Методы математической физики [Гарольд Джеффрис] (pdf) читать онлайн

\

gs^gasfe'

ИЗДАТЕЛЬСТВО

«М И Р »

METHODS
OF
M ATHEM ATICAL PHYSICS
by
S IR H A R O L D J E F F R E Y S

M . A ., D. S c., F . R. S.
and
B E R T H A S W IR L E S (L A D Y J E F F R E Y S )

M . A ., Ph. D.

Third E dition

CAMBRIDGE
CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS

г . ДЖЕФФРИС, Б. СВИРЛС

МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
ВЫ ПУСК 3

П ер евод с английского
п од ред. В. Н. Ж А Р К О В А

И ЗД А Т ЕЛ ЬС Т В О «М ИР»

М оск в а 1970

Ф ундам ентальное

ру к ов одство

по

прикладной

математике,

иаписанное известным геоф изиком Г. Д ж еф ф р и сом и его суп р у­
гой Бертой С вирлс, представля ет собой вы да ю щ ееся явление
в мировой литературе, с к оторы м м ож н о сравнить лишь такие
тр уд ы , как «М етоды математической физики» К уранта и Гильберта или «М етод ы теорети ческой физики» М орса и Ф еш баха,
выпуш енные и зд ател ьством «М и р » в русск ом переводе.
ные

В третий, последний вы пуск вошли главы 16—25, посвящ ен­
линейным дифференциальным уравнениям, теории потен ­

циала, уравнению
та к ж е бесселевы м
лож ениям.

теплоп роводн ости , волн овом у уравнению, а
и другим специальным функциям и их при­

Книга Г . Д ж еф ф р и са и Б. С вирлс привлечет внимание ф изи­
ков, геоф изиков и астроном ов, имею щ их дело с той обл астью
прикладной математики, гд е наряду с чисто рецептурной вы ­
числительной техникой
м атем атической физики.

н еобходи м о стр огое понимание м етод ов
Книга ок а ж ет такж е б ол ь ш ую помощ ь

аспирантам и студен там старш их курсов.

Редакция

2-3-1, 2-Ь-1
70

космических,

и ссл е д о в а н и й ,

астрономии и геофизики

от

РЕДАКТОРА

ПЕРЕВОДА

В третий, последний выпуск вош ли главы 16 — 25, п освя­
щенные линейным дифференциальным уравнениям, теории по­
тенциала, уравнению тепл оп роводн ости , вол н о в ом у уравнению,
а т ак ж е бесселевы м и другим специальным функциям и их
приложениям.
Гл. 16 перевел М. Л . Гервер, гл. 17, 18, 24 — С. Я. Коган,
гл. 19—А. Л . Л евш ин, гл. 20 — 23, 25 и замечания об о б о з н а ­
чениях перевели Л. В. Никитин, А. А. Гвоздев и Б. В. К ост р ов .
В. Н . Ж ар к ов

Л1
;.

: • ’• -л .. .

-

'

L

1 5^
h-- a ? к
i'i

.r

-

i ?

'П

,'V

РЕШ ЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ В Т ОР ОГ О ПОРЯДКА

К урчавы й путь, кудрявы й путь
он согн ут колесом ,
О днаж ды ночью в Бирмингем
неслись мы тем п утем .
Г. К-

Честертон.

“ Перелетный
кабак" *)

16.01. Если диф ференциальное уравнение имеет переменные
коэффициенты, то основные методы его решения следующ ие.
1. П рям ое численное решение (гл. 9). Это ч а сто стои т б ол ь ­
ш о г о т ру да, но во многих сл уча ях д р у г о г о в ы хода нет.
2. Решение с п о м о щ ь ю степенных рядов.
3. Решение путем п одстан овки определенных или контурных
интегралов.
4. Асимпт®тические решения (гл. 17). Они м огу т бы ть п олу­
чены несколькими методами. Ч асто непосредственное п р еоб р а ­
зование дифференциального уравнения дает решения в виде
асимптотических рядов; кром е того, решение в виде определен­
ного или кон турн ого интеграла м ож н о аппроксимировать м ето­
д ом н аискорейш его спуска (метод перевала).
16.02. О со б ы е точки диф ф ерен ци ального уравнения. Всякое
л инейное уравнение вт о р ог о порядка м ож н о записать так:
(Ру

dx^
Если у и d yld x заданы при х = Xq, то дифференциальное у р а в ­
нение, в о о б щ е говоря, определяет значение d^yldx^ при х — Xq.
П родифф еренцировав наше уравнение, мы с м о ж е м найти d^y/dx^
при л: = Хо, и т. д. Таким о б р а з о м , мы будем получать один
за другим члены ряда Тейлора для у, и если эт о т ряд имеет
ненулевой радиус сходим ости, то решение су щ ествует. Если для
л ю б о й пары значений у и d y jd x при х = х^ d^y/dx^ т о ж е п ол у­
чает конечное значение, то Xq называется обы к н овен н ой точкой
Уравнения; в противном случае х^ называется о со б о й точкой.
Н апример, пусть
d^y
*) П еревод Н. Ч у к о в ск о го .—Я ри ж . ред.

И при x = Xq

У = Уо,

d y ld x = i/i. Тогда решение

У = Уо COS { х - лго) + Z/1 sin (л; - X q)
годится для л ю б ы х лго, уо. г/Г> следовател ьн о, для э т о г о у р а в н е ­
ния все значения л: — обы кн овен ны е точки. Н о у ж е для ур ав н е­
ния первого порядка
dy

нельзя вы бр ать значение у при х = 0 произвольно; если при­
д а ть у л ю б о е значение, не равное нулю, то dyjclx обр ати тся
в бесконечность и о б р а з о в а т ь ряд Тейлора не удастся. Точно
так ж е, если дано

И г/ не равен нулю при л: = О, то либо d y ld x , либо d^lyldx^
бесконечна и о б р а з о в а т ь ряд Тейлора нельзя. Значение л: = О
для д в у х уравнений является о с о б о й точкой.
’
Линейные уравнения о б л а д а ю т одним важ ны м св ой ств ом :
их о со б ы е точки постоянны. Д а ж е для так ого п ростого ур а в н е­
ния, как
dy
dx ~

1
1 - г/2 '

d y ld x о б р а щ а е т с я в бесконечн ость при г / = ± 1 , и значение х
при этом непостоянно, если придавать разные значения у при
X = 0. Решение на са м ом деле таково:
у -^ у ^ = х + а
при

X = у

-

а = у

-

и

г/ = 1

г/ ( 0 ) + у

[ у (0 )]з .

Именно это непостоянство о с о б ы х точек п о р о ж д а е т н аи бол ь­
шие дополнительные трудности в общ ей теории нелинейных
диф ференциальны х уравнений.
16.03. С ущ ествова н и е реш ения в ок р естн ости обы кновенной
точки. Р а сс м от р и м уравнение

где f { x ) и g (л:) —аналитические функции от х (которы й мы м о ­
ж ем для больш ей об щ н о ст и считать комплексным) в н ек отор ой
обл а сти, сод ер ж а щ е й точку л: = 0. При х = 0 п ол ож и м у = г/д,

d y ld x = y\. Ч т о б ы их м о ж н о бы л о вы бр а ть произвольными, f (х)
и g { x ) д ол ж н ы бы ть ограничены в окрестности нуля. П о л о ж и м
по определению
X

дф (;с) = [ ф (t) dt.

(2 )

о

Применим оп ератор Q к н аш ем у диф ференциальному ур а в н е­
нию (предполагая, что это в о з м о ж н о ) и проинтегрируем втор ой
член по частям. Получим
- g - - г/1 + г/f (х) - Уо! (0) - Q [ у Г (х)] + Q [ g (х) у] = 0.
что м ож н о записать
^

(3)

так:

= y ^ + y , f { 0 ) - y f { x ) + Q[h{x)y].

(4)

П р ои н т егр и р о ва в снова, получим
У = Уо + У1 Х + Уо! { 0 ) x - Q [yf (х)] + Q2 [h (х) у].

(5)

Положим
Уо + У^х + г/of (0)

= «1.

(6)

- Q [ f (х) щ] + Q2 [h {х) щ] = « 2.

