Математика. 9 класс: решение задач повышенной сложности (2-е издание, исправленное) [Ю. В. Лепёхин] (pdf) читать постранично, страница - 16

овые задачи. № 9.
Время распила и время колки дров обратно пропорциональ­
но количеству, поскольку 1\ : ь = 8 : 5. Время распила составляет
8
_
. 8 40
— всего дня и за это время оудет распилено 5-— = — (поле13 13
13
нец) = 3 — поленец.
13
ГА

- 1

О т в е т : 3 — поленец.
13
(ПО) Текстовые задачи. № 10.
£ ______ 1
1’
п -1 +1— +
—
t„
п
1 1
1
—+ — + ... + —
/, U
/..
ОТЕ

П
1 1

1

---- 1-------h ... Н----^I
^/1

119

( Il l ) Текстовые задачи. № 11.
Плот

Катер

х/км

(4.v - л')/км

А

С

В

Катер
(4д- - д-)/км
1-й способ.
Пусть х км/ч - скорость течения реки и АВ = а км;
4г км/ч - скорость катера в стоячей воде; 5х км/ч - скорость
катера по течению реки;
3.Vкм/ч —скорость катера против течения реки;
allV+ 3.y) = а/(4х) - время до встречи в С.
АС = а/(4х) ■х = а/4(км); За/4 (км) = ВС;
0,75а/(5л-) = За/(20х) (ч) - время катера на путь ВС;
За/(20х) (км) —путь, пройденный плотом за это время;
а/4 + За/20 = 8а/20 = 2а/5 (км) — весь путь, пройденный
плотом;
2а/5/а = 2/5 —часть пути А В, которую прошел плот.
2- й способ.
На отрезке АВ плот движется в 3 раза медленнее катера
и до встречи пройдет путь втрое меньший: АС = а/4 км, ВС =
—За/4 км. На отрезке ВС плот движется в 5 раз медленнее кате­
ра и до встречи пройдет путь в 5 раз меньший, чем катер,
то есть За/20км. Весь путь, пройденный плотом, равен а/4 + За/20 =
= 2а/5(км), что составляет 2/5 пути АВ.
О т в е т : 2/5 пути АВ.

(112) Текстовые задачи. № 12.
Сложим два шнура АВ и А|В] сонаправленно ( г. е. с одина­
ковой степенью сгорания в направлениях от А к В и от А, к ВО.
120

Ai

С

В

1) Поджигаем А и В|. Огоньки встречаются в точках С и С'|.
Время сгорания tB. Сд, = /Д(, = tAC^ = tCB. Поэтому остатки СВ
и С|А| догорят за то же время, значит, tM = /а

= / 1С = /(Т) =

= 30 с.
2) В момент встречи огоньков в точках С и С, поджигаем А,
и В. Теперь СВ и С]А; горят с двух концов и сгорают одновре­
менно вдвое быстрее, т. е. за 15 с. К моменту их общего полного
сгорания пройдет 30 с + 15 с = 45 с.
(113) Текстовые задачи. № 13.
В системе координат, связанной с течением реки, пловец
проплыл 10 мин в одном направлении и 10 мин обратно. Общее
время 20 мин. Для мяча время будет таким же. Получаем, VTC., =
= 1000 м : 20 = 50 м/мин.
О т в е т : 50 м/мнн.
(114) Текстовые задачи. № 14.
3
Если человек пробежит в направлении В моста, то к этому
8

моменту автомобиль попадет в точку А и до момента встречи
5
3
1
в В человеку остается пробежать — — — - — моста, а автомо­
биль должен будет проехать весь мост. Поэтому скорость, с ко­
торой бежит человек в 4 раза меньше скорости автомобиля.
60 км/ч : 4 = 1 5 км/ч.
О т в е т : 15 км/ч.

