Физика для углубленного изучения 1. Механика [Е. И. Бутиков] (pdf) читать постранично, страница - 33

а.
Значение силы трения, напротив, зави­
Рис. 79. Силы, действующие
сит от того, движется брусок или нет: это
на брусок, соскальзывающий с
может быть либо трение скольжения, либо
наклонной плоскости
трение покоя. Рассмотрим сначала случай,
когда брусок покоится относительно доски.
Тогда вторая проекция его ускорения а (проекция на направление вдоль
наклонной плоскости) тоже равна нулю, и уравнение (3 ) дает
О = m g sin а — F ^ ,

(5 )

откуда F Tp = m g s i n a . Видно, что значение силы трения покоя возрастает
с увеличением наклона доски, т. е. угла а. Однако сила трения покоя не
может превышать значения p)V. Значение силы N, равное m g cos а, убы ­
вает с ростом угла а. Поэтому ясно, что сущ ествует некоторый предель­
ный угол акр, при котором неподвижный относительно доски брусок на­
чнет соскальзывать с нее. Этот критический угол наклона доски находит­
ся из условия
m g sin a Kp = \im g cos a Kp,
откуда

‘g Икр ~ Ц-

(6)

§ 20. С И Л Ы В П Р И Р О Д Е . Т Р Е Н И Е

113

Критический угол не зависит от массы бруска. Измерение этого угла позво­
ляет на опыте определить коэф ф ициент трения р. без использования приборов
для измерения сил.
При постепенном увеличении наклона доски брусок остается неподвиж­
ным, пока угол а не достигнет значения а кр. При а > а кр сила трения F^ — это
сила трения скольжения, и ее значение равно pJV = pmg cos а. Направлена
она в сторону, противоположную скорости бруска. В этом случае проекция
уравнения (3) на направление вдоль наклонной плоскости

та — mg sin а — Fw
служ ит не для определения силы трения, а для нахождения ускорения б р у ­
ска. Подставляя в это равенство F = pmg cos а, находим

а = ^ (sin а — ц cos а ).

(7 )

Отметим, что при а < а кр выражение (7 ) формально дает отрицательное
значение проекции ускорения, что не имеет физического смысла при условии,
что вначале брусок был неподвижен. Однако этот результат имеет ф изический
смысл, если брусок движется вниз по наклонной плоскости благодаря скоро­
сти, которую он уж е имел в начальный момент. Действительно, при получе­
нии результата (7 ) использовалось не то, что а > а кр, а лишь то, что сила тре­
ния скольжения направлена вверх вдоль наклонной плоскости. И менно так и
будет, если, например, толчком сообщить бруску некоторую начальную ско­
рость, направленную вниз. Отрицательное значение проекции ускорения при
а < а кр означает, что брусок будет двигаться вниз равнозамедленно, пока не
остановится.
Если же толчком сообщить бруску начальную скорость вверх вдоль на­
клонной плоскости, то сила трения скольжения будет сначала направлена
вниз и ускорение бруска, как легко убедиться, будет даваться выражением

а — £ (sin а 4- ц cos а ) .
Брусок будет двигаться вверх равнозамедленно, пока его скорость не обра­
тится в нуль. Дальше он либо останется ле­
жать неподвижно, если а < а„„,
кр либо начнет
соскальзывать вниз с ускорением, даваемым
формулой (7) , если а > а кр.
2.
Передвижение волоком. Под каким уг­
лом а нуж но тянуть за веревку тяжелый ящик
массы т для того, чтобы передвигать его во­
локом по горизонтальной шероховатой поверх­
ности с наименьшим усилием, если коэф ф и ­
циент трения равен ц? Каково значение этой
минимальной силы?
Р е ш е н и е . Будем считать, что внешняя
сила F приложена так, что ящик движется по­
Рис. 80. Силы, действующие на
ступательно. В этом случае его можно рассм ат­
ящик, передвигаемый волоком
ривать как материальную точку. Д ействую щ ие
на ящик силы показаны на рис. 80.
Я сно, что внешняя сила F будет минимальной, когда ящик движется рав­
номерно. При этом равнодействующая всех приложенных к ящику сил соглас­

114

И. Д И Н А М И К А

но второму закону Ньютона равна нулю:
F + N + FTp + mg = 0.

(8)

Для исследования соотношения (8 ) запиш ем его в проекциях на горизон­
тальное и вертикальное направления:
F cos а — Fm = 0,

(9)

F sin а + N — m g = 0.

( 10)

Задача заключается в том, чтобы исследовать зависимость силы F от угла
а. Для этого необходимо исключить из уравнений (9 ) и ( 10 ) силу реакции N и
силу трения F , так как их значения тоже зависят от угла а. При скольжении
ящика сила трения F выражается через нормальную силу реакции N с по­
мощью соотношения (2): Р тр = цЛг. Выражая силу N из соотношения (10):
N = m g — F sin а, получаем
F Tр = \x(mg — F sin а ).
Подстановка этого выражения в (9 ) дает

г_

ms

(И)

cos а + (с sin а
Числитель в правой части ( 11) не зависит от а, поэтому сила F будет на­
именьшей, когда знаменатель максимален. Следовательно, нуж но найти мак­
симум выражения
/ ( а ) = cos а + ц sin а.
Это можно сделать разными способам и, например приравняв нулю его
производную по а. В результате найдем, что значение / ( а ) максимально

Рис. 81. Замена сил N и
силой Q

одной

Рис. 82. К определению наименьшей
силы F

при tg а = р.. При этом / ( а ) = 1/cos а и минимальная сила, как видно из
( 11) , равна
F = [img cos а = m g sin а.
( 12)
Итак,