(7)

- Q \t{x )uA + Q4h{x)ur]=Ur^,

(8 )

и соединим от р ез к ом точки О и х. П у ст ь на этом отрезке
\f{x)\ z ''\ n z ,

дс

и п отом у разложение второго решения начинается так:
, м

( - п ) ( r t + 1) /

Pn( x) \nZ

1

,

2] г

1

( _ „ + „ + 1

р

,

( - / г ) ( - « + 1 ) . ( / г + 1 ) -(« + 2)

1

12.22

X (-L + _ 1 _ + _ 1 _
^ \ - п ^ - п + \ ^

п+\

1

,

2

: _ 1 _ _ 1 _ л ( .и
^

п+ 2

1

2 j\ 2 j

Если п — целое полож ительное, то о бр ы ва ю щ и й ся ряд аналитичен так ж е и при х = — I, но второе решение содер ж и т
1 п (л :+ 1 ). М о ж н о показать, что он о представляется в виде
0 , два решения:

h

{х) = ^
( г=0

1 / г \ { п + г)\ ’

/ J %-п+2г
} - п (Х) = ^

(14)

( - I / н ( - П+ г)\ •

г= 0

Они независимы, д а ж е если п полуцелое, хотя корни опреде­
л яю щ его уравнения и отличаются в э т о м случае на целое число.
М ы сравним их с решениями в виде комплексных интегралов,
разлагая по у б ы в а ю щ и м степеням t. У первого интеграла
первый член равен
2"п\

м

а у в т ор ого, соответственно, 2л/

^ . О б а интеграла

р азла­

гаю тся в ряды по возр а ст а ю щ и м степеням х. И так,

М

"' '

2Я( J

//2 +1

'

^

Следовательно, если « ^ О и .V> О, т о / „ {х) Н (х) представляется
в операторном виде так **):

О д н а к о 1 - п { х ) не представимо в операторном виде при п > 1 ,
так как р азлож ен ие со о т в е т с т в у ю щ е г о оператора д о л ж н о бы л о бы
начинаться с р", что не поддается истолкован ию ; если ж е мы
применим интеграл Бромвича, то он получится р асходящ им ся.
Ч т о б ы заставить интегральное выражение для J - n { x ) с х о ­
диться, приходится использовать моди ф и кац ию пути интегри­
рования Бромвича, при кот ор ой R e ( 0 - ^ ° o на концах.
*) в оригинале м нож итель 2 " в об ои х знам енателях и в следую щ ей
стр очк е пропущ ен. — Прим. перев.
** ) П ервоначально эт о представление получено сп особ ом 21.01 (см. [6]).

Ван дер П оль [7] нашел много интересных применений п о д о б ­
ному методу и, в частности, вывел (15) и (16). Он, правда,
предполагал с са м ого начала, что искомая функция имеет изб*
бражение, определяемое уравнением
оо

F(z)=

[ г\ {х )е-^ Ы х ,

которое не имеет см ы сл а, если усл овия сх одим ости не выпол­
няются. О н о имеет смысл при f (л:) = / „ (х), но не при / (х) =
(х),
если п > I. К ром е того, его сп особ д а ет написанное выше ди ф ­
ференциальное уравнение для Т, и он н аходи т о б а решения;
одно из них не представимо интегралом Бромвича, который,
как он о бъя вл яет вначале, он использует. Далее он некстати
использует термин „оп ераторн ое решение". М етод, которы й он
использует, не операторный, так как он определяет р как к о м ­
плексную переменную, а не как оператор. Д ел о в том, что,
несмотря на формальное сх од ст в о методов контурного инте­
грала и операторного, обл асти, в которы х они применимы, все же
не совпа даю т, а тол ько пересекаются, и один м е тод не всегда
м о ж н о заменить другим . Ч т об ы придать смы сл интегральному
выражению для / _ „ ( х ) , н е обход и м о изменить путь интегриро­
вания Бромвича на такой, у которого концы у х о д я т в бесконеч­
ность м еж ду мнимой о сь ю и отрицательным направлением
действительной оси. Н о в задачах на малые колебания т акое
изменение приведет к ош ибке всегда, когда есть бесконечн о
много действительных периодов, стрем ящ ихся к нулю. На са м ом
деле Ван дер Поль, вычисляя /_ „(л :), не располагал н е о б х о ­
димыми средствами для того, ч тобы поймать рыбу; она сама
выпрыгнула из воды на берег к нему в руки.
Д ля комплексных л: решения в виде рядов однозначны при
— я < а г § х ^ я . При целом п м ож н о не налагать ограничений
на a r g x , но в гл. 21 мы увидим, что в этом случае /_ „(л :)
и Jn{x) не независимы. Тем не менее нет нуж ды изменять к о м ­
плексные интегралы так, что R e ( x O - ^ — ° ° на о б о и х концах
пути интегрирования. М о ж н о обеспечить непрерывность тем,
что заставить a rg ^ непрерывно изменяться на кон цах вместе
с arg л:, и при этом интегралы б у д у т тож дественно равны рядам.
Подынтегральные выражения имеют точки ветвления t = ± i .
Интеграл по л ю бой петле, о бх од я щ ей од н у из них и уходящ ей
в бесконечность так, что при этом R e ( x O - > — °о, является
решением уравнения. Таким ж е сп особ ом получаются и два
других важ ны х решения — функции Ханкеля. Они, разумеется,
зависели от /„(л:) и J- n{ x) , которые, если понадобится, м ож н о
выразить через них (см. 2 1 .02 ).
3

Зак, 523

16.11.
П р ео бр а зов а н и е р я д о в в интегралы. И н огда
преобразуется в интеграл прямым применением формулы
1 Г е’’-* .
2 ш } 2^+'
М

ряд

г\ '

где для действительных п олож ител ьн ы х х н адо брать путь
интегрирования М пересекающим п олож ител ьн ую часть действи­
тельной оси и с концами, ух о д я щ и м и в бесконечность в третьей и
вт ор ой четвертях. Применение эт о го правила к ряду для
W Дает

2 л(

М

77^7+л)1

г= 0

э т о выражение д о л ж н о быть то ж д ествен н о равно (15); в при­
мере 9 (стр. 41) дается прямой сп особ сум м и р ован ия эт ого
ряда. М о ж н о поступить иначе, п ол ож и в в операторной форме
\2п + 2г

(W )
Н о мы знаем, что
z l ( z - j ) l = 2 -^ ^ V n ( 2 z r .,

(2 0 )

откуда

-- ' Ш
Е
Гп
( р ^ - ы Г + ‘/‘
1

( « - ‘ / 2)1

2я /

/ я

я

(л:)
^

___________
J

м

d t.

(2 1 )

4- ! ) " + ■ / =

В частности,
( i f

A .(x )» W = p ^ ^ / / W

= f f « W

.

Продолл^ая обе части, получаем
=

(22 )

Для вычисления
эт о т сп особ не годится, так как (я — ’ /г)!
тогда бесконечно, и (21) принимает вид оо х 0. О дн ак о, иссле­
д о в а в соотв етств ую щ и й ряд, м о ж н о убедиться, что
/-V . M =

cos л:.

(23)

16.12.
В ронскиан. Пусть
у -2
у^ — функции от х , опре­
деленны е на каком-то промежутке и имеюш,ие на нем п — 1
п р ои зводн ую . Определитель
У\

•■ Уп

У2

w =

( 1)
у Г^^

.

называется их вронскианом . Если существуют константы A i

Л„,

П

не все равные нулю п такие, что

S Л^Уг = О при

в сех

значе-

Г=1
н и я х X из этого интервала, то при тех же значениях х вронскиан
равен нулю . Э то ср а зу станет видно, если продифф еренциро­
вать равенство п — 1 раз и исключить
из получаю щ ихся
соотношений.
Обратно, если
= О тождественно на некотором интервале
и минор, соответствующий хотя бы од н ом у yf~^K не обращается
н и где на этом интервале в нуль, то найдутся такие константы
П

не все равны е нулю , что будет 2

^тУг — О тождественно на этом

Г=1

интервале. П усть не обр ащ а ется в нуль минор,
щий
Тогда система из « — 1 уравнения
у
Z

j

В,у^^^ + у^'> = ^

со о т в е т с т в у ю ­

(5 = 0 , 1, . . . . я - 2 )

(2)

Г=1

при к а ж д ом фиксированном х определяет н абор величин В^.
П оскольку W = О, эти
у д ов л ет вор я ю т и аналогичному у р а в ­
нению при s = « — Ь Далее, функции B ^ix) дифференцируемы,
так как все y f \ k ^ n — 2, дифференцируемы.
Продифференцировав к а ж д о е уравнение из ( 2 ) и вычтя сле­
д ую щ ее за ним уравнение, мы получим
2 в ;? /^ = о

(5 = 0, 1, . . . . п - 2 ) .

(3)

Г=1

П оскол ь ку определитель этой системы по ус л ов и ю нигде не
равен нулю, все В'г равны нулю т ож д ествен н о.

Нельзя избавиться от условия, что вронскиан каких-то п — \
функций нигде не равен нулю. Э то п оказы вает сл едую щ и й
пример:
= О (- К

л: < 0),

г/2 = е х р ( - 1/х^) ( -

= ехр ( - Ijx^) (О < л: < 1),
1 < л ; < 0 ),

г/г = 0 ( 0 < л : < 1). ^

Здесь у^у'^ — у[у^ = О тож д ествен н о на всем интервале — 1 < л: < 1,
но

нет

таких

констант

А^,

А.2 , чтобы

на

нём

бы ло

всюду

Л ,? /, + Лгг/2 = 0 .

