Математика. 9 класс: решение задач повышенной сложности (2-е издание, исправленное) [Ю. В. Лепёхин] (pdf) читать постранично, страница - 17

первый, второй и третий раство­
ры в весовом количестве 2:3:4, то получится: 2а л, За л, 4а л.
Всего 2а + За + 4а = 9а (л).
о/

т

2 а 'х

х % от 2а л : ------ л,
100

п/
,
За ■ху
ху % от За л : --------л,
100

2
.
4а •.V)'2
ху % от 4а л : ------1— л,
100

32 % от 9а л •

-3—л. По условию задачи получаем:
100

2а •.т За •.уу
100

+

100

4а •ху2 _ 9 а -32
100

100

2т + З.уу + 4ду 2=9 - 3 2 .
125

Если же смешать их в весовом соотношении 3:2:1 , го полу­
чится 3/> л, 2ft л, ft л.
3ft ■.г
х % от 3 ft л :
- л,

.

2ft •ли’

лт % от 2ft л : ------ —л,
100
XV2% от ft л :

- л,

100

3ft + 2ft + ft = 6ft (л).
22 % от 6ft л :

6ft -22

100
Получится раствор, содержащий 22 % спирта.
36-х
Т(Ю~

2Ь-ху
100

Ь-ху2 66-22
100 ~ 100 л

Зх + 2.VV+ .ту2=6- 22.
Составим и решим систему уравнений:

Jx(2 + 3 v + 4 v2) = 288,
|х(3 + 2у + у 2) = 132.
2 + Зу + 4у 2
3 + 2_у + у 2

24
11 '

(2 + Зу + 4у2) ■11 = (3 + 2у + у 2) • 24,
44т2+ ЗЗу + 22 - 2 4 / - 48у - 72 = 0,
20у2 - 15у -50 = 0,
4у2- Зу-10 = 0.
£> = 9 + 1 6 0 = 169
У],2

3 ± 13

-ю

~
8
8
Получили у = 2.
х(3 + 4 + 4) = 132,

126

11а = 132. .v —12.
О т в е т :

12% .

(124) Текстовые задачи. № 24.
Пусть всего только одни человек получил премию, а всего
работает .Vсотрудников.

100

100% , )о
2, 9а 0,

х —1
+ 0,7 0,
< 0;

17.Т-24

л— 2
3.V+ 4

л -2

.V-1> 0,

< 0;

17 > 0,

д—2
,с + 1л-- 2

133

- < 0.

Получили (-со; 1— ) и (2; +»).
+

+
■©--------------- З

■е-

получили

1

а­

-

( —1—; 2).

Найдем решение системы:

__ > v

1

7

Получили ( —1—; 1— ).

3

17

1

7

3

17

О т в е т ; ( —1—; 1— ).
(137) Неравенства. № 2.
Решим неравенство методом интервалов.
f(n) = (n2- 1)(л2- 11)(и2—101 )(и2 —1001).
f(n) = 0 при п = —-ч/ГооТ, п = —л/ТоТ, п = - VlT, п = -1, п = 1,
я = л/ГI, /7 =

л/ТоТ , 77= л/100 1 .
134

- vTooT-'/kh

-1

i

sju

ч/ioT -Леки

Получили ±2, ±3, ±11,+12,..., ±31. 2 3 -2 = 46.
О т в е т : 46.
(138) Неравенства. № 3.
Умножим обе части данного неравенства на -1 :
х~- 9
Решим неравенство методом интервалов:

1л-+ 2|—Ы

1) Обозначим f(x) = ----- г ------ ■
,г - 9
2) Найдем D(f). х~ ф 9,.y ф -3,.т ф 3 ,
D(j) = ( - » ; - 3 ) U (-3; 3) и (3; +оо).
3) Определим, где f(x) = 0.
|.v + 2| = |.v|

д- + 2 = л-

или

л + 2 = -т,

2= 0

2.\- = -2

ложно

X

—

,

—1.

4)

-3

. / ( 4 ) ^ Л > 0.
1 6 -9 7
5) Значит, ——J

-1

3

0 на (-= о ;-3) w [-1; 3).

'.V - 9

Сумма натуральных решений будет 1 +2 = 3.
От в е т : 3.
135

(139) Неравенства. № 4.

Получили (-5;-3)и(1;-ю о).

Получили (-о о ;-4 )и (—3; 1).
3) Так как оба условия должны выполняться одновременно,
то найдем значения п, при которых выполняются оба условия.

-

5

-

4

-

3

1

Получили значения N, при которых одновременно выполня­
ются оба условия -5 < к 0,
[(.V - 2 )(л - 3) > 0,
[л-2 - 5л < 6;
■V' - 5л- + 6 < 0;
1(л + I)(л - 6) < 0.
а)

Получили (^хз; 2) и (3 ; +оо);
б)

Получили (-1; 6).
Найдем решение системы.

- 1

2

3

6

Решение системы будет (-1; 2) и (3; 6).
О т в е т : (-1; 2) и (3 ; 6).
(141) Неравенства. № 6.
tA- t + - = /4 *-Г + - + Г - / + - = ( г - - ) : + П - - ) 2 > 0.
2
4
4
2
2
Равенство не достигается.
(142) Неравенства. JVs 7.
21995 _ 27-285_ (27)285= 128285> 125285= 53'285= 5855> 5854.
Значит, 2да5> 5854.
(143) Неравенства. № 8.
1-й способ. Пусть f(x) = ах1 + Ьх + с, тогда по условию имеем
Д1)._Д0) < 0, то есть на промежутке от 0 до 1 график функции
137

пересекает ось ОХ, то есть два корня у уравнения ах2 + ах + с = О,
а это значит, что D > О, Ь2 - 4ас > 0, 1г > 4ас и т. д.
2-й способ. По условию ас + Ьс + с2 < О,
4ас + 4Ьс + 4с2 < О,
Лас < -ЛЬс - 4с2(*).
Докажем, что -ЛЬс - Ас2 < 1г(**).
На самом деле -ЛЬс - Ас2 - Ь2 < 0.
4с2 + Ьс2 + > О,
(4с + Ь) > 0 очевидно.
Из (*) и (**) имеем, если 4ас < -ЛЬс - Ас1 и -ЛЬс - с2 < Ьг,
то 4ас < -ЛЬс - 4с2 и -ЛЬс - Ас2 < Ь2, то 4ас < Л2, значит, Ь2 > Лас
и т. д.

(144) Неравенства. № 9.
Применяем теорему о среднем арифметическом и среднем
геометрическом.
а4+ 64> 2стЬ~,
а4+ /;4+