Теоретические основы электротехники. Практикум [Станислав Михайлович Аполлонский] (pdf) читать онлайн

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
ПРАКТИКУМ
С .М .А П О Л Л О Н С К И И
А .Л . В И Н О Г Р А Д О В

• Расчет стационарных процессов в линейных электрических цепях
• Расчет несинусоидальных и переходных процессов.
Расчет нелинейных цепей

КНОРУС

• Расчет электромагнитных полей

ВООК.ги

ОЫШЕ МАТЕРИАЛЫ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Б

А

К

А

Л

А

В

Р

И

А

Т

С.М. Аполлонский
А.Л. Виноградов

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
ПРАКТИКУМ

Р еком е нд ова но
Ф Г Б О У ВО « М о с к о в с к и й го суд ар ствен н ы й техн о л о ги ч еск и й у н иве р ситет «СТАНК1/1Н>
в качестве у ч е б н о го пособия для студентов в ы с ш и х учебны х заведений,
обучаю щ и хся по нап равлениям п о д го товки « Э л ектро энергетика и электротехника»,
«Эл ектро ника и м икр оэл ектр он и ка »
Министерство образования и науки Росси йско й Федерации
Ф ГАУ «Ф едеральны й институт развития образования»
Регистрационны й номер рецензии № 081 от 07.03.2014

ВООК.ги

ЭЛЕКТРО ННО -БИБЛИОТЕЧНАЯ СИСТЕМА

К Н О Р УС • М О С К В А * 2020

У ДК 6 2 1 .3 (0 7 5 .8 )
Б Б К 3 1 .2 я 7 3
А76
Рецензенты:
В. В. Ф ёдоров, п р о ф . каф ед ры « Т еорети чески е о сн о вы эл ектр о тех н ики » С а н к тП етер б у р гско го го су д ар ствен н о го э л е к тр о те х н и ч еск о г о у н и в ер си тет а (Л Э Т И ),
д -р техн. н аук, п р о ф .,
М .А . Ш аки ров, п р оф . каф едры «Т еорети чески е осн о вы эл ектротехн ики » С а н к тП ете р б у р гск о го го с у д ар ствен н о го п о л и тех н и ч ес к о го у н и в ер си тет а (Л П И ), д -р
техн. н аук, проф .

А п ол л он ск и й , С тан исл ав М и хай л ов и ч .

А76

Теоретические основы электротехники. Практикум: учебное пособие /
С.М. Аполлонский, А.Л. Виноградов. — Москва: КНОРУС, 2020. —290с. —
(Бакалавриат).
181Ш 9 7 8 - 5 -4 0 6 -0 0 0 7 8 -6
Р ассм о тр ен ы классы задач с р еш ен и я м и п о теорети чески м о сн о вам эл ек тр о ­
тех н и к и , а такж е л аб о р ато р н ы й п ракти кум п о технологии МиШвипе. У чтен ы как
о бщ и е тр еб о ван и я к очном у обучен ию студентов в вы сш и х учебны х заведени ях, так
и о со б ен н о сти п ол учен и я вы сш его о б р азо ван и я в усл ови ях об уч ен и я без отры ва
от трудовой деятельности. Д л я пособия отобран м иним ум задач по разн ы м разделам,
н о с п о др о бн ы м и р еш ен и я м и , которы е п озво л я т студенту в д ал ь н ей ш ем усп еш н ее
осваи вать сп ец и ал ь н ы е эл ектротехн ич ески е д и сц и п л и н ы .
С оответствует Ф Г О С ВО п осл едн его п окол ен и я.
Д л я студент ов направлений «Электроэнергетика и элект рот ехника» и *Э лект ро­
ника и наноэлект роника». М ож ет быть полезно для студентов других направлений,
изучаю щ их элект рот ехнические дисциплины.
У Д К 6 2 1 .3 (0 7 5 .8 )
Б Б К 31.2 я 7 3

А п о л л о н ск и й С тан и сл ав М и хайлович
В ин оградов А лександ р Л еон и д ови ч
Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е О С Н О ВЫ Э Л Е К Т Р О Т Е Х Н И К И . П РА К Т И К У М
Изд. № 523255. Ф ормат 60x90/16. Гарнитура « № м о п С » .
Уел. печ. л. 18,5. Уч.-изд. л. 8,0.
ООО «Издательство «КноРус».
117218, г. М осква, ул. Кедрова, д. 14, корп. 2.
Тел.: +7 (495)741-46-28.
Е-шаП: \уе1соте@кпоги$.ги \у\у\у.кпош8.ги
Отпечатано в АО «Т8 Издательские Технологии».
109316, г. М осква, Волгоградский проспект, д. 42, корп. 5.
Тел.: +7 (495)221-89-80.

I8В N 978-5-406-00078-6

© А поллонский С .М ., Виноградов А.Л., 2020
© О О О «Издательство «КноРус», 2020

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие............................................................................................................6
ЧАСТЬ I.
РАСЧЕТ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ В Л И Н ЕЙ Н Ы Х
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Ешва 1. Расчет линейных электрических ц еп ей ...........................................8
1.1. Пассивные элементы.............................................................................8
1.2. Источники электрической энергии...................................................... 9
Глава 2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.

Расчет линейных электрических цепей постоянного тока . . . . 12
Основные законы электрических цепей............................................ 12
Групповое соединение приемников.....................................................12
Расчет простых цепей........................................................................... 16
Методы расчета сложных цепей постоянного тока........................... 19

Глава 3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.

Однофазные электрические цепи синусоидального тока . . . . 28
Основные положения и соотношения...............................................28
Символический метод расчета.............................................................33
Резонанс в цепях синусоидального тока............................................36
Цепи с индуктивно связанными катуш ками................................... 37

Глава 4. Трехфазные электрические ц е п и .................................................... 45
4.1. Основные положения и соотношения...............................................45
4.2. Расчет трехфазных цепей..................................................................... 47
ЧАСТЬ II.
РАСЧЕТ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ И ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ.
РАСЧЕТ НЕЛ И Н ЕЙ Н Ы Х Ц ЕПЕЙ
Глава 5. Несинусоидальные периодические процессы в линейных
ц е п я х ................................................................
64
5.1. Основные положения и соотношения...............................................64
5.2. Расчет линейных цепей с несинусоидальными ЭДС........................68
Глава 6.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.

Переходные процессы в электрических цепях..............................74
Основные положения и соотношения...............................................74
Классический метод расчета переходных процессов........................75
Операторный метод расчета переходных процессов........................ 87
Расчет переходных процессов методом наложения (интеграл
Дюамеля)...............................................................................................93

Глава 7. Нелинейные электрические и магнитные цепи при
постоянном т о к е .................................................................................97
7.1. Нелинейные электрические цепи при постоянном т о к е ................97
7.2. Магнитные цепи при постоянном т о к е .......................................... 102
Глава 8. Нелинейные цепи при переменном то ке........................................107
8.1. Расчет установившихся процессов в нелинейных цепях при
переменном токе............................................................................... 107
8.2. Электромагнитные процессы в катушке с ферромагнитным
сердечником........................................................................................110
ЧАСТЬ III.
РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОМ АГНИТНЫ Х ПОЛЕЙ
Введение. Общие сведения об электромагнитном п о л е ............................ 118
Глава 9.
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.

Расчет электростатических п о л е й ................................................121
Основные аналитические зависимости.......................................... 121
Расчет симметричных полей.............................................................. 124
Расчет напряженностей полей наложением.....................................134
Решение уравнений Лапласа и П уассона....................................... 137

Глава 10. Расчет электрических полей от постоянных т о к о в .................144
10.1. Основные аналитические зависимости.......................................... 144
10.2. Электрическое поле в проводящей среде....................................... 146
Глава 11.
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
11.5.

Расчет магнитных полей постоянных т о к о в ............................ 158
Основные аналитические зависимости.......................................... 158
Закон полного тока. Скалярный магнитный потенциал
160
Векторный магнитный потенциал...................................................167
Метод налож ения............................................................................ 172
Магнитное поле в присутствии ферромагнетиков...................... 174

Гчава 12.
12.1.
12.2.
12.3.

Квазистатическое электромагнитное поле . . . ....................177
Основные аналитические зависимости.......................................... 177
ЭДС, наводимые в телах и контурах................................................179
Особенности распространения электромагнитного поля
в проводящей с р е д е ......................................................................... 188

Ответы на задачи................................................................................................ 191
Тестовые задания по теории электромагнитного п оля............................... 192
Тесты к главе 9 ............................................................................................. 192
Тесты к главе 1 0 .......................................................................................... 196
Тесты к главе 1 1 ..........................................................................................201
Тесты к главе 1 2 ..........................................................................................206

Лабораторные работы на основе компьютерного моделирования
(виртуальные лабораторные работы )........................................................... 214
Общие указания.......................................................................................... 214
Работа 1. Исследование сложной электрической цепи
постоянного т о к а ...............................................................................215
Работа 2. Исследование линейных элементов электрических
цепей..................................................................................................... 220
Работа 3. Исследование разветвленной цепи синусоидального
тока с одним источником эн ерги и .................................................. 229
Работа 4. Исследование частотных свойств цепи
с последовательным соединением активного сопротивления,
индуктивности и ем ко сти ................................................................ 238
Работа 5. Исследование трехфазных цепей, соединенных
по схеме «звезда»..................................................................................244
Работа 6. Исследование полупроводниковых диодов............................250
Работа 7. Исследование переходных процессов в цепи
с последовательным соединением активного сопротивления
с катушкой индуктивности и активного сопротивления
с конденсатором..................................................................................257
Работа 8. Исследование переходных процессов в цепи
с последовательным соединением активного сопротивления,
катушки индуктивности и конденсатора..........................................268
Работа 9. Методика применения программы МиШвт для
выполнения лабораторных работ..................................................... 275
Ответы на вопросы теста................................................................................. 289
Литература........................................................................................................... 290

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемое читателям пособие является практическим руковод­
ством по дисциплине «Теоретические основы электротехники», со­
держащим набор задач с реш ениями, тесты по теории электромагнит­
ного поля и лабораторный практикум, базирующийся на технологии
М иКЫ те.
Данное пособие является практическим руководством к ранее напи­
санному авторами учебному пособию по дисциплине «Теоретические
основы электротехники», опубликованному в издательстве «КноРус».
На наш взгляд, это первое учебное пособие, которое охватывает все
стороны учебной дисциплины ТОЭ с учетом особенностей подготовки
студентов бакалавриата.
Авторы использовали ранее опубликованные источники (отме­
ченные в библиографии) и собственные разработки, которые были
накоплены в течение длительного преподавания данной дисциплины
в разных вузах России.
Содержание учебного пособия составлено с учетом Федерального
государственного образовательного стандарта высшего профессио­
нального образованию по направлениям подготовки бакалавриата:
13.03.02 — электроэнергетика и электротехника; 11.03.04 — электро­
ника и наноэлектроника.
Пособие может быть полезно для магистров и технических работ­
ников, встречающихся в своей деятельности с расчетами электротех­
нических устройств. При разработке пособия учтены особенности
получения образования без отрыва от трудовой деятельности и при
ограниченном бюджете времени для очных форм занятий.
Отобранный для пособия учебный материал дает студенту возмож­
ность в дальнейшем успешно осваивать специальные электротехниче­
ские дисциплины. Каждая группа задач предваряется краткими тео­
ретическими выкладками, которые упрощают, как полагают авторы,
осмысление подходов к решению задач.
Авторы приносят глубокую благодарность д. т. н., профессору
В.В. Фёдорову и д. т. н., профессору М.А. Ш акирову за внимательное
прочтение рукописи и ряд полезных замечаний, способствовавших ее
улучшению.
Авторы будут благодарны всем замечаниям по настоящему посо­
бию, так как авторы впервые взялись за написание пособия для ба­
калавров. Замечания можно направлять в адрес издательства, которое
обязуется передать их авторам.

ЧАСТЬ I

РАСЧЕТ СТАЦИОНАРНЫХ
ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

ГЛАВА

РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
1.1. Пассивные элементы
Электрическое сопротивление — Я, Ом. Величина, обратная сопро­
тивлению, есть проводимость — С, См.
/

К

^аЬ
Закон Ома
и=Ш
или

1 = Ои.