Если известно, что Уг аналитичны и есть обл асть, в кот ор о й
минор ка кого-то из
не обр ащ а е тся в нуль, то линейная
зависимость м е ж ду у,, . . . , г/„, которая о т сю д а следует, м ож ет
быть п родол ж ен а на всю т у область, где определены г / , , . . . ,
16.13.
уравнения

Если ^ 1, г/2. •••. Уп суть рещения дифференциального
П

=

( 1)

Г=1

никакая линейная комбинация к о т о р ы х не равна нулю, то п роиз­
водная их вронскиана, как легко заметить, получается из W
заменой всех
на y f \
Выразив yf^ из са м ог о уравне­
ния ( 1) и вычтя из последней строчки определителя остальные
с п одходящ и м и коэфф ициентам и, получаем

(2)

dx
откуда
W = А ехр

-

fn -x {u )d u

(3)

где Л — константа. О тсю да, если х от я бы при о д н о м значении х
W ^ 0 , то W не обр ащ а е тся в нуль нигде. Если f n - i ( x ) = 0, то
W — константа. Д л я того случая, когда в уравнении второго
порядка известно одн о решение у^, это дает легко разрешимое
уравнение первого порядка для г/г и эквивалентно элементар­
н о м у сп о со б у решения путем подстановки у = ууХ.
16.14.
М е т о д вариации постоянны х. П усть наше уравнение
имеет вид
^

+ n x ) ^

+ g { x ) y = S,

(1 )

и пусть для 5 = 0 нам известны два независимых решения у\
и г/2. Тогда о б щ и й интеграл од н ор од н ого уравнения имеет вид
А у 1 + В у - 2 , где Л, В — постоянные. М е т о д вариации постоянных

СОСТОИТ в ТОМ, что л и в считают переменными, т. е. ф унк­
циями от X, причем п одби р аю т их так, ч тооы удовлетворить
уравнению при произвольном S. И так, пусть

г/ = Р (х ) г/, + Q (л:) у^,

( 2)

y ' = P 'yi + Q 'y, + Pij\ + Qy'^.

(3)

тогда

Ра з мы ввели две новые функции, мы вправе налож ить на них
о д н о ограничение: потребуем, ч тоб ы бы ло
P V i + Q '^/2 = 0.

(4)

y " = Py'( + Qy'^ + P 'y\ + Q'y'„

( 5)

Т огда

и, подставив э т о все в ( 1), мы получаем

[ Р у " + f ix) Ру\ + g {х) Р г /i] +

+ [Qy'i + f {х) Qy' + Я ix) Qy,] + P 'y [ + Q 't/ ' = 5 .

( 6)

Выражения, стоящ и е в ск о б к а х , равны нулю, так как у^
и У2 ~ р бш ^ н и я (1) при S = 0. Тогда из (4) и ( 6 ) мы легко вы ра­
ж а е м Р ' и Q ':
-Sj/2
у\у2 - У2 У1 '

У1У2-У2У1
Знаменатель нигде не обр а щ а ется
независимы. И так,

в нуль, п оск ол ьк у г/, и г/2

y -cs ,+ D ih + /
;
у
^ (d
j У1 И) У2Ш- У2( 1 ) У1 Ш

(8>

где С и D — константы; а м о ж н о выбирать произвольно, его
изменение лишь прибавляет к у линейную к ом б и н ац и ю г/, (л:)
и У2{х), т. е. эквивалентно изменению С и D.
Л егко проверить, что ( 8 ) удов летвор яет (1). П родифф ерен­
цируем (8 ):

,

^

, .л , . Г У\(х) у2 ( 1 ) - У2 { х) уу(%)
—7— — — — 1— —
S (I d l

У = Су[ + Dy:^ +

i

У1 (1 )У2И)-У2^1 )У\Щ

( 9)

(так как
далее

- с

подынтегральное

„

г

выражение

равно нулю при \ = х)\

+ J

^

й

) " W

( 10)

(в (9) подынтегральное выражение при | = л: равно 5 ( х ) ). П о д ­
ставив то и другое в (1), получаем т о ж д ест в о . Так как
г/,^2 ~
константы С и ! ) м ож н о вы бр а ть так, ч тобы у
и у' приняли при х = а л ю бы е наперед заданные значения, и,
следовательно, ( 8 ) — общ ее решение. В случае уравнения в т о ­
рого порядка, одн о решение к о т о р о г о известно, решение этим
м етодом обы ч н о г ор а з д о проще, чем с п о м о щ ь ю подстановки
y = tjiu .

В озьмем, например, уравнение
у " + nhj = S.
Здесь y^ = QO?, пх, ^2 = sin«A:. Тогда
У[У2 д:

г/ == -

У'гУх == -

«.
X.

-^ cos «л: J S Ц) sin п|

sin пх j S (^) cos п1 dg =

д:

= — — j 5 (^) sin п Ц - x ) d l + А cos п х + В sin п х.
о

Л егко проверить, что это о б щ е е решение.
О боб щ ен и е эт ого метода лежит в основе расчета движения
планет. Если пренебречь влиянием других планет, то ка ж да я
планета движ ется по эллипсу, которы й определяется шестью
числами, задаю щ им и положение и скорость планеты в какой-то
момент времени. Ч т обы учесть возмущ ения, эти числа надо
представить переменными, т. е. к а ж д о м у моменту времени ста ­
вится в соответствие свой мгновенный эллипс, по к о т о р о м у эта
планета двигалась бы, если бы с эт ого момента влияние других
планет вдруг исчезло бы, а осталось бы тол ько солнечное при­
тяжение. В озм ущ ения все время медленно меняют эт о т эллипс,
определяя тем сам ы м истинное движение планеты.
М е т о д сохраняет силу и в том случае, если S — изгеггная
функция не только от л:, но и содерж ит у. Т ог д а ф орм ул а ( 8 )
эсе равно бу дет верной, хотя и не даст го т о в о г о решения.
Она превратится в интегральное уравнение, так как у бу дет
стоять под знаком интеграла. Д авай те рассмотрим уравнение
^

+ g {x )y = h {x )y ,

(И )

И пусть г/i и ^ 2 — решения уравнения у " + g { x ) y ^^0, такие, что
У\У2-У2Уу=^^- Тогда
у = А 1У1 + А 2У2 + J [г/1 (^) г/2 (I) - г/2 (х) У1 (I)] h Ц) у (|)
а

=

X

= П х ) + «\/ K { x , l ) y i l ) d l ,

( 12)

а

где
К { х , I) = {ух{х) У2 Ц) - У2 {х) у ^ Ш к Ц ) .

(13)

П олученное уравнение м ож н о решать м етодом итераций.
П редп ол ож и м, что К {х, |) ограничено при
\К\oo

(2 )

В этом случае мы пишем
f(z)-S{z).

(3)

Степенной по 1/z ряд, сходящ ий ся при l z | > / ? , удовлетвор яет
э т о м у определению асимптотического разлож ения. Действи­
тельно, су щ ествует такая константа М, что остаточн ы й член
будет по м од у л ю меньше, чем M\z\~' ^l { \z\IR— \) для всех
значений a r g 2 .
17.021.
Асимптотические ряды м ож н о почленно перемножать.
Д ействительно, если
Sn (2 ) = A q + - ^ - \ - . . .
r „(^ ) = So + 4 ^ + '. . . + | ^

,

( 1)
(2 )

асимптотические представления функций f { z ) и g {z), то мы м о ­
ж ем вы брать Z таким, что о б е величины

\z'‘ [ f { z ) - S A z ) ] \ ,

\ z ' ^ [ g { z ) - T Az ) ] \

б у д у т сколь уг од н о малы.
П о э т о м у имеем
5 „ ( 2 ) 7 ’„ ( г ) = Со + - ^ +

. . . - ^ + o ( 2 - " ) = f / „ ( 2) + o ( 2 -«),

(3)

где
Cm —

+ Л , В т _1 +

. . . + Л^Во,

(4)

величина z "'[f {z) g (z) — U п {z)] есть сум м а трех членов, стремя­
щ ихся к н улю одновременно с 1/ г для всех п.
17.022.
Асимптотические ряды м о ж н о почленно интегриро­
вать. Д ействительно, если в обл а сти a ^ a r g z ^ P ,
| z | > /?
функция f { z ) аналитическая и
IZ" [/ (z) - Sn (2 )] I< со
и если Zi удов летвор яет н аписанном у выше неравенству, в о з ь ­
мем путь интегрирования от z, д о бесконечности при п ост оя н ­
ном значении a r g z . Тогда
[f{z)-SAz)]dz

dr = -

<
I I

( я - 1)1 г,

in-l >

ИЛИ

уП-1

f{z)dz-\
*-г,

И таким

образом,

SAz)dz

<

(О
п -1

’

zi

интегрируя

почленно

5 „(г),

мы

получим

оо

асим птотическое разлож ен ие функции

J f (2 ) dz.
Zl

П усть 2 , И 22 им ею т один аковы е модули; соединим их д угой
ок р у ж н о с т и с центром в начале координат; длина этой дуги
Z, < 2я I 2 , I,
[ f { z ) - S A z ) ] dz

2ла>

|г,Г

\П—1 ’

и, следовательно, получается т от ж е результат. П оск ол ь к у и
f (2 ), и Sn (2 ) в нашей обл а сти не имеют особенностей, мы м о ­
ж е м , не изменяя значение интеграла, взять путь интегрирования

между двум я произвольными точкам и обл асти, состоящ и м из
кусков с постоянными значениями a r g z модуля z. О тсю да и
следует наше утверждение.
17.023.
Асимптотические разлож ения единственны. Д ействи­
тельно, если для всех |2 | > ^ , a < a r g 2 < p
lim z'^
г - » 00

(1)
lim
Z - > со

TO
1 | т 2 «(Л о -В о + ^ ^ ^ +

...

