Алгебра, 8 класс, учебник в 3-х частях, часть 3 [Людмила Георгиевна Петерсон] (pdf) читать постранично, страница - 3

левой части уравнения к общему знаменателю

X

(тем самым записать уравнение в виде — = 0 ).
3. Составить систему

В

ГА = 0
В

*

О*

4. Решить первое уравнение системы и проверить, удовлетворяют ли полу­
ченные корни второму соотношению системы.
5. Записать в ответ те из найденных корней, которые удовлетворяют второ­
му соотношению системы.
Мы получили два способа решения дробно-рациональных уравнений, основанные
на преобразовании дробных выражений в целые с учётом ОДЗ и на условии равенства
алгебраической дроби нулю.
Пример 1.
Решить уравнение:

Зх2х 2- 4

Решение:
Способ 1.
4
Зх2-8
+3
х 2- 4 *
х +2
ОДЗ: х*- ±2.
4(х-2) +3(хг -4) _ Зх2- 8
(х-2)(х +2)
(х-2)(х+2)
4 х - 8 + Зх2- 12 = Зхг - 8
4 х - 12 = 0
х =3
3 е ОДЗ.
Ответ: 3.
Способ 2.
Перенесём все слагаемые из правой части в левую и приведём их к общему знаме­
нателю:
4 |Э Зх2~8 _ 0 ^ 4 ( х - 2) +3(х2- 4 ) - ( З х 2-8 )
х +2 +Л х 2- 4
**
( х - 2 Н х +2)
4ж-8 + Зжг-12-Зж 2+ 8
(* -2 )(* + 2)
6

^

4х - 12
( х - 2) ( х +2)

=

0



Глава 5, §2, п .5 .2 .1

Составим и решим систему:
4 * -1 2 = 0
х =3
х = 3
( * - 2)( а: + 2)*0
( х -2 ) ( х + 2 ) ф 0
Ответ: 3.
Напомним, что равносильными называются уравнения, множества решений
которых совпадают. А преобразование уравнения называется равносильным, если
оно приводит к уравнению, равносильному данному.
При решении сложных, в том числе дробно-рациональных, уравнений нам по­
требуются следующие понятия.
Определение 3. Уравнение А является следствием уравнения В, если все корни
уравнения В являются корнями уравнения А.
Определение 4. Уравнения называются равносильными на множестве М, если
множества корней этих уравнений, принадлежащих множеству М, совпадают.
Например, уравнение х2 = 4 является следствием уравнения х = 2 (из равенства
чисел следует равенство их квадратов), но эти уравнения не равносильны (у первого
уравнения есть решение х = -2 , не являющееся решением второго). При этом эти
уравнения равносильны на множестве М = [0; +оо).
-1
Аналогично, уравнение х2 - 1 = 0 является следствием уравнения
=0, но
х -1
эти уравнения не являются равносильными. При этом данные уравнения равно­
сильны на ОДЗ х * 1 исходного уравнения

-1

=

0.

х -1
При решении уравнений нужно либо следить за равносильностью преобразова­
ний, либо после решения уравнения-следствия сделать проверку найденных кор­
ней, подставив их в исходное уравнение.

Ош

х -3
а) ■

1) Какие из дробно-рациональных выражений не имеют смысла при
х = 3?
б)

х -3 ’

в) х - 3 +

3
1 0 -х

2) Может ли -3 являться корнем уравнения

г)
х+1
2х-6

х -9

9
,
х 2- 9

2 х +6

3) Укажите значения х, при которых потеряют смысл дробно-рациональные
2 х -2
18
х -6
выражения, входящие в уравнение
х +3 х 2- 9 х - 3
4) Укажите множество значений переменной, при которых имеют смысл все
2 х -2
18
выражения, входящие в уравнение----—= —^ .
ж+ о х —9
5) Предположите, какое множество значений переменной называют областью
допустимых значений уравнения. Проверьте свое предположение с помощью
учебника.
7

Глава 5, §2, п .5 .2 .1 __________________________________________________ _

2

I Проанализируйте таблицу и попытайтесь составить определение дробно-рациональных уравнений, сопоставьте свой вариант с определением, приведённым
в учебнике.
Рациональные уравнения
Дробно-рациональные уравнения
Целые уравнения
1
= 0
х +1

2ж - 7 = О
- ж - 5 = ж- 4

- 5 = 3ж

х

ж2- 2ж + 0,75 = О

1
5
жс--2
ж ж(ж-2)
2
ж+ 1
9 _ х
ж -4 + ж2-1 6 _ 2ж + 8

^ 1 +3 =^

5

СО

2

2

-

2

_ 2_

а) Чем похожи и чем отличаются данные уравнения:
ж -3 1 ж+ 5 ж - 6 | 1 ■ ж-12 „
5
4 20 И ж -4 ж ж(ж-4)
Укажите область допустимых значений для каждого из уравнений.
ж -3 1 ж+5
,
б) Решите уравнение----- +—= —— известным вам способом.
5
4 20
ж -6 1 ж-12
в) Решите данным способом дробно-рациональное уравнение —■■■+ —=
.
X

4

X

Х{Х

Какие дополнительные шаги необходимо выполнить при его решении?

и

г) Подойдёт ли способ, который вы использовали при решении этого уравнения
для решения всех дробно-рациональных уравнений? Составьте алгоритм решения
дробно-рациональных уравнений и сопоставьте его с алгоритмом на с. 5.
1) При каких значениях переменной равна нулю дробь?
а
2у-2
ж+10
а- 5
в)
б)
г)
Д) '
а) 8 ’
ж ’
ж -5 ’
у- 1 ’
Ь
2) Найдите корни уравнений, используя результаты выполнения предыдущего за­
дания:
2у-2
ж+ 10
а -5
- = 0 ;
=0.
=0 ;
=0 ;
8
ж
ж -5
у-1
3) Используя идею решения предыдущих уравнений, решите дробно-рациональ­
ное уравнение:

^ _ +f ! ± ^ +_2_=0.

ж—1 ж2—1
ж+1
4) Составьте ещё один алгоритм решения дробно-рациональных уравнений и сопо­
ставьте его с алгоритмом на с. 6.

Ш
8

Решите дробно-рациональное уравнение двумя различными способами:
3
5
= 08-5ж 2-7ж
Какой из них вам больше понравился?

Глава 5, §2, п.5.2.1

а) Рассмотрите ещё один способ решения этого