Методы математической физики [Гарольд Джеффрис] (pdf) читать постранично, страница - 51

формулой
—

= a z X re*',

(1)

где (О и — константы, то показать, что траектория точки — логарифмическая
спираль.
Частица движ ется в плоскости под действием силы, пропорциональной ра­
диусу-вектору, и сопротивления трения, пропорционального скорости частицы.
О пределить уравнения движ ения частицы и, отыскивая решения в виде (1)
или каком-либо другом , показать, что скорость в любой момент времени есть
векторная сум м а скоростей д в ух частиц, описывающих логарифмическую
спираль в противоположны х направлениях с одинаковыми угловыми ско­
ростями.
(М /с, II, 1931.)
5. А, В, С —любые три точки на сф ере единичного радиуса с центром О.
Радиусы-векторы точек А, В, С относительно точки О соответственно равны
U , V, W . П окаж ите, что диаметр, перпендикулярный плоскости ABC, пересе­
кает сф ер у в точках, радиусы-векторы которых равны ± d, где
[и,

V, w ] d

sec 0 =

V

X

W

-Ь W X

U

-Ь U X

V

и 0 — угол м еж ду d и и.
Рассматривая векторное произведение и X d или каким-либо другим спо­
собом , доказать, что
[и,

V,

w ] t g 0 = ± 4 sin

у

sin -g s i n ^ ,

где а, Ь, с —стороны сферического треугольника ABC.
(P relim ., 1941.)
6. Д ок азать, что если А, В, С, D — четыре произвольных вектора, то
(А X В) • (С X В) = (А • С) (В • D) - (А • D) (В ■С),
(А X В) • (С X D) = [С, D, А] В - [В, С, D] А =
= [D, А, В] С - [ А , В, С] D,
где [А, В, С] обозначает смещ анное произведение А - ( В X С).
Выведите правило синуса и косинуса сферической тригонометрии.
(Р ге im ., 1940.)
7. Д в е частицы выпушены одноврем енно из начала координат со скоро­
стями Ч] и 02 соответственно и движ утся с постоянным ускорением а. Д о ­
казать, что если V] • V2 < О, то сущ ествует один и только один момент в по­
следую щ ем движ ении, когда радиусы-векторы этих частиц образую т прямой
угол с вершиной в начале координат.
П оказать, что в этот момент радиусы-векторы ri, Гг частиц удовлетво­
ряют уравнению
(Г1 • V2 -

Г2 • V , ) + ( а • Г2 -

а • г , ) ( а • V, - f а • V2) -Ь 2 v . • V j ( а • Уг - а ■ v , ) = 0.

(P relim ., 1940.)
8. Найти выражение для радиуса-вектора г в момент времени t частицы
с единичной массой, движ ущ ейся под действием постоянной силы {n^ + k^)b
и силы притяжения, равной {п^ + k^) г и действую щ ей в направлении начала
координат ( п ф О ) . Сила сопротивления равна 2kv. В момент i = 0 частица
имела скорость v и была в точке г = а.
Выведите, что смеш анные произведения векторов г, v, а — Ь и а, Ь, v
равны м еж ду собой.
(P relim ., 1941.)

9. Частица, зар яд которой равен е, а масса т, движ ется под действием
однородного электрического поля, напряж енность которого (О, Е, 0), и. о д н о ­
родного магнитного поля, напряж енность которого (О, О, Н) в гауссовы х еди ­
ницах.
Д ок азать, что это движ ени е мож но рассматривать как суперпозицию
равномерного движ ения со скоростью ( Ес Щ, О, 0) и равномерного движ ения
по винтовой линии с угловой скоростью — e H l m c относительно оси. Измеь?ением массы со скоростью мож но пренебречь.
Докаоать., что' если начало движ ения частицы совпадает с началом коор­
динат, то, какая бы ни была ее начальная скорость, она пересекает каж дую
прямую
л: = 2 пп т с ^ Е ! е Н\ г/ = О, где « = 1, 2, 3 . . . . (М. Т., 1943.)
10. Н а частицу массы га, радиус-вегтор которой г, действую т централь­
ная сила цг и сила е (Н X г)/с, где Н —од н ор одн ое магнитное поле. П ока­
зать, что если г и г первоначально перпендикулярны Н, то частица будет
описывать плвскую кривую.
П оказать, что частица м ож ет описывать окруж ность около начала, коор­
динат под действием этих сил с л