как отношение

2 21282 ,
т. е. система плохо обусловлена, поскольку 1 2  1.
Функция 6 , равная нулю на границах, может быть пред#

ставлена в виде фурье-разложения по базису из собственных
 %
функций # оператора :

60

%
#

%

#

причем

% 

%

 0 



,

0 0

#

6 0 , 

%

%
#

#



! 0 0"
,

6



%

%

%2

 ,

%

%

— равенство Парсеваля.
Теперь можно провести анализ сходимости итерационного
процесса:

61

#

.  3  % 

.  3  60

% .  3
%

%

%
#

%

#

%

  %
#

%

%


%



3

1

%





 
%
#

!

(15.17)

3

"

 %
Последнее равенство объясняется тем, что значения 1
являются собственными числами оператора 
, что следует
из сложения равенств:

. 3

3 5 


35 , .5  5 ,






откуда имеем

.  3  5  1 3 5 




 %
(для # последнее равенство доказывается аналогично).

18 / 35

299

15.2. Итерационные методы решения задачи Дирихле

Далее можно получить оценку невязки
 1 



6

%2 1 32   , 
%

#

%

,

,

где

3 



,,, 

 ,

1

, , 
1 3 % .

3

%

#

по норме:

3

1



61


 60

#

%




%




%2

%



3   60

#


,

Аналогичным путем получим оценку для нормы невязки на

-й итерации:




6

#








 3  60 

(15.18)

#

Из последнего неравенства видно, что

3   1 3, 1 3,

причем итерационный процесс сходится при 0
выполнении условия
2
0
,

3

1, т. е. при



(15.19)

которое и требовалось доказать.
Будем выбирать итерационный параметр таким образом, чтобы скорость сходимости итерационного процесса была максимальной. При этом мы приходим к типичной «минимаксной»
задаче: найти

 , ,,  1

 

3 

Поскольку внутренний максимум

 1 3



достигается либо на одной из границ спектра (левой
правой  ), то нам необходимо найти минимум



 или

  1 3,  1 3 ;


который достигается при некотором оптимальном значении
параметра :

3

3опт    1 3, 1 3


3опт

(15.20)

Как видно на графиках двух функций (рис. 15.1):

1 3, 1 3,

19 / 35

300

Гл. 15. Разностные методы для уравнений эллиптического типа

Рис. 15.1

3

оптимальное значение итерационного параметра опт , при котором достигается минимум в нашей минимаксной задаче, находится из очевидного уравнения (точка пересечения двух графиков)

1 3 1 3,

или

3

1

откуда получим

3опт

1 3,


2






(15.21)

Теперь мы сможем оценить скорость сходимости итераций:


1

1

3 

  1


 
1
1


1
1



2

  1


1




2






  1


  1



1





2






 1



(15.22)

Теорема доказана.
Заметим, что теперь можно оценить количество итераций, соответствующее полученному итерационному процессу
( — заданная точность):


-



*
  



1



*

1







2
2





*






1

1




2

!

 

1

"

 1

20 / 35

15.2. Итерационные методы решения задачи Дирихле

301

Если вычисления проводятся на расчетной сетке 102  102 при
10 5 (  2 2 ,  8 2 ), то





8 
1
- 282   105  2  104;
2

(15.23)

2

при этом

опт



1

Напомним, что

2

 1




 0,9995

* 2

— это число обусловленности, являющееся важной характеристикой матрицы рассматриваемой системы линейных алгебраических уравнений.
Чем больше это число, тем больше требуется вычислений для
достижения приемлемой точности. В нашем случае количество
итераций  104 арифметических операций, однако цена каждой итерации приблизительно 10 2 арифметических операций,
т. е. необходимо количество операций  109 , так что данный
метод требует значительных затрат машинного времени. По этой
причине были затрачены большие усилия для разработки итерационных методов, существенно уменьшивших количество арифметических операций. Приведенный же метод тем не менее имеет
большой методический смысл, необходимый для понимания современных итерационных методов.
Рассмотрим другой итерационный процесс, использующий
важное свойство полинома П. Л. Чебышëва (чебышëвское ускорение, итерационный метод с чебышëвскими параметрами).
В предыдущем процессе для погрешности было получено
следующее выражение:

1

6

%

#



%

1

3опт

%





5

%
#

,

из которого видно, что ослабление фурье-компонент проходит
неравномерно: в «средней» части спектра    2 заметно
быстрее, чем на краях. Логично было бы выбирать итерационные
параметры так, чтобы убывание невязки было более равномерным по всем значениям спектра в фурье-разложении. Такой
результат может быть достигнут выбором своего итерационного
параметра на каждой итерации:

  2

4 1 4  3 1 ! 4  "

(15.24)

В этом случае выражение для погрешности будет иметь следующий вид:
1   1  ,
(15.25)
#
#

6

. 3

6

21 / 35

302

Гл. 15. Разностные методы для уравнений эллиптического типа

причем

/

6

.  3  00 


#


(15.26)

#

1

6

После фурье-разложения # по базису из собственных функ %
ций # из (15.17) получим:

% 1
%

%
#



% .  3 1  

%
#

%



% 1 3 1   ,
т. е. коэффициенты фурье-разложения на -й и (  1)-й итераци%

%

%

%

ях связаны соотношением



% 1 %
%

%

из которого получим

%

1



3 

1

%


3 1
%



%

%
#



 ,



%0 
%

1

В таком случае выражение для невязки будет иметь вид

6

#

% 
%

%

%
#


%

%0



1

%


3 


%





 
%
#

(15.27)



Далее оценим величину невязки на -й итерации по норме:



6

#




,

, ,  



1 3    %0  


#

%

1

  ,
,







 , 







1 3   60 
#

1

Желая построить наиболее эффективный, в смысле скорости
сходимости, итерационный процесс, мы вновь приходим к минимаксной задаче: определить последовательность итерационных
параметров  (
1, . . . , ) такую, что будет достигнут минимум:


1  
  ,,,   1

3



3

Поскольку выражение

1 3 




1

22 / 35

303

15.2. Итерационные методы решения задачи Дирихле




3

представляет собой полином степени относительно , то мы
пришли к классической задаче о полиноме, наименее уклоняющемся от нуля на интервале   ,  . Этот полином, как
хорошо известно, есть полином Чебышëва, а итерационные параметры  являются величинами, обратными значениям корней
этого полинома:



3



3

















2

1

8

 1



1, 2, . . . ,
(15.28)
Опуская промежуточные выкладки, дадим оценку скорости сходимости этого метода:


2

2

2

,

#

 1 2 2


-  12 *   1  1

1

1

2



*

1;

Для задачи с теми же параметрами, которые приводились в случае метода с одним оптимальным итерационным параметром опт
(
100,
10 5 ), получим:

1

3



 0,968,   360,

т. е. чебышëвский метод позволяет сократить количество арифметических операций на два порядка по сравнению с предыдущим методом. Однако попытки применения рассмотренного
метода привели к парадоксальному результату — быстрому росту решения задачи в ходе итерационного процесса. Причина
оказалась в быстром росте ошибок округления и сгущением
величин, обратных корням полинома Чебышëва (1  ), вблизи
границ спектра. Оказалось, что это явление можно устранить,
если изменить порядок чередования итерационных параметров
определенным образом [4]: так, чтобы при любом
частные
произведения

23



1 3 




1

не возрастали вблизи границ спектра.
Например, для
4 получим следующее чередование чебышëвских параметров:



для



1, 4, 2, 3,

8:

1, 8, 4, 5, 2, 7, 3, 6

и т. д.

23 / 35

304

Гл. 15. Разностные методы для уравнений эллиптического типа

Такие итерационные процессы оказываются устойчивыми
и существенно быстрее сходящимися: так, в случае  8 2 ,
100 за
итераций погрешность убывает
 2 2 ,
в 20 раз, а в случае одного параметра она умножается только
на 0,95.
Указанного недостатка лишен трехэтапный метод Чебышëва,
который можно представить в следующем виде:



8 1

41 . 3 40  3 ,
4 2 2  . 3 4 1
#

#

#

1

#



1

1


4
1

 21 1  , 


1

1, 2, . . . ;

здесь:

3



2




,

$0

$1

1,

1
,
 1

$ 2

2

$1$ 1 $ 

Заметим, что двухслойный итерационный метод может быть записан в канонической форме
41 4

&

& .

1

 4



При
такой метод называется явным, в противном случае — неявным.
Каноническая форма трехэтапного итерационного метода
имеет вид
4 4

,
1
1
1 $  1
1  1

$

4

&
4 
$ 4
$ 4 

При
1 трехслойная схема переходит в двухслойную. В рассмотренных методах полагалось:

 

0,

0

 



Важным моментом в приведенных процессах является то, что
для их реализации необходимо только знание границ спектра.
Добиться более высокого ускорения итерационного процесса
для численного решения уравнения Пуассона оказалось возможным, если применить метод установления. Для этого рассматривается нестационарное уравнение

4



4 

(15.29)

со стационарными граничными условиями. В этом случае при
решение такого уравнения будет стремиться к решению

24 / 35

305

15.2. Итерационные методы решения задачи Дирихле

стационарного уравнения. Для решения (15.29) воспользуемся
методом переменных направлений:
 12
4
4
1 2 

 #
 #
# ,

(15.30)

1

4
4
1 2






4

4

4



#




 

4 1

#

#

Вычитая их этих уравнений очевидное тождество

4

4





4 



#

4

,

#

получим уравнения для погрешности:
 12


1 2


  1


Далее представим
и выше:

6

1531а
6  6 ,
1531б
6 1 2  6 1
6 и 6 1 2 в виде фурье-разложения, как

 12



 #

 #

#

% 

%

;

Из (15.31а) получим

. 3



6 1 2



% 1 2 
%
#

%

#

%

 6 1 2 .  3
#

или, с учетом (15.32),

. 3

 #

#

%
#

%

#

 #

 % 1 2 

%
#

%

%



.  3

(15.32)



6



 %  

#

,

(15.33)
%
#

%

%

После введения операторов под знаки сумм будем иметь




% 1 2 1  3  
%

%

где   ,

%


%

%



%

1



3  
%

%

% — собственные значения операторов

соответственно. Из последнего равенства вытекает
1 2 1  
%
%
1   

%

% 

 , (15.34)


и



(15.35)

После фурье-разложения на втором этапе итерационного процесса получим
1 1   1 2 1    1   1
(15.36)
%
%
%
1   
1    1   

%

%

% 

25 / 35

306

Гл. 15. Разностные методы для уравнений эллиптического типа

После введения обозначения

 1 
,, ,  1  

; 3 
получим неравенство

(15.37)

% 1  F 2 % 
%

(15.38)

%

В таком случае для нормы погрешности 6 1 имеем
 1 
 
6
  *2  6 ,
так как



6







1 

% 1
%

%



% 











;2  % 1
%

%



2



*



% 





% 1
%

%

(15.39)



% 



 

*2 6 

Для того чтобы найти оптимальное значение итерационного параметра , доставляющего

3

 ; 3 ,


нужно решить знакомую нам минимаксную задачу:

3  



1 
, ,,  1  





,

для которой, как можно увидеть из анализа графика функ1 
ции
, выполняется
1  

1 
, ,  1  

,

,



, , 

1 
1
,
1  
1








Минимум достигается при выполнении равенства
1 опт 
1  опт 

т. е. при

1 опт 
,
1  опт 

3опт  1 






Количество итераций в вышеприведенном примере, требуемое
для достижения заданной точности , есть

  14








 

1

1
4

*   1

26 / 35

307

Список литературы

Обобщением приведенного итерационного метода является
введение набора чебышëвских параметров , что приводит к минимаксной задаче:
2
  , ,,  11  

   1

3



Оценка количества итераций в этом случае дает

  - *  

1

.

