Основы начертательной геометрии [В. И. Забелин] (pdf) читать постранично, страница - 3

курса начертательной геометрии» выдержавшего три
прижизненных издания. Много усилий приложил для разработки алгоритмов решения задач на пересечение поверхностей.
Начертательная геометрия продолжает развиваться и сегодня в
направлении совершенствования методов изображения, теории
конструирования поверхностей, многомерной начертательной геометрии, привлечения компьютерной графики для решения практических задач. И здесь нужно отметить деятельность наших современников
Н.Н.Рыжова,
С.А.Фролова,
В.Е.Михайленко,
П.В.Филиппова, В.И.Якунина и многих других.

8

9
ГЛАВА 1
КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
ОСНОВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
------------------------------------------------------------------------------------------------1.1. СПОСОБЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
Геометрической фигурой называют любое множество точек.
Геометрических фигур существует много, но основных только три точка, прямая (линия) и плоскость.
В начертательной геометрии все фигуры и предметы отображаются на плоскость двумя основными способами: центральным
проецированием и параллельным проецированием.
1.1.1. Центральное проецирование
Пусть в пространстве дана некоторая плоскость П которую называют плоскостью проекций, и вне этой плоскости точка S, называемая центром проецирования. Чтобы спроецировать некоторую точку А пространства на плоскость П нужно через центр проецирования S и точку А провести прямую (проецирующий луч) до
пересечения ее с плоскостью П в точке Aп. Точку Ап называют центральной проекцией точки А (рисунок 1).
Если возьмем произвольную криволинейную фигуру, то все проецирующие
лучи образуют проецирующую коническую поверхность, поэтому этот способ
проецирования называют еще коническим способом.
Однако для построения проекции
фигуры не обязательно проецировать
все ее точки. Так проекция отрезка или
прямой линии вполне определяется
Рисунок 1
проекциями двух точек; проекция треугольника или плоскости определяется
проекциями трех точек; проекция многогранника – проекциями его
вершин.
Метод центрального проецирования достаточно сложен и в
значительной мере искажает форму и размеры оригинала, так как
не сохраняет параллельности прямых и отношения отрезков. Поэтому на практике чаще пользуются методом параллельного проецирования.

9

10
1.1.2. Параллельное проецирование
Широкое распространение в практике получил частный случай
центрального проецирования, когда центр проецирования S удален
в бесконечность от плоскости проекций П. Проецирующие лучи при
этом практически параллельны между собой, поэтому данный способ получил название параллельного проецирования, а полученные с его помощью изображения (проекции) фигуры на плоскости
называют параллельными проекциями.
Возьмем в пространстве какую-либо фигуру, например линию АD (рисунок 2). Спроецируем ее на плоскость проекций П.
Направление
проецирования
укажем стрелкой S. Чтобы
спроецировать точку А на плоскость П надо провести через эту
точку параллельно направлению
S прямую линию до пересечения
с плоскостью проекций П. Полученная точка Ап называется параллельной проекцией точки
Рисунок 2
А. Аналогично находим проекции
других точек линии АD.
Совокупность всех проецирующих лучей определяет (представляет) в пространстве цилиндрическую поверхность, поэтому такой
способ проецирования называют цилиндрическим.
1.1.3. Основные свойства параллельного проецирования
1) Проекцией точки является точка. А⇒Ап (рисунок 3а).
2) Проекцией прямой является прямая (свойство прямолиней-

а)
A

S
Aп
П

б)
1

г)

в)
M

2

3

4

п

п

1 п M п 2п

3п

4п

E

A

C

D

Aп C п

B

Bп

Рисунок 3
10

11
ности).
Действительно, при параллельном проецировании все проецирующие лучи будут лежать в одной плоскости Е. Эта плоскость пересекает плоскость проекций по прямой линии lп (рисунок 3б).
Очевидно, если прямая будет перпендикулярна плоскости проекций (проецирующей прямой), то ее проекция «выродится» в точку.
3) Если в пространстве точка принадлежит линии (лежит на
ней), то проекция этой точки принадлежит проекции линии (свойство принадлежности), (рисунок Зб, точка М).
4) Проекции взаимно параллельных прямых также взаимно параллельны, т.к. плоскости, образуемые проецирующими лучами параллельны (рисунок 3б, 3в), то l llm⇒ lп II mп.
5) Если отрезок прямой делится точкой в некотором отношении,
то проекция отрезка делится проекцией этой точки в том же отношении (рисунок 3г).
Докажем это: введем СЕ//АпСп и DВ//СпВп. Тогда из подобия
треугольников ΔАСЕ и ΔCBD следует, что
⏐АС⏐/⏐СВ⏐=⏐СЕ⏐/⏐DB⏐=⏐АпСп⏐/⏐СпВп⏐

Рисунок 4
6) Параллельный перенос плоскости проекций или фигуры (без
поворота) не меняет вида и размеров проекции фигуры (рисунок 4).
1.1.4. Прямоугольное проецирование
Частный случай параллельного проецирования, при котором
направление