Определение геометрических характеристик поперечных сечений брусьев в программных продуктах SCAD, MSC.Patran-Nastran-2005 и MathCAD: методические указания [Виталий Афанасьевич Жилкин] (pdf) читать постранично, страница - 3

yC zC ≈ −0.017 R 4 ,

2

J yz = R 4 / 8 ,

⋅ zC .

J 1 ≈ 0 ,072 R 4 ,
J 2 ≈ 0 ,038 R 4

ЭЛЛИПС ИНЕРЦИИ И ЕГО СВОЙСТВА1
Радиус инерции is - это расстояние от оси s до точки, в которой надо сосредоточить площадь плоской фигуры, так чтобы момент инерции J s точки относительно этой оси вычислялся по формуле
J s = is2 F .
1

Сопротивление материалов. Под ред. А.Ф. Смирнова. М.: «Высш. школа», 1975. – 480 с.

9

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Пусть для какой-либо фигуры оси u и v являются главными центральными
осями. Тогда момент инерции для повернутой оси y1 определяется по первой из формул (12). Разделив все слагаемые этого равенства на F , получим
i y21 = iu2 cos 2 α + iv2 sin 2 α .
(16)
Построим в осях u и v эллипс, взяв за полуоси радиусы инерции фигуры
(рис.7). При этом вдоль оси u отложим радиус iv , а на оси v - радиус инерции iu .
Запишем уравнение этого эллипса:
u2 v 2
+
= 1.
(17)
iv2 iu2
Данный эллипс называют эллипсом инерции фигуры.
Проведём касательную к эллипсу параллельную оси y1 . Если координаты точки касания uA и v A , то уравнение касательной к эллипсу можно
записать в виде
uuA vv A
+ 2 = 1.
(18)
iv2
iu
Найдем расстояние между касательной и осью y1 .
Из рис.7 видно, что
Рис.7
h = v A cos α + uA sinα
или
uA sinα v A cos α
+
= 1.
(19)
h
h
Сравнивая уравнения (18) и (19), можно заключить

u sinα
v cos α
=
; 2 =
2
h
h
iv
iu
или
u 2 iv2 sin 2 α
v 2 iu2 cos 2 α
=
; 2 =
.
iv2
h2
iu
h2
Подставим в уравнение эллипса инерции полученные величины:
2
2
i z2 sin 2 α i y cos α
+
= 1,
h2
h2

откуда
h 2 = iu2 cos 2 α + iv2 sin 2 α
Сравнение полученной зависимости с выражением (16) показывает, что величина h численно равна радиусу инерции относительно наклонной оси. Установленное
свойство эллипса инерции позволяет графически определить момент инерции относительно любой оси, проходящей через начало координат. Для этого достаточно провести касательную к эллипсу параллельно этой оси и замерить кратчайшее расстояние
между касательной и осью. Это расстояние h и будет равно радиусу инерции для рассматриваемой оси.
Главные радиусы инерции вычисляются по формулам

10

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

J max
J min
; iv = imin =
.
(20)
F
F
Найдем параметрическое уравнение эллипса в произвольных осях y и z , относительно которых главные оси инерции u и v повернуты на угол α (рис.8).
iu = imax =

Рис.8
Выразим координаты точки A в осях u и v через координаты этой точки в
осях y и z
u = y cos α + z sin α ;
(21)
v = − y sin α + z cos α
(22)
Уравнение эллипса инерции (17), записанное для главных центральных осей u
и v , можно переписать в параметрической форме
u = iv cos ϕ ;
v = iu sinϕ .

С учетом зависимостей (21) и (22) параметрическое уравнение эллипса инерции
в осях y и z примет вид:
y cos α + z sin α = imin cos ϕ ;
− y sin α + z cos α = imax sin ϕ .

Отсюда, в соответствии с правилом Крамера:
iv cos ϕ
y=

∆1 iu sinϕ cos α
=
= iv cos ϕ cos α − iu sinϕ sinα :
cos α sinα
∆
− sinα cos α
cos α

z=

sinα

(23)

iv cos ϕ

∆2 − sinα iu sinϕ
=
= iu sinϕ cos α + iv cos ϕ sinα .
cos α sinα
∆
− sinα cos α

11

(24)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

КОНСТРУКТОР СЕЧЕНИЙ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА
SCAD OFFICE2
Проектно-вычислительный комплекс SCAD, широко используемый для расчета
и проектирования конструкций зданий и сооружений, в последнее время окружен
«свитой» малых специализированных программ. К их числу принадлежат программы
Конструктор Сечений, Консул, Тонкостенные сечения, а также Каталоги сортаментов, которые ориентированы на реализацию проектных процедур, связанных с расчетом элементов стальных конструкций и их соединений. Каждая из этих программ может работать автономно, а все вместе они входят в
набор взаимоувязанных по управлению и информации программных средств, который
по известной аналогии называется SCAD Office.
Конструктор Сечений предназначен для формирования произвольных
составных сечений из стальных прокатных профилей и листов, а также расчета их геометрических характеристик, необходимых для выполнения расчета конструкций. Элементы пользовательского интерфейса Конструктора не отличаются от большинства
других программ, работающих в среде Windows.
Для сконструированного сечения по обычным правилам сопротивления материалов определяются:

площадь поперечного сечения F ;

значения моментов инерции J y и J z относительно центральных осей, параллель











ных координатным осям сечения правой декартовой системы координат y и z ;
радиусы инерции i y и i z относительно тех же осей;
координаты центра масс (центра тяжести плоских сечений);
значение угла наклона главных
центральных осей инерции (угол
α между осями u и y );
максимальный J u и минимальный
J v моменты инерции;
максимальный imax и минимальный imin радиусы инерции и ряд
других геометрических параметров сечений.
Параметры настройки

Рис.9
Параметры настройки позволяют назначить единицы измерения основных величин и правила