Расчет простого нахлёсточного соединения пластин в MSC Patran-Nastran [Виталий Афанасьевич Жилкин] (pdf) читать постранично, страница - 4

найдем
=
C1

Gk N 0
Rt

 M 0 Rh 
1
; C2 = 0 ;
1 +

 2 DN 0  βsh ( βc )

=
C
3

Ek
t

d 4 σ z Ek  dQB dQH
=
−
tD  dx
dx
dx 4
Вводя обозначение

sh ( βc )
N0
.
− C1
2c
βc

2E
4α 4 = k ,
tD

Итак, касательные напряжения по Голанду
и Рейсснеру определяются зависимостью:

(24)

приходим к хорошо известному в механике дифференциальному уравнению [36–38]:

Gk N 0  M 0 Rh 
1 +
×
Rt  2 DN 0 
 ch ( βx )
1  N
(20)
× 
− 2  + 0 .
 βsh ( βc ) β c  2c
Для определения нормальных (отрывающих) напряжений в клеевом слое воспользуемся второй гипотезой, что относительная деформация ε z в клеевом слое постоянна и определяется зависимостью
τ xz ( x=
)

w − wB
,
εz = H
t

2E

− k σz .
=
tD


4
σ IV
z + 4α σ z =0 ,

(25)

общий интеграл которого можно выразить через функции Пузыревского Vi ( i = 0, 1, 2, 3) :
σ z (=
x) K 0V0 ( αx ) + K1V1 ( αx ) +
+ K 2V2 ( αx ) + K 3V3 ( αx ) ,

где K i
вания;

(21)

( i = 0, 1, 2, 3)

– постоянные интегриро-

V0 ( αx ) = ch ( αx ) cos ( αx ) ;

где wH , wB – перемещения граничных точек
для нижнего и верхнего листов соответственно
в направлении оси z (рис. 1).
Возьмем вторую производную от закона
Гука для материала клея:

V1 (=
αx )

1
( ch ( αx ) sin ( αx ) + sh ( αx ) cos ( αx ) ) ;
2
V2 ( αx ) = sh ( αx ) sin ( αx ) ;

w − wB
σ z = Ek ε z = E k H
t

1
( ch ( αx ) sin ( αx ) − sh ( αx ) cos ( αx ) ) .
2
Функции Пузыревского при дифференцировании по переменной x переходят одна в другую:
V3 (=
αx )

и учитывая, что кривизны пластин в направлении оси x для листов клеевого соединения
равны
25

В е с т н и к ЧГАА. 2014. Том 69
V0′ ( αx ) =
− 2αV3 ( αx )

V0′′( αx ) =−2α 2V2 ( αx )

V0′′′( αx ) =
−2 2α 3V1 ( αx )

V1′( αx ) =

2αV0 ( αx )

V1′′( αx ) =−2α 2V3 ( αx )

V1′′′( αx ) =
−2 2α3V2 ( αx )

V2′ ( αx ) =

2αV1 ( αx )

V2′′( αx ) =2α 2V0 ( αx )

V2′′′( αx ) =
−2 2α3V3 ( αx )

V3′ ( αx ) =

2αV2 ( αx )

V3′′( αx ) =2α 2V1 ( αx )

V3′′′( αx )= 2 2α3V0 ( αx )

Постоянные интегрирования K i определяем из граничных условий задачи (см. выражения (22) и (23)):

а в зоне склейки –
h

M=
(s) P cos ( ω)  ( L + s ) tg ( ω) − w2 −  ,
2

(28)
( 0 ≤ s ≤ 2c ) .