(1.1)

Количество тепловой энергии \УГ, выделяющееся в сопротивле­
нии Я при протекании тока / в течение времени (, определяется соот­
ношением
Г

1УТ = \ ? М .
о

(1.2)

—Г'ГУЛ— Индуктивность Ь характеризует способность цепи нака­
пливать энергию магнитного поля. Количество этой энергии
на­
копленной в цепи, зависит от величины тока /:
Ц2
=— ■

(1.3)

Величина индуктивности определяется как отношение потокосцепления цепи Ч* к току /':
(1.4)
I
Потокосцеплением называется сумма магнитных потоков всех вит­
ков катушки. В простейшем случае для катушки на стальном сердеч­
нике можно считать, что ее потокосцепление есть магнитный поток Ф,
умноженный на число витков »:Ч 1= Ф » .

Соотношения между током и напряжением в индуктивном элементе
(1.5)
—II— Емкость С характеризует способность цепи накапливать энер­
гию электрического поля. Количество энергии электрического поля
\УЭ, накопленной в цепи с емкостью С, зависит от величины напряже­
ния между проводами:

Величина емкости С определяется как отношение электрического
заряда ^ одного из проводов к напряжению и между ними:

Соотношения между током и напряжением в индуктивном элементе
( 1.8 )

1.2. Источники электрической энергии
Источники электрической энергии, называемые также генера­
торами, характеризуются определенным направлением действия,
то есть направлением, в котором каждый источник стремится послать
электрический ток в присоединенную к нему цепь. Это направление
на электрических схемах указывают стрелкой.
Источник напряжения (идеальный) — напряжение 11аЬ не зависит
от величины его тока и характеризуется электродвижущей силой Е
(ЭДС). Внутреннее сопротивление этого источника напряжения рав­
но нулю.
Источник тока — ток У источника не зависит от величины прило­
женного к нему напряжения. Внутреннее сопротивление источника
тока равно бесконечности.
Реальный источник ЭДС можно изобразить в виде последователь­
ной схемы, содержащей внутреннее сопротивление Ли и идеальный
источник напряжения с ЭДС ЕИ, численно равной напряжению источ­
ника в режиме холостого хода (рис. 1.1, а), а также в виде параллельной
схемы, содержащей проводимость генератора СИи идеальный источ-

ник тока
численно равный току короткого замыкания источника
ЭДС (рис. 1.1,6).

I

Ф

Си

Р ис. 1.1

Переход от схемы источника напряжения к источнику тока и об­
ратно осуществляется по формулам:
^ = Еи/Я и\ Еп = ЛИУ.

(1.9)

Для ветви, содержащей источники ЭДС и сопротивления, приме­
няют обобщенный закон Ома
,

и+ 1 Е
X* ’

( 1. 10)

где и — напряжение на концах ветви;
— алгебраическая сумма ЭДС ис­
точников, находящихся в данной ветви. Со знаком «+» берут ЭДС, направле­
ния которых совпадают с выбранным положительным направлением тока,
и со знаком «—» — ЭДС с противоположными направлениями.
В задачах 1.1—1.10 укажите правильный ответ.
1.1. Дано: С = 1000 мкФ; 11= 100 В. Определите заряд конденсато­
р а^ , Кл.
1.0.1. 2.0,2. 3.0,3. 4.0,4.
1.2. Дано: Ь = 10 мГн; / = 100 А. Определите потокосцепление ка­
тушки у , Вб.
1.1. 2 .2 . 3 .3 . 4.0,5.
1.3. Дано: Жэ = 0,05 Дж; С = 10 мкФ. Определите напряжение
на конденсаторе, В.
1.100. 2.400. 3.300. 4.200.
1.4. Дано: Ь = 2 мГн; / = 100 А. Определите энергию магнитного
поля катушки \УМ, Дж.
1.25. 2.20. 3.15. 4.10.

1.5. Дано: / = 100 А; Ц1 — 1 Вб. Определите индуктивность катуш­
ки Ь, Гн.
1.0.01. 2.0,03. 3.0,02. 4.0,04.
1.6. Дано: IVм = 5 Дж; Ь = 0,1 Гн. Определите ток в катушке индук­
тивности, А.
1.10. 2.20. 3.15. 4.25.
1.7. Дано: УУМ= 3 Дж; / = 10 А. Определите индуктивность катуш­
ки Ь, Гн.
1.0.06. 2.0,04. 3.0,03. 4.0,02.
1.8. Дан график тока 1(1). Укажите график напряжения и(1).

.{ Е Ь '
и*

"I

1.

1.9.

2.

3.

Дан график напряжения и(1). Укажите график тока 1(1).
Д

.

и$А - Л

1.

1.10.

“

2.

I

3.

4.

Дан график тока /(г). Укажите график напряжения и(1).

"Ь
_П
: о|Ь 1_1т
П.' "И
-И
о'
т
о
т
1.

2.

3.

;

П .р Г и
от Ц т
4.

ГЛАВА

РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫ Х ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
2.1. Основные законы электрических цепей
Законы Кирхгофа. 1-й закон Кирхгофа гласит, что для любого узла
электрической цепи алгебраическая сумма токов в расходящихся
из узла ветвях равна нулю:
N

Х /* = 0 ,

(2.1)

к=\

причем токи, направленные к узлу, в этой алгебраической сумме при­
нято считать положительными, а токи, направленные от узла, — от­
рицательными.
2-й закон Кирхгофа утверждает, что в любом контуре электрической
цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напря­
жений на элементах, входящих в этот контур:
к
о
Х Д * = Х 'Л .
к=\

(2-2)

9=1

причем напряжения и ЭДС, у которых направление совпадает с вы­
бранным направлением обхода, принимаются положительными,
а у которых противоположно — отрицательными.
Баланс мощностей. Алгебраическая сумма всех мощностей источни­
ков энергии равна сумме всех мощностей приемников энергии '.
^ Е к1к ^ 1 2п Яп.
к

(2.3)

п-\

Если ток ветви направлен противоположно действию ЭДС источ­
ника энергии, то тогда произведение Е1 получается отрицательным.

2.2. Групповое соединение приемников
1.
Последовательное соединение. При последовательном соедине­
нии по всем приемникам протекает один и тот же ток. При этом эк-

Бивалентное сопротивление группы последовательно соединенных
приемников равно сумме сопротивлений отдельных приемников этой
группы
Я — К\ + /?2 + Я$ + ... + Я„.

(2.4)

2.
Параллельное соединение. При параллельном соединении на всех
приемниках действует одно и то же напряжение (рис. 2.1), ток всей
группы равен сумме токов отдельных приемни­
/
ков. Например, для трех параллельных прием­
ников (рис. 2.1) / = /, + / 2 + / 3.
Эквивалентная проводимость группы па­
раллельно соединенных приемников равна
I X
сумме проводимостей отдельных приемников
Р ис. 2.1
этой группы
О — С\ + Ст + С-* +

(2.5)

... + о „.

В частном случае эквивалентное сопротивление цепи из двух па­
раллельных сопротивлений Я х и Я2 определяется формулой:

( 2 '6 )

3.
Смешанное соединение. Смешанное соединение приемников
представляет сочетание последовательного и параллельного соедине­
ния, при котором эквивалентное сопротивление группы в целом мо­
жет быть найдено по изложенным выше правилам.
Например, приемники 2 и 3 (рис. 2.2) _
ч=>
5
соединены между собой последовательно,
а приемники 6 и 7 образуют параллельное
й4 *й70
соединение. Общее эквивалентное сопро­
з\
тивление Яэ равно:
^234 ' Ку
^234 + ^567
где Я234 =

(Я2 + /?3) ^
л3 т+«^4
4
^2 + ^3

Р ис. 2 .2

^567 - ^5 +

^6 ' ^7
Я6 + Я7

(2.7)

4. Преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную
звезду сопротивлений и наоборот. Звезда и треугольник (рис. 2.3) счита­
ются эквивалентными, если они по отношению к своим выводам об­
ладают одинаковыми электрическими свойствами, в частности, име­
ют между соответствующими выводами одинаковые сопротивления.

Р ис. 2 .3

Л,

•12л31
+
Л.2 Л23 + Яз,

М .
л,

/?23/?12
Л.2 + Л23 + *3.
Л3 =

л 2з = /г2 + л 3+ ^ - ;
К
^31 - Л3 +Л, +

Л31^23
^12+ ^23 +^31

( 2 .8 )

М
л,

2.1.
Найти эквивалентное сопротивление /? 12345 цепи, представлен­
ной на рис. 2.4, а.
Решение. Заменив параллельное соединение сопротивлений Кх и К2
одним эквивалентным — К12, получим цепь на рис. 2.5, б. Заменив
параллельное соединение сопротивлений К4 и Л5 одним эквивалент­
ным — Л45 и последовательное соединение сопротивлений К 12 и /?3 од­
ним эквивалентным — Л|23, получим цепь на рис. 2.4, в.

п
1

|

ь

т
1

1
'1 2 3 4 5

в

0?

в?
■

XVI

г
Р ис. 2.4

Л12 = ~^Г~1 — (рис- 2.5, б)\
К\ + к ‘2
Я4 - Я5
— - (рис. 2.5, г);

Л45 = -

Ад +

Яш = ^12 + Лз — (рис. 2.5, в)
Л,■12345

/С с

^123 ' ^45 .
^123 + ^15

2.2. Определить сопротивление цепи й экв (рис. 2.5) между заж и­
мами 1 и 2: а) при разомкнутых точках 3 и 4; б) при замкнутых точ­
ках 3 и 4.
«4
Решение. При разомкнутых точках 3
и 4 звезду из сопротивлений преобразуем
в треугольник (рис. 2.6) по соотношениям
( 2 . 8 ).

л2

Тогда получим:
^ 1 2 '( ^ 1 3 4

Я.„

л _ _

+ ^32)

Л, + Я2 + /?|34 + К:2

Р ис. 2.5

где

^1^2 о _ о , о , ^2^3
, /?2 3 - ^ 2 + ^ 3 +
Я,
я,

К\ 2 —К-\ + -/?2

„
/?13 • Я4
—К->+ /?| ■+■ М'М > ^134 Я,з
+ Л4
л,
При замкнутых точках 3 и 4 (рис. 2.6)
сопротивление Лэкв равно:
^экв

(/?! + Я2} )ЯА
/?, + я 23 + я 4

где

г 1-

Л ,3

гЦ

Д ц

I

I
Р ис. 2 .6

п
К2 ■Я3
Я23 = Яу + Я,

2.3.
Найти эквивалентное сопротивление Л 123456 цепи, представ­
ленной на рис. 2.7.
Я123456

(^1234)' ^56
Я\ + Я2 + У?з + Я\ + Я$ + Я^

где

л4
■^1234

-

( ^123 ) '^4
/?1 + Я2 + Я• + Я4

Я \ 23 =

/?1 +

/?2 +

« 3.

Р и с. 2.7

2.3. Расчет простых цепей
2.4.
цепи /, А.

Дано: Е = 50 В; 1\ = 5 А; Я{ = Я2 = 20 Ом. Определить ток
Решение. 1. Определим напряжение {/

л,

\]= 1\Я\ = 5 • 20 = 100 В.
2.

ь© -

Определим ток / 2

/ 2 = (С/+ г ) /Л 2 * (100 + 50)/20 = 7,5 А.

и

3. Определим ток /
/ —/, —/2 = 0;

/ = 5 + 7 ,5 = 12,5 А.

2.5.
Определить постоянные токи во всех сопротивлениях электри­
ческой схемы (рис. 2.8). Параметры цепи: Л| = Л 2 = 4 Ом, /?3 = Л4 = 1 Ом,
Я5 = 6 Ом, Е = 9 В. Проверить баланс мощностей.

К12

Л4
Е

А

1

3

ФМ

Л

4.

‘О
Р ис. 2.8

Решение. 1. Выберем произвольно в ветвях положительные направ­
ления токов и промаркируем их / ь / 2, / 3, / 4, / 5.

2. Преобразуем поэтапно исходную схему в одноконтурную схе­
му. Последовательность преобразований наглядно представлена
на рис. 2.8, где
Я Я2
4 4
(рис. 2.8,6)
^123 = Л 12 + Л3 = 2 + 1 = 3 Ом;
п
Л 23 ■Я<
3-6 . _
1235 ~ р
„ = ттт = 2 0 м -

«123 + ^5

(рис. 2.8, в)
(рис. 2.8, г)

3+ 0

3. Определим ток / 4 и напряжение 6/34 на участке 3—4 для однокон­
турной схемы (рис. 2.8, г)
/4= —

= т— = 3 А;

Л 1235 + /< 4

(/34 = / 4 •/?1235 = 3 ■2 = 6 В.

