Физика для углубленного изучения 3. Строение и свойства вещества [Е. И. Бутиков] (pdf) читать онлайн

Е.И.Бутиков, А.С.Кондратьев, В.М.Уздин
ФИЗИКА ДЛЯ УГЛУБЛЕННОГО ИЗУЧЕНИЯ 3. Строение и свойства
вещества
Учебник принципиально нового типа. Последовательность изложения
соответствует логической структуре физики как науки и отражает современные
тенденции ее преподавания. Материал разделен на обязательный и
дополнительный, что позволяет строить процесс обучения с учетом
индивидуальных
способностей
учащихся,
включая
организацию
их
самостоятельной работы. Задачи служат как для получения новых знаний, так и для
развития навыков исследовательской деятельности.
Для учащихся школ, гимназий, лицеев с углубленным изучением
физико-математических дисциплин, а также для подготовки к конкурсным
экзаменам в вузы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
9
§ 1. Принцип относительности
9
Равноправие инерциальных систем отсчета (10). Понятие события
(10). Классические представления о времени и пространстве (11).
Преобразования Галилея (11). Принцип относительности и
электродинамика (11). Отказ от классических представлений (12).
Постулаты теории относительности (13). Второй постулат и законы
механики (14).
§ 2. Релятивистская кинематика
15
Процедуры измерений (15). Одновременность событий и
синхронизация часов (16). Измерение расстояний (17).
Относительность одновременности событий (17). Относительность
промежутков времени (18). Относительность пространственных
расстояний (20). Классический предел (21).
§ 3. Преобразования Лоренца
22
Преобразования Лоренца. Интервал между событиями (23).
Инвариантность интервала (24). Классификация интервалов (24).
Закон преобразования скорости (25). Аберрация света (27).
§ 4. Релятивистская динамика
28
Импульс и энергия (28). Релятивистская масса (29). Энергия покоя
(29). Кинетическая энергия (29). Пропорциональность массы и
энергии (30). Эквивалентность энергии и массы (31). О законе
сохранения массы (32). Масса покоя и квантовые закономерности
(32). Вывод выражения для импульса (33). Вывод выражения для
энергии (36).
§ 5. Примеры релятивистского движения частиц
37
Связь энергии и импульса (38). Движение под действием постоянной
силы (38). Движение в магнитном поле (39). Ускоритель на встречных
пучках (39).
II. ЗАКОНЫ МИКРОМИРА. ЧАСТИЦЫ И ВОЛНЫ
44

§ 6. Световые кванты
Фотоэлектрический эффект (44). Экспериментальные
закономерности фотоэффекта (45). Кинетическая энергия
фотоэлектронов (45). Соотношение Планка (46). Уравнение
Эйнштейна (47). Корпускулярные и волновые свойства света (47).
Невозможность классического объяснения фотоэффекта (48).
Двойственная природа света (49). Фотоны (49). Эффект Комптона
(50). Законы сохранения в эффекте Комптона (50). Дискретный
характер взаимодействия света с электронами (52). Корпускулярное
объяснение эффекта Доплера (52).
§ 7. Границы применимости классической физики
Соотношения неопределенностей. Дифракция электронов (54).
Зарождение квантовой теории (54). Абстракции, лежащие в основе
классической физики (55). О классическом детерминизме (56).
Соотношения неопределенностей Гейзенберга (56). Иллюстрация
соотношения неопределенностей (57). Границы применимости
классических представлений (59).
§ 8. Свет — частицы или волны?
Корпускулярно-волновой дуализм (61). Частицы и волны в
классической физике (62). Мысленный опыт, снимающий логические
противоречия (62). Фотон — квантовый объект (65). Волны де Бройля
(66). Волновые свойства микрочастиц (67). Еще о границах
классического описания (67).
§ 9. Законы движения в квантовой физике
Роль средств наблюдения в квантовой физике (70). Вероятность в
классической и квантовой физике (70). Описание состояния системы
в квантовой физике (71). Принцип соответствия (72).
III. АТОМЫ, МОЛЕКУЛЫ, КРИСТАЛЛЫ
§ 10. Строение атома
Томсоновская модель атома (74). Опыты Резерфорда (74). Рассеяние
на большие углы (75). Открытие атомного ядра (75). Планетарная
модель атома (76). Постулаты Бора (76). Правило квантования (77).
Уровни энергии атома водорода (78). Спектральные серии (78). Атом
Бора и принцип соответствия (79). Современные представления о
строении атома водорода (80). Постоянная тонкой структуры (81).
Атомы с несколькими электронами (82). Принцип Паули (83).
Многоэлектронные атомы (83).
§11. Измерения в атомной физике
Опыты Дж. Томсона (85). Опыты X. Буша (86). Опыты Р. Милликена
(86). Дискретность электрического заряда (87). «Взвешивание»
электрона (88). Массы атомов и молекул (88). Принцип действия
масс-спектрографа (89). Селектор скоростей ионов (90).
Масс-спектрометр с поперечной фокусировкой (90). Разделение
изотопов (91). Электронная оптика (91). Разрешающая способность

44

54

61

69

74
74

85

(92). Атомная единица массы (92). Точные измерения атомных масс
(93). Количество вещества. Постоянная Авогадро (94). Молярная
масса (95). Размеры атомов и молекул (95).
§12. Молекулы
Химические силы и физика (97). Ионная связь между атомами (98).
Ковалентная связь (99). Взаимодействие атомов в молекуле (100).
Колебания атомов в молекуле (101). Энергия химических
превращений (101). Взаимодействие между молекулами (102).
Модельные потенциалы (103). Молекула в химии и в физике (104).
§13. Кристаллы
Монокристаллы и поликристаллы (106). Геометрия кристаллов (106).
Симметрия кристаллической решетки (107). Кристаллические
системы и классы (107). Симметрия и физические свойства (108).
Молекулярные кристаллы (108). Ионные кристаллы (109).
Ковалентные кристаллы (110). Металлические кристаллы (111).
Водородная связь (112).
IV.
ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 1 4. Основные понятия термодинамики
Термодинамическая система (1 15). Внешние и внутренние
параметры (116). Состояние термодинамической системы (116).
Термодинамический процесс (116). Стационарные и равновесные
состояния (117). Время релаксации и локальное равновесие (117).
Закон сохранения и превращения энергии в термодинамике (117).
Внутренняя энергия (118). Температура (119). Измерение
температуры. Термометр (119). Эмпирическая температурная шкала
(120). Высокие и низкие температуры (120). Изолированная система и
термодинамическое равновесие (121). Уравнение состояния (121).
§15. Уравнение состояния газа
Газ в сосуде — простая термодинамическая система (123).
Изопроцессы (123). Закон Бойля-Мариотта (123). Закон Ш арля (124).
Закон Гей-Люссака (125). Газовый термометр (125). Ш кала Кельвина
(125). Уравнение состояния газа (126). Уравнение Менделеева —
Клапейрона (127). Идеальный газ (127).
§16. Первый закон термодинамики
Функция состояния (131). Внутренняя энергия как функция состояния
(131). Работа и теплота как формы изменения внутренней энергии
(131). Работа в термодинамике (132). Адиабатические процессы (133).
Работа внешних электрических сил (133). Теплота (134). Первый
закон термодинамики (134). Квазистатические процессы на
р —Г-диаграмме (135). Теплоемкость (136). Изохорический процесс
(136). Изобарический процесс (136). Адиабатический процесс (137).
Изотермический процесс (137). Тепловой двигатель (138). Цикл
тепловой машины (139). КПД тепловой машины (139).
§17. Примеры применения первого закона термодинамики

Энергетический баланс (141). Теплота и внутренняя энергия (141).
Теплота и работа (141). Пример применения первого закона
термодинамики (141). Еще один пример применения первого закона
термодинамики (142). Змеевик как тепловая машина (144). Измерение
теплоемкости газа (145).
§18. Второй закон термодинамики
Направление тепловых процессов (148). Неравноценность разных
видов энергии (148). Обратимые и необратимые процессы (149).
Различные формулировки второго закона термодинамики (150).
Эквивалентность формулировок Клаузиуса и Томсона (150). Принцип
Каратеодори (152). Условия получения максимальной работы (154).
§19. Методы термодинамики и их применения
КПД всех обратимых тепловых машин одинаков (159). Работа
идеального газа в изотермическом процессе (160). Вывод уравнения
адиабаты (161). КПД цикла Карно (162). Неравенство Клаузиуса
(163). Энтропия как функция состояния (163). Объединенное
уравнение первого и второго законов (165). Свободная энергия (165).
Термодинамика диэлектриков и магнетиков (166). Зависимость
внутренней энергии от объема (168).
V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
§ 20. Экспериментальные основания статистической механики
Тепловое движение молекул (170). Наблюдение броуновского
движения (171). Закономерности броуновского движения (171).
Зависимость среднего перемещения от времени (172). Эксперимент и
статистическая механика (173). Постановка задачи в статистической
механике (174). Статистическая механика и термодинамика (175).
§21 Молекулярно-кинетическая теория идеального газа
Физическая модель газа (176). Вывод основного уравнения
кинетической теории идеального газа (176). Столкновение молекулы
со стенкой (177). О роли столкновений молекул (177). Суммирование
по всем молекулам (177). Среднее значение квадрата скорости (178).
Идеальный газ в статистической механике и термодинамике (178).
Физический смысл температуры (179). Равнораспределение энергии
по степеням свободы (180). Давление газа и температура (180). Смеси
различных газов (180). О микроскопических моделях (181). Другой
вывод основного уравнения (181). Еще раз о роли столкновений (183).
Еще один вывод основного уравнения (183). О характере
столкновения со стенкой (185).
§ 22. Статистические распределения
Законы хаоса (186). Распределение молекул по высоте (187).
Барометрическая формула (188). Распределение Больцмана (189).
Распределение по проекции скорости (189). Функция распределения
(189). Нормировка функции распределения (190). Распределение по
трем проекциям скорости (190). Распределение по модулю скорости

147

159

170
170

176

186

§ 23.

§ 24.

§ 25.

§ 26.

§ 27.

(191). Зависимость распределения по скоростям от температуры
(192). Экспериментальная кривая распределения Максвелла (192).
Вычисление средних значений (193).
Тепловое равновесие в статистической механике
Флуктуации макроскопических параметров (195). Пространственное
распределение молекул (196). Вероятности распределений молекул
по половинам сосуда (196). Вероятность равномерного распределения
(198). Общие закономерности флуктуации (199). Статистический
подход (200). Равные вероятности микросостояний (200).
Статистический вес макросостояния (200). Энтропия и температура
(201). Задача о расширении газа в пустоту (202). Распределение
Гиббса (203).
Статистическая природа необратимости тепловых процессов
Гипотетический вечный двигатель (205). О необратимых процессах
(206). Необратимые процессы и разрушение порядка (207).
Флуктуации как отклонения от второго закона термодинамики (207).
Статистическая гипотеза (208).
Газы, жидкости, фазовые переходы
Фазы и компоненты термодинамической системы (209). Фазовые
превращения (210). Равновесие фаз (210). Испарение и конденсация
(210). Давление насыщенного пара (211). Кипение (211). Центры
парообразования (213). Перегретая жидкость (213). Критическая
температура (213). Различие между газом и паром (214). Теплота
испарения и конденсации (214). Влажность воздуха (214). Измерение
влажности воздуха (215). Поверхностное натяжение (215). Сила
поверхностного натяжения (216). Поверхностная энергия (216).
Смачивание (217). Капиллярные явления (218). Капиллярное
давление (218). Капиллярные волны (219).
Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса
О моделях реального газа (221). Модель твердых шаров (221). Модель
Ван-дер-Ваальса (222). Учет размеров молекул (222). Учет
взаимодействия между молекулами (222). Феноменологический
характер уравнения Ван-дер-Ваальса (223). Изотермы
Ван-дер-Ваальса (224). Экспериментальные изотермы Эндрюса (224).
Метастабильные состояния (226). Абсолютно неустойчивые
состояния (227). Критическое состояние вещества (227).
Фазовые переходы
Диаграмма состояний (229). Кривая равновесия пар— жидкость (229).
Переход пар— жидкость (230). Изохорический переход пар—
жидкость (231). Наблюдение критического состояния (232). Кривая
равновесия жидкой и твердой фаз (232). Тройная точка (233).
Квантовые жидкости (233). Испарение твердого тела (234). Правило
фаз Гиббса (234).
VI. АТОМЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ

195

205

209

220

229

236

§ 28. Излучение света атомами
Размер атома и длина волны (236). Спонтанное излучение (237).
Классическая модель спонтанного излучения (237). Время жизни
возбужденного атома (239). Ширина спектральных линий (240).
Ш ирина линий и соотношение неопределенностей (240). Уширение
спектральных линий из-за столкновений (240). Доплеровское
уширение спектральных линий (241).
§ 29. Излучение света нагретыми телами
Тепловое излучение (242). Спектральный состав теплового излучения
(243). Излучение как газ фотонов (244). Зависимость плотности
энергии от температуры (245). Температура поверхности Земли (246).
§ 30. Вынужденное излучение. Квантовые усилители и генераторы света
Вероятность спонтанного перехода и время жизни (247). Вероятности
вынужденных переходов (249). Мазеры и лазеры (250).
Когерентность лазерного излучения (250). Усиление света активной
средой (250). Методы создания активной среды (252). Резонаторы
лазера (252). Формирование когерентного излучения (253). Спектр
лазерного излучения (253).
§31. Электрический ток в газах
Газовый разряд (255). Несамостоятельный разряд (255). Ионизация и
рекомбинация (256). Несамостоятельная проводимость (257).
Подвижность электронов и ионов (257). Квазинейтральность (258).
Плотность тока при несамостоятельном разряде (258). Закон Ома
(259). Ток насыщения (259). Экспериментальное изучение газового
разряда (259). Самостоятельный разряд (260). Ионизация
электронным ударом (260). Эмиссия электронов из катода (261).
Тлеющий разряд (262). Коронный разряд (262). Электрическая дуга
(263). Опыты Франка и Герца (263). Дискретность уровней энергии
атома (264).
§ 32. Электрический ток в жидкостях
Электролиты (266). Электролитическая диссоциация (266).
Необычные электролиты (267). Ионная проводимость (267).
Электролиз (268). Законы Фарадея (268). Законы Фарадея и
элементарный заряд (269). Химические источники тока (269). Ток в
цепи с гальваническим элементом (270). Потенциал в цепи с
гальваническим элементом (271). Аккумуляторы (272). Применения
электролиза (273).
§ 33. Плазма
Коллективное движение частиц в плазме (274). Квазинейтральность
плазмы (275). Плазменные колебания (275). Экранировка
кулоновского взаимодействия (276). Пространственные масштабы в
плазме (277). Пространственная однородность плазмы (278). Плазма
и анализ размерностей (278). Волны в плазме (280). Применения
плазмы (280).

236

242

247

255

265

274

§ 34.

§35.

§ 36.

§ 37.

§ 38.

§ 39.

§ 40.

VII. ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Электронная структура кристаллов
Диэлектрики, полупроводники, металлы (282). Уровни энергии
электронов в кристаллах (282). Энергетические зоны (283).
Заполнение зон в диэлектриках (284). Собственные полупроводники
(284). Примесные полупроводники (284). Металлы (284).
Стационарные состояния электронов в кристалле (285).
Квазиимпульс (286). Эффективная масса (286). Электроны и дырки в
полупроводниках (287). Об электропроводности кристаллов (288).
Равновесные и неравновесные носители (289).
Электронные свойства металлов
Принцип Паули и электроны в металлах (291). Импульс Ферми (291).
Энергия Ферми (292). О вкладе электронов в теплоемкость металла
(293). Электропроводность металлов (294). Плазменные свойства
металлов (297).
Электронные свойства полупроводников
Роль примесей в полупроводниках (300). Доноры (300). Акцепторы
(301). Электропроводность полупроводников (302). Распределение
носителей тока по энергиям (303). Эффект Холла (304).
Полупроводниковые приборы
р — и-переходы (306). Диффузия электронов и дырок. Основные и
неосновные носители (307). Вольт-амперная характеристика (307).
Транзистор (309). Усилитель на транзисторе (309). Интегральные
схемы (310). Светодиоды (311). Полупроводниковые лазеры (312).
Фотодиоды (313). Роль процессов рекомбинации (313). О толщине и
легировании базы транзистора (313). Рекомбинация в лазере (314).
VIII. АТОМНОЕ ЯДРО И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
Строение атомного ядра
Атомное ядро на Земле и в космосе (316). Состав атомного ядра (316).
Энергия связи (317). Ядерные силы (317). Размеры ядер (318).
Энергия связи и соотношения неопределенностей (318). Капельная
модель ядра (319). Кулоновское отталкивание протонов (320).
Радиоактивность. Ядерные реакции
Альфа-распад (321). Бета-распад (322). Нестабильность нейтрона
(323). Гамма-распад (323). Закон радиоактивного распада (323).
Возраст Земли (324). Ядерные реакции (324). Энергетические
превращения при ядерных реакциях (325). Деление тяжелых ядер
(326). Об экологических проблемах ядерной энергетики (327).
Реакции синтеза (328).
Элементарные частицы
Превращения элементарных частиц (329). Фундаментальные
взаимодействия (329). Поиски единого взаимодействия (330). О
механизме фундаментальных взаимодействий (331). Радиус
фундаментальных взаимодействий (331). Свойства электрослабого

282
282

290

300

306

316
316

321

329

взаимодействия (332). Сильное взаимодействие. Кварки (332).
Внутренние симметрии (333). Аннигиляция частицы и античастицы
(333). Великое объединение (334).

I. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

§ 1. Принцип относительности

Теория относительности — это физическая теория пространства и
времени, т. е. теория пространственно-временнйх закономерностей,
справедливых для любых физических процессов. Согласно общей
теории относительности (называемой также релятивистской теорией
тяготения) свойства пространства-времени зависят от действующих
в рассматриваемой области полей тяготения. Частная, или специ­
альная теория относительности описывает свойства пространствавремени в условиях, когда влиянием тяготения на эти свойства
можно пренебречь.
Описываемые теорией относительности явления — их называют
релятивистскими — обнаруживают себя при скоростях движения
тел, близких к скорости света в вакууме с = 3 1 0 8 м/с. Скорость
с — это предельная скорость распространения любых взаимодейст­
вий и сигналов из одной точки пространства в другую. Понятие пре­
дельной скорости требует глубокого изменения обычных (классиче­
ских) пространственно-временных представлений, основанных на
повседневном опыте, ограниченном наблюдениями сравнительно
медленных ( v « c ) движений.
Все явления в замкнутой физической системе будут происходить
точно так же, если всю систему перенести в другое место или как
целое повернуть на некоторый угол. В этом проявляются свойства
симметрии законов природы, отражающие однородность простран­
ства (т. е. равноправие всех точек) и его изотропность (равнопра­
вие всех направлений). Неизменность физических законов с тече­
нием времени отражает однородность времени.
Наряду с такой инвариантностью (неизменностью) законов при­
роды по отношению к параллельным переносам и поворотам в про­
странстве и сдвигу во времени на опыте установлена также инвари­
антность законов физики относительно преобразований движения,
т. е. перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой: все
явления в замкнутой физической системе протекают одинаково
независимо от того, покоится она в некоторой инерциальной систе­
ме отсчета или движется как целое с постоянной скоростью. Это
утверждение об эквивалентности (равноправии) всех инерциальных
систем отсчета составляет содержание принципа относительности.

10

I. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Рассмотрим лежащие в основе специальной теории относитель­
ности физические предпосылки более подробно. Проделав какой-ни­
будь эксперимент и повторив его при точно таких же условиях в
другом месте и в другое время, мы получим тот же самый резуль­
тат. Этот замечательный факт — воспроизводимость лабораторных
опытов — находит свое выражение в независимости физических за­
конов от таких обстоятельств, как положение в пространстве и вы­
бор момента времени. Независимость явлений в замкнутой физиче­
ской системе от места и момента времени является следствием од­
нородности пространства и времени.
Равноправие инерциальных систем отсчета. Опыт показывает,
что наряду с такой независимостью существует определенная неза­
висимость физических явлений от состояния движения, которая за­
ключается в равноправии всех инерциальных систем отсчета. Рав­
номерное и прямолинейное движение замкнутой системы как целого
не влияет на ход процессов, происходящих внутри системы. Это
утверждение, впервые высказанное Галилеем для механических яв­
лений, подтверждается всей совокупностью наших знаний о природе
и называется принципом относительности.
Многие физические законы формулируются при помощи диффе­
ренциальных уравнений. Вид этих уравнений не зависит от началь­
ного состояния системы. Таковы, в частности, уравнения механики,
которые математически выражают второй закон Ньютона. Согласно
принципу относительности математическая форма таких законов
должна быть одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Дру­
гими словами, уравнения движения должны быть инвариантны отно­
сительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Понятие события. Рассмотрим описание некоторого явления в
двух инерциальных системах отсчета К к К1. Система К.' движется
относительно К с постоянной скоростью v. Условимся направление
одноименных осей в К и К 1 выбирать
одинаковым, а оси х и х ’ направим вдоль
вектора v (рис. 1). Пусть начало отсчета
времени t = 0 выбрано в тот момент,
когда точки О и О’ совпадали.
Положение некоторой материаль­
ной точки определяется координатами
и временем х, у, z, t в системе К и ко­
ординатами и временем х , у , z , t в
Рис. 1. Система отсчета К движегся относительно К со скоро­ другой системе К1. Совокупность трех
стью V ВДОЛЬ ОСИ X
пространственных координат и времени
будем называть событием. Таким образом, событие, происходящее
с некоторой материальной частицей, определяется местом, где оно
произошло, и временем, коща оно произошло.

11

§ 1. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Классические представления о времени и пространстве. Как свя­
заны между собой координаты и время одного и того же события,
если его рассматривать в системах отсчета К и К'1 В нерелятивист­
ской физике принималось как очевидный факт существование еди­
ного мирового времени t, одинакового во всех системах отсчета:
t = t'. В действительности возможность измерять время во всех сис­
темах отсчета по одним и тем же часам связана с предположением
о существовании сигналов, распространяющихся с бесконечно боль­
шой скоростью.
Таким образом, согласно классическим представлениям, если два
события происходят одновременно в некоторой системе отсчета, то
они являются одновременными и в любой другой системе. Точно так
же промежуток времени между двумя событиями, в силу абсолют­
ного характера времени, должен быть одинаковым во всех системах
отсчета. Предполагалось также, а вернее, считалось очевидным, что
длина твердого стержня или вообще расстояние между двумя точка­
ми, измеренное в некоторый момент времени, одинаковы во всех си­
стемах отсчета.
Преобразования Галилея. Из этих предположений однозначно вы­
текает общий вид преобразования, связывающего координаты и вре­
мя некоторого события x,y,z,t в системе К с координатами и време­
нем этого же события x',y',z',t' в системе К'. В самом деле, сравни­
вая координаты одной и той же частицы в системах отсчета К и
К', немедленно получаем
x = x' + vt,

у= у\

z = z',

t = t'.

(1)

Эти формулы носят название преобразований Галилея.
Из преобразований Галилея можно сразу получить классический
закон преобразования скорости частицы при переходе от одной си­
стемы отсчета к другой. Пусть u = dr/dt — скорость некоторой ча­
стицы в К, a u' = dr'/dt' — скорость той же частицы в К'. Посколь­
ку dt = dt', из преобразований Галилея получаем
их = их + v,
иу = иу,
uz = uz.
(2)
Таким образом, преобразование скорости частицы при переходе
от К к К! сводится просто к векторному сложению относительной и
переносной скоростей, т. е. к сложению векторов и' и v.
Уравнение движения классической механики та = F не меняет
своего вида при переходе от одной инерциальной системы к другой,
т. е. оно инвариантно относительно преобразований Галилея. Други­
ми словами, преобразования Галилея удовлетворяют принципу от­
носительности в отношении законов механики.
Принцип относительности и электродинамика. А как обстоит
дело в электродинамике? Что говорит опыт о распространении

12

I. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

принципа относительности на электромагнитные явления? Протека­
ют ли электромагнитные и оптические процессы — взаимодействие
зарядов и токов, распространение света — одинаково во всех инерциальных системах отсчета или равномерное прямолинейное движе­
ние лаборатории, не оказывая влияния на механические явления,
сказывается на электромагнитных явлениях? Вся совокупность экс­
периментальных данных говорит о том, что принцип относительно­
сти распространяется на все явления: как механические, так и
электромагнитные и оптические процессы протекают одинаково во
всех инерциальных системах отсчета.
Исторически наиболее важные опыты, подтверждающие универ­
сальный характер принципа относительности, — это электродина­
мический опыт Троутона и Нобля с заряженным конденсатором,
подвешенным на упругой нити, и оптический опыт Майкельсона и
Морли с интерферометром специальной конструкции. В этих опы­
тах, поставленных специально для обнаружения влияния движения
связанной с Землей лаборатории на взаимодействие зарядов и рас­
пространение света, был получен отрицательный результат: никако­
го влияния обнаружено не было.
Однако уравнения электродинамики при переходе от одной
инерциальной системы к другой, в отличие от уравнений динамики
Ньютона, не являются инвариантными относительно преобразова­
ний Галилея. Простые соображения показывают, что преобразова­
ния Галилея не удовлетворяют принципу относительности в отно­
шении законов электродинамики и оптики. В самом деле, согласно
уравнениям Максвелла скорость распространения электромагнитных
волн, в частности света, в вакууме одинакова по всем направлениям
и равна с = 3 -1010 см/с. Но, с другой стороны, в соответствии с
классическим законом преобразования скорости, вытекающим из
преобразований Галилея, скорость света может быть по всем на­
правлениям равна с только в одной инерциальной системе отсчета.
Например, если скорость света равна с в системе К, то в К' свет
должен распространяться в положительном направлении оси х со
скоростью с — v, а в отрицательном — со скоростью с + v. Отсюда
можно сделать вывод, что уравнения электродинамики не инвари­
антны относительно преобразований Галилея.
Таким образом, между электродинамикой и классической меха­
никой имеют место определенные противоречия. Опытные данные
свидетельствуют о том, что принцип относительности распространя­
ется на все явления, как механические, так и электродинамические
и оптические. В то же время преобразования Галилея удовлетворя­
ют принципу относительности в отношении законов механики и не
удовлетворяют в отношении законов электродинамики и оптики.
Отказ от классических представлений. На рубеже XIX и XX веков
физика переживала глубокий кризис, единственно правильный

§ 1. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

13

революционный выход из которого был независимо найден такими
гигантами, как А. Пуанкаре и А. Эйнштейн, ценой отказа от класси­
ческих представлений о пространстве и времени и от основанных на
них преобразований Галилея. И Эйнштейн, и Пуанкаре опирались на
работы X. А. Лоренца, весьма близко подошедшего к решению про­
блемы, но не сумевшего сделать последний решительный шаг.
Отказ от преобразований Галилея и введение вместо них новых
преобразований — преобразований Лоренца, оставляющих инвари­
антными при переходе от одной инерциальной системы отсчета к
другой уравнения электродинамики, а не уравнения механики, тре­
бует пересмотра и уточнения законов классической механики. Ре­
шающим шагом на этом пути оказался критический подход к ис­
пользуемому в классической физике понятию абсолютного времени.
Классические представления, почерпнутые из повседневного
опыта и кажущиеся наглядными и очевидными, в действительности
оказались несостоятельными. Многие понятия и величины, которые
в нерелятивистской физике считались абсолютными, т. е. не завися­
щими от системы отсчета, теория относительности перевела в ранг
относительных. Например, считавшееся абсолютным понятие одно­
временности двух событий в действительности является относитель­
ным: два удаленных события, происходящие одновременно в неко­
торой системе отсчета, не являются одновременными в другой сис­
теме, движущейся относительно первой. Промежуток времени
между событиями, расстояние между точками в пространстве — эти
величины также являются относительными.
Все физические явления происходят в пространстве и во време­
ни; поэтому неудивительно, что внесенное теорией относительности
уточнение некоторых основных понятий, в особенности воззрений
на пространственные и временные измерения, затронуло в конечном
счете всю физику.
Постулаты теории относительности. Теория относительности
основана на двух принципах, или постулатах:
1) принцип относительности;
2) принцип существования предельной скорости распространения
взаимодействий.
Эти принципы содержат настолько сильные и общие утвер­
ждения, что едва ли возможно говорить о каких-либо «решающих»
опытах, доказывающих их справедливость. Убеждение в справедли­
вости этих принципов зиждется на бесчисленных опытных провер­
ках следствий теории относительности, которая основана на этих
принципах. Сюда относится вся совокупность экспериментальных
данных, полученных при изучении движения быстрых частиц в
приборах и ускорителях, атомных и ядерных процессов и т. п.
Принцип относительности, как уже отмечалось, есть утверждение
об эквивалентности всех инерциальных систем отсчета. Равнопра­
вие всех инерциальных систем отсчета распространяется на все

14

I. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

явления, на всю физику. Распространение принципа относительности
на электромагнитные и оптические явления приводит к выводу о том,
что скорость света (электромагнитных волн) в пустоте во всех инерциальных системах отсчета одинакова. Отсюда сразу видна необходи­
мость пересмотра классических представлений о пространстве и вре­
мени, так как основанный на них классический закон преобразования
скорости находится в противоречии с неизменностью скорости света.
Второй постулат утверждает, что любые взаимодействия между
телами распространяются в пустоте с универсальной конечной ско­
ростью, не зависящей от движения тел и равной скорости света в
вакууме с = 3-10® м/с. Эта скорость определяет тот промежуток
времени, после которого до тела может дойти первый сигнал, даю­
щий знать об изменении, происшедшем с другим телом. Значение
этого второго постулата связано с тем, что в определении понятий,
относящихся к пространству и времени, фундаментальную роль иг­
рает передача сигналов с предельной скоростью.
Передача сигналов, в принципе, возможна не только при помо­
щи электромагнитных волн (света), но и при помощи волн другой
природы. Мыслимо, хотя практически и пока неосуществимо, ис­
пользование гравитационных волн. Не исключено открытие какихлибо новых полей, способных передавать сигналы. Можно, наконец,
представить себе передачу сигналов при помощи предельно быстрых
частиц. Однако принцип существования универсальной предельной
скорости распространения взаимодействий утверждает существова­
ние общего предела для скорости передачи каких-либо действий и
сигналов и придает скорости света в вакууме универсальное значе­
ние, не связанное с физической природой взаимодействия, а отра­
жающее некоторое объективное свойство пространства и времени.
Очевидно, что второй постулат утверждает в то же время, что не­
возможно движение тел со скоростью, превышающей предельную
универсальную скорость с.
Второй постулат и законы механики. Отметим, что второй посту­
лат находится в противоречии с принятым в классической механике
способом описания взаимодействия материальных частиц, включаю­
щим в себя предположение о мгновенности распространения взаимо­
действий. В самом деле, силы, действующие на каждую из частиц
со стороны остальных, считаются в классической механике завися­
щими от положения частиц в этот же момент времени. Изменение
положения какой-либо из частиц мгновенно отражается на осталь­
ных. Поэтому второй постулат неизбежно требует уточнения зако­
нов механики.
Механика теории относительности в предельном случае, когда
скорости движущихся тел малы по сравнению со скоростью света с,
переходит в классическую механику, основанную на мгновенности
распространения взаимодействий. Только большой величиной ско­
рости распространения взаимодействий объясняется тот факт, что

§ 2. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА

15

для макроскопических тел в большинстве случаев достаточно точ­
ной оказывается классическая механика. В большинстве случаев
скорости, с которыми приходится иметь дело, очень малы по срав­
нению со скоростью с. Поэтому в то время, когда была создана те­
ория относительности, ее экспериментальное подтверждение можно
было найти лишь в исключительно тонких оптических и электроди­
намических опытах. В настоящее время в больших ускорителях за­
ряженные частицы нередко разгоняются до скоростей, составляю­
щих 99% и более от скорости света. Для расчета траекторий столь
быстрых частиц пользоваться механикой Ньютона уже нельзя.
В этом смысле можно сказать, что теория относительности в наши
дни стала инженерной наукой.
•

В чем заклю чается физическое содержание принципа относительности?

•

Что в ф изике понимают под событием?

•

Покажите, что классические представления о пространстве и времени
приводят к преобразованиям Галилея.

•

Почему преобразования Галилея несовместимы с представлением о су­
ществовании конечной предельной скорости распространения взаимо­
действий?

•

Какие постулаты лежат в основе теории относительности?

•

Почему предположение о конечности скорости распространения взаимо­
действий требует уточнения законов классической механики?

§ 2. Релятивистская кинематика

Постулаты теории относительности требуют внесения изменений в
основные физические понятия, относящиеся к пространству и вре­
мени. Прежде всего необходим анализ основных измерительных
операций, определяющих пространственно-временные соотношения
между событиями. Главное, что внесла теория относительности в
постановку вопроса об измерительных операциях, состоит в том, что
любое физическое понятие (например, измерение промежутков вре­
мени и расстояний) нуждается в определении.
Процедуры измерений. Измерение времени может быть, в принци­
пе, произведено при помощи любого периодического процесса. Наи­
большей точностью в настоящее время обладают часы, основанные
на использовании собственных колебаний молекул аммиака (моле­
кулярные часы) или атомов цезия (атомные часы). Основанное на
колебаниях атомов измерение времени особенно удобно тем, что
здесь природа предоставила нам, в силу тождественности атомов од­
ного и того же изотопа, набор совершенно идентичных часов. Выяс­
нять, идут ли выбранные в качестве эталона часы равномерно, —
бессмысленно: это по определению так.