121

(115) Текстовые задачи. № 15.
До первой встречи они вместе проехали АВ, а до второй ЗАВ. Поэтому первый проехал до второй встречи 70 км ■3 =
= 210 км. Еще ему оставалось проехать 40 км. Всего 210 км +
+ 40 км = 250 км, и это 2АВ. 2АВ = 250 км, АВ = 125 км.
О т в е т : 125 км.
(116) Текс товые задачи. № 16.
у км/ч - скорость связного, Л’ км/ч - скорость колонны.
5
5
12 5-2у _ 12
-------------- 1---------------— ------- ,
“
— — ------- ,
у - X у + X х у - Л'~ л*
5ху = 6v” - б.т2, 6_у2 - 5ху - 6.Y2 = 0, — = t,
6 Г - 5 1 - 6 = 0,
Z> = 25+144 = 169. t = ^ ^ , / = - , L = - , y = I.5.V.
12 ’
3 ’ л- 3
Так как колонна прошла 12 км, а скорость связного в 1,5 раза
больше, го и проехал он в 1,5 раза больше 12-1,5 = 18 (км).
О т в е т : 18 км.
(117) Текстовые задачи. № 17.
,v км/ч, у км/ч, 2 км/ч - скорости 1, 2 и 3-го автомобилей. В на­
чале выхода 3-го расстояния .т км и у км, а через час cl\s - 2т - 2,
d r ] =

2 у

{

— г .

х = 3)

у = 4.1
4.Т-3у = \ 2 х - 12у,

122

1)

Значит, отношение скоростей будет - .
8
9

Ответ: - .
8
(118) Текстовые задачи. № 18.
V\ + V i= 140 км/ч.

5 = 1 4 0 км/ ч - 6 с = 1 ^ = 1 ^ = 1 ^ 1 = М _ 23з 1
3,6

0,6

3

3

"

3

(м).

О т в е т : 233—м.
3

(119) Текстовые задачи. № 19.
3 3 9
/. = - + - = - = 2,25 (ч).
1 4 2 4
4.V + 2т = 6 , 6.Y = 6 , .т = 1; 2т = 2 (ч). Ь = 2 ч.
2,25 - 2 = 0,25 (ч).

О т в е т : Гриша пришел в школу на ‘А часа раньше.
(120) Текстовые задачи. № 20.
Пусть .т - студентов, у - студенток, г - скамеек, к - студентов
на каждой скамейке,
z = к+ 1,
70 < z + /cz < 90,
70 < z(k + 1) < 90,
70 < (к + 1)2< 90,

(к+

1)2= 81Д + 1 = 9 Д = 8,

z = 9,

9 + 8 - 9 = 81.

О т в е т : 81 человек, 9 скамеек.
(121) Текстовые задачи. № 21.
1) Сколько процентов учащихся владеют только языком Бей­
сик?
8 5 % - 7 5 % = 10%.
123

2) Сколько процентов учащихся владеют только языком
Паскаль?
80 % - 75 % = 5 %.
3) Сколько процентов учащихся не владеют ни одним язы­
ком?
100 % - 10 % - 5 % - 75 % = 10 %.
О т в е т :

10%.

(122) Текстовые задачи. № 22.
Спирт

Вода

Было 0,7а спирта, 0,3а воды. (0,7а - 11) г - осталось спирта,
(0.3а - I) г - осталось воды, г г добавили.
0,96г т - добавили спирта,
0,04- г - добавили воды.
(0,7а - 1 1 + 0,96z) г - стало спирта, (0,3а - 1 + 0,004z) г - ста­
ло воды.
Зная, что концентрация спирта стала прежней, получаем:
0 , 7 а - 11 + 0,96z 7
0 ,3 а - 1+ 0,04z " 3 ’
0,21а - 33 + 2,88z = 0,21а - 7 + 0,28z,
2,6z = 33 - 7,
26z = 260, z = 10.
О т в е т : 10 г.

124

(123) Текстовые задачи. № 23.

Л- %

ху %

XV2 %

Пусть первый раствор содержит ,v % спирта, второй - лгу %,
а третий - х}’2 %. Если смешать