Квадратура круга [Яков Исидорович Перельман] (fb2) читать постранично, страница - 3

называемых несоизмеримыми (или иррациональными); такие числа не могут быть точно выражены конечным рядом цифр. Среди не-математиков распространено мнение, что неразрешимость квадратуры круга обусловлена несоизмеримостью числа π, так как нельзя будто бы построить число, выражающееся бесконечным рядом цифр. Это обоснование неправильно. Существует такой род несоизмеримых чисел, которые могут быть построены. В качестве примеров укажем числа и ; они выражаются десятичными дробями с бесконечным рядом цифр после запятой, и тем не менее их легко построить: первое — как сторону вписанного квадрата (рис. 4), второе — как сторону вписанного равностороннего треугольника (рис. 5).

Вообще, все те числа, которые получаются путем однократного или повторного (но не бесконечного) извлечения квадратного корня, могут быть строго геометрически построены.

К этому роду несоизмеримых чисел π не принадлежит. В 1882 г. немецкий математик Линдеман опубликовал исследование, из которого вытекает, что число π не может быть получено в результате конечного ряда извлечений квадратного корня. Теи самым устанавливается невозможность построения формулы квадратуры круга, а следовательно, и неразрешимость этой задачи.

Доказательство неразрешимости какой-либо задачи рассматривается в математике как своего рода решение проблемы, потому что такое утверждение дает вполне исчерпывающий ответ на поставленный вопрос. В этом смысле доказательство Линдемана можно считать решением задачи о квадратуре круга, решением, полагающим конец двухтысячелетней работе над этой проблемой. Продолжают искать другого решения задачи только малосведущие любители. «Таких искателей — писал еще в 18-м столетии математик Ламберт — всегда будет достаточно, и если судить о будущих по их предшественникам, то это будут по большей части люди, мало смыслящие в геометрии и лишенные возможности правильно оценивать свои силы. Там, где им не хватает знания и понимания, где они не могут ничего сделать c помощью правильных последовательных выводов, там жажда славы и денег создает софизмы, которые чаще всего не отличаются ни особой тонкостью, ни особой замысловатостью».

Квадратура круга и потребности практики

Остается рассмотреть еще вопрос: нужно ли точное решение квадратуры круга для фактических расчетов? Оказывается, надобности в точном решении этой задачи никогда практически не возникает. Достаточно располагать таким решением, которое давало бы приближенный результат с желаемой степенью точности; а этого можно достичь, пользуясь даже частью известных уже цифр в выражении π.

Какую точность можно получить этим путем, видно из слов знаменитого французского астронома прошлого века Франсуа Араго. В своей «Общепонятной астрономии» (1849) он писал:

«Посмотрим, с какою точностью возможно, пользуясь цифрами π, вычислить длину окружности, радиус которой равен среднему расстоянию Земли от Солнца (150 000 000 км).

«Если для π взять 18 цифр, то ошибка на одну единицу в последней цифре вовлечет за собой в длине вычисляемой окружности погрешность в 0,0003 миллиметра; это гораздо меньше толщины волоса.^[2]

«Мы взяли 18 цифр π. Легко представить себе, какую невообразимо малую погрешность сделали бы, при огромности вычисляемой окружности, если бы воспользовались для π всеми известными его цифрами.

«Из сказанного ясно, как заблуждаются те, которые думают, будто науки изменили бы свой вид, и их применения много выиграли бы от нахождения точного π, если бы оно существовало».

Итак, даже для астрономии, — науки, прибегающей к наиболее точным вычислениям, — не требуется вполне точного решения квадратуры круга.

Десять задач

1. В старину при определении площади круглого участка землемеры часто поступали так: считали круг равновеликим квадрату, периметр которого равен длине окружности измеряемого участка. Какую относительную ошибку (в процентах) они при этом делали, если принять π=3,14? (Этот способ восходит к временам древнего Египта; он указан, наряду с другими, в папирусе Ринда. В средние века он был широко распространен также в Европе).

2. В древней египетской рукописи (в «папирусе Ринда») находим следующее правило для определения площади круга: она равна площади квадрата, сторона которого составляет диаметра круга. Определите относительную ошибку такого расчета в %%, принимая π=3,14.

3. У нас встарину употреблялся сходный с древнеегипетским (см. предыдущую задачу) прием вычисления площади круга, рекомендуемый старинными русскими