 1

Приведем данные по количеству итераций для различных
методов.
1. Метод Якоби: 2 2 2 .
2. Метод простых итераций с оптимальным параметром: 2 2 2 .
3. Метод Зейделя: 2 2 .
.
4. Метод верхней релаксации: 2
5. Метод итераций с чебышëвскими итерационными параметрами:
.
6. Метод переменных направлений с оптимальными итерационными параметрами: 1 2
.
7. Метод переменных направлений

 с чебышëвскими итерацион-

1 28

1 28

1 28

128

128

2 128

ными параметрами:

2





2

1 , $  3,2.

Список литературы
1. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. Долгопрудный:
Интеллект, 2008. 503 с.
2. Рябенький В. С. Введение в вычислительную математику. М.: ФИЗМАТЛИТ,
2008. 288 с.
3. Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике.
М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. 522 с.

Дополнительная литература
4. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.:
Наука, 1978. 591 с.
5. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. 608 с.
6. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1983. 656 с.

27 / 35

Г л а в а 16 (дополнительная)
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕХАНИКИ
СПЛОШНЫХ СРЕД (МСС)
16.1. Вывод уравнений механики сплошных сред

B

Рассмотрим некоторый объем сплошной среды 0 и закон
сохранения массы для него (уравнения неразрывности) в трехмерном пространстве [1]. Масса жидкости в этом объеме равна

  B ,

(16.1)

40



где — плотность среды, заключенной в рассматриваемом объеме.
Через элементы
поверхности, ограничивающей этот объем,
в единицу времени протекает количество
жидкости
(вектор
по модулю равен площади   и направлен по внешней
нормали (рис. 16.1)). Тогда
0,
если жидкость вытекает из объема, и
0,

!

 !

!

!

 !
 !

если втекает. Полное количество
жидкости, вытекающей в единицу
времени из 0 , будет

B

Рис. 16.1

 !,

(16.2)

00

где интегрирование проводится по всей замкнутой поверхности,
охватывающей объем 0 [1].
С другой стороны, уменьшение количества жидкости в объеме 0 есть

(16.3)

B

B



 B

40

Приравнивая (16.2) и (16.3), получим




 B
40



 !

(16.4)

00

28 / 35

16.1. Вывод уравнений механики сплошных сред

309

Интеграл по поверхности в (16.4) преобразуется по формуле
Остроградского–Гаусса в интеграл по объему:


 !

 )  B ,

00

40

после чего получаем закон сохранения массы в произвольном
объеме 0 :


9
0
(16.5)
 ) 

B

40

 B



В силу произвольности объема



B0 имеем

9
  ) 


0

(16.6)

— уравнение неразрывности; или же, после раскрытия выражения  )  :
9
(16.7)
   )    0





 





(дивергентная и недивергентная формулы).
Рассмотрим закон сохранения энергии (уравнения энергии).
Исследуем, как изменится энергия в неподвижном объеме 0 .
Изменение количества этой энергии, заключенной в объеме, есть

B






9
2

40

здесь

2   B ;

9



2

2  

(16.8)

(16.9)



— энергия единицы объема (плотность энергии) ( — внутренняя
энергия единицы массы жидкости; первый член — кинетическая
энергия, второй — внутренняя).
Полная энергия проходящей через поверхность массы жидкости, переносимая в единицу времени, равна

)


00



    2 !
2

(16.10)

Работа, производимая силами давления над жидкостью, заключенной в 0 , есть


(16.11)

B

 !

00

29 / 35

310

Гл. 16. Математические модели механики сплошных сред (МСС)

Приравниваем изменение энергии единицы объема жидкости
к энергии, переносимой в единицу объема через поверхность ,
и работе сил давления:

)






9

2   B
2

40




00

    2 !



2

  !

00

(16.12)
(знак в правой части связан с направлением внутри
).
Преобразуем (16.12) по формуле Остроградского–Гаусса:

!




 C   )  C   )  C
40

40



или

где

! 2
2

  2

40

0,

(16.13)

40


%


)






B


0,

(16.14)

"

 2 — вектор плотности потока энергии.
В силу произвольности объема 0 получим

B
%
  )    


0

(16.15)

— уравнение энергии.
Закон сохранения движения. Импульс единицы объема
жидкости есть
. Его изменение в объеме
равно






B

 B

(16.16)

40

Введем симметричный тензор второго ранга:





Æ  ; ;


(16.17)



— тензор плотности импульса; поток вектора импульса через
поверхность, перпендикулярную единичному вектору , есть

 "   , ";
в частности, если " направлен по , то
    2

в направлении, перпендикулярном скорости.
Поток вектора импульса через всю поверхность

¥ !,



(16.18)
(16.19)

) есть
(16.20)

00

30 / 35

311

16.2. Уравнения МСС в интегральной форме

или, с учетом (16.16), (16.17):





а так как

40


40

¥ !,

(16.21)

00

¥ !

 ) ¥  B ,
40

00

то



 B









)
¥
 B


0,

(16.22)

откуда, в силу произвольности выбранного объема, имеем


   ) ¥


0

(16.23)

— уравнение сохранения импульса объема.

16.2. Уравнения МСС в интегральной форме
Как известно из курса математического анализа, в однои
мерном случае для двух дифференцируемых функций
справедлива формула Грина







; / 


 



  ! 

0,

!

(16.24)



где  — область в системе координат , , & — ее граница
(рис. 16.2). Например, для уравнения неразрывности имеем [2]




9  9 
  


   


0, (16.25)

или

    

0

(16.26)
Рис. 16.2

— уравнение неразрывности в интегральной форме.

31 / 35

312

Гл. 16. Математические модели механики сплошных сред (МСС)

16.3. Система уравнений газовой динамики
Система уравнений газодинамики в переменных Эйлера (фиксированная в пространстве система координат), записанная в дивергентной форме, может быть представлена в таком виде [3]:

9




 

  )  0,
%
  )    





  9:   ) ¥ 0,





уравнение неразрывности;
0,

(16.27)

уравнение энергии;

уравнение движения;






  , 
  , : ,


    :  
2

(16.28)

2

— уравнения состояния, составляющие систему (16.28).
Система уравнений (16.27) (16.28) в скалярной форме для
трехмерного случая имеет следующий вид:

9  9  9:  9 !3

2 2 .
Схема имеет порядок аппроксимации
Другим способом построения устойчивой схемы является аппроксимация производных вдоль характеристик (сеточно-характеристический метод).
Выпишем систему уравнений газодинамики в матричной
форме:

#
 ;
!







 
%¼





#
 
0 %#

0;
%¼ ,

0





 
 
2
3

матрицы

Умножим (16.59) на левый собственный вектор
с учетом соотношений
,
0,
1, . . . ,
 
 

 

 







-

( — -е собственное значение матрицы
ем (16.60):
 
1 

  








(16.60)

) и аппроксимиру-

  

1

(16.59)

1

 
 

0,

(16.61)



0, нижний при
0 (случай
где верхний знак берется при
0 является вырожденным); шаблон представлен на рис. 16.7.



Рис. 16.7

В матричном виде система (16.61) может быть записана
в виде

ª ! 1 






"

E£ª 


 1

   E£ ª  1   
 3  0, E  , (16.62)









13 / 35

329

16.11. Введение в разностные схемы газодинамики

где




£

1

0
0





0

0
0

2
0

3

— диагональная матрица из собственных чисел матрицы
;
,
— диагональные матрицы из положительных собственных чисел матрицы . — матрица, строками которой являются
левые собственные векторы матрицы . Из (16.62) получаем
вид разностной схемы первого порядка аппроксимации (сеточнохарактеристический метод) [10, 11]:

£ £

 1 

ª







E -!ª! 1£ª" "

 


 1

ª 1£ ª  





 1



 .  3 



0



(16.63)

Для системы уравнений газодинамики (16.59) получим:

1 ;  %, 2 ;, 3 ; %,
%2 @ @ 1 ,  @ 1 ,

ª

&  %¼
&&   %%



1
2
3

#¼
0
#2
# #¼
#




(16.64)

2. Аналог системы (16.60) для одномерного линейного
скалярного уравнения переноса — разностная схема Куранта–
Изаксона–Риса.
Запишем в матричной форме двумерную систему динамической теории упругости:





где
1

2

1


1





   ' '
 


 '   '




0
0
0

0
0

0
0

0
0
0

0
0

2

0





0
0

0



2

2

#
0
0
0
0
0


2

0,

1

0 #
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0

#
0
0
0
0
1

1

0
#
0
0
0
0

 , ;, E11 , E12 , E22 , E33 ;

0
0
0
0
0
0
1

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0



,



,


(16.65)

14 / 35

330

Гл. 16. Математические модели механики сплошных сред (МСС)

уравнение состояния является следствием уравнения неразрыв #  по 1, 2, 3; оно
ности и суммирования уравнений для
вытекает из закона Гука:

E 

E



 !  " Æ  2* 





(16.66)



Разностная аппроксимирующая (16.65) система уравнений
имеет вид:

 1 !  E1 -!"ª1 1!£1ª1" ! ".1, -! "
"
1
ª

 E2 ª2 1 £2 ª2 

1,

1 £1 ª1
!
" !
  , 1 
ª2 1£2 ª2" ! , 1  "., (16.67)
£ 12 !£ £ ", £ 12 !£ £ ",  !ª  " 0,










#

#


#








#







#

#





#




#

#




#

#


#







Заметим, что в системе (16.65) также можно провести аппроксимацию координатных производных на верхнем временном
слое и тем самым реализовать неявную схему. Однако использование неявных схем приводит к расширению области зависимости решения, что чревато увеличением ошибки аппроксимации.
Рассмотрим другие способы получения неявных разностных
схем.
3. Система уравнений газовой динамики для одномерного
нестационарного случая может быть представлена в следующем
виде (в массовых переменных Лагранжа):
 !







