Методы математической физики [Гарольд Джеффрис] (pdf) читать онлайн

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


 [Настройки текста]  [Cбросить фильтры]

t-

й

iSri,

:S.i. e>.g''& s;Si:ig * i

METHODS
OF
MATHEMATICAL PHYSICS
by
S ir H a r o ld J e f f r e y s
M . A., D. Sc., F . R. S.
and
B e r th a S w ir le s ( L a d y J e f f r e y s )
M. A., P h . D.

T h ird E dition

C A M B R ID G E
CA M B R ID G E U N IV ER SITY P R E S S

г . ДЖЕФФРИС, Б. СВИРЛС

МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
ВЫПУСК I

П ер евод с английского
п од ред.

В. Н . Ж а р к о в а

И ЗД А Т Е Л Ь С Т В О «МИР»

М осква

1969

Ф ундаментальное руководство по прикладной математике, па.
писанное известным геофизиком Г. Дж ефф рисом и его супругой
Бертой Свирлс, представляет собой выдающееся явление в ми­
ровой литературе, с которым мож но сравнить лишь такие труды,
как «Методы математической физики» Куранта и Гильберта или
«М етоды теоретической физики» Морса и Ф еш баха, выпущенные
издательством «Мир» в русском переводе.
Для удобства советских читателей книга будет разбита на
три выпуска; вып. 1 выйдет в 1969 г., 2 и 3 — в 1970 г.
В вып. 1 будут рассмотрены функции действительного перемен
ного, скаляры и векторы, тензоры, матрицы, кратные интегралы
и теория потенциала и операционные методы.
Книга Г. Д ж еф ф риса и Б. Свирлс привлечет внимание ф изи­
ков, геофизиков и астрономов, имеющих дело с той областью
прикладной математики, где наряду с чисто рецептурной вычис­
лительной техникой необходимо строгое понимание методов ма­
тематической физики. Книга окаж ет такж е большую помощь
аспирантам и студентам старших курсов.

Р едакция космических исследований, астрономии и геофизики

2-3-1, 2-6-1
114-69

К н и га Г. Д ж е ф ф р и с а и его супруги Б ерты С в и р л с (леди
Д ж е ф ф р и с ) я в л я е т с я одним из основных р у ко в од ств по « М е т о ­
д а м м а те м а т и ч е ск о й ф изики» повы ш енного типа на а н г л и й ­
ском язы ке. О на в ы д е р ж а л а три и зд а н и я, причем последнее
и зд а н и е д в а ж д ы п е р е и з д а в а л о с ь . Т а к и м о б р а з о м , мы имеем
д ел о с у с т о я в ш и м с я у ч еб ны м р у ко во д с тв о м по п р и к л а д н о й м а т е ­
матике.
С а м Д ж е ф ф р и с , я в л я я с ь круп нейш им с о вр ем енны м г е о ф и ­
зиком , о б о бщ и л в ней свой полувековой опы т плодотворной
раб о т ы в о б л а с т и теоретической геоф и зики, с м е ж н ы х о б л а с т я х
а стр он о м и и и ф изик и спл о ш ной ср еды и п р и к л а д н о й м а т е м а ­
тики.
В свя зи с этим в книге чувству ется отбор м а т е р и а л а и с с л е­
д о в ат е л е м , которы й сам н а п р о т я ж ен и и многих л ет и с п о л ьз о в ал
м а т е м а т и к у д л я прогресса е с тество знан ия. В ней опи сан о много
р а ц и о н а л ь н ы х м а т е м а т и ч е ск и х м етодик и при ведено р еш ение
м ногих в а ж н е й ш и х типовы х з а д а ч . К ороче говоря, она о б л а ­
д а е т всеми д о сто и н ств ам и а нгл ий ск их книг по м а тем а т и ч е ск о й
ф изике.
П р е д л а г а е м а я в н и м ан и ю ч и т а т е л я книга д о ста то чн о с л о ж н а
и не м ож ет бы ть р е к о м е н д о в а н а д л я п е р в о н ач а л ь н о г о о з н а к о м ­
л е н и я с предм етом . О на н а п и с а н а в е с ьм а с в о е о б р а зн ы м я зы ко м ,
и подход к и зл о ж е н и ю многих вопросов не три ви ал ен . Эти о б ­
с т о я т е л ь с т в а с о з д а в а л и з а м е т н ы е тр удн о сти д л я к о л л е к т и в а ,
р а б о т а в ш е г о н ад переводом. О б ш и р н о е п р ед исл ов ие авто ро в
и з б а в л я е т нас от о б су ж д е н и я многих тем, в частности вопроса
о терм и нол огии и о той м ере строгости, ко т о р а я н ео б х оди м а в
р а б о т а х по т ео ретич еском у естествознан ию . М ы во вся ком с л у ­
ч ае нигде не стр ем и л и с ь « улучш ить» ори ги н ал , а наоборот,
с т а р а л и с ь с о х р а н и т ь все его особенности. В св я зи с тем, что

человек, которы й о б р а т и т с я к п р е д л а г а е м о й книге, м ож н о по­
л а г а т ь , у ж е до стато чн о з н а к о м с пред м етом , мы р е ш и л и не
пр и во ди ть д опо л н и т е л ьн о го спи ска л и т е р а т у р ы . О б р а щ а е м вни­
м а н и е на то, что в книге п р и н я т а п р а в о с т о р о н н я я систем а д е ­
к а р т о в ы х ко ор д ин ат. В этой системе, если с м о треть со стороны
оси Z, то поворот оси X в сторону оси у про и сх одит п р о т и в
ч асовой стрелки. Д л я к р а т к о с т и т а к о е в р а щ е н и е пер е ве д ен о
к а к « в р а щ е н и е вправо».
Д л я у д о б с т в а п о л ь зо в а н и я ру сское и зд а н и е книги р а з д е ­
л ено на три в ы п у с к а пр и м ерн о р а в н о го о б ъ ем а . П о с к о л ь к у это
р а з д е л е н и е чисто условно, с о х р а н е н а н у м е р а ц и я г л а в а н г л и й ­
ского о р и г и н а л а. В 1-й вы пуск в о ш л и гл. 1— 8 , во 2-й — гл. 9— 15,
в 3 - й — 16— 25. З а м е ч а н и я , по м е щ е н н ы е в о р и г и н а л е в кон ц е
книги, в русском п ерево д е р азн е се н ы по с оотв етству ю щ и м г л а ­
вам . Р а б о т а по пер ев од у вып. 1 р а с п р е д е л и л а с ь с л е д ую щ и м
о б р а з о м : А. Л . Л е в ш и н перевел пре д и сл ов и е и гл. 8 ; М. Л . Гервер — гл. 1, 2; В. А. К а л и н и н — гл. 3; Л . В. Н икитин — гл. 4;
В. Ф. П и с а р е н к о — гл. 5, 7; В. Л . М а р к у ш е в и ч — гл. 6 .
В за к л ю ч е н и е я хотел бы от имени всех п ри н и м а в ш и х у ч а ­
стие в р а б о т е в ы р а з и т ь п р и зн а т е л ь н о с ть леди Д ж е ф ф р и с , к о ­
т о р а я л ю б е зн о п р о к о м м е н т и р о в а л а п ерев о д эп и г р а ф о в к о т ­
д ел ь н ы м г л а в а м . Л е д и Д ж е ф ф р и с т а к ж е с п о с о б с тв о в а л а тому,
что с о тр удн и ц а и з д а т е л ь с т в а К е м б р и д ж с к о г о У н иверситета
миссис A-lepn П а р к е р п р и с л а л а нам англий ский о ри ги н ал книги
1966 г. М не хотелось бы п о б л а г о д а р и т ь миссис П а р к е р за эту
л ю безность.
В. Н. Ж а р к о в

о т А В ТО Р О В

В третьей д о п е ч а т к е 3-го и зд а н и я д о б а в л е н ы с л е д у ю щ и е
р а зд е л ы : 9.041а об ин терп оляц и и в случае, ко гд а д а н ы первы е
прои зводн ы е, и 9.181а — о д о с т и ж е н и я х в м а ш и н н о м счете.
Б ы л о р а с ш и р е н о и ссл едов ан ие о р т о го н а л ьн ы х п р е о б р а зо в а н и й
в гл. 4 и с д е л а н о д о б а в л е н и е в д о к а з а т е л ь с т в е л е м м ы В а т с о н а
в 17.03. С д е л а н р я д д р у ги х н еб ол ьш и х п о п р а в о к и д о б а в л е н и й
в тексте и п р и м ер ах .
Март 1966 г.

Во второй д о п е ч а т к е 3-го и з д а н и я д о б а в л е н ы сл е д у ю щ и е
р а зд е л ы : 5.051а о д и ф ф е р е н ц и р о в а н и и под зн а к о м и н т е г р а л а ,
10.11а о методе, и с п о льзуем ом в теории планет, и 23.07а со
ссы л кой на р а б о т у о кул он ов ск и х во л нов ы х ф ункц иях. П е р е ­
см о трен ы р а з д е л ы 10.0 1 , 10.013 в г л а в е « В а р и а ц и о н н о е исчис­
ление». С д е л а н ы н е б о л ьш и е и с п р а в л е н и я и д о б а в л е н и я в т е к ­
сте и п ри м ерах.
И юль 1961 г.

В н а с т о я щ е м и зд а н и и мы внесли изм ен ен ия в гл. 1, в о с ­
новном в р е з у л ь т а т е з а м е ч а н и й , с д е л а н н ы х проф. Б ези ко в и ч ем :
более четко с ф о р м у л и р о в а н р я д тео рем , д о б а в л е н о или с о к р а ­
щено н е с к о льк о д о к а з а т е л ь с т в . М ы в есьм а п р и зн ат е л ьн ы ему
з а э л е м е н т а р н о е д о к а з а т е л ь с т в о теорем ы об ограниченной схо ­
дим ости Р и м а н о в ы х и н те гр а л о в, д ан н о е в прим ечании. В гл. 6
ул учш ено д о к а з а т е л ь с т в о у р а в н е н и я П у а с с о н а . В гл. 17 мы
б о лее по д р обн о р а с с м о т р е л и ин тегр а л Э йри д л я ком п л ек сн о го
а р г у м е н т а и с ф о р м у л и р о в а л и у с л о ви я однородности а п п р о к с и ­
м ации аси м п тоти ч еск и х реш ен ий типа Грина в ком п лексной
об ласти. В гл. 23 мы д о б а в и л и некоторы е з а м е ч а н и я об а н а л и ­
тическом п р о д о л ж е н и и реш ений и их прим енении к ф у н кц и я м
п а р а б о л и ч е с к о го ц и ли нд ра.
М ы б л а г о д а р и м читател ей за их со общ ен и я по поводу з а м е ­
ченных о ш и б о к и опечаток.
Г а р о л ь д Д ж еф ф ри с
Берта Д ж е ф ф р ис
А п рел ь 1953 г.

Т екст книги д л я 2-го и зд а н и я бы л сущ ественно пересм отрен.
Б о л ь ш и н ст в о при м еч ани й в конце книги бы ло в с т а в л е н о в
текст. К р о м е того, с д е л а н ы сл е д у ю щ и е в а ж н е й ш и е и сп равл ени я.
В гл. 1 т е о р ем а Г е й н е — Б о р е л я и ее м о д и ф и к а ц и я Гур са в ы ­
несены в перед и ис п о л ьзо ван ы д л я в ы в о д а неск о льк их теорем,
которы е п р е ж д е д о к а з ы в а л и с ь д р у ги м методом. К р о м е того, б о ­
л е е полно и з л о ж е н а т е о р и я Р и м а н о в ы х интегралов.
В гл. 4 д о б а в л е н о опи сан ие б лоч ны х м а т р и ц и б олее под ­
робно р а с с м о тр е н а т е о р е м а о х а р а к т е р и с т и ч е с к и х р е ш е н и я х д л я
к о м м у т и р у ю щ и х м атри ц. Гл. 5 (к р а т н ы е и н те г р ал ы ) почти п ол ­
ностью п е р е п и с а н а и те п е р ь в кл ю ч а е т т еор и ю ф у нкц ий н е с к о л ь ­
ких перем енны х, к о т о р а я частично б ы л а и з л о ж е н а в гл. 11.
В гл. 9 а н а л и з р е л а к с а ц и о н н ы х м ето д о в рас ш и р е н настол ько ,
чтобы с л у ж и т ь к а к введен ие в сп е ц и а л ь н у ю л и т е р а т у р у на эту
тему.
В гл. 11 и 12 с д е л а н о много улучш ени й, в ч астности внесена
в а ж н а я п о п р а в к а в д о к а з а т е л ь с т в е те о р ем ы Кош и, улучш ено
д о к а з а т е л ь с т в о т ео рем ы О с г у д а — В и т а л и и полностью п ер е­
с м о тр е н а т еор ия о б р а т н ы х функций.
В гл. 17 неск о льк о о с л а б л е н ы у с л о в и я д л я с п р ав е д л и в о с ти
л е м м ы В а т с о н а ; теперь они в ы п о л н я ю тс я почти во всех ф и з и ­
ческих п р и лож ен и я х . Б о л е е полно и зл о ж е н метод с т ац и о н а рн о й
ф а зы . В гл. 24 р а с ш и р е н р а з д е л об излучении м ульти поля.
Д о к а з а т е л ь с т в а по в о зм о ж н о с ти с о к р а щ е н ы или об общ ены ,
д о б а в л е н ы некоторы е но вы е прим еры .
Мы б л а г о д а р н ы м ногочисленны м ч и т а т е л я м за у к а з а н и я на
ош иб ки. Д в е н а и б о л е е с е рьезны х п оп ра в ки с д е л а н ы проф. Л и т т л вудом и д -ром К а р т р а й т о м .
Мы особенно п р и зн а т е л ьн ы за за м е ч а н и я проф. Л и т т л в у д у
(гл ав ы 1, 5, И , 12), Х ол л у (гл. 4 ), проф. Б е зи ко в и ч у и д-ру Б ар ки л л у (гл. 5).
Г а р о л ь д Д ж еф ф р ис
Берта Д ж еф ф ри с
15 н оя бря 1948 г.

Ц е л ь этой книги — опи сать те р а з д е л ы чистой м а т е м а т и к и ,
в кото ры х б о л ь ш е всего н у ж д а е т с я ф и зи к а. О тбор м а т е р и а л а
до в о л ьн о труден: книга, с о д е р ж а щ а я все методы, п р и м е н я е м ы е
в р а зл и ч н ы х р а з д е л а х ф изики, б ы л а бы непомерно ве л и ка .
В свя зи с этим мы обы чно в к л ю ч а л и метод, если он пр и м е ­
ня е т ся по край ней м ере в д ву х р а з д е л а х ф изики; о д н а к о мы не
с л е д о в а л и этом у п р а в и л у во всех сл у ч а я х . Д л я и л л ю с т р а ц и и
допо л н и т е л ьн ы х п р и л о ж е н и й в в еден ы с п е ц и а л ь н ы е за д а ч и .
Н а м п р е д с т а в л я е т с я , что многие студенты , з а и н т е р е с о в а н ­
ные г л а в н ы м о б р а з о м п р и л о ж е н и я м и , с тр удом с л е д я т за а б ­
с т р ак т н ы м и д о к а з а т е л ь с т в а м и не и з-за отсу тствия спо соб но­
стей, но потому что интерес у них в о зн и к а е т л и ш ь т огд а, ко гд а
им ясны неп осред ствен ны е пр именения.
М ы п р е д п о л а г а е м , что ч и т ат е л ь з н а к о м с курсом м а т е м а т и ­
ческого а н а л и з а . П о я с н и м н а м е ч а е м ы е н ам и уровень строгости
и общ ности. М ы не р а з д е л я е м ш ир око р а с п р о с т р а н е н н о г о
в з г л я д а , что л ю б о е д о к а з а т е л ь с т в о хорош о, если оно будет
п р е д н а зн а ч е н о д л я и с п о л ь з о в а н и я и с с л е д о в а т е л я м и в естест­
венных н а у к а х . М ы счи таем , что д л я естественны х наук, т а к ж е
к а к и д л я чистой м а т е м а т и к и , необходим о, чтобы б ы ли с ф о р м у ­
л и р о в а н ы основн ы е принципы, и за к л ю ч е н и я в ы т ек а л и из ни.х.
Н о в естественны х н а у к а х т а к ж е необходим о, чтобы эти при н­
ципы были к а к м о ж н о теснее с в я з а н ы с н а б л ю д е н и я м и ; д л я
чистой м а т е м а т и к и несущ ественн о, что в зя т о за основу.
Мы п р и д е р ж и в а е м с я зд есь п р и нци па, что строгий а н а л и з
в естественны х н а у к а х не менее в а ж е н , чем в чистой м а т е м а ­
тике. М ы т а к ж е м н о г о к р ат н о о б н а р у ж и в а л и , что л е гч а й ш и й
путь с д е л а т ь к а к о е -л и б о у т в е р ж д е н и е д о стато чн о о б о с н о в а н ­
н ы м — это д а т ь ему строгое д о к а з а т е л ь с т в о . Н е к о т о р ы е н а и б о ­

л е е в а ж н ы е р е зу л ь т а т ы (н а п р и м е р , т е о р е м а К ош и) т а к у д и в и ­
тельны на первы й в зг л я д , что ничто б о л е е кр а т к о е , чем д о к а ­
з а т е л ь с т в о , не м о ж е т з а с т а в и т ь в нее поверить. С д р у го й с то­
роны , м а т е м а т и к обы чно н е у д о в л е тво р е н теорем ой, если она
в ы с к а з а н а не в н а и б о л е е о б щ ей форме.
П р и л о ж е н и я ж е часто ог р а н и ч и в а ю тс я н е с к о л ьк и м и спе­
ц и а л ь н ы м и з а д а ч а м и . П о э т о м у мы часто д а е м д о к а з а т е л ь с т в о
при у сл о ви я х , д о ст а т о ч н ы х в б о л ьш и н с тв е п ри лож е н и й , но и з­
л иш не огран и ч ен н ы х с точки зр ен и я чистого м а т е м а т и к а . О б щ ­
н о с т ь — х о р о ш а я вещ ь, но иногда она м о ж е т о б ойтись сл иш ком
д орого. В р я д е сл у ч а е в, если п р и н я ты е у с л о в и я не вы п о л н я ю тс я
в д ан н о й з а д а ч е , то м ето д о б о б щ е н и я те о р ем ы б уд е т очевиден;
иногда ж е это очень трудно, и мы не д у м а е м , что стоит л о м а т ь
к о п ья р а д и редко в с т р еч а ю щ и х с я с л учаев. Д л я н е к ото ры х о б ­
ш и р н ы х п роб лем , ко тор ы е в а ж н ы , но тр е б у ю т д олгого о б с у ж д е ­
ния и хорош о и зл о ж е н ы в к а к о м -л и б о р уковод стве, мы сочли
д о ст а т о ч н ы м д а т ь ссылки.
М ы счи таем особенно в а ж н ы м д л я и с с л е д о в а т е л е й зн а т ь
точную ф о р м у л и р о в к у условий, при ко т о р ы х с п р а в е д л и в ы ис­
по л ьзу е м ы е ими теорем ы . Ч а с т о м о ж н о встр ет и т ьс я с у т в е р ж ­
дением , что р е з у л ь т а т строго д о к а з а н ; ка к о й -л и б о к о н тр о л ь за
те м , что п о с т у л и р о в а н н ы е при д о к а з а т е л ь с т в е у с л о в и я у д о в л е т ­
в о р я ю т с я в р е а л ь н о й з а д а ч е , о тсутствует — а очень часто эти
у с л о в и я на с а м о м д е л е не вы п о л н я ю тс я . Т а к о е н е п р ав и л ь н о е
ис п о л ьзо в ан и е м а т е м а т и к и м о ж е т встр ет и т ьс я во многих р а з д е ­
л а х науки. С д р у го й стороны , многие р е з у л ь т а т ы ч ас т о д о к а ­
з а н ы при д остаточн ы х, но не н ео б хо ди м ы х усл ов и я х, и ученые
ко л е б л ю т с я, и с п о л ь з о в а т ь ли их, о ш иб очно п р е д п о л а г а я , что
усл о ви я необходи м ы . П о эт о м у мы будем часто д а в а т ь д о к а з а ­
т е л ь с т в а при бо лее об щ и х усл ов и я х, чем п р и н я ты е в более э л е ­
м ен т а р н ы х кур сах . О бе трудн ости в ы з в а н ы г л а в н ы м о б р а з о м
тем, что т ео рем ы р а з б р о с а н ы по м ногим к н и га м и с т а т ь я м , и
и с с л е д о в а т е л и не знаю т, что и где искать.
Эту книгу м о ж н о ч итать п о сл е д о в ат е л ьн о , но некоторы е ч а ­
сти вполне н е зав и си м ы от п р е д ш е с т в у ю щ е г о и зл о ж е н и я ; т а к и м
о б р а з о м м о ж н о и д а ж е пол езно и зу ч а т ь о т д е л ьн ы е г л а в ы п з '
р а л л ел ь н о .

В н екоторы х сл у ч а я х мы приводим теорем ы в частной ф о р м е
п еред более общ ей ф о р м у л и р о в к о й , если п о сл ед няя тре б у е т б о ­
лее сл о ж н о г о а н а л и з а . Э то особенно относится к с л у ч а я м , ко гд а
ч итатель, во зм о ж н о , встретится с неск о льк им и п р и л о ж е н и я м и
д л я частного вид а т еорем ы до того, к а к ему потребу ется бо лее
о б щ а я теорем а.
М ы со м н е в а л и с ь, стоит ли в к л ю ч а т ь г л а в у о теории ф ункций
д ей стви тел ьного переменного. О бы чно б олее полны е работы
т р ебую т сущ ественно б ольш его врем ени д л я чтения, чем то,
котор ы м р а с п о л а г а е т ф изик -теор етик . К с о ж а л е н и ю , в этих
р а б о т а х иногда с в о д я т в а ж н ы е т е ор ем ы к у зк о м у к л ассу или
н е эф ф е кт и в н о м у прим еру, или о п у ск а ю т их целиком.
В итоге мы реш и л и р а с с м о тр е т ь основны е методы этой т е о ­
рии, но не д о к а з ы в а т ь подробно к а ж д ы й р е з у л ь т ат ; о д н а к о
п о л а г а е м , что д л я студентов б у д е т полезно с а м и м з а п о л н и т ь
некоторы е п ро б ел ы в д о к а з а т е л ь с т в а х . Е сли студент почувсгвует трудн ости в д о ст и ж е н и и того у р о в н я а б с т р а к ц и и , на ко то ­
рый р а с с ч и т а н а б о л ь ш а я ч ас т ь этой г л а в ы , мы советуем ему
чит ат ь до п р ед ел а его в озм о ж н ос те й , а з а т е м п ерехо д ить к с л е ­
ду ю щ и м г л а в а м , в о з в р а щ а я с ь н а з а д по м ере необходим ости.
В конце концов он о б н а р у ж и т , что о д о л е л всю эту гл а в у ,
п р е ж д е чем окончит г л а в у 14, и что он з н а е т ее с о д е р ж а н и е и
п о н и м ает смысл.
М ы не см огли полностью и з б е ж а т ь с сы л ок на е щ е не
прочитанны й м а т е р и а л , но одно за б е г а н и е вперед, н а и б о л е е
серьезно е — д о к а з а т е л ь с т в о в гл. 12 теорем ы , что а л г е б р а и ­
ческое у р а в н е н и е /г-й степени имеет п корней, и с п о л ьзо в ан н о е
в гл. 4, н а с т о л ьк о о с в я щ е н о тради ц и ей , что неск ольк о менее
с е рьезны х за б е г а н и й вперед, нам , по-видимом у, м о ж н о п р о ­
стить.
О б о зн а ч е н и е сп е ц и ал ь н ы х ф ункц ий в н а с т о я щ е е вр ем я пе­
р е с та л о бы ть е д и н о о б р а зн ы м , что во многих о тно ш ен иях не­
удобно. Так, в кв ан тов о й м ехан и к е проводится п о л н ая за м е н а
определен ий, гарантир ую и ^ая н о р м а л и за ц и ю , но мы п о л а г а е м ,
что это всего л и ш ь з а м е н я е т с т ар ы е трудности новыми. Мы и з­
менили обы чное о пред ел ен ие ф ункции Л е ж а н д р а , чтобы о б е ­
спечить более сим м етричн ы й вид ф ор м у л и переход к ф у нкц иям

Б ессел я без д о п о л н и т е л ьн ы х численны х м но ж йтёл ей . Мы в е р ­
нулись к опред елен ию ф ункц ии Кп, д а н н о м у Х евисайдом , но
о б о зн а чи л и ее Khn- С р ед и д руги х пр еи м ущ еств, это у п р о щ а е т
ее с в я з ь с ф у н к ц и я м и Л е ж а н д р а 2-го род а. М ы т а к ж е о т к а з а ­
лись от о б о зн а ч е н и я Г д л я ф а к т о р и а л ь н ы х ф ункций, которое,
по-видимому, никем и не бы ло реко м ен д ов ан о .
Н еп о с р е д ст ве н н ы м стим ул ом к нап и сан и ю книги п о с л у ж и л а
то о б сто я тел ьство , что второе и зд а н и е книги «О п е р а ц и он н ы е
методы в м а те м а т и ч е ск о й ф изике», нап и сан н ой одним из нас,
не могло бы ть вы пущ ено. Б о л ь щ а я ч асть этой р а б о т ы б ы ла
и с п о л ьзо в ан а зд есь с д о б а в л е н и е м нек о тор ы х новых р е з у л ь ­
татов.
Г л а в а о дисперсии не по д х о д и л а к той книге, п оск оль ку она
р основном не з а в и с е л а от о п ерац и он н ого метода. О д н а к о мы
в клю чи ли ее, п о ск оль ку пон ятие групповой скорости у ж е о б су ­
ж д а л о с ь р а н е е в с в я зи с м етод ом на и ск о р е й ш его спуска. Теперь
она более естественны м о б р а з о м в о ш л а в г л а в у об а с и м п т о т и ­
ческих р а з л о ж е н и я х . В этой г л а в е опи сан ы нек ото ры е ш ироко
и сп ользуем ы е методы, сведен ия о ко то ры х р а з б р о с а н ы по о т ­
д ел ьн ы м стат ья м . Б о л ь ш а я ч асть р а б о т ы « Д е к а р т о в ы тензор ы »
т а к ж е вкл ю ч е н а в эту книгу. П р и л о ж е н и я по те р м о д и н а м и к е ,
с о д е р ж а щ и е с я в первой р а боте, к ги д р о д и н а м и к е и теории
упругости ц е л е с о о б р а зн е е р а с с м о тр е т ь в р у к о в о д с т в ах по этим
пред м етам .
М ы не п ы т а л и с ь р а с с м о т р е т ь в д е т а л я х к а ж д ы й р а з д е л ф и ­
зики; это з а д а ч а с п е ц и а л ь н ы х учебников.
М ы очень б л а г о д а р н ы многим д р у з ь я м за их п о д д е р ж к у
при на п и с а н и и этой книги. П р е ж д е всего мы д о л ж н ы п о б л а г о ­
д а р и т ь д -р а С м итиса, чья о г р о м н а я эр у д и ц и я б ы л а целиком
в н аш ем р а с п о р я ж е н и и ; он д а л неоц ен им ы е советы и в е л и к о ­
д уш н о помог при сверке. Н а ш д о л г — п ри зн ать, что в н ек ото­
рых м естах мы ш ли своим путем, несм отря на его строгие п р о ­
тесты.
Д -р М и л л е р особенно помог нам с гл. 9 и 23, а Б он ди —
с гл. 24. М ного ценных советов д а л и нам пр оф ессора Н ью м ан ,
О ф ф о р д , Р о зе н х э д , Т о р н б а л л , а т а к ж е Б ези ко ви ч , К а р т р а й т и
Долзелл.

Мы б л а г о д а р и м т а к ж е уни верси теты К е м б р и д ж а , Л о н д о н а
и М а н ч е с тер а за р а зр е ш е н и е и с п о л ь з о в а т ь в ка ч е с тв е пр и м еро в
э к з а м е н а ц и о н н ы е вопросы, и р а б о т н и к о в и з д а т е л ь с т в а К е м ­
б р и д ж с к о г о у ни в ер си тета за их в н и м а н и е к книге и их г о т о в ­
ность идти н а встр ечу п о ж е л а н и я м д о в о л ь н о пе д а н т и ч н ы х а в ­
торов.
Г а р о л ь д Дж еффрис
Берта Д ж е ф ф р и с
1946 г.

Г л а в н ы е р а з д е л ы к а ж д о й г л а в ы н у м е р о в а н ы в д есятич ной
систем е с ш аг о м 0 ,0 1 ; п о д р а з д е л ы п о к а з а н ы следуюш,ими д е ­
ся ти чн ы м и ч ислам и. К о гда текст р а з д е л а или п о д р а з д е л а п ро ­
д о л ж а е т п р ед ы ду щ ий , н у м е р а ц и я у р ав н е н и й т а к ж е п р о д о л ­
жается.
И сточники, из которы х в зя т ы пр и м еры , п о к а з а н ы с л е д у ю ­
щ им и с о к р а щ е н и я м и :
М. Т.
М. Т., Sched. В.
P re lim .
М /с, III
1. С.

M a th e m a ti c a l
T rip o s,
P art
II a n d
S c h e d u le A.
M a th e m a tic a l T rip os, P a r t III a n d
S ch e d u le B.
P r e l i m i n a r y E x a m i n a t i o n in M a t h e m a ­
tics.
M a n c h e s te r, F in a l H o n o u r s in M a t h e ­
m a tic s.
Im p e r ia l C o lle g e , L o n d o n .

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ПЕРЕМЕННОЕ

в прошлые времена
мелкую рыбешку.

очень любили

Д ан и эль Ч андлер Х аррис
*.Сказки дядю ш ки Римусат>

1.01 О т н о ш ен и е м а т е м а т и к и к ф изик е. П ро с т ей ш ее м а т е м а ­
тическое п он ятие — это понятие числа. Ч и сл о — это свойство,
о б щ е е д л я всех кл а с с о в, ко торы е могут бы ть поставлен ы друг
д р у гу в с о ответствие путем со п о с т а в л е н и я их эл е м е н тов (по
од ном у из к а ж д о г о к л а с с а ) , т а к что все эл ем ен ты о б р а з у ю т
п ары и ни одного л и ш н ег о не остается. И с х о д я из этого о п р е ­
д ел е н и я , мы м о ж е м п р и д а т ь смысл основным о п е р а ц и я м —
с л о ж е н и ю и у м н о ж ен и ю . Р а с с м о т р и м д в а к л а с с а с ч исл ам и а
к Ь, у кото ры х отсу тствую т об щ и е члены. С у м м а а и Ь — это
число к л а с с а , с о с то я щ е го из всех эл е м е н т о в обоих классов,
взя т ы х вместе. П р о и зв е д е н и е а п Ь р а в н о числу все во зм о ж н ы х
пар эл е м е н т о в, в зя т ы х по од но м у из к а ж д о г о к л а с с а . Мы не
всегда м о ж ем п р и д а т ь см ы сл вы чи тан ию и д ел ен ию , потому
что, н а п р и м е р , мы не м ож ем най ти к л а с с а с числом 2— 3
или Vs- Н о о к а з ы в а е т с я очень уд о б н ы м р а с ш и р и т ь понятие
числа т а к, чтобы оно в к л ю ч а л о о т р и ц а т е л ь н ы е числа, о т н о ш е ­
ния чисел (н е за в и с и м о от того, п о л о ж и т ел ь н ы е они или о т р и ­
ц а т е л ь н ы е ) и д а ж е и р р а ц и о н а л ь н ы е числа. П о с т у п а я таки м
о б р а з о м , мы с м о ж е м д а т ь о п р е д е л ен и е всем четы рем основным
а р и ф м е т и ч е с к и м д ей с тв и ям , и р е з у л ь т а т их вы пол нен ия всегда
б у д е т в ы р а ж е н числом. Н а м не нуж но б о льш е беспокоиться
о том, во зм ож но ли некоторое дей стви е внутри частного мно­
ж е с т в а чисел; мы з н а е м , что оно с т ан е т в о зм о ж н ы м , к а к только
мы п р и д а д и м д о ст а т о ч н у ю об щ н о сть понятию числа. П о к а мы
имеем д е л о с основн ы м и о п е р а ц и я м и , мы м ож ем п о л ьзо в а т ься
а л г еб р о й , т. е. мы м о ж е м д о к а з ы в а т ь ф о р м у л ы , котор ы е будут
верны при п о д ста н о в к е в них вместо сим вол ов л ю б ы х чисел,
с одним л и ш ь исклю чением , а именно мы не д о л ж н ы д ел и ть
на 0.
К р о м е того, ф о р м у л ы могут о статься верны м и, если з а м е н я т ь
в них б уквы не числ ам и , а ч ем -нибудь д руги м . И м е н н о этому
м а т е м а т и ч е с к а я ф и зи к а о б я з а н а своими в о зм о ж н о с тя м и . П о ­
этом у п о л езн о зн а т ь , при каких усл овиях м о ж н о перенести

п р а в и л а а л г еб р ы в д ругую о б л а с т ь, где им ею т д ел о не только
с числам и. Н а м при дется тогд а п р и д а т ь новый смысл основным
ог!с,;ациям и зн а к у « = » (или в о с п о л ь зо в а т ь с я тем, что с д е л а н о
д л я нас д р у г и м и ) , но так, чтобы этот новый см ы сл п о зво л я л
по-старо м у о п е р и р о в а т ь с с и м в о л а м и . П о д х о д я щ и й наб ор у с л о ­
вий т а к о й * ) . Мы говорим, что эл ем ен ты систем ы о б р а з у ю т
поле F, если:
1) а + Ь н аЬ я в л я ю т с я о д н о зн а ч н о о п р е д е л ен н ы м и э л е м е н ­
та м и из F д л я л ю б ы х а, Ь из п о л я F\
2 ) Ь + ,а = а Л- Ь (ко м м у т а ти в н ы й з а к о н с л о ж е н и я ) ;
3) {а + Ь ) - \ - с = а { Ь + с) (а с с о ц и а т и в н ы й за к о н с л о ж е ­
н и я);
4) Ьа = аЬ (к о м м у т а ти в н ы й за к о н у м н о ж е н и я ) ;
'
5) а ( Ь с ) = (а Ь )с (а с с о ц и а т и в н ы й за к о н у м н о ж е н и я ) ;
6 ) а{Ь + с) = аЬ + ас (д истр и бутивн ы й з а к о н ) ;
7) имеется д в а эл е м е н т а О и 1 в поле F, т а к и е, что а + 0 = а,
о 1 = а;
8 ) д л я всякого эл е м е н т а а из f с у щ еств ует эл е м е н т х из F,
т а к о й , что а + X = О',
9) д л я к а ж д о г о эл ем ен та а из F, кр ом е О, сущ е с т в у е т э л е ­
мент у из F, такой, что а у = I.
С л е д у е т о б р а т и т ь в н и м ан и е на то, что пер вы е сем ь п р а ви л
с п р а в е д л и в ы , если F состоит то л ь к о из по л о ж и т ел ьн ы х целы х
чисел и О, а последние д в а п р а в и л а д л я т а к о г о F н е с п р а в е д ­
ливы , п оск оль ку в этом F нет т а к о г о целого > О, что а + х = 0.
если а = 1, и нет т а ко го целого у, которое д а е т а у = \, если
0 = 2. В осьм ое п р а в и л о в во д ит о т р и ц а т е л ь н ы е числа и, с л е д о ­
в ател ьн о, вы читание. Д е в я т о е п р а в и л о вводит о б р а т н ы е в е л и ­
чины и отсю д а д ел е н и е и р а ц и о н а л ь н ы е дроби. Эти п р а в и л а
с п р а в е д л и в ы , если F состоит из всех р а ц и о н а л ь н ы х чисел, п о ­
л о ж и т е л ь н ы х или о тр и ц ател ьн ы х .
С ф о р м у л и р о в а н н ы е п р а в и л а не у с т а н а в л и в а ю т ка к о го -л и б о
отнош ен ия п о р я д к а , т. е. хотя они п р е д п о л а г а ю т понятие р а в е н ­
с тва и, с л е д о в а т е л ь н о , н е р а в е н с т в а ( ^ ) , они не в в о д я т понятия
« больш е» или «м еньш е». М ы м огли бы у п о р я д о ч и ть числа л ю ­
бым способом, со х р а н и в соотнош ен ия м е ж д у ними, согласн о
усл о ви я м 1, 7— 9, и п р а в и л а о с т ал и сь бы п о -п р еж н е м у верны.
В а л г е б р е и чистой геом етрии е щ е м ож н о об ойтись без п о н я ­
тий «больш е» или «меньш е», но ни в вы сш ей м а те м а т и к е, ни
в ка к ой бы то ни б ы ло о т р а с л и ф изик и это нев озм о ж н о. И з м е ­
рение не есть ус т ан о вл ен и е точного р а в е н с т в а, а у с тан о вл ен и е
*) Впервые он установлен Д едек ин дом для случая, когда знаки «-1-»
и « X » обладаю т своими обычными арифметическими значениями; в общем
виде эти условия сформулированы X. Вебером.

р а в е н с т в а в п р е д е л а х о п р ед ел ен но й погреш ности. П о это м у
н у ж н ы новы е п р а в и л а , к а с а ю щ и е с я нер а ве н ств , а именно:
10) д л я л ю б ы х а, Ь в поле F с п р а в е д л и в о а > Ь, а = Ь или
Ь > а (за ко н с р а в н и м о с т и );
11) д л я д а н н ы х а, Ь в поле F м о ж е т бы ть с п р а в е д л и в о
т о л ь к о одно: а > Ь , а = Ь, Ь > а (т р и х о т о м и я );
12) если а > Ь , а Ь > с , т о гд а а > с (свойство т р а н з и т и в н о ­
с т и );
13) если а > Ь, то гд а а + с > Ь + с д л я л ю б ого с ( а д д и т и в ­
ность у п о р я д о ч е н и я );
14) если а > Ь, с > О, то ас > Ьс (м у л ь т и п л и к а т и в н о с т ь у п о ­
ряд о ч ен и я ) ;
15) если а > Ь, то Ь < а (о п р е д е ле н и е з н а к а < ) .
И с п о л ь зо в а н и е м а т е м а т и к и в н а у к е — это и с п о л ьзо в ан и е
я з ы к а , при помощ и которого мы м о ж е м у с т а н а в л и в а т ь соотно­
ш ения, с л и ш ком с л о ж н ы е , чтобы их м о ж н о б ы ло д о стато чн о
к р а т к о о пи сать о бы чны м я зы ко м . П р а в и л а , кото ры м подчи­
няю тся сим волы , — г р а м м а т и к а т а к о г о я з ы к а . В п осл ед ние годы
эта то ч к а зр е н и я п о л у ч и л а с у щ е с т в е н н о е р а зв и т и е, в особенности
в т р у д а х К а р н а п а . Н о д л я того чтобы б ы ть пригодны м , язьп<
д о л ж е н у д о в л е т в о р я т ь д в у м у сл ов и я м . Он д о л ж е н бы ть таким ,
чтобы с его по м ощ ью м о ж н о б ы ло с к а з а т ь то, что нуж но , т. е.
он д о л ж е н о б л а д а т ь д о ста точн ой общ н остью . Он т а к ж е д о л ж е н
б ы ть неп ро ти во реч ивы м , т. е. исходя из с ам и х п р а в и л нел ьзя
вы вести ч то-либо со гл ас н о этим п р а в и л а м я в л я ю щ е е с я л о ж н ы м .
Н а у ч н о е и с п о л ьзо в ан и е м а т е м а т и к и б ы ло бы нев о зм о ж н о , если
бы с ее пом о щ ью м ож н о было, н а п р и м ер , д о к а з а т ь д л я какихто а и 6 , что а о д н ов рем ен н о и б о л ь ш е и м еньш е Ь. В п л о ть до
ко н ц а XIX в. сч и та л о с ь с а м о собой р а з у м е ю щ и м с я , что м а т е м а ­
т и к а неп роти воречива. Н о з а т е м н е о ж и д а н н о возни к р я д т р у д ­
ностей, у к а з а в ш и х на нео б х оди м о сть гл у бокого а н а л и з а основ.
В известной книге « P r i n d p i a M a th e m a tic a » У а й тх ед и Р а с с е л
по к а за л и , что м а тем ати ч еск и е у т в е р ж д е н и я о в ещ ественны х чис­
л а х (и не только об отн ош ен и я х ц е л ы х чисел, к а к п о л о ж и т е л ь ­
ных, т а к и о т р и ц а т е л ь н ы х ) м о ж н о с ф о р м у л и р о в а т ь по-иному,
к а к п р ед л о ж е н и я об э л е м е н т а р н о м понятии соответствия к л а с ­
сов (которое у с т а н а в л и в а е т с я с о п о став лен и ем их эл е м е н т о в ), и
что их м о ж н о вы вести из акси ом та к о г о со п о ст а вл е н и я и аксио.м
чистой логики.
В п осл ед у ю щ их р а б о т а х нек оторы е из логических аксиом
б ы ли м о д и ф и ц и р о в а н ы ; наи лу ч ш и й в ы б о р аксиом все е щ е я в ­
л я е т с я пред м ето м дискуссии. Е щ е позд нее Г ё д ел ь и К а р н а п по­
к а з а л и , что неп роти вореч ивость д ан н о й системы м а те м а т и ч е ск и х
а кси о м не м о ж е т б ы ть д о к а з а н а м ето д ам и , и сп ользу ю щ и м и
то л ь ко п р а в и л а д ан н о й системы. М ы вы н у ж д е н ы в о з в р а щ а т ь с я
2

За к. 231

К чему-то, что в конечном счете подобно об ы чном у я зы ку , когда
мы хотим говорить о м атем ати к е! В этой о б л а с т и , к о то ра я
я в л я е т с я п р ом е ж у то ч н о й м еж д у л огикой и тем, что мы обы чно
н а з ы в а е м эл е м е н т а м и м ате м ат и к и , имеется о б ш и р н а я с о в р е ­
м ен н ая л и т е р а т у р а , и ф и з и к а м с л е ду ет з н а т ь о ее с у щ е с т в о в а ­
нии, хотя ее подро бн о е изучение — д ел о с п еци али сто в.
1.02.
Ф изические величины. О б щ н о с т ь требует, чтобы в л ю ­
бой конкретной о б л а с т и я зы к с о д е р ж а л сим вол ы д л я вещ ей,
о которы х нам при ходи тся говорить, и с и м во л ы д л я процессов,
которы е мы в ы пол няем . П ас т у х о к а з а л с я бы в к р а й н е з а т р у д н и ­
т ельн ом по л о ж ен ии, если бы ем у п р и ш л о сь о п е р и р о в а т ь я з ы ­
ком, не с о д е р ж а щ и м слов «овца» и « с т р и ж к а » , по сути д е л а
ему п р и ш л ось бы в ы д у м а т ь эти сл ов а ; именно это мы и д е л а е м
в науке. П о к а я з ы к п р е д с т а в л я е т собой стройную систему, он
н и сколько не с тан ов и тс я х у ж е от того, что в нем есть м н о ж е ­
ство слов, которы м и мы не п о л ьзуе м с я . Ч и сты й м а те м а т и к ,
с п е ц и а л и зи р у ю щ и й с я в о б л а с т и теории чисел, м о ж е т и с п о л ьзо ­
в а т ь обы чную а л г еб р у , н е с м о т р я на то, что он, в о зм о ж н о , не
н у ж д а е т с я в и с п о л ьзо в ан и и о т р и ц а т е л ь н ы х чисел и д робей. Д л я
него п р а в и л а 8 и 9 я в л я ю т с я соверш ен но н е о б я з а т е л ь н ы м о б ­
общ ени ем . В н а с т о я щ е е врем я в ф и зи к е ф у н д а м е н т а л ь н о е по­
нятие изм ер ен и я б л и зк о понятию с л о ж е н и я , а б о л ь ш и н с т в а
ф и зич еских з а к о н о в суть у т в е р ж д е н и я о п р оп ор ц и он а льн ос ти ,
что со ответствует п о н ят и я м у м н о ж е н и я и д ел ен и я . В этом, в ко­
нечном счете, и п о л ьза м а тем а т и к и . Т ак, н ап р и м ер , если д в а
с т е р ж н я р а с п о л о ж е н ы т а к и м о б р а з о м , что они о б р а з у ю т один
п р ям о й с т ер ж е н ь, то д л и н а с о с та вн о го с т е р ж н я я в л я е т с я с у м ­
мой д ли н дву х п е р в о н ач а л ь н ы х . Это не т е о р ем а и не эк с п е р и ­
м е н т а л ьн ы й ф а к т , это оп р ед ел ен и е с л о ж е н и я д л я длин. К р о м е
того, б е з р а з л и ч н о , како й из с т ер ж н е й в зя т первы м , т. е. в ы п о л ­
няется зак о н ко м м у т ати в н о с т и с л о ж е н и я . Д а л е е , если мы о б ъ ­
единим три ст е р ж н я , то о б щ а я д л и н а не з а в и с и т от порядка,^
с л е д о в а т е л ь н о , в ы п о л н я е т с я закон ассо ц и ати в н ости с л о ж е н и я .
Это эк с п е р и м е н т а л ь н ы е ф ак т ы , у с т а н а в л и в а е м ы е с р а в н е н и е м
с тер ж ней. Этих п р а в и л достаточно, чтобы о б о сн о в а ть и с п о л ьзо ­
в а н и е м а с ш т а б о в при изм ерени и дли ны ; при и зм ер ени ях л ю б а я
д л и н а с р а в н и в а е т с я со с т а н д а р т н о й при пом ощ и м а с ш т а б а ,
к а ж д о е делен ие которого с р а в н и в а л о с ь со с т а н д а р т н ы м п р е д ­
метом во в рем я изго то в л ен и я м а с ш т а б а . Величины, которы е
м о ж н о изм е р и ть посредством ф изич еско го с л о ж ен и я , К эм п бел
н а з в а л о с н о в н ы м и в е л и ч и н а м и * ) . Н а и б о л е е в а ж н ы е из них —
числа ( к л а с с о в ), д л и н а , в рем я и м асса; что ж е к а с а е т с я п р о­
*) Лучше было бы назвать их «элементарными».

