Ряды Фурье. Интегральные преобразования Фурье и Радона [Валентин Александрович Волков] (pdf) читать постранично

В. А. ВОЛКОВ

РЯДЫ ФУРЬЕ.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ФУРЬЕ И РАДОНА
Учебно-методическое пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

В. А. Волков

РЯДЫ ФУРЬЕ.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И РАДОНА
Рекомендовано методическим советом УрФУ
в качестве учебно-методического пособия для студентов,
обучающихся по программе бакалавриата и специалитета
по направлениям подготовки
140801.65 – Электроника и автоматика физических установок;
210100.62 – Электроника и наноэлектроника;
201000.62 – Биотехнические системы и технологии;
200100.62 – Приборостроение;
221700.62 – Стандартизация и метрология;
230100.62 – Информатика и вычислительная техника;
230400.62 – Информационные системы и технологии

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2014
1

УДК 517.518.45(075.8)
ББК 22.161.5я73
В67
Рецензенты: кафедра прикладной математики Уральского государственного экономического университета (завкафедрой,
канд. физ.-мат. наук, доц. Ю. Б. Мельников);
канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. М. Ф. Прохорова
(ИММ УрО РАН)
Научный редактор − канд. физ.-мат. наук, доц. Р. М. Минькова
Волков, В. А.
В67 Ряды Фурье. Интегральные преобразования Фурье и Радона :
учебно-методическое пособие / В. А. Волков. – Екатеринбург :
Изд-во Урал. ун-та, 2014. – 32 с.
ISBN 978-5-7996-1252-8
В пособии рассмотрены основные понятия теории рядов Фурье и преобразования Фурье, условия разложимости функции в ряд Фурье и в интеграл
Фурье. Показана связь преобразования Фурье и преобразования Радона.
Продемонстрировано применение преобразования Радона в компьютерной
томографии.
Пособие предназначено для студентов физико-технологического института
и соответствует федеральному государственному образовательному стандарту
третьего поколения.
Библиогр.: 8 назв. Рис. 9.

УДК 517.518.45(075.8)
ББК 22.161.5я73

ISBN 978-5-7996-1252-8

© Уральский федеральный
университет, 2014
2

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ............................................................................................... 4
Периодические функции ..................................................................... 4
Ряды Фурье для функций с периодом 2π ........................................... 5
Вспомогательные соотношения.......................................................... 6
Ряд Фурье для функции с периодом 2π.............................................. 6
Теорема Дирихле.................................................................................. 8
Ряды Фурье для четных и нечетных функций................................. 12
Ряды Фурье для функций с произвольным периодом .................... 14
Разложение функции, заданной на отрезке [0, l] ............................ 17
Ряд Фурье в комплексной форме ...................................................... 19
Интеграл Фурье .................................................................................. 20
Интегральное преобразование Фурье .............................................. 24
Интегральное преобразование Радона ............................................. 27
Применение преобразования Радона ............................................... 29
Библиографический список .............................................................. 31

3

ВВЕДЕНИЕ
Теория рядов Фурье в той или иной мере изложена практически
во всех учебниках по высшей математике. Интегральное преобразование Фурье можно найти во многих методических пособиях и учебниках. Интегрального преобразования Радона нет ни в одном учебнике по математике из списка основной и дополнительной рекомендуемой литературы. Между тем это интегральное преобразование
служит математической основой компьютерной томографии и обязательно должно быть изучено студентами соответствующих специальностей. Учитывая тесную связь и взаимозависимость этих разделов
математики, мы в данных методических указаниях изложили их
с единой точки зрения, сделав акцент на практическом применении
интегрального преобразования Радона. Последнее, по нашему мнению, должно повысить мотивацию студентов при изучении как этих
разделов, так и курса высшей математики в целом.
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Пусть f ( x ) – функция, определенная на всей числовой оси.
Число T называется периодом этой функции, если для любого x
выполняется соотношение:
f ( x  T )  f ( x ).

(1)

Если T есть период функции, то nT , где n – любое целое число,
также является периодом рассматриваемой функции. Функция, имеющая период, отличный от нуля, называется периодической.
Всякая периодическая функция, отличная от постоянной, имеет
среди своих положительных периодов наименьший. Обычно под словом «период» понимают наименьший из положительных периодов.
Если функция f ( x ) имеет период T , то   x   f  ax  имеет
период T a .
Действительно,
T

 x   
a


T 
 
f  a  x     f  ax  T   f  ax     x  .
a 
 

(2)

Если f ( x ) имеет период T , то интеграл от этой функции, взятый
в пределах, отличающихся на T , не зависит от выбора нижнего предела интегрирования, т. е.
4

a T


a

T

f ( x)dx   f ( x)dx.

(3)

0

Формула (3) будет использоваться далее