16

I. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Одновременность событий и синхронизация часов. Что значит
измерить промежуток времени между событиями? Это значит
сравнить между собой показания выбранных в качестве эталона
часов в моменты наступления этих событий. А для этого нужно
установить одновременность рассматриваемого события с другим
событием — прохождением стрелки часов через определенное де­
ление. Таким образом, все наши суждения, в которых время иг­
рает какую-либо роль, всегда являются суждениями об одновре­
менных событиях.
Понятие одновременности событий, происходящих в одном и том
же месте, «рядом», не нуждается в определении. Поэтому для изме­
рения промежутка времени между двумя событиями, происходящи­
ми в одном месте, достаточно иметь в этом же месте часы. Но как
быть с «удаленными» событиями, происходящими в разных местах?
Для измерения промежутка времени между такими событиями нуж­
но иметь в тех точках, где они происходят, синхронно идущие иден­
тичные часы.
Но как узнать, что находящиеся в различных точках А и В часы
идут синхронно, или, что то же самое, как узнать, что два опреде­
ленных события в точках А и В происходят одновременно? Узнать
это нельзя, нужно сначала дать определение, что такое одновремен­
ность для пространственно удаленных точек. Без такого опреде­
ления невозможно сравнивать по времени события, происходящие в
различных точках.
Эйнштейновское определение одновременности основано на не­
зависимости скорости сигнала, распространяющегося с предельной
скоростью, от направления. Пусть из точки А в момент времени t{
по часам А отправляется сигнал (рис. 2). Пусть время прихода

сигнала в В и отражения назад на часах В есть t'. Наконец, пусть
отраженный сигнал приходит в А в момент t2 по часам А. Тогда по
определению часы в А и В идут синхронно, если t' = {tx + t2)/2.
Как уже отмечалось, в нерелятивистской физике принималось как
нечто само собой разумеющееся существование единого мирового вре­
мени, не зависящего от системы отсчета, и поэтому неявно допуска­
лось, что понятие одновременности в разных точках пространства не
нуждается в определении, а любой способ синхронизации часов (пу­
тем световых сигналов или путем перевозки хронометров) должен

§ 2. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА

17

дать одно и то же. Мы увидим, что на самом деле это не так. Если часы
в В синхронизированы с часами в А с помощью световых сигналов, и
хронометр С, сверенный с часами в точке А, перевозится затем в точку
В, то его показания в точке В не совпадут с показаниями находящихся
там часов, а будут зависеть от скорости перевозки. Совпадение будет
лишь при бесконечно малой скорости перевозки хронометра.
Измерение расстояний. Операцию измерения расстояний с точки
зрения постулатов теории относительности наиболее разумно опре­
делить на основе «радиолокационного» способа: из некоторого пун­
кта посылаются световые или радиосигналы, которые после отраже­
ния от наблюдаемого предмета возвращаются в точку отправления.
При этом измеряется время прохождения сигнала туда и обратно по
часам, связанным с радиолокатором. Расстояние до предмета полу­
чают, умножая одинаковую по всем направлениям скорость сигнала
на половину времени прохождения: I = c (t2 — ^i)/2.
В принципиальном отношении этот способ важен потому, что в
нем измерение расстояний сводится к измерению времени и отпада­
ет необходимость в отдельном эталоне длины.
Радиолокационный способ измерения расстояний не является
единственно возможным: можно было бы по определению в качестве
измерительной процедуры принять способ непосредственного нало­
жения жестких масштабов (линеек) или способ триангуляции. Од­
нако эти способы менее удовлетворительны, так как существенно
опираются на свойства твердых тел. Но абсолютно твердых тел в
природе не существует, реальные физические тела лишь прибли­
женно могут рассматриваться как твердые и обладающие неизмен­
ными геометрическими размерами.
Относительность одновременности событий. До сих пор наши
рассуждения относились к какой-либо одной инерциальной системе
отсчета. Будем теперь рассматривать события, промежутки времени
и расстояния с точки зрения разных систем отсчета.
В нерелятивистской физике время является абсолютным: для всех
систем отсчета вводится одно и то же время. Это значит, что если два
события происходят одновременно для какого-нибудь наблюдателя,
то они являются одновременными и для любого другого: понятие од­
новременности является абсолютным, не зависящим от системы от­
счета. Однако утверждение об абсолютном характере одновременно­
сти основано на предположении о существовании сигналов, распрост­
раняющихся мгновенно, с бесконечно большой скоростью.
Покажем, что второй постулат теории относительности, утвер­
ждающий существование предельной конечной скорости сигналов,
выражает относительный характер одновременности. Утверждение,
что два пространственно удаленных события происходят одновре­
менно, приобретает смысл только тогда, когда указано, к какой си­
стеме отсчета это утверждение относится.

18

I. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Рассмотрим опять две инерциальные системы отсчета К и К',
причем К движется относительно К в положительном направлении
оси х (рис. 3). Пусть из некоторой точки А на оси х отправляются
сигналы во взаимно противоположных направлениях. Рассмотрим
приход сигналов в точки В и С системы К', равноудаленные от А.
Очевидно, что сигналы достиг­
нут В и С одновременно по ча­
сам системы К'.
Легко видеть, однако, что эти
же два события — приход сигна­
лов в В и С, — одновременные в
К , отнюдь не будут одновремен­
ными для наблюдателя в системе
Рис. 3. Относительный характер одно­
К. В самом деле, согласно прин­
временности событий
ципу относительности скорость
сигналов в системе К также не зависит от направления, но точка В
относительно К движется направо, навстречу посланному в нее сиг­
налу, а точка С — по направлению от посланного в нее сигнала.
Поэтому с точки зрения наблюдателя в К сигналу, распространяю­
щемуся с конечной скоростью, приходится на пути в В преодолевать
меньшее расстояние, чем на пути в С. Следовательно, в системе К
сигнал в точку В придет раньше, чем в С, и, значит, понятие одно­
временности событий является относительным.
Относительность промежутков времени. Покажем теперь исходя
из основных постулатов теории относительности относительный ха­
рактерпромежутков времени между событиями. Пусть два события
в некоторой системе отсчета, скажем в К', происходят в одной и той
же точке и промежуток времени между ними равен т0 по часам си­
стемы К'. Этот промежуток времени называется собственным вре­
менем. Каким будет промежуток времени между этими же событи­
ями, если его измерить по часам системы К , относительно которой
К' движется со скоростью г?
Для ответа на этот вопрос рассмотрим мысленный опыт со «све­
товыми часами», устроенными следующим образом (рис. 4). На кон­
цах стержня длины / закреплены два параллельных зеркала. Между
зеркалами движется короткий световой импульс. Пусть этот прибор
неподвижен в системе К.' и его стержень расположен перпендику­
лярно скорости системы отсчета К' относительно К.
Рассмотрим один цикл таких часов, т. е. выход светового им­
пульса от нижнего зеркала и его возвращение после отражения от
верхнего зеркала с точки зрения каждой из систем отсчета. В си­
стеме к! оба рассматриваемых события происходят в одной и той
же точке и промежуток времени между ними (собственное время)
равен т0 = 21/с.

§ 2. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА

19

С точки зрения системы К часы находятся в движении и свето­
вой импульс движется между зеркалами зигзагообразно (рис. 4).
Свет при этом проходит за один цикл больший путь, и, следователь­
но, промежуток времени т между этими же событиями, измеренный
и

Рис. 4. Свет проходит от одного зеркала до другого и обратно за разное время в
различных системах отсчета

в системе отсчета К, больше, чем в К': х> т0. В этих рассуждениях
мы опираемся на то, что, согласно второму постулату, скорость све­
та с одинакова в К и К'.
Найдем связь т и т0. Как видно из рис. 4, пройденный светом за
один цикл путь равен 2V/2 + (кт/2)2, и для определения т можно
написать уравнение
ст = 2 V/ 2 + ( v x / 2 ) 2 ,

откуда

21

1

с Vl - v 2lc2'

Но, как мы видели выше, 2I/с равно промежутку времени т0
между этими событиями в К'. Поэтому
т -

т°

(1)

Vl - v 2lc2

Таким образом, промежуток времени между двумя событиями
зависит от системы отсчета, т. е. является относительным. Так как
при любой отличной от нуля скорости т > т0, то собственное время
меньше, чем промежуток времени между этими же событиями, из­
меренный в любой другой системе отсчета. Этот эффект называют
релятивистским замедлением или «растяжением» времени. С точки
зрения наблюдателя К идентичные по устройству движущиеся часы
(т. е. часы в К') идут медленнее, чем его собственные.

20

I. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Подчеркнем, что замедление времени является следствием инва­
риантности скорости света. Оно, разумеется, не зависит от конкрет­
ной конструкции часов.
Рассмотренный релятивистский эффект замедления времени яв­
ляется взаимным, как того требует принцип относительности, т. е.
постулат о равноправии инерциальных систем отсчета К и К': с точ­
ки зрения наблюдателя в системе К' медленнее идут часы, связан­
ные с системой К.
Отметим, что в приведенных рассуждениях длину стержня I в на­
правлении, перпендикулярном относительной скорости систем отсче­
та К и К 1, мы считали одинаковой в обеих системах отсчета. Если
предположить, что это не так, то можно сразу прийти к противоречию
с равноправием систем К и К . В самом деле, рассмотрим следующий
мысленный опыт. Расположим вдоль оси у системы К' жесткий стер­
жень, длина которого в этой системе равна /, и вдоль оси у системы
К расположим точно такой же стержень, т. е. длина этого стержня
равна / для наблюдателя в К. В некоторый момент эти стержни ока­
зываются рядом, и представляется возможность сравнить их непос­
редственно — конец одного из стержней может сделать метку на дру­
гом стержне. Совпадет ли эта метка с концом стержня? Принцип от­
носительности дает положительный ответ на этот вопрос: метка
совпадает с концом стержня, т. е. длина стержня в направлении, пер­
пендикулярном относительной скорости систем отсчета К и К ', оди­
накова в обеих системах. Если бы совпадения не было, то один из
стержней оказался бы длиннее другого с точки зрения обеих систем
отсчета, что противоречит принципу относительности.
Относительность пространственных расстояний. Покажем теперь,
что длина твердого стержня, расположенного вдоль направления от­
носительной скорости систем
к у* К'
отсчета К и К' (рис. 5), будет
различной в этих системах.
/п
o'J
Пусть стержень покоится в сис­
9- у
0Д
/z /г '
теме отсчета К . Его длину, из­
меренную в этой системе отсче­
к'
та, называют собственной дли­
ной. Обозначим ее через /0, а
длину в системе К, относитель­
O'J
но которой стержень движется
^ Q ,„
*
'
со скоростью v, через /. Найдем
связь между I и /0. Для этого
Рис. 5. Длина твердого стержня различна
рассмотрим два события: а)
прохождение начала стержня мимо точки А иа оси х системы К и б)
прохождение конца стержня мимо этой же точки. В системе К эти со­
бытия происходят в одной точке, и промежуток времени между ними

§ 2. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА

21

в системе К является собственным временем т0. Так как стержень
движется относительно К со скоростью v, то можно написать I = vx0.
Но с точки зрения наблюдателя в системе К' точка А движется вдоль
неподвижного стержня налево с такой же скоростью, поэтому /0 = vx,
где т есть промежуток времени между событиями а и б, измеренный
по часам в К'. Так как т = Tq/V1 — v2/c 2, то, комбинируя соотноше­
ния I = vxQи /0 = пт, находим

I=
®
с
Мы приходим к выводу, что длина стержня зависит от системы
отсчета, в которой она измеряется, т. е. является относительной.
При любой отличной от нуля скорости I < /0, т. е. длина стержня яв­
ляется наибольшей в той системе отсчета, в которой стержень поко­
ится. Движущиеся относительно наблюдателя тела сокращаются в
направлении своего движения. Этот релятивистский эффект носит
название лоренцева сокращения.
Лоренцево сокращение движущегося стержня отражает относи­
тельный характер расстояния между точками в теории относитель­
ности (т. е. зависимость расстояния от системы отсчета) и не связа­
но с какими-либо процессами или явлениями в самом стержне. Оно
тем не менее представляет собой вполне реальный эффект, столь же
реальный, как, например, зависимость скорости тела от выбора си­
стемы отсчета.
В полном соответствии с принципом относительности эффект со­
кращения длины стержня является взаимным: если такой же стер­
жень покоится в системе отсчета К, то его длина в этой системе
отсчета равна 10, а в системе К' длина будет меньше в соответствии
с приведенной формулой.
Классический предел. Как видно из полученной формулы, эффект
сокращения длины зависит от относительной скорости и систем
отсчета и становится особенно заметным для скоростей, сравни­
мых со скоростью света. При v —■►
с длина стремится к нулю: I —■*0.
Зависимость лоренцева сокращения от ско­
рости показана на рис. 6. При малых скоростях
( v « c ) I « /0 и т » т0, т. е. расстояние между
точками и промежуток времени между событи­
ями приобретают практически абсолютный
смысл в полном соответствии с классическими
представлениями о пространстве и времени,
сформировавшимися на основе многовекового
опыта наблюдений над сравнительно медленны- Рис 6 зависимость со.
МИ движениями, происходящими СО скоростякращения длины от отми, малыми по сравнению со скоростью света.
носительной скорости

22

I. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

•

Какие события считаю тся одновременными? Как производится синхро­
низация часов?

•

В чем заключается относительный характер одновременности событий?

•

Что называется собственным временем и собственной длиной?

•

Получите выражения для релятивистских эффектов замедления времени
и сокращения длины, исходя непосредственно из постулатов теории от­
носительности.

•

Получите формулу для лоренцева сокращения длины, рассм атривая
цикл световых часов, расположенных вдоль относительной скорости
двух систем отсчета.

§ 3. П реобразования Лоренца

Полученные в § 2 на основе постулатов теории относительности
формулы (1) и (2), связывающие промежутки времени и рассто­
яния между точками в разных системах отсчета, позволяют на­
писать релятивистский закон преобразования координат и времени
произвольногособытия при переходе от одной системы отсчета к
другой. Этотзакондолжен заменить основанные на классических
представлениях о пространстве и времени преобразования Галилея.
Рассмотрим, как и в § 1, описание некоторого события А в двух
инерциальных системах отсчета К и К'. Пусть координаты и время
этого события в системе К есть х, у, z и t, а в системе К 1— х', у , z и
t' (рис. 7). Как и прежде, считаем, что
‘К 'К'
А
при t = 0 точки О и о ' совпадают. Рас­
'I
стояния в направлении, перпендикуляр­
I
ном относительной скорости v систем от­
I
0%
счета, как уже было показано, одинако­
вы в К и К', поэтому у = у и z = z .
Координата х есть собственная длина
Рис. 7. Координаты одного и то­
/0 отрезка ОВ, неподвижного в К-сис­
го же события А в двух системах
отсчета
теме. Длина I этого же отрезка в
it'-системе, где измерение производится в момент времени t ' , есть
х + v t. Учитывая соотношение (2) предыдущего параграфа между
собственной длиной некоторого отрезка /0 и длиной I этого же отрезка
в системе отсчета, относительно которой он движется со скоростью v:
l = J l - £ ,

мы можем написать
'

X +

У

Vt =

_____
ifi1
2,

X у

откуда
х + vt'

§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА

23

Но можно рассуждать и иначе. Координата х' есть собственная
длина отрезка О'В, неподвижного в /Г-системе. Длина этого же от­
резка в it-системе, измеряемая в момент времени t по часам К, рав­
на х — vt. Снова учитывая соотношение между длиной одного и того
же отрезка в двух системах отсчета, можем написать
-vt
(2)
Vl - v 2lc2'

Формулы (1) и (2) представляют собой искомый закон преобразова­
ния координаты х при переходе от К' к К и обратно. Взятые вместе,
они позволяют найти связь между временем t и t' одного и того же со­
бытия в обеих системах отсчета. Исключая из (1) и (2) сначала х , а
затем х, найдем
V+ ~х'

t=

t -

■_1

(3j

V I — v lc 2

V 1 — v /c

Преобразования Лоренца. Интервал между событиями. Таким
образом, релятивистские формулы преобразования координат неко­
торого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета
к другой имеют вид
X -hvt

X = -=====,
Vl - v 2lc2

t

y = y,

t

z = z,

.

с

t = -= = = = .

/J 4

(4)

Vl - v 2lc2

Эти формулы называют преобразованиями Лоренца. Они заме­
няют преобразования Галилея, справедливые лишь в предельном
случае малых по сравнению со скоростью света относительных ско­
ростей. При v « c преобразования Лоренца (4) переходят в преоб­
разования Галилея. Это означает, что теория относительности не
отвергает полностью классические представления о пространстве и
времени, а включает их в себя как предельный случай, справедли­
вый для медленных движений. Теория относительности не отвергает
классическую физику, а определяет границы ее применимости.
Преобразования Лоренца выражают относительный характер
промежутков времени между событиями и расстояний между точка­
ми в пространстве. Однако наиболее характерной чертой теории от­
носительности является не утверждение относительного характера
пространства и времени, а установление абсолютных, не зависящих
от выбора систем отсчета законов природы.
Задача нахождения абсолютного выражения законов природы
тесно связана с отысканием абсолютных, инвариантных величин.
Одна из таких величин упоминается уже в основных постулатах —
это максимальная скорость распространения взаимодействий,
равная скорости света в вакууме с. Другой важной инвариантной

24

I. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

величиной является пространственно-временной интервал между
событиями, определяемый следующим соотношением:
5i2 = Vc2^ 2 - 1\г ,

(5)

где tn — промежуток времени между событиями в некоторой систе­
ме отсчета, а /12 — выраженное в той же системе расстояние между
точками, в которых происходят рассматриваемые события. В част­
ности, если одному из происходящих событий соответствуют коор­
динаты
= у, = z, = 0 и момент времени = 0, а второму — ко­
ординаты х, у, z и момент t, то интервал между ними
5 = Vc2t2- x 2 - y 2- z 2.

(6)

Пусть, например, первое событие представляет собой вспышку
света, происходящую в начале координат при t = 0, а второе —
приход фронта этой световой волны в точку с координатами x,y,z в
момент времени t. Тогда х 2 + у2 + z2 = c2t2 и интервал для такой
пары событий 5 = 0. Координаты и время второго события в другой
системе отсчета К' будут другими, но и для них в силу инвариант­
ности скорости света будет выполняться такое же соотношение
х + у’2 + z — c2t' и, следовательно, 5 = 0 . Таким образом, если
два события связаны между собой световым сигналом, то интервал
между ними равен нулю во всех инерциальных системах отсчета.
Этот результат является математическим выражением абсолютного
характера скорости света.
Инвариантность интервала. Для любой другой пары событий, не
связанных световым сигналом, интервал отличен от нуля, но вели­
чина его во всех инерциальных системах отсчета одинакова:
2Л
у
у
сЧЛ
—х У — yL
— ZL
= cy t. f 2 — х f2 —у '2 — z ' 2 .

В этом легко убедиться с помощью преобразований Лоренца (4),
подставив в левую часть выражения для х, у, z и t через координаты
и время этого же события х ’, у', z! и t' в другой системе отсчета. Ин­
вариантность интервала означает, что утверждение «два события
разделены интервалом 5» имеет абсолютный характер, т. е. оно
справедливо во всех инерциальных системах отсчета.
Классификация интервалов. Понятие интервала между событиями
является обобщением понятий промежутка времени и расстояния
между точками. В зависимости от того, какая составляющая — вре­
менная или пространственная — преобладает в рассматриваемом
интервале, возникает деление интервалов на времениподобные
и пространственноподобные. Для времениподобного интервала
c2t22 >
т- е- ^12 > 0- В этом случае всегда можно найти такую
систему отсчета К', в которой рассматриваемые события происходят

§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА

25

в одной точке, т. е. 1\2 = 0, и промежуток времени между ними в
такой системе отсчета является собственным временем t[2— то:
с2 _

„ 2 /2

Д12 —С112

_

/2

_

„ 2 /'2 ___

Ц2_ СГ12

2_

„ 2 Т2

4 2 — с т0-

Таким образом, для событий, разделенных времениподобным ин­
тервалом, всегда существует такая система отсчета, в которой этот
интервал (с точностью до постоянного множителя с) представляет
собой просто промежуток времени т0 между этими событиями. Для
этих событий понятия «раньше», «позже» имеют абсолютный харак­
тер. Очевидно, что между такими событиями может иметь место
причинно-следственная связь.
Для событий, разделенных пространственноподобным интерва­
лом, c2tf2 < Z?2, т. е.
< 0, а интервал является мнимым числом.
В этом случае всегда можно найти такую систему отсчета К', в ко­
торой эти события происходят одновременно, т. е. t\2 = 0:
„ 2 /2 _
С Г)2

/2 _ „ 2 / '2 _
4 2 — С Г12

/'2 _
4 2 —

2
42-

Абсолютная величина пространственноподобного интервала
представляет собой пространственное расстояние между событиями
в той системе отсчета, в которой эти события произошли одновре­
менно. Понятия «одновременно», «раньше», «позже» для таких со­
бытий относительны: всегда можно указать такие системы отсчета,
в которых первое событие происходит раньше второго, и такие, в
которых второе происходит раньше первого. Ясно, что между собы­
тиями, для которых теряют абсолютный смысл понятия «раньше» и
«позже», не может быть причинно-следственной связи.
Впрочем, невозможность причинной связи между событиями,
разделенными пространственноподобным интервалом, для которых
2 > c tl2, непосредственно видна из того, что никакой сигнал, ни­
какое взаимодействие не может распространяться со скоростью,
большей с.
Равный нулю интервал между событиями, связанными световым
сигналом, называют светоподобным.
Подчеркнем еще раз, что разделение интервалов между событи­
ями на времениподобные и пространственноподобные вследствие ин­
вариантности интервала является абсолютным, т. е. не зависящим
от системы отсчета.
Закон преобразования скорости. Преобразования Лоренца для ко­
ординат и времени события при переходе от одной инерциальной сис­
темы отсчета к другой позволяют сразу получить и закон преобразо­
вания скорости частицы. Пусть некоторая частица за малый проме­
жуток времени At по часам системы отсчета К переместилась из
точки с радиус-вектором г в точку с радиусом-вектором г + Аг. Тогда
по определению скоростью и этой частицы относительно системы К

26

I. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

называется предел отношения Ar/At при A t—»0. Скоростью и’ этой
же частицы в системе отсчета К1будет предел отношения Ar'/At', где
At' и Дг' — промежуток времени и изменение радиуса-вектора в К'
для той же пары событий, т. е. для конечного и начального положений
частицы. Применяя преобразования Лоренца (4) к конечному и на­
чальному положениям частицы и вычитая их почленно, получим
At' + -^г Дя'
.
Д я + иД<
.
. /
.
. I
. ,
с
Ах =
...... ,
Ду = Ду ,
A z= A z,
At = ...
V 1—

vlc2

V 1 —

v 2/c

Разделив почленно первые три равенства на четвертое, находим
Д я'

v2

Д у ' ч|

=т + «

A t _______

Дя

А у_ ___ A t

Д z ' л 1,

- V1- ^с

с2 A t'

у2

^

A z __ A t

с 2 A t'

с
с2 A t'

Переходя в этих формулах к пределу при At —*0, Д?'—»0, получим
U' +
~Х

V

I l_ v
+ C2U*

ЫУ ^
.

u v ~

У

^2

Uz V *

-------------------------1

с~ 2

u z — -------------------------•

v ,
1 + ^2 их

v ,
1 + ~^2их

(7 )

'

Выражения (7) представляют собой закон преобразования скоро­
сти частицы при переходе от одной инерциальной системы отсчета
к другой. Отметим, что поперечные к направлению относительной
скорости систем отсчета компоненты скорости частицы иу и uz, в от­
личие от поперечных координат у и г, не остаются неизменными.
Это связано с тем, что при переходе от одной системы отсчета к
другой время преобразуется.
В предельном случае v-^-c релятивистские формулы (7) перехо­
дят в формулы классической механики:
и х — и 'х +

и >

иу =

и 'у>

u z — U 'z-

Релятивистский закон преобразования скорости согласуется, ра­
зумеется, с исходным постулатом об инвариантности скорости света.
Рассмотрим, например, в системе отсчета К' световой импульс, рас­
пространяющийся вдоль оси х '. Для такого импульса и'х = с,
и'у = u'z — 0. Тогда, согласно (7), для скорости этого же импульса в
системе отсчета К получим
с+v

“x = T w F = C ’

п

“у = 0’

п

“z = ° ’

т. е. импульс и в системе К распространяется вдоль оси х со скоро­
стью с.

§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА

27

Аберрация света. В качестве примера применения релятивистского
преобразования скорости рассмотрим точечный источник света,
покоящийся в системе К' и равномерно излу­
чающий свет по всем направлениям (рис. 8).
Рассмотрим те 50 % светового потока, которые
источник излучает в переднюю полусферу в
системе отсчета К'. С точки зрения наблюда­
теля в системе К, относительно которой ис­
точник движется со скоростью v, излучение
уже отнюдь не будет изотропным: эти 50 % бу­
дут излучаться преимущественно вперед в
конус с углом 6 (рис. 9), причем cos 6 = v/c.
Рис. 8. Неподвижный ис­
В самом деле, в системе К' луч света, ог­ точник света излучает
раничивающий рассматриваемый пучок, на­ равномерно по всем на­
правлен вдоль оси у и для него и'х = 0, правлениям
иу = с, u'z = 0. Переходя в систему отсчета К, мы для этого же луча
получим, согласно формулам (7),
и'х = V,

и'у =V1 — v2/c 2,

= 0,

откуда
cos 6 =

y R +<

При скорости источника к, близкой к скорости света, пучок света
сконцентрируется в узкий конус, направленный вперед по движению,
с осью, совпадающей с направлением движения источника.
Совершенно аналогично с помощью релятивистского закона пре­
образования скорости объясняется явление звездной аберрации.
Движущийся наблюдатель обнаружит ис­
кажение картины звездного неба: для него
Вселенная «сжата» в направлении его дви­
жения по сравнению с картиной, которую
видит в том же направлении неподвижный
относительно звезд наблюдатель. Если
движущийся наблюдатель будет менять
свою скорость, то он обнаружит, что звезд­
ное небо «переливается» вокруг него: на­
правления, в которых он видит звезды, бу­
дут все время меняться, не образуя посто­ Рис. 9. Для наблюдателя, от­
носительно которого источ­
янных углов друг с другом. Именно в таком ник
света движется, излуче­
положении находится наблюдатель на Зем­ ние не является изотропным
ле, обращающейся вокруг Солнца. Каждые
полгода скорость Земли в ее годичном движении (30 км/с, т. е. 10”4с)
меняет направление на противоположное. В аберрации света звезд об­
наруживается, конечно, не сама скорость Земли, а тот факт, что эта

28

I. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

скорость изменяется: в разное время года положения звезд сдвинуты
по-разному.
•

Покажите, что в предельном случае малых скоростей v

где коэффициент пропорциональности, т. е. релятивистская мас­
са частицы, обозначен буквой т, видим, что равенство р 1у = р[у

36

I. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

будет обеспечено, если коэффициенту т в системе отсчета К'
приписать значение, даваемое формулой (3):

то
т = ■■■■:—

,

V 1 — t/2/ c 2

т. е. уменьшение поперечной составляющей скорости частицы
при переходе от системы К к К’ должно быть скомпенсировано
возрастанием коэффициента пропорциональности т между ско­
ростью и импульсом. Из приведенного вывода ясно, что это воз­
растание релятивистской массы, вызванное движением системы
отсчета, действительно связано с релятивистским кинематиче­
ским эффектом замедления времени.
Возвращаясь к рис. 12, вспомним, что был рассмотрен случай
скользящего столкновения, когда составляющая скорости части­
цы вдоль оси у была много меньше составляющей ее скорости
вдоль оси х. В этом предельном случае входящая в полученную
формулу относительная скорость v систем К и к ' практически
совпадает со скоростью частицы 1 в системе К'. Поэтому найден­
ное значение коэффициента пропорциональности между у-составляющими векторов скорости и импульса справедливо и для
самих векторов. Таким образом, соотношение (3) доказано.
Вывод выражения для энергии. Выясним теперь, к каким изме­
нениям в выражении для энергии частицы приводит формула для
релятивистского импульса.
В релятивистской механике сила F вводится таким образом,
чтобы соотношение между приращением импульса частицы Др и
импульсом силы F At было таким же, как и в классической физике:
Др = F At.
Будем считать, что энергия Ек частицы в релятивистской механи­
ке, как и в классической, представляет собой величину, изменение
которой на перемещении Дг равно работе действующей силы F:
АЕК= РДг = FvA? = vAp = хА(т х).
(7)
Здесь перемещение частицы Дг за время At выражено через ее
скорость v. Из формулы (7) и будем исходить при выводе выра­
жения для релятивистской энергии.
Перепишем формулу (3) следующим образом:
т2{ 1 — v2/c2) = т\.
Умножив обе части на с2 и раскрыв скобки, получим
т2с2 — {ту)2 = т\с2

( 8)

При движении частицы под действием силы F ее скорость и им­
пульс меняются. Для нахождения приращения левой части (8)

§ 5. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ

37

воспользуемся тем, что приращение квадрата любой переменной
величины / за малый промежуток времени приближенно равно
Д ( /2) = ( / + Д /) 2 - / 2« 2 / Д / .
Применяя эту формулу к равенству (8) и учитывая, что пра­
вая часть остается при этом неизменной, получаем
2тсА(тс) — 2 mvA(mv) = О,
откуда после сокращения на 2т имеем
А(тс2) = vA(m v).

(9)

Правые части в выражениях (7) и (9) совпадают. Поэтому левая
часть (9) представляет собой приращение кинетической энергии
частицы:
АЕк = А(т с2).
(10)
Таким образом, приращение кинетической энергии частицы
равноприращению ее релятивистской массы, умноженному на
квадрат скорости света. Так как кинетическая энергия покоя­
щейся частицы равна нулю, то из дифференциального соотноше­
ния (10), определяющего кинетическую энергию с точностью до
константы, немедленно следует формула (6). А
•

Как с помощью мысленного эксперимента можно показать, что состав­
ляю щ ая импульса частицы, перпендикулярная направлению относи­
тельной скорости двух систем отсчета, одинакова в обеих этих систе­
м ах? Какую роль при этом играют соображения симметрии?

•

Поясните связь зависимости релятивистской массы частицы от ее скорости
с релятивистским кинематическим эффектом замедления времени.

•

Каким образом можно прийти к релятивистской формуле для кинетиче­
ской энергии, основываясь на пропорциональности между приращ ения­
ми кинетической энергии и релятивистской массы?

§ 5. П римеры релятивистского движения частиц

Формулы (1) предыдущего параграфа вместе с уравнениями (2),
выражающими закон их изменения, служат основой для рассмотре­
ния любых задач релятивистской механики. Вместо этих формул
можно использовать две другие формулы, которые получаются из
них исключением скорости v:
Е 2 —р2с2 = т%с4

(1)

и почленным делением формул (1) § 4:
v = $P-

(2)

38

I. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Связь энергии и импульса. Соотношение (1) устанавливает связь
между энергией и импульсом частицы в релятивистской механике.
Энергия и импульс частицы зависят от системы отсчета. Но правая
часть в (1) представляет собой релятивистский инвариант. Это зна­
чит, что и стоящая в левой части комбинация Е2 — р2с2 изменяю­
щихся при переходе от одной системы отсчета к другой энергии и
импульса остается при таком переходе неизменной.
Для ультрарелятивистских частиц, энергия Е которых много
больше энергии покоя т0с2, соотношение (1) можно приближенно
переписать в виде
Е г» рс

(Е^> т 0с2).

(3)

Формула (2) выражает скорость релятивистской частицы через
ее энергию и импульс. В отличие от формул (1) § 4 эти формулы
не теряют смысла даже при v = с и поэтому пригодны для всех без
исключения релятивистских объектов. Часто они оказываются более
удобными и в практических приложениях.
Движение под действием постоянной силы. В качестве первого
примера рассмотрим движение первоначально покоившейся частицы
с зарядом д и массой покоя т0 в однородном электрическом поле
напряженности Е. Действующая
на частицу сила F постоянна и
равна дЕ. Поэтому из закона из­
менения импульса Др = F At не­
медленно следует, что
р = Ft.
(4)

Рис. 13. Скорость частицы при движе­
нии в однородном электрическом поле

Подставляя это выражение
для импульса частицы в формулу
(1), получим
E2 = ( F t) 2c2 + m2c4.

(5)

Теперь с помощью (2) находим скорость частицы v спустя про­
межуток времени t после начала движения:

V= ----/

■т-

т 0\ 1 + (F t!m 0c)

(6)

Если Ft/m0c « I, т. е. электрическое поле слабое или мало время
движения, то в подкоренном выражении в (6) можно пренебречь
вторым слагаемым, и для скорости получается обычное нерелятиви­
стское выражение:
F

§ 5. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ

39

Если Ft/m 0c^> 1, то под корнем в (6) можно пренебречь единицей
по сравнению со вторым слагаемым. Видно, что при этом скорость v
стремится к с. На рис. 13 показана зависимость скорости v от времени.
Движение в магнитном поле. Перейдем к рассмотрению движения
заряженной частицы в однородном магнитном поле. Поскольку дейст­
вующая на частицу со стороны магнитного поля сила Лоренца пер­
пендикулярна скорости частицы, то скорость не меняется по модулю
и, следовательно, не меняется и релятивистская масса частицы т.
Поэтому закон изменения импульса частицы запишется в виде

Если скорость v перпендикулярна вектору индукции магнитного
поля В, то частица движется по окружности и ее ускорение равно
v 2/ R , где R — радиус окружности. В этом случае уравнение (8) дает
т ^ = qvB.

