Основы теории чисел: Учебное пособие [Иван Матвеевич Виноградов] (pdf) читать постранично, страница - 2

V

165
165
165
165
166

Ответы к главе V I
Ответы к главе V I I

166
167

Таблицы индексов
Таблица

простых

разных корней

168
чисел О, т — ц е л о е , m > I и * пробегает целые положительные числа, не делящиеся на щ-ю степень целого, превосходящего 1. Доказать, что

ВОПРОСЫ к ГЛАВЕ
3. Пусть положительные а и р
[с«]:

л:=1.2. ...;

III

33

таковы, что
2

[Р^/].

образуют, вместе взятые, все числа натурального ряда без повторений. Доказать, что это имеет место тогда и только тогда, когда а
иррациональное, причем
а + р
4. а. Пусть
< = [т] и Xi, х^,
расположенные в таком порядке, чтобы числа

числа 1,2, . . . , t,

0. { « w i } , {алгг}, . . . . {олг,}, I
шли не убывая. Доказать теорему вопроса 4, Ь, гл. I, рассматривая
разности соседних чисел последнего ряда.
Ь. Пусть Ti, Т2, . . . . X]f—вещественные числа, каждое из которых не меньше 1; tti, Ог, ••., а^—вещественные. Доказать, что существуют целые l i , ^21 •lilt, не равные одновременно нулю, и целое г),
удовлетворяющие условиям:
IglK-Tl.

| l 2 l < T 2 , . . . . ||fe| 0. Доказать, что

[[«11
с

'

а"
с

в, а. Пусть а , Р, . . . , Я,—вещественные. Доказать, что

[a+P-f

+

+

+

Ь. Пусть о, Ь, . . . . I—целые положительные, a + f c + . . . +
Применяя Ь, § I , доказать, что
л1

/=«.

а\Ь\ ... 1\

есть целое число.
7. Пусть h—целое, h > О, р—простое и

1
Представляя h в виде A ^ p ^ t / ^ - f р ^ и ^ + р о ,
где
«и—наибольшее « j , не превосходящее h, р,яМя,—на1Йольшее кратное и^, не превосходящее ft, Pm-i'^m-i—наибольшее
кратное
не превосходящее ,
ft—Pm-i'^m-i—наибольшее
кратное и„_2>
не превосходящее h—Рт'^т—
и т. д., доказать, что числа с с условием, что в каноническое разложение а1 число р входит
с показателем h, существуют тогда и только тогда, когда все
Рт< Рт-1'---> Pi' Ре меньше р, причем в этом случае указанные
а суть все числа вида

a = PmP""*'^+Pm-lP'"+ •••+P1P'^+P0P+P',
где р' имеет значенияг О, 1,

р—1.

34

ВАЖНЕЙШИЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

[ГЛ.

II

8, а. Пусть в интервале Q < * < ; / ? функция f (х) имеет вторую
непрерывную производную. Полагая
X

рМ= Y ~ "

W=JР
о

доказать, что

R
2

/W =

Q
Рк—все простые делители числа а.
а. Применяя теорему вопроса 17, а, доказать, что

N)» (а) = 2 1
d\a

(

т

^

)

•

38

ВАЖНЕЙШИЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

[ГЛ. II

b. Доказать, что
>l)i(a)=|-«p(a).
c. Доказать, что
(—1)®

Л

•
О<

j "Р

19. Пусть г > 1, а—целое, а > О, Т ^ — ч и с л о чисел х с условиями
(дс, а ) = 1 , е—произвольное положительное постоянное,
а. Доказать, что

d\a
b. Доказать, что

с. Пусть Z > 1, я (г)—число
простых чисел, не превосходящих е,
а—произведение простых чисел, не превосходящих У ~ г .
Доказать, что

d\a

L"J

20. Пусть /г (s) > 1, а — ц е л о е , а > 0. Доказать, что

где в левой части п пробегает целые положительные числа, взаимно
простые с а, а в правой части р пробегает все простые делители
числа а
21, а. Вероятность Р того, что k целых положительных чисел
*2, • • .
будут взаимно простыми, определим как предел при
N —»- 00 вероятности Р/^ того, что будут взаимно простыми k чисел
Xi, *2. . . . . JCfc, каждому иэ которых независимо от остальных присвоено одно из значений ! . 2, . . . , N. принимаемых за равиовозможные. Применяя теорему вопроса 17, Ь, доказать, что
=
(J^))""^.
jf
Ь. Определяя вероятность Р несократимости дробн — аналогично
тому, как в вопросе а при k=2,

доказать, что
я"

22, а. Пусть г > 2 и Т — ч и с л о целых точек ( * , ф с взаимно
простыми координатами, лежащих в области ж ' + у ^ ^ г ® . Доказать,
что
In г ) .

ВОПРОСЫ к ГЛАВЕ

III

39

Ь. Пусть
и Т —число целых точек (х, у, г) с взаимно простыми координатами, лежащих в области
Доказать,
что

3^3)
23. а. Теорему 2, Ь, § 4 доказать, считая делители числа а, не
делящиеся на квадрат целого, превосходящего I , и нмеюшле 1 , 2 , . . .
простых делителей.
b. Пусть а—целое, а > l,d пробегает делители числа а, имеющие
не более чем т простых делителей. Доказать, что при т четном
^ t i W ^ ® ' ^ "Р"
нечетном У
c. При условиях теоремы с, § 4, считая все f неотрицательными
и заставляя d пробегать лишь числа, имеюшле не более чем т простых
делителей, доказать, что

в зависимости от того, будет л и т четным или нечетным.
d . Такие же, как в вопросе с, неравенства доказать при условиях
вопроса 17, а, считая все значения f(x) неотрицательными, а также
при условиях 17, Ь, считая все значения f (xi, xi
Xh) неотрицательными.
24. Пусть е — л ю б о е постоянное с условиями 0 < е < - ^ ,
г=1п//, 0 < ( 7 < / / 1 - 8 , 0 < / < 9 ,
простых чисел с условиями: p^N,
зать, что

N^8,

(9, /) = 1, n(N,
q, /)—число
p=qt + l, где t—целое.
Дока-

Д л я доказательства, полагая ft=ri-®.®8 , простые числа с указанными условиями следует рассматривать как частный случай всех
чисел с этими условиями взаимно простых с а, где а—произведение
всех простых, не превосходящих е * и не делящих д. Следует применить теорему вопроса 23,