Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы [Альберт Анатольевич Рывкин] (fb2) читать постранично, страница - 175

Решите уравнение

log1 + 2x (6x² + 5x + 1) − log1 + 3x (4x² + 4x + 1) = 2.

7. Найдите наибольшее целое решение неравенства

9 · 16^−1/x + 5 · 36^−1/x < 4 · 81^−1/x.

8. Производительность труда рабочего повышалась дважды на одно и то же число процентов. На сколько процентов возрастала каждый раз производительность труда, если за одно и то же время рабочий раньше вырабатывал изделий на 25 000 р., а теперь — на 28 000 р.?

9. Найдите квадрат биссектрисы внутреннего угла С треугольника АВС, если АВ = 2, ВС = 4, АС = 2.

10. Ребро куба равно 36. Найдите кратчайшее расстояние между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю основания куба.

Примечания

1

Эту задачу нужно решать с особым вниманием.

(обратно)

2

Ответы к упражнениям 1—22 см. на с. 326—328.

(обратно)

3

Для краткости равенства можно располагать в строку или писать (x, y, z, ...) = (а, b, с, ...).

(обратно)

4

Имеется в виду применение абсолютного тождества, см. с. 42. Для неабсолютных тождеств это утверждение неверно.

(обратно)

5

Под применением тождества мы понимаем замену его левой части на правую.

(обратно)

6

Два совпадающих решения считаются за одно.

(обратно)

7

Ответы к упражнениям 1—9 см. на с. 360.

(обратно)

8

Если какая-то точка уже была отмечена светлым кружком, то изменять обозначение не следует.

(обратно)

9

Так в источнике (прим. от верстальщика fb2).

(обратно)

10

Требуется найти не только положительные значения x.

(обратно)

11

 Требуется найти не только положительные значения x.

(обратно)

12

1 карат = 0,2 г.

(обратно)

13

Плотности всех растворов предполагаются одинаковыми; при сливании двух растворов объем нового раствора равен сумме объемов исходных растворов.

(обратно)

14

Первое соотношение — неабсолютное тождество, остальные — абсолютные тождества.

(обратно)

15

Так в тексте. От верстальщика fb2.

(обратно)

16

[x] — целая часть числа x.

(обратно)

17

Такое преобразование системы, вообще говоря, может привести к приобретению постороннего решения, в котором y = 0.

(обратно)

20

Хотя метод интервалов был изложен во введении применительно к многочленам, им можно пользоваться при решении более широкого класса неравенств. В частности, для этого неравенства получаем

(3^√x − 2)(x + 1)(x − ³/2) >0.

Первый множитель обращается в нуль при  причем он больше нуля при  и меньше нуля при  Нанесем точки −1,  и ³/2 на числовую ось и воспользуемся тем обстоятельством, что при x > ³/2 все три скобки положительны. Так как, кроме того, x ≥ 0, окончательно получим

(обратно)

21

Заметим, что если бы мы перешли к основанию 2, то получили бы уравнение, равносильное данному. Убедитесь в этом самостоятельно.

(обратно)

22

Формулы для  и т. п. доказываются аналогично с помощью тождеств: (x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1, (x + 1)⁴ = x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1.

(обратно)

23

Во всех случаях удобно граничную точку относить к обоим интервалам, чтобы не столкнуться с ситуацией, когда наименьшее значение не достигается.

(обратно)