 1   ;  " 0,
;     0,




 




(16.68а)
(16.68б)

2

  :2  ; 

0



(16.68в)

Получим аппроксимацию (16.68в) с помощью интегро-интерполяционного метода для контура, представленного на рис. 16.8:
 1

  ,   


1
2

 1



 /,


 1

(16.69а)



;2  ,  

1
4



;





  ; 2 /,

2

 1




(16.69б)

15 / 35

16.12. Уравнение бесстолкновительной плазмы (уравнение Власова) 331
 1

 ,  ; , 


1
2












 1
 1 2





 1
 1 2



; 13



(16.69в)

Рис. 16.8

Тогда получаем следующую аппроксимацию (16.69в):
*112 * 12 1 :11 2  :1 2 : 1 2 : 2



4

1
2








 1
 3 2











 1
 1 2




 1
 1 2





;




 1
 1



 1
 1 2



;



 1






(16.70)

Аналогично аппроксимируются и уравнения (16.69а), (16.69б).

16.12. Уравнение бесстолкновительной плазмы
(уравнение Власова)
Уравнение Власова не относится к уравнениям МСС; оно
описывает движение совокупности большого числа заряженных
частиц (ионов или электронов) в условиях, когда можно пренебречь столкновениями частиц и их взаимодействием определяется только электрическими силами; это уравнение описывает
события, масштаб которых меньше длины свободного пробега
и характерное время много меньше времени свободного пробега. Обычно это процессы, происходящие в сильно разреженной
плазме [2].
В первой модели состояние плазмы описывается двумя функциями: e  , , , i  , , , где
 , , ,
 1, , 1 —
декартовы координаты точки пространства и трехмерные координаты точки в импульсном пространстве, e , i — функции
распределения электронов и ионов. Значит, если мы выделяем
 и интересуемся чисв пространстве маленький кубик  , 
, то
лом частиц в нем, имеющих скорости в диапазоне  , 

 0;  0;

0



00

;

0

; ; ;
 
;;

;

16 / 35

332

Гл. 16. Математические модели механики сплошных сред (МСС)



0

;

оно выражается величиной 
 . Область фазового пространства  ,  обычно не ограничена по скорости, но быстро
убывает при  
, поэтому можно ограничиться конечной
0 Будем
областью    , поставив граничное условие 6 4
полагать, что по пространственным переменным все функции
периодичны с периодом
(в такой постановке решается большинство задач физики плазмы). Двумерная постановка задач
имеет следующий вид:

0;
;
; B












e




e : e 4 e
e
e
 ; 
 ; 
    :


 e  :




i : i 4 i


 i  ; i  ; i
    :


 i  :

4
. .

0,
0



(16.71)

 , ,  — потенциал электронного поля, компоненЗдесь
ты 
,
определя
  напряженности электронного поля
ются из уравнения Пуассона

4

4

4

8


e

e, , ;,  ; 

i

i, , ;,  ;

,

(16.72)
e , i — заряды электрона и иона,
e,
i — их массы; (16.72)
называют уравнением самосогласованного электронного поля
(в том смысле, что оно не задается расположением каких-то внешних зарядов, а создается участвующими в процессе частицами).
Часто используется идеализированная модель, в которой ионы рассматриваются как нейтрализующий фон с известной плотностью заряда 0 ; рассматривается же система одномерных уравнений 

 



 ; 
  
  :










 2 4
2
 









4

8; .


,    0

0;

4
;


;

( 9. ;

(16.73)

,

40 40  , либо 4

0 в случае заземленных концов.
Хотя система уравнений в частных производных (16.73) есть
существенное упрощение полной системы, тем не менее ее решение представляет значительные трудности. Применяя к (16.73)
процесс линеаризации, преобразование Фурье по пространству
и Лапласа по времени, получают, что характерными частотами

17 / 35

333

Список литературы

и длинами волн колебаний электростатической плазмы являются
плазменная частота

2
*0 e

5p
и дебаевская длина

D



*0 B #
2

(16.74)



(16.75)

Отметим, что существует альтернативная математическая модель, в которой рассматриваются все частицы. Движение каждой
из них описывается уравнениями:




;



,

:



.  ,  , ,


G , (16.76)
,  — ее заряд и масса . — напря-

где — номер частицы; 
женность электронного поля:

1, 2, . . . ,



.  4;
4 48, , ,

40, 







 

(16.77)
,

где  — потенциал, создаваемый -м зарядом, находящимся
в точке   .
Ее основной недостаток — высокий порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений   1, достоинство —
простота их интегрирования.

0

G

Список литературы
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т.
Т. VI. Гидродинамика. 6-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2017. 727 с.
2. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. Долгопрудный:
Интеллект, 2008. 503 с.
3. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2 т. Т. 2. М.:
Мир, 1991. 552 с.
4. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
5. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой
динамики. М.: Наука, Физматлит. 1992. 423 с.
6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т.
Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. 5-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2019.
651 с.

18 / 35

334

Гл. 16. Математические модели механики сплошных сред (МСС)

7. Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семëнов А. Ю. Математическиевопросы численного решения гиперболических систем уравнений.
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. 656 с.
8. Марчук Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 320 с.
9. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений.
М.: Наука, 1978. 687 с.
10. Магомедов К. М., Холодов А. С. Сеточно-характеристические численные
методы. М.: Юрайт, 2018. 313 с.
11. Innovations in Wave Processes Modelling and Decision Making. Grid-Characteristic Method and Applications / Favorskaya, A. V., Petrov, I. B. (Eds.).
Switzerland: Springer, 2018. 270 р.

19 / 35

Приложение 1
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ К КУРСУ
ЛЕКЦИЙ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ
МАТЕМАТИКЕ (ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ) 1)
К главе 1
1. Отличие вычислительной математики от классических математических курсов. Понятия обусловленности задачи, устойчивости, алгоритма, погрешности вычислений.
2. Определите погрешность приближенного вычисления производной  по формулам:

  

 



  

,

 



2





3. Оцените оптимальный шаг численного дифференцирования, учитывающий погрешность метода и ошибку округления
для приближенной формулы













 



4. Дайте определения абсолютной и относительной погрешностей приближения.
5. Определение предельной абсолютной погрешности.
6. Как оценить погрешность приближения некоторой величины с помощью ее производных по параметрам, от которых она
зависит?
7. Приведите формулы для оценки:
¯ а.п.п. (абсолютной предельной погрешности) суммы величин
с известными а.п.п.;
¯ о.п.п. (относительной предельной погрешности) произведения
величин с известными о.п.п.
К главе 3
1. Определение согласованных и подчиненных норм матриц
и векторов.
2. Три нормы вектора и соответствующие им три подчиненные нормы матрицы.
1)

Звездочкой отмечены вопросы повышенной сложности.

20 / 35

336

Прил. 1. Теоретические вопросы к курсу лекций

3. Получите выражение для третьей (спектральной) нормы
матрицы.
4. Теорема о погрешности решения СЛАУ; число обусловленности СЛАУ .
1.
5. Покажите, что
Æ
6. Покажите, что
      для симметрической
матрицы .
7. Алгоритм численного решения СЛАУ с матрицей треугольной структуры (прямой, не итерационный).
8. Алгоритм прямого и обратного хода метода Гаусса.
9 . Представьте метод Гаусса через операции с матрицами.
10. Метод Гаусса с выбором главного элемента; условие применимости метода Гаусса.
11. LU-разложение; алгоритм. Оценка количества арифметических действий методов Гаусса и LU-разложения.
12. Метод Холецкого (алгоритм численного решения).
13. Каноническая форма записи итерационного процесса для
численного решения СЛАУ.
14. Достаточное условие сходимости метода простой итерации
(МПИ) для численного решения СЛАУ.
15. Дайте оценку количества итераций для получения заданной точности при численном решении СЛАУ.
16. Критерий сходимости итерационного процесса для численного решения СЛАУ; сравнение количества арифметических
действий прямых и итерационных методов.
17. Влияние ошибок округления на результат численного решения СЛАУ.
18. Методы Якоби, Зейделя, релаксации (алгоритмы).
19. Достаточные условия сходимости методов Якоби, Зейделя
(получить).
20 . Критерий сходимости метода Якоби (получить); условие
сходимости метода Зейделя для симметрической матрицы.
21. Связь между вариационной задачей и задачей решения
СЛАУ (теорема).
22. Методы градиентного и наискорейшего спусков (вывод).
23. Метод минимальных невязок (вывод).
24 . Метод сопряженных градиентов (без вывода).

*

*
*







К главе 4
1. Получите систему из двух линейных алгебраических
уравнений для решения методом наименьших квадратов переопределенной системы из трех линейных уравнений.
2. Сформулируйте теорему о методе наименьших квадратов.

21 / 35

337

К главе 5

3. Проведите прямую, проходящую наиболее близко (в смысле метода наименьших квадратов) к четырем точкам.
4. Что такое обобщенный полином? Что дает использование
систем ортогональных функций для приближения функции методом наименьших квадратов?
5 . Как выглядит матрица Гильберта? В чем состоит ее главная особенность?
6 . Изложите идею метода спектральной эквивалентности
матриц для численного решения плохо обусловленных систем
уравнений.
7 . В чем состоит метод предобуславливания для численного
решения плохо обусловленных систем линейных уравнений?
8 . В чем состоит метод ортогонализации для численного решения плохо обусловленных систем алгебраических уравнений?
9. Пусть задана переопределенная система линейных алгебраических уравнений
(3.1).
Как будет выглядеть соответствующая система линейных
алгебраических уравнений с квадратной матрицей, полученная
методом наименьших квадратов?

 

К главе 5
1. Что такое сжимающее отображение?
2. Сформулируйте теорему о сжимающем отображении.
3. Получите достаточное условие сходимости итерационного
процесса
  , 0
1

(



(



(

для численного решения нелинейного уравнения
 .
4. Как выглядит достаточное условие сходимости итерационного процесса
  , 0 ,
1
для

численного

(  ?

решения

системы

нелинейных

уравнений

5. Дайте определение выпуклой области.
6. Сформулируйте теорему о том, в каком случае отображение
  является сжимающим.
7. Дайте геометрическую интерпретацию: а) монотонной
сходимости, б) немонотонной сходимости, в) расходимости итерационного процесса

; (



1

(  ,


0



8. Получите итерационную формулу Ньютона для численного решения скалярного нелинейного уравнения   0.



22 / 35

338

Прил. 1. Теоретические вопросы к курсу лекций

9. Как выглядит итерационный метод релаксации для численного решения нелинейного уравнения   0? При каких
значениях итерационного параметра он сходится?
10. Получите расчетные формулы итерационного метода Ньютона как метода линеаризации для решения системы нелинейных
алгебраических уравнений.
11. Дайте графическую интерпретацию метода Ньютона.
12. Какой порядок сходимости имеет метод Ньютона?
13. Сформулируйте теорему о методе Ньютона.
14 . Приведите пример итерационного метода третьего порядка
сходимости.
15 . Представьте: а) итерационный метод касательных для
численного уравнения скалярного уравнения   0; б) метод
Ньютона–Канторовича для численного решения системы нелинейных уравнений  
.
16. Предложите вариационный итерационный метод для численного решения системы из двух нелинейных уравнений

3





 

  , ;
9  , ;

0,
0



17. Представьте итерационные формулы метода Ньютона для
системы из двух уравнений.
18.Постройте итерационный процесс Ньютона для вычисления  ,
0, — натуральное.