цессов ф изического с л о ж е н и я , то их м о ж н о т а к ж е ввести д л я
п л о щ а д и и о б ъ е м а , д л я эл ектри ч еско го з а р я д а , п о т е н ц и а л а и
тока, а т а к ж е д л я многих д ру ги х величин.
У т в е р ж д е н и е « р а сс то я н и е р а в н о 3,7 см» с о д е р ж и т число и
ед и н и ц у и зм ерени я. Ч а с т о п о л аг а ю т , что а л г е б р а прим еним а
л и ш ь к ч и с л ам и п оэтом у в м а те м а т и ч е ск о й т р а к т о в к е символ
д л я о б о зн а ч е н и я р а с с т о я н и я относится л и ш ь к 3,7, а не к с а н т и ­
м е т р а м . Е д ини цы сущ ественны , в противн ом с л у ч а е о к а з а л о с ь
бы , что 10 м м — это не т а к а я ж е д л и н а , к а к 1 сж, а 1 см и
1 м и л я — одно и то же. А это противо реч ит ф изике, т а к к а к
еди н ст ве н н ы м об о сн ов а н и е м и зм е р ен и я я в л я е т с я п р я м о е ф и ­
зич еское с р а в н е н и е н а л о ж е н и ем . М ы об ойдем эту трудность,
если у сл ов и м ся , что сим вол д л я о б о зн а ч ен и я д ли н ы относится
к сам ой длине, а не просто к числу, в х о д я щ е м у в ее изм ерение.
Н а п р и м е р , «1 д ю й м = 2,54 см» — по л езн ое у т в е р ж д е н и е : к а к
1 дю йм , т а к и 2,54 см — сим волы , о б о з н а ч а ю щ и е одну и ту ж е
длину. П р и ко н кр е т н ы х и зм е р е н и я х мы, естественно, в ы р а ж а е м
ф а к т и ч ес к у ю велич ину сим в о л ов с пом ощ ью и м е н о в а н н ы х ч и ­
сел, что в к л ю ч а е т у с т ан о в л ен и е еди ниц изм е ре н и я ; о д н а к о
в общ ей теории еди ниц ы и зм е р е н и я б ез р аз л и ч н ы . П р и т ак о м
по д х оде м о ж н о с к а з а т ь , что с и м в о л ы о б о з н а ч а ю т не числа,
а ф изич еские величины.
С д ру гой стороны , м о ж н о считать, что си м во л ы — числа.
Т о гд а м о ж е т во зн и кн у ть и в о зн и к а е т пу т а н и ц а , ко гд а в одной
си стем е п р о и зв о д я т и зм е р ен и я в р а з н ы х единицах, п о-ра зн ом у
в ы р а ж а ю щ и х одно и то ж е, и в р а з н ы х с и ст е м ах — в о д и н а к о ­
вы х еди ниц ах, в ы р а ж а ю щ и х р а з н ы е вещи. И з м е р я т ь высоту
в я р д а х , д л и н у в ф у т а х и гл у б и н у в м орских с а ж е н я х не
только неп о сл е д о в а те л ьн о , но и нелепо. П р и д о л ж н о м с т ар а н и и
этот способ м о ж н о и с п о л ь з о в ат ь п р а в и л ьн о , но он с т р а д а е т не­
ко т о р ы м и н е д о с та т к а м и ; в частности, п р и д а е т с я с л и ш к о м б о л ь ­
ш ое зна ч е н и е е д и н и ц а м и м а л о е основн ы м ф изич еским с р а в н е ­
ни ям , без котор ы х эти единицы б ы ли бы бесполезны . Он т а к ­
ж е н а в о д и т на р я д сравнени й, бессм ы сленны х, к а к мы сейчас
увидим , с точки зр е н и я ф изики.
Е с л и мы и сп о льзуем пон ятие (ф изич еской) в еличины и п р и ­
м еним ал геб р у , нем е д ле н н о возни кн ет вопрос, что мы п о д р а з у ­
м е в а е м под а = Ь и а + Ь, если а — д л и н а , а Ь — в р е м я или
м асса. М о ж н о п р и д а т ь знач ение с ум м е а + Ь, хотя оно будет
очень искусственны м , но в ы р а ж е н и ю а = Ь не л ьзя п р и д а т ь ни­
ка к о го ф изического с м ы сла. Н а п р о т и в , в ы р а ж е н и е ajb будет
о з н а ч а т ь соответственно скорость или д ли н у на е ди ниц у м ассы .
Группа п р а в и л 10— 14 н у ж д а е т с я поэтому в м о ди ф и кац и и .
П р а в и л а 1— 9 м о ж н о не изм ен ять, хотя они в во д ят много с о в е р ­
шенно не н у ж н ы х сл о ж е н и й и вы читаний, а т а к ж е , во зм о ж н о ,

ум н о ж ен и й и делений. В д о б а в л е н и е к трем в о зм о ж н о с т я м ,
пр е д у с м о тр е н н ы м п р а в и л о м 10, н у ж н о д о б а в и т ь четвертую :
а W Ь могут б ы ть н е ср а в н и м ы и, с л е д о в ат е л ь н о , п р и н а д л е ж а т ь
р а з н ы м полям , а их про и зведени е и отнош ение в свою очеред ь
п р и н а д л е ж а т ь д р уги м полям . Это ещ е один н е д о с та т о к и с п оль­
зо в а н и я сим волов, о б о зн а ч а ю щ и х то л ь к о числа, в х о д я щ и е в и з ­
мерение. П о с к о л ь к у все числа ср ав н и м ы , этот я з ы к не о т р а ж а л
бы того ф а к т а , что б ессм ы сл енно говорить, б у дто в р е м я б о л ь ш е
плотности. Т е п е р ь мы м о ж е м т а к ж е с к а з а т ь , что если а и 6 н е­
ср а в н и м ы , 1 0 а + Ь не я в л я е т с я ф изической величиной, и с к л а ­
д ы в а т ь их не надо.
Т а к и м о б р а з о м , поле всех ф и зи ч ески х величин р а з б и в а е т с я
на к л а с с ы ( д е л я н к и ). Величины , п р и н а д л е ж а щ и е о д ном у классу,
с р а в н и м ы м е ж д у собой, но их про и зве д е н и е п р и н а д л е ж и т д р у ­
гому к л ассу , если т о л ь к о один из с о м н о ж и те л е й не я в л я е т с я
числом.
В этом я зы к , необ ходи м ы й д л я ф изики, не вполне с о в п а д а е т
с о бы чной а л геб рой . Н о т а к к а к а л г е б р а я в л я е т с я н е п р о ти в о р е ­
чивой системой, а у т в е р ж д е н и е неср а вн и м о ст и н екоторы х в е л и ­
чин л и ш ь и с к л ю ч а е т из нее н ек о то ры е п р е д л о ж е н и я , не д о б а в ­
л я я новых, то этот я з ы к т о ж е непротиворечив. М ы увид им , что
м о д и ф и к а ц и я соответствует пон ятию р а зм е р н о с т е й . Величины
р а з л и ч н ы х р а з м е р н о с т е й не с р ав н и м ы ; т а к ж е н есрав н и м ы н е к о­
тор ы е величины о д и н а к о в о й р азм е р н о с т и . Н а п р и м е р , при ис­
по л ьзо ва н и и нек ото ры х опред ел ен ий эл е кт р и ч е с ки й з а р я д и
«м агнитны й з а р я д » им ею т о д и н а к о в у ю р а зм е р н о с т ь , и хотя они
я в л я ю т с я основн ым и вел ич инам и, с к л а д ы в а т ь их бессмысленно.
М о ж н о считать, что поле ф и зи ч ески х величин у д о в л е т в о р я е т
з а к о н а м ал геб р ы , но со с л еду ю щ е й оговоркой. С р а в н и м ы е в е ­
личины у д о в л е т в о р я ю т усл о вию 10, и их м о ж н о с к л а д ы в а т ь (по
к р а й н е й м ере при в ы ч и с л е н и я х ), а н е с р а в н и м ы е н ел ьзя . С л е ­
дует, од н а ко , отм етить, что н е в о зм о ж н о сть с л о ж е н и я с по­
м ощ ью ф изического п р оц есса не св оди тся к не с р а вн и м ы м в е л и ­
чинам . Н а п р и м е р , нет процесса, п о зв о л я ю щ е г о из дву х вещ еств
с пл отностью 1 ejcM^ получить в е щ е с тво с п лотностью 2 г!см^.
П л о тн о с ть и зм е р я е т с я не непосредственно, а вы чи с л яе тс я ч ерез
основны е величины м ассы и дли ны . О н а н а з ы в а е т с я п р о и з в о д ­
н о й в е л и ч и н о й . Н е к о т о р ы е величины м огут бы ть к а к о сновным и,
т а к и п рои зводн ы м и. Н а п р и м е р , эл ектр и ч ески й ток, и зм е р я е м ы й
по его м агн и тн ом у действию , я в л я е т с я основной величиной,
а р а с с м а т р и в а е м ы й к а к з а р я д , п р о х о д я щ и й ч ерез сечение п р о ­
в о д н и к а за еди ниц у времени, — производной. М ногие п р о и зв о д ­
ные величины я в л я ю т с я о тнош ен иям и дву х величин о д и н а к о ­
вой р азм ерн ости . Н а п р и м е р , ф о р м у т р е у го л ь н и к а м о ж н о з а д а ­
вать д в у м я отн ош ен и ям и — к а ж д о й из д в у х сторон к третьей.

Эти отнош ен ия — просто числа, и п р а в и л а а л г е б р ы п р и м ен и м ы
к ним без изм енений *).
1.03.
Д е й с т в и т е л ь н ы е числа. Б о л ь ш а я ч асть этой г л а в ы б у ­
д ет и звестна тем, кто и зучил к а к у ю -н и б у д ь со врем енну ю к н и гу
по а н а л и зу ; эта г л а в а и не претендует на соперничество с о б ы ч ­
ными р а б о т а м и по чистой м а те м а т и к е. О д н а к о мы п о л а г ае м ,
что нек ото ры е о б с у ж д е н и я б удут зд есь ум естн ы по неск ольк им
причинам . В о-первы х, чисто м а те м а т и ч е с к и е р а б о т ы не у д е л я ю т
достато чн о го вн и м ан и я вопросу, почему в ы б р ан н ы е ар гум ен ты
с в я з а н ы с ф изикой, а п оэтом у ф и зи к и пр е д п о ч и т аю т п о л а г а ть ,
что эти ар гу м е н т ы не с в я з а н ы с ф изикой. В о-вторы х, эти книги
неред ко б ы в аю т т а к и е толсты е, что тру д н о винить ф и зи к а , к о ­
торы й р еш а е т , что у него нет врем ени, чтобы п р о р а б о т а т ь их.
В-третьих, вни м ан ие, которое у д е л я е т с я очень с т р ан н ы м ф у н к ­
циям , ведет к тому, что р а с с м а т р и в а е т с я к а к бы п а т о л о г и я
ф ункций. Д е л о в том, что в с я к а я ф у н кц и я , кр ом е к он стан ты ,
им еет особенности, и изучение этих особенностей м о ж е т д а т ь
н ам в а ж н ы е к он стру к ти в н ы е р е зу л ь т а т ы , котор ы е очень труднопол уч ить к а к -л и б о по-другом у. О д н а к о м о ж н о считать, что мы —
п р а к ти ки , и огр а н и ч и т ьс я р а с с м о тр е н и е м особенностей, вс т р е ­
ч аю щ и х с я в ф изике, а р е д к и е исклю чен ия п р е д о с та в и м и с с л е ­
д о в а т ь с п е ц и а л и с та м , в этом сл у ч а е м а те м а т и к ам -п р о ф е с с и о на л а м .
С у щ е ст во п р о б л е м ы п р о я в и л о с ь в т е о р ем е Е в к л и д а о том,
что отнош ен ие гипотенузы к ка т е т у в р а в н о б е д р е н н о м п р я м о ­
у г ол ьн ом т р еу го л ьн и к е не ра в н о ни какой р а ц и о н а л ь н о й дроби.
Е в к л и д , об этом с л е ду е т помнить, не и с п о л ь з о в ал того, что мы
те п е р ь н а з ы в а е м числен ны м и зм е ре н и е м ф и зи ч е с ки х величин.
К о г д а он говорил, что д в а о т р е з к а р а в н ы , он п о д р а з у м е в а л ,
что при н а л о ж е н и и они совпад ут; это п р я м о е ф изич еско е с р а в ­
нение, не ис п ользую щ е е числового о п и сан и я дли ны . К о г д а он
говорил, что к в а д р а т гипотенузы р а в е н у д в оен н о м у к в а д р а т у
к а т е т а , то п о д р а з у м е в а л , что к в а д р а т со стороной, ра в н о й гипо­
тенузе, м о ж н о р а з р е з а т ь на части так, чтобы из них получилось
д в а к в а д р а т а со стороной, р а вн о й катету. Он повсю ду р а б о т а л
с са м и м и к ол и честв ам и , а не с ч и сл ам и , с о о тв етству ю щ и м и им
при изм ер ени и в к а к и х -л и б о с п е ц и а л ь н ы х единицах. Т е ор ем а
Е в к л и д а п о к а зы в а е т , что я з ы к р а ц и о н а л ь н ы х чисел непригоден
д л я о д новрем енного о пи сан ия д ли н к а т е т а и гипотенузы т р е ­
у г о л ьн и к а , что л егко м о ж н о вывести из п р а в и л его геометрии.
И з м е р е н и е с пом о щ ью еди ниц — сл и ш ко м по лезны й спо­
соб, чтобы л егко от него о т к а з ы в а т ь с я . Е го м о ж н о со х р а н и т ь
*) П одобная трактовка принадлежит С троуду. Дальнейш ее обсуж д ен и е
и вопросы преподавания см. в [I].

с о г л ас о в а н н о с теорем ой Е в к л и д а одним из с л е д у ю щ и х спо­
собов:
1) П о с к о л ь к у м о ж н о най ти бесконечное число пар целы х
чисел X, у , у д о в л е т в о р я ю щ и х у р а в н ен и ю х - + у'^ = z^, где z —
целое число, причем так, чтобы x j y бы ло сколь угодно б л и зк о
к единице, то мы м о ж е м п р е д п о л о ж и ть, ч т о стороны п р я м о ­
угол ьного т р е у го л ь н и к а в точности у д о в л е т в о р я ю т соотнош ению
+ ^2 = 22 Н о р а в е н с т в о х = у в ы п о л н я е т с я л и ш ь п р и б л и ­
ж ен н о с точностью до ош иб ки и зм ерени я, а стороны всегда
с о и зм е р и м ы (я в л я ю т с я точным и к р а т н ы м и некоторой о п р е д е ­
ленной д л и н ы ) .
2) М ы могли бы с к а з а т ь , что x j y точно р а в н о единице, а
у р а в н е н и е х'^ + у"^ =
в ы п о л н я ет с я п р и бл и ж ен н о .
3) М о ж н о с к а за т ь , что я з ы к р а ц и о н а л ь н ы х чисел н е д о с т а ­
точно полон и н уж ен более полный язы к, в котором р а в е н с т в а
X = у , х^ + у^ = z^ в ы п о л н я ю тс я о д н ов рем ен н о и н е п р о ти в о р е ­
чивы. П о с л е д н я я а л ь т е р н а т и в а и б ы л а п р и н я та п овсем естн о в
р е з у л ь т а т е в в е д е н и я в а р и ф м е т и к у и р р а ц и о н а л ь н ы х чисел. О на
не про тиво реч ит а к с и о м а м Е в к л и д а ; п е р в а я а л ь т е р н а т и в а п р о ­
т иво речи т им, т а к к а к Е в к л и д п р е д п о л а г а е т , что о тр е зо к прямой
м о ж е т иметь л ю б у ю д лину; в т о р а я ж е а л ь т е р н а т и в а п р о т и в о ­
речит од ном у из н а и б о л е е известны х следствий этих аксиом.
Э к с п ер и м е н т а л ь н о д о к а з а т ь с п р а в е д л и в о с т ь вы б р ан н о й а л ь ­
т е р н а ти вы н ел ьзя , потому что п р а в и л а 1 и 2 могли бы бы ть
с п р а в е д л и в ы в п р е д е л а х о ш и б о к изм ер е н и я , д а ж е если бы мы
п ри няли, что X, у , Z — то л ь к о цел ы е числа. Н о все н ем ы слим о
у с л о ж н и л о сь бы, и д л я того чтобы п р и н я ть одну из перв ы х 'а л ь ­
т ер н ати в , п о т р е б о в а л о с ь бы не т о л ь к о п р и н я ть некий н е и зв е ст ­
ный и н е о п р ед е л я ем ы й эт а л о н (такой, что в с я к а я истин ная
д л и н а п р е д с т а в л я е т точное к р а т н о е этого э т а л о н а ) , но и о т к а ­
з а т ь с я от простоты п р ав и л Е в к л и д а без эк с п е р и м е н т а л ь н о о б о ­
с н о в а н н ы х причин. В ф и зи к е обычно пр и н и м аю т а л ь т е р н а т и в у
3 и с о зд аю т д о ст а т о ч н о общ ий язы к. М ы ввод им действитель­
н ы е ч и с л а и п р е д п о л а г а е м , что к ним м о ж н о п р и м е н я ть с л о ж е ­
ние, вы чи тан ие, у м н о ж ен и е и д елен ие, причем в ы п о л н я ю тс я те
ж е основные п р а в и л а , что и д л я р а ц и о н а л ь н ы х чисел, и м о ж н о
ввести отнош ение п о р я д к а , у д о в л е т в о р я ю щ е е п р а в и л а м 10— 15.
Д е й с т в и т е л ь н ы е ч и с л а от л и ч аю тс я от р а ц и о н а л ь н ы х чисел тем,
что о б л а д а ю т неким свойством полноты, которое о б ^ п е ч и в а е т ,
н а п р и м е р , су щ е с т в о в а н и е д ей с тв и те л ьн ого ч и с л а | ^ 2 , к в а д р а т
которого р а в е н 2. О т н ю д ь не очевидно, что это м о ж н о с д е л а т ь
б ез противоречий (и в течение 2000 л ет п о л а г а л и , что д е й с т в и ­
те л ьн ы е числа б е с с м ы с л е н н ы * ) ) , но в XIX в. и с с л е д о ва н и я Д а *) Отсю да и название «иррациональные числа».

д е к и н д а , К а н т о р а и других у стан о вил и при м ен им ость и в о з­
м о ж н о ст ь п р ак ти ческого и с п о л ьзо в ан и я д ей с тв и те л ьн ы х чисел.
Д л я наш их целей вполне д о стато чн о этого о б о сн о в ан и я . О д н а к о
логическое о б осн ов а н и е вкл ю ча ет р а сс м о тр ен и е бесконечных
совокупностей. В д ей ств и тел ьно сти очевидно, что оцен ка
с пом о щ ью извл еч ения корня или методом п о сл ед о в ател ьн ы х
п р и б л и ж е н и й к непреры вной д роби, если п ро и зв едено конечное
число ш аго в, м о ж ет д а т ь то л ь к о р а ц и о н а л ь н о е число. Д л я того
чтобы п р и д а т ь 1 /2 точное числовое значение, необ хо ди м о б ес ­
конечное число ш агов. З а конечное число ш агов построение
Е в к л и д а д а е т р а ц и о н а л ь н у ю д р обь, к о т ор ую м ож н о и д е н т и ф и ­
ц и р о в а т ь с Y 2 , но к о то ра я не я в л я е т с я его опи сан ием в чис­
ловой системе, и д о к а з а т е л ь с т в о неп роти воречивости сам их
акси ом Е в к л и д а б ы ло получено пока то л ь к о на пути численного
п р и б л и ж е н и я . В ш к о л а х понятие \/~2 вводится в основном по­
тому, что мы верим в в о зм о ж н о с ть неп ро ти во реч ивого и з м е р е ­
ния ф изич еских о б ъ е кт о в , а акси ом ы Е в к л и д а в ы г л я д я т п р а в ­
д оподобно; о д н а к о мы з а б ы в а е м , что ев к л и д о в ы треу го л ьн ики
не я в л я ю т ся д ей с тв и те л ьн ы м и т р е у го л ь н и к ам и , или если мы пом ­
ним об этом, то п о л аг а е м , что д ей с тви те л ьн ы е т р е у го л ьн и ки —
это л и ш ь не с ов е рш ен н ы е подобия ев кл ид о вы х . С ф изической
точки зр е н и я т р е у го л ьн и к Е в к л и д а я в л я е т с я и д е а л и зи р о в а н н ы м
п р и б л и ж е н и е м истинного, и нел ьзя счи тать с ам о собой р а з у м е ю ­
щ и м ся , что и д е а л и з а ц и я не вносит новых трудн остей в н у т р ен ­
него х а р а к т е р а .
1.031 П о с л е д о в а т е л ь н о с ти в л о ж е н н ы х и н те р в а л о в . Д е д е к и н довы сечения. О сно вн ы м свойством д ей с тви тел ьн ы х чисел я в ­
л я е т с я то, что они могут б ы ть сколь угодно точно п р и б л и ж е н ы
р а ц и о н а л ь н ы м и числам и.
К о г д а мы говорим , что
1,414

,

мы в ы с к а зы в а е м с л е д у ю щ е е м но ж ес т во п р е д л о ж е н и й : 1) 2 з а ­
клю чено м е ж д у Р и 22; 2) 2 з а к л ю ч е н о м е ж д у 1,4^ и 1,5^;
3) 2 за к л ю ч е н о м е ж д у 1,4 F и 1,42^; 4) 2 за к л ю ч е н о между^
1,414^ и 1,415^ и т. д. до лю бой требу ем ой точности. Н а к а ж д о м
эт а п е этот процесс м ож н о р а с с м а т р и в а т ь к а к р а з д е л е н и е д е ­
сяти чн ы х д робей с за д а н н ы м числом з н а к о в после за п я т о й на
д в а к л ас с а : на д роби, к в а д р а т ы которы х со ответственно больш е
или м еньш е 2. Н а 3-м ш аге, н ап ри м ер, к в а д р а т ы 1,414; 1,413;
1,412 м еньш е 2, а к в а д р а т ы 1,415; 1,416; 1,417 б о льш е 2. Н а
этом ш аге мы ничего не говором о д р о б я х 1,4141; 1,4142; . . . ;
1,4149; но на с л е д у ю щ е м ш аге мы с к а ж е м , что 2 л е ж и т м е ж д у

к в а д р а т а м и чисел 1,4142 и 1,4143. В з я в д о ст а т о ч н о е число д е ­
сяти чн ы х зн а к о в , мы м о ж е м с д е л а т ь н е р а с с м а т р и в а е м ы й ин­
т е р в а л ско л ь угодн о м а л ы м , т а к к а к на к а ж д о м ш а г е он у м е н ь ­
ш ае т с я в д е с я т ь р аз. Т а ки м о б р а з о м , в с я к а я д е с я т и ч н а я д р о б ь
конечной д л и н ы будет отнесена к одном у из двух к л а с с о в в с о ­
ответствии с тем, б о л ь ш е или м еньш е 2 ее к в а д р а т . Э тот процесс
о п р е д е л я е т еди нственную д еся ти ч н ую бесконечную д робь, к о ­
т о ру ю мы м о ж е м п р и н я ть за ] / 2 , и У 2 м о ж ет р а с с м а т р и в а т ь с я
к а к пред ел, д о ст и г а е м ы й п о с л е д о в ат е л ь н ы м и п р и б л и ж е н и я м и
с обеих сторон.
Э тот процесс, которы й м о ж н о сильно о б общ ить, я в л я е т с я
п р и м еро м о п р е д е л ен и я д ей с тв и те л ьн ого числа с пом ощ ью в л о ­
ж енной последовательности п а р р а ц и о н а л ь н ы х чисел. Мы берем
д в е п о с л е д о в ат е л ьн о с т и р а ц и о н а л ь н ы х чисел {а„} и {Ь„}, у д о в ­
л е т в о р я ю щ и е с л е д у ю щ и м у с л о ви я м :
а) а„+1 ^ а, 1 ,
б)
в)
д л я всех п,
г) д л я л ю бого п о л о ж и т ел ьн о го р а ц и о н а л ь н о г о числа е н а й ­
д ется т а к о е число М, что
Ьп — ап < е д л я всех

п > N.

Т а к а я в л о ж е н н а я п о с л е д о в ат е л ь н о с т ь
м о ж е т и сп оль­
з о в а т ь с я к а к о п р ед ел ен и е д ей с тв и те л ьн о го числа. Э лемент а„,
в л о ж е н н о й по с л е д о в ат ел ьн о с т и состоит из всех р а ц и о н а л ь н ы х
чисел, б о льш и х или р а в н ы х а „ и м еньш их или р а в н ы х
Дей­
с тв и тел ьн о е число, о п р е д е л я е м о е в л о ж е н н ой п о с л е д о в а т е л ь ­
ностью , л е ж и т м е ж д у кон ц е вы м и то ч к а м и всех ее элементов.
В л о ж е н н а я п о с л е д о в ат е л ь н о с т ь м о ж е т о п р е д е л я т ь р а ц и о н а л ь н о е
■число. Н а п р и м е р , если мы р а с с м о тр и м д еся ти ч н ы е дроби, к в а д ­
р а т ы ко тор ы х соответственно строго б о л ьш е или строго меньш е
чем 2,25, мы получим в л о ж е н н у ю п о с л е д о в ат е л ьн о с т ь ( 1 ; 2 ) ;
(1,4; 1,6); (1,49; 1,51); (1,499; 1,501) . . . . Е д инственной д е с я ­
тичной д робью , л е ж а щ е й м е ж д у кон цевы м и то ч к а м и всех ее
эл ем енто в, я в л я е т с я д р о б ь 1,5. Е е к в а д р а т в точности р а ве н
2,25. Д л я в ся ко й р а ц и о н а л ь н о й д р об и мы м о ж ем построить по­
д о б н у ю в л о ж е н н у ю пос л е д ов ат ел ьн о с т ь. Т а к и м о б р а з о м , р а ц и о ­
н а л ь н ы е числ а сам и я в л я ю т с я д ей с тв и те л ьн ы м и числам и.
О т д е л ьн о е д ей с тв и те л ьн о е число м о ж е т б ы ть определен о
м н о ги м и р а зл и ч н ы м и в л о ж е н н ы м и посл е д о в ат е л ьн о ст я м и . Н а ­
при м ер, вместо д ел е н и я и н т е р в а л а на д е с я т ь частей на к а ж д о м
ш а г е мы могли бы д ел и ть его п о п олам . Т а к мы получили бы
д воичн ую д робь. Н у ж н о б ы ло бы с д е л а т ь п р и б л и зи те л ьн о втрое
б о л ь ш е ш аг о в д л я д о ст и ж е н и я той ж е точности, о д н а к о б ы ло
бы о пр ед ел ен о то ж е са м о е д ей с тв и те л ьн о е число, что и р аньш е.

Д в е в л о ж е н н ы е по с л е д о ват е л ьн ос т и
и {а„1Р„} о п р е д е ­
л я ю т одно и то ж е д ей ств и тел ьн о е число тогд а и т о л ь к о т о гд а ,
когда а „, Ь„ с о д е р ж и т am. Pm при д о ста то чн о б о л ьш и х т , и
а н а л о г и ч н о а „ , Рп с о д е р ж и т а ^ ,
при д о ста точн о б о л ьш и х т.
В прочем, д о стато чн о вы полнен ия то л ь к о одного из этих у с л о ­
вий — второе бу дет из него с л едо вать.
Т е п е р ь мы подходим к н а и б о л е е в а ж н о м у свойству систем ы
д ей с тв и те л ьн ы х чисел. О тбр осим т р е б о в а н и е р а ц и о н а л ь н о с т и
а„, Ьп и р а с с м о тр и м в л о ж ен н у ю п о с л е д о в ат е л ь н о с т ь {а„16„}, .
где теперь а „ и Ьп — д ей с тв и те л ьн ы е числа. И н т е р в а л , я в л я ю ­
щ ийся эл е м ен т о м та ко й в л о ж е н н о й посл е д о ват е л ьн о с т и , состои т
из всех д ей ств и тел ьн ы х чисел, б о льш и х или р а в н ы х а „ и м ен ь­
ш их или р а в н ы х Ьп- В условии «г» е те п е р ь — п р о и зв ол ьн ое д е й ­
ствительн ое п о л о ж и т е л ь н о е число. М о ж н о д о к а з а т ь , что с у щ е ­
с твует одно и то л ь к о одно д ей ств и тел ьн о е число, л е ж а щ е е в
к а ж д о м и н те р в а л е т а к о й в л о ж ен н о й п ос л е д о в ате л ьн ос ти . Д р у ­
гими с л о в а м и , п р и м ен я я к д ей ств и тел ьн ы м ч и с л ам процесс, к о ­
тор ы й мы при м ен ил и к р а ц и о н а л ь н ы м числ ам , мы не получим
ничего нового и не вы йд ем из у ж е о п ред ел ен ной системы. Э то
и есть свойство полноты , у п о м я н у т о е в 1.03.
Д р у г и м в а ж н ы м способом о п р е д е л ен и я д ей с тви тел ьн ы х ч и ­
сел я в л я ю т с я д е д е к и н д о в ы сечения. Е сли р а ц и о н а л ь н ы е числ а
р а з д е л е н ы на д в а к л а с с а L н R т а к, что к а ж д ы й эл е м е н т из L
меньш е к а ж д о г о э л е м е н т а из R , то с у щ еству ет е ди нств енное
д ей с тв и те л ьн о е число, б о л ьш е е или р а в н о е к а ж д о м у э л е м е н т у
из L и м еньш ее или р а в н о е к а ж д о м у э л е м е н т у из R. Е сли это
д ей ств и тел ьн ое число р а ц и о н а л ь н о , то оно я в л я е т с я или н а и ­
б о л ьш и м эл ем е н т о м из L, или н а и м е н ьш и м эл е м е н т о м из R.
Н а п р и м е р , L м о ж е т состоять из всех о т р и ц а т е л ь н ы х р а ц и о н а л ь ­
ных чисел, нуля и п о л о ж и т ел ьн ы х р а ц и о н а л ь н ы х чисел, к в а д ­
р а т ы ко то ры х м еньш е 2, а R — из п о л о ж и т е л ь н ы х р а ц и о н а л ь н ы х
чисел, к в а д р а т ы которы х б о л ьш е 2. Это сечение о п р е д е л я е т д е й ­
ствител ьн ое число V^2 .
Д е д е к и н д о в ы сечения н а и б о л е е естественно в о зн и к а ю т при
к л а с с и ф и к а ц и и чисел в соответствии с тем, о б л а д а ю т они н е к о ­
тор ы м свойством или нет. Н а п р и м е р , свойство « к в а д р а т х не
б о л ь ш е 2,25» о п р е д е л я е т к л а с с L, н а и б о л ь ш и й эл е м е н т которого
ра в е н 1,5; « к в а д р а т х м еньш е 2,25» о п р е д е л я е т к л а с с L без
н а и б о л ь ш е го эл е м е н т а и 1,5 — наи м е н ьш и й э л ем е н т из к л а с ­
са R. С войство «X р а ц и о н а л ь н о и его к в а д р а т м еньш е 2» о п р е ­
деляет классы L и
р а ц и о н а л ь н ы х чисел без н а и б о л ь ш е го и
н а и м е н ьш е го эл ем ентов соответственно; «х д ей с тви те л ьн о и его
к в а д р а т м еньш е 2» о п р е д е л я е т к л а с с L без н а и б о л ь ш е го э л е ­
м ента и кл асс R с н аи м ен ьш и м эл ем ентом ] / 2 .

Н а я зы к е д ед еки н д о в ы х сечений свойство полноты системы
д ей с тв и те л ьн ы х чисел э к в и в а л е н т н о тому, что л ю б о е сечение
в д ей с тв и те л ьн ы х ч и сл ах о п р е д е л я е т д ей ств и тел ьн ое число. Т а ­
ким о б р аз о м , многие п р об л ем ы , которы е нел ьзя реш и ть в си­
стем е р а ц и о н а л ь н ы х чисел, м о ж н о р еш и ть в систем е д ей с т в и ­
т е льн ы х чисел. П о к а мы р а с с м о тр е л и только ] / 2 , но мы у ж е
готовы к п о явл ению я и е, и нам не ну ж н о будет к а ж д ы й р а з
о т ы с к и в а т ь та к у ю ф о р м у л и р о в к у п р об л ем ы , чтобы м о ж н о бы ло
р еш и ть ее в р а ц и о н а л ь н ы х числах. И с п о л ь зо в а н и е систем ы д е й ­
ств и тел ьн ы х чисел п о зв о л я е т и з б е ж а т ь многих о слож нен ий, не
п р и б е г а я к ф изике.
М етоды в л о ж е н н ы х и н т е р в а л о в и д ед е к и н д о в ы х сечений
эк в и в а л е н т н ы . Е сли к л а с с ы L и R сущ ествую т, то мы м ож ем
построить в л о ж е н н у ю п о с л е д о в ат е л ь н о ст ь и н те р в а л о в , в зя в
Оь й 2 . . . из L и 6 ь &2 из R т а к и м о б р а з о м , чтобы все условия,
н а л о ж е н н ы е на р а с с м а т р и в а е м ы е по сл ед о ват е л ьн о с т и и н т е р в а ­
лов, в ы п ол нял ись. О б р ат н о , если с ущ еств ует в л о ж е н н а я по сл е­
дов ат е л ьн о с т ь, то им ею тся и т а к и е р а ц и о н а л ь н ы е числа г, д ля
к о то ры х су щ е с т в у ю т От. п р е в о с х о д я щ и е их, и т а к и е р а ц и о н а л ь ­
ные числа, ко то ры е б о льш е всех От- С о о т в етс т в у ю щ и е н е р а в е н ­
ства о п р е д е л я ю т к л а с с ы L и R, п все усл о ви я д л я сечений будут
выполнены .
Е сли в л о ж е н н а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь (йт, Ьт) о п р е д е л яе т
п о л о ж и т е л ь н о е д ей с тви те л ьн о е число х, то ( 1/&т, 1/ \ х : + у \ , \х — у \ > \ х \ — \ у\ .
В пр овед енном р а с с у ж д е н и и н еобходи м сим вол д л я м ал ой
величины. Е сли мы с к а ж е м , что е = 0,001, и д о к а ж е м в ы чи сл е­
ниями, что 1 х 1 < 0,001, то м ож н о в о зр а зи т ь: «Вы не д о к а з а л и .

ЧТО X = 0; м ож ет быть, х = 0,0001». С им вол е, о б о зн а ч а ю щ и й
п р о и з в о л ь н о м а л у ю величину, д а е т нам во зм о ж н о с т ь о тветить
н а т а к о е в о зр а ж е н и е . К о л ь с коро мы д о к а ж е м , что 1д;1 меньш е
л ю б о г о 8, то сум еем отвер гн у ть л ю б о е отличное от нуля з н а ­
чение X, ко то ро е в о з р а ж а ю щ и й м о ж е т п р ед л о ж и ть.
Су щ ественн о , что в о б щ е м с л у ч а е мы имеем д е л о с про ц ес­
с а м и , которы е м ож н о з а в е р ш и т ь только за бесконечное число
ш аго в. П р и м е р о м с л у ж и т д о к а з а т е л ь с т в о того, что две в л о ж е н ­
ны е п о с л е д о в ат е л ьн о с т и и н т е р в а л о в о п р е д е л я ю т одно и то ж е
число. М ы об хо ди м эту тр уд н о ст ь и пол у ч а ем конечное д о к а з а ­
тельство: пусть а ф Ь , % г д а \ а — Ь\ имеет о п ред ел ен н ое з н а ч е ­
ние М, отличное от нуля. Е сли з а т е м мы сум еем п о к а за т ь , что
М < е д л я л ю б ого п о л о ж и т ел ьн о го е, то из этого б уд е т с л е д о ­
вать, что М = О и, с л е д о в а т е л ь н о , в опреки п ред пол ож ен ию ,
а и Ь д о л ж н ы б ы ть р а в н ы м е ж д у собой.
1.033.
М н о ж е с т в а . П р е д е л ь н о й точкой м н о ж ес т в а чисел н а ­
з ы в а е т с я число X, такое, что д л я л ю б о го е > О най де тс я п р и н а д ­
л е ж а щ е е м н о ж ес т в у число у, отличное от х, и \у — д г | < е . О т ­
сю да следует, что сущ е с т в у е т бесконечно много знач ений у, у д о ­
в л е т в о р я ю щ и х эт о м у условию . Д е й с т в и т ел ьн о , по опред елен ию
одно знач ение н ай дется, н а зо в е м его у\. В о зьм е м новое е, с к а ­
ж е м El, меньш ее, чем \у\ — х \ . Т о гд а д о л ж н о суп1е с тво в а т ь д р у ­
гое у из м н о ж ес т в а , с к а ж е м у^, такое, что 0 < | г /2 — x \ < z \ .
О чевидно, этот процесс м о ж н о п р о д о л ж а т ь н е о г р а н и ч е н н о * ).
О чевидно, что конечное м но ж ес т в о не им еет пред ел ьны х
точек. О д н а к о бесконечное м но ж ес т во т о ж е м о ж е т не им еть
п о ед ел ьн ы х точек. Р а с с м о т р и м м но ж ес т в о всех целых чисел.
Д л я л ю б о го его эл ем ен та нет д ру ги х эл е м е н тов на рассто яни и,
м еньш ем 1, а л ю б о е не целое число не м ож ет им еть более о д ­
ного целого на р ассто яни и, не п р е в ы ш а ю щ е м '/г- В м нож естве
р а ц и о н а л ь н ы х чисел все точки пред ел ьны е, т а к к а к л ю б ое р а ­
ц и о н ал ьн о е число м о ж н о к а к угодно п р и б л и зи ть д руги м р а ц и о ­
н а л ь н ы м числом. А нал о гич но е у т в е р ж д е н и е имеет место д ля
д ей с тв и те л ьн ы х чисел. М н о ж е с тв о м ож ет им еть то л ь к о одну
пр е д е л ьн у ю точку. Р а с с м о т р и м , н ап ри м ер, числ а
где п —
целые. В л ю б ой конечной окрестности О с о д е р ж и т с я бесконечно
много эл ем ентов этого м н о ж ес т ва и, с л е д о в а т е л ь н о , О — п р е ­
д е л ь н а я точка этого м н о ж ест в а . О д н а к о д л я л ю б ого другого
числа, р а ц и о н а л ь н о г о или нет, м о ж н о у к а з а т ь та к у ю о к р е с т ­
*) Отметим, что выражения «процесс м ож но неограниченно продолж ать»
и «и так далее» подразум еваю т применение математической индукции. П о­
добны е рассуж дения и з-за недостатка места мы будем редко приводить пол­
ностью. Однако читатель мож ет самостоятельно провести их в некоторых
случаях для практики.

ность, ко т о р а я не с о д е р ж и т эл е м е н тов м н о ж ес т в а , отли чн ы х от
с а м о г о числа (если п оследнее я в л я е т с я эл ем ен то м м н о ж е с т в а ) .
П р е д е л ь н а я точка м н о ж ес т в а не о б я з а н а с а м а б ы ть э л е м е н ­
том м нож ес т в а. М ы м о ж е л ^ н ап ри м ер, р а с с м а т р и в а я п о с л е д о ­
в а т ел ь н ы е п р и б л и ж е н и я У 2 д ес я т и ч н ы м и дробям^!, построить
м н о ж ес т в о р а ц и о н а л ь н ы ^ чисел, д л я которого | / 2 будет п р е ­
д ел ьн о й точкой, а с а м
— не р а ц и о н а л ь н о е число.
Е сли все п р ед ел ьн ы е точки м н о ж ес т в а п р и н а д л е ж а т ему, то
оно н а зы в а е т с я замкнутым. И н т е р в а л а - ^ х ^ Ь , о пределенны й
в 1.031, я в л я е т с я за м к н у ты м м н о ж еств ом и н а зы в а е т с я з а м к н у ­
тым ин тер в а л о м , или отрезком. С оо т в етс т в ую щ и м откр ы ты м
ин тер вал о м я в л я е т с я а < х < Ь . М ы в ер нем ся к этом у в 1.061.
1.034. Е с л и множество содержит б ес к о н е ч н о м н о го э л е ­
ментов внутри к о н е ч н о го отрезка а ^ х ^ Ь , то о но имеет по
м е н ь ш е й м ере о д н у п р е д е л ь н у ю точку х, такую, что а ^ х ^ Ь .
Д е й с т в и т ел ь н о , если мы п о д е л и м о т р е зо к п о п о л а м , то по.
к р а й н е й м ер е в од ной из по л овин б у д е т б еск о неч ное число
т о ч е к м н о ж е с т в а . Р а з д е л и м эт у п о л о в и н у п о п о л а м . В н о вь о д н а
из п о л о в и н с о д е р ж и т б еск о неч ное число э л е м е н т о в , и мы ви­
дном, что, п р о д о л ж а я этот процесс, м о ж е м о т ы с к а т ь с к о л ь
уго дн о коро тк ий и н т е р в а л , с о д е р ж а щ и й бесконечно много т о ­
чек м н о ж е с т в а . Н о это т пр оц есс с о о т в ет с т в у е т з а д а н и ю д е й ­
с т в и т е л ь н о го ч и с л а с п о м о щ ью в л о ж е н н о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т и
и н т е р в а л о в и, з н а ч и т , о п р е д е л я е т д е й с т в и т е л ь н о е число, в л ю ­
б о й о кре с т н о с т и к о т о ро го с о д е р ж и т с я б есконечно м ного точек
м н о ж е с т в а . С л е д о в а т е л ь н о , это д е й с т в и т е л ь н о е число я в л я е т с я
ис к о м о й п р е д е л ь н о й точкой м н о ж е с т в а . Э то у т в е р ж д е н и е
изв е с т н о к а к т е о р е м а Б о л ь ц а н о — В е й е р щ т р а с с а .
1.035. Б е с к о н е ч н о е м н о ж ест в о н а з ы в а е т с я счетным, если
€го э л е м е н т ы м о ж н о т а к с о п о с т а в и т ь с н а т у р а л ь н ы м и ч и с л а ­
ми, чтобы к а ж д о м у э л е м е н т у м н о ж е с т в а с о о т в е т с т в о в а л о одно
и т о л ь к о одно н а т у р а л ь н о е число
ин а о б о р о т. Н а п р и м е р ,
к в а д р а т ы 1^, 2^, . . . , /г^, . . . о б р а з у ю т счетное м н о ж ес т в о , т а к
к а к к а ж д о м у п соо т в ет с т в у е т
и каждому
со о т вет с т в у е т
п . Р а ц и о н а л ь н ы е д р о б и м е ж д у н ул ем и еди ниц ей т о ж е о б р а ­
з у ю т счетное м н о ж ес т в о . ти
И х м о ж н о у п о р я д о ч и ть т а к: •
у•>
2

1

3

1 2

3

4

,

Т ’ Т ’ Т ’
Т ’
Т ’ У ’ “б • • • ’ и д робь,
с т о я щ у ю на rt-Mмес
с о п о с т а в и т ь с п. Все п о л о ж и т е л ь н ы е р а ц и о н а л ь н ы е
числа
о б р а з у ю т д р у го е счетное м н о ж ес т во . И х
м о ж н о у п о р я д о ч и ть
так:

I

1

2

1

3

~Y 1

1

2

3

~2 >

4

....

Здесь

числа

с о б р а н ы в гр у п п ы с п о стоянной сум м ой ч и сл и т ел я и з н а м е н а '
т е л я , и в к а ж д о й г р у п п е с у м м а на е д и н и ц у б о л ь ш е , чем в
п р е д ы д у щ е й . А в н у т р и групп ч и с л а р а с п о л о ж е н ы по в о з р а с т а ­
нию ч и с л и т е л я . В д в у х п о с л е д н и х п р и м е р а х д л я у с т а н о в л е н и я
с о о т в е т с т в и я с н а т у р а л ь н ы м и ч и с л а м и н е о б х о д и м о по л но е
и зм ен ен и е естеств енного п о р я д к а .
Н е все бесконечны е м н о ж е с т в а счетны. Н а и б о л е е в а ж н ы е
п ри м ер ы несчетны х м н о ж е с т в — это м н о ж е с т в о всех д е й с т в и ­
т е л ь н ы х чисел и м н о ж ес т в о всех д ей с т в и т е л ь н ы х чисел из
д а н н о г о конечного и н т е р в а л а . К а н т о р д о к а з а л , что к а к бы мы
ни п ы т а л и с ь п о с т а в и т ь их э л е м е н т ы во в з а и м н о -о д н о з н а ч н о е
со о т в ет с т ви е с н а т у р а л ь н ы м и ч и с л ам и , в с е г д а н е к отор ы е э л е ­
менты о к а ж у т с я пр оп ущ ен н ы м и .
1.036.
Н еобходим ость. Достаточность. П усть д в а предло­
ж е н и я , об озн ачен н ы е I и И, с о о т н о ся тс я м е ж д у собой т а к,
что если I истинно, то И истинно. М ы г ов ор и м т о гд а , что
\ — достаточное у с л о в и е д л я И , а \ \ — н е о б х о д и м о е у сл о в и е
д л я I, т. е. I не м о ж е т бы ть истинны м , если И неистинно.
Е сли II истинно т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о г д а I истинно, то
I — н ео б хо ди м ое и д о ст а т о ч н о е усл о ви е д л я II и наоб оро т.
В этом с л у ч а е мы м о ж е м т а к ж е с к а з а т ь , что I и II э к в и в а ­
лентны.
В оо б щ е г о в о р я , м о ж е т с у щ е с т в о в а т ь н е с к о л ьк о н еоб хо ди­
м ы х и д о ст а т о ч н ы х у с л о ви й д л я истинности д а н н о г о п р е д л о ­
ж е н и я . Н а п р и м е р , н еобходи м ы м и д о ст а т о ч н ы м у с л о в и е м того,
что д е й с т в и т е л ь н а я вел и ч и н а х р а в н а нулю , я в л я е т с я у сл о в и е
1л:| < е д л я л ю б о г о п о л о ж и т е л ь н о г о е, но, к р о м е этого, т а ­
ки м и у с л о в и я м и б уду т р а в е н с т в а х^ = 0, л:®= 0. Н е о б х о д и м ы м
и д о ст а т о ч н ы м у с л о в и е м ax^ — 2 b x + c > Q д л я всех д е й с т в и ­
т е л ьн ы х X б у д е т а > О, ас — Ь~ > О, а т а к ж е и с > О, ас —
> 0.
Н е о б х о д и м о е и д о ст а т о ч н о е у с л о в и е м о ж е т с о д е р ж а т ь изл и щ н ю ю и н ф о р м а ц и ю . Н а п р и м е р , если ах^ — 2Ьх + с > О д л я
всех X, то а > О, с > О, ас — Ь'^ > О и н а о б о р о т. З д е с ь а > О,
с > О, а с > 6^ _ н е о б хо ди м о е и д о ст а т о ч н о е у сл о ви е. Н о если
ас > Ь^, то из а > О с л е д у е т , что с > О, а из с > О с л еду ет,
что а > О, т а к что одно из т р е б о ва н и й а > О, с > О избы точно
в том с м ы сле, что оно в ы т е к а е т из д р у го й д ан н о й и н ф о р м а ­
ции. С д р у го й стороны , т р е б о в а н и я а > О, с > 0 или а с > Ь ^
с а м и по себе н е д о стато чн ы д л я того, чтобы ах^ — 2Ьх + с бы ло
б о л ь ш е О д л я всех х\ ни одно из эти х у сл ов и й не я в л я е т с я
д о ст а т о ч н ы м . М н о ж е с т в о не о б х о д и м ы х и д о ст ат о ч н ы х у словий
истин ности д а н н о г о п р е д л о ж е н и я н а з ы в а е т с я м и н и м а л ь н ы м ,
если после о т б р а с ы в а н и я л ю б о й ч асти этих у сл о в и й о с т а в ­
ш и е с я у с л о в и я не я в л я ю т с я д о ст а т о ч н ы м и .

1.04.
П о с л е д о в а т е л ь н о с т и * ) . Р а с с м а т р и в а я св о й с т в а м н о ж е ­
с т в а , мы не с ч и т а л и , что его члены р а с п о л о ж е н ы в о п р е д е ­
л е н н о м п о р я д к е . Б д о к а з а т е л ь с т в е 1.034, н а п р и м е р , точки,
л е ж а щ и е в любом промеж утке, определяю тся указан ием с а ­
мого м н о ж е с т в а . ( П р е д с т а в и м себе, что мы п о л о ж и л и н е с к о л ь к о
м ячей в кор об ку ; т о гд а вопрос, к а к и е т а м л е ж а т мячи, не
им еет о т н о ш ен и я к их п е р е м е щ е н и я м и з-за в с т р я х и в а н и я к о ­
робки.)
К о г д а мы н а ч и н а ем и зу ч а т ь св о й с т в а , с у щ е с т в е н н о с в я з а н ­
ные с к о н кре тн ы м п о р я д к о м , мы им еем д ел о с п о с л е д о в а ­
тельностями. Ч и с л а 1, 2, 3, . . . , р а с п о л о ж е н н ы е в п о р я д к е
в о з р а с т а н и я , о б р а з у ю т п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь . Е с л и они п е р е г р у п ­
п и р о в а н ы , но т а к , что мы з н а е м , к а к н а й ти лю б ое из них, то
они о б р а з у ю т то ж е м н о ж ес т во , но д р у гу ю п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь .
Е с л и мы о б о зн ачи м «-й член д ан н о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т и че­
р е з s„, то св о й с т в о s„ + | — s „ = l б у д е т в ы п о л н я т ь с я д л я п е р в о ­
н а ч а л ь н о з а д а н н о г о п о р я д к а и не б у д е т в ы п о л н я т ь с я ни д л я
ка к о г о д р у го г о п о р я д к а . Вообщ е, е с л и s„ в п о л н е о п р е д е ля е т с я
з а д а н и е м п, то s„ может рассматриваться к а к ф у н к ц и я нату­
р а л ь н о г о аргум ент а п, а з н а ч е н и я
Sg, . . . , s„, . . . д л я п о ­
с л е д о в а т е л ь н ы х зн а ч е н и й п образую т последоват ельност ь. (Те,
кто з н а е т кое-что о р я д а х , часто п о л а г а ю т н а п е р вы х п о р а х ,
что н а з н а ч е н и е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и бы ть п р о с у м м и р о в а н н о й ,
но это не т а к .) И
1







2 ’ 3 ’ •

••

1, 2, 1, 2,



(

« ............

