ОГЭ 2023. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов [И. В. Ященко] (pdf) читать онлайн

Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!


 [Настройки текста]  [Cбросить фильтры]

ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН

МАТЕМАТИКА
ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ
П ОД Р Е Д А К Ц И Е Й

И.В. ЯЩЕНКО

ВАРИАНТОВ

НАЦИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАНИЕ

Онлайн
поддержка

ПРОЕКТ С УЧАСТИЕМ РАЗРАБОТЧИКОВ КИМ ОГЗ

ПРОЕКТ
С УЧАСТИЕМ
РАЗРАБОТЧИКОВ

КИМ ОГЭ

1огэ
1

■ k.. 1<
1 Т#,.
под редакцией И-П. ЦЫБУЛЬКО

■ РУССКИЙ я з ы к
УЧЕБНАЯ КНИГА УЧАСТНИКА ОГЭ

щ

Всетепы
задании ЕГЭ

? г о оjtZ
о'

ш

л

задании

Анализ
ошибок

О

П оиит 1
инструкции

поя редакцией Э. М. АМБАРЦУМОВОЙ

ИСТОРИЯ
УЧЕБНАЯ КНИГА УЧАСТНИКА ОГЭ

Критерии
оценивания

БОЛЕЕ

Теория
в таблицах

под редакцией И. А. АРТАСОВА

-щитщ

О. А КОТОВА

Онлайн
поддержка

Т. Е. ЛИСКОВА

ГЕ О ГР А Ф И Я

0БЩЕСТВ03НАНИЕ

УЧЕБНАЯ КНИГА УЧАСТНИКА ОГЭ

УЧЕБНАЯ КНИГА УЧАСТНИКА ОГЭ

ПОДредакцией М. Ю. ДЕМИДОВОЙ

Ф ИЗИКА
УЧЕБНАЯ КНИГА УЧАСТНИКА ОГЭ

ОГЭ. ОТЛИЧНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ. УЧЕБНАЯ КНИГА
Необходимая теория, представленная в табличной форме • Пошаговые инструкции
по выполнению каж дого типа заданий • Примеры выполнения заданий
с комментариями и ответами • Тренировочные материалы к каждому типу заданий
Критерии оценивания и ответы ко всем заданиям • Встроенный бланк ответа
Дополнительные тренировочные материалы по темам на онлайн-ресурсе oge.plus

РАЗВИВАЙ
НАВЫКИ

АКТИВИЗИРУЙ
ЗНАНИЯ

И З Д А Т Е Л Ь С Т В О

НАЦИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАНИЕ
www.nobr.ru

Онлайнподдержка

н/ко

Учебно-методическое сопровождение
АНО ДПО «Национальный
институт качества образования»

niko. institute

П О СО БИЕ ПРОШ ЛО
Н АУЧНО-М ЕТОДИЧЕСКУЮ
ОЦЕНКУ (СГБНУ

ПРОЕКТ С УЧАСТИЕМ РАЗРАБОТЧИКОВ КИМ ОГЭ

ФИЛИ
ШКОЛЕ

со

см
см
ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН

МАТЕМАТИКА
Т И П О В Ы Е Э К З А М Е Н А Ц И О Н Н Ы Е В АРИ АН Т Ы
ПОД РЕДАКЦИЕЙ И. В. ЯЩЕНКО

НАЦИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАНИЕ
Москва
2023

УДК 373.167.1 51
ББК 22.1я721
0-39
Пособие прошло научно-методическую оцеику ФГБНУ 0

3) х - у > 0

4) х гу < 0

|

Найдите значение выражения

(а6)8- а " __ „

— ^ 2—

НРИ в = ««

Ответ:_____________________
g

| Найдите корень уравнения 3(2-дс)+2* =3 * -4 .
Ответ:__________________

.

I Люба, Олег, Георгий, Аня и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите
------ ' вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.
Ответ:________________________ .
О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копнровавне, распространение и иопольоованне в коммерческих целях беа письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

22

г а

На рисунках изображены графики функций вида у = ах2 + Ьх + с. Установите
соответствие между знаками коэффициентов а и с и графиками функций.
КОЭФФИЦИЕНТЫ

А) а < 0, с > О

Б) а > 0, с > О

В) а > 0, с < О

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Б

А

В

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта,
пользуются формулой tF = l,8 tc + 32, где tc — температура в градусах Цельсия,
tF — температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале
Фаренгейта соответствует -3 5 градусов по шкале Цельсия?
Ответ: ________________________ .

□*

При каких значениях а выражение 7а + 3 принимает только отрицательные
значения?
3
1) а > - —
Ответ: |

3
2) а < —

7
3) а > —

7
4) а< —

|

I 14~"1 В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть
4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который
могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных
столика вдоль одной линии. В этом случае получился
стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько
человек может сесть за стол, который получится,
если сдвинуть 18 квадратных столиков вдоль одной
линии?

ООО

ООО

ООО

Ответ:
О 2028. ООО «И дотелмтво «Ндцнс
Копаромвже, распространен» н использование в коммерческих целях без

. О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
ьменного разрешения правообладателей не допускается

23

ВАРИАНТ 3

В

— I В остроугольном треугольнике А ВС проведена высота В Н ,
------ 1 ZB AC = 39°. Найдите угол А В И . Ответ дайте в градусах.
Ответ: ____

__ .
А

16

П \
Я С

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию,
равен 22. Найдите высоту этой трапеции.
Ответ: _________________________.

I Площадь параллелограмма равна 60, а две его стороны равны
—— ' 4 и 20. Найдите его высоты. В ответе укажите большую
высоту.

Ответ: _________________________.

I На клетчатой бумаге с размером клетки
------1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

1x1

Ответ:________________________

19 I Какое из следующих утверждений верно?
------ ' 1) Тангенс любого острого угла меньше единицы.
2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
3) Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена
от концов этого отрезка.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ:______________________ __•

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.
О 2028. ООО «Иадательотао «Национальное образование». О 2023. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Идяшрлаиш»», распространение я нополъеованне в коммерческих целях бее письменного разрешения правообладателей не допускается

24

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ М> 2. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите
чётко и разборчиво.
____,
2 р~| Сократите дробь

80й
^п_2 .

Свежие фрукты содержат 79% воды, а высушенные — 16% . Сколько требуется
свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
jc- 2,5
при х< 2,
-дс + 1,5 при 2 0 , & 1.

1

)

////////////////////////////4 -------------------------------- ►
-3
*

^ / // // // // // // // // // // // // /^

2)

Ответ:

-2 ,7

*

3)

4 )

-3

-2 ,7

// / / / / / / / ц ------------------------------------------------------------------^

-3

*

///////с

-2 ,7

*



1 На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 нарисована
------ 1 «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую
из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки.
На рисунке изображён случай, когда последнее звено
имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной
аналогичным образом, последнее звено которой имеет
длину 170.
О тв ет:______ ___________________ •
В

] На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D так,
—5—1 что AD = 2, DC - 7. Площадь треугольника АВС равна 27.
Найдите площадь треугольника BCD.
О тв ет:________________________ •

A

D

—Т—I Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность,

— —I равен 78°. Найдите угол С этого четырёхугольника. Ответ
дайте в градусах.
О тв ет:_________________________.

~ z —I Сторона ромба равна 12, а расстояние от точки
— —■ пересечения диагоналей ромба до неё равно 2. Найдите
площадь этого ромба.
О тв ет:_________________________•
О 2023. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей пе допускается

С

50

ОГЭ ТИПОВЫ Е ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображён
треугольник АВС. Найдите длину его средней линии,
параллельной стороне АС.
Ответ: _______________________ .

Какое из следующих утверждений верно?
1) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
2) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно
радиусу.
3) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ: ________________________ .
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

ЧАСТЬ 2
П ри выполнении заданий 2 0 -2 5 используйте БЛАН К ОТВЕТОВ Л? 2. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите
чётко и разборчиво.

20

~2 i

Решите неравенство

14
х2 + 2 х -15

>0.

I Смешали 7 литров 25-процентного раствора вещества с 8 литрами 10-процентного
раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация
получившегося раствора?

оо I Постройте график функции у = - 1 — %—— .
— —I
х г -4 х
Определите, при каких значениях т прямая у - т
точек.

23

не имеет с графиком общих

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон
равно 10, а одна из диагоналей ромба равна 40. Найдите углы ромба.

О 2023. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДНО «МЦНМО».
Копирование, распространение и нспольаованне в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

51

ВАРИАНТ 8

2 4
I Внутри параллелограмма ABCD ныбрали произвольную точку К. Докажите, что
------I сумма площадей треугольников АВК и CDK равна половине площади
параллелограмма.


1 В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность
— —I проходит через точки С и D и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние
от точки Е до прямой CD, если A D - 12, ВС = 10.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответ­
ствующего задания.

О 2023. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».

Копирование, распространение н использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 9
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1-19 являются число или последовательность цифр,
которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ Ж 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
является последовательность цифр, то запишите её без пробелов,_запятых
и других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1 5.
Общепринятые форматы листов
бумаги обозначают буквой А и цифрой:
АО, A l, А2 и так далее. Площадь
листа формата АО равна 1 кв. м. Если
лист формата АО разрезать пополам
параллельно
меньшей
стороне,
получаются два листа формата А1.
Если так же лист А1 разрезать
пополем ,
получаются два листа
формата А2 и так далее.
Отношение длины листа к его
ширине
у
всех
форматов,
обозначенных буквой А, должно быть
одно и то же, то есть листы должны
быть подобны друг другу. Это сделано специально, чтобы можно было сохранить
пропорции текста на листе при изменении формата бумаги (размер шрифта при
этом тоже соответственно изменится). На практике размеры листа округляются
до целого числа миллиметров.
В таблице 1 даны размеры листов бумаги четырёх форматов: от АЗ до А6.

Таблица 1
Ширина (мм)
105
210
297
148

Порядковые номера
1
2
3
4

Длина (мм)
148
297
420
210

Для листов бумаги форматов АЗ, А4, А5 и А6 определите, какими порядковыми
номерами обозначены их размеры в таблице 1. Заполните таблицу ниже, в бланк
ответов перенесите последовательность четырёх цифр.
Форматы бумаги
Порядковые номера

АЗ

А4

А5

А6

О 2023. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
~ _ _ . t r . а - чсподьаовалив в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

53

ВАРИАНТ 9

\JJ

Сколько листов бумаги формата А5 получится при разрезании одного листа бумаги
формата АО?
Ответ:
Найдите длину большей
в миллиметрах.

стороны листа бумаги формата А2.

Ответ дайте

Ответ:
Найдите площадь листа бумаги формата АЗ. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: _______________________ .
Бумагу формата А5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если
масса бумаги площадью 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.
О твет:_______________________ •

Найдите значение выражения -0 ,3 ( - 1 0 ) 4+ 4 (- 1 0 )2- 5 9 .
О твет:_______________________ •
4
Одно из чисел — ;

8

9 13

— ; — отмечено на прямой точкой.
ч ------ 1------ 1------ 1------ 1-

0 ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Какое это число?

«5

_8 ^

2)

11

В ответ запишите номер выбранного варианта.
Ответ: □

I Найдите значение выражения

(3-8)7



Ответ:
Решите уравнение 5х2 - 8х = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
Ответ: _____________________ _•
О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2023. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение н использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

54

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

В каждой двадцатой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы
распределены по банкам случайно. Аля покупает банку кофе в надежде выиграть
приз. Найдите вероятность того, что Аля ие найдёт приз в своей банке.
Ответ: _______________________.

Установите соответствие между формулами, которыми заданы функции, и их
графиками.
ФОРМУЛЫ
А ) у = - х 2- 5 х - 2

Б) У= ~^~
Зх

В) у = - —х - 4
6

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б

В

12 I Площадь треугольника можно вычислить по формуле S =
где а, b и с —
----4R
стороны треугольника, a R — радиус окружности, описанной около этого
треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите Ъ, если а = 13, с = 15, S = 84

Ответ:

13 | Укажите неравенство, которое не имеет решений.
1) х2 + 78 > 0
Ответ: |

2) X2 + 78 < 0

3) х2 - 78 > 0

4) х2 - 78 < О

|

с 2028. ООО «Издательство «Национальное обрааованяе». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение я использование в коммерческих целях Оеа письменного разрешения правообладателей не допускается

55

ВАРИАНТ 9

Известно, что на высоте 2205 м над уровнем моря атмосферное давление составляет
550 мм рт. ст. Считая, что при подъёме на каждые 10,5 м давление уменьшается
примерно на 1 мм рт. ст., определите атмосферное давление на высоте 2520 м над
уровнем моря.
Ответ:

_______________________ .

1 На гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС
------ * опущена высота СЯ, АН = 7, ВН = 28. Найдите СН.

С

Ответ: _________________________.
А

16

rL
н

в

Радиус
окружности,
вписанной
в равносторонний
треугольник, равен 15. Найдите высоту этого треугольника.
Ответ: _________________________.

I Основания трапеции равны 5 и 9. Найдите больший
------ 1 из отрезков, на которые делит среднюю линию этой
трапеции одна из её диагоналей.

"~

Ответ:________________________ .
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
параллелограмм. Найдите его площадь.
Ответ: _________________________.

ig

| Какие из следующих утверждений верны?
1) Существует квадрат, который не является прямоугольником.
2) Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм
является ромбом.
3) Все диаметры окружности равны между собой.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ:___ _____________________ .

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы .
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания .
О 2028. ООО «Издательство «Национальное обрадованно». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и испольеованпе в коммерческих целях бее письменного раярешернл правообладателей ве допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

56

ЧАСТЬ 2
П ри выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ Л? 2. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите
чётко и разборчиво.

Решите уравнение (л:2 —25 )2 + ( л:2 -4-2л: —15 )2 = 0.

20

2 1 I Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 34 км/ч, а вторую —
—-—* со скоростью 51 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего
пути.

22

I

Постройте график функции у = х\х\ +2 \х\-3 х .
Определите, при каких значениях т прямая у - т имеет с графиком ровно две
общие точки.

I Точка Н является основанием высоты В Н , проведённой из вершины прямого
-------' угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает
стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно. Найдите В Н , если РК = 12.

I Точка М — середина боковой стороны АВ трапеции ABCD, а МС = MD. Докажите,
-------1 что трапеция ABCD прямоугольная.

2 5 I Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех
-------1 его вершин. Найдите AD, если ВС = 18, а углы Б и С четырёхугольника равны
соответственно 132° и 93°.

Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответ­
ствующего задания.

О 2 028. ООО «Издательство «Национальное обраоовапне». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
в в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 10
ЧАСТЬ 1
Ответами, к заданиям 1-19 являются число или последовательность цифр,
которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
является последовательность цифр, то запишите её без пробелов, запятых
и других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1-5.
Общепринятые форматы листов
бумаги обозначают буквой А и цифрой:
АО, A l, А2 и так далее. Площадь
листа формата АО равна 1 кв. м. Если
лист формата АО разрезать пополам
параллельно
меньшей
стороне,
получаются два листа формата А1.
Если так же лист А1 разрезать
пополам,
получаются два листа
формата А2 и так далее.
Отношение длины листа к его
ширине
у
всех
форматов,
обозначенных буквой А, должно быть
одно и то же, то есть листы должны
быть подобны друг другу. Это сделано специально, чтобы можно было сохранить
пропорции текста на листе при изменении формата бумаги (размер шрифта при
этом тоже соответственно изменится). На практике размеры листа округляются
до целого числа миллиметров.
В таблице 1 даны размеры листов бумаги четырёх форматов: от АЗ до А6.

Таблица 1
Ширина (мм)
148
210
105
297

Порядковые номера
1
2
3
4

Длина (мм)
210
297
148
420

Для листов бумаги форматов АЗ, А4, А5 и А6 определите, какими порядковыми
номерами обозначены их размеры в таблице 1. Заполните таблицу ниже, в бланк
ответов перенесите последовательность четырёх цифр.
Форматы бумаги

АЗ

А4

А5

А6

Порядковые номера
О 2028. 0 0 0 • Издательство «Национальное обрааование». О 2023. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях бео письменного раврешенля правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

58

~2 I Сколько листов бумаги формата А6 получится при разрезамип одного диета бумаги
----- 1 формата А2?

Ответ: ________________________ .
"з I Найдите длину
----- в миллиметрах.

большей

стороны листа

бумаги

формата

А1.

