Теория чисел [З. И. Боревич] (pdf) читать онлайн

3-Й. Боревич, И.Р. Шафаревич

ТЕОРИЯ
ЧИСЕЛ

З.И.Боревич, И.Р.Шафаревич
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы.— 1985.— 504 с, 3-е изд.доп.

Излагается
ряд
методов
современной теории
чисел. Изложение
иллюстрируется рассмотрением большого - числа конкретных теоретикочисловых вопросов, относящихся главным образом к неопределенным
уравнениям. Основное внимание уделено алгебраическим методам, но заметное
место занимают также геометрический и аналитический методы. В третьем
издании (второе вышло в 1972 г.) нашли отражение некоторые наиболее
существенные новые результаты последнего десятилетия, примыкающие к
излагаемым в книге вопросам.
Для студентов, аспирантов и научных работников, работающих в области
алгебры и теории чисел.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава I. Сравнения
§ 1. Сравнения по простому модулю
1. Суммы степеней вычетов (11). 2. Теоремы о числе решений
сравнений (12). 3. Квадратичные формы по простому модулю (14).
§ 2. Тригонометрические суммы
1. Сравнения и тригонометрические суммы (16). 2. Суммы степеней
(19). 3. Модуль гауссовой суммы (22).
§ 3. р-аддческж числа
1. Целые /7-адические числа (25). 2. Кольцо целых/?-адических чисел
(28). 3. Дробные/7-адические числа (31). 4. Сходимость в полерадических чисел (32).
§ 4. Аксиоматическая характеристика поля/?-адических чисел
1. Метризованные поля (40). 2. Метрики поля рациональных чисел
(45).
§ 5. Сравнения и целые /?-адические числа
1. Сравнения и уравнения в кольце Z_ (48). 2. О разрешимости
некоторых сравнений (50).
§ 6. Квадратичные формы с /?-адическими коэффициентами
1. Квадраты в поле/?-адических чисел (58). 2. Представление яулярадическими квадратичными формами (59). 3. Бинарные формы (62).
4. Эквивалентность бинарных форм (66). 5. Замечания о формах
высших степеней (68).
§ 7. Рациональные квадратичные формы
1. Теорема Минковского — Хассе (75). 2. Формы от трех
переменных (77). 3. Формы от четырех переменных (83). 4. Формы
от пяти и более переменных (85). 5. Рациональная эквивалентность
(86). 6. Замечания о формах высших степеней (87).
Глава II. Представление чисел разложимыми формами
§ 1. Разложимые формы
1. Целочисленная эквивалентность форм (92). 2. Построение
разложимых форм (94). 3. Модули (97).
§ 2. Полные модули и их кольца множителей
1. Базис модуля (99). 2. Кольца множителей (103). 3. Единицы (105).
4. Максимальный порядок (108). 5. Дискриминант полного модуля
(ПО).
§ 3. Геометрический метод
1. Геометрическое изображение алгебраических чисел (112). 2. Решетки
(117). 3. Логарифмическое пространство (121). 4. Геометрическое
изображение единиц (123). 5. Первые сведения о группе единиц
(124).
§ 4. Группа единиц
1. Критерий полноты решетки (126). 2. Лемма Минковского (127). 3.
Структура группы единиц (131). 4. Регулятор (133).
§ 5. Решение задачи о представлениях рациональных чисел полными
разложимыми формами
1. Единицы с нормой +1 (136). 2. Общин вид решений уравнения
N(\X)=a (137). 3. Эффективное построение системы основных единиц
(138). 4. Числа модуля с данной нормой (142).
§ 6. Классы модулей
1. Норма модуля (143). 2. Конечность числа классов (146).
§ 7. Представление чисел бинарными квадратичными формами
1. Квадратичные поля (149). 2. Порядки в квадратичном поле (150).
3. Единицы (152). 4. Модули (155). 5. Соответствие между модулями
и формами (158). 6. Представление чисел бинарными формами и
подобие модулей (161). 7. Подобие модулей в мнимом квадратичном

7
9
11

16

25

40

48

58

75

91
92

99

112

126

136

143
149

Глава III. Теория делимости
§ 1. Некоторые частные случаи теоремы Ферма
1. Связь теоремы Ферма с разложением на множители (175). 2.
Кольцо Z[Q (177). 3. Теорема Ферма в случае однозначности
разложения на множители (180).
§ 2. Разложение на множители
1. Простые множители (184). 2. Однозначность разложения (185). 3.
Примеры неоднозначного разложения (187).
§ 3. Дивизоры
1. Аксиоматическое описание дивизоров (190). 2. Единственность
(192). 3. Целозамкнутость колец с теорией дивизоров (195). 4. Связь
теории дивизоров с показателями (195).
§ 4. Показатели
1. Простейшие свойства показателей (202). 2. Независимость
показателей (203). 3. Продолжение показателей (206). 4.
Существование продолжений (211).
§ 5. Теория дивизоров для конечного расширения
1. Существование (214). 2. Норма дивизоров (216). 3. Степень
инерции (220). 4. Конечность числа разветвленных простых
дивизоров (226).
§ 6. Дедекиндовы кольца
1. Сравнения по модулю дивизора (231). 2. Сравнения в
дедекиндовых кольцах (232). 3. Дивизоры и идеалы (234). 4.
Дробные дивизоры (236).
§ 7. Дивизоры в полях алгебраических чисел
1. Абсолютная норма дивизора (241). 2. Классы дивизоров (244). 3.
Приложение к теореме Ферма (250). 4. Вопросы эффективности
(253).
§ 8. Квадратичное поле
1. Простые дивизоры (262). 2. Закон разложения (264). 3.
Представление чисел бинарными квадратичными формами (267). 4.
Роды дивизоров (273).
Добавление при корректуре
Глава IV. Локальный метод
§ 1. Поля, полные относительно показателей
1. Пополнение поля по показателю (280). 2. Представление
элементов в виде рядов (282) 3. Конечные расширения полного поля
с показателем (285). 4. Целые элементы (287). 5. Поля формальных
степенных рядов (290).
§ 2. Конечные расширения поля с показателем
§ 3. Разложение многочленов на множители в полном поле с показателем
§ 4. Метрики поля алгебраических чисел
1. Описание метрик (306). 2. Соотношение между метриками (310).
§ 5. Аналитические функции в полных полях
1. Степенные ряды (312). 2. Показательная и логарифмическая
функция (314).
§ 6. Метод Сколема
1. Представление чисел неполными разложимыми формами (319). 2.
Связь с локальными аналитическими многообразиями (321). 3.
Теорема Туэ (324). 4. Замечания о формах с большим числом
переменных (329).
§ 7. Локальные аналитические многообразия
Глава V. Аналитический метод
§ 1. Аналитическая формула для числа классов дивизоров
1. Дзета-функция Дедекинда (339). 2. Фундаментальная область
(343). 3. Вычисление объема (345). 4. Принцип Дирихле (350). 5.
Тождество Эйлера (353).

175
175

184

190

202

214

231

241

262

279
280
280

295
301
306
312

319

331
339
339

§ 2. Число классов дивизоров кругового поля
355
1. Неприводимость кругового многочлена (355). 2. Закон разложения
в круговом поле (358). 3. Выражение h через значения Z-рядов (359).
4. Суммирование рядов Д1,%) (364). 5. Ряды Д1,%) для примитивных
характеров (366).
§ 3. Простые дивизоры первой степени
1. Существование простых дивизоров первой степени (370). 2.
Характеризация нормальных расширений законами разложения
простых дивизоров первой степени (371). 3. Теорема Дирихле о
простых числах в арифметической прогрессии (374).
§ 4. Число классов дивизоров квадратичного поля
1. Формула для числа классов дивизоров (379). 2. Характер
квадратичного поля (384). 3. Гауссовы суммы для квадратичных
характеров (385).
§ 5. Число классов дивизоров поля деления круга на простое число частей
1. Разложение числа h на два множителя (392). 2. Множитель h0
(395). 3. Множитель h* (400). 4. Условие взаимной простоты h* с /
(402). 5. Замечание об операторной структуре группы классов
дивизоров (404).
§ 6. Условие регулярности
1. Поле £-адических чисел (407). 2. Некоторые вспомогательные
сравнения (411). 3. Базис вещественных целых g-адических чисел в
случае (/?*, /) = 1 (413). 4. Критерий регулярности и лемма Куммера
(417).
§ 7. Второй случай теоремы Ферма для регулярных показателей
1. Теорема Ферма (419). 2. Бесконечность числа иррегулярных
простых чисел (425).
§ 8. Числа Бернулли
Алгебраическое дополнение
§ 1. Квадратичные формы над произвольным полем характеристики Ф2
1.Эквивалентность квадратичных форм (438). 2. Прямая сумма
квадратичных форм (439). 3. Представление элементов поля (441). 4.
Бинарные квадратичные формы (443).
§ 2. Алгебраические расширения
1. Конечные расширения (444). 2. Норма и след (447). 3.
Сепарабельные расширения (450) 4. Нормальные расширения (452)
§ 3. Конечные поля
§ 4. Некоторые сведения о коммутативных кольцах
1. Делимость в кольцах (458). 2. Идеалы (460). 3. Целые элементы
(461). 4. Дробные идеалы (463).
§ 5. Характеры
1. Строение конечных абелевых групп (465). 2. Характеры конечных
абелевых групп (465). 3. Числовые характеры (468).
Таблицы
Список литературы
Перечень стандартных обозначений
Предметный указатель

370

379

392

407

419
426
438
438

444

454
458
465

472
492
499
500

МОСКВА
«МИР»

ПРЕДИСЛОВИЕ

Развитие теорпп чисел состоит в переплетении двух тенденций. Первая из них — это создание общих концепций и теорий,
таких, например, как понятие идеала или теория полей классов.
Вторая тенденция состоит в обращении к конкретным числовым
фактам. Ее влияние можно видеть в большом количестве теоретико-числовых результатов, которые были подсказаны и стимулированы эмпирическими наблюдениями, изучением таблиц. Именно соединение двух таких разнородных точек зрения определяет
роль, которую теория чисел играет в математике: «мир чисел»
наряду с физическим миром явился той почвой, на которой возникло большинство математических теорий.
В нашей книге мы хотелп дать представление о том, как теория чисел возникает из синтеза этих двух тенденций. / В связи
с этим стнлю^-изложення, при котором систематическое развертывание аппарата предшествует каким бы то ни было приложениям, мы предпочли более свободное изложение, при котором задачи п методы их решения тесно переплетаются. Исходным
пунктом обычно являются конкретные задачи о целых числах.
Общие теории возникают как аппарат для решения этих задач.
Как правило, эти теории развиваются достаточно далеко для
того, чтобы читатель мог составить себе представление об их
красоте и стройности и научился их применять.
Вопросы, которые разбираются в книге, относятся главным
образом к теории неопределенных уравнений, т. е. к теорпп решения в целых числах уравнений от нескольких неизвестных.
Впрочем, рассматриваются и вопросы другого характера — примерами могут служить теорема Дирихле о простых числах в
арифметической прогрессии или теоремы о росте числа решений
сравнения.
Методы, которые мы излагаем, по преимуществу алгебраические. Точнее говоря, это теория конечных расширений полей и
определенных в них метрик. Однако заметное место ^уделено аналитическим методам: им посвящена глава V, и к ним же следует
отнести метод аналптическпх /?-адических функций, изложенный
в главе IV. Геометрические рассмотрения также играют большую
роль в ряде мест.
Книга не предполагает у читателя больших знаний. Для понимания большей ее части вполне достаточно двух курсов университета и самых основ теории чисел: общей теории сравнений

8

ПРЕДИСЛОВИЕ

и теории квадратичных вычетов до квадратичного закона взаимности. Только в последней главе используется несколько фактов
из теории аналитических функций.
Необходимые сведения чисто алгебраического характера даны
нами в «Алгебраическом дополнении», помещенном в конце книги. В нем даны точные определения, формулировки, а иногда и
доказательства всего того, что может встретиться в книге и в то
же время не входит в университетский курс высшей алгебры.
Третье издание книги отличается от предыдущих (вышедших
в 1964 и 1972 годах) рядом дополнений, в которых мы попытались отразить достижения последних лет. Внесены наиболее существенные результаты, связаппые с вопросами, излагаемыми в
книге. Значительно расширены таблицы.
Мы глубоко благодарны Дмитрию Константиновичу Фаддееву
за многочисленные и очень полезные беседы, за ряд ценных советов п замечаний.
Авторы

Глава

I

СРАВНЕНИЯ

Эта глава посвящена теории сравнений и ее приложениям
к неопределенным уравнениям. Связь между неопределенными
уравнениями и сравнениями основывается на том простом замечании, что если неопределенное уравнение
F(xt, . . . , z J = 0 ,

(1)

где F — многочлен с целыми коэффициентами, имеет решение в
целых числах, то сравнение
F(xt, . . . , хп) = О (mod m)

(2)

разрешимо при любом модуле т. Так как вопрос о разрешимости
сравнения всегда можно решить хотя бы методом перебора, ввиду конечности числа классов вычетов, то это дает нам серию эффективных необходимых условий для разрешимости уравнения
(1) в целых числах.
Гораздо сложнее вопрос о достаточности этих условий. Утверждение: «неопределенное уравнение разрешимо тогда и только
тогда, когда оно разрешимо как сравнение по любому модулю»
неверно в общем случае (см., например, задачу 4), но справедливо для некоторых частных классов уравнений. Так, в этой главе
мы докажем его для случая, когда F — форма второй степени,
присоединив при этом к нашим условиям еще одно очевидным
образом необходимое требование — разрешимость уравнения (1)
в вещественных числах. (Заметим, что если F — форма, то под
разрешимостью уравнения F — О понимают существование ненулевого решения.)
Основное понятие, которое мы будем в этой главе сначала
изучать, а потом применять к теории сравнений и неопределенных уравнений,— это /?-адические числа. Их роль в рассматриваемом вопросе заключается в следующем. Из элементарной теоК
*г ,
рии чисел известно, что для модуля т = Pi ... рТ (ри . . . , рт —
различные простые числа) разрешимость сравнения (2) равносильна разрешимости сравнений
г

F {ху, ..., хп) == 0 (mod pf )
для всех i = 1, . . . , г. Таким образом, разрешимость сравнений

Ю

СРАВНЕНИЯ

[ГЛ, I

(2) для всех модулей т эквивалентна разрешимости этих сравнений только для модулей, являющихся степенями цростых чисел.
Зафиксируем простое число р и поставим вопрос о разрешимости
сравнений
F(xi, ..., xj=0(modpk)

(3)

для всех натуральных показателей к. В связп с этой задачей Хензель построил для каждого простого числа р новый вид чисел,
названных им /ьадпческнми, и доказал, что разрешимость сравнений (3) для всех к равносильна разрешимости уравнения (1)
в /ьадических числах. В силу этого отмеченная нами связь между сравнениями (2) п (3) позволяет сказать, что разрешимость
сравнений (2) по всем модулям т равносильна разрешимости
уравнения (1) в /)-адпческих числах для всех простых чисел р.
Используя понятие /ьадического числа, можно, следовательно,
упомянутой нами теореме о формах второй степени придать следующую фцрмулнровку (ее доказательство и является целью настоящей главы): если F(xs, ..., хп) —целочисленная квадратичная
форма, то уравнение (1) разрешимо в целых числах тогда и
только тогда, когда оно разрешимо в /ьадических числах для
всех р и в вещественных числах.
В формулировке этой теоремы, называемой теоремой Мпнковского — Хассе, и во многих других вопросах /?-адическпе числа
появляются на равных правах с вещественными. Если вещественные числа необходимы для изучения рациональных чисел с
точки з,рения их величины, то /ьадпческие числа играют совершенно аналогичную роль в вопросах, связанных с делимостью
на степень простого числа р. Аналогия между /ьадическими и
вещественными числами проявляется и в другом отношении.
Оказывается, что /ьадпческие числа могут быть построены, исходя из рациональных, при помощи той же самой конструкции,
при помощи которой строятся вещественные числа: путем присоединения пределов фундаментальных последовательностей. То,
что мы приходим при этом к .разным видам чисел, объясняется
различными положенными в основу понятиями сходимости.
Сделаем еще одно замечание. Если F — форма, то разрешимость уравнения (1) в целых числах эквивалентна, конечно, его
разрешимости в произвольных рациональных числах. В силу
этого в теореме Минковского — Хассе можно говорить о рациональной разрешимости вместо целочисленной. Этот очевидный
факт приобретает значение благодаря тому, что для случая, когда F — произвольный многочлен второй степени, аналогичная
теорема сохраняется лишь при условии, что речь идет о разрешимости уравнения в рациональных числах. В связи с этим при
изучении неопределенных уравнений второй степени мы будем
рассматривать не только целочисленные, но и рациональные решения.