1, 2, . . .

1)

(2)

— п о с л е д о в а т е л ь н о с т и . Э л е м е н ты первой — это эл е м е н т ы б е с к о ­
нечного м н о ж е с т в а , у п о р я д о ч е н н ы е
о п р е д е л ен н ы м о б р а з о м .
Э л е м е н ты второй — это э л е м е н т ы кон ечн ого м н о ж е с т в а , п о в т о ­
р я е м ы е вновь и вновь.
П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь с о б щ и м ч лен ом
м о ж н о о б о зн а ч и т ь
ч ерез {s„}.
1.041.
О г р а н и ч е н н ы е , н е о гр а н и ч е н н ы е , с х о д я щ и е с я и о с ц и л ­
л и р у ю щ и е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и . П у с т ь М — п р о и зв о л ь н о е п о л о ­
ж и т е л ь н о е число. Может сл у ч и тьс я , что к а к о е бы М ни взя ть,
н а й д е т с я хоть один член п о с л е д о в ат е л ь н о с т и s„, т а к о й , что
|s „ |> A f . Т акая последовательность назы вается неогран ичен­
ной. О ч еви дн ы й при м ер : s„ = n-, в с ам о м д ел е , в ка ч е с тв е п
мы м о ж е м в зя т ь л ю б о е целое число, б о л ь ш е е М . С п р а в е д л и в о
*) Более
в [2, 3].

подробное

рассмотрение

последовательностей

м ож но

найти

следую щ ее утверж дение, аналогичное теореме о предельной
точке: н е о г р а н и ч е н н а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь д о л ж н а с о д е р ж а т ь
бесконечно м ного членов, м о д у л и к о т о р ы х |s„ | б о л ь ш е л ю б о г о
наперед заданного М.
Е с л и м о ж н о в ы б р а т ь т а к о е М , что все s„ по мо дул ю
м еньш е М , то п о с л е д о в ат е л ь н о с т ь н а з ы в а е т с я о г р а н и ч е н н о й .
Обе п о с л е д о в а т е л ь н о с т и , пр и в е д е н н ы е в к о н ц е 1.04, о г р а н и ­
чены; ус л о в и е ! s „ | < A l в ы п о л н я е т с я д л я них о б еи х при М = 3.
П у с т ь с у щ е с т в у е т т а к о е число s, что
д л я л ю б ого п о л о ж и ­
т е л ьн о г о ч и с л а е м о ж н о в ы б р а т ь т т а к , что д л я всех п > т
(1)

|S „ - S |< 8 .

Т о г д а г о в о р я т , что п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь
п р е д е л S . З а п и с ы в а е т с я это к а к [4]
s„-> s

сходится и

(п^оо),

имеет
(2 )

или
lim
П-^оо

= s.

С т р е л к а ч и т а е т с я „ с т р е м и т с я к “ . М о ж н о просто п и сать
l i m s „ = s,

(3)

е с л и при этом не в о з н и к а е т р а зн о ч т ен и й .
В в ы ш еп р и в е д ен н ы х п р и м е р а х п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь 1.04 (1)
сх о д и т с я и им еет п р е д е л О, н у ж н о т о л ь к о в з я т ь т > 1 / е ; по­
с л е д о в а т е л ь н о с т ь 1.04 (2) не я в л я е т с я с х о д я щ е й с я , по том у что,
к а к о в ы бы ни бы ли s u m , если е < 72, то н а й д у т с я члены
с н о м е р а м и п > т , т а к и е , что |s„ — s | ^ - j > 8.
С а м о е в а ж н о е с войство с х о д я щ е й с я п о с л е д о в а т е л ь н о с т и та
ково: если у нас есть п р а в и л о д л я в ы чи с л ен и я к а ж д о г о член а
то мы м о ж е м вы чи сл и ть п р е д е л с л ю б о й ж е л а е м о й точностью
Н е к о т о р ы е м ето д ы п р и б л и ж е н и я (см. гл. 9 и 17) п о к а з ы в а ю т
что п р е д е л л е ж и т в з а д а н н о м п р о м е ж у т к е , но э т о т п р о м е ж у
т о к не с к о л ь угодн о м а л . Точность м о ж е т о к а з а т ь с я д о ст а
точной д л я при м ен ений , но ее н е л ь з я б ес п р е д е л ьн о п о в ы ш а т ь
П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь , о г р а н и ч е н н а я , но не с х о д я щ а я с я , на
зы в а е т с я о с ц и л л и р у ю щ е й с к о н е ч н ы м р а з м а х о м или просто
о с ц и л л и р у ю щ е й . В ка ч е с тв е п р и м ер а м о ж н о при в ести п о с л е ­
д о в а т е л ь н о с т ь 1.04 (2); д р у го й при м ер
=
З д е с ь , в отли чи е от 1.04 (2), все

+

(4)
р а зл и ч н ы .

П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь (4) о г р а н и ч е н а , по т о м у что | 5 „ | < 2 д л я
л ю б о г о п; но о н а не с х о д и тс я , п о с к о л ь к у д л я б о л ь ш и х п ее
член ы п оп ер ем ен н о б л и зк и то к 1, то к — 1, т а к что н е р а ­
венство ( 1) не м о ж е т в ы п о л н я т ь с я , если е < - ^ .
Е с л и д л я л ю б о го М с у щ е с т в у е т т а к о е
всех п > т , то мы п и ш ем
s„ -*°o.

т,

что з„>Л'1 д л я
(5)

П римеры:
= « и
= п^.
Е с л и д л я л ю б о г о М. с у щ е с т в у е т т а к о е т , что s „ < —
всех п > т , то мы п и ш ем
Sn^-oo.

для
(6 )

П римеры:
= — п и S n ~ — п^.
Н и ж е п р е д с т а в л е н ы д р у г и е типы н е о г р а н и ч ен н ы х п о с л е д о ­
в а тел ьн о с те й :
s„ = ( — 1) " и ,

5„ = п с о з у я г а ,

= п (1 — созяга).

П р о эти п о с л е д о в а т е л ь н о с т и н е л ь з я с к а з а т ь , что они с т р е ­
м я т с я к к а к о м у - н и б у д ь п р е д е л у , в ч астн ости они не с т р е ­
м я т с я и к бесконечности , и их н а з ы в а ю т и н о гд а б еск о неч но
о сц и лл и р у ю щ и м и . Н еограниченны е последовательности можно
н а з ы в а т ь расх о д я щ и м и с я -, о д н а к о р а з н ы е а в т о р ы в к л а д ы в а ю т
в эт о т т е рм и н р а з л и ч н ы й с м ы сл: н е к о тор ы е (н а п р и м ер , Б р о м ­
вич и Х ар д и ) и с к л ю ч а ю т и з ч и с л а р а с х о д я щ и х с я б есконечно
осциллирую щ ие последовательности, некоторы е (например,
К н о п п ) в к л ю ч а ю т в их число п о с л е д о в а т е л ь н о с т и , о с ц и л л и ­
р у ю щ и е с конечны м р а з м а х о м .
П олезно классифицировать последовательности в зависи­
мости от того, о б л а д а ю т ил и не о б л а д а ю т они с л е д у ю щ и м и
св о й с т в а м и :
1) д л я л ю б о г о т и д л я л ю б о г о п о л о ж и т е л ь н о г о М с у щ е с т ­
вует т а к о е п > т , что s „ > M ',
2) д л я л ю б о г о т и д л я л ю б о г о п о л о ж и т е л ь н о г о М с у щ е с т ­
вует т а к о е п > т , что S n < — M.
П о с л е д о в а т е л ь н о с т и , не о б л а д а ю щ и е ни о дним из э т и х
свойств, о г р а н и ч е н ы . Е с л и п о с л е д о в а т е л ь н о с т и о б л а д а ю т перт
вым с во й с тво м , но не о б л а д а ю т вторы м , то они о гр а н и ч е н ы
с н и зу и не о гр а н и ч ен ы с в ер ху. А н а л о ги ч н о о п и с ы в а ю т с я д в а
оставш ихся случая.
О т м ет и м , что бесконечности к а к т а к о в о й н и к а к о го определен*ного з н а ч е н и я не п р и п и с ы в а е т с я . М ы л и ш ь п р и д а е м см ы с л
всем в ы р а ж е н и я м , котор ы е с о д е р ж а т с л о во бесконечность или
с и м в о л оо. В ы р а ж е н и е s „ - > o o есть к р а т к а я за п и с ь с в о й с т в а
3

За к. 231

{s„}, с ф о р м у л и р о в а н н о г о в с о о т в е т с т в у ю щ е м о п р е д е л ен и и . О н а
не п о д р а з у м е в а е т с у щ е с т в о в а н и я к а к о й -л и б о д е й с т в и т е л ь н о й
в е л ич ины , о б о з н а ч а е м о й с и м в о л о м оо.
Б е с к о н е ч н о с т ь и с к л ю ч е н а из п р а в и л а л г е б р ы не потом у,
что есть к а к о е -н и б у д ь пр о т и в о р е ч и е в пон яти и б еск о неч ны х
ч исел, а потом у, что эти ч и сл а п о д ч и н я ю т с я д р у ги м п р а в и ­
л а м . Д е й с т в и т е л ь н о , по н ят и е бесконечного м н о ж е с т в а п р о н и ­
к а е т в б о л ь ш у ю ч ас т ь н а ш е й теор ии: в к а ж д о м и н т е р в а л е х
п р и н и м а е т бесконеч но м ного
знач ений .
Непротиворечивая
а л г е б р а д л я п о л о ж и т е л ь н ы х бесконечны х чисел б ы л а п ос т рое н а
К а н т о р о м и п о зд н е е н е о д н о к р а т н о о б о б щ а л а с ь д р у г и м и а в т о ­
р а м и , но э т а а л г е б р а о т л и ч а е т с я от обы чной . Е с л и а и й — п о ­
л о ж и т е л ь н ы е б ес к о н е ч н ы е ч и с л а , мы м о ж е м о п р е д е л и т ь а + Ь
и аЬ о д н о зн а ч н о . О д н а к о а + Ь не о б я з а т е л ь н о б о л ь ш е а, в
д е й с т в и т е л ь н о с т и а + Ь обычно р а в н я е т с я а ил и Ь. Н е в о з м о ж н о
о п р е д е л и т ь о д н о зн а ч н о а ~ Ь и ajb. С л е д о в а т е л ь н о , а л г е б р а ,
в к л ю ч а ю щ а я и конечны е, и б еск о неч ны е ч и с л а , д о л ж н а все
ж е р а з л и ч а т ь их в с в ои х п р а в и л а х .
1.042, Е с л и б еск о неч но е множество имеет п р е д е л ь н у ю точку
то м ы м ож ем образоват ь последоват ельност ь и з его э л е ­
ментов, и м е ю и ^ у ю п р е д е л о м s. Е с л и у множества б о л ь ш е
о д н о й п р е д е л ь н о й точки, то м ож но об разоват ь п о с л е д о в а т е л ь ­
ности, с х о д я щ и е с я к л ю б о й и з н и х .
М ы п о к а з а л и (н а ч а л о 1.033), что на р а с с т о я н и и о т п р е ­
д е л ь н о й точки, не п р е в ы ш а ю щ е м з а д а н н о е , с у щ е с т в у е т б ес к о ­
нечно м ного эл е м е н т о в м н о ж е с т в а . Е с л и в ы п и сы в а т ь эл е м е н т ы
м н о ж е с т в а в т а к о м ж е п о р я д к е , к а к о й у к а з а н в 1.033, то п о ­
л у ч и м п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь , о б л а д а ю щ у ю н у ж н ы м с во й с т в о м .
S,

1.043. Л ю б а я последоват ельност ь, о б р а з о в а н н а я и з р а з л и ч ­
н ы х элем ент ов о г р а н и ч е н н о го б еск о н е ч н о го множества, и м е ю ­
щ е г о е д и н с т ве н н у ю п р е д е л ь н у ю точку s, стремится к п р е д е л у
S. Я сно , что пр и построении п о с л е д о в а т е л ь н о с т и из эл е м е н т о в
м н о ж е с т в а мы им еем выбор на к а ж д о м эт а п е .
С л е д о в а т е л ь н о , мы м о ж е м о б р а з о в а т ь бесконечно много
р а з л и ч н ы х п о с л е д о в ат е л ь н о с т е й . Н а м н у ж н о п о к а з а т ь , что все
они и м е ю т о д и н а к о в ы й п р е д е л . Д л я л ю б о г о т число эл е м е н ­
то в s„ п о с л е д о в а т е л ь н о с т и с п > т бесконечно. Н о п о с к о л ь к у
м н о ж е с т в о о гр а н и ч е н о и им еет еди н ствен н у ю п р е д е л ь н у ю
точку, то в лю б о м и н т е р в а л е , не с о д е р ж а щ е м п р е д е л ьн о й
точки, и м е е т с я л и ш ь кон ечн ое ч и сл о эл е м е н т о в м н о ж е с т в а .
С л е д о в а т е л ь н о , д л я лю бого е т о л ь к о конечное число эл е м е н т о в
п о с л е д о в а т е л ь н о с т и л е ж и т вне о т р е з к а s ± - ^ e . П у с т ь э т о Sq,

Sp, . . . .
В озьм ем
Т о г д а д л я всех п ,

т р а в н ы м н а и б о л ь ш е м у из а, р,
ц.
б о л ь ш и х т , с п р а в е д л и в о , что |«„ — s | ^

^ ■ | - е < е и, т а к и м о б р а з о м , п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь с х о д и т с я к s.
Э то т р е з у л ь т а т н е л ь з я п олучить, если э л е м е н т ы п о с л е д о ­
ва т е л ь н о с ти не о б я з а н ы б ы ть р а з л и ч н ы м и и м о г у т п о в т о р я т ь с я
с кол ь у го д н о ч асто. Н а п р и м е р , если м н о ж е с т в о состои т из ч и ­
сел, о б р а т н ы х цел ы м , его еди н с т в е н н о й п р е д е л ь н о й точкой б у ­
д ет 0. О д н а к о , е сл и п о в т о р е н и я р а з р е ш е н ы , м ы м о ж е м о б р а ­
з о в а т ь и з его э л е м е н т о в п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь
1

1

1

1

1

1

1

1

1

к о т о р а я я в л я е т с я о с ц и л л и р у ю щ ей . Е сл и , о д н а к о , к а ж д ы й э л е ­
м ент м о ж е т п о в т о р я т ь с я не б о л ь ш е k р а з , где fe — н е к о то рое
ф и к с и р о в а н н о е число, то р е з у л ь т а т о п я т ь м о ж н о п о л у ч и т ь
простым обобщ ением д о казательства.
1.044.
В е р х н я я и н и ж н я я г р а н и . М ножество {и ли п о с л е д о ­
вательность), о гр а н и ч е н н о е с ве р х у , имеет в е р х н ю ю грань; м н о ­
жество, о г р а н и ч е н н о е с н и з у , имеет н и ж н ю ю гр а н ь . П р и этом
в ел и ч и н а М н а з ы в а е т с я в е р х н е й г р а н ь ю м н о ж е с т в а , е сл и ни
один э л е м е н т м н о ж е с т в а не п р ев о с х о д и т М , и в то ж е в р е м я
д^1я л ю б о г о п о л о ж и т е л ь н о г о ч и с л а е, к а к бы м а л о оно ни
бы ло, с у щ е с т в у е т эл е м е н т , п р е в о с х о д я щ и й М — е. Н и ж н ей
г р а н ь ю н а з ы в а е т с я т а к а я в е л и ч и н а т , что нет эл е м е н т о в ,
м е н ь ш и х т , но в с е г д а н а й д е т с я эл е м е н т , м ен ьш и й т + е.
В о с п о л ь з у е м с я м е то д о м сечений Д е д е к и н д а . К л а с с ч и се л а,
о г р а н и ч е н н ы х с в е р х у хоть о д ним э л е м е н т о м м н о ж е с т в а , не
пуст: м о ж н о в з я т ь в к а ч е с т в е т а к о г о ч и с л а л ю б о е а, м еньш ее,
чем н е к о то р ы й и зв естны й э л е м е н т м н о ж ес т в а .
П о с к о л ь к у м н о ж е с т в о о гр ан и ч е н о с в ерх у, то с у щ е с т в у ю т
ч и с л а Ь, т а к и е , что н и к а к о й эл е м е н т м н о ж е с т в а не п р е в о с х о ­
д и т Ь. К а ж д о е Ь б о л ь ш е л ю б о г о а, и в с я к о е число есть л и б о
й, л и б о Ь. С л е д о в а т е л ь н о , ч и с л а а о б р а з у ю т к л а с с L , а ч и с л а
Ь — к л а с с R и о п р е д е л я ю т сечение, ко т о р о е мы о б о зн а ч и м ч е­
р е з М . С е че н и е М п р и н а д л е ж и т к л а с с у R . Е с л и бы М бы ло
э л е м е н т о м к л а с с а L , то оно б ы ло бы м е н ьш е н ек ото ро го э л е ­
м е н т а м н о ж е с т в а , с к а ж е м К', но т о г д а м е ж д у Af и /С не о к а ­
з а л о с ь бы чисел Ь и, с л е д о в а т е л ь н о , М не я в л я л о с ь бы ч и с­
л о м , с о о т в ет с т в у ю щ и м сечен ию . И т а к , ни один э л е м е н т
м н о ж е с т в а не п р е в о с х о д и т М . Т а к ж е п р о в е р я е т с я , что М — г
п р и надлеж и т кл ассу L , а потому сущ ествует элемент мно­
ж е с т в а , п р е в о с х о д я щ и й М — г. С о о т в е тс т в у ю щ и й р е з у л ь т а т
д л я н и ж н ей г р а н и д о к а з ы в а е т с я ан ал о ги ч н о .

Д о к а з а т е л ь с т в о не п р е д п о л а г а е т , что м н о ж е с т в о б ес к о ­
нечно; о д н а к о д л я конечного м н о ж е с т в а верх ней г р а н ь ю я в л я ­
е т ся п ро сто его н а и б о л ь ш и й эл ем е н т . Д л я б есконеч ного м н о ­
ж е с т в а все эл е м е н т ы м о г у т о к а з а т ь с я м е н ьш е верхней грани;
д л я м н о ж е с т в а 1.04 (1) в е р х н я я г р а н ь р а в н а 1 и с о в п а д а е т
с п е р вы м ч л е н о м , а н и ж н я я г р а н ь р а в н а О, х отя О не я в л я ­
е т с я э л е м е н т о м м н о ж ес т в а .
То, что мы н а з ы в а е м верх ней г р а н ь ю , ч ас т о н а з ы в а ю т
точной в е р х н е й гр а н ь ю , а л ю б о е число, т а к о е , что нет э л е ­
м ентов м н о ж е с т в а , п р е в о с х о д я щ и х его, н а з ы в а ю т т о г д а просто
в е р х н е й гр а н ь ю .
З а м е т и м , что если S n < t n д л я всех п и s „ ^ s ,
то
(и вовсе не о б я з а т е л ь н о s < t ) . Р а с с м о т р и м , н ап р и м е р ,
п о с л е д о в а т е л ь н о с т и s„ = 1 — 2~'^, /„ = 1 — 3 “ "; зд е с ь s = t. М ы
м о ж е м р а с с м а т р и в а т ь ( 5 „ , t„) к а к и н т е р в а л , д л и н а которого
с т р е м и т с я к н у л ю , но эти и н т е р в а л ы не о б р а з у ю т в л о ж е н н о й
п о с л е д о в а т е л ь н о с т и , п о т о м у что к а ж д ы й не я в л я е т с я ч ас т ь ю
пр е д ы д у щ е г о , и на с а м о м д е л е к а ж д ы й и н т е р в а л л е ж и т ц е ­
л и к о м по од н у стор он у от п р е д е л а .
1.0441. Е с л и
д л я в с е х п и по следо ва т ельно ст ь
о гр а н и ч е н а , то она сходится. П у с т ь s — в е р х н я я г р а н ь s„.
Тогда
д л я всех п. К р о м е того, д л я л ю б о г о е с у щ е с т в у е т
т а к о е т , что
> s — е; но т о г д а д л я в с е х п > т
S>

> Sm > S - е,

а п о т о м у п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь с х о д и тс я к п р е д е л у s.
1.045 О с н о в н о й п ри нци п с х о д и м о с т и . Д л я того чтобы п о с л е ­
д о в а т е л ь н о с т ь {s„} б ы л а с х о д я щ е й с я , н е о б х о д и м о и д о ст а т о ч н о
в ы п о л н е н и е с л е д у ю щ е г о у с л о в и я : д л я л ю б о г о п о л о ж и т е л ь н о го
числ а е с у щ е с т в у е т т а к о е т , что д л я всех п ' ^ т
l s „ - s „ | < 6.

( 1)

П о к а ж е м с н а ч а л а , что это усл о ви е я в л я е т с я н еоб хо ди м ы м .
П р е д п о л о ж и м , что s „ - > s . М ы д о л ж н ы п о к а з а т ь , что с у ­
щ е с т в у е т т , та к о е , что (1) с п р а в е д л и в о . Д л я л ю б о г о п о л о ж и ­
т е л ьн о г о (О мы м о ж е м в зя т ь т т а к, что |s„ — s | < c o д л я всех
/ г ^ т . Т о г д а |s„ — S m |< 2 ( o д л я всех п ' ^ т . В о зь м е м со = '/26.
т о г д а ( 1) в ы п о л н я е т с я .
Д л я д о к а з а т е л ь с т в а д ост а т о ч н о ст и у с л о в и я (1) за м е т и м
п р е ж д е всего, что п о с л е д о в ат е л ь н о с т ь о г р а н и ч е н а , т а к к а к
д л я л ю б о г о з а д а н н о г о п о л о ж и т е л ь н о го со с у щ е с т в у е т т а к о е т ,
что |s„ — S m |< c o д л я всех п ^ т , а S|, S2, . . . ,
все конечны.

О пределим а„ и
к а к н и ж н ю ю и вер хню ю г р а н и с о о т в е т с т в е н ­
но д л я Sp при р ^ п . Я сно, что

К р о м е того, |Sp — s , | < 2 f f l д л я р и q, б о л ь ш и х т , и мы
Ь„ — а п ^ 2 ч > пр и п ' ^ т , п о с к о л ь к у Ь п ~ а ^ есть в е р х н я я
Sp — Sq при р, q ' ^ n . Т а к к а к со п р о и зв о л ь н о м а л о , Ь^ —
с л е д о в а т е л ь н о , и н т е р в а л ы (а„, 6„) о б р а з у ю т в л о ж е н н у ю
д о в а т е л ь н о с т ь , о п р е д е л я ю щ у ю нек оторо е д е й с т в и т е л ь н о е
Н а з о в е м его s. П о с к о л ь к у
и

[

им еем
грань
по­
после­
число.

д л я всех га,

имеем
Is —

1^ 2(0

для

ra^m ,

т . е. s „ - » s при г а ^ о о .
В д а л ь н е й ш е м ч ас т о б у д е т в с т р е ч а т ь с я и с п о л ь з о в ан н ы й
н а м и п ри ем . Е с л и величину, о котор ой мы хотим с к а з а т ь , что
о н а м е н ьш е е, м о ж н о п р е д с т а в и т ь в ви д е су м м ы н е с к о л ь к и х
членов, то в в о д я т с я д о п о л н и т е л ь н ы е п р о и з в о л ь н о м а л ы е в е л и ­
чины, об ы чно о б о з н а ч а е м ы е ч ере з

5п = Щ + и 2 + . . . + «„, . . . .
Е с л и эт а п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь су м м с х оди тс я ,
ри м , что р я д
2 «„ = « 1+ . . . + м « + •••

то

мы

гово­

с х о д и т с я (п т еп ерь с к о л ь угодн о велико); пре д е л п о с л е д о в а ­
т е л ь н о с ти s„ мы н а з ы в а е м с у м м о й р я д а *).
Е с л и { s j я в л я е т с я не с х о д я щ е й с я , а о с ц и л л и р у ю щ е й с к о ­
нечным р а з м а х о м п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю , то мы го в о р и м , что
р я д о с ц и л л и р у е т с конечны м р а з м а х о м .
*) Как и в случае последовательностей, употребляю тся различные опре­
делен ия расходимости-, некоторые авторы ограничиваются применением
этого термина к случаю, когда s n - * °° или Sn~> —
другие называют
расходящ имися все ряды, которые не сходятся.

К а ж д о й т е о р е м е о п о с л е д о в а т е л ь н о с т я х с о о т в ет с т в у е т т е о р е м а
о р я д а х , т а к к а к е сл и {s„} — н е к о т о р а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь , то,
П

п о л а г а я Ui = Si,

=

— s „ _ i при п > \ , им еем

1

=

Г е о м е т р и ч е с к а я п р о г р е с с и я — это р я д
оо
2 л:" = 1 + д: + л:"* + . . . .
ге-О

З д е с ь е сл и

1, то

и I д:"+* 1 с т а н о в и т с я к а к у г о д н о б о л ь ш и м с в о з р а с т а н и е м п
при | л : | > 1 . Е с л и | л : | < 1 , то д:"+' с т р е м и т с я к н у л ю * ).
Т а к и м о б р а з о м , р я д с х о д и тс я , е сл и | х | < 1 , и не с х о д и тс я ,
есл и | д : | > 1 . Е с л и х = 1 , то с у м м а п ч лен ов р а в н а п и р я д
не с х о д и тс я . Е с л и х = — 1, то с у м м а л ю б о г о нечетного числа
ч л е н о в р а в н а 1, а с у м м а л ю б о го четного ч и с л а ч л е н о в р а в н а 0 .
П о э т о м у р я д о с ц и л л и р у е т с кон ечн ым р а з м а х о м . Т а к и м о б р а ­
зом , чтобы н а ш р я д с х о д и л с я , н е о б х о д и м о и д о с т а т о ч н о в ы п о л ­
нение у с л о в и я
g-р я д Р и м а н а — это р я д в и д а
^ л * — 1 -Ь
rt-0
В о зь м е м с н а ч а л а
в группы

х>1.

Мы

+ -р- - f . . . .

м о ж е м о б ъ е д и н и т ь член ы р я д а

s„= 1+ ( ^ + ^ ) + ( ^ + -^ + -^ + ^ ) +

+ ^

.

С у м м ы в с к о б к а х , и д у щ и х в с л е д з а пе р в ы м ч лен о м , со отв ет­
ственно м ен ьш е, чем
2

4

2* ’

4^ ’ ■• •

1

1

2* - ' ’

(2 ^ -‘)2 ’

Д алее, если т = 2''“ ' и и > т , то
9 - г

I S„ -

[X -D

I< -

*) Точные доказательства этих
ыожио найти в [3, стр. !34, 135].

соверш енно

очевидных

утверж дений

п р а в а я ч ас т ь м о ж е т б ы ть с д е л а н а < е, если в з я т ь г д о ст а т о ч н о
б о л ь ш и м . С л е д о в а т е л ь н о , ? 'Р я д с х о д и тс я , е сл и х > \ .
Если х = \ , напишем
s« = l + i + (y + 7) + ( | + i + y + | ) +

...

.

Все с у м м ы в с к о б к а х п р е в о с х о д я т '/г- С л е д о в а т е л ь н о , р я д не
с х о д и тс я : 5„->-оо. Е с л и 0 < л : < 1 , то все ч лен ы р я д а после
п ер во го в о з р а с т а ю т ; с л е д о в а т е л ь н о , о п я т ь s „ —>-оо.
С л е д у ю щ и й р я д с в я з а н с In 2:

Здесь
S n - S n = ± .(m + l

OT+ 2 ) " ^ ( m + 3

от + 4 ) ”^

И с у м м а в с к о б к а х п о л о ж и т е л ь н а н е з а в и с и м о от четности п — т.
Н о в то ж е в р е м я
1
1
(I -I^ ______ 1 \ ( I
т + 1•1

и каж дое выражение
довательно,

\ тш + 2

/п
т + 3З )/

\\m-\/п + 4

т + 5/

в круглы х скобках положительно. С ле­

О< I

— SmК

J,

а это м е н ь ш е е д л я всех п > т , е сл и т о л ь к о ( т + 1) > 1/е.
О т с ю д а сл е д у е т , что р я д схо ди тся.
М о ж н о с р а з у ж е п р и м ен и т ь это к д о к а з а т е л ь с т в у с л е д у ю ­
щ его ф а к т а : если и „ > 0 , ы „ > ы „+1 д ля в с е х п и
то р я д
с хо ди тс я .

и, — Ы2+ «3 — «4 + . •.

1.051.
А б с о л ю т н а я с х о д и м о с т ь . Е с л и р я д S l “ nl с х о д и тся ,
то
С Х О Д И Т С Я , п о т о м у что с у м м а л ю б о й ч асти р я д а от
д о ы„ по м о д у л ю не м о ж е т б ы ть б о л ь ш е , чем с у м м а с о о т в е т ­
с т в у ю щ и х ч лен ов от 1« т 1 ДО 1 «„ |. В этом с л у ч а е г о в о р я т , что
2 «л абсолю т но сходится-, есл и 2 «л с х о д и тс я , а
нет,
то г о в о р я т , что р я д
сходит ся у с л о в н о . (И н о г д а и с п о л ь ­
зу ю т н а з в а н и е п о л у сходимость-, о д н а к о этой п р и с т а в к о й з л о ­
у п о т р е б л я ю т : то ж е н а з в а н и е и с п о л ь з у ю т и д л я а с и м п т о т и ч е ­
с к и х р я д о в , ко т о р ы е л у ч ш е в о о б щ е не р а с с м а т р и в а т ь в к а ч е с тве
б е с к о н е ч н ы х р я д о в . В о т п очем у с л е д у е т и з б е г а т ь у п о т р е б л е н и я
этого н а з в а н и я .)

Мы в и д е л и , что если в з я т ь все ч лен ы р я д а д л я In 2 с п о л о ­
ж и т е л ь н ы м и з н а к а м и , то полученны й р я д не с хо ди тс я . С л е ­
д о в а т е л ь н о , р я д д л я In 2 у с л о в н о с х о д я щ и й с я . Г е о м е т р и ч е с к а я
п р о г р е с с и я , есл и сх о д и тс я во о б щ е , то с х оди тся абс о л ю тн о .
1.052. П е р е с т а н о в к и р я д а . С у м м а абсолю т но с х о д я щ е г о с я
р я д а не меняется, е с л и брать ч л е н ы р я д а в л ю б о м п о р я д к е .
П у с т ь 2 “ л а б с о л ю т н о с х о д и тс я и с у м м а его р а в н а s;

т о т ж е р я д , но ч лен ы его р а с п о л о ж е н ы в д р у г о м п о р я д к е .
П о н я т н о , что к а ж д ы й член л ю б о г о р я д а вс т р е ч а е тс я в д р у го м ,
но, в о о б щ е г о в о р я , не н а том ж е месте. В о зь м е м п р о и зв о л ь н о е
00

п о л о ж и т е л ь н о е число со и в ы б ер е м т т а к , чтобы

2

I “ л I<

п— т+\

то г д а с у м м а м о д у л е й д л я л ю б о г о н а б о р а членов, в зя т ы х
из перв о го р я д а посл е т - г о , м ен ьш е со. В о зь м е м т ' т а к , чтоб ы
все ч лен ы
предшествующ ие
в с т р е ч а л и с ь во в то ро м р я д у
под н о м е р а м и п', м е н ьш и м и га'. Н а п и ш е м
« т = “ ■ + • • • + “ т-

Sm' =

+ ••• +

Тогда

есть с у м м а ч л е н о в перв о го р я д а , и д у щ и х по с л е
га-го, и ее м о д у л ь м ен ьш е со. Точно т а к ж е , е сл и в з я т ь п ' ^ г а ' ,
то s ' , —
есть с у м м а д р у го г о м н о ж е с т в а членов п ер в ого р я д а ,
и д у щ и х посл е т - г о , и по э то м у ее м о д у л ь т о ж е м е н ьш е и .
С л е д о в а т е л ь н о , в торой р я д с хо ди тс я . П у с т ь его с у м м а р а в н а s'.
Тогда | s - s ' | = | ( s - s j - ( s ' - s ^ , ) - ( s ; „ , - s j | [f {Xr)-f {Xr-i )l
г де
Хо = а ^ ЛГ| ^ аг2 • • • ^ -^ 4 - 1 ^
в з я т у ю по всем ч л е н а м f{Xr) — f {Xr- i ) ,
и сумму

= X,

которые полож ительны ,

в з я т у ю по всем о т р и ц а т е л ь н ы м ч л е н а м . В е р х н ю ю г р а н ь сум м р
по в с е в о з м о ж н ы м р а з б и е н и я м н а з о в е м п о л о ж и т е л ь н о й в а р и а ­
цией Р {а, х) н а (а, х), а верх ню ю г р а н ь всех с у м м п — о т р и ­
ц а т е л ь н о й в а р и а ц и е й N {а, х). П у с т ь v — p + ti] т о г д а з н а ч е ­
ни я V о б р а з у ю т о г р а н и ч е н н о е м н о ж е с т в о , п о с к о л ь к у все они
^ V (а, Ь). И х в е р х н я я г р а н ь V {а, х) есть п о л н а я в а р и а ц и я
f { x ) н а (а, х). В з я в в ер хн и е г р а н и , им еем
V {а, х) = Р {а, x) + N {а, х).
О ч ев и д н о , что Р (а, х), N {а, х), V (а, х) все я в л я ю т с я н е у б ы ­
в а ю щ и м и ф у н к ц и я м и от д: и о г р а н и ч е н ы на (а, Ь).
Д л я лю бого разбиения и д л я лю бого фиксированного х
p-n=^f{x)-f{a),

p + n = v.

Следовательно,
Р ^

J

V + j [ f (х) -

f (а)],

n = Y^-^[fix)-f{a)].
В о зь м е м
тогда

верхнюю

грань

по

всевозмож ны м

Р ( а , x) = j V {а, х) + у [/ (х) - f (а)],
N {а, x ) = - - ^ V { a , х) -

[f (х) - f (а)].

разбиениям;

Следовательно,
f (л;) = [/ (а) + Р (а, х)] - N {а, х),
т а к что f { x ) в ы р а ж е н а
н е у б ы в а ю щ и х ф ункций.

в виде р а з н о с т и д в у х о г р а н и ч е н н ы х

1.093. В с е р а з р ы в ы ф у н к ц и и о гр а н и ч е н н о й в а р и а ц и и и л и
простые, и л и устранимые. Х а р а к т е р н а я особен ность п ростого
р а з р ы в а при х = а состои т в том , что f { a — ) и f { a + ) сущ ес тру ю т и р а зл и ч н ы . А осо бен но сть у с т р а н и м о г о р а з р ы в а в том,
что они с у щ е с т в у ю т и р а в н ы м е ж д у собой, но не р а в н ы /( а ) .
Д о п у с т и м , что в о з м о ж е н с л у ч а й , к о г д а хоть один из эт и х п ре ­
д е л о в не с у щ е с т в у е т, т. е. и м е ю тс я Два ч и с л а М, т { М > т) ,
т а к и е , что в л ю б о м к а к у го д н о ко р о т к о м и н т е р в а л е по о д н у
с т о р о н у от а н а й д у т с я точки, где f ( x ) > M , и точки, где f { x ) < m .
П у с т ь g, — т очк а, где f { x ) > M . Д а л е е , н а й д е т с я т о ч к а м е ж д у а
и I, , с к а ж е м
где f { x ) < m ; з а т е м н а й д е т с я
м е ж д у а и 1^,
г де f { x ) > M , и т. д. О т с ю д а с л е д у е т , что п о л н а я в а р и а ц и я н а
и н т е р в а л е (а, | i ) н е о г р а н и ч е н а , и п о э т о м у f ( x ) не я в л я е т с я
ф у нкц ией ограниченной, в а р и а ц и и .
М о ж н о р а с с у ж д а т ь иначе. П у с т ь / ( х ) — ф у н к ц и я о г р а н и ч е н ­
ной в а р и а ц и и н а (а, Ь). Р а с с м о т р и м п о л о ж и т е л ь н у ю в а р и а ц и ю
Р { х ) н а {а, х). Э то о г р а н и ч е н н а я н е у б ы в а ю щ а я ф у н к ц и я л: и
п о э т о м у им еет п р е д е л ы (не о б я з а т е л ь н о р а в н ы е м е ж д у собой),
к о г д а х - > с [с п р и н а д л е ж и т (а, Ь)] со с то ро ны б о л ь ш и х ил и
м е н ь ш и х зн а ч е н и й . Т о ж е с п р а в е д л и в о д л я о т р и ц а т е л ь н о й в а ­
ри ац и и .
В ы ч и т а я о д н у иЗ д р у го й , н а х о д и м , что f { x ) им еет п р е д е л ы ,
когда
со с тор оны б о л ь ш и х или м е н ь ш и х зн а ч е н и й , а п о ­
т о м у с я в л я е т с я л и б о точкой н е п р ер ы вн о с ти , л и б о пр осты м
или устранимым разры вом .
Е с л и f { c + ) с у щ е с т в у е т, то м о ж н о г о во ри т ь о в а р и а ц и и на
п о л у о т к р ы т о м и н т е р в а л е (с, d), р а с п о л о ж е н н о м с п р а в а от с,
п о д р а з у м е в а я в а р и а ц и ю g { x ) н а (с, d), где g ( c ) = f ( c + ) ,
а в о с т а л ь н ы х т о ч к а х g { x ) = f {x) . Т о г д а э т а в а р и а ц и я с т р е ­
м и т с я к нул ю при d - ^ c . А н а л о г и ч н о м о ж н о о п р е д е л и т ь в а ­
р и а ц и ю н а и н т е р в а л е с л е в а от с, о б л а д а ю щ у ю т а к и м ж е
свойством .
1.094. Скачок в точке разры ва. П у с т ь f {x) р а з р ы в н а в точке а ,
но о г р а н и ч е н а в нек о то р о м и н т е р в а л е , кото ры й с о д е р ж и т а
в к а ч е с т в е в н утр ен н ей точки. Т о г д а д л я не к о то р о го п о л о ж и ­
т е л ь н о г о б ф у н к ц и я f {х) им еет в е рхн ю ю и н и ж н ю ю г р а н и М
и m на (а — б, а + б). Е с л и Ь ' < Ь , то в е р х н я я г р а н ь на (а —б',
а - Ь б ') не м о ж е т б ы ть б о л ьш е , а н и ж н я я г р а н ь не м о ж е т б ы ть

м ен ьш е, чем на и н т е р в а л е (а — Ь, а + 6 ). С л е д о в а т е л ь н о , с к а ч о к
на (а — 6 , а + 6) и м е ет н е о т р и ц а т е л ь н ы й п р е д е л , к о г д а б - > 0 .
Е с л и это т п р е д е л р а ве н н ул ю , то ф у н к ц и я н е п р е р ы в н а в точке а ;
е с л и он п о л о ж и т е л е н , то мы н а з ы в а е м эт о т п р е д е л с к а ч к о м
ф у н к ц и и в то чк е а.
Е с л и /(л:) = 0 ( л :< 0 ) , / ( л : ) = 1 ( х ' ^ 0 ) , то с к а ч о к в О р а в е н 1.
Е с л и /(jc) = 0 { х ф О ) , f ( x ) = l
(л: = 0), то с к а ч о к в О снов а
р а в е н 1.
Е с л и /(л;) = 51п(1/л:), то с к а ч о к при л; = 0 р а в е н 2, п о с к о л ь к у
з н а ч е н и я , п р о и зв о л ь н о б л и зк и е к 1 и к — 1, в с т р е ч а ю т с я в л ю ­
бом и н т е р в а л е о к о л о 0 .
1.10.
И нтегрирование по Р и м ан у и С тилтьесу. В этой книге
б у д у т и с п о л ь з о в ан ы д в а р а з л и ч н ы х о п р е д е л е н и я и н т е г р а л а .
П у с т ь Xi, Х2 ,
— м н о ж ес т в о в о з р а с т а ю щ и х зн а ч е н и й х ,
р а с п о л о ж е н н ы х м е ж д у а м Ь\ п р е д п о л о ж и м , что д л я всех г
разность Х г + \ ~ Х г < Ь
(д л я у д о б с т в а мы п о л а г а е м Х о = а,
Хп+\ = Ь). В о зь м е м в к а ж д о м и н т е р в а л е н е к о то р о е
т а к что
и о б р а з у е м су м м у
Sn = f { W { x ^ - a ) + f { W { x 2 - x , ) + . . . + f { W { b - x , ) .

( 1)

Э та с у м м а за в и с и т и от зн а ч е н и й х^, и от зн а ч е н и й 1^. если
т о л ь к о / ( х ) не к о н с т а н т а ; о д н а к о е сл и м ы в о зь м е м с т р е м я ­
щ у ю с я к нул ю п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь зн а ч е н и й б, в ы б и р а я на
к а ж д о м щ а г у Хг и |г с о г л а с н о п р и в е д е н н ы м н е р а в е н с т в а м и
о б р а з у я к а ж д ы й р а з с у м м у 5„, то эти сум м ы , в о з м о ж н о , б у д у т
с т р е м и т ь с я к п р е д е л у , а эт о т п р е д е л , в о зм о ж н о , не б у д е т з а ­
висеть от вы б о р а Х г и
на к а ж д о м ш а г у . Е с л и это т а к , то
этот п р е д е л н а з ы в а е т с я инт егралом Р и м а н а и о б о з н а ч а е т с я
ь

\f{x)dx.

(2 )

а

М о ж н о т а к ж е и н т е г р и р о в а т ь по ф ункции. Е с л и f { x ) и g ( x ) —
ю гран ичен ны е ф у нкц ии х, то мы о б р а з у е м с у м м у
Sn = f ( h) [g (-ti) - g (a)] + f ( h) I g (X2 ) - g ( x i ) ] + . . .
■■■ + f ( U l g ( l ’) - g ( X n ) h
(3)
выбирая
т а к ж е , к а к в (1). Е с л и э т а с у м м а с т р ем и тс я
к еди н с т в е н н о м у п р е д е л у , к о г д а н а и б о л ь ш и й и з и н т е р в а л о в
( Х г , X r + i ) с т р ем и тс я к нулю , то п р е д е л это т н а з ы в а е т с я инте­
г р а л о м Стилтьеса [ 8 — 10] и о б о з н а ч а е т с я
ь

f (х) d g (х).

(4)

С л е д у е т о б р а т и т ь в н и м ан и е на з а п и с ь п р е д е л о в и н т е г р и р о в а ­
н и я, ибо ф у н к ц и я g { x ) м о ж е т не б ы ть м онотонн ой. О н а м о ж е г
в е р н у т ь с я к с в о е м у п е р в о н а ч а л ь н о м у зн а ч е н и ю , но мы не­
д о л ж н ы при этом пи с ат ь, что о б л а с т ь и н т е г р и р о в а н и я р а с п р о ­
с т р а н я е т с я от g ( a ) д о g{ a) , и н т е г р а л т о г д а , очевидно, о б р а ­
т и л с я бы в н у л ь. П о с т о я н н о е в о з р а с т а н и е в о б л а с т и и н те г р и ­
р о в а н и я т р е б у е т с я не от g { x ) , а от х.
ь

1.101. И нт егр ал Р и м а н а

J

f { x ) d x существует тогда и только

а

тогда, к о г д а f { x ) о г р а н и ч е н а на (а, Ь), и д л я л ю б ы х п о л о ж и ­
т ельных
и ц инт ервал {а, Ь) можно так разбить н а к о н е ч н о е
ч и с л о и нт ер валов, что те и з н и х , г д е с к а ч о к f { x ) ^ ( £>, имеют
о б щ у ю д л и н у м е н ь ш е т].
П р е ж д е всего о г р а н и ч е н н о с т ь f { x) , о чеви дн о, н е о б х о д и м а
д л я с у щ е с т в о в а н и я и н т е г р а л а . И б о есл и f { x ) не о гра н и че н а
на (а, Ь), то в сегда н а й д е т с я хоть один и н т е р в а л (Хг, Xr+i), н а
к о торо м она н е о г р а н и ч е н а ; а с л е д о в а т е л ь н о , н ео гр а н и ч ен о м н о ­
ж е с т в о зн а ч е н и й S„, ко т о р ы е о б р а з у ю т с я при р а зл и ч н о м в ы ­
б оре |г на этом и н т е р в а л е . П о эт о м у , к а к бы ни в ы б и р а т ь
и н т е р в а л ы , не м о ж е т с л у ч и т ь с я , чтобы су м м ы
стремились
к е д и н с т в е н н о м у п р е д е л у н е з а в и с и м о от в ы б о р а i r на к а ж д о м
ш агу .
П р е д п о л о ж и м т еп ерь, что в е р х н я я и н и ж н я я г р а н и f (х) на
(а, Ь) р а в н ы М и т . П р е д п о л о ж и м т а к ж е , что в е р х н я я и н и ж ­
н я я г р а н и н а (х^, x^+i) р а в н ы Mr и /Пг, т а к что при л ю б о м
в ы б ор е
им еем
< /(Ы ^
О б р а з у е м су м м ы
К = Цтг(хг+1-Хг),

И„ = ^ М г ( х г + 1 - Х г ) .

1

( >

Эти су м м ы н а з ы в а ю т с я н и ж н е й и в ер хн ей с у м м а м и д л я р а з ­
б и ен и я, о п р е д е л я е м о г о т о ч к а м и Хг, и я в л я ю т с я н и ж н е й и ве р х ­
ней г р а н я м и 5 „ при этом р азб и е н и и .
Д а л е е , в л ю б о м и н т е р в а л е (х^,
н а й д е т с я т а к о е значе3

1

ние X, где f ( x ) ^ j M r + j n i r , и т а к о е зн а ч е н и е х, где / ( х ) <
<

+ -г

С л е д о в а т е л ь н о , если

Мг — г п г ^ & ,

то

можно

таким и д вум я способами вы брать
что с о о т в ет с т в у ю щ и е з н а ­
ч ен ия f i l r ) (Xr+1- x , ) б у д у т о т л и ч а т ь с я д р у г от д р у г а по к р а й ­
ней м ере н а у со (x^+i — х^).
П о с к о л ь к у вы бор 1г во всех и н т е р в а л а х п р о и зв о д и т с я н е з а ­
виси мо, то, е сл и и н т е р в а л ы , где M j —
и м ею т о б щ у ю
д л и н у ^ т ) , где Т1— нек отор ое п о л о ж и т е л ь н о е число, мы с м о ­
ж е м т о г д а т а к и м и д в у м я с п о с о б а м и в ы б р а т ь |г в к а ж д о м

и н т е р в а л е , что с о о т в ет ст в у ю щ и е зн а ч е н и я
крайней

мере на

Если

найдутся

б у д у т о т л и ч а т ь с я па
с о > 0 и Т1> 0 , т а к и е ,

что д л я л ю б о г о р а з б и е н и я (а, Ь) о б щ а я д л и н а и н т е р в а л о в , где
с к а ч о к f { x ) ' ^ a , в с е г д а по к р а й н е й м ер е р а в н а г|, то т о гд а
с у м м ы Sn не м о г у т им еть еди н ств ен н ы й п р е д е л . С л е д о в а т е л ь н о ,
у к а з а н н о е у сл о в и е я в л я е т с я не о б х о д и м ы м .
П о с к о л ь к у tUr ^ М , М г ' ^ т , то в се г д а
h ^ ^ M { b - а),

Нп>т{Ь-а).