Ответ

дайте

Ответ: ________________________ .
4

| Найдите площадь листа бумаги формата А4. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: ________________________ .

| Бумагу формата А6 упаковали в пачки по 320 листов. Найдите массу пачки, если
------ масса бумаги площадью 1 кв. м равна 108 г. Ответ дайте в граммах.
~5

Ответ: ________________________ .

Найдите значение выражения 0 ,7 (- 1 0 ) 3- 4 ( - 1 0 ) 2- 6 3 .
Ответ: ________________________ .
4 6 8 , 13
Одно из чисел 7 ; 7 ; 7 ; 7 отмечено на прямой точкой.
Ч----- Ь Ч- Ч----- 4-*Ч------Ь
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Ч ------ 1------ 1------ 1-

0
Какое это число?

»?

3)

8

В ответ запишите номер выбранного варианта.
Ответ: |

|

Найдите значение выражения

(б2-ба)4
(5-5‘ )8 ‘

Ответ:______________________
Решите уравнение 2х2 + 7х = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Ответ:________________________ .
е 2028. ООО «Иадвталъстао «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
m u , распространение я использование в коммерческих целях бее письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 10

10

59

В каждой пятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы
распределены по банкам случайно. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть
приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдёт приз в своей банке.
Ответ:

I Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их
------ ' задают.
ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ
2) у = 2х - 4

1) y = J x

3) у = х 2 - 4

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б

В

Ответ:

Площадь треугольника можно вычислить по формуле S =---- , где а, & и с —

стороны треугольника, a R — радиус окружности, описанной около этого
треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите Ь, если а = 12, с = 13, S = 30
и Л = 6,5.
О твет:_______________________ .

Укажите неравенство, решением которого является любое число.
1) х 2 - 64 ^ 0

2) х 2 + 64

42К
\/

\/

1

/

_„

Ч
?

Л

//
/

/

* Чл*

,

-Г~
1*

4

"'
2 кг 1

\^

По шоссе Серёжа с папой едут со скоростью 60 км /ч, а по грунтовой дороге —
со скоростью 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых
пунктов, длина стороны каждой клетки равна 2 км.

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые
пункты.
Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр
без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Насел, пункты

д. Пирожки

с. Княжеское

д. Рябиновка

Цифры
е 2023. ООО «Издательство «Нацшональное образование*. О 2023. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение н использование в коммерческих целях беа письменного разрешения правообладателей не допускается

73

ВАРИАНТ 13

Сколько километров проедут Серёжа с папой от деревни Пирожки до села
Княжеское* если они поедут по шоссе через деревню Рябиновку?
О твет:________________________ •

пп

Найдите расстояние от деревни Васильево до села Княжеское по прямой. Ответ
дайте в километрах.
Ответ:________________________ •
Сколько минут затратят на дорогу из деревни Пирожки в село Княжеское Серёжа
с папой, если они поедут по прямой грунтовой дороге?
Ответ:________________________ •
В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах,
расположенных в деревне Пирожки, селе Княжеском, деревне Васильево и деревне
Рябиновке.
Наименование
продукта
Молоко (1 л)
Хлеб (1 батон)
Сыр «Российский»
(1 кг)
Говядина (1 кг)
Картофель (1 кг)

д. Пирожки

с. Княжеское

д. Васильево

д. Рябиновка

48
34
240

45
32
280

50
33
270

52
28
260

370
22

400
16

380
28

420
30

Серёжа с папой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба и 1 кг сыра «Российский*.
В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ
запишите стоимость данного набора в этом магазине.
Ответ:

□□

Найдите значение выражения

4 ,8 0 ,4
~
.

Ответ:________________________ •

ш

Какое из следующих чисел заключено между числами 57б и 6>/5?
1) 12

2) 13

3) 14

4) 15

В ответ запишите номер выбранного варианта.
Ответ: □
Найдите значение выражения

(а4) 8 :а~17 при а = 2.

Ответ:________________________ •
О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копире!ванне, распространение н использование в коммерческих целях беа письменного разрешения правообладателей не допускается

74

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

9

Найдите корень у р авн ен и я----9 = х .
Ответ:

На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 13 с мясом, 11 с капустой
и 6 с вишней. Антон наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того,
что пирожок окажется с вишней.
Ответ: _______________________ .

На рисунках изображены графики функций вида у = kx + Ь. Установите соответствие
между знаками коэффициентов ft и Ъ и графиками функций.
КОЭФФИЦИЕНТЫ
А) Л > О, Ь > О

Б) А > О, b 0.
/ / / / / / / / / / / / / / / У YJ______________ J / / / / / / / / / / / / / / / / / ^

0

5

^ // // / //// //// ////^

О

Ответ:

^ Ж Ж Ж Ж Ж Ж // ^

3)
4)

5
___________________

5

О



I У Яны есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его
----- ' об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 240 см,
а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза
меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит
попрыгунчик, станет меньше 5 см?

Ответ: ______________________ .
В
1 В треугольнике АВС угол С равен 90°, ВС = 7, АС = 35.
—— I Найдите tgB.
Ответ: ______________________ .

Угол А трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, вписанной
в окружность, равен 52°. Найдите угол В этой трапеции.
Ответ дайте в градусах.
Ответ: _______________________ .

17

Две стороны параллелограмма равны 6 и 17, а один
из углов этого параллелограмма равен 30°. Найдите
площадь этого параллелограмма.
Ответ: _______________________ .

'jg I На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
----- 1 прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего
катета.
Ответ:_______________________ .
О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение н использование в коммерчески целях беа письменного раарешеиия правообладателей не допускается

76

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

19

Какие из следующих утверждений верны?
1) Все высоты равностороннего треугольника равны.
2) Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
3) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является
ромбом.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ: ________________________ .

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

______________________ЧАСТЬ 2___________________________
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите
чётко и разборчиво.

20

Решите неравенство (4 х -7 )2 > (7 х -4 )2 .

21

Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной
скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч,
а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого
на 9 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом.
Найдите скорость первого автомобилиста.

ШИ Постройте график функции у -

х

2- 8

х -2

х

+ 14 при х > 3 ,
при х < 3 .

Определите, при каких значениях т прямая у - т имеет с графиком ровно две
общие точки.

|

23

Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках К и N
соответственно. Известно, что AB = CN= 16, ВС = 20, АС = 28, А К= 11. Найдите
длину отрезка KN.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и САВ равны. Докажите, что углы
\1К\ ВСА
и BDA также равны.
Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 8, а средняя линия
равна 3.

Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответ­
ствующего задания.

____
© 2023. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях бее письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 14
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1-19 являются число или последовательность цифр,
которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
является последовательность цифр, то запишите её без пробелов, запятых
и других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1-5.
Володя летом отдыхает у дедушки в деревне Ёлочки. В воскресенье они собираются
съездить на машине в село Кленовое. Из деревни Ёлочки в село Кленовое можно
проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь: по прямолинейному
шоссе через деревню Сосенки до деревни Жуки, где нужно повернуть под прямым
углом направо на другое шоссе, ведущее в село Кленовое. Есть и третий маршрут:
в деревне Сосенки можно свернуть на прямую грунтовую дорогу в село Кленовое,
которая идёт мимо пруда.
мГ>и/
-0 L
Шоссе
и
грунтовые
дороги
образуют
\
/
прямоугольные треугольники.
По шоссе Володя с дедушкой едут со скоростью
/
80 км/ч, а по грунтовой дороге — со скоростью
/
V
40 км/ч. На плане изображено взаимное
/
расположение населённых пунктов, длина стороны
/
/ «1»
f
каждой клетки равна 4 км.

к

/

/

;
/
/

/

/

/

/


/

А К1 1

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые
пункты.
Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без
пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Насел, пункты
Цифры

д. Ёлочки

с. Кленовое

д. Жуки

О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование*. О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей

допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАН'

78

Сколько километров проедут Володя с дедушкой от деревни Ёлочки до cej
Кленового, если они поедут по шоссе через деревню Ж уки?
/

□□

Ответ:
Найдите расстояние от деревни Сосенки до села Кленового по прямой. Ответ д а т
в километрах.

П

Ответ:
~ I Сколько минут затратят на дорогу из деревни Ёлочки в село Кленовое Волод^
----- 1 с дедушкой, если поедут через деревню Жуки?
Ответ: ________________________ .

^
У'

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах
расположенных в деревне Ёлочки, селе Кленовом, деревне Сосенки и деревн
Жуки.
Наименование
продукта

д. Ёлочки

с. Кленовое

д. Сосенки

д. Жуки

Молоко (1 л )

42

45

38

Хлеб (1 батон)

22

25

23

43
27

Сыр «Российский*
(1 кг)

320

290

270

280

Говядина (1 кг)

410

420

450

430

26

18

24

16

Картофель (1 кг)

щ

11

Володя с дедушкой хотят купить 5 л молока, 3 кг сыра «Российский* и 4 кг
картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего?*
В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.
Ответ: ________________________ .

ц

I Найдите значение выражения

I

f

0,8

.
\

Ответ:________________________ .

I

1
7

| Какое из следующих чисел заключено между числами 3V2 и 2VJ ?

1) 2

2) 3

3) 4

4) 5

В ответ запишите номер выбранного варианта.
Ответ: |

|

О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение н использование в коммерческих целях бел письменного разрешения правообладателей не допускается

79

ВАРИАНТ 14

Найдите значение выражен piя aG а ] 9 : а 22 при а = 3.
Ответ:________________________ .

□ □

Найдите корень уравнения 2.r-f-7~Ответ:

На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 4 с мясом, 5 с рисом и 21 с повидлом.
Андрей наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок
окажется с повидлом.
Ответ: _____________________
На рисунках изображены графики функций вида у = kx + b. Установите соответствие
между знаками коэффициентов k и Ъ и графиками функций.
КОЭФФИЦИЕНТЫ
А) А < О, Ь < О

Б) ft < О, b > О

В) * > 0 , Ь < 0

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А В В

I В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью
— —I более 5 минут рассчитывается по формуле С = 180 + 15(f - 5), где t
длительность
поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 16-минутной
поездки. Ответ дайте в рублях.
Ответ: _______________________.
О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного раярешения правообладателей не допускается

80

ОГЭ ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

ТГ]

Укажите решение неравенства
4.г - х 2 < 0.
1

3 ) ------

Ж Ж Ж Ж / Ц _____________ ^ / / / / / / / / / / / / / / / / / ^

)

4

0
_____________

2)

^жжжжжж//^

^//////////////////////////^
4

4)

0

Ответ:-

^////////////////^
0
4



^4 I У Юли есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После

первого отскока мячик подлетел на высоту 450 см, а после каждого следующего
отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После
какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 20 см?
Ответ:

15 I В треугольнике АВС угол С равен 90°, ВС = 15, АС = 3.
— — I Найдите tgB.
Ответ:
А

1 16 I ^ гол А трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, вписяттттй
-------- в окружность, равен 76°. Найдите угол С этой трапеции.
Ответ дайте в градусах.
Отирт-

17

1—1—

ровны

I

п

14,

из углов этого параллелограмма равен 30°.
площадь этого параллелограмма.

а

в^ — /7
уЧ
(1
\\
[ /
\\
У-------у
АV
УD

ОДИН

Найдите

Ответ:

|

С

| На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего
катета.
Ответ:________
© 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2023. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
), распространение н использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 14

81

Какие из следующих утверждении верны?
1) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
3) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку
касания.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ: _________________

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите
чётко и разборчиво.

ЦоЦ
21

22

Решите неравенство (2л;-5)2 < (5;с-2)2.
Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной
скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 55 км/ч,
а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого
на 6 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом.
Найдите скорость первого автомобилиста.
Постройте график функции у =

£££ x 0

2) а > 0, с > 0

3) а > 0, с < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б

В

12 | РаДиУс вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется
по формуле г - --+^ С, где а и b — катеты, а с — гипотенуза. Пользуясь этой
формулой, найдите с, если а = 20, Ь = 21 и г = 6.
Ответ:_______________________.
е 2028. ООО «Издательство «Национальное обрааованне». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
а в ■сдольаоввнне в коммерческих целях беа письменного разрешения правообладателей ие допускается

ВАРИАНТ 17

97

"^з I Укажите; неравенство, которое не имеет решений.
1)

х 2 + 6 х - 51 > О

3) х2 + 6х + 51 > О

2)

л*2 + б.г - 51 < О

4) х2 + 6х + 51 < О

Ответ:

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой
поместили колонию микроорганизмов массой 3 мг. Каждые 20 минут масса
колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через
80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Ответ: _______________________ .
В
В треугольнике АВС известно, что АВ = 5, ВС = 10, АС =11.
Найдите cosZABC.
А

Ответ: _______________________ .

I Через точку А, лежащую вне окружности, проведены
----- 1 две прямые. Одна прямая касается окружности
в точке К. Другая прямая пересекает окружность
в точках В и С, причём АВ = 4, АС = 64. Найдите АК.
Ответ: _______________________ .

I Основания трапеции равны 8 и 18, а высота равна 5. Найдите
------1 среднюю линию этой трапеции.
Ответ:_______________________ .

~g I На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1
------1 фигура. Найдите её площадь.

изображена

Ответ: _______________________ .

О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копировал», распространение н использование в коммерческих целях беа письменного разрешения правообладателей не допускается

С

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

98

19

Какие из следующих утверждений верны?
1) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его
катетов.
2) В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
3) Средняя линия трапеции равна полусумме её осчошжнй.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ:________________________ •

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите
чётко и разборчиво .

ШИ

И

[ ( * - 8 ) ( у - 9 ) = 0,
Решите систему уравнений j У~& _ ^
[ х + у - 13
Расстояние между пристанями Л и В равно 45 км. Из А в В по течению реки
отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая,
прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени
плот проплыл 28 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость
течения реки равна 4 км/ч.

график функции у = 4| х + 2| - х2 - Зх - 2 .
ШП Постройте
Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет

с графиком ровно три

общие точки.

ши

ш

Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла В
треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите АВ , если АН - 4, АС - 16.
Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая,
пересекающая стороны ВС и AD в точках К и М соответственно. Докажите, что
отрезки ВК и DM равны.

26 I Четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 40 и CD - 1 0 вписан в окружность.

Диагонали АС и BD пересекаются в точке К , причём ZAKB- 60°. Найдите радиус
окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответ­
ствующего задания.
О 8028. ООО «Издательство «Национальное образованна». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
лив а коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 18
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1-19 являются число или последовательность цифр,
которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
является последовательность цифр, то запишите её без пробелов, запятых
и дрцгих дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1-5.
Юля летом отдыхает у дедушки и бабушки
в деревне Царёво. Юля с дедушкой собираются
съездить на машине на железнодорожную
станцию Таировку. Из Царёво в Таировку
можно проехать по шоссе до деревни Ключи,
где нужно свернуть под прямым углом налево
на другое шоссе, ведущее в Таировку через
посёлок Демидово. Из Царёво в Таировку
можно проехать через посёлок Демидово
и не заезжая в Ключи, но тогда первую часть
пути надо будет ехать по прямой лесной дороге.
Есть и третий маршрут: доехать по прямой
грунтовой дороге мимо озера до села Федяево
и там, повернув направо, по шоссе добраться
до Таировки.
По шоссе Юля с дедушкой едут со скоростью
60 км/ч, а по лесной и грунтовой дорогам —
45 км/ч. Расстояние по шоссе от Царёво до Ключей равно 72 км, от Таировки
до Ключей — 60 км, от Таировки до Демидово — 30 км, а от Таировки до Федяево —
27 км.

т

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены
населённые пункты. В ответ запишите полученную последовательность пяти цифр.
Насел, пункты п. Демидово д. Ключи ст. Таировка

с. Федяево

д. Царёво

Цифры
~ —I найдите расстояние от деревни Царёво до посёлка Демидово по лесной дороге.
----- Ответ дайте в километрах.
Ответ:_______________________ *
А 202Я ООО «Издательство «Национальное образование». © 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
»■— ,______ ,_____p J j L S .
. « .« M im c K .. u~u.«
M C I» ....™ р - р .ш .н „ щ » ю Я л и .,« .« . . и и ™

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

100

Сколько минут затратят на дорогу Юля с дедушкой, если поедут на станцию через
Ключи?
Ответ:

________________________ .

Определите, на какой маршрут до станции потребуется меньше всего времени.
В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Юля с дедушкой, если поедут
этим маршрутом.
Ответ: _________________________ .

На шоссе машина дедушки расходует 6,5 литра бензина на 100 км. Известно,
что на путь из Царёво до Таировки через Ключи и на путь через Федяево ей
необходим один и тот же объём бензина. Сколько литров бензина на 100 км
машина дедушки расходует на грунтовых дорогах?
Ответ: __________________________ .

