Об одном способе регуляризации для непрерывного выпуклого функционала [Борис Михайлович Будак] (pdf) читать постранично, страница - 2

последовательность элементов:
a

а

и

п

=

п —

— и,
для

нее

а

п

J(и )
п

е (а — бо, а ) ,
^> f(a )
n

>

/ ( а )

а
+

а

п

е

0

=

при п->- + о о ;
/ ( и )

+

е.
0

(**)

1048

Б. М. Будак

и др.

С другой стороны, и -+ и. Неравенство (**) противоречит непрерывно­
сти функционала J(u).
2. Предположим, что / ( а ) имеет разрыв справа в точке а, 0 ^ а 0, ео > 0, что для любого а
из интервала ( а , а + бо) справедливо
п

/ ( а ) — / ( а ) > во.
Рассмотрим последовательность { а } , а е (а, а + бо), а ^ а
при
т г - > + о о . Пусть / ( и ) достигает минимального значения на С а в точке и .
Выделим из последовательности {и } слабо сходящуюся подпоследова­
тельность {и },
Un -+и слабо. Заметим, что щ е Z7 , так как, во-пер­
вых,
в силу
слабой
полунепрерывности
снизу
нормы
имеем
||»о11 ^
lira | | u | | , во-вторых, UQ^U
В силу слабой замкнутости U и
п

п

п

п

п

п

k

Пк

0

c;

n f t

/с—>+оо

включения { u } a U. С другой стороны, в силу слабой полунепрерывно­
сти снизу для J(u) получаем
nfe

J(u>o) ^

где ио е

а/(a) =

Ига J{u )

^/(a) —е ,

nk

0

inf / ( и ) .

Полученное противоречие завершает доказательстао непрерывности
функции /(a)- на отрезке [0, R]. Лемма 2 доказана.
Обозначим
через
и*^
элемент,
удовлетворяющий
условиям:
1) иШт^и\

2) ||z4inll =

inf ||u||.

Такой элемент существует и един­

и ц е *

ствен в силу того, что множество U* замкнуто выпукло, ограничено и
непусто.
В силу непрерывности и монотонности / ( а ) на [0, R] существует та­
кая точка а*, 0 ^ а* < R, что при всех а, 0 ^ а < а* (если таковые
существуют), / ( а ) > / ( а * ) = /* и при всех а, а* ^ а ^ Л, / ( а ) =
= /(а*) = / * , /* = inf / ( а ) . График / ( а ) представлен на фит. 1.
[0,Н]

Л е м м а 3. На множестве U при 0 ^ a ^ а* функционал
стигает минимума inf J (и) = / ( а ) в единственной точке и * ^U ,
a

а

и * принадлежит
шара Д7(0, а ) .
а

той части границы

U , которая

a

лежит на

a

J(u) до­
причем

поверхности

Доказательство.
Очевидно, ||u* || = а*, где u ^ — наимень­
ший по норме элемент из U* ^ U. На множестве U * функционал J(u)
достигает наименьшего значения
/* = inf J(u) = inf J(u)
min

i n

a

в единственной точке u ^ , причем лежащей на границе U * и границе
шара Д7[0, а*]. Пусть теперь 0 ^ а < а*. Предположим, что J(u) дости­
гает минимума на U в точке u *, лежащей внутри Ш[0, а]. Соеди­
i n

a

ним

ТОЧКУ Ua* E f /

a

9

a

a

U*
a

ПрЯМОЛИНОЙНЫМ ОТреЗКОМ

С U*

mln



,

%

kl

— а

0 >

k

l

—

а

-t

0

^

-

.

После этого первый шаг считается законченным.
В т о р о й ш а г . Рассмотрим серию множеств {U },
к = 1, 2, 3, . . ...
полученных в результате пересечения исходного множества U и сериш
концентрических шаров ZZZ[0, щ,
к = 1, 2, . . . , где
auk

ai,fe = aiH

R — ai

_
._
к=1,2,

——,

Последовательно для к = 1, 2, 3 , . . . решается экстремальная задача
одновременно на двух множествах U ^ и U со все возрастающей точ­
ностью S(fe fe). Это продолжается до тех пор, пока при некотором к полу­
чим, что найденное с точностью Ъ(к +к ) минимальное значение функциона­
ла J(u) на множестве U
более чем на -щ^ы превышает найденное с
той же точностью Щк +к ) минимальное значение функционала J (и) на ис­
ходном множестве U. Полученное соотношение позволяет заключить, что
все элементы, минимизирующие J(u) на U, лежат вне множества
В качестве второго приближения берем
a

1+

2

х

ai

1

2

к

2

л_
и

Щ = щ »
1+к2

«1, v

a

2 -

- u*
(сильно в метри­
п

п

п

п

ке Н)

при

min

п-+

-f-oo.

Д о к а з а т е л ь с т в о . 1. По­
следовательность { а } возрастает и
Фиг. 2. р(0, £/*) = а* > а , п = 4, 2, 3, ... ограничена а ^ -а*, следователь­
но, а
ot ^ а*. Покажем, что
а = а*. Предположим противное:
а < а*. Возьмем произвольную точку ао G (а, а*). Положим ео =
— /(-схо) — / ( а * ) , о > 0. Определим fti из условия
sn, < у . Опреп

п

п

п

8

2 8 о

делим лг из условия «о — а > а — а . Положим тг = max(^i, тг )..
Заметим, что в силу монотонности последовательности {а } справед­
ливо cto — а > а — а . Рассмотрим (п + 1)-й шаг. На этом шаге имеем
2

П2

3

2

п

Пз

ъ

^
= ctn - Ь —
3

,

<

е п,

V 8o,
2

ft

= 1 , 2,

i=i ^
а

Возможны два случая: а) (гсз + 1)-й шаг выполняется при а( +п ^ о ;
б) (п$ + 1)-й шаг выполняется при щ +\) < cto. В случае а) получаем
противоречие с условием а < а, п = 1, 2 , . . . . В случае б) заметим, что
(яз + 1)-й шаг выполняется при а + 1 ^ ( & , ао). Действительно, как только
точка а £ впервые попадает на интервал ( а , «о), она обязательно попа­
дает также на интервал (а, ао) в силу того, что
Пз

Пъ

п

П з

Пз

Пз