+

^

" ^

)

= 0

(2 )

И, след овательн о,

•^0 = ^Oi

—

. . . » -^n~ ^ n ‘

(3)

Отсю да следует, что f (г) мооюет иметь асимптотическое разло­
ж ение вида 17.02(1) одн оврем ен н о для в се х значений a r g z лиш ь
при условии, что соответствующий р я д будет сх о д я щ и м ся . Д ей ­
ствительно, если условие 17.02(2) выполняется для всех значе­
ний a r g z , мы м ож ем вы брать такие постоянные М vi R , что
\z'^R n(z)\ / ? ; и тогда, согласно неравенству
к о ш и , z " R n { z ) имеет сходящ ееся разлож ение по степеням 1/г.
Следовательно, f { z ) будет об л а д а т ь сх одящ и м ся разложением
с асимптотическим свойством . Н о тогда из предыдущ его сле­
дует, что единственное асимптотическое разлож ение f ( z ) — это
сходящ ийся ряд.
17.024.
О братн ое неверно; различные функции в данной
области м огут иметь одн о и то ж е асимптотическое р азлож е­
ние, если только их разность f ( 2 ) - g ( z ) для к а ж д о г о п у д о ­
влетворяет усл овию
\\mz'4f{z)-g{z)]-=Q.
Например, это имеет место, если a r g 2 меняется от
до
’ Д я , а f ( z ) - g ( z ) = e -^.
Определение П уанкаре, таким об р а з о м , не ограничивает для
данного z: пределы ош ибки, и обы ч н о эти пределы находятся
специальными методами.
17.03.
Л ем м а В атсона. Д в а наиболее важ ны х метода п олу­
чения асимптотических разложений — это метод наискорейшего
спуска, принадлежащий Д е б а ю , и метод стаци онарной фазы,
принадлежащий Кельвину. О ба эти метода в значитель­
ной мере, но не п олностью, эквивалентны. П реж де всего нам

п онадобится одна форма леммы В атсона
интеграл вдоль действительной оси

[1, 2].

Рассм отрим

Z

1=

(z) dz,

j

(1)

о

где функция f ( z ) аналитическая и f ( 0 ) ^ 0 ; Z не зависит от а
и м ож ет быть бесконечным; а — д ост а т оч н о бол ьш ое действи­
тельное положительное число; и, наконец, для некоторого а
(например, а = а) интеграл I сходится. О тсю да следует, что
т > — \. Р азлож ен ие в ряд f { z ) внутри круга сходим ости
имеет вид
f ( 2 ) = ao + a , z + . . .
+ / ? „ ( 2 ),
(2 )
где R n {z)lz" стремится к кон ечн ом у пределу, когда z - > 0 . З а ­
фиксируем в интервале (О, Z) ка кую -н и будь т очк у А , л е ж а щ у ю
внутри круга сходим ости; тогда
■А

/ =

Z-

+
-о

e~°^z"'f {z) dz.

(3)

л -

в интервале (О, А) функция
g{ z) = [ f { z ) - { a o + a^z+ . . .

+ a „ _ i 2 "->)] z ” "

(4)

ограничена. П усть М — верхняя грань ее модуля . Тогда
1а =

А

А

f e ~ ‘’ ^ z ''i ( г ) d z = -

\ e ~ “ ^ z'" ( с о +

+

.. .

+

dz +

-t-

e - ‘‘ ^z'"QMz'^ d z,

(5)

0

где

|0|

(9)

r= 0

где /С — не зависящ ая от а постоянная. Если мы помнож им
о б е части неравенства на
и затем устремим а к оо, т о
правая часть будет стремиться к 0. Следовательно,

г= 0

а

г71-Ьг+ 1

( 10)

Ничто не мешает взять верхний предел Z бесконечным, п о­
ск ол ь к у лемма А бел я остается в силе, если то л ьк о соот в ет ­
ст в ую щ и й интеграл сходится для некоторого а. К ром е того,
f (г) м ож ет быть неограничена в окрестности одной или не­
скольких точек при условии, что несобственный интеграл с х о ­
дится.
У Ватсона функция f {z) ограничена на всей действительной
оси, а 2 = 0 0 . Эти условия часто (однако не всегда) выпол­
няются, и то незначительное обобщ ен ие, к о т орое мы сделали,
в дальнейшем м о ж е т оказаться полезным.
Ряд (10) расходится, если f {z) имеет особенность на конеч­
ном расстоянии R о т начала координат. Действительно, для
л ю б о г о R ' > R сущ ествует такое k, что неравенство \ar\>k/R '
справедливо для бесконечного числа значений г, и, значит, для
л ю б о г о заданного а члены ( 10 ) не ограничены по г.
Лемма д ока зы ва ет сущ ествовани е асимптотического р а з л о ­
жения в смысле П уанкаре и определяет соо т в етств ую щ и е к о ­
эффициенты. Она не дает, однако, для данного а оценку
ош и бк и , которая получится, если остановиться на заданном
члене разложения, поскольку мы не оценили значения М .
Оценка точности, к о т о р у ю дает сум м а до наименьшего члена,
м ож ет быть получена м етодом „использования множителей
4

Зак. 523

сх о д и м о ст и " *), как назвал его Эйри [3]. Н аи бол ее просто э т о т
принцип иллюстрируется на нашем первом примере. Интеграл
в оста точн ом члене был равен
со

e-tfn -r-^ d t,
и если п + г = х , сл еду ю щ и й член ряда численно равен послед­
нему уч и т ы ва ем ом у члену.
Н о если мы возьм ем л огариф мическую п р о и зв од н у ю от
подынтегральной функции, т о получим

и два члена справа п ри близительно равны при t = x . С л е д о в а ­
тельно, интеграл приблизительно равен
оо

о

а остаточный член приблизительно равен
(-

1) . . . {п + г ) е - ^ х - '^ - ' - \

что составляет ровно половину сл едую щ его члена р азлож ен ия.
Таким о б р а з о м , м ож н о весьма просты м путем значительно у л у ч ­
шить точность, если асимптотический ряд су м м и р ова т ь д о
наименьшего члена, а затем прибавлять п оловин у сл ед'/ю щ его
члена. Е щ е бол ьш ая точность получается, если разлолсить
[^ + ( « + г + 1) 1п i] д о бол ее вы соких степеней {t — x ) lx . Мы еще
вернемся к э т о м у воп росу в гл. 23.
Н аи бол ее интересен для нас случай, когда
в
\e-W f{z)dz,

( II)

-А

где Л И 5 бол ьш е нуля и не зависят от Ь, а f { z ) разлагается
в ряд в окрестности нуля по ф ормуле (2), П о л о ж и м
Тогда
, _ j

f V ' ' . *■!/ ( - а

г ''-

*) U se of co n v e rg e n ce fa ctors. -

+ 42 f
6
пер ев .

(?■'■) г ' ‘ И .

(12)

Н е ч е тн ы е степени вза и м н о у н и ч т о ж а ю т с я , и п о это м у

/ ^ / ^ ( ^

\ь

+ ^ + 1 - 3 - ^ +

... + 1 . 3 . . . ( 2 п - 1 ) ^ ] .
ь

(13)

17.04.
М ет од н аи скорей ш его сп у ск а . Э т от метод принад­
лежит Д е б а ю и применяется для приближенного вычисления
интегралов вида
в

/= J

(1)

А

где t — доста точн о бол ь ш ое действительно п олож ительное число,
а f (г) — аналитическая функция.
П редставим / (г) в виде
f (2 ) = ф + гг|1,

(2 )

отделяя действительную и мн им ую части. Обе функции ф и г])
у д ов л ет в ор я ю т уравнению Л апласа, и подынтегральное вы ра­
жение бу дет велико там , где алгебраически велико ф. П р е о б ­
разование от X , у к ф, iji является неособенным в области, не
содер ж ащ ей нулей или особенностей f ' ( z ) . В такой области мы
мож ем перейти за конечное число ш агов от Л к В, двигаясь
вдоль линий, где ф или ф постоянны. П о л о ж и м f { z ) = Z‘ Тогда
в

/=

в

j

(3)

г=А

г=Л

П редп ол ож и м вначале, что функция
в рассматриваемой
обл а сти аналитическая. Тогда g{ ^) имеет там ограниченную
прои зводн ую , и ее действительная и мнимая части имеют о гр а ­
ниченную вариацию на конечных у ч а стках линии, где ф или iji
постоянны. Мы м ож ем применить здесь неравенство, полученное
для интегралов в 1.134а. Если на пути от Л к В функция г1>
постоянна и Ф д > Ф в , т о такой путь называется одним из путей
н а и с к о р е й ш е г о с п у с к а . В этом случае
в

/=

Г

(С) ^Ф.