^ + 1

4. Определим токи / 3 и / 5 напряжение Чи на сопротивлении Я12
(рис. 2.8, в).
.

^34
Л|2 + Л3

6
2+ 1

_

_ ^ 34 _ 6
5 Л5 6

5.
Определим напряжение {/)2 на сопротивлении Л|2 и токи / ь / 2,
(рис. 2.8, б).
ц

12

= 1у К = 2-2 = 4В;
3 12

/ , = ^ . = - = 1А;
К,
4

/ 2 = ^ = - = 1А.
2 Л2 4

Проверим полученные результаты с помощью первого закона
Кирхгофа. Для узла 3 (рис. 2.8, а) имеем / 4 - / 3 — / 5 = 3 — 2 — 1 = 0 —
верно.
Баланс мощностей
Е 1 Л= Л,/,2 + Я21 2 + Я,1} + Д ,/4 + Л5/ 52;
9 -3 = 4 - 1 + 4 - 1 + 1- 4 + 1 - 9 + 1 - 6 .
Баланс мощностей выполняется, что также подтверждает верность
расчетов токов в ветвях.
2.6.
Дано: / = 5 А; 1Х= 3 А; V — 100 В. Определить мощность в со­
противлении Я2 в ваттах.
Решение. 1. Определим ток / 2
/
/ - / , - / 2 = 0;
2.

/ 2 = 5 - 3 = 2 А.

Определим мощность в сопротивлении Я
Р = Ш ,= 100 -2 = 200 Вт.

I / 1

I 72

и

.-------- X ---- Т

В задачах 2.7—2.16 укажите правильный ответ.
2.7.

Укажите правильное уравнение:
1. Е\ Ч- Е2 ~ 1\Я\ + /г/?2л.
2. Е\ "Ь Е2 = 1\Я| —/2/^2*
3. ~~Е\ —Е2 = /|й ] Ч~ / 2Я2.
4. - Е ] - Е 2 = 1>Я]- / 2Я2.

2.8.

Укажите правильное уравнение:
|
1. Е\ Ч- Е2 = 1\Я\ + / 2/?22. /Г] Ч~ Е2= / 1/?! —^2^23. —^ —Е2 = 1\Я\ + / 2Л2.
Л2
4. —Е\ —Е2 = 1\Я\ —12Я2.

2.9.

Укажите правильное уравнение:
1. 1\ Ч -12Ч- /3 + / 4 = 0;

1\
и

2.

/2

/ , - / 2 = / 3 + / 4;

3. /, ч- / 2 ч- / 3 - /4 = 0;
4 . / , + /2 = /3 + /4.

'/з

2.10.

Дано: Е = 200 В; Л = 10 Ом; {/= 100 В. Определите т о к /, А.
1. 30.
к

■е

2 . 10.

3. 15.
4. 20.
V

2.11.
Дано: /Г, = 10 В; Л| = 2 Ом;
/?4 = 2 Ом; / 4 = 5 А. Определите ток /, А.
1.

10 .

2. 6.

3. 5.
4. 4.

2.12.
Дано: Ех = 100 В; /, = 10 А; / 5 = 4 А; Л, = Я4 = Л5 = 10 Ом. Най­
дите ток /4, А.
,-|
1—»д, Л
1. 4.
2 . 3.

Н
=1 I
А

3. 5.
4. 6.
2.13.
Дано: Е, = 200 В;
сопротивление Я, Ом.
1. 20 .
2. 15.

= Ю0 В; 11 = 100 В; / = 10 А. Определите

3 . 10 .

4.

25.

Ег

/
I/

2.14. Дано: Е\ = 100 В; /, = 5 А; Я\ = 10 Ом; Яг = 10 Ом. Найдите ток
/з,А .

1. 3.
2. 6.
3. 4.
4. 5.
2.15. Дано: /, = 2 А; / 2 = 3 А; / 3 = 4 А. Определите ток /4, А.
1. 2.
2. 0,5.
3. 1,5.
4. 1.

2.16.
Дано: 11 = 200 В; Я, = 60 Ом; Я2 = 40 Ом. Определите мощ ­
ность цепи в ваттах.
1. 600.
Л1
2. 400.
5
3. 360.
И
Чг
4. 240.
•-----------------

2.4. Методы расчета сложных
цепей постоянного тока
Применение законов Кирхгофа. Для расчета, т.е. для определения
токов во всех ветвях цепи, необходимо составить систему уравнений

по законам Кирхгофа. Общее число уравнений в системе должно соот­
ветствовать числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей.
По 1-му зак о н у К ирхгоф а составляется число уравн ен и й ,
на ед и н и ц у м еньш ее ч исла узлов цепи. По 2-м у зак он у К ирхгоф а
составляю тся все н едостаю щ ие уравн ен и я для лю бы х п р о и зв о л ь ­
но вы бранны х н езави си м ы х контуров цепи (н езави си м ы й к о н ­
тур долж ен отли чаться от других контуров как м и н им ум одной
ветвью ).
2.17. Составить систему уравнений для схемы (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Приняв для нашей цепи направление токов в ветвях и направление
обхода трех выбранных контуров, как показано на рис. 2.9, составляем
следующую систему уравнений:
узел 1
узел 2
контур 1
контур 11
контур 111

/з = 0 ,

/] + /4+ /5- /2 = 0,
/| Н\ —/ 4Л4 = Е1,
/ 4/^ - 15Я5 - / 3Л3 = Еъ,
/ 2Я2 ^

= ~Е->.

Метод контурных токов. В целях упрощения расчета сложных
цепей (уменьшения количества уравнений) вместо действительных
токов в ветвях вводят фиктивные, так называемые контурные токи,
искусственно наделенные свойством не разветвляться в цепи, а замы­
каться в ней по определенным контурам. Если замкнуть контурные
токи по независимым контурам цепи, выбрав, таким образом, их чис­
ло равным числу независимых контуров, то все действительные токи
в ветвях однозначно определятся через контурные токи.
Уравнения для контуров, в которых неизвестными являются кон­
турные токи /,, 1\\, ..., /,„ образуют систему:

Яц/1 + Л|2/„ + ^1зЛн + ••• + Л]п1п - Е и \
К2\1\ + к 221\\ + ^23^111 + ...+ /?2п1п ~ Е22,

(2.9)

где Л„„ — собственное сопротивление контура п (сумма сопротивлений, входя­
щих в контур п)\Кт — взаимные сопротивления входят в уравнение для каждого
независимого контура со знаком «+», если контурные токи смежных контуров
направлены в них в одну сторону (согласно), и со знаком «—» — если в разные
стороны (встречно); Е„„ — алгебраическая сумма ЭДС независимого контура я.
Если схема содержит источники тока, которые являются заданными,
то рекомендуется выбирать К контурных токов так, что бы один из них
проходил через один источник тока. Примеры приведены в задачах.
Метод узловых напряжений (узловых потенциалов). Метод основан
на положении о том, что токи во всех ветвях сложной цепи можно рас­
считать, если известны напряжения на всех ее ветвях, которые легко
определить, если первоначально определить узловые напряжения 1/ю,
\]2о , 1] п0. Система уравнений относительно неизвестных узловых на­
пряжений цепи имеет вид:
^10^11 ~ ^20^12 ~ ^30^13 -

~ ^10^21 +^20^22 ~^30^23 -

^ 10^ 31 _ ^ 2 0^ 32 -

^ 30^ 33 ~

(2.10)
•••

пО ^ пп ~ ^ п т .

где Оц, 022, ..., Опп — собственные проводимости узлов, т.е. сумма проводимости
всех ветвей, подходящих к данному узлу цепи (в уравнения (2.10) они всегда входят
со знаком «+»); 0\2 = С2\,
= Оъь •••> б ь = (’нк ~ взаимные проводимости узлов,
т.е. сумма проводимости всех ветвей цепи, находящихся между узлами 1—2, 1—3,
..., к—п; их численные значения всегда входят в уравнения (2.10) со знаком «—».
Если разветвленная цепь имеет только два узла (например, трех­
фазная цепь, соединенная звездой), то система (2.10) превращается
в одно уравнение следующего вида:
(2.10, а)

Решение уравнений с действительными числами
с помощью электронной таблицы Ехсе!

Систему алгебраических уравнений сложной цепи, составленных
на основе выше указанных методов, целесообразно решать численны­
ми методами на ЭВМ.

Если дано уравнение
А • X = В,

(2.11)

где А — квадратная матрица, X, В — вектора; причем В — известный вектор
(т.е. столбец чисел), X — неизвестный вектор, то решение X можно записать
в виде:
Х = А ‘ В,

(2.12)

где А-1 — обратная от А матрица.
Достаточно просто решить уравнение (2.11) с использованием
электронных таблиц Ехсе1.
В Ехсе1обратная матрица вычисляется
функцией М ОБР(),
а перемножаются матрицы (или матрица на вектор) — функцией
МУМНОЖ().
Чтобы вычислить обратную матрицу от матрицы А, необходимо
выполнить следующие операции.
1. Мышкой выделить квадратную область клеток, где будет разме­
щена обратная матрица.
2. Начать вписывать формулу =М О БР().
3. Выделить мышкой матрицу А. При этом правее скобки впишет­
ся соответствующий диапазон клеток.
4. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш С1г1-8Ый-Еп1ег.
5. Должна вычислиться обратная матрица и заполнить предназна­
ченную для нее область.
Чтобы умножить матрицу на вектор, — следующие:
1. Мышкой выделить область клеток, где будет размещен результат
умножения.
2. Начать вписывать формулу =М УМ НОЖ ().
3. Выделить мышкой матрицу — первый сомножитель. При этом
правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток.
4. С клавиатуры ввести разделитель (;) (точка с запятой).
5. Выделить мышкой вектор — второй сомножитель. При этом
правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток.
6. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш С1г1-5Ый-ЕШег.
7. Вычислить произведение и заполнить предназначенную для
него область.
2.18.
Дано: сложная схема (рис. 2.10). Все сопротивления
равны 2 Ом, Е\ = Е2 =
= 10 В. Требуется определить контурные токи
/п ,

1гъ-

К5

Система уравнений, составленная согласно методу контурных то­
ков, будет иметь вид:
^11Л + ^12^11 + ^13Ли - Е\\,
(2.13)

Я21Л + ^22^1 + -^гзЛи = Егъ
Л31/[ + Л32/ц + Л3з/„1н - 2?33.

Подставив заданные числовые значения в систему (2.13), получим:
4 /, - 2 / п + 0 = 10;
—2/] + 6/ц —2/щ = 10; •

(2.14)

0 - 2 / ц + 4 /„ ш = -Ю .
Запишем систему уравнений (2.15) в матричной форме
А1 = Е,

(2.15)

где А — квадратная матрица коэффициентов при контурных токах, размером
3 х 3; I и Е — матрицы — столбцы неизвестных контурных токов и заданных
контурных ЭДС.
Решение системы (2.15):
1 = А 'Е .

(2.16)

В таблице 2.1 представлен фрагмент таблицы Ехсе1, где размещены
матрица А; обратная матрица А-1; матрица-столбец Е; матрица-столбец искомых контурных токов I.
Таблица 2.1
4
-2
0

-2
6
-2

0
-2
4

10
10
-10

0,3125
0,125
0,0625

0,125
0,25
0,125

0,0625
0,125
0,3125

3,75
2,5
-1,25

Таким образом, 1п = 3,75 А; / 22 = 2,5 А; / 33 = —1,25 А.
Отрицательный знак у тока / 33 означает, что этот ток направлен
в противоположную сторону направлению, указанному на схеме.
Метод эквивалентного источника. Метод эквивалентного источни­
ка применяется для расчета тока в какой-либо одной выделенной вет­
ви сложной цепи (рис. 2.10, а).