§ 1]

СРАВНЕНИЯ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ

11

Задачи

1. Доказать, что уравнение 15х2 — Ту2 = 9 не имеет решения в целых
числах.
2. Доказать, что уравнение 5х3 + Иг/3 + 13z3 = 0 не имеет других решений в целых числах, кроме х = 0, у = 0, z = 0.
3. Доказать, что целое число вида 8п + 7 не может быть представлено
в виде суммы квадратов трех целых чисел.
4. Используя свойства символа Лежапдра, доказать, что сравнение
(хг — 13) (х2 — 17) (х2 — 221) s 2 0 (mod 2та) разрешимо
при любом, модуле тп.
Очевидно, что уравнение ( х — 13) ( х — 17) (г 2 — 221) = 0 неразрешимо в
целых числах.
5. Доказать, что неопределенное уравнение a^i + • • • + апхп = Ь с ц
лыми fli, ..., ап, Ь разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда
разрешимо соответствующее сравнение по любому модулю т.
6. Доказать аналогичное утверждение для системы целочисленных линейных уравнений.

§ 1. Сравнения по простому модулю
1. Суммы степеней вычетов. Мы начнем с рассмотрения сравнений по простому модулю р. Классы вычетов по модулю р образуют, как известно, конечное поле из р элементов (мы его
будем обозначать через F p ), и всякое сравнение по модулю р
можно рассматривать как равенство в этом поле. Решение сравнений по модулю р равносильно, следовательно, решению уравнений в поле FP- Поле Fp является только одним из примеров
конечного поля. Все рассуждения этого параграфа буквально
переносятся и на случай любого конечного поля (см. задачи 5 и
6). Мы ограничимся, однако, случаем поля ¥р и будем вместо
равенств писать сравнения. Только для построения примера к
теореме 3 мы должны будем привлечь другие конечные поля.
При изучении вопроса о числе решений сравнений по простому модулю важную роль играет следующий простой факт.
Т е о р е м а 1. Пусть тп — натуральное число. Сумма
С

"V

~.т

о —

ZA

x

1

х mod p

в которой х пробегает полную систему вычетов по модулю р,
сравнима по модулю р с —1, если тп делится на р — 1, и сравнима
с 0, если тп не делится на р~ 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Значение х = 0 (modp) в сумме S
можно, разумеется, опустить. Пусть р — 1 делит тп. Так как
XP-I = i (mod p) для всякого х, не делящегося на р, то в этом
случае ж т = 1 (modp), и, следовательно, S=p — 1 = — I (modp).
Пусть теперь р — 1 не делит т. Тогда существует такое число а,
не делящееся на р, что ат^ 1 (modp) (в качестве а можно взять
первообразный корень по модулю р). Так как вместе с х произведение ах также будет пробегать полную систему вычетов по

12

СРАВНЕНИЯ

[ГЛ, I

модулю р, то
amS =

(ах)т == S (mod p),

2
х mod р

откуда (а т —1)5 = 0 (modp), и, следовательно, 5 = 0 (modp).
С л е д с т в и е . Пусть O(Xi, ..., ж„)—целочисленный многочлен степени меньшей, чем п(р — 1). Тогда
2

Ф (#j, . . . , х„) = 0 (mod р).

г 2.
2. Теоремы о числе решений сравнений. Результаты п. 1 мы
применим к доказательству следующего утверждения.
Т е о р е м а 2 (теорема Варнинга). Если степень г целочисленного многочлена F(xu ..., хп) меньше числа переменных п, то
число решений сравнения F(xu ..., хп) = 0 (modp) делится на р.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть N обозначает число решений
сравнения F=0 (modp). Рассмотрим многочлен
(Т) ( •>*

"Y

VMV.ii, . . ., Хп1

1

—

"Y )Р

\

П { V

1

Г \-Cl, • • ., £п>

1

степень которого меньше чем п(р — 1). Еслп F(a±, ..., а„) = 0
), то
Ф(о!, ..., aj =
Если же F(au ..., aj Ф 0 (modp), то
t , . . . , aJ = 0 (modp).

g 1]

СРАВНЕНИЯ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ

13

Суммируя все значения Ф(х1: ..., хп), когда Xi, ..., хп независимо друг от друга пробегают полную систему вычетов по модулю
р, мы получим, следовательно, сравнение
2

Ф(хг, . . . , xn)==N (mod/?).

Теорема 2 следует теперь из сравнепия (1).
Т е о р е м а 3 (теорема Шевалле). Если F(xu ..., хп) — форма
степени г 1. С другой стороны, по теореме Варнинга N з= 0 (modp). Следовательно, N > р > 2.
Докажем для полноты картпны, что неравенство г < п нельзя
заменить более слабым так, чтобы теорема Шевалле оставалась
верной. Для этого построим для любого п форму F(xu ..., хп)
степени п такую, что сравнение
F(xu ..., xn) = 0(modp)
(2)
имеет только нулевое решение.
Мы воспользуемся тем фактом, что для любого п 5= 1 существует конечное поле 2 из рп элементов, содержащее F v в качестве подполя (см. Дополнение, § 3, теорема 2). Пусть cih, ..., со„ —
базис поля 2 над F p . Рассмотрим линейную форму xlat + ...
. . . + хпап, в которой под хи ..., хп будем понимать произвольные
значения пз¥р. Ее норма Ni./fp(x1al+
. . . + хпап) = ц> (а^, .. ., хп)
является, очевидно, формой степени п от хи ..., хп с коэффициентами из поля fp. Из определения нормы N(a) (см. Дополнение, § 2, п. 2) элемента a = xiai + . . . + хпап
{x{^fp)
следует,
что равенство N(a) = 0 возможно только при а = 0, т. е. только
при 2i = 0, . .., хп = 0. Форма ф обладает, стало быть,_тем свойством, что уравнение ф(^, ..., хп) = 0 имеет в поле Тр только
нулевое решение. Заменим теперь каждый коэффициент формы
-адические числа
1. Целые р-адические числа. Теперь мы перейдем к сравнениям, модуль которых есть степень простого числа. Начнем
с примера. Рассмотрим сравнение хг = 2 (mod 7") по степеням
простого числа 7. При п = 1 сравнение имеет два решения:
(1)
Жо = ± 3 (mod 7).
Положим теперь п = 2. Из
х2 = 2 (mod72)

(2)

2

следует х = 2 (mod 7), так что решения сравнения (2) надо искать в виде хй + 7ti, где хй — одно пз чисел, определяемых сравнением (1). Займемся разысканием решений внда ^ = 3 + 7^.
(Решения вида —3 + 7^ рассматриваются совершенно так же.)
Подставляя это выражение для Xi в (2), получаем:
(3 + 7^) 2 = 2 (mod 7°-),
1 + 6*! = 0 (mod 7),

9 + 6- 7*! + 1Н\ = 2 (mod 72),
*! = 1 (mod 7).

Таким образом, получается решение Xi= 3 + 7-1 (mod72). Аналогично при п = 3 получаем хг = х^ + 1Нг и из сравнения
(3 + 7 + 72£2)2 = 2 (mod73)

26

' СРАВНЕНИЯ

[ГЛ. I

находим t2 = 2 (mod 7), т. е.
х2 - 3 + 7 • 1 + Т • 2 (mod 73).
Нетрудно видеть, что этот процесс мы можем продолжить до
бесконечности. Мы получим последовательность
Хо, Xit

• • •) Хп,

• • •)

(о

обладающую свойствами:
j : 0 = 3(mod7),

4 = 2(mod 7 П + 1 )-

хп = хп-г(тоА7п),

Процесс построения последовательности (3) напоминает процесс извлечения квадратного корня из 2. Действительно, вычисление У2 состоит в построении последовательности рациональных
чисел Го, 7'i, ..., г„, ..., квадраты которых становятся сколь угодно близкими к 2, например: | ?'п — 21 < 1/10'1. В нашем же случае строится последовательность целых чисел ж0, хи ..., хп, ...,
для которых х„ — 2 делится па 7"+1. Эта аналогия становится
более отчетливой, если мы условимся два целых числа называть
близкими (точнее, /ьблпзкпмп, где р — некоторое простое число),
когда их разность делится па достаточно большую степень р.
При таком понимании близости можно сказать, что квадраты
чпсел последовательности (3) при возрастании п становятся сколь
угодно 7-близкимп к 2.
Задание последовательности {rj определяет вещественное
число У 2. Можно предположить, что последовательность (3) также определяет число а некоторой новой природы, причем такое,
что а 2 = 2.
Обратим внимание на следующее обстоятельство. Если последовательность рациональных чпсел {гп} такова, что \гп — г п | <
< 1/10" при всех п, то ее пределом также будет У2. Естественно
предположить, что последовательность (жп}» для которой хп ==
= хп (mod 7™ х ), определяет то же самое новое число а (для новой
последовательности {хп}, очевидно, также имеем х,? = 2(mod 7 n + 1 )
n
и ^ = ^_1(mod7 )).
Эти замечания приводят нас к следующему определению.
О п р е д е л е н и е . Пусть р — некоторое простое число. Последовательность целых чисел
\%п*

^

l^Oi

Х\,

. . .,

ХП1

обладающих тем свойством, что
хп = Xn-i (mod pn)

. . ./,

(4)

для всех п ^ 1, определяет новый объект, называемый целым
р-адическим числом. Две последовательности {хп) и [хп\ тогда

§ 3]

р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

27

и только тогда определяют одно и то же целое р-адическое число
когда хп == хп (mod p n + 1 ) для всех п > О.
То, что последовательность {хл} определяет целое р-адическое
число а, будет записываться так: {xj -» a.
Множество всех целых р-адических чисел мы будем обозначать через Z p . В отличие от целых р-адических чпсел обычные
целые числа будут называться целыми рациональными.
Каждому целому рациональному числу х сопоставим целое
р-адическое число, определяемое последовательностью {х, х, . . .
..., х, . , . ) . Это целое р-адическое чпсло, соответствующее рациональному х, мы будем обозначать той же буквой х. Два различных целых рациональных числа х и у определяют разные целые р-адические чпсла. Действительно, из пх равенства как
целых р-адических чисел следовали бы при всех п сравнения
х = у (modp"), что возможно только прп х = у. Ввиду этого мы
можем и будем рассматривать множество Z целых рациональных
чисел как часть множества Z p целых р-адическпх чисел.
Для того чтобы яснее представить, себе множество Zp укажем способ, при помощи которого можно из множества всех последовательностей, определяющих данное целое р-адпческое число,
выбрать одну стандартную.
Пусть целое р-адическое число задается последовательностью
{хп}. Обозначим наименьшее неотрицательное число, сравнимое
с хп по модулю р" + 1 , через хп:
хп = хп (modp n + 1 ),
(5)
•

Доказательство.
Если а — единица, то равенство (8)
справедливо при m = 0. Пусть {хл) -*• а п а не является единицей, так что согласно теореме 1 ж,, = 0 (mod;?). Так как а ¥= 0, то
сравнения хп = 0 (modp n + 1 ) невозможны при всех п. Пусть тп —
наименьший индекс, для которого
arm^0(modpm+1).

Для любого s ^ 0
xm+s

поэтому число ys = xm+jpm

(9)
m

з= Хш-1 = 0 (mod p ),

целое. Из сравнения

Рту* - РтУ*~! = zm+s

- x M + i 4 *= 0

(modpm+s)

следует, что ys = y.,-i (mod;?8) при всех s ^ 0. Последовательность
{уЛ определяет, таким образом, некоторое е е Zp. Так как
уо= хт/рт Ф0 (modp), то по теореме 1 е является единицей.
Наконец, из сравнения
РтУ* = Zm+s = £s ( m o d p s + i )
вытекает, что рте = а, т. е. имеет место представление (8).
Предположим теперь, что а имеет другое представление: а =
= ;?ftTi, где к ^ 0, г\ — единица. Если {zj ->- т], то
l

)

(10)

при всех s ^ 0, причем согласно теореме 1 все ys и zs не делятся
на р, так как е и г\ — единицы. Положив в сравнении (10) s = т,
получаем, что pmym = phzm^ 0 (mod pm+1),
откуда вытекает нера-

30

СРАВНЕНИЯ

[ГЛ. I

венство к г£ т. В силу симметрии мы получаем, что и т ^ к, т. е.
к==т. Заменим теперь в сравнении (10) s на s + m и сократим
его на рт. Мы получим, что
ут+, = z m+a (mod />s+1),

а так как ym+s = 2/s (mod/?s+1) и zm+s = zs (mod p'+1) ввиду условия (4), то уе = zs (mod/?4*1). Так как это сравнение справедливо
для всех s S= 0, то е = г\. Теорема 2 доказана.
С л е д с т в и е 1. Целое р-адическое число а, определяемое
последовательностью {хп}, тогда и только тогда делится на рк,
когда £„ = 0 (modpn+i) при всех п = 0, 1, . . . , к — 1.
Действительно, мы определили показатель тп в разложении
(8) как наименьший индекс тп, для которого имеет место (9).

С л е д с т в и е 2. Кольцо Z P не имеет делителей нуля.

' Действительно, если а Ф 0 и р Ф 0, то для них имеются
представления а = />те, р = />"TI, В которых е и т] — единицы.
(Для е и т) в кольце Z p существуют, следовательно, обратные
элементы е~' и ц"1.) Если бы а$ = 0, то, умножив равенство
pm+k е Т | = о на е""1!]"1, мы получили бы рт+к = 0, а это невозможно.
О п р е д е л е н и е . Число т в представлении (8) отличного от
нуля целого р-адического числа а. называется р-показателем а и
обозначается через \Р(а).
В случае, если будет ясно, какое простое число р имеется
в виду, мы будем говорить просто о показателе и обозначать его
через v(a). Чтобы функция v(a) была определена на всех целых
р-адических числах, мы доопределим ее, полагая v(0) = °°. (Целесообразность этого формального равенства обусловлена тем,
что 0 делится на сколь угодно большую степень р.)
Непосредственная проверка дает следующие свойства показателя:
v(ap)=v(a)+v(p),
(И)
v ( a + p ) > m m ( v ( a ) , v(p)),

(12)

v ( a + p ) = m i n (v(a), v(p)), если v(a) Фv(|3).