2,1

1 Найдите значение выражения ^ ^ ^ ^
Ответ:
____ _ , ,
140 _
у | Между какими целыми числами заключено число -у ^ -?
1) 5 и 6
Ответ: |

3

2) 6 и 7

3) 7 и 8

4) 8 и 9

|

| Найдите значение выражения

^ j ~ : c 10i/2" при х = 2 и у = 3.

Ответ:

9

| Найдите корень уравнения 1 - 1 0 * = 5х + 10.
О т в е т :_________________________ .

Ю

I ®

среднем из каж дых 50 поступивших в продажу аккумуляторов 47 аккумуляторов
заряжены. Найдите вероятность того, что выбранный в магазине наудачу
аккумулятор не заряжен.

О т в е т :______ ___________________ .
О 20 2 8 . ООО «Издательство «Национальное образование». © 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях беа письменного разрешенияправообладателей не допускается

ВАРИАНТ 18

|

101

| На рисунках изображены графики функций вида у = ах2 + Ьх + с. Установите
соответствие между знаками коэффициентов а и с и графиками функций.
КОЭФФИЦИЕНТЫ
А) а > 0 , с < 0

Б) а > 0, с > 0

В) а

<

0, с > 0

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Радиус

Б

В

вписанной

в прямоугольный

треугольник

окружности

вычисляется

по формуле г = g + ^- -С , где а и Ь — катеты, а с — гипотенуза. Пользуясь этой
формулой, найдите с, если а = 12, Ь = 35 и г = 5.
Ответ: ________________________ .

^3 | Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1) X2 + 6х + 12 > 0

3) jc2 + 6* - 12 < 0

2)

4) * 2 + 6 х - 1 2 > 0

х2 + 6* + 12 < 0

Ответ: □

- - "1 В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой
------ 1 поместили колонию микроорганизмов массой 16 мг. Каждые 20 минут масса
колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через
60 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Ответ:
О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в .коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей ие допуокается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

102


I В треугольнике АВС известно, что АВ = 6, ВС = 8, АС -- 4. Найдите
-=5-1 cos ZABC.

В

Ответ: _________________________ .
А

С

~
I Через точку А, лежащую вне окружности, проведены
—- —I две прямые. Одна прямая касается окружности
в точке К. Другая прямая пересекает окружность
в точках В и С, причём АВ = 4, ВС = 12. Найдите АХ.
Ответ: _________________________.

Основания трапеции равны 4 и 14, а высота равна 8. Найдите
среднюю линию этой трапеции.
Ответ: _________________________.

На клетчатой бумаге с размером клетки
фигура. Найдите её площадь.

1x1

изображена

Ответ: _________________________.

Какие из следующих утверждений верны?
1) Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
2) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке,
являющейся центром окружности, описанной около этого треугольника.
3) Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм
является ромбом.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ: ____ ____________________ .

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте , чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.
О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2023. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 18

103

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Сначала
укажите помер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите
чётко и разборчиво.
Г(дг-4)(г/-7) = 0,
^ I Решите систему уравнений < У- 5 _р
------1
U + Z/-9
I Расстояние между пристанями А и В равно 60 км. Из А в В по течению реки
—- —' отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая,
прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени
плот проплыл 30 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость
течения реки равна 5 км/ч.

| Постройте график функции у = 2 \х -Ь \-х 2+11х-Ъ0.
Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно три
общие точки.

Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла В
треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите АВ, если АН = 9, АС = 36.

Биссектрисы углов А и D трапеции ABCD пересекаются в точке М, лежащей
на стороне ВС. Докажите, что точка М равноудалена от прямых АВ, AD и CD.

I Четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 12 и CD = 30 вписан в окружность.
----- ' Диагонали АС и BD пересекаются в точке К , причём ZAKB=60°. Найдите радиус
окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответ­
ствующего задания.

О 2023. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение н использование в коммерческих целях беа письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 19
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1-19 являю т ся число и ли последовательность цифр,
которые следует записать в БЛ АН К ОТВЕТОВ A's 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клет очки. Если ответом
являет ся последовательность цифр, то запиш ит е её без пробелов, запят ы х
и других дополнительных символов. Каждый символ пиш ит е в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Прочитайте внимат ельно текст и вы полнит е задания 1-5.
Две подруги Аня и Юля задумались
о том, как рассчитать площадь поверхности
зонта.
На первый взгляд зонт кажется
круглым, а его купол напоминает часть
сферы (сферический сегмент). Но если
присмотреться, то видно, что купол зонта
состоит из восьми отдельных клиньев,
натянутых на каркас из восьми спиц
(рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии
достигается за счёт гибкости спиц и эластичности
ткани, из которой изготовлен зонт.
Аня и Юля сумели измерить расстояние между
концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 40 см.
Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 26 см,
а расстояние d между концами спиц, образующих
дугу окружности, проходящей через вершину
зонта, — ровно 104 см.

Ш

Рис. 1

Длина зонта в сложенном виде равна 14 см
и складывается из длины ручки (рис. 3) и пятой
части длины спицы (зонт в пять сложений).
Найдите длину спицы, если длина ручки зонта
равна 2,3 см.
Ответ:
«Поскольку зонт сшит из треугольников, — рассуждала Аня, — п .п ш .^ его
поверхности можно найти как сумму площадей треугольников». Вычислите
площадь поверхности зонта методом Ани, если высота каждого равнобедренного
треугольника, проведенная к основанию, равна 65 см. Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
Ответ:



.до„

105

ВАРИАНТ 19

ш

Юля предположила, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите
радиус R сферы купола, зная, что OC = R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.
Ответ:
Юля нашла площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента
R
a h — высота сегмента. Рассчитайте
Число л округлите до 3,14. Ответ
дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.

формуле S = 2лЯЛ, где
— радиус сферы,
СП поплощадь
поверхности купола способом Юли.
Ответ:

"1 Рулон ткани имеет длину 30 м и ширину 90 см. На фабрике из этого рулона были
-I вырезаны треугольные клинья для 27 зонтов, таких же, как зонт, который был
у Ани и Юли. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь
1150 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона
пошло в обрезки?
Ответ: ______________________ _.

Ш

Найдите значение выражения

1__7_._2
5 25*7*

Ответ: _______________________ .
5

7

9

Какое из следующих чисел заключено между числами - — и - — I
1) -0,2

2) -0,3

3) -0,4

4) -0,5

В ответ запишите номер выбранного варианта.
Ответ: |

|

Найдите значение выражения

59 -96
6-- .

Ответ:
I Найдите корень уравнения 2*2 = 9*.
----- Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Ответ: ______________________ .
~ "1 в девятом физико-математическом классе учатся 13 мальчиков и 7 девочек.

----- ' По жребию они выбирают одного дежурного по классу. Какова вероятность того,
что это будет мальчик?
Ответ:______________________ .
© 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного раарешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

106

Установите соответствие между
и графиками этих функций.

формулами,

которыми

заданы

функции,

ФОРМУЛЫ
В) у = -2 х + 6

Б) у = ~2х - 6

А) у = 2х + 6

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Скорость камня (в м/с), падающего с высоты h (в м), в момент удара о землю
можно найти по формуле v = yJ2gh. Найдите скорость (в м/с), с которой ударится
о землю камень, падающий с высоты 40 м. Считайте, что ускорение свободного
падения g равно 9,8 м/с2.
О твет:________________________ .
Укажите решение системы неравенств
J-9 +Зж О ,

\2 -3 *< -1 0 .
1)

3)

2)

4 ) ----------- dtmmmW//6-

4
3

4

Ответ:
44 | Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает
----- 13 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую,
до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень
за первые пять секунд?
О твет:________________________ .
О 2028. ООО «Иадмшипо «Над

. О 2028. ЧОУ ДНО «МЦНМО*.
^обладателей на допускается

ВАРИАНТ 19

107

■Jg 1 В треугольнике АВС угол С равен 106°. Найдите внешний угол
------1 при вершине С. Ответ дайте в градусах.
Ответ: _______

____

7 7 1 Хорды АС и BD окружности пересекаются в точке Р,
— I ВР = 9, С Р - 15, DP = 20. Найдите АР.
Ответ: _________________________.

I Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС
------1 и AD пересекаются в точке О, ВС = 6, AD = 13, АС = 38.
Найдите АО.
Ответ:

1 На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
------ I ромб. Найдите площадь этого ромба.
Ответ:

до I Какое из следующих утверждений верно?
------ * 1) Боковые стороны любой трапеции равны.
2) Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.
3) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого
треугольника.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ:_________________________.

Ф

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов М 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространенно в использование в коммерческих целях беа письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

108

ЧАСТЬ 2
П ри выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ М 2. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите
чётко и разборчиво.

2q I Решите уравнение

(х -3 f

- - 4 = 0.
х -3

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние
между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А,
увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8 часов, в результате
чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В.
Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.
_
(х2 + х -б )(х 2- 2 х - 3 )
22 1 Построите график функции у =----------- ^ --------------- и определите, при каких
значениях т прямая у - т имеет с графиком ровно одну общую точку.
Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются
в точке F. Найдите АВ, если AF = 21, BF = 20.

Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая,
пересекающая стороны ВС и AD в точках L и N соответственно. Докажите,
что отрезки CL и A N равны.

I ^ I Точки М и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно
-------- 9 и 11 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М
и N и касающейся луча АВ, если cos /.ВАС =

6

.

Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответ­
ствующего задания.

Копирование,

© 2028. ООО «Иадатедъство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
гранение н нспольаованне в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 20
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1-19 являются число или последовательность цифр,
которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
является последовательность цифр, то запишите её без пробелов, запятых
и других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1-5.
Два друга Юра и Ваня задумались
о
том,
как
рассчитать
площадь
поверхности зонта.
На первый взгляд зонт кажется
круглым, а его купол напоминает часть
сферы (сферический сегмент). Но если
присмотреться, то видно, что купол зонта
состоит из десяти отдельных клиньев,
натянутых на каркас из десяти спиц
(рис. 1). Сферическая форма в раскрытом
состоянии достигается за счёт гибкости спиц
и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт.
Юра и Ваня сумели измерить расстояние между
концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 34 см.
Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 25 см,
а расстояние d между концами спиц, образующих
дугу окружности, проходящей через вершину
зонта, — ровно 110 см.

Рис. 1

Длина зонта в сложенном виде равна 26,5 см
и складывается из длины ручки (рис. 3) и трети
длины спицы (зонт в три сложения). Найдите
длину спицы, если длина ручки зонта равна
6,3 см.
Ответ:
-----1 Поскольку зонт сшит из треугольников, рассуждал Юра, площадь его поверхности
_?__I Можно найти как сумму площадей треугольников. Вычислите площадь поверхности
зонта методом Юры, если высота каждого равнобедренного треугольника,
проведённая к основанию, равна 58,2 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах
с округлением до десятков.
Ответ:

о 2028 ООО «Издательство «Национальное обраловаиие». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и испольоование в коммерческих целях бее письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

no

Ваня предположил, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите
радиус R сферы купола, зная, что ОС = R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.
Ответ: _______________________ .
Ваня нашёл площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента
по формуле S = 2 kR1u где R — радиус сферы, а Л — высота сегмента. Рассчитайте
площадь поверхности купола способом Вани. Число п округлите до 3,14. Ответ
дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.
Ответ: _______________________ .
Рулон ткани имеет длину 20 м и ширину 150 см. На фабрике из этого рулона
были вырезаны треугольные клинья для 26 зонтов, таких же, как зонт, который
был у Юры и Вани. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь
1050 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона
пошло в обрезки?
Ответ: _______________________.
„ 3 9 3
Найдите значение вы р аж ен и я--------: —.
4 20 7
Ответ: _______________________.
Какое из следующих чисел заключено между числами - — и - — ?
1) -0,6

2) -0 ,7

3) -0 ,8

4) -0 ,9

В ответ запишите номер выбранного варианта.
Ответ: |

EZ

|

Найдите значение выражения

244
З 2 -8 3 *

Ответ:
~9

| Найдите корень уравнения 5х2 = 3х.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
Ответ: _______ ______________ .

Ю | ® десятом физико-математическом классе учатся 19 мальчиков и 6 девочек.
По жребию они выбирают одного дежурного по классу. Какова вероятность того,
что это будет мальчик?
Ответ:
Копирование,

О 2023. 0 0 0 .Издательство «Н&двон&лыюе образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
транеиие н нспольаованне в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 20

111

11 I Установите соответствие между
—-— и графиками этих функций.

формулами,

которыми

заданы

функции,

ФОРМУЛЫ
А) у - - - ~ х - 2
•J

Б) у =- —х +2
5

В) у - - —х - 2
5

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б

В

12 I Скорость камня (в м/с), падающего с высоты h (в м), в момент удара о землю
—— I можно найти по формуле v = yJ2gh . Найдите скорость (в м/с), с которой ударится
о землю камень, падающий с высоты 90 м. Считайте, что ускорение свободного
падения g равно 9,8 м/с2.

О твет:_______________________ .

ПИ

Укажите решение системы неравенств
/—27+Зл: > 0,
6 -3 * < -6 .
# /////////////////////////±

1)

4

2)

шшншташщ.

3)

-------------------------

4
4)

9
9

т т —I Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает
—— I 7 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую,
до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень
за первые шесть секунд?
Ответ:
О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и иопольаованне в коммерческих целях бео пиеывенного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

112

I В треугольнике АВС угол С равен 115°. Найдите внешний угол
—— I при вершине С. Ответ дайте в градусах.

В

О твет:_______________________ .

~ I Хорды АС и BD окружности пересекаются в точке Р ,
—5—I ВР = 12, СР = б, ПР = 13. Найдите АР.
О твет:______ .________________ •

В

~ I Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС
------' и AD пересекаются в точке О, ВС = 4, AD = 9, АС = 26.
Найдите АО.
Ответ:

С

А

D

I На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
------' ромб. Найдите площадь этого ромба.
Ответ: _______________________ .

Какое из следующих утверждений верно?
1) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
2) Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
3) Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром
окружности, вписанной в этот треугольник.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ: __________________
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте , чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

____ ® 2023. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях бео письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 20

113

__

ЧАСТЬ 2

При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите
чётко и разборчиво.

on I Решите уравнение ---- ---------- 1___6 = 0(х-2?

х-2

21 | Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние
между которыми равно 112 км. На следующий день он отправился обратно в А,
увеличив скорость на 9 км/ч. По пути он сделал остановку на 4 часа, в результате
чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В.
Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.

22

I

( jc2- 4 ) ( x2- 4 jc+ 3)
и определите, при каких
-3* + 2
значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно одну общую точку.

Постройте

график функции

у=

I Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются
------ ' в точке F. Найдите АВ, если AF = 15, BF = 8.

24 I В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите,
I-------- ' что углы DAC и DBC также равны.

I

~ 2ft I Точки М и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно
—----- 1 16 и 39 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М
у/39

и N и касающейся луча АВ, если cos ZBAC = — —.
О

(D

Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответ­
ствующего задания.

О 202Я ООО «Издательство «Национальное образование». © 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
в е . распространение ^использование в коммерческих целях без письменного раарешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 21
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1-19 являются число или последовательность цифр,
которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ Ж 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
является последовательность цифр, то запишите её без пробелов, запятых
и дригих д о п о л н и т е л ь н ы х символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры с панорамной лоджией
в многоэтажном жилом доме. В правой части рисунка даны обозначения двери
и окна (и остекления лоджии), а также указано, что длина стороны клетки на плане
соответствует 0,3 м. Вход в квартиру находится в прихожей. Самое большое
по площади помещение — гостиная. В спальне, гостиной и кухне есть двери и окна,
выходящие на лоджию, но в кухне окно шире, чем в других комнатах. Остекление
лоджии со стороны гостиной закруглено. В квартире есть два помещения, в которых
нет окон, — это прихожая и санузел.
1 I Для помещений, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены
----- на плане. Заполните таблицу, в бланк перенесите последовательность пяти цифр.

Помещения
Цифры

гостиная

кухня

санузел

спальня

прихожая

О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение н использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 21

115

1

2--- бандите радиус закругления остекления лоджии со стороны гостиной. Ответ дайте
1 в сантиметрах.
О тв ет:_________ __
3

I Плитка для пола размером 15 х 20 см продаётся в упаковках по 8 штук. Сколько
упаковок плитки необходимо купить, чтобы выложить пол кухни?
Ответ: ______ __________________ .

