Физика для углубленного изучения 1. Механика [Е. И. Бутиков] (pdf) читать постранично, страница - 34

тянуть за веревку следует так, чтобы она составляла с горизонтом угол
а = arclg р.. Значение минимальной силы дается формулой (12) .

§ 20. С И Л Ы В П Р И Р О Д Е . Т Р Е Н И Е

115

К ответам на вопросы этой задачи можно прийти гораздо быстрее, если с
самого начала рассматривать силу Q, равную векторной сумме N и F
(р и с. 81). Как было выяснено, она всегда направлена под углом ip = arctg р. к
нормали с поверхностью. Теперь условие равномерного движения ящика по
горизонтальной шероховатой поверхности запиш ется в виде
F + Q + m g = 0.
Это уравнение удобно исследовать графически. Прежде всего изобразим на
чертеже известную по модулю и направлению силу mg (рис. 8 2). Что каса­
ется слагаемого Q, то нам заранее известно лишь его направление
(см . рис. 81). Поэтому через конец вектора m g проводим прямую, составля­
ющ ую угол ip = arctg р с вертикалью. На этой прямой будем откладывать
силу Q, совмещая ее начало с концом вектора mg. Положение конца вектора
пока неизвестно. В соответствии с ( 13) сила F должна замыкать треугольник
сил, т. е. соединять конец вектора Q с началом вектора mg. Как видно из
рис. 82, сила F будет наименьшей, когда ее направление перпендикулярно
направлению Q, т. е. образует угол 2y.

(10)

Эти соотношения дают искомую зависимость действующей на
частицу силы от ее координат. В векторном виде их можно запи­
сать следующим образом:
F = -m a> 2r.

(11)

Сила F в каждой точке направлена к началу координат и про­
порциональна расстоянию г до находящегося там центра силово­
го поля (см. рис. 102). Такую зависимость силы от положения
можно реализовать, например, с помощью двух пар одинаковых
пружин (рис. 103). Чтобы движение тела происходило именно по
уравнениям (5 ), начальные условия должны быть вполне опре­
деленными: из(5) следует, что при t = 0 должно быть х 0 = А,

Рис. 103. При смещении шарика из по­
ложения равновесия действующая со
стороны пружин сила направлена к
этому положению равновесия и про­
порциональна смещению

Рис. 104. Изотропный осциллятор
(три пары взаимно перпендикуляр­
ных пружин)

у0 = 0, z0 = 0, а из уравнений (7) — что v xQ = 0, vy0 = Bco,
v z0 = 0. Такое начальное состояние можно осуществить, оттянув
шарик в направлении оси х на расстояние А и толчком сообщив
ему начальную скорость В со вдоль оси у. При этом оси х и у на­
правлены вдоль недеформированных взаимно перпендикулярных

§ 25. МЕХАНИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ. УРАВНЕНИЕ ДВИ Ж ЕН И Я

149

пружин, а ось z перпендикулярна плоскости, в которой они
расположены.
В действительности оказывается, однако, что взаимно пер­
пендикулярные оси х и у могут быть в плоскости пружин ори­
ентированы произвольным образом. Более того, если к этим
двум парам пружин добавить еще такую же пару, расположен­
ную перпендикулярно плоскости, в которой они леж ат
(рис. 104), то в такой системе выбор направления всех трех
осей х, у, z совершенно произволен. По своим механическим
свойствам система оказывается изотропной. При любых н а­
чальны х условиях траектория ш арика будет плоской. О риента­
ция этой плоскости определяется векторами г0 и v 0 начального
смещ ения и начальной скорости.
Р азн ы е дви ж ен и я по эллипсам . Хотя движение тела под дейст­

вием силы (11), пропорциональной смещению из положения рав­
новесия, как и движение планет вокруг Солнца, происходит по
эллиптической траектории, характер этих движений совершенно
различен. Движение планеты происходит под действием силы,
обратно пропорциональной квадрату расстояния до Солнца, рас­
положенного в одном из фокусов эллипса (рис. 105), в то время
как в рассмотренном выше примере шарика на пружинах сило­
вой центр совпадает с центром эллипса. Различие в характере
движений становится особенно отчетливым, если вспомнить, что

Рис. 105. При движении планеты вокруг Солнца скорость в афелии (А) меньше,
чем в перигелии (П)

скорости планеты в афелии и перигелии, т. е. на концах большой
полуоси эллипса, различны (рис. 105), в то время как у шарика
на пруж инах скорости
и v 2 в соответствующих точках орбиты
одинаковы (см. рис. 102).
Отметим, что в случае движения при наложенных связях ме­
ханическое состояние определяется заданием значений обобщен­
ных координат и значений скоростей их изменения (обобщенных

150

II. ДИНАМ ИКА

скоростей) в один и тот ж е момент времени. Таким образом, чис­
ло параметров, определяющих механическое состояние системы,
в два раза больше числа ее степеней свободы. Т ак, при движении
точки по заданной окружности, ее механическое состояние опре­
деляется всего двумя величинами, например углом