 



К главе 6
1. Формулировка задачи интерполяции.
2. Теорема о точности кусочно-линейной интерполяции (формулировка).
3. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения задачи интерполяции при приближении функции
обобщенным полиномом.
4. Сформулируйте теорему об условии линейной независимости системы функций    ,
0 ,
0 .
5. Почему удобно использовать для интерполяции систему
ортогональных функций    ,
0 ,
0 ?
6. Как выглядят базисные функции Лагранжа? Как выглядит
интерполяционный полином Лагранжа, представленный через
эти базисные функции?
7. Сформулируйте теорему об остаточном члене интерполяции.

4
4







23 / 35

339

К главе 7

3

8. Оцените остаточный член интерполяции для
 
( — шаг интерполяции).
9 . Почему экстраполяция является, вообще говоря, неустойчивым процессом?
10. Что такое разделенные разности? Выпишите их с помощью рекуррентных соотношений.
11. Что такое конечные разности? Выпишите соответствующие формулы для первого–четвертого порядков.
12. Представьте интерполяционный полином Ньютона в общем случае, в линейном и в квадратичном случаях. В чем
удобство записи интерполяционного полинома в форме Ньютона?
13. Вид полиномов Чебышëва.
14. Постоянная Лебега.
15. Теорема Чебышëва о полиноме, наименее уклоняющемся
от нуля.
16. Задача интерполяции с кратными узлами. Приведите
пример.
17. Сформулируйте теорему об остаточном члене интерполяционного полинома с кратными узлами.
18. Дайте определение сплайна ,  .
19. Дайте определение кубического сплайна.
20. Докажите теорему о существовании и единственности интерполяционного кубического сплайна.
21. Как строится кубический сплайн?
22. Сформулируйте теорему о точности сплайн-интерполяции.
23. Сформулируйте теорему об экстремальном свойстве кубических сплайнов.
2
24 . Определение B-сплайна. Пример B-сплайна для
1 — степень сплайна).
(
25. Как выглядит интерполяционный полином Лагранжа первой степени для функции двух переменных?
26. Общая формула интерполяционного полинома Лагранжа
для функции двух переменных.
27. Выпишите интерполяционные полиномы Лагранжа первых двух степеней и их остаточные члены.

3

)





К главе 7
1. Получите квадратурные формулы численного интегрирования:
¯ средних;
¯ трапеций.

24 / 35

340

Прил. 1. Теоретические вопросы к курсу лекций

2. Получите формулу численного интегрирования Симпсона.
3. Получите формулу для оценки погрешности квадратурных
формул численного интегрирования.
4. Получите локальную и глобальную погрешности для численного интегрирования по формуле трапеций.
5. Представьте формулу численного интегрирования методом
средних для функции двух переменных
'

 ,   



6. Покажите, что квадратурная формула для численного интегрирования может быть представлена в виде

  



  0 


 0





0

7. Для каких функций эта формула будет точной ( 
0);
какой вид будут иметь весовые коэффициенты  в этом случае?
8 . Возможно ли получить точную формулу численного интеточках, если подынтегральная функция являгрирования на
ется полиномом степени
? Какова максимальная степень
такого полинома?
9 . Получите систему нелинейных уравнений для определения коэффициентов  и координат узловых точек  , при которых квадратурная формула

%



1 

%

  



  0


 0









будет точна для полиномов степени 2  1, где
— количество узловых точек.
10. Напишите формулу для оценки погрешности численного
интегрирования по методу Гаусса.
11. В чем состоит метод Канторовича выделения особенностей
при численном интегрировании?
12. Предложите метод приближенного вычисления интеграла
от быстроосциллирующей функции:

   5   ; 5  1 

25 / 35

341

К главе 8

13 . Получите приближенную формулу для вычисления
-мерного интеграла в
-мерной области интегрирования,
находящейся в -мерном кубе.
14 . Получите формулу численного интегрирования Гаусса по
двум узлам интегрирования.







К главе 8



1. Представьте ОДУ -го порядка


 
 1 ,
,
,
.
.
.
,


0 0 ,



 0

0,

 1 0

1 , . . . ,





1

в виде системы уравнений первого порядка.
2. Для ОДУ




  , ,




  , ,

0,

 0 

0,

0 ,

представьте методы:
¯ явный Эйлера;
¯ неявный Эйлера;
¯ Эйлера с пересчетом.
3. Для ОДУ

используя формулу

  3    








 6 6 ,



получите:
¯ явный метод Эйлера;
¯ неявную формулу трапеций.
4. Для ОДУ




  , ,

0,

 0 

представьте явный метод «предиктор–корректор» второго порядка аппроксимации.
5. Представьте общий вид методов Рунге–Кутты для численного решения ОДУ следующего вида:




  , ,

0,

0 

26 / 35

342

Прил. 1. Теоретические вопросы к курсу лекций

0

6. Представьте таблицу Бутчера для -стадийного явного
метода Рунге–Кутты.
7. Представьте таблицу Бутчера для:
¯ явного метода Эйлера;
¯ метода Эйлера с пересчетом.
8. Получите явный метод Эйлера с помощью метода неопределенных коэффициентов, исследуя выражение для невязки.
9. Используя только определение сходимости, покажите, что
метод Эйлера:
1 

0;
0, 1, . . . ,
 0 ,











аппроксимирует ОДУ вида





0,

0,

0 ,

с первым порядком точности.
10. В чем состоит причина появления барьеров Бутчера?
11. Возможно ли построить явный 5-стадийный метод Рунге–
Кутты 5-го порядка точности?
12. Сформулируйте теорему об устойчивости методов Рунге–
Кутты.
13. Из каких соображений выбирается шаг по времени для
метода Рунге–Кутты:
1 
?
 ,

3



(



0



14 . На каких временах интегрирования гарантируется устойчивость методов Рунге–Кутты, если правая часть удовлетворяет
условию Липшица:
¯ для устойчивых траекторий;
¯ для нейтральных траекторий?
К главе 9
1. Приведите пример жесткой задачи Коши для ОДУ.
2. Является ли жесткой система ОДУ:

0

! $   1;,
;!  ,
  1, 0 ; 0
$  , $ > 1 ?

1,

3. Дайте определение жесткой задачи Коши для ОДУ.

27 / 35

343

К главе 9

4. Представьте точное решение задачи Коши для жесткой
системы уравнений

!

,  0

;

0,

— матрица с постоянными коэффициентами.
5. Представьте точное решение системы разностных уравнений
1 
,
0, 1, . . . ,
;
0









аппроксимирующих систему ОДУ:

!

,  0

;

0



6. Представьте точное решение системы разностных уравнений:
1 
,
0, 1, . . . ,
1 ;
0









для численного решения системы ОДУ

!

,  0

,

0;

сравните решения разностного и дифференциального уравнений.
7. Чем принципиально различаются явные и неявные методы?
8. Какой метод называется абсолютно устойчивым?
9. Какие методы называются:
¯ -устойчивыми;
¯ -устойчивыми;
¯  -устойчивыми?
10. Получите функцию устойчивости для ОДУ следующего
вида:
1 
;
 ;
0,
0, 1, . . .



$













11. Сформулируйте теорему Далквиста (барьер Далквиста).
12. Покажите, что неявный метод Эйлера является -устойчивым.
13. Является ли жесткой система нелинейных ОДУ:



 ! (  , ;,
;! + , ;,
0   1; ( , + >1;
0;
0 ; ; 0 ; ,  >1?

28 / 35

344

Прил. 1. Теоретические вопросы к курсу лекций

;

14. Изобразите на графике ( , ) устойчивые и неустойчивые
ветви решения системы ОДУ:
'

! ; 3  ,
;!
;
0 0 ; ; 0 ;0 
3

15 . Почему, пользуясь неявным численным методом, можно
получить решения, соответствующие неустойчивой ветви решения системы ОДУ?
16. Представьте общий вид неявных методов Рунге–Кутты.
17. Представьте общий вид таблицы Бутчера для неявных
методов Рунге–Кутты.
18. Представьте таблицы Бутчера для:
¯ неявного метода Эйлера;
¯ неявного метода трапеций.
19. Представьте вид полуявного метода Розенброка.
20. Представьте общий вид многошаговых методов.
21. Какие из многошаговых методов называются:
¯ явными;
¯ неявными;
¯ чисто неявными;
¯ явными методами Адамса?
22. В чем состоит условие корней?
23 . Как получается характеристическое уравнение для однородного разностного уравнения?
24. В чем состоит метод неопределенных коэффициентов для
получения многошаговых методов?
К главе 10
1. В чем состоит метод фундаментальных решений (МФР)
краевых задач для систем ОДУ первого порядка?
2. Приведите пример, когда МФР неприменим для численного решения краевой задачи для системы ОДУ.
3. Дайте определение жесткой краевой задачи для системы
ОДУ.
4. Какие краевые задачи для системы ОДУ называются вычислительно корректными?
5. Сформулируйте краевую задачу Штурма–Лиувилля для
ОДУ.

29 / 35

К главе 11

345

6. Проведите разностную аппроксимацию краевой задачи
Штурма–Лиувилля с переменными коэффициентами.
7. Получите канонический вид СЛАУ с трехдиагональной матрицей после разностной аппроксимации краевой задачи
Штурма–Лиувилля.
8. Представьте алгоритм метода трехточечной прогонки.
9. Условия устойчивости метода прогонки.
10. Для каких задач применим метод прогонки: линейных или
нелинейных (обосновать)?
11. Метод стрельбы численного решения краевой задачи для
ОДУ второго порядка.
12. Можно ли использовать метод прогонки для численного
решения нелинейной задачи Штурма–Лиувилля?
13 . Покажите устойчивость обратной прогонки. При выполнении каких условий обратная прогонка устойчива?
14. Метод Фурье для приближенного решения краевой задачи
типа Штурма–Лиувилля.
15. Метод квазилинеаризации Ньютона для численного решения задачи Штурма–Лиувилля.
16. Приведите пример краевой задачи на собственные значения.
17 . Какие собственные значения имеет разностный оператор  ?
К главе 11
1. Определение линейного разностного уравнения (ЛРУ).
2. Представьте точное решение для однородного ЛРУ первого порядка:
0;
 
1
0, 1, . . .

$

A

3. Представьте вид частного решения неоднородного ЛРУ
первого порядка.
4. Представьте общий вид решения неоднородного ЛРУ второго порядка.
5. Получите точное решение однородного ЛРУ второго порядка в случаях:
¯ вещественных различных корней характеристического уравнения;
¯ вещественных кратных корней характеристического уравнения.