(13)

В терминах показателя особенно просто выражаются свойства
делимости целых р-адических чпсел. В частности, пз теоремы 2
сразу же вытекает
С л е д с т в и е 3. Целое р-адическое число а тогда и только
тогда делится на р, когда via) ^ v ( p ) .
Таким образом, арифметика кольца Z P очень проста: в нем
имеется один-единственный (с точностью до ассоциированности)
простой элемент, это число р. Через его степени и единицы выражаются все отличные от нуля элементы из Z p .
В заключение остановимся на сравнениях в кольце Zp- Сравнимость элементов определяется здесь так же, как для целых

§ 3]

р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

31

чисел и вообще для элементов любого кольца (см. Дополнение,
§ 4, п. 1): a = p(modf) означает, что а~ (5 делится на f- Если
Y = рпе, где е — единица, то всякое сравнение по модулю f равносильно тому же сравнению по модулю рп. Можно ограничиться
поэтому рассмотрением сравнений только по модулю рп.
Т е о р е м а 3. Всякое целое р-адическое число сравнимо с целым рациональным числом по модулю рп. Два целых рациональных числа тогда и только тогда сравнимы по модулю рп в кольц
Жр, когда они сравнимы по этому модулю в кольце Z.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Чтобы доказать первое утверждение,
покажем, что если а — целое /ьадпческое число и {хп} — определяющая его последовательность целых рациональных чпсел, то
а^хп-1 (mod/?").
(14)
Так как xn-i определяется последовательностью {хп~и хп-и • • )
то последовательность, определяющая а — хп-и
есть {х0 — хп-и
x^ — Xn-i, ...}. Применим к целому р-адпческому числу а — хп-{
следствие 1 теоремы 2. Мы впдим, что сравнение (14) равпоспльно сравнениям
1
s+!
z f t -£„_! = () (mod/> ), fc = 0, I, .... n— 1,
справедливость которых в свою очередь вытекает пз условия (4)
в определении целых р-адическпх чисел.
Докажем теперь, что для двух целых рациональных чисел х
и у сравнимость по модулю рп в кольце Хр равносильна сравнимости по тому же модулю в кольце Z- Для этого положим
х-у = рта, а^ОЫюйр)
(15)
(мы считаем х Ф у). Сравнение
n

)

(16)

в кольце Z равносильно условию п s£ т. С другой стороны, (15)
есть представление (8) для числа х — у, так как а является /ьадической единицей. Следовательно, \р(х — у) = т и условие
п^т
можно переписать в виде хР(х — у)^ п, а это равносильно сравнению (16) в Zp, так как v(pn) — п (см. следствие 3 теоремы 2).
С л е д с т в и е . Число классов вычетов по модулю рп в Z p
равно рп.
3. Дробные /?-адические числа. Так как кольцо Z P не пмеетделителей нуля (следствие 2 теорему 2), то его можно включить
в поле, используя конструкцию поля отношений области целостности. В применении к нашему случаю эта конструкция сводится
к рассмотрению дробей вида ос/р\ где а — некоторое целое
р-адическое число, k S5 0. Дробь рассматривается здесь просто
как удобная запись пары (а, рк).
О п р е д е л е н и е . Дробь вида а/рк, P « e Z p , ^ 0 , определяет дробное р-адическое число или просто р-адическое число. Две

32

СРАВНЕНИЯ

[ГЛ. I

дроби, a./ph и $/рт, определяют одно и то же р-адическое число,
если ар'п = $рк в Zp.
Совокупность всех р-адических чисел будет обозначаться
через Q p .
Целое р-адическое число определяет элемент а/1 = а/р° из
Qp. Очевидно, что различные целые р-адические числа определяют различные элементы из Q P . Ввиду этого мы будем считать
Zp подмножеством множества Q p .
Действия в QP определяются правилами:

Очевидная проверка показывает, что результат действий не
зависит от выбора тех дробей, которые определяют элементы из
Qp, и что относительно этих действий Qp образует поле — поле
всех р-адических чисел. Очевидно, что поле Qp имеет характеристику нуль н, следовательно, содержит поле рациональных
чисел.
Т е о р е м а 4. Всякое р-адическое число | ^ 0 единственным
образом представляется в виде

i=Pme,

(17)

где т — целое число, а г — единица из Zp.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть | = ос/р\ а е Z P - По теореме 2
а представляется в виде а. — р'г, I ^ 0, где е — единица кольца
т
Zp- Мы получаем, что \=р е,
где m = l — k. Единственность
представления (17) вытекает из соответствующего утверждения
для целых р-адических чисел, доказанного в теореме 2.
Введенное в п. 2 понятие показателя легко обобщается на любые />-адические числа. Мы полагаем v p (|) = 7ra, где т — показатель в представлении (17). Легко видеть, что свойства (11), (12)
и (13) показателя автоматически переносятся на поле Q p . Очевидно, что /ьадическое число | тогда и только тогда является
целым />-адическим числом, когда v p (|) 5 s 0.
4. Сходимость в поле р-адических чисел. В п. 1 мы обратили
внимание на аналогию между целыми /?-адическимп и вещественными числами: и те и другие определяются некоторыми последовательностями рациональных чисел.
Так как ка;ьдое вещественное число является, как известно,
пределом той последовательности рациональных чисел, которая
его определяет, то естественно предположить, что аналогичный
факт должен иметь место и для /?-адических чисел, если только
правильно определить для них понятие сходимости. При определении предела вещественных чисел мы опираемся, по существу,
на понятие близости: два вещественных или рациональных числа
считаются близкими, если абсолютная величина их разности достаточпо мала. Для определения сходимости в поле /ьадических

§ 3]

р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

33

чисел нам надо, следовательно, уяснить себе, п£и каком условии
два р-адических числа должны рассматриваться как близкие.
ГГри рассмотрении примера, приведенного в начале параграфа,
мы уже упоминали о /^-близости двух целых рациональных чисел
х и у, понимая под этим делимость разности х — у на достаточно
большую степень р. Именно при таком новом понимании близости, как мы видели, и проявляется аналогия в определении вещественных п целых /ьадпческих чисел. Если воспользоваться
понятием /^-показателя vp, то /ьблизооть х и у будет характеризоваться, очевидно, значением хр(х — у). Это подсказывает нам,
что два произвольных /ьадических числа | и г\ (не обязательно
целых) надо считать близкими в том случае, если значение
Vp(g —т]) достаточно велико. Другими словами, «малые» /ьадические числа должпы характеризоваться большим значением их
/^-показателя.
После этих предварительных замечаний перейдем к точному
определению.
О п р е д е л е н и е . Последовательность

р-адических чисел называется сходящейся к р-адическому числу
Ъ, (в обозначении lim %п = \ или {£„} ->- | ) , если

Существенной особенностью этого определения (отличающей
его от обычного определения СХОДИМОСТИ ДЛЯ вещественных чисел) является то, что в нем сходимость {£„} -*• | связвиается
с последовательпостью целых рациональных чисел Vp(|n —1),
которая должна стремиться к бесконечности. Можно придать
этому определению более привычный вид, если вместо показателя
хР на ноле QP рассмотреть другую функцию с вещественными
неотрицательными значениями, которая стремится к пулю, когда
показатель стремится к бесконечности. Именно, выбрав некоторое
веществеппое число р, удовлетворяющее условию 0 < р < 1 ,
положим
Ю

при I = 0.

Определение. Функция ф Р (|), ^ e Q p , определенная условиями (18), называется р-адической метрикой. Значение ф Р (|)
называется величиной р-адического числа | в этой метрике.
Как и в случае показателя; мы будем иногда функцию фР называть просто метрикой и обозначать через ф.

34

СРАВНЕНИЯ

1ГЛ. I

Из свойств (11) и (12) показателя очевидным образом вытекают следующие свойства метрики:
(19)
(20)
Из последнего неравенства получаем также, что
(21)
Свойства (19) и (21) (а также свойство: ф ( | ) > 0 при | Ф 0) указывают на то, что введенное понятие метрики для р-адическпх
чисел является аналогом понятия абсолютной величины в поле
вещественных чисел (или модуля в поле всех комплексных
чисел).
В терминах метрики срР определение сходимости в поле Qp
принимает следующий вид: последовательность {|n},
%п s Qp,
сходится к /ьадическому числу | , если
lim ф р (In — £) = 0.
п-юо

Для поля Q p легко могут быть сформулированы и доказаны
обычные теоремы о пределах последовательностей, хорошо известные из математического анализа. Покажем, например, что
если {£„} -»• I и \Ф0, то {1/|„}->-1/1. Прежде всего, начиная
с некоторого места, т. е. при п S5 ге:, имеем v(l n —1) > v(l), откуда, согласно свойству (13) для показателей, получаем: v ( U =
= min (v(l n —1), v(l))==v(l); в частности, \(Ъ,п)Ф°°, т. е. I n ^ O ,
s
а значит, 1/1„ при тех же и 5 щ имеет смысл. Далее,

^ ~ т) = v {l ~ln) -

оо

при п ->- с», и наше утверждение доказано.
Т е о р е м а 5. Если целое р-адическое число а. определяется
последовательностью целых чисел {xj, то эта последовательност
сходится к а. Произвольное р-адическое число 1 является пределом последовательности рациональных чисел.
Доказательство.
Из сравнения (14) следует, что
vP(xn — a) S5 п + 1. Следовательно, v(xn — а) -»• °° при п ->- °°,
а это и означает, что {хп} стремится к а. Рассмотрим теперь
дробное р-адическое число 1 = а//>\ Так как

при га ->- оо} то 1 является пределом рациональной последовательности {xjph). Теорема доказана.
Из всякой ограниченной последовательности вещественных
чисел всегда можно выделить, как известно, сходящуюся подпо-

§ 3]

р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

35

следователъность. Аналогичное свойство имеет место и для р-адических чисел.
О п р е д е л е н и е . Последовательность р-адических чисел {£„}
называется ограниченной, если все значения ф Р (| я ) ограничены
сверху или, что то же самое, все числа v p (| n ) ограничены снизу.
Т е о р е м а 6. Из всякой ограниченной последовательности
р-адических чисел (в частности, из всякой последовательности
целых р-адических чисел) можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Докажем сначала теорему для последовательности {«„} целых р-адических чисел. Так как в кольце
Zp число классов вычетов по модулю р конечно (следствие теоремы 3), то в последовательности {ап) содержится бесконечно
много членов, сравнимых по модулю р с одним и тем же целым
рациональным числом х0. Выделяя все эти члены, мы получаем
подпоследовательность (ссп'} , все члены которой удовлетворяют
сравнению ап = х0 ( m °d ?)• Аналогичным образом, применяя
следствие теоремы 3 при п = 2, мы из [а„ } выделим подпоследовательность (а и 2) ) с условием a n 2 = x-± (mod р2),
где Xi — некоторое целое рациональное число; при этом, очевидно,
Xi = хо (modp). Продолжая этот процесс до бесконечности, мы
для каждого к получим последовательность («т?'), которая является подпоследовательностью предыдущей последовательности
Ып~1 } и для членов которой справедливы сравнения
(

h

a v = x ft _ t (mod p )
при некотором целом рациональном хК-1ш Так как все осп +1) находятся среди

а(„й) и xk = a(n+1)

(mod ptb+V), то

при всех к &* 1. Последовательность {хп} определяет, следовательно, некоторое целое /ьадическое число а. Составим теперь «диагопальную» последовательность {&п )• Ясно, что она является
подпоследовательностью исходной последовательности {а.п). Утверждаем, что [а-пЛ ->-а. В самом деле, в силу (14) имеем:
п
а 3= Хп-1 (modр ); с другой стороны, af£} = x n _ x (mod pny следова( n)
n
)
тельно, a n z=a(modp ), т. е. v(a^v" — а.)^п.
Отсюда следует,
( )
что v{a n — a ) - v оо при п ->• °°, а значит la^} сходится к а.
Перейдем к доказательству теоремы в общем случае. Если для
последовательности р-адических чисел {£„} имеем v(| n ) > —к
h
(к — некоторое целое рациональное число), то для a.n = \v.p будем иметь v(a n ) ^ 0. По доказанному из последовательности {an}
целых р-адических чисел можно извлечь сходящуюся подпоследовательность [«п4}. Но тогда последовательность [!п { р= [оо

если а — класс, содержащий последовательность {xj.
Нетрудно
доказать, что определенная таким образом функция ф(а) удовлетворяет всем условиям, входящим в определение метрики, и,
следовательно, превращает к в метризованное поле.
Сопоставим любому элементу а поля к класс, содержащий последовательность {а, а, ,..}. Мы получим отображение поля к
в к, устанавливающее, как легко _впдеть, изоморфизм метризованного поля к с подполем поля к, сохраняющим значение метрики. Мы не будем дальше отличать элемент поля к от соответствующего ему элемента поля к и будем считать, что к содержится в к. Очевидно, что к всюду плотно в к; действительно,
если а — класс, содержащий фундаментальную последовательность
{хп}, то {хп) ->- а.

Нам остается доказать последнее свойство поля к — его полноту. Пусть {а„} — фундаментальная последовательность элементов поля к. Так как а„ является пределом последовательности
элементов поля к, то существует элемент хп е к, для которого
ф(а„ — хп) < 1/п.
Из фундаментальности последовательности {ап) немедленно
следует, что и последовательность {хп}, состоящая уже из элементов поля к, является фундаментальной. Обозначим через а
класс, содержащий последовательность {xj. Простая проверка
показывает, что {aj ->- а, что и завершает доказательство
теоремы 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2. Пусть к и й4 — два полных
поля, содержащих к в качестве всюду плотного подполя. Мы укажем только, как устанавливается соответствие между элемептами полей к и kt. Проверку того, что это соответствие является
топологическим изоморфизмом, переводящим элементы к в себя,
мы предоставим читателю.
Пусть а — элемент поля к. По условию существует такая последовательность {х„} элементов поля к, что ixj -*• а. Так как
последовательность {xj сходится в к, то она является фундаментальной. Это свойство сохранится п тогда, когда мы рассмотрим
ее как последовательность элементов поля к. Ввиду полноты поля к,х последовательность {хп} сходится в нем к некоторому пределу, который мы обозначим а±. Легко доказать, что если {yj —
другая последовательность элементов поля к, сходящаяся в к
к а, то предел {г/пЬв п о л е ^ будет тем же элементом ось Таким
образом,_элемент а± поля ki однозначно определяется элементом
а поля к. Соответствие, сопоставляющее элементу а элемент cti,
и является нужны» нам изоморфизмом.

в 4]

/

АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ Q p

45

2. Метрики доля рациональных чисел. В связи с результатами
предыдущего пункта естественно возникает вопрос, существуют
ли, помимо поля вещественных чисел и полей /ьадических чисел
"(для всех простых р)г другие пополнения поля "рациональных
чисел~ Q. Ответ оказывается отрицательным: перечисленные поля исчерпывают собой все возможные пополнения поля Q. Доказательство этого факта н является пашей блнжайшей целью.
Ясно, что поднятый нами вопрос сводится к перечислению
всех метрик поля Q.
В определении р-адической метрики срР на поле Q участвует
некоторое вещественное члсло р, от которого требуется лишь,
чтобы оно удовлетворяло условию 0 < р < 1 см. равепство (1),
а также (18) § 3). Т-жчм образом, мы имеем бесконечно много
метрик, связанных с данным простым числом р. Однако все они
определяют, очевидно, п щу и ту ;ке сходимость на Q и,следовательно, приводят к одному п тому же пополнению — к полю
/э-адическнх чисел Qp.
Покажем, что наряду с абсолютной величиной \х\ фупкция

фЫ = Ы а

(2)

при любом вещественном а, удовлетворяющем условию 0 < а s£ 1,
также является метрикой поля Q. Действительно, выполнение
условий 1° и 3° из определения метрики очевидно. Пусть \х\ 5*
>\у\, хФО. Тогда
а

»

а

+ У| = I х|

X

\х
1

У
(

« 1+
V

•

X

т. е. условие 2° также пыполпопо.
Сходимость в Q по любой из метрик вида v2) совпадает, очевидно, со схошмопыо по чбеолютпой вольчипе, а значит, процесс пополнешп !( всем -0 и TJJ(Х„ — х)—>-0 равносильны. Доказать, что для
эквивалентности ф и if необходимо и достаточно, чтобы условия ц>{х) (Х)П = % + х
»=о

(относительно операции формальной подстановки ряда в ряд см. п. 1
I 5 гл. IV).
2в
17. Пусть выполнены условия задачи 15. Положим /(Y) = Р ао, где
6
а о = О (mod р). Для ж = Y 4- Р У имеем
/(Y + Р6У) =

\
2

где ф(г/) = а0 + иу + а2у + . . . — многочлен с целыми р-адическими коэфоо

фициентами, удовлетворяющий условию эадачи 16. Пусть т|з (у) = 2

*п#" —

П=1

формальный стененной ряд с целыми р-адическими коэффициентами, для
которого Ф(ф(г/)) = а-о + У- Доказать, что целое р-адическое число а = ч +
"г" P6ty (— а 0 ) удовлетворяет условиям
/(а)=0,

a = Y (modpe+1).