(9)

Для угловой скорости обращения сос, связанной с линейной ско­
ростью v обычным соотношением v = соcR, с помощью (9) находим

Выражение (10) имеет такой же вид, как и нерелятивистская фор­
мула для угловой скорости обращения в магнитном поле, только в
знаменателе стоит релятивистская масса частицы т, связанная с ее
массой покоя mQсоотношением
т
Ускоритель на встречных пучках. В качестве третьего примера рас­
смотрим ускоритель заряженных частиц на встречных пучках. Выяс­
ним, в чем преимущество таких ускорителей по сравнению с обычны­
ми ускорителями с неподвижной мишенью, и установим соответствие
между кинетической энергией частицы Ек в обычном ускорителе и
эквивалентной энергией Е'к в ускорителе со встречными пучками.
Одной из важнейших характеристик ускорителя является та доля
кинетической энергии разогнанных элементарных частиц, которая
может быть использована для реакции образования новых частиц.
В обычных ускорителях, когда частица-мишень неподвижна, требо­
вание сохранения импульса исключает возможность превращения
всей кинетической энергии частицы-снаряда в энергетический экви­
валент массы покоя новых частиц, образующихся при столкновении.
В самом деле, до столкновения суммарный импульс снаряда и мишени
отличен от нуля. Такой же суммарный импульс должен быть и после

40

I. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

столкновения. Поэтому образовавшиеся в результате столкновения
частицы не могут находиться в покое и, следовательно, часть началь­
ной кинетической энергии снаряда переходит в кинетическую энер­
гию частиц после столкновения.
Однако если сталкивающиеся частицы с равными массами летят
навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, то в результате
неупругого удара вся кинетическая энергия налетающих частиц мо­
жет быть использована для рождения новых частиц: поскольку на­
чальный импульс системы равен нулю, то ничто не запрещает по­
коиться образовавшимся в результате столкновения частицам.
Оценим вначале «выигрыш» в энергии для простого случая стол­
кновения одинаковых нерелятивистских частиц. Используя закон
сохранения импульса, легко убедиться, что в этом случае при не­
подвижной мишени для реакции образования новых частиц может
быть использована только половина кинетической энергии налетаю­
щей частицы Ек: АЕ — E J2. Если же столкнутся движущиеся на­
встречу друг другу частицы с кинетическими энергиями Е к, то для
реакции может быть использована вся их кинетическая энергия
АЕ = 2ЕК. Таким образом, используя ускоритель, способный разо­
гнать частицы до кинетической энергии £ к, мы можем с помощью
накопительных колец повысить эффективность использования кине­
тической энергии в четыре раза.
Идея устройства накопительных колец показана на рис. 14. Пу­
чок частиц из ускорителя с помощью быстродействующего магнитапереключателя А разделяется на два пучка, каждый из которых с
помощью системы отклоняющих магнитов A vi В направляется в
свое кольцо, где обращается по орбите благодаря удерживающему
магнитному полю, перпендикулярному плоскости рисунка. На об­
щем участке CD происходят
столкновения движущихся на­
встречу друг другу частиц.
Итак, в нерелятивистском
случае неупругого столкнове­
ния частиц одинаковой массы,
одна из которых покоится,
т. е. при использовании непод­
вижной мишени, только поло­
вина первоначальной энергии
может
перейти в энергию по­
Рис. 14 Накопительные кольца
коя рождающихся
частиц.
А как обстоит дело в случае
релятивистских частиц, с которыми имеет дело физика высоких
энергий? Оказывается, что для неподвижной мишени дело обстоит
еще хуже. Чтобы убедиться в этом, придется тщательно
рассмотреть законы сохранения энергии и импульса при столкно­
вении релятивистских частиц.

§ 5. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ

41

Рассмотрим неупругое столкновение релятивистской частицы с
массой покоя т0 с такой же покоящейся частицей.
Будем искать энергию АЕ, которая может быть использована для
образования новых частиц в этом случае. Обозначим через М 0 пол­
ную массу покоя системы после столкновения. Тогда АЕ есть не что
иное, как увеличение энергии покоя частиц, которое произошло в
рассматриваемом столкновении:
АЕ = М 0с2 —2т0сг.

(11)

Найдем теперь М0 — массу покоя частиц системы после столк­
новения. Применим к столкновению законы сохранения энергии и
импульса. Из формулы (1) выразим квадрат импульса любой части­
цы р2 через ее полную энергию Е:
Рг

- ~

у

-

г п \с г .

( 12)
Полная энергия релятивистской частицы Е есть сумма энергии по­
коя частицы и ее кинетической энергии:
Е = 2т0сг + Ек.
(13)
Энергия, которой характеризуют ускорители, — это кинетическая
энергия разогнанных частиц Ек, Учитывая, что до столкновения одна
из частиц покоилась (р2 = 0), запишем квадрат импульса всей систе­
мы до удара Р2, равный квадрату импульса налетающей частицы р2
(12), в виде
(14)
Согласно закону сохранения энергии полная энергиясистемы после
столкновения Е' такая же, как и до столкновения, т.е. равна сумме
энергий покоя обеих частиц и кинетической энергии налетающей
частицы:
Е '= 2 т 0с2 + Ек.
(15)
Запишем теперь квадрат импульса системы после столкновения с
помощью (12) и (15):


Полный импульс системы до удара (14) и после удара (16) обозна­
чены одной и той же буквой Р, так как полный импульс системы
сохраняется. Приравнивая правые части равенств (14) и (16), после
простых преобразований находим М0:
F.

\>«

42

I. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Теперь для АЕ в (11) получим
(18)

АЕ = 2т0с2

Легко видеть, что для нерелятивистской частицы, кинетическая
энергия которой много меньше энергии покоя Е^ h.

(3)

Д у Д р у »

§ 7. ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

57

Кроме соотношений (1)—(3) справедливо соотношение, связыва­
ющее неопределенность в изменении энергии частицы и неопреде­
ленность в моменте времени, когда это изменение произошло:
A E A t^ h .
(4)
Это соотношение получило название неравенства Бора—Гейзен­
берга. Оно фактически означает, что определение энергии с точно­
стью до АЕ должно занять промежуток времени, равный по меньшей
мере At ~ h/AE. Таким образом, если изучаемая система находится
в некотором состоянии в течение времени At, то ее энергия имеет не­
определенность не менее АЕ ~ h/At, поскольку At — наибольший
промежуток времени, в течение которого можно измерять энергию.
Соотношения неопределенностей Гейзенберга являются одним из
фундаментальных законов природы. Они справедливы для любых ма­
териальных объектов — элементарных частиц, квантов света, ато­
мов, молекул и т. д. Справедливость соотношений неопределенно­
стей, как и всех других фундаментальных законов природы, подтвер­
ждается всей совокупностью имеющихся экспериментальных фактов.
Иллюстрация соотношения неопределенностей. Проиллюстриру­
ем неравенство Гейзенберга (1), рассматривая дифракцию плоской
световой волны на узкой щели.
Пусть на непрозрачный экран А со щелью шириной Ах падает сле­
ва плоская монохроматическая волна (рис. 20). На удаленном экране

Рис. 20. Дифракция света на щели

В (на рис. 20 размер щели сильно преувеличен по сравнению с рассто­
янием между экранами) наблюдается дифракционная картина, рас­
пределение освещенности для которой показано на этом же рисунке.
Почти весь дифрагировавший свет приходит в область на экране
В, ограниченную главным максимумом. Угловую ширину этого мак­
симума легко вычислить. Направление на ближайший минимум ха­
рактеризуется углом 0, определяемым из условия
Ах sin 0 = к.
(5)

58

II. ЗАКОНЫ МИКРОМИРА. ЧАСТИЦЫ И ВОЛНЫ

Рассмотрим теперь эту дифракционную картину с точки зрения
представления о свете как о совокупности световых квантов — фо­
тонов. Каждый фотон, прошедший через щель, попадает в опреде­
ленную точку на экране В. Предсказать, в какую именно точку по­
падет отдельный фотон, принципиально невозможно. Однако в со­
вокупности большое число попавших на экран В фотонов дает
дифракционную картину, представленную на рис. 20. На первый
взгляд могло бы показаться, что дифракционную картину можно
объяснить взаимодействием между различными фотонами, проходя­
щими через щель, т. е. только в рамках корпускулярных представ­
лений. Однако, уменьшая интенсивность света до таких пределов,
коща в любой момент времени между источником света и экраном
будет находиться в среднем только один фотон, можно убедиться,
что распределение фотонов, попавших на экран за достаточно боль­
шой промежуток времени, по-прежнему будет определяться диф­
ракционной картиной. Таким образом, дифракция представляет со­
бой статистическое свойство отдельного фотона.
Проследим, как происходит движение фотона в этом приборе. До
щели в экране А распространяется плоская монохроматическая вол­
на, т. е. нам точно известен импульс фотонов
направленный по оси z. Составляющая импульса фотона по оси х
равна нулю, т. е. известна точно, но зато совершенно не определена
х-координата фотона. При прохождении фотона через щель в экра­
не А ширина щели Ах будет служить мерой неопределенности зна­
чения х-координаты фотона. В самом деле, факт появления фотона
на экране В позволяет сделать лишь тот вывод, что фотон проник
сквозь щель; в какой же именно точке щели это произошло неизве­
стно. Далее, по корпускулярным представлениям, возникновение на
экране дифракционной картины следует истолковать в том смысле,
что каждый фотон, пройдя через щель, отклоняется либо вверх, ли­
бо вниз. Но для этого фотон должен приобрести составляющую им­
пульса Арх, перпендикулярную направлению первоначального дви­
жения. Модуль полного импульса фотона р, как видно из формулы
(6), при этом не меняется, ибо остается неизменной длина волны.
Поскольку большая часть фотонов попадает в область главного
максимума, но принципиально невозможно предсказать, куда попа­
дет каждый фотон, то из рис. 20 ясно, что мера неопределенности
х-компоненты импульса Арх после прохождения через щель есть
Арх > р sin 0.
(7)
Перемножая почленно (5) и (7) и учитывая соотношение между
импульсом фотона и длиной волны света (6), получаем для момента
времени, когда фотон проходит через щель,
Ах Арх > Л,

§ 7. ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

59

что совпадает с формулой (1). Подчеркнем, что проделанный вывод
не является доказательством соотношений неопределенностей, а
представляет собой лишь иллюстрацию их справедливости для кон­
кретного случая.
Границы применимости классических представлений. Соотноше­
ния неопределенностей устанавливают принципиальную границу
применимости законов классической физики. Используя их, можно
выяснить, справедливы ли представления классической физики для
описания конкретного явления. Совершенно очевидно, что для мак­
роскопических объектов — планет, искусственных спутников, ар­
тиллерийских снарядов классическое описание является совершенно
правильным. Легко убедиться, что при любой достижимой точности
измерений координат и импульсов этих объектов соотношения неоп­
ределенностей выполняются с огромным запасом и, следовательно,
квантовые эффекты никак не проявляются.
Рассмотрим, например, металлический шарик с массой 0,01 г.
Если мы определим его положение с точностью Ах ~ 0,001 см, до­
ступной нашему зрению в поле микроскопа, то, согласно соотно­
шению неопределенностей, неопределенность скорости такого ша­
рика равна
Av = —
« —
% 6 -10-22 см/с.
т
тАх
Такая точность лежит далеко за пределами возможностей изме­
рений.
Посмотрим, как обстоит дело при изучении свойств более мел­
ких объектов, например электронов. Оказывается, что однозначного
ответа на вопрос, применимы ли представления классической физи­
ки, в этом случае дать нельзя — все зависит от того, какое явление
изучается.
Рассмотрим вначале пучок электронов в кинескопе телевизора.
В современном телевизоре ускоряющее напряжение 1/ « 15 кВ. Ра­
зогнанный такой разностью потенциалов электрон обладает им­
пульсом р = 'Jlm eU . Подставляя в эту формулу значения массы
электрона т, его заряда е и ускоряющей разности потенциалов,
находим в системе СГС: р = 6 ,6-10~18 г см/с. Этот импульс на­
правлен вдоль оси трубки. Диаметр пучка, формируемого в совре­
менных телевизорах, не бывает меньше d = 10~3 см (для телевизо­
ра меньший диаметр просто не нужен). Формируя пучок, мы тем
самым фиксируем координату электрона в перпендикулярном оси
пучка направлении с точностью Ах, равной диаметру пучка d.
В силу соотношения неопределенностей при этом электрону
сообщается неконтролируемый импульс Ар, перпендикулярный оси
пучка:
Ар ^

4

6,6- КГ24 г-см/с.

60

II. ЗАКОНЫ МИКРОМИРА. ЧАСТИЦЫ И ВОЛНЫ

Связанная с этим неопределенность в направлении движения
электрона Д0 определяется отношением
Д0 = у - я» 10“6 рад.
Поскольку длина пути электрона в кинескопе не превышает
I ~ 1 м, то неконтролируемое смещение AS электрона на экране, вы­
зываемое квантовыми эффектами, т. е. неопределенностью в направ­
лении движения электрона Д0, не превосходит AS ^ /Д0 = 10-4 см,
т. е. меньше диаметра пучка. Итак, движение электронов в кинескопе
телевизора можно рассматривать с помощью законов классической
физики.
Рассмотрим теперь электрон в атоме водорода. Известно, что
размер атома водорода d равен приблизительно 10-8 см. Классиче­
ское описание поведения электрона в атоме предполагает, что ему
можно приписать определенную траекторию. В планетарной модели
атома электрон обращается вокруг ядра. Диаметр его орбиты можно
считать равным размеру атома. В классической механике условие
его движения по круговой орбите радиуса г — второйзакон Ньюто­
на — имеет вид
т у 2 __

г ~ г2 ■
Отсюда получаем для импульса электрона р = mv:
-г

т

P=e-]jy

~

1 А — 20 Г СМ
« -I2-10
— .

( 8)

Однако с помощью соотношения неопределенностей убеждаемся,
что если электрон находится внутри атома, т. е. неопределенность в
значении его координаты Ах не превосходит размеров атома d, то
соответствующая неопределенность в значении импульса Ар ока­
зывается больше, чем сам импульс, вычисляемый по формуле (8):
Др
« -рг®^d « 6,6
■10~20
^
Дх
'

с

Итак, для электрона в атоме классическое описание непригодно.
Далее на конкретных примерах будет показано, что с помощью со­
отношений неопределенностей можно не только убедиться в том,
справедливы или нет классические законы в определенных ситуаци­
ях, но и исследовать некоторые свойства квантовых объектов.
•

Какие опыты свидетельствуют о наличии волновых свойств у электро­
нов?

•

Какие абстракции лежат в основе классического способа описания ф и ­
зических явлений?

•

В чем заключается абстракция, связанная с абсолю тизацией понятия
физического процесса? Поясните примерами.

§ 8. СВЕТ — ЧАСТИЦЫ ИЛИ ВОЛНЫ?

61

•

В чем заклю чается абстракция, связанная с возможностью сколь угодно
подробной детализации описания явлений? Поясните примерами.

•

С ф ормулируйте соотношения неопределенностей Гейзенберга и разъяс­
ните их физический смысл.

•

Поясните, почему величины Ах и Арх в соотношении (1) неправильно
понимать только как неточности одновременного измерения координаты
х и проекции импульса Арх.

•

К а к и м образом явление д и ф р а к ц и и света н а щ ели можно использовать
д л я и л л ю стр ац и и соотнош ения неопределенностей Гейзенберга для ф о ­
тонов?

•

Поясните, каким образом при диф ракции монохроматической волны на
щели можно получить условия (5) для направления на ближ айш ий к
центральному максимуму минимум дифракционной картины.

•

Почему соотношения неопределенностей Гейзенберга не накладывают
никаких ограничений на классическое описание движения макроскопи­
ческих тел?

•

К ак в конкретных случаях с помощью соотношений неопределенностей
можно выяснить возможность использования классической м еханики
для описания движения электрона?

§ 8. С в ет —

частицы или волны?

Корпускулярно-волновой дуализм. Попробуем использовать соот­
ношения неопределенностей, чтобы разобраться в вопросе: что же
все-таки такое свет частицы или волны? Как мы видели, некоторые
оптические явления свидетельствуют в пользу волновых представле­
ний, другие могут быть объяснены только с корпускулярной точки
зрения. Наконец, существует целый ряд оптических явлений, кото­
рые допускают объяснение как с точки зрения волновых, так и с
точки зрения корпускулярных представлений о свете.
Рассмотрев несколько примеров, мы могли убедиться, что при
анализе конкретных явлений эта двойственная природа света никак
не мешала нашим рассуждениям и не приводила к логическим про­
тиворечиям. Нам только нужно было выбрать, на волновом или кор­
пускулярном языке вести рассмотрение, и последовательно придер­
живаться выбранного способа описания.
Противоречие возникает только тогда, когда мы пытаемся соста­
вить общее представление о свете. Действительно, соотношение
Е = hv или р = hv/c связывает волновые и корпускулярные свойст­
ва фотона: правые части содержат величину v, определяемую из ин­
терференционных явлений, а левые части, Е и р, характеризуют
фотон как частицу. Но именно эти-то свойства света и не могут
быть логически непротиворечиво объяснены классической физикой,
ибо с точки зрения классической физики понятия волны и частицы
являются взаимоисключающими.

62

И. ЗАКОНЫ МИКРОМИРА. ЧАСТИЦЫ И ВОЛНЫ

Частицы и волны в классической физике. Действительно, в клас­
сической физике частица всегда движется по определенной траекто­
рии и в каждый момент времени имеет определенные координаты и
скорость. Если вблизи траектории расположить преграды, которых
траектория не задевает, то частица просто «не заметит» таких пре­
град, если, разумеется, они не оказывают на нее силового воздейст­
вия посредством каких-либо полей. Для волнового движения харак­
терно понятие протяженного фронта волны (или волновой поверх­
ности), и тем самым отсутствует представление о какой-либо
траектории. Помещение преград на пути волны принципиально из­
меняет условия ее распространения. Различия в свойствах частиц и
волн настолько существенны, что не возникает даже мысли о воз­
можности сочетания этих свойств у одного объекта. И тем не менее,
в явлениях микромира оказалось, что эти свойства проявляются у
одних и тех же объектов.
Мысленный опыт, снимающий логические противоречия. Для
иллюстрации возникающих логических трудностей, а также для
демонстрации того, как они преодолеваются квантовой теорией, рас­
смотрим подробнее уже упоминавшийся выше простой мыслен­
ный дифракционный опыт, схематически представленный на
рис. 21. Реальные опыты, которые могут быть осуществлены, более

Рис. 21. Дифракция света на двух щелях

сложны, но их результаты подтверждают справедливость заключе­
ний, сделанных в результате анализа обсуждаемого здесь мысленно­
го опыта.
Источник света S освещает экран А, в котором прорезаны две
щели. Расстояние от Л до Б велико по сравнению с расстоянием
d между щелями, которое в свою очередь много больше длины
световой волны. На светочувствительном экране В возникает диф­
ракционная картина, причем в местах дифракционных максимумов
вырывается наибольшее число фотоэлектронов. Как и в разобран­
ном выше опыте с дифракцией на одной щели, эксперимент пока­
зывает, что дифракционная картина сохранится и в том случае,

§ 8. СВЕТ — ЧАСТИЦЫ ИЛИ ВОЛНЫ?

63

если в каждый момент времени между источником и экраном в
среднем будет находиться только один фотон. Распределение мно­
жества фотонов, попавших на экран за достаточно большой про­
межуток времени, по-прежнему будет определяться классической
картиной дифракции от двух щелей, хотя при вырывании фото­
электронов из экрана В фотоны ведут себя как частицы, каждая
из которых выбивает электрон в определенном месте экрана.
Если закрыть одну из щелей, то интерференционные полосы
пропадают — распределение интенсивности на экране становится
таким же, как при дифракции на одной щели, и при очень узкой
щели становится практически равномерным. Поэтому мы вынужде­
ны считать, что при движении от источника света через щели до
экрана В излучение ведет себя как волна. Если попытаться объяс­
нить результаты опыта с помощью представления о свете как о ча­
стицах, то нужно считать, что каждый фотон, по-видимому, прохо­
дит только через одну из щелей. Но тогда, в рамках чисто корпу­
скулярных представлений, можно было бы спросить: каким образом
поток независимых фотонов, каждый из которых проходит только
через одну из щелей, может образовать дифракционную картину,
наблюдаемую лишь при наличии обеих щелей? Или, другими сло­
вами, каким образом щель, через которую фотон не проходит, не
позволяет ему попасть на те места экрана, куда он мог бы попасть,
если бы эта щель была закрыта?
В этой формулировке вопроса предполагается, что фотон дейст­
вительно проходит через одну из щелей. С точки зрения классиче­
ской теории это допущение является естественным, ибо предполага­
ется, что в любой момент времени фотон (как и любая другая час­
тица) движется по определенной траектории, т. е. имеет
определенные координаты, доступные измерению. Современная
квантовая теория отказывается от этого допущения, утверждая, что
говорить о положении фотона имеет смысл лишь в том случае, если
при постановке опыта мы позаботимся об определении его коорди­
наты. Значит, если мы хотим считать, что каждый фотон действи­
тельно, подобно частице, проходит только через одну из щелей, мы
должны поставить какой-либо измерительный прибор, который бы
фиксировал нам факт прохождения фотона через определенную
щель. Если мы попробуем с помощью специальных счетчиков С и
D фиксировать, через какое отверстие проходит каждый фотон, то
обнаружим, что дифракционная картина на экране В размоется.
Попробуем объяснить этот экспериментальный факт, используя со­
отношения неопределенностей Гейзенберга. Выясним, можно ли в
принципе наблюдать на экране В интерференционные полосы, если
точно определять, через какие отверстия проходит фотон.
Если с помощью счетчиков, установленных непосредственно
вблизи отверстий в экране А, мы будем определять, через какое
именно отверстие проходит каждый фотон, то тем самым мы

64

И. ЗАКОНЫ МИКРОМИРА. ЧАСТИЦЫ И ВОЛНЫ

действительно заставим свет проявлять корпускулярные свойства,
ибо только для частицы имеет смысл утверждение, что она прошла
через определенное отверстие, для волны вопрос о том, через какое
отверстие она прошла (разумеется, если открыты оба), вообще ли­
шен смысла.
Для того чтобы уверенно судить о том, через какое отверстие
прошел фотон, нужно с помощью счетчиков определять его коорди­
нату х с достаточной точностью, так чтобы ошибка Дх в опреде­
лении координаты фотона была бы меньше половины расстояния
между отверстиями:
( 1)

Однако не следует стремиться определять х-координату фотона
слишком точно, так как в силу соотношения неопределенностей
Гейзенберга
ДхДрх 3= h

(2)

это приводит к слишком большой неопределенности в значении хкомпоненты импульса фотона и дифракционная картина на экране
В заведомо размажется, т. е. нам тогда не удастся наблюдать в этом
опыте проявление волновых свойств света.
Итак, для наблюдения одновременного проявления светом кор­
пускулярных и волновых свойств необходимо определять координа­
ту фотона с максимальной неопределенностью, совместимой с выра­
жением (1), т. е. с возможностью установления, через какое отвер­
стие прошел фотон, надеясь при этом, что вносимая при измерении
координаты неопределенность в значении импульса Арх еще не
приведет к полному размытию интерференционных полос. Выясним,
совместимы ли эти условия.
Какова максимально допустимая неопределенность в значении
импульса Арх, которая еще не приводит к полному уничтожению
дифракционной картины? Дифракционная картина от двух отвер­
стий, наблюдаемая на экране В, состоит из чередующихся светлых
и темных полос. Угловое расстояние Д0 между направлениями на
соседние максимум и минимум определяется из условия с?Д0 = Х/2,
поскольку максимумы расположены в тех точках экрана В, разность
хода до которых от отверстий в экране А равна целому числу длин
волн. Неопределенность в значении импульса Дрх можно выразить
через неопределенность направления импульса A0t: Арх = рД0г
Интерференционные полосы, очевидно, не будут полностью размы­
ты, только если Д01 < Д0, т. е.
Др*

р

х
2d'

§ 8. СВЕТ — ЧАСТИЦЫ ИЛИ ВОЛНЫ?

65

Используя соотношение между импульсом фотона и длиной вол­
ны Л = h/p, можно переписать это неравенство в виде
2d&px < h.

(3)

Таким образом, для проявления волновых свойств света в этом
опыте должно выполняться неравенство (3), а для проявления кор­
пускулярных свойств — неравенство (1). Объединяя эти неравенст­
ва, получаем условие одновременного проявления светом корпуску­
лярных и волновых свойств:
АхД рх < hi А.
Но это условие противоречит соотношению неопределенностей, а
потому не может быть выполнено. Итак, установив, через какие от­
верстия проходят фотоны, мы теряем дифракционную картину и не
можем говорить о проявлении фотонами волновых свойств. Мы рас­
смотрели упрощенный мысленный опыт. В более сложном варианте
подобные опыты действительно были поставлены и полностью под­
твердили результаты приведенного здесь анализа.
Подведем некоторые итоги. Как мы видели, отдельные фотоны об­
наруживают волновое поведение, заключающееся в том, что каждый
фотон проявляет интерференционные свойства независимо от других
фотонов. Но, попадая на экран, фотоны обнаруживают корпускуляр­
ное поведение, заключающееся в том, что они взаимодействуют с ве­
ществом только в определенных точках. Если при этом не делать по­
пытки экспериментально наблюдать траектории фотонов до попада­
ния их на экран, то, пропустив большое число фотонов, мы будем
наблюдать на экране дифракционную картину, предсказываемую
волновой теорией. Но предсказать, в какое место экрана попадет
определенный фотон, невозможно. Это можно сделать только в веро­
ятностном смысле: вероятность попасть фотону в область минимума
мала. Для проверки такого предсказания нужно большое число фото­
нов. Если же фиксировать траектории фотонов до попадания на эк­
ран, то фотоны вовсе не проявляют волновых свойств.
Фотон — квантовый объект. Как же понимать тот факт, что фо­
тоны выступают иногда в облике частиц, а иногда в облике волн?
Квантовая теория отвечает на этот вопрос так: фотон представляет
собой квантовый объект, а когда мы описываем его поведение как
поведение частицы или волны, мы навязываем классическое описа­
ние этому объекту, имеющему существенно неклассическую приро­
ду. Рассматривать поведение фотона имеет смысл, только исходя из
результатов измерений, совершаемых над ним. Поэтому то, как по­
ведет себя фотон — как частица или как волна, зависит от харак­
тера проводимого над ним измерения.
Итак, что же такое свет — частицы или волны? Ни то, ни
другое. Мы можем заставить материальный объект, который мы
3 Е. И. Бутиков и др. К нига 3

66

II. ЗАКОНЫ МИКРОМИРА. ЧАСТИЦЫ И ВОЛНЫ

называем светом, проявлять либо корпускулярные, либо волновые
свойства. Но в принципе невозможно осуществить эксперимент, в
котором свет одновременно проявлял бы и те, и другие свойства.
Этим устраняется логическая трудность. Действительно, нам боль­
ше не нужно пытаться представить себе, как это фотон может
быть одновременно и волной, и частицей. Теперь корпускулярно­
волновой дуализм мы понимаем в том смысле, что свет обладает
потенциальной возможностью проявлять и волновые, и корпу­
скулярные свойства, но они никогда не проявляются одновременно.
Соотношения E — hv и р = hv/c означают, что между этими вза­
имно исключающими друг друга свойствами имеет место эквива­
лентность в том смысле, что меры этих свойств всегда пропорци­
ональны. Эти свойства дополняют друг друга, ибо только их со­
вокупность дает полное представление о свете. Но, как
показывают соотношения неопределенностей, в любом явлении в
зависимости от конкретных условий реализуется только одна воз­
можность.
Корпускулярно-волновой дуализм присущ не только фотонам, но
и любым другим микрообъектам.
Волны де Бройля. Мы уже упоминали об экспериментах, в кото­
рых наблюдалась дифракция электронов при прохождении их сквозь
кристаллы. Но еще до осуществления таких экспериментов, в
1924 г., Луи де Бройль предположил, что все частицы должны обла­
дать волновыми свойствами, подобными волновым свойствам света,
и ввел количественное соотношение между длиной сопоставляемой
частице волны и импульсом частицы, аналогичное соотношению
между длиной волны и импульсом фотона:
Л=

р

(4)

Несколько лет спустя Джермер и Дэвиссон,изучая рассеяние
электронов кристаллами, обнаружили дифракциюэлектронов, по­
добную дифракции света на решетке. Атомы кристалла никеля, ко­
торый использовался в опыте, образуют регулярную конфигурацию,
которая действует подобно дифракционной решетке. Максимумы в
распределении рассеянных кристаллом электронов находились на
тех местах, для которых выполнялось условие
п \ = d sin 0.

(5)

Но это условие совпадает с известным условием для максимумов
при дифракции волн на решетке с периодом d. Вычисленное по (5)
значение длины волны X совпадало со значением, даваемым (4), с
погрешностью до 1 %. Следовательно, электроны, отражаясь от кри­
сталла, дифрагируют точно так же, как если бы они были волнами
с длиной, предсказанной де Бройлем.

§ 8. СВЕТ — ЧАСТИЦЫ ИЛИ ВОЛНЫ?

67

Волновые свойства микрочастиц. Результаты этого опыта имеют
фундаментальное значение, ибо они демонстрируют волновые свой­
ства вещества, которые не могут быть поняты в рамках представле­
ний о том, что вещество состоит из классических частиц. Более поз­
дние опыты показали, что и другие частицы вещества, даже такие
относительно крупные, как молекулы, также проявляют волновые
свойства.
Когда реальность проявления волновых свойств микрочастицами
стала очевидной, возникла необходимость как-то интерпретировать
волны де Бройля, придать им определенный физический смысл. По­
явилась концепция «волны-пилота», в которой предполагалось, что
волна в каком-то смысле «управляет» движением частицы. Но це­
лый ряд экспериментальных фактов показывал, что такое весьма
наглядное представление не приводит к внутренне непротиворечи­
вой картине поведения микрочастиц. Правильное толкование этого
вопроса стало возможным только после создания квантовой механи­
ки. Пока мы будем просто считать, что соотношение (4) дает нам
длину волны, которую следует сопоставлять любому материальному
объекту, если опыт показывает проявление этим объектом волновых
свойств.
Еще о границах классического описания. Представления о волнах
де Бройля можно, наряду с соотношениями неопределенностей Гей­
зенберга, использовать для выяснения вопроса о том, какой тео­
рией, квантовой или классической, следует описывать конкретное
явление. Для этого нужно сравнить сопоставляемую по формуле (4)
изучаемому объекту длину волны с характерными размерами в со­
ответствующей задаче, имея в виду, что волновые свойства объекта
не играют существенной роли, пока эта длина волны не станет со­
измеримой с характерными размерами. Например, длина волны
электрона, находящегося в атоме водорода, сравнима с размерами
самого атома. Поэтому квантовые эффекты в этом случае будут
весьма существенными, и представления классической физики здесь
заведомо неприменимы.
Сравним теперь длину волны де Бройля, сопоставляемую Земле,
с размерами земной орбиты. Так как масса Земли М — 6 -1027 г, ско­
рость Земли на орбите v % 30 км/с, а расстояние от Земли до Сол­
нца R « 15-107 км, то
2kR

M v ■2 лЛ

3-10 -7 5

Эта величина фантастически мала. Следовательно, движение Земли
будет превосходно описываться классической механикой. Любые
волновые или квантовые эффекты будут в этом случае меньше, чем,
например, эффекты, вызванные столкновением Земли с протоном
или электроном, содержащимся в космических лучах.
3*

68

II. ЗАКОНЫ МИКРОМИРА. ЧАСТИЦЫ И ВОЛНЫ

Задача
Для уменьшения размеров пятна на экране электронно-лучевой трубки
можно на пути разогнанного ускоряющим напряжением электронного пучка
поместить две диафрагмы с отверстиями (рис. 22). Покажите, что для вто­
рого отверстия сущ ествует оптимальный диаметр, обеспечивающ ий наимень­
ший размер пятна на экране.
Р е ш е н и е . После прохождения ускоряющего промежутка с напряж ени­
ем U электроны в трубке движутся равномерно с практически одинаковыми по
модулю импульсами р, определяемыми из соотношения

£ = еи-

(6)

0 = dll,

(7)

Будем сначала рассматривать электрон как классическую частицу. Пусть
отверстие в первой диаф рагм е настолько мало, что его можно считать то­
чечным. Вэтом случае диаметр пятна на экране был бы тем меньше,
чем
меньше отверстие вовторой диафрагме. Угловой
размер пятна, как видно
из рис. 23, определяется соотношением

где d — диаметр отверстия во второй диафрагме, а I — расстояние между
диафрагмами. Таким образом, пятно от классических частиц можно было

Рис. 23. Угловой размер пучка
0 зависит от диаметра d отвер­
стия во второй диафрагме

Рис. 22. Для уменьшения размера пятна на
экране можно использовать две диафрагмы с
отверстиями

бы сделать сколь угодно малым. Однако из-за квантовых явлений уменьше­
ние диаметра диафрагмы с некоторого момента приводит к расш ирению пят­
на. Оценить критический диаметр отверстия можно с помощью соотношения
неопределенностей Гейзенберга.
Если электрон прошел сквозь отверстие во второй диаф рагм е, то неопреде­
ленность в значении его координаты в направлении поперек пучка А х опреде­
ляется размером отверстия d\

A x^d.

(8)

Т акая локализация электрона приводит к появлению у него неконтролируемой
составляющей импульса поперек пучка:
Apx & h /A x z z h /d .

(9)

В результате после прохождения диафрагмы появляется неопределенность в
направлении движения электрона, характеризуемая углом 0Ш:

П _ДЯх

А

(10)

§ 9. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ

69

Из (1 0 ) следует, что при уменьшении диаметра отверстия d происходит р ас­
ш ирение пучка и
как следствие увеличение пятна на экране трубки. Умен
ш ать отверстие в диафрагме следует до тех пор, пока размытие пучка
не
сравняется с его угловым размером 0, определяемым классическими траекто­
риями электронов: 0га = 0. Отсюда с помощью (7) и (10) определяем опти­
мальный размер отверстия во второй диафрагме:

d » Vft/7p.

(11)

Этот результат можно получить иначе, используя представление о связан­
ной с электроном волне де Бройля
X = h/p.
(12)
Если классическому представлению о движении электронов по опреде­
ленным траекториям соответствует приближение геометрической оптики, то
проявлению квантовых свойств отвечает диф ракция волн де Бройля. Д и ф р ак ­
ционные явления дают отклонение от геометрического закона распростране­
ния лучей на углы порядка отношения длины волны к размеру препятствия
или отверстия. Поэтому
^ВОЛН XI d.
Подставляя сюда вместо X де-бройлевское выражение (12) для длины вол­
ны электрона, приходим к прежнему соотношению (10).
•

Оцените оптимальный диаметр отверстия в трубке с такими характери­
стиками: ускоряющее напряжение U = 10 кВ, расстояние между д и а ф ­
рагмами I — 1 см, расстояние до экрана L = 0,5 м.