Р и с. 2 .1 0

Любую сложную цепь по отношению к одному из ее приемников
всегда можно условно представить как некоторый эквивалентный ис­
точник с параметрами Ег и Яг (рис. 2.10, б).
Неизвестные величины Ег и Яг можно найти из опыта холостого
хода (XX) и короткого замыкания (КЗ). При проведении опыта XX
ветвь с сопротивлением Я размыкается и на ее зажимах возникает на­
пряжение (7хх, равное ЭДС эквивалентного генератора: бхх = Ег. При
проведении опыта КЗ исключаются все источники (источники напря­
жения заменяются перемычками, а ветви с источником тока отключа­
ются). Тогда входное сопротивление цепи становится равным сопро­
тивлению эквивалентного генератора: Яш = Яг.
Ток / в упомянутом приемнике можно рассчитать по формуле
/ = - Ег
К + Я^

XX

Я+

(2.17)

Метод наложения. П ринцип наложения позволяет при расчете це­
пей с несколькими источниками расчленить исходную задачу на ряд
частичных задач, в каждой из которых предполагаются поочеред­
но действующими лиш ь по одному из всех источников цепи. Решая
каждую из частичных задач, т.е. находя частичные токи, получаем
возможность путем их соответствующего суммирования вычислить
действительные токи в цепи. Если во всех частичных задачах, число
которых должно равняться числу источников в исходной цепи, будем
получать упрощение цепи, то решение даже нескольких частичных
задач может представить меньшие затруднения, чем расчет исходной
сложной цепи. Практически метод наложения целесообразно приме­
нять при небольшом количестве источников (два, три) и преимуще­
ственно в тех случаях, когда частичные цепи оказываются простыми
цепями.
Метод замены нескольких параллельных источников напряжения од­
ним эквивалентным. Если имеется несколько источников напряжения
с ЭДС Е\, Е2, ..., Е„ с внутренними сопротивлениями (рис. 2.11, а), ра­

ботающих параллельно на общую нагрузку Я, то они могут быть за­
менены одним эквивалентным источником Еэ с внутренним эквива­
лентным сопротивлением Яэ (рис. 2.11, б).

Р и с. 2.11

При этом

к =1

1

Ок = \ / Я к-

п

1

— = У— •

(2.18)

к= \

Ток в сопротивлении Я
/ = -

2.19.
Определить ток /1 в цепи (рис. 2.12) методом эквивалентного
источника. Известно Е х = 24 В, /Г2 = 12 В, /?и = 2 Ом, Я{ = 10 Ом,
Л = 20 Ом, Я2 = 4 Ом.
Решение. Рассмотрим определение тока пер­
вого источника в схеме параллельной работы
двух источников Е\ и Е2 через линии передачи
/?л1 и Л 2 на общ ий приемник Л (рис. 2.12, а). Как
в аналогичной задаче предыдущего параграфа,
будем считать внутреннее сопротивление вто­
рого источника равным нулю. Все величины,
Е2
помеченные на схеме, принимаем заданными.
Хотя формально в задаче предлагается опреде­
лить ток первого источника, будем его искать
как ток линии /?ль которую сейчас условно
примем за приемник. Это позволит последова­
тельно применить изложенную выше методику
расчета.

Выбрав произвольно направление искомого тока / ь отключаем Л,
(рис. 2.12, б) и определяем напряжение 1/оэ, возникающее между кон­
цами образованной ветви. При этом подчеркиваем, что направление
напряжения должно быть выбрано совпадающим с выбранным ранее
направлением тока 1\ в рассматриваемой ветви.
Нетрудно видеть (рис. 2.12, б), что образовавшаяся после отключе­
ния первой линии цепь является простейшей неразветвленной цепью,
единственный ток которой, замыкающийся по правому контуру цепи,
будет равен
Г = ——— = — -— = 0,5 А.
Я2 + Я 4 + 20
Для определения напряжения холостого хода (/оэ составим уравне­
ние по 2-му закону Кирхгофа в развернутой форме вдоль левого кон­
тура цепи, включающего оборванную ветвь,
Я / + {/оэ = Е\.
Из последнего уравнения с учетом ранее найденного значения тока
/'получим
иоэ = Е] ~ Я Г= 24 - 20 ■0,5 = 14 В.
Эквивалентное сопротивление цепи с оборванной ветвью относи­
тельно ее концов А и В при отсутствующих источниках легко опреде­
лить, ориентируясь по вспомогательной схеме (рис. 2.12. в):
Я2Я
„ 4-20
Яы^ —ЯыI н
= 2н
—3,33Ом.
иэ
И1 Я2 + Я
4+ 20
Таким образом, искомый ток будет равен
/ , = Ц°э = — —— = 1,05 А.
1 Я] + /?иэ Ю+ 3,33
2.20. Условия задачи 2.19. Определить ток 1{ методом наложения.
Решение. Для частичного тока Ц, протекающего по первой ветви
под действием первого источника (второй источник замкнут), будем
иметь:
Е\
1

Я2Я
Я2 + Д

24
_______ 4-20
4 + 20

’

Для определения тока I " в той же ветви под действием второго ис­
точника (первый источник замкнут) будем иметь:
] " - ------------ § 2 ________ = _______

71

| (/?, + /?и)/?
2
Л, + Л

И _______

- ] 044 а

1 , (10 + 2) 20
10+2+20

Окончательно получаем искомый ток I,
/, = / ; - / " = 1,56-1,044 = 0,51 А.

ГЛАВА

ОДНОФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.1. Основные положения и соотношения
Синусоидальные токи и напряжения выражаются аналитически
следующим образом:
/ = / т 8т(ю / + у,-);

и = {/т §т(со? + у„),

(3.1)

где / и и — мгновенные значения тока и напряжения; 1ти 11т— амплитуды тока
и напряжения; ю — угловая частота тока и напряжения; I — время; (со/ + \|/,)
и (со/ + ч/„) — фазы тока и напряжении, ц/, и
— начальные фазы тока и на­
пряжения.
Угловая частота со связана с частотой / и периодом Т соотношением:
со = 2я/,

1/с, / = 1/7', Гц.

(3.2)

Действующие значения синусоидального тока и напряжения:
1 = 1т/у[2,

II = 1/т/у!2.

(3.3)

2-й закон Кирхгофа. Уравнение для мгновенных значений на­
пряжений для последовательной цепи одноконтурной, состоящей
из элементов Я, Ь, С,
и = ик + иь + ис,

ик = Я1,

с11
^ = 1-у ,

1^
ис = -\Ш 1 + ис (0).

(3.4)

Л

Векторное изображение синусоидальных токов и напряжений

На рисунке 3.1 показано изображение тока в виде вектора длиной
/т , вращающегося против часовой стрелки с постоянной угловой ско­
ростью со (соответствующей угловой частоте тока) относительно по­
люса 0 полярной системы координат. Его положение на этом рисунке

зафиксировано в момент времени ? = О, при котором угол его наклона
к полярной оси Р составляет величину, равную начальной фазе + ц/,.

Законы Кирхгофа в векторной форме записи

При расчете цепей можно использовать законы Кирхгофа в вектор­
ной форме записи.
1-й закон Кирхгофа:
(3.5)

5 > = ° к=\

Геометрическая сумма векторов всех токов, подходящих к любому
узлу цепи, равна нулю.
2-й закон Кирхгофа:
к

I

к =1

(3.6)
п=\

Элементы в цепи синусоидального тока

Сопротивление К

1 = и /я = и о ,

о = \/я .

Начальная фаза тока \\1( = \\)и или ср =
Индуктивность Ь

—у,- = 0.

/= и /х ^ и ъ ,,
— индуктивное сопротивление;
Хь

со!

(3.7)

индуктивная проводимость.

Начальная фаза тока \\)( = \уи —90° или ср = \у„ —у,- = +90°

(3.8)
(3.8, а)

Емкость С
/ = и / х с = ш с,
Хс = 1/со С — емкостное сопротивление;
Ьс = -г|—= - ■■- = соС — емкостная проводимость.
.л ^ 1/ соО

(3.9)
(3.9, а)

Цепь с последовательным соединением К, Ь, С
2-й закон Кирхгофа в векторной форме записи для цепи рис. 3.2, а
и

(3.10)

, + ис-

Векторная диаграмма в соответствии (3.10) показана на рис. 3.2, 6
для случая,
к
их =иь - и с

х = х 1_ - х с

%

С

Р ис. 3.2

когда VI > 1]с. Применяя правило сложения векторов, получен треу­
гольник напряжений рисунке 3.2, в, на основании которого получено
выражение (3.11):
{/ = ^

2 + ( ^ - { / с )2 = ^ + ^ >

и = 1 ^ К 2+ (Х ,_ -Х с )2 = 1 ^ Я 2 + Х 2

или

(3.11)
и =11.

(3.12)

Здесь
I = у Л2 + (Х Ь - Х с )2 =у/Я2 + X 2 — полное сопротивление; (3.13)
Хь —Хс = X — реактивное сопротивление;
и ,-и с
х —х г
Ф = агс(§—
- = агс1§— ----- Уя
к
-90° < ф < +90°.

(3.14)

(3.15)

Цепь с параллельным соединением К, Ь, С
На основании 1-го закона Кирхгофа в векторной форме получена
векторная диаграмма для случая //. > /с.

На рисунке 3.3 представлена схема и векторные диаграммы. Все по­
яснения указаны на этом рисунке:

Р и с. 3 .3

где

1Х= {Iь

1С).

(3.16)

При этом 1ц = 110; 1Ь = 1Л>1,1С — 11ЪС.
Подставляя эти значения токов в формулу (3.16), находим
/ =

+ (Ьь - Ьс )2 = и 7 о 2 + ь2
//

1п

или

1 = \]у.

Ьг —Ъп

Ф = агс1в-кт——= агс1§-

(3.17)
(3.18)

Iк

Мощность в цепи переменного тока
Активная, реактивная и полная мощности определяются по ф ор­
мулам
Р = Ш сохф, Вт,
(2 = [Лып ф = 12х = 112Ъ, вар,

(3.19)
(3.20)

5 = Ш = 121 = Ц 2у=:у[рГ7 о 2, В -А.

(3.21)

3.1.
Для схемы (рис. 3.3) дано: Хь = 3 Ом, Хс = 6 Ом, К = 4 Ом,
11 = 24 В. Требуется определить напряжение на емкости и индуктив­
ности.
Решение. Ток в цепи равен:
/= { /Д ,

г = ф 2+ ( * 1 ~ * с ) 2 =>А2 + (3 - 6 )2 =5 А.

Напряжение на емкости (/с =
= 5 • 6 = 30 В. Напряжение на ин­
дуктивности VI = 1ХЬ = 5 • 3 = 15 В.

В задачах 3.2—3.7 указать правильное решение.
3.2.
Дано: и = 1205т(628/ + 130°) В; /'= 10$т(628/ + 40°) А. Укажите
векторную диаграмму цепи.

,г о
1.

3.3.

ви

2.

и"

3.

4.

Дана векторная диаграмма цепи. Она соответствует цепи.
ф

V
I.

2.

НН*

«-СИНЬ*

3.

4.

3.4.
Даны показания вольтметров: V — 50 В; Ус — 40 В; Ух — 70 В
Определите показание УЛ, вольт.
/г>. /г~\
1. 40.
2 . 100 .

3. 750.

(/с

%

4. 50.

3.4.
Дано: С = 0,6 См; ^ = 1,2 См;
= 0,4 См. Определите угол
сдвига фаз ф между напряжением и током цепи.
0,8
0,6
1. агс^ тгт2. агс1§0,6
0,4
Л 1
V^
Ьс

3.

0,6
агс!§— .
0,8

I

1,2
4. агс1а— .
0,4

3.5.
Дано: 1}= 10 В; 0 = 0,8 См; Ьс = 0,6 См. Определите показание
амперметра, А.
1. 1.
Л:
2. 2 .
Ьс
3. 3.
4. 4.
3.6.

Д ан о :м = Ю0’У25т(ю? + 20°) В ;/= 10л/25т(со?-40°) А. Опреде

лите активную мощность цепи, Вт.
1. 500.
2. 700.
3 . 1000.

4. 400.

<

«Г

3.7. Даны показания амперметров: А - 10 А;
Определите показание А* А.

-

12 А; А с - 4 А.

1 .6 .

2.4.
3 .8 .

4.

10.

3.2. Символический метод расчета
Комплексные токи и напряжения. Положения векторов токов и на­
пряжений на комплексной плоскости показаны на рис. 3.4. Здесь 0 —
комплексное действующее значение напряжения (сокращ енно — ком­
плексное напряжение); 1 — комплексное действующее значение тока
(сокращенно — комплексный ток).