(4)

г= Л

Если путь таков , что постоянно

ф,

то

в

(5)
Z=

A

\e-'4\/ds = 0\
из соотнош ения К ош и — Римана будет следовать, что дц>/дп = О,
д^^1дп = 0. Следовательно, в этой точке f ' { z ) = 0 и функция g(g),

определенная равенством (3), перестает быть аналитической.
Такие точки известны под названием сед л о в ы х точек, или точек
перевала.
Д ру гой п о д х о д состои т в том , чтобы рассматривать макси­
мумы ф на всех путях, соеди няю щ их Л и В . Если максимум ф
для н екоторого пути принимает минимальное значение, то в с о ­
ответ ст ву ю щ ей точке выполнено условие dffjdn = 0 ; с другой
стороны, в той ж е точке df^jds = О, п оскольку ф достигает здесь
максимума; следовательно, f ' ( z ) = = 0 .
Линии, где ф постоянно, назы в аю тся линиями наискорей­
ш его спуска, так как в л ю бой точке эт ого пути направление
таков о, что величина |д(р/дз \ принимает наибольщее значение.
Если 0 есть угол наклона пути относительно оси л:, то
i - c o s e A + s i n e f - ,
И

если

d((>/ds

д о л ж н о быть стационарным при

( 10)
изменении 0, то

o = --e |^ + c o se f = -si„ef-cose|i = - f ,

(„)

а э т о выполняется на тех путях, где г)? постоянно.
П о э т о м у для таких случаев у д о б н о вы брать часть пути
интегрирования так, чтобы он содер ж ал линию наискорейшего
спуска, п р о х о д я щ у ю через сед л о в ую точку, п оскол ьку при этом
больш ие значения ф б у д у т сосредоточены на максимально к о ­
р о тк о м интервале пути.
Ф не м о ж ет быть максимально для всех изменений х , у
в окрестности какой-л ибо т очк и . Через седл ов ую т оч к у Zq бу д у т
проходи ть по меньшей мере д в е кривые с постоянными значе­
ниями ф, разделяя окрестность точки на сектора. Те сек тор а,
где значения ф меньше, чем в точке Zq, назы ваю тся долинами,
те, где оно больше, чем в 2 q, называю тся холм ам и.
Если А II В находятся в разных долинах относительно седловой точки Zq, наилучший путь интегрирования б у д е т A C zq DB,
где фс = фл> Фд = Фв. а C^qD — путь с постоянным
проходящ ий
через Zq. в этом случае приближенное вы раж ение (8 ) не г о ­
дится, п оскольку значение gi z o) м о ж е т оказаться бесконечным,
одн ако эт у т ру дн ость м о ж н о преодолеть м етодом , которы й
описан ниже.
В кл ад о т у ч а стков А С и D B пренебрежимо мал по сравне­
нию с тем, что дает путь C zqD, и это есть наиболее замеча­
тельная особ ен н ость эт о го метода.
И золированны е особенн ости функции
не леж ащ ие на
пути интегрирования, в о бщ ем случае не влияют на прибли:кенное выражение, п оскол ьку все определяется тем, какие

значения принимает верхняя грань модуля g(^) или полная вариа­
ция действительной и мнимой частей этой функции на р а ссм а ­
триваемом пути интегрирования. Если путь от Л к S , вдоль
к о т ор ог о ф или ф не постоянны, заменен на путь, состоящ ий
из участков, где ф или ф постоянны, то м еж ду первоначальным
путем и новым м ож ет оказаться особенн ость функции s ' ® —
точка 2 ]. О днако интеграл, п олучающ ийся при о б х о д е вокруг
точки 2 ], содер ж ит множ итель вида ехр^ф( 21), которы й э к сп о ­
ненциально мал по сравнению с величиной е х р / ф ( 2:о).
Линии наискорейщего спуска оканчиваются лишь в тех т о ч ­
ках, где функция f ( z ) имеет особенн ость, или они у х о д я т
в бесконечность.
Если Zq — седловая точка и f " ( zq) ^ 0 , т о в окрестности Zq
функция f ( z ) м ож ет быть представлена в виде
(12)

f (г) = f (Zo) + J (z - Z o f Г (Zo) +

и направление пути интегрирования д о л ж н о быть таким, чтобы
величина (z — Zo y f " ( z o ) была действительной и отрицательной.
Если мы теперь полож им
f(z)-f(zo) = -^ C ^

(13)

и бу дем рассматривать g как новое независимое переменное, то
получим интеграл того ж е вида, что и в лемме В атсона. О т­
сю да мож н о заключить о сущ ествовании асимптотического р а з ­
ложения интеграла (1) по отрицательным степеням
На п рак­
тике, однако, непосредственное обращ ен ие рядов во многих
случаях затруднительно; если требуется найти члены р а з л о ж е ­
ния, сл едую щ и е за первым, для обр атн ой функции, т о приме­
няют некоторые другие способы. Тем не менее для многих целей
д ост а т очн о найти тол ько первый член асим птотического р а з л о ­
жения (1), и это д о вол ь н о легко сделать. Имеем
/=е O . С ледовательно, на действительной
оси по о бе стороны от точки v = 1 л еж ат ровно две долины,
ограниченные соответственно О и оо. Функция I m f ( o ) на дей­
ствительной оси нигде не постоянна, кроме случая, когда 0 = 0 .
Направление линии наискорейшего спуска, к от ор о е проходит

через точк у v = l , определяется аргументом числа w = = v — l,
при к от о р ом величина — f " ( 1)
действительна и п оло­
жительна, так что a rg ш = — V20 или я — '/гб- К а к ое из этих
д вух значений нам нуж но выбрать, видно из сл еду ю щ и х с о о б р а ­
жений.
П усть б > 0 . О бозначим
== 1 —

И2 = 1

тогда путь, состоящ ий из отрезков прямых от О д о t)j, 1, v-,, °о,
за исключением седловой точки, целиком лежит в долинах,
п о эт о м у направление линии наискорейщего спуска д о л ж н о бы ть
всегда слева направо через сед л ов ую точку.
Д л я бол ьш и х г
2!

ехр ( — ге'®)
=

=

(5)

cos0 >O,

(6 )

где д о л ж н о быть взято то значение z'^\ у к о т о р о г о вещественная
часть положительна.
Э то и есть первый член р а з л о ж е ­
ния Стирлинга. Заметим еще, что если
cos 9 > О, то усл овие R e z > — 1 всегда
выполняется, и в этом случае оно с т а ­
новится ненужным.
17.07.
И нтеграл Эйри. Рассмотрим
интеграл вида
1
(I)

по к а ж д о м у из трех путей, показан­
ных на рис. 61. Эти интегралы с х о ­
дятся экспоненциально при условии,
Ри с. 61.
что действительная часть Р стремится
к -Ь оо на концах путей интегрирования, которы е у д о б н о запи­
сать в в и д е - I - оо, с х ) е х р (^ /з я г ), о о е х р ( — ^ /з л /) . Имеем
dz^

f (г) - z f (z) =

2ni
2ni

etz-'ki^d i t z “ - f

= 0.

(2 )

поскольку в к а ж д о м случае exp (te — 7 з^^)
О на о б о и х преде­
лах. С ледовательно, все три интеграла являю тся решениями
дифференциального уравнения
- g - - 2 Z = o.

(3)

П оскол ь ку это уравнение втор ого порядка, он о м ож е т иметь
тол ьк о два линейно независимых решения, и, значит, м еж д у
интегралами сущ ествует линейное соотношение. Заметим, что
интеграл ( 1), взятый в полож ительном направлении по л ю б о м у
контуру, охватываюилему начало координат, равен нулю, так
как подынтегральная функция не имеет особенностей на к о ­
нечном расстоянии от точки 0. Следовательно, сум м а этих трех
интегралов, взятых по направлениям, указанны м на рисунке,
равна нулю.
Возьмем сначала путь L] и определим функцию Ai (z) р а­
венством
= Ш

(4)

Э та функция называется интегралом Эйри. Он первый изучил
од н у из форм т а к о г о интеграла в связи с задачей о дифракции
волн вблизи каустики. М о ж н о показать (ср. 1.123), что э т о т
интеграл останется сх одящ им ся, если z — действительное число,
а путь L[ заменен на мн им ую ось. Если полож ить t = is, функ­
ция Ai (г) представится в виде
А1(г) =

COS (S 2

2я

+ V3S®) ds,

(5)

что с точн остью д о постоянных множителей и есть та форма,
которой пользовался Эйри.
С другой стороны рассмотрим интегралы по полупрямым
о т О до оо, о о е х р у л г , сюехр

и обозн а ч и м их соответ-

-

ственно через / ; , / 2, / 2. Тогда
оо ехр

etz-'kt^dt = ^

ехр

ш

ехр

— -7гиЛс1и =

= ехр (| -я г ) / 1 ((^2 ехр -д лг
/з (г ) = е х р (^ -

2

(6)
/1

z e x p ^ — -|яг'

(7)

(8)

k \ {z) = l 2 ( г ) - / 3 (2 ).
Т оч н о так же
i

| - - Л И
и

+ ;з И ,

2яг

= - / 2 (2) + / 1 (2 ).

(9)

Все три решения выраж ены,
ную функцию /[ (z). Теперь
/ , (г)

-—

таким об р а з о м ,

f

2то

= —

. ^

~2ш

г=0

о

1

2я(

ЦгУ
dt =
г\

dv =

г!

.

