Методы математической физики [Гарольд Джеффрис] (pdf) читать постранично, страница - 2

ирсона [2].

смысле, что не меняется при перестановке индексов. П оэтом у
значения из т аб л и ц мож но брать в лю бом порядке.
Больш инство интерполяционных формул мож но вывести из
ф орм улы Л а г р а н ж а . С ам а форм ула Л а г р а н ж а не всегда
у д о б н а из-за того, что на практике g { x ) в основном опреде­
л яется соседними табличными значениями и, значит, линейная
и нтерполяция н у ж д ает с я только в небольших поправках.
А в ф ормуле ( 1) все аргументы стоят симметрично и нуж но
учиты вать в к л а д всех сл агаем ы х. Вычисления упрощ аю тся,
если используется ф ормула, в которой явно учтена особая
роль соседних значений и тем самы м утрачена симметрия.
9.012.
Разделенны е разности. П усть имеется таб л и ц а зн а ­
чений f{Xr) в точках Xi . . . Хп. Д л я к а ж д ы х д ву х п осл ед ова­
тельных значений аргум ента Хг и Хг+\ обр азу ем отношение
f. iXrXr^,) = Ix.Xr^,] =

_

(2)

У потребительны оба обозначения: и /j, и [XrXr+i]. Выписанное
отношение н азы ва ю т первой р а зде ле нной разностью. З а т е м
составим
f2{XrXr +,Xr+2) = [XrXr^lXr^^] =

I

•

(3)

Это вторая р а з д е ле н на я разность. Высшие разности строятся
таким ж е о бразом , причем на к а ж д о м ш аге зн ам енатель
п р ед став л яе т собой разность тех значений х, которые только
один р аз встречаю тся в числителе. Возьмем теперь п роизволь­
ное значение х, не совп адаю щ ее ни с одним из Xi, X2 , . . .
Разд елен н ы е разности, со д ерж ащ и е х, сущ ествую т и по опре­
делению равны
[xxi] =
[xXiX2]=

,

откуда

f { x ) = f { xi ) + [ x x i ] { x - x i ) ,

(4)

откуд а

[xxi] = [x^x2 ] - ^ [ x x ^ x 2] { x - Xi),

(5)

[XX,X2 . . . X„] =

~ ’

(6)

откуда
[XXIX2 . . . Xn~i] = [Xi . . . Xn] + [XX1 X2 . . . x n \ { x - Xn).

(7)

П од стави м в первое равенство разность [xxi] из второго.
Тогда получим трехчленную формулу, со д ерж ащ ую [ХХ1 Х2].
П о д ста ви м вместо l x x i x 2] вы раж ен и е, з а д а в а е м о е третьим ра-

венством. П р о д о л ж а я этот процесс, окончательно имеем
/ (х) = / (л:,) + (л: - Xi ) {[Х1Х2] + (л; - Хг) {[xix^x^] +

+ {. . . + (х — Xn-l) [Х[Х2 . . • XnYi . . . } } + /? (х),

(8)

где
R ( х) = [ХХ1Х2 . . . Х п ] ( х - x i ) { Х - Х 2 ) . . . { х - Хп).

(9 )

Р аскроем скобки и получим
f{x ) =

f (Xi) +

{ х -

Xi)

+ (х -

Xi)

[Х,Х2] + { х - X i ) { х - Х 2 ) [ Х 1 Х 2 Х 3 ] + .
. . . ( х ~ X n - l ) [Х1Х2 . . . x J + R (х),

. . +

(10)

или
f i x ) = P { x ) + R{x).

(11)

Это тож дество, получаю щ ееся из определения разд ел енн ы х
разностей. Ценность этой ф ормулы зави си т от величины R{x) ,
которую нел ьзя получить из одних определений, если неизве­
стна сам а f (x) . Но если каким-либо другим способом у д ается
установить пределы д ля R{x) , то одновременно определяю тся
и
пределы ошибки,
допускаемой при отбрасы вании
R{x) .
В этом случае Р { х ) о к азы в ается многочленом степени « — 1,
при б л и ж аю щ и м f {x) с точностью, которую можно оценить.
Рассмотрим теперь разделенны е разности функции х ' при
целом г. Разность
-X

4- . . . + л:''-'

(12)

п р ед став л яе т собой многочлен степени л — 1. Это свойство
мож но сра зу установить и д л я любого многочлена степени г.
П оэтому р азд ел е н н ая разность п ор яд ка г многочлена сте­
пени г постоянна, а все разности более высоких порядков
равны нулю.
Д ал ее, функция f {x) совп ад ает с интерполяционной функ­
цией Л а г р а н ж а g ( x ) в точках x = xi, Хз, . . . , х„. П оэтому р а з ­
деленные разности g (x ), в зяты е в этих п точках, совпадаю т
с соответствующими разностям и f ( x) . С ледовательно, ф ормула
( 10) д ает д ля g (х)
g ( x ) = P ( x ) + [xxi . . . x „ ] ( x - x i ) . . . ( x - x n - i ) ( x - x „ ) ,

(13)

причем р азд ел е н н ая разность в последнем члене п р ед став л яе т
собой п-ю разд еленн ую разность g'(x). Но g (х) — многочлен
степени п — 1, и поэтому его п-я р азд ел е н н ая разность р а в н а
нулю. С ледовательно,
g(x) = P(x)
(14)
д л я всех значений х. П оэтому если определить R ( x ) как
f { x ) ~ P { x ) , то /?(х) = 0 при x = xi, Х2, . . . . Хп. Это не следует

И З того, что в (9) имеется сомнож итель, равный нулю, так
к а к разделенны е разности не определены д л я со в п ад аю щ и х
точек.
П редп ол о ж и м теперь, что на и нтервале (а, Ь) функция f { x )
имеет производны е вплоть до п о ряд ка п. Тогда и R { x ) имеет
производные до п ор яд ка п, поскольку gf (х) — многочлен. Пусть
Хи Х 2,
Хп располож ены в порядке возрастани я. И х п оря­
д ок не влияет на R{x) , так ка к g (л:) — симметрична. Тогда
в силу того, что R { x ) = 0 при л: = л:| и х = х2, по теореме Р о л л я
/?'(л:) = 0 при некотором п ромеж уточном значении х. А н ал о­
гично R ' { x) = 0 при некоторых х в ка ж д о м из интервалов о т
Х2 до лгз, . . . от
ДО Хп. И спользуя теорему Р о л л я еще раз,
видим, что /?"{х) = 0 при п — 2 значениях х, л е ж а щ и х м е ж д у
Х\ и Хп. П р о д о л ж а я рассу ж д ен и я, получим, что
= О
при одном промеж уточном значении, ск аж е м , при х = 1. Но.
дифференцирование формулы (8) д ает

(х) = (и - 1)! [л;.Х2. . . Хп] +

W.

(15>

П оэтому
Ш = ( п - 1)1 [Х,Х2...Х „ ].

(16>

С ледовательно, м е ж д у Xi и х„ л еж и т по крайней мере однозначение х, д л я которого ( п — 1)-я р азд ел е н н ая разность р а в н а
( « — 1)-й