/
+1

Р ис. 3 .4 .

Векторы тока и напряжения на комплексной плоскости

Аналитическая запись V и / имеет вид

й = а, + }Ъх=и со§\|/„ + V 8Ш\)>„ = 1/е^ “;

(3.22)

/ = а2 + ]Ь2 = I со8\у, + / 8Шу,- = 1е^ ' .

(3.23)

Комплексное сопротивление 7.
П Пр^ “ II
г = 1 ^ 7 — = - е^

) = ^ е ;ф = г с 08ф + /гзш ф = (/? + /А").

(3.24)

где I — полное сопротивление цепи, а ф — угол сдвига между напряжением
и током.
Комплексная проводимость У
у е '1^ = ^со8ф - у>81п ф = (С - }Ъ).
СУ

(3.25)

Соответствия между мгновенными и комплексными значениями
напряжений и токов:
ик = 1 Я ^ Я 1 ;

иь =

юС

= -г~р;\ (3.26)
усоС

5 = 111 = 5еУч>= 5со$ф + /5 'з т ф = Р + у'0,

(3.27)

ш

^ усо!/;

1с =Ои

СО;

ис

Г/Л *
С •'

/с = Сс1и/с1( ^

где 0=0 — принятый здесь знак соответствия.
Комплексная мощность
*

где I = 1е~1'*‘ — комплексный ток, сопряженный заданному комплексному
току / = /е+уу' .
Законы Кирхгофа в комплексной форме записи

1-ый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных токов
в узле равна нулю:
к

Х /* = 0 .

(3.28)

к =1

2-ой закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных ЭДС кон­
тура равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех
комплексных сопротивлениях этого контура:
I К =
т

(3.29)

п= 1

Аналогия с цепями постоянного тока

Все методы расчета цепей постоянного тока можно применять для
расчета комплексных токов, на основании которых находятся дей­
ствующие и мгновенные значения искомых токов.
В задачах 3.8—3.14 указать правильное решение.
3.8.
равна:

Дано: 2 = (4 + у'З) Ом. Показательная форма записи при этом

1. \^42 + З2еуагс18(4/3).

2 ^/42Т з ^ ' ' уагс^е/42 + З2е“уагс(8(4/3).

л/42 + 3 2вуагс,8(3/4>.

3.9. Дан комплексный ток / = 10еу6° А. Найдите соответствующую
ему синусоиду тока.
1. 10 81п(со/ + 60°).
2. 10л/251п (ю? + 60°).
3. 10725Ш(60°).
4. 10л/2$т(юГ-60°).
3.10. Дано комплексное сопротивление цепи I = 4е~90' Ом. Оно со­
ответствует цепи...
Н=нн
1.

2.

НИ
3.

чин
4.

3.11. Дано: О = 0,4 См; Ь = 0,6 См. Укажите комплексную прово­
димость цепи У См.
•1. 0,4 -уО ,6.
2. 0,6 —у'0,4.
]
3. 0 ,4 -7 0 ,6 .
4. 0,6 —у'0,4.
3.12. Дано:
перметра, А.
1. 60.
2. 40.
3 . 20 .

0 = 120еу65

В; 2 = 2е/5*Ом. Определите показания ам
■
.
^ _______
*

4. 80.
3.13. Дано: 0 = 200 В; / = (10 + у'20) А. Определите реактивную
мощность цепи, вар.
1. 1000.

2.

2000 .

3. 3000.
4. 4000.

й

|

—

3.14.
Дано: й = (100 + у'200) В; / = 10 А. Определите активную
мощность цепи, Вт.
1. 1000.
Л2. 2 0 0 0 .
й |
3. 3000.
4. 4000.

3.3. Резонанс в цепях синусоидального тока
Существует резонанс напряжений и резонанс токов.
Резонанс в последовательной цепи из элементов
Я , I. , С (резонанс напряжений)

Резонансом в цепи, содержащей сопротивления индуктивности
и емкости, называется такой режим, при котором ток и напряжение
на входе цепи совпадают по фазе, т.е. ср = 0 или х = 0.
При последовательном соединении условию соответствуют соот­
ношения
х = ш Ь— —= 0,
соС

т.е.

=

юс

.

(3.30)

Отношение

определяет кратность превышения напряжения на индуктивности
и на емкости над напряжением на зажимах всей цепи. Величину (? на­
зывают добротностью контура.
Затухание контура
(1= 1/0.

(3.32)

Резонанс в параллельной цепи из элементов
Я,
С (резонанс токов)

Условием резонанса при параллельном соединении активного ин­
дуктивного и емкостного сопротивлений является также отсутствие
сдвига фаз между током и напряжением на входе цепи.
Резонанс имеет место, как указано выше, при ср = 0, что равносиль­
но при параллельном соединении условию:

Ъ= Ъ[^- Ъс ~ 0
Резонансная частота

Добротность контура

или

—--с о С = 0.
со/,

(3.33)

определяет кратность превышения тока в индуктивности и тока в ем­
кости над суммарным током всей цепи.
В задачах 3.15—3.19 указать правильное решение.
3.15.
Цепь находится в режиме резонанса. Если уменьшить ем­
костное сопротивление, ток / в цепи...
/
1. Уменьшится.
----- 1—
2. Увеличится.
I
3. Не изменится.
3.16.
Цепь находится в режиме резонанса. Если уменьшить индук­
тивное сопротивление, ток / в цепи...
г
1. Увеличится.
Т*~1— 3
2. Уменьшится.
I
3. Не изменится.

I

3.17.
Для последовательной цепи построена векторная диаграмма для
режима резонанса. Укажите направление вектора входного напряжения.
1. По направлению тока.
2. Вправо перпендикулярно
току.
I
т
3. Влево перпендикулярно току.
4. В противоположную сторону тока.
3.18.
Последовательная цепь находится в режиме резонанса. Усло­
вие, при котором напряжение на индуктивности превышает напряже­
ние на входе цепи, равно...
1.
2 .Х 1< Я ; З.л^ = /?; 4. хс< К .
3.19. Какое условие необходимо выполнить, чтобы в параллельной
ш в о зн и к резонанс токов?
1. Ь = Ьь —Ьс ~ 0; 1.Ъ1>Ъс. 3. Ь = Ьь —Ьс > 0', 4. Ь = Ь[.— Ьс ,Ф,

(3.36)

гд е щ — ч и с л о в и т к о в п е р в о й к а т у ш к и ; Ф — м а г н и т н ы й п о т о к , п р о х о д я щ и й
ч ерез оди н ви ток катуш ки.

ЭДС самоиндукции:
Ч

-

—

-

(3 -3 7 )

ЭДС взаимной индукции

(3 38)
где М — взаимная индуктивность катушек.
Напряжения и 1 и и2 каждой индуктивно связанной катушки имеют
две составляющие: одна из них (иС) вызвана действием ЭДС самоин­
дукции, а другая (им) вызвана действием ЭДС взаимной индукции:
и -- ии ц х+ииМ12-- —— х+ Л У—
мп _
Л 2 ,.
и\
- ц, — х+ мм —

(3 39)
„

- и

~

+ и

- ^ О

—

Л

+

±

^ Л /2 1

Л

_ ,

Д2+

- Ь Л ±М Л '

Знак «+» берется в том случае, когда потоки самоиндукции и вза­
имной индукции совпадают по направлению (согласное включение
катушек), «—* — когда потоки не совпадают по направлению (встреч­
ное включение катушек).
Комплексная форма записи уравнений (3.39) имеет вид
= у ш ^ / ,± у а ) Л / / 2;

\ и 2 = М Ь 212 ± М М 1[.
При последовательном соединении двух индуктивно связанных ка­
тушек эквивалентное сопротивление определяется по формуле
+ ]Х\ + К2 + ]х2 ± 2)хм ,

(3.41)

где Хм = юМ — сопротивление взаимной индукции.
В электротехнической литературе для характеристики магнитной
связи двух любых катушек используется коэффициент магнитной связи
К = М /у [ ц Ц < \.

(3.42)

3.19.
Для цепи с последовательным соединением двух индуктивно
связанных катушек известны их параметры
Ь ь К2, Ь2, взаимная ин­
дуктивность М, частота со сети и комплексное напряжение 0 . Требует­
ся определить комплексный ток цепи / при согласном и встречном
включении катушек.

Решение. В соответствии со 2-м законом Кирхгофа имеем
й = й х+ й 2, где 0 \ = (Я] + у0)1 , ) / ±усоЛ/7; 0 2 = (Я2 + у ю ^ ) / ±уооЛ//.
Тогда й = й 1+ й 2 =[(К1+Я2) + М Ц + 1 2± 2М )]1 = г э 1. Здесь 2 Э=
= ( /?1 + Я2) + У0)( А + Ц ± 2 М ) = + УСО/д.
Анализ 2э показывает, что его величина зависит от способа вклю­
чения катушек. При согласном включении 2 Ъ = (Я] + Я2) + 700( ! +
+ Ь2 + 2М), а при встречном включении 2 э = № + Я2) + у с о ^ + Ь2 - 2М). Таким образом, при согласном включении 2 э больше, чем при
встречном, за счет изменения реактивного сопротивления цепи:
Л^согл ~ Х [л + Х / 2 + 2Х М\

А'/ цс-ф = Х ц + Х 12 — 2Х М.

Заметим, что при всех условиях Х [Л + Хп - 2ХМ > 0, т.е. Х ц + Х п > 2М, так как Хэ всегда положительно и является индуктивным сопро­
тивлением. Отрицательное значение Хэ означало бы превращение это­
го сопротивления в емкостное, чего не может быть физически.
3.20.
Для цепи с последовательным соединением двух индуктивно
связанных катушек (рис. 3.5) известны их сопротивления и действую­
щее значение

Н

ж

*

&

Р и с. 3 .5

приложенного напряжения: Х\ = 20 Ом; Х2 = 30 Ом, Хм = 5 Ом,
Я\ — Я2 = 0, 1} = 120 В. Требуется определить ток цепи, а также дей­
ствующие значения напряжений на каждой из катушек при согласном
и встречном их включении.
Решение. При отсутствии в цепи активных сопротивлений задачу
можно решить, пользуясь только модулями комплексных токов, на­
пряжений и сопротивлений.
При согласном включении (указано на схеме знаками): а) полное со­
противление цепи ^эсогл = Х 1 + Х2 + 2ХМ= 20 + 30 + 10 = 60 Ом; б) дей­
ствующее значение тока /согл = ^Дэсогл = 120/60 = 2 А; в) действующее
значение напряжения на 1-й катушке: II\ = / СОГл^1согл = Л от№ + Хм) =
= 2 • 25 = 50 В, где 2|С0ГЛ = (Х\ + Хм); г) действующее значение напря­
жения на 2-й катушке: \}2 = / согаг2согЛ= 4>гл№ + Хм) = 2 ■35 = 70 В, где
ФсОГЛ (Х2 “Ь XМ).