4

| На сколько процентов площадь кухни больше площади прихожей?
Ответ:

___________________ .

Ij I В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики
----- стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице.
Планируется
купить
стиральную
машину
с
вертикальной
загрузкой,
не превосходящую 85 см по высоте.

Модель
А

Вмести­
Стоимость
Габариты
Стоимость
мость
Тип
Стоимость
доставки (%
(высота х
подключения
барабана загрузки
от стоимости
ширина х
(руб.)
(руб.)
(кг)
машины)
глубина, см)
85 х 60 х 45
верт.
28 000
1700
7
бесплатно

Б

5

фронт.

24 000

4500

10

85 х 60 х 40

В

5

фронт.

25 000

5000

10

85 х 60 х 40

Г

6,5

фронт.

24 000

4500

10

85 х 60 х 44

Д

6

фронт.

28 000

1700

Е

6

верт.

27 600

2300

бесплатно
бесплатно

89 х 60 х 40

85 х 60 х 45

лхл
Ль

6

верт.

27 585

1900

3

6

фронт.

20 000

6300

10
15

и
к

5

фронт.

27 000

1800

бесплатно

85 х 60 х 42
85 х 60 х 40

5

верт.

27 000

1800

бесплатно

85 х 60 х 40

89 х 60 х 40

Сколько рублей будет стоить наиболее дешёвый подходящий вариант вместе
с подключением и доставкой?
Ответ: _____________ ____________•
^

I Найдите значение выражения
Ответ:

О 2028. ООО «Иодательство «Национальное образование*. О 2023. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение в использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

116
— — I

Одно из чисел V28 , Ш , Ш . -Ш отмечено на прямой точкой А.
А
Какое это число?
1) V28
Ответ:
т:

“g

3) V38

2) л/33

4) V47

Q

I Найдите значение выражения

( (i^ ) " '

^_15

при а = 2.

Ответ:
g

I Найдите корень уравнения (* + 10)2= (5 -* ) .
Ответ: _______________________•

—77

I В магазине
канцтоваров продаётся 200 ручек: 31 красная, 25 зелёных,
———I 38 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того,
что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или чёрной.

Ответ:
И 1 Установите соответствие между
-------1 и графиками этих функций.

формулами,

которыми

заданы

функции,

ФОРМУЛЫ
А) у = - 4 x2-2 8 jc-4 6

Б) z/ = 4jc2-2 8 jc+46

1)

2)

В) i/ = - 4 jc2+28 jc-4 6

ГРАФИКИ
У

1

1

\
\
\
\

2
0

/
/
/ X

3)

Vi l

Vi

l
rs

А

1

/
/
/

L

\
\
\
1

J
0

X

6

t

/

/

L

V
\

1

4

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
A Б

В

Ответ:
О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространенна и испольаование в коммерческих целях беа письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 21

117

1l2 | Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м /с2)
вычисляется по формуле а - (1
чj

0

7

/
•/1
/
L
/

j

\
х

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б

В

То~~\ Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) вычисляется
— —I до формуле а = со2Д, где © — угловая скорость (в с-1), R — радиус окружности
(в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость
равна 7,5 с-1, а центростремительное ускорение равно 337,5 м/с2. Ответ дайте
в метрах.
Ответ:_______________________•
О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование*. О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение н исполыюнание в коммерчески* целя* бее письменного разрешения правообладателей пе допускается

ОГЭ ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

122

13

Укажите решение неравенства (jr-»-4)(.v - 8)'■ 0.
3)

-4
-4
Ответ:

8

-------------------------------

8
-4



^
I В течение 20 банковских дней акции компании дорожали ежедневно на одну и ту
----- * же сумму. Сколько стоила акция компании в последний день этого периода, если
в 9-й день акция стоила 555 рублей, а в 13-й день — 631 рубль?
Ответ: _______________________.

15

Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая
к этой стороне, равна 27. Найдите площадь этого
треугольника.
Ответ: _______________________ .

I Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС
----- 1 равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ
дайте в градусах.
Ответ: _______________________ .

Диагональ прямоугольника образует угол 63° с одной
из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями
этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Ответ: ______________________ .

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображена
трапеция. Найдите её площадь.
Ответ:_______________________.

О 2023. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копировали*, распространение ■ использование в коммерческих целях беа письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 22

123

Какие из следующих утверждений верны?

19

1) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
2) Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.
3) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ: ____

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов М 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ
2. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите
чётко и разборчиво.

[*□

Решите уравнение х 6 = - ( 7х + 10)3.
Два велосипедиста одновременно отправляются в 224-километровый пробег. Первый
едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа
раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

22 |

Постройте график функции у = х2- 3 \ х \- х и определите, при каких значениях т
прямая у = т имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

I 23

| Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги,

I 24

|

длины которых относятся как 6 : 1 1 : 1 9 .
меньшая из сторон равна 15.

Найдите радиус окружности, если

Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 75, АС = 30.
Докажите, что треугольники СВА и ACD подобны.
Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке К. Найдите

I 25 I площадь параллелограмма, если В С - 2, а расстояние от точки К до стороны АВ
равно 8.

Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответ­
ствующего задания.
^ onoa п пп
«Национальное образование». С 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
_
сгрален» ^ с п о л ы о 1Лни^ в коммерчески* целях бее письменного разрешения правообладателей ие допускается

ВАРИАНТ 23
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1-19 являю т ся число или последовательность цифр,
которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ «Л5 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клет очки. Если ответом
являет ся последовательность цифр, то запиш ите её без пробелов, запят ы х
и других дополнительных символов. Каждый символ пиш ит е в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Прочитайте внимат ельно текст и вы полнит е задания 1-5.
Автомобильное колесо, как правило, представляет из себя металлический диск
с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром
внутреннего отверстия в шине.

Рис. 1

Рис. 2

Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений.
Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число (число 195 в приведённом примере)
обозначает ширину шины в миллиметрах (параметр В на рисунке 2). Второе число
(число 65 в приведённом примере) — процентное отношение высоты боковины
(параметр Н на рисунке 2) к ширине шины, то есть 100 — .
В
Последующая буква обозначает тип конструкции шины. В данном примере
буква R означает, что шина радиальная, то есть нити каркаса в боковине шины
расположены вдоль радиусов колеса. На всех легковых автомобилях применяются
шины радиальной конструкции.
За обозначением типа конструкции шины идёт число, указывающее диаметр
диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Таким образом, общий диаметр
колеса D легко найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Возможны дополнительные маркировки, обозначающие допустимую нагрузку
на шину, сезонность использования, тип дорожного покрытия и другие параметры.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает
на них колёса с шинами маркировки 205/60 R16.
С 2028. ООО «Издательств «Национальпое образование». О 2023. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 23

125

Завол допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны
разрешённые размеры шин.
Диаметр диска
(дюймы)

15

16

17

18
Не разр.

Ширина шины ( м м ) " ^ \ ^
195

195/65

195/60

195/55

205

205/60

205/55, 205/60

205/50

205/45

215

215/60

215/55

215/50

215/40,
215/45

225

Не разр.

225/50

225/50,
225/45

225/40

Какой наименьшей ширины шины можно устанавливать на автомобиль, если
диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Ответ: ________________________ .
На сколько миллиметров радиус колеса с маркировкой 195/55 R17 больше, чем
радиус колеса с маркировкой 225/45 R17?
Ответ: ________________________ .
Найдите диаметр D колеса автомобиля, выходящего с завода.
в сантиметрах.

Ответ дайте

Ответ: ________________________ .
На сколько миллиметров уменьшится диаметр D колеса, если заменить шины,
установленные на заводе, шинами с маркировкой 225/40 R18?
Ответ: ________________________ .
На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса,
если заменить шины, установленные на заводе, шинами с маркировкой 225/40 R18?
Округлите результат до десятых.
Ответ: ________________________ .

Найдите значение выражения

1,5

i +r

&

Ответ:
О 2023. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2023. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение н использование в коммерческих целях бее письменного разрешения правообладателей не допускается

126

О ГЭ Т И П О В Ы Е ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

1 На координатной прямой отмечены точки А, В. С и D.
J
А
В
С
D
---1

В------------Ф------1-------в----------- ©-------!— ►

5

6

7

73
Одна из них соответствует числу — . Какая это точка?
14
2) точка В

1) точка А
Ответ: |

3) точка С

4) точка D

|

Сколько целых чисел расположено между числами >/13 и ТГЗО ?
Ответ:
Решите уравнение (х - 1)(-л: - 4) = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Ответ: _______________________ .
При подготовке к экзамену Олег выучил 40 билетов, а 10 билетов не выучил.
Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Ответ: _______________________ .

□Г]

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их
задают.

У1

У 1

ч
1



А*

ч

S

1
0

0

>

ч

N
>>

4

ФОРМУЛЫ
а У= - 1 * + 4

2) у = | * - 4

3) у = | * + 4

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б

В

О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение в нспольаованне в коммерческих целях бее письменного разрешения правообладателей не допускается

X

ВАРИАНТ 23

127

Закон Kwnoiia можно записать в виде F =

г

где F — сила взаимодействия

зарядов (в ньютонах), qx и q2 — величины зарядов (в кулонах), k — коэффициент
пропорциональности (в Н • м2/К л2), а г — расстояние между зарядами (в метрах).
Пользуясь формулой, найдите величину заряда qx (в кулонах), если
k = 9 • 109 Н • м2/К л2, q2 = 0,002 Кл, г = 2000 м, a F = 0,00135 Н.
Ответ: ________________________ .

13

Укажите решение системы неравенств

* + 0, 6 < 0 ,

1

)

2)

(-005

-

3

]

[ - 0 ,6 ; +оо)

3) (-да;-3 ] и [ - 0 ,6 ; +оо)
4) [-3; -0 ,6 ]

Ответ:

При проведении химического опыта реагент равномерно охлаждали на 7,5 °С
в минуту. Найдите температуру реагента (в градусах Цельсия) спустя 6 минут
после начала проведения опыта, если начальная температура составляла -8 ,7 °С.
Ответ: ________________________ .

' 'I В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 30°,
15 I ВС = 8V2 . Найдите АС.

Ответ: ________________________ .
А

jg I Площадь круга равна 69. Найдите площадь сектора этого круга,
------ 1 центральный угол которого равен 120°.
Ответ:________________________ .

I Диагонали параллелограмма равны 7 и 24, а угол между
------ 1 ними равен 30°. Найдите площадь этого параллелограмма.
Ответ:________________________ .
О 2028. ООО «Иадательство «Национальное обрааование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение н испольаоваиие в коммерческих целях бее письменного раарешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

128


1 На клетчатой бумаге с размером клетки 1 * 1 отмечены три
------1 точки: А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС.
О твет:_______________________ .

Какое из следующих утверждений верно?
1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника,
то такие треугольники подобны.
2) Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса
другой окружности.
3) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ:
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
П роверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 2 0 -2 5 используйте БЛ АН К ОТВЕТОВ № 2. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите
чётко и разборчиво.
| 20 | Решите уравнение (х - 1) (х2 + 6х + 9) = 5(х + 3).
I 21 I Имек>тся два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной
-------- концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 65 %
кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор
будет содержать 60 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится во втором
растворе?
| 22 | Постройте график функции у =

\ •

Определите, при каких значениях k прямая у = kx не имеет с графиком общих
точек.
С 2028. ООО «Издательство «Нацвовальное образование». 6 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение я использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 23

129

Высота АН ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 20 и СН - 5. Найдите
высоту ромба.

^24 I Точка К — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь

треугольника АВК равна сумме площадей треугольников ВСК и AKD.

Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки AM - 8 и МВ = 13.
Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через
точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.

(D

Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответ­
ствующего задания.

О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2028. ЧОУ ДНО «МЦНМО».
Кппярпи яяя, распространение я исполъяованне в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 24
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1-19 являются число или последовательность цифр,
которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
является последовательность цифр, то запишите её без пробелов, запятых;
и других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1-5.
Автомобильное колесо, как правило, представляет из себя металлический диск
с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром
внутреннего отверстия в шине.

Рис. 1

Рис. 2

Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений.
Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число (число 195 в приведённом примере)
обозначает ширину шины в миллиметрах (параметр В на рисунке 2). Второе число
(число 65 в приведённом примере) — процентное отношение высоты боковины
(параметр Н на рисунке 2) к ширине шины, то есть 100 — .
Последующая буква обозначает тип конструкции шины. В данном примере
буква R означает, что шина радиальная, то есть нити каркаса в боковине шины
расположены вдоль радиусов колеса. На всех легковых автомобилях применяются
птины радиальной конструкции.
За обозначением типа конструкции шины идёт число, указывающее диаметр
диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Таким образом, общий диаметр
колеса D легко найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Возможны дополнительные маркировки, обозначающие допустимую нагрузку
на шину, сезонность использования, тип дорожного покрытия и другие параметры.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает
на них колёса с шинами маркировки 185/60 R16.
О 2028. ООО *Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование. распространим н неполно ванне в коммерческих ц е л и бее письменного радрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 24

131

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны
разрешённые размеры шин.
"""

Диаметр диска
(дюймы)

Шириыа шины (мм)
175
185
195

14

15

16

17

175/70

175/65

Не разр.

Не разр.

185/70

185/60

185/55

Не разр.

195/60

195/50,
195/55

195/45

195/65

205

205/60

205/55

205/50

205/45

215

Не разр.

Не разр.

215/45

215/40

Какой наименьшей ширины шины можно устанавливать на автомобиль, если
диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Ответ:
На сколько миллиметров радиус колеса с маркировкой 175/65 R15 больше, чем
радиус колеса с маркировкой 205/55 R15?
Ответ: ________________________ .
Найдите диаметр D колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте
в сантиметрах.
Ответ:________________________ .
На сколько миллиметров увеличится диаметр D колеса, если заменить шины,
установленные на заводе, шинами с маркировкой 205/45 R17?
Ответ:
~| На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса,
-* если заменить шины, установленные на заводе, шинами с маркировкой 205/45 R17?
Округлите результат до десятых.
Ответ: ________________________ .

Найдите значение выражения

Ответ:
О 2028. ООО «Иодятельство «Национальное обрааоаание». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и испольво ванне в коммерческих целях без письменного ралрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

132

I На координатной прямой отмечены точки А, В, С и D.
D
А
В
С
Ч -----------------------в------- 1------- • -

Одна из них соответствует числу
1) точка А
Ответ: |

2) точка В

132

. Какая это точка?

3) точка С

4) точка D

|

Сколько целых чисел расположено между числами 3n/7

и

7>/3 ?

Ответ: ______________________ .
| Решите уравнение (х + 20)(-х + 10) = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
Ответ: _______________________ .
jq I При подготовке к экзамену Егор выучил 16 билетов, а 9 билетов не выучил.
------ ' Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Ответ:

I Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их
------ 1 задают.
А)

В)

У1

У1

1

1
**

6

0

X

ФОРМУЛЫ
1) у = - х +2
о

2) У=тх ~ 2
5

3) у = ~ х +2
5

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

В В

Ответ:
О 2028. ООО «Иадательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
в в использование а коммерческих целях боа письменного разрешения правообладателей i

ВАРИАНТ 24

133

Закон Кулона можно записать в виде F = k

где F — сила взаимодействия
г

зарядов (в ньютонах), qx к q2 — величины зарядов (в кулонах), k — коэффициент
пропорциональности (в Н • м2/К л 2), а г — расстояние между зарядами (в метрах).
Пользуясь формулой, найдите величину заряда q1 (в кулонах), если
k = 9 • 109 Н • м2/К л 2, q2 = 0,004 Кл, г = 500 м, a F = 1,008 Н.
Ответ; _______________________ .

jg 1 Укажите решение системы неравенств
( * - 6, 6 > 0,

* + 1>5.
1) [4; +оо)

3) [6 ,6 ;+оо)

2)

4) (—оо; 4]

[4; 6,6]

Ответ: |

|

При проведении химического опыта реагент равномерноохлаждали на 5,6 °С
в минуту. Найдите температуру реагента (в градусах Цельсия) спустя 5 минут
после начала проведения опыта, если начальная температура составляла + 6,2 °С.
О твет:_______________________ .
В
В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 60°,
ВС =4 у/6 . Найдите АС.
Ответ: ._______________________ .
А

— I Диагонали параллелограмма равны 10 и 26, а угол между
—— I ними равен 30°. Найдите площадь этого параллелограмма.
Ответ: _______________________ .