30 / 35

346

Прил. 1. Теоретические вопросы к курсу лекций

6. Представьте частное решение неоднородного ЛРУ, если
его правая часть имеет вид





где

$     A  


A  ,



$, A — параметры уравнения.

7. Представьте вид точного решения однородной системы ЛРУ:

 1






8. Представьте частное решение неоднородной системы ЛРУ,
если ее правая часть имеет вид





*    ,


7

* — параметр системы.
9. Что называется жордановой
значений  матрицы ?

цепочкой для собственных

10. Представьте точное решение системы ЛРУ второго порядка с вещественным собственным числом кратности 2.
11. Решите систему ЛРУ вида



1
;1




; 3
3 


2





,



12. Получите точное решение разностного уравнения вида



 1

 %


;

 1



1, 2, . . .



К главе 12
1. Постановка смешанной задачи для нестационарного уравнения теплопроводности.
2. Дискретизация области интегрирования, сеточная функция.
3. Явная четырехточечная схема для нестационарного уравнения теплопроводности. Постановка разностной задачи, алгоритм ее решения.
4. Неявная четырехточечная схема для уравнения теплопроводности. Постановка разностной задачи, алгоритм решения.
5. Определение корректности разностной задачи.
6. Определения сходимости, аппроксимации, устойчивости
разностной задачи.
7. Теорема эквивалентности (формулировка, доказательство).
8. Операторная форма дифференциальной и разностной задач.
9. Необходимое условие сходимости Куранта–Фридрихса–Леви.

31 / 35

347

К главе 12

10. Исследуйте на аппроксимацию схему «явный правый уголок» для численного решения линейного уравнения переноса









0,





0



11. Найдите первое дифференциальное приближение для схемы «явный правый уголок» для численного решения уравнения











0



12. Исследуйте на аппроксимацию 4-точечную явную схему
для численного решения линейного уравнения теплопроводности











0,



0



13. Найдите первое дифференциальное приближение для схемы в п. 12.
14. Представьте операторный канонический вид двухслойной
разностной схемы для численного уравнения в частных производных. Приведите пример такой записи.
15. Дайте определение равномерной устойчивости.
16. Сформулируйте условие ограниченности норм степеней
оператора перехода с нижнего на верхний временной слой для
двухслойной разностной схемы.
17. Получите условие устойчивости разностной схемы вида

  1  3

18. В чем состоит признак спектральной устойчивости Неймана?
19. С помощью спектрального признака Неймана получите
условие устойчивости схемы
1   1 
0





20. Какое дифференциальное уравнение аппроксимирует схема из вопроса 19?
21. С помощью спектрального признака Неймана получите
условие устойчивости схемы
 1 2   1
1 
0
2







22. Какое дифференциальное уравнение аппроксимирует схема из вопроса 21?
23 . Покажите, что если разностная схема равномерно устойчива по начальным данным, то она устойчива по правой части.
24. Дайте определение энергетической нормы оператора.

32 / 35

348

Прил. 1. Теоретические вопросы к курсу лекций

 & &

25. Что означает операторное неравенство
( , —
операторы)?
26. Сформулируйте критерий устойчивости разностной схемы
по начальным данным.
27 . Покажите с помощью принципа максимума устойчивость
схемы «явный уголок», аппроксимирующей линейное одномерное
уравнение переноса при выполнении условия Куранта.
28. Получите условие устойчивости явной схемы «уголок»,
аппроксимирующей линейное уравнение переноса.
29. Получите условие устойчивости явной четырехточечной
схемы, аппроксимирующей одномерное уравнение теплопроводности.
30. То же, что в вопросе 29, но для неявной схемы.
31. Дайте определения сходимости, аппроксимации, устойчивости.
32. Докажите теорему эквивалентности.
33. Сформулируйте спектральный признак устойчивости
Рябенького–Неймана.
34. Сформулируйте принцип максимума для доказательства
устойчивости схем.
35. Что такое равномерная устойчивость по начальным данным?
36. Сформулируйте теорему об устойчивости разностной схемы (теорему Самарского).
37. Сформулируйте критерий устойчивости разностной схемы
(по Самарскому).
38. Приведите примеры доказательств устойчивости схемы
с помощью:
¯ спектрального признака Неймана;
¯ принципа максимума;
¯ критерия устойчивости.
К главе 13
1. Сформулируйте смешанную задачу для одномерного нестационарного линейного уравнения теплопроводности (ОНУТ).
2. Сформулируйте смешанную задачу для двумерного нестационарного линейного уравнения теплопроводности.
3. Сформулируйте смешанную задачу для трехмерного уравнения теплопроводности.
4. Представьте параметрическую шеститочечную разностную схему Кранка–Никольсон и ее свойства для численного
решения ОНУТ с постоянными коэффициентами.

33 / 35

К главе 12

349

5. Исследуйте на сходимость явную четырехточечную схему
для ОНУТ с постоянными коэффициентами.
6. Получите первое дифференциальное приближение четырехточечной явной схемы для ОНУТ с постоянными коэффициентами.
7. Как можно увеличить порядок аппроксимации разностной
схемы для ОНУТ с постоянными коэффициентами, используя
понятие первого дифференциального приближения?
8. Представьте трехслойную разностную схему (РС) для
ОНУТ с постоянными коэффициентами.
9. Нарисуйте шаблоны для двух- и трехслойных РС для
ОНУТ с постоянными коэффициентами.
10. Представьте четырехточечную неявную РС для ОНУТ
с переменными коэффициентами.
11. Представьте шеститочечную схему Кранка–Никольсон
для ОНУТ с нелинейной правой частью и нелинейным коэффициентом теплопроводности, а также алгоритм численного решения задачи.
12. В чем состоит метод квазилинеаризации для численного
решения нелинейного ОНУТ?
13. В чем состоит интегро-интерполяционный метод для численного решения ОНУТ (на примере шеститочечной двухслойной РС)?
14. Представьте явную и неявную РС для численного решения двумерного нестационарного уравнения теплопроводности (НУТ), а также постановку разностной задачи.
15. Почему для численного решения двумерного НУТ обычно
используют неявные РС?
16. Исследуйте простейшую явную двухслойную РС для численного решения двумерного НУТ на аппроксимацию и устойчивость.
17. Изложите РС расщепления по направлениям для численного решения двумерного НУТ.
18. Изложите РС расщепления по направлениям для численного решения трехмерного НУТ.
19. Представьте продольно-поперечную РС для численного
решения двумерного НУТ.
20. Представьте РС Писмэна–Рэкфорда для численного решения трехмерного НУТ.
21. Проведите исследование на устойчивость продольнопоперечной РС для численного решения двумерного НУТ.

34 / 35

350

Прил. 1. Теоретические вопросы к курсу лекций

22. Исследуйте на аппроксимацию локально-одномерную схему расщепления для двумерного НУТ.
23 . Локально-одномерная схема с весовым коэффициентом
типа Кранка–Никольсон: 2D (шаблон, устойчивость, аппроксимация), 3D.
24 . Схема Дугласа–Гана, 3D.
К главе 14
1. Линейное и нелинейное уравнения переноса.
2. Разностные схемы и их исследования на сходимость для
линейного одномерного уравнения переноса:
¯ Лакса;
¯ Куранта–Изаксона–Риса;
¯ Бабенко;
¯ Кранка–Никольсон;
¯ неявные «уголки»;
¯ «кабаре»;
¯ Бима–Уорминга.
3. Разностные схемы для численного решения нелинейного
уравнения переноса:
¯ Лакса;
¯ Куранта–Изаксона–Риса;
¯ Лакса–Вендроффа;
¯ Мак-Кормака;
¯ Русанова;
¯ Уорминга–Кутлера–Ломакса.
4. Акустическая система. Постановка задачи. Инварианты
Римана. Численное решение.
5. Волновые уравнения. Постановка задачи. Численные методы решения.
6. Исследование линейных уравнений гиперболического типа
на аппроксимацию, устойчивость.
7. Условие Куранта–Фридрихса–Леви (КФЛ).
К главе 15
1. Уравнение Пуассона. Постановка краевой двумерной задачи.
2. Схема «крест» для численного решения уравнения Пуассона, порядок аппроксимации.
3. Принцип максимума для схемы «крест».

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

35 / 35

К главе 15

351

4. Метод простых итераций (МПИ). Оценка их количества.
5. Метод итераций с оптимальным и итерационным параметрами. Оценка их количества.
6. Чебышëвское ускорение для МПИ.
7. Трехслойный метод Чебышëва.
8. Метод переменных направлений.
9. Методы Якоби, Зейделя, верхней релаксации для решения
уравнения Пуассона.
10. Сравнительный анализ итерационных методов (по количеству итераций).

1 / 26

Приложение 2
ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ К ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ
ПРАКТИКУМУ ПО КУРСУ

1. Вокруг Земли вращается спутник по круговой орбите радиуса c 104 км.
Проработав короткое время, двигатели сообщили спутнику
скорость в направлении, противоположном движению.
Рассчитать новую траекторию спутника. При каком значении спутник коснется поверхности Земли?
Уравнение движения спутника:

0

* 2 , * @  ,

0 2  2 ,  0 0c , 0c 104 км;
 0 0, ! 0 ; , ! 0 0,
2
;c
3

3

'

c

— скорость спутника на круговой орбите.
Масса Земли
5,99  1024 кг,
6,67  10 1 м3 кг
6380 км (радиус Земли).
¯ Построить график траектории в плоскости  , ;
¯ проверить третий закон Кеплера:

1



@

1 с 2,



32


: 22

2. Задача трех тел (Земля, Луна, спутник)




*

!
*

2


2!  

2!

   

3
1

3
1

  


3
2

3
2

! ,

! ,

1 82,45 (отношение масс Луны и Земли); Земля и Луна —
, 0,  , 0, масса спутника пренебрежимо мала
в точках 1
по сравнению с массами Земли и Луны (его положение —  , );
первые производные появляются вследствие вращения системы

*

*



2 / 26

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

353

координат и трения, пропорционального скорости с коэффициентом пропорциональности .
'

* 1 *; 012   *2  2, 022  *2  2;
 0 1,2; ! 0 0;  0 1,05
0 — периодическое движение с периодом :  6,2. Про-

При
вести расчеты с
0;
0,1;
1; 0   8.
¯ Провести расчеты методами Рунге–Кутты первого и второго
порядков аппроксимации;
¯ провести исследования сходимости численного решения по
сетке.
3. а) Система ОДУ, описывающая изменение численности
популяций двух видов и эволюцию некоего генетического признака , имеетвид

$







!  1 0, 5 72  , а
"
!
2
(П2.1)
2
$
3,
5
$
0,
5

, б

!