При встречном включении: а) гэвстр = Х\ + Х2 — 2ХМ = 20 + 30 — 10 =
40 Ом, б) /встр ^//^Эвстр 120/40 3 А, в) 11\ ^встр^1встр -^встрС^Л
- Хм) = з ■ 15 = 45 В; д) */2 = / ^ в с т р = Лстр № - Хи ) = 3 • 25 = 75 В.
ЗдеСЬ ^1встр С^1 * * ), фвстр (^2 Хм).
3.21.
В цепи с последовательным соединением двух идеальных
(Л, = К2 = 0) индуктивно связанных катушек (рис. 3.5) при неизмен­
ном действующем значении приложенного напряжения 11= 120 В из­
мерили действующее значение тока при согласном (/согл = 2 А) и при
встречном (/встр = 6 А) включении этих катушек. Требуется определить
величину сопротивления взаимной индуктивности М этих катушек.
Решение. 1. Сопротивление цепи при согласном включении кату­
шек
^согл
•СОГЛ= —— = ~ ^ - = ЬО = (Х { + Х 2 + 2 Х м ) О м .
*С
г.пгп
^
ОГЛ
2. Сопротивление цепи при встречном включении катушек
^встр = - —- = - ^ - = 20 = (^Г1+ Х2- 2 Агм )О м .
* встр

^

3. Разность этих сопротивлений ^согл —^встр = 4ХМ= 60 - 20 = 40 Ом.
4. Величина взаимной индуктивности катушек Хм = 40/4 = 10 Ом.
Цепь с параллельным соединением
индуктивно связанных катушек

Для цепи (рис. 3.6) с параллельным соединением двух индуктивно
связанных катушек, у которых известны их параметры Кх, Къ Ь и Ь2,
взаимная индуктивность М, частота со и комплексное напряжение О,
уравнения имеют вид
I
.
.
Н = ± 2 и 1, + 2 11ъ \
Л,

(3.43)

где / \ = (Л, + 7Ы 1); 2.1 = (К2+^аЬ2У, 2м=лаМ.
Решение уравнений (3.43) имеет вид:

(3.44)
Р и с. 3 .6

2

—1—2 ——Л/

3.22.
Известны (рис. 3.6) сопротивления двух параллельно вклю­
ченных катушек и действующее значение приложенного напряжения:
Х х = Ъ Ом; Х2 = 2 О м ; Хм = 1 Ом,
= К2 = 0; 11= 10 В. Определить дей­
ствующие значения токов /, / ь /2 во всех ветвях цепи при встречном
включении катушек.
Решение. При встречном включении в уравнениях (3.43) у слагае­
мых видау'юЛ//должен стоять знак ( - ) . Кроме того, при отсутствии
активных сопротивлений катушек уравнения можно составить только
для модулей напряжений токов и сопротивлений, не применяя симво­
лического метода. При этих условиях получаем
*/ = * , / , - • а д
[

V

+ ^2^2

Подставляя численные значения известных величин, находим
Ю = 3 /,- /2

10

- /,+ 2 /2

=

Решаем эту систему с помощью теории определителей.
1. Главный определитель системы
3

-1

= 6 -1 = 5.

Первый дополнительный определитель
Д ,=
3.

10

-1

10

2

=20+10 = 30.

Второй дополнительный определитель
Д2

3

10

-1

10

-

= 30 + 10 = 40.

4. Действующие значения искомых токов
/

_ з о . =6 А;
/ 2 = — = — = 8 А;
/ = /, + / 2 = 14А.
1 А
5
Аналогичный результат расчета получим, воспользовавшись мето­
дикой расчета с использованием электронной таблицы Ехсе1. Подроб­
но этот метод расчета представлен в параграфе 2.4.
В таблице 3.1 представлен фрагмент таблицы Ехсе1, где размещена
матрица А; обратная матрица А-1; матрица-столбец Е; матрица-столбец искомых токов ( / : = 6 А, / 2 = 8 А).

Т аблица 3.
-1

3

10

2

10

0 ,4

0,2

6

0,2

0,6

8

-1

Результаты расчетов обоими методами совпали.
Цепь с трансформаторной связью между катушками. Такая цепь пред­
ставлена на рис 3.7.

Л

А

м
Щ = 2 н1г

Р и с. 3.7

Уравнения для левого и правого контуров цепи имеют вид:

\й х=(Л, + д о А )/, ± у'соЛ/ / 2;
[0 = ±усоЛ//1+(У?2 +УсоХ2) / 2 + ^ я / 2.

(3.45)

Комплексные токи 1\ и / 2 обеих катушек:

/-

Ы±
—

I^ 2

где (Л, +Уо)1]) = й ; (Л 2 + у о )1 2 +

■ /Г _

— Л/

(3.46)
— 1— 2 '

1 Н) = 1а,]

| ^ /2

1 Г

[

м

3.25.
Дано: 11= 100 В; Х\ = 10 Ом; Х2 = 20 Ом; Хм = 10 Ом. Найдите
показание амперметра, А.
1.

10.

X,

х2

2. 4.
3 . 6.

4. 8 .
3.26. Дано: Х 1 = 30 Ом; Х2 = 50 Ом; Хм = 10 Ом. Найдите величину
X). Ом.
1 . 100 .
Ъ
2. 60.
х
■у
3. 80.
4. 40.
3.27. Укажите формулу ЭДС самоиндукции катушки 2.
1.

Чи

с1/2

^

2.
3.

4

мп

сИ
-

Н ы
с1!

< 1уи
сИ\

ш

щ

.

3.28.
Дано: 1/= 120 В; Х\ = 30 Ом; Х2 =Ом;
50
величину Ци В.
1. 40.
2 . 20 .

3. 60.
4. 80.

= 10 Ом. Найдите

ГЛАВА

4

ТРЕХФАЗНЫ Е ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

4.1. Основные положения и соотношения
Расположив ЭДС ЕА вдоль оси вещественных чисел комплексной
плоскости, получаем запись ЭДС в следующем виде:
Ёа = Е а -

Ё в = Е Ае}Ж’ = ЕАе~11Ж\

Ёс = ЕАе*т ',

(4.1)

или

Ёа = Е а -

Ёв = а 2ЕА,

Ёс = аЕ А,

(4.2)

где е+у'120‘ = а — фазовый множитель.
Соотношения в симметричной трехфазной цепи

Для трехфазной цепи, соединенной звездой (рис. 4.1),
{/л = л /ш ф;

/ ф = / л.

(4.3)

Р ис. 4.1

Ток в нейтральном проводе / дг
^ а + Iв + 1с = 1N ■

(4.4)

При отсутствии нейтрального провода, а также при симметричной
нагрузке
1 л+ 1 в + 1с~®-

(4.5)

При отсутствии нейтрального провода напряжение между нулевы­
ми точками генератора и приемника равно:
*/|0 ~ ^\ \ / —11’
где Л 1 = - ( Ё а У а + Ё в У в + Ё с У с ) и

Для

(4.6)

У _ п = ( У _ л + У_в + У . с ) -

трехфазной цепи, соединенной треугольником (рис. 4.2),
0 л =0ф,

/ л = 7 з / ф.

(4.7)

Сумма комплексных линейных напряжений всех трех фаз (в соот­
ветствии со 2-м законом Кирхгофа) равна нулю:
и а в + йвс + йсл = о.

(4.8)

Сумма комплексных токов всех трех линейных проводов равна
нулю:
I а + 1в + 1с~®-

(4.9)

Трехфазные цепи могут работать в двух основных режимах — сим­
метричном и несимметричном.
Мощность трехфазной цепи

Комплексная мощность трехфазной цепи равна сумме комплекс­
ных мощностей всех трех ее фаз:
5 3ф= 5 А + 5 в + 5с .

(4.10)

С учетом формулы (4.10) для комплексной мощности трехфазной
цепи получаем:
=

где

'^Рф = РА + Рв + Рс

+

и

у'Х



^ О ф = О л +Ов + Ос-

(4.11)

В частном случае при симметричном режиме работы трехфазной
цепи имеем:
Л*, =ЗРФ;

Сзф-30ф;

~Уф!ф = ^Рф + Оф■

(4.12)

Для соединения приемников как звездой, так и треугольником:
Рзф =

/ л созф;

0зф = Т з ^ ,/., а п

^Зф =>/31/л/ л = л](Рзф)2 + (Сзф)2 •

ф

;

(4.13)

Симметричный режим работы трехфазной цепи имеет место при
следующих двух условиях: генератор вырабатывает симметричную си­
стему ЭДС и, кроме того, комплексные сопротивления всех трех фаз
приемника одинаковы (симметричный приемник). Очевидно, что
при симметричном режиме достаточно произвести расчет только од­
ной фазы трехфазной цепи (например, фазы А). Токи других фаз будут
иметь с фазой А одинаковые амплитуды (а также и действующие зна­
чения) и сдвинуты по фазе относительно своих фазных напряжений
на один и тот же угол (ф). При этом друг относительно друга токи всех
трех фаз будут сдвинуты по фазе на ±120°.

4.2. Расчет трехфазных цепей
4.1.
Трехфазная цепь (рис. 4.1, а) состоит из генератора, выраба­
тывающего симметричную систему ЭДС с действующим значением
^ = 2 2 0 В, и симметричного приемника, соединенного звездой, сопро­
тивление каждой фазы которого составляет 2а = 2в = 2 с =
= Р =
= 22 Ом. Требуется определить токи и напряжения всех трех фаз при­
емника, напряжение между нейтральными точками генератора (0)
и приемника (0'), ток в нейтральном проводе, а также построить век­
торную диаграмму цепи на комплексной плоскости.
Решение. 1. Принимаем направление действия ЭДС, токов и напря­
жений в данной цепи в соответствии с рис. АЛ, а.

2.
Определяем комплексные фазные ЭДС генератора. Для этого
совмещаем ЭДС фазы А с осью вещественных чисел (рис. 4.1, а) и по­
лучаем
Ё А = 220 В;

Ёв = 220е~у120 = ( - 1 1 0 - у!90) В;

Ёс = 220е+у|20° = (-1 1 0 + у 190) В.
3. Определяем комплексные линейные напряжения приемника.
Для этого воспользуемся 2-м законом Кирхгофа для контуров цепи,
образованных фазными ЭДС генератора и линейными напряжениями
трехфазного приемника:

й лв = ЁА- Ё в =[ 220 - (-110 - у190)] = (330+ у190) =
_______________

.

НЮ

= л/з302 + 1902/ ' ГС8330 = З80еу30° В;
0 ВС = Ё в - Ёс = [ ( - 1 1 0 - у190) - (-110 + у 190)] = -у 380 = 380е"у'90" В;

йсл = Ёс - Ё А = [(-110 + у1 90°) -2 2 0 ] = -330 + у190 = 380е+Л5(Г В.
Действующие значения всех трех линейных напряжений одинако­
вы и составляют Ил = 380 В.
4. Определяем комплексные фазные напряжения приемника.
В соответствии со 2-м законом Кирхгофа непосредственно из схемы
цепи находим, что при наличии нейтрального провода они равны фаз­
ным ЭДС генератора:
0 А = ЁА = 220 В;

0 В = ЁВ = 220е”;|20‘ В;

0 С = ЁС = 220е+у1Ж В.

Действующие значения всех трех фазных напряжений одинаковы
( (/ф = 220 В) и в %/3 раз меньше линейных напряжений ( Ця = 380 В).
5. Определяем комплексное напряжение Сц между нейтральны­
ми точками приемника и генератора. Для этого используем метод уз­
ловых напряжений, согласно которому в нашем примере для двух уз­
лов это напряжение равно
^= Л ,/Г п -

6.
Определяем комплексные фазные (они же линейные) токи при­
емника, используя формулу закона Ома:
Ув

2 2 0 е ~ -л ж

22

= 10е'у|Ж = (-5 -у 8 ,7 ) А;

/ с = | = - 2-(к22-12П = 10е+у|Ж = 10 (-0 , 5 + 78 , 7 ) = ( - 5 + у 8,7) А.
Действующее значение токов во всех трех фазах цепи одинаково
и составляет / ф = 10 А. Векторы этих токов образуют симметричную
систему и их сумма, определяющая ток в нейтральном проводе / Л
в соответствии с формулой (4.5), равна нулю.

Р ис. 4 .3

Следовательно, при симметричном режиме работы нейтральный
провод для нормальной работы цепи не нужен.
7.
Векторная диаграмма токов и напряжений исследуемой цепи
представлена в двух вариантах. В первом варианте (рис. 4.3, а) все век­
торы исходят из начала координат комплексной плоскости. Во втором
варианте (рис. 4.3, 6) векторы линейных напряжений перенесены па­
раллельно самим себе так, чтобы они расположились между концами
соответствующих векторов фазных напряжений и образовали равно­
сторонний треугольник.
Из этой диаграммы видно, что при симметричном режиме работы
достаточно рассчитать токи и напряжения только одной из фаз цепи,
например фазы А. Токи и напряжения остальных двух фаз будут таки­
ми же по действующему значению, но сдвинуты относительно фазы
А по фазе на ±120°. Кроме того, из геометрии равностороннего треу­
гольника следует, что IIл =у/31/ф.
4.2.
Три одинаковых сопротивления Т^п — %вс = 2сл = 2ф = (30 + /40)
Ом соединены треугольником и подключены к трехфазному генерато­

ру, фазные обмотки которого объединены в звезду (рис. 4.4). Генератор
вырабатывает симметричную систему фазных ЭДС с действующим
значением Еф = 380 В. Требуется определить показания электромаг­
нитных амперметра и вольтметра, включенных в цепь.

