Основы теории чисел: Учебное пособие [Иван Матвеевич Виноградов] (pdf) читать постранично, страница - 3
Книга в формате pdf! Изображения и текст могут не отображаться!
[Настройки текста] [Cбросить фильтры]
/л-=2[2 n r + I ] ,
25. Пусть k—четное:
к > О, каноническое разложение числа а
имеет вид a = p i p g . . Pk « d пробегает делители числа а с условием
О < d < У ^ . Доказать, что
d
26. Пусть k—целое, k > О, d пробегает делители числа с условием
ф(« О, (а, Т ) = 1.
M+m-i
S=
s
*=м
{/W).
где в интервале
Л ! + / n — 1 функция / ( * ) имеет непрерывные производные f (дг) и f (дг), причем выполняются условия
(а.т) = и
где
|e| О,
В—вещественное. Доказать, что
M+m-i
х=М
5, а. Пусть у 4 > 2 , fc^I н в интервале Q ^ * ^ / ? функция
/ (дс) имеет вторую непрерывную производную, удовлетворяющую
условиям
Доказать, что
0 . Обозначая
символом ( о ) численное значение разности между а и ближайшим
к а целым числом (расстояние а до ближайшего целого), доказать, что
M + P-i
2niax
f2
1 и функции М (а) м Р (а) д л я значений а = 1, 2, . . . , т — I принимают целые значения с условием
Р (а) > 0. Доказать, что
т-1
Д1(.)+Р(а)-1
1
а=1
2J
х=М(а)
/•mlnm,
О, | пробегает приведенную систему вычетов по модулю т . Доказать, что
ц(т) =
2 е
т
'
b. Пользуясь теоремой вопроса а, доказать первую из теорем с,
§ 4, гл. И (см, решение вопроса 28, а, гл. П ) .
c. Теорему вопроса а вывести, пользуясь теоремой вопроса 17.
а, гл. П .
d. Пусть
S
а. ...,
6
бдс«...а)в
— многочлен с целыми коэффициентами от г переменных х,
...
. . . , w ( r ^ I ) , а — ц е л о е , т — ц е л о е , m > О, дг, . . . , ш пробегают полные, а I , . . . , 1. Тогда, чтобы сравнение (1) имело решения, необходимо (е, § 3, гл. III),
чтобы Ь делилось на d, иначе сравнение (1) невозможно
ни при каком целом х. Предполагая поэтому b кратным d, положим a = aid, b = bid, m-tn-id. Тогда сравнение (1) бурет равносильно такому (по сокращ,ении Had):
UiX = bi {mod nil), в котором уже ( O i , и
потому
оно будет иметь одно решение по модулю т^. Пусть дс,—
наименьший неотрицательный вычет этого решения по
модулю т „ тогда все числа х, образующие это решение,
найдутся в виде
* = *x(modmi).
(2)
По модулю же т числа (2) образуют не одно решение, а
больше, именно столько решений, сколько чисел (2) найдется в ряде О, 1, 2, . . . , т — 1 наименьших неотрицательных вычетов по модулю т. Но сюда попадут следующие числа (2):
-f /Пх. Xi + 2mi
Xi +
{d—l)rni,
т. е. всего d чисел (2); следовательно, сравнение (1) имеет d решений.
d. Собирая все доказанное, получаем теорему:
Пусть la,m) — d. Сравнение ах = Ь (тойт) невозможно, если Ь не делится на d. При Ь, кратном d, сравнение
имеет d решений.
e. Обращаясь к разысканию решений сравнения (1),
мы укажем только способ, основанный на теории непрерывных дробей, причем достаточно ограничиться лишь
случаем {а, т ) = 1.
56
1ГЛ. IV
СРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Разлагая в непрерывную дробь отношение т:а,
I
• =
Последние комментарии
5 часов 38 минут назад
5 часов 40 минут назад
6 часов 38 минут назад
7 часов 49 секунд назад
1 день 1 час назад
1 день 1 час назад