•

Поясните, в каком смысле в соотношениях Е = ftv и р = ftv/c левые ча­
сти характеризую т фотон как частицу, а правые — как волну.

•

Почему в классической физике представления о волне и о частице не­
применимы к какому бы то ни было одному и тому же объекту?

•

Поясните, каким образом в мысленном опыте по диф ракции на двух
щ елях происходит полное размытие интерференционных полос, если
фиксировать щель, через которую проходит каждый из фотонов.

•

Покажите, почему возможность проявления электроном взаимоисклю ча­
ющ их корпускулярных и волновых свойств не приводит к логическому
противоречию.

•

Что такое волны де Бройля? Как длина волны де Бройля зависит от м ас­
сы и скорости частицы?

•

Как применить представление о волнах де Бройля к выяснению возмож­
ности классического описания?

§ 9. Законы движения в квантовой физике

Итак, мы видели, что многие явления в микромире не описываются
классической физикой и, пользуясь соотношениями неопределен­
ностей Гейзенберга, можно установить границы применимости
классического способа описания при рассмотрении тех или иных
конкретных явлений. В тех случаях, когда классическое описание

70

II. ЗАКОНЫ МИКРОМИРА. ЧАСТИЦЫ И ВОЛНЫ

оказывается непригодным, необходим более совершенный способ
описания физических явлений, который должен учитывать возмож­
ность проявления изучаемыми объектами как корпускулярных, так
и волновых свойств.
Современная квантовая теория ведет свое начало с 1926 г., когда
Э. Шрёдингером было предложено уравнение, носящее ныне его имя
и лежащее в основе квантовой механики. Разумеется, изложение
квантовой механики выходит за рамки школьного курса физики, но
мы можем обсудить разобранные выше экспериментальные факты и
четко сформулировать, какой должна быть квантовая теория, способ­
ная последовательно объяснить все своеобразие явлений микромира.
Роль средств наблюдения в квантовой физике. Обсуждая причи­
ны неприменимости представлений классической физики в микро­
мире, мы видели, что эта неприменимость обусловлена рядом абст­
ракций, допускавшихся в классической физике. В классической фи­
зике молчаливо предполагалась независимость физических
процессов от способов наблюдения и возможность наблюдать одно­
временно все стороны данного процесса. В области квантовых явле­
ний это не так. Вспомните, например, опыт с дифракцией фотонов
на двух щелях: определяя, через какое отверстие проходит каждый
фотон, мы этим измерением принципиально изменяли протекание
физического процесса, так что дифракционная картина на экране
оказывалась полностью размытой.
Анализируя этот опыт, мы приходим к выводу, что основой но­
вого способа описания явлений должен быть явный учет реальных
возможностей измерений, проводимых над микрообъектами. Необ­
ходимым посредником при изучении таких объектов являются при­
боры: атомный объект может проявить свои свойства, только провзаимодействовав с прибором. Например, путь микрочастицы стано­
вится видимым в результате конденсации паров в камере Вильсона
или в результате почернения зерен фотоэмульсии, и т. п. При этом
приборы и условия опыта должны описываться классически, путем
задания значений параметров, характеризующих приборы. Пара­
метры этих приборов могут, разумеется, задаваться лишь с точно­
стью, допускаемой соотношениями неопределенностей.
Вероятность в классической и квантовой физике. В основу ново­
го способа описания поведения микрообъекта следует положить ре­
зультаты взаимодействия этого объекта с классически описываемым
прибором. Свойства атомного объекта выводятся из рассмотрения
результатов таких взаимодействий. Это не исключает возможности
введения таких величин, которые характеризуют сам микрообъект
независимо от прибора (заряд, масса частицы и т. д.), но в то же
время позволяет изучать поведение объекта с той его стороны (на­
пример, корпускулярной или волновой), проявление которой
обусловлено устройством прибора. Таким образом, появляется

§ 9. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ

71

возможность рассматривать и тот случай, когда разные стороны и
разные свойства объекта не проявляются одновременно. По Бору,
свойства, проявляющиеся при взаимно исключающих условиях
(вспомните обсуждение корпускулярно-волнового дуализма), допол­
няют друг друга в том смысле, что только их совокупность харак­
теризует объект полностью. В этом заключается сформулированный
Н. Бором принцип дополнительности, который сыграл огромную
роль в обосновании современной квантовой теории. Рассматривать
одновременное проявление дополнительных свойств не имеет смыс­
ла. Таким образом, в новом подходе и не возникает внутреннего
противоречия в понятии «корпускулярно-волновой дуализм».
Итак, в основе описания — результаты взаимодействия микро­
объекта с прибором. Но опыт показывает, что при данных внешних
условиях результат взаимодействия объекта с прибором не является
однозначно определенным, а обладает лишь некоторой вероятно­
стью. Вспомните тот же дифракционный опыт: каждый фотон попа­
дал в определенное место экрана, но предсказать точно, в какое
именно, было невозможно; существовала лишь определенная веро­
ятность попадания фотона в то или иное место. Таким образом, в
описание микрообъекта, его состояния и поведения вводится новый
элемент — понятие вероятности, а тем самым и понятие потен­
циальной возможности.
Понятие вероятности используется и в классической физике при
изучении свойств систем, состоящих из большого числа частиц. Ве­
роятности вводятся тогда, когда условия опыта не известны полно­
стью и по неизвестным параметрам приходится проводить усредне­
ние. Например, при рассмотрении движения молекул в газе нам не­
известны координаты и скорости каждой молекулы. Поэтому можно
предсказать только вероятность попадания частицы в то или иное
место. В классической физике вероятности отражают неполноту
формулировки задачи, которая, быть может, практически и неиз­
бежна, но в принципе устранима.
Описание состояния системы в квантовой физике. В квантовой фи­
зике вероятности имеют совсем иной характер. Здесь они принципи­
ально необходимы; их введение характеризует не полноту условий, а
объективно существующие при данных условиях потенциальные воз­
можности. Следует отметить, что в процессе создания квантовой тео­
рии высказывалась точка зрения, что введение понятия вероятности и
в квантовой механике все-таки связано с тем, что на самом деле микро­
объекты обладают определенной, не известной нам внутренней струк­
турой. Поэтому в квантовой механике, как и в статистической физике,
приходится считать, что переменные, описывающие эту внутреннюю
структуру, распределены случайным образом. Иными словами, в
квантовую теорию понятие вероятности вводится только потому, что
она не является полной; она станет полной только тогда, когда будут
найдены величины, характеризующие внутреннюю структуру частиц.

72

II. ЗАКОНЫ МИКРОМИРА. ЧАСТИЦЫ И ВОЛНЫ

Но в настоящее время можно утверждать, что квантовая теория, осно­
ванная на понятии вероятности результата взаимодействия объекта с
прибором, оказалась исключительно успешной и, наоборот, нет ника­
ких экспериментальных фактов, которые свидетельствовали бы о не­
полноте квантовомеханического описания поведения микрообьектов.
Продолжим обсуждение основ квантовой теории. Из сказанного
выше ясно, что задать состояние квантового объекта — значит задать
распределение вероятностей, или потенциальных возможностей по­
лучения того или иного результата взаимодействия объекта с прибо­
ром. То обстоятельство, что должны задаваться вероятности также и
для тех величин, измерения которых несовместимы, показывает, что
речь идет именно о потенциальных возможностях, а не о значениях
величин самих по себе, вне связи с условиями их измерения на опыте.
Принцип соответствия. Теперь можно сказать несколько слов и о
том, каким должен быть математический аппарат квантовой теории
по сравнению с математическим аппаратом классической физики.
В классической физике математический аппарат должен давать зна­
чения определенных физических величин, т. е. числа. В квантовой
теории математический аппарат должен давать не только возмож­
ные значения физических величин, но и вероятности получения на
опыте тех или иных возможных значений этих величин.
В квантовой теории сформулированные требования могут быть
выполнены следующим образом. Состояние изучаемой системы ха­
рактеризуется определенной функцией, называемой волновой или
г^-функцией. Волновая функция характеризует состояние системы в
том смысле, что через эту функцию выражаются все вероятности для
результатов измерения над системой. Волновая функция опреде­
ляется из уравнения Шрёдингера — основного уравнения квантовой
механики. Каждой физической величине сопоставляются опреде­
ленные математические операции, которые следует проделать над
ф-функцией, чтобы получить необходимую информацию. Отсюда
возникает понятие оператора соответствующей физической величи­
ны. В квантовой механике каждой физической величине, например
энергии, координате, импульсу, сопоставлен определенный оператор.
Как выбираются сами операторы? При построении квантовой те­
ории огромную роль сыграл так называемый принцип соответствия,
сформулированный Бором: законы квантовой физики должны быть
сформулированы таким образом, чтобы в классических границах,
когда, например, в изучаемый процесс вовлечено много квантов,
эти законы приводили бы к классическим уравнениям для усреднен­
ных величин. Использование принципа соответствия позволило най­
ти вид операторов, сопоставляемых определенным физическим ве­
личинам. Но общих правил составления операторов для физических
величин указать нельзя.
Требование удовлетворения принципу соответствия отнюдь
не является тривиальным. Возникает вопрос, как согласовать

§ 9. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ

73

квантовый подход, основанный на рассмотрении вероятностей, с
классическим, допускающим точное предсказание поведения систе­
мы. Рассмотрим с этой точки зрения уже разобранный выше пример
рассеяния фотонов свободными электронами. Как видно из формулы
(11) § 6 «Световые кванты», увеличение длины волны при единич­
ном акте рассеяния фотона равно 2h/(m 0c), что примерно составля­
ет 1(Г10 см. Это слишком маленькая величина, чтобы ее можно бы­
ло заметить при рассеянии радиоволн с длиной волны порядка 1 см
и больше. Соответствующие таким волнам частоты оказываются по­
рядка Ю10 Гд, так что энергия одного фотона составляет 10-!6 эрг,
или 10~~4 эВ. Легко подсчитать, какую наибольшую энергию может
приобрести электрон в результате рассеяния одного такого фотона.
С помощью формулы (10) § 6 находим, что A£max = hAvmax состав­
ляет 10-14эВ. Для того чтобы в результате рассеяния радиоволн
приобрести энергию всего в 1 эВ, электрон должен рассеять по
меньшей мере 1014 квантов! Разумеется, нельзя точно предсказать
результат каждого индивидуального акта рассеяния. Но результаты
рассеяния такого большого числа квантов, которое фактически
представляет собой непрерывный процесс, практически вполне
определенные и совпадают с тем, что дает для этого случая класси­
ческая электродинамика.
Мы построили качественную картину квантовой механики и по­
яснили на примере, что в пределе, при переходе к классическим ус­
ловиям, результаты квантовой теории переходят в результаты, да­
ваемые классической физикой. С помощью соотношений неопреде­
ленностей можно делать оценки границы применимости законов
классической физики. Однако эта граница не является четко очер­
ченной, и развитие физики не раз давало примеры вторжения кван­
товых эффектов в область, кажущуюся абсолютно классической.
С некоторыми из этих примеров мы еще встретимся ниже.
•

Объясните, чем обусловлена особая роль средств наблюдения в кванто­
вой ф изике по сравнению с классической.

•

Разъясните содержание принципа дополнительности Бора. Каким обра­
зом этот принцип снимает противоречия в понятии «корпускулярно-вол­
новой дуализм»?

•

В чем принципиальное различие использования понятия вероятности в
классической и в квантовой физике?

•

Как задается состояние физической системы в квантовой физике?

•

Чем отличаются требования к математическому аппарату в классиче­
ской и в квантовой физике?

•

Что такое волновая функция и что такое оператор физической вели­
чины?

•

В чем зак л ю ч ается п ринцип соответствия Б о р а? П оясните его роль в
ф и зи к е.

III. АТОМЫ, МОЛЕКУЛЫ, КРИСТАЛЛЫ

§ 10. Строение атома

После открытия Дж. Томсоном электронов стало ясно, что эта час­
тица входит важнейшей составной частью во все атомы. Основанная
на этой гипотезе исторически первая модель атома была предложена
самим Дж. Томсоном.
Томсоновская модель атома. Модель Томсона была построена так,
чтобы можно было объяснить наблюдаемое на опыте испускание
возбужденными невзаимодействующими между собой атомами поч­
ти монохроматического света.
Для испускания монохроматического света электрон в возбуж­
денном атоме, по классическим представлениям, должен совершать
гармоническое колебание соответствующей частоты. Поэтому при
смещении электрона в атоме из положения равновесия на него дол­
жна действовать квазиупругая, т. е. пропорциональная смещению,
возвращающая сила. Так получится, если считать, что атом пред­
ставляет собой шар, положительный заряд которого, равный модулю
полного отрицательного заряда электронов, равномерно размазан по
всему объему атома.
Томсоновской модели атома была уготована очень недолгая
жизнь, хотя отдельные ее положения, в частности представление о
квазиупругой силе, удерживающей электрон в атоме, сохранили
свое значение до настоящего времени. Это представление исполь­
зуется в теории взаимодействия света с веществом, объясняющей
дисперсию света, т. е. зависимость скорости света в веществе от
длины волны.
Опыты Резерфорда. В начале девятисотых годов Резерфорд присту­
пил к своим знаменитым опытам по зондированию атомов с по­
мощью альфа-частиц, испускаемых радиоактивными веществами.
Масса этих частиц примерно в 8000 раз больше массы электрона,
положительный заряд равен удвоенному элементарному электри­
ческому заряду. Скорость испускаемых радиоактивным препаратом
альфа-частиц составляет около 1/15 скорости света. Такими части­
цами Резерфорд бомбардировал атомы тяжелых элементов.
Электроны вследствие своей малой массы не могут заметно из­
менить траекторию альфа-частицы. Изменение траектории, т. е.

§ 10. СТРОЕНИЕ АТОМА

75

рассеяние альфа-частиц, может вызываться только тяжелой
положительно заряженной частью атома. Поэтому из опытов по
рассеянию альфа-частиц можно опре­
делить характер распределения поло­ Радиоактивный препарат
жительного заряда и массы внутри
/
Диас )рагма
атома.
Схема опытов Резерфорда показа­
на на рис. 24. Из испускаемых радио­
активным изотопом альфа-частиц с
о
помощью диафрагм выделяется пу­
Л
чок, который падает на тонкую фоль­
Рассеивающая
Микроскоп
гу из исследуемого материала. Рассе­
фольга
янные альфа-частицы попадают на
экран, покрытый сернистым цинком.
Попадание каждой альфа-частицы со­
здает короткую вспышку света (сцин­
тилляцию), которую можно наблю­
дать в микроскоп.
Рассеяние на большие углы. При
изучении распределения рассеянных форда
альфа-частиц было обнаружено, что
некоторые из них отклонились от
первоначального направления на очень большие углы. Этот ре­
зультат был очень неожиданным. «Это почти столь же невероятно,
говорил Резерфорд, — как если бы вы выстрелили 15-дюймовым
снарядом в кусок тонкой бумаги, а снаряд возвратился бы к вам
и нанес вам удар». Действительно, если считать электрический
заряд атома распределенным по всему его объему, то создаваемое
им электрическое поле будет настолько слабым, что не сможет
отклонить пролетающую альфа-частицу на заметные углы.
Открытие атомного ядра. Очевидно, что альфа-частица может
быть отброшена назад лишь при условии, что положительный заряд
атома и его масса сосредоточены в очень малом объеме внутри ато­
ма. Таким образом было открыто атомное ядро — тело малых раз­
меров, в котором сконцентрированы весь положительный заряд ато­
ма и почти вся его масса.
Изучая подсчетом вспышек в разных местах экрана распределе­
ние рассеянных альфа-частиц по углам, Резерфорд смог оценить
размеры ядра. Оказалось, что ядра имеют диаметр порядка 10~13—
10~12 см. Это в сотни тысяч раз меньше диаметра самого атома. Из
этих же опытов удалось впоследствии определить и заряд ядра. Если
принять элементарный электрический заряд за единицу заряда, то
заряд любого ядра в точности равен номеру данного химического
элемента в таблице Менделеева.

76

III. АТОМЫ, МОЛЕКУЛЫ, КРИСТАЛЛЫ

Планетарная модель атома. Опыты Резерфорда естественным пу­
тем приводят к планетарной модели атома. В центре атома нахо­
дится положительно заряженное ядро, в котором сосредоточена поч­
ти вся масса атома. Так как атом в целом электрически нейтрален,
то число электронов в атоме, как и заряд его ядра (в единицах эле­
ментарного заряда), равно порядковому номеру элемента в перио­
дической системе. Электроны благодаря кулоновскому притяжению
к ядру обращаются вокруг него подобно тому, как планеты обраща­
ются вокруг Солнца.
Планетарная модель атома представляется совершенно необхо­
димой для объяснения опытов по рассеянию альфа-частиц. Однако
она не способна объяснить сам факт сколько-нибудь продолжи­
тельного существования атома, т. е. его устойчивость. В самом де­
ле, согласно законам классической электродинамики движущийся
с ускорением заряд должен излучать уносящие энергию электро­
магнитные волны. Поэтому электроны должны были бы за очень
короткое время ( ~ 10~8 с) растерять всю свою энергию и упасть
на ядро. Однако в действительности невозбужденные атомы устой­
чивы и могут существовать неограниченно долго, не излучая
электромагнитных волн. Опять налицо явное противоречие наблю­
даемых на опыте свойств с представлениями классической физики.
Постулаты Бора. Исторически первая попытка разрешения этого
противоречия была предпринята Н. Бором, который сформулировал
постулаты, несовместимые с классической механикой и электро­
динамикой, но позволившие многое понять в поведении атомных
систем.
Первый постулат Бора гласит: атомная система может находить­
ся только в особых стационарных, или квантовых, состояниях,
каждому из которых соответствует определенная энергия системы.
Поэтому возможные значения энергии атома образуют дискретный
набор. В стационарном состоянии атом не излучает.
Согласно второму постулату Бора излучение света происхо­
дит при переходе атома из квантового состояния с большей энер­
гией Е п, в квантовое состояние с меньшей энергией Е т. Энергия
hv излученного фотона равна разности энергий квантовых сос­
тояний:
hv = En - E m.

Ш

Возможен и обратный процесс, в котором атом переходит из
квантового состояния с меньшей энергией в состояние с большей
энергией. При этом происходит поглощение фотона с энергией,
равной разности энергий этих квантовых состояний. Для элемен­
тарных актов перехода атома из одного квантового состояния в
другое с испусканием или поглощением фотона выполняется закон
сохранения энергии.

§ 10. СТРОЕНИЕАТОМА

77

На основе этих постулатов Бору удалось построить теорию про­
стейшего атома — атома водорода, содержащего только один элект­
рон. Эта теория позволила объяснить установленные на опыте
швейцарским учителем физики И. Бальмером закономерности в ли­
нейчатом спектре излучения атома водорода.
Правило квантования. Для определения стационарных состояний
атома водорода Бор в 1913 г. предложил определенное «правило
квантования», согласно которому момент импульса электрона, обра­
щающегося вокруг ядра, может принимать только дискретные зна­
чения, кратные постоянной Планка:
h = hj 2л.
(2)
Правило квантования, приводящее к правильным, согласую­
щимся с опытом значениям энергий стационарных состояний ато­
ма водорода, было по сути дела просто угадано Бором. Де Бройль
смог дать физическую интерпретацию правилу квантования, осно­
вываясь на представлениях о волновых свойствах электрона. Он
предположил, что каждая допустимая орбита электрона в атоме
водорода соответствует волне, распространяющейся по кругу около
ядра атома. Стационарная волна, отвечающая электрону в разре­
шенном квантовом состоянии, может быть получена, только если
волны непрерывно повторяют себя после каждого полного оборота
вокруг ядра.
Здесь можно увидеть аналогию со стационарной картиной сто­
ячих волн в струне с закрепленными концами. В этих примерах из
классической физики даже для непрерывных волн тоже возникает
дискретный набор разрешенных частот. Таким образом, появление
дискретных значений физических величин в квантовой физике свя­
зано с волновыми свойствами электронов, входящих в атомную си­
стему.
Итак, в стационарном квантовом состоянии атома водорода на
длине орбиты электрона должно укладываться целое число длин
волн де Бройля X, т. е.
пХ = 2-яг,
(3)
где г — радиус круговой орбиты. Подставляя в это соотношение
длину волны де Бройля Х = hi р, получим
h «
п —= I яг,
р
или
tih
mvr = -^ , т. е. mvr — nh.
(4)
Это условие совпадает с боровским правилом квантования орбит
электрона в атоме водорода. Каждому стационарному состоянию со­
ответствует свое целочисленное значение квантового числа п.

78

III. АТОМЫ. МОЛЕКУЛЫ, КРИСТАЛЛЫ

Уровни энергии атома водорода. В планетарной модели атома
водорода правило квантования (4) позволяет сразу найти значения
энергии атома в стационарных квантовых состояниях. Используя
второй закон Ньютона для электрона, обращающегося вокруг ядра
под действием силы кулоновского притяжения (в гауссовой сис­
теме единиц)
mv2 е2
и выражение для полной энергии электрона в атоме, состоящей из
кинетической энергии орбитального движения и потенциальной
энергии взаимодействия с ядром
P _nv/
el
(б)
£ ~ 2
г’
получаем с помощью (4) радиусы гп разрешенных орбит и энергии
Е п стационарных состояний:
П
те

гп = — п - “ оп1,

( 7)

Еп = - ~ \ = - я \ .
"
2П2п2
п2

(8)

Здесь R = me4/(2h2) = 13,6 эВ — энергия ионизации атома водоро­
да, т. е. минимальная энергия, которую нужно сообщить атому во­
дорода в основном состоянии (в состоянии с наименьшей энергией с
п = 1) для того, чтобы удалить из него электрон. Величина
а0 = ~ = 0,53- 1(Г8 см
те

(9)

называется воровским радиусом. Это радиус ближайшей к ядру ор­
биты электрона в планетарной модели атома. Он характеризует раз­
мер атома водорода в основном состоянии с энергией
£ 1= - ^

= - Л = -1 3 ,6 э В ,

(10)

в котором свободный атом может находиться сколь угодно долго.
Время жизни свободного атома в возбужденных состояниях состав­
ляет примерно 10-8 с.
Спектральные серии. Энергия квантов света, испускаемого возбуж­
денными атомами водорода при переходах в более низкие энергети­
ческие состояния, определяется, в соответствии с формулой (1),
разностью энергий начального и конечного состояний:
1
1

§ 10. СТРОЕНИЕ АТОМА

79

Переходы на уровень с т = 2 из состояний п = 3 ,4 ,... образуют
упоминавшуюся выше серию спектральных линий Бальмера, прихо­
дящуюся на видимую область спектра. Переходы на уровень с дру­
гим фиксированным значением т образуют другие серии спектраль­
ных линий. Например, переходы на уровень с т = \ образуют се­
рию Лаймана, лежащую в ультрафиолетовой области спектра. Во
всех случаях наблюдается хорошее согласие между положением ли­
ний в спектре и предсказаниями по формуле (11).
Атом Бора и принцип соответствия. Полученные с помощью по­
стулатов Бора формулы для частот спектральных линий, излучае­
мых атомом водорода, противоречат представлениям классической
физики, согласно которым частота излучаемого света должна совпа­
дать с частотой обращения электрона вокруг ядра. Однако они удов­
летворяют принципу соответствия.
В применении к атому водорода принцип соответствия означает,
что чем больше квантовое число п стационарного состояния, тем
лучше выполняются для него законы классической физики. По мере
увеличения п радиус орбиты электрона возрастает, а разность энер­
гий двух соседних уровней стремится к нулю. При этом скачкооб­
разные переходы между соседними уровнями становятся почти эк­
вивалентными непрерывному процессу. В этом предельном случае
результаты квантовой теории должны совпадать с результатами
классической теории.
Применим формулу (11) для перехода атома между двумя сосед­
ними уровнями Еп и £ „_ р считая квантовое число п большим:
n » l . Тогда
1

1

(л-1)2

п2

п2- ( п - 1 ) 2 _
п 2( п - 1 ) 2

2

п3

и (11) для частоты излучаемого света дает
те4 1

V=

(1J)

Используя выражение (7) для радиуса орбиты электрона в n-м со­
стоянии
2 Л
Гп =

П

те

2-

перепишем формулу (12) в виде
2 x m ll2r 3J 2 '

(13)

Но точно такое же выражение для частоты света, излучаемого
электроном, обращающимся по круговой орбите радиуса гп, дает
классическая теория. Действительно, с точки зрения классической

80

III. АТОМЫ, МОЛЕКУЛЫ, КРИСТАЛЛЫ

электродинамики вращающийся по круговой орбите электрон
должен излучать электромагнитные волны с частотой v, равной ча­
стоте обращения электрона вокруг ядра. Применяя к движе­
нию электрона по круговой орбите с частотой v второй закон
Ньютона,
т -4 л2ч2гп = ^ ,
Гл
получаем
е
V “ 2*m1'2r*'2 •
Итак, в области больших квантовых чисел квантовая теория дает
тот же спектр излучения, что и классическая.
Современные представления о строении атома водорода. То, что
на основе постулатов Бора удалось получить правильные количест­
венные соотношения для атома водорода, связано с тем, что сами
эти постулаты являются следствием фундаментальных положений
современной квантовой теории.
Согласно квантовой механике бессмысленно говорить о движе­
нии электрона в атоме по определенной орбите. Физический смысл
имеет только вероятность обнаружить электрон в том или ином ме­
сте. Квантовомеханическое распределение плотности вероятности
местонахождения электрона в атоме можно представить в виде не­
которого облака, окружающего ядро атома.
Каждое стационарное состояние характеризуется не одним кван­
товым числом п, называемым главным, а определенным набором
квантовых чисел. Этому стационарному состоянию соответствует
свое облако плотности вероятности, имеющее определенную про­
странственную конфигурацию. Одному и тому же значению
главного квантового числа п, определяющего энергию атома
Е п = —me4/(2ft2n2), соответствует при п> 1 несколько различных
состояний с одинаковой энергией, различающихся видом этого обла­
ка. Для состояний со сферически-симметричным облаком вероят­
ность обнаружить электрон на некотором расстоянии от ядра имеет
максимум, когда это расстояние равно радиусу соответствующей боровской орбиты

Формулы для энергий стационарных состояний Е п и радиуса
электронного облака гп получены при использовании нерелятивист­
ской механики, условие применимости которой состоит в малости
скорости электрона по сравнению со скоростью света. Наибольшей

§ 10. СТРОЕНИЕ АТОМА

81

скоростью обладает электрон, находящийся в состоянии с п = 1,
т. е., на языке теории Бора, движущийся по ближайшей к ядру раз­
решенной орбите. Выразим скорость электрона v через радиус этой
орбиты а0 = h2/(m e2). Уравнение движения по круговой орбите ра­
диуса а0 под действием кулоновской силы притяжения к ядру имеет
вид

откуда, подставляя а0, находим
(14)
С помощью (14) находим отношение vie:

Подставляя сюда числовые значения е, К и с, для безразмерной по­
стоянной а получаем значение
(16)
Видно, что наибольшее возможное значение скорости электрона в
атоме водорода в 137 раз меньше скорости света. Таким образом,
этот атом представляет собой нерелятивистскую систему со сравни­
тельно медленно движущимся электроном.
Постоянная тонкой структуры. Константа а играет фундамен­
тальную роль в атомной физике. Она известна под названием по­
стоянной тонкой структуры. Такое название объясняется тем, что
впервые она появилась в физической теории при нахождении реля­
тивистских поправок к уровням энергии в атоме, которые оказались
пропорциональными (у/с)2 — а2.
Постоянная тонкой структуры является одной из истинно фунда­
ментальных констант природы, которая определяет не только реля­
тивистские поправки, но и саму структуру атома. Поясним это.
Сравним энергию кулоновского взаимодействия электрона с ядром
при расстоянии между ними, равном воровскому радиусу а0, с энер­
гией покоя электрона тс2:
а0тс

Мы видим, что характерная для атома энергия выражается через
энергию покоя электрона и постоянную тонкой структуры. Так как
а 2 =
Tq

273,25

К* моль

= 8,3145

моль* К

.

(10)

С учетом (10) уравнение состояния одного моля любого газа
можно записать в виде
pV = RT.
(И )
Уравнение (11)легко обобщить дляпроизвольногоколичества
газа. Так как притех же значениях температуры идавления v мо­
лей газа занимают в v раз больший объем, чем 1 моль, то
pV=vRT.
(12)
В таком виде уравнение состояния газа впервые было получено
русским ученым Д. И. Менделеевым. Поэтому его называют уравне­
нием Менделеева—Клапейрона.
Идеальный газ. Уравнение состояния газа (11) или (12) было
получено на основе установленных на опыте газовых законов. Эти
законы выполняются приближенно: условия их применимости

128

IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

различны для разных газов. Например, для гелия они справедливы
в более широком диапазоне температур и давлений, чем для угле­
кислого газа. Приближенным является и уравнение состояния, по­
лученное из приближенных газовых законов.
Введем в рассмотрение физическую модель — идеальный газ.
Под этим будем понимать систему, для которой уравнение (11) или
(12) является точным. Замечательной особенностью идеального газа
является то, что его внутренняя энергия пропорциональна абсолют­
ной температуре и не зависит от объема, занимаемого газом.
Как и во всех других случаях использования физических моде­
лей, применимость модели идеального газа к тому или иному реаль­
ному газу зависит не только от свойств самого газа, но и от харак­
тера вопроса, на который требуется найти ответ. Такая модель не
позволяет описать особенности поведения различных газов, но вы­
являет свойства, общие для всех газов.
С применением уравнения состояния идеального газа можно по­
знакомиться на примере конкретных задач.
Задачи
1.
В одном баллоне объемом У1 находится азот при давлении р г.
другом баллоне объемом V2 находится кислород при давлении р 2■ Темпе­
ратура газов совпадает с температурой окружающей среды. Какое уста­
новится давление газов, если открыть кран трубки, соединяющей эти бал­
лоны между собой?
Р е ш е н и е . После открывания крана газ из баллона с более высоким дав­
лением будет поступать в другой баллон. В конце концов давление в баллонах
выравняется, а газы перемешаются. Д аж е если в процессе перетекания газов
температура изменилась, после установления теплового равновесия она снова
сравняется с температурой окружающего воздуха.
Для решения задачи можно воспользоваться уравнением состояния иде­
ального газа. Обозначив через Vj и v2 количество газов в баллонах до открыва­
ния крана, имеем
PiKi = v iK7\

p 2V2 = v2RT.

(13)

В конечном состоянии смесь газов содержит Vj 4- v2 молей, занимает объем
V 1 + V2 n находится при давлении р, которое нужно определить. Применяя
к смеси газов уравнение Менделеева—Клапейрона, имеем
P{Vi + Уг) = (vi +

v 2)RT.

(14)

Выражая Vj и v2 из уравнений (13) и подставляя в (14), находим
Р^х+РгУг

( 15 )

к,+к2 '
В частном случае, когда исходные давления газов одинаковы, давление
смеси после установления равновесия остается таким же. Интересен предель­
ный случай Н2 —►» , соответствующий замене второго сосуда атмосферой. Из
(15) при этом получаем р = р 2, где р 2 — давление атмосферы. Такой результат
очевиден из общих соображений.

§ 15. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ГАЗА

129

Обратим внимание на то, что выражаемый формулой (15) результат соот­
ветствует тому, что давление смеси газов равно сумме парциальных давлений
каждого из газов, т. е. давлений, которые имел бы каждый из газов, занимая
при той же температуре весь объем. Действительно, парциальные давления
р\ и р'2 каждого газа можно найти с помощью закона Бойля—Мариотта:
Р1 — Р1 7ГЛ
Г •
к, +к2

Р г ~ ^Рг н, + к2 '

Видно, что полное давление р, равное сумме парциальных давлений
р[ + р2, выражается формулой (15). Утверждение, что давление смеси х и ­
мически невзаимодействующих газов равно сумме парциальных давлений,
называется законом Дальтона.
2. Истопив печь, в дачном домике температуру воздуха повысили от 0 до
20 °С. Как при этом изменилась плотность воздуха?
Р е ш е н и е . Ясно, что объем помещения при протапливании печи не изме­
нился, так как тепловым расширением стен можно пренебречь. Если бы мы
нагревали воздух при неизменном объеме V в закрытом сосуде, его давление
возросло бы, но плотность осталась бы неизменной. Но дачный домик не гер­
метичен, поэтому неизменным остается давление р воздуха, равное наруж но­
му атмосферному давлению. Ясно, что при повышении температуры Т должна
измениться м асса m воздуха в помещении: какая-то его часть должна выйти
через щели наружу.
Подсчитать плотность воздуха проще всего, основываясь на уравнении со­
стояния:
pV = ^ -R T ,
(16)

м

где М = 29 г/м о л ь — молярная м асса воздуха. Отсюда для плотности воз­
духа р = m/V имеем
р=">

RT

н

(17)

П ри неизменном давлении плотность обратно пропорциональна абсолютной
температуре. Поэтому для отношения плотностей р/р0 при температурах
Т — 293 К и T Q= 273 К соответственно находим
Р —

Ро

— 273 __ л

Т

293

3. В бутылку емкостью К0 = 0,5 л сквозь герметичную пробку вставлена
открытая с обоих концов тонкая стеклянная трубка диаметром d = 5 мм. В
трубке находится столбик подкрашенной воды. Как будет изменяться положе­
ние столбика с температурой? Оцените, на сколько градусов нужно нагреть
бутылку, чтобы столбик воды переместился на 1 см.
Р е ш е н и е . При расширении воздуха в бутылке его давление, равное сум­
ме атмосферного давления и гидростатического давления столбика воды в
трубке, остается неизменным, пока вода не выливается из трубки. Поэтому, в
соответствии с законом Гей-Люссака, объем воздуха в бутылке пропорциона­
лен абсолютной температуре: V — Т. Отсюда следует, что A V А Т и
ДV

АТ

130

IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

В данном случае Д Р = 5ДЛ, где S — n d 2/4 — внутреннее сечение трубки, а
Дh — изменение положения столбика воды при нагревании воздуха. Из (18)
следует, что
ДЛ = 7 ~ -

(19)

Поскольку внутренний объем трубки много меньше объема бутылки, то
при расчетах можно в (19) заменить объем воздуха V на емкость бутылки Р 0.
Ясно, что столбик воды не будет вытолкнут из трубки только при очень малых
изменениях температуры. Чтобы оценить изменение температуры, при кото­
ром столбик поднимается на заданное расстояние ДЛ, перепишем (19) следу­
ющим образом:
AT = T ± A h .