Р ис. 4 .4

Решение. 1. Данная трехфазная цепь работает в симметричном ре­
жиме, поэтому для реш ения задачи достаточно рассчитать только одну
ее фазу (например, фазу АВ приемника). Принятые направления на­
пряжений и токов соответствуют рис. 4.4.
2. Действующие значения линейных ЭДС трехфазного генератора
в 73 больше действующих значений его фазных ЭДС и составляют
Е „ = ^ Е ф = 6в0 В.
Провода линии электропередачи в нашем примере не обладают со­
противлением, поэтому действующие значения фазных напряжений
приемника, соединенного треугольником {/ф = Ел = 660 В. Таким обра­
зом, показание вольтметра электромагнитной системы, включенного
в фазу АВ приемника, составляет 660 В.
3. Действующие значения тока в фазе АВ приемника
1ф = ^ - = — = 13 А,
гФ
50

где

гФ =^1к2 + Х 2 = >/302 + 402 = 500м .

4. Угол сдвига фаз ср между напряжением и током фазы АВ: ф =
= агс1%Х/К = агс1§40/30 = 53°. На этот угол (цепь имеет индуктивный
характер) ток /АВ в фазе АВ отстает от приложенного напряжения 11АВ.
5. Действующие значения напряжений и токов в фазах ВС и СА
приемника такие же, как и в фазе АВ, но их векторы сдвинуты отно­
сительно векторов фазы АВ на 120°: в фазе ВС — на 120° по часовой
стрелке, а в фазе СА — на 120° против часовой стрелки.
6. При симметричном режиме работы трехфазной цепи действую­
щие значения линейных токов в
раз больше действующих значе­

ний фазных токов, поэтому / л = 7 з / ф = >/3 13 = 25 А. Следовательно,
показание амперметра, включенного в любой линейный провод, со­
ставляет 25 А.
4.3.
Обмотки трехфазного электродвигателя (рис. 4.5, а) рассчита­
ны на фазное напряжение 11= 380 В.
~Щ, = 660 в

Щ = 380 1

Р ис. 4 .5

В цепи с какими линейными напряжениями может нормально ра­
ботать такой электродвигатель?
Решение. В электроэнергетике линейные напряжения низковольт­
ных трехфазных цепей имеют стандартные величины действующих
значений, составляющие 220, 380 или 660 В. Они отличаются друг
от друга в л/3 раз, что позволяет один и тот же трехфазный приемник
эксплуатировать на двух смежных линейных напряжениях.
В нашей задаче трехфазный электродвигатель будет нормально ра­
ботать от трехфазной сети с линейным напряжением [1Л = 380 В при
включении его обмоток треугольником (рис. 4.5, б) и от сети с линей­
ным напряжением 11л = 660 В при включении его обмоток звездой
(рис. 4.5, в). В обоих этих случаях на каждую его фазу придется напря­
жение (/ф = 380 В.
4.4.
Два симметричных трехфазных приемника, каждый из ко­
торых соединен звездой, включены в трехфазную цепь с действую­
щим значением линейного напряжения 11л — 415 В, как это показано
на рис. 4.6, а. Параметры приемников известны: Я = 6 Ом; Хс = 8 Ом.
Требуется определить показание электромагнитного амперметра,
включенного в один из линейных проводов цепи.
Решение. 1. Между нейтральными точками симметричных прием­
ников нет напряжения, поэтому можно считать, что эти приемники
включены между собой параллельно, и объединить их в один эквива­
лентный приемник, показанный на рис. 4.6, б.

а

б
Р ис. 4 .6

2. Фазные напряжения этого трехфазного приемника составляют
{/ф ={/л/ 7 з = 415/73 = 240 В.
3. Ток в каждой фазе эквивалентного приемника состоит из суммы
токов в его активном (1К) и реактивном (1Х) сопротивлениях, включен­
ных параллельно между собой. В соответствии с законом Ома для цепи
,
240
240
синусоидального тока имеем / л = „ = _ т_ = 40 А; 1х = —— = 30 А.
К

о

8

4. Действующее значение общего тока в каждой фазе трехфазного
приемника составляет:
=
+
= \4 0 2+ 302 =50 А. Это значение
тока и является показанием амперметра, включенного в любой линей­
ный провод, так как при соединении приемника звездой / ф = /л.
4.5.
Два симметричных трехфазных приемника, соединенные тре­
угольником, включены в трехфазную цепь с действующим значением
линейного напряжения 1?л = 360 В (рис. 4.7, а). Сопротивления фаз
этих приемников известны: Я = 40 Ом, Х = 30 Ом. Требуется опреде­
лить показание электромагнитного амперметра, включенного в один
из линейных проводов цепи.

Р ис. 4 .7

Решение. 1. Каждая из фаз обоих приемников (АВ, ВС и СА) на­
ходится под одинаковым линейным напряжением. Поэтому можно
считать, что эти приемники включены между собой параллельно,
и заменить их одним эквивалентным приемником, как это показано
на рис. 4.7, б. Действующее значение напряжения на каждой фазе это­
го приемника равно линейному напряжению цепи С1Ф= Цл = 360 В.
2.
Проводимость каждой фазы такого приемника определяется
в соответствии с формулой (3.17)

= 7(0,025)2 + (0,033)2 = ^/0,000625 + 0,001109 = л/о, 001734 = 0,04160м.
3. Ток в каждой фазе эквивалентного приемника соответствует
формуле (3.17):
/ ф = 6^ = 360 -0 ,0 4 1 6 = 15.
4. Действующее значение тока в линейном проводе симметричной
трехфазной цепи составляет / л = 7 з / ф =1,73 15 = 26 А, что и является
показанием амперметра, включенного в этот провод.
4.6.
чены в

Два симметричных трехфазных приемника (рис. 4.8, а) вклю­

Р ис. 4 .8

трехфазную цепь с действующим значением линейного напряжения
[/„ = 660 В. Индуктивный приемник соединен треугольником, а ем­
костной приемник — звездой. Сопротивления этих приемников из­
вестны: Х[А = 228 Ом, Хс — 76 Ом. Требуется определить показание
электромагнитного амперметра, включенного в один из линейных
проводов цепи.

Решение. 1. Преобразуем (для удобства вычислений) индуктивный
треугольник в эквивалентную звезду, воспользовавшись формулой
(4.8, а), и получим:
* и =

Чд

228

3

3

= 76 Ом.

2.
Два симметричных трехфазных приемника, соединенные
звездой, включены между собой параллельно, и их можно объ­
единить в один эквивалентный трехфазный приемник, показанный
на рис. 4.8, б. Общая проводимость каждой фазы такого приемника
равна нулю:
1
У:

\2
=

X ,

0.

\ ЛС ]

Таким образом, в цепи имеет место резонанс токов, и ток в линей­
ном проводе равен нулю. Следовательно, показание амперметра в лю ­
бом линейном проводе этой цепи равно нулю.
4.7.
Три однофазных приемника (рис. 4.9) с сопротивлениями
К = 55 Ом,

X \ = 44 Ом и Хс = 36,6 Ом о б ъ ед и н е н ы в звезду и п од к лю ч ен ы
к си м м е т р и ч н о м у тр ех ф а зн о м у ген ератору, так ж е с о е д и н е н н о ­
му зв езд о й с д ей ств у ю щ и м зн а ч е н и е м ф а зн о й Э Д С Еф =
= 220 В. И сходны еданны е: ЁА = 220 В; Ё в = 220еу240 = ( —1 10 —у'1 90) В;
=220еу120' = ( - 1 10 + у'190) В; ^
= 55 Ом; 2 В = у44 Ом; 2 С =
= -у'36,6 Ом.
Решение. 1. Применяем метод узловых напряжений, в соответствии
с которым промежуточной неизвестной величиной является узловое
Ёс

напряжение 11\0- Приняв нейтраль генератора за узел (1), а нейтраль
приемника за опорный узел (0 ) и направив й ю от узла 1 к узлу 0 , в со­
ответствии

с

формулой

(4.6)

получаем

У\о = ^и/У_и,

где

= ~ ( Ё АУА + ЁВУ_В + ЁСУС) и Уп =( УА + У В + УС)2. Находим численные значения указанных выше величин:
у А = -7 - = 7 т = 0,0182 См;
2 а 55

Ув =

Ус = — = —
= + у0,0273 См;
2 с -у 36,6

= - 1 - = - у 0,0227 См;
2_в
ЁАУ А =220 0,0182 = 4 А;

Ё ВУВ = 220еу'24О‘ -0,0227е-;9°' =5еЛ50' = (-4,3 + у'2,5) А;
Ё СУС = 220ел ж -0,0272е+у9°‘ = 6 е;21°" = (-5 ,2 -у З )А ;
/ , , = -[4 + (-4 ,3 + у2 ,5 )+ (-5 ,2 - уЗ)] = 5,5 + у0,5 = 5,52еА2' А;
У„ = 0,0182 - у0,0227+у'0,0273 = 0,0182 + у0,0046 = 0,0188еу14’2' См.
3. Находим узловое напряжение:
# 10 = — = .и у = 234е“-/9" = ( 2 8 9 - у46) В.
10 Г „
0,0182еу ’
7

Модуль этого напряжения {/10 = 234 В определяет показание вольт­
метра V.
4. Определяем токи в линейных проводах:
>А = Ул ( ЁА + й ю) = Ш 82[220 + (289- у46)] = (9,3- уО,8) = 9,3/2 8т(5ю/ -17°),

« = 10 + 20>/2 8т(со? + 35°)+14%/2 8т(Зсо/ + 63°)+8%/2 8т(5со/ + 37°).
Требуется определить: активную, реактивную, полную мощности
и коэффициент мощности.
Решение. Действующие значения тока и напряжения равны:
/ = VI82 +122 + 42 =22 А,

^/ = л/ю2 + 202 + 142 + 82 =27,6 В.

Полная мощность:
5 = VI = 22 ■27,6 = 607 В • А.
Активная мощность:
Р = и 010 + Ц\1\ С08 ф[ + 1/313со8ф3 + 11515совф5 =
= 10-0+20 ■18 соз 15° +14 12 соз 50° + 8 •4 соз 54° = 488,7В.
Реактивная мощность:
=

8 т ф ] + Ь Гз / 3 8т ф з + 6Г5/ 5 8т ф 5 =

= 20 •18яп 15° +14 ■12яп50*+8 ■4 8 т 54° = 247 вар.
Коэффициент мощности: X. = Р /8 = 487,7/607 = 0,8.
Характеристики формы периодических
несинусоидальных кривых

Коэффициент амплитуды — отношение максимального значе­
ния Ут к действующему значению функции V
ка = У т/У.

(5.9)

Коэффициент формы — отношение действующего значения V
к среднему значению функции Кср
*Ф= К /К ср.

(5.10)

Коэффициент гармоник — отношение действующего значения выс­
ших гармоник к действующему значению основной гармоники. Слу­
жит для оценки относительного содержания высших гармоник в не­
синусоидальной функции по сравнению с основной
кГ =

Коэффициент искажения — отношение действующего значения ос­
новной гармоники к действующему значению всей функции. Служит
также для оценки содержания высших гармоник в разложении данной
величины в ряд Фурье и отличается от коэффициента гармоник только
тем, что оценка эта делается не по отношению к первой гармонике,
а по отношению к действующему значению V всей величины в целом:
г2

«и = т

у ~ •

(5.12)

Коэффициент синусоидальности оценивает степень приближения
формы кривой к синусоиде и определяется отношением действующего
значения У{ первой гармоники разложения к действующему значению
V всей величины в целом:
\ = У 1/У .