58

СРАВНЕНИЯ

~{ГЛ. I

§ 6. Квадратичные формы с р-адическгопс коэффициентами

В этом и следующем параграфе мы применим развитую нами
теорию /7-адических чисел к исследованию простейших неопределенных уравнений. Именно, мы рассмотрим вопрос о представлениях ^-адических и рациональных чисел квадратичными
формами. Необходимые нам алгебраические сведения о квадратичных формах в произвольном поле изложены в § 1 Дополнения.
1. Квадраты в поле р-адических чисел. При изучении квадратичных форм в том или ином поле важно знать, какие элементы
поля являются квадратами. Займемся поэтому сначала изучением
квадратов в поле ^-адическпх чисел Q p .
Мы знаем (§ 3, теорема 4), что каждое отличное от нуля
^-адическое число а однозначно представляется в виде а = ртг,
где е — ^-адическая единица (т. е. единица в кольце целых ^-адических чисел ZP)- Если а является квадратом /7-адпческого
числа у = рке0, то т = 2к и е = г%. Для описания всех квадратов
поля Q p нам достаточно знать, следовательно, какие единицы
из Z p являются квадратами.
Т е о р е м а 1. Пусть р¥=2. Для того чтобы р-адическая единица
г = со + с1р + с2р2 + ,.., 0 0, то мы рассмотрим «частичную» форму / = г х\ + г х\ + г х\ + 2г х\. Такая форма

62

СРАВНЕНИЯ

[ГЛ. I

всегда представляет нуль в Q a . Действительно, так как е4 + е2 =
= 2а (а целое 2-адическое), то е4 + е2 + 2 е п а 2 ^ 2а + 2а 2 =
— 2а(1 + а) = 0 (mod 4), т. е. е4 + е2 + 2е„а2 = 4р с целым 2-адическим р. Полагая : r 1 = : r 2 = l, ;г3 = 2jJ, xn = а, имеем е!*1* +
+ e 2 - l 2 + e 3 -(2p) 2 + 2e n a 2 = 4p + 4p2 = 0(rnod8). По следствию к
теореме 4 форма / представляет нуль. Но тогда F также представляет нуль. В случае п = г в качестве «частичной» формы мы
возьмем
/ = гух\ + г2х\ + e 3 z| + г^х\ + гъх\.
Если е4 + е2 =
= £з + е* — 2 (mod 4), то положим Xi =x2 = x3 = xt = 1, а если,
например, е4 + е2 = 0 (mod 4), то х1—Хг = 1, ^ 3 = ^ 4 = 0. В обоих
случаях
гух\ + е2^2 + ъ3х\ + ei-r4 = 4^ с целым 2-адическим ^.
Полагая а; 5 =2^, получим
/ - 4 ^ + 4 ^ 2 - 0 (mod 8).
Применение следствия к теореме 4 завершает доказательство и в
этом случае. Теорема 5 доказана полностью.
Согласно теореме 6 § 1 Дополнения из доказанной теоремы 5
вытекает следующее:
С л е д с т в и е I. В поле Qp всякая неособенная квадратичная форма от четырех и более переменных представляет все
р-адические числа.
С л е д с т в и е 2. Пусть F(xu ..., х„) — неособенная квадратичная форма с целыми рациональными коэффициентами. Если
п > 5, то для любого модуля m сравнение F(xt, ..., хп) за
= 0(modm) имеет нетривиальное решение.
Действительно, так как форма F представляет пуль в Qp,
то при любом натуральном s > 1 сравнение F = 0(modp3) имеет
решение, в котором хоть одна неизвестная не делится на р.
3. Бинарные формы. Важным примером общей теории служит
случай бинарных квадратичных форм. В этом пункте мы рассмотрим вопрос о представлении чисел поля Qp бинарной квадратичной формой вида
aТ1

)

=

1

п

и

Р

4. Эквивалентность бинарных форм. Символ Гильберта даёт
возможность записать в явном виде условие эквивалентности

§ в]

ФОРМЫ С р-АДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

67

двух неособенных бинарных квадратичных форм в поле Q p .
Пусть f(x, у) и g(x, у)— две бинарные неособенные квадратичные формы с коэффициентами из Q p и б(/), б(#) — их определители. Для эквивалентности форм / и g необходимо, чтобы б(/)
и б(#) отличались на множитель, принадлежащий Qp2 (теорема
1 § 1 Дополнения). Чтобы сформулировать еще одно необходимое
условие эквивалентности, которое вместе с отмеченным будет
уже и достаточным, докажем следующий факт.
Т е о р е м а 8. Для всех р-адических чисел гг (см. [71]).
В связи с вопросом о представлении нуля формами над за-данным полем было введено следующее определение. Говорят,
что поле К обладает свойством d, если любая форма степени d
от га переменных с коэффициентами из К при п>d* допускает
нетривиальное представление нуля. Свойством Са обладают
алгебраически замкнутые поля и только они. Теорема Шевалле
(теорема 3 § 1) означает, что поле вычетов Fj> обладает свойством Ci (это верно для любого конечного поля). Свойством С2
обладает поле формальных степенных рядов Fp{£}t очень похожее на поле /ьадических чисел (3afla4at 23). Вопрос о равенстве Nj,ir) = r1 равносилен вопросу: обладает ли поле /ьадических чисея свойством С2?

70

СРАВНЕНИЯ

'

(ГЛ. I

Эти предположения были перенесены и на системы форм.
По аналогии с теоремой 4 § 1 предполагалось, что система уравнений
Fiixi, . . . , хп)

= 0,

Fhix,, ..., х„) = 0 ,
где Fh ..., Fh — формы с /7-адическими коэффициентами степеней г4, ..., rk, имеет ненулевое решение, если
п > г\ + . . . + г^.
В. Б. Демьянов доказал это утверждение для случая пары квадратичных форм {к = 2; rl = r2 = 2). Простое доказательство результата Демьянова содержится в работе [63].
Всей этой системе красивых и взаимосвязанных гипотез был
нанесен удар, когда в 1966 г. Г. Тержанян [137] построил пример
формы 4-й степени от 18 переменных, не представляющей нуля
в поле 2-адических чисел (задачи 15—16). В дальнейшем аналогичные примеры были построены и для р¥=2 (задачи 17—18).
Стоит заметить при этом, что во всех известных примерах неравенства NP(r)>ri
формы имеют четную степень. Аналогичные
примеры форм нечетной степени не найдены.
После этого можно было еще надеяться, что функция Np{r)
растет все же не слишком быстро, например, что поле /ьадических чисел обладает свойством С3. Эти надежды, однако, не оправдались. Г. И. Архипов и А. А. Карацуба [41] показали, что
для любого р функция Npir) растет быстрее любой степени г,
почти как показательная функция. Ниже приведены их рассуждения для случая р ¥= 2 (случай р = 2 рассматривается аналогично). Напомним, что /ьадическая единица и называется главной, если м = 1 (mod/)).
Л е м м а . Пусть а < п < . . . < rm < 6 — натуральные числа,
N — натуральное число, N + а — Ь&* I, р¥= 2. Если для главных
р-адических единиц ии ..., ип выполнены сравнения
г=1

то п> ph, где h = mm(m, N + a — b).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно задаче 16 § 3 при некоторых
натуральных с{ справедливы сравнения

и{=(1 + р)\

(modpN),

l<

Введем в рассмотрение многочлен
Так как /(1) = /г, то для доказательства леммы достаточно убедиться, что v(/(D) Ss h. Положим
Ф (*) = (t-x1)...(t-

xm),

х} = (1+ рУ',

1 < / < fa,

S 6]

ФОРМЫ С р-АДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

7f

в разделим /(£) на cp(f) с остатком:
так что gti) имеет степень pcd2/8,

с = (2р + 4)- 2 / 3 .

Таким образом, существует константа С такая, что. для сколь
угодно больших г имеем оценку
#р(г)>С

/ г

\

С>1,

(18)

и, следовательно, поле /?-адических чисел Qp не обладает свойством С{ ни при каком L Используя форму F точно так же, как
нами была использована форма Ф, т. е. подставляя в нее формы
Нк, можно улучшить показатель в неравенстве (18), например,
312
до г/(log г) .

§ 6]

ФОРМЫ С р-АДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

73

В свете оценки (18) становится особенно интересным приведенный выше результат Акса и Кочена, согласно которому при
фиксированном г равенство NP(r) = Iя имеет место для всех р,
кроме конечного числа исключений. Каковы же эти исключительные значения р, неизвестно (даже для г = 4).
З а м е ч а н и е . Для рассмотренного в лемме многочлена fit)
можно получить (следуя доказательству леммы) сравнение /(|) э
= 0 (mod ph) для всех | , для которых 1 = 1 (mod p). Для этих
значений /(£) мы имеем, следовательно, оценку сверху относительно р-адической метрики ф р . Возникает вопрос, не будет ли
справедлив соответствующий аналог этого факта для произвольных аналитических р-адических функций (относительно определения аналитической функции см. п. 1 § 5 гл. IV)? Другими
словами, если аналитическая функция принимает малые значения в подходящих точках круга q>P(z — 1) < 1, то нельзя ли оценить ее значения во всех точках этого круга?
Задачи
1. Доказать следующие свойства символа Гильберта:
1)
(о, 1 - о ) = + 1, о ^ = 1 ;
2)
(а, Р) = (т, -сф), т = «£2 + Рл2 Ф 0;
3)
(а-r, Рт) = (а, Р) (Ъ —«Р).
2. Для квадратичной формы
жение

/ = а ^ + . . . + а.пх\ ( а ; е Q*)

ер (/) = (-1,-1)

П

выра-

а

К' ;)

i

носит название символа Хассе. Доказать, что
Сз

,((М 2 4-/) =Ср(/)(О, - 6 ) ,

ср {ах* + Рг/2 + /) = ср (/) (ар, - 6 ) (а, р)

(6 — определитель формы /).
3. Пусть неособенная квадратичная форма / = а ^ + . . . + а п х* с
р-адическими коэффициентами представляет число f # 0 из Qp. Доказать,
что есть такое представление у = а^ + . . . + an££ (£4 s Qp)) что все «отрезки» 7fe = a-$i + • • • + akih (1 ^S k ^ n) будут отличны от нуля (исполь
зовать теоремы 5 и 8 § 1 Дополнения).
4. При тех же обозначениях показать, что форма / эквивалентна диагональной форме вида В=уу\ + ?>2У\ + . . . + $пУ%, для которой ср (g) =
— cp(f)- (Доказать предварительно, что форма ахг-\-$уг преобразованием
х = цХ — vfjy, у = хХ + цаУ (ац2 + Pv2 = ч ф 0) приводятся к виду уХ2 +
+ «РтУ2, причем (а, ?>) = (ъ сфч).)
5. Индукцией по числу переменных показать, что эквивалентные неособенные диагональные квадратичные формы над полем Q p имеют одно и то
же значение символа Хассе (использовать теорему 4 § 1 Дополнения). Символ Хассе теперь можно определить для произвольных неособенных квадратичных форм: если форма / эквивалентна диагональной форме /0, то полагаем; 4.
11. Выяснить, при каких условиях неособенная квадратичная форма над
полем Q p пе представляет нуля (нетривиальным сбразом), но вое же представляет все р-адические числа.
12. В каких полях р-адических чисел форма 2хг — 15г/2 + 14z2 не представляет нуля?
13. Какие 5-адические числа представляет форма 2х2 + 5у2?
14. Пусть / и /' — неособенпые квадратичные формы от п переменных
над полем Qj,; б и б'—их определители. Доказать, 2 что / и /' эквивалентны
тогда и только тогда, когда cp(f) = cp(f) и б = б'а (а е Q p ).
15. Доказать, что в кольце целых 2-адических чисел многочлен
h (х, у, z) = х 4 + у1 + г 4 — xyz (x + y + z)—

(х2уг

+ j / V + z2z2)

обладает свойством: если хоть одно из значений х, у, z не делится на 2, то
А(х, у, z) = I (mod 4).
16. Пусть h(x, у, z) —многочлен предыдущей задачи. Положим
1, ..., ха) = h(Xi, £2, 2з) + h(xt, £5, х6) + h(x7, ха, х9),
1, ..., Хц) = g(xi, ..., £9) + ig(xiOy ...,

xis).

Доказать, что в поле 2-адических чисел форма Ф допускает только тривиальное представление нуля.
17. Для р Ф 2 положим

f=l

«=2

где ф« — моногенный симметрический многочлен от переменных i i , ..., Xj>-i,
определяемый одночленом

8 7]

РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

75

Для формы А доказать, что
h{xh

..., xp-t)

= 1 (modp 2 ),

если только xi Ф О (modp) хоть при одном I (1 , . . . , Z2J.-2) + .

2

где то = (/) — 1) {p — 1). Доказать, что в кольце целых р-адических чисел
форма

Ф(хи ..., хт.) =
= g{Xi, ..., Xm) + />2ff(*m+i, . . . , Х2т) + . . . + />2'~Zir(^m»-m+l, . . ., Хт.)
степени p{p — i) от—-р(р + 1)(р — I ) 3 переменных I s _ -~-p(p—l) ) допуекает только тривиальное представление нуля.
19. Пусть f(xi, ..., хп) —форма степени г с целыми р-адическими коэффициентами (р ¥=2), обладающая свойством
f(xu...,xn)

= 1 (mod/>-+'),

если только значение хоть одного xi не делится на р (то ^ 0). Доказать, что
тогда г делится па (р — 1)рт.
У к а з а н и е . Рассмотреть зпачение /(с, 0, . . . , 0), где с — первообразный
корень по модулю
pm+i.
20. Пусть р Ф 2. Доказать, что группа классов Витта над полем р-адяческих чисел Q p есть прямое произведение четырех групп 2-го порядка,
если р = 1 (mod 4), и прямое произведение двух циклических групп 4-го
порядка, если р = 3 (mod 4).
21. Доказать, что над полем 2-адических чисел группа классов Витта
есть прямое произведение трех групп: одной циклической группы 8-го порядка и двух групп 2-го порядка.
22. Пусть F (xi, ..., хп) — форма степени d от п переменных с коэффициентами из кольца многочленов F p [t] ( F p — п о л е вычетов по простому
2
модулкгр). Доказать, что если п > d , то уравнение F(xi, ..., хп) = 0 имеет ненулевое решение в IF [(].
s

У к а з а н и е . Представить xt в виде 2 £ij'3» £ y e ^р» разложить
3=1

F(xi, ..., хп) по степеням ( и заметить, что при достаточно большом s применима теорема 4 § 1.
23. Доказать, что поле рациональных функций F p U ) и поле формальных степенных рядов F p {t} обладают свойством С2.
24. Получить оценку типа (18) в случае р = 2.