(2)

С л е д о в а т е л ь н о , зн а ч е н и я /г„, кото ры е п о л у ч а ю т с я при в се­
в о з м о ж н ы х р а з б и е н и я х , и м е ю т верх н ю ю г р а н ь , н а з о в е м ее h;
а значения
и м ею т н и ж н ю ю г р а н ь , н а з о в е м ее Я . П о к а ж е м
п р е ж д е всего, что h ^ H .
Е с л и в п р о и зв о л ь н о м и н т е р в а л е (лг^, Xr+i) в з я т ь е щ е о д н у
т о ч к у р а з б и е н и я , с к а ж е м Xri, и с н о в а о б р а з о в а т ь н и ж н ю ю и
в е р х н ю ю сум м ы , то в к а ж д о м и з ч асти ч н ы х и н т е р в а л о в (л:,, x^i)
и {xru Xr+i) в е р х н я я г р а н ь f { x ) м о ж е т о к а з а т ь с я м ен ьш е,
чем Mr , но не б о л ь ш е . Т ем с а м ы м д о б а в л е н и е н о вы х точек
р а з б и е н и я м о ж е т у м е н ь ш и т ь в е р х н ю ю с у м м у , но не м о ж е т ее
у в е л и ч и т ь ; и а н а л о г и ч н о оно м о ж е т у в е л и ч и т ь н и ж н ю ю с ум м у ,
но не м о ж е т ее у м е н ь ш и т ь .
Рассм отри м теперь д ва различны х разбиения, определяем ы е
т о ч к а м и х^ и х'^. П у с т ь с о о т в е т с т в у ю щ и е с у м м ы р а в н ы
Л„,
Яр, h'p. Р а с с м о т р и м р а з б и е н и е , к о т о р о е о б р а з у е т с я , есл и
о б ъ е д и н и т ь вм е с т е все точки об о и х р а з б и е н и й . П усть д л я него
с у м м ы р а в н ы Н " , h'q. М о ж н о с чи тать, что ново е р а зб и е н и е по­
л у ч е н о д о б а в л е н и е м то чек к а к к м н о ж е с т в у х^, т а к и к м но ­
ж е с т в у х'^.
С л е д о в а т е л ь н о , с о г л ас н о п р е д ы д у щ е м у а б з а ц у ,
(3)
Т а к и м о б р а з о м , н и к а к а я н и ж н я я с у м м а не м о ж е т о к а з а т ь с я
б о л ь ш е к а к о й -н и б у д ь в ер хн ей су м м ы , а с л е д о в а т е л ь н о , Я „ ^ / г
д л я всех п и, зн а ч и т , H ~ ^ h .
Д а л е е , есл и мы с м о ж е м н а й ти т а к о й способ р а з б и е н и я , при
к о т о р о м Н п ~ h n < E , то и з этого б у д е т с л е д о в а т ь , что Н — к < г \
в с а м о м д е л е , Я „ - Л „ = ( Я - Л ) + ( Я „ - Я ) 4- ( /г - /г „ ) и Я „ - Я > 0 ,
Л—
^ 0 . П р е д п о л о ж и м т еп ер ь, что все и н т е р в а л ы р а з б и т ы
н а д в а к л а с с а : к л а с с А , в к ото ром Mr — тг, и к л а с с В,
г д е М г ~ Ш г '^ а ) . Д л я и н т е р в а л о в из к л а с с а В и м е е т с я все ж е
о ц е н к а сверху: М^ — Ш г ^ М — т . Е с л и а — о б щ а я д л и н а всех
В - и н т е р в а л о в , то
Н п ~ h „ < { b — а — а) а + {М — т ) а.

(4)

Д о п у с т и м те п е р ь, что д л я л ю б о г о со о б щ а я д л и н а всех Б -и н т е р в а л о в м о ж е т б ы ть с д е л а н а п р о и зв о л ь н о м а л о й . Т о г д а д л я
л ю б о г о п о л о ж и т е л ь н о г о е м о ж н о п о д о б р а т ь со и а т а к , что

(6 —a ) c o < - j e ,

(M —m ) a < j 8 .

(5>

О т с ю д а с л е д у е т , что О ^ Н — h < e , а с т а л о бы ть, п о с к о л ь к у Я
и h н е з а в и с я т от е,
H = h.
(6)'
Н а м о с т а л о с ь п о к а з а т ь е щ е , что е с л и м ы в о з ь м е м т а к и е
р азбиения, д л я которых д ли н а наибольш его и н тер вал а р авн а б
и б - > 0 , то Н п ~ > Н , /г„-->/г = Я . П у с т ь ЛГ;. — м н о ж е с т в о точек
р а з б и е н и я , у д о в л е т в о р я ю щ е г о у с л о в и ю (5), т а к что Я „ — / г „ < е .
П у с т ь с а м ы й кор отк ий и н т е р в а л этого р а з б и е н и я р а в е н 6 ; р а с ­
см о тр и м д р у г о е р а з б и е н и е с п о м о щ ь ю то ч е к х ', т а к о е , что
д л и н а его н а и б о л ь ш е г о и н т е р в а л а м е н ьш е б. П у с т ь д л я этого
р а з б и е н и я в е р х н я я и н и ж н я я су м м ы р а в н ы Я р , hp. Т о г д а л ю ­
бые п о с л е д о в а т е л ь н ы е точки л:',
либо при надлеж ат одному
и т о м у ж е и н т е р в а л у р а з б и е н и я х „ л и б о д в у м со седн и м и н т е р ­
валам.
Е с л и эти по с л е д н и е о б а я в л я ю т с я Л - и н т е р в а л а м и , то с к а ­
чок f { x ) н а (д:',
м е н ь ш е 2®; е сл и о б а они В - и н т е р в а л ы
или один А-, а д р у го й В - и н т е р в а л , то с к а ч о к не п р е в о с х о д и т
М — т. Н о есл и S -и н т е р в а л им е е т д л и н у
то д л и н а
л:'-интервалов, и м е ю щ и х с ним о б щ и е точки, не п р е в о с х о д и т
ц - Ь 2 б ^ З ц . С л е д о в а т е л ь н о , ск а ч к и f ( x ) н а л :'-и н т ер ва л а х < 2со
д л я всех и н т е р в а л о в , кром е , б ы ть м о ж е т , нек о то р о го п о д м н о ­
ж е с т в а с о б щ е й д л и н о й ^ З 2 ц = 3а. Т а к и м о б р а з о м ,
Н'р — h 'p < ( b — а — За) 2(0 + 3 ( М — т) а < - ^ е .
К р о м е того, Н ' р ' ^ Н ,

(7)

h 'p < ,H \ с л е д о в а т е л ь н о ,

Я ;- Я < |е ,

Я - / г ; < | - 8.

(8)

П о с к о л ь к у это с п р а в е д л и в о д л я л ю б о г о р а з б и е н и я с д л и н о й
н а и б о л ь ш е г о и н т е р в а л а , м е н ьш е й б, то это и есть иск о м ы й
результат.
Н аконец, так как
то
тож е стремится к Я .
1.1011.
В ы ш еуказанное условие при н адлеж и т Д ю б у а-Р ай м ону. Е го м о ж н о в ы с к а з а т ь в д р у го й ф о р м е , и н о гд а б о л е е
у д о бн ой . Н е о б х о д и м о е и достаточное у с л о в и е с у щ е ст в о ва н и я

инт еграла J f { x ) d x

состоит в следуюи^ем'- f { x ) о гр а н и ч е н а , и

а

д л я л ю б ы х п о ло ж и т е ль ны х ш ы т] точки р а з р ы в а , в которых
скачок
можно покрыть к о н е ч н ы м ч и с л о м инт ервалов
■С оби^ей д л и н о й < т ] .
Я сно, что д а н н о е у с л о в и е в ы т е к а е т и з у с л о в и я Д ю б у а Р а й м о н а . Н а о б о р о т , есл и т о л ь к о что с ф о р м у л и р о в а н н о е у с л о ­
вие вы п о л н ен о, то на о с т а в ш и х с я и н т е р в а л а х нет точек
р а з р ы в а со с к а ч к о м
Т о г д а о к о л о л ю б о й точки, п р и н а д л е ­
ж а щ е й о с т а в ш и м с я и н т е р в а л а м , м о ж н о н ай ти и н т е р в а л , на
к ото ром с к а ч о к < со. С л е д о в а т е л ь н о , по м о ди ф и ц и р о ва н н о й
т е о р е м е Гейне — Б о р е л я о с т а в ш и е с я и н т е р в а л ы м о ж н о р а з б и т ь
на конечное число ч асте й , в к а ж д о й из ко т о р ы х с к а ч о к < со.
1.1012.
Н е м е д л е н н ы м с л е д с т в и е м я в л я е т с я тот ф а к т , что
л ю б а я н е п р ер ы в н а я ф ун кц и я им еет и н т е г р а л Р и м а н а ; в с а м о м
д ел е , о н а о г р а н и ч е н а и в о о б щ е не им еет то чек р а з р ы в а . Точно
т а к ж е л ю б а я ф у н к ц и я с кон ечн ым ч и сл о м р а з р ы в о в (в к о т о ­
рых о н а им е е т конечные скач ки ) о б л а д а е т и н т е г р а л о м Р и м а н а .
Т о ж е от н ос и т с я к л ю б о й ф ун кц и и огр а н и ч е н н о й в а р и а ц и и .
И б о есл и д л я н е к ото ро го со с у щ е с т в у е т б есконечное м н о ж е с т в о
точек р а з р ы в а , в ко т о р ы х с к а ч к и ф ункц ии б о л ь ш е ®, то она
не я в л я е т с я ф ункц ией о г р а н и ч ен н о й в а р и а ц и и .
О т м ет и м , что это у с л о в и е не т р е б у е т кон ечн ости ч и с л а т о ­
чек р а з р ы в а . П о л о ж и м f { x ) = l при х = 1/п д л я вс е х ц е л ы х
полож ительны х п и f {x) = 0 в остальны х точках. Ф ункция
р а з р ы в н а при всех х = 1 / / г , а т а к ж е при х = 0. О д н а к о д л я л ю ­
бого г| и н т е р в а л ^0 , -^T)j

содержит

разры ва,

таких,

а

оставш ихся,

б есконечно

что у Т ] ^ л: ^

много

точек

1, — л и ш ь к о ­

нечное число, и их м о ж н о п о к р ы ть кон ечн ым ч ислом и н т е р в а ­
лов с общей длиной

т). Т а к и м

образом,

бесконеч ное

м но ­

ж е с т в о то ч е к р а з р ы в а и н о гд а м о ж е т б ы ть п ок ры то кон ечн ым
ч ислом и н т е р в а л о в с п р о и зв о л ь н о м а л о й о б щ е й д ли н о й .
Если f ( x) = 0 д л я X иррациональны х и f ( x ) = l / n д л я х =
= m ln , г д е m/rt — п р а в и л ь н а я н е с о к р а т и м а я д р о б ь , то f { x )
р а з р ы в н а при всех р а ц и о н а л ь н ы х з н а ч е н и я х х из (О, 1), но
н е п р е р ы в н а при всех и р р а ц и о н а л ь н ы х зн а ч е н и я х . В с а к о м
д ел е , л ю б о е и р р а ц и о н а л ь н о е Xq м о ж н о п о к р ы ть и н т е р в а л о м
д л и н ы 1/«!, не с о д е р ж а щ и м р а ц и о н а л ь н ы х д р о б е й со з н а м е ­
н а т е л е м , м е н ьш и м п, и, с л е д о в а т е л ь н о , зн а ч е н и я f { x ) в д о с т а ­
т о ч н о м а л о м и н т е р в а л е , с о д е р ж а щ е м л:о, п р о и зв о л ь н о м а л ы .

В р а с с м а т р и в а е м о м с л у ч а е ф у н к ц и я f { x ) им еет точки р а з р ы в а
в к а ж д о м с к о л ь у г о д н о кор о т к о м и н т е р в а л е . Тем не м енее
о н а о б л а д а е т и н т е г р а л о м Р и м а н а , иб о число то чек р а з р ы в а ,
в к о т о р ы х с к а ч о к }{ х) п р е в ы ш а е т е, не б о л ь ш е , чем с у м м а
ц е л ы х чисел, м е н ь ш и х 1/е, и, зн а ч и т , конечно. И н т е г р а л этой
ф у нкц ии р а в е н нулю .
Е сли / ( j c ) = l д л я X р а ц и о н а л ь н ы х и f { x ) = 0 д л я и р р а ­
ц и о н а л ь н ы х , то д л я к а ж д о г о лго, н е в а ж н о , р а ц и о н а л ь н о г о или
нет, н а й д у т с я з н а ч е н и я х, п р о и зв о л ь н о б л и зк и е к Хо, где
/ ( л : ) = 1 , и д р у ги е, где /{д:) = 0. С л е д о в а т е л ь н о , л ю б о е з н а ч е ­
ние X я в л я е т с я точкой р а з р ы в а со с к а ч к о м , р а в н ы м 1, и т а ­
кие точк и н а (О, 1) н е л ь з я п о к р ы ть н и к а к и м м н о ж е с т в о м
и н т е р в а л о в с д л и н о й < 1. В этом с л у ч а е Я „ = 1 ,
= О, к а к
бы мы ни р а з б и в а л и и н т е р в а л .
П р я м о е п р а к т и ч е с к о е зн а ч е н и е осо бен но стей т а к о г о т и п а
н е в е л и к о . О д н а к о , к о л ь с кор о м ы хотим з а н и м а т ь с я о б о б щ е ­
н и я м и , эти особен ности очень в а ж н ы к а к с и г н а л ы опасно сти.
С у щ е с т в у ю т д р у ги е о п р е д е л е н и я и н т е г р а л а ( н а и б о л е е в а ж н о е
п р и н а д л е ж и т Л е б е г у ) , ко т о р ы е п р и д а ю т зн а ч е н и я некото ры м
и н т е г р а л а м , не с у щ е с т в у ю щ и м по Р и м а н у ( в к л ю ч а я то л ь ко
что у п о м я н у т ы й с лучай). В этих о п р е д е л е н и я х с с а м о г о н а ­
ч а л а р а с с м а т р и в а ю т с я р а з б и е н и я . н а б есконечное м н о ж е с т в о
час те й . О ни у п р о щ а ю т ф о р м у л и р о в к и и з а м е т н о у в е л и ч и в а ю т
о б щ н о с т ь н е к о то р ы х из п о сл е д н и х тео рем . Ч и т а т е л ь м о ж е т
п о з н а к о м и т ь с я с этим и о п р е д е л е н и я м и у Б а р к и л л а [11] и
Т и т ч м а р ш а [12]. О д н а к о о к а з ы в а е т с я , что с л у ч а и , в к о т о р ы х
эти м е то д ы при м ен и м ы , а м ето д Р и м а н а нет, т а к ре д к и в ф и ­
зи к е , что тру д н о ст и , с в я з а н н ы е с их в в е д е н и е м , не о п р а в д ы ­
ваются.
Е сли f { x ) им еет и н т е г р а л Р и м а н а , то {/(л:)}" ( / г > 0 ) и \ f ( x) \
т а к ж е о б л а д а ю т и н т е г р а л о м Р и м а н а на том ж е и н те р в а л е .
П о с к о л ь к у если f { x ) о г р а н и ч е н а и ее точки р а з р ы в а , в ко т о ­
ры х с к а ч о к п р е в о с х о д и т со, м о г у т б ы ть по к р ы ты и н т е р в а л а м и
с п р о и зв о л ь н о м а л о й об щ ей д л и н о й , тО это ж е пр и м ен и м о
к { f { x ) T и к |/(л:)|. О б р а т н о е неверно. Р а с с м о т р и м / ( л : ) = 1 при
р а ц и о н а л ь н ы х зн а ч е н и я х х, f ( x ) = — l при и р р а ц и о н а л ь н ы х
зн а ч е н и я х ; { /(x )F и |/(дг)| ин те гр и р у е м ы , а f ( x ) нет.
1.1013.
„ М е р а н у л ь “ , „почти в с ю д у " . М н о ж е с т в о точек, к о ­
т о р о е м о ж н о п ок ры ть и н т е р в а л а м и с п р о и зв о л ь н о й м а л о й
о б щ е й д л и н о й , н а з ы в а ю т м н о ж е с т в о м м еры н у л ь , а п р е д л о ­
ж е н и е , с п р а в е д л и в о е всю ду, к р о м е т а к о г о м н о ж е с т в а , н а з ы ­
в а ю т верны м почти в с ю д у . Л ю б о е конечное м н о ж е с т в о точек
им е е т м ер у нуль; тем ж е св ойств ом о б л а д а ю т и все целы е
ч и с л а , п о с к о л ь к у к а ж д о е целое п м о ж н о покры ть и н т е р в а л о м

длины

2 - 1" ' а, где а п р о и зв о л ь н о м а л о , и п о с к о л ь к у р я д
с х о д и тс я . М е р у н у л ь и м ею т и все р а ц и о н а л ь н ы е ч и с л а
н а (О, 1).
В с а м о м д ел е , если р и q — ц е л ы е и т ак и е , что p < q , то pf q
м о ж н о п о к р ы ть и н т е р в а л о м д л и н ы ajq^, где а п о л о ж и т е л ь н о .
С у щ е с т в у е т q — \ д р о б е й со з н а м е н а т е л е м q, и с к л ю ч а я О и 1.
Н о О и 1 м о ж н о по к р ы ть и н т е р в а л а м и д л и н ы а, а о с т а л ь н ы е
д р о б и — и н т е р в а л а м и с с у м м а р н о й д л и н о й , м ен ьш е й а/ •••> с т р е м я щ у ю с я к н у л ю . Е с л и f { x ) о б л а д а е т
и н т е г р а л о м Р и м а н а , то точки, в ко т о р ы х с к а ч о к ^ со (если т а ­
к о в ы е в о о б щ е и м ею тся ), м о ж н о по к р ы ть кон ечн ы м числом
и н т е р в а л о в п р о и зв о л ь н о м а л о й д л и н ы ; с л е д о в а т е л ь н о , точки
р а з р ы в а , в к о т о р ы х с к а ч о к < co„_i, но ^ c o „ , м о ж н о по к р ы ть
к о н е ч н ы м м н о ж е с т в о м и н т е р в а л о в д л и н ы 2 ~ ’^ц, а все точки
р а з р ы в а — м н о ж е с т в о м д л и н ы т]. Э то м н о ж е с т в о и н т е р в а л о в
с четн о, иб о к а ж д ы й и н т е р в а л м о ж е т бы ть д о с т и г н у т з а к о ­
нечное число ш аг о в ; с л е д о в а т е л ь н о , точки р а з р ы в а и н те г р и ­
р у е м о й ф ункц ии м о ж н о п о к р ы ть счетны м м н о ж е с т в о м и н т е р в а ­
л о в с п р о и зв о л ь н о м а л о й о б щ е й д л и н о й . Э ти и н т е р в а л ы м огу т
пересекаться.
1.102.
С ущ ествование интегралов С тилтьеса. О п р е д е л е н и е
и н т е г р а л а этого т и п а , д а н н о е в 1.10, п о зв о л я е т , чтобы ф у н к ­
ц и я g ( x ) б ы л а р а з р ы в н о й . Е с л и g ( x ) не у б ы в а е т и о г р а н и ч е н а
при
и если f ( x ) т о ж е о г р а н и ч е н а , то н е о б х о д и м о е и
ь

достаточное условие сущ ествования

f { x ) d g { x ) состои т в елех=а
д у ю щ е м : д л я л ю б ы х со и б и н т е р в а л м о ж н о р а з б и т ь на к о ­
неч ное число п о д ы н т е р в а л о в , т а к что в те х п о д ы н т е р в а л а х ,
г д е с к а ч о к f { x ) б о л ь ш е со, п о л н а я в а р и а ц и я g ( x ) м е н ьш е б.
Д о к а з а т е л ь с т в о по с у щ е с т в у т а к о е ж е , к а к д л я и н т е г р а л а
Р им ан а. Если
и м е е т о г р а н и ч ен н у ю в а р и а ц и ю , то мы п о ­
л у ч и м т о т ж е р е з у л ь т а т , в ы р а ж а я g ( x ) в виде р а зн о с т и д в у х
н е у б ы в а ю щ и х ф ункц ий ф(л:) — г]5(л:) и р а с с м а т р и в а я о т д е л ь н о
/(л:)£гф(дс)

и

f f i x ) dtp (х).

В частно сти, и н т е г р а л С т и л т ь е с а с у щ е с т в у е т на л ю б о м к о ­
н ечном и н т е р в а л е , есл и g { x ) и м е е т о г р а н и ч е н н у ю в а р и а ц и ю ,
а f { x ) н е п р е р ы в н а . О н не с у щ е с т в у е т , если f {х) и §(л:) и м ею т
т о ч к у р а з р ы в а при о д н о м и том ж е зн ач е н и и х, т а к к а к в л ю ­
б ом и н т е р в а л е , с о д е р ж а щ е м т о чк у р а з р ы в а , ни с к а ч о к f {x) ,
ни п о л н а я в а р и а ц и я g { x ) не я в л я ю т с я п р о и зв о л ь н о м а л ы м и .
О т с ю д а с л е д у е т , что д л я с у щ е с т в о в а н и я и н т е г р а л а С т и л т ь е с а
не д о ст а т о ч н о , чтобы f { x ) и §(д:) обе б ы ли о г р а н и ч е н н о й в а ­
риации.
М ы не д а е м у с л о в и й с у щ е с т в о в а н и я и н т е г р а л а С т и л т ь е с а
д л я о б щ е г о случа-я, к о г д а g { x ) не я в л я е т с я ф у нкц ией о г р а н и ­
ченной в а р и а ц и и : д о ст а т о ч н о , чтобы g { x ) б ы л а н е п р е р ы в н а ,
а f { x) и м е л а огр а н и ч е н н у ю в а р и а ц и ю , но не д о ст ат о ч н о , чтобы
они обе бы ли н е п р ер ы в н ы (это б у д е т д о к а з а н о ниж е).
Если а < Ь < с
и е сл и
ввести о б о зн а ч е н и е
I {d, е) =
е

=

f ( x ) d g { x ) , то из с у щ е с т в о в а н и я I {а, с) сл е д у е т : / ( а , Ь)
x=d
И 1( Ь, с) о б а с у щ е с т в у ю т , и их с у м м а р а в н а I { а , с). О б р а т н о е
верно не в с е гд а . Е с л и

то

/w = 0

{х0),

fdg и
f d g оба сущ ествую т и равны нулю, а
*= -1
*=0
I
f d g не с у щ е с т в у е т. О б р а т н о е д е л а е т с я ве р н ы м д л я с л е г к а

и зм е н ен н о г о о п р е д е л е н и я и н т е г р а л а С т и л т ь е с а , д а н н о г о
лардом.
1.103. Д и ф ф ер ен ц и р ован и е.
X

а) Е с л и f { x ) н е п р е р ы в н а и

f { u ) d u ~ F { x ) , то
а

d
dx

F { x ) = f {x)

и F (х) я в л я е т с я н е п р е р ы в н о й ф у н к ц и е й х .
Э то почти о чеви дн о,
б) Е с л и
^F{x)=^f{x)

Пол­

и f { x ) ин т е гр и р у е м а , то
f {u) d u = F ( x ) - F {а).
П о с к о л ь к у F (х) д и ф ф е р е н ц и р у е м а н а {а, Ь), то, к а к мы
з н а е м из 1.0622, д л я л ю б ы х п о л о ж и т е л ь н ы х со и б м о ж н о
р а з д е л и т ь {а, Ь) н а кон ечн ое м н о ж е с т в о и н т е р в а л о в (х^, Хг+\)
д л и н ы ^ 6 и в к а ж д о м и з них в з я т ь н е к о то р у ю т о чк у
т а к,
что д л я л ю б о й то чк и из { Х г , A^r+ l)
\ F { x ) - F ( Ы - (л: - Ы F ' (|Л1 < (OU - 1 , 1

(1)

и, с л е д о в а т е л ь н о ,
(2 )

\ F{ Xr + i ) - F { X r ) - ( X r + i - X r ) F ' i l r ) \ < d ) ( X r + i - X r ) .

Суммируя, получаем
\ F (Ь) - F (а) - ' ^{Xr+j - Хг) f ilr)\ <

- а).

(3)

П о с к о л ь к у f ( x ) и н те г р и р у е м а , м о ж н о д л я л ю б о г о з а д а н н о г о
п о л о ж и т е л ь н о го е в ы б р а т ь т а к о е 6, чтобы с у м м а в ф о р м у л е (3)
о т л и ч а л а с ь от и н т е г р а л а м ен ьш е , чем н а е. Т а к и м о б р а з о м ,
ь
\ F{ b) — F {а) -

I f i x ) d x \ < е + (о(Ь — а).

и, с л е д о в а т е л ь н о , л е в а я ч ас т ь р а в н а н у л ю , ибо е и ю п р о и з ­
вольно малы.
З а м е т и м , что F (х) м о ж е т бы ть д и ф ф е р е н ц и р у е м о й , а ее
п р о и зв о д н а я м о ж е т не б ы ть и н тегр и ру ем ой ; н а п р и м е р ,
F (х) = л;2 sin ^
П роизводная существует
в л ю б о й о крестн ости 0 .

(0 < х < 1 ),
даж е

при

F{0) = 0.

х = 0,

но

неограничена

Ь

X

в) Е с л и f { x ) имеет интеграл Р и м а н а J f ( x ) d x , то J f { u ) d u
а

а

существует и явля е т с я н е п р е р ы в н о й ф у н к ц и е й д л я в с е х х , та­
к и х , что а ^ х ^ Ь ; п р о и з в о д н а я этой ф у н к ц и и р а в н а f (х) в с ю ­
ду, кром е, быть может, множества м еры н у л ь , а и м е н н о
кро м е точек р а з р ы в а f {x) .
П у сть X — т о ч к а неп р ер ы вн о с ти / ( х ) . Т о г д а в и н т е р в а л е
(х — /г, X + h) с к а ч о к / ( | ) р а в ен (о, где с о -> 0 в м е с те с h.

К р о м е того,
'x+h

x+h

f (л:) - CO<

j

f{u)du-=-j

f{u)du—

f{u)du

<

/ (л:) + CO.

X

У с т р е м л я я h к н у л ю , имеем
f {u)du-=f{x)

dx
BO в с е х т о ч к а х ,

где

О тсю даследует,

f{x) н е п р ер ы в н а .
что если

X

J

X

f (и) d u =

g (и) du,

J

a

a ^ x ^ b ,

a

TO f ( x ) = ^ g { x ) почти в сю д у н а a ^ x ^ b ’, и с к л ю ч е н и е п р е д ­
с т а в л я ю т точки р а з р ы в а f { x ) или ^(д:) (если т а к о в ы е им ею тся).
И с к л ю ч е н и е , у п о м я н у т о е в пу н кте „ в “ , д о в о л ь н о в а ж н о е .
Е сл и , н а п р и м е р , f { x ) = 0 при л : < 0 и / ( х ) = 1 при х > 0 , то
f(;c )=

f{u)du
-1

= o u < o ),
= х(х>0).

и - ^ F { x \ не с у щ е с т в у е т при х = 0. Е с л и ж е f { x ) = 0 при х ф О
dx
X

и f{x)=l

при лг = 0 , то

/{ « )d « = 0

на

любом

интервале

и

а

вс ю д у и м е ет п р о и зв о д н у ю ,
п р о и з в о д н а я не р а в н а f {x) .
1.1031.
Положим

равную

нулю;

при

x= 0

эта

И нтегрирование по частям д л я и нтеграла С тилтьеса.
( 1)

r= i
при этом
Xq ~ йу

Xfi == bf

Xq ^

^ Х\ ^

^ Xf ^i ^

^ Xf , , , ^ х^. (2)

Тогда
Sn = f

(Хп)

g

(Хп)

-fiXo)g(Xo)-'hn,

(3)

где
lln-gixo)[f{h)-f{xo] +

+ 2 g
r=l
5

З а к . 231

( Xr )

If (ir+l) - / (I.)] + ёГ (x„) и ( x j - f (!„)].

(4)

Д о п у с т и м , что / =

f d g с у щ е с т в у е т, т. е. д л я л ю б о г о е > 0

м о ж н о п о д о б р а т ь 6 т а к , что д л я всех
д ли на наибольш его поды нтервала < 6,

р а зб и е н и й , в кото ры х

|S „ - /|< e .
Тогда

для

любого

м нож ества

li — а , . . . , |л + | — Ео

(5)

а,

|з> •••> Ь, т а к о г о ,

все

что

м ен ьш е у б, если д л я

в ы п о л н я ю т с я н е р а в е н с т в а (2 ), то в ы п о л н я ю т с я т а к ж е н е р а в е н ­
с т в а Х г ~ Х г - 1 < Ь при всех г. С л е д о в а т е л ь н о , д л я т а к о г о м но ­
жества
\' Ln-f{b)g{b) + f { a ) g { a ) + l\ 0 , а этот п р е д е л по

о п р е д е л ен и ю р а ве н

g d f . Следовательно,
ь

g o f /сущ ествует и

ь
Sdf = [ f g t -

В ч астн ости , п о с к о л ь к у

fdg

f f dg.

сущ ествует,

(7)
когда f непре­

ры вн а, а g им е е т о г р а н и ч е н н у ю в а р и а ц и ю , то он с у щ е ­
с т в у е т т а к ж е и в том с л у ч а е , к о г д а f им еет огр а н и ч ен н у ю ва)иаци ю , а g н е п р е р ы в н а . Е с л и ^ ( х ) я в л я е т с я и н т е г р а л о м Р и м а н а
X

g(x)=

h{u)du

то о н а и н е п р ер ы в н а , и им е е т о гр а н и ч е н н у ю

вариацию; следовательно,

J

f d g с у щ е с т в у е т , есл и / о б л а д а е т хоть

одним из этих свойств.
Д л я и н т е г р а л о в Р и м а н а р е з у л ь т а т обы чно ф о р м у л и р у ю т в виде
ь

ь
f (х) g ' (х) d x = [/ (л:) g (х)]а -

/ ' U ) g (х) dx\

(8)

т а к и м о б р а з о м , чтобы обе ф ункции и f, и g б ы л и д и ф ф ер ен ­
ц и р у е м ы д л я всех X , т р е б у е т с я а ^ х ^ Ь . Е с л и пр о и зв о д н ы е
с у щ е с т в у ю т и и н те г р и р у е м ы , то этот р е з у л ь т а т н е м е д л е н н о
с л е д у е т из (7) и 1.1032. Ф о р м у л а (7) в е р н а , о д н а к о , в б о л е е
о б щ и х у с л о в и я х . П р о с т е й ш и й путь и с п о л ь з о в а н и я (8) состоит
в том , чтобы с н а ч а л а п р о и н т е гр и р о в а т ь g' , а потом п е р е п и са ть
(8) в виде (7),

1.1032. З а м е н а
у
g { u ) d u и если

п е р е м е н н о го в и н т е г р а л е . Е с л и x = h( y) =>

f {х) dx,

J / {х) g (у) dy

/ =

у=а

а

об а с у щ е с т в у ю т , то I = J. П о с к о л ь к у по п р е д п о л о ж е н и ю оба
и н т е г р а л а с у щ е с т в у ю т , то д о ст а т о ч н о д о к а з а т ь , что и н т е г р а л ь ­
ные су м м ы с т р е м я т с я к о д н о м у и т ом у ж е п р е д е л у х отя бы
при одном способ е их о б р а з о в а н и я . В о зь м е м Хг = Н{Уг),
=
= h (т],), т о гд а
l n - I i f i l r ) { X r +l - X r ) ,

J n - I > f i l r ) g { r \ r ) { y r +i - y r ) .

(1)

П о с к о л ь к у g(y) и н те г р и р у е м а , и н т е р в а л ы на оси у м о ж н о вы ­
б р а т ь т а к , чтобы те из них, где с к а ч о к g{ y) б о л ь ш е чем со,
им ел и об щ ую д л и н у ^ б , где со и 6 п р о и зв о л ь н о м а л ы . Д а л е е ,
l g ( y ) l о г ранич ен, с к а ж е м < С ; с л е д о в а т е л ь н о , если д л и н а н а и ­
б о л ь ш е г о из и н т е р в а л о в Уг+\ — Ут м е н ьш е А,, то н а и б о л ь ш е е из
чисел I х ,+ | — л:, I м ен ьш е GA,. С л е д о в а т е л ь н о ,
П у с т ь те п е рь G , и
— в е р х н я я и н и ж н я я г р а н и g{ y) при
У г< У < У г+ и
то гд а
ёт {Уг + \ - Уг) < Х г ^ х - Х г < G r {Уг + 1 - Уг),
(2)
gr О, {Ь — а) (О< е. В п о с л е д н ем с л у ч а е а п п р о к с и м и р у ю щ а я с у м м а
м е н я е т с я в с к о л ь уго дн о щ и р о к и х п р е д е л а х в за в и с и м о с т и от
в ы б о р а точки, где б ер е т с я зн а ч е н и е f {x) , д л я п о д ы н т е р в а л а ,
в к о тор ом f { x ) не о гр а н и ч е н а .
В к а ж д о м из с л у ч а е в н у ж н а н е к о т о р а я с п е ц и а л ь н а я схе м а ,
ч тоб ы п р и д а т ь зн ач е н и е и н т е г р а л у . С пособ, и с п о л ьз у ем ы й д л я
и н т е г р а л о в с бесконечны м вер хни м пре д е л о м , состоит в пе р в о ­
н а ч а л ь н о м р а с с м о тр е н и и и н т е г р а л а с кон ечн ы м вер хни м п р е ­
д е л о м ; е сл и эт о т и н т е г р а л с т р ем и тс я к о п р е д е л е н н о м у пред ел у,
к о г д а в ер хни й пре д е л и н т е г р и р о в а н и я с т р ем и тся к бесконеч ­
ности, то это п р е д е л ь н о е зна ч е н и е б ер у т в к а ч е с т в е зн а ч е н и я
д л я б есконечного и н т е г р а л а . И с п о л ь з о в а н и е т а к о й сх е м ы м о ж н о
п р о и л л ю с т р и р о в а т ь на п р и м ер е и н т е г р а л а
sm X ,
dx.

1=

С о г л а с н о н а ш е м у п р а в и л у , его

м о ж н о и н т е р п р ет и р о в а т ь

как

X

lim

г sin л: ,
dx.

И н т е г р а л д о X с у щ е с т в у е т при всех X, п о с к о л ь к у и н т е г р и р у е ­
м ое в ы р а ж е н и е в с ю д у неп рер ы в н о . Е с л и в з я т ь F > J , в к а ч е ­
стве т в ы б рать н а и м е н ь ш е е цел о е число, б о л ь ш е е чем Xj n,
а в ка ч е с тв е п,— н аи б о л ьш е е целое, м еньш ее Yjn, то
У

тя

sin X

Г

J

X

У

sin JC

,

,

Г
пп

п -\

sin л:

J

( г + 1) я

Г
г = т гП

sin л:

,

П о с к о л ь к у I sin л: 1 ^ 1 , а т л — X
то п ервы й из и н т е г р а л о в
в п р ав о й ч асти по м о д у л ю s ^ n / X . А н а л о г и ч н о в торой из и н ­
т е г р а л о в по а б с о л ю тн о й вел ич ине ^ 1/п. С у м м а с ос то и т из с л а ­
г а е м ы х по оч е р ед н о то п о л о ж и т е л ь н ы х , то о т р и ц а т е л ь н ы х , п р и ­
чем к а ж д о е по м о д у л ю м е н ьш е п р е д ы д у щ е г о ; но с у щ е с т в у е т
т е о р е м а о том, что е сл и Uq > U i > . . . > ы „ > 0 , то
H o > « o -“ i + «2+

+ ( - ! ) " «„>0.

С л е д о в а т е л ь н о , с у м м а м е н ьш е своего п ервого
а б с о л ю тн о й величине, а

слагаемого

по

( т + 1 )я
Sin X

-dx <

Итак,
- dx
ЧТО м о ж е т бы ть с д е л а н о п р о и зв о л ь н о м а л ы м д л я всех Y > X ,
л и ш ь бы X б ы л о д о с т а т о ч н о велико.
С л е д о в а т е л ь н о , д л я л ю б о го п о л о ж и т е л ь н о г о ч и с л а е, с к о л ь
уго д н о м а л о го , м о ж н о в ы б р а т ь X т а к и м о б р а з о м , что, к а к
бы мы ни у в е л и ч и в а л и верхни й п р е д е л и н т е г р и р о в а н и я по
с р а в н е н и ю с X, мы не м о ж е м и зм ен и т ь и н т е г р а л б о л ьш е ,
чем на 8. И т а к , и н т е г р а л до X им е е т нек ото ро е п р е д е л ь н о е
зн ач ен и е, ко г д а X с т р е м и т с я к б еск онеч ности , и бесконечны й
и н т е г р а л с у щ е с т в у е т в с м ы сл е д а н н о г о вы ш е о п р е д е л е н и я .

1.1041.
П о с к о л ь к у и н т е г р а л я в л я е т с я ф у нкц ией своего в е р х ­
него п р е д е л а , то м о ж н о пр и м ен и т ь п р и з н а к и с хо ди м о с ти по­
с л е д о в а т е л ь н о с т е й , д а н н ы е в 1.0441 и 1.045, к а к это у ж е у п о ­
м и н ал о с ь в т еор ии н е п рер ы в н ос ти (см. 1.06). Д о к а з а т е л ь с т в а
очевидны .
X

Если f { x ) ' ^ Q и
f

f(x)dx

\ f{x)dx

о гр а н и ч е н

при

всех

Х>а,

то

стремится к п р е д е л у п р и Х - ^ о о .

а

Н е о б х о д и м о е и достаточное у с л о в и е того,

чтобы

/X*

f (дс) d x

а

ст рем ился к п р е д е л у п р и Х - > о о , состоит в том, что д л я л ю ­
б ого поло ж ит ельного е, с к о л ь у г о д н о м а л о г о , существует тах
кое А , что
\ f { x ) d x < е д л я всех Х > А.

1.1042.
С в я з ь м е ж д у беск онеч ны м и и н т е г р а л а м и и р я д а м и
н а с т о л ь к о т есн а , что их с в о й с т в а у д о б н о в ы р а ж а т ь одним и и
теми ж е с л о в а м и :
f (х) d x сходится, е сл и lim
f { x ) d x с у щ ес т в у е т.
x->oo •>
f { x ) d x н е о гр а н и ч ен , если

f i x) dx

является

неограни­

ченны м при Х - ^ о о .
f ( x ) d x = ^ o o , есл и

f ( x ) d x - ^ o o при Х - > о о .

f { x ) d x о с ц и лл и р у е т с к о н е ч н ы м р а з м а х о м вуют

такие

полож ительные

если

сущ ест­

ч и с л а м и Л1, что д л я л ю б о г о X
Y,

м ожно вы брать Y x > X

так,

чтобы

в ы б р а т ь Уд т а к , чтобы

J f{x)dx

f { x ) d x > (О,

> м.

примеры

но

н е л ь зя

сходящ ихся

и н теграл ов :
оо

оо

г dx

J

dx.

sin X

-dx.

dx.

Н е о г р а н и ч е н н ы е и н те гра л ы :
оо

оо

dx.

dx

X

sin

X

dx.

П о с л е д н и й из эти х и н т е г р а л о в обы чно н а з ы в а ю т „бесконечно
о с ц и л л и р у ю щ и м " , но у н а с нет п о в о д а в ы д е л я т ь этот сл у чай.
С л е д у ю щ и е и н т е г р а л ы о с ц и л л и р у ю т с конечны м р а з м а х о м :
I cosxdx,

(" 5 'm x d x .

Н е о г р а н и ч е н н ы е и о с ц и л л и р у ю щ и е с конечным
и н т е г р а л ы не и м ею т о п р е д е л ен н о г о знач ения.

размахом

оо

И н т е г р а л J f ( x ) d x н а з ы в а е т с я абсолю т но с х о д я щ и м с я , е сл и
а

\ f ( x ) \ d x сх о д и тс я . Е с л и первы й и н т е г р а л сх о д и тс я , а п о с л е д •/
а
ний нет, то первы й н а з ы в а е т с я у с л о в н о с х о д я щ и м с я . В п р и ­
в е д е н н ы х в ы ш е п р и м е р а х с х о д я щ и х с я и н т е г р а л о в первы е три
и н т е г р а л а а б с о л ю т н о с х о д я т с я , а посл ед н и й у с л о вн о с х о д и тс я .
1.1043. Е с л и f ( x ) п о ло ж и т е ль на и не возрастает п р и x > X q ,

лоо
ТО интеграл / =

f { x ) d x сходится тогда и только тогда, к о г д а
оо

Ха

сходится р я д 2

/('г), ^де Пц — н а и м е н ь ш е е ц е л о е

ч и с л о , б о ль -

п = по

ш ее чем Xq. Я сно, что ни ря д , ни и н т е г р а л не м огут с х о д и ть ся
б е з того, чтобы f{x )-> -0 ; во зь м е м це л о е число т > Х о и т а к о е ,
что f { m ) < e . Т о гд а
X
f ( m ) + f ( m + 1 ) + . . . + / ( л - 1) > I
т
f { т + \) + f ( т + 2) +

где п — б л и ж а й ш е е к X цел о е число, б о л ь ш е е
т ельн о ,
X
л-1
^ f ( x ) d x - V f(r) ^ f ( m ) < e ,

. . . + f ( n — 1),

X.

Следова­

где е п р о и зв о л ь н о м а л о . С л е д о в а т е л ь н о , есл и и н т е г р а л с т р е ­
м ится к о п р е д е л е н н о м у п р е д е л у , то и с у м м а т о ж е , и о б р ат н о .
В частности,
I
т о гд а , к о г д а р > 1.

х~^ dx и

^ о б а с х о д я т с я т о г д а и то л ь к о
1

1.1044.
Е с л и f i x ) с т р ем и тся к бесконечности пр и под ходе
к н е к о т о р о й точке о б л а с т и о п р е д е л е н и я , то м ож н о, и с п о л ь з у я
а н а л о г и ч н ы й при ем , о п р е д е л и т ь несобственный интеграл', и з м е ­
ним с н а ч а л а о б л а с т ь о п р е д е л е н и я , в ы р е з а в из нее п р о и зв о л ь н о
ко р о т к и й и н т е р в а л , с о д е р ж а щ и й у к а з а н н у ю точку, а з а т е м

з а с т а в и м д л и н у этого и н т е р в а л а с т р е м и т ь с я к н у л ю . Н а п р и м е р ,
1

1

х~''^ dx==[2x'l^^^ = 2 — 2z'l\

x~'^^dx = 2.

lim

1
Э то т п ро ц е сс п р и н и м а ю т

з а о п р е д е л ен и е

x~'l‘ d x , п о с к о л ь к у
о

Определение интеграла как предела сумм
непосредственно не применимо.

в данном случае

А н а л о г и я м е ж д у б ес к он е ч н ы м и и н е с о б с тв е н н ы м и и н т е г р а ­
л а м и в в о п р о с а х с хо ди м ос ти н а с т о л ь к о т есн а, что вся т е р м и н о ­
л о г и я о с т а е т с я б е з и зм е н ен и я .
1.1045.
З а м е н о й п е р ем е н н ы х м о ж н о п е ревести обычный и н те ­
г р а л в беск о н еч н ы й ил и н е с о б с тв е н н ы й , но зн ач е н и е его при
это м не и зм е н и т ся . Н а п р и м е р , е с л и д л я в се х у, к а к в 1.1032,
x = h{y) , то
л (у)
у
f{x)dx=jf{x)g{y)dy,
(1)
л (0)
о
к о г д а у и Л(^) ко н ечн ы , а ^ ( г / ) ^ 0 ; обе ч асти р а в е н с т в а и м ею т
один и тот ж е п р е д е л , е с л и л и б о у, л и б о h{y) , л и б о и то и
д р у г о е с т р е м и т с я к б еск о н е ч н о с ти . Е с л и h { y ) - ^ b при у - > о о
ъ
и если

f { x ) d x с у щ е с т в у е т , то он я в л я е т с я п р е д е л о м л е в ой
Л(0)

ч асти (1); с л е д о в а т е л ь н о , п р е д е л р а в е н и н т е г р а л у Р и м а н а , ко гд а
он с у щ е с т в у е т.
1.11.
Ф ункции д в у х перем енны х. Д о сих пор м ы з а н и м а л и с ь
п о с л е д о в а т е л ь н о с т я м и , ко т о р ы е м о ж н о р а с с м а т р и в а т ь к а к ф у н к ­
ц и и од н о го п е р е м е н н о го , п р и н и м а ю щ е г о т о л ь к о ц е л ы е з н а ч е ­
н и я, и ф у нкц ии одного п е р е м е н н о го , и з м е н я ю щ е г о с я неп реры вн о.
В последую щ ем мы зай м ем ся функциями, существенно зав и ся ­
щ и м и от д в у х п е р е м ен н ы х , к о т о р ы е м огу т л и б о п р и н и м а т ь
ц е л ы е з н а ч е н и я , л и б о м е н я т ь с я н е п реры вн о . Э то п р и в е д е т
к новы м т р у д н о с т я м при и с п о л ь з о в а н и и п р е д е л ь н ы х п ереход ов,
ибо не в с е г д а оч еви д н о (и д а ж е не в с е г д а верно), что есл и
м е н я т ь п о р я д о к п е р е х о д о в к п р е д е л у , то б у д е т п о л у ч а т ь с я
о д ин и т о т ж е р е з у л ь т а т . П р о с т е й ш е е д о ст а т о ч н о е у с л о в и е
перестановочности переходов к пределу обеспечивается следую ­
щ е й т е о р ем о й об аб с о л ю тн о й сходи м ости .

1.111.
Е с л и f { x , у) — ф у н к ц и я , н е у б ы в а ю и ^ а я по к а ж д о м у
и з п е р е м е н н ы х х и у [причем, быть может, о д н о ид н и х и л и
о б а п риним аю т только ц е л ы е з н а ч е н и я ), и е с л и
Пт f i x , y) = g{ y) .

Пт f i x , y) = h i x ) ,

X-> oo

(I)

TO

\\m g i y ) = W m h i x )
oo

oo

(2)

в TOMс м ы с л е , что с у щ е с т в о в а н и е о д н о г о и з п р е д е л о в (2) в л е ч е т
за собой
сущ ест вование д р у го го и равенст во о б о и х п р е д е л о в
м еж ду собой.

З а м е т и м с н а ч а л а , что ^ (г/) — н е у б ы в а ю щ а я ф у н к ц и я у. И б о
е с л и У2 > У \ , то
g (г/г) - g {У\) = lim [/ ix , у^) - f ix, г/i)] > 0.
со

(3)

А н а л о г и ч н о е с л и Х2 > х ^ то
h ix2) > h (л:,).

(4)

П у с т ь g iy) им е е т п р е д е л М . Д л я л ю б о г о е н а й д е т с я т а к о е Y,
что д л я в с е х y ~ ^ Y
M ^ g iy )^ M -e .
(5)
Д л я всех X, у в ы п о л н я ю т с я н е р а в е н с т в а M ^ g i y ) ^ f i x , у).
Д а л е е , с у щ е с т в у е т т а к о е X , что д л я вс е х х > Х
fix, Y ) > g i Y ) - E ,

(6 )

п о э то м у д л я всех y > Y , х > Х
M>f{x, y ) > g i Y ) - s ^ M - 2 e .