*0

Полагая для оценки Т = 300 К, получаем А Т = 0,1 К. Приведенная оценка
показывает, что с помощью этого очень простого устройства можно обнару­
жить изменение температуры вплоть до 0,01 К, так как легко заменить измене­
ние положения столбика на 1 мм.
•

Что такое время релаксации для термодинамической системы?

•

Какие ограничения должны быть наложены на скорость протекания про­
цессов в газе, чтобы в любой момент времени имели смысл макроскопиче­
ские параметры р, V, (°, описывающие газ в состоянии равновесия?

•

Чем определяется числовое значение константы в правой части уравне­
ния закона Бойля —Мариотта (1)?

•

Что имеют в виду, когда говорят, что изучаемая система находится в
контакте с термостатом?

•

Предложите способ проверки закона Бойля—Мариотта с помощью опи­
санного в тексте прибора (см. рис. 45).

•

Какие преимущества дает выбор газа в качестве термометрического тела?

•

Как связан выбор начала отсчета температур в шкале Кельвина со зна­
чением температурного коэффициента расширения газа?

•

Как устанавливается связь температур, измеренных по ш кале Цельсия
и шкале Кельвина?

•

Выведите уравнение состояния газа, используя законы Б ойля—Мариотта
и Гей-Люссака.

•

Уравнение Клапейрона было получено с использованием только двух га­
зовых законов, однако содержит в себе все три закона. Как это связано
с тем фактом, что у газов температурные коэффициенты давления и
объема одинаковы?

•

Что такое универсальная газовая постоянная? Как она связана с зако­
ном Авогадро?

•

Какую физическую систему называют идеальным газом? Чем опреде­
ляются условия применимости этой модели? От чего зависит внутренняя
энергия идеального газа?

§ 16. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

131

•

Можно ли объяснить установленный на опыте закон Дальтона для смеси
газов, опираясь на уравнение Менделеева —Клапейрона?

•

Оцените м ассу воздуха, выходящего из щелей отапливаемого помещения
объемом 50 м3 при повышении температуры от 0 до 20 °С.

•

Как изменится чувствительность к изменениям температур простого
устройства, описанного в задаче 3, если верхнее отверстие трубки за­
ткнуть?

§ 16. Первый закон термодинамики

В состоянии равновесия термодинамическая система характеризует­
ся определенными значениями макроскопических параметров. Эти
параметры связаны между собой уравнением состояния.
Функция состояния. Любой внутренний параметр является функ­
цией внешних параметров и температуры. В этом случае говорят,
что он представляет собой функцию состояния. Функциями со­
стояния можно считать любые характеризующие систему физиче­
ские величины, значения которых не зависят от предыстории и
полностью определяются состоянием системы в данный момент
времени.
Внутренняя энергия как функция состояния. Одной из важней­
ших функций состояния термодинамической системы является ее
внутренняя энергия, природа которой в термодинамике не конкре­
тизируется. Внутренняя энергия рассматривается в термодинамике
как особая форма энергии, способная к превращениям в другие фор­
мы, например, в механическую — кинетическую или потенциаль­
ную — энергию. Когда система оказывается в данном состоянии, ее
внутренняя энергия принимает соответствующее этому состоянию
значение независимо от того, из какого другого состояния и каким
способом система перешла в данное состояние. Это характерное для
данного состояния значение внутренней энергии зависит только от
внешних параметров и от температуры.
Зависимость внутренней энергии от температуры у всех встре­
чающихся в окружающем мире термодинамических систем тако­
ва, что с ростом температуры внутренняя энергия также увеличи­
вается.
Работа и теплота как формы изменения внутренней энергии.
При взаимодействии термодинамической системы с окружающей
средой происходит обмен энергией. При этом можно выделить два
принципиально различных способа передачи энергии от системы к
внешним телам (или наоборот). Первый способ изменения внутрен­
ней энергии связан с совершением работы действующими на систе­
му внешними силами. Здесь работа понимается в том же смысле,
5*

132

IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

как в механике и электродинамике. В термодинамике работа выра­
жается через макроскопические параметры, например как произве­
дение давления на изменение объема.
Второй способ изменения внутренней энергии, не связанный с
совершением работы, называется теплопередачей. При первом спо­
собе изменение внутренней энергии равно работе внешних сил над
системой. При втором способе полученное системой количество
внутренней энергии называется теплотой.
Подчеркнем, что понятие работы пришло в термодинамику из
механики и электродинамики. В отличие от этого понятие теплоты
возникает в самой термодинамике и не имеет аналогов в механике
и электродинамике. Важно, что и работа, и теплота — это физиче­
ские величины, характеризующие процессы, в которых изменяется
внутренняя энергия термодинамической системы, в то время как
внутренняя энергия характеризует ее состояние. Поэтому имеет
физический смысл понятие энергии, запасенной системой, но нельзя
говорить, что система запасла какое-то количество работы или теп­
лоты. Или, другими словами, можно говорить о совершенной работе
и переданной теплоте, но не имеет смысла говорить о содержащей­
ся в системе работе или теплоте. Это значит, что ни теплота, ни ра­
бота не являются, в отличие от внутренней энергии, функциями со­
стояния.
Работа в термодинамике. Рассмотрим подробнее некоторые вопро­
сы, связанные с процессами совершения работы и теплообмена. По­
лучим формулу, позволяющую рассчитать работу, совершаемую
при медленном изменении объема какой-либо термодинамической
системы, например газа, находящегося в сосуде, закрытом подвиж­
ным поршнем (рис. 49). Пусть приложенная к поршню внешняя
сила F медленно перемещает поршень
из положения 1 в близкое положение 2
так, чтобы силу F можно было считать
постоянной. Совершаемая силой F рабо­
та А равна произведению силы на пере­
мещение Ах:
А = F- Ах.
(1)
Если движение поршня происходит без
ускорения, то сила F уравновешивается
силой давления газа на поршень:
F = pS,

(2)

Рис. 49. К вычислению работы
при изменении объема

где S — площадь поршня. При подстановке F из (2) в выражение
(1) возникает произведение S- Ах, характеризующее изменение
AV занимаемого газом объема V. Так как объем V уменьшается, то
S -Ах — —AV.
(3)

§ 16. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

133

Теперь выражение (1) для работы действующей на поршень внеш­
ней силы принимает вид
A=-pAV.
(4)
Когда внешняя сила сжимает газ, т. е. AV < 0, ее работа поло­
жительна. И наоборот, когда газ расширяется, медленно передвигая
поршень, работа удерживающей поршень внешней силы F отрица­
тельна (А < 0).
Наряду с работой внешней силы можно рассматривать работу
силы, с которой газ давит на поршень. Эту работу принято назы­
вать работой, совершаемой газом, или работой газа. Очевидно,
что работа газа А' отличается от работы А внешней силы F только
знаком:
А' = - А .

(5)

Адиабатические процессы. Если сжатие или расширение газа про­
исходит без теплообмена с окружающей средой, то изменение АН
его внутренней энергии U равно работе внешней силы:
AU = A .

(6)

Учитывая соотношение (5), это выражение можно записать и таким
образом:
A' = -A U .

(7)

Когда газ расширяется без теплообмена с окружением, он совершает
положительную работу А' > 0 за счет своей внутренней энергии U,
запас которой при этом убывает (AU < 0).
Процессы, происходящие в отсутствие теплообмена с окружаю­
щей средой, называются адиабатическими (адиабатными). Для
практической реализации таких процессов нужны определенные
условия: либо заключить систему в оболочку с низкой теплопро­
водностью, либо проводить процесс достаточно быстро, чтобы внут­
ренняя энергия не успела заметным образом измениться из-за теп­
лообмена. В этом случае говорят об адиабатической изоляции
системы.
Работа внешних электрических сил. Внешние силы, совершающие
работу над системой, могут иметь электромагнитную природу. Если
в системе есть свободные электрические заряды, то при приложении
внешнего электрического поля силы поля совершают работу, когда
происходит перемещение этих зарядов. Например, если заряд q пе­
ремещается из точки с потенциалом tpj в точку с потенциалом
то силы поля совершают работу
A

=

?( 0, но А < 0, и ее внутренняя энергия убывает. Для идеального
газа, у которого внутренняя энергия рас­
тет с увеличением температуры и не зави­
сит от объема, это означает, что при ади­
абатическом расширении газ будет охлаж­
даться. При адиабатическом сжатии такой
газ будет нагреваться.
Такое поведение позволяет понять,
почему на р—7-диаграмме идеального га­
за график квазистатического адиабатиче­
ского процесса идет круче графика изо­
термического процесса (рис. 52). Действи­
тельно, при изотермическом расширении Рис. 52. Изотермы и адиаба­
температура постоянна, а при адиабати­ та идеального газа на p - V ческом — убывает; поэтому адиабата диаграмме
должна пересекать изотермы, соответст­
вующие все более и более низким температурам, в результате чего
давление при расширении падает быстрее, чем на изотерме.
Изотермический процесс. При изотермическом расширении иде­
альный газ совершает работу только за счет подводимой к нему

138

IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

теплоты, так что его внутренняя энергия во время такого процесса
не меняется:
A' = Q,

Д£/ = 0.

(19)

При изотермическом сжатии идеальный газ совершает отрицатель­
ную работу. При этом теплота от него отводится: Q < 0.
Тепловой двигатель. Тепловыми двигателями называют машины,
которые преобразуют выделяющуюся при сжигании топлива внут­
реннюю энергию в механическую. Первые разные по конструкции
и назначению паровые машины появились на рубеже XVII—XVIII
веков в Англии и Франции. Спустя полстолетия И. Ползуновым в
России и Д. Уаттом в Англии были созданы универсальные паровые
машины, пригодные для различных нужд. Их появление произвело
настоящую техническую революцию, что дало основание образно
назвать последовавшее за этим столетие «веком пара».
Во второй половине XIX века появились двигатели внутреннего
сгорания, получившие особенно большое распространение. Наибо­
лее совершенными оказались так называемые четырехтактные дви­
гатели, разработанные немецким конструктором И. Отто.
Применим первый закон термодинамики к анализу работы теп­
ловой машины. Несмотря на большое разнообразие, все тепловые
двигатели имеют общий принцип действия. Назначение любого пе­
риодически действующего теплового
двигателя состоит в совершении ме­
ханической работы за счет использо­
вания внутренней энергии, о чем
кратко, но не совсем точно говорят
как о превращении теплоты в работу.
Принципиальная схема любой
тепловой машины, если отвлечься от
ее конструктивных особенностей, вы­
глядит так, как показано на рис. 53.
Ее обязательными элементами явля­
ются два тепловых резервуара: на­
греватель с некоторой температурой
Т 1 и холодильник с температурой
Т2, меньшей температуры нагревате­
Рис. 53. Принципиальная схема ля. Роль холодильника может выпол­
тепловой машины
нять окружающая среда. Если просто
привести нагреватель в тепловой
контакт с холодильником, то внутренняя энергия нагревателя бу­
дет передаваться холодильнику путем теплопередачи без соверше­
ния работы. Для совершения механической работы обязательно
должно быть промежуточное звено — так называемое рабочее те­
ло, в качестве которого может быть использован, например, газ в

139

§ 16. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

цилиндре, закрытом поршнем. У периодически действующей ма­
шины все процессы с рабочим телом повторяются, так что оно пе­
риодически возвращается в исходное состояние.
Цикл тепловой машины. Механическая работа совершается при рас­
ширении газа в цилиндре, при котором он проходит через ряд состоя­
ний вдоль некоторой кривой а на рис. 54. Для того чтобы рабочее тело
вернулось в исходное состояние 1, газ в цилиндре нужно сжать, для
чего над ним придется совершить работу. Но
эта работа обязательно должна быть мень­
ше, чем работа, совершенная газом при рас­
ширении. На р—F-диаграмме работа газа
равна площади криволинейной трапеции
под кривой а. Чтобы при сжатии газа совер­
шилась меньшая работа, кривая сжатия Ъ
должна лежать ниже кривой а: сжатие газа
должно происходить при более низких тем­
Рис. 54. Цикл теплового
пературах, чем расширение.
двигателя
на p - V - диаграм­
Разность площадей под кривыми а и Ь, ме
т. е. площадь, ограниченная замкнутой
кривой J—a—2—b—l, равна работе А , со­
вершаемой рабочим телом за цикл. На основании первого закона
термодинамики эта работа равна разности между теплотой Qt, по­
лученной рабочим телом за цикл от нагревателя, и теплотой Q2, от­
данной им холодильнику, ибо рабочее тело после совершения цикла
возвращается в исходное состояние, так что его внутренняя энергия
принимает исходное значение:
Л' = Q i ~ Qv
(19)
КПД тепловой машины. Отношение совершенной за цикл работы
А' к количеству теплоты Qt, полученному за цикл от нагревателя, на­
зывается коэффициентом полезного действия тепловой машины т):

Максимально выгодной была бы тепловая машина, у которой вся
полученная теплота Qt превращалась бы в работу: A = Q r Однако
на основании опыта установлено, что это невозможно.
К обсуждению КПД тепловой машины мы еще вернемся при
изучении второго закона термодинамики.
•

Ч то такое ф у н кц и я состояния терм оди н ам и ческой
зи ческ и е
как

•

величины ,

характер и зу ю щ и е

систем у,

систем ы ? К ак и е ф и ­
мож но

рассм атривать

ф у н к ц и и состояни я?

П оясн и те, почем у внутренняя эн ерги я терм одинам и ческой
ляется ф ункцией

состояния.

систем ы

яв­

140

IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

•

Что такое теплота и работа? Какова их связь с внутренней энергией?
Поясните сходство и различие этих физических величин.

•

Можно ли говорить о количестве теплоты или работы, запасенной сис­
темой? Являются ли теплота и работа функциями состояния системы?

•

Пусть на рис. 49 слева от поршня цилиндр сообщается с атмосферой. Что в
этом случае следует понимать под силой F , работа которой равна —р-Д К ?
Чему равна эта сила, если давление газа в цилиндре равно р, а давление ат­
мосферы равно ро?

•

Поясните, почему работа газа при изменении его объема отличается зна­
ком от работы внешней силы, действующей на поршень. Почему это
утверждение справедливо только при достаточно медленном равномер­
ном движении поршня?

•

Пусть газ в условиях адиабатической изоляции совершает отрицатель­
ную работу. Что при этом происходит с его внутренней энергией?

•

Покажите, что первый закон термодинамики в форме (10) или (11) эк­
вивалентен утверждению о невозможности вечного двигателя.

•

Поясните, почему точка на р —К-диаграмме полностью характеризует
состояние определенного количества идеального газа. Чему соответствует
любая кривая на такой диаграмме?

•

Как по графику некоторого процесса н а р —К-диаграмме можно определить
совершаемую системой работу? В каком случае работа положительна? отрицатицательна?

•

Почему теплоемкость некоторого количества вещества зависит от происхо­
дящего с ним процесса? Объясните, почему теплоемкость при постоянном
давлении Ср всегда больше теплоемкости при постоянном объеме Су.

•

Чему равно значение теплоемкости для адиабатического процесса?
Можно ли провести с идеальным газом такой процесс, при котором теп­
лоемкость будет отрицательной?

•

Объясните, почему на р —К-диаграмме идеального газа адиабата идет
круче изотермы.

•

Объясните устройство и принцип действия теплового двигателя.

•

Поясните, почему работа, совершаемая тепловым двигателем за один
цикл, изображается на р —К-диаграмме площадью, охватываемой зам к­
нутой кривой этого цикла.

•

Что такое КПД теплового двигателя? Чем определяется его значение?

§ 17. Примеры применения
первого закона термодинамики

Первый закон термодинамики, как и закон сохранения энергии в
механике, часто дает возможность исследовать тепловые процессы в
макроскопических системах даже в тех случаях, когда нам не изве­
стны детали микроскопической картины изучаемых явлений.

§ 17. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПЕРВОГО ЗАКОНА ТЕРМОДИНАМИКИ

141

Энергетический баланс. Первый закон универсален, он применим
ко всем без исключения тепловым процессам в любых системах. Как
и всякий закон сохранения, он не дает детальной информации о хо­
де процесса, но позволяет составить уравнение баланса, если зара­
нее известно, какие энергетические превращения происходят в рас­
сматриваемой системе. В этом параграфе мы рассмотрим примеры
использования первого закона термодинамики.
Теплота и внутренняя энергия. Прежде всего сделаем несколько
замечаний о смысле входящих в уравнение первого закона вели­
чин. Количество переданной теплоты было определено как мера
изменения внутренней энергии системы при теплопередаче. Но не
всегда подведение к системе теплоты приводит к изменению ее
внутренней энергии. Например, при изотермическом расширении
идеального газа подведение теплоты не сопровождается увеличе­
нием внутренней энергии газа. Внутренняя энергия идеального га­
за зависит только от температуры и при изотермическом процессе
не меняется, но газ совершает работу, и величина этой работы
равна подводимому к системе количеству теплоты.
Теплота и работа. Совершение внешними силами механической
работы над системой также может не сопровождаться изменением ее
внутренней энергии. Если сжимать идеальный газ, принимая меры
к тому, чтобы его температура при этом не увеличивалась, то внут­
ренняя энергия газа останется без изменения, а окружающим телам
перейдет некоторое количество теплоты, равное совершенной над
газом при его сжатии работе.
Пример применения первого закона термодинамики. Применяя
первый закон термодинамики, нужно всегда внимательно следить за
тем, к каким изменениям в самой системе может привести подведение
к ней теплоты и совершение работы. Поясним это на следующем при­
мере. Представьте себе, что в комнате на некоторое время включили
электрический нагреватель, в результате чего температура воздуха
увеличилась от Т х до Т2. Может показаться, что в результате этого
внутренняя энергия воздуха в комнате увеличилась. Проверим, так
ли это. Будем считать воздух идеальным газом. В состоянии теплового
равновесия внутренняя энергия одного моля пропорциональна абсо­
лютной температуре, а энергия всего воздуха в комнате пропорцио­
нальна количеству (числу молей) газа, находящегося в комнате. По­
этому выражение для энергии можно записать в виде
и=Су%т,

(1)

где m — масса воздуха, М — его молярная масса, Су — молярная
теплоемкость при постоянном объеме.

142

IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

Воспользовавшись уравнением Менделеева—Клапейрона pV —
— (m/ M) RT, замечаем, что выражению для внутренней энергии воз­
духа U можно придать вид
V = Cv % •

(2)

Объем V комнаты не изменяется при работе нагревателя, не
изменяется и давление р воздуха в комнате. Оно равно атмосфер­
ному, поскольку комната не герметична. Тогда из формулы (2)
видно, что внутренняя энергия воздуха в комнате не изменяется
при протапливании. Сразу возникают вопросы: что происходит с
потребляемой от сети электроэнергией и зачем мы вообще вклю­
чаем электронагреватель? Отвечая на второй вопрос, отметим, что
для человека имеет значение не энергия воздуха, а его темпера­
тура, которая повышается при протапливании. Что касается энер­
гии, потребляемой нагревателем от сети, то она целиком «выхо­
дит» наружу: масса воздуха в комнате при нагревании при посто­
янном давлении уменьшается.
Итак, внутренняя энергия воздуха в комнате при работе нагре­
вателя не меняется, несмотря на повышение температуры. Но ника­
кого парадокса в этом нет. Первый закон термодинамики, разуме­
ется, справедлив и в этом случае. Просто при нагревании изменяет­
ся сама рассматриваемая система: количество воздуха в комнате
уменьшается.
Еще один пример применения первого закона термодинамики.
Рассмотрим теперь стационарный поток идеального газа, протекаю­
щего через длинную спиральную трубку — змеевик (рис. 55). На
входе змеевика поддерживаются постоянные давление рх и темпера­
тура Т [. На выходе змеевика поддерживаетсяостоянное давление
р2 и измеряется температура Т2. Прежде всего подсчитаем работу,
совершаемую при прохождении через змеевик одного моля газа.
О какой работе идет речь? Мы знаем, что газ, а точнее, сила
давления газа, совершает работу при перемещении поршня или
любого другого тела, ограничивающего занимаемый газом объем.
Таким телом является, например, оболочка резинового шарика,
деформирующаяся при его наполнении газом. Общее выражение
для работы силы давления газа дается формулой (12) предыдущего
параграфа:
AA' = p-AV.
(3)
Отметим, что наличие тела, ограничивающего объем газа, со­
вершенно необходимо для того, чтобы можно было говорить о со­
вершаемой газом работе: газ, расширяющийся в пустоту, работы
не совершает!
Поясним это. Представим себе сосуд, разделенный перегородкой
на две части: по одну сторону от перегородки находится газ, по

§ 17. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПЕРВОГО ЗАКОНА ТЕРМОДИНАМИКИ

143

другую — вакуум. При внезапном удалении перегородки газ запол­
няет весь сосуд, объем газа увеличивается (ДК > 0), давление газа
р > 0, однако работы газ не совершает: АА' = 0. Формула (3) в этом
случае неприменима.
Наряду с работой, совершаемой газом, можно рассматривать ра­
боту внешних сил, совершаемую над газом при перемещении порш­
ня. Очевидно, что при равномерном перемещении поршня работа
АА, совершаемая над газом, противоположна по знаку и равна по
модулю работе газа АХ, т . е. АА = —p-AV, Так о какой же работе
идет речь? Ведь никаких поршней здесь нет! Однако на самом деле
«поршни», т. е. внешние тела, поддерживающие заданные давления
на входе и выходе змеевика, здесь есть, и они-то и совершают ра­
боту над протекающим газом. Эту работу можно подсчитать следу­
ющим образом.
Рассмотрим газ, заключенный между входным
и выходным
S2 сечениями змеевика (рис. 55). Вследствие стационарности потока
масса этого газа не меняется со временем, т. е. если за время At че­
рез входное сечение прошла масса газа Ат, то точно такая же масса
вышла из змеевика.
Пусть объем, занимаемый массой Ат на входе при давлении р{
и температуре Т р равен ДКР а объем на выходе из змеевика равен
AV2. Газ, находившийся между сечени­
ями 5[ и S2, теперь занимает новое по- sij
ложение: идущая за ним порция газа р I
р2
действовала на него с силой F{ = p{S{,
О О О
]Д«
идущий впереди газ оказывал сопроi
i
тивление F2 = p2S2. Таким образом,
Рис. 55. Прохождение газа через
работа внешних сил над рассматривае- ЗМеевик
мым газом А А — р{AV^ —p2AV2. По­
скольку во время процесса давления газа на входе и выходе
остаются постоянными, то работа внешних сил при проталкивании
через змеевик одного моля газа равна
A = PlV i - P 2 V 2,

(4)

где Vl и V2 — объемы, занимаемые одним молем газа при условиях,
существующих на входе и на выходе змеевика соответственно. Со­
гласно уравнению Менделеева—Клапейрона можно написать
plVl = RT ly
p2V2= R T 2.
Поэтому совершаемая над одним молем газа работа равна
A = R( T l - T 2).

(5)

Теперь обратим внимание на одну особенность рассматриваемого
примера: в то время как температура газа на входе в змеевик Т {

144

IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

задается, температура на выходе Т 2 измеряется. Напомним, что
давление в обоих случаях задается. От чего же зависит температура
газа на выходе? Очевидно, от условий его прохождения через змее­
вик. Чем же могут различаться эти условия? Только интенсивно­
стью теплообмена протекающего по змеевику газа с окружающей
средой. Рассмотрим вначале случай, когда теплообмен вообще от­
сутствует — змеевик адиабатически изолирован от окружающей
среды. Какова при этом температура газа Т г на выходе? Используя
первый закон термодинамики
Q + A=AU,

(6)

получаем A — AU, так как Q = 0. Поскольку внутренняя энергия
идеального газа пропорциональна термодинамической температуре,
имеем
A U = U 2- U l = Cv(T2- T l).
(7)
Подставляя выражения (5) и (7) в уравнение (6) и учитывая, что
в отсутствие теплообмена Q —0, получаем
R ( T 1- T 2) = Cv (T2- T 1),
а так как Су > 0, то отсюда немедленно следует Т { = Т 2.
Таким образом, температура идеального газа при адиабатиче­
ском прохождении через змеевик не меняется, а совершаемая при
этом работа, как видно из (5), равна нулю. Для того чтобы работа
была отлична от нуля, необходим теплообмен. Легко убедиться, что,
когда газ получает теплоту ( Q > 0 ) , совершаемая над ним работа
отрицательна и, наоборот, при Q < 0 совершаемая над газом работа
положительна: А > 0. Действительно, подставляя в уравнение пер­
вого закона (6) выражения (5) и (7), получаем
Q = ( C V + R) ( T2 - T ,).
(8)
Сумма Су + R равна молярной теплоемкости идеального газа при по­
стоянном давлении Ср, поэтому формулу (8) можно записать и так:
Q = C p(T2- T 1).

(9)

Из этого выражения видно, что знак АТ = Т2 — Т { совпадает со зна­
ком Q. Если, например, Q < 0, т. е. газ при прохождении через зме­
евик отдает теплоту, то Т 2 < Т {, и из выражения (5) видно, что со­
вершаемая при этом над газом работа положительна: А > 0.
Змеевик как тепловая машина. Исходя из полученныхрезульта­
тов попытаемся представить себе, как происходит протекание газа
через змеевик. Если в змеевике газ охлаждается, т. е. отдает тепло­
ту ( Q < 0). т0 совершаемая над газом работа положительна —
внешние силы «проталкивают» газ через змеевик. Если теплота

§ 17. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПЕРВОГО ЗАКОНА ТЕРМОДИНАМИКИ

145

подводится к газу (Q > 0), то наш змеевик подобен тепловой маши­
не — газ сам совершает работу над внешними телами. И обратите
внимание, что этот результат не зависит от того, какова величина
давления газа на выходе и на входе. Единственное условие при
этом — давление на входе должно быть больше давления на выходе,
иначе газ просто потечет в обратную сторону.
Как было выяснено, при адиабатическом протекании газа через
змеевик совершаемая над ним работа равна нулю. Не кажется ли
вам странным этот результат? Легко придумать такой опыт, в кото­
ром над газом работа совершается, а теплообмена с окружающей
средой нет. Действительно, попробуем при помощи компрессора
прокачивать через змеевик газ в вакуум. Для того чтобы процесс
можно было считать стационарным, сечение выходного отверстия
сделаем много меньше сечения входного. Змеевик теплоизолируем
от окружающей среды.
Совершаемая компрессором над газом работа положительна и
равна полной совершаемой над газом работе, ибо, как уже отмеча­
лось, выходя в вакуум, газ работы не совершает. Так как нет обме­
на теплотой, налицо противоречие с утверждением о том, что при
адиабатическом протекании работа равна нулю.
Это противоречие возникло потому, что при прокачивании газа
в вакуум происходят и такие энергетические превращения, которые
были совершенно несущественны в разобранном выше примере.
Действительно, первый закон термодинамики использовался в виде
Q + А = AU, где U — внутренняя энергия газа. Поэтому при ис­
пользовании такой формулировки первого закона термодинамики
заранее молчаливо предполагается, что в рассматриваемых процес­
сах не происходит изменения механической энергии системы, т. е.
не меняется потенциальная энергия газа как целого во внешнем по­
ле, не меняется и кинетическая энергия движения газа как целого,
не возникает в газе никаких макроскопических потоков. Теперь уже
становится ясно, что при прокачивании газа в вакуум возникает
макроскопический направленный поток, кинетическую энергию ко­
торого необходимо учитывать. Работа компрессора в этом случае
как раз и определяет кинетическую энергию этого потока.
Если вход и выход змеевика расположены на разной высоте, то в
уравнении закона сохранения энергии необходимо учитывать и изме­
нение потенциальной энергии газа в поле тяжести, подобно тому как
это делалось в гидродинамике при выводе уравнения Бернулли.
Измерение теплоемкости газа. Змеевик, помещенный в калори­
метр, можно использовать для измерения теплоемкости газа. Дело в
том, что непосредственное измерение теплоемкости газа при посто­
янном объеме Су затруднительно, так как для заключенного в сосуд
газа масса, а следовательно, и теплоемкость всегда малы по сравне­
нию с их значениями для сосуда и калориметра. Через змеевик

146

IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

можно пропустить большую массу газа, так что температура воды в
калориметре может заметно измениться. Таким образом удается
преодолеть отмеченную выше трудность.
Зная теплоемкость калориметра с водой, по изменению его тем­
пературы можно подсчитать количество переданной газу теплоты
Q (в пересчете на один моль прошедшего газа). Это количество теп­
лоты связано с изменением температуры газа формулой (9), что по­
зволяет рассчитать величину С — теплоемкость газа при постоян­
ном давлении. Теплоемкость Су можно затем найти с помощью
уравнения Майера: Су = Ср — R.
Задача
В вертикальном цилиндрическом сосуде под массивным поршнем на­
ходится 1 моль идеального газа. Приложим к поршню некоторую силу и
сожмем газ настолько, чтобы эта сила совершила заданную работу А.
Затем поршень отпускаем и через некоторое время он устанавливается в
новом положении равновесия. Определить, на сколько градусов темпера­
тура газа в конечном состоянии отличается от начальной температуры,
считая газ адиабатически изолированным.
Р е ш е н и е . До приложения внешней силы поршень находился в ме­
ханическом равновесии: разность сил давления газа под поршнем и ат­
мосферы над ним уравновеш ивала действующую на поршень силу тяж е­
сти. Приложив дополнительную силу, мы нарушаем это равновесие, и
поршень перемещается вниз. При перемещении поршня все действующие
на него внешние силы совершают положительную работу: кроме заданной
в условии работы А приложенной силы это еще работа действую щ ей на
поршень сверху силы атмосферного давления и работа силы тяжести.
Работа всех этих сил равна изменению внутренней энергии газа и кине­
тической энергии поршня.
При сжатии адиабатически изолированного газа его температура и давле­
ние возрастают. Поэтому после прекращ ения действия приложенной силы газ
начинает расш иряться, и поршень будет перемещаться вверх. При этом сила
атмосферного давления и сила тяжести совершают отрицательную работу.
В конце концов кинетическая энергия поршня обратится в нуль, и он установит­
ся в новом положении равновесия. Это новое положение равновесия поршня бу­
дет расположено выше исходного на некоторую величину Ah.
Полная работа, складываю щ аяся из работы А приложенной силы, работы
Д гяж силы тяжести и работы Латм силы атмосферного давления на всем переме­
щении поршня от начального положения, в соответствии со сказанны м выше,
равна изменению внутренней энергии газа ДU:
Л + А ™ + Атм = AJ/.
(10)
Так как конечное положение поршня на АЛ выше начального, то очевидно,
что
А ™ = ~ m g - A h , А ,™ = - p o S - A h ,
(11)
где т — масса поршня, S — его площадь, р0 — атмосферное давление. И з­
менение внутренней энергии ДU находящегося под поршнем одного моля
идеального газа определяется только изменением его температуры АТ:
AU = CV-AT.

(12)

§ 18. ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

147

Подставляя (11) и (12) в (10), получаем
A - ( m g + PoS)AH = Cv -AT.

(13)

Во втором слагаемом левой части (13) вынесем за скобки площадь поршня
S. Тогда S ■АН равно изменению объема газа ДК, a mg/S + р0 — давление газа
р , одинаковое в начальном и конечном состояниях. Поэтому (13) переписыва­
ется в виде
A - p - A V = Cv - AT .

(14)

Применяя уравнение Менделеева—Клапейрона к начальному и конечному
состояниям газа, имеем
p . A V = R - АТ.
(15)
Теперь соотношение (14) принимает вид
А = (Cv + R) ■АТ.
Т ак как Cv + R — Ср, то
А Т = А1Ср.

для

изменения температуры

АТ

имеем:

•

Можно ли применять первый закон термодинамики к процессам, в ко­
торых изменяется химический состав или количество вещества в рас­
сматриваемой системе?

•

Всегда ли подведение теплоты к системе приводит к увеличению ее
внутренней энергии?

•

По показаниям какого прибора — термометра или барометра — можно су ­
дить о внутренней энергии всего воздуха, находящегося в вашей комнате?

•

При прохождении газа через змеевик мы составляем уравнение энерге­
тического баланса, в котором не учитываем кинетическую энергию по­
тока газа, считая малой его скорость. П ри этом мы не заботимся о за­
коне сохранения импульса. Медленность протекания газа можно обеспе­
чить, например, с помощью пористой перегородки внутри змеевика.
Поясните, почему такая перегородка, обеспечивая сохранение импульса,
не влияет на энергетический баланс.

•

Почему теплоемкость газа при постоянном объеме Cv трудно измерить
на опыте непосредственно? Как эту трудность можно преодолеть на
практике?

•

В приведенном решении задачи утверждалось, что конечное положение
поршня расположено выше начального. Докажите, что это действитель­
но так.

•

В условии задачи предполагалось, что приложенная сила перемещает пор­
шень вниз. Изменится ли ответ, если считать, что она перемещает поршень
вверх? Опишите процессы, происходящие в системе в этом случае.