1^

О 2028. 0 0 0 • Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение н испольеованне в коммерческих целях бее письменного разрешения правообладателей не допускается

С

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

134


1 На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 отмечены
— —I три точки: А, В и С. Найдите расстояние от точки А
до прямой ВС.
Ответ: _______________________.

С

Й

Г

А\

1
| Какое из следующих утверждений верно?
1) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
2) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является
ромбом.
3) Основания любой трапеции параллельны.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ: _______________________ .

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите
чётко и разборчиво.



I Решите уравнение х(х2 + 2х + 1 ) = 6(jc + 1 ).

Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 42 кг раствора кислоты различной
концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 40 %
кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор
будет содержать 37 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится во втором
растворе?

22

|

Постройте график функции у= 7—7—^ —-т-.
|х|-2,5дг
Определите, при каких значениях k прямая у =kx не имеет с графиком общих
точек.
О 2028. ООО «Ицдатальство • Национальной обрааоваяне». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
1 а коммерческих целях беа письменного рее решения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 24

135

Высота АН ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 24 и СН = 6. Найдите
высоту ромба.

Точка Е — середина боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что сумма
площадей треугольников ВСЕ и ADE равна половине площади трапеции.

Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки AM = 4 и М В = 9.
Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через
точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.

Проверьте , чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответ­
ствующего задания.

О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 25
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1—19 являю т ся число и ли последовательность цифр,
которые следует записать в БЛ А Н К ОТВЕТОВ № 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клет очки. Если ответом
являет ся последовательность цифр, то запиш ите её без пробелов, _запят ы х
и других дополнит ельных символов. Каждый символ пиш ит е в отдельной
клет очке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.

Прочитайте внимат ельно текст и вы полнит е задания 1-5.
Общепринятые форматы листов бумаги
обозначают буквой А и цифрой: АО, А1,
А2 и так далее. Площадь листа формата
АО равна 1 кв. м. Если лист формата АО
разрезать пополам параллельно меньшей
стороне, получаются два листа форма­
та А1. Если так же лист А1 разрезать
пополам, получаются два листа форма­
та А2 и так далее.
Отношение длины листа к его
ширине у всех форматов, обозначенных
буквой А, должно быть одно и то же,
то есть листы должны быть подобны
друг другу. Это сделано специально,
чтобы можно было сохранить пропорции текста на листе при изменении формата
бумаги (размер шрифта при этом тоже соответственно изменится). На практике
размеры листа округляются до целого числа миллиметров.
В таблице 1 даны размеры листов бумаги четырёх форматов: от АЗ до А6.
Таблица 1
Порядковые номера
1

Ширина (мм)
210

Длина (мм)

2
3
4

297
105

420
148

148

210

297

1 I Для листов бумаги форматов А6, А5, А4 и АЗ определите, какими порядковыми
----- номерами обозначены их размеры в таблице 1. Заполните таблицу ниже, в бланк
ответов перенесите последовательность четырёх цифр.

Форматы бумаги
Порядковые номера

А6

А5

А4

АЗ

О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение н нспольаоваяне в коммерческих целях бее письменного разрешения правообладателей не допускается

137

ВАРИАНТ 25

Сколько листов бумаги формата А6 получится при разрезании одного листа бумаги
формата АО?
О твет:______________________ .
Найдите длину меньшей стороны листа бумаги формата А2. Ответ дайте
в миллиметрах.
Ответ: ______________________ .
Найдите площадь листа бумаги формата А5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: _______________________ .
"g I Размер (высота) типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен
-----' 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт (в пунктах), чтобы
текст был расположен на листе формата АЗ так же, как этот же текст, напечатанный
шрифтом высотой 10 пунктов на листе формата А4? Размер шрифта округляется
до целого.
Ответ: _______________________ .
^

| Найдите значение выражения 3,2 - 3,5 • 6,4.
Ответ: _______________________ .

IU

Одно из чисел

31
11

37


11

41
11



47
*

11

отмечено на прямой точкой.

Н---------1---------- 1--------- * ---------- 1----------1----------1----------

0

1

Какое это число?
1)

31

2)

11

Ответ:



11

3) "
11

4)

47
11



——I Найдите значение выражения >/0,36p4q8 при р = 5 и q = 2.
О

I

Ответ: ______________________ .
——| Решите уравнение х 2 + 8х + 15 =0.
-----' Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Ответ:______________________ .
О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и испольвованне в коммерческих целях бее письменного раарешения правообладателей ие допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

138

В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии
и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется
жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен
не из России.
Ответ: _______________________ .
Установите соответствие между формулами, которыми заданы функции, и графиками
этих функций.
ФОРМУЛЫ
А) у =-

о
Б) у =х

9
х

У т
\

В) у =-

1_


1 У, 1

г

\

/

ч|

0

У

0

X

s

X

/
I

\

/

у

**

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:

|

£2

А Б В

| Закон Джоуля
Ленца можно записать в виде Q = I 2R t, где Q — количество
теплоты (в джоулях), I — сила тока (в амперах), R — сопротивление цепи (в омах),
а f
время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление цепи
R (в омах), если Q = 1296 Дж, / = 9 A, t = 2 с.
Ответ:_________ __________

I

23

.

I Укажите решение неравенства (х + 2)(х - 10) > 0.
1) (“ 2; 10)

3) (1 0 ;+оо)

2)

4) (-2; +оо)

(-со;-2 ) и (1 0 ;+оо)

Ответ: |

|
О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».

5 ■ коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 25

139

В амфитеатре 20 рядов. В первом ряду 56 мест, а в каждом следующем —
на 2 места меньше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
О твет:_______________________ .
Точки М и N являются серединами сторон АВ и ВС
треугольника АВС соответственно. Отрезки A N и СМ
пересекаются в точке О, AN - 18, СМ = 21. Найдите ОМ.
Ответ:

В
Mi

О

N

А

С

Угол А четырёхугольника АВСЛ, вписанного в окружность,
равен 33°. Найдите угол С этого четырёхугольника. Ответ
дайте в градусах.
Ответ: _______________________ .

Найдите
площадь
на рисунке.

параллелограмма,

изображённого

Ответ: _______________________ .

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
ромб. Найдите длину его меньшей диагонали.
Ответ: _______________________ .

до | Какое из следующих утверждений неверно?
1) Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
2) Все равносторонние треугольники подобны.
3) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ:
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов М 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.
О 2028, ООО «Издательство «Национальное обрадо ванне». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение н испольаованне в коммерческих целях беа письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

140

ЧАСТЬ 2
П ри вы полнении заданий 20-25 используйт е БЛ АН К ОТВЕТОВ № 2.
Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ.
П ишите чётко и разборчиво.

| 20 | Решите неравенство (л. + 4)2_ ю ~ °*

I

I 21 Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста.
1-------- 1Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 51 минуту,
а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние
между городами составляет 251 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч,
скорость второго — 20 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал
второй велосипедист, до места встречи.
| 22 | Постройте

график

функции

(х +3 )(х2- З х +2)
у =----------------------- и определите,

при

каких

значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно одну общую точку.

|

I

23 Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р
-------- соответственно и проходит через вершины Б и С. Найдите длину отрезка КР, если
АР = 34, а сторона ВС в 2 раза меньше стороны АВ.
24

--I В треугольнике АВС с тупым углом АВС проведены высоты ААХ и ССГ Докажите,
что треугольники А 1ВС1 и АВС подобны.

25 | Углы при одном из оснований трапеции равны 53° и 37°, а отрезки, соединяющие
середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2. Найдите основания
трапеции.

©

Проверьте, чтобы каждый
соответствующего задания.

ответ

был

записан

рядом

с

номером

______
_____ О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях бее письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 26
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1 19 являются число или последовательность цифр,
которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
является последовательность цифр, то запишите её без пробелов, запятых
й. других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1—5.
Общепринятые форматы листов бумаги
обозначают буквой А и цифрой: АО, А1,
А2 и так далее. Площадь листа
формата АО равна 1 кв. м. Если лист
формата
АО
разрезать
пополам
параллельно меньшей стороне, получаются
два листа формата А1. Если так же
лист А1 разрезать пополам, получаются
два листа формата А2 и так далее.
Отношение длины листа к его ширине
у всех форматов, обозначенных буквой А,
должно быть одно и то же, то есть листы
должны быть подобны друг другу. Это
сделано специально, чтобы можно было
сохранить пропорции текста на листе при изменении формата бумаги (размер шрифта
при этом тоже соответственно изменится). На практике размеры листа округляются
до целого числа миллиметров.
В таблице 1 даны размеры листов бумаги четырёх форматов: от АЗ до А6.

Таблица 1
Порядковые номера
1
2
3

Ширина (мм)
148
297
105

4

210

Длина (мм)
210
420
148
297

Д ля листов бумаги форматов А6, А5, А4 и АЗ определите, какими порядковыми
номерами обозначены их размеры в таблице 1. Заполните таблицу ниже, в бланк
ответов перенесите последовательность четырёх цифр.
Ф орматы бумаги

А6

А5

А4

АЗ

Порядковые номера
О 2023. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2023. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

142

Сколько листов бумаги формата А5 получится при разрезании одного листа бумаги
формата А2?
Ответ:_______________________ .
Найдите длину меньшей стороны листа
в миллиметрах.

бумаги

формата А1.

Ответ дайте

Ответ:_______________________ .
Найдите площадь листа бумаги формата А6. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: _______________________ .
Найдите отношение длины меньшей стороны листа к большей у бумаги формата А2.
Ответ дайте с точностью до десятых.
Ответ: _______________________ .
Найдите значение выражения 6,1 - 4,5 • 5,4.
Ответ: _______________________ .
Q

Одно из чисел

55 64 72 79
отмечено на прямой точкой.
19 * 1 9 ’ 19 * 19
Н---------- 1---------- 1---------- ---------- 1---------- 1---------- 1---------- 1---------- 1---------- h

О

55
1)
19
Ответ:

1
2)

64
19

3)

72

19

4)

79
19



Найдите значение выражения yJo,25men4 при m = 3 и п - 4.
Ответ:
Решите уравнение х 2 + 10х + 24 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Ответ: _______________________.
Х0 I В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии
----- и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется
жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен
из Норвегии или Швеции.
Ответ:_______________________.
О 2023. ООО «Иадателъство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО»
ютранагае ■ использование в коымепческнх палях баз гавш аянат lu m m n n a
____.

не допускается

ВАРИАНТ 26

I

143

I Установите соответствие между формулами, которыми заданы функции, и графиками
функций.

L----------1 ЭТИ Х

ФОРМУЛЫ
А)

12
У = —

X

Б)

12
У= —
х

В)

у

1
12л:

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б В

TZ I Закон Джоуля — Ленца можно записать в виде Q = I 2Rt, где Q — количество
—— I теплоты (в джоулях), I — сила тока (в амперах), R — сопротивление цепи (в омах),
a. t — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление цепи
R (в омах), если Q = 1 1 5 2 Дж, 1 = 8 A, t = 6 с.
О твет:________________________ •

| Укажите решение неравенства (л: + 3)(л: - 6) > 0.
1)

(6; +оо)

3) (-оо; - 3 ) и (6; + °°)

2)

(- 3 ; +оо)

4) (~ 3 ; 6)

Ответ: □

— — 1

i± J

в

амфитеатре 30 рядов. В первом ряду 12 мест, а в каждом следующем —
на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
О тв е т:________________________ ’

..... С * 028- ООО
Копнронаняв, распространение н испояьэованне в коммерчтел— «

^ т б л а ^ т м е й не допускается

ОГЭ ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

144

1 Точки М и N являются серединами сторон АВ и ВС
------ треугольника АВС соответственно. Отрезки AN и СМ
пересекаются в точке О, AN = 33, СМ =15. Найдите ON.

^ /< ^ 0

Ответ:

Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность,
— * равен 62°. Найдите угол С этого четырёхугольника. Ответ
дайте в градусах.
Ответ:______________________ .•

Найдите площадь
на рисунке.

параллелограмма,

изображённого

Ответ: ___________________ __ •

j g I На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
----- * ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Ответ:______ _________________•

Какое из следующих утверждений неверно?
1) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
2) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам
другого треугольника, то такие треугольники равны.
3) Любые два равносторонних треугольника подобны.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ: _______________________.
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.
С 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2023. ЧОУ ДПО «МДНМО».
I и использование в коммерческих целях беа письменного разрешения правообладателей ие допускается

ВАРИАНТ 26

145

ЧАСТЬ 2
П ри вы п о лн ен и и заданий 2 0 -2 5 используйт е Б Л А Н К ОТВЕТОВ № 2.
н а ч а ла укаж ит е ном ер задания, а зат ем запиш ит е его реш ение и от вет .
П и ш и т е чёт ко и разборчиво.

20 1 Р еш и те неравенство

-1 6
( д: + 2 )2- 5

<

0.

| 21

|

ДВУХ городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста.
П роехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 28 минут,
а затем продолж ил движ ение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние
м еж ду городами составляет 286 км , скорость первого велосипедиста равна 10 к м /ч ,
скорость второго
30 к м /ч . Определите расстояние от города, из которого выехал
второй велосипедист, до места встречи.

22

I

П остройте гр аф и к ф ун кц ии у
п р я м ая у - т

х -2

и определите, при к ак и х зн ачен и ях т

им еет с граф иком ровно одну общую точку.

О круж н ость п ересекает стороны А В и АС треугольника АВС в точках К и Р
соответственно и проходит через верш ины В и С. Н айдите длину отрезка КР, если
А К = 7, а сторона АС в 1,4 раза больш е стороны ВС.
В треу го л ьн и ке АВС с тупы м углом ВАС проведены высоты В В Х и ССГ Д окаж и те,
что тр еу го л ьн и к и А В ХСХ и АВС подобны.
У глы п ри одном из оснований трапеции равны 80° и 10°, а отрезки, соединяю щ ие
середины п ротивополож ны х сторон трапеции, равны 20 и 17. Н айдите основания
тр ап ец и и .

П роверьт е , чтобы каждый
соответствующего задания.

ответ

бы л

записан

рядом

с

номером

О 2023. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2023. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коыиеряеских целях без письыенного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 27
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1-19 являются цифра, число или последовательность
цифр, которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ М 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
являет ся последовательность цифр, то запишите её без пробелов, заняты*
и других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами._____________
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1-5.
Сергей Петрович решил построить на дачном участке теплицу длиной 4 м.
Для этого он сделал прямоугольный фундамент. Для каркаса теплицы Сергей
Петрович заказал металлические дуги в форме полуокружностей длиной 5 м каждая
и покрытие для обтяжки.

Отдельно требуется купить плёнку для передней и задней стенок теплицы.
В передней стенке планируется вход, показанный на рисунке прямоугольником
BCCiB^y где точки В, О и С делят отрезок AD на четыре равные части. Внутри
теплицы Сергей Петрович планирует сделать три грядки по длине теплицы —
одну центральную широкую грядку и две узкие грядки по краям. Между грядками
будут дорожки шириной 40 см, для которых необходимо купить тротуарную
плитку размером 20 х 20 см.
I Какое наименьшее количество дуг нужно заказать, чтобы расстояние между
----- соседними дугами было не более 60 см?
Ответ: ______________________ .
2 I Сколько упаковок плитки необходимо купить для дорожек между грядками, если
----- она продаётся в упаковках по 6 штук?

Ответ: ______________________ .
О 2028. ООО «Иадательство «Национальное обраоование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение н использование в коммерческих целях беа письменного раарешения правообладателей не допускается

147

ВАРИАНТ 27

3

| Найдите ширину теплицы. Ответ дайте в метрах с точностью до десятых.
Отпет:

------

_______ .

| Найдите ширину центральной грядки, если она в два раза больше ширины узкой
грядки. Ответ дайте в сантиметрах с точностью до десятков.
Ответ:

”д

| Найдите высоту входа в теплицу. Ответ дайте в сантиметрах.
Ответ:

g

| Найдите значение выражения —----36 + 45
Ответ: _______________
I На координатной прямой отмечены числа х, у и г .

Какая из разностей х - у , у - г , г - х положительна?
1) х - у
Ответ: |

__ j_ „Найдите


^

2) у - г

3) z ~ х

4 ) ни одна из них

|

з-7 з2

значение выражения - - 9 .

Ответ:

| Решите уравнение х2- 2 0 - х .
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
Ответ: _______________________ .