§ 7. Рациональные квадратичные формы

1. Теорема Минковского — Хассе. В этой параграфе мы жзложим доказательство одного из красивейших результатов теории
чисел — так называемой теоремы Минковского — Хассе, о которой мы уже упоминали в начале главы.
- Т е о р е м а 1 (Минковского — Хассе). Квадратичная форма
с рациональными коэффициентами тогда и только тогда предста

76

СРАВНЕНИЯ

(ГЛ. I

ляет нуль в поле рациональных чисел, когда она представляет
нуль в поле вещественных чисел и во всех полях р-адических чисел (для всех простых р).
Доказательство этой теоремы существенно зависит от числа переменных п квадратичной формы. При п = 1 утверждение теоремы
тривиально. В случае п = 2 ее доказательство проводится совсем
просто. Если рациональная бинарная квадратичная форма / определителя d Ф 0 представляет нуль в поле вещественных чисел,
то — d > 0 (см. Дополнение, § 1, теорема 10); следовательно,
— d = pi . .. ps , где pi — попарно различные простые числа. Если теперь / представляет нуль в поле QPi, то, поскольку — d
является квадратом в Q P i , показатель kt должен быть четным
И = 1, ..., s). Но в таком случае — d будет квадратом и в поле рациональных чисел Q и, следовательно, / представляет нуль в Q.
Доказательство теоремы прп п ^ 3 намного сложнее. Различные представляющиеся здесь случаи будут разобраны в следующих пунктах. Сейчас же мы сделаем несколько замечаний.
Будем считать, что коэффициенты рассматриваемой квадратичной формы f(xi, ..., хп) — целые рациональные числа (если это
не так, то мы умножим форму на общий знаменатель ее коэффициентов). Ясно, что разрешимость уравнения
f(xu ..., хп) = 0
(1)

в поле рациональных чисел Q или в поле /ьадических чисел Q p
эквивалентна, в силу однородности, его разрешимости в кольце
целых рациональных чисел Z или соответственно в кольце целых
/ьадических чисел Zp. Что касается разрешимости (1) в вещественных числах, то она эквивалентна тому, что / — неопределенная форма. Ввиду этого и ввиду теоремы 2 § 5 теореме Минковского — Хассе можно придать следующую форму:
Для разрешимости неопределенного уравнения (1) в целых рациональных числах необходимо и достаточно, чтобы форма f была
неопределенной и чтобы при любом модуле вида рт сравнение

имело решение, в котором значение хоть одной неизвестной не делится на р. Согласно теореме 5 § 6 в поле /ьадических чисел всякая форма от пяти и более переменных всегда представляет нуль.
Следовательно, для таких форм теорема Минковского — Хассе
принимает вид:
Для того чтобы неособенная рациональная квадратичная
форма от п > 5 переменных представляла нуль в поле рациональных чисел, необходимо и достаточно, чтобы она была неопреде
ленной.
Таким образом, условия разрешимости в полях /ьадических
чисел фактически надо проверять лишь для п — Ъи 4. Для этих

S 7]

РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

77

значений п теорема Минковского — Хассе также дает нам эффективный критерий разрешимости уравнения (1). Действительно, если форма / приведена к сумме квадратов / = 2 aix\
то для
нечетных простых р, не делящих ни одного из коэффициентов а{,
форма / при п ^з= 3 всегда представляет нуль в Qp на основании
следствия 2 к теореме 3 § 6. Следовательно, фактической проверке
подлежит только конечное число простых чисел р. Для каждого
из этих р вопрос о представленип нуля формой / в поле Q p решается теоремами предшествующего параграфа.
В силу теоремы 6 § 1 Дополнения пз теоремы ^ вытекает следующее утверждение.
С л е д с т в и е . Для того чтобы неособенная квадратичная
форма с рациональными коэффициентами представляла рациональное число а, необходимо и достаточно, чтобы она представлял
а в поле вещественных чисел и во всех полях р-адических чисел Qp •
2. Формы от трех переменных. Приступим к доказательству
теоремы Минковского — Хассе. В этом пункте мы разберем случай п = 3. Для форм от трех переменных теорема 1 была доказана
(в несколько других терминах) еще Лежандром. Формулировка
Лежандра приведена в задаче 1.
Пусть форма приведена к сумме квадратов atx2 + агу2 + asz2.
Неопределенность формы означает, что коэффициенты аи а2, а,
не все одного знака. Умножпв форму в случае надобности на — 1,
мы придем к случаю, когда два коэффициента положительны и
один отрицательный. Кроме того, мы можем, очевидно, считать
числа аи аг, а3 целыми, свободными от квадратов и взаимно простыми в совокупности (их можно сократить на общий наибольший
делитель). Далее, если, например, at и а2 имеют простой общий
множитель р, то, умножая форму на р и беря рх и ру за новые
переменные, мы получим форму с коэффициентами ajp, ajp, pa3.
Повторяя этот процесс несколько раз, мы заменим нашу форму
формой вида
2
2
2
ах + by - сг ,
(2)
в которой целые положительные коэффициенты а, Ъ и с попарно
взаимно просты (и свободны от квадратов).
Пусть р — какой-нибудь нечетный простой делитель числа с.
Так как по условию форма (2) представляет нуль в Qp, то в силу
г
1
теоремы 3 § 6 и следствия 1 этой теоремы сравнение ах + by" s
^Odnod/)) имеет нетривиальное решение, скажем (хо, уо). Но
2
г
тогда для формы ах + Ъу по модулю р имеем разложение на линейные множители:
2

г

ах + Ъу == ау^ (ху0 + ух0) (ху0 — ух0)

(mod p).

Это же, разумеется, верно и для формы (2), т. е. имеет место
сравнение
(
,
г
)
(mod/)),
(3)

78

СРАВНЕНИЯ

[ГЛ. I

в котором Lip) и Mip) — целочисленные линейные формы. Аналогичные сравнения имеют место и для нечетных простых делителей
р коэффициентов а и Ь, а также и для р = 2, так как
ах2 + by2— cz2 = (ах + by — cz)1 (mod 2).

Найдем теперь такие линейные формы Ых, у, z) и Mix, у, z),
чтобы
Ых, у, z) = Ы*Чх, у, z) (mod/)),
Mix, у, z) = Mwix, у, z) (mod/))
для всех простых делителей р коэффициентов а, Ъ и с. Сравнения
(3)'показывают, что тогда
ах2 + Ьу2 — сгг = Lix,y,z)Mix,y,z)
imodabc).
(4)
Будем придавать переменным х, у, z целые значения, удовлетворяющие условиям
b

~

(5)

Если мы исключим из рассмотрения случай а = Ъ = с = 1 (для
формы хг + у2 — z2 утверждение теоремы очевндно: она представляет нуль в любом поле), то, в силу попарной взаимной простоты а, Ъ и с, числа У be, У ас и У а Ъ не будут все целыми. Отсюд
легко следует, что число троек [x,y,z), удовлетворяющих условиям (5), будет строго больше, чем УаЪ • У be • Уас = abc. Рассмотр
значения, принимаемые линейной формой Ых, у, z) при этих значениях переменных. Так как число троек (x,y,z) с условием (5)
больше числа вычетов по модулю abc, то для двух различных троек (xi,yi,Zi) и (x2,yz,z2) будем иметь сравнение
yi, Zi) = Ыхо, Уг, z2) (mod abc).

В силу линейности формы L отсюда следует, что
Ь(хо, г/о, z0) = 0 ,(mod abc)

при Хо = Xi — хг, г/0 = yt — уг, z0 = z, — z2. Из сравнения (4) получим тогда, что

axl + byl — czl = 0 (mod abc).
Так как для троек (xi,yi,Zi)
то

а значит,

Ы < iTc,

и (х2,уг,гг)

\yo\ < пс,

(6)

выполнены условия (5),

\zo\ < Уа~Ъ,

— abc < axl + byl — cz\ < 2abc.

(7)

Неравенство (7) совместимо со сравнением (6), только если или
ах\ + byl — cz\ = 0,

(8)

8 7]
ИЛИ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫ! ФОРМЫ

79

'

ах\ + Ъуг0 — cz\ = аЪс.

(9)

В первом случае мы получаем нетривиальное представление нуля
формой (2), что и требовалось установить. Во втором случае мы
приходим к тому же результату в силу следующей леммы.
Л е м м а 1. Если форма (2) представляет аЪс, то она представляет также и нуль.
Пусть х0, у0, z0 удовлетворяют равенству (9). Легко видеть, что
тогда

-

a (x o z o + byof

2

+ Ъ (yozo - axof

-c(z 0

-•

,„•»*.•*

+ ah) = 0.

(10)

2

Если z% + ab Ф 0, то это равенство доказывает лемму. Если же
— ab = z\, то форма ахг + Ьу2 представляет нуль (см. Дополнение^ § 1, теорема 10). Но тогда форма (2) также представляет
нуль, так что и в этом случае лемма справедлива.
Приведенное доказательство леммы 1 очень короткое, но оно
основывается на выкладке, связанной с тождеством (10). Дадим
другое доказательство, использующее более общие соображения.
Если be является квадратом, то форма by2 — cz2, а вместе с ней
и форма (2) представляют нуль. Будем считать, что be не является квадратом. В этом случае, оказывается, представимость нуля
формой (2) эквивалентна тому, что ас есть норма некоторого элемента поля Q( у be). Действительно, из равенства (8) (в котором
можно считать ;rQ Ф 0) следует, что

Обратно, если ас = N(u + vYbc), то
Предположим теперь, что имеет место равенство (9). Умножив
его на с, мы придадим ему вид
2

ас (xl — be) = (cz0) — bcyl
или
где а = хо + УЬс, $ = czo +у0УЬс. Но тогда
ac = N(y), Y = - | e
а это, как мы видели, и значит, что форма (2) представляет нуль
в Q.
Обратим внимание на следующее обстоятельство. В проведенном нами доказательстве теоремы 1 для случая трех переменных

80

СРАВНЕНИЯ

[ГЛ. I

мы нигде не использовали разрешимости уравнения (2) в поле
2-адических чисел. Следовательно, из разрешимости уравнения (2)
в поле вещественных чисел и в полях Q p для всех нечетных р
следует его разрешимость и в поле Q 2 . Аналогичное обстоятельство имеет место, оказывается, и по отношению к любому другому
полю Q9. Именно, если рациональная квадратичная форма от трех
переменных представляет нуль в поле вещественных чисел и во
всех полях Qp, за исключением, быть может, поля Qg, то она
представляет нуль и в поле Q g (а значит, по доказанному, и в
поле рациональных чисел Q)Попробуем выяснить причину этого обстоятельства. Рассмотрим для этого условия представления нуля формой
ax2 + bi/-z2
(И)
во всех полях Qp и в поле вещественных чисел (здесь а и Ъ — произвольные отличные от нуля рациональные числа, ясно, что всякая неособенная рациональная квадратичная форма от трех переменных преобразованием переменных и домноженпем на некоторый рациональный множитель может быть приведена к виду (11)).
Согласно п. 3 § 6 условие представимости нуля формой (11) в поле
/ьадических чисел может быть записано в виде равенства
1,

(12)

где ( ^ ) — символ Гильберта в поле Qp. Мы применили здесь
\ р )

для символа Гильберта (а, Ь) при рациональных а п Ъ обозначение
а,Ь\

— ) для указания того поля, в котором мы его рассматриваем.
Необходимость этого изменения в обозначениях вызвана тем, что
сейчас нам надо будет рассматривать символы Гильберта одновременно в различных полях Q p .
Что касается поля вещественных чисел, то в нем форма (11)
представляет нуль, очевидно, тогда и только тогда, когда хоть
одно из чисел а или Ъ положительно. Чтобы это условие также записать в виде некоторого равенства типа (12), перенесем результаты п. 3 § 6 па поле вешественпых чисел. Условимся предварительно о следующем обозначении. Все поля р-адических чисел
Qp и поле веществепных чисел — это все пополнения поля рациональных чисел Q (§ 4, п. 2). При этом поля Q p взаимно однозначно соответствуют простым рациональным числам р. Желая
этим соответствием охватить и поле вещественных чисел, часто
вводят символ °°, который называют бесконечно удаленным простым числом, и говорят, что поле вещественных чисел — это пополнение поля Q, соответствующее бесконечно удаленному простому
числу 0 , т. e . a s Q l 2 , то форма (13) представляет все вещественные числа, а значит, На = Q». Если же a < О,
т. е. а не является квадратом, то форма (13) представляет лишь
положительные числа, а поэтому, как и в теореме 6 § 6, мы имеем
(14)

(Ql:Ha) = 2.

Отсюда следует, что если для а и р из Qoo мы положим (а, р)
равным + 1 или —1 в зависимости от того, представляет ли форма
(13) число Р или нет, то для символа (а, р) будут иметь место все
свойства (9) — (13) § 6. Аналогом теоремы 7 § 6, на основе которой
производится вычисление символа Гильберта в /г-адических полях ?
является здесь более простое соотношение:
(а, Р) = + 1, если а > 0 или р > 0;1
(а, р) = - 1 , если а < 0

и

р 0, удовлетворяющее сравнениям (19) и обладающее только что отмеченным
свойством, всегда может быть найдено. Чтобы убедиться в этом,
мы должны применить теорему Дирихле о простых числах в
арифметической прогрессии, которая будет доказана нами в гл. V,
§ 3, п. 3. Теорема Дирихле утверждает, что если разность бесконечной арифметической прогрессии и первый член взаимно просты, то эта прогрессия содержит бесконечно много простых чисел.
Пусть а* > 0 — какое-нибудь одно из значений а, удовлетворяющих сравнениям (19). Обозначим через d общий наибольший деj,

•„,

а*

т

литель а* и т. 1 ак как —г и — взаимно просты, то по теореме
,

л

а*

7

тп

^

Дирихле существует такое целое к > 0, что — + к — = q будет

§ 7]

РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

85

простым. В качестве а мы возьмем теперь число
я = я* + km = dq.
Поскольку в d входят лишь некоторые из простых чисел 2, ри . . .
..., ре, то выбранное значение а, как уже показано, дает возможность закончить доказательство теоремы 1 для форм от четырех
переменных.
4. Формы от пяти и более переменных. Пусть неопределенная
рациональная квадратичная форма от пяти переменных приведена
к сумме квадратов
ахх1 + а2х\ + а3х\ + а±х\ + аъх\,
(21)
где все а( целые п свободны от квадратов. Мы можем считать, что
cii > 0 и аь < 0. Положим
g = ахх1 + агх\,

h = — а3х\ — а±х\ — аъх\.

Рассуждая дословно так же, как и в случае п = 4, мы найдем с
помощью теоремы Дирихле целое рациональное а > 0, которое
представляется формами g и h в поле вещественных чисел и во
всех полях Q p , за исключением, быть может, поля Qq, где q —
нечетное простое число, не входящее в коэффициенты а,-. Но тогда g и h представляют а й в поле Qq- Для формы g это устанавливается так же, как и выше, с помощью леммы 2. Что касается
формы h, то она представляет нуль в Q? (следствие 2 теоремы 3
§ 6), а потому представляет все д-адические ч и с л а ( с м . Дополнение, § 1, теорема 5). По следствию теоремы Минковского — Хассе
(см. конец п. 1), которое для форм от двух и трех переменных уже
доказано, получаем, что формы g и h представляют а й в поле
рациональных чисел. Отсюда, как и выше, легко следует, что
форма (21) допускает рациональное представление нуля.
Для доказательства теоремы 1 в случае п > 5 достаточно заметить, что всякая неопределенная рациональная квадратичная
форма /, приведенная к сумме квадратов, может быть представлена в виде / = /о + /i, где /0 — неопределенная форма от пяти
переменных. По доказанному форма /0, а вместе с ней и форма /
представляют нуль в поле рациональных чисел. Теорема Минковского — Хассе доказана полностью.
З а м е ч а н и е . Теорема Минковского — Хассе допускает обобщение на случай квадратичных форм с коэффициентами из произвольного поля алгебраических чисел к. В п. 1 § 4 гл. IV нами
будут перечислены все метрики .