§ 18. Второй закон термодинамики

Первый закон термодинамики — один из самых общих и фундамен­
тальных законов природы. Не известно ни одного процесса, где хоть

148

IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

в какой-то мере наблюдалось бы его нарушение. Если какой-либо
процесс запрещен первым законом, то можно быть абсолютно уве­
ренным в том, что он никогда не произойдет. Однако этот закон не
дает никаких указаний о том, в каком направлении развиваются
процессы, удовлетворяющие принципу сохранения энергии.
Поясним это примерами.
Направление тепловых процессов. Первый закон термодинамики
ничего не говорит о том, в каком направлении происходит теплооб­
мен между приведенными в тепловой контакт телами, находящими­
ся при разных температурах. Как уже обсуждалось выше, теплооб­
мен происходит так, что температуры выравниваются и вся система
стремится к состоянию теплового равновесия. Но первый закон не
был бы нарушен, если бы, наоборот, передача теплоты происходила
от тела с низкой температурой к телу с более высокой при условии,
что полный запас внутренней энергии оставался бы неизменным.
Однако повседневный опыт показывает, что само собой это никогда
не происходит.
Другой пример: при падении камня с некоторой высоты вся ки­
нетическая энергия его поступательного движения исчезает при
ударе о землю, но при этом увеличивается внутренняя энергия са­
мого камня и окружающих его тел, так что закон сохранения энер­
гии, разумеется, не оказывается нарушенным. Но первому закону
термодинамики не противоречил бы и обратный процесс, при кото­
ром к лежащему на земле камню перешло бы от окружающих пред­
метов некоторое количество теплоты, в результате чего камень под­
нялся бы на некоторую высоту. Однако никто никогда не наблюдал
таких самопроизвольно подскакивающих камней.
Неравноценность разных видов энергии. Вдумываясь в эти и дру­
гие подобные примеры, мы приходим к выводу, что первый закон
термодинамики не накладывает никаких ограничений на направле­
ние превращений энергии из одного вида в другой и на направление
перехода теплоты между телами, требуя только сохранения полного
запаса энергии в замкнутых системах. Между тем опыт показывает,
что разные виды энергии не равноценны в отношении способности
превращаться в другие виды.
Механическую энергию можно целиком превратить во внутрен­
нюю энергию любого тела независимо от того, какова была его тем­
пература. Действительно, любое тело можно нагреть трением, уве­
личивая его внутреннюю энергию на величину, равную совершен­
ной работе. Точно так же электрическая энергия может быть
целиком превращена во внутреннюю, например при прохождении
электрического тока через сопротивление.
Для обратных превращений внутренней энергии в другие виды су­
ществуют определенные ограничения, состоящие в том, что запас
внутренней энергии ни при каких условиях не может превратиться

§ 18. ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

149

целиком в другие виды энергии. С отмеченными особенностями энер­
гетических превращений связано направление протекания процессов
в природе. Второй закон термодинамики, отражающий направлен­
ность естественных процессов и налагающий ограничения на возмож­
ные направления энергетических превращений в макроскопических
системах, представляет собой, как и всякий фундаментальный закон,
обобщение большого числа опытных фактов.
Чтобы яснее представить себе физическое содержание второго
закона термодинамики, рассмотрим подробнее вопрос об обратимо­
сти тепловых процессов.
Обратимые и необратимые процессы. Если достаточно медленно
изменять условия так, чтобы при этом скорость протекающего в
рассматриваемой системе процесса была значительно меньше скоро­
сти релаксации, то такой процесс будет физически представлять со­
бой цепочку близких друг к другу равновесных состояний. Поэтому
такой процесс описывается теми же самыми макроскопическими па­
раметрами, что и состояние равновесия. Эти медленные процессы
называются равновесными или квазистатическими. При таких про­
цессах систему можно характеризовать такими параметрами, как
давление, температура и т. д. Реальные процессы являются нерав­
новесными и могут считаться равновесными с большей или меньшей
точностью.
Рассмотрим следующие примеры.
Пусть газ находится в цилиндрическом сосуде, закрытом порш­
нем. Если выдвигать поршень с конечной скоростью, то расширение
газа будет необратимым процессом. Действительно, как только пор­
шень будет выдвинут, давление газа непосредственно у поршня бу­
дет меньше, чем в других частях цилиндра. Такой процесс нельзя
провести обратимо через те же промежуточные состояния, так как
при вдвигании поршня обратно с конечной скоростью вблизи порш­
ня будет происходить не разрежение газа, а его сжатие. Таким об­
разом, быстрое расширение или сжатие газа дает пример необрати­
мого процесса.
Чтобы расширить газ строго обратимым образом, нужно выдви­
гать поршень бесконечно медленно. При этом давление газа будет в
каждый момент во всем объеме одинаковым, состояние газа будет
зависеть от положения поршня, а не от направления его движения,
и процесс будет обратимым.
Наиболее ярко необратимость процесса расширения газа прояв­
ляется тогда, когда расширение происходит в пустоту без соверше­
ния механической работы.
Необратимыми являются все процессы, сопровождающиеся теп­
лообменом между телами, имеющими разные температуры. Необра­
тимость такого теплообмена особенно отчетливо видна на примере
выравнивания температур тел, приведенных в соприкосновение.

150

IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

Необратимыми являются процессы, при которых механическая
энергия переходит во внутреннюю при наличии трения, о чем часто
говорят как о выделении теплоты благодаря трению. В отсутствие
трения все механические процессы протекали бы обратимо.
Таким образом, равновесные обратимые процессы являются абс­
тракцией, и на практике из-за существования трения и теплообмена
не встречаются. Однако исследование равновесных процессов в тер­
модинамике дает возможность указать, как следует проводить про­
цессы в реальных системах, чтобы получить наилучшие результаты.
Различные формулировки второго закона термодинамики. Исто­
рически открытие второго закона термодинамики было связано с
изучением вопроса о максимальном коэффициенте полезного дейст­
вия тепловых машин, проведенным французским ученым Сади Кар­
но. Позднее Р. Клаузиус и У. Томсон (лорд Кельвин) предложили
различные по виду, но эквивалентные формулировки второго закона
термодинамики.
Согласно формулировке Клаузиуса, невозможен процесс, единст­
венным результатом которого был бы переход теплоты от тела с бо­
лее низкой температурой к телу с более высокой температурой.
Томсон сформулировал второй закон термодинамики следующим
образом: невозможен периодический процесс, единственным конеч­
ным результатом которого было бы совершение работы за счет теп­
лоты, взятой от одного какого-то тела.
Выражение «единственным результатом» в этих формулировках
означает, что никаких других изменений, кроме указанных, ни в
рассматриваемых системах, ни в окружающих их телах не происхо­
дит. Условная схема такого рода процесса, запрещенного постула­
том Клаузиуса, показана на рис. 56, а процесса, запрещенного по­
стулатом Томсона, — на рис. 57.
В формулировке Томсона второй закон термодинамики наклады­
вает ограничения на превращение внутренней энергии в механиче­
скую. Из формулировки Томсона следует, что невозможно постро­
ить машину, которая совершала бы работу только лишь за счет по­
лучения теплоты из окружающей среды. Такая гипотетическая
машина получила название вечного двигателя второго рода, так как
вследствие неограниченности запасов внутренней энергии в земле,
океане, атмосфере такая машина была бы для всех практических
целей эквивалентна вечному двигателю.
Вечный двигатель второго рода не находится в противоречии с
первым законом термодинамики, в отличие от вечного двигателя
первого рода, т. е. устройства для совершения работы вообще без ис­
пользования источника энергии.
Эквивалентность формулировок Клаузиуса и Томсона. Экви­
валентность формулировок второго закона термодинамики, пред­

§ 18. ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

151

ложенных Клаузиусом и Томсоном, устанавливается простыми
рассуждениями.
Предположим, что постулат Томсона несправедлив. Тогда мож­
но осуществить такой процесс, единственным результатом которого
было бы совершение работы за счет теплоты, взятой от единствен­
ного источника с температурой Т. Эту работу можно было бы, на­
пример путем трения, снова целиком превратить в теплоту, пере­
даваемую телу, температура которого выше, чем Т. Единственным
результатом такого составного процесса был бы переход теплоты
от тела с температурой Т к телу с более высокой температурой.
Но это противоречило бы постулату Клаузиуса. Итак, постулат
Клаузиуса не может быть справедливым, если неверен постулат
Томсона.
Предположим теперь, что, наоборот, несправедлив постулат
Клаузиуса, и покажем, что при этом постулат Томсона также не
может выполняться. Построим обычную тепловую машину, которая
будет работать, получая некоторое количество теплоты Q, от нагре­
вателя, отдавая Q2 холодильнику и превращая разность Q{ — Q2 в
работу (рис. 58).
Поскольку постулат Клаузиуса предполагается неверным, можно
осуществить процесс, единственным результатом которого будет пе­
реход количества теплоты, равного Qv от холодильника к нагревате­
лю. Схематически это показано в правой части рис. 58. В результате

Рис. 56. Принципи­
альная схема гипоте­
тического устройства,
в котором нарушается
постулат Клаузиуса

Рис. 57. Принци­
пиальная схема ги­
потетического
устройства, в кото­
ром
нарушается
постулат Томсона

Рис. 58. Комбинируя с тепловой
машиной устройство, изображен­
ное на рис. 56, в котором нару­
шается постулат Клаузиуса, по­
лучаем систему, в которой нару­
шается постулат Томсона

нагреватель будет отдавать рабочему телу тепловой машины количе­
ство теплоты (2, и получать при процессе, противоречащем постулату
Клаузиуса, количество теплоты Qv так что в целом он будет отдавать
количество теплоты, равное Q, — Q2. Именно такое количество

152

IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

теплоты машина превращает в работу. В холодильнике в целом ника­
ких изменений вообще не происходит, ибо он отдает и получает одно
и то же количество теплоты Q2. Теперь видно, что, комбинируя дей­
ствие тепловой машины и процесс, противоречащий постулату Клау­
зиуса, можно получить процесс, противоречащий постулату Томсона.
Таким образом, постулаты Клаузиуса и Томсона либо оба вер­
ны, либо оба неверны, и в этом смысле они эквивалентны. Их
справедливость для макроскопических систем подтверждается все­
ми имеющимися экспериментальными фактами.
Принцип Каратеодори. Физическое содержание второго закона
термодинамики в формулировках Клаузиуса и Томсона выража­
ется в виде утверждения о невозможности конкретных тепловых
процессов. Но можно дать и такую формулировку, которая не кон­
кретизирует вида процесса, невозможность которого утверждается
этим законом. Такая формулировка называется принципом Кара­
теодори. Согласно этому принципу вблизи каждого равновесного
состояния любой термодинамической системы существуют другие
равновесные состояния, недостижимые из первого адиабатическим
путем.
Покажем эквивалентность формулировки Томсона и принципа
Каратеодори. Пусть произвольная термодинамическая система ква­
зистатически переходит из некоторого состояния 1 в близкое
состояние 2, получая некоторое количество теплоты Q > 0 и совер­
шая работу А1. Тогда в соответствии с первым законом термоди­
намики
Q = U2 — Ui + А'.

(1)

Вернем систему адиабатически из состояния 2 в состояние /. Тогда
в таком обратном процессе теплообмен отсутствует, и первый закон
термодинамики дает
О = и 1- и 2 + А’’,
(2)
где А" — совершаемая системой работа. Складывая (1) и (2),
получаем
Q = А! + Л ' > 0.
(3)
Соотношение (3) показывает, что в таком циклическом процессе
система, возвратившись в исходное состояние, превратила в работу
всю полученную теплоту. Но это невозможно согласно второму за­
кону термодинамики в формулировке Томсона. Значит, такой цик­
лический процесс неосуществим. Первый его этап всегда возможен:
на этом этапе к системе просто подводится теплота, и никаких дру­
гих условий не накладывается. Поэтому невозможным здесь являет­
ся только второй этап, когда по условию система должна возвра­
щаться в исходное состояние адиабатически. Другими словами,

§ 18. ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

153

состояние 1 адиабатически недостижимо из близкого к нему
состояния 2.
Принцип адиабатической недостижимости означает, что практи­
чески все реальные физические процессы происходят с теплообме­
ном: адиабатические процессы — это редкое исключение. Рядом с
каждым равновесным состоянием есть множество других, переход в
которые обязательно требует теплообмена, и лишь в немногие из
них можно попасть адиабатически.
На основе приведенных формулировок второго закона термоди­
намики можно получить результаты Карно для максимально воз­
можного коэффициента полезного действия тепловых машин. Для
тепловой машины, совершающей цикл между нагревателем с фик­
сированной температурой 7’1 и холодильником с температурой Т2,
коэффициент полезного действия не может превышать значения

Наибольшее значение rj, определяемое формулой (4), достига­
ется у тепловой машины, совершающей обратимый цикл, незави­
симо от того, что используется в качестве рабочего тела. Это
утверждение, называемое обычно теоремой Карно, будет доказано
ниже.
Цикл является обратимым, если он состоит из обратимых про­
цессов, т. е. таких, которые можно провести в любом направлении
через одну и ту же цепочку равновесных состояний.
Единственным обратимым циклическим процессом, который
можно осуществить между нагревателем и холодильником с фикси­
рованными температурами, является так называемый цикл Карно,
состоящий из двух изотерм и двух ади­
абат. Для идеального газа такой цикл
изображен на рис. 59. На участке 1—2
газ имеет температуру, равную темпе­
ратуре нагревателя Тх и изотермически
расширяется, получая количество теп­
лоты Qj от нагревателя. При этом газ
совершает положительную работу, рав­
ную полученной теплоте. На участке
2—3 газ расширяется адиабатически, и
при этом его температура понижается Рис. 59. Цикл Карно на p-Vдиаграмме идеального газа
от Т [ до значения, равного температуре
холодильника Т2. Совершаемая газом на этом участке работа равна
убыли его внутренней энергии. На следующем участке 3—4 газ изо­
термически сжимают. При этом он отдает холодильнику количество
теплоты Q2, равное совершаемой над ним при сжатии работе. На
участке 4—1 газ адиабатически сжимают до тех пор, пока его

154

IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

температура не повысится до значения Т {. Увеличение внутренней
энергии газа при этом равно работе внешних сил, совершаемой при
сжатии газа.
Цикл Карно является единственным замкнутым процессом, ко­
торый можно осуществить обратимым образом. В самом деле, адиа­
батические процессы обратимы, если их проводить достаточно мед­
ленно, т. е. квазистатически. Изотермические процессы — это един­
ственные процессы с теплообменом, которые могут быть проведены
обратимым образом. При любом другом процессе температура рабо­
чего тела изменяется и, согласно второму закону термодинамики,
теплообмен с нагревателем или холодильником не может быть обра­
тимым: обмен теплотой при наличии конечной разности температур
носит характер приближения к тепловому равновесию и не является
равновесным процессом.
Разумеется, обмен теплотой в отсутствие разности температур
происходит бесконечно медленно. Поэтому обратимый цикл Карно
продолжается бесконечно долго и мощность тепловой машины при
максимально возможном КПД, определяемом формулой (4), стре­
мится к нулю. Процессы в любой реальной машине обязательно со­
держат необратимые звенья, и, следовательно, ее КПД всегда мень­
ше теоретического предела (4).
Условия получения максимальной работы. Преобразование внут­
ренней энергии в механическую, как следует из второго закона тер­
модинамики, не может быть произведено полностью. Для того чтобы
превратить в механическую энергию максимально возможную часть
внутренней энергии, необходимо использовать исключительно обра­
тимые процессы. Для иллюстрации рассмотрим следующий пример.
Пусть имеется некоторое тело, не находящееся в состоянии тепло­
вого равновесия с окружающей средой, например идеальный газ в
цилиндре с поршнем, имеющий температуру T v более высокую,
чем температура окружающей среды Т
(рис. 60). Каким образом можно получить на­
ибольшую работу при условии, что в конечном
состоянии газ должен занимать тот же объем,
что и в начальном?
Если бы температура газа была равна темРис. 60. к получению пературе окружающей среды, т. е. газ нахомаксимальной работы
дился бы в тепловом равновесии с окружени­
ем, то никакой работы вообще получить было
бы невозможно. Превращение внутренней энергии в механическую
может происходить только в том случае, когда начальное состояние
всей системы не является равновесным.
Но при неравновесном начальном состоянии переход системы в
состояние равновесия не обязательно сопровождается превращением
внутренней энергии в механическую. Если просто привести газ в

§ 18. ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

155

тепловой контакт с окружающей средой, не давая ему расширяться,
то газ остынет и никакой работы при этом совершено не будет. По­
этому для возможности совершения работы необходимо предоста­
вить газу возможность расширяться, имея в виду, что потом его
придется сжать, так как по условию в конечном состоянии газ дол­
жен занимать тот же объем, что и в начальном.
ч
Для получения максимальной работы переход из начального
состояния в конечное должен быть произведен обратимо. А это мож­
но сделать, только используя адиабатические и изотермические про­
цессы. Итак, газ следует адиабатически расширять до тех пор, пока
его температура не станет равна температуре окружающей среды
Т, а затем изотермически сжать при этой температуре до исходного
объема (рис. 61). Совершаемая газом при адиабатическом расшире­
нии 1—2 работа, как видно из рисунка, больше той работы, которую
придется совершить над газом при изотермическом сжатии 2—3.
Максимальная работа, которую можно получить при переходе газа
из состояния 1 в состояние 3, равна площади заштрихованного на
рис. 61 криволинейного треугольника 1—2—3.
Изученные закономерности действия обратимого теплового дви­
гателя позволяют рассмотреть принципы функционирования холо­
дильной машины и теплового насоса. В холодильной машине все
процессы происходят в обратном (по сравнению с тепловым двига­
телем) направлении (рис. 62). За счет совершения механической
работы А от резервуара с более низкой температурой Т2 отнима­
ется некоторое количество теплоты Qv При этом резервуару с бо­
лее высокой температурой Т х, роль которого выполняет обычно ок­
ружающая среда, передается количество теплоты Q,, равное сумме
Л + 0.2- Вследствие обратимости рассматриваемой машины для нее
справедливо соотношение
А

q 2+ a

7^

,

(5)

которое в соответствии с (4) можно рассматривать как коэффициент
полезного действия соответствующей тепловой машины.
Для холодильной машины наибольший интерес представляет ко­
личество теплоты Q2, отнимаемое от охлаждаемого резервуара. Из
(5) для Q2 имеем
^2 = 7^7^—
-Т

(*>

График зависимости Q2 от температуры окружающей среды Т х
(для обратимого процесса) изображен на рис. 63. Видно, что при
Т Х» Т 2 отнимаемая теплота Q2—>0. Но при малой разности темпе­
ратур Г[ — Т2 отношение Q2/A может принимать большие значения.
Другими словами, эффективность холодильной машины при близких

156

IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

значениях Т { и Т2 может быть весьма велика, так как количество теп­
лоты Q2, отнимаемое от охлаждаемых тел, может значительно пре­
вышать работу А , которую в реальных холодильных машинах совер­
шает компрессор, приводимый в действие электродвигателем.
В технической термодинамике для характеристики холодильной
машины используется так называемый холодильный коэффициент е,
определяемый как отношение количества теплоты Q2, взятого от ох­
лаждаемых тел, к работе внешних сил А\

В отличие от КПД теплового двигателя (4), холодильный коэф­
фициент е может принимать значения, большие единицы.

Рис. 61. Процесс получения макси
мальной работы на р —К-диаграмме

Рис. 62. Принципиальная схема хо­
лодильной машины

В реальных промышленных и бытовых установках е = 3 и более.
Как видно из (7), холодильный коэффициент тем больше, чем
меньше различаются температуры окружающей среды и охлаждае­
мого тела.
Рассмотрим теперь работу теплового насоса, т. е. холодильной
машины, работающей с целью нагревания горячего резервуара
(отапливаемого помещения) за счет теплоты, отнятой от холодного
резервуара (окружающей среды). Принципиальная схема теплово­
го насоса идентична схеме холодильной машины (см. рис. 62).
В отличие от холодильной машины для теплового насоса практи­
ческий интерес представляет не Qv a Ql — количество теплоты,
получаемое нагреваемым телом: Qt = А + Q2. Для Qx аналогично
(6) имеем
=

1 ~ т 2/ т 1 •

(**)

§ 18. ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

157

График этой зависимости изображен на рис. 64. При Т 1^> Т 2
теплота Q^—*А. При малой разности Т 1— Т 2 количество теплоты,

Рис. 63. Зависимость теплоты Qi,
отнимаемой у охлаждаемого резер­
вуара, от температуры Т\ окружаю­
щей среды

Рис. 64. Зависимость теп­
лоты Q 1, поступающей в
отапливаемое помещение,
от его температуры Т i

передаваемое нагреваемому телу, может значительно превышать
работу А. В этом случае становятся совершенно очевидными пре­
имущества использования теплового насоса по сравнению с непос­
редственным отапливанием, когда работа А (например, электро­
энергия) непосредственно превращается во внутреннюю энергию
отапливаемого помещения.
В технической термодинамике для характеристики эффективно­
сти тепловых насосов вводится так называемый отопительный коэф­
фициент еотоп, равный
£

отоп

А

___!___

1 - Т 21Т1 •

(9)

Приведенные формулы (7) и (9) справедливы для обратимых ма­
шин. Для реальных машин, где процессы полностью или частично
необратимы, эти формулы дают оценку холодильного и отопитель­
ного коэффициентов.
Итак, при использовании теплового насоса отапливаемое поме­
щение получает больше теплоты, чем при непосредственном отап­
ливании. На это обстоятельство еще в 1852 г. обратил внимание
У. Томсон, предложив идею так называемого динамического отопле­
ния, заключающуюся в следующем. Теплота, получаемая при сжи­
гании топлива, используется не для непосредственного обогревания
помещения, а направляется в тепловой двигатель для получения ме­
ханической работы. С помощью этой работы приводится в действие
тепловой насос, который и обогревает помещение. При малой раз­
ности температур окружающей среды и отапливаемого помещения
последнее получает теплоты заметно больше, чем ее выделяется при
сжигании топлива. Это может показаться парадоксальным.

158

IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

В действительности никакого парадокса в тепловом насосе и ди­
намическом отоплении нет, что становится совершенно ясным, ес­
ли воспользоваться понятием качества внутренней энергии. Под
качеством внутренней энергии понимается ее способность превра­
щаться в другие виды. В этом смысле наивысшим качеством ха­
рактеризуется энергия в механической или электромагнитной фор­
мах, так как ее можно полностью превратить во внутреннюю при
любой температуре. Что касается внутренней энергии, то ее каче­
ство тем выше, чем выше температура тела, в котором она запа­
сена. Всякий естественно идущий необратимый процесс, например
переход теплоты к телу с более низкой температурой, ведет к
обесцениванию внутренней энергии, к снижению ее качества.
В обратимых процессах снижения качества энергии не происходит,
поскольку все энергетические превращения могут идти в обратном
направлении.
При обычном способе отапливания вся теплота, выделяющаяся
при сжигании топлива при нагревании спирали электрическим то­
ком или получаемая от горячего резервуара и т. п., переходит в по­
мещение в виде такого же количества теплоты, но при более низкой
температуре, что представляет собой качественное обесценивание
внутренней энергии. Тепловой насос или система динамического
отопления устраняют непосредственный необратимый теплообмен
между телами с разными температурами.
При работе теплового насоса или системы динамического отопле­
ния происходит повышение качества внутренней энергии, передава­
емой отапливаемому помещению из окружающей среды. При малой
разности температур, когда качество этой энергии существенно не
увеличивается, ее количество становится больше, чем и объясняется
высокая эффективность работы теплового насоса и динамического
отопления в целом.
•

П р и в е д и те п р и м е р ы я в л е н и й , ко то р ы е у д о в л е тв о р я ю т з а к о н у с о х р а н е н и я
э н е р г и и , но т е м н е м е н е е н и к о г д а н е н а б л ю д а ю т с я в п р и р о д е .

•

В чем п р о я в л я е тс я н е р а в н о ц е н н о сть р а з н ы х видов э н е р г и и ? П р о и л л ю с т ­
р и р у й те э т у н е р а вн о ц е н н о сть на п р и м е р а х.

•

Ч то та к о е о б р а ти м ы й те п л о в о й п р о ц е с с ? П р и в е д и те п р и м е р ы о б р а ти м ы х
и н е о б р а ти м ы х про ц ессов.

•

Каким

тр ебо ван и ям

д о л ж н а удо в л етв о р я ть ф и з и ч е с к а я

м ехан и ч ески е про цессы

в н ей п р о те к а л и о б р ати м о ?

с и с т е м а , что бы

П о я сн и те , почем у

тр е н и е и д и с с и п а ц и я м е ха н и ч е ск о й эн е р ги и д е л а ю т все п р о ц е ссы необ­
р а ти м ы м и .
•

П р и в ед и те

разли чны е

ф орм улировки

в то р о го

закона

те р м о д и н а м и ки .

Д о к а ж и те экви в ал ен тн о сть ф орм улировок К л а у з и у с а и Т о м со н а.
•

Ч то о зн ач ает п р и н ц и п К а р атео д о р и п р и м ен и тел ьн о к и д еальн о м у га з у ?
П о я с н и т е о т в е т , и с п о л ь з у я р — К - д и а г р а м м у д л я и з о б р а ж е н и я е го с о с т о ­
яния.

159

§ 19. МЕТОДЫ ТЕРМОДИНАМИКИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
•

П о к а ж и т е , ч т о ф и з и ч е с к и й с м ы с л в то р о го з а к о н а т е р м о д и н а м и к и з а к л ю ­
ч а е тс я в у с та н о в л е н и и н ер азр ы вн о й св я зи м е ж д у н ео б р ати м о стью р е а л ь ­
н ы х п р о ц е с с о в в п р и р о д е и те п л о о б м е н о м .

•

С ф о р м у л и р у й т е у с л о в и я , п р и к о т о р ы х к о э ф ф и ц и е н т п о л е з н о го д е й с т в и я
те п л о в о го д в и га т е л я , р а б о та ю щ е го по о б р а ти м о м у ц и к л у , б ы л бы б л и з ­
ким к единице.

•

П о ка ж и те ,

что ц и к л К а р н о

— э то е д и н с тв е н н ы й о б р ати м ы й

цикличе­

с к и й п р о ц е с с д л я д в и га те л я , и с п о л ь зу ю щ е го д ва те п л о в ы х р е зе р в уар а с
ф и к с и р о в а н н ы м и те м п е р а тур а м и .
•

П р и о б с у ж д е н и и у с л о в и й п о л у ч е н и я м а к с и м а л ь н о й р аб о ты н е у ч и т ы в а ­
ло сь

а тм о сф е р н о е

давление,

д е й ств ую щ е е

на

порш ень

снаруж и.

Как

у ч е т э то го д а в л е н и я с к а ж е т с я н а п р и в е д е н н ы х р а с с у ж д е н и я х и н а р е­
зультате ?
•

Г а з в ц и л и н д р е , закр ы то м п о р ш н ем , им еет т а к у ю ж е те м п е р а ту р у , что и
о к р у ж а ю щ и й в о з д у х , но более в ы со ко е (и л и более н и з к о е ) д а в л е н и е , чем
д а в л е н и е в а тм о с ф е р е . К а к и е п р о ц е ссы с л е д у е т п р о в е сти с га зо м , ч то б ы
п о л у ч и ть м а к с и м а л ь н у ю п о л езн ую р а б о ту за с ч е т н ер а вн о весн о сти с и с ­
те м ы ? И зо б р а зи те эти

про ц ессы

на

р —К - д и а г р а м м е ,

сч и та я газ в ц и ­

линдре идеальны м .
•

Газ

в ц и л и н д р е , закр ы то м

п о р ш н е м , и м еет та к о е ж е д а в л е н и е , к а к

о к р у ж а ю щ и й в о з д у х , но более в ы с о к у ю

и

(и л и более н и з к у ю ) те м п е р а т у ­

р у . К а к и е п р о ц е ссы с л е д у е т п р о в е с ти с га зо м , что бы п о л у ч и ть м а к с и ­
м а л ь н у ю п о л е зн у ю р а б о ту з а с ч е т н е р а в н о в е сн о сти с и с те м ы ? И з о б р а зи ­
те и х н а р — К -д и а гр а м м е .
•

Р а с с м о т р и те две р а зли ч н ы е с х е м ы д и н а м и ч е ск о го о то п л е н и я, в к о то р ы х
те п л о в а я м а ш и н а о тд ает те п л о ту Q 2 ли б о о к р у ж а ю щ е й ср ед е, ли б о о т а п ­
л и в а е м о м у п о м е щ е н и ю . П о к а ж и т е , ч то в с л у ч а е , к о г д а в с е п р о ц е с с ы о б ­
р а ти м ы , обе с х е м ы и м е ю т о д и н а к о в у ю э ф ф е к т и в н о с т ь . К а к а я с х е м а о к а ­
ж е т с я э ф ф е к ти в н е е в реальной си с те м е , ко гд а п р о ц ессы н ельзя с ч и та т ь
п о л н о сть ю о б р ати м ы м и ?

§ 1 9 . М ето ды термодинамики и их применения

В предыдущем параграфе была приведена без доказательства теоре­
ма Карно, выражающая максимально возможный коэффициент по­
лезного действия теплового двигателя через температуры горячего и
холодного тепловых резервуаров:
т , =

1

-

£

.

( 1 )

Из второго закона термодинамики следует, что КПД тепловой
машины, работающей по обратимому циклу, не зависит от того, ка­
кое вещество используется в качестве рабочего тела.
КПД всех обратимых тепловых машин одинаков. Убедиться в
этом можно с помощью следующих рассуждений. Предположим

160

IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

противное, т. е. что КПД у одной из двух обратимых машин, ра­
ботающих при заданных температурах Т { и Т2, больше, чем у дру­
гой: г] > г]'. Допустим, что за один цикл обе машины отдают холо­
дильнику одинаковые количества теплоты: Q2 = Q2. Тогда машина,
у которой КПД выше, за цикл превращает в работу большее коли­
чество теплоты: Qy > Q\ и А у > А[.
Пусть теперь машина с большим КПД работает в прямом, а с
меньшим КПД — в обратном направлении, т. е. как холодильная
машина. За счет совершения работы А внешними телами от хо­
лодного резервуара отнимается теплота Q2 и передается горячему
резервуару теплота Q[ = Q2 + А'. В результате их совместного
действия за цикл получается следующий результат. Холодильник
получает от рабочего тела первой машины столько же теплоты,
сколько отдает рабочему телу второй (Q2= Q2) , т. е. в холодиль­
нике никаких изменений не происходит. Поскольку Ау > А[, то
лишь части работы А у достаточно для приведения в действие хо­
лодильной машины. Нагреватель отдает теплоту Qv а получает
меньшую теплоту Q[, т . е. в целом отдает только Qy — Q[. Итак,
теплота Qy — Q[, взятая от нагревателя, целиком превращается в
полезную работу А у — А[, а холодильнику при этом никакой теп­
лоты не передается. Это противоречит второму закону термодина­
мики в форме постулата Томсона. Значит, предположение, что
т| > т/, неверно.
Точно такие же рассуждения покажут, что для обратимых ма­
шин окажется неверным и предположение, что ц’ > т). Мы приходим
к выводу, что все обратимые машины имеют одинаковый КПД.
Приведенное доказательство теоремы Карно основывалось на
предположении об обратимости обеих тепловых машин, означаю­
щем, что любую из них можно было заставить действовать в обрат­
ном направлении. Если одна из машин, например с КПД т], необра­
тима, то из приведенных рассуждений следует только, что т) < т|':
КПД любой необратимой тепловой машины меньше КПД обратимой
машины, работающей при тех же температурах Т у и Т2.
Независимость КПД обратимой тепловой машины от рода рабо­
чего тела позволяет для получения формулы (1) выбрать простей­
шее рабочее тело — идеальный газ.
Для расчета КПД цикла Карно с идеальным газом нам понадо­
бятся выражение для работы, совершаемой идеальным газом в изо­
термическом процессе, и уравнение адиабаты идеального газа.
Работа идеального газа в изотермическом процессе. Пусть один
моль идеального газа изотермически расширяется от объема Vy до

§ 19. МЕТОДЫ ТЕРМОДИНАМИКИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

161

объема V2. Совершаемая при этом работа выражается определенным
интегралом:
г,
A=\p{V)dV.
(2)
yi
Давление газа p(V) можно выразить с помощью уравнения состоя­
ния: р — RT/V. Поскольку в изотермическом процессе температура
постоянна, то выражение (2) принимает вид
У2

A = R T \ ~ = RT In ^ .

(3)

Вывод уравнения адиабаты. Уравнение адиабаты идеального газа
можно получить, используя первый закон термодинамики и урав­
нение состояния. Так как в адиабатическом процессе теплообмен
не происходит, то первый закон термодинамики записывается в
виде
dU + р dV = 0.
(4)
Приращение внутренней энергии dU = CvdT, поскольку внут­
ренняя энергия идеального газа не зависит от объема. Выражение
для dT можно получить из уравнения состояния pV — RT:
р dV + V dp = R dT.
(5)
С учетом приведенных выражений для dU и dT уравнение (4)
переписывается в виде
CvV dp + Срр dV = 0,
(6)
где мы воспользовались тем, что Cv + R = Ср.Введем обозначение
для отношения теплоемкостей Ср и Cv:
У= ^ .

(7)

Разделив обе части (6) на произведение pV, получаем дифференци­
альное уравнение, выражающее зависимость давления идеального
газа от объема в адиабатическом процессе:
^ + 7 ^ = 0.

(8)

pV' = С,

(9)

Интегрируя (8), получаем
гдеконстанта Ссохраняет свое значение втечениеадиабатиче­
ского процесса. Это и есть уравнение адиабатыидеального
газа.
6 Б. И. Бутиков и др. Книга 3

162

IV.ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

Его можно записать и в других переменных, например V и Г.
Для этого можно просто подставить в (9) p = RT/V из уравнения
состояния:
T \n ~ l = Ci.

(Ю)

Аналогично уравнение адиабаты можно записать и в пере­
менных р и Г.
КПД цикла Карно. Теперь у нас есть все необходимое для получения
формулы (1). Рассмотрим цикл Карно с идеальным газом, показан­
ный на рис. 59. Газ получает количество теплоты Ql от нагревателя с
температурой Т у на изотермическом участке 1—2 и отдает холодиль­
нику с температурой Т 2 количество теплоты Q2 на изотермическом
участке 3—4. На адиабатических участках 2—3 и 4—1 теплообмена
нет. Поскольку внутренняя энергия идеального газа при изотермиче­
ском процессе не меняется, то теплота Qy равна совершаемой газом
работе при изотермическом расширении от Vy до V2. Поэтому в соот­
ветствии с (3) имеем
Q, = RTy In

.