(7)

С л е д о в а т е л ь н о , есл и г /- > о о и х > Х , то
M ^h{x)>M -2e,

(8)

и по это м у , т а к к а к е п р о и зв о л ь н о , h i x ) т о ж е им е е т п р е д е л М
при х - ^ о о .
Н е м е д л е н н о п о л у ч а е м три с л е д с т в и я . Е с л и
m

f { m , л) = 2

п

2 Ur, S,

(9)

Г=1 5=1

где Ur,s н е о т р и ц а т е л ь н ы , то f { m, п) я в л я е т с я н е у б ы в а ю щ е й
ф ункц ией от т и от п. Зн ач и т , д л я д в о й н о г о р я д а из н е о т р и ­
цательны х членов
оо

2

оо

г - 1 S -1

оо

оо

2 “ г, 5.

s = l г=1

( 10)

Е с л и н е к оторы е из с л а г а е м ы х
^ отрицательны,
написать
Wr. , = \ U r . A - U r
Vr. = Ыг I + «г. ,

то м о ж но
(И)

где все v^, s и
^ у ж е неотрицательны. Е сли теперь ряд
S 2 l “ r. J с х о д и т с я при н ек о то ром п о р я д к е с у м м и р о в а н и я , то,
к а к л е г к о ви д е ть ,
i и w ,,^ у д о в л е т в о р я ю т ус л о в и ю т ео рем ы
о пер е м е н е п о р я д к а с у м м и р о в а н и я ; в ы ч и та я , н а х о д и м , что
т о ж е у д о в л е т в о р я е т э т о м у у сл о в и ю . С л е д о в а т е л ь н о , д л я
л ю б о г о аб с о л ю тн о с х о д я щ е г о с я д во й н о го р я д а м о ж н о м е н я т ь
п о р я д о к с у м м и р о в а н и я . К а к с л е д с т в и е есл и
и 2
абсо­
л ю т н о с х о д я т с я , то
'^a.rbs^ где в пр ав о й части
Г

S

Г

S

ч лен ы с у м м ы м о ж н о б р а т ь в л ю б о м п о ря д ке .
р

Если

Um (х) в с ю д у

неотрицательны

и

если

я

^
т=

и ^ (х) d x



существует д л я в с е х р, q и имеет п р е д е л ы в к а ж д о м и з д в у х
с л у ч а е в , к о г д а о д н о и з п е р е м е н н ы х р , q стремится к б ес к о н е ч ­
ности, а д р у го е ф и к с и р о в а н о , то
оо

с»

^

оо

00

j u^{x)dx= J {^U^{x)}dx.

m=l

0

0

( 12)

m=I

к

Е с л и Um{x) не в с е г д а сохраняю т з н а к , но

Ч

^
m=l

\u^{x)\dx
О

существует и удовлетворяет в ы ш е у к а з а н н ы м у с л о в и я м и е с л и
хотя бы о д н о и з
оо

00

оо

оо

j '^\Umix)\dx
о 1

1 О

существует, то о б а п р е д е л а в ф о р м у л е ( 12) существуют и р а в н ы
м еж ду собой.
Е с л и ф(л:, у) н е о т р и ц а т е л ь н а и с у щ е с т в у ю т со о т в е т с т в у ю ­
щ и е п р е д е л ы по к а ж д о м у из п е рем енн ы х, то
dx

J (f [x, y ) d y = ^ d y ^ ф (;с, у) dx\
о

0

(13)

0

зд е сь з а f { x , у) п р и н я то о б щ е е зна ч е н и е об о и х и н те г р а л о в
с ве р х н и м и п р е д е л а м и х п у. К а к и р а н ьш е , если q>{x, у)
не в с е г д а одного з н а к а , то д л я с у щ е с т в о в а н и я и р а в е н с т в а

двойны х Пределов достаточно, чтобы сущ ествовал один из них
для I ф (л:, у) |.
1.112.
Р авн ом ерн ая
сходи м ость
п оследовательностей
рядов. Ч л е н ы п о с л е д о в а т е л ь н о с т и {/„ (л:)} м о гут б ы ть ф у н к ц и я м и
п е р е м е н н о го х. Т о г д а есл и п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь с х о д и тс я при
всех з н а ч е н и я х х из нек отор ого и н т е р в а л а , то ее пре д е л
я в л я е т с я ф у нкц ией х , с к а ж е м f {x) . Е с л и в ы б р а т ь п р о и зв о л ь н о
м а л о е п о л о ж и т е л ь н о е е, то д л я л ю б о го х м о ж н о п о д о б р а т ь п (х),
т а к что I fp (х) — f (х) К е д л я всех р ^ п {х), п о с к о л ь к у п о с л е ­
д о в а т е л ь н о с т ь с х о д и тс я . Н а и м е н ь ш е е зн а ч е н и е п{ х) , д л я к о т о ­
рого это верно, в оо б щ е го в о р я , з а в и с и т от х. Н о м о ж е т
о к а з а т ь с я в о зм о ж н ы м в ы б р ат ь п н е за в и с и м о от х, т а к что
l / p W ~ f W i < ® д л я всех р > п и д л я всех д: из и н т е р в а л а .
Е с л и это в о з м о ж н о при к а ж д о м е, то г о в о р я т , что /„(д:) с х о ­
дится р а в н о м е р н о к f {х) в и н т е р в а л е . У с л о в и е р а в н о м е р н о й
с х оди м о сти м о ж е т н а р у ш а т ь с я , если с у щ е с т в у е т т а к о е х,
с к а ж е м с, внутри или на конце и н т е р в а л а , что есл и в зя т ь
п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь зн ач ен и й х, с т р е м я щ у ю с я к с, то с о о т в ет ­
с т в у ю щ и е д а н н о м у е з н а ч е н и я п{ х ) с т р е м я т с я к бесконечности.
Т а к к а к /„(л:) м о ж е т бы ть сум м ой п е р вы х п ч лен о в р я д а ,
то эти ж е п о л о ж е н и я с п р а в е д л и в ы и д л я р я д о в
когда
X п р о б е г а е т нек о тор ы й и н т е р в а л . Т а к , р я д ^ х " с х о д и т с я д л я
всех X, т а к и х , что 0 ^ л : < 1 , но не я в л я е т с я р а в н о м е р н о
с х о д я щ и м с я д л я всех т а к и х х. В с а м о м д е л е , если з а ф и к с и ­
р о в а т ь е, а потом в ы б р а т ь п т а к, чтобы
хП + х '^ + 1 ^ . . . +

( 1)

б ы л о м е н ьш е е при всех р ^ 1, то т о г д а д о л ж н о быть
д :"< (1 -л :)е

(2)

и, т а к и м о б р а з о м ,
' • > - ' - ‘5 ^

.

(3)

ЧТО с т р е м и т с я к бесконеч ности , ко г д а х с т р е м и т с я к 1. П о эт о м у
р а с с м а т р и в а е м ы й р я д р а в н о м е р н о с х о д и тс я на о т р е з к е а - ^ х ^ Ь ,
где а и 6 — ф и к с и р о в а н н ы е ч и с л а м е ж д у О и + 1 , п о с к о л ь к у
м о ж н о в ы б р а т ь п б о л ь ш е б о л ь ш е г о из чисел
In [(1 - а) е]
In а


И одно и то ж е зн а ч е н и е
м еж у т о ч н о го зн а ч е н и я х.

In [(1 - Ь) е]
In 6


п подойдет тогда д ля лю бого про­
Р я д сх о д и тс я д л я л ю б о г о х из

и

— 1 < х < 1 . О д н а к о р я д не я в л я е т с я р а в н о м е р н о с х о д я щ и м с я
в и н т е р в а л е — 1 < х < 1, ибо, х о т я зн а к и „ < “ и с к л ю ч а ю т д л я х
в о з м о ж н о с т ь б ы ть р а в н ы м в точности — 1 или + 1, они д о п у ­
с к а ю т , чтобы X п р и н и м а л о п р о и зв о л ь н о е п р о м е ж у т о ч н о е з н а ­
чение, с к о л ь уго д н о б л и зк о е к 1, и к а к бы мы ни в ы б р а л и п,
мы в с е г д а с м о ж е м н а й ти т а к о е зн а ч е н и е х , чтобы у с л о в и е (3)
наруш илось.
Е с л и f n { x ) - * f {х) р а в н о м е р н о н а ка ж д о м и з к о н е ч н о го м н о ­
жества и нт ервалов (а^, Ьг), г = 1 , . . . , k, то сходимость также
р а в н о м е р н а я н а вс ем этом множестве. В с а м о м д ел е , д л я
к а ж д о г о и н т е р в а л а су щ е с т в у е т т а к о е п ,, что \ f p( x) — f {х) \ < е
д л я р ^ П г и х из ( а „ bf). В о зь м е м т р а в н ы м н а и б о л ь ш е м у
из Пг', т о г д а при р > т б у д е т \ f p{ x) — f { x ) \ < e д л я л; в л ю б о м
из этих и н т е р в а л о в .
Е с л и f n { x ) - > f {х) в а ^ х ^ Ь
и f n ( x ) ^ f (х) р а в н о м е р н о
в а

/

sin га 4-- 5 - 0 —sin-;r0
2

4 ^

2sin le
cos

(«+ I

sin п 0 = ---------2s in l0
Е сли sin V2S при '/ 2Л > 6 > 0 есть н а и м е н ь ш е е зна ч е н и е | s i n V 2 0 |
в о б л а с т и изм ен ен ий 0 , то ни д л я к а к о й сум м ы м о д у л ь не п р е ­
в осх оди т cosec V26, к а к о в ы бы ни б ы ли « и 0. Е с л и теперь
о, >
^
то о т с ю д а с л е д у е т , что 2 ^’пСОЗ«0 и
2 у п 5 1 п п 0 равномерно сходятся в любом замкнутом интервале
Q< 0 <
которы й не с о д е р ж и т нулей sin '/г©, т. е. не с о д е р ж и т
точек 0 = 0, 2я, 4 я ...........
В частности, р я д ы
1 -Ь cos 0 + -^ cos 2 0 + - ^ cos 3 0 + . . . ,
sin 0 + -J sin 20 + j sin 30 + . . .
р а в н о м е р н о с х о д я т с я на л ю б о м о т р е з к е а ^ 0 ^ 6 , ко тор ы й не
в к л ю ч а е т О, 2 л, . . . . В д ей с тви те л ьн о с т и первы й из р я д о в р а с ­
хо д и тся при 0 = 0 , второй сх о д и тс я всю ду, но н е р а в н о м е р н о
в л ю б о м и н те р в а л е , с о д е р ж а щ е м 0 = 0. П о з ж е (гл. 14, при м ер 4)
мы у в и д и м , что его с у м м а с о в е р ш а е т с к а ч о к о т — '/гл; до 'Л л.

ко г д а 0, в о з р а с т а я , пр о х о д и т ч ер ез О, т а к что н е р а в н о м е р н а я
с хо ди м ость, к а к и в 1.114, с в я з а н а с р а зр ы в н о с т ь ю .
1.116.
Т еорем а об ограниченной сходи м ости . Р а в н о м е р н а я
с х о д и м о с ть я в л я е т с я д о с т а т о ч н ы м у с л о в и е м н еп р ер ы в н ости и
и н тегр и р уем о сти су м м ы при у сл овии, что о т д е л ь н ы е ч лен ы н е­
п р е р ы в н ы или и н тегриру ем ы . О д н а к о это у с л о в и е о тн ю д ь не
я в л я е т с я н е об х од и м ы м . Н а п р а к т и к е обы чно б ы в а е т п рощ е
н е п о ср е д с тв е н н о п ров ер и ть, и н т е г р и р у е м а ли п р е д е л ь н а я ф у н к ­
ц и я , чем п р о в е р я т ь , р а в н о м е р н а ли схо д и м о с ть, к т о м у ж е
во м но гих с л у ч а я х п е р е х о д к п р е д е л у по д з н а к о м и н т е г р а л а
в о з м о ж е н , хо тя с ходи м о с ть не я в л я е т с я р а в н о м ер н о й ; по э то м у
в о з н и к а е т н е о б х о д и м о с ть в б о л е е о б щ ем п р а в и л е . Т а к и м п р а ­
в и л о м я в л я е т с я с л ед у ю щ е е . О но и звестно к а к теорема об .огра­
н и ч е н н о й сходимост и (см. п р и л о ж е н и е к гл. 1). Е с л и |/ „ * ( л : ) | ^ М
д л я в с е х п и X при а ^ х ^ Ь , вс е f n( x) интегрируемы и
ь
ь
- ^ f ( x ) , г де f { x ) инт егрируем а, то

fn(x)dx-> j f{x)dx.
а

Дока-

а

з а т е л ь с т в о не просто, но р е з у л ь т а т с л е д у е т зн а т ь .
П о в ед е н и е f„(x ) и
1
1
lim ( f ^ { x ) d x ,

f lim f „( x) dx

п о л е зн о изучить н а п р и м е р а х
f „{x) = x e - ' ‘’‘,

/„ ( х ) = rtxe-«*,

/„ ( х ) =

1.117.
Р яды , используем ы е дл я сравнения. В д а л ь н е й щ е м
с а м ы м и в а ж н ы м и р я д а м и , и с п о л ь з у е м ы м и д л я с р а в н е н и я , б у дут
2 -^" (0 < л : < 1),
( s > l ) (их мы у ж е изучили) и
( 0 ^ а < 1 ) . С х о д и м о с ть п о с л е д н е г о с р а з у сл е д у е т из М -п р и з н а к а ,
есл и s < 0 . Е с л и s ^ O , имеем
Un

п

а.

С р остом п это о тн о ш ен и е ст р е м и т с я к а. С л е д о в а т е л ь н о , п о ­
с к о л ь к у а < 1 , м о ж н о в з я т ь m н а с т о л ь к о б о л ь ш и м , чтобы д л я
всех п > т отнош ен ие бы ло м е н ьш е Ь, где а < Ь < \ . Т о г д а при
п> т

а 2
~ с х о д я щ и й с я р я д из п о л о ж и т е л ь н ы х членов.
в а т е л ь н о , ' ^ n f a " ' с х о д и тс я при 0 ^ а < 1.

Следо­

2 ^ “ ® часто

Сравнение с рядом
Vn = n~^ (1 < s ) , то

м ож н о упростить. Если

\
Vn-i 1
L
\ re
Е с л и и„ п о л о ж и т е л ь н ы при всех п и
\

Ufi-l

то м о ж н о в з я т ь 5 = ' / 2 (^ + 1),
д л я всех п > т б ы ло
п\

■S.

/ J

а потом в ы б р а т ь т т а к , чтоб ы

Un

\ —

Г,

\^1

/ га — 1 V I

Un-i

т о гд а
т
Un 0 , то
сходится п р и
в ы п о л н е н и и ка ж дого и з с л е д у ю щ и х условий'.
Un

■k < l

Un-l

или
Un
Un-l

1,

n ( l - ^ ) - ^ t > L
\
«П-1

1.12. Р авн ом ер н ая сх оди м ость
Если подынтегральное вы раж ение
н е к о т о р о г о п а р а м е т р а у , то т а к ж е ,
во пр ос о р а в н о м е р н о й сходимости.
лагат ь, что

f{x)dx

бесконечны х интегралов..
з а в и с и т от л: и е щ е от
к а к д л я р я д о в , в о зн и к а е т
М ы будем всегда п р ед п о ­

существует, к а к

бы в е л и к о н и б ы л о X .

Это з а м е ч а н и е н е о б х о д и м о по с л е д у ю щ е й причине. У т в е р ж д е н и е
„бё с к о н е чн ы й и н т е г р а л с х о д и т с я " о з н а ч а е т , что с х о д и т с я л ю б а я
п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь и н т е г р а л о в с кон ечн ы м верх ни м п р е д е л о м ,
ко г д а эт о т п р ед е л с т р ем и т с я к бесконеч ности . Т а к и м о б р а з о м ,
н е л ь з я го в о р и т ь о с х о д и м о с ти б есконечного и н т е г р а л а , не п р е д ­
п о л о ж и в , что все и н т е г р а л ы от а д о X с у щ е с т в у ю т . Н и ж е мы
д а д и м у с л о в и я с х оди м о сти б есконечного и н т е г р а л а в п р е д п о л о ­
ж е н и и , что конечные и н т е г р а л ы с у щ е с т в у ю т . В ч астном с л у ч а е
X

если

Y

/ (х) d x с у щ е с т в у е т и

\f {х)\йх X
и д л я всех у из этой о б л а с т и
fix, y) dx < е .

Э то с во йство п о з в о л я е т м е н я т ь п о р я д о к и н те г р и р о в а н и я в п о в ­
торном и н те г р а л е д а ж е в том с л у ч а е , ко г д а один из п р е д е л о в
бесконечен. П о д п овторны м и н те г р а л о м мы п о д р а з у м е в а е м
и н т е г р а л вид а
6,

а,

V d y J ! {х, у) dx,

Ьа

Оа

где с н а ч а л а f { x , у) ин тегр и р у е т с я по х от Оо до Oi, а за т е м
р е з у л ь т а т и н те г р и р у е т с я по у от &о ДО
Р а с с м о т р и м и н те гр а л ,
в к о тор ом f i x , у) н еп р ер ы в н а по об еи м перем енн ы м х и у:
bi
оо
bi
(X
оо
I = { d y \ f i x , y ) d x = \ d y \ { f ix, у) d x + \ f ix, у) d x
J
J
J
I
J
bn
a
bo
^a
X



( 1)

П о с к о л ь к у все п р е д е л ы и н т е г р и р о в а н и я конечны, то
by
bn

X

X

ь,

d y \ f ix, y)dx== j d x j f ix, y) d y .
a
a

(2)

(Это д о к а з ы в а е т с я п р о с т о * ).) Т а к к а к X н а х о д и т с я в н аш ем
р а с п о р я ж е н и и , вы б ере м его т а к , чтобы д л я всех Y > X бы ло
f i x , y ) d x < ( 0.

(3)

*) Д ля непрерывной функции f (х, у)\ в гл. 5 это утвер ж дени е будет
установлено при несколько более широких предполож ениях.

Т о г д а а б с о л ю т н а я в е л и ч и н а вто ро го с л а г а е м о г о ф о р м у л ы (1)
не б о л ь ш е чем (61 — 60)®. и
ь,
I d x \ ! {х, у) d y (4)
Ьг
Т а к к а к д л я п р о и зв о л ь н о м а л о го со м о ж н о най ти т а к о е з н а ­
чение X , что в ы п о л н я е т с я (3), по л у ч а ем
X

/=

Ь,

оо

*,

lim \ d x [ f i x , y ) d y - = \ d x
J
J
J
X-^00 J
a

bo

a

f{x, y)dy,

(5)

&o

что и д о к а з ы в а е т т ео рем у.
Э та т е о р е м а м о ж е т бы ть с ф о р м у л и р о в а н а с л е д у ю щ и м о б р а ­
зом : в р а в н о м е р н о с х о д я щ е м с я инт еграле можно производит ь
инт егрирование п о д з н а к о м инт еграла. О т с ю д а с л е д у е т , что
оо
f{x,y)dx

м о ж н о д и ф ф е р е н ц и р о в а т ь по у под з н а к о м и н те­

г р а л а при у с л о в и и , что с у щ е с т в у е т п р о и з в о д н а я d f j d y и инте­
г р а л от нее по х р а в н о м е р н о с х оди тся в окрестно сти р а с с м а ­
т р и в а е м о й точки у. Д о к а з а т е л ь с т в о н е м е д л е н н о п о л у ч и т с я, если
в послед ней теор ем е за м е н и т ь f { x , у) н а дЦ ду.
О б о б щ е н и е на с л у ч а й р а в н о м е р н о с х о д я щ и х с я и н т е г р а л о в
не о б я з а т е л ь н о от н е п р ер ы вн ы х ф ункций Ц х , у) м о ж е т бы ть
с д е л а н о н а пути, у к а з а н н о м в конце р а з д . 1.113.
1.121.
Ж - п р и з н а к . П р ос тей ш и й п р и з н а к р а в н о м е р н о й с х о д и ­
м ости ана л о ги ч ен М -п р и з н а к у д л я р я д о в . Е с л и д л я в с е х у,
таких, НТО b o ^ y ^ b i ,
\f(x, y)\

1.123.

f(x)dx

П ризн ак Абеля
сходится

{не

для

б ес к о н е ч н ы х

об яза т ел ь но

интегралов. Е сли

абсолютно)

и

если

для

к а ж до го з н а ч е н и я у п р и Ь о ^ у ^ Ь ^ ф у н к ц и я v { x , y ) неот рица­
тельна, о г р а н и ч е н а д л я в с е х х , у и н и к о г д а не возрастает п о х.
то

f { x ) v { x , y ) d x сходится р а в н о м е р н о п о у п р и b o ^ y ^ b i .
М ы им еем О ^ о (х, г/) ^ Af; в о зьм ем X т а к , что
X'

I / (х) d x

< (0

д л я всех

Х'>Х.

Т о г д а по л е м м е А б е л я при b o ^ y ^ b i
X’
/ (х ) V

{х, у) d x

(oM,

откуда следует равномерная
ВЗЯТЬ п р о и зв о л ь н о м а л ы м .

с х о д и м о с ть, п о с к о л ь к у со м о ж н о

sm X
^ - dx сходится,

Н апример,

а е~^У п о л о ж и т е л ь н а , огр а-

0

ни чен а и не в о з р а с т а е т по х при О ^ г / ^ о о .
sm X

е-ху

Следовательно,

d x с х о д и т с я р а в н о м е р н о при у ^ О .

1.124.

П р и з н а к Д и р и х л е — Х а р д и д л я б еск он еч н ы х и н т е г р а »
лов. Е с л и
f i x , y ) d x о гр а н и ч е н п р и в с е х Х > а и п р и b o ^ y ^ b i
а

и если

V

(х) о гр а н и ч е н а , по лож ит ельна, не возрастает и стреоо

мится к о п р и х - ^ о о , то

f { x , y ) v { x ) d x р а в н о м е р н о сходится
а

п р и b o ^ y ^ b i . М о ж н о в з я т ь X т а к , что u ( Z ) < w и д л я всех
Х ' - > Х есть т а к о е М , что
X'

-М <
Т о г д а пр и b o ^ y ^ b i

f (х, у) d x < М .

и при всех Х ' > Х

X'

f [х, у) V (х) d x б > 0 , то это в ы р а ж е н и е по м о д у л ю м е н ьш е, чем
2/6. Ф у н к ц и я 1/ х п о л о ж и т е л ь н а и с т р е м и т с я к О с в о з р а с т а ­
нием

X.

Следовательно,

sin х у

dx

р а в н о м е р н о с х о д и тс я , если

а > 0 , в л ю б о й о б л а с т и , где \ у \ > Ь > 0 . Ни в ка к о й о б л а с т и ,
в к л ю ч а ю щ е й у = 0, этот и н т е г р а л не я в л я е т с я р а в н о м е р н о с х о ­
д я щ и м с я . В д ей с тв и те л ь н о с т и он рав ен Ч-'/зл; при у > 0 , — ‘/гл
при г/ < О и О при у = 0, т а к что, к а к и д л я р я д о в , н е р а в н о м е р н а я
с х о д и м о с т ь и н т е г р а л а м о ж е т б ы ть с в я з а н а с тем, что он я в л я е т с я
р азр ы в н о й ф ункцией п а р а м е т р а .
Р ав н о м е р н а я сх о д и м о с ть и н т е г р а л а от н еп р ер ы в н о й ф у н к ­
ции — очень п о л е зн о е у с л о в и е , д о ст а т о ч н о е д л я н еп реры вн ости
и н т е г р а л а и д л я в о зм о ж н о с т и и н т е г р и р о в а т ь под зн а к о м инте­
г р а л а . М ы у ж е р а с с м о т р е л и пр и м ер , к о г д а н е р а в н о м е р н а я сх о­
д и м о с т ь с в я з а н а с р а з р ы в н о с т ь ю и н т е г р а л а . С л е д у ю щ и й при м ер,
д а н н ы й К у р а н т о м [13], п о к а з ы в а е т , что он а м о ж е т бы ть с в я ­
з а н а с н е в о зм о ж н о с т ь ю м е н я т ь п о р я д о к и н т е г р и р о в а н и я . Е с л и
/ {х, у) = { 2 - х у ) хуе-^У,
ТО мы н а х о д и м
оо

о

d x j f (х, у ) d y = 0,
о

j
о

1

j f (х, y ) d x = l .
о

Имеем
f {х, и) du = х у ^ е ~ ’‘У.

Для

л ю б о го х ф О

это в ы р а ж е н и е ст р е м и т с я к О при у - * о о ,
оо

а при х = 0 ф у н к ц и я f { x , y ) = Q при всех у. И т а к ,

f(x,y)dy
о
с х о д и т с я , но н е р а в н о м е р н о в б л и з и л: = 0; в с а м о м д ел е , если
Т1 — н а и б о л ь щ е е зн а ч ен и е у,
при
к о торо м
х у ^ е ~ ’‘у = е, то
х у ‘^ е ~ ^ ^ < г при всех у >Г[ , о д н а к о т] с т р е м и т с я к б есконечности
у

при х - > 0 .

Д ействительно,

f{x,u)du

неогр ан и чен по у при

о
л:

0.
Р а с п р о с т р а н е н и е эти х р е з у л ь т а т о в на с л у ч ай , к о г д а инте­
г р а л ы з а в и с я т не от д в ух , а о т трех или более п ер ем енн ы х,
не д а е т ничего п р и н ц и п и а л ь н о нового.
И н о г д а п о л е зн о с л е д у ю щ е е п р и л о ж е н и е п р и з н а к а Д и р и х л е .
Пусть
/ = Г cos [f (л:)] dx,

где /'(л;) — п о л о ж и т е л ь н а я в о з р а с т а ю щ а я ф у н кц и я при х ^ а к
f ' ( x ) - ^ o o , к о г д а х - > о о . П о л о ж и м f { x ) = y, V { x ) = { j g { y ) ,
f { a ) = b. Т о г д а г/— в о з р а с т а ю щ а я ф у н к ц и я х и
/ = J c o s y - g { y ) dy.
b

Н о §■(?/)> О и я в л я е т с я у б ы в а ю щ е й ф ун кц и ей с пределолт,
равным
0.
Следовательно,
для
сходимости
и нт егралов
оо
оо
COS [f (л:)] d x ,
sin [/(x)]d A : достаточно, чтобы f ' (х) б ы л а возо
о
раст аю щ ей ф у н к ц и е й и стремилась к оо. Н а п р и м е р ,
cosx^dx,
о
сходятся.

cos {х^ — m x ) d x

(m — д ей с тв и те л ьн о е )

6
Для

пос л е д н е го

интеграла,

если

т>0,

во зьм ем

а> (^
1.125,
Интегралы с верхним п р едел ом , стрем ящ им ся к б е с ­
конечности. Е с л и f { x , n ) - ^ g { x ) и А „ - ^ о о при / г - > о о , то иногда
н у ж н о б ы в а е т най ти усл о вие, при котором
оо

fix, n ) d x - * j g{x)dx.

(1>

О

Я сно, что вопрос этот с в я з а н с р а вн о м е р н о й с х о ди м о стью ; д е й ­
ст ви т ел ьн о , м о ж н о о п р е д е л и т ь ф ункцию
h ( x , n) = f { x , п)

(а < л :< Я „ ),

h { x , п) = 0

(А,„ Х
VL у ^ У
f i x , y ) - h { X ) = [f{x, y ) - g { y ) ] - [ f { X , y ) - g { y ) ] + [f {X, y ) - h { X ) ] ,
(2)
\ f { x, y ) - h { X ) \ < 3 a , ,
1 я (г /)-/г (Х )|< З с о ,
a

следовательно, если

г/, >

У, т о

\g{yi)-g{Y)\ - о о , / ( т , п) р а в н о м е р н о с х о д и тс я к g ( n ) при всех/г.
Если
m

f { m , x) = ^ j

X

u^iDdl,

(6 )

r=l 0
у сл о в и я таковы : интегралы сх о дя тся при х - ^ о о дл я л ю б о го т ;
с у м м а д л я к о н е ч н о г о х с х о д и т с я р а в н о м е р н о п р и в с е х х, б о ­
л ь ш и х н е к о т о р о г о X q. Е с л и , н а о б о р о т , в з я т ь

Xг т
f { m, х ) = ^
dl ,
о Lr = l
т о у с л о в и я т а к о в ы : р я д с х о д и тс я , к о г д а | и зм е н я е т с я на лю бом
к о н ечн о м и н те р в а л е ; и н т е г р а л с х о д и тся р а в н о м е р н о д л я всех т,
б о л ь ш и х Шо-

Если

у
f i x , г/) = I

у

л

J ф (g, Ti) dri = I dT] I ф (g, ti) d^,

(7)

TO у с л о в и я т а к о в ы : и н т е г р а л по т] с х о д и тс я на лю бом интер' в а л е по I; второй и н т е г р а л с х о д и тся р а в н о м е р н о при всех у,
б о л ь ш и х нек о то рого Y.

1.13.
Т е о р е м ы о с р е д н е м . М ы видели, что н е п р е р ы в н а я
ф у н к ц и я на лю бом о т р е зк е д о с т и г а е т св о и х в ерхней и ниж ней
г ран ей . П у с т ь f { x ) н е п р ер ы в н а при а ^ х ^ Ь и им еет произ^в о д н у ю f ' { x ) при ' а < х < Ь , и пусть f { a) = f { b) = 0, а в н е к о то ­
рой внутренн ей точке / ( | ) > 0 . Д а л е е , пусть х = г\ с о о тв етс тв уе т
верхней г р а н и f ( x ) в и н т е р в а л е . Т а к к а к / (т]) ^ / (I) > О, то т]
I не р а в н о ни а, ни Ь. Д а л е е ,
h^O
: Е с л и h > 0 , то f (т] + /г) ^ f (т]), и, с л е д о в а т е л ь н о , / ' ( т ] ) ^ 0 . Е с л и
: / г < 0 , то f (y] + h ) ^ f { r \ ) , и, с л е д о в а т е л ь н о , / ' ( т ] ) ^ 0 . Эти усл о■ВИЯ со вм естн ы т о л ь к о в с л у ч а е , к о г д а / ' ( ti ) = 0.
П ри это м не
'т р е б у е т с я , чтобы f ' (х) б ы л а н еп р ер ы в н а .
Е с л и f ( x ) им еет на и н т е р в а л е о т р и ц а т е л ь н у ю н и ж н ю ю г р а н ь ,
; то мы п о л у ч а е м тот ж е р е з у л ь т а т , п р и м е н я я д о к а з а т е л ь с т в о
к — f i x ) . С л е д о в а т е л ь н о , е с л и f { x ) имеет п р о и з в о д н у ю при
а < х < Ь и н е п р е р ы в н а п р и а ^ х ^ Ь , то п р о и з в о д н а я о б р а ­
щается в н у л ь м еж ду л ю б ы м и д в у м я н у л я м и f {x}. Р е з у л ь т а т
это т известен под н а з в а н и е м теоремы Р о л л я .
П у с т ь с, d —д в а п р о и зв о л ь н ы х зн а ч е н и я х , та ки е , что f i x )
н е п р е р ы в н а при c ^ x ^ d и им еет п р о и зв о д н у ю при c < x < d \
р а с с м о т р и м т о г д а ф ункц ию
g i x ) = f ix) - f i c ) -

х —с
Т-

[/ id) - f ic)].

О н а о б р а щ а е т с я в ну л ь при х = с и x = d. Е е п р о и з в о д н а я о б ­
р а щ а е т с я по э то м у в ну л ь при нек о то р о м х м е ж д у c a d , с к а ­
ж е м при х = г]; т о гд а
f(d)-f(c)
d —c

Т а к и м о б р аз о м ,
fi d ) - f i c ) = id-c)riy^).
где с < Т1 < rf. Э то теорема о среднем д л я пр ои зв одн о й . Геом етрический с м ы с л ее с л е д у ю щ и й : в о зьм е м п р о и зв о л ьн у ю х ор д у.

с о е д и н я ю щ у ю д ве точки г л а д к о й кри в ой , т о гд а в некоторой
п р о м еж у т о ч н о й точке к а с а т е л ь н а я п а р а л л е л ь н а этой хорде.
Н а и б о л е е в а ж н о е п р и л о ж е н и е : е с л и f ( x ) н е п р е р ы вн а при
а ^ х ^ Ь и f ' ( x ) = 0 п р и а < х < Ь , то f { x ) постоянна на {а, Ь).
В с а м о м д ел е, f (х) - f (а) = { х - а ) f' (|), где а < | < х; но / ' (|) = О,
с л е д о в а т е л ь н о , f { x ) = f {a) . О т м е т и м н ед о стато чн ость у сл о в и я
/'(л:) = 0 почти всю ду. И з в е с т н а ф у н кц и я , н е п р ер ы в н а я на (О, 1),
с пр о и зво д н о й , почти в сю д у на (О, 1) р а в н о й нулю , и неп о­
с т о я н н а я на (О, 1). Д о с т а т о ч н о , о д н а к о , чтобы f ' {x) = 0 всюду,
к р о м е конечного ч и с л а точек, в к о т о р ы х f (х) не п р ер ы вн а .
X

Е с л и f ( x ) н е п р е р ы в н а и f (д:)= J f ( u ) d u , то

Е с л и G' { x ) = f {x) , то F { x ) — G{ x ) я в л я е т с я н е п р ер ы в н о й ф у н к ­
цией с пр о и зв о д н о й , в с ю д у р а в н о й нулю , с л е д о в а т е л ь н о , эта
ф у н к ц и я п о с т о я н н а . С о о т в е т с т в у ю щ а я т е о р е м а , в котор ой д а н а
л и ш ь ин те гр и р у ем о с т ь f {x) , п р и в е д е н а в 1.103. К а ж д у ю из этих
т еор ем м о ж н о и с п о л ь з о в а т ь д л я пр о в е р к и с п р а в е д л и в о с т и ме­
т о д а и н т е г р и р о в а н и я , с о г л а с н о ко т о р о м у с н а ч а л а и щ ется ф у н к ­
ци я с пр о и зво д н о й , р а в н о й f {x) . Д р у г о е с л е д с т в и е п о л е зн о
в н е к о тор ы х с л у ч а я х , к о г д а н у ж н о у з н а т ь п р о и зво д н у ю в точке
х = а, но в ы чи сл ить ее по ч ем у-ли бо т р у д н о (н ап ри м е р, и з-за
того, что и н т е г р а л или р я д , п р е д с т а в л я ю щ и й ее, не сходится).
Е с л и f i x ) н е п р е р ы в н а и /'(л;) с у щ е с т в у е т всю ду, кр ом е, быть
м о ж е т , X = а, то

г де О < 0 < 1 . П у с т ь т е п е р ь h с т р ем и тс я к нулю , то гд а если
л е в а я часть с т р е м и т с я к п р е д е л у , то этот п р е д е л р а в е н f ' {a).
Н о если f ' ( x ) с т р е м и т с я к п р е д е л у , к о г д а х с т р е м и т с я к а,
то к э т о м у п р е д е л у с т р е м и т с я п р а в а я ч асть, а л е в а я часть,
б удуч и р а в н а п р а в о й , им еет тот ж е п р ед ел . С л е д о в а т е л ь н о ,
е с л и f { x ) н е п р е р ы в н а и f ' (х) имеет п р е д е л п р и х, стремяи^емся
к а, то f ' {a) существует и р а в н а этому п р е д е л у .
Е с л и -^ [ / (а + /г) — / (а)] им е ет п р е д е л при / г - > 0 по п о л о ж и ­
т ельн ы м зн а ч е н и я м , то этот п р е д е л м о ж н о н а з в а т ь п р о и з в о д ­
н о й f i x ) с п р а ва в точке а и о б о зн а ч и т ь ч ерез f ' { a + ). П о с л е д ­
нее д о к а з а т е л ь с т в о т а к ж е г о д и тс я д л я того, чтобы п о к а з а т ь ,
что если f i x ) н е п р ер ы в н а с п р а в а в точке а и f ' i a + h) им еет
п р е д е л при / г - > 0 по п о л о ж и т е л ь н ы м з н а ч е н и я м , то f ' { a + ) с у ­

щ е с т в у е т и р а в н а э т о м у п р е д е л у . А н а л о г и ч н ы м свойством о б ­
л а д а ю т п р о и зв о д н ы е с л е в а . У т в е р ж д е н и е о том , ч т о / ' ( а ) с у щ е ­
ствует, э к в и в а л е н т н о у т в е р ж д е н и ю о с у щ е с т в о в а н и и и р а в е н с т в е
Па +) и Па-).
1.131.
П ервая теор ем а о ср едн ем д л я интегралов. Е с л и д л я
всех X , т а к и х , что а ^ х ^ Ь , m ^ f ( x ) ^ M , то
ь

m (fe -a X J f { x ) d x ^ M { b - a ) ,
а

И,

следовательно,

ь
f {х) d x = N (Ь — а),

где N т а к о е , что т < Л ' < У И . В ч астн о сти , если f { x ) н е п р е ­
ры в н а , то с у щ е с т в у е т т а к о е
что f { l ) = N и
ь
f i x ) rfx = (6 - я) / (I).
1.132.
О бобщ ение первой теорем ы о ср едн ем . Ч т о б ы п о л у ­
чить т е о р е м у Т е й л о р а , нам п о н а д о б и т с я с п е ц и а л ь н о е о б о б щ е ­
ние первой т е о р ем ы о ср е д н е м ; а им енн о если g ( x ) ^ 0 при
а ^ х ^ Ь и m ^ f { х ) ^ М , то
ь
ь
ь
т



g{x)dx— М{ х ) у д о в л е ­
т в о р я ю т у с л о в и я м , н а л о ж е н н ы м на v (х) в л е м м е А б е л я , и
X

есл и h, Я — н и ж н я я и в е р х н я я г р а н и
ь
со/г <

f { t ) d t при а ^ х ^ Ь ,


f [со — Р (х)] / (х) d x < (оЯ,

то
'

' .

(1)

ь
(i)h
7

З а к . 231

[а — N { x ) ] f {х ) с1х ^ ф Н.

(2)

В ы ч и т ая , п о л уч а ем
f (х) [ф (;с) - ф (а)] d x

Следовательно,

f{x)^{x)dx

на ф (а)

ош ибка,

f{x)dx\

(3)

можно

котор ую

приближенно

мы при этом

за м е н и т ь

с о в ер ш и м ,

а

о цен ен а св ер ху . Э то т р е з у л ь т а т особенно в а ж е н в теор и и р я д о в
и и н т е г р а л о в Ф ур ье.
Под
второй т е о рем ой о с р е д н ем обы чно п о д р а з у м е в а ю т
о д н у из с л е д у ю щ и х теор ем .
Ф о р м а Бо н н э: е с л и ф(л:) полож ит ельна и не возрастает при
а ^ х ^ Ь , то существует т] и з а ^ г [ - ^ Ь , такое, что
■П

h

Ф (а) J f (л:) rfx = I / (ж) ф (х) d x.
а

(4)

а

Ф о р м а дю Б у а - Р а й м о н а : е с л и ф(д:) монотонна п р и а ^ х ^ Ь ,
то существует | и з
такое, что
ь

I

ь

f (х) ф (.t) йд: = ф (а) J f (х) d x + qi{b) j f (л:) d x .
а

а

(5)

I

О б е т е ор ем ы л е гк о в ы в о д я т с я и з л е м м ы А б е л я , о д н а к о , к а к
о т м е ч а е т Б р о м в и ч [14, стр. 426 и 427], они не несут и н ф ор м ац и и ,
к о т о р а я не с о д е р ж а л а с ь бы в с а м о й л е м м е , п о с к о л ь к у в них
не у к а з ы в а е т с я способ оценки | и т] и они м енее и н ф ор м ати в н ы ,
чем п р и в е д е н н а я вы ш е ф о р м у л а (3) (см. п р и л о ж е н и е к гл. 1).
1.14.

Б е с к о н е ч н ы е п р о и з в е д е н и я . Если
П « = (1 + « i ) ( l + « з ) . . .

(1 + а „ ) ,

то п р е д е л П „ при п, с т р е м я щ е м с я к б есконечности ,
с у щ е с т в у е т и не р а в е н н у л ю , о б о з н а ч а е т с я ч ерез
П (1 + Я/г);

(1)

если он

(2 )

$ это м с л у ч а е г о в о р я т , что б еск онеч но е п р о и зв е д ен и е сходи тся.
О н о р а в н о н ул ю , если л ю б ой из м н о ж и т е л е й — нуль. (В по­

с л е д н ем с л у ч а е часто го во рят, что п р о и зв е д е н и е сходится
к н у л ю , чтобы от ли ч и ть его от т а к о г о п р о и зв е д е н и я , к а к

ко то ро е с т р ем и тс я к нулю , хотя все с о м н о ж и т е л и отли чн ы от
н у л я . П р о т а к и е п р о и зв е д е н и я , к а к п о сл ед нее, го во р я т, что они
расходят ся к н у л ю .)
Т е о р и я схо ди м ости б еск о неч ны х п р о и зв е д е н и й тесно с в я з а н а
с теорией схо ди м ости д л я бесконеч ны х ря д о в . Д е й с т в и т е л ь н о ,
если все а„ п о л о ж и т ел ь н ы или если все они о т р и ц а т е л ь н ы , то
д л я сходимости п р о и з в е д е н и я (2) н е о б х о д и м о и достаточно,
чтобы с х о д и л с я р я д ’^ а ^ . И м е е м
5„ = 1 п П « = 2 1 п ( 1 + а , ) .

(3)

I

Я сно, что ни П ( 1 + « п ) . ни
не м огут с х о д и ть ся б ез того,
чтобы а „ - * 0 . П о э т о м у мы д о л ж н ы р а с с м о т р е т ь т о л ь к о с л у ч а й
а „ - > 0 . ' В этом с л у ч а е
1п(1+а„)
ап
С л е д о в а т е л ь н о , о т н о ш ен и я с о о т в е т с т в у ю щ и х ч лен о в д в у х
рядов S l n ( l + a „ ) и
о гран и ч ен ы , и эти р я д ы с х о д я т с я
или нет о д н о в р ем е н н о . Н о есл и S„ им е е т п р ед е л S , то
им еет п р е д е л е^, и н а о б о р о т, если Ц „ с т р ем и тс я к п р е д е л у ,
о т л и ч н о м у от оо и О, то
тож е стремится к пределу; утвер­
ж дение доказано.
Е с л и а „ не все одного з н а к а и
с х о д и тс я , то л е гк о
п о к а з а т ь , что
с х о д и тс я . Е с л и
не с х о д и тс я ,
но а „ - > 0 , то м о ж н о в ы б р а т ь га т а к , что при п > т

П (!+««)

2|а«1

1п(1+ а„) = а „ - у Я Х .
где c < \ K „ \ < d , а с и d ф и кс и ро в ан ы ; а о э т о м у если
сх о­
д и т ся и
у с л о в н о сх о д и тс я , то и (1 + а „ ) с х о д и тс я .
Д о к а з а т е л ь с т в о не п р о х о д и т д л я т а к о г о п р о и зв е д е н и я , к а к
Здесь
сх о д и тс я , а
нет. Л е г к о
д о к а з а т ь , что у к а з а н н о е п р о и зв е д е н и е не сх оди тся.

П fl+{-1)"//« 1-

1.15.
У с л о ви е Л и п ш и ц а . Е с л и д л я д а н н о г о х и д л я всех
удовлетворяю щ их неравенству
—,t|< 6 ,
\fil)-f(x)\ 0 , то го во р я т, что f ( | ) у д о в л е ­
т в о р я е т при 1 = х у с л о в и ю Л и п ш и ц а п о р я д к а а. Е с л и /(g )
у д о в л е т в о р я е т у с л ов и ю Л и п ш и ц а , то о н а н е п р е р ы в н а при
i = x; если о н а у д о в л е т в о р я е т э т о м у у с л о в и ю при всех х из
о т р е з к а а ^ х ^ Ь , то она н е п р е р ы в н а при а ^ х ^ Ь . Н о д а ж е
при а = 1 ф у н к ц и я не о б я з а н а бы ть д иф ф ер е н ц и р у е м о й или
и м еть огр а н и ч е н н у ю в а р и а ц и ю . Н а п р и м е р , п о л о ж и м
/( 0 ) = 0,

/(х ) = A rsin g .

Э т а ф ун кц и я у д о в л е т в о р я е т у с л о в и ю Л и п ш и ц а п о р я д к а 1 д а ж е
при л: = 0; о д н а к о о н а не я в л я е т с я диффере'нцируем ой при х = 0
и не я в л я е т с я ф у нкц ией о г р а н и ч е н н о й в а р и а ц и и ни в к а к о м
и н т е р в а л е , с о д е р ж а щ е м л: = 0. Ф у н к ц и я | л: | у д о в л е т в о р я е т у с л о ­
вию Л и п ш и ц а п о р я д к а 1 при л: = 0 и в л ю б о м и н т е р в а л е им еет
огр а н и ч е н н у ю в а р и а ц и ю . О д н а к о она не д и ф ф е р е н ц и р у е м а при
х = 0. В р я д е те о р ем о б н а р у ж и в а е т с я , что у с л о в и е Л и п ш и ц а
я в л я е т с я д о ст а т о ч н ы м , в то в р е м я к а к т р е б о в а н и е н е п р е р ы в ­
ности н е д о ста т очн о, а у с л о в и е д и ф ф е р е н ц и р у е м о с ти д о ста т о ч н о ,
но не я в л я е т с я н еоб хо ди м ы м .
Е с л и в точке х у д о в л е т в о р я е т с я у с л о в и е Л и п ш и ц а п о р я д к а
а > 1 , то, о чеви дн о, /'(л:) = 0. Е с л и это у с л о в и е в ы п о л н я е т с я
в к а ж д о й точк е и н т е р в а л а д л я нек ото ро го а > 1 , то f ' ( x ) = О
н а всем и н т е р в а л е . С л е д о в а т е л ь н о , / (л:) — к о н с т а н т а ; тем са м ы м
и н те р е с п р е д с т а в л я е т т о л ь к о с л у ч а й 0 < а ^ 1 .
В а ж н ы й к л а с с ф ункц ий с о с т а в л я ю т ф у нкц ии f ( x ) , у д о в л е ­
т в о р я ю щ и е у с л ов и ю Л и п ш и ц а п о р я д к а 1 р а в н о м е р н о на (а, Ь)\
и м е е т с я в виду, что су щ е с т в у е т т а к а я к о н с т а н т а А, что
I/(х г) — f (a^i)
ЛI ^2 — X, I д л я всех х,, х^ из (а, Ь). Ясно, что
в этом с л у ч а е f ( x ) у д о в л е т в о р я е т обоим у с л о в и я м : н е п р ер ы в н а
и и м е е т о гран и ч ен н у ю в а р и а ц и ю . О н а не о б я з а т е л ь н о д иф ф е­
р е н ц и р у е м а во всех т о ч к а х {а, Ь), к а к вид но на пр и м ер е
f(x ) = | x | при X в и н т е р в а л е ( — 1, 1). М о ж н о д о к а з а т ь , о д н а к о ,
что f i x ) им е е т пр о и зв о д н у ю почти всю д у и я в л я е т с я и н те г р а л о м
Л е б е г а от огр ан и ч ен н ой функции. Э то у т в е р ж д е н и е я в л я е т с я
ч астны м с л у ч а е м п р и н а д л е ж а щ е й В. и Г. Ю н г а м [15] д о в о л ь н о
тру д н о й те о р ем ы о том, что ф ун кц и я огран и ч ен н ой в а р и а ц и и
и м е е т про и зво д н у ю почти в с ю д у * ). У к а з а н н ы й в ы ш е с п е ц и а л ь ­
ный с л у ч а й э к в и в а л е н т е н у т в е р ж д е н и ю о том, что к р и в а я
конечной д л и н ы почти всю д у им еет к а с а т е л ь н у ю ; э л е м е н т а р н о е
д о к а з а т е л ь с т в о этого ф а к т а д а л Б е з и к о в и ч [16].
*) В классе всех непрерывных функций это неверно.