Ek
d 2σ
d 2σ
M0 ;
=
=
2
2
tD
dx x =
dx x =
c
−c
3

Учитывая малость угла ω (из треугольниh+t
ка O1bc tgω =
, tg ( ω)  ω , cos ( ω)  1 )
2( L + c)
и что кривизны листов в направлении осей x и s

3

Ek
d σ
d σ
Q0 .
=
− 3
=
3
tD
dx x =
dx
x=
c
−c

M (s)
M ( x ) d 2 w2
d 2 w1
;
,
=
−
=
−
8D
D
ds 2
dx 2

Откуда
K0 =

K2 =

(

Ek Q0V0 − 2αM 0V3

)

Dα3t ( sh ( 2αc ) + sin ( 2αc ) )

(

Ek Q0V2 + 2αM 0V1

)

Dα t ( sh ( 2αc ) + sin ( 2αc ) )
3

получим два дифференциальных уравнения для
определения прогибов w1 и w2 :

; K1 = 0 ;

w1′′ − λ12 w1 = −
w2′′ − λ 22 w2 = −

; K3 = 0 .

P 
h
( L + s)ω −  ,
8D 
2

решением которых являются функции

Итак, нормальные напряжения σ z в клеевом слое изменяются по закону
σ z (=
x) K 0V0 ( αx ) + K 2V2 ( αx ) .

P
xω ,
D

w1 (=
x) A1ch(λ1 x) + B1sh ( λ1 x ) + xω ,

(0 ≤ x ≤ L) ,

(26)

(29)

w2=
( s ) A2ch(λ 2 s) + B2sh ( λ 2 s ) + ( s + L ) ω −

Найдем формулы для определения внутренних силовых факторов Q0 и M0.
Изгибающий момент в верхнем листе до
склейки (рис. 1, 2 и 4) определяется выражением

( 0 ≤ s ≤ 2c ) .

M=
( x) P cos ( ω) ( xtg ( ω) − w1 ) , ( 0 ≤ x ≤ L ) , (27)

здесь λ1 =

Рис. 4

26

h
,
2
(30)

P
P
Eh3
, λ2 =
, D=
.
D
8D
12 1 − µ 2

(

)

Из граничных условий
при x = 0 w1 = 0 ;
при x = L и s = 0 w1 = w2 ,

dw1 dw2
;
=
dx
ds

при s = c w2 = 0
найдем коэффициенты Ai , Bi выражений (29)
и (30). Нас же интересуют только коэффициенты A1 , B1 .

B1 = −

{

A1 = 0 ,

} . (31)

λ 2 2 ( L + c ) ω − h 1 − ch ( cλ 2 ) 
λ1ch ( λ1 L ) sh ( cλ 2 ) +
2

 +λ 2sh ( Lλ1 ) ch ( cλ 2 ) 

Подставляя (31) в (29) определим прогиб
срединной поверхности верхнего листа:
w1 (=
x) B1sh ( λ1 x ) + xω , ( 0 ≤ x ≤ L ) . (32)
Дважды и трижды дифференцируя зависимость (32) найдем параметры M0 и Q0, входящие
в выражения для коэффициентов K0 и K2:
M0 = −

1 d 2 w1 ( x)
1 d 3 w1 ( x)
,
=
−
Q
0
D dx 2 x = L
D dx3

. (33)
x=L

Итак, при принятых предположениях касательные напряжения в клеевом слое распределяются в соответствии с зависимостью (20), а нормальные напряжения – с зависимостью (26).
В качестве примера предположим, что
P = 100 H, E = 110 000 Н/мм2, μ = 0,3, Ек =
= 17 900 Р/мм2, μк = 0,19, L = 60 мм, h = 1,5 мм,
t = 0,15 мм.
На рисунке 5 представлены графики нормальных и касательных напряжений в клеевом
слое для принятых параметров клеевого соединения.

В работе [12] на основе теории слоистых
балок, которая, в частности, была впервые разработана Ржаницыным в 1938 г. [38], получены
формулы, подобные формулам Голанда и Рейсснера и приведен подробный анализ напряжений
в нахлестке. Экспериментальное исследование
клеевых соединений на фотоупругих моделях
выполнено в 1960 году [15], а на реальных моделях из фанеры с помощью метода фотоупругих покрытий в 1974–75 гг. [22–23]. Подробное
численное исследование распределения напряжений в упругом клеевом слое с помощью ЭВМ
проведено в 1964 году [16]. В