(11)

Аналогично для теплоты Q2 можно написать
(32 = ЛГ2 1 п ^ .

(12)

Теперь для КПД цикла Карно имеем
Q 1-Q 2

,

т2 ш ( к 3/ к 4)

, 1Г4

(13)

Легко видеть, что отношение логарифмов в (13) равно единице. В
самом деле, с помощью (10) для адиабат 2—3 и 4—1имеем
T yv r l = T2V \~ \

T yV\~l — T 2V\~l.

(14)

Из этих равенствследует, что V2/ Vy = Г3/Г 4. Итак, для КПД
цикла Карно с идеальным газом получаем формулу (1):

В силу доказанной выше теоремы это выражение для КПД через
температуры Т у и Т 2 справедливо для цикла Карно с любым рабо­
чим телом.
Формулу (1) можно использовать для определения термодина­
мической температуры, не зависящей от свойств конкретных тер­
мометрических тел. Чтобы однозначно определить термодинамиче­
скую шкалу, необходимо задать значение температуры в

§ 19. МЕТОДЫ ТЕРМОДИНАМИКИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

163

некоторой реперной точке. В качестве такой точки выбирается
тройная точка воды.
Неравенство Клаузиуса. Приведенные результаты позволяют дать
второму закону термодинамики количественную формулировку в
виде некоторого неравенства. Для любого кругового процесса между
тепловыми резервуарами с температурами Т у и Т 2 ( Ту> Т2) спра­
ведливо соотношение, называемое неравенством Клаузиуса:
Q\ — Q i <

(15)
Qi "
Здесь Qy — количество теплоты, полученное от резервуара с темпе­
ратурой Ту, a Q2 — количество теплоты, отданное резервуару с тем­
пературой Т 2. Знак равенства достигается в случае обратимого про­
цесса, которым, как мы видели, может быть только цикл Карно.
Энтропия как функция состояния. Из (15) следует, что

Если условиться считать теплоту, получаемую рабочим телом,
положительной, а отдаваемую — отрицательной, то (16) можно пе­
реписать в виде
(17)
где Qy > 0, a Q2 < 0.
Неравенство (17) можно обобщить на случай любого кругового
процесса, в котором рабочее тело обменивается теплотой с не­
сколькими тепловыми резервуарами с различными температурами
(18)
Если температура на протяжении кругового процесса изменяет­
ся непрерывно, то сумма в (18) обычным образом превращается в
интеграл по замкнутому пути, так как рабочее тело, пройдя через
ряд промежуточных состояний, возвращается в исходное
состояние:
(19)
где под 6Q понимается получаемая (или отдаваемая) теплота на
элементарном участке кругового процесса, настолько малом, чтобы
температуру можно было считать постоянной.

164

IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

В случае обратимого кругового процесса в (19) фигурирует знак
равенства, т. е. интеграл по замкнутому контуру равен нулю:
( 20 )

Это означает, что под интегралом стоит дифференциал некоторой
функции состояния термодинамической системы: сумма ее прира­
щений вдоль замкнутого пути обращается в нуль при возвращении
системы в исходное состояние. Ситуация здесь такая же, как и при
введении понятия потенциальной энергии в механике, где независи­
мость работы от формы траектории (а следовательно, равенство ну­
лю работы по любому замкнутому контуру) свидетельствовала о су­
ществовании функции состояния механической системы — потен­
циальной энергии. Итак,
(21 )

где S — некоторая функция состояния термодинамической системы.
Ее называют энтропией. Энтропия в каждом состоянии системы
имеет вполне определенное значение, не зависящее от того, каким
образом (обратимо или необратимо) система попала в данное состо­
яние. При обратимом процессе изменение энтропии на элементар­
ном участке, где температура Т считается постоянной, равно отно­
шению количества передаваемой теплоты 6Q к абсолютной темпе­
ратуре. Формула (21) позволяет для каждой конкретной системы с
известным уравнением состояния найти явный вид этой функции.
При необратимом процессе dS > bQJT.
Задача
Идеальный газ находится в одной половине теплоизолированного сосуда,
разделенного перегородкой на две равные части. Определить изменение энтро­
пии газа, если перегородка внезапно разруш ается и газ заполняет весь сосуд.
Р е ш е н и е . Поскольку газ не получает теплоты (сосуд теплоизолирован) и
не совершает работы (он расш иряется в вакуум и никакого перемещ ения ок­
ружаю щ их тел не происходит), его внутренняя энергия остается неизменной.
Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна его температуре и не
зависит от объема, поэтому температура газа в результате описанного процес­
са не изменяется. П роисходящий с газом процесс необратим. Однако энтро­
пия конечного состояния газа, являясь функцией состояния, не зависит от то­
го, каким путем попал газ в это конечное состояние. Поэтому можно рассмот­
реть обратимый изотермический процесс, при котором газ расш иряется,
перемещая перегородку, пока не займет весь объем сосуда.
Количество теплоты, получаемое идеальным газом при изотермическом
процессе, равно совершаемой им работе:
Q = А' = v R T l n £ = v R T In 2,

*1

так как V 2/ V i = 2.

§ 19. МЕТОДЫ ТЕРМОДИНАМИКИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

165

Вследствие постоянства температуры изменение энтропии системы зап и ­
сы вается в виде
AS = у = vR In 2.

Объединенное уравнение первого и второго законов. Используя
(21), можно записать равенство, выражающее и первый, и второй
законы термодинамики. Для обратимых процессов из (21) следует,
что
6Q = Т dS.
(22)
Подставляя в уравнение первого закона термодинамики
dU=bQ+bA,

(23)

количество теплоты 6Q, выраженное с помощью (22) через прира­
щение энтропии dS, получаем
dU = Т dS + 6А

(24)

Если система изотропна и совершает только механическую рабо­
ту, то 6Л = —р dV и (24) записывается в виде
dU = T d S - p d V.

(25)

Формула (25), объединяющая первый и второй законы термоди­
намики, называется фундаментальным равенством Гиббса.
Свободная энергия. Соотношение (25) выражает приращение
внутренней энергии при изменении состояния системы. В качестве
независимых переменных, задающих состояние термодинамической
системы, могут использоваться разные макроскопические парамет­
ры. В (25) такими независимыми переменными выступают объем
V и энтропия S. В практических приложениях использовать энтро­
пию как независимую переменную неудобно. Более удобной физи­
ческой величиной была бы температура, которую можно, как и объ­
ем, измерять непосредственно.
Перейти к независимым переменным Т и V можно следующим
образом. Введем еще одну функцию состояния F, связанную с внут­
ренней энергией U соотношением
F = U — TS.

(26)

Функцию F называют свободной энергией системы. Для установ­
ления ее физического смысла запишем ее приращение при малом
изменении состояния системы:
dF = dU — T d S — S dT.
(27)
Подставляя сюда dU из (25), получаем
dF = - S dT - p dV.

(28)

166

IV. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

Видно, что независимыми переменными, определяющими состоя­
ние, для функции F являются температура и объем. Если изменить
состояние системы изотермически, т. е. считать dT = 0, то, как вид­
но из (28),
d F T =const = - Р d v -

Величина —р dV представляет собой работу внешних сил над сис­
темой при изменении ее объема на dV. Таким образом, работа
внешних сил при изотермическом процессе равна изменению сво­
бодной энергии системы.
Термодинамика диэлектриков и магнетиков. Полученные выше
термодинамические соотношения позволяют исследовать энергети­
ческие превращения в самых разных физических системах. В част­
ности, можно рассмотреть роль тепловых явлений в различных
электромагнитных процессах. Оказывается, что, как и в случае ре­
альных механических систем, практически любые энергетические
превращения связаны с необратимым выделением теплоты.
Пусть, например, заполненный диэлектриком конденсатор заря­
жается от некоторого источника питания. При изменении заряда
конденсатора на dq внешние силы (источник питания) совершают
над ним работу
ЪА = vxt/2l.
Суммирование по всем молекулам. Для нахождения импульса,
передаваемого стенке всеми N молекулами газа, нужно сложить ре­
зультаты действия всех молекул. Силу давления на стенку мы по­
лучим, разделив полный передаваемый импульс на время t, а дав­
ление р — разделив эту силу на площадь S стенки:
т -гл

7

P = Y L vи
(=1

(1 )

178

V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Здесь V — SI — объем сосуда, в котором заключен газ, a v lx — про­
екция скорости г-й молекулы на перпендикулярную к стенке сосуда
ось х. Обратим внимание на то, что сумма квадратов v2x, деленная
на число молекул N, представляет собой среднее значение квадрата
проекции скорости одной молекулы:
=

P V ~ \U .

(* >

§ 21. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

179

Таким образом, в рассматриваемой статистической модели иде­
ального газа произведение давления на объем равно (с точностью до
множителя 2/3) внутренней энергии U.
В термодинамике идеальным газом был назван газ, для которого
точно выполняется эмпирическое уравнение Клапейрона—Менделе­
ева. Сравнивая (8) с уравнением Клапейрона—Менделеева
pV = R T ,
(9)
получаем выражение для внутренней энергии одного моля идеаль­
ного газа:
u = \ rt.
(10)
Мы видим, что внутренняя энергия идеального газа пропорцио­
нальна термодинамической температуре Т и не зависит от объема.
Это значит, что рассмотренная здесь статистическая модель адек­
ватна представлению об идеальном газе, введенному в термодина­
мике. Эта модель соответствует одноатомному газу, поскольку его
молекулы рассматривались как материальные точки, вся кинетиче­
ская энергия которых сводится только к энергии поступательного
движения. Для двухатомных и многоатомных молекул необходимо
было бы учитывать еще и кинетическую энергию их вращения как
целого и энергию колебаний входящих в них атомов.
Используя соотношение (10) для внутренней энергии одноатом­
ного газа, можно получить явное выражение для его молярной теп­
лоемкости Су при постоянном объеме:

= § =

(П)

Видно, что это универсальная постоянная величина, не зависящая
от химического состава газа, его молярной массы и других характе­
ристик газа в условиях, когда к нему применима модель одноатом­
ного идеального газа.
Физический смысл температуры. Соотношению (10) можно при­
дать другой вид, если рассматривать не внутреннюю энергию U од­
ного моля газа, а среднюю кинетическую энергию, приходящуюся
на одну молекулу = U/N:
3
< е) >== | кТ,
(12)
где универсальная постоянная
"а
равная отношению универсальной газовой постоянной R к постоян­
ной Авогадро Аа , называется постоянной Больцмана в честь выда­
ющегося австрийского физика JI. Больцмана, основоположника тео­
рии кинетических явлений.

180

V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Формула (2) позволяет установить физический смысл термоди­
намической температуры Т — физической величины, которая была
введена ранее феноменологически. Этот макроскопический пара­
метр, как видно из (12), характеризует среднее значение кинетиче­
ской энергии хаотического теплового движения одной молекулы в
состоянии термодинамического равновесия.
Интересно отметить, что средняя энергия теплового движения мо­
лекул зависит только от температуры газа. При данной температуре
средняя кинетическая энергия поступательного хаотического движе­
ния молекул не зависит ни от химического состава газа, ни от массы
молекул, ни от давления газа, ни от объема, занимаемого газом.
Равнораспределение энергии по степеням свободы. Молекула од­
ноатомного идеального газа, рассматриваемая как материальная точ­
ка, имеет три степени свободы. Равенство средних значений квадра­
тов проекций скорости молекулы, выражаемое соотношением (4), по­
зволяет сделать вывод о том, что на каждую степень свободы в
состоянии термодинамического равновесия в среднем приходится од­
на и та же энергия. Эта энергия, как следует из (12), равна кТ/2.
Оказывается, что этот результат имеет универсальный характер:
средняя кинетическая энергия, приходящаяся на каждую степень
свободы, одинакова и равна кТ/2. Это утверждение относится не
только к газам, оно справедливо для теплового движения молекул в
жидкостях и твердых телах, ионов и электронов в плазме и даже
для макроскопических тел, совершающих броуновское движение в
результате хаотических ударов молекул окружающей среды.
Давление газа и температура. Соотношения (7) и (12) позволяют
переписать основное уравнение кинетической теории идеального га­
за (6) так, что давление газа выражается только через его концен­
трацию и температуру:
р = пкТ.
(14)
Смеси различных газов. Поскольку в состоянии теплового равно­
весия средняя кинетическая энергия молекул зависит только от тем­
пературы, то в смеси газов средние кинетические энергии молекул
разных сортов одинаковы:
mA_ m2
2

2

3 ,т
2

.
1

Поэтому легкие молекулы движутся в среднем быстрее тяжелых.
Полное давление смеси идеальных газов равно сумме давлений,
которые имел бы каждый из газов, составляющих смесь, если удалить
из сосуда остальные газы. В этом можно убедиться, буквально повто­
ряя приведенный вывод уравнения (6) и учитывая, что импульс, пе­
редаваемый стенке молекулами каждого сорта, обусловливает то дав-

§ 21. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

181

ление, которое создавал бы один этот газ. Этот закон был открыт
опытным путем Дж. Дальтоном и носит его имя.
•

К ак вы понимаете утверждение, что в разреженном газе из электрически
нейтральны х молекул их кинетическая энергия в среднем преобладает
над потенциальной?

•

О пиш ите модель идеального газа, используемую в молекулярно-кинети­
ческой теории. Какую роль играют в этой модели собственные размеры
молекул и их столкновения между собой?

•

Чем определяется импульс, передаваемый стенке молекулой в единич­
ном соударении с ней?

•

С ф ормулируйте основные этапы вывода уравнения (5) кинетической те­
ории газа. Какие гипотезы положены в основу вывода?

•

Приведите аргументы, подтверждающие заключение о равенстве сред­
них значений квадратов проекций скоростей молекулы на оси х, у, z.

•

Приведите соображения, свидетельствующие о соответствии рассмот­
ренной статистической модели идеального газа и модели идеального га­
за, принятой в термодинамике.

•

П оясните, почему формулы (8), (10) и (11) применимы только для од­
ноатомного газа.

•

К ак средняя энергия хаотического теплового движения молекул связана
с температурой системы?

•

К аким образом в статистической механике раскрывается физический
смысл температуры?

•

К акой вывод о скоростях теплового движения молекул разной массы в
см еси газов можно сделать на основе представлений о равнораспределе­
нии кинетической энергии по степеням свободы?

д О микроскопических моделях. Вернемся еще раз к приведен­
ному выше выводу основного уравнения кинетической теории иде­
ального газа. Прежде всего отметим то обстоятельство, что в меха­
нике и электродинамике при использовании различных физиче­
ских моделей мы рассматривали характеристики изучаемой систе­
мы, доступные непосредственному наблюдению и измерению в
эксперименте. Но в статистической модели газа микроскопические
параметры, характеризующие отдельные молекулы, непосредст­
венно не наблюдаются, а с опытом сравниваются только их усред­
ненные по всему ансамблю молекул значения, через которые вы­
ражаются макроскопические параметры. Поэтому особое значение
здесь приобретает обоснованность предположений относительно
микроскопической картины рассматриваемых явлений.
Рассмотрим с этих позиций допущения, которые были сдела­
ны при выводе уравнения (5) или (6).
Другой вывод основного уравнения. Прежде всего могут пока­
заться не вполне убедительными соображения, приведенные для

182

V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

обоснования возможности пренебречь столкновениями молекул.
Поэтому приведем несколько иной вывод, в котором этот вопрос
исследуется более тщательно. Будем, как и раньше, удар молеку­
лы о стенку считать абсолютно упругим, так что передаваемый
стенке при единичном ударе импульс равен
2mvx. Учтем теперь, что ударяющиеся о стенку
молекулы имеют разные значения проекций
скорости vx. Рассмотрим те молекулы, у кото­
рых проекция скорости на ось х лежит в малом
интервале значений от vx до vx + Avx. Пусть
число таких молекул в единице объема равно
An(vx). За время At до стенки долетят и столк­
нутся с ней только те из них, которые находятся
внутри слоя толщиной vxAt, прилегающего к
участку стенки площади S (рис. 67).
Промежуток времени At можно выбрать
настолько малым, чтобы толщина слоя vxAt
Рис. 67. К вычис­
лению давления
была много меньше длины свободного пробега
газа
молекул. Тогда столкновений молекул между
собой в этом слое практически не будет.
Итак, число ударов, наносимых рассматриваемыми молекулами
за время At, равно A n(vx)vxSAt, а передаваемый при этом
стенке импульс равен
2mvxAn(vx)vxSAt,
Отсюда давление на стенку Ар, создаваемое этой группой моле­
кул, равно
Ар = 2mvxAn(vx).

(16)

Полное давление, создаваемое всеми молекулами, получим, про­
суммировав (16) по всем группам молекул, скорости которых на­
правлены к стенке, т. е. по всевозможным значениям vx > 0:
p = 2 m '^ i vlA n (vx)

(vx >0).

(17)

Вследствие хаотичности теплового движения в состоянии рав­
новесия число летящих к стенке молекул со скоростью, лежащей
в интервале от vx до vx + Avx, в среднем равно числу летящих от
стенки молекул со скоростью от —v до ~ ( v x + Avx), т. е.
Ati(vx) = An(—vx).
Так как под знаком суммы в (17) стоит квадрат проекции
скорости, то сумма только по положительным значениям vx рав­
на половине суммы по всевозможным v •
(18)
р = т 2 vlA n(vx).

§ 21. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

183

Легко сообразить, что сумма в (18) связана со средним зна­
чением квадрата проекции скорости молекулы на ось х. В самом
деле, среднее значение v2 по совокупности из п молекул опреде­
ляется формулой (2). Но в (18) фактически стоит та же самая
сумма, только суммирование производится не по отдельным мо­
лекулам, а по группам молекул в единице объема, имеющих
почти одинаковые значения vx. Поэтому (18) можно переписать
в виде
р = mn(vx),

(19)

где п есть среднее число молекул в единице объема с любыми
скоростями, т. е. концентрация. Дальнейшие рассуждения не от­
личаются от использованных ранее. В силу равноправия всех на­
правлений при хаотическом тепловом движении (v2) = (формулы (3) и (19)). Затем значе­
ние (и2> выражалось через (и2> благодаря эквивалентности всех
направлений в изотропном газе. Можно построить рассуждения
таким образом, чтобы с самого начала учесть эту изотропность.

184

V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Поскольку давление газа не зависит от формы сосуда, возьмем
сосуд сферической формы, в котором сначала имеется только одна
молекула. На рис. 68 показано сечение этого сосуда плоскостью,
проходящей через траекторию молекулы и
центр сосуда. При абсолютно упругом
столкновении со стенкой изменение им­
пульса молекулы, как видно из этого ри­
сунка, дается выражением 2mv ■cos а.
Именно такой импульс передается стенке
по нормали к ней при каждом столкнове­
нии, так как угол а при последовательных
упругих столкновениях со стенкой остает­
ся прежним. Так как давление в газе опре­
деляется модулем импульса, передаваемо­
го молекулами стенке по нормали к ней,
то
можно просуммировать эти модули для
Рис. 68. Столкновение
молекулы газа со стен­ последовательных столкновений, невзи­
кой сферического сосуда
рая на то, что при каждом соударении нор­
маль к стенке имеет свое направление.
Как видно из рис. 68, расстояние, прохо­
димое молекулой между любыми двумя последовательными соуда­
рениями со стенкой, равно 2/?-cos а, где R — радиус сосуда. По­
этому за промежуток времени t молекула нанесет по стенке
vt/(2R-cos а) ударов и передаст по нормали к ней импульс
vt

2mircos а 2R - cos а
Видно, что передаваемый по нормали импульс за время t не за­
висит от направления движения молекулы.
Для подсчета импульса, передаваемого стенке по нормали
всеми молекулами газа, нужно сложить результаты действия
всех молекул. Когда этих молекул много и они движутся хао­
тически, любой участок стенки испытывает одинаковое воздей­
ствие, и для нахождения давления р нужно просто разделить
суммарный передаваемый по нормали импульс на время t и
площадь поверхности сосуда 4TtRh
N

( 20)
2 > ii=l
Здесь сумму квадратов скорости всех молекул можно заменить
произведением полного числа молекул N на среднее значение
квадрата их скорости (v2):
_ mN (у2 )_
(21)
4геД3

Учитывая, что объем сферического сосуда равен (4/3) Л2?3, ви­
дим, что (21) совпадает с полученной ранее формулой (5).

§ 21. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

185

Отметим, что в этом выводе коэффициент 1/3 в выражении для
р появляется не в результате усреднения квадрата проекции ско­
рости угх , а как прямое следствие трехмерности физического про­
странства.
О характере столкновения со стенкой. Во всех приведенных
выводах основного уравнения предполагалось, что столкновение
молекулы со стенкой сосуда происходит по законам упругого уда­
ра.
На самом деле это предположение также является несущест­
венным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим газ в прямоуголь­
ном сосуде (рис. 69), в котором стенки А и В обладают разными
свойствами: удар молекул газа о стенку А абсолютно упругий, а
о стенку В — неупругий. Если бы
давление газа на эти стенки было
различным, то в отсутствие трения
о подставку сосуд с газом пришел
бы в движение под действием
внутренних сил. Так как сосуд в
движение не приходит, мы долж­
ны заключить, что в состоянии Рис. 69. Стенки сосуда А и В раз­
теплового равновесия давление га­ ные: удар молекул о стенку А аб­
солютно упругий, о стенку В —
за не зависит от характера взаимо­ неупругий
действия его молекул со стенками.
Объясняется это тем, что в стаци­
онарном состоянии молекулы не накапливаются на стенках:
сколько молекул прилипает к стенке при неупругом ударе, столь­
ко же от нее и улетает, причем в среднем с такой же скоростью,
так как температуры стенки и газа в состоянии теплового равно­
весия одинаковы.
В отличие от предположений о характере столкновений моле­
кул между собой и со стенкой сосуда, принципиально важным
оказывается допущение о том, что газ идеальный, т. е. его моле­
кулы настолько малы, что их полный собственный объем мал по
сравнению с объемом занимаемого газом сосуда, и что молекулы
взаимодействуют только во время столкновений. Только для газа
с такими свойствами и справедливо уравнение (6). Для реальных
газов оно выполняется лишь приближенно. ▲
•

В чем специф ика молекулярных моделей, используемых в статистиче­
ской механике, в сравнении с физическим и моделями в механике м ак­
роскопических тел и электродинамике?

•

П оясните, почему при выводе основного уравнения кинетической теории
газа учет столкновений между молекулами не влияет на окончательный
результат.

•

О бъясните качественно, почему в сферическом сосуде импульс, переда­
ваемый молекулой по нормали к стенке за большое время, не зависит от

186

V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

угла падения на стенку. Рассмотрите такж е предельный случай сколь­
зящего падения, соответствующий движению молекулы по окружности
радиуса R.
•

Рассмотрите неупругое столкновение молекулы со стенкой сосуда. Ка­
кие предположения о механизме взаимодействия со стенкой необходимы
в этом случае, чтобы модель описывала состояние теплового равновесия?

•

В некоторых ф изических теориях рассматривается модель двумерного иде­
ального газа, молекулы которого могут двигаться только в одной плоскости.
Выведите основное уравнение кинетической теории такого газа, понимая
под его давлением силу, действующую на единицу длины границы.

§ 22. Статистические распределения

Полный хаос, которым характеризуется тепловое движение моле­
кул, имеет свои законы.
Законы хаоса. Несмотря на то, что каждая молекула газа при столк­
новениях с другими молекулами и со стенками сосуда все время изме­
няет свою скорость, макроскопическое состояние газа в термодинами­
ческом равновесии не изменяется. Это позволяет считать, что в газе
существует некоторое в среднем неизменное во времени распределе­
ние молекул по скоростям. Действительно, как мы видели, при дан­
ной температуре среднее значение квадрата скорости молекул имеет
определенное значение. Однако среди молекул в данный момент вре­
мени есть и быстрые, и медленные, и можно поставить вопрос: сколь­
ко в среднем в газе молекул имеет то или иное значение скорости?
Другой представляющий интерес вопрос — как найти среднюю скоро­
сть, не зная значений скорости отдельных молекул?
Определенное распределение молекул газа по скоростям устанав­
ливается всегда, когда газ приходит в равновесие, независимо от того,
каково было начальное состояние системы. Если даже в откачанный
сосуд впустить струю газа, в которой все молекулы имеют почти оди­
наковые по модулю и направлению скорости, то спустя некоторое
время в результате столкновений молекул направленное движение в
газе перейдет в хаотическое, при котором все направления скоростей
будут встречаться одинаково часто, а в распределении молекул по мо­
дулю скорости будет наблюдаться определенная закономерность.
Равновесное состояние газа характеризуется не только распреде­
лением молекул по скоростям, но и по координатам. В отсутствие
внешних полей это распределение будет однородным, т. е. газ рав­
номерно распределяется по всему объему сосуда: в любых равных
макроскопических объемах внутри сосуда в среднем находится оди­
наковое число молекул.
А как обстоит дело при наличии действующего на молекулы по­
ля, например поля тяжести? Хорошо известно, что давление воздуха
убывает с высотой. Следовательно, убывает и концентрация моле­

§ 22. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

187

кул воздуха. Например, на высоте Эльбруса (5600 м) давление со­
ставляет лишь половину давления на уровне моря, т. е. концентра­
ция молекул там уже вдвое меньше. Отсюда, конечно, не следует
делать вывод, что на вдвое большей высоте совсем нет молекул воз­
духа, — самолеты летают и гораздо выше.
Распределение молекул по высоте. Найти закон распределения мо­
лекул газа с высотой в однородном поле тяжести можно из условия
механического равновесия. Рассмотрим вертикальный столб газа с
площадью основания S (рис. 70) и выделим в нем мысленно на высоте
z слой толщиной Дz настолько малой, чтобы плотность газа р можно
было считать в пределах этого слоя постоянной,
но в то же время эта толщина должна быть такой,
чтобы внутри выделенного слоя было много моле­
кул и можно было бы говорить о производимом
ими давлении.
Применим к этому выделенному слою газа
условие механического равновесия подобно то­
му, как это делалось в гидростатике для слоя
жидкости, где мы, используя понятие давления,
совершенно не интересовались его молекулярно­
кинетической природой. Мы можем так посту­
пать, ибо давление газа на стенку сосуда, рас­
сматриваемое как результат передачи молекула­ Рис. 70. Равновесие
ми импульса стенке при столкновениях, и гид­ мысленно выделенно­
го объема газа в поле
ростатическое давление в газе или жидкости на тяжести
опыте измеряются одинаково, одними и теми же
приборами и, следовательно, представляют со­
бой один и тот же макроскопический параметр рассматриваемой си­
стемы.
Условие механического равновесия выделенного слоя газа состо­
ит в том, что действующая на него сила тяжести уравновешивается
силами давления на верхнее и нижнее основания. В проекции на ось
z (рис. 70) это условие записывается в виде
p(z)S — p{z + Az)S — р gSAz = 0.
Так как давление на высоте z + Az можно записать в виде
p(z + Az) — p(z) + Ар,
то условие равновесия принимает вид
Ap = -p g A z .

(1)

Входящая в (1) плотность газа р зависит от давления. Вы­
разим ее из уравнения Менделеева—Клапейрона для произволь­
ной массы газа тг

188

V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

где М — молярная масса. С помощью (2) получаем
П -

Р

Wr _ М р

У

(3)

RT

Подставляем это выражение в (1) и переходим к пределу при
Az—*0. Так как предел отношения Ap/Az при Az—>0 есть произ­
водная dp/dz, то получаем следующее дифференциальное уравне­
ние для функции p(z):
dp
Mg п
^
dz

RT

Это уравнение говорит о том, что производная искомой функции
пропорциональна самой функции. Как известно, единственной функ­
цией, обладающей таким свойством, является экспонента, и, следо­
вательно, решение такого уравнения при постоянных g и Т имеет вид
p(z) = С expf—^

(5)

Значение постоянной С определяется из условия, что давление
на высоте z = 0 равно величине р0:
P(z) = Ро ехР

( 6)
RT I '

Барометрическая формула. Формулу (6) можно переписать в
несколько ином виде, учитывая, что молярная масса М равна
произведению массы молекулы m
на постоянную Авогадро NA:
РО) = Ро exP
Соотношение (6) или (7) назы­
вается барометрической формулой.
Выражаемая ею зависимость давле­
ния газа р от высоты z графически
представлена на рис. 71.
Отметим, что применимость ба­
Рис. 71. Зависимость давления газа рометрической формулы к реальной
земной атмосфере весьма ограниче­
на, так как атмосфера практически никогда не находится в состоянии
теплового равновесия и ее температура меняется с высотой. Учитывая
связь между давлением газа и концентрацией молекул
р = tikT,
из (7) получаем распределение молекул по высоте во внешнем
поле:

§ 22. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

189

Распределение Больцмана. Легко заметить, что в числителе пока­
зателя экспоненты в (8) стоит потенциальная энергия молекулы,
находящейся в поле тяжести на высоте z: en(z) = mgz, т. е. эту фор­
мулу можно переписать в виде

Этот полученный на конкретном примере результат имеет весь­
ма общий характер. Формула (9) дает равновесное распределение
молекул в пространстве в любом потенциальном поле и называется
распределением Больцмана.
Общая теория равновесных статистических распределений была
создана Дж. Гиббсом. Он показал, что в состоянии теплового равно­
весия при температуре Т закон распределения молекул по любой
характеризующей их состояние величине (координате, скорости,
энергии) имеет экспоненциальный характер, причем в показателе
экспоненты, как и в (9), стоит взятое со знаком минус отношение
характерной энергии молекулы к величине кТ, которая пропор­
циональна средней кинетической энергии хаотического движения
молекул.
Распределение по проекции скорости. В частности, для распреде­
ления молекул газа по проекции скорости на какое-либо направле­
ние в показателе экспоненты стоит отношение зависящей от этой
проекции части энергии молекулы к кТ:
fit( v x)\ = a e x p( \ -е("*>
~r

( 10)

Величина f ( v x) называется функцией распределения молекул по
проекции скорости на ось х. Произведение f ( v x)Avx равно среднему
числу молекул газа в единице объема, у которых проекция скорости
на ось х лежит в интервале от vx до vx + Avx, подобно тому как
произведение n(z) из формулы (9) на Az дает среднее число моле­
кул, z-координата которых лежит между z и z + Az.
Ф ункция распределения. Остановимся подробнее на смысле функ­
ции распределения f ( v x). Прежде всего подчеркнем, что бессмыслен­
но задавать вопрос о том, сколько молекул имеют строго опреде­
ленное значение vx, например ровно 500 м/с. Скорее всего, в данный
момент во всем сосуде с газом не окажется ни одной молекулы с таким
значением vx, так как число молекул газа хоть и очень велико, но все
же конечно, в то время как допустимых значений vx бесконечно мно­
го. Поэтому имеет смысл говорить только о среднем числе молекул в
единице объема, значение проекции скорости которых на ось х лежит
в интервале от vx до vx + Avx, например от 500 до 501 м/с.

190

V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Нормировка функции распределения. Наглядное представление о
законе распределения молекул по проекции скорости дает график
функции f ( v x), определяемой формулой (10), который приведен на
рис. 72. Площадь заштрихованной полоски на этом рисунке, равная
/'

Рис. 72. График функции распределения

f(vx)

f { v x) Avx, дает, как мы видели, среднее число молекул газа в единице
объема, у которых проекция скорости vx лежит в указанном интерва­
ле Avx. Теперь легко сообразить, что полная площадь, ограниченная
графиком функции f { v x) и осью vx, дает число молекул, у которых
vx имеет любые значения от — 0.

(9)

Пусть некоторое количество теплоты АЕ переходит от тела с
температурой Тг к телу с температурой Т При этом энергия
Е {первого
тела возрастает, а энергия Ег убывает:
А Е у = —ДЕ2 = АЕ > 0. В соответствии с определением (8) про­
изводные в (9) равны обратным температурам тел:
dS^

1

=

f/ ^ 2

1

7E2 = Y2 '

Теперь (9) переписывается в виде
Д 5 = Д£ ( ^ - ^
Отсюда следует, что Т г > Т и т. е. что при теплообмене энергия
переходит от тела с более высокой температурой к телу с более
низкой температурой.
Задача о расширении газа в пустоту. Покажем, что статисти­
ческое определение (7) энтропии S приводит при решении зада­
чи о необратимом расширении газа при разрушении перегородки

§ 23. ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

203

в сосуде (см. § 19) к тому же результату, что и термодинамиче­
ское определение. Напомним условие задачи.
Идеальный газ находится в одной половине теплоизолирован­
ного сосуда, разделенного перегородкой на две равные части.
Определить изменение энтропии газа, если перегородка внезапно
разрушается и газ заполнит весь сосуд.
Статистический вес начального состояния газа равен единице:
W 1 = 1, так как существует лишь одно микросостояние, при ко­
тором все молекулы находятся в одной половине сосуда. В конеч­
ном состоянии молекулы распределены по половинам сосуда поч­
ти поровну (строго поровну, если отвлечься от флуктуаций).
Вследствие исключительной остроты максимума кривой распре­
деления вероятностей различных распределений молекул газа по
половинам сосуда приближенно можно считать, что все осталь­
ные (2N — 1) микросостояний системы соответствуют конечному
макросостоянию:
W2 « 2* - 1 « I s .
Поэтому в соответствии с (7)
AS = £(ln W2— l n W l) = kN In 2.
При строгом решении следует воспользоваться формулой (1) при
п = N12:

W22 — СN
\

12 =

—

—

2’

[(п/2)!]2

(10)

и формулой Стирлинга
nl « (2л п ) 1,2пп.
В результате имеем
In W2 & N In 2 - ~ In N.
Поскольку W « 1 0 M, то In ./Vя» 50, и для энтропии получаем
прежнее значение
AS = kN In 2.
(11)
Распределение Гиббса. Гипотеза Гиббса о равной вероятности
всех микросостояний замкнутой системы позволяет получить
функцию распределения вероятностей для любой малой подси­
стемы, находящейся в тепловом контакте с очень большой си­
стемой — термостатом.
Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из рассматривае­
мой подсистемыи термостата. Пусть Е0 — энергия всей замкну­
той системы, а Е — энергия выделенной подсистемы.Тогда на
долю термостата приходится энергия Е0 —Е. Очевидно, что ве­

204

V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

роятность Р(Е) подсистеме иметь энергию Е пропорциональна
числу микросостояний W (E0 — Е) термостата с энергией Е0 — Е.
Поэтому для отношения двух вероятностей Р( ЕХ) и Р(Е2) можно
написать
/>(£,) _ W i E g - E J
Р(Е2) ~ W(E0- E 2) '

Используя определение энтропии (7), перепишем это отношение
в виде
Р ( Е {)

/'l'?'*

где AS = S(E0 — Е {) — S(E0 — Е2). Учитывая, что энергии под­
системы Е { и Ег малы по сравнению с энергией термостата,
выражение для AS можно приближенно записать следующим
образом:
4 S = - f £ . + S E*.
или, с учетом (8),
AS = ± ( E 2- E l).
Подставляя AS в (12), находим
Р ^Е^
Е 2 —Е 1
ехр ( —£ ,//: 7")
Р(Е2) = БХР кТ
= ехр ( - Е 21кТ) '

Итак, мы получаем, что вероятность того, что малая подси­
стема, находящаяся в тепловом контакте с термостатом при
температуре Т, будет иметь энергию Е, пропорциональна экс­
поненте ехр (—Е /к Т ):
Р(Е) ~ е х р ^ -

(13)

Формула (13) дает распределение вероятностей для любой
физической величины, характеризующей подсистему. При этом
в показателе экспоненты играет роль лишь та часть энергии под­
системы, которая зависит от этой величины.
Если, например, в качестве подсистемы взять одну молекулу,
то (13) дает распределение для ее координат, скорости, магнит­
ного или электрического момента, и т. д. В частности, рассматри­
вая распределение вероятностей для проекции скорости vx, нуж­
но взять в качестве Е ту часть кинетической энергии, которая за­
висит от vx, т. е. ^ mv\. В результате сразу приходим к формуле
(12) § 22. При этом коэффициент пропорциональности перед экс­
понентой получается из условия нормировки: сумма всех вероят­
ностей должна быть равна единице. А

§ 24. ПРИРОДА НЕОБРАТИМОСТИ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ

205

•

Приведите соображения, обосновывающие выражение (3) для числа
микросостояний составной замкнутой системы. При каких условиях это
выраж ение справедливо?