(5.13)

5.3.
Вычислить коэффициенты амплитуды, гармоник, искажения,
синусоидальности кривой напряжения, уравнение которой
и = 20л/2 зш(ю/°) + 14у/2 §ш(3а>?).
Решение. Сначала вычислим действующее значение напряжения
по формуле (5.4)
II = у1202 + 142 =24,4 В.
Затем найдем среднее значение:
1"
IIср = —\(У \т51Птг + 1/2т§т2со/)Лог =

и ХтС 0 8 Ю / +

—22. С 08

2ш

= 18 В.
-

Ш=0

л

Определим максимальное значение напряжения и:
Ли
,,
Л
„
= 111ШС 0 8 Ю / + 112тСО&2Ш = 0.
с1(юг)
Опуская промежуточные вычисления, получим:
(4шх= 43 В.
Теперь по формулам (5.9)—(5.13) вычислим искомые коэффициенты:

5.2. Расчет линейных цепей
с несинусоидальными Э Д С
Несинусоидальные периодические ЭДС, напряжения и токи мож­
но представить в виде ряда Фурье, который в общем виде содержит по­
стоянную составляющую, основную или первую гармонику, имеющую
период, равен периоду самой функции, и высшие гармоники, частота
которых в целое число раз больше частоты первой гармоники.
Расчет основан на принципе наложения, а именно: мгновенное
значение несинусоидального тока в любой ветви в данный момент вре­
мени равно алгебраической сумме мгновенных значений отдельных
гармоник тока в данный момент времени. В результате этого расчет
можно свести к решению п задач с синусоидальными ЭДС (п — число
гармоник) и одной задачи с постоянной ЭДС.
Весь расчет можно разделить на следующие этапы.
1. Разложение несинусоидальных источников ЭДС в ряд Фурье,
т.е. на постоянную и гармонические составляющие. При этом в зави­
симости от симметрии кривой ЭДС в ней может отсутствовать посто­
янная составляющая.
2. Расчет постоянной составляющей тока, если в разложении при­
сутствует постоянная составляющая ЭДС.
3. Расчет мгновенных значений гармоник тока комплексным ме­
тодом.
4. Суммирование мгновенных значений тока отдельных гармоник
и постоянной составляющей
/ = / 0 + /1+/2 + ••■+4 •
При расчете постоянной составляющей тока необходимо учесть,
что индуктивное и емкостное сопротивления соответственно равны:
Хю = 0,

Асо = оо,

(5.14)

так как постоянную составляющую можно представить процессом,
у которого частота со —
> 0 или со = 0.
При расчете гармонических составляющих тока необходимо учесть,
что индуктивное и емкостное сопротивления зависят от частоты, т.е.
от номера гармоники:
Хц; =

= кХ п , Х Ск = 1ДсоС = Х С1/к.

Активное сопротивление резистора в диапазоне низких частот
не зависит от частоты и всегда равно его электрическому сопротивле­
нию К.

5.4.
Для цепи (рис. 5.1) дано: Х ц = со! = 3 Ом, К = ХС\ = 1/со С =
= 4 Ом; и = 10 + 5л/28тсог + 2\/2$тЗсо?.

Р и с. 5.1

Требуется определить действующее и мгновенное значения тока
на входе цепи и активную мощность.
Решение 1. Постоянная составляющая тока равна
/ 0 = г/0/ Л = 10/4 = 2,5 А.
2.
Действующее и мгновенное значения тока первой гармоники
найдем комплексным методом:
-64 + у'64
716
1 =7'3 - т 11тг = 73 — ^
' =2+у;
Я - ] Х С1
4 -7 4
4 +4
т = 2 -7 ;

2+ 7

■■\122 + \2 = 7 5 А;

^ = %/К)8т(со/-0,46) А.

3.
Определим действующее и мгновенное значения тока третьей
гармоники
II
/ 3= - Ь

{/3 = 2;

ш Хсх
•! -2
=]ЪХьъ-----------

- 3

] 9 - ^ Ц г = 0 , 3 9 + Д2,1-,

Л - 7 '^ г 1

4 -у 4

- = 0,005-у'0,16; / 3 = 0 ,1 6 А ; /3 = >/0,32 81п(Зсо/ —1,57)А.
0,39 + 712,1
4. Действующее значение тока на входе цепи
/ = %//0 + /, + / 3 = -у/6,25 +5+0,0256 =3,3 А.
5. Мгновенное значение тока на входе цепи
/ = / 0 +/, + /3 = 2,5 + \/Го 8т(со/ - 0,46)+^0,32 §т(Зсо/ -1,57) А.
6. Активная мощность
Р = {У0/ 0 + 11х1\ созф! + {/3/ 3 со8ф3 =
= 10-2,5 + 5-2,23со80,46 + 2-0,16со81,57 = 36,2 Вт.

5.5.
К цепи, изображенной на рис. 5.2, приложено периодиче­
ское несинусоидальное напряжение и, частота напряж ения/ = 5 0 Гц,
максимальное напряжение 1/т = 314 В. Параметры цепи Я = 5 Ом,
Ь = 5,34 мГн, С — 212 мкФ.
6/
21/
2V
и - —^ н----—з т со/ н------ —з т Зсо/ = 157 + 200 з т со/ + 66,7 з т Зсо/ В.
2
л
Зл
Требуется рассчитать ток / цепи, ограничившись первыми тремя
членами ряда Фурье.
Решение. 1. Рассчитаем ток от воздействия постоянной составляю­
щей напряжения (/= 0). В этом случае 1/0 = 157 В, Я — 5 Ом, Х^О) = 0,
Л'с(О) = оо. Ветвь с емкостью не пропускает постоянного тока (обрыв
цепи), а через ветвь с индуктивностью постоян­
ный ток проходит без сопротивления (короткое
замыкание). Поэтому постоянная составляющая
тока проходит только через ветвь с сопротивле­
нием Я и сразу замыкается на индуктивность Ь.
Тока в сопротивлении Я, включенном паралРис 5 2
лельно I и С, нет. Таким образом,
10 Л о = ^ = 31,4А .
0 Я
5
2.
Определим комплексные токи первой и третьей гармоник.
2.1. Первая гармоника (/= 50 Гц), и, = 200 § т со/ В, Я = 5 Ом.
Реактивные сопротивления для первой гармоники:
(со) = со/, = 2л//. = 2л •50 •3,34 ■10~3 = 1,67 Ом,
Х с (со) = — = ------- = ------------------ -- = 15 Ом.
соС 2п/С 2 л -50-212 -10
Комплексное сопротивление цепи ^ ( и ) = 2[л (со) + ^ Л1С(ю), где
2 к ((а) = Я;

Жл1с(а)) = 'р

7~7'

В свою очередь, проводимость параллельного участка цепи

V

/ ч

1

1

Ил1с(С0) '_ „ + ,т
Я ^X ^ (о^)

1

= ! + - ! - + —^— = 0,2-у0,544С м .
5 у 1,67 -у 15

Тогда сопротивление параллельного участка цепи
^ я /с ( ю) = ------= 0,62 + Д 6 4 0м .
яьс V
0 ,2 -/0 ,5 4 4
Комплексное сопротивление цепи
Я(ш) = ^ л (с о )+ ^ и с (а>) = 5+0,62 + Д 6 4 = 5,85е/|6’3‘ Ом.
Комплексный ток определяется как отношение комплексного на­
пряжения к комплексному сопротивлению. Расчет будем вести в ам­
плитудных значениях тока и напряжения:
Цт\ _ 200е-/
' 2 ( а ) ~ 5,85ел6
2.2. Третья гармоника { / - 150 Гц).
м3 = 66,7 8Ш Зсо1 В;

Х 1 = (Зсо) = ЗЛ^(ю) = 3 ■1,67 = 5 Ом;

Л = 5 0м ;

Хс( Зсо)= ^ А с (ю) = у = 5 Ом.
Расчет мож но производить аналогично предыдущему с учетом
изменивш ихся величин реактивны х сопротивлений. О днако в д ан ­
ном конкретном случае расчет будет упрощ ен, если заметить, что
на параллельном участке I , С имеет место резонанс токов (индук­
тивное и ем костное сопротивления одинаковы ). С опротивление
этого участка имеет бесконечно больш ое значение и тока на этом
участке не будет. Он протекает только через два следующих друг
за другом активных сопротивления. Сдвиг ф аз между напряж ением
и током при этом отсутствует, как в чисто реактивной цепи. П о­
этому
1
га3

^

6
2К

6

^

,.

10

3.
Для найденных комплексных амплитуд Iт\ и / га3 запишем соот­
ветствующие мгновенные значения:
ц = 17,1 § т (с о /-16,3°) А;
/3 = 6,6751ПЗсо/ А.
Методом наложения определим несинусоидальный ток в цепи
/ = / 0 + /, + /3 = 31,4 +17,15т(ю Г -16,3°)+ 6,6751п Зсо/ А.

В задачах 5.6—5.15 укажите правильный ответ.
5.6. Мгновенное значение несинусоидального напряжения пред­
ставлено в виде ряда м = 4 + 3л/2зт(ау + л /3) + 1,415т(2й)? + л /4 ). Чему
равнодействующее значение напряжения?
1 .5 ,1 В . 2 .3 В. 3 .1,41В . 4 .8 В.
5.7. Известны несинусоидальные ток / и напряжение и на входе
цепи:

1 = 2 + 4л/2 зш(соГ + 20°) + 2>/2 §т(2ео/ +13°) + л/2 зт(3ю / -17°),
и = 2 + 8\/2 $т(ю (+ 35°)+4\/2 зт(2юГ + 63°) + 2\[2 зт(ЗсоГ + 37°).
Чему равна полная мощность?
1.23 В А. 2. 46 В А. 3. 0 В • А.
5.8. Для цепи дано

4. 4 В • А.

= со/, = 3 Ом, К = 4, Хс = 1/юС = 4 Ом;

и = 10 + 5-У2зтсш‘+ 272зтЗсо/. Определите постоянную составляющую
тока на входе цепи.
1. 2,5 А.
2. 0,9 А.
3. 1,4 А.
4. 0 А.
5.9. Для цепи дано Л'д = со! = 3 Ом, Л = 4 Ом, Хс = 1/соС = 4 Ом,
и = 10 + 5-ч/2 81Псог + 2\/2$\пЗ(я(. Определите постоянную составляющую
тока на входе цепи.
1. 2,5 А.
2. 0,9 А.
3. 1,4 А.
4. 0 А.
5.10. М гновенное значение несинусоидального напряжения пред­
ставлено в виде ряда и = 8 + Зл/2зт(а)Г + я /3 ) + 1,41зт(2ю/ + л /4 ). Чему
равнодействующее значение напряжения?
1 .5 ,1 В . 2 .3 В. 3. 1,41В. 4.8,6 В.
5.11. Чему равна активная мощность в цепи при несинусоидаль­
ных токе и напряжении?
1. Сумме постоянной мощности и активных мощностей всех гар­
моник.
2. Активной мощности первой гармоники.
3. Сумме активных мощностей всех гармоник.
4. Постоянной мощности.

5.12. Известны несинусоидальные ток / и напряжение и на входе
цепи:
/ = >/2 81п(со/ + 20°)+2л/2 зт(2а>? + 13°) + 2\/2 §т(Зсо/ -17°),
« = 2 + 72 зт(4сш‘+ 35°)+2\/2 8т(5со? + 63°)+2л/2 зт(6шг + 37°).
Чему равна полная мощность?
1.15 В А. 2 .9 В А. 3. 0 В • А.

4. 8 В ■А.

5.13. Если ток емкости 1 = 2 з т со? + 2 з т 2ш , то амплитуда первой
гармоники напряжения будет больше амплитуды второй гармоники
напряжения в...
1.2 раза. 2. 8 раз. 3 .4 раза. 4. 1,5 раза.
5.14. Чему равно комплексное сопротивление цепи на частоте вто­
рой гармоники, если на частоте первой гармоники К = 10 Ом,
Л'л(со) = 5 Ом, Лс(е>) = 20 Ом?
1. Юеу90‘;
2 . ;

3. 10е'45';
4. 35еу45".
5.15.
Если ток индуктивности I = 0,1 Гн / = 5зт(100? + 60°) +
+ 1 зт(200г + 30°), то напряжение на индуктивности и равно...
1. и = 50 81п( 100? + 150°) + 2 0 з т (2 0 0 /+ 120°);
2. и = 50 з т ( 100/ + 150°) + 10 зт(200/ + 60°);
3. м = 1 0 зт (1 0 0 г-3 0 °) + 10зт(200/ + 30°);
4. и = 50 з т ( 100? - 30°) + 20 зт(200? - 60°).

ГЛАВА

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

6.1. Основные положения и соотношения
Д ля учета влияния энергетического состояния цепи на момент
коммутации и для записи законов коммутации введем понятие
тока /х(—0) в индуктивности и напряж ения ис(—0) на емкости в по­
следний момент перед коммутацией, а также понятие тока /х(+ 0)
в индуктивности и напряж ения Ис(+0) на емкости в первый момент
после коммутации. Н апом ним , что за момент коммутации принято
время I = 0. В соответствии с этим законы коммутации можно за­
писать в виде:
• первый закон коммутации
М - 0 ) = М +0)

или

у ( - 0 ) = \|/(+0);

(6.1)