1.16. Н е р а в е н с т в о К о ш и * ) .
п р о и з в о л ь н ы е ч и сл а, то

Е сл и а ,,

а„, 6,,



{ а \ + . . . +а^г^{Ь\ + . . . + 6 2 ) - ( а , 6 , + . . . + a j ) ^ ^ = ( a ^ b ^ - a ^ ; f + . . . .
Э то равенство является
Таким образом,

обобщ ением

тож дества

п

п

/п

\2

1

I

V1

'^7

Л агранж а.

Э т о со о т н о ш е н и е н а з ы в а е т с я н е р а в е н с т в о м К ош и . И з него с л е ­
д у е т , что если ф (х) и -ф {х) — д в е ф ункц ии, то
(х) d x
Э то неравенство
= I / W I . то

г|з^ (х) d x >

Ш варца.

{Ь-а)

В

ф(л;)г1)(л:) d x

ч астн ости ,

если

г |) = 1 ,

ф (х) =

f{x)dx>

Точно т а к ж е при п = 2 если Ь\ + Ь \ = \ , то (а ,6 , +
^
^
+ а\. Все эти и сходн ы е н е р а в е н с т в а н а х о д я т м н о г о ч и с л е н ­
ны е п р и м ен е н и я .
ПРИМЕРЫ
I

.

1. Какие из аксиом поля, сформулированны х в 1.01, не выполняются
д л я 1) м нож ества всех целых положительных чисел, 2) м нож ества, состоя­
щ его из О и всех корней квадратны х из целых положительных чисел?
2. Один студент (разум еется, не из К ем бри дж а) будто бы отыскал такой
маршрут из дом а на лекции и обратно, который и т уда и н азад идет под
гору. Какой аксиоме это противоречит?
3. Если Sr a^Srt - i ,
если для каж дого т сущ еств ует такое я,
что tn > Sm, и для каж дого т сущ ествует такое р, что Sp > tm, и если {*«}
ограничена, то {tn) сходи тся к том у ж е п р еделу, что {««}.
4. Д ок азать, что если Оо = 3,

0^+1

2

2
йп

= 3 -------- , то а п - > 2 . П оказать графи-

чески, используя кривые г/ = 3 ------, г/= х, что последовательность {а«} им еет
предел, равный 2, при всех значениях Оо, кроме «о “ 1. (Р азреш ается, чтобы
принимали бесконечные значения.) (I.C ., 1938.)
5. Если Sn+i = y 2sn + а , где Si и а положительны и берется полож и­
тельное значение квадратного корня, то при п, с тремящ емся к беск онеч­
ности, Sn стремится к пределу, равному I + У^а + I . Д оказать. (М. Т., 1940.)
В русской литературе Коши — Буняковского. — Прим. ред.

6. Д ок азать, что при фиксированном s >

1 и при п - > о о

V=1
стремится к пределу; если этот предел равен ф (5 ), то
о < ф (5 ) + у ^ < 5 - 1 .

(М. Т., 1938.)

7. П оказать, что положительный корень уравнения
+ 4х: -

1= О

м ож но найти, рассматривая сходящ ую ся последовательность
1

'

T T4 •
х1F +

О пределить четыре десятичных знака этого корня. (I. С., 1937.)
8. Реш ить следую щ ие разностные уравнения
1) г/га+1 - П г /п + ' / г г - 1 = 0,
2)
у п + , + 5уп + 2гп = 0,

где уо = 0, ( / i = l ,
г „ + , + 2г„ + 2i/„ = 0.

(I. С., 1941.)

9. Выразив s i n m0 и sh mu через экспоненты, доказать тож дество
on
/ 1

т ~\

s in т 0

—i
shmu

V

s in 0

/ J "Г
-/п
п -----------г г
c h( 2 r t — l ) t t “ c o s 0

^

/

^

л о

-

ч

(и > о, 0 —действительное).'

п= \

(М.

т., 1938.)

10. Если f i x ) равна О при иррациональных х и равна 1 при рациональ­
ных X, то xf (х) непрерывна при х — 0 (и нигде больше не является непре­
рывной), а x^f (х) диф ф еренцируем а при х = 0 (и нигде больш е не является
диф ф еренцируем ой). Д ок азать.
11. Д ок азать, что при а^ ф 1
П— \

1 - q2«
1—

Т Т Л



ГЯ

n (l-2 a c o s^ -fa ^ ).
Г=1

П усть а действительно; доказать, что
я
1п (1 — 2 a c o s x - \ - а^) rfjc = О
о
при | а | < 1 , и найти значение этого интеграла при | а | > 1 . (М. Т., 1939.)
12. Д оказать, что сум м а ряда

1^1
1+UI

,

UI
,
UI
(H -U |)2
( 1 +| ; с | ) 3

,

• ••

сущ ествует при всех действительны х х, но является разрывной функцией.
(М . Т., 1938.)

13. При каких значениях х каждый
сходится?

из следую щ их рядов равномерно

• •• + - ^ ) sin ил:.

(М /с, 1П, 1928.)

1

14. Д ок азать, что

и получить аналогичные ряды для In а, где а — натуральное число. (Указание;
использовать признак А беля для равномерной сходимости.) (М /с, III, 1930.)
15. П оказать, что для положительных п
И т х { — ,— + ----------------- . . . + —
У=1 п( 1 +х ) .
п->оо \ п + х
п + 2х
п + пх)

(I. С., 1938.)

■16. Д ок азать, что биномиальный ряд
1

+

■SГ= 1

п ( п + \ ) . . . (п + г - \ )

сходи тся при | х | < I и неограничен при | л ; | > 1 . Д ок азать д ал ее, что
1) если х = \ , то ряд сходится при и ^ О и неограничен при ге > О, 2) если
х = — \ , то ряд сходится при и < 1, неограничен при п > I и осциллирует
при /г = 1.
17. П оказать, что ^ “ « сходится, если | Un I*''” < k < 1 при п > т. П ри­
менить это правило к рядам



_9-2 п

,,

_ q-2«-1

Устанавливает ли сходим ость этого ряда правило 1.П 7? Если нет, то как
это правило н уж н о обобщ ить, чтобы из него следовала сходимость?
18. П оказать, что ряд
оо

оо

V V
^ + 'n
2 и L i (/2 +
1

1

сходи тся или не сходится в зависимости от того, какое из неравенств спра­
ведливо: s > ^/2 или
(М /с, III, 1932.)
19. Д ля д в у х рядов
ОО

ОО

г = 2 2""
1

1

найти, как велико дол ж н о быть п, чтобы ош ибка, возникающ ая при зам ене
ряда п-й частичной суммой, оказалась 1) < 0,005, 2) < 0,0000005.
20. Д ок азать, что ряд
1

п (1п п)Р
сходи тся при р > 1 и стремится к бесконечности при р ^ 1 .

Вывести отсю да, что если
un> 0,

-----«л-1

\

«л-1/

■k>\ .

In п
. \

«л-1/

то ряд 2 «л сходится.
21. И сследовать сходим ость ряда
ах , а { а + 2)

1+

•+

6 ( 6 + 1)

а (а + 2) (а + 4)

^ "Г 6. ( 6 + ,0—(1\6/ ,+ ,2)г»\

, ,

при положительных а, 6, х. (I. С., 1944.)
22. П оказать, что
1

+



х+

а (а + 1) . . . (а + га - 1) Р (Р + 1) + (р + га — 1)

... +

r a ! Y ( Y + l ) ••• (Y + « - 1 )

х"+

...

сходи тся, если О ^ л: < 1 и если х — I и у > « + Р23. Д ок азать, что произведение д в ух функций, интегрируемых по Р им ан у,
есть функция, интегрируемая по Риману.
24. Д ок азать результат 1.104 с помощью интегрирования по частям.
25. П усть
1
+ 1 ’

доказать, что

26. П усть
N

N

fix) = v

an cos Xnxn,

V

g(x)-

где an и Л,г — действительные числа. Д оказать,
f (х)

или

g {х)

не

обращ ается

в

нуль

(где т — натуральное число), то другая
внутри этого интервала.
27. Д ок азать, что

dx

an cos (ЯлХ + 1 ) « ,

n=0

n—Q

х-у

что если одн а из функций;

на интервале
m+ 1
т
имеет по крайней мере один нуль
(М. Т., 1938.)

dy

{х + уУ d y = - -5-,

28. И сследовать сходим ость бесконечных произведений

1) Un = ( - 1 ) "
Л

.

2) « л =

(-1)"
in (га+ 1) •

( 1 + « л ) . если

(М /с, III, 1928.)

29. Рассмотреть f (x) = V x c o s { \ l x ) , g (jc) = > ^ s i n (1/л:) и показать, что
непрерывность f (х) и g (х) не достаточна для сущ ествования интеграла
I

f(x)dg{x).
х=0

и

30. П усть f (х) имеет производны е вплоть д о (га— 1)-й при
(0) сущ ествует. Д ок азать, что

—а < х < а

П
f (x) = f{0) + ^ f ^ n ( 0 ) ^ + о(л:«).

31. П усть при
f { x ) имеет производную f ' (х); тогда если
f (а) < р < /' (Ь), то имеется такое
что а < | < 6, и f (g) = р [/' ( |) не
предполагается непрерывной].
32. П усть
(а:) — неубываю щ ие функции х на (а, Ь) или ( — , оо) и
равномерно ограничены по п, а такж е И т f n{ x ) = f (х). Д ок азать равноП-^ОО
мерную сходим ость в любом интервале, не содер ж ащ ем разрывов f {х).
Л ИТЕРАТУРА
1. He n d e r s o n I. В., E n gin eerin g, 116, 409 —410 (1923).
2. К п о р р К ; Ttieorie und A n w en d u n g der unen dlich en Reihen, Sp rin ger, 1947.
3. H a r d y G. Я ., Pure M athem atics. (Русский перевод: Г. Харди, К урс чистой
математики. М., И Л , 1949.)
4. Leathern J. G„ V olum e and Surface In tegrals used in P h y sic s, 1906.
5. Hei ne E. / ., R eine angew . M ath., 74, 188 (1871).
6. Y o ung r . H„ Proc. Lond. Math. Soc., (1) 35, 3 8 4 - 3 8 8 (1903).
7. Bake r H. P., Proc. Lond. M ath. S oc., (1), 35, 459 (1903).
8. St i el t j es T. J., Ann. d. F ac. d. S ci., T oulouse, 8, 68 —75 (1894).
9. W i d d e r D. V., The L aplace Transform , 1941, ch. 1.
. 10. Pol l ar d S., Quart. J. M ath., 49, 7 3 - 1 3 8 (1923).
11. Burki ll J. C„ C am bridge Math. Tracts, № 40, 1951.
12. Tit chmarsh E. C„ The Theory of F u n ction s, 1932, ch. X, XI, XII.
13. Cour ant R„ D ifferential and Integral C alcu lu s, 2 (1936), p. 316. (Русский
перевод: P. Курант, К урс дифференциального и интегрального исчисле­
ния, М -Л , О НТИ , 1934.)
14. B r o m w i ch Т. / ., Theory of In fin ite S eries, 1908, p. 123, 443, 426, 427.
15. Y o u n g W. H., Yo ung G. C., Proc. Lond. M ath. S oc., (2), 9 ,3 2 5 —335 (1911).
16. Be si covi t ch A. S., J. Lond. M ath. Soc., 19, 205 —207 (1944).

>

П Р И Л О Ж Е Н И Е К ГЛАВЕ 1

1.116a. Т е о р е м а об о г р а н и ч е н н о й сх о д и м о с т и . С н а ч а л а нам
п о н а д о б я т с я н е ск о л ь к о о п р е д е л ен и й . Д л я л ю б о г о кон ечн ого
м н о ж е с т в а 1 н е п е р е к р ы в а ю щ и х с я и н т е р в а л о в о б о зн а ч и м ч е р е з ’/ /
с у м м у их д ли н . Д л я б есконеч ного м н о ж е с т в а / и н т е р в а л о в ,
р а с п о л о ж е н н ы х внутри (а, Ь), о б о зн а ч и м ч ер е з II верх ню ю
г р а н ь сум м д л и н , в з я т у ю по всем п о д м н о ж е с т в а м / , с о стоя щ и м

И З конечного числ а и н т е р в а л о в * ) . Е сли Е — н екоторое м н о ж е с т в о
то чек из (а, Ь), то д о п о л н и т е л ь н о е м н о ж е с т в о С Е о п р е д е л я е т с я
к а к м н о ж ес т в о то чек (а, Ь), не п р и н а д л е ж а щ и х Е. Д о п о л н е н и е
к ко н ечн о м у м н о ж е с т в у з а м к н у т ы х н е п е р е к р ы в а ю щ и х с я и н те р ­
в а л о в состоит из конечного ч и с л а о т кр ы т ы х н е п е р е к р ы в а ю ­
щ и х с я и н т е р в а л о в . Е с л и все точки £ [ я в л я ю т с я т о ч к а м и
мы п и щ ем E i C : E 2 (чи тается: E i п р и н а д л е ж и т f j ) .

Л е м м а 1. Е с л и I — множество н е п е р е к р ы в а ю щ и х с я интер­
в а л о в , п р и н а д л е ж а щ и х {а, Ь), и 6 — п р о и з в о л ь н о е {как у г о д н о
м а л о е ) полож ит ельное ч и с ло , то существует к о н е ч н о е множ е­
ство J инт ервалов и з I, такое, что II ^ IJ > II — Ь. Э то с р а з у
с л е д у е т из того ф а к т а , что II я в л я е т с я в ерх н ей г р а н ь ю IJ по
всем конечны м м н о ж е с т в а м .
Л е м м а 2. Е с л и в ы п о л н е н ы у с л о в и я п р е д ы д у щ е й л е м м ы , то
существует к о н е ч н о е множество за м к н у т ы х инт ерва лов К , п р и ­
н а д л е ж а щ е е I и такое, что 1 К > И — 26.
В с а м о м д ел е , пусть J из л е м м ы 1 со сто и т из m и н т е р в а ­
лов. Д л я л ю б о г о и н т е р в а л а (а^, р,-) из J, т а ко го, что р,- —
>
> 6 / т , о п р е д е л и м и н т е р в а л из К с л е д у ю щ и м о б р а з о м : в о зьм е м
з а м к н у т ы й и н т е р в а л (а, + 6 / 2 т ,
— 6/2/п). Т а к о е м н о ж е с т в о
и н т е р в а л о в К о б л а д а е т т р е б у е м ы м с во йством .
М н о ж е с т в о / я в л я е т с я о б ъ е д и н е н и е м К и д р у го г о м н о ж е с т в а
н е п е р е к р ы в а ю щ и х с я и н т е р в а л о в К ', т а ко го, что II = 1К + 1К'.
Л е м м а 3. Пусть {/„} — последоват ельност ь множеств н е п е р е ­
к р ы в а ю щ и х с я инт ервалов, п р и н а д л е ж а щ и х {а, Ь), такая, что
1 п ^ 1 п - \ и ни о д н о X и з {а, Ь) не принадлеж ит в с е м /„. Т о гд а
/ / „ - > 0 . П о з а д а н н о м у 6 > 0 м о ж н о н а й ти п р и н а д л е ж а щ е е /„
м н о ж е с т в о Кп> с о с то я щ е е из кон ечн ого ч и сл а з а м к н у т ы х и н т е р ­
в а л о в и т а к о е , что / / ( „ > / / „ — 2 “ "б. М н о ж е с т в о точек /„, не
п р и н а д л е ж а щ и х /(„, об о значи м ч ерез Кп. П усть L„ — м н о ж ес т в о
точек, о б щ и х д л я К \, /Сг.
Кп- Т о г д а к а ж д а я то чк а /„
я в л я е т с я точкой 1\, 4 , . . . , / „ и, с л е д о в а т е л ь н о , л и б о точкой L„,
л и б о точкой по к р а й н е й м ере одного из м н о ж е с т в
/Сг, . . . , /Си.
З н а ч и т , l I n ^ l L n + 1К'\ + . . . Л -1Кп< 1Еп + Ь. С л е д о в а т е л ь н о ,
с остои т из кон ечн ого числа н е п е р е к р ы в а ю щ и х с я з а м к н у т ы х
и н т е р в а л о в (и, с л е д о в а т е л ь н о , за м кн у то )
L„c=L„_|

и

lL„>lI„-6.

Т а к к а к н и к а к а я то ч к а (а, Ь) не п р и н а д л е ж и т всем /„, то
к а ж д а я то чка п р и н а д л е ж и т нек о то р о м у С /„ , а с л е д о в а т е л ь н о ,
*) П редполагается, конечно, что / состоит из неперекрывающихся интер­
валов. — Прим. перев.

И н е котором у CL„, по с к о л ь ку СУ„ с : CL„. О н а не м о ж е т быть
к о н цево й точкой ни д л я к а к о г о и н т е р в а л а из C L„, п о т о м у что
к о н ц ев ы е точки CL„ я в л я ю т с я о д н о в р е м е н н о к о н ц е в ы м и т о ч ­
к а м и Ln и, с л е д о в а т е л ь н о , п р и н а д л е ж а т L„, п о с к о л ь к у
за м к н у т о . З н а ч и т , д л я к а ж д о й точки х из (а, Ь) н а й д е т с я
т а к о е п, что х л е ж и т внутри не к о то р о го и н т е р в а л а из CL„.
Р а с с м о т р и м м н о ж е с т в о всех т а к и х и н т е р в а л о в . П о тео р ем е
Г ейне — Б о р е л я с у щ е с т в у е т конечное число и н т е р в а л о в di,
d.2 , . . . , dk (к а ж д ы й из к о т о р ы х есть ч ас т ь не к о то р о го CL„),
ко т о р ы е п о к р ы в а ю т (а, Ь). П у с т ь
ч асть CL„^, и пусть п^ —
н а и б о л ь ш е е из чисел л,,
Т а к к а к C L „ c : C L „ + i , то CL„„
в к л ю ч а е т все d^', с л е д о в а т е л ь н о , CLn„ — это весь и н т е р в а л (а, Ь),
и Ln п у сто д л я всех
О тсюда
=
I I „ < Ь при всех
П о с к о л ь к у б п р о и зво л ьн о , И п - ^ О .
Л е м м а 4. Пусть f n{x) неотрицательны и инт егрируемы на
{а, Ь), [ „ { х ) < М п р и в с е х х и п и f n ( x ) - > О п р и в с е х х. Т о г д а
ь
f „( x) d x - > 0 . Д л я к а ж д о г о п п р о и зв е д е м т а к о е р а з б и е н и е {а, Ь),
а

чтобы с о о т в е т с т в у ю щ а я н и ж н я я и н т е г р а л ь н а я с у м м а (см. 1.101)
ь
о т л и ч а л а с ь от

f ni ^)

м е н ьш е , чем

на

1/«.

В каждой

точке

а

р а з б и е н и я п о л о ж и м §„(д:) = 0, а в к а ж д о м частич но м и н т е р в а л е
р а з б и е н и я во зьм е м gn{ x ) р а в н о й н и ж н е й г р а н и /„ ( х ) по т о ч к а м
этого и н т е р в а л а . Т о г д а
ь
f n ( x ) > gn{x)> 0-,

0 <

fifnix)-gn{x)}dx 0 о б о зн а ч и м ч ер ез / „ м н о ж е с т в о всех х,
г д е g p { x ) > e х отя бы д л я одного р > п . В ну тр и л ю б о г о и н ­
т е р в а л а , п о стро ен н ого д л я fp.(x), ф у н к ц и я gp{ x) п о с т о я н н а ;
с л е д о в а т е л ь н о , g p { x ) > e во всем ч асти ч н о м и н т е р в а л е , есл и о н а
б о л ь ш е е в одной точке. Т а к и м о б р а з о м , /„ — м н о ж ес т в о , с о ­
с т о я щ е е из н е п е р е к р ы в а ю щ и х с я и н т е р в а л о в , и /„ с=
Ни
од н о X не п р и н а д л е ж и т всем /„ , и н аче о к а з а л о с ь бы, что
fpix)"^ gp{x)>E
д л я бесконечной п о с л е д о в а т е л ь н о с т и з н а ­
чений р и п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь f „{x) не с т р е м и л а с ь бы к 0.
С л е д о в а т е л ь н о , /„ у д о в л е т в о р я е т у с л о в и я м л е м м ы 3 и I I „ - ^ 0 .
В о зь м е м По, т а к чтобы при л ^ «о в ы п о л н я л о с ь н е р а в е н с т в о

11п J / (х) dx.
а

а
X

С л е д у е т о т м ет и т ь, что

I

X

f ^ { u ) d u - > I f { u ) d u равномерно н а

а

а

(а, Ь).
П р и в е д е н н о е вы ш е д о к а з а т е л ь с т в о — о д н о и з т р е х (кое-где
п е р е с е к а ю щ и х с я ) д о к а з а т е л ь с т в , п р е д л о ж е н н ы х н а м Б ези к о в ич см . Н е з а в и с и м о е д о к а з а т е л ь с т в о д а л Смитсис.
В к а ч е с т в е и л л ю с т р а ц и и в о зьм е м /„(л:) = 0 д л я всех и р р а ­
ц и о н а л ь н ы х X из (О, 1). Е с л и X р а ц и о н а л ь н о и р а в н о m/fe
(где m/fe — н е с о к р а т и м а я д р обь), п о л о ж и м / „ ( x ) = l при n = k п
/ „ ( х ) = 0 при п ф к . Т о г д а f „ { x ) - > 0 всю ду, и
1
lim

1
/„ {х) d x = j \im f ^ ( x ) d x .

О д н а к о в л ю б о м и н т е р в а л е по л: и д л я л ю б о го п н а й д у т с я
р а ц и о н а л ь н ы е д р о б и , з н а м е н а т е л и ко т о р ы х п р е в о с х о д я т /г;

с л е д о в а т е л ь н о , f n( ^ ) ни в к а к о м и н т е р в а л е по х не с т р е м и т с я
к н у л ю р а в н о м е р н о . П р и ч и н а , по к о т о р о й в д о к а з а т е л ь с т в е
б ы ли и с п о л ь з о в а н ы н и ж н и е су м м ы (вм есто того чтобы, к а к
обы чно, и с п о л ь з о в а т ь верхн и е сум м ы), состои т в том , что
в ерх н и е сум м ы не п р и в о д я т к о п р е д е л е н и ю м н о ж е с т в а и н т е р ­
в а л о в /„ , ко т о р ы е о б л а д а л и бы н у ж н ы м и с в о й ст в а м и .
1.134а. Н а и б о л е е в а ж н ы м и
гралам вида
ь

являю тся

прилож ения к

и н те­

c o s t x , sin t x ] v { x ) d x { b > а).

г д е t — б о л ь ш о е п о л о ж и т е л ь н о е число. П р е ж д е всего о т м ет и м ,
что е сл и про ф ункц ию v { x ) изв е с т н о то ль ко , что о н а о г р а н и ­
чена, с к а ж е м \ v { x ) \ < A , то у ж е т о г д а (и б е з п р и м ен е н и я
л е м м ы А б ел я ) м о ж н о у т в е р ж д а т ь , что
e~*’‘v {х) d x <

Ае —ta

( 1)

Б е з д о п о л н и т е л ь н ы х о гр ан и ч ен и й н е л ь з я у т в е р ж д а т ь , что
ь
[cos t x, sin tx] V (x) d x = 0 ( y j .
О д н а к о е сл и и (jc) у д о в л е т в о р я е т н и ж е с л е д у ю щ и м у с л о в и я м , то
м о ж н о д о к а з а т ь п о сл е д н е е у т в е р ж д е н и е , а к р о м е того, вы вести
р е з у л ь т а т , з а м е н я ю щ и й (1) в с л у ч а е н есо б ственн о го и н т е г р а л а .
а)

Если

t полож ительно

и

f{x)dx < М

при

то е ~ ‘’‘ у д о в л е т в о р я е т у с л о в и я м , н а л о ж е н н ы м на v { x ) в л ем м е
А б е л я , и мы имеем
(2 )
б)
Е с л и t п о л о ж и т е л ь н о , а ф у н к ц и я v (х) н е о т р и ц а т е л ь н а ,
о г р а н и ч е н а и не в о з р а с т а е т при а ^ х ^ Ь , то
co stx dx

sin t x d x

О т с ю д а , п о л а г а я в л е м м е А б е л я f ( х ) = c o s t x или s i n /л:, имеем
ь
costxv(x) dx
(3)

sin t x V ( x) d x
b)
П у с т ь t п о л о ж и т е л ь н о , п о л н а я в а р и а ц и я v ( x ) на ин те р ­
в а л е a ^ , x ^ b р а в н а V, a п о л о ж и т е л ь н а я и о т р и ц а т е л ь н а я
в а р и а ц и и v { x ) на (а, х) р а в н ы Р{ х ) и N (х). Т о г д а

v { x ) = v { a) + P { x ) - N { x ) ,


v { x ) = v (а) + [Л^ {Ь) - N (л:)] - [Р (Ь) - Р (л:)] + Р (Ь) - N (Ь),
v{x)

=

v ib) + [Л/ (Ь)

-

М

(х)]

-

[Р (Ь)

-

Р {х)1

З д е с ь и (6) — к о н с т а н т а . N { b ) — N { x ) и Р{ Ь) — Р{ х ) у д о в л е т в о ­
р я ю т у с л о в и я м , н а л о ж е н н ы м на v (л:) в л е м м е А б ел я , и пре­
в р а щ а ю т с я в Л^(й) и Р{ Ь) при х = а . О т с ю д а
ь

I

c os t xv{ x) dx < ^ [ l y ( 6 ) | + yV (6)+ P(6)] = |- [ |a ( 6 ) H - l / ] ,

s i n / A : u (jc) d x

(5)

(6)

СКАЛЯРЫ И ВЕКТОРЫ

М ораль здесь такова:
позаботься о смысле,
а звуки позаботятся
о себе сами.
Л ь ю и с К э р р о л „Алиса в стране чудес"

2.01.
Д екартовы координаты . П равило сум м и рован и я. Л ю ­
бое ф и зи ч ес к о е и зм е р е н и е — это о п р е д е л ен и е о т д е л ьн о й в е л и ­
чины. Ф и зи к у м о ж н о о п р е д е л и т ь к а к н ау к у , и з у ч а ю щ у ю т а ки е
с о о т н о ш е н и я м е ж д у вел и ч и н а м и , что из одного м н о ж е с т в а и зм е ­
рений м о ж н о п р е д с к а з а т ь д р уги е , е сл и т о л ь к о д а н ы у с л о в и я
н а б л ю д е н и я . Н а и б о л е е э л е м е н т а р н ы м и и зм е р е н и я м и , к р о м е п р о ­
стого счета, я в л я ю т с я и зм е р е н и я р а с с то я н и й . К а к мы видели,
экспериментально
было устан ов­
лено, что р а с с т о я н и я в д о л ь з а д а н ­
ной п р я м о й а д д и т и в н ы в некотором
смысле и удовлетворяю т законам
а с с о ц и а т и в н о ст и и к о м м у т а т и в н о с т и
с л о ж е н и я . Н о есл и д в а р а с с т о я н и я
в зя т ы не в д о л ь одной п р я м о й , то
их с у м м а не м о ж е т б ы ть о п р е д е ­
л е н а о д н о зн а ч н о б ез д о п о л н и т е л ь ­
ных у с л о в и й . Е с л и Р, Q, /? — три
точки, то р а с с т о я н и е P R о п р е д е л я е т с я не т о л ь к о р а с с т о я н и я м и
PQ и Q R. М еж д у расстояниями вдоль лю бы х д в у х п ересекаю ­
щ и х с я п р я м ы х P Q Q ' и P R R ' им е е тс я э к с п е р и м е н т а л ь н о п ро ­
в е р я е м о е соотнош ен ие
PQ2 + р1^2 _ Q/J2
pQ'^ + р/^'2 _
2PQ-PR

2PQ'-PR'



^

ко г д а Р не л е ж и т м е ж д у Q и Q ' и
и 7?'. Э то отнош ен ие
(число) о б о з н а ч а е т с я c o s 0 , и 0 н а з ы в а е т с я у гл о м м е ж д у п р я ­
мы ми. В е л и ч и н а cos В не м о ж е т бы ть м е н ьш е — 1 или б о л ь ш е + 1.
Теперь, ко гд а и зм е р е н и е в основном з а м е н и л о м етод ы Евкли.да
и п р о п о в е д у е т с я эк с п е р и м е н т а л ь н ы й по д х о д к геом етри и, ж е л а ­
тельн о, чтобы о дним из первы х ш а г о в в п р е п о д а в а н и и б ы ла
п р я м а я п р о в е р к а этого з а к о н а и чтобы он бы л п о л о ж е н в основу
всего д а л ь н е й ш е г о и з л о ж е н и я п р е д м е т а . Е го з н а ч и т е л ь н о легче
п р о в е р я т ь , чем н ек о тор ы е из обы чны х акси ом . Он д е л а е т угол

Производной величиной, и свойство адд и т и вн о с ти у г л о в на п л о ­
с кости, в з я т о е Е в к л и д о м к а к п о с т у л а т, м о ж е т бы ть вы ведено
из него. Э то и к л у ч ш е м у , т а к к а к пл оско сть — более с л о ж н о е
п о н я т и е , чем п р я м а я л и н и я . И з (1) м о ж н о р а з в и т ь всю теорию
Евклида
вп л о ть
до
вв е д е н и я
прямоугольных
координат
[1, гл. 7]*).
В м е т о д а х Е в к л и д а п он ятие н а л о ж е н и я и г р а е т в ы д а ю щ у ю с я
р о л ь . Он все в р е м я г о в о р и т о р е а л ь н ы х в е щ а х , кото ры е с р а в н и ­
в а ю т с я . С о в р е м е н н о м у п р е п о д а в а н и ю с в ойств енно с т р ем л е н и е
и з б е ж а т ь п о н я т и я н а л о ж е н и я . Н о н а л о ж е н и е п р я м о относится
к ф и зи ч е ски м м е т о д а м , и я з ы к Е в к л и д а не п о з в о л я е т п е р е п у ­
т а т ь , с к а ж е м , д л и н у и п л о щ а д ь . Н а я зы к е ф и зи ч ески х величин
л е г к о м о ж н о в ы р а з и т ь то, что и м е е т ф изический см ы с л и что
б ы л о бы т р у д н о или н е в о з м о ж н о в ы р а з и т ь я зы к о м Е в к л и д а .
О д н а к о п о п ы тк а свести его систем у к чистой м а т е м а т и к е у н и ч ­
т о ж а е т то, что с ф изической точки зр е н и я п р е д с т а в л я е т с я н а и ­
б о л е е ценным .
П р я м о у г о л ь н ы е к о о р д и н а ты о б л а д а ю т тем с войство м , что
р а с с т о я н и я м е ж д у д в у м я т о ч к а м и в ы р а ж а ю т с я в них с и м м е т ­
рич но ч ер ез с у м м у т р е х к в а д р а т о в их р а зн о с т ей . Н и к а к о й д р у ­
гой способ з а д а н и я п о л о ж е н и я не о б л а д а е т этим свойством.
О б щ е е у т в е р ж д е н и е , что п р я м о у г о л ь н ы е к о о р д и н а т ы не им ею т
о с о б о г о ф изического зн а ч е н и я , взд о р н о . В пр оек ти вно й г е о м е т ­
рии о т в е р г а е т с я п о н ятие р а с с т о я н и я , по то м у что оно м е тр и ч е ­
ское. В ф и зи к е мы не м о ж е м о б ой ти сь б е з него. Н о к о г д а оно
в в е д е н о , мы м о ж е м р а с с м о т р е т ь к р а т ч а й ш е е р а с с то я н и е м е ж д у
точко й и т о ч к а м и д ан н о й пл оско сти (к о т о р ая о п р е д е л е н а к а к
ге о м е тр и ч е с к о е м есто точек, р а в н о у д а л е н н ы х от д в у х з а д а н н ы х
точек), и это п р я м о п о д в о д и т к п о н я т и я м п е р п е н д и к у л я р а и
п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и н а т.
П р я м о у г о л ь н а я к о о р д и н а т а — это р а с с то я н и е от д ан н о й п л о ­
скости. У с л о в и м с я , что т о ч к а м по о д н у сто ро ну п л оско сти соо т­
в е т ст в у ю т р а с с т о я н и я с п о л о ж и т е л ь н ы м зн а к о м , а по д р у г у ю —
с о т р и ц а т е л ь н ы м . Т е п е рь мы м о ж е м с к а з а т ь , что с м е щ е н и е от Р
к Q о п р е д е л я е т с я т р е м я ко м понент ам и, а им енно р а зн о с т я м и
п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и н а т эти х д в у х точек, и эти р азн ости
р а в н ы п р о е к ц и я м P Q на три и с п о л ь з у е м ы е оси. Т а к к а к к а ж д а я
п р о е к ц и я я в л я е т с я р а с с то я н и е м в д о л ь з а д а н н о й п р я м о й в з а ­
д а н н о м н а п р а в л е н и и , то они о б л а д а ю т а д д и т и в н ы м свойством
и их м о ж н о в з я т ь в лю бом п о р я д к е . И н а ч е го во р я , н а ч и н а я
с Р , мы м о ж е м н ай ти точку Р ', у кото рой к о о р д и н а т ы у и z
*) Д ругие рассмотрения, касающиеся физических величин, мож но найти
в гл. 4 и 6. В частности, важ но понять, что законы науки устанавливаю тся
путем последовательных приближений.

т а к и е ж е , к а к у Р , а к о о р д и н а т а х т а к а я ж е , к а к у Q, потом
т о чк у Р " , у которой к о о р д и н а т ы х я z т а к и е ж е , к а к у Р',
а к о о р д и н а т а у т а к а я ж е , к а к у Q, и, н а к о н е ц , п о л уч и ть Q,
изм ен и в к о о р д и н а т у z. Х отя м о ж н о у п о р я д о ч и т ь к о о р д и н а т ы
ш естью р а зл и ч н ы м и с п о с о б а м и , мы в три ш а г а в с е г д а п о п а ­
д а е м в Q. Э то т ф а к т верен д л я л ю б о й с истем ы к о о р д и н а т , но
в п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и н а т а х эти три с м е щ е н и я о б л а д а ю т тем
осо бы м с во й ств ом , что к а ж д о е из них им е е т з а д а н н о е н а п р а ­
в л е н и е и величину. (Это верно т а к ж е д л я ко с о у г о л ь н ы х д е к а р ­
т о в ы х к о о р д и н а т , но они и с п о л ь з у ю т с я т о л ь к о в с п е ц и а л ь н ы х
с л у ч а я х , и мы не б у д е м их р а с с м а т р и в а т ь до гл. 4.) В и з в е с т ­
ном с м ы с л е мы м о ж е м р а с с м а т р и в а т ь п а р а л л е л ь н ы е с м е щ е н и я
о д и н а к о в о й д л и н ы к а к эк в и в а л е н т н ы е . Э то я в л я е т с я ч ас т н ы м
с л у ч а е м п р а в и л а п а р а л л е л о г р а м м а . П о с л е д н е е в своем о б щ е м
вид е и с п о л ь з у е т с я т о л ь к о в к о с о у г о л ьн ы х к о о р д и н а т а х . П о э т о м у
мы не б у д е м к а с а т ь с я его сейчас. М ы м о ж е м р а с с м а т р и в а т ь
у к а з а н н у ю эк в и в а л е н т н о с т ь к а к ф а к т , п р е д с т а в л я ю щ и й ф и зи ч е ­
ский процесс, п о л а г а я , что с м е щ е н и я п е р е н о с я т т е л о ц ел ик о м
к его новы м н а ч а л ь н ы м т о ч к а м в о д н о р о д н о м п р о с т р а н с т в е .
О д н а к о эт о т пр оц есс у п о т р е б л я е т с я не часто.
Д е й с т в и т е л ь н о в а ж н ы м св о йств о м п р я м о у г о л ь н ы х к о о р д и ­
н а т я в л я е т с я то, что они в р а в н о й м ере хо р о ш о и в о д и н а к о в о м
виде в ы р а ж а ю т с в о й с т в а р а с с т о я н и я , к а к и е бы н а п р а в л е н и я
осей мы ни в ы б р ал и , л и ш ь бы эти н а п р а в л е н и я б ы ли в з а и м н о
п е р п е н д и к у л я р н ы . М ы ч аст о и зм е н я е м н а п р а в л е н и я осей, и н ам
н у ж е н способ о п р е д е л е н и я к о о р д и н а т в одной с и стем е, если
они з а д а н ы в д р у го й . К о м п о н е н т а м и с м е щ е н и я о тно с и т е л ьн о
новы х осей б у д у т его пр оекции н а эти оси с со о т в ет с т в у ю щ и м и
з н а к а м и . Е с л и п р я м а я R S о б р а з у е т у г л ы а, р, у со с т а р ы м и
ос я м и к о о р д и н а т и с м е щ е н и е P Q им еет ком п оненты и, v, w
в тех ж е ос я х, то п р о е к ц и я P Q на R S р а в н а
м c o s a -Ь и co sp + ш cos Y-

(2)

Т а к о е о б о зн а ч е н и е очень г р о м о зд к о . Е г о обы чно с о к р а щ а ю т ,
о б о з н а ч а я ко си ну сы ч ер е з I, т , п. И х н а з ы в а ю т н а п р а в л я ю ­
щ и м и к о с и н у с а м и п р я м о й R S.^ Т о г д а п р о е к ц и я з а п и с ы в а е т с я
в вид е lu + m v + n w . Д а л ь н е й ш и е у п р о щ е н и я п о л у ч а ю т с я , если
мы о б о зн а ч и м оси ч ер ез дг], Xg, х^, к о м п о н е н ты — ч е р е з и,, и^, «з,
а н а п р а в л я ю щ и е ко си ну сы
через /i, /2, /3. Т о г д а п р о е к ц и я
з а п и ш е т с я в виде
(/= 1 ,2 ,3 ).
(3)
П р е и м у щ е с т в о и н д е к сн ого о б о зн а ч е н и я со сто и т в том, что н а и ­
более о б щ и е за к о н ы ф изик и и м ею т о д и н а к о в ы й в и д д л я всех
я

Зак.

231

к ом п онент. С л е д о в а т е л ь н о , если мы имеем, с к а ж е м , д и ф ф ер ен ­
ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я д л я тр е х к о о р д и н а т частиц ы , то д о с т а ­
точно н а п и с а т ь одно у р а в н е н и е в ин дек сн о м обозначении; с л е ­
д у е т то л ь к о пом нить, что и н д е к с д о л ж е н п р и н и м а т ь все три
зн а ч е н и я по очереди. Д а л ь н е й ш е е с о к р а щ е н и е за п и си д о с т и ­
г а е т с я п о с р е д с тв о м п р а в и л а с у м м и р о в а н и я . .Мы видим, что в (3)
к а ж д ы й член с о д е р ж и т один и то т ж е индекс д в а ж д ы и все
члены с у м м и р у ю т с я . У с л о в и м с я , что в лю бом з а п и с ан н о м
в ин дексн ой ф о р м е в ы р а ж е н и и , в кото ром в с т р е ч а е т с я п о в т о ­
р я ю щ и й с я индекс, эт о м у и н д е к су с л е д у е т п р и д а т ь все в о з м о ж ­
ные зн а ч е н и я и р е з у л ь т а т ы з а т е м п р о с у м м и р о в а т ь . П о л ь з у я с ь
п р а в и л о м с у м м и р о в а н и я , вм есто (3) мы пиш ем просто
2.02.
П р е о б р а з о в а н и е . Е с л и н ам д а н ы д в е п р я м о у г о л ь н ы е
с истем ы к о о р д и н а т 0 1 2 3 и O l ' 2 'З ' с общ им н а ч а л о м О, то мы
о б о зн а ч а е м с о о т в е т с т в у ю щ и е к о о р д и н а т ы через x^ и л:'. И х с л е ­
д у е т р а с с м а т р и в а т ь к а к д в а р а з л и ч н ы х о п и с ан и я п о л о ж е н и я
точки Р. О б о з н а ч и м ч ере з
н а п р а в л я ю щ и й коси нус оси x'j
о т н о с и т е л ьн о оси л:,.. Т о г д а д:' — п р о е к ц и я О Р на с о о т в е т с т в у ю ­
щ ую ось и, с л е д о в а т е л ь н о , x'i = l ^ x . . Это верно д л я / = 1 , 2, 3;
следовательно.
З д е с ь з а п и с а н ы три у р а в н е н и я п р е о б р а з о в а н и я , к а ж д о е из ко т о ­
р ы х им еет три ч л е н а в пр а в о й части.
Мы п о к а не и с п о л ь з о в а л и у с л о в и е взаи м н о й п е р п е н д и к у л я р ­
ности осей х'.. У с л о в и е п е р п е н д и к у л я р н о с т и х\ и л:' состоит
в том, что
/п/^2 = 0.
(5)
Д л я д р у ги х пар осей верны д в а а н а л о г и ч н ы х со отн о ш ен и я .
Поскольку
— н а п р а в л я ю щ и е косинусы х[ о т н о с и т е л ьн о 0 1 2 3 ,
то в ы п о л н я е т с я соо тно ш ен ие
Inln = 1
(6)
и е щ е д в а п о д о б н ы х со о т н о ш е н и я . (Мы не пи ш е м зд е сь 1ц1ц
по то м у , что т о г д а н у ж н о б ы л о бы п р о с у м м и р о в а т ь и по i, и
по j, что не вх о д и т в н а ш и н а м е р е н и я .) И т а к , хотя им еется
д е в я т ь 1ц, они с в я з а н ы ш естью с о о т н о ш е н и я м и в и д а (5) и (6),
и с л е д у е т о ж и д а т ь , что т о л ь к о три из них м о ж н о в ы б и р а т ь
н е за в и си м о . Э то д е й с т в и т е л ь н о т а к , хотя у к а з а н н ы е с о о б р а ж е ­
ния н е л ь з я р а с с м а т р и в а т ь к а к д о к а з а т е л ь с т в о .
2.021.
Р а с с м о т р е н н ы е вы ш е ш есть соотнош ен ий могут
бы ть з а п и с а н ы к а к одно- В вед ем н а б о р чисел б;*, г д е / и k

Принимают зн ач ен ия 1, 2 и 3,
е с л и г ф k. Т о г д а мы им еем

и б ^ * = 1 , есл и

i = k, и бг^ = 0,

h ih i = ^ц-

(7)

Э тот н а б о р в еличин н а з ы в а е т с я тензором п о д с т а н о вк и * ). Е с л и
л ю б ое в ы р а ж е н и е , с о д е р ж а щ е е н е п о в т о р я ю щ и й с я и н дек с k,
у м н о ж и т ь на 6^/^ и п р о с у м м и р о в а т ь , то, п о с к о л ь к у ед и нственно е
н е н у л е в о е с л а г а е м о е б у д е т при k = i, п о л у ч а е м з а м е н у и н д е к са к
ин дек со м г. З а м е т и м , что с л е д у е т р а з л и ч а т ь в ы р а ж е н и е
при
i = k, ко тор ое р а в н о 1, и б,-,-, кот о р о е п о д р а з у м е в а е т с у м м и р о ­
в ан и е и р а в н о 3. О т м ет и м т а к ж е , что в 1ц сам вид в ы р а ж е н и я
п о к а з ы в а е т , что д в а I не м о гут им еть о д и н а к о в ы й см ы сл. П р и
у п о т р е б л е н и и и н дек сов н е и з б е ж н о п о я в л е н и е одной и той ж е
б у к в ы в д в у х с м ы с л а х , т а к к а к м ного б укв у ж е и м ею т с п е ­
ц и а л ь н о е н а зн а ч е н и е , но и н д е к с просто определяет ось и может
быть р а в н ы м 1, 2 и 3, а та же б у к в а на строке обозначает
ф и з и ч е с к у ю в е л и ч и н у . Е с л и им еть это в виду, то н и к а к о й п у т а ­
ницы не возни кн ет. Д л я п е р в о н а ч а л ь н ы х осей зд е сь и с п о л ь з о ­
в а л и с ь и н дек сы г, к, т , р, . . . , а д л я п р е о б р а з о в а н н ы х — /, /,
п, q, . . . ; б у к в а о п р о п у щ е н а , т а к к а к п о х о ж а на цифру. Ч а с т о
в к а ж д о й систем е и с п о л ь з у ю т с я свои буквы : в од ной — гр е ч е ­
ски е, а в д р у го й — с о о т в ет ст в у ю щ и е им л а т и н с к и е ; но ин о гд а
п р и х о д и тс я у п о т р е б л я т ь с л и щ к о м много б укв (и н а м д а ж е м о ж е т
не х в а т и т ь а л ф а в и т а ) или в во д и т ь б уквы со ш т р и х а м и , что
у с л о ж н я е т зап и сь.
2.022. О братное п р еобр азован и е. П о с к о л ь к у оси х ' о р т о го ­
н а л ь н ы м е ж д у собой и коси нус у г л а м е ж д у ос я м и x^ и
ра­
вен 1ц, им еем
х^ = lijXj,
(8)
а п о с к о л ь к у и оси Х{ о р т о г о н а л ь н ы м е ж д у собой, то
= ^ik-

(9)

Эти с о о т н о ш е н и я а л г е б р а и ч е с к и вы ве д е н ы и з (7) в 2.073. Т е п ер ь
мы им еем 12 соотнош ен ий м е ж д у д е в я т ь ю в ел и ч и н а м и . О т с ю д а
с л е д у е т , что н е л ь з я п ол н о стью д о в е р я т ь м е то д у счета ко н ста н т.
2.023. Скорость, ускорение, си л а. О пределени е вектора.
Единичные, или направляю щ ие векторы. В и н е р ц и а л ь н о й систем е
*) См. 3.03. В данный момент нам не н уж н о общ ее определение тен­
зора. bik — частный случай б-символа Кронекера.

к о о р д и н а т у р а в н е н и е д в и ж е н и я м а т е р и а л ь н о й точки и м ее т в и д * )
m x i = Xi

(10)

(т ер м и н и н е р ц и а л ь н а я л у ч ш е, чем об ы чн ы й т е р м и н ф и к с и р о ­
в а н н а я ) . Е с л и мы р а с с м о т р и м д р у г у ю и н е р ц и а л ь н у ю с истем у
к о о р д и н а т , то, п о с к о л ь к у 1ц не з а в и с я т от в р ем ени,
=

А -=

(11)

Т а к и м о б р а з о м , к о м п о н е н т ы с ко ро сти и у с к о р е н и я при п р е­
о б р а з о в а н и и систем ы к о о р д и н а т м е н я ю т с я по д о бн о к о о р д и ­
натам.
М ы п о л а г а е м , что с о о тн ош ен и е (10) верно в л ю б о й инерц и а л ь н о й с и стем е к о о р д и н а т . В р а з л и ч н ы х с и с т е м а х к о о р д и н а т
к о м п о н е н т ы с ил ы X i, Х \ д о л ж н ы им еть р а з н ы е зн а ч е н и я , но все ж е
д о л ж н о в ы п о л н я т ь с я с оо тно ш ен ие
m x 'i^ X '.,

(12)

к а к бы ни п р е о б р а з о в ы в а л и с ь оси и со в е р ш е н н о н е за в и с и м о
от ф а к т и ч е с к и х зн ач е н и й Х{. Н о это в о з м о ж н о , т о л ь к о если
X' i ^l i t Xi .