•

Как понимается условие теплового равновесия в статистической механике?

•

Объясните, почему состоянию теплового равновесия идеального газа в
сосуде соответствует распределение молекул поровну между половинами
сосуда.

•

К ак определяются энергия и температура в статистической механике на
основе представления о статистическом весе макроскопического состоя­
ния системы?

•

Поясните, почему энтропия S, определяемая равенством (7), увеличива­
ется при переходе замкнутой системы в состояние термодинамического
равновесия.

•

Приведите доводы, свидетельствующие о том, что статистические опре­
деления энтропии (7) и температуры (8) согласуются с определениями
этих величин в термодинамике.

•

Поясните, почему в приведенном выводе распределения Гиббса счита­
лось, что вероятность подсистеме иметь энергию Е пропорциональна
числу состояний термостата с энергией Е 0 — Е.

•

Где в выводе распределения Гиббса использовалось предположение о
том, что выделенная подсистема много меньше термостата?

•

Покажите, как из общего распределения Гиббса (13) получить баромет­
рическую формулу.

§ 24. Статистическая природа
необратим ости тепловых процессов

Термодинамический подход не позволяет вскрыть внутреннюю
природу необратимости реальных процессов в макроскопических сис­
темах. Опираясь на эксперимент, он только фиксирует факт необра­
тимости (второй закон термодинамики). Молекулярно-кинетический
подход позволяет проанализировать причины такой необратимости
реальных процессов и определенной направленности энергетических
превращений в природе.
Гипотетический вечный двигатель. Рассмотрим с точки зрения
молекулярно-кинетической теории модель гипотетического «вечно­
го» двигателя второго рода, изображенную на рис. 79. Предполо­
жим, что этот вечный двигатель работает следующим образом: газ
самопроизвольно собирается в левой половине цилиндра, после чего
поршень подвигают вплотную к газу. При таком перемещении
внешние силы работы не совершают, так как собравшийся в левой
половине газ не оказывает давления на поршень. Затем подводим к
газу теплоту и заставляем его изотермически расширяться до преж­

206

V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

него объема. При этом газ совершает работу за счет подводимой
теплоты. После того как поршень перейдет в крайнее правое поло­
жение, будем ждать, пока газ снова не соберется самопроизвольно в
левой половине сосуда, и затем повторяем
все снова. В результате получилась периоди­
чески действующая машина, которая совер­
шает работу только за счет получения тепло­
ты от окружающей среды.
Молекулярно-кинетическая теория позво­
ляет сразу объяснить, почему такое устрой­
ство не будет работать. Как мы видели, веро­
ятность того, что газ, содержащий большое
число молекул, хотя бы один раз самопроиз­
вольно соберется в одной половине сосуда,
ничтожно мала. И уж совершенно невозмож­
но себе представить, чтобы это могло повто­
ряться раз за разом по мере работы машины.
О необратимых процессах. Теперь можно
указать, какой смысл вкладывается в поня­
Теплота
тие необратимого процесса: процесс является
необратимым, если обратный процесс в дей­
Рис. 79. Один из вариан­
ствительности почти никогда не происходит.
тов «вечного» двигателя
Строгого запрета для такого процесса нет —
второго рода
он просто слишком маловероятен, чтобы его
можно было наблюдать на опыте. Так, рассмотренный пример веч­
ного двигателя второго рода основывался на предположении о воз­
можности самопроизвольного сосредоточения газа в одной половине
сосуда. Такой процесс является обратным для процесса расширения
газа в пустоту. Расширение газа в пустоту представляет собой один
из наиболее ярких примеровнеобратимых процессов — обратный
процесс в макроскопической системе никогда не наблюдался.
Таким образом, с точки зрения представлений статистической
механики второй закон термодинамики утверждает, что в природе в
макроскопических системах процессы развиваются в таком направ­
лении, когда менее вероятные состояния системы заменяются на бо­
лее вероятные. Такая интерпретация второго закона термодинамики
была впервые предложена Больцманом.
При рассмотрении флуктуаций плотности идеального газа было
выяснено, что состояния газа, при которых распределение молекул
близко к равномерному, встречаются гораздо чаще, чем далекие от
равновесия состояния с сильно неравномерным распределением мо­
лекул. Другими словами, состояния с неравномерным распределени­
ем молекул по объему, при которых число молекул в правой и левой
половинах сосуда сильно различаются, имеют гораздо меньшую ве­
роятность, чем состояния с почти равномерным распределением,
близким к равновесному. Итак, необратимый процесс приближения

If

§ 24. ПРИРОДА НЕОБРАТИМОСТИ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ

207

к равновесию — это переход к наиболее вероятному макроскопиче­
скому состоянию.
Необратимые процессы и разрушение порядка. Сказанное выше
о природе необратимости реальных процессов можно сформулиро­
вать и несколько иначе. Можно сказать, что необратимый переход
к равновесию — это переход от в сильной степени упорядоченных
неравновесных состояний к менее упорядоченным, хаотическим
состояниям.
При расширении газа в пустоту начальное состояние, когда газ
занимает часть предоставленного ему объема, является в значитель­
ной мере упорядоченным, в то время как конечное состояние тепло­
вого равновесия, когда газ равномерно распределен по всему объему
сосуда, является совершенно неупорядоченным.
Другой пример — направленный пучок молекул газа, входящий
в откачанный сосуд. Установление равновесного максвелловского
распределения молекул по скоростям представляет собой необрати­
мый процесс перехода системы из упорядоченного состояния, когда
все молекулы имеют почти одинаковые по модулю и направлению
скорости, в конечное состояние, характеризующееся полной хаотич­
ностью движения молекул.
С этой точки зрения легко понять устанавливаемую вторым за­
коном термодинамики определенную направленность энергетиче­
ских превращений в замкнутой системе. Когда тело получает неко­
торое количество теплоты за счет совершения механической работы,
то это означает необратимое превращение кинетической энергии
упорядоченного макроскопического движения в кинетическую энер­
гию хаотического движения молекул. Превращение теплоты в рабо­
ту, наоборот, означает превращение энергии беспорядочного движе­
ния молекул в энергию упорядоченного движения макроскопическо­
го тела — такой самопроизвольный переход, как мы видели, в
принципе возможен, но исключительно маловероятен.
Флуктуации как отклонения от второго закона термодинамики.
Необратимый характер процессов перехода в состояние теплового
равновесия, устанавливаемый вторым законом термодинамики,
справедлив только для больших макроскопических систем. С термо­
динамической точки зрения изолированная система, пришедшая в
состояние теплового равновесия, не может самопроизвольно выйти
из этого состояния. Однако статистическая механика допускает су­
ществование флуктуаций, которые фактически представляют собой
самопроизвольные отклонения системы от равновесия.
Как уже отмечалось, чем больше частиц в системе, тем меньше
относительная величина флуктуаций любого макроскопического па­
раметра, и для достаточно большой системы флуктуациями вообще
можно пренебречь. Именно поэтому для таких систем справедлив
второй закон термодинамики, в котором утверждается возрастание

208

V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

энтропии в замкнутых системах. При статистическом определении
энтропии второй закон утрачивает абсолютный характер и превра­
щается в статистический закон: за каким-либо заданным состоянием
замкнутой системы будут следовать состояния, более вероятные
если не с необходимостью, то в подавляющем большинстве случаев.
В системах с небольшим числом частиц относительная величина
флуктуаций велика, т. е. самопроизвольные отклонения какой-либо
величины от ее среднего значения могут быть сравнимы с самим сред­
ним значением. Такая система часто самопроизвольно выходит из со­
стояния равновесия, и второй закон термодинамики здесь неприме­
ним. Характерный пример нарушения второго закона термодинамики
в достаточно малых системах — броуновское движение, при котором
взвешенная в жидкости макроскопическая частица получает кинети­
ческую энергию от молекул окружающей среды, хотя температура
среды не выше, чем температура самой броуновской частицы.
•

Как статистическая механика объясняет необратимость реальных тепло­
вых процессов?

•

Приведите примеры явлений, в которых наблюдается самопроизвольный
выход системы из состояния термодинамического равновесия.

•

Почему упорядоченные состояния характеризуются меньшей вероятно­
стью по сравнению с неупорядоченными?

д Статистическая гипотеза. Неизбежность тепловых процес­
сов в природе приводит к тому, что статистическая механика си­
стем многих частиц не исчерпывается законами обычной механи­
ки (хотя и опирается на них), а требует обязательного введения
дополнительной статистической гипотезы в той или иной фор­
ме, например в виде предположения о равной вероятности раз­
личных микросостояний замкнутой системы.
Но в тех случаях, когда тепловые процессы оказываются несу­
щественными, определенную информацию о свойствах термодина­
мической системы можно получить, опираясь только на механиче­
ские представления. Тепловые процессы практически отсутствуют
в условиях тепловой изоляции при наличии механического равно­
весия. В этих случаях протекающие явления обратимы и можно
использовать модель адиабатического процесса.
Покажем, например, как можно получить уравнение адиаба­
ты для одноатомного идеального газа, основываясь на существо­
вании адиабатических инвариантов в механических системах.
Напомним (см. кн. 1), что адиабатическим инвариантом называ­
ется характеризующая механическую систему величина, сохра­
няющаяся при медленном изменении внешних параметров. В ча­
стности, для шарика, упруго отражающегося от двух параллель­
ных стенок, которые медленно сближаются или раздвигаются,
адиабатическим инвариантом является произведение расстояния
между стенками на модуль скорости шарика.

§ 25. ГАЗЫ. ЖИДКОСТИ, ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ

209

В механической модели идеального газа как совокупности од­
ноатомных молекул, упруго отражающихся от стенок сфериче­
ского сосуда, адиабатическим инвариантом при медленном изме­
нении объема V сосуда будет произведение характерного линей­
ного размера (радиуса) R сосуда на модуль v скорости молекулы.
В отсутствие теплообмена такая механическая модель адекватно
описывает реальный адиабатический процесс сжатия или
расширения. При этом сохраняет свой смысл и указанный
адиабатический инвариант: Rv = const. Поскольку радиус R про­
порционален VF, а модуль скорости v пропорционален VT, то

V v VT = const,
или
TV213 = const.
Легко видеть, что это совпадает с полученным выше уравне­
нием адиабаты в переменных Т и V для одноатомного идеального
газа, поскольку в этом случае у = С / Сv = 5/3. Д
•

П ри каких условиях к системам из большого числа частиц применимы
чисто механические представления, не опирающ иеся на статистическую
гипотезу?

•

Получите уравнение адиабаты идеального газа, рассматривая сосуд ци­
линдрической формы, объем которого изменяется при медленном пере­
мещении поршня.

§ 2 5 . Газы, жидкости, ф азовы е переходы

Статистическая механика позволяет объяснить на основе некоторых
моделей не только свойства вещества в газообразном состоянии, но и
процессы перехода вещества из одного состояния в другое, в том числе
фазовые превращения газ—жидкость, жидкость—твердое тело и т. д.
Фазы и компоненты термодинамической системы. Фазой веще­
ства называется его макроскопическая однородная часть, отделенная
от других частей границами раздела. Например, в закрытом сосуде
над некоторым количеством воды находится смесь воздуха с водя­
ными парами. Это двухфазная система, состоящая из двух фаз:
жидкой (вода) и газообразной (смесь воздуха и паров воды). Если
бы воздуха в сосуде не было, то в системе все равно было бы две
фазы — жидкая (вода) и газообразная (пары воды), так что разде­
ление вещества на фазы возможно и в однокомпонентной системе,
а не только в смеси разных веществ.
Если к воде добавить спирт, то число фаз в системе не изменит­
ся, так как при разведении спирта в воде образуется физически од­
нородная жидкость. Если же к воде добавить растительное масло, то
получится система с двумя жидкими фазами — маслом и водой.

210

V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

При подсчете числа фаз не имеет значения, сосредоточена ли
определенная фаза в одном месте или состоит из нескольких частей,
отделенных одна от другой другими фазами. Так, капельки тумана в
воздухе образуют с ним двухфазную систему. Смесь газов, будучи
многокомпонентной системой, всегда образует однофазную систему.
Фазовые превращения. Примерами фазовых превращений могут
служить изменения агрегатного состояния вещества. Под
агрегатными состояниями понимают твердое, жидкое и газообразное
состояния вещества. Иногда в качестве четвертого агрегатного со­
стояния вещества выделяют плазму. Твердое и жидкое состояния
вещества называют конденсированными.
Испарением или парообразованием называют переход вещества
из конденсированного состояния в газообразное. Обратный переход
называется конденсацией. Переход из твердого состояния в жидкое
называется плавлением, а обратный переход затвердеванием или
кристаллизацией.
Твердое состояние одного и того же вещества может реализовы­
ваться в нескольких кристаллических модификациях. Превращение
модификаций друг в друга тоже дает пример фазового перехода.
Равновесие фаз. При каких условиях различные фазы могут нахо­
диться в равновесии? Для механического равновесия давление по
разные стороны границы соприкасающихся фаз должно быть одина­
ковым. Для теплового равновесия фазы должны иметь одинаковую
температуру.
Равновесие фаз — это всегда динамическое равновесие, посколь­
ку молекулы, совершая хаотическое тепловое движение, непрерыв­
но переходят через границу из одной фазы в другую и обратно. Но
эти потоки компенсируют друг друга.
Испарение и конденсация. Рассмотрим подробнее один из простей­
ших примеров фазовых превращений — испарение жидкости и кон­
денсацию пара.
Количество жидкости, налитой в открытый сосуд, постепенно
уменьшается. При этом покидают жидкость преимущественно быст­
рые молекулы, кинетическая энергия которых достаточна для пре­
одоления сил притяжения со стороны других молекул жидкости в
приповерхностном слое. В результате внутренняя энергия жидкости
уменьшается, и если не подводить к ней теплоту, то в процессе ис­
парения ее температура будет понижаться.
Одновременно с испарением идет и обратный процесс конденса­
ции, т. е. возвращение части молекул из пара в жидкость. В откры­
том сосуде испарение обычно не компенсируется конденсацией и ко­
личество жидкости уменьшается.
Если сосуд плотно закрыть, то вскоре установится динамическое
равновесие и уровень жидкости не будет изменяться. Пар, находя­

§ 25 . ГАЗЫ, ЖИДКОСТИ, ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ

211

щийся в динамическом равновесии со своей жидкостью, называют на­
сыщенным паром. Название подчеркивает, что в данном объеме при
данной температуре не может находиться большее количество пара.
Наличие других газов или паров над поверхностью жидкости не
влияет на процесс образования пара. Максимальное давление пара
данного вещества, т. е. его максимальное парциальное давление,
равно давлению насыщенного пара соответствующей жидкости и не
зависит от присутствия других газов.
Давление насыщенного пара. Будем постепенно уменьшать объем
пара над жидкостью, вдвигая закрывающий сосуд поршень. При
этом часть вещества перейдет из газообразной фазы в жидкость, но
давление пара не изменится, если поддерживается прежняя темпе­
ратура. Это значит, что давление насыщенного пара зависит только
от температуры. Такой опытный факт можно качественно объяснить
на основе представлений статистической механики.
Число вылетающих из жидкости молекул через участок границы
единичной площади не зависит от того, сколько пара находится над
жидкостью. В динамическом равновесии число вылетающих и влета­
ющих молекул одинаково. Значит, и число молекул, влетающих в
жидкость через единичную поверхность, не зависит от занимаемого
паром объема. Так как это число при данной температуре опреде­
ляется концентрацией п молекул пара, то концентрация, а тем самым
и давление р = пкТ, не зависят от объема, а определяются только
температурой. Для каждого вещества давление насыщенного пара
при данной температуре имеет свое вполне определенное значение.
С увеличением температуры давление насыщенного пара растет
быстрее, чем давление идеального газа. Так происходит потому, что
с увеличением температуры давление насыщенного пара растет не
только вследствие увеличения средней кинетической энергии моле­
кул, но и вследствие увеличения концентрации п молекул, т. е. плот­
ности пара, за счет перехода части вещества из жидкой фазы в газо­
образную. Именно увеличение концентрации молекул насыщенного
пара и является главной причиной роста давления с температурой.
Когда вся жидкость в закрытом сосуде испарится, пар при даль­
нейшем нагревании перестанет быть насыщенным, и его давление
при постоянном объеме будет возрастать пропорционально термоди­
намической температуре, как и у идеального газа.
Кипение. По мере увеличения температуры интенсивность испаре­
ния жидкости в открытом сосуде увеличивается. Наконец, при не­
которой температуре жидкость начинает кипеть: по всему ее объему
образуются быстро растущие пузырьки пара, поднимающиеся на по­
верхность. Это значит, что при кипении испарение жидкости проис­
ходит не только с ее открытой поверхности, но и внутрь пузырьков.
Ясно, что рост пузырьков за счет испарения в них возможен лишь
при такой температуре, когда давление внутри пузырька, т. е. дав­

212

V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

ление насыщенного пара, становится равным давлению жидкости на
данной глубине. Поэтому температура кипения жидкости зависит от
внешнего давления. На высоте 7 км над уровнем моря температура
кипения воды составляет примерно 70 °С. Наоборот, температура
кипения в герметически закрытых автоклавах, где поддерживается
повышенное давление, значительно выше 100 °С.
Интересными особенностями обладает кипение на границе несмешивающихся жидкостей. Их можно продемонстрировать следую­
щим простым опытом. В стеклянный сосуд наливают некоторое
количество четыреххлористого углерода (СС14), а сверху слой воды.
При нормальном атмосферном давлении вода кипит при 100 °С, а
четыреххлористый углерод — при 76,7 °С. Если медленно нагревать
сосуд в водяной бане, то но границе раздела этих несмешивающихся
жидкостей кипение начинается при 65,5 °С! Как объяснить это
явление?
Кипение наступает, когда давление насыщенного пара сравняет­
ся с давлением в жидкости на той глубине, где образуется пузырек.
Давление жидкости складывается из атмосферного давления и гид­
ростатического давления столба жидкости. Если высота столба жид­
кости в сосуде несколько сантиметров, то гидростатическое давление
составляет несколько тысячных от нормального атмосферного и его
можно не принимать во внимание. Давление насыщенных паров
жидкости определяется ее температурой. В воде пузырьки содержат
только пары воды, при 100 °С давление насыщенного пара воды рав­
но нормальному атмосферному. В четыреххлористом углероде пу­
зырьки содержат только пары СС14, и давление насыщенных паров
равно атмосферному при 76,7 °С.
На границе раздела этих жидкостей пузырьки содержат как па­
ры СС14, так и пары воды. Давление в этих пузырьках, на основа­
нии закона Дальтона, равно сумме парциальных давлений паров во­
ды и СС14. Поэтому давление, равное атмосферному, устанавлива­
ется в пузырьках, находящихся на границе, при температуре,
меньшей 76,7 °С. При этой температуре и начинается кипение на
границе раздела. Опыт показывает, что это происходит при темпе­
ратуре 65,5 °С. Эту температуру можно установить без опыта, под­
бирая такую температуру по таблицам зависимости давления насы­
щенных паров воды и СС14 от температуры, при которой сумма дав­
лений равна атмосферному. При 65,5 °С давление паров воды
составляет 192 мм рт. ст., а давление паров СС14 — 568 мм рт. ст.
Используя эти цифры, можно сделать вывод, что в каждом пузырь­
ке, образовавшемся на границе раздела, молекул СС14 будет почти
в три раза больше, чем молекул воды. А так как и масса молекулы
четыреххлористого углерода в девять раз больше массы молекулы
воды, то его испарение происходит почти в 25 раз быстрее, чем ис­
парение воды. Наблюдая кипение в пограничном слое в течение не­

§ 25 . ГАЗЫ, ЖИДКОСТИ, ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ

213

которого времени, можно убедиться, что нижний слой СС14 выкипа­
ет значительно быстрее, чем верхний слой воды.
Центры парообразования. Для процесса кипения необходимо, что­
бы в жидкости существовали неоднородности — зародыши газооб­
разной фазы, играющие роль центров парообразования. Обычно в
жидкости присутствуют растворенные газы, которые выделяются
пузырьками на дне и стенках сосуда и на взвешенных в жидкости
пылинках. При нагревании эти пузырьки увеличиваются как за
счет уменьшения растворимости газов с температурой, так и за счет
испарения в них жидкости. Увеличившиеся в объеме пузырьки
всплывают под действием архимедовой выталкивающей силы. Если
верхние слои жидкости имеют более низкую температуру, то вслед­
ствие конденсации пара давление в них резко падает и пузырьки
«захлопываются» с характерным шумом. По мере прогревания всей
жидкости до температуры кипения пузырьки перестают захлопы­
ваться и всплывают на поверхность: вся жидкость закипает.
Перегретая жидкость. Жидкость можно нагреть и до температуры,
превышающей температуру кипения при данном давлении. Для этого
ее нужно тщательно очистить от растворенных газов и механических
примесей. Центры парообразования в такой жидкости практически
отсутствуют, и кипение не начинается даже тогда, когда температура
заметно превышает температуру кипения. Такая жидкость называет­
ся перегретой. Это неустойчивое состояние. Перегретая жидкость
бурно закипает при появлении в ней центров парообразования.
Явление быстрого закипания перегретой жидкости используется
в пузырьковой камере — современном приборе для регистрации ча­
стиц высоких энергий. Прохождение заряженной частицы через пе­
регретую жидкость приводит к образованию вдоль следа частицы за­
родышей центров кипения. Образующие­
ся на зародышах пузырьки достигают раз­
меров в доли миллиметра и могут быть
сфотографированы при боковом освеще­
нии импульсным источником света. Изу­
чение треков в пузырьковых камерах по­
зволило открыть и исследовать много но­
вых элементарных частиц.
Критическая температура. При увеличе­
нии температуры одновременно с ростом Рис. 80. Зависимость плотно­
плотности насыщенного пара происходит сти жидкости и ее насыщен­
уменьшение плотности жидкости вследст­ ного пара от температуры
вие ее теплового расширения. Если на од­
ном графике изобразить зависимости плотности жидкости и ее насы­
щенного пара от температуры, то при некоторой температуре Тк, на­
зываемой критической, обе кривые сливаются (рис. 80): плотность

214

V. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

жидкости становится равной плотности насыщенного пара. При кри­
тической температуре исчезает различие не только в плотности, но и
во всех других физических свойствах жидкости и насыщенного пара.
Понятие критической температуры было введено Д. И. Менделе­
евым. Каждое вещество характеризуется своей критической темпе­
ратурой. Например, у воды это 374,15 °С, а у окиси углерода
С 0 2 — около 31 °С.
Различие между газом и паром. Существование критической тем­
пературы позволяет провести различие между газом и паром. Газ
можно перевести в жидкое состояние путем сжатия только при тем­
пературе ниже критической. Поэтому вещество в газообразном со­
стоянии при температуре ниже критической и называют паром.
Таким образом, никакой принципиальной разницы между паром
и газом нет. Это деление условно и имеет смысл потому, что мы
привыкли к существованию в довольно узком интервале темпера­
тур. Поэтому газом обычно называют вещество, давление насыщен­
ного пара которого при обычных температурах выше атмосферного
(например, углекислый газ). Напротив, используют термин «пар»,
когда при комнатной температуре давление насыщенного пара ве­
щества меньше атмосферного давления (например, водяной пар).
Теплота испарения и конденсации. Фазовые переходы, такие как
испарение и конденсация, всегда сопровождаются поглощением или
выделением теплоты. Количество теплоты, которое необходимо со­
общить веществу для того, чтобы превратить его из жидкого состо­
яния в газообразное при постоянной температуре и постоянном дав­
лении, называется теплотой испарения (или теплотой парообразо­
вания). Такое же количество теплоты выделяется при конденсации
пара в жидкость при тех же условиях. Различают удельную теплоту
испарения (измеряется в джоулях на килограмм) и молярную (из­
меряется в джоулях на моль).
Теплота испарения зависит от температуры. С ростом темпера­
туры она уменьшается и при критической температуре обращается
в нуль.
Теплота парообразования представляет собой частный случай
теплоты фазового перехода. Другой пример — теплота плавле­
ния, поглощаемая при плавлении и выделяющаяся при кристалли­
зации.
Влажность воздуха. Водяной пар в земной атмосфере, несмотря на
огромные открытые водные поверхности, не является насыщенным.
Содержание водяного пара в воздухе характеризуется влажностью
воздуха. От влажности воздуха во многом зависит состояние био­
сферы, самочувствие человека, работоспособность технических
устройств, сохранность зданий и произведений искусства.

§ 25. ГАЗЫ, ЖИДКОСТИ, ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ

215

Влажность воздуха характеризуют парциальным давлением па­
ров воды, которое иногда называют абсолютной влажностью. Од­
нако значение абсолютной влажности еще не позволяет судить о
том, насколько водяной пар в данных условиях далек от насыщения.
Но именно от этого зависит интенсивность испарения воды с откры­
тых поверхностей. Чтобы характеризовать близость состояния водя­
ных паров к насыщению, вводят относительную влажность.
Относительная влажность — это отношение парциального дав­
ления р водяного пара, содержащегося в воздухе при данной
температуре, к давлению р0 насыщенного пара при этой температу­
ре. Относительную влажность обычно выражают в процентах:
0. Отме­
тим медленный характер убывания
концентрации со временем в сравне­
нии с часто встречающимися в физи­
ке процессами экспоненциального
затухания, которые реализуются,
когда скорость убывания какой-либо
величины пропорциональна первой
степени мгновенного значения этой
величины.
Несамостоятельная проводимость.
о
t
Процесс спадания концентрации
ионов после прекращения действия Рис. 101. Убывание концентрации
ионов в газе после выключения ис­
ионизатора значительно ускоряется, точника
ионизации
если газ находится во внешнем элект­
рическом поле. Вытягивая электроны
и ионы на электроды, электрическое поле может очень быстро обра­
тить в нуль электропроводность газа в отсутствие ионизатора.
Для уяснения закономерностей несамостоятельного разряда рас­
смотрим для простоты случай, когда ток в ионизуемом внешним ис­
точником газе течет между двумя плоскими электродами, парал­
лельными друг другу. В этом случае ионы и электроны находятся в
однородном электрическом поле напряженности Е, равной отноше­
нию приложенного к электродам напряжения U к расстоянию I
между ними.
Подвижность электронов и ионов. При постоянном приложенном
напряжении в цепи устанавливается некоторая постоянная сила то­
ка 1. Это значит, что электроны и ионы в ионизованном газе дви­
жутся с постоянными скоростями. Чтобы объяснить этот факт, нуж­
но считать, что кроме постоянной ускоряющей силы электрического
поля на движущиеся ионы и электроны действуют силы сопротивле­
ния, растущие с увеличением скорости. Эти силы описывают усред­
ненный эффект столкновений электронов и ионов с нейтральными
атомами и молекулами газа. Благодаря силам сопротивления уста9 Е.И. Бутиков и др. Книга 3

258

VI. АТОМЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ

навливаются в среднем постоянные скорости ve и vf электронов и
ионов, пропорциональные напряженности Е электрического поля:
ve = - й еЕ,
V; = ЙД
(4)
Коэффициенты пропорциональности йе и Ь{ называются подвиж­
ностями электрона и иона. Подвижности ионов и электронов име­
ют разные значения изависят от сорта газа, его плотности, темпе­
ратуры и т. д.
Плотность электрического тока j, т. е. заряд, переносимый элек­
тронами и ионами за единицу времени через единичную площадку,
выражается через концентрацию электронов ле и ионов л(, их заря­
ды —е и е{ и скорости установившегося движения ve и v(:
j = - e n eve +

(5)

Квазинейтральность. В обычных условиях ионизованный газ в це­
лом электронейтрален, или, как говорят, квазинейтрален, ибо в ма­
лых объемах, содержащих сравнительно небольшое число электро­
нов и ионов, условие электронейтральности может и нарушаться.
Это значит, что выполняется соотношение
—еле + ехп{ = 0 .
(6)
Будем для простоты считать, что ионы однозарядные. В этом
случае концентрации ионов и электронов одинаковы: ле = щ = п.
Тогда с помощью (4) выражение для плотности тока (5) можно за­
писать в виде
j= n e (—ve + v() = пе(йе + й()Е.
(7)
Плотность тока при несамостоятельном разряде. Чтобы полу­
чить закон изменения со временем концентрации носителей тока
при несамостоятельном разряде в газе, нужно наряду с процессами
ионизации внешним источником и рекомбинации учесть также
уход электронов и ионов на электроды. Число частиц, уходящих
в единицу времени на электрод площади S из объема SI, равно
jS/e. Скорость
убывания концентрации n(t) таких частиц мы
получим, разделив это число на объем SI газа между электродами.
Поэтому уравнение баланса вместо (1) при наличии тока запи­
шется в виде
,
dI = « - ™ 2- h Для установления режима, когда ^ = 0, из ( 8 ) получаем
q = a n 2 + -ij.

(9)

§31. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ГАЗАХ

259

Уравнение (9) позволяет найти зависимость плотности / устано­
вившегося тока при несамостоятельном разряде от приложенного
напряжения U (или от напряженности поля Е).
Два предельных случая видны непосредственно.
Закон Ома. При низком напряжении, когда / —*>(), в уравнении (9)
можно пренебречь вторым слагаемым в правой части, после чего по­
лучаем п =
Из формулы (7) при этом имеем

j=e Vf(*e +

(10>

Плотность тока j пропорциональна напряженности приложенного
электрического поля. Таким образом, для несамостоятельного газо­
вого разряда в слабых электрических полях выполняется закон Ома.
Ток насыщения. При низкой концентрации п электронов и ионов в
уравнении (9) можно пренебречь первым (квадратичным по п) слага­
емым в правой части. В этом приближении вектор плотности тока на­
правлен вдоль напряженности электрического поля, а его модуль
j = qel
(11)
не зависит от приложенного напряжения. Этот результат справед­
лив для сильных электрических полей. В этом случае говорят о токе
насыщения.
Оба рассмотренных предельных случая можно исследовать и не
обращаясь к уравнению (9). Однако таким путем нельзя просле­
дить, как при увеличении напряжения происходит переход от зако­
на Ома к нелинейной зависимости тока от напряжения.
В первом предельном случае, когда ток очень мал, основной
механизм удаления электронов и ионов из области разряда — это
рекомбинация. Поэтому для стационарной концентрации п можно
воспользоваться выражением (2), что при учете (7) немедленно
дает формулу (10). Во втором предельном случае, наоборот, пренебрегается рекомбинацией. В сильном электрическом поле элект­
роны и ионы не успевают сколько-нибудь заметно рекомбиниро­
вать за время пролета от одного электрода до другого, если кон­
центрация их достаточно мала. Тогда все образуемые внешним
источником электроны и ионы достигают электродов и полная
плотность тока равна qel. Она пропорциональна длине I ионизаци­
онной камеры, поскольку полное число производимых ионизатором
электронов и ионов пропорционально I.
Экспериментальное изучение газового разряда. Выводы теории
несамостоятельного газового разряда подтверждаются эксперимента­
ми. Для исследования разряда в газе удобно использовать стеклян­
ную трубку с двумя металлическими электродами. Электрическая
схема такой установки показана на рис. 102. Подвижности электро­

260

VI. АТОМЫ И ИЗЛУЧЕНИЕ

нов и ионов сильно зависят от давления газа (обратно пропорцио­
нально давлению), поэтому опыты удобно проводить при понижен­
ном давлении.
На рис. 103 представлена зависимость силы тока I в трубке от
приложенного к электродам трубки напряжения U. Ионизацию в
трубке можно создать, например, рентгеновскими или ультрафио­
летовыми лучами либо с помощью слабого радиоактивного препа­
рата. Существенно только, чтобы внешний источник ионов оста-

£h

Рис. 102. Схема установки для
изучения газового разряда

Рис. 103. Экспериментальная вольт-амперная характеристика газового разряда

вался неизменным (