Г ^0 I Вероятность того, что новый фен прослужит больше года, равна 0,98. Вероятность
I------ 1 того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,86. Найдите вероятность того,
что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Ответ:_______________________ .
О 2023. ООО «Издательство «Национальное обрелововне». © 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

148

ТТЛ На рисунках изображены графики функций вида у - а х 2+Ьх + с . Установите
------ ' соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов а и с.
ГРАФИКИ

КОЭФФИЦИЕНТЫ
1) а > 0, с > 0

2) а > 0, с < 0

3) а < 0, с > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б В

~1 2 ~\ Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле

где U —

напряжение (в вольтах), R — сопротивление (в омах), t — время (в секундах).
Пользуясь этой формулой, найдите А (в джоулях), если t = 9 с, £/ = 8 В и Д = 12 Ом.
Ответ: __________________



Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
/ / / / /////Ц ___________________________

-8
1) х2 + 64 £ 0
Ответ: |

2) х2 - 64 < 0

8

х

3) х 2 - 64 > 0

4) х 2 + 64 £ О

|

В 11:00 часы сломались и за каждый следующий час отставали на одно и то же
количество минут по сравнению с предыдущим часом. В 21:00 того же дня часы
отставали на двадцать минут. На сколько минут отставали часы спустя 24 часа
после того, как они сломались?
Ответ: ________________________ .
ф 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2023. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях беа письменного разрешения правообладателей не допускается

149

ВАРИАНТ 27

И

В треугольнике АВС угол С равен 90°, АС =14, АВ = 20. Найдите
sin Б.
Ответ:

Отрезки АС и BD — диаметры окружности с центром О.
Угол АСВ равен 53°. Найдите угол AOD. Ответ дайте
в градусах.

В

С

A

D

Ответ: ____________________

17

Площадь параллелограмма ABCD равна 92. Точка Е —
середина стороны АВ. Найдите площадь трапеции DAEC.
Ответ: _________________

.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
треугольник АВС. Найдите длину его медианы, проведённой
из вершины С.
Ответ:

_________________ .

Какие из следующих утверждений верны?
1) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу,
опирающемуся на ту же дугу.
3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую,
перпендикулярную этой прямой.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ:
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов М 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.
О 2028. ООО «Иодательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение н использование в коммерческих целях без письменного разрешеиня правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

150

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйт е БЛ АН К ОТВЕТОВ A/s 2.
Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ.
Пишите чётко и разборчиво.
"20

1 Решите уравнение я '1 = (2 * -3 )“ .

~2 \
I Моторная лодка прошла против течения реки 132 км и вернулась в пункт
------ отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против
течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки
равна 5 км/ч.

~22~1 Постройте график функции у =х 2+ 3*-3|дг + 2|+2 и определите, при
------ значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно три общие точки.

каких

23 I Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках К и N
------' соответственно. Известно, что АВ = 12, ВС = 15, АС = 24, А К = 7, CN = 11. Найдите
длину отрезка KN.
2 4 --I

Сторона АВ параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка К — середина
' стороны АВ. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.

В трапеции ABCD основания AD и ВС равны соответственно 34 и 14, а сумма
углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через
точки А и В и касающейся прямой CD, если АВ = 12.
Проверьте, чтобы каждый
соответствующего задания.

ответ

был

записан

рядом

с

номером

О 2028. ООО «Издательство «Национальное обрааоваяне». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространенна и использование в коммерческих целях без письменного ралрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 28
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1-19 являются цифра, число или последовательность
цифр, которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
является последовательность цифр, то запишите её без пробелов, запятых
и других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1-5.
Сергей Петрович решил построить на дачном участке теплицу длиной 4 м.
Для этого он сделал прямоугольный фундамент. Для каркаса теплицы Сергей
Петрович заказал металлические дуги в форме полуокружностей длиной 5 м каждая
и покрытие для обтяжки.

Отдельно требуется купить плёнку для передней и задней стенок теплицы.
Внутри теплицы Сергей Петрович планирует сделать три грядки по длине
теплицы — одну центральную широкую грядку и две узкие грядки по краям.
Между грядками будут дорожки шириной 40 см, для которых необходимо купить
тротуарную плитку размером 20 х 20 см. Высота теплицы показана на рисунке
отрезком HF.

I— 7— I Какое наименьшее количество дуг нужно заказать, чтобы расстояние между
*-------- 1 соседними дугами было не более 70 см?
Ответ: ________________________ •
— | Ск0лько упаковок плитки необходимо купить для дорожек между грядками, если
----- ' она продаётся в упаковках по 12 штук?
Ответ: ------------------- ------------------ *
О 2028. ООО « И а д а т в л ы п з о “письменного рм решения пршюобладателеа не допускается
Копирование, распространение н исполъаошание в коммерчески* и

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

152

Найдите высоту теплицы. Ответ дайте в метрах с точностью до десятых.
Ответ:________________________ .
Найдите площадь участка, отведённого под теплицу. Ответ дайте в квадратных
метрах. Результат округлите до целых.
Ответ: ________________________ .
Сколько квадратных метров плёнки необходимо купить для передней и задней
стенок, если с учётом крепежа её нужно брать с запасом 10 % ? Ответ округлите
до десятых.
Ответ: ________________________ .

Найдите значение выражения
21 + 28
Ответ: ________________________ .
у

| На координатной прямой отмечены числа х у у и z.
Z

X

у

Какая из разностей y - z y у - х у х - г отрицательна?
1) У~ z
Ответ: |

2) у - х

3) x - z

4) ни одна из них

|
0—
6 tрб

g

| Найдите значение выражения —— —
Ответ: ________________________ .

g

| Решите уравнение х2- 3 5 = 2х.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Ответ: ________________________ .

IQ I Вероятность того, что новый утюг прослужит больше года, равна 0,94. Вероятность
------ 1 того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,85. Найдите вероятность того,
что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Ответ: ________________________ .
О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО»
Копирован», распространенна и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 28

153

На рисунках изображены графики функций вида у =ах2+Ьх +с. Установите
соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов а и с.
ГРАФИКИ

КОЭФФИЦИЕНТЫ
1) а > 0, с < 0

2) а < 0, с > 0

3) а > 0, с > О

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б В

I Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле A =I 2R t, где I —
----- ' сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах), £ — время (в секундах).
Пользуясь этой формулой, найдите А (в джоулях), если £ = 10 с, / = 4 А и Л = 2 Ом.
О твет:_______________________ .

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
-7
1) ас2 - 4 9 £ 0
Ответ: |

2) *2 + 49 < 0

7

х

3) i 2 - 4 9 2 0

4 ) * 2+ 4 9 £ 0

|

I В 8:00 часы сломались и за каждый следующий час отставали на одно и то же
----- ' количество минут по сравнению с предыдущим часом. В 23:00 того же дня часы
отставали на 15 минут. На сколько минут отставали часы спустя 36 часов после
того, как они сломались?

Ответ: _______________________ .
О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение н испольаование в коммерческих целях без письменного раарешепня правообладателей не допускается

154

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

В треугольнике АВС угол С равен 90°, Ж ?-.14, А Д -2 0 . Найдите
sin B .

£

Ответ:

А

С

1 В окружности с центром О отрезки АС и BD — диаметры.
------ Угол AOD равен 108°. Найдите угол АС В. Ответ дайте
в градусах.
Ответ: _______________________ .

В

Площадь параллелограмма ABCD равна 96. Точка Е —
середина стороны АД. Найдите площадь треугольника СBE.
Ответ:

А

С

D

Ig I На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
треугольник АВС. Найдите длину его медианы,
проведённой из вершины С.
Ответ: ______________________ .

19 | Какие из следующих утверждений верны?

1) Если диагонали параллелограмма равны, то он является ромбом.
2) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую,
параллельную этой прямой.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ:
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.
С 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и испольеованне в коммерческих целях бее письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 28

155

ЧАСТЬ 2
П ри вы полнении заданий 20-25 используйте БЛАН К ОТВЕТОВ № 2.
Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ.
П ишите чётко и разборчиво.
2Q | Решите уравнение х4 = (З х -4 )2.
| 21 | Моторная лодка прошла против течения реки 208 км и вернулась в пункт
отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против
течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки
равна 5 км/ч.
| 22 | Постройте график функции у =х2-1 1 х -2 |х -5 |+ 3 0 и определите, при каких
значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно три общие точки.
| 23 | Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках К и N
-------- соответственно. Известно, что АВ =9, ВС = 12, АС = 18, АК =5, CN =9. Найдите
длину отрезка KN.
I 24 I Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны АВ. Точка G — середина
-------- стороны AD. Докажите, что BG — биссектриса угла АВС.
I 25 I В трапеции ABCD основания AD и ВС равны соответственно 34 и 2, а сумма углов
-------- при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через
точки А и В и касающейся прямой CD, если АВ = 24.
Проверьте, чтобы каждый
соответствующего задания.

ответ

был

записан

рядом

с

номером

С 2028. ООО «Издательство «Национальное образование*. О 2023. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение н использование в коммерческих целях беа письменного раарешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 29
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1—19 являются цифра, число или последовательность
цифр, которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
являет ся последовательность цифр, то запишите её без пробелов, запятых
и других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1-5.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение
имеет размеры: длина 2,6 м, ширина 2,5 м, высота 2,2 м. Окон в парном отделении
нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного
проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую
или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
Номер
печи

Тип

Объём помещения
(куб. м)

Масса
(кг)

1

дровяная

8-13

42

19 000

2

дровяная

10-15,5

48

20 700

3

электрическая

9-15

15

16 500

Стоимость
(руб.)

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка
электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся
в 6200 руб.
1

I Установите соответствие между объёмами помещения и номерами печей,
для которых данный объём является наибольшим для отопления помещений.
Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр
без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Объём (куб. м)

13

15

15,5

Номер печи
I Найдите площадь пола парного отделения
----- в квадратных метрах.
~2

строящейся

бани.

Ответ дайте

Ответ: _________________ _____ .
3

I Во сколько рублей обойдётся покупка дровяной печи, подходящей по объёму
парного отделения, с доставкой, если доставка печи до дачного участка будет
стоить 1400 рублей?
Ответ: ______________________ .

О 2023. ООО «Издательство «Национально* образование». О 2023. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространенна и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 29

4

|

157

элсктрическую печь сделали скидку 15 %. Сколько рублей стала стоить печь?
Ответ: __

~5 | Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан
на рисунке 2.

Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена
в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром
в середине нижней части кожуха (рис. 2).
Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R.
Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления
арки в сантиметрах.
Ответ: _______________________.
Найдите значение выражения
Ответ:
rj

| Какое из данных чисел принадлежит промежутку [5; 6]?
1) V5
Ответ: |

2) V6

3) 724

4) V32

|

—— I Найдите значение выражения у/a2 +12ab +36bz при а =8 ^ и Ь =—.
8__|
5
5
Ответ:______________________ •
О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение в использование в коммерческих целях без письменного раорешепия правообладателей не допускается

ОГЭ ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

158

г=
“о____ II Найдите корень уравнения ---л*
о
Ответ:_______________________.
1 В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 17 чёрных, 15 жёлтых
------ и 8 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе
всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Ответ: ______________________ .
11

Установите соответствие между
и графиками этих функций.

формулами,

ФОРМУЛЫ
Б) у = 0,5* + 2
ГРАФИКИ

А) у = -0 ,5 * -2

которыми

заданы

функции,

В) у = 0 ,5 * -2

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
|

12

А Б В

| Площадь треугольника вычисляется по формуле S = —besina, где Ъ и с — две
стороны треугольника, а a — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите
площадь S, если 6 = 16, с - 9 и sin a = i .

3
Ответ:

DUl

Укажите множество решений неравенства
2 * + 4 ^ -4 * + 1.

-------------- ^жжжжжж/^

з) _

жжжжжжжц

4)

-0,5
2)

9

Ответ:

-

2,6

/ / / / / / / / / / / / / у/ / / / / / / / / / / / щ

-0,5



О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и нспольаованае в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 29

159

И

п

: ~

: ^

" Г

НаЮТ С 10МИНУТ 8 первый день и увеличивают время
В как°й ПО счёту день

Ответ:

I

15

В равнобедренном треугольнике АВС
с основанием АС внешний угол при
вершине С равен 144°. Найдите
величину угла АВС. Ответ дайте
в градусах.
Ответ:

Тб

___

| Центр окружности, описанной около треугольника АВС,
лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 20,5.
Найдите ВС, если АС = 9.
Ответ: _________

| 17 | Периметр ромба равен 12, а один из углов равен 30°.
Найдите площадь ромба.
Ответ: ______________________ .

ГнГ]

« а клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
угол. Найдите тангенс этого угла.
Ответ: ______________________ .

| IQ | Какое из следующих утверждений верно?
1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника,
то такие треугольники подобны.
2) Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
3) Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ: _______________________.
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.
е 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

160

ЧАСТЬ 2
При вы полнении заданий 20-25 используйт е БЛ АН К ОТВЕТОВ № 2.
Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ.
Пишите чётко и разборчиво.
^0

I Решите неравенство (дг-7)2 < VTT(.r-7).
Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба.
Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом
105 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?
Постройте график функции
Г—jc2 —2jc-ь1 , если х > -3 ,

у =\
[-JC-5, если

дгс-З,

и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две
общие точки.
В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла А
пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону CD
в точке К. Известно, что угол AFC равен 150°. Найдите СК, если FK =6у/3.
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что
продолжения сторон AD и ВС четырёхугольника пересекаются в точке К. Докажите,
что треугольники КАВ и KCD подобны.
На стороне ВС остроугольного треугольника АВС ( А В ф А С ) как на диаметре
построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке М, AD = 80,
MD = 64, Н — точка пересечения высот треугольника АВС. Найдите АН.
Проверьте, чтобы каждый
соответствующего задания.

ответ

был

записан

рядом

с

номером

О 2028. ООО «Издательство «Национальное обрааование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение н использование в коммерческих целях беа письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 30
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1-19 являются цифра, число или последовательность
цифр, которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
является последовательность цифр, то запишите её без пробелов, запятых
и_ других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1-5.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение
имеет размеры: длина 2,8 м, ширина 2,5 м, высота 2 м. Окон в парном отделении
нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного
проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую
или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
Номер
печи

Тип

Объём помещения
(куб. м)

Масса
(кг)

Стоимость
(руб.)

1

дровяная

9-13

40

18 500

2

дровяная

10-16

46

20 500

3

электрическая

9-15

16

16 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка
электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся
в 5500 руб.

\

I Установите соответствие между стоимостями и номерами печей.
-----* Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр
без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Стоимость (руб.)

16 000

18 500

20 500

Номер печи
Найдите площадь потолка парного отделения строящейся бани. Ответ дайте
в квадратных метрах.
Ответ:_________ ______________ •
~ —I На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного
——I отделения, обойдётся дороже электрической без учётаустановки?
Ответ: ___________________ _— •
© 2023 ООО «Издательство «Национальное образование». О 2023. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

162

Доставка любой печи из магазина до участка стоит 1000 рублей. При покупке
печи стоимостью больше 19 000 рублей магазин делает скидку 5 % на товар и 30 %
на доставку. Сколько рублей будет стоить покупка печи номер 2 с доставкой
на этих условиях?
О твет:_______________________ .

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан
на рисунке 2.

Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена
в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром
в середине нижней части кожуха (рис. 2).
Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R.
Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления
арки в сантиметрах.
Ответ: _______________________ .
“g I Найдите значение выражения 15*[— +— |.
____I
v 20 30)
Ответ:
7

| Какое из данных чисел принадлежит промежутку [6; 7]?
1) V6
Ответ: |

g

2) V7

3) Ш

4) у/50

|

| Найдите значение выражения >/4аа+12аЬ + 9&2 при а = 2 ^ - и Ь = — .
Ответ:

О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Кодирование, распространение и использование в коммерческих целях бео письменного разрешения правообладателей пе допускается

ВАРИАНТ 30

I 9

I

163

Найдите корень уравнения —- — = - —

1---------------- 1

*

х +8

4



О твет:______________

j jq | В фирме такси в данный момент свободно 50 машин: 15 чёрных, 23 жёлтые
и 12 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе
всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет зелёное такси.
Ответ:
И

I Установите

соответствие между
и графиками этих функций.