(13)

Т а к и м о б р а з о м , мы пол уч ил и, что не т о л ь к о с м е щ е н и е , но и
с к о р о с т ь , у с к о р е н и е и с и л а п р е о б р а з у ю т с я по п р а в и л у (4). Д л я
си л ы это б ы л о в ы в е д е н о из п р е д п о л о ж е н и я о т ом , что у р а в н е ­
ние
д в и ж е н и я в ы п о л н я е т с я д л я всех и н е р ц и а л ь н ы х систем.
Т а к , н а п р и м е р , д л я ч асти ц ы , д в и г а ю щ е й с я под д ей с тв и е м
силы
т я ж е с т и , в систем е к о о р д и н а т с осью 0 3 , н а п р а в л е н н о й в е р т и ­
к а л ь н о вверх , мы им еем (х,,
-^з) = (0. 0. ~ ё)- Н о это неверно
д л я д р у г и х систем к о о р д и н а т , и о б щ а я ф о р м у л а им еет вид
Xi = — gli, где /(• — н а п р а в л я ю щ и е коси н усы оси, н а п р а в л е н н о й
в е р т и к а л ь н о ввер х.
Л ю б ы е три вел и ч и н ы Л,-, ко т о р ы е при п о в о р о т е осей п р е ­
о б р а з у ю т с я по п р а в и л у
A'i = h i A i ,
(14)
н а з ы в а ю т с я к о м п оне н т а м и вектора по отнош ен ию к этим ося м .
Т е п е р ь е с л и мы и схо д и м из н а б о р а тр е х у р а в н е н и й , к о т о р ы е
верны в л ю б о й систем е к о о р д и н а т , и вы во д и м из них к а к о е -то
с л е д с т в и е , и с п о л ь з у я к о н к р е т н ы е к о о р д и н а т ы 0 1 , 0 2 , 0 3 , то
с тем ж е у сп ех ом мы м о г л и бы в ы вести из эти х у р а в н е н и й .
*) В наши цели не входит детальное обсуж ден и е того, как и в какой
мере динамика Нью тона основы вается на опыте. Такое обсуж ден и е мож ет
быть найдено в [I, гл. 8].

з а п и с а н н ы х в д р у го й систем е к о о р д и н а т 0 1 ', 0 2 ', 0 3 ', с л е д ­
с твие, ф о р м а л ь н о о т л и ч а ю щ е е с я т о л ь к о д о б а в л е н и е м ш т р и х о в
ко всем б у к в а м . Е с л и с л е д с т в и е п р е д с т а в л я е т собой с и с т е м у
т р е х у р а в н е н и й и л е в ы е ч асти суть к о м п о н е н т ы в е к т о р а , то мы
зн а е м , что они п р е о б р а з у ю т с я при п е р е х о д е к новой си с т е м е
к о о р д и н а т с о г л ас н о (14). Н о т а к к а к обе систем ы у р а в н е н и й
верны , то п р а в ы е ч асти т а к ж е д о л ж н ы п р е о б р а з о в ы в а т ь с я
по (14) и я в л я ю т с я к о м п о н е н т а м и в е к т о р а . О б р а т н о , е сл и три^
у р а в н е н и я з а д а ю т р а в е н с т в о ко м п о н е н т д в у х ве к т о р о в в н е к о ­
торой систем е к о о р д и н а т, то, п о с к о л ь к у обе ч асти у р а в н е н и й
и з м е н я ю т с я по о д н о м у и т о м у ж е з а к о н у , эти уравнени я!
с р а з у ж е м о ж н о пр и м ен и т ь к л ю б о й д р у го й систем е к о о р д и н а т
просто д о б а в л е н и е м ш тр и х ов .
Е с л и мы во зь м е м д в е п р я м ы е , н а п р а в л я ю щ и е коси нусы к о т о ­
р ы х о т н о с и т е л ьн о осей Xi су ть
и tii, то коси нус у г л а м е ж д у
ним и б у д е т mitii. Е с л и , в ч астности, п е р в а я п р я м а я — ось дс',.
то коси нус у г л а м е ж д у ней и п р я м о й с н а п р а в л я ю щ и м и к о с и ­
н у с а м и tii есть
(15)Т а к и м о б р а з о м , н а п р а в л я ю щ и е косинусы д ан н о й п р я м о й п р е ­
о б р а з у ю т с я по п р а в и л у (14) и я в л я ю т с я к о м п о н е н т а м и в е к т о р а .
Э то т векто р ч ас т о н а з ы в а ю т е д и н и ч н ы м вектором. М ы п р е д ­
п о ч и т а е м т е р м и н н а п р а в л я ю щ и й вектор, т а к к а к его е д и н с т в е н ­
ное н а з н а ч е н и е — о п р е д е л я т ь н а п р а в л е н и е .
М ы м о ж е м г ов ор и ть о ко м п о н ен т е в е к т о р а в л ю б о м н а п р а ­
в л ении . Е с л и п р я м а я и м ее т н а п р а в л я ю щ и е коси нусы rii в си­
стем е к о о р д и н а т Xi, то к о м п о н е н т а в е к т о р а Ai в этом н а п р а ­
влении есть tiiAi. Т е п ер ь п р е д п о л о ж и м , что мы х о т е ли бы
о т ы с к а т ь ко м п о н ен т у этого ж е в е к т о р а в том ж е н а п р ав л е н и и ,,
и с п о л ь з у я с истем у к о о р д и н а т л:'. М ы п о л у ч и л и бы

п;л; =

= б.,п.л, = «.л.,

(i6>-

и следовательно, компонента вектора в заданном направлении
не з а в и с и т от в ы б о р а осей к о о р д и н а т.
Э то т р е з у л ь т а т м о ж н о б ы л о п ол уч и ть т а к ж е , и с п о л ь з у я
т р е т ь ю си с т е м у к о о р д и н а т , у которой о д н а из осей им ее т н а п р а ­
в л е н и е П(, и п е р е х о д я от п е р в о н а ч а л ь н о й си ст е м ы к это й,
а потом к х'^.
В е кт о р часто о п р е д е л я ю т к а к о б ъ е к т , з а д а в а е м ы й с о в о к у п ­
ностью т р е х ком п о н ен т с а д д и т и в н ы м с войство м , котор ое в ы р а ­
ж а е т с я п р а в и л о м п а р а л л е л о г р а м м а . П о с л е д н я я ч асть этого
о п р е д е л ен и я п р е д п о л а г а е т , о д н а к о , что р а с с м а т р и в а е м ы е в е к ­
т о р ы м огу т быть п р е д с т а в л е н ы с м е щ е н и я м и в п р о и зв о л ь н о м

с к а л я р н о м м а с ш т а б е , к а к п р а в и л о и м е ю щ е м р а зм е р н о с т ь . П о к а
это не с д е л а н о , мы не з н а е м , что п о д р а з у м е в а е т с я под п р а в и ­
л о м п а р а л л е л о г р а м м а д л я этих векто ро в. В ве д ен и е п а р а л л е л о ­
г р а м м а ф а кт и ч е с к и л и ш ь у с л о ж н я е т д ел о . Б у д е т л у ч ш е перейти
п р я м о к а н а л и т и ч е с к о й ф о р м у л и р о в к е т р е буе м о го с во йства.
И т а к , это п р а в и л о т р ебует, чтобы мы зн а л и , что п о д р а з у м е ­
в а е т с я под с л о ж е н и е м д л я р а с с м а т р и в а е м ы х в екторо в . У нас
есть естествен н ы е и н те р п р ет а ц и и д л я смеш,ения, скорости, у с к о ­
рени я и силы . О д н а к о н а м б у д у т в с т р е ч а т ь с я б о л е е с л о ж н ы е
векторы , д л я ко т о р ы х тр у д н о у к а з а т ь отли чн ое от а н а л и т и ­
ческого о п р е д е л ен и е с л о ж е н и я . К т о м у ж е в этом нет н е о б х о ­
д им ости , т а к к а к все, что т р е б у е т с я д л я н а ш и х целей, — это
п р а в и л ь н о с т ь н а ш и х у р а в н е н и й . Е с л и мы м о ж е м п р а в и л ь н о
про вести в ы к л а д к у , то д л я ф изик и не о б я з а т е л ь н о о т ы ск и в а т ь
особу ю ф изич еску ю и н те р п р ет а ц и ю д л я к а ж д о г о в х о д я щ е г о
в в ы к л а д к у ч л е н а. Т а к и м о б р а з о м , мы о п р е д е л я е м вектор к а к
с о в о к у п н о с т ь ко м п о н е н т Л,-, о п р е д е л ен н ы м о б р а з о м и з м е н я ю ­
щ и х с я при п р е о б р а з о в а н и и к о о р д и н а т . Э то в к л ю ч а е т у т в е р ж д е ­
ние о том, что ком п онентой в е к т о р а с н а п р а в л я ю щ и м и ко с и ­
н у с а м и «г я в л я е т с я
С к а л я р — это о д н о к о м п о н е н т н а я в е л и ­
чина, не м е н я ю щ а я с я при з а м е н е осей.
2.03.
О б о з н а ч е н и е в е к т о р а о д н о й б у к в о й . В ектор с к о м п о ­
н е н там и Ai м о ж н о ещ е ко роч е о б о зн а ч и т ь ч ере з А. О чен ь
т р у д н о и ф а к т и ч е с к и не о б я з а т е л ь н о о б ъ я с н я т ь , что мы н а з ы ­
в аем ве кт о р о м в от р ы ве от его к ом п о нент. П р о и з в о д я с р а в н е н и я
с н а б л ю д е н и я м и , мы и н те р е с у е м с я им енно ко м п о н е н т а м и , о д н а к о
ч ас т о у д о б н о р а б о т а т ь с о дним с и м в о л о м . М ы о п р е д е л я е м с у м м у
д в у х в ек т о р о в А и В к а к в е ктор с к о м п о н е н т а м и Л,- +
и обо­
з н а ч а е м его ч ерез А 4 - В. О б о з н а ч е н и е — В — векто р с к о м п о ­
н е н там и — Bi, а А — В = А - Ь ( — В). М ы м о ж е м о п р е д е л и т ь у м н о ­
ж е н и е в е к т о р а А на с к а л я р т к а к вектор с к о м п о н е н т а м и
О ч еви дн о , что при т а к о м о п р е д е л ен и и в ы п о л н я ю т с я за ко н ы
а с с о ц и а т и в н о ст и и к о м м у т а т и в н о с т и с л о ж е н и я ; В + А — вектор
с ко м п о н е н т а м и В, + Л ^ = Д- + В,-, а это к ом п оненты в е к т о р а А + В .
А н а л о г и ч н о за к о н ас с о ц и а т и в н о ст и
А + (В - I- С ) = (А + В ) -f С
н е м е д л е н н о с л е д у е т и з о п р е д е л е н и я . Н е им ее т с м ы с л а п р и ­
б а в л я т ь векто р к с к а л я р у , п о с к о л ь к у первы й м е н я е т с я при
з а м е н е осей, а второй нет. О д н а к о ясно, что т А и А т п р е д ­
с т а в л я ю т один и тот ж е в ектор , и, с л е д о в а т е л ь н о , в ы п о л н я е т с я
з а к о н к о м м у т а т и в н о с т и у м н о ж е н и я . А н а л о г и ч н о е сл и т и п
■скаляры, то

{т + п ) А = тА + пА = {п + т) А

при условии, что m a n и м ею т о д и н а к о в у ю р а зм е р н о с т ь ; в п р о ­
тивном с л у ч а е с л о ж е н и е б е с с 1М ысленно. Т а к ж е
т ( пА) - (т п) А.
С м е щ ен и е о т _ Р к Q, р а с с м а т р и в а е м о е к а к вектор,
зн а ч а т ь с я P Q .

будет обо­

Мы видели, что вектор вполне задается тремя компонентами. Однако
легко видеть, что это условие не влечет за собой выполнения закона ком­
мутативности сложения и, следовательно, само по себе не является доста­
точным для выведения всех свойств векторов *). Рассмотрим вращениетвердого тела на конечный угол вокруг произ­
вольной оси, проходящ ей через фиксированную
точку О этого тела. Естественной „суммой"
двух последовательны х вращений является
одно вращ ение, переводящ ее тело в то ж е
конечное полож ение. О дно вращ ение вполне
определяется заданием направления оси вра­
щения, для чего нужны два числа, и углом по­
ворота. В озьм ем неподвиж ную п р я м о у г о л ь - ------ную систем у координат 0 1 2 3 и рассмотрим
два последовательны х вращения. П ервое на
угол я /2 вокруг 0 1 , второе на угол л /2
вокруг 0 2 , оба в правую сторону. Если мы
возьмем их в этом порядке, точка Р с коорди­
натами (О, О, 1) сперва перейдет в Я' (О, — 1, 0)
Р и с . 3.
и останется там при втором вращении. Но
если мы сделаем сперва вращ ение относи­
тельно 0 2 , точка перейдет в Р " ( 1 , 0 , 0) и останется там при следую щ ем
вращении. П орядок вращений влияет на результат. Если бы сумма д в ух
вращений получалась по векторным законам, этого не могло бы быть, по­
скольку для векторов слож ение коммутативно. П редставление конечных вра­
щений будет рассмотрено более полно в следую щ ей главе.

2.031.
И з н а ш е г о о п р е д е л е н и я м о ж н о вы вести, что в е кто р
д о п у с к а е т геометрическое пр едст авление. Е с л и А —п р о и зв о л ьн ы й
вектор, мы м о ж е м у м н о ж и т ь его к о м п о н е н ты Ai на к о н с т а н т у с,
в ы б р а н н у ю т а к , чтобы они пр и о б р е л и р а з м е р н о с т ь д л и н ы . Т о г д а
если Xi = cAi, то п р о е к ц и я х на н а п р а в л е н и е li есть
l[Xi = ctiAi,
и, р а з д е л и в на с, мы п о л у ч а ем к о м п о н е н т у А в н а п р а в л е н и и
О т с ю д а видно, что с л о ж е н и е в е к т о р о в о д и н а к о в о й р а зм е р н о с т и
по л н о ст ью о п и с ы в а е т с я , ёсл и п р е д с т а в л я т ь их к а к с м е щ е н и я
в о д и н а к о в о м м а с ш т а б е , и, т а к и м о б р а з о м , п р а в и л о п а р а л л е л о ­
г р а м м а у с т а н о в л е н о д л я в е кто ров о б щ е г о в и д а . Д а л ь н е й ш и е
с в о й с т в а в е к т о р о в м огут бы ть в ы веден ы из сво йств с м ещ е н и й
с п о м о щ ь ю этого п р е д с т а в л е н и я . В частно сти, к а ж д ы й в е ктор
*) Д ругим и словами, не всякий объект, задаваемы й тремя компонен­
тами, является вектором. — Ярыл. перев.

и м е е т м о д у л ь и н а п р а в л е н и е . Д е й с т в и т ел ь н о , если г — д л и н а
с м е щ е н и я , п р е д с т а в л я ю щ е г о его в д а н н о м м а с ш т а б е , то
г2 = xf + л;2 + 4 = с \ А \ + Л | + 4 ) = c^A ^

(1)

A^=A,A,

(2)

где
и не за в и с и т о т в ы б о р а осей. Т о г д а А (в зя то е п о л о ж и т е л ь н ы м )
м о ж е т быть н а з в а н о м о д у л е м А и с о о т в ет с т в у е т вел ич ине с м е ­
щ ен и я . Т а к ж е есл и А ф < д и мы н а п и ш е м
X.

А.

то nil б у д у т н а п р а в л я ю щ и м и к о с и н у с а м и о п р е д е л е н н о й п р я м о й ,
к о т о р а я м о ж е т бы ть н а з в а н а н а п р а в л е н и е м А. Д а л е е , п р о е к ц и я
р а с с м а т р и в а е м о г о с м е щ е н и я на п р я м у ю в н а п р а в л е н и и /,• есть
= сЛ C O S 0 , где 0 — у го л м е ж д у н а п р а в л е н и я м и /,■ и т ^ .
К о м п о н е н т о й А в н а п р а в л е н и и /,• я в л я е т с я Л с о з Э . О д н а к о к о м ­
пон ента в з а д а н н о м н а п р а в л е н и и не за в и с и т от в з я т ы х осей,
и, с л е д о в а т е л ь н о , Л и 0 д л я всех /,• не з а в и с я т от осей.
З н а ч и т Л — о д н а и т а ж е ве л и ч и н а , а
— одно и то ж е н а п р а ­
вление в л ю б ы х осях.
В одном случае удобн о отказаться от правила брать А положительным.
Прямая линия мож ет быть представлена уравнениями

x . ^ a ^ + sL.
Если /; фиксированы, мы м ож ем получить все точки прямой, изменяя s
от — оо д о -Ь оо. Это соответствует перемещению вдоль прямой в опр еделен­
ном направлении. Если // указаны , то прямую, проходящ ую через начало
координат, у д обн о записать так:

x i^xl.,

J

где X мож ет принимать и отрицательные значения. Р асстояние от начала
координат, взятое положительным, в сегд а буд ет обозначаться через г. Когда
мы берем
х.t = г1.I
'С положительным г, мы рассматриваем две прямые, выходящ ие из начала
координат в противоположны х направлениях, как разные прямые с //, рав­
ными по величине и противоположными по знаку. Это иногда удобн о,
но не всегда.

2.032.
С р а в н е н и е сис т е м о б о зн а ч е н и й . В а ж н о с т ь и п о л е з ­
ность в екторного о б о зн а ч е н и я я в л я ю т с я п р е д м е то м о б с у ж д е н и й
д л я з а н и м а ю щ и х с я м а т е м а т и ч е с к о й ф изикой. То, что м о ж н о
с к а з а т ь в т е р м и н а х А, м о ж н о с к а з а т ь и в т е р м и н а х Л,-, в ы п и ­
с ы в а я по л но стью все ком п о ненты . О д н а к о е сл и п осто янно иметь
в в и д у ге о м етр и ч е с к о е п р е д с т а в л е н и е в е к т о р а в вид е н а п р а ­

вл ен н ого о т р е з к а , то, по мнению н ек о тор ы х , с о д е р ж а н и е м ногих
ф и зи ч е с к и х з а к о н о в н а и б о л е е п он ятн о в в ектор н о м о б о зн а ч е н и и .
Н е к о т о р ы е у с и л и я н у ж н ы , чтобы н а у ч и т ь с я д у м а т ь в т е р м и н а х
ве кт о р о в . О ни н у ж н ы т а к ж е , чтобы п р и обр ести у в е р е н н о с т ь
в том, что к о м п а к т н о с т ь , п о л у ч а е м а я б л а г о д а р я п р а в и л у с у м ­
м и р о в а н и я , не в е де т к о ш и б к а м . К р о м е того, с л е д у е т п ом н ить,
что есл и получен н ек ото ры й ф и зич еский р е з у л ь т а т о вект о р е ,
то д л я его пр о ве р к и в с е г д а п о н а д о б и т с я п р о и зв е с ти т р и и з м е ­
р ен и я и, н е за в и с и м о от того, к а к он в ы р а ж е н — с п о м о щ ь ю
в е кто рн о го или ин дек сн ого о б о зн а ч е н и я , — п р и д е т с я р а с п и с а т ь
все три ком п о н ен ты . Р а с п и с ы в а н и е к о м п о н е н т при ин дек сн о м
о б о зн ач е н и и в с е г д а п р о щ е , чем при в е кто рн о м . Н е к о т о р ы е
о б щ и е те о р ем ы з а п и с ы в а ю т с я ко роч е в одной с и стем е, н е к о ­
т ор ы е — в д ру го й . В к о н к р е т н ы х з а д а ч а х н ео б х о д и м ы н е к о то р ы е
р а з м ы ш л е н и я д л я того, чтобы в ы б р а т ь н а и л у ч ш и й м о м е н т д л я
р а с п и с ы в а н и я по к о м п о н е н т а м , и м ногие сту д е н т ы с л и ш к о м
д о л г о о т к л а д ы в а ю т его, хо тя у с л о в и я з а д а ч и в ы д е л я ю т од н о
или д в а с п е ц и а л ь н ы х н а п р а в л е н и я . В теории у п р у го с т и и д и н а ­
м ике в я з к и х ж и д к о с т е й е сте с т в ен н е е п р и м е н я т ь и н д е к сн о е о б о ­
зн ач ен и е. В теории о тн о с и т е л ьн о с т и векто рное о б о зн а ч е н и е
п ол н о стью н е п р им еним о, т а к к а к не в ы п о л н я е т с я п р а в и л о п а р а л ­
л е л о г р а м м а д л я с ко ро с те й . В с л е д с т в и е эт о го н е к о то р ы е с п е ­
ц и а л и сты с чи таю т, что в екто рно е о б о зн а ч е н и е — ч и с т а я п о т е р я
врем ени, и о т к л а д ы в а ю т зн а к о м с т в о с этим в о сновн ом п о л е з ­
ным м ето д о м . В этой г л а в е мы п о к а ж е м , н а с к о л ь к о это в о з ­
м о ж н о , о б а м е т о д а п а р а л л е л ь н о . У м ен ие п е р е в о д и т ь с од ного
я з ы к а на д ру го й и п е реход и ть к р а с п и с а н н о й ф о рм е а б с о л ю т н о
н е о б х о д и м о д л я п о н и м а н и я с о вр е м е н н о й ф изической л и т е р а ­
туры . Ч а с т о п о л е зн о п р е д с т а в л я т ь се б е в е кто р к а к в е ктор с м е ­
щ е н и я . Х отя в о п р е д е л е н и я х мы п р и в о д и м четкое р а зл и ч и е
м е ж д у о б щ и м и в е к т о р а м и и в е к т о р а м и с м е щ е н и я , мы ч ас т о
б у д е м п р и м е н я т ь к о б щ и м в е к т о р а м г е о м е тр и ч е с к и е т е р м и н ы ;
н а п р и м е р , у го л м е ж д у д в у м я в е к т о р а м и А и В, строго г о в о р я , —
з н а ч и т „ угол м е ж д у в е к т о р а м и с м е щ е н и й , п р е д с т а в л я ю щ и м и
А и В в соо т в ет с т ве н н о о п р е д е л е н н о м м а с ш т а б е " ; „ д в а п е р ­
п е н д и к у л я р н ы х в е к т о р а А и В “ — з н а ч и т „ д в а в е к т о р а А и В,
т а к и е , что п р е д с т а в л я ю щ и е их с м е щ е н и я перпендикулярны**.
И с п о л ь з о в а н и е этой а н а л о г и и не н у ж н о при и н д е к с н ы х о б о ­
з н а ч е н и я х , зд е сь д о с т а т о ч н о а н а л и т и ч е с к и х о п р е д е л ен и й .
2.0 33 , Н улевой вектор. Н у л е в о й в е ктор — это в екто р, м о д у л ь
ко т о р о го р а в е н нулю .

ло)

2.0 34 . Н аправляю щ ие векторы. В е к т о р с м о д у л е м 1 (чис­
в н а п р а в л е н и и в е к т о р а А н а з ы в а е т с я еди нич ны м или

н а п р а в л я ю щ и м вектором в этом н а п р ав л е н и и . Е го ком п оненты ,
очевидно, р а в н ы — н а п р а в л я ю щ и м к о си н усам А по отнош ен ию
к ко о р д и н а т н ы м о сям . В ч астности, мы бу дем о б о з н а ч а т ь н а ­
п р а в л я ю щ и е в е кт о р ы в н а п р а в л е н и и осей ч ерез e(i), С(2), С(з)
с о ответственно. Т а к и м о б р а з о м ,
е(1) = (1, О, 0),

6(2) = (О, 1, 0),

е(з) = (О, О, 1).

И н д е к с в з я т в скоб ки , чтобы по д ч е р к н у т ь, что это не к о м п о ­
не н та , а н ек о тор ы й вектор. Л ю б о й вектор А м о ж е т б ы ть з а ­
писан так:
Л 16(1) + ^2®(2) + ^26(3).
в н е к о то р ы х к н и г а х н а п р а в л я ю щ и е векто ры ,
о ся м , о б о з н а ч а ю т ч ерез i, j, к и пи ш ут

параллельные

А = Ajfi -f Ayj -f Л^к.
2.04.
Линейно зависим ы е или компланарны е векторы. Е сли
три в е к т о р а А , В и С у д о в л е т в о р я ю т со отнош ению
аА + рВ + уС = 0,

(1)

где а, р, Y — д е й с т в и т е л ь н ы е ч и с л а (не все р а в н ы е нулю), то
эти в екто ры н а з ы в а ю т с я л и н е й н о за в и с и м ы м и . Г ео м етр и ческ и
это знач ит, что А, В, С м о гут б ы ть п р е д с т а в л е н ы с м е щ е н и я м и ,
л е ж а щ и м и в одной пл оскости; т а к , е сл и у ф О, то
С = - ^ ( а А + рВ),
и, с л е д о в а т е л ь н о , С п р е д с т а в л я е т с я с м е щ е н и е м , л е ж а щ и м
в п л о скости с м е щ е н и й , п р е д с т а в л я ю щ и х А и В, в п р е д п о ­
л о ж е н и и , что все они п р ов е д е н ы из одной точки. С а м и в е к ­
торы н а з ы в а ю т с я т о г д а к о м п л а н а р н ы м и . М ы м о ж е м здесь
н а п о м н и т ь , что п а р а л л е л ь н ы е в е кт о р ы р а в н о й величины э к в и ­
в а л е н т н ы в н а ш е й системе. Н е к о т о р ы е авт о р ы р а з л и ч а ю т „ с в о ­
б одн ы е в е к т о р ы " и „ с в я з а н н ы е в е к т о р ы ". С в я з а н н ы й вектор
в к л ю ч а е т , н а п р и м е р , з а д а н и е и силы , и точки ее п р и л о ж е н и я .
В н а ш е й систем е с в я з а н н ы й в е кто р — это не один, а д в а в ек ­
т о р а : один — о п р е д е л я ю щ и й силу, а д р у го й — т очку ее пр и­
ложения.
Е с л и м е ж д у т р е м я в е к т о р а м и нет с о отн о ш е н и я в и д а (1), то
они н а з ы в а ю т с я л и н ей н о н е з а в и с и м ы м и или н е к о м п л а н а р н ы м и .
С о о т в е т с т в у ю щ и е р е з у л ь т а т ы в ин д е к сн ы х о б о з н а ч е н и я х м огут
б ы ть н ап и с а н ы б ез тр у д а .
2.041. Вы раж ение л ю бого вектора через три н еком п ланар­
ных вектора. Е сли А, В, С — три н е к о м п л а н а р н ы х ве к т о р а и

D —п р о и зв о л ь н ы й в ектор , то D м о ж н о в ы р а зи т ь к а к а А + рВ + уС,
где а, р, Y ~ д е й с тв и те л ь н ы е ч исла. П усть P Q (см. рис. 4) пр е д ­
с т а в л я е т D. Т о гд а п р я м ы е , про ве д е н н ы е ч ер е з Р и п р е д с т а в л я ю ­
щ ие А и В, о п р е д е л я ю т пл оскость. П у с т ь /?Q — п р я м а я , п р о ­
в е д е н н а я ч ерез Q в н а п р а в л е н и и С, п е р е с е к а е т э т у п лоскость
в точке R. Т о г д а
P Q ^ P R + RQ.
Н о R Q п р е д с т а в л я е т у С , где
скаляр, а
—в екто р, к о м п ­
л а н а р н ы й А и В. З н а ч и т , его м о ж н о в ы р а з и т ь к а к а А + рВ.
Следовательно,
D = а А + рВ + уС.
П о с к о л ь к у м е ж д у ч ет ы р ь м я в е к т о р а м и в с е г д а есть со отн о ­
ш ен ие т а к о г о т и п а , то, с л е д о в а т е л ь н о , четы ре в е к т о р а не
м огут бы ть л и н ей н о н е за в и си м ы . И з д а н н о г о п о стро ен и я ясно,
что д л я з а д а н н ы х А, В, С (н е к о м п л а н а р н ы х ) и л ю б о г о D ве­
личины а , р, Y о п р е д е л я ю т с я
о д н о зн а ч н о .
Е с л и А, В, С — п о п а р н о п е р ­
пендикулярные
направляю щ ие
в е кт ор ы , то п о л у ч а е м частны й
с л у ч а й , при в е де н н ы й в 2.034. Е сли
А, В, С не я в л я ю т с я п о п арн о
п е р п е н д и к у л я р н ы м и , то а А , pS,
уС назы ваю тся косоугольными
к о мп о не нт а ми D в н а п р а в л е н и я х pj
А, В, С соо тветственно .
осд
2.05.
У м нож ение
векторов.
Мы рассмотрели умнож ение век­
т о р а на с к а л я р , но к ак о й см ы с л м о ж н о п р и д а т ь у м н о ж е н и ю
д в у х в е кт о ров и в оо б щ е м о ж н о л и это с д е л а т ь , не т а к у ж
ясно. М ы м о ж е м р а с п о л о ж и т ь д е в я т ь пр ои зв еден и й ком п онент
в виде к в а д р а т н о й т а б л и ц ы с л е д у ю щ и м о б р а з о м :
А,В,
А 2В 1
ЛзВ,

Аф^
А 2В 2

А,В,
^2^3
^3^3

М ы у в и д и м , что все эти п р о и зв е д е н и я п о я в я т с я в гл. 3. Д в а
п р о и зв е д е н и я , н а з ы в а е м ы е с к а л я р н ы м и векторным п р о и з в е д е ­
ни ям и , к о п р е д е л ен и ю к о тор ы х мы п ер ех од им , суть н е к о то р ы е
ком б и н ац и и этих д е в я т и про и зв ед е н и й . И х вы бор о п р е д е л я е т с я
п о л ьзой , ко то ру ю они пр и н о с я т в ф и зи ч ески х п р и л о ж е н и я х .

2.06.
С калярное п р ои зведен ие. Э т а ф у н к ц и я н е п о ср е д с тве н н о
св язан а с ф ундаментальны м и экспериментально проверяемым
с о о тн ош ен и ем 2.01 ( 1) м е ж д у р а с с т о я н и я м и , и з м е р я е м ы м и не
в д о л ь одной п р я м о й :
P Q - P R c o s Q = \ ( P Q ^ + P R ‘^ - Q R ^ ) .

( 1)

Э то в ы р а ж е н и е вп о л н е о п р е д е л я е т с я з а д а н и е м т р е х д л и н P Q ,
P R , Q R. П о с к о л ь к у р а с с т о я н и е я в л я е т с я осно вн ы м п о н ятием
д л я всей те м ы и о д и н а к о в о д л я всех систем к о о р д и н а т , это
в ы р а ж е н и е о п р е д е л я е т величину, не з а в и с я щ у ю от систем ы
к о о р д и н а т . М ы н а з в а л и т а к и е в еличины с к а л я р а м и . П е р е й д е м
т е п е р ь к д е к а р т о в ы м к о о р д и н а т а м . П у ст ь Xi о б о зн а ч а е т P Q .
а yi — P R , т о гд а t/i — Xi о б о з н а ч а е т Q R , и
] - ( P Q 2 + P R ^ - QR^) = 1 {(x2 + x l + xf) + (г/2 + г/| + yf) -

{{У\ -

X \f +

^ (PQ2 + PR'^ - QR^) =

(г/2 -

+

(г/з -

Х з )^ ]},

+ Х2 У2 + ХгУз.

(2)
(3)

Э то в ы р а ж е н и е н а з ы в а е т с я с к а л я р н ы м п р о и з в е д е н и е м в е к т о ­
ров X и у. В о б щ е м с л у ч а е с к а л я р н о е п р о и зв е д е н и е А и В
о п р е д е л я е т с я т а к:

А • В = А]В\ + А 2 В 2 + -^3^3 =

2

г= 1,2, 3

AiBi = A f i i ,

(4 )

е сл и и с п о л ь з о в а т ь п р а в и л о с у м м и р о в а н и я . П р о и зв е д е н и е А • В
р а в н о Л В с о з в , где 6 — уго л м е ж д у н а п р а в л е н и я м и эти х в е к ­
торов. Ч и т а е т с я это т а к : „А на В с к а л я р н о " . Д в а в ы р а ж е н и я
в к о о р д и н а т а х (2), (3) м о гут б ы ть з а п и с а н ы по с о г л ащ е н и ю
о с у м м и р о в а н и и т а к:

а л е в у ю ч асть м о ж н о з а п и с а т ь короче:
(6)
Н а п о м н и м , что х^ бы ло в свое в р е м я введен о д л я за п и с и х х ,
что мы и п о д р а з у м е в а е м под х^; по это м у, к о г д а мы видим
в ы р а ж е н и е , по д о бн о е х?, то и н т е р п р ет и р у ем его к а к д:.х,- и
п р и м ен я ем п р а в и л о с у м м и р о в а н и я . П о э т о м у п р а в и л у м о д у л ь А
вектора А задается равенством
A^ = А1

Э то в ы р а ж е н и е есть с к а л я р н о е п р о и зв е д е н и е А с с а м и м собой.
Б л а г о д а р я п р а в и л у с у м м и р о в а н и я т а к за м е т н о с о к р а щ а е т с я
за п и с ь , что те р е д к и е с л у ч аи , к о г д а мы им не п о л ь з у е м с я ,
оговари ваю тся специально. Б е з п рави ла суммирования индекс­
ное о б о зн а ч е н и е и м е л о бы м а л о п р е и м у щ е с т в п еред в ы п и с ы в а ­
ни ем ф о р м у л ы п о л н остью в д е к а р т о в ы х к о о р д и н а т а х ; с его
п о м о щ ь ю в ы р а ж е н и е , ко т о р о е в р а з в е р н у т о м виде с о д е р ж и т 9
или 81 член , м о ж н о з а п и с а т ь к а к о д н о ч л е н , и о б р а щ а т ь с я
с ним т а к ж е л егко. Э то п р а в и л о о с т а е т с я п о л е зн ы м в теории
отн о си т е л ьн о с т и и об щ ей д и н а м и к е , п о с к о л ь к у я в л я е т с я просто
ис к у сст в е н н ы м п р и е м о м и не за в и с и т от п р а в и л а п а р а л л е ­
лограмма.
Д о к а з а т е л ь с т в о того, ч ю Ai Bi не за в и с и т от систем ы к о о р ­
д и н а т , б ез п р е д с т а в л е н и я с м е щ е н и я м и п р о в о д и т с я т а к ж е , к а к
при вы в о д е 2.023(16):
=

=

=

(7)

Коммутативность. И з о п р е д е л е н и я ясно, что п о р я д о к со­
м н о ж и т е л е й А и В в с к а л я р н о м п р о и зв е д е н и и б е з р а з л и ч е н :
А

В

=

В

А .

Ассоциативность. П о с к о л ь к у А - В —не вектор, мы не м о ж е м
п р о д о л ж и т ь у м н о ж е н и е и о б р а з о в а т ь п р о и зв е д е н и е А • В • С ,
т а к что г о во ри т ь об
асс о ц и а т и в н о ст и б ессм ы сл ен н о .
Но
( А
• В ) С
— вектор, им ею щ и й н а п р а в л е н и е т а к о е ж е , к а к С ,
а вел ич ину , б о л ь ш у ю в А • В р аз.
Дистрибутивность. М ы м о ж е м , о д н а к о , д о к а з а т ь , что
А

(

В

-

Ь

С

)

=

А

В

+

А

С

,

т а ч к а к это н е м е д л е н н о с л е д у е т из о п р е д е л ен и я . И з этого
т о тч а с м о ж н о вы вести, что с к а л я р н о е п р о и зв е д е н и е д в у х сумм
р е кто ро в м о ж н о п р е д с т а в и т ь су м м ой с к а л я р н ы х про и зв ед е н и й .
В ч астн ости , т а к к а к
в(2) • С(з) = C(3) • 6 (1) = 6 (1) • 6(2) = О,
^(1) • С(1) = 6(2) • 6(2) = 6(3) • 6(3) = 1,
то
А



В

=

( i 4 i6 ( i)

+

/4 26 (2 )

- Ь

^ з б ( з ) )



(ВхСц) +

^ 2 ^ ( 2 )

+

^З^(З))

=

= А\ В[ -\- А 2 В 2 + А^В^.
Т а к и м о б р а з о м , мы п о л у ч и л и о п р е д е л е н и е (4).
З а м е т и м , что, к о г д а о п р е д е л ен ы н а п р а в л я ю щ и е векторы
в д о л ь осей, п р я м о у г о л ь н ы е к о о р д и н а т ы с ч и та ю тс я с к а л я р а м и .

С л е д у е т о тм ети ть, что если с к а л я р н о е п р о и зв е д е н и е д в у х
с м е щ е н и й р а в н о н ул ю , то PQ^ + P R ^ = Q R ‘^ и, с л е д о в а т е л ь н о ,
или о д н о из с м е щ е н и й — нуль, или они п е р п ен д и к у л я р н ы .
О б р а щ е н и е в ну л ь А - В не о зн а ч а е т , что А или В — нулевой
в ектор, а о з н а ч а е т , что л и б о они п е р п е н д и к у л я р н ы , л и б о один
из них н у л ь. О д н а к о если А • В ,, А • Bj, А • Вд все ра в н ы нулю ,
а В |, Ва, Вз — н е к о м п л а н а р н ы , то А не м о ж е т б ы ть п е р п е н д и ­
к у л я р н ы м к ним всем и д о л ж е н б ы ть н у л е в ы м .
Косинус угла м еж д у д вум я прямы ми равен скалярн ом у
п р о и зв е д е н и ю их н а п р а в л я ю щ и х в ектор ов , т. е. если
т^ —
н а п р а в л я ю щ и е коси нусы п р я м ы х , то
cos 0 = litTli.
К омпонента вектора А вдоль прямой с н ап равляю щ им и
косинусами
р а в н а /(-Л,-, что я в л я е т с я с к а л я р н ы м п р о и з в е д е ­
нием А и н а п р а в л я ю щ е г о в е к т о р а этой п р я м о й .
2.07.
В екторное п р ои зведен ие. В е к т о р н о е п р о и зв е д е н и е д в у х
в е ктор ов з а п и с ы в а е т с я А Х В (чи тается Л на В в е к т о р ^ . О п р е ­
д е л и м его на г е о м етр и ческой м о д ел и . Е сл и О Р и 0 Q , п р е д ­
с т а в л я ю щ и е А и В с о отв етств енно, не п а р а л л е л ь н ы , то они
о п р е д е л я ю т пл о ско сть. П у с т ь O R п р е д с т а в л я е т н а п р а в л я ю щ и й
вектор п, п е р п е н д и к у л я р н ы й к этой плоскости. Т о г д а если
0 — у г о л , на котор ы й н у ж н о п о ве р н у ть О Р отн о си тел ьн о O R
в п р а в о , чтобы п ол у ч и ть п р я м у ю 0 Q, то
А X В = А В sin 0п.
С е й ч а с мы у в и д и м , что о п р е д е л е н и е не за в и с и т от в ы б о р а н а ­
п р а в л е н и я п. Е с л и мы н а п р а в и м п в о б р а т н у ю сторону, то
у го л п о в о р о т а 0 за м е н и т с я на (2л — 0), а т а к к а к s i n ( 2n —0) =
== — sin 0 , то в е л и ч и н а и н а п р а в л е н и е вектор ного п р о и зв е д е н и я
не и зм е н я т с я .
В ве кт о р н о м п р о и зв е д е н и и п о р я д о к с о м н о ж и т е л е й я в л я е т с я
сущ ественным. Д ействительно,
В X А = ВЛ s i n ( — 0 ) п = — А X В.

(1)

В е к т о р н о е у м н о ж е н и е не к о м м у т а т и в н о . С коро мы у в и д и м ,
что
оно и не асс о ц и а т и вн о . О д н а к о мы м о ж е м д о к а з а т ь его
д и с т р и б у т и в н о с т ь отно с и т е л ьн о с л о ж е н и я , т. е.
А Х ( В + С) = А Х В + А Х С .

(2)

Р а с с м о т р и м с п е р в а д в а ч ас т н ы х с л у ч а я :
1)
А п е р п е н д и к у л я р е н В и С. З а м е т и м , что есл и А и В
п е р п е н д и к у л я р н ы , то А х В п о л у ч а е т с я из В у м н о ж е н и е м на А

И пово ро то м отн о си тел ьн о А в п р а в о на п р я м ой у гол . С л е д о в а ­
те льн о , в ектор ы А Х ( В + С), А X В, А Х С п р е д с т а в л я ю т с я
о т р е з к а м и в А р а з б о л ь ш е й д л и н ы , чем сто ро ны т р е у г о л ь н и к а ,
п р е д с т а в л я ю щ е г о 8 + С, В, С с оо тветств енно , и к а ж д ы й из
них п о в ер н у т н а п р я м о й у г о л . С л е д о в а т е л ь н о , в е кт о р ы А X (В + С),
А X В, А X С п р е д с т а в л я ю т с я с т о р о н а м и т р е у г о л ь н и к а , п о д о б ­
ного т р е у го л ь н и к у , п р е д с т а в л я ю щ е м у В -|- С, В, С. С л е д о в а ­
т е л ь н о , в этом с л у ч а е (2) в ы п о л н я е т с я .
2) А, В, С — к о м п л а н а р н ы . Т о г д а А X (В + С), А X В, А х С
п е р п е н д и к у л я р н ы к плоскости, о п р е д е л я е м о й в е к т о р а м и А, В,
С, и н у ж н ы й р е з у л ь т а т с л е д у е т из
ф о р м у л ы с л о ж е н и я д л я синусов.
В о б щ е м с л у ч а е мы п о л а г а е м , что
А и В не п а р а л л е л ь н ы и не п е р п ен ­
д и к у л я р н ы . З а п и ш е м В к а к В^
'р + В„,
где Вр п а р а л л е л е н А, а В„ п е р п егнл
нди­
к у л я р е н к А в пл оскости в е к т о р о в А
и В. Т о г д а , п о с к о л ь к у Вп = В sin 0,
п о л у ч а ем
А X В = А X В,

Если
аналогично
С = Ср + С„,
А X С = А X С„. П о с к о л ь к у
В + С = (Вр4-С р)-К В„ + С„)

то

и Вр, Ср п а р а л л е л ь н ы А, а В„, С„ п е р п ен д и к у л я р н ы , то
В „ -Ь С„ — к о м п о н е н т а ве к т о р а B - f C , п е р п е н д и к у л я р н а я к А,
и, с л е д о в а т е л ь н о ,

А Х ( В + С) = А Х ( В „ + С„).

(3)

Но, со г л а с н о 1-му с л у ч а ю , это ра в н о
AXB„ + AXC„ = AXB-fAxC.

(4)

В е к т о р н о е п р о и зв е д е н и е в е к т о р а с с а м и м собой или с л ю б ы м
п а р а л л е л ь н ы м в екторо м есть н у л е в о й вектор. Е сли векторное
п р о и зв е д е н и е д в у х в е к т о р о в р а в н о н у л ю , то или один из них
н у л е в о й , или они п а р а л л е л ь н ы . И з того, что в е ктор н о е п р о и з ­
в еден и е — н у л ев о й вектор, е щ е не с л е д у е т , что один из с о м н о ­
ж и т е л е й — ну л ево й вектор. Н о если А X В, и А Х Вг — н ул и и
В „ Вг не п а р а л л е л ь н ы , то А — н ул ев ой вектор.
В частно сти, д л я в е к т о р о в 6(1), 6(2), ео) им еем
^(1) X 6(1) — е-(2) X 6(2) — ®(з) X 6(3) = О,

(5)

С(2) X 6(3) = 6(1) = — 6(3) X 6^2).

( 6)

Таким образом,

А X В = (^ie(i) + ^2^(2) + ^зв(з)) ^ (Sl^d) + ^2^(2) + ^3®(3)) =
=

(^ 2 ^ 3 ~

^

3^ 2)

®(1) +

С(1)

в(2)

в(з)

Л,

А,

Лз

Bi

В2

^3

(^ 3 ^ 1 ~

^ 1 Д з ) ®(2) + ( ^ 1 ^ 2 ~

.

^

2^ 1)

®(3) ~

(7)

М о ж н о д а т ь г е о м е тр и ч ес к у ю и н те р п р ет а ц и ю вектор ного п р о­
и з в е д е н и я д в у х см е щ е н и й . Е с л и Р — т очк а, о п р е д е л я е м а я в е к ­
то ро м Xi, а Q — вект о р о м г/,-, то их про ек ц и и на п л о с к о с т ь
jci = 0 р а в н ы P i (О, ^ 2, Хз), Q i(0 , t/2 , г/3), а ц л о щ а д ь т р е у г о л ь ­
н и к а , о б р а з о в а н н о г о этим и т о ч к а м и ин а ч а л о м к о о р д и н а т ,
равна

Y {Х2 У3 — х ^ у ^ .

Будем

с чи тать,

что п л о щ а д ь

положи­

т е л ь н а , если 0 Р \ п е р е х о д и т в O Q i при п о в оро те о тно с и т е л ьн о Ох^
н а у гол , м ен ьш и й л, в п о л о ж и т е л ь н о м н а п р а в л е н и и . Е с л и п р о ­
д е л а т ь э т у о п е р а ц и ю со всем и т р е м я п р о е к ц и я м и и р е з у л ь ­
т а т ы уд во и ть, то мы получим
Х2Уз~ХзУ2<

ХзУ1~Х1Уз,

Х1У2-Х2У1.

(8)

Н о по т е о р е м е из гео м етр и и эти величины п р е д с т а в л я ю т собой
уд в о ен н у ю п л о щ а д ь т р е у г о л ь н и к а O P Q , у м н о ж е н н у ю на три
н а п р а в л я ю щ и х к о с и н у с а н о р м а л и к его плоскости, вы б р ан н о й
т а к , что в р а щ е н и е отн оси тел ьн о нее на угол, м е н ьш и й я,
в п о л о ж и т е л ь н у ю сто ро ну п е р е в о д и т О Р в 0 Q . С л е д о в а т е л ь н о ,
уд во ен н ы е про ек ц и и я в л я ю т с я к о м п о н е н т а м и ве к т о р н о го п р о ­
и зв е д е н и я X X у.
Вектор п л о щ а д и . В о п р е д е л ен и и в е кто рн ого п р о и зв е д е н и я
X X у н а п р а в л е н и е , в зя т о е д л я п, нес у щ е ств е н н о . П о в о р о т
в п р а в о о т н о с и т е л ьн о п, п е р е в о д я щ и й х в у, м о ж е т им еть л ю ­
бое зн а ч е н и е , м ен ьш ее 2л. У т в е р ж д е н и я п о с л е д н е г о р а з д е л а
о с т а ю т ся вер ны м и, если и зм ен и т ь н а п р а в л е н и е в с е х осей в р а ­
щ ен и я на п р о т и в о п о л о ж н о е , а к о м п о н е н т у б р а т ь п о л о ж и т е л ь ­
ной, к о г д а в р а щ е н и е от н ос и т е л ьн о о т р и ц а т е л ь н о г о н а п р а в л е н и я
оси б у д е т м е ж д у л и 2л. О д н а к о зн а к и в с е х ко м п о н е н т и з м е ­
н я т с я , если X и у п о м е н я т ь м е с та м и . ]Можно о п р е д е л и т ь н а ­
п р а в л е н н у ю п л о щ а д ь т р е у г о л ь н и к а O P Q т а к , чтобы она не
з а в и с е л а от о б о зн а ч е н и я сторон. Это д о с т и г а е т с я о п р е д е л ен и е м
вектора п л о щ а д и
у |л :г /5 1 п 0 |п = у | х Х у | п ,
где н а п р а в л е н и е п в ы б р ан о некоторы м ф и кс и р о ва н н ы м спо со ­
б о м . Э то т векто р р а в е н в е к т о р н о м у п р о и зв е д е н и ю , если sin 0

п о л о ж и т е л е н , т. е. е с л и у го л п о в о р о т а от О Р к 0 Q в о к р у г п
в п о л о ж и т е л ь н у ю с т о р о н у м е н ьш е я . Е г о н а п р а в л е н и е и з м е ­
ни тся, е сл и и зм е н и т ь н а п р а в л е н и е п.
Д л я о д н о зн а ч н о г о о п р е д е л е н и я в е к т о р а п л о щ а д и н у ж н о
точно з а д а т ь н а п р а в л е н и е п. С овсем просто это с д е л а т ь в с л у ­
ч ае повер х н о ст и , с о с т а в л е н н о й из т р е у го л ь н и к о в . С п о м о щ ь ю
с л о ж е н и я м ы м о ж е м о п р е д е л и т ь вектор п л о щ а д и д л я всей
т а к о й п о ве р хн ости ; н а п р а в л е н и е п о п р е д е л я е т с я т а к , чтобы
оно не п е р е с е к а л о по в е р х н о ст и при п е р е х о д е с од ной г р а н и
на с м е ж н у ю с ней г р а н ь . В ч аст н о с т и , д л я з а м к н у т о г о м н ого ­
г р а н н и к а м о ж н о в ы б р а т ь п в с е г д а с м о т р я щ и м н а р у ж у . В этом
с л у ч а е г р а н и , н о р м а л ь к ко т о р ы м и м е е т п о л о ж и т е л ь н у ю к о м ­
пон енту Hi, б у д у т и м е ть в е ктор п л о щ а д и , п е р в а я к о м п о н е н т а
к о т о р о г о р а в н а п л о щ а д и пр оек ц и и м н о г о г р а н н и к а н а п л о ­
скость 0 2 3 с п о л о ж и т е л ь н ы м зн а к о м , а г р а н и с о т р и ц а т е л ь ­
ной rii б у д у т и м е ть п е р в у ю к о м п о н е н т у , р а в н у ю той ж е п л о ­
щ а д и , но с о б р а т н ы м зн а к о м . С л е д о в а т е л ь н о , в е к т о р п л о щ а д и
м н о г о г р а н н и к а р а в е н н ул ю .