через единствен­

о

=

1 oЧ-'з
- V sVV
2Я1 ^
2и
г=0

М

( 10)

П

С ледовательно,
. • / \

1

/' 2

( з 'М '" ( I

Л о -% " V

2 \ ,

2

.

o o . Это именно тот случай, когда са м ое лучшее — э т о
взять 'Ф2 = Х2С др угой стороны , рассмотрим уравнение, впервые п редл о­
женное Харди,
у"
+ Ш " ) у = ^.
(11)^
Точные решения его
оо

г/, = ехр/г6;

г/з = 2Ле'‘®

=
--5 :г = х р (-а д + 0 ( ^ ) ,

в-*
ЧТО

получается интегрированием по частям.
Если мы возьм ем 0 = (1пх)^, а
il32 = X2 = 0. то найдем,
л

Ah

а:

(\n xY

32А2

(In

л :) ^

(12)

что

^

Первые два члена приводят к функциям
r/i = ехр/г (1п х)2,
=

Ь /г(1 п х )2 ],

со в п а д а ю ш и м с первыми членами
точн ого решения.
в третьем члене п оявл яю тся сом нож и тел и вида
д.±(1пх-4)/32Л(1пд;)-'/.бЛ,

(14)
(15)
Но
(16)

которы е становятся неограниченно
больш ими в бесконечной
обл а ст и изменения х; это означает, что аппроксимация, д а ­
ваемая первыми тремя членами, не бу дет
равномерной.

Более

детальное

исследование

уравнения

(5)

показы вает,

оо

что

J

g (I, h) d l

р асходится

при г|)2 = Хг- Н о если мы возьм ем

hl'l‘ = hQ' + - ^ .
что соответствует

(17)

Q"2
=

(18)

т о интеграл сх оди тся а б с о л ю т н о и равномерно, и аппроксимация
не содер ж ит нежелательных сомнож ителей, которы е появляются
в третьем члене (13).
Аппроксимации
эт ого
типа им еют с в о ю длинную историю.
К п р о и звол ь н ом у
виду
Хо их, вероятно, впервые применил
Грин [8 ,9 ] . П ользуясь аналогичными построениями, он п ока ­
зал, что энергия приливных волн в канале с медленно меняю­
щимся сечением переносится без потерь за счет отраж ения.
Мы будем называть такие приближения приближениями грин ов ск о го типа. Одновременно аппроксимации для отрицатель­
ных
были получены Лиувиллем [10], который и устан овил
для них границы применимости. П ереход от задач физической
оптики, описываемых дифференциальными уравнениями в ча­
стных производны х второго порядка в трехмерном простран­
стве, к задачам геометрической оптики, где используется у р а в ­
нение в частных производны х лишь первого порядка, по с у щ е ­
ству включает в себя т от ж е метод. Специальные применения
м етода к функциям Бесселя были даны еще раньше К арл и­
ки [2] в 1817 г. И м еются т а к ж е многочисленные применения
к вол н овэй механике, главное из к оторы х состоит в д о к а з а ­
тельстве того, что классическая механика — предельный случай
квантойой механики при переходе к больш им энергиям. В изло­
ж енной выше форме метод принадлежит Д ж еф ф р и су [11, 12].
17.131.
Если функция Хо имеет з рассматриваемой области
нуль, то I', определенная при пом ощ и 17.13(4), стремится
к кулю, когда Л - ^ о о , так что аппроксимация перестает бы ть
верной. В случае простого нуля м ож н о вы брать | так, чтобы
дифференциальное уравнение приближенно свелось к уравнению
^

= h%z,

(1)

решениями к от о р ог о являются 2 , = Bi (/г'/=|),
=■ Ai (/г”'>|). Д о ­
пустим, что X = Хо + X i//i -Н-фг/Л^ обр ащ а ется в нуль в точке
л: = — а (где а — величина порядка l/h), и возьмем Х о ( 0 ) > 0 .

М ы м ож ем полож ить
Л

- к

| Г '- -

(2>

+

и э т о п реобр азовани е в точке | = 0 бу дет неособенным. Тогда
дифференциальное уравнение принимает вид
d^z
у -

= g (I, Л) 2,

(3>

и решения м о ж н о получить из интегральных уравнений так
ж е, как и в простейшем случае 17.13, причем п осл едова тел ь­
ные приближения б у д у т у б ы в а т ь столь ж е бы стр о, как члены
геометрической прогрессии со знаменателем 1/Л. Н а о бл а ст ь Е
н е о б х о д и м о н ал ож ить некоторые ограничения. Н аи бол ее у п о ­
требительные сос т оя т в т ом , что об л а ст ь Е дол ж н а с о д е р ж а т ь
отрезок действительной оси от О д о В и отрезки прямых о т
0 до
и от О до
л ю б у ю т оч к у |, не л е ж а щ у ю
на этих линиях, м о ж н о соединить с точкой |о. принадлежащей
о д н о м у из отрезков,

дугой

cos

9 = const, где t = ре‘®; путь

интегрирования сост ои т из у ч а стков этих трех линий и одной
из дуг; на л ю б о м пути от О д о В, о т О д о go и о т
До I
интеграл

Г

(/, Л)||

равномерно ограничен *).

К огда величина |
1д ост а т о ч н о велика, мы м ож ем исполь­
зоват ь первые члены асимптотических разлож ений функций
Ai и Bi с о ш и бк ам и порядка
М ы пользуемся функциями Ai и Bi для того, ч тоб ы св я ­
зать решения вида 17.13, справедливые по обеи м стор онам о т
1 = 0. Имеем
y=
=
(4>
Д л я | > 0 п олож и м
X
j h%'/^ d x ^ ^
тогда о б а решения б у д у т вида
у, =

Bi ( h 4 ) [ 1 + 0 (1/Л)] = х - '/< е х р М [1 -Н О (1/Л)],

у, = / л

Ai { h \ ) [ 1 + О ( 1/Л)] = у

(5)

exp ( - М) [ 1 + О ( 1/Л)].
(6)

*) О б

эти х усл ови ях и тех, к оторы е налагались на Е в 17.13, см. [13].

Если | < 0 , то п олож им

Т ог д а

г/2 = I X 1

cos|^L + - ^ n + 0 ( 1 / / г )

(7)

sin fL + | n ] + 0 ( l M )

(8)

где X м ож ет быть заменено на %о с ош ибк ой порядка Ijh.
При использовании (5) — (8), как на это обр ати л внимание
Лангер [14, 15], н ео бх од и м о со б л ю д а т ь известную о с т о р о ж ­
ность, чтобы устан овить соответствие м е ж д у решениями по
о б е стороны о т нуля функции Хо- Если Л и В постоянны, то
о бщ ее решение Аух + В у 2 имеет асимптотические разложения
вида
А г - " " ехр М [ 1 + О ( 1М)] + 4
cos

L + ^ я

exp ( - М) [ 1 + О (1//г)],

+ 0 (1 //г ) +
+ В\х\-'^' sin

Если
следует,

(9)

L +

+ 0 ( 1 / / г ) .(10)

для ^ > 0 решение экспоненциально мало, то от сю д а
что А = 0 и, значит, решение д о л ж н о быть с т о ч н о ­

стью до 0 { \ l h ) равно ~ Вх~'1*ехр{— М )

и В|х 1“ '^’ sin

- f n j

на с о о т в етс тв у ю щ и х ст ор он а х от ^ = 0. О дн ак о если неизве­
стн о, равно ли А нулю, а м ож н о лишь предположить, что А
имеет порядок Bjh, то это не о ка ж ет влияния на справедли­
вость асимптотического разлож ения на осциллирующ ей с т о ­
роне ( | < 0 ) ; но для больш и х М член с А будет намного пре­
восходи ть член с В на экспоненциальной стороне ( ^ > 0 ) , и
асимптотическое разлож ение перестает сущ ествовать.
П од обн ы м о бр а з ом , если на осциллирующ ей стороне асимпI \
(L +
то на экспо­
ненциальной оно д о л ж н о быть равно х~'^’ е х р М ; об р атн ое
у тверж дение отсю да не следует. М о ж н о избеж ать этих не­
приятностей при использовании ф ормул (9) и (10), если все
время о б р а щ а т ь внимание на члены, оп редел яю щ ие ош и бк у
приближения [16].
И дею пересечения нуля х впервые выдвинул Релей [17] и
развил затем Ганс [18]. П о з ж е это было вновь о ткры то м н о­

гими а втора м и . Лангер ука за л на то, что если % имеет д ва
нуля, т о уравнение м о ж е т быть преобр а зова но к виду
d'^ij

= ±[A4^2-l) + g(^,

h)]y.

Э то уравнение имеет асимптотические решения, исследованные
в 23.08, которы е м огу т быть использованы так же, как реше­
ния уравнения у " ^ h%y, в случае од н ого нуля.
17.132.
Для иллюстрации эт ого метода рассмотрим уравне­
ние Бесселя вы сокого порядка
dy
dx .

dx

+

{х^ — п^) у = 0

(1)

и п олож им
X = пе~^

(2)

Тогда
(3>
Осци лл и рую щ ая сторона располож ена при х > п или при 2 < 0 .
Для х < п
М = п I (1 - е-'^^уЫг = и (0 - th 0),
6

(4)

л: = п 5с Ь 0 .