формулами,

которыми

заданы

функции,

--------------* И ГПЯГЬМКЯЛЛИ 4TUY fhVHKnHH

ФОРМУЛЫ
Б) у =- 0,5гс-3

А) у =0,5дг-3

В) у =-0 ,5 х +3

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
а |б |в
О т в е т :------------

1,
| Площадь треугольника вычисляется по формуле S = —bcsina, где Ъ и с — две
стороны треугольника, а a — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите
величину sina, если Ь= 10, с = 5 и S = 20.
Ответ:
~ 13

j Укажите множество решении неравенства
4 х -5 £ 2 * -4 .
1)

-1,5

4

2)
Ответ: |

3)

-1,5

0,5

) ///////////////////У //////Щ

-0,5

|

О 2028. ООО «Ивдательство «Национальное обрааованне». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распростраяенне н нспоямованяе в коммерческих целях бее письменного ралрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

164

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время
этой процедуры в каждый следующий день на 5 минут. В какой по счёту день
продолжительность процедуры достигнет 1 часа?
Ответ: _______________________ .
В равнобедренном треугольнике АВС
с основанием АС угол АВС равен 98°.
Найдите внешний угол при вершине С.
Ответ дайте в градусах.
Ответ: _______________________ .

г а

Сторона АС треугольника АВС проходит через центр описанной
около него окружности. Найдите Z C , если ZA = 33°. Ответ
дайте в градусах.
Ответ: _______________________ .

17 I Периметр ромба равен 56, а один из углов равен 30°.

-----

Найдите площадь ромба.
Ответ: _______________________ .

l F I На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
угол. Найдите тангенс этого угла.
Ответ:_______________________.

19 | Какое из следующих утверждений верно?

1) Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
2) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
3) Бели две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам
другого треугольника, то такие треугольники равны.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ: _______________________ .
О 2023. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 30

165

Нс забудьте перенести все о тв еты в бланк ответов № 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый о т в е т был записан в строке с номером
соответствую щ его задания.

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2.
Сначала укаж ите номер задания, а за т е м запишите его решение и о т в е т .
П иш ите чётко и разборчиво.
20

I

Решите неравенство (х - 5 )2 < V 7 (*- 5 ) .

Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба.
Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом
100 литров она заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба?

*22 | Постройте график функции
У~\

(-Х2-2х + 3, если х > - 2 ,
[-JC + 1,

если х < - 2 ,

и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две
общие точки.
2 з I В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла А
—— ' пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону CD
в точке К. Известно, что угол AFC равен 150°. Найдите FK , если CF = 12>/3.

24

~ | Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что
J продолжения сторон АВ и CD четырёхугольника пересекаются в точке М.
Докажите, что треугольники МВС и MDA подобны.

"гг- 1 На


стороне ВС остроугольного треугольника АВС ( А В ф А С ) как на диаметре
I построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке М , AD = 90,
МП = 6 9 , Я — точка пересечения высот треугольника АВС. Найдите АН.

Проверьте, чтобы каждый о т в е т был записан рядом с номером
соответствующего задания.__________________________________________________

О 2023. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2023. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копаров&яае, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 31
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1-19 являются цифра, число или последовательность
цифр, которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
является последовательность цифр, то запишите её без пробелов, запятых
и других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1-5.
Дима летом отдыхает у дедушки в деревне Васильевне. Во вторник они собираются
съездить на велосипедах в село Плодородное на ярмарку. Из деревни Васильевки
в село Плодородное можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный
путь: по прямолинейному шоссе через деревню Шарковку до деревни Рассвет,
где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село
Плодородное. Есть и третий маршрут: в деревне Шарковке можно свернуть на прямую
тропинку в село Плодородное, которая идёт мимо пруда.
Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Дима с дедушкой едут со скоростью 26 км/ч, а по лесной дорожке
и тропинке — со скоростью 18 км/ч. На плане изображено взаимное расположение
населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 3 км.
О 2028. ООО «Издательство • Национальное обрааование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
пне в коммерческих ц е л и бее письменного ралрешении правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 31

167

| J | Польз>ясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены
-------- населенные пункты.
Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр
ез про елов, запятых и других дополнительных символов.

Насел, пункты
Цифры
1 2

д. Васильевка

д. Шарковка

д. Рассвет

| Сколько километров проедут Дима с дедушкой от деревни Васильевки до села
Плодородного, если они поедут по шоссе через деревню Рассвет?
Ответ:

| g

| Найдите расстояние от деревни Шарковки до села Плодородного по прямой. Ответ
дайте в километрах.
Ответ:

| 4

___________________ .

| Сколько минут затратят на дорогу из деревни Васильевки в село Плодородное
Дима с дедушкой, если они поедут сначала по шоссе, а затем свернут в Шарковке
на прямую тропинку, которая проходит мимо пруда?
Ответ: ______________________ .
В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах,
расположенных в деревне Васильевке, селе Плодородном, деревне Шарковке
и деревне Рассвет.
Наименование
продукта

д. Васильевка

с. Плодородное

Молоко (1 л )

37

38

36

39

Хлеб (1 батон)

16

18

22

21

д. Шарковка д. Рассвет

Сыр «Российский»
(1 кг)
Говядина (1 кг)

240

280

250

260

420

430

415

410

Картофель (1 кг)

30

28

35

25

Дима с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 кг говядины и 2 кг картофеля.
В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ
запишите стоимость данного набора в этом магазине.
Ответ:
9,5+8,9
~ —| Найдите значение выражения — — —
Ответ:_______________________•
О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». © 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
К опирование, распространение н использование в коммерческих целях бее письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

168

На координатной прямой отмечено число а.
а
— I----------1-------------1----------- 1----------1— с — I------------1------------ 1----------- 1----------- (-►

О

1

Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
1) а - 8 >0
Ответ: |

2) 7 - а 0

4) 2 - а > 0

|

Найдите значение выражения а-13 (а5)3 при а = 7.
Ответ: _______________________ .
Найдите решение уравнения 2*2+ 5 х -7 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Ответ: _______________________ .
IQ I В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем,
------ одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 4 раза меньше, чем
пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой
коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.
Ответ: _______________________ .
11

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ

Уп

У

-

Г
\
\

1

2
1

V
\,



1-

1-

/

--1 - E
1)

у = хг- 5*+3

2)

\

L7 ~ \\

й/11-

X

;

/

у\п

ФОРМУЛЫ
у = -х?+ 5 * -3

V*

\
\

7

/

E E E t
3)

у = 1г+5зс+3

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:

А Б В

О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространенна н использование в коммерческих целях бее письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 31

| 12 |
^

169
окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле
2sinc ’ ГДе а ~ стоРона» а а — противолежащий ей угол треугольника.

Пользуясь этой формулой, найдите R , если а = 10 и sina = —.
3
Ответ:
| jg | Укажите решение неравенства
2*-8>4;с + 6.
1) (-°о; 1)
Ответ: |

2) (1; +со)

3) (-да; -7 )

4) (-7;+оо)

|

I
I Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается
*-------1 делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после
шестикратного деления их стало 1280?
Ответ: _______________________.
Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5.
Найдите гипотенузу этого треугольника.
Ответ:
jg I Точка О — центр окружности, на которой лежат точки А,
----- ' В и С. Известно, что ZABC = 61° и ZOAB =S°. Найдите
угол ВСО. Ответ дайте в градусах.
Ответ:

I в трапеции ABCD AB =CD, /.BDA= 22» и
—— ' Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

ZBDC =45».

В

С

Ответ:

18

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
параллелограмм. Найдите его площадь.
Ответ:

О 2023. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение я использование в коммерческих целях беа письменного разрешения правообладателей не допускается

170

К]

ОГЭ ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

Какие из следующих утверждений верны?
1) Для точки, лежащей на окружноегп, расстояние до центра окружности равно
радиусу.
2) Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.
3) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ: ________________________ .
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов М 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером,
соответствующего задания.

ЧАСТЬ 2
П ри выполнении заданий 2 0 -2 5 используйт е Б Л А Н К ОТВЕТОВ М 2.
Сначала укажите номер задания, а зат ем запиш ите его реш ение и ответ.
Пишите чёт ко и разборчиво.
Решите уравнение х3 + 7х2 = 4х + 28.
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же
места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя 20 минут, когда одному
из них оставалось 400 м до окончания первого круга, ему сообщили, что второй
бегун пробежал первый круг 1 минуту назад. Найдите скорость первого бегуна,
если известно, что она на 2 км/ч меньше скорости второго.
22

Постройте график функции
(х2+2
У= \ 6
9

при

х>-2,

при

х 0

Ответ: |
3

2) 5 - а < 0

этого числа является верным?
3) о - 3 < 0

4) 2 - а —1,

при

х

-

\Ъх2 +у2 = 6 1 ,

| Решите систему уравнении j15jc2 + 3^2 = 61д.

~2i I По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют
------ скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч
и 40 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 350 метрам. Найдите длину скорого
поезда, если время, за которое он прошёл мимо пассажирского, равно 36 секундам.
Ответ дайте в метрах.

I Постройте график функции у = \х\(х- 1)-Ъ х и определите, при каких значениях т
------' прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.
~22

2 з I Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС
—— в точках М и N соответственно. Найдите BN , если MN =20, АС = 35, АТС= 39.

~24~~\ в трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке Р.
----- ■ Докажите, что площади треугольников АРВ и CPD равны.
~2 5 ~~\ В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром
— —I окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А
и прямых AD и АС соответственно равны 25, 15 и 7. Найдите площадь
параллелограмма ABCD.
Проверьте, чтобы каждый
соответствующего задания.

ответ

был

записан

рядом

с

номером

О 2023. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
страневие ■ использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей ие допускается

ВАРИАНТ 34
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1-19 являются цифра, число или последовательность
цифр, которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
является последовательность цифр, то запишите её без пробелов, запятых
и других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1-5.
В жилых домах установлены бытовые электросчётчики, которые фиксируют
расход электроэнергии в киловатт-часах (кВт • ч). Учёт расхода электроэнергии
может быть однотарифным, двухтарифным или трёхтарифным.
При однотарифном учёте стоимость 1 кВт • ч электроэнергии не меняется в течение
суток. При двухтарифном и трёхтарифном учёте она различна в зависимости
от времени суток (сутки разбиты на периоды, называемые тарифными зонами).
В таблице дана стоимость 1 кВт-ч электроэнергии в рублях в 2021 году.

Однотарифный учёт

I полугодие
2021 г.

II полугодие
2021 г.

5,47

5,66

Двухтарифный учёт (распределение по двум тарифным зонам):
ночная зона Т2 (23:00-7:00)

2,13

2,32

дневная зона Т1 (7:00-23:00)

6,29

6,51

Трёхтарифный учёт (распределение по трём тарифным зонам):
ночная зона Т2 (23:00-7:00)

2,13

полупиковая зона ТЗ (10:00-17:00; 21:00-23:00)

5,47

5,66

пиковая зона Т1 (7:00-10:00; 17:00-21:00)

6,57

6,79

2,32

В квартире у Ивана Денисовича установлен трёхтарифный счётчик, и в 2021 году
Иван Денисович оплачивал электроэнергию по трёхтарифному учёту.
На рисунке точками показан расход электроэнергии в квартире Ивана Денисовича
по тарифным зонам за каждый месяц 2021 года. Для наглядности точки соединены

О 2028. ООО «Иадатедьство «Национальное образованно». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Коп*ро1Виве. Распространение я испольаованяе в коммерчески ц е д и беа письменного раорешеняя правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 34

183

1

2

3 4

ночная (Т2)

5 6

7

8

9

10

полудиковая (ТЗ)

11

12

пиковая (Т1)

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов
времени характеристику расхода электроэнергии.

A)
Б)
B)
Г)

ПЕРИОДЫ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

март — апрель
июнь — июль
июль — август
сентябрь — октябрь

1) расход уменьшился во всех трёх тарифных зонах
2) расход в пиковой и ночной зонах уменьшился
одинаково
3) расход в пиковой зоне увеличился на столько же,
на сколько уменьшился расход в полупиковой зоне
4) расход в ночной зоне уменьшился, а в пиковой
и полупиковой — увеличился

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б

В Г

——| Сколько кВт • ч было израсходовано в марте?
Ответ:_______________________•
----- 1 На сколько рублей больше заплатил бы Иван Денисович за электроэнергию,
_?__1 израсходованную в мае, если бы пользовался однотарифным учётом?
Ответ:________________



——I На сколько процентов общий расход электроэнергии в квартире Ивана Денисовича
J в апреле был меньше, чем в марте? Ответ округлите до десятых.

4

Ответ:______________________ •
О 2028 ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение ■ испольмванне в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

184

"g 1 Сосед Ивана Денисовича, Илья Данилович, исходя из данных по расходу
----- ' электроэнергии за 2021 год в своей квартире, рассчитал средний расход
электроэнергии за месяц по тарифным зонам:
- ночная зона — 84 кВт ч,
- полупиковая зона — 144 кВт-ч,
- пиковая зона — 152 кВт-ч.
Илья Данилович предполагает, что в 2022 году средний расход электроэнергии
будет таким же. Исходя из этого, выберите наиболее выгодный вариант учёта
электроэнергии для Ильи Даниловича в 2022 году (однотарифный, двухтарифный
или трёхтарифный). Считайте, что стоимость 1 кВт • ч электроэнергии будет такой
же, как во II полугодии 2021 года. Оцените общие расходы Ильи Даниловича
на оплату электроэнергии (в рублях) за 2022 год (по наиболее выгодному варианту
учёта), если средний расход электроэнергии действительно будет таким же.
1) менее 5 тыс. руб.
2) от 5 тыс. руб. до 10 тыс. руб.
3) от 10 тыс. руб. до 15 тыс. руб.

4) от 15 тыс. руб. до 20 тыс. руб.
5) от 20 тыс. руб. до 25 тыс. руб.
6) более 25 тыс. руб.

В ответ запишите номер верного варианта оценки расходов.
Ответ: _______________________.
| Найдите значение выражения 6 ,4 -7 (-3 ,3 ).
Ответ: _______________________.
"у 1 На координатной прямой отмечены точки А, В, С, D. Одна из них соответствует
числу V76. Какая это точка?

_____ 1

А
л

В
»

___ 1

8
1) точка А
Ответ: |

С

D

9

10

2) точка В

3) точка С

4) точка D

|

Найдите значение выражения

при

Ь=

9.

Ответ: _______________________ .
Найдите корень уравнения 10(х+2) = -7 .
Ответ:________________________ .
адП в соревнованиях по толканию ядра участвуют 6 спортсменов из Великобритании,
------ 1 3 спортсмена из Франции, 6 спортсменов из Германии и 10 — из Италии. Порядок,
в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность
того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Франции.
Ответ:________________________ .
О 2029. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
в
в коммеоческих целях без письменного папоптенин т и т к . . ! _____.

не допускается

ВАРИАНТ 34

1 Ч

185

1 ^ станош1то соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А Б В

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле Р = — , где U —
R
напряжение (в вольтах), R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой,
найдите Р (в ваттах), если R = 8 Ом и U = 16 В.
Ответ: ________________________ .

Укажите решение неравенства
8 * -3 (3 * + 8 )> 9 .
1) [15;+оо)
Ответ: |

2) (-оо;-33]

3) (-оо; 15]

4) [-3 3 ;+ » )

|

ТТЛ Врач прописал больному капли по следующей схеме: в первый день 10 капель,

I а в каждый следующий день на 10 капель больше, чем в предыдущий, до тех пор,
пока дневная доза не достигнет 60 капель. Такую дневную дозу (60 капель) больной
ежедневно принимает пять дней, а затем уменьшает приём на 10 капель в день
до последнего дня, когда больной принимает последние десять капель. Сколько
пузырьков лекарства нужно купить на весь курс, если в каждом пузырьке 5 мл
лекарства, то есть 130 капель?
Ответ:_______________ ________ •
О 2028. 0 0 0 • Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО*.
Копирование, распространение н использование в коммерческих целях бее письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

186

Yg I В треугольнике ABC ZfMC = 86°, AD — биссектриса.
------ * Найдите ZBAD. Ответ дайте в градусах.
Ответ:________________________ .

На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что
ZAOB = 122°. Длина меньшей дуги АВ равна 61. Найдите
длину большей дуги АВ.
Ответ: ________________________.

Сторона ромба равна 14, а один из углов этого ромба
равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
Ответ: _________________________.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
прямоугольный треугольник. Найдите длину его гипотенузы.
Ответ: _________________________.

Какое из следующих утверждений верно?
1) Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
2) Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
3) Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ:_________________________.