в
$!  2 7$,
2 , 0  0  3, 0   0  15, $0
0; из (в) видно,




2

 10
0
что генетический признак изменяется медленнее, чем численность популяций (решение — релаксационные колебания).
б) Более интересный случай — численность двух популяций
зависит от взаимодействия между ними и от двух медленно
изменяющихся генетических признаков:

!  !!2$1 0, 5 $21$2 2", "
!  2! $2 $1 2  $2"2 0, 5 ,

$! 1  !2 2$1$2 2 ",



$! 2  2 2$2$1 2 ,
  0,01; 0  0  40, 0  0  40, $10






0
другой вариант (П2.2) имеет вид






!
!

$! 1



$! 2

  0,001,
0
$20 10.

0

(П2.2)

0;

$20

10;

 !!2$1 0,5 $31  $2 3"",
 2! $2 $1 3  $32" 0,5 ,
(П2.3)
 !2 3$21  $2 3 ",
 2 3$22  $1 3 ,
0  40, 0  0  40, $10 0,

3 / 26

354

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

Нижеследующие три задания следует выполнить для временнóго интервала 0   2000:
¯ исследовать изменения двух видов (соответствующие численности — , ) и их генетических признаков ( , 1 , 2 ) в зависимости от времени , построить зависимости  ,  ,  ,
2  ,  ;
¯ исследовать разностные схемы на сходимость по сетке;
¯ использовать для численного решения (П2.1), (П2.2), (П2.3)
явные методы Рунге–Кутты 1-го и 4-го порядков точности
и неявный метод Рунге–Кутты (Хаммера–Холлинсворта).
4. Автономные и неавтономные уравнения Ван дер Поля,
а также уравнение Рэлея, описывающие колебательные процессы
в электрических цепях, имеют вид:




$

$$ $
 



 1




1



 2


(уравнение Ван дер Поля);


 1



13
3

1

$

2,

(П2.4)

 3 1  2,
1 2  %




 2



3
1

(П2.5)

(уравнение Бонгоффера–Ван дер Поля);


 1



 3 1  2,
1    5




 2



3
1

(П2.6)

(неавтономное уравнение Ван дер Поля, траектория-утка);

*  !1 ! 2" !  

(уравнение Рэлея).
В (П2.4)–(П2.6) 1 
рассмотреть два случая:
0



1;

1





  103; 10
1

1
;
648 2

0

0
2,

(П2.7)

20

 200,

0; в (П2.5)

0

¯ Провести исследование поведения численных

%

1



решений
(П2.4)–(П2.7) в зависимости от «большого» параметра ;
(П2.6) — в зависимости от ;

5



4 / 26

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

355

¯ построить зависимости 1  , 2  , 2 2 ;
¯ использовать явные методы Рунге–Кутты 1-го и 4-го порядков точности, неявный метод (Хаммера–Холлинсворта);

¯ исследовать зависимость численного решения от шага инте-

3

грирования (сходимость в сетке).
5. Изучить поведение концентраций веществ в химических
реакциях Белоусова–Жаботинского:

1








2  1 !1 8,375  10 61 2".,

1
(П2.8)
 1  1 2,


77,27 3




 
0,161 3 ,

0   800, 1 0 1, 2 0 2, 3 0 3




0,041  104 2 3 ,






(П2.9)
0,041 104 2 3 3  107 22 ,
 




 
3  107 22 ,

0   1000, 1 0 1, 2 0 3 0 0



1 &13,










1 1  23,

(П2.10)




&

1





,

1
1 3
4
2 3






 
&13 4,

0   1013, 1 0 1,76  10 3 , 2 0 3 0 4 0 0;
 7,89  10 10; & 1,1  107;  1,13  103, 1 106
77,27

-

2

3

1

2

3

1

2

3

4

¯ Построить зависимости параметров от времени и зависимости

  ,   " ;


¯ исследовать сходимость численного решения по сетке;
¯ использовать явный и неявный методы Рунге–Кутты 4-го порядка точности.

5 / 26

356

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

6. Уравнение Ван дер Поля

2 
2

 0 0

0;

  2 1  



 0 0; 0   30,
!

"

0,
1

  1000,

(П2.11)

описывает нелинейные колебания в различных системах.
Уравнение Эйлера

* 

!  102 2 0,
10   102 ,  1 1, ! 1
1

(П2.12)

1,

описывает колебания в системе, где возвращающая сила и коэффициент вязкого трения убывают со временем.
Уравнение Капицы

'*  !9 52 5 " '
(П2.13)
(при
'  ' — уравнение Матьë, при  0 — уравнение коле* 922 ';  — длина маятника, ' — угол
бания маятника '
отклонения от вертикали) описывает колебания «перевернутого»
маятника.
Уравнение Минорского

2 
2

 20!  52  2 ! 

1

! 3 

1

(П2.14)

встречается в механических и электромеханических задачах с
1,
1,
; назапаздыванием и нелинейностью (
чальные данные задаются для   1, 0.
¯ Исследовать зависимость численных решений от параметров
процессов;
¯ исследовать сходимость численного решения по сетке; ! "
4 ,
¯ использовать схемы Рунге–Кутты порядка не менее
сравнить с численными решениями, полученными по методу
Эйлера ('  .
В (П2.13):
' 0
10 0,5
5,3 3,10
10 10,0 100,0 3,10
10 10,0 100,0 0,10
10 2,0 100,0 0,10
10 0,5 200,0 0,05

0

5 8

>0

3

 

5

¯ представить зависимости параметров от времени и фазовые
портреты.

6 / 26

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

357

7. Рассмотрим краевые задачи для ОДУ.
¯ !    2 , 0 1, 1 0, 0
 1.
а) Получить точное решение, сделав замену переменных

  


 1 
б) Численно исследовать поведение решения при 
0
(0  1), сравнить с точным.
  2 1,   1 ,  1 & ,   ,
0   1. При   образуется погранслой вблизи  0.
Рассмотреть случаи:  ,  1, & 1;  2 ,
 1, & 1;  ,  1, & 1.


¯

%

Что происходит при увеличении ?


3,
0 , 1 ,   2 ,   2 , 0
 1, 10 2; 10 3; 10 4 («пичковые» структуры).

3
¯
, 0
1, 1
1 (внутренний
погранслой
1 2).
Исследовать толщину погранслоя в зависимости от .

¯
   , 0 0, 1 1,   .
Рассмотреть поведение решения при
0 (удастся ли
получить погранслой типа всплеска?)
8. Численно решить задачу на нахождение собственных значений и функции волнового уравнения методами стрельбы и про2 , 0 
гонки: 
1  0
Сравнить численные решения между собой и с точными:

¯  

  

& 
&


 



&
 2


  
 
  



 





8,  





8, 

0



Рассмотреть случай больших .
¯ Использовать явный и неявный методы не ниже четвертого
порядка точности, сравнить полученные решения с численным решением, полученным по методу (любому) первого порядка точности;
¯ для получения численного решения задач из п. 7 1  7 5 использовать методы стрельбы и прогонки (квазилинеризации).
Какой из этих двух методов, на ваш взгляд, предпочтительнее?
9. Численно показать, что решение задачи




 


 







,



0,



 
,


$

0,  % 1

0,


,

 , 0 



(П2.15)
0

представляет собой бегущую волну, распространяющуюся с конечной скоростью, причем на фронте решение терпит разрыв

7 / 26

358

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

первой производной (обобщенное решение). Сравните численное
решение с точным:


1

:



;
где ; % 2$. Положить: $ 1; 322; 2; 
 , 





,

(П2.16)

0,1; 1; 10. Использо-

вать схему вида

1 


1





 1 2

11 1

 1 2

1 11

(П2.17)
предпо-

проверить численно, какой из вариантов вычисления
чтительнее:
  
а) 1 2
     1 ,
2
 
   1 
,
б) 1 2



в)
г)







 1 2



2




2  1
,
   1
2   1 

  ?
   



 1 2

;

1

(П2.18)



  по времени (  ,  — температура
внутри сверхновой звезды при взрыве, который инициирует
так называемую тепловую волну);
¯ положив
  1, рассмотреть численное решение, полученное при помощи разностных схем с шаблонами, приведенными на рис. П2.1.
¯ Построить профили

Рис. П2.1

10. Получить численное решение уравнения теплопроводности, описывающего распространение температуры




2 2
 , 0    1, 0    1,
2 2

0, , 

0;
, , 0

 

 , 0, 
2;

0;
, , 1

 

 , 1, 

(П2.19)
1;

3,

8 / 26

359

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

используя разностные схемы расщепления:
1 


1
а)
1 $# ,
2 # ;

 12





1 2





1

1
# ,
#

б)

12 12



1 2
1



1

,
2
#
#

6







в)

г)




12














2


1,

 1



1!

1 $# 2
2
12 1 !

1

1 #

/ ,/



6

6



1 # ,

6


#



1,

,

2

(П2.22)

 ";

 1
#

2

#



2

1 2;
(П2.21)

,


1$

1

6

"

21  1



(П2.20)

2 $# ,

;

(П2.23)

1
2 ,   , 1
,
2

1

, 1

2

— шаги по , .

¯ сравнить их (по в нескольких точках);
¯ исследовать сходимость численного решения по сетке.

11. Сравнить численные решения, полученные по разностным схемам Лакса, Куранта–Изаксона–Риса, Лакса–Вендроффа,
Уорминга–Кутлера–Ломакса для уравнения переноса в недивергентной и дивергентной формах:


0,
 


2
   2
 
0


Начальные профили представлены на рис. П2.2.
Исследовать сходимость численных решений
(при
0, — шаг по координате).

/

/

u

по

сетке

u

L

0
0

x

L

0



0

x

(

Рис. П2.2

9 / 26

360

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

12. Сравнить численные решения, полученные по разностным
схемам:
¯ Куранта–Изаксона–Риса,
¯ Мак-Кормака,
¯ гибридной схеме Федоренко,
¯ TVD,
для линейного одномерного уравнения переноса



 % 


0



Начальные профили представлены на рис. П2.3.
u

u

x

0



0

x

0

(

0
Рис. П2.3

Исследовать сходимость численных решений по сетке
(при
0, — шаг по координате).
13. Рассматривается среда, находящаяся в начальный момент времени в жидком состоянии при температуре  , 0
p
( p — температура плавления). Поверхность среды при
0
поддерживается при 0, 
1: 1, 
p , и при
p.
В предположении, что плотность среды не изменится при фазовом превращении, процесс затвердевания описывается следующими уравнениями:

/

/

:

:






:

#

,
%s #
s



%f #








2

2

2
f #2 ,



0

    ,

      1,

:
:

:
:

(П2.24)

где   — положение фазового фронта, индексы s и f относятся
к твердой и жидкой фазам. (П2.24) дополняется начальными
и граничными условиями, а также условиями на фазовом фронте:





, 0 9  , 0    1;
0,  1   ; 1,  2   ;


s #  0 f #   0  




(П2.25)

(условие баланса энергии при движении фазового фронта).