Приведенный пример может показаться несколько неубедительным, так как форма (22) приводима и может создаться впечатление, что именно в этом и кроется причина всего явления. Свободным от этого недостатка является пример уравнения
9 т 2 -4- 7/4
LiJj
I у —

\ 7?4
• П
1 / и •— \J,

О1^)
\^dO/

Легко проверяется (задача 14 § 5), что это уравнение имеет
ненулевое решение во всех полях /ьадических чисел Q p (ненулевое решение имеется, очевидно, и в поле вещественных чисел).
В это же время уравнение (23) в поле рациональных чисел Q
имеет только нулевое решение х = 0, у = 0, z = 0. Покажем это.
Допуская, что уравнение (23) имеет ненулевое решение, мы можем считать х, у, 2 целыми и попарно взаимно простыми. Для
любого простого нечетного делителя р числа х имеем (—! = 1.
Но тогда согласно квадратичному закону взаимности имеем также
(ту 1 = 1. Так как ( p f ) = l . т о . следовательно, f jy- J = 1, а значит, х = и2 (mod 17) при некотором целом и. Это дает нам срав4
k
нение 2u + y = 0 (mod 17). Число и не может делится на 17
4
(иначе х и. у одновременно делились бы на 17), поэтому — 2 = у
(mod 17) при некотором i / e Z - Однако последнее сравнение, как
легко проверить, неразрешимо, и мы получили противоречие.
Аналогичный пример однородного уравнения, а именно Зх3 +1
3
3
3
+ 4г/ + 5z = 0, указал Зельмер [123]. Тот факт, что форма Зх +
3
3
+ 4г/ + 5г представляет нуль во всех полях /ьадических чисел
Qp, доказывается просто (задача 8 § 5). Что же касается утверждения о непредставимости нуля в поле рациональных чисел Q, то
оно более тонко (см. задачу 23 § 7 гл. III).
Аналог теоремы Минковского — Хассе для форм высших степеней неверен также и для случая, когда число-переменных достаточно велико. Например, форма
при п 52 5 представляет нуль и в полях /?-адических чисел, и в
поле вещественных чисел, но не представляет нуля в поле

§ 7]

РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

89

рациональных чисел ни при каком п. То же относится и к форме

3U? + ... + £ ? + * № + •••+ ylf-Hzl

+...+

3

4) ,

которая, в отлпчие от предыдущей, абсолютно неприводима.
В приведенных примерах обе формы имеют четную степень.
Для форм нечетной степени положение иное. Именно, Берч показал, что для нечетного г существует такое натуральное Mr), что
всякая рациональная форма степени г, число переменных которой
больше N(r), представляет нуль в поле рациональных чисел (см.
[61]; как и в случае теоремы Брауэра, оценка сверху для N(r),
получающаяся из доказательства Берча, заведомо чрезмерно завышена). Ввиду неравенства (14) § 6 для N(r) имеем следующую
оценку снизу: N(r) ~3* г2.
К настоящему времени нет никаких данных, которые подвергали бы сомнению равенство N(r) = r2 (все имеющиеся примеры
неравенства NP(r) > г2 в полях р-адических чисел относятся к
случаю форм четной степени). В применении к случаю г = 3 (случай г = 1 тривиален) это предположение означает, что всякая
кубическая форма от 10 и более переменных представляет нуль
в поле рациональных чисел (гипотеза Артина). Идеальный результат в этом направлении получен в работе [79]. В ней доказано,
что всякая неособеппая рациональная кубическая форма от десяти
переменных рационально представляет пуль (неособенность формы F(xu ..., хп) означает, что для всех значений переменных
хи ..., хп, не равных одновременно нулю, хотя бы одна частная
dF

производная ^ отлична от нуля). Остается, однако, неясным,
можно ли этот результат распространить па кубические формы,
имеющие особенности. Неизвестно также, верно ли аналогичное
утверждение для кубических форм над полями алгебраических
чисел. Для произвольных кубических форм (с особенностями)
наилучший результат принадлежит Давенпорту [70], который доказал, что N(3) ^ 15. Кубические формы от 16 переменных представляют нуль и в любом поле алгебраических чисел [115]. О формах более высокой нечетной степени почти ничего не известно.
Задачи
1. Доказать следующую теорему Лежандра: если а, Ъ п с — попарно
взаимно простые целые рациональные числа, свободные от квадратов и не
все одного знака, то неопределенное уравнение
г
г
2
ах + Ъу + cz = 0
разрешимо в рациональных числах ф 0 тогда и только тогда, когда разрешимы все три сравнения:
хг = —be (modа),
хг Е = — с а (mod 6),
хг = — ab (mode).
2. Представляют ли нуль в поле рациональных чисел формы Зх2 + Ьуг —
— 7z2 и Ъхг — Ъуг — 7z2?

90

СРАВНЕНИЯ

[ГЛ. Г

3. Какие простые рациональные числа представляются формами хг + у1,
хг + Ъу\ *г - 5уЧ
4. Дать описание всех рациональных чисел, представимых формой
2а;2 — 5i/2.
5. Какие рациональные числа представляются формой 2хг — 6г/2 + 15z*?
6. Пусть / — неособенная квадратичная форма над полем рациональных
чисел, число переменных которой не равно 4. Доказать, что / представляет
все рациональные числа тогда и только тогда, когда гона представляет
нуль.
7. При каких целых рациональных а форма х + 2jr — | 61, представляет нуль во всех полях р-адических чисел. Доказазь, что тогда найдутся такие целые рациональные oi и с, что
аах = с 2 — 6,

|о,| <

|а|.

2

(Равенство аа^ + 6 — с = 0 показывает, что форма аа^хг + by2 — z2 представляет нуль рационально.)
11. Рассматривая формы вида ахг + Ьуг — z2 с целыми и свободными от
квадратов а п Ь, доказать теорему Минковского — Хассе для случая трех
переменных индукцией по т = max (| а \, 161) (использовать задачу 10 и
задачу 3 § 1 Дополнения).
12. Для каждого р (включая р = оо) через Wp обозначим группу классов Вптта квадратичных форм над полем С р . Доказать, что группа классов
Витта квадратичных форм над полем рациональных чисел Q изоморфна
некоторой подгруппе декартова произведения J J Wp.
р

Г л а в а II
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ

В предшествующей главе мы занимались вопросами о существовании и нахождении рациональных решений неопределенных
уравнений. Эта глава посвящена тем же вопросам, но относительно целочисленных решений. Поясним ее содержание простым
примером.
Задача заключается в нахождении всех целочисленных решений неопределенного уравнения
г 2 -2г/ 2 = 7.
(1)

Ограничимся решениями х > О, у > 0 (остальные получаются изменением знаков). Уравнение имеет решения (3, 1) и (5, 3). Из
этих двух решений можно получить бесконечно много других на
основании следующего замечания: если (х, у) — решение уравнения (1), то, как показывает подстановка, (Зх + iy, 2х + 3у)
также является решением. Отправляясь от решения (ж0, у0) =
= (3, 1), мы получим, таким образом, бесконечную серию решений {хп, уп), определенных рекуррентными формулами
xn+i = Зхп + 4у„,
Угц-1 = 2хп + 3уп.
(2)
Отправляясь от решения {х0, у0) = (5,3), мы получпм по тем же
формулам другую бесконечную серию решений (х'п, у'п)- Можно
доказать, что этими двумя сериями исчерпываются все решения
уравнения (1) с х > 0, у > 0.
Это совершенно элементарное решение уравнения (1) основывается на вычислениях и формулах. Мы можем связать его с некоторыми общими понятиями и тем подготовить почву для дальнейших обобщений.
г
г
Для этого заметим, что форма х — 2у в поле рациональных
чисел Q неприводима, однако в более широком поле Q( Y2) она
разлагается на линейные множители {х + уУ2)(х — г/У2). Если
воспользоваться понятием нормы для расширения Q(yr2)/Q, (см.
Дополнение, § 2, п. 2), то уравнение (1) можно будет переписать
также в виде
7.
(3)
г

Вопрос свелся, таким образом, к определению в полеО(у 2) тех
чисел | = х + уУ2 с целыми рациональными х п у, норма которых равна 7. Если норма числа е = ц+уУ2 (и и у целые рацио-

Э2

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ

[ГЛ. II

нальные) равна 1, то, в силу мультипликативности нормы, вместе
с | все числа вида £е" также удовлетворяют уравнению (3). Так
как 7V(3 + 2Y2) = 1, - то мы можем в качестве е взять 3 + 2У2.
Переход от | к £е и дает, как легко проверить, переход от решения (х, у) к решению (Зх + Ау, 2х + 3у). Две бесконечные серии решений, записанные рекуррентными формулами (2), принимают теперь вид
х'„ + Уп / 2 = (5 + 3 / 2 ) ( 3 + 2 / 2 ) " ,

" ^

'

Возможность получать из одного решения уравнения (1) бесконечно много других решений основывается, в конечном счете,
на существовании чисел е = и + уУ2 с целыми и и v, для которых 7V(e) = l. В свою очередь числа такого типа связаны, как
мы сейчас покажем, с основными понятиями арифметики алгебраических чисел. Для этого рассмотрим совокупность всех чисел
вида х + г/У2, где х и у — любые целые числа. Эта совокупность
чисел образует, как легко видеть, кольцо, которое мы обозначим
через О. При исследовании арифметики этого кольца большую
роль играют, естественно, его единицы, т. е. такие числа а е О ,
что и а" 1 е £>. Очень легко показать, что число а тогда и только
тогда является единицей кольца О, когда ^V(a) = ± l . Это показывает, каков более глубокий смысл чисел s e S , норма которых
равна 1: все они вместе с числами, норма которых равна — 1 ,
составляют все единицы кольца О.
В настоящей главе мы рассмотрим общую теорию, для которой уравнение (1) является одним из простейших примеров. Успех в решении уравнения (1) обусловлен в основном тем обстоя1
2
тельством, что форма х — 2г/ , неприводимая в поле рациональных чисел, раскладывается на линейные множители в поле
Q( V 2), в связп с чем это уравнение допускает запись в виде (3).
В нашей общей теории также будут рассматриваться формы, которые в надлежащем расширении поля рациональных чисел раскладываются в произведение линейных форм.
Хотя нашей основной целью является исследование неопределенных уравнений, в которых коэффициенты и значения неизвестных — целые числа, нам удобнее будет рассматривать более
общий случай форм с рациональными коэффициентами. Значения
же переменных всегда будут предполагаться целыми.
§ 1. Разложимые формы
1. Целочисленная эквивалентность форм.
О п р е д е л е н и е . Две формы F(xu ..., хт) и G(yu ..., г/,)
одной и той же степени п с рациональными коэффициентами
называются целочисленно эквивалентными, если каждая из них

I 1]

РАЗЛОЖИМЫЕ ФОРМЫ

ЭЗ

может быть преобразована в другую линейным преобразованием
переменных с целыми рациональными коэффициентами.
Например, формы
хг + ly + z2 - бху - 2xz + 6yz

и

2ы2-ь>2

эквивалентны, так как при линейных преобразованиях

г/ =

u + v,

z = —u + v,

и — —х + 2у + z,
v=

х—у—z

они переходят друг в друга. Для случая форм, зависящих от одного и того же числа переменных, условие эквивалентности, очевидно, сводится к тому, что одна из форм может быть преобразована в другую при помощи линейного преобразования переменных с унимодулярной матрицей (т. е. с целочисленной квадратной матрицей, определитель которой равен ±1).
ЕСЛИ формы F и G эквивалентны, то, зная все целочисленные
решения уравнения F = а, мы можем легко получить также все
целочисленные решения уравнения G = а, и обратно. Таким образом, при рассмотрении вопроса о целочисленных решениях
уравнения вида F = a вместо формы F можно взять любую эквивалентную ей форму.
Л е м м а 1. Всякая форма степени п эквивалентна форме,
у которой п-я степень одной из переменных входит с отличным,
от нуля коэффициентом.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть F(xu ..., xm) — форма степени п.
Покажем, что существуют такие целые рациональные числа
а2, ..., а т , что F(l, а2, ..., а т ) Ф 0.
Докажем это утверждение индукцией по тп. При m = 1 форма F имеет вид Ах", где А Ф0, поэтому Р{[)Ф0. Предположим,
что для форм от тп— 1 переменных (т^2)
наше утверждение
уже доказано. Представим заданную форму F в виде

где Gh (0 =£ к *£ п) либо равно нулю, либо является формой к-й
степени от переменных xt, • •., xm-t (мы считаем, что формы нулевой степени — это отличные от нуля константы). Все Gh не
могут быть равны нулю, так как F, являясь формой n-й степени,
имеет хоть один отличный от нуля коэффициент. По индуктивному предположению хотя бы при одном к существуют такие
целые числа а2, ..., ат_,, что Gk(i, а2, ..., am_1)=7fc0. Так как
многочлен F(l, a2, ..., am-i, xm) от одной переменной хт не равен тождественно нулю, то, взяв в качестве ат любое целое число, отличное от его корней, будем иметь F(l, a2, ..., ат)¥=0.

g4

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ

ФОРМАМИ

{ГЛ. Ц

Сделаем теперь следующее линейное преобразование переменных:
Xi = Уп
хг = aziji + уг,
Хт = OmJ/i + У т.

При этом преобразовании форма F перейдет в форму

Так как матрица нашего преобразования целочисленна и ее определитель равен 1, то формы F и G эквивалентны, причем коэффициент при у", равный Gil, О, ..., O ) = F ( 1 , аг, ..., ат),
отличен от пуля. Лемма 1 доказана.
2. Построение разложимых форм.
О п р е д е л е н и е . Форма Fixif ..., хт) с коэффициентами из
поля рациональных чисел Q называется разложимой, если она
в некотором расширении Q/Q раскладывается на линейные множители.
Примером разложимой формы является форма
Fix, у) = аохп + а,хп''у + ... + апуп
от двух переменных (о0 ^= 0). Действительно, если Q — поле разложения многочлена Fix, 1) и аи ..., ап — его корни, то в Q
имеем разложение
Fix, у) = aoix — а 4 у ) . . . (ж — апу).

Среди неособенных квадратичных форм, рассматривавшихся в
первой главе, разложимыми являются лишь формы от одной н
двух переменных (задача 1).
Очевидно, что вместе с формой F все эквивалентные ей формы также разложимы.
В определении разложимой формы ничего не говорится о том,
каким может быть поле Q, в котором форма разлагается на линейные множители. Мы покажем сейчас, что в качестве Q всегда
можно взять некоторое конечное расширение поля рациональных
чисел Q. В связи с этим основпым алгебраическим аппаратом,
которым мы будем в дальнейшем пользоваться, является теория
конечных расширений полей. Необходимые нам свойства конечных расширений изложены в § 2 Дополнения.
О п р е д е л е н и е . Конечные расширения поля рациональных
чисел называются полями алгебраических чисел, а их элеменггы — алгебраическими числами.
Т е о р е м а 1. Всякая рациональная разложимая форма раскладывается на линейные- множители уже в некотором поле алгебраических чисел.

