Видатні наукові відкриття. Дитяча енциклопедія [Валентина Скляренко] (fb2) читать постранично, страница - 5

теорію ірраціональних чисел.

Нині здається дивним, що Євдокс не розвинув теорію чисел у більш простому напрямку. Адже він фактично відкрив числовий промінь. Чому він не відкрив числову пряму, ввівши нуль і від'ємні числа? Напевно, Євдокс потрапив у полон до вигаданого ним самим визначення: числа суть довжини відрізків. Що таке відрізок довжини (-2)? Чим він відрізняється від відрізка довжини 2? На таке питання у Євдокса не було відповіді. Інша річ, коли б від'ємні числа вже були б задіяні математиками Еллади. Наприклад, таке число може позначати борг купця – якщо позитивне число зображує його майно. Тоді майно жебрака доведеться зобразити нулем! Таке «купецьке» подання про числа склалося десь на Близькому Сході через п'ять-шість століть після відкриття Євдокса…

Праці Євдокса дали змогу встановити дедуктивну структуру математики на основі чітко сформульованих аксіом. Йому ж належить і перший крок у створенні математичного аналізу, оскільки саме він винайшов метод обчислення площ і об’ємів, що дістав назву «методу вичерпування». Цей метод полягає в побудові вписаних і описаних пласких фігур або просторових тіл, які заповнюють («вичерпують») площу або об’єм тієї фігури чи того тіла, що є предметом дослідження. Євдоксу ж належить і перша астрономічна теорія, яка пояснює рух планет. Запропонована Євдоксом теорія була суто математичною; вона показувала, яким чином комбінації обертових сфер з різними радіусами й вісями обертання можуть пояснити нерегулярні рухи Сонця, Місяця й планет.

Близько 300 року до нашої ери досвід багатьох грецьких математиків був зведений в одне ціле Евклідом, що написав математичний шедевр «Начала». З деяких інтуїтивно відібраних аксіом Евклід вивів близько 500 теорем, що охопили всі найважливіші результати класичного періоду. Свій твір Евклід почав з визначення таких термінів, як пряма, кут і коло. Потім він сформулював десять самоочевидних істин, таких як «ціле більше кожної із частин». І із цих десяти аксіом Евклід зміг вивести всі теореми. Для математиків текст евклідових «Начал» тривалий час був зразком чіткості. Знаменита книга «Начал» є першою й найкращою енциклопедією елементарної математики. Двадцять століть геометрію вивчали саме за цією книгою, перш ніж у неї з’явилися гідні суперниці – праці Гаусса і Лобачевського, Больяя й Ріманна. Та все одно геометрія, що її вивчають у школі, називається іменем видатного вченого – евклідовою.

Цікаво, що Евклід у своїй енциклопедії описав лише дві різні лінії – пряму та коло. Але в його епоху вже були відомі еліпс, парабола й гіпербола. Сам Евклід вивчав ці криві, навіть написав про них окрему книгу (яка не збереглася, але стала основою для подібної книги Аполлонія). Чому він жодим словом не згадав про нові криві в «Началах»? Мабуть, тому, що Евклід і його сучасники не знали про ці лінії всього, що їм хотілося знати. Наприклад, як обчислити площу, обмежену еліпсом або параболою? Як провести дотичну до еліпса або гіперболи в даній точці? Це зумів зробити тільки Архімед – через піввіку після Евкліда. Автор «Начал» цього не зумів – і вирішив за краще промовчати про складні криві, щоб не бентежити уми новачків-геометрів необгрунтованими міркуваннями. Напевно, Евклід мав рацію: так само роблять автори сучасних підручників.

Евклід

Інакше стояла справа з арифметикою: тут Евклід сам був першовідкривачем. Але прикро те, що в еллінів не було вдалої системи позначень навіть для натуральних чисел. Замість цифр греки користувалися буквами; позиційної системи для запису більших чисел вони не знали. Тому навіть звичайна (для нас) таблиця множення мала в Елладі вигляд досить грубого сувою. А працювати із числами, коли вони зображені буквами, дуже непросто! Цим займається особлива наука – алгебра; сучасники Евкліда про неї не підозрювали.

В арифметиці Евклід зробив три значних відкриття.

• По-перше, він сформулював (без доведення) теорему про ділення з залишком.

• По-друге, він створив «алгоритм Евкліда» – швидкий спосіб знаходження найбільшого загального дільника чисел або загальної міри відрізків (якщо вони порівнянні).

• По-третє, Евклід перший почав вивчати властивості простих чисел і довів, що їхня множина нескінченна.

Загальні властивості фігур, які багаторазово використовуються в міркуваннях і не виводяться зі складніших тверджень, Евклід назвав аксіомами. Наприклад: «Всі прямі кути рівні між собою». Крім аксіом, Евклід увів постулати – це твердження про властивості основних геометричних конструкцій. Наприклад: «Через дві точки проходить лише одна пряма», або «Через точку поза прямою на площині проходить лише одна пряма, що не перетинає цю пряму». Це останнє твердження про паралельність прямих на площині називають п’ятим постулатом Евкліда.

Одна з легенд розповідає, що цар Птолемей вирішив вивчити геометрію. Але з’ясувалося, що зробити це не так просто. Тоді він