10 / 26

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

361

 0 (поверхность водоема),   1 м
9 7  273 К;
1   -273 13 !1  10 ". К;
2   280 К;  1 м;  103 мкг ;
теплоемкость: вода — 4200, лед — 2100 Дж2кг  К; коэффициент
теплопроводности: вода — 0,56, лед — 2,25 Вт2м  К; коэффициент температуропроводности: вода — 1,33  10 7 , лед — 1,08

 10 6 м22с; удельная теплота плавления: 3,3  105 Дж2кг, температура плавления 273 К.
¯ Рассчитать профили :  в различные моменты времени;
Примем (вода–лед):
(дно водоема);

3

представить в виде графиков;

¯ рассчитать и представить в виде графика положение фронта
фазового перехода;

¯ использовать три разностные схемы.
Исследуйте сходимость численного решения по сетке, представленной на рис. П2.4.

Рис. П2.4

14. Основное уравнение математической экологии — уравнение Бюргерса, описывающее перенос и диффузию загрязнений
(в воде или воздухе); его линеаризованный вариант имеет вид:




%



0,  C ,

, 

*  ,
2

2

 , 0 

(П2.26)


Здесь — концентрация некоторого вещества, * — коэффициент
диффузии,  ,  — независимые переменные, %   — посто0,

0

янная скорость потока (например, реки).
¯ Предложить явную и неявную схемы для численного решения (П2.1) и получить численное решение;
¯ представить результаты в виде профилей   в различные
моменты времени;



11 / 26

362

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

¯ исследовать поведение численного решения в зависимости

* (* 1; 0,5; 0,01; 0,0001) и % (% 1; 0,1; 0,01; 0,0001),
 1.
исследовать схемы на сходимость по сетке, т. е. при /
0
(  0,10;  0, : ).
от

¯

Точное нестационарное решение (П2.26) имеет вид (при
и периодических граничных условиях):

, 0


!
,   

2

*"

 %  

(П2.27)

Проверить (численно) формулу (П2.27).
15. Для описания распространения акустических волн
в несжимаемой среде можно использовать так называемую
акустическую систему:




  

  0,  ,

0,



(П2.28)

 # 1 ,
#2 0

) ;

или:

 0, :  ,

 1 )

0,
 9 
)
0,
 %2 



(П2.28a)





где — скорость частиц среды, — давление, — плотность среды, — скорость звука,
— матрица 2  2. Система (П2.28)
дополняется начальными и граничными условиями:

%

 , 0

 ,
 , 0 2  ;
$1 0,   A1 0,  1  
$2 1,   A2 1,  2  
1

(П2.29)

3/

a) Введя разностную сетку с шагами , используем для
аппроксимации (П2.28), (П2.29) схему Лакса–Вендроффа (
;
,
):






 1







E

%/23 : 3  /


 1










3 ! 

29 1
3 ! 
% 1
2



 32
" 32 !
1  2 


 1



"

2

!


 1




 1




2  

2





 1





 1

"

,

"

,
(П2.30)

12 / 26

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

363

или в векторной форме:


3





2


 1




 1

 32

2

2





 1






2




 1



(П2.31)

б) Инварианты Римана. Умножим первое уравнение
в (П2.28) на , сложим полученные уравнения и вычтем первое
из второго, получим:

%






  %


   %

или, в обозначениях

; ?
,
29


  % 
  % 

 % 
 % 

0,
(П2.32)
0,

   % , )  %

;?
2



соответственно

:

;
 % ?



?


0,

 )

% ?


0;

(П2.33)

величиныи называются инвариантами Римана; (П2.33) —
уравнение в инвариантах Римана. Решение (П2.33) можно записать в виде:

 ,    %  , ) ,  )   %  ,
т. е.  и ) сохраняются вдоль характеристик 2

%

(П2.34)

соответственно.
¯ Получить численные решения (П2.28) по схеме Лакса–
Вендроффа.
¯ получить численное решение (П2.29) по схеме Роу (или «кабаре»):
 
; 1 ;11
; ; 1
 1 ;1 ;

0,



2


1

?  1 ? 

1 ? 1 ? 


 ? 1 ? 1
0,

%

2








  % 






;






?

29

,
,

)








%





;

% 


 ?
2




,

,

предварительно получив соответствующие (П2.32) начальные
и граничные условия.

13 / 26

364

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

¯ получить численное решение задачи распада разрыва

  0,
0,
0,
1
2, 
2
 , 0 1,,   0,0; , 0 2; , 0
1
2
2
2 , 0 % 2, 1 , 0 % 1;
сравнить эти решения, представив профили 
, 0

1,

1;



и  
в различные моменты ;
¯ показать сходимость численных решений, полученных по обеим схемам, по сетке (т. е. при
0);
¯ получить численное решение (П2.32) с помощью схемы
Куранта–Изаксона–Риса; соответствующий шаблон представлен на рис. П2.5.

¯

3

Рис. П2.5

16. Рассмотрим задачу о нагревании балки квадратного сечения, бесконечной по одной оси координат  .
Пусть температура грани
(рис. П2.6) поддерживается
постоянной: 1 на
, 2 на
, 3 на
и 4
C
B
на
(температура приведена в относительных
единицах;  100 ÆC). Размер грани
0,1м.
Получить численное решение стационарной
задачи теплопроводности

&
&

:

D

A

2 2

2 2

Рис. П2.6

>
&





0

(П2.35)

с приведенными граничными условиями, используя итерационные методы:
a) Якоби:
1 1, 21   1, ,11 21   , 1

,# , (П2.36)
2
2



/



, /



 (/ , /






— шаги по координатам , );

14 / 26

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

б) Зейделя:

 1
21  
1,

1,

2

1



1,

, 1

2



1,

2

4
2

, 1

2

/

в) верхней релаксации (
1

1


 

 

21  

, 1

/







365

,#

; (П2.37)

 

(П2.38)

)

, 1

 




,





1

1







,#

#

¯ Сравнить эти методы по скорости сходимости (численно
и теоретически);

¯ проверить сходимость численного решения по сетке (т. е. при

/ ,/




0);

¯ исследовать численно скорость сходимости (П2.38) от вели-

3

чины итерационного параметра ;

¯ результаты численного решения представить в виде изолиний

:

: 


 ,    и в виде одномерных графиков 
разных значениях и   при разных значениях .

 :

при

17. Получить численное решение одномерных линейного
и нелинейного уравнений переноса (в дивергентной и недивергентной формах):



0,  
  


0,
 


  2 2
 
0;


;

 0, :  ,     ,   ;
0,
1, 
0, 
,   0;

(П2.39)
(П2.40)
(П2.41)
(П2.42)

2

: 100;  10;  1; 3 : , 1/ 2 , 1 103,
(3 , / — шаги по времени и по координате) с помощью разностных

схем:
¯ Куранта–Изаксона–Риса;
¯ Лакса–Вендроффа;
¯ гибридной схемы Федоренко;
¯ Хартена (TVD);
¯ Колгана;
¯ ENO-схемы.

15 / 26

366

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

18. Получить численное решение одномерной задачи о распаде разрыва в идеальном газе, используя систему нестационарных
уравнений газодинамики








  0 #
 %#

 , ,  ,

1

8 8

8 .



(П2.43)

0

1

0





,




где — плотность, — скорость газа, — удельная внутренняя
энергия газа,  ,  — независимые координаты; 0, 
0,
0,  0,  , 0 0; уравнение состояния:

  

  @ 1 0, @ 1,4;
 0,  1,,   0,0,
2
 0, :  ;     ,  ;  : ,
1/ 2 , 1 20, 100, 1000; / — шаг по , 3 — шаг по .
Использовать сеточно-характеристический метод (E 32/):
 1  E -!ª 1£!ª"  "1  
ª 1£ ª  1  .  (П2.44)
122 £  £, £ — диагональная матрица: £
Здесь: £
  1 , 2, 3 . 1  %, 2 , 3
% являются соб






























 %%

ственными числами матрицы


ª

8



#


;

#



0



#




ω1
ω2
ω3

.

2



8

— матрица, строками которой являются соответствующие соб1
(причем
), получаемые из соственные векторы
ω .
отношения ω
19. Одна из постановок задачи взаимодействия лазерного
излучения с веществом имеет следующий вид (задача физики
горения, — температура):

ª £ª






1





  0 
 $2 , 0



$

- 0  

2

1 *

#

;

0,

0

0;
0,

(П2.45)
0;

16 / 26

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

0,

0, 
02  2

, 0



0 при



1 *

367

0,

0



— описывает энерговыделение реакции на поверхности об 2 02, 0 2 мм.
разца,
— теплопотери,  
0
¯ Получить численное решение задачи (П2.45) с помощью локально-одномерной разностной схемы;
¯ исследовать распределение температуры по и в различные моменты времени;
¯ показать сходимость решения по сетке (т. е. при 
0,
0);

¯ получить численное решение (П2.45) при помощи явной разностной схемы. Какой шаг по времени необходимо для этого
выбрать?
¯ Исследовать поведение рассматриваемой среды в зависимости
от параметров , 0 , 0 .

#

-0

-

0

0

/

/

#- 0

20. Уравнение, описывающее как конвективные, так и диффузионные процессы, называется уравнением Бюргерса:


 




, *  
* 
2

0

2



(П2.46)

Зададим начальные данные в следующем виде:

, 0
1
2

1,
2,



 0,
 0, 0

(П2.47)

0,

, — независимые переменные (положим:
2;
0;   10, 10,  0, ).
Точное решение (П2.46) имеет вид:



, 
, 



2



:

1  @ ,  

11  22

 6

2'

,

 0 B



6

/2

 0 *2 
1  2
2



49

 6,
/2



1,

1

0



*1 

(П2.48)

49

¯ Получить численное решение (П2.46), (П2.47) при

*

0  1,0. Есть ли что-нибудь общее во всех решениях при
разных («центр сглаженных ударных волн»)?

*

17 / 26

368

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

Рис. П2.7

¯ Использовать для численного решения (П2.46) схемы с шаблонами, приведенными на рис. П2.7;

¯ проверить сходимость численного решения по сетке (при

/

0) и сравнить с (П2.48).
21. Для численного решения уравнения Кортевега–де Фриса (КдФ)
   0,
0,
  10, 10
(П2.49)
 6





(на границах области интегрирования ставятся условия периодичности) рассмотреть две разностные схемы (рис. П2.8 и П2.9)
с шаблонами (вторая— аналог схемы Саульева для уравнения
теплопроводности).

Рис. П2.8

Рис. П2.9

¯ Сравнить численные решения, полученные по обеим схемам;
¯ показать сходимость по сетке (при / 0;
¯ рассмотреть начальные условия, представленные на

рис. П2.10.
Как изменится численное решение, если к явлениям конвекции и дисперсии, описываемых уравнением КдФ, добавится
диссипация
 ,
6   
10 4  1
(П2.50)



*

*

(показать расчетом по одной из схем на рис. П2.8, П2.9).