{

2.071. А налитическое оп р едел ен и е векторного прои зведен ия:
При аналитическом подходе мы определяем векторное
п р о и зв е д е н и е к а к в е кто р с к о м п о н е н т а м и

I

( А 2В

3—

A ^

2’

— А 2В 1).

i
Н е о б х о д и м о д о к а з а т ь , что эт о т н а б о р вел и ч и н в е д е т с е б я к а к
в е ктор при п р е о б р а з о в а н и я х к о о р д и н а т и что к о м п о н ен т ы этого
в е к т о р а р а в н ы А В sin б/г,-. П р и ч и н а , по к о т о р о й ве к т о р н о е п р о ­
и зв е д е н и е во о б щ е в в о д и т с я , з а к л ю ч а е т с я в т о м , что эт о т н а б о р
в ел ич ин ес те с т в ен н о п о я в л я е т с я п р и р а с с м о т р е н и и у р а в н е н и й
д и н а м и к и , в особен н ости д в и ж е н и я т в е р д о г о т е л а и д в и ж е н и я
з а р я д а п о д д е й с т в и е м м аг н и т н о й с и л ы , а т а к ж е в э л е к т р о м а г ­
нитной теории.
Р а с с м о т р и м н а б о р и з 27 чисел
определяемых следую ­
щ и м и п р а в и л а м и : 1) е с л и л ю б ы е д в а из г, k, т р а в н ы м е ж д у
собой, то
= 0 ; 2 ) есл и все они р а з л и ч н ы и в с т р е ч а ю т с я
в п о с л е д о в а т е л ь н о с т и 12312 . . . , т. е. и м е ю т п о р я д о к , ко т о р ы й
мы н а з ы в а е м четным, то
3) е с л и все они р а з л и ч н ы и
в с т р е ч а ю т с я в п о с л е д о в а т е л ь н о с т и 21321 . . . , т. е. и м е ю т п о ­
р я д о к , ко т о р ы й мы н а з ы в а е м нечетным *), то
= — 1. Т а к и м
*) Термины четный и нечетный обозначаю т четность числа перестановок
индексов, нуж ны х для получения порядка 123. Н апример, 231 м ож но п р е­
вратить одной перестановкой в 132 и затем второй перестановкой в" 123.
А 213 м ож но превратить в 123 одной перестановкой.
9

З а к . 231

образом,
®12) ~ ®231 ~ ^312 == 1>

(1 )

^213 = ®132 = ^ЗЯ =

(2 )

— 1.

а л ю б ы е из т а с е л е щ , е ц 2, 62,2 и им п о д о б н ы е
Рассм отрим сумму

р а в н ы нулю .
(3 )

З д е с ь k н т — п о в т о р я ю щ и е с я и н дек сы . С л е д о в а т е л ь н о , д л я
К а ж д о г о i это с у м м а д е в я т и членов.
Н о е сл и k = i, m = i, или
k = tn, то e,j,„ = 0. Т а к и м
о б р а з о м , е д и н с т в е н н ы м и ч л е н ам и ,
ко т о р ы е м о г у т о т л и ч а т ь с я от н у л я , б у д у т д в а , у к о т о р ы х k
И т о т л и ч а ю т с я от ги д р у г от д р у г а . Е сл и , н а п р и м е р , г = 1,
то или ft = 2, № = 3 и e ( f e „ =l , или й = 3, ш = 2
и

Следовательно,
= ^ 2^ 3 “ ^3^2>
(4)
и а н а л о г и ч н о д л я / = 2 и 3 мы п ол уч и м д в е д р у ги е к о м п о н е н т ы
в е к т о р н о го п р о и зв е д е н и я . Т а к и м о б р а з о м , (3) д а е т к о р о т к у ю
за п и с ь к о м п о н е н т в е кт ор н о го п р о и зв е д е н и я . Ч т о б ы об ле гч и т ь
с р а в н е н и е с р е з у л ь т а т а м и , п о л у ч е н н ы м и в ве кт о р н о й фо'рме,
мы б у д е м о б о з н а ч а т ь их (А X В),-.
Д в а других важ н ы х свойства
заклю чаю тся в следую ­
щ ем . Я сно, что д л я л ю б ы х Ai
~ 0.

(5 )

п о с к о л ь к у все с л а г а е м ы е в з а и м н о у н и ч т о ж а ю т с я . Э то а н а л и ­
т и ч е с к а я ф о р м у л и р о в к а того, что векторное п р о и з в е д е н и е в е к ­
тора н а с е бя и л и п р о и з в о л ь н ы й п а р а л л е л ь н ы й е м у вектор
р а в н о н у л ю . Е с л и Ai, Bi, Ci — п р о и зв о л ь н ы е н а б о р ы из тр ех
величин, то
ЛI ^2 Лз
В\

82

S3

С|

С2

Сз

(6 )

есть о п р е д е л и т е л ь , о б р а з о в а н н ы й д е в я т ь ю к о м п о н е н т а м и . Е с л и
о п р е д е л и т е л ь в ы р о ж д е н , то н а й д у т с я т а к и е а, р, у, что
aAi + рв,- + yCi = О

(7)

д л я в с е х /. С л е д о в а т е л ь н о , в ы р о ж д е н и е (6) я в л я е т с я у с л о в и е м
к о м п л а н а р н о с т и ве к т о р о в А, В, С. Е с л и о п р е д е л и т е л ь не в ы ­
р о ж д е н , то у р а в н е н и я
aAi + pfii + yCi = Di

(8)

и м е ю т ед и н с т в е н н о е р е ш е н и е д л я л ю б о г о D. М ы вн о вь п о л у ­
чили, что л ю б о й вектор может быть л и н е й н о в ы р а же н че ре з
л ю б ы е три н е к о м п л а н а р н ы х вгкторл.
П е р е й д е м т е п е р ь к а н а л и т и ч е с к о м у д о к а з а т е л ь с т в у того,
что
~ ко м п о н е н т ы в е к т о р а . Э то д о к а з а т е л ь с т в о с о в е р '
ш ен н о н е за в и с и м о от 2.07.
2.072.
И з м е н е н и е в е к т о р н о г о п р о и з в е д е н и я при п р е о б р а з о ­
ван и ях . В озьм ем две прям ы е с н ап равляю щ и м и косинусами
т^. У с л о ви е п е р п е н д и к у л я р н о с т и п р я м о й с н а п р а в л я ю щ и м и
к о с и н у с а м и М; к этим д в у м п р я м ы м , з а п и с а н н о е п о л н о с тью ,
будет
/ |« | + /2«2 +
= 0.
ГП]П1 + т ^ 2 +
откуда
П|
_
П2
_
/2Ш3 —/зШ2
/зт, —/,«3

К^Шз -

1 1 ГП2

Пз
— 12 ГП1

_

(» ? + » !+ 4 '’
+ {hmi - / , т з )2 + (/.mj -

Но сумма квадратов в знаменателе
равна
(/2 +

11

Ч, '

по т о ж д е с т в у Л а г р а н ж а

+ If) (m 2 + m l + m l ) - {l^m^ + l^m^ + l ^ m ^ f =
= 1 — cos^B = sin*0,

(3)

где 0 — у го л м е ж д у п р я м ы м и
т, . П о с к о л ь к у
—направляю ­
щ ие к оси ну сы , ч и с л и т ел ь в (2) р а в е н ± 1 . С л е д о в а т е л ь н о , к а ­
ж д о е из э т и х у р а в н е н и й р а в н о ± cosec 0 и
tii = ± cosec b Z i ^ J k m ^ .

(4)

З н а к о п р е д е л я е т с я вы б о р о м н а п р а в л е н и я на п р я м о й rii. Е с л и
м ы вы б ере м это н а п р а в л е н и е т а к , что /,■ п е р е х о д и т в m i прй
п о в оро те на у го л 0 в п р а в о , то, р а с с м о т р е в с л у ч а й
/; = (! , О, 0),

m i = (c o s0 , s i n 0 , 0),

м ы ви д и м , что н у ж н о в з я т ь п о л о ж и т е л ь н ы й
тельно,
rii = cosec Qen^Jkntm-

«г = (О, О, 1),
знак.

Следова­
(5)

Т е п е р ь , есл и
и
— д а н н ы е н а п р а в л е н и я , то п е р п е н д и к у л я р
к ним не за в и с и т от с истем ы к о о р д и н а т , с л е д о в а т е л ь н о ,
иэ-м е н я е т с я по п р а в и л у п р е о б р а з о в а н и я в екторо в .

Д л я д в у х о б щ и х ве к т о р о в А и В мы м о ж е м о п р е д е л и т ь
д в а н а п р а в л е н и я 1{, rtii по ф о р м у л а м Ai = Ali, Bi = B mi . Т о г д а
Л В sin 0 — с к а л я р , п о с к о л ь к у Л, В и 0 не з а в и с я т от в ы б о р а
о се й к о о р д и н а т ; с л е д о в а т е л ь н о , А В sin 0«,- — вектор. Н о
А В sin 0П( = Л BBikmlktrim = ^IkmAkBm-

(6)

Э то д о к а з ы в а е т , что д л я д в у х ве к т о р о в к о м п о н е н т ы вектор ного
произведения преобразую тся ка к компоненты вектора и р а в ­
н я ю т с я к о м п о н е н т а м , п о л у ч е н н ы м пр и ге о м е тр и ч е с к о м о п р е ­
д ел ен и и .
В ин д е к сн ы х о б о з н а ч е н и я х со о т н о ш е н и я 2 .0 7 (1 ) и (2) оче­
в и д н ы , а п р о и зв е д е н и е 2.07 (7) не в с т р е ч а е т с я , п о с к о л ь к у нам
н и к о г д а не п р и х о д и т с я р а с с м а т р и в а т ь н а п р а в л я ю щ и х в е к т о р о в
к о о р д и н а т н ы х осей.
2.073.
Соотнош ения м е ж д у
М ы м о ж е м п ерей ти тепер ь
к д о к а з а т е л ь с т в у того, что с о отн о ш ен и е 2 .0 2 2 (9 ) с л е д у е т из
2.021 (7). П о сути это т е о р е м а о н еп ро ти во реч и в ости . Е с л и бы
о н а не б ы л а в ер н о й , то м е ж д у д е в я т ь ю н а п р а в л я ю щ и м и к о с и ­
н у с а м и , о п р е д е л я ю щ и м и п р е о б р а з о в а н и е к о о р д и н а т , б ы л о бы
б о л ь ш е ш ести н е з а в и с и м ы х с оо тн ош ен и й . С л е д о в а т е л ь н о , не
б о л ь ш е д в у х п а р а м е т р о в п р е о б р а з о в а н и я м о ж н о б ы л о бы в ы ­
б р а т ь н е за в и с и м о . О д н а к о очеви дн о, что м ы м о ж е м п о верн уть
оси на п р о и зв о л ь н ы й у го л в о к р у г л ю б о й п р я м о й . Н а п р а в л е н и е
этой п р я м о й з а д а е т с я д в у м я п а р а м е т р а м и , с л е д о в а т е л ь н о , п р е ­
о б р а з о в а н и е — т р е м я . Я сно, что пр и т а к о м преобразова:нии си­
с т е м а к о о р д и н а т о с т а е т с я п р я м о у г о л ь н о й . Э той и н ф о р м а ц и и
д о с т а т о ч н о д л я того, чтобы з а к л ю ч и т ь , что 2 .02 2(9 ) д о л ж н о
с л е д о в а т ь из 2.021 (7). О д н а к о в н а ш е м р а с с у ж д е н и и м е тр и ­
ч е с к и е с о о т н о ш е н и я 2.021 (7) с ч и та л и с ь н е з а в и с и м ы м и и д л я
п р о в е р к и ж е л а т е л ь н о п р я м о е д о к а з а т е л ь с т в о . О б о з н а ч и м li
ч е р е з / , 1, а
— ч ерез /,-2- П о с к о л ь к у 0 3 ' п е р п е н д и к у л я р н о О Г
и 0 2 ' и уго л п о в о р о т а от О Г к 0 2 ' в п р а в о относител ьно 0 3 '
р а в е н п р я м о м у * ) , то sin 0 = 1 и
h s — ^ikmlkl^m2’



аналогично
^ikmhshnl-

(2)

И н а ч е говоря, в определителе
(S;

ll 2
/22

^13

/21
^31

^32

^33

‘ ^) См. замечание об ортогональных
стр. 276.
: : ...................

^23
преобразованиях в конце
,
.
: i
: II

(3)
гл. 4,
;

i

к а ж д ы й э л е м е н т р а в е н с в оем у а л г е б р а и ч е с к о м у д о п о л н е н и ю .
Д е й с т в и т ел ь н о , д л я к а ж д о г о э л е м е н т а л ю б о г о из с т о л б ц о в мы
п о л у ч а е м это у т в е р ж д е н и е из с оо тн ош е н и й (1) и (2). Е с л и мы
р а з л о ж и м L по э л е м е н т а м пер во го с т о л б ц а ( / = 1 ) , то п о л у ­
чим /fi, что р а в н о 1. С л е д о в а т е л ь н о , L = l. Н о есл и р а з л о ж и т ь
по э л е м е н т а м пер вой стр оки (г = 1), то п о л у ч и т с я /?/, что, с л е ­
д о в а т е л ь н о , т о ж е р а в н о 1. А н а л о ги ч н о

4 = 4 = 1.

(4)

С д р у го й стор оны , lijlkj, где i и k р а з л и ч н ы , р а в н о о п р е д е л и ­
т е л ю , у к о т оро го д в е о д и н а к о в ы е стр оки, т. е. н у л ю . С л е д о ­
в а т е л ь н о , д л я всех г, k
h l ^ k ! ~ ^ik-

(5 )

С о о т н о ш е н и я (1) и (2) и м ею т ф о р м у , н у ж н у ю д л я д о к а з а ­
т е л ь с т в а т ео р ем ы , но они з а п и с а н ы к а к три у р а в н е н и я . И х
с х о д с т в о н а в о д и т на м ы с л ь, что их м о ж н о з а п и с а т ь к а к одно,
т. е.
^ilnhl — ^ikm^kdmn(6)
Д о к а ж е м это. Н е п о в т о р я ю щ и м и с я и н д е к с а м и б у д у т /, I, п.
а) Е с л и п с л е д у е т за I в п о р я д к е 1231, то е д и н с т в е н н о е
з н а ч е н и е /, при ко тором гц„ отли чн о от н у л я — это зн ач ен и е,
п р е д ш е с т в у ю щ е е /, и т о г д а
С л е д о в а т е л ь н о , в этом
с л у ч а е л е в а я ч асть с в о д и тс я к 1 ц , г д е j ф I, п, и с о в п а д а е т
с п р а в о й ч ас т ью с о г л а с н о с о о т н о ш е н и я м ( 1), (2).
б) Е с л и п п р е д ш е с т в у е т I в п о р я д к е 1231, то л е в а я ч асть
равна
-

1ц и ^ 1 ,

где jp s следую т в порядке
и п р а в а я ч асть р а в н а

п )=

-

12312.

B ikm hplm s .

С л е д о в а т е л ь н о , р = п,

s = l

в) Е с л и 1 = п, ТО обе ч асти (6) не и з м е н я т с я , если I и п
п о м е н я т ь м е с та м и . Н о т а к к а к з н а к и о б еи х ч астей при этом
д о л ж н ы и зм е н и т ь ся , то они р а в н ы н ул ю . И т а к , (6) верно при
в сех з н а ч е н и я х / и п. У м н о ж и м (6) н а /р;. Т о г д а

^iknJ-m n^kp ~

И, за м е н и в р на k, п о л у ч а е м

Если определитель записан как
Д=

Л,

^12

^21

^22

^ 2,

Ai2

^!3

где п ервы й и н д е к с о б о з н а ч а е т

(8)

строку, а второй — сто лб е ц , то

= ^ jl n^ 3J ^n^ 2n =
= — е л п Л И : И з « = и т. д.,
и, с л е д о в а т е л ь н о ,
^ikm Д

(9)

Т а к и м о б р а з о м , о п р е д е л и т е л ь , эл е м е н т ы котор ого з а н у м е р о в а н ы
и н д е к са м и стро ки и с т о л б ц а , м о ж н о р а с п и с а т ь с п о м о щ ью с и м ­
в о л о в е. Э то м о ж н о о б о б щ и т ь д л я о п р е д е л и т е л е й л ю б о г о по­
р я д к а (см. [2 , гл. 16]).
2.074.
Ч и с л а sn,m^psm. О д н и м из н а и б о л е е в а ж н ы х с в ой ств
чисел
я в л я е т с я то, что 81, число eikm^psm> у д о в л е т в о р я е т
некоторому тож деству. Здесь, разум еется, нуж но просуммиро­
в а т ь по т, но к а ж д о м у н а б о р у и н дек со в /, k, р, s с о о т в ет с т в у е т
свое в ы р а ж е н и е . П о с к о л ь к у к а ж д ы й из эти х четы рех и н д е к со в
м о ж е т п р и н и м а т ь т о л ь к о три зн а ч е н и я , то в к а ж д о м в ы р а ж е ­
нии х отя бы д в а из них и м ею т о д и н а к о в о е зн ач ен и е. О ч еви дн о ,
что если i = k, или p — s, то с л а г а е м ы е р ав н ы нулю . Е с л и i ф k,
то
не о б р а щ а е т с я в н у л ь т о л ь к о при о дном знач ении т.
Т о г д а , чтобы Bpsm о т л и ч а л о с ь от н у л я , р и S д о л ж н ы п р и н и м а т ь
те ж е зн а ч е н и я , что i и k, в л ю б о м п о р я д к е . Е с л и п о р я д о к
о д и н а к о в ы й , то
и
р а в н ы о б а - Ь 1 или — I и п р о и зв е ­
д ен и е р а в н о 1. Е с л и ж е п о р я д о к р а з л и ч е н , то п р о и зв е д е н и е
р а в н о — 1. И т а к ,
0
{i = k \
0
^iknfipsm —

(Р = s).
(i = р, k = s),

1

{i = s, fe == P).
{i¥=p, s или к ф р , s).

—1
0

Р а с с м о т р и м т е п е р ь н а б о р чисел
^ip^ks

^is^kp-

Е с л и i = k или p = s, ТО с л а г а е м ы е в з а и м н о у н и ч т о ж а ю т с я .
Е с л и 1 ф р и S или к ф р и S , то один из с о м н о ж и т е л е й к а ж ­
д о г о с л а г а е м о г о р а в е н 0. С л е д о в а т е л ь н о , н ен у л е в ы м и б у д у т

в ы р а ж е н и я , у ко т о р ы х i, k р а в н ы р , s в л ю б о м п о р я д к е и 1 ф к ,
Е с л и г = р и k = s, то п ерв ое с л а г а е м о е р а в н о 1, а в то­
р о е — О, а есл и / = 5 и k = p, то п ер во е с л а г а е м о е р а в н о О,
а вт о р о е 1. И т а к , при в с е в о з м о ж н ы х з н а ч е н и я х г, k, р, s
^iknfipsm ~

М ы б у д ем ч асто
ж ениях.
П оскольку

^ip^ks

^is^kp-

(1 )

в с т р е ч а т ь это т о ж д е с т в о в р а з л и ч н ы х п р и л о ­

®pim "

■ ^smp

(2)

При всех з н а ч е н и я х ин д е к сов , то в ы р а ж е н и я в л е в о й ч ас т и (1)
не и з м е н я т с я по величине, есл и мы за м е н и м i kt n на k m i или m i k .
М ож но, следовательно, вы сказать общее правило знаков: п о л о ­
ж и м, что i и р — и нд е кс ы, которые следуют з а п о в т о р я ю щ и м с я
и н д е к с о м в соответствующем сомножителе е (если п о в т о р я ю ­
щ и й с я и н д е к с — п о с л е д н и й , п о л а г а е м с о о т вет с т в е н н о i или р
первы м ); тогда 6 ip п о я в ля е тс я с п ол ож ит ел ьн ым з н а к о м и ф о р ­
м у л у можно дописать п о симметрии.
2.0 8. Д ел ен и е векторов. Д е л е н и е ве к т о р о в не м о ж е т б ы ть
о п р е д е л е н о о д н о зн а ч н о и по э то м у его и зб е г а ю т . Л е г к о ви д еть ,
что е сл и з а д а н н е н у л е в о й векто р А и с к а л я р М , то м о ж н о
у к а з а т ь т а к о й в е кто р В, что с к а л я р н о е п р о и зв е д е н и е А • В = М.
О д н а к о в е кто р В о п р е д е л е н не о д н о зн а ч н о , т а к к а к с к а л я р н о е
п р о и зв е д е н и е не и зм е н и т ся , есл и д о б а в и т ь к В л ю б о й вектор,
перпендикулярный А. Вообще говоря, нельзя у казать такого
в е к т о р а В, что вект о р н о е п р о и зв е д е н и е А Х В = С, а А и
С — д ан н ы е в екторы . Д е й с т в и т е л ь н о , ве кт о р А X В п е р п е н д и ­
к у л я р е н А, и есл и С и А не п е р п е н д и к у л я р н ы , то в е к т о р В
в о о б щ е н е л ь з я у к а з а т ь . Е с л и , о д н а к о , С п е р п е н д и к у л я р е н А,
т о м о ж н о д о б а в и т ь к В л ю б о й в екто р, п а р а л л е л ь н ы й А. Э то
не и зм е н и т векто рного п р о и зв е д е н и я , с л е д о в а т е л ь н о , ч ас т н о е
о п р е д е л е н о не о д н о зн а ч н о .
В т е л е к ватернионов, к о т о р о е я в л я е т с я р а с ш и р е н и е м в е к т о р ­
ной а л г е б р ы , д е л е н и е о п р е д е л е н о о д н о зн а ч н о . Д о п о с л е д н е г о
в р е м е н и л и ш ь н ем н о ги е ф изик и и с п о л ь з о в а л и к в а т е р н и о н ы ,
о д н а к о т е п ер ь их н а ч и н а ю т п р и м е н я т ь в к в а н т о в о й тео р и и .
(С р. гл. 4, п р и м ер 12.)
2.09. Тройные прои зведен ия. С к а л я р н о е п р о и зв е д е н и е в е к т о ­
р ов В X С и А н а з ы в а е т с я с м е ш а н н ы м п р о и зв е д е н и е м в е к т о ­
р о в А, В и С. М ы п о к а ж е м , что при ц и кл и ч еской п е р е с т а н о в к е
в е к т о р о в с м е ш а н н о е п р о и зв е д е н и е А • (В X С) не м е н я е т с я , оно
т а к ж е не м е н я е т с я , есл и п о м е н я т ь к р е с т и т о чк у м е с т а м и .

И м е е т с я , с л е д о в а т е л ь н о , ш ес т ь в о з м о ж н ы х спо со б о в з а п и с а т ь
это п р о и зв е д е н и е .
Мы м о ж е м т а к ж е о б р а з о в а т ь вект о р н о е
п р о и зв е д е н и е
А X (В X С) в е к т о р а А с в е к т о р н ы м п р о и зв е д е н и е м в е к т о ­
ров В и С.
Р а с с м о т р и м с п е р в а н е с к о л ь к о ч а с т н ы х с л у ч а ев .
I. В • (В X С). О ч ев и д н о , что
В - ( В Х С ) = 0,

(1)

т а к к а к В X С п е р п е н д и к у л я р н о В,
И . В X (В X С). В е к т о р В X (В X С) п е р п е н д и к у л я р е н к а к В,
т а к и В X С, и, с л е д о в а т е л ь н о , он л е ж и т в п л оско сти в е к т о ­
ров В и С, п е р п е н д и к у л я р е н В и его н а п р а в л е н и е п о л у ч а е т с я
п о во ро том В X С на п р я м о й у го л в п р а в о о т н о си т е л ьн о В. Е го
в е л и ч и н а в В р а з б о л ь ш е , чем В X С, т. е. р а в н а В^С sinQ.
И з рис. 6 сл е д у е т , что
В X (В X С) - В^С sin 0 c t g 9


sin 0 cosec 0

ВХ(ВХС) = (В.С)В-В2С.

(2)
(3)

Аналогично
СХ(ВХС) = — С Х(СХВ) =
= С 2 В - ( В . С ) С . (4)
1И. ( В Х С ) . ( В Х С ) =
= B ^ C ^ - { B - C f . (5)
Р и с . 6.

Э то н е м е д л е н н о с л е д у е т из о п р е ­
д ел е н и й ,

2.091.
С м е ш а н н о е п р о и зв е д е н и е А • (В X С). И з к о м м у т а т и в ­
ности с к а л я р н о г о у м н о ж е н и я с л е д у е т , что
А-(ВХС) = (ВХС).А.
Д алее,
из них
так:

(6)

п о с к о л ь к у В, С, В X С н е к о м п л а н а р н ы , е сл и ни один
не р а в е н н ул ю , мы м о ж е м з а п и с а т ь л ю б о й в ектор А
А = а В + рС + у В Х С .

(7)

A . ( B X C ) = Y ( B X C )2 = Y[ f i ' C2 - ( B - C F ] .

(8)

Тогда
И также
А Х В = р С Х B - V B X ( B X C ) = P C X B H - y B ' C - y (B . С) В,

(9)

т а к что
G . ( A X B) = y [ B " C ' - ( B . G ) 2 ] = A . ( B X C ) .

(10)

А н а л о г и ч н о д о к а з ы в а е т с я , что
В . ( С Х А) = А - ( В Х С ) .

( И)

И т а к , им еем ш есть р а в н ы х п р о и зв е д е н и й
А

В Х С = В С Х А = С- А Х В = А Х В . С =
= ВХС. А

с ХА-в.

(12)

С к о б к и не н у ж н ы , п о с к о л ь к у п о р я д о к о п е р а ц и й о п р е д е л е н о д н о ­
зн а ч н о . Е с л и в з я т ь ци кл ич еский п о р я д о к А, С, В вм есто А,
В, С, то з н а к и зм е н и т ся .
Геометрический с м ы с л . П о ­
скольку модуль В X С равен пло­
щ ади параллелограм м а, натяну­
т о г о н а о т р е зк и , п р е д с т а в л я ю ­
щ и е В и С, то, есл и у г о л м е ж ­
д у А и В X С острый, А • В X С
равно объему параллелепипеда,
н а т я н у т о г о на о т р е зк и , п р е д с т а ­
в л я ю щ и е А, В и С. Е с л и угол
тупой, то — А В X С р а в н о этоР и с . 7.
му объему.
С м е ш а н н о е П роизведение А • В X С иногда з а п и с ы в а ю т
(А, В, С].
2.092. Т р ой н о е в е к т о р н о е п р о и зв е д е н и е А Х ( В Х С ) .
вы ш е, за п и ш е м
А = аВ + р С Ч - у В Х С .
Тогда

Как и
(13)

А X (В X С) = аВ X (В X С) + рС X (В X С) =
= а [(В • С) В - В^с] + р [С^В - (В . С) С] =
= [(аВ + р С ) - С ] В - [ ( а В + р С ). В ]С =
= (А - С ) В - ( А . В) С.

(14)

А н а л о г и ч н о м о ж н о п о к а з а т ь , что
(АХВ)ХС = (А.С)В-(В.С)А.

(15)

С л е д у е т отм етить: 1) з а к о н а с с о ц и а т и в н о ст и не в ы п о л н я е т с я ,
2 ) член в п р а в о й ч асти, в к о торо м сре д н и й вектор л е в о й ч асти
п о я в л я е т с я в с к а л я р н о м п р о и зв ед е н и и , им еет о т р и ц а т е л ь н ы й
з н а к (п р а в и л о д л я з а п о м и н а н и я знак ов).
2.093.
В индексной систем е о б о зн а ч е н и й эк в и в а л е н т н о с т ь
р а з н ы х ф орм с м е ш а н н о г о п р о и зв е д е н и я оч еви д н а. Д е й с т в и -

тельно,
Л,

^2

В,

в,

^3
Вз

с,

с.

Сз

и в ы р а ж е н и я А ■(В X С), В • (С X А), С • (А X В) я в л я ю т с я
р а з л о ж е н и я м й этого о п р е д е л и т е л я по э л е м е н т а м р а з л и ч н ы х
строк. О с т а л ь н ы е три в ы р а ж е н и я с л е д у ю т из соо тно ш ен ия
A iB i = BiAi.

2.094.
В ы р а ж е н и е тр ойного в е кт о рн ого п р о и зв е д е н и я в ин­
д ек с н о й систем е о б о зн а ч ен и й с в я з а н о с т о ж д е с т в о м 2.074 (1)
д л я eih„. З а м е т и м в н а ч а л е , что и с п о л ь з о в а н и е п р а в и л а с у м м и ­
р о в а н и я т р е б у е т , чтобы в с я к и й п о в т о р я ю щ и й с я и-ндекс по­
я в л я л с я только д в а ж д ы . И н а ч е не о д н о зн а ч е н п о р я д о к с у м м и р о ­
в а н и я . У ч и т ы в а я это, мы за п и ш е м i -ю к о м п о н е н т у тр ойного
в е к т о р н о г о п р о и зв е д е н и я А X (В X С) т а к:
^ i k m ^ k ^ m p s B р С s ' = ^ ц^щЕ ^ Р ^ А ^ В р С g =
= (^ip^ks -

6 iA p ) A k B p C s ^

= ^ksAkBiC s — b^pAj^BpCi —
= B i A k C k — Ci A f ^ B - k ,

следовательно,
A X ( B X C ) = ( A - C ) B - ( A - B )C .
А н а л о ги ч н о
(A X В) X С = - С X (A X В) = - (С . В) A -К С . A) В.
З а п о м н и т ь эти ф о р м у л ы непросто, о д н а к о их б ы ст р о м о ж н о
в ы в е сти из т о ж д е с т в а 2.074 (1), ко то ро е н а м н о го легче з а п о м ­
нить. К р о м е того, оно им еет д р у ги е при м ен ен и я .
2.1 0 .
Векторные функции скалярного аргум ен та. Д и ф ф ер ен ­
цирование. О б о з н а ч и м с к а л я р н у ю перем ен н ую ч ерез t . П у с т ь
А ’( 0 — в е к т о р н а я ф у н кц и я . О п р е д е л и м п р о и зв о д н у ю k { t ) по t
с л е д у ю щ и м о б р а з о м . Р а с с м о т р и м отнош ен ие


А (/ -f 60 - А (t)

6t

6t

Е с л и 6 t отли чн о от н у л я , то ясно, что 6А/6/ — вектор, и если
при 6 ^ - > 0 он им еет п р е д е л , н а зо в е м этот в е ктор производной
вектор -ф ункц ии А (О по t и б у д е м о б о з н а ч а т ь его d \ l d t . Ф о р ­
м а л ь н о е д о к а з а т е л ь с т в о того, что в п р е д е л е п о л у ч а е т с я вектор,
л е г к о с л е д у е т из т ео рем ы о том, что с у м м а п р е д е л о в д в у х
ф ункций р а в н а п р е д е л у сум м ы этих функций.

В е кт о р d k l d t им еет к ом п о ненты {d Aij dt , d A J d t , d A ^ d t ) .
В а ж н о о т м ет и т ь, что, в о о б щ е го в о р я , не т о л ь к о м о д у л ь d A j d t
о т л и ч а е т с я от м о д у л я А, но и н а п р а в л е н и я их т о ж е р а зл и ч н ы .
В ч ас т н о ст и , п р о и з с о д н а я ве к т о р а с п о с т о я н н ы м м о д у л е м и
п е р е м е н н ы м н а п р а в л е н и е м о т л и ч н а от н у л я .
Д ифф еренцирование произведения. П равило дифференциро­
в а н и я п р о и зв е д е н и я д в у х с к а л я р н ы х ф ункц ий м о ж н о л е г к о
о б о б щ и т ь д л я п р о и зв е д е н и я с к а л я р н о й и ве кт о р н о й ф ункц ий,
а т а к ж е д л я с к а л я р н о г о и в е кто рн о го п р о и зв е д е н и я . З д е с ь мы
про сто с ф о р м у л и р у е м р е з у л ь т а т ы . Д о к а з а т е л ь с т в а в к а ж д о м
с л у ч а е п р осты и п р е д о с т а в л я ю т с я ч и т ат е л ю .
1) Е с л и а — с к а л я р н а я ф у н к ц и я t, то
d

,

А\

da

(aA) = ^ A
dt ^ '
dt

^

,

d\

+ a ^ ,
'
dt ’

d. I

da

^ (а Л ,) = ^ Л
dt
dt

.

,

+ а

dAi

dt '

2) Е с л и A и В — д в е в е кт ор н ы е ф ункц ии t, то

П о р я д о к с о м н о ж и т е л е й в п р о и з в е д е н и я х не с у щ еств ен .
3)

dt '

В)' = - dt
^ X В + АХ

dt ’

Вт +
В в ектор н ой за п и с и с о м н о ж и т е л и п е р е с т а в л я т ь н е л ь з я .
В и н дек сн о м о б о зн а ч е н и и п е р е с т а н о в к а с о м н о ж и т е л е й д о п у с т и м а .
В а ж н ы нек о то р ы е в ы т е к а ю щ и е из
эт ого ч ас т н ы е р е з у л ь т а т ы :
1) Е с л и А — вектор с постоянным м о ­
д у л е м , то
^ ( Л = ) - ^ ( А - А ) - 0,
Т.

е.
А - ^ = 0
^
dt

из чего с л е д у е т , что d k l d t п ер п ен ди ку^
л я р е н А.
О р т о го н а л ь н о с т ь d A j d t и А м о ж н о у с м о т р е т ь г е о м е тр и ч е с к и .
Н а рис. 8 о т р е зк и , п р е д с т а в л я ю щ и е А и А + 6А, и м ею т о д и н а ­
к о в у ю д л и н у . П ри с т р ем л е н и и Q к Р уго л м е ж д у О Р и PQ
стремится к прямому.
2) Е с л и в е к т о р н а я ф у н к ц и я А з а п и с а н а к а к п р о и зв е д е н и е
м о д у л я А и н а п р а в л я ю щ е г о в е к т о р а п, то
d\
dA
, . dn
■п + А dt
d t" '
dt

З н а ч и т , е сл и Л, = Ali, то
dt

dt

dt

С л е д у е т о тм ети ть, что | d A l d t |, в о о б щ е го в о р я , не р а в е н | d A / d t |.
2.11.
Д ви ж ен и е частицы в поле силы тяж ести с сопроти­
влением , пропорциональны м скорости. П у с т ь при t = О ч а с т и ц а
н а х о д и т с я в н а ч а л е к о о р д и н а т . С о п р о т и в л е н и е д е й с т в у е т по
касательной к траектории д ви ж ен и я в направлении, противо­
полож ном движ ению . С ледовательно, сопротивление в ы р а ­
ж а е т с я в ектор ом — m xv, где т — м а с с а частиц ы , а х — к о н ­
станта.
П у ст ь к — н а п р а в л я ю щ и й вектор, и д у щ и й в е р т и к а л ь н о
вв е р х . Т о г д а , п р и р а в н и в а я п р о и зв е д е н и е м а с с ы на у с к о р е н и е
в е л и ч и н е д е й с т в у ю щ е й силы , п о л у ч а ем
т х = — mgk — mxx

(1)

х + хх = — gk.

(2)

или
П р о и н т е г р и р у е м это у р а в н е н и е . Е г о м о ж н о з а п и с а т ь т а к:
Р

(хе>‘0 = - g e ^ %

(3)

откуда
_ JУС_ e 4 ^ k - f V + ^)С k ,

(4)

где V — с к о р о ст ь при t = 0. О т с ю д а
x =

(5)

и
x = ^(l_ e-w )-^k 4 -^(l-e-> '0 k ,

(6>

т а к к а к при / = 0 х = 0 .
И з этого у р а в н е н и я с р а з у видно, что в м о­
м ен т в р ем е н и t все частиц ы , вы п у щ е н н ы е из
точки О со с к о р о с т ью V, о к а ж у т с я на о к р у ж ­
ности,

це н тр к о тор ой л е ж и т н а

р а с с то я н и и — — ^ ( 1 —

ниж е нуля. Действительно,

т. е.
lC O + x | = C P = f

(8)

Следовательно, СР

равно - ^ ( 1 —

и не за в и с и т о т н а п р а ­

в л е н и я в е к т о р а скорости.
Д и ф ф е р е н ц и р у я (2) по в р е м е н и , п о л у ч а е м
а + х а = О,

(9)

т. е. если у с к о р е н и е при / = О р а в н о ао, то
а = аое-Ч

( 10)

Т а к и м о б р а з о м , н а п р а в л е н и е у с к о р е н и я не м е н я е т с я во в р е м я
д в и ж е н и я . Т а к ж е есл и « — г о р и з о н т а л ь н а я с о с т а в л я ю щ а я с к о ­
рости и «0 “ ^^ н а ч а л ь н о е зн а ч ен и е , то и з (5) п о л у ч а е м , что
ы = Ы ое-Ч

(И )

Если
— р а с с т о я н и е , п р ой ден н ое в г о р и з о н т т л ь н о м н а п р а в л е н и и
з а в р е м я t, то, п о с к о л ь к у « = d.
«о

( 12)

у.
С ледовательно,

(13)
и ( 10) м о ж н о п е р е п и с а т ь к а к
а = ао
2.1 2 .
Д ви ж ен и е за р я ж ен н о й частицы в п ерпендикулярны х
электрическом и магнитном пол ях. П у с т ь т и — е м а с с а и
эл е к т р и ч е с к и й з а р я д части ц ы ; с — с к о ро сть с в е та ; Е, Н — э л е к ­
трич еск о е и м а гн и т н о е п о л я в г а у с с о в о й с и с т е м е еди ниц . Т о г д а
у р а в н е н и е д в и ж е н и я им еет в и д
ш х = — еЕ — -^ х X Н,

(1)

т. е.
Xi —

(2)

В о зьм ем
Е = (£ , о, 0),

Н = (0. О, Я ).

(3)

Т о гд а
=

(4)

^2=
-V3 = 0 .

(6)

П у с т ь В н а ч а л ь н ы й м о м е н т врем ени ч а с т и ц а н а х о д и т с я в н а ч а л е
к о о р д и н а т и им е е т н у л е в у ю ско ро сть. Т о г д а
=
и движение
б у д е т п р о и с х о д и т ь в п л о скости , п е р п е н д и к у л я р н о й м а г н и т н о м у
полю . У м н о ж и м (5) н а i и с л о ж и м с (4). П о ­
л о ж и м Х\ + i x 2 = z * ) . Т о г д а
г = - ^ т+ -'

ieH •

■Z.

П у с т ь e H l m c = со; т о гд а
Z—mz = —

еЕ

i eE
та

т а к к а к 2 = 0 при / = О,
Z = —

10.

тш
еЕ

д:.
Р ис.

ieE

Х2 = -

еЕ

t -

еЕ

т

{Ш -

+ I),

- (1 — COS со^),
(со/ — sin at).

Т р а е к т о р и я б у д е т ци кл ои д ой с т о ч к а м и в о з в р а т а , л е ж а щ и м и
н а о т р и ц а т е л ь н о й ч асти оси Х2 2.13. Э лем ент углового см ещ ения; угловая скорость. П у с т ь
ч а с т и ц а п е р в о н а ч а л ь н о н а х о д и т с я в то чк е Р { х ) . П о в е р н е м ее
н а м а л ы й у г о л 66 (в п р а во ) от н ос и т е л ьн о
прям ой O N с н ап равл яю щ и м и косинуса­
ми и,-. П у с т ь у го л м е ж д у осью в р а щ е н и я
и О Р р а в е н а. Т о г д а с м е щ е н и е точки Р
с точн остью до п ерв о го п о р я д к а м а л о с т и
по 60 п е р п е н д и к у л я р н о к пл оско сти в е к ­
т о р о в п и X и р а в н о по м о д у л ю г sin а 69.
И т а к , с м е щ е н и е 6х з а д а е т с я ф о р м у л о й
бх = 60 . п X

X

+ О [(60)2],

(1)

п о с к о л ь к у | n X x l = r s i n a ; или есл и мы
положим
60 = п 6 0 ,
(2)
то
6х = 60 X X + О [(60)2].
(3)

Рис.

11.

В е л и ч и н а 60 я в л я е т с я в е к т о р о м , пот о м у что 60 — с к а л я р , а
tii — н а п р а в л я ю щ и е коси нусы д а н н о й п р я м о й .
*) Если читатель еще не знаком с элементам и теории функций ком­
плексного перемен-ного, то здесь ему следует прочитать начало гл. И .

Т а к и м о б р а з о м , есл и v — с к оро сть точки Р
п р е д е л со
6/ - > 0 , то

и 69/6^ им еет

v = = l i m = 0 ) X X,

(4)

(О = (оп.

(5)

где

Н а о б о р о т , если ск о р о с т ь х з а д а е т с я в ы р а ж е н и е м в и д а (4) д л я
всех /, а (I) п осто янно по вел ич ине и н а п р а в л е н и ю , тЬ л е г к о
п о к а з а т ь , что это р а в н о м е р н о е д в и ж е н и е по окружности-. Д е й ­
с т в и т е л ь н о , х - ( о = 0 , и, с л е д о в а т е л ь н о , д в и ж е н и е ч асти ц ы
про и с х о д и т в п л оско сти , п е р п е н д и к у л я р н о й « . К р о м е того,
X • X = О, по э то м у
по с т о я н н о , и ч а с т и ц а д в и ж е т с я по сф ере.
Т а к и м о б р а з о м , д в и ж е н и е п р о и с х о д и т по о к р у ж н о с т и р а д и у с а
г sin а. Н а к о н е ц ,
X • X = ( e-iksBlks^^2. Если А обозначает определитель Цыг/||, то доказать, что

= ^IlnUljUklUmn,
e.lint^=‘ ZikmUiiUkiUmn,
6А = eikm^jinUijUkiUmn3. Д ок азать, что, если lij — направляющ ие косинусы, определяю щ ие пре­
образовани е осей, то

*) о приведении обш ей системы к двум силам или к силе и паре сил
см. (3, гл. 5] и [4, гл. 8]. Эта задача, впрочем, появляется только в экзам е­
национных билетах.

4. Z — постоянный вектор единичной длины, г (радиус-вектор движ ущ ейся
частицы) — переменный вектор, перпендикулярный г. Если скорость в лю бой
момент задается формулой


= a z X re*',

(1)

где (О и — константы, то показать, что траектория точки — логарифмическая
спираль.
Частица движ ется в плоскости под действием силы, пропорциональной ра­
диусу-вектору, и сопротивления трения, пропорционального скорости частицы.
О пределить уравнения движ ения частицы и, отыскивая решения в виде (1)
или каком-либо другом , показать, что скорость в любой момент времени есть
векторная сум м а скоростей д в ух частиц, описывающих логарифмическую
спираль в противоположны х направлениях с одинаковыми угловыми ско­
ростями.
(М /с, II, 1931.)
5. А, В, С —любые три точки на сф ере единичного радиуса с центром О.
Радиусы-векторы точек А, В, С относительно точки О соответственно равны
U , V, W . П окаж ите, что диаметр, перпендикулярный плоскости ABC, пересе­
кает сф ер у в точках, радиусы-векторы которых равны ± d, где
[и,

V, w ] d

sec 0 =

V

X

W

-Ь W X

U

-Ь U X

V

и 0 — угол м еж ду d и и.
Рассматривая векторное произведение и X d или каким-либо другим спо­
собом , доказать, что
[и,

V,

w ] t g 0 = ± 4 sin

у

sin -g s i n ^ ,

где а, Ь, с —стороны сферического треугольника ABC.
(P relim ., 1941.)
6. Д ок азать, что если А, В, С, D — четыре произвольных вектора, то
(А X В) • (С X В) = (А • С) (В • D) - (А • D) (В ■С),
(А X В) • (С X D) = [С, D, А] В - [В, С, D] А =
= [D, А, В] С - [ А , В, С] D,
где [А, В, С] обозначает смещ анное произведение А - ( В X С).
Выведите правило синуса и косинуса сферической тригонометрии.
(Р ге im ., 1940.)
7. Д в е частицы выпушены одноврем енно из начала координат со скоро­
стями Ч] и 02 соответственно и движ утся с постоянным ускорением а. Д о ­
казать, что если V] • V2 < О, то сущ ествует один и только один момент в по­
следую щ ем движ ении, когда радиусы-векторы этих частиц образую т прямой
угол с вершиной в начале координат.
П оказать, что в этот момент радиусы-векторы ri, Гг частиц удовлетво­
ряют уравнению
(Г1 • V2 -

Г2 • V , ) + ( а • Г2 -

а • г , ) ( а • V, - f а • V2) -Ь 2 v . • V j ( а • Уг - а ■ v , ) = 0.

(P relim ., 1940.)
8. Найти выражение для радиуса-вектора г в момент времени t частицы
с единичной массой, движ ущ ейся под действием постоянной силы {n^ + k^)b
и силы притяжения, равной {п^ + k^) г и действую щ ей в направлении начала
координат ( п ф О ) . Сила сопротивления равна 2kv. В момент i = 0 частица
имела скорость v и была в точке г = а.
Выведите, что смеш анные произведения векторов г, v, а — Ь и а, Ь, v
равны м еж ду собой.
(P relim ., 1941.)

9. Частица, зар яд которой равен е, а масса т, движ ется под действием
однородного электрического поля, напряж енность которого (О, Е, 0), и. о д н о ­
родного магнитного поля, напряж енность которого (О, О, Н) в гауссовы х еди ­
ницах.
Д ок азать, что это движ ени е мож но рассматривать как суперпозицию
равномерного движ ения со скоростью ( Ес Щ, О, 0) и равномерного движ ения
по винтовой линии с угловой скоростью — e H l m c относительно оси. Измеь?ением массы со скоростью мож но пренебречь.
Докаоать., что' если начало движ ения частицы совпадает с началом коор­
динат, то, какая бы ни была ее начальная скорость, она пересекает каж дую
прямую
л: = 2 пп т с ^ Е ! е Н\ г/ = О, где « = 1, 2, 3 . . . . (М. Т., 1943.)
10. Н а частицу массы га, радиус-вегтор которой г, действую т централь­
ная сила цг и сила е (Н X г)/с, где Н —од н ор одн ое магнитное поле. П ока­
зать, что если г и г первоначально перпендикулярны Н, то частица будет
описывать плвскую кривую.
П оказать, что частица м ож ет описывать окруж ность около начала, коор­
динат под действием этих сил с л