(5)

-

(6)

где
Для х > п

X,

L = n\
где x = n s e c u .
х>п

Следовательно,

2 t g “ '/2 H|sin

а для х < п

1)'/^

= rt (tg ы — и).
имеется

n { t g и — и) +

решение,

равное

для

+ 0 (1 /п )| ,

равное

t h - ‘/ ^ 0 e x p [ - t t ( 0 - t h 0 ) ] [ l + 0 ( l / n ) ] =
= л : " ( - ^ ^ ^ ) “ ‘''[ п + ( « 2 - х 7 '^ ] - « е х р ( г а 2 _ л ;2 у /.[ 1 + 0 ( I / n ) ] .

(7)

К огда л: мало, это приблизительно равно
{2п)-'^е\

(8)

С другой стороны , первый член разложения в ряд /„(л:) равен
1 /1
— 1-^-'^) > и ^сли мы возьмем для ф актор иал а п! приближ е­
ние по формуле Стирлинга, то получим, что наше решение
есть не что иное, как представление (2яп)'^"
(.v).

Д р у г о е решение, справедливое для х > п ,
2 t g -'/a « | c o s

n {ig u -u ) + ^ n

равно

+ 0 (1 /л )| ,

а для х < п
2 th -'Л 0 ехр [tt(0 - th 0)] [1 + О (1/п)] =
= 2 ;с - «

[п + (г? - х^У'^Т ехр [ - (п^ -

[1 + 0 (1/«)],

(9)
что является представлением вт о р ог о решения уравнения Бес­
селя, к от о р ое обозначается — (2nri)'^ Yп {х) ( 2 1 .0 2 ).
Ош ибки этих приближений порядка 1/л. Эти приближения
им еют одн о бол ь ш ое п реимущ ество по сравнению с рядами по
у б ы в а ю щ и м степеням, состоящ ее в том, что их м ож н о исполь­
зовать для вы бор а п одходящ и х постоянных, таких, что решение
б у д е т представлять ту ж е функцию, что и ряд по возра ста ю щ им
степеням х (значения вблизи нуля функции хо вычисляются,
если н еобходи м о, путем прям ого применения интеграла Эйри).
С о отв етст в у ю щ а я модификация для рядов с уб ы в а ю щ и м и сте­
пенями обы чно требует привлечения косвенных методов, связан­
ных с представлением в виде комплексного интеграла, если
т а к ое представление сущ ествует. Если ж е так ого представления
нет, то следует свести задачу к численному сравнению в неко­
торой области, где как сходящ иеся, так и асимптотические ряды
м огу т быть вычислены непосредственно.
Применения эт ого метода к функциям М атье были даны
Д ж еф ф р и сом [19], а к определению коэффициента прохождения
через потенциальный барьер в вол н овой механике Б. Д ж е ф ­
фрис [20]. Д ру гой метод для исследования этих задач м ож ет
б ы т ь основан на решении дифференциальных уравнений, п олу­
ченных в 23.08а.
О боб щ ен и е на случай, когда % имеет нуль порядка выше
первого, бы ло получено Гольдш тейном [21].
М етод, основанный на п одходящ ей замене независимой пере­
менной в нелинейных обы кн овен ны х дифференциальных уравне­
ниях и уравнениях в частных производных, был предложен
Л а й тхил л ом [22].
ПРИМЕРЫ
1. Д ок а за ть, что при п = х — h { 0 < h < l , х > 0 )

“

,

Г/
О

,.\-x+h

и показать применение та к ого разлож ения для улучш ения аппроксимации
н еполн ого ф акториала, дан ное в виде а си м п тоти ч еск ого разлож ения в 17.01.
(Бикли и М иллер)
2. Реш ение уравнения
у " + 256г/е‘’ ^ - О
обра щ а ется в О при х = 0 . О пределить приближ енно, гд е н а х од я тся д р уги е
нули. П олож и в дополн ительн о г/' = 1 при л: = О, найти п ол ож ен и е и величину
п е р в ого максимума.
(I. С., 1936.)3. П оказать, как получить приближ енное реш ение уравнения

dx^

=0,

X*

(1>

гд е X — функция о т х , такая, что X " мало по сравнению с \/Х^.
о т сю д а то ч н о е реш ение для случая X " = 0.
Сравнить э т о реш ение с реш ением уравнения

П вл уч и тк

(2>

dx^ ^ X*

(I. С., 1937.)
4.

П оказать, что реш ение уравнения
d
dx

+ {п^ — х ‘ ) у = 0

для больш их п, обра щ а ю щ ееся в О при л:- > оо, кратно функции, а си м п тоти '
ч е ск о е представлен и е к о т о р о й им еет вид
( х^

\ - ’/j
exp

1

\

п a rcsec —
nj

/

-V .
1п

'('-Й

гд е cos ф = xjn .
5. П оказать, ч то реш ение уравнения

dx
для больш их п приближ енно п редставля ется в виде

\-'U,
гд е
V

6

.

= a rctg

Д ок а за ть, что если л г > 0 и велико, то

*
A i (д:) dx

1

:=■ X

2 /я

-V .

е

,

{ х > п).

а если дг= — I и

^ > 0

велико, то

Ai ( x ) d x
У
о
7.

—
3

^
Vn

cos ( —
\3

+ — л) .
4
/

Д ок азать, что
A i ( 2 ) ВГ ( г ) - А Г (г) Bi (г) = — ,

л

причем п остоян н ая
—

2 > 0
8.

сохр а н я ется

для

случаев

2

м алого,

2

б ол ь ш ого, или

и бо л ь ш о го .
П оказать, что, если

я > |arg г |> б > О, ф орм ула Стирлинга сп р ав ед­

л и ва и для ( — 2 )! (И сп ол ьзова ть равенство

2

! ( — г )! = Л2 co s e c Я2 .)

ЛИТЕРАТУРА
1. W a ts o n G. N., Р го с. L on d. Math. S oc. (2), 17, 133 (1918).
2. W a ts o n G. N „ T h eory of B essel F u nction s, 1922. (Р усск и й п еревод:
Ватсон Д., Теория бессел евы х функций, И Л , М ., 1949.)
3. Aireij J. R., P h il. M ag. (7), 24, 5 2 1 - 5 5 2 (1937).
4. S t o n e l e y R „ P roc.
Cambr. P h il.
Soc., 31, 3 6 0 - 3 6 7 (1935).
5. I n c e E. L., O rdinary D ifferen tia l E quations, 1927, p. 169— 171. (Р усск и й
перевод; Айне Э. Л., О бы кновенны е дифференциальные уравнения, Г Н Т И
Украины, Х арьков, 1939.)
6 . Milne W. Е„ Trans. Am er. Math. Soc., 31, 907 — 918 (1929).
7. Titchmarsh E. C., J. Lond. Math. S oc., 19, 6 6 — 6 8 (1945).
8.
Green G., Cam br. P h il. Trans., 6 , 4 5 7 —462 (1937); Papers, p. 225.
9. Lamb G., H yd rod yn a m ics, 1932, p. 274. (Р усск и й перевод: Л ам б Г.,
Г идродинамика, М . —Л., Г остехи зд а т, 1947.)
10. Liouville ]., J. Math., 2, 2 2 - 2 5 (1837).
И . J eUreys Н „ Р гос. L on d. Math. S oc. (2), 23, 4 2 8 - 4 3 5 (1924).
12. J effrey s Н „ P h il. M ag. (7), 33, 4 5 1 -4 5 6 (1942)
13. J effrey s H „ P roc. Cambr. P h il, Soc., 49, 6 0 1 —611 (1953).
14. L a n g e r R. E., B u ll. A m er. Math. S oc.. 5 4 5 - 5 8 2 (1934).
15. L a n g e r R. E „ Trans. A m er. Math. Soc., 67, 4 6 1 - 4 9 0 (1949).
16. J effrey s H., P roc. Cambr. P h il. S oc., 52, 6 1 —66 (1956).
17. Raylei gh, P roc. R oy. S oc., A 8 6 , 2 0 7 - 2 2 6 (1912).
18. Gan s R „ A n n. d. P h ys., 47, 7 0 9 - 7 3 6 (1915).
19. J effrey s H., P roc. Lond. Math. S oc. (2), 23, 4 3 7 - 4 7 6 (1924).
20. J effrey s B „ P roc. Cambr. P h il. S oc., 38, 4 0 1 -4 0 5 (1942); 52, 2 7 3 - 2 7 9 (1956).
21. G oldstein S., P roc. L on d. Math. S oc. (2), 28, 8 1 —90 (1928).
2 2 . Lihgthill M. J., P h il. M ag. (7), 40, 1 1 7 9 -1 2 0 1 (1949).

УРАВНЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА,
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
И УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОП РОВОДН ОСТИ

Р азделяй и властвуй.
Людовик XI

18.01.
Гравитационный потенциал в с в обод н ом пространстне
уд о в л е т в о р я е т уравнению Л ап ласа

С)
Э т о м у ж е уравнению уд о в л е т в о р я ю т электрический и магнит­
ный потенциалы в стаци онарном поле и потенциал поля
ск оростей несж им аем ой ж идкости. В одн ородн ой сж и м аем ой
ж и д к ости потенциал ск оростей уд ов л е т вор я ет уравнению
а/2

(2)

(с — ск орость звука) в предположении, что ск о р ость ж идкости
мала. Упругие волны в о д н ор о д н ом твер дом теле так ж е у д о ­
в л етвор яю т уравнениям вида (2) для скалярного и векторного
потенциалов. Эти уравнения д а ю т соответственно продольные
и поперечные волны, распространяю щ иеся с д в у м я различными
значениями скорости с. Уравнение (2) описывает т а к ж е р ас­
пространение электромагнитных волн, при этом с — ск орость
света. В одн ородн ой покоящейся среде распределение темпера­
туры удовлетворяет уравнению

где hr — коэффициент температуропроводн ости, определяемый
как частное от деления коэффициента теплопроводн ости на
теплоемкость единицы о бъ ем а. Уравнение вида (3) описы вает
процесс ди ф ф узи и, если в качестве ф взять концентрацию д и ф ­
ф унди рую щ его вещества.
Очевидно, что в стационарном случае о б а уравнения (2)
и (3) переходят в уравнение Л ап ласа. Уравнения колебаний
воды в озере или в канале постоянной глубины, уравнение
колебаний мембраны являются вол н овы ми уравнениями, в к о ­
т ор ы х от су тств ует член

Эти три уравнения (1) — (3) так ш ир око применяются, что
их часто н азы ваю т «дифференциальными уравнениями физики».
Они не с од ер ж а т вол н ов ог о уравнения к ва н товой механики,,
но д а ж е для исследования э т о г о более сл о ж н о го уравнения
н еобх од и м о прежде всего изучить уравнения (1) — (3).
В о з м о ж н о с т ь решения этих уравнений связана главным
о б р а з о м с тем, что во многих си стем ах коор дин ат у них раз­
деляются переменные. Э т о означает, что решение представляется
в виде произведения, причем ка ж ды й множитель является ф унк­
цией т ол ь к о одн ой координаты или /. М ы попытаемся вы брать
т а к у ю систему координ ат, в к о т о р о й одна переменная прини­
мала бы постоянные значения на поверхности, где функция ф
д о л ж н а удовлетворять заданны м граничным условиям . Беря,
например, волновое уравнение в прямоугольны х координатах^
будем искать решение в виде
tf = X Y Z T ,

(4)

где X — функция то л ь к о от д: и т. д. П од ст а в и м это значе­
ние ф в уравнение (2) и разделим на X Y Z T . Тогда получим
\ d^X .
X

\ d^Y .
Y d if

\ d^Z
Z dz^

_

\
сЧ

d^T
dt^ •

К а ж д ы й член э т о го уравнения является функцией тол ьк о одн ой
независимой переменной. П о ск о л ь к у уравнение справедливо
для всех значений х, у, z, t, т о ка ж ды й член его дол ж ен быть
постоянен, а, значит, всякое выражение вида
A e x p [ i { l x + т у + n z — yt)],

(6)

где А, I, т, п, у — постоянные и
Р +

+

(7)

лвляется решением; решением бу де т так ж е л ю ба я сум м а та к и х
[зыражений. Экспоненту с мнимым аргументом м о ж н о , конечно,
заменить косин усом и синусом. И з теоремы Фурье мы знаем^
что в ограниченной обл а сти значения ф и d(p/dt при t = О м о г у т
быть представлены в виде рядов произведений синусов и коси­
нусов о т 1х, ту, nz\ следовательно, мы получим полное реше­
ние, если ум н о ж и м каж ды й член ряда на соот в етств у ю щ и й
множитель о т yt. В качестве примера рассмотрим прямоугольнук>
мембрану, углы кот о р ой закреплены в т оч к а х (О, 0), (а, 0),
(О, Ь), (а, Ь). П о ск о л ь к у края мембраны при э т о м фиквируются,
решение д о л ж н о о бр а щ а ть ся в О при л: = 0 или а, у = 0 или й.

Цри

ЭТОМ в решении допустим ы члены, содер ж ащ и е sin

X

X s i n - ^ ^ ^ , где I и т — целые числа; косинусы не о б р а щ а ю т с я
' в О на краях. В этом случае решение б у д е т иметь вид
оо

ф= ^

оо

^

s i n - ^ s i n - ^ H , , „ c o s Y ^ + B/,mSinY 0 ) представлена в виде
медленно сходящ егося ряда Фурье. Тогда со от в етств ую щ и е члены
ряда в момент времени О б у д у т у б ы в а т ь как ехр ( — /г^rt^л;Ч/a^),
т. е. быстрее л ю б о й геометрической прогрессии. Таким о бр а з о м ,
если ряд Фурье для функции ф в момент f = 0 не удо в л етво­
ряет э т о м у усл ов и ю для т > 0 , то распределение ф не м ож ет быть
пелучено из н екоторого предш ествующ его распределения бл а ­
годаря лишь процессу теплопроводности без каких-либо внешних
возмущ ений.
18.013.
О бщ ее реш ение У и ттекера, В опрос о том , является ли
решение уравнения в частных п рои зводн ы х наиболее общ и м ,
не сводится к подсчету числа произвольны х постоянных, как
э т о имеет место в случае обы кновенны х дифференциальных
уравнений.
М ы ограничимся лишь указанием типов об щ и х решений,
полученных Уиттекером. О б щ е е решение уравнения Л апласа
имеет вид
Я

Ф=

f {z + ix cos V -Ь iy sin и, и) du,
—Я

где f ( t , « ) — произвольная
уравнения имеет вид
Л

функция. О бщ е е решение вол н ов о г о

Я

Ф=

f (л: sin м cos о - f г/ sin « sin о -Ь 2 cos и + ct, и, и) du dv.
-i

-я

Эти решения м огут быть п реобр а зова ны к д р у г о м у виду больш им
числом различных сп о со б о в . И х многочисленные применения
даны в книге Уиттекера и Ватсона [3].
18.02.
К риволинейны е коор ди н аты . Для др угих форм гра­
ницы решение вида 18.01 (4) применимо в редких случаях,
тогд а как о бщ ее решение Уиттекера м ож ет быть использовано
после соот в етс тв у ю щ ег о п реобразования координ ат. С другой
стор он ы , представляя функцию ф в виде
Ф = / ( х , г/, г ) Г ,

(1)

мы получим
I

(о

_ L i!Z :
сЧ

dfi ’

T

dt )

(2)

В зависимости от того, рассматриваем ли мы уравнение Л апласа,
вол н овое уравнение или уравнение теплопроводности. О б е части
равенства (2) д о л ж н ы бы ть постоянными, и уравнение приво­
дится к виду
V 2 /= -x 2 f.
(3)
Э то уравнение д о л ж н о быть решено для заданных граничных
условий. Заметим теперь, что в ол н овое уравнение для непре­
рывной среды м о ж н о рассматри вать как предельный случай
уравнений движения системы близких д р у г к д р у г у частиц,
о б р а з у ю щ и х устойч ивую решетку. П о э т о м у , полагая Т =
мы заключаем, что все в о з м ож н ы е значения
для нормальных
колебаний являются действительными отрицательными чнслами.
При тех ж е граничных значениях функции f { x , у, z) все
значения у ДЛя с в о б о д н о г о потока тепла б у д у т действительны
и отрицательны. Определение решения при данных начальных
у сл овиях сводится, таким о б р а з о м , к представлению общ ей
функции f через собственные функции уравнения (3). Временной
ф актор во всех случаях м ож ет быть выделен в виде мнолс^ = 0 для задач теории потенциала. В связи с этим вре­
менной фактор не бу дет явно выписываться, п оскольку он м о ж е т
бы ть введен в конце вычисления.
Уравнение (3) доп уска ет разделение переменных для несколь­
ких систем координ ат, отличных о т д ек а р т овы х . В общ ем случае
ортогональны х криволинейных коор ди н ат g,,
1з элементы
длины dsi, ds 2 , d s 3 , соот в етс тв у ю щ и е малым приращениям d h ,
d%2 , dl3, равны h i d h , h^dl^, h d l ^ .
Согласно лемме Грина,
S^^dx--

dS.

(4)

Применим это соотнош ение для м алого объем а, ограниченного
поверхностями
= ?20 ±
Н а поверхности, где

постоянно, выполняется соотнош ение
(5ф _

здесь /г — направление
поверхности

равен

элементу равен

^3 = 1з0 ± 4" ^Ез*

Зф

возрастания

t u h id lid l^ .

,

(5)
|i. Элемент площ ади этой

О т сю д а

по

такому

f ГГ
4 ^ d ^2 dl^. Д в е поверхности, заданные
J J J п\

уравнениями |1 = ^ ю ± у б ^ 1, д а д у т в э т о т интеграл вклад

п оскольку для поверхности с больш им значением
внешняя
нормаль направлена в ст ор о н у возрастания |i, тогда как для
меньшего значения
она направлена в ст ор он у убывания
Интеграл в правой части равенства (4) является суммой таких
выражений для трех пар п роти в опол ож н ы х граней. Элемент
объ ем а равен /г1/г2Лз
+ о №i
П оэтом у
и V72
д ( Л2Л3 ^31. ^12 равны нашим удвоенным.
18.03. Цилиндрические к оор ди н аты . Пусть
w^ = x^ + / , % = arctg {yjx).
In й -h i% = In (л: + iy).

(1)
(2)

П олож им
I i = l n w , |г = ^. x + iy = e^'+^^\

= |х + гг/Р =

(3)

Тогда
А