18 / 26

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу
u

369

u

x

0

x

0
u

u

x

0

x

0

Рис. П2.10

Уравнение (П2.49) имеет бесконечное число законов сохранения:
(П2.51)
1,



 

2




 2



2



 2,



3

(П2.52)

 3,

(П2.53)

... ... ... ... ... ... ... ... ...

Проверить любой из них.
n

n +1

m
m −1
Рис. П2.11

m +1
Рис. П2.12

Комментарий. Организация счета по схеме Саульева: на
четных слоях счет идет слева направо (рис. П2.11) по формулам
"
1 
1 ! 1
1
(П2.54)
  1 ,

 1
2



на нечетных — справа налево (рис. П2.12):
1 
1!



2



 1
 1



 1








 1



"



(П2.55)

19 / 26

370

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

22. Движение частицы заряда
описывается системой ОДУ:

и массы

 в магнитном поле


  ,


!

&! ,
 ; %  ; '  ; (, & %  '  (




(П2.56)

1

Получить численное решение задачи об отражении заряженной частицы от магнитного зеркала. В этом случае:

&



&



&

Начальные данные:

  0

50

 C1 C0
 
2



:1
,
80



1

1

,

2

,

2

1

1

  )
2

$


2

 0

2

  )







0

0,

&02% — ларморова частота),
; 0 0, ; 0 B1, ; 0
C
1,
2, B1 1,  10, 
C


50



&0  &1 &0

1

(

 C1 C0
 
2

 1

0

B1   $,


40, $ 
; 
4 2

1

1
2

Получить численное решение задачи о движении заряженной
частицы в магнитной ловушке. В этом случае:

 C C
&
 2  8 
2
 C C
&
 2  8 
2

& &0  C 2 C 1 



1

0

1

0

1

1

0

$
,

$
,


$



Начальные условия:

 0

'1
,
80

 0

0,

0

0,

; 0 

; 0 B1   $, 50 1, CC


B1 1,  20, $  4 ; 2 
1

;

0,



1



B1,

2,

0

20 / 26

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

371

¯ Использовать методы Рунге–Кутты 1-го и 4-го порядков точности;

¯ исследовать сходимость численных решений по сетке (при

3

0,

3 — шаг по времени).

23. Некоторые процессы в плазме, в биосистемах и в химических реакциях описываются нелинейным уравнением теплопроводности вида

 


#


: 



:  #
 ! ,


(П2.57)



 ,  — температура среды,  ,  — независимые перегде
менные,   — нелинейный коэффициент теплопроводности,
  — нелинейная функция (например, моделирующая процессы
горения, детонации); обычно:  

T
;
  0 & ; 0, 0,
0;
0
1. При
 1 реализуется так
называемый
-режим с обострением,
при
 1 — -режим c неограниченным ростом температуры, при
x1 x
  1 — -режим (полуширина x 0
профиля температуры постоянна). При
Рис. П2.13
 1 полуширина профиля сокращается, процесс локализуется, формируется так называемая диссипативная структура, при
 1 наблюдаются тепловые
волны, амплитуда которых растет. Профиль задается в виде,
представленном на рис. П2.13.
¯ Проверить эти выводы численно, используя неявную схему.
Положить:

:

!

:

!:
:
A
A $
)
A $
')
A $
)
A $

$

:

A $




0
0

1,
1,

0
0

1,
1;

0

A

1;
3,18;

A

3,
1,667;

$ 2 ;
$ 2 ;

¯ проверить сходимость численных решений по сетке (т. е. при

/

0,

/ — шаг по координате);
:  в различные моменты времени.

¯ вывести профили

24. Множество точек на фазовой плоскости, к которым стремится решение ОДУ, называется аттрактором. Представить
численное решение следующих задач на фазовой плоскости и исследовать эти задачи на наличие аттракторов.

21 / 26

372

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

Аттрактор Лоренца:







! E E,

 0 

0,

!

 0 0, 0 0
0 1, 0 1,
0 28,  823; 10; 20;
3 10 3, 10 2

  0 , E 10,
!   ,
20;
(E — число Прандтля, 0— число Рэлея).







Аттрактор Реслера:





!   ,
 0
!   5 ,
* 0,

1

!
  *
5

Аттрактор Рикитаки:

!
!

*   ,
*  0,

!
1
 @1 ,


0! 1   @10,





(П2.58)

 0 0,
*  10,

0,
0

0

0,

(П2.59)

@1  0,002; 0,004,
@2 0,002; *  0,2; 2,
 0 0,  0 0, 0
0 0 00

0,

(П2.60)

Провести исследования свойств систем ОДУ (П2.61)–(П2.63)
в зависимости от параметров процессов ( , , , 1 , 2 ):
¯ исследовать сходимость численного решения по сетке;
¯ использовать методы Рунге–Кутты первого и четвертого порядков точности.

E0@ @

25. Нелинейное уравнение теплопроводности способно описывать распространение тепловых волн, волн горения и т. п.
Рассмотрим следующие уравнения.
а) Уравнение Колмогорова–Пискунова–Петракова (КПП):




2

2

1

  0,1; 10;



,



 

1,

,



1,

, 0


1,
0,




,

0, (П2.61)



,



(П2.62)

2. Уравнение Зельдовича–Франка-Каменецкого (задача горения):




2

2



 1

,

0

  1,

(П2.63)

начальные и граничные условия — (П2.61), (П2.62).

22 / 26

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

373

¯ Получить численное решение (П2.61)–(П2.63) методом второго порядка точности;

¯ исследовать сходимость численного решения по сетке;
¯ построить профили  в различные моменты времени.
26. Нагревание пластины лазерным излучением описывается
нестационарным двумерным уравнением теплопроводности:








1


% #
:  #
 $
:  #
 , (П2.64)
  0


$
где :  , 0,  — температура, % — коэффициент теплоемкости,
:  — коэффициент теплопроводности,  0 в плоской
и  1 в цилиндрической геометрии.


а) Начальная температура:

: 0, 0,  :0 1   28    280  :1,
:0 100, :1 2; :  1, % 1,
1

В этом случае точное решение имеет вид


: :0 1  

8 2 



  28    280  :1 

(П2.65)

1 10  ,
;
0,
, 0
106 Вт/см2 ,
б)
0
5 мкм,
100 мкс, 0 300 К; коэффициент поглощения
0
возрастал от 0,05 для
пл (температура
0 до 0,15 для
4 Дж/(см3  К), т 0,8Вт/см  К —
плавления). Для железа
2214 Дж см3 ; ж
0,4 Вт/см  К — раствердая фаза; пл
плав. Теплота плавления пл учитывается добавлением к теплоемкости величины пл 2 
пл  при пл
пл
пл 
 пл ( пл  25  50 К). Зависимость 4   представлена
на рис. П2.14.


3

:

:

3
:
: :
%
!
2
!
! 2
:


cv



3

2

cv 0 +

: :

:

:
% :

: :

Qпл
2DTпл

cv 0

Tпл - DTпл Tпл Tпл + DTпл

T

Рис. П2.14

23 / 26

374

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

Число частиц, испаренных с единицы поверхности:



7



2

 3
; $
#пл 0









1
#

1

,

(П2.66)



— масса молекулы, — постоянная Больцмана, 1 — энергия
связи кристаллической решетки, 0 — дебаевская частота (в качестве 1 выбирается работа выхода, соответствующая наиболее
легко испаряемой компоненте; 1  4,3 эВ).
 0,1  0,82 —
учет обратного потока частиц.
¯ Получить численное решение (П2.64) с помощью явной
и неявной схем;
¯ сопоставить решение п. а) с точным;
¯ проверить сходимость решения по сетке.

;




$

27. Движение частицы в центрально-симметричном поле
с потенциалом   описывается уравнением Шрëдингера

C0

%  22 . C 0 %

0,

(П2.67)



— оператор Лапласа в сферических координатах
где
, + — постоянные; решение ищется в виде

*/
где

0, ', 4;

%  ', 4   0 0,
:



J  — целые числа.

: — известная сферическая функция; ,
Обозначив

2

2

C 0  D D 1 ,
получим задачу для определения 0:
 B 0   0, 0  0, ;  0




2

. , B 0





2





(П2.68)

2

0;

второе граничное условие — нормировки:

2 0 

1



(П2.69)

0

¯ Получить численное решение задачи методом стрельбы
(рис. П2.15). Обычно на бесконечности ставится условие
 ,  0, где  — достаточно большое число. Из этого
уравнения методом Ньютона (или просто перебором) находим .
Положим, что при
  ,  0, при
1 имеем
2

будет  , 
0; тогда выбираем
 1  2 2 и т. д.
Какие трудности встретятся при численной реализации метода
стрельбы?

0 

0 

0

 

0 
 

 2


 

24 / 26

Прил. 2. Примеры задач к вычислительному практикуму по курсу

375

R
R ~ exp(·)

R ~ sin(·)

r

V (r ) - l < 0

V (r ) - l > 0

Рис. П2.15

¯ Получить численное решение задачи методом трехточечной
прогонки;

¯ исследовать сходимость решения по сетке;
¯ получить численные решения для нескольких

 (

1  5).

28. Для численного решения краевой задачи ОДУ

2
2

  ,

0 C1,

 C2

(П2.70)

воспользоваться тремя вариантами трехточечной прогонки (предварительно получив прогоночные соотношения):
а) прямая прогонка (слева направо);
б) обратная (справа налево);
в) встречные прогонки.
Положить:

  

*

;

 

5 , C1

C2

1,


   

0,

0,





1
(П2.71)
29. Пусть в (П2.70) краевые условия являются периодическими. Получить формулы для трехточечной периодической
прогонки и численно решить (П2.70).
Исследовать поведение численного решения в зависимости от
параметров и в (П2.71).
30. Для аппроксимации краевой задачи

$ 5



  ,   0,  ,
 0 1,  

 0

1,

0,

(П2.72)

получить формулы пятиточечной прогонки и численно ре1.
шить (П2.72), положив



25 / 26

Учебное издание

ПЕТРОВ Игорь Борисович
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ФИЗИКОВ

Редактор В.С. Аролович
Оригинал-макет: В.В. Затекин
Оформление переплета: В.Ф. Киселёв



Подписано в печать 08.02.2021. Формат 60 90/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 23,5. Уч.-изд. л. 25,8. Тираж 700 экз.
Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17 Б
E-mail: porsova@fml.ru, sale@fml.ru
Сайт: http://www.fml.ru
Интернет-магазин: http://www.fmllib.ru

Отпечатано с электронных носителей издательства
в АO «Первая Образцовая типография»
Филиал «Чеховский Печатный Двор»
142300, Московская область, г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. 1
Сайт: www.chpd.ru. E-mail: sales@chpd.ru, тел.: 8 (499) 270-73-59

ISBN 978-5-9221-1887-3





Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

26 / 26