I 1]

РАЗЛОЖИМЫЕ ФОРМЫ

95

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу леммы 1 мы можем ограничжться рассмотрением разложимой формы
F — (cciiXj + . . . + cc l m x m )... (cciXi + . . . + аптх„),
щ, е Q,
у которой коэффициент при я " отличен от нуля. Так как в этом
случае коэффициенты а,ч (l^Si^Sn) отличны от нуля, то нашу
форму можно представить в виде
F = А (х, + $i2x2 + ... + $imxm) ..Лх, + $п2х2 + ... + $птхт), (1)
где Л = а 1 1 . . . а „ 1 иРу = а^а^.Число А, являясь коэффициентом приз:", рационально. Для фиксированного / (2^]'^т)
положим в последнем разложении я , = 1, а всем остальным переменным, кроме Xi, придадим нулевое значение. Мы получим
Fix,, 0, ..., 1, ..., 0) = А (х, + р 1 ; ) . . . (х, + рвд).
Так как слева у нас стоит многочлен (степени п) с рациональными коэффициентами, то отсюда следует, что $tj — алгебраические числа. Обозначим через L подполе поля Q, получающееся
из Q присоединением всех [},> Расширение L/Q, очевидно, конечно (см, Дополнение, § 2, п. 1), т, е. L есть поле алгебраических чисел.
Дальше мы ограничимся рассмотрением лишь неприводимых
в поле рациональных чисел разложимых форм, так как именно
для них вопрос о целочисленных представленияхрациональных
чисел наиболее интересен. Укажем способ построения неприводимых разложимых форм.
Рассмотрим произвольное поле алгебраических чисел К степени п и какой-нибудь примитивный элемент 0 поля К над Q,,
так что К = Q (0) (см. Дополнение, § 2, и, 3). Минимальный
многочлен -«(*>, о с е
1
е Q((x 2 ,. . . , (х т ), вполне определен заданием образов | х а , . . . , ( х т
-чисел (ха, ..., (хт. Отсюда следует, что наборы чисел

§ 1]

РАЗЛОЖИМЫЕ ФОРМЫ

97

|4 l ) , .. ., \i(m\(l - a

то

П

Р И линейном преобразо-

вании
i

xh = 2 cjft2/j,

I < /с < m,

форма F переходит в G. Поскольку системы образующих щ и
р; модуля М играют симметричную роль, то аналогично существует целочисленное линейное преобразование переменных, переводящее G в F. Этим доказано, что разным системам образующих модуля М соответствуют эквивалентные формы, т. е. с каждым модулем М в поле К однозначно связывается некоторый
класс эквивалентных разложимых форм.
Для всякого модуля M = {\iu ..., цт) и числа а^К
через
аМ будем обозначать совокупность всех произведений а^, где
S пробегает все элементы из М. Очевидно, что осЛ/ совпадает с
совокупностью всех целочисленных линейных комбинаций чисел
сфь ..., a\im, т. е. аМ = ia\iu ..., ацт).
О п р е д е л е н и е . Два модуля М и Mi в поле алгебраических
чисел К называются подобными, если М, = аМ при некотором
а Ф 0 из К.
Формы, связанные с подобными модулями М и аМ, различаются между собой лишь постоянным множителем, равным N(a).
Поэтому, рассматривая формы с точностью до постоянного множителя, мы всегда можем вместо модуля М взять любой подобный ему модуль, в силу чего можно считать, что одна из образующих модуля, скажем \аи равна 1.
Изложенное выше позволяет дать задаче о представлении
чисел неприводимыми разложимыми формами следующую формулировку. Если форма F представлена в виде
F{xu ..., Xm) = AN(x,\ii + . . . + xm]xj
(при надлежащем выборе поля К), то решенпе в целых числах
неопределенного уравнения Fix,,
, £ m ) = a равносильно нахождению в модуле М = {(Xi, ..., \im) всех чисел а, норма которых
N(a) равна рациональному числу а/А. Ввиду этого в дальнейшем
мы будем заниматься именно этой задачей нахождения в данном
модуле чисел с заданной нормой. Как мы уже видели, последняя задача равносильна также задаче о нахождении в подобном

§ 2]

ПОЛНЫЕ МОДУЛИ И ИХ КОЛЬЦА МНОЖИТЕЛЕЙ

99

модуле цМ чисел с нормой N{\i)afA. В силу этого вместо заданного модуля можно рассматривать, если это будет целесообразно,
любой подобный ему модуль.
Если степень поля алгебраических чисел К равна п, то во
всяком модуле М поля К содержится не более п линейно независимых чисел (над полем Q).
О п р е д е л е н и е . Если модуль М в поле алгебраических чисел К степени п содержит п линейно независимых чисел {над
полем рациональных чисел), то он называется полным, в противном случае — неполным. Связанные с модулем М формы также называются соответственно 'полными или неполными.
Например, если целое рациональное число d не является кубом, то числа 1, yd, Yd1 образуют базис поля Q(j/d) над Q,
поэтому форма
1

s

2 3

3

N(x + y Vl + г frd ) = X + dy + d z - 3dxyz
полная. Примером неполпой формы может служить форма

N(x + yVd)^^

s

+ dy .

Если {1, (х2, ..., [ О — полный модуль поля К, то, очевидно,
К = Q (ц2, . . . , цт). В сплу теоремы 2 отсюда легко следует, что
всякая полная форма всегда неприводпма.
Вопрос о представлении чпсел неполными неприводимыми
формами весьма сложен, и к настоящему времени сколько-нибудь удовлетворительной общей теории на этот счет нет. Частный случай мы рассмотрим в гл. IV.
Что касается задачи о представлении рациональных чисел
полными формамп, то она намного проще и решена до конца.
Ею мы и будем заниматься в настоящей главе. Эта задача, как
уже было отмечено, равносильна вопросу о нахождении в фиксированном полном модуле поля алгебраических чисел К всех
чпсел с заданной нормой.

Задачи
1. Показать, что рациональная квадратичная форма разложима тогда и
только тогда, когда ее ранг г£ 2.
2. Доказать, что форма, связанная с произвольным модулем; поля алгебраических чисел К, является степенью неприводимой формы,
3. Доказать, что в поле рациональных чисел Q всякий модуль имеет
вид ajj, где s e Q ( 2 — кольцо целых рациональных чпсел).
§ 2. Полные модули и их кольца множителей
1. Базис модуля.
О п р е д е л е н и е . Система образующих аи ..., ат модуля М
называется его базисом, если она линейно независима над

100

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ

[ГЛ, I I

кольцом целых чисел, т. е. если равенство
axax + . . . + amam = 0, а{ 0, к^тп.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Докажем теорему индукцией по рангу тп группы М, т. е. по числу элементов, входящих в ее базис.
Для случая тп = 0 утверждение теоремы тривиально. Пусть
тп ^ 1. Если N состоит только из нуля, то к = 0, и теорема справедлива. Если же а е N, а ¥= 0, то
а = CJCUJ + . . . + cmcom,
(5)
где хоть один пз коэффициентов с{ не равен нулю. Изменив в
случае надобности пумерацпю элементов базиса, мы можем считать, что с4 Ф 0. Если с4 < 0, то для —а коэффициент при coi будет положителен. Среди элементов подгруппы N выберем элемент
T|i = CuOi + С12СО2 + . . . + C lm CO m ,

у которого коэффициент Сц > 0 при cu4 паименышш. Тогда для
любого aм. Кольцо Ом- называется кольцом множителей полного модуля М. Так как 1 е О м , то О м есть кольцо с
единицей.
Чтобы удостовериться в том, что данное число a e К принадлежит кольцу Ом, нет необходимости проверять для всех \ е М,
будет ли произведение а\ принадлежать М. Достаточно проверить это лишь для чисел какого-нибудь базиса \i\, ..., ц„ модуля М. В самом деле, если ац 4 е М для всех i = 1, ..., п, то и

104

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ

[ГЛ. II

для любого | = С1Ц1 + . . . + с„ц„ е М будем иметь
e
а\ = Ci(a\ii) + . . . + с„(ац„) M.

Докажем, что кольцо множителей О м есть полный модуль
в К. Пусть 1 — произвольное отличное от нуля число из М. Так
как а*{ е М при любом а е £)м, то '•(DM С М. Множество чисел
If Ом является, очевидно, группой относительно действия сложения, поэтому, согласно следствию теоремы 2, fO M есть модуль.
i
Но тогда Ом ='i~ ('i0M) также является модулем. Остается доказать, что этот модуль полный. Возьмем произвольное отличное
от нуля число а из К и обозначим через с общий знаменатель
всех рациональных чисел а,,-, определенных разложениями
п

ЩЧ = 2 aa^h

i^i^n.

(6)

Так как произведения саГ1 целые, то сац,- s M, a значит, са е Ом.
Если теперь мы возьмем произвольный базис аи ..., а„ поля К,
то по только что доказанному при некоторых целых рациональных си ..., с„ произведения c4Mi, ..., с„а„ будут содержаться в
DM. МЫ ВИДИМ, таким образом, что в О м имеется п линейно независимых чисел, а это и означает, что О м — полный модуль.
О п р е д е л е п п е. Полный модуль в поле алгебраических чисел К, содержащий число 1 и являющийся кольцом, называется
порядком поля К.
Принимая это определение, мы можем полученный нами результат сформулировать следующим образом.
Т е о р е м а 3. Кольцо множителей для произвольного полного
модуля поля алгебраических чисел К является порядком этого
поля.
Справедливо и обратное утверждение: всякий порядок О поля
К является кольцом множителей для некоторого полного модуля,
например для самого себя (так как l ^ D , то включение аО cz О
равносплно условию a ^ D ) .
Для произвольного числа f Ф- 0 из К условие а\ е М равносильно условию a(if|) e ^М (здесь \^М).
Отсюда следует, что
подобные модули М и ^М имеют одно и то же кольцо множителей, т. е. Отм = Ом.
Пусть ц4, ..., ц„ — базис модуля М, а coi, . . . , со„ — базис его
кольца множителей О м . Для каждого i = 1, . . . , п имеем
п

Hi = 2 бивал
где Ьц — рациональные числа. Если Ъ — общий знаменатель всех
коэффициентов Ьц, то числа b\i{ будут выражаться через базис
порядка Ом уже с целыми коэффициентами, т. е. будут принад-

§ 2]

ПОЛНЫЕ МОДУЛИ И ИХ КОЛЬЦА МНОЖИТЕЛЕЙ

105

лежать Ом. Для Модуля ЪМ имеем, следовательно, включение
ЪВ - 4% (£ e M) будет, очевидно, Л-изоморфизмом М на М,. Обратно, пусть / — Л-изоморфпзм М на М,,
так что / ( Я | ) = Я / ( | ) , \^М, Х^А. Выберем произвольно a e f ,
а =7^0, и положим *{ = f(a)/a. Если целое рациональное Ь¥=0 таково, что ЪМ с Л, то для любого \^М имеем
7 5?

_ ЬЦ (а) _ / (Ъар _
„.
~ 6а ~
Ьа — Мь;,

а значит, М, = f(M) = *{М.
3. Единицы. Вернемся к нашей задаче о целочисленных представлениях рациональных чисел полными разложимыми формами. В § 1, п. 3 мы видели, что эта задача сводится к разысканию
в полном модуле М чисел ц, для которых
o.
(7)
Для любого со из кольца множителей D = DM произведение соц
принадлежит М, при этом по мультипликативности нормы

Шар) = Ма)а.
Если ЛЧсо) = 1, то вместе с ц произведение соц также будет решением уравнения (7). Таким образом, множители со, норма которых равна 1, дают возможность из одного решения интересующего нас уравнения (7) получить целый класс новых решений.
Это обстоятельство и лежит в основе того метода решения уравнения (7), который мы собираемся изложить.

106

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ

[ГЛ. I I

Докажем, что множитель a e S с условием Ж и ) = 1 следует
искать среди тех чисел е кольца D, для которых е" 1 также принадлежит D. В соответствии с определением п. 1 § 4 Дополнения
такие числа е называются единицами кольца D. Так как включения еМ с М и е~1М с М эквивалентны равенству еМ = М, то
единицы кольца D = £>м могут быть охарактеризованы .также как
такие числа а^К, для которых аМ = М.
Л е м м а 2. Если число а принадлежит порядку D, то его
характеристический и минимальный многочлены имеют целые
коэффициенты. В частности, норма Жос) = NK,A) на а. По лемме
2 характеристический многочлен cp(i) = tn + Citn~l + . . . + с„ чпсла а имеет целые коэффициенты. Так как ф(а) = 0 , то

Отношение Ж ос)/ос принадлежит, таким образом, кольцу D, а это
и значит, что Жос) делится на а.
Если теперь Жос) = ± 1 , то 1 делится на а, т. е. а есть единица кольца D. Обратно, если Е — единица кольца D, т. е. ее' = 1
при некотором е' е ® , то, поскольку Ж Е ) И Ж Е ' ) целые, из равенства Ж Е ) Ж Е ' ) = 1 должно следовать, что Ж Е ) = ± 1 . Теорема
4, таким образом, доказана.
Для нахождения множителей co^D, для которых Жсо) = 1,
мы должны, следовательно, определить все единицы кольца D,
а затем среди них выделить единицы с нормой + 1 .
Два числа (х4 и jx2 из полного модуля М назовем ассоцииро=
ванными, если их отношение u.i/u.2 e есть единица кольца множителей D = £>M. Ясно, что в случае М — £> введенное понятие
ассоциированности совпадает с обычной ассоциированностью эле-,
ментов в коммутативном кольце с единицей (см. Дополнение,
§ 4, п. 1). Легко видеть также, что это отношение ассоциированности в применении лишь к решениям уравнения (7) обладает
обычными свойствами эквивалентности, а потому все решения
уравнения (7) разбиваются на классы ассоциированных решений.
Если и,4 и |л2 — Два ассоциированных решения, т. е. |Xi = |Л2Е, где

§ 2]

ПОЛНЫЕ МОДУЛИ И ИХ КОЛЬЦА МНОЖИТЕЛЕЙ

107

е — единица кольца D, то Же) = 1. Обратно, для всякой единицы е из D с нормой + 1 вместе с решением ц произведение це
будет ассоциированным с ним решением. Таким образом, все решения некоторого класса ассоциированных решений получаются
из одного умножением на единицы с нормой 1. Сейчас мы покажем, что число таких классов решений конечно.
Т е о р е м а 5. Среди чисел порядка D с заданной нормой имеется только конечное число попарно не ассоциированных между
собой.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть coi, . . . , со„ — базпс порядка D и
с > 1 — произвольное натуральное число.
В соответствии с общим определением п. 1 § 4 Дополнения
будем говорить, что два числа a i P из D сравнимы между собой
по модулю с, если их разность а — [J делится (в кольце D) на с.
Очевидно, что всякое a ^ D сравнимо по модулю с с одним и
только с одним из чисел
. . . + хпап,

0 г£ z, < с,

1=£Л;£га.

Все числа из D разбиваются, следовательно, па с" классов чисел,
сравнимых между собой по модулю с. Пусть теперь два числа a
и J3, принадлежащие одному и тому же классу, таковы, что
IMa)l = IMJDI = с. Из равенства a — fl = cf, Y e ^> следует, что
-7г = 1 +

Q у g *-> (иоо —zp-esJ,

см. начало

доказательства

теоремы 4) и аналогично— = 1 ±
у е О.Таким образом, числа а и р делятся друг на друга, а значит, в кольце D они ассоциированы между собой. Этим и доказано, что в £5 может существовать лишь конечное число (не более с") попарно не ассоциированных чисел, нормы которых по абсолютной величине равны
заданному числу с.
С л е д с т в и е . Среди чисел полного модуля М поля К с заданной нормой имеется лишь конечное число попарно не ассоциированных между собой.
Действительно, если О — кольцо множителей модуля М, то
при некотором натуральном Ъ модуль ЪМ будет содержаться в D.
Если "f,, ..., 1к — попарно не ассоциированные числа из М с нормой с, то числа fr^i, ..., b^h из D имеют норму Ь"с и попарно не
ассоциированы в D. Число к не может быть, следовательно, сколь
угодно большим.
З а м е ч а н и е . Доказательство теоремы 5 показывает, что в
кольце D (а также в модуле М) существует конечное множество
чисел с данной нормой с, обладающих тем свойством, что всякое
число из D (или из М) с той же нормой ассоциировано с одним
из них. Однако это доказательство неэффективно, т. е. оно не
дает возможности на самом деле эти числа найти, хотя и указывает эффективную границу для их числа.

