Расчет простого нахлёсточного соединения пластин в MSC Patran-Nastran [Виталий Афанасьевич Жилкин] (pdf) читать постранично, страница - 3

 EH FH EB FB  2c sh ( αc )

=
B

 1
Gk P
1
1 
−
 =

2t αch ( αc )  EH FH EB FB 
=

P αc 1 − ψ
,
2c ch ( αc ) 1 + ψ

ψ=

EH FH
.
EB FB

Итак, касательные напряжения в клеевом
слое по Фолькерсену распределяются по закону
τΦxz =

 ch ( αx ) 1 − ψ sh ( αx ) 
P
αc 
+
 . (10)
2c  sh ( αc ) 1 + ψ ch ( αc ) 

Полученное выражение не противоречит
аналогичным соотношениям, приведенным в работах [10, 33].
Если жесткости поперечных сечений листов одинаковы, то второе слагаемое в выражении (12) пропадает и касательные напряжения

Рис. 3

23

В е с т н и к ЧГАА. 2014. Том 69

в клеевом слое распределяются по закону гиперболического косинуса. Максимальные касательные напряжения возникают вблизи конца
нахлестки и равны:

duB N B M B h duH N H M H h
; =
, (14)
=
+
−
dx
R
D 2 dx
R
D 2
где R = Eh – жесткость поперечного сечения балки полоски при ее растяжении;
Eh3 (1 − µ 2 )
– жесткость поперечного
D=
12
сечения балки полоски при ее изгибе.
Преобразуем выражение (6), подставив
в него зависимости (14):

Pα ch ( αc ) P cα
τΦxz _ max =
=
=
τΦxz _cp ⋅ k , (11)
2 sh ( αc ) 2c th ( αc )
P
где τΦxz _cp =– средние напряжения в клеевом
2c
слое;
cα
– коэффициент концентрации каk=
th ( αc )
сательных напряжений, который при cα > 3 изменяется по линейному закону, так как th ( αc )  1.
Теория Фолькерсена довольно точно описывает распределение напряжений сдвига для
соединения с двусторонними накладками, так
как в этом случае влияние изгиба мало.
Изгиб соединения внахлестку впервые был
учтен в работе Голанда и Рейсснера [11]. Полученные результаты свидетельствуют о наличии
зна­чительных нормальных напряжений на концах соединения, в несколько раз превышающие
растягивающие напряжения. Максимальные
касательные напряжения наблюдаются вблизи
конца нахлестки и имеют тот же порядок, что
и растяги­вающие напряжения. Оба напряжения
практически исчезают на расстоянии порядка
толщины пластины от края. Полученные зависимости для отрывающих и касательных напряжений в клеевом слое применимы для случая растяжения одинаковых, склеиваемых внахлестку
материалов равной толщины. Они неприменимы
для материалов различной жесткости или для нахлесточных соединений, находящихся под внешней изгибающей нагрузкой. Работа [11] является
основополагающей в теории клеевых соединений, предпосылки которой были использованы
в дальнейшем другими исследователями.
Получим эти зависимости.
Из условий равновесия малого элемента:
ΣM =
0 , ΣZ =,
0 следует (рис. 3):

d τ xz Gk  duH duB 
=
−
=


dx
t  dx
dx 
Gk  N H M H h   N B M B h  
=
−
+

−
 . (15)
t  R
D 2  R
D 2  
Возьмем производную от уравнения (15):
d 2 τ xz Gk  1  dN H dN B 
=
−

−
t  R  dx
dx 
dx 2
h  dM H dM B  
(16)
−
+

 .
dx  
2 D  dx
Подставим в уравнение (16) выражения (5)
и (12) для производных от внутренних силовых
факторов:
d 2 τ xz Gk  2τ xz
h
=
−
( QH + QB −
2

t  R
2D
dx
 h + t   Gk 
1
2τ xz  +
− 2τ xz 
=


 2  t 
R
h  h + t  h
(17)
+
( QH + QB ) .

 −
2D  2   2D

Возьмем еще раз производную от выражения (17). Получим
d 3 τ xz 2Gk  1
h  h + t   d τ xz
.
=


 +
3
t  R 2 D  2   dx
dx
Здесь учтено, что на основании уравнений
равновесия (13):
dQH dQB
+
=
0.
dx
dx

dM B
 h+t 
− QB + τ xz 
 =0 ;
dx
 2 

Введем обозначение:

dM H
 h+t 
− QH + τ xz 
 =0 ;
dx
 2 

(12)

dQB
dQH
+ σz =0 ;
− σz =0 .
dx
dx

(13)

2Gk
t

1
h  h + t 
(18)

 ,
 +
 R 2D  2  
Дифференциальное уравнение для определения касательного (сдвигового) напряжения
τ xz в клеевом слое примет вид:
=
β2

Деформации пластин на уровне клеевого
слоя, вызванные растяжением и изгибом пластин, определяются зависимостями:

d 3 τ xz
dτ
− β2 xz = 0 ,
3
dx
dx
24

решением которого будет выражение:
τ=
C1ch ( βx ) + C2sh ( βx ) + C3 .
xz

d 2 wH
MH
d 2 wB
M
;
=
−
= − B
2
2
DH
DB
dx
dx

(19)

и что для рассматриваемого случая D=
D=
D,
H
B
получим

Постоянные интегрирования Ci ( i = 1, 2, 3)
найдем из граничных условий:
d τ xz
dx

d 2 σ z Ek  d 2 wH d 2 wB 
=
−
=


t  dx 2
dx 2
dx 2 

 N0 M 0 h 
 R + D 2 =


x= −c
=−C1βsh ( βc ) + C2βch ( βc ) ;

при x = −c

=

d τ xz
dx

−Gk
t

 MH
M B  Ek
+− =
( M B − M H ) . (22)
−

DB  tD
 DH
Беря производную от полученного соотношения еще раз и учитывая уравнения равновесия (12), найдем:
=

Gk  N 0 M 0 h 
−
=
t  R
D 2 
x =c
= C1βsh ( βc ) + C2βch ( βc ) ;

при x = c

c

ξ) d ξ
∫ τ (=
xz

−c

=

d 3σ z Ek  dM B dM H
=
−

tD  dx
dx
dx3

 Ek
( QB − QH ) . (23)
=
 tD
Для исключения поперечных сил QB и QH
запишем выражение четвертой производной от
нормального напряжения σ z и воспользуемся
уравнениями равновесия (13):

2C1
sh ( βc ) + =
2cC3 N 0 .
β

Решая систему трех уравнений с трема неизвестными,