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов М 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы .
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.
е

2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
» в коммерчески целях бев письменного разрешения правообладателей ве допускается

ВАРИАНТ 34

187

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 2 0-25 используйте БЛ А Н К ОТВЕТОВ № 2.
начала у к а ж и т е номер задания, а з а т е м зап и ш и те его решение и о т в е т .
П и ш и т е ч ё т к о и разборчиво.
20 I Решите систему уравнений \Ьх2 + у2 =36,
[10х2 +2у2 =36лг.
j Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 75 км/ч, проезжает мимо пешехода,
идущего параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду, за 30 секунд.
Найдите длину поезда в метрах.
| 22 | Постройте график функции z/ = | x | ( * + 2 )- 5 jc и определите, при каких значениях т
прямая у - т имеет с графиком ровно две общие точки.

I Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС
в точках М и N соответственно. Найдите B N , если MN = 15, АС = 25, NC = 22.
24

-----

I В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О.
Докажите, что площади треугольников АОВ и COD равны.

I В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром
----- ' окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А
и прямых AD и АС соответственно равны 25, 13 и 7. Найдите площадь
параллелограмма ABCD.
"25

П роверьте, чтобы каждый
с о ответству ю щ его задания.

ответ

был

записан

рядом

с

номером

О 2028. ООО «Издательство .Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 35
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1—19 являются цифра, число или последовательность
цифр, которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ М 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
является последовательность цифр, то запишите её без пробелов, запятых
и других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1-5.
Ваня летом отдыхает у дедушки и бабушки
в деревне Николаевке. Ваня с дедушкой
собираются съездить на велосипедах в село
Игнатьево на железнодорожную станцию.
Из Николаевки в Игнатьево можно проехать
по шоссе до деревни Сосновки, где нужно
свернуть под прямым углом направо на другое
шоссе, ведущее в Игнатьево через посёлок
Дачный. Из Николаевки в Игнатьево можно
проехать через посёлок Дачный и не заезжая
в Сосновку, но тогда первую часть пути надо
будет ехать по прямой лесной дорожке. Есть
и третий маршрут: доехать по прямой тропинке
мимо озера до деревни Кулички и там, повернув
налево, по шоссе добраться до Игнатьево.
По шоссе Ваня с дедушкой едут со скоростью
20 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке —
15 км/ч. Расстояние по шоссе от Николаевки
до Сосновки равно 15 км, от Игнатьево
до Сосновки — 24 км, от Игнатьево
до Дачного — 16 км, а от Игнатьево
до Куличек — 8 км.
1

I Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены
населённые пункты. В ответ запишите полученную последовательность пяти цифр.
Насел, пункты д. Николаевка с. Игнатьево д. Сосновка п. Дачный д. Кулички
Цифры

2 I На сколько процентов скорость, с которой едут Ваня с дедушкой по тропинке,
----- меньше их скорости по шоссе?
Ответ: _______________________ .
О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного раарешення правообладателей но допускается

ВАРИАНТ 35

3

189

| Н у д и т е расстояние от деревни Николаевки до посёлка Дачного по лесной дорожке.
Ответ дайте в километрах.
Ответ:

"4

I Сколько м ин ут затр атя т на дорогу Ваня с дедушкой, если поедут на станцию через
----- 1 Сосновку?

Ответ: __________

|

5

| Определите, на какой маршрут до станции потребуется меньше всего времени.
В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Ваня с дедушкой, если поедут
этим маршрутом.
Ответ: ________________________ .
Найдите значение выражения

0,8
*

1

Ответ:
4
7
Какое из следующих чисел заключено между числами — и — ?
17
1) 0,2

2) 0,3

3) 0,4

4) 0,5

В ответ запишите номер выбранного варианта.
Ответ:

U

Найдите значение выражения



Ответ:
Решите уравнение (5 jc- 2 ) ( - jc+ 3) = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Ответ:________________________ •
~ —I В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают трёх человек,
— —I которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того,
что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

Ответ: ________________________ .
О 2023. ООО «Издательство «Национальное образование», О 2023. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
К опирован», распространенно в использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

190

□Г]

Установите соответствие между формулами, которыми заданы функции, и графиками
этих функций.
ФОРМУЛЫ
Б)

А) у = - х 2+2 х + 4

В)

у - х г- 2.Г-4

у = - х - 2 х +4

ГРАФИКИ
%

/

—_ _iI-. .1..
'
\! 1
IV
ft.

-

1

/ 0

\
\
\

г

[
-

L

/
г

У,i

Г

X
1

1

\
\ 1
\1 0
V

\

i

7
гГ



у

/
ч

1
1f
- L
- t

V

\

Л -



t
j

1

JU

1/а
Г \

.

X

г

.L

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:

A Б В

Теорему синусов можно записать в виде ------ = -------, где а и Ъ — две стороны
sin a sinp
треугольника, а а и р — углы треугольника, лежащие против этих сторон
соответственно. Пользуясь этой формулой, найдите а, если

Ь= 6 ,

s in a = —
12

и sinP = —.

8

Ответ: ________________________ .

ИИ Укажите решение неравенства

*2- 4 9 i 0 .

1) [-7 :7 ]

3) (-o o ;-7 ]u [7 ;+ o o )

2) нет решений

4) ( - 00; +оо)

Ответ:



К концу 2009 года в городе проживало 53 100 человек. Каждый год число жителей
------ ■ города возрастало на одну и ту же величину. В конце 2018 года в городе проживало
60 390 человек. Какова была численность населения этого города к концу
2015 года?
Ответ:________________________ .
О 2028. ООО «Иадвтельство «Н ационально* образование». С 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Кмшрмыои, распространение ■ ясподьеоваиие и коммерческих целях бее письменного разрешения правообладателей ие допускается

ВАРИАНТ 35

191

| 15 | Точки M 11 N являются серединами сторон АВ и ВС
треугольника АБС, сторона АВ равна 73, сторона ВС
равна 31, сторона АС равна 42. Найдите MN.

В

м/

Ответ:
А

С

16 | Угол А трапеции ABCD с основаниями AD и БС, вписанной
в окружность, равен 77°. Найдите угол С этой трапеции.
Ответ дайте в градусах.
Ответ: _________

| y j | В ромбе ABCD угол АБС равен 68°. Найдите угол ACD.
Ответ дайте в градусах.
Ответ:
А

18

D

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
треугольник. Найдите его площадь.
Ответ: _______________________.

19

Какие из следующих утверждений верны?
1) Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
2) Все углы ромба равны.
3) Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ:
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов М 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.

Копиры

е 2028. 0 0 0 •Издательство «Национальное обрелованне». О 2028. ЧОУ ДПО «МННМО*
гранение н испохьаованне в коммерческих целях беа письменного раарешення правообладателей

не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

192

ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛ АН К ОТВЕТОВ М 2.
Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ.
Пишите чётко и разборчиво.

20

Найдите значение выражения 41а-6 + 45, если

а -66+ 5
6а-6+5

Шесть одинаковых рубашек дешевле куртки на 8 %. На сколько процентов девять
таких же рубашек дороже куртки?

Постройте

график

функции

(х 2+ 0,25)(д: + 1)
У - ------- - \ - х -------

и

0ПРеДелите» ПРИ каких

значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К.
Найдите периметр параллелограмма, если ВК =10, СК =18.

1 Окружности с центрами в точках Е и F пересекаются в точках С и О, причём
J точки Е и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CDLEF.

В треугольнике АВС биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют
одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника АВС.
Проверьте, чтобы каждый
соответствующего задания.

ответ

был

записан

рядом,

с

номером

О 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распрострем кие и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей ие допускается

ВАРИАНТ 36
ЧАСТЬ 1
Ответами к заданиям 1-19 являются цифра, число или последовательность
цифр, которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ Л? 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
являет ся последовательность цифр, то запишите её без пробелов, запятых
и других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1—5.
Маша летом отдыхает у дедушки и бабушки
в посёлке Дачном. Маша с дедушкой собираются
съездить на машине на железнодорожную
станцию Путятино. Из Дачного в Путятино
можно проехать по прямой грунтовой дороге.
Есть более длинный путь по шоссе — через
деревню Ковылкино до деревни Лесной, где
нужно повернуть под прямым углом налево
на другое шоссе, ведущее в Путятино. Есть
и третий маршрут: в Ковылкино можно
свернуть на прямую грунтовую дорогу, которая
идёт мимо пруда прямо в Путятино.
По шоссе Маша с дедушкой едут со скоростью
72 км/ч, а по грунтовым дорогам — 50 км/ч.
Расстояние по шоссе от Дачного до Ковылкино
равно 36 км, от Дачного до Лесной —
60 км, а от Лесной до Путятино — 45 км.

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые
пункты. В ответ запишите полученную последовательность четырёх цифр.
Насел, пункты
Цифры

п. Дачный

д. Ковылкино

д. Лесная

ст. Путятино

На сколько процентов скорость, с которой едут Маша с дедушкой по шоссе, больше
их скорости по грунтовой дороге?
Ответ: ______________________ ..
О 2023. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2023. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение н использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

194

Найдите расстояние от посёлка Дачного до станции Путятино по прямой. Ответ
дайте в километрах.
Ответ:________________________ .
Сколько минут затратят на дорогу Маша с дедушкой, если поедут на станцию
по прямой грунтовой дороге от Дачного до Путятино?
Ответ: ________________________ .
На грунтовых дорогах машина дедушки расходует 9,2 литра бензина на 100 км.
Известно, что на путь из Дачного до Путятино через Ковылкино мимо озера
и на путь через деревню Лесную ей необходим один и тот же объём бензина.
Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на шоссе?
Ответ: ________________________ .

Найдите значение выражения

Ответ:

у I Какое из следующих чисел заключено между числами — и — ?
___ I
8
7
1) 2,4

2) 2,5

3) 2,6

4) 2,7

В ответ запишите номер выбранного варианта.
Ответ: |

d

|

Найдите значение выражения

498


Ответ: ______________________
Решите уравнение ( х - 6 ) ( - 5 * - 9 ) = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Ответ:________________________ .

^
I В группе туристов 20 человек. С помощью жребия они выбирают трёх человек,
------ ' которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того,
что турист К., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
Ответ:
е 2028. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».

1 ■ коммерческих целях б м письменного разрешения правообладателей не допускается

195

ВАРИАНТ 36

□l

Установите соответствие между формулами, которыми заданы функции, и графиками
этих функций.
ФОРМУЛЫ
А) у = -jr+6.Y -10

Б)

у = - х 2- 6 х - 1 0

В) у = х 2- 6 х + 10

ГРАФИКИ

Ответ:

А Б В

___,
То 1 Теорему
12 |

а
о
синусов можно записать в виде —— =
-» где а и о — две стороны
*
J
sm a smp
треугольника, а а и р — углы треугольника, лежащие против этих сторон
соответственно. Пользуясь этой формулой, найдите величину sin а , если а = 21,
6 = 5, sinp = i .
Ответ:

^

| Укажите решение неравенства

^ - 2 5 > 0.
1) (-оо;-5)и (5;+ оо)

3) нет решений

2) (-5; 5)

4) (-«ч + »)

Ответ: |

|

~| к концу 2011 года в городе проживало 102 300 человек. Каждый год число жителей
———I города возрастало на одну и ту же величину. В конце 2018 года в городе проживало
114 340 человек. Какова была численность населения этого города к концу
2016 года?
Ответ:_______________________ .
е 2028. ООО «Иадательстао «Нацвонадьное образована»». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
траяевне а ншюльеованне в коммерческих целях без письменного раарешенвя правообладателей не допускается

ОГЭ. ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ

196

Точки М и N являются серединами сторон АВ и ВС
треугольника АВС, сторона АВ равна 57, сторона ВС
равна 74, сторона АС равна 48. Найдите MN.

В
М

Ответ:

Угол А трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, вписанной
в окружность, равен 83°. Найдите угол В этой трапеции. Ответ
дайте в градусах.
Ответ: _______________________ .

-----

I В ромбе ABCD угол АВС равен 58°. Найдите угол ACD. Ответ
дайте в градусах.
Ответ: _______________________ .
A

D

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён
треугольник. Найдите его площадь.
Ответ:

Какие из следующих утверждений верны?
1) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
2) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую,
параллельную этой прямой.
3) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен разности квадратов
катетов.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Ответ: _______________________ .
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов М 1 в соответствии
с инструкцией по выполнению работы .
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.
С 2023. ООО «Иадательство «Национальное образование». О 2023. ЧОУ ДПО «МЦНМО».
Копирование, распространение и использование в коммерческих целях без письменного разрешения правообладателей не допускается

ВАРИАНТ 36

197

ЧАСТЬ 2
При вы полнении заданий 20-25 используйте БЛАН К ОТВЕТОВ № 2.
Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ.
Пишите чётко и разборчиво.

20 I НайДите значение выражения 31а-4& + 55, если —- ^ + 7 = 8.
------1
4а-Ь +7
^21 | Семь одинаковых рубашек дешевле куртки на 9 %. На сколько процентов десять
таких же рубашек дороже куртки?

22

тт
,
.
(*2+4)(* + 1)
Построите график функции у =±
-------- и определите, при каких значениях k
-1 -х
прямая y —kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

2 3 I Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К.
------ Найдите периметр параллелограмма, если ВК = 8, СК = 13.

Окружности с центрами в точках Р и Q пересекаются в точках К и L, причём
точки Р и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что PQLKL.
В треугольнике АВС биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют
одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника АВС.
Проверьте, чтобы каждый
соответствующего задания.

ответ

был

записан

рядом

с

номером

© 2023. ООО «Издательство «Национальное образование». О 2023. ЧОУ ДПО «МНИМО*
Копирование, распространение и использование в коммерческих целнх без письменного разрешения правообладателей не допускается

ОТВЕТЫ
Вариант 1
Н ом ер за д а н и я

Правильны м ответ

Н ом ер за д а н и я

П рав ильны й ответ

1

2,4

13

2

2

23

14

65

3

60

15

30

4

3,8

16

8

5

222; 223; 224; 225

17

8

6

3328

18

5

7

2

19

3

8

850

20

3 - V 5 ; 3 + V5

9

- 0 ,8

21

2 0 к м /ч

10

0,72

22

т=3

11

321

23

10

12

4

25

30

Номер задания

Правильный ответ

Вариант 2
Номер задания

Правильный ответ

1

9

|

2

3,8

|

1

13

14

54

3

17

15

75

4

13,8

16

54

5

161; 162; 163; 164;
165; 166; 167; 168

17

18

6

30 400

18

4

7

3

19

8

560

20

2
—2—V5; —2 + V3
28 к м /ч

0 ,7 5

21

0 ,4 5

22

11

132

23

7,5

12

20

25

70

II

ли,

00

9
10

S,

К<

1

О 2028. ООО «Иадатадьспо «Национальное образование». О 2028. ЧОУ ДПО «МЦЫМО».
транажже ■ жсподьаованже ■ коммерчески ц ел и беа письменного рварешеки ирааппк^дд^ д ,^ не допускает»

со

CM

CM

огэ

онлайн-поддержка

н/ко

V

ИЗДАТЕЛЬСТВО

НАЦИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАНИЕ

СТАРТ
В БУДУЩЕЕ!

Учебно-методическое сопровождение
АНО ДПО «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ
КАЧЕСТВА ОБРАЗОВАНИЯ»
niko. institute

oge.plus

ПОСОБИЕ ПРОШЛО
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКУЮ
ОЦЕНКУ ФГБНУ

ФИПИ
ШКОЛЕ

со
см
см

Книги серии «ФИПИ — ШКОЛЕ» предназначены для использования
в урочной и внеурочной деятельности, в дополнительном образовании
и самообразовании детей для измерения уровня качества освоения
образовательной программы по предмету, а также для совершенствования
умений и навыков выполнения типовых экзаменационных заданий
основного государственного экзамена.

ДАННОЕ ИЗДАНИЕ СОДЕРЖИТ:
• 36 типовых экзаменационных вариантов,
соответствующих проекту демоверсии ОГЭ 2023 года;
• ответы и критерии оценивания.

В СЕРИЮ ВХОДЯТ УЧЕБНО-ПРАКТИЧЕСКИЕ ИЗДАНИЯ ПО ПРЕДМЕТАМ ОГЭ-2023

РУССКИЙ ЯЗЫК
ИСТОРИЯ

МАТЕМАТИКА
ГЕОГРАФИЯ

оде.plus

о

ижо

ФИЗИКА

ХИМИЯ

ОБЩЕСТВОЗНАНИЕ

ИНФОРМАТИКА

ЛИТЕРАТУРА

БИОЛОГИЯ

АНГЛИЙСКИЙ ЯЗЫК

Учебный процесс с использованием книг серии
обеспечивается методическим онлайн-сопровождением
АНО ДПО «Национальный институт качества образования»
в рамках проекта «ОГЭ — старт в будущее».