108

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ

|ГЛ. II

Наша основная задача о нахождении всех решений уравнения (7) разбивается, таким образом, на две следующие задачи:
1) В кольце множителей DM найти все единицы е с нормой
Ме) = 1.
2) В модуле М найти числа ци ..., \ih с нормой а так, чтобы
они были попарно не ассоциированы и в то же время чтобы всякое ц s M с нормой а было ассоциировано с одним из них, т. е.
имело вид Ц = Ц,Е, где l < j < & и е — единица кольца множителей Одг.
Если эти две задачи будут решены, то том самым будет решена и задача о целочисленных представлениях рациональпых
чисел полными разложимыми формами.
4. Максимальный порядок. Поскольку в п. 2 мы столкнулись
с понятием порядка, то естественно рассмотреть вопрос о взаимоотношениях между различными порядками в одном и том же
поле алгебраических чисел К. В этом пункте мы покажем, что
среди порядков поля К имеется один максимальный, содержащий в себе все прочие порядки. По лемме 2 минимальный многочлен всякого числа из какого-нибудь порядка имеет целые коэффициенты. Ниже мы увидим (теорема 6), что максимальный
порядок поля алгебраических чисел К совпадает с совокупностью
D всех тех чисел из К, минимальные многочлены которых имеют
целые коэффициенты. Докажем сначала следующую лемму.
Л е м м а 3. Если а е О, т. е. минимальный многочлен tm +
a l
+ CiV ~ + . . . + cm числа а имеет целые коэффициенты, то модул
М = {I, а, ..., а'""1} является кольцом.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно, очевидно, показать, что
h
всякая степень a {k ^ 0) числа а принадлежит М. При к ^ m — 1
зто верно по определению М. Далее, а™ = — ^а" 1 " 1 —...— ст
т
с целыми сг, так что а ^ М. Пусть к > т , и пусть уже доказа1
но, что а*" ^ М, т. е. а"" 1 = ^а" 1 " 1 + . . . + ат с целыми а,. Тогда
= аа"- 1 = а&™ + а 2 а т - ' + . . . + ата.
Так как все слагаемые справа принадлежат М, то и ак принадлежит М. Лемма 3 доказана.
Л е м м а 4. Если D — произвольный порядок поля К и а е О,
то кольцо Dial, состоящее из всех многочленов от а с коэффициентами из D, также является порядком поля К.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как О с О Ы , то в кольце Dial
имеется п = (К : Q) линейно независимых над Q чисел. Мы должны, следовательно, доказать только, что Dial является модулем (т. е. обладает конечной системой образующих). Пусть
1, одно из которых делится на 3. Доказать, что чпсто
кубические поляО (0), О3 = abc2d2, и Q (г\), г]3 — acb'd^, имеющие один и
тот же дискриминант —27a2b2c2d2, различны.
У к а з а н и е . Рассмотреть поля
Q (ц/Q) = Q {V be'2} и Q (т]2/б) =
27. Доказать, что для любого натурального п можно указать п различных чисто кубических полей с одним и тем же дискриминантом (использовать предыдущую задачу).

§ 3. Геометрический метод

Сформулированные в конце п. 3 § 2 две задачи (к которым
сводится вопрос о представлениях чисел полными разложимыми
формами) для своего решения требуют привлечения новых соображений геометрического характера. В основе этих соображении
лежит метод изображения алгебраических чисел точками п-мерпого пространства, аналогичный хорошо известному способу изображения комплексных чисел на плоскости Коши.
1. Геометрическое изображение алгебраических чисел. Если
поле алгебраических чисел К имеет степень п над полем рациональных чисел Q, то для него имеется равно п различных изоморфизмов в поле всех комплексных чисел С (см. Дополнение,
§ 2, п. 3).
О п р е д е л е н и е . Если при изоморфизме о'.К—ь-Ц] образ
поля К содержится в поле вещественных чисел; то этот изомо
физм о называется вещественным; в противном случае он называется комплексным.

§ 3]

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД

ИЗ

Так, для кубического поля К = Q(9), где 93 = 2, изоморфизм
Q (9) ->- Q (>/"2), при котором Q-*-}/ 2, вещественный
(под У ^
понимаем здесь вещественное значение корня). Два других изоморфизма Q (9) ->» Q ( е ^ 2 ) и Q (9) -»- Q ( е а ^ 2 ) (е = cos Ц- + i sin ^j
комплексные. Если d — рациональное число, пе являющееся квадратом, то для поля Q(9), 92 = d, оба изоморфизма вещественны
при d > 0 и комплексны при d = Rn линейно независимы (в вещественном смысле). Для
этого положим

Так как вектор
в базисе (3) имеет координаты [xj,\ . . . , xsl\ ух , z± , . . . , yl\ z/'),
то для доказательства нашего утверждения надо лишь проверить, что определитель
(и

(1)

a) zfi)

„(и (1)

y[n)

. y\n)

отличен от нуля. Рассмотрим вместо d другой определитель:

41»

d* =

(п)

г

.in)

который можно записать также в виде

°i К ) • • •CTsК )

( a n)

В определителе d* к столбцу с номером s + 1 прибавим последующий столбец и вынесем 2 за знак определителя. Этот новый
столбец вычтем из последующего, а затем из полученного столбца с номером s + 2 вынесем ~i за знак определителя. Проделав
такие же операции с каждой парой следующих столбцов, мы придем в конце концов к равенству
d* = (-2i)'d.
(9)
В § 2 (п. 3) Дополнения доказано, что
(10)
где D=D{at,

..., а„)—дискриминант базиса а 4 ,

.., а я (отно-

§ 3]

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ

МЕТОД

Ц7

сительно расширения K/Q). Так как ЮФО, то из (9) и (10)
следует, что определитель d также отличен от нуля.
Будем считать теперь, что а 4 , . . . , а„ — базис полного модуля
М в поле К. В силу (6) и (8) для всякого a = ai«i + . . . + апап
из М (аи ..., а„ целые рациональные) его геометрическим изображением в К71 будет вектор х(а) ^a^iaj
+ ... +апх(ап). Мы получили, таким образом, следующий результат.
Т е о р е м а 1. При геометрическом изображении чисел поля
К степени п = s + 2t точками пространства К71 совокупность всех
векторов, изображающих числа полного модуля М = {а1; ..., а„},
совпадает с совокупностью всех целочисленных линейных комбинаций п линейно независимых (в пространстве К п ) векторов
xiaCi,
, х(ап)З а м е ч а н и е . Линейное пространство й*-', в котором мы изображаем числа поля К, является алгеброй над полем вещественных чисел R. Эта алгебра может быть отождествлена с тензорным произведенпем 51 = R ® QK полей R и К, рассматриваемых как алгебры над полем рациональных чисел Q. Именно,
алгебра 91 (над полем вещественных чисел К) однозначно распадается в прямую сумму полей, каждое из которых изоморфно
либо полю вещественных чисел К, либо полю комплексных чисел (Е. Пусть

где R{ « R (I ф ( | ) (g^5() является
изоморфизмом алгебры Я на алгебру й я ? '. При этом ф(1(х)а) =
= х(а) для любого a e l .
2. Решетки. Геометрическое изучение полных модулей основывается на том их свойстве, которое установлено в теореме 1.
Рассмотрим поэтому в К71 совокупности векторов такого же типа
независимо от того, являются они образами чисел некоторого модуля или нет.
О п р е д е л е н и е . Пусть еи ..., ет, т^п,— линейно независимая система векторов пространства К п . Совокупность *81 всех
векторов вида
. . . + amem,

118

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ

ФОРМАМИ

[ГЛ. II

где а,- независимо друг от друга пробегают все целые рациональные числа, называется тп-мерной решеткой в R™, а сами векторы е4, . . . , ет — базисом этой решетки. Если т = п, то решетка
называется полной, в противном случае — неполной.
Содержание теоремы 1 заключается, следовательно, в том, что
числа полного модуля геометрически изображаются векторами
некоторой полной решетки.
Легко видеть, что две линейно независимые системы векторов
еи
, ет и /4, ..., fm определяют одну и ту же решетку тогда и
только тогда, когда они связаны между собой упимодулярным
преобразованием, т. е. когда
3=1

где (су) — целочисленная матрица с определителем ± 1 .
Более детальное изучение решеток основывается на привлечении метрических свойств пространства Rn. Введем в 6 s ' = R"
скалярное произведение, считая, что векторы (3) образуют ортонормированный базис. Если векторы а; и я ' в базисе (3) имеют
соответственно координаты {хи ..., хп) и {хг, . . . , хп\ то для скалярного произведения (х,х') имеем, следовательно, формулу
(х ~'\ = х х Л+ х х
Длина вектора х будет обозначаться через IWL
Пусть г — вещественное положительное число. Совокупность
всех точек х с координатами (хь ..., хп) (в базисе (3)), для которых
]] х | = у х\ + . . . + х\ < г,

обозначим через U(r). Это множество U(r) называется (открытым)
шаром радиуса г с центром в начале.
п
Множество точек из К называется ограниченным, если оно
содержится в некотором шаре U(r).
Множество точек пространства IR" называется дискретным,
если для любого г > 0 только конечное число точек этого множества содержится в шаре U(r).
• Л е м м а 1. Множество точек произвольной решетки 1 в К"
дискретно.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как всякая неполная решетка может
быть вложена в полную (многими способами), то достаточно провести доказательство для полной решетки 2Й. Выберем в S3? какойнибудь базис ei, ..., ел. Условия
(х, е 2 ) = 0 , ..., (х, е „ ) = 0
дают нам систему п — \ однородных линейных уравнений с п

§ 3]

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД

119

неизвестными. Так как у этой системы имеется ненулевое решение, то существует ненулевой вектор х, ортогональный к векторам
сг, ..., еп. Если бы мы имели также (х, е^ = 0, то вектор х был бы
ортогонален ко всем векторам пространства R , что невозможно.
Следовательно, (х, ед ^ 0. Вектор fx = -.
х будет также ортогонален ко всем векторам е2, ..., е„, и для него (Д, ед = 1. Таким
образом, для каждого t ( К К в ) мы можем найти вектор /,-, для
которого
I прп j = i,

при

1ф1.

Пусть теперь вектор z = а ^ + . . . + апеп из W. (а{ целые рациональные) принадлежит шару U(r), т. е. llzll 0 ) . Равенство г = s + t— 1 является, по существу, теоремой
существования: оно устанавливает существование s + t— 1 независимых единиц. Не удивительно поэтому, что для его доказательства надо привлечь некоторые новые соображения.
Ввиду теоремы 3 утверждение, которое нам осталось доказать,
равносильно тому, что размерность решетки Д.
Действительно, в этом случае пересечения Yz П Т полностью
покроют основной параллелепипед Т (возможно, с пересечениями),

а потому v (Y) = 2 v {Yz Л Т) > v (Т) = Л.

При исследовании группы единиц лемма Минковского будет
применяться нами к решетке в пространстве £'•' и к телу X, которое состоит из тех точек х вида (2) § 3, для которых
z

и

..., \х,\ < с,; \x,+i\ < Сц,..., \х.+

2

c.+t,

где си . . . , cs+t — вещественные положительные числа. Выпуклость
и центральная симметричность этого тела X очевидна. Вычислим
его объем. Используя для координат точки х обозначения (4)
§ 3, получаем

v {X) = j dxx...

J dxs

jj

z

dM i • • •

JJ

dytdzt =

б 4]

ГРУППА

ЕДИНИЦ

131

Применение леммы Минковского к рассмотренному телу X
дает нам следующий результат (именно на него мы и будем
в дальнейшем ссылаться).
Т е о р е м а 4. Если объем основного параллелепипеда полной
решетки ffl пространства 8 3i< равен Л и если вещественные положителъные числа с,, ..., cs+t

таковы, что 1ХС}>-! — 1 Л, го

в решетке Ш имеется ненулевой вектор х = (.хи ..., xa+t),
которого
\xi\ 2"Д в лемме Мипковского нельзя
заменить более слабым. Для этого построить выпуклое ограниченное центрально симметричное множество X с объемом v(X) = 2"Д, не содержащее,
кроме начала, никаких других точек решетки.
2. Пусть а — sвещественное положительное число. Доказать, что объем
множества X с C >', состоящего из точек ж, для которых

(в координатах (4) § 3}, равен

Проверить, далее, что множество X ограничено, центрально симметрично и
выпукло,.

§ 4]

ГРУППА ЕДИНИЦ

135

3. Пусть а и 6 — натуральные числа, не являющиеся квадратами. Показать, что основная единица порядка _{1, У а} _поля II •*• II ^ 4 II u II > II x II •

Это неравенство показывает, что все векторы х' е5И' из ограниченной области являются проекциями векторов х^Ш также из
ограниченной области, а значит, вместе с 5Ш решетка SW' задана
нам эффективно. Если м2, ...» ит — векторы из 5Ш, проекции которых м2, . . . , ит образуют базис 3R', то система и, и2, ..., ит,
как легко видеть, будет базисом 5Ш. Отсюда следует, что объем
основного параллелепипеда решетки Ж равен Д/Нм11 и, значит,
тоже нам известен. По индуктивному предположению мы можем
найти такое число р', что в SW' имеется базис и%, . . . , ит, для которого ||м{||„ и в модуле М—базис \аи ..., ц„. Матрица перехода
А = (а,;) от первого базиса ко второму, т. е. матрица, определяемая равенствами
п

Hi = 2 aytuj,
i=l

I < / < n, a y s Q,

(1)

зависит, конечно, не только от модуля М но и от выбора базисов
«о* и щ. Пусть ©1, . . . , о)п и ц 15 . . . , ц п — другая пара базисов модулей О и М соответственно, и пусть
п

2

ai/a>{,

ПЦ е

Q.

144

'

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ

ФОРМАМИ

[ГЛ. xl

i

Матрица А1 = (fly)

связана с матрицей А соотношением
Л, = CAD,

где С = (c,-j) и D = idij) — целочисленные унимодулярные
рицы, определяемые равенствами:
Щ= 2

C

(2)
мат-

п

iPi,

\Ч = 2

(матрица перехода от одного базиса модуля к другому всегда, как
мы знаем, унимодулярна). Таким образом, с модулем М инвариантно связанными будут только такие выражения от элементов
матрицы А, которые инвариантны при замене А на At по формуле
(2). Полной системой таких инвариантов являются так называемые инвариантные множители рациональной матрицы А. Мы
будем рассматривать простейший из них — абсолютную величину
определителя detA. Его инвариантность очевидна:
= IdetCl • \detA\ • |detZ?l = IdeMl.
О п р е д е л е н и е . Пусть М — полный модуль в К и О — его
кольцо множителей. Абсолютная величина определителя матрицы перехода от базиса кольца О в базису модуля М называется нормой модуля М и обозначается через N{M).
Согласно формуле (12) § 2 Дополнения дискриминанты D =
= D(\Xi, ..., ц„) n A = fi(o)i. ..., соп) базисов ц{ и сог (т. е. дискриминанты модулей М и О, см. п. 5 § 2) связаны между собой со2
отношением Z? = A>(det А) . Введенное понятие нормы позволяет
переписать эту формулу в виде
D=D0N(M)\

(3)

Для модулей, содержащихся в своем кольце множителей, матрица (а„), определенная разложениями (1), очевидно, целочисленна, а потому норма таких модулей является целым числом.
Смысл нормы модуля в этом случае выясняется следующей теоремой.
Т е о р е м а 1. Если полный модуль М содержится в своем
кольце множителей О, то его норма N{M) равна индексу (О : М),
Эта теорема является частным случаем следующего утверждения.
Л е м м а 1. Если Мо — абелева группа без элементов конечного
порядка ранга п, а М — ее подгруппа того же ранга п, то индекс
Шо : М) конечен и равен абсолютной величине определителя матрицы перехода А от какого-нибудь базиса Мо к произвольному
базису М.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а>и ..., со„ — произвольный базис
Мо. Согласно теореме 2 § 2 в подгруппе М существует базис

I в]

•

КЛАССЫ МОДУЛЕЙ

145

T]i, . . . , т]„ в и д а

.. -r clncon,
Т]2 =
•

C22G)2 + . . . + C 2n G) n ,
•

•

•

•

•

•

•

Tin =

•

•

•

«

C n n Ci) n ,

где Су целые рациональные и с,-г>0 ( l ^ i ^ w ) . Очевидно, что
! det-41 не зависит от выбора базисов в Мо и в М, поэтому
...

спп.

Рассмотрим элементы
+ . . . + хпоа„,
(X:Xi< Си, Ki^n
(4)
и покажем, что онп образуют полную систему представителей из
классов смежности группы Мо по подгруппе М. Пусть а =
= ^coi + . . . +апа)п — произвольный элемент из Д/о. Разделим ах
на Си с остатком: а^ = Сц-gi + ху, 0 ^ Xi < Си. Тогда
а

— ^I^I — ^i w i = а 2» 2 + • • • + а'п(оп.
м

ш

Если теперь мы разделим па на с 22 с остатком: flj : = с22
О ^ х2 < с 22 , то будем иметь

Повторяя этот процесс п раз, мы придем в конце концов к равенству
••• -

qnt]n

— XiGJi — . . . — х „ © „ =

О,

в котором q; и Xi целые рациональные, причем 0 < х-, < с,,-. Так
как