Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы [Альберт Анатольевич Рывкин] (fb2) читать постранично, страница - 3

так как 2% от 50 кг и есть 1 кг сухого вещества.

Задача была решена без какой-либо явной формализации, хотя вполне строго. Не составит труда предложить и ее формальное решение.

Обозначим через x массу ягод после усушки. (В условии задачи как раз и требуется найти численное значение x.) Тогда сухое вещество (а его масса равна 1 кг) составляет (100 − 98)%, т. е. 2% от x. Получаем уравнение

0,02 x = 1, или x = 1 : 0,02 = 50 (кг).

Утверждаю: математическая задача средней трудности, как правило, достаточно просто решается путем перевода ее содержательных условий на язык математических символов и соотношений и последующей заботой о том, чтобы каждое условие задачи было эффективно использовано. Трудности возникают, когда мы либо не умеем формализовать задачу, либо не знаем, как использовать какое-то из ее условий, либо недостаточно знакомы с необходимыми для ее решения положениями теории.

Приведем пример еще одной задачи, на этот раз геометрической, решение которой находится сразу, как только правильно использованы все ее условия.

Задача 2. Сумма двух противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника равна а. Одна из сторон этого четырехугольника имеет длину b, а смежная с нею — длину c. Найти две другие стороны четырехугольника.

Прежде всего нужно использовать условие задачи, в силу которого четырехугольник описан около окружности, а для этого вспомнить основное свойство такого четырехугольника (если оно доказывается в рамках теоретического курса) или непосредственно вывести это свойство (если в теоретическом курсе его нет).

Обратимся к рисунку и проведем из центра окружности O радиусы в точки ее касания P, R, S, и T со сторонами четырехугольника AB, BC, CD и DA, соответственно.

Каждый из радиусов будет перпендикулярен соответствующей ему касательной, а отрезки двух касательных к окружности, проведенные из одной точки, будут попарно равны, т. е. АТ = АP, PВ = ВR, RС = CS, SD = DT.

Отсюда вытекает простое свойство описанного около окружности четырехугольника: суммы длин его противоположных сторон равны как равносоставленные, т. е. как состоящие из одинаковых по длине отрезков. (Рисунок позволяет убедиться в этом непосредственно.)

Воспользуемся остальными условиями задачи: AB + DC = AD + BC = а. Пусть, например, BC = b, DC = с. Тогда AB = а − с, AD = а − b.

Еще раз обратите внимание: мы не размышляли в поисках решения задачи, а лишь заботились о привлечении необходимых теоретических сведений, позволяющих эффективно использовать ее условия. Если вы наблюдательны, то могли заметить, что мы упомянули о том, что радиусы перпендикулярны своим касательным, но не воспользовались этим фактом. Это не совсем так, ибо косвенно мы к нему обращались. Решая задачу, мы воспользовались теоремой о том, что суммы длин противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника равны, и даже наметили доказательство этой содержащейся в школьном курсе теоремы, что, вообще говоря, излишне. Мы воспроизвели идею доказательства теоремы, ибо иначе решение было бы менее понятным. Исчезли бы важные геометрические ассоциации, позволяющие усвоить лежащую в его основе идею. По ходу доказательства мы воспользовались теоремой, в силу которой отрезки двух касательных к окружности, которые проведены из одной точки вне этой окружности, равны. Например, для точки С это будут отрезки SC и RC, т. е. SC = RC. При доказательстве этого

факта устанавливают равенство двух прямоугольных треугольников ORC и OSC (они равны, так как имеют общую гипотенузу OC и катеты OR = OS, равные радиусу окружности).

Когда-то для всех общеобразовательных школ был единый учебник геометрии. Десятилетиями он ежегодно воспроизводился. Содержание курса выпускник должен был знать досконально, а, решая задачи, не перегружать рассуждения доказательством теорем, на которые просто требовалась ссылка. Сейчас учебников много, а в их построении появилось разнообразие. Поэтому подобная жесткость со стороны экзаменатора во многих случаях стала невозможной. В рассуждениях появилось больше свободы, они стали более обыденными и менее таинственными. При очень экономном использовании теоретического курса решение задачи может стать менее понятным. Оно не получает необходимого отклика со стороны уже приобретенного учащимся опыта и не находит необходимой интуитивной поддержки.

Не всегда решить задачу удается так же просто, как в двух рассмотренных примерах. Бывает, что приходится выбирать из нескольких возможных вариантов перевода содержательной задачи на язык математических соотношений. При этом выбор может оказаться неудачным. Приходится отступить и начать сначала. В процессе подготовки к экзаменам вам и предстоит научиться делать правильный выбор в ситуациях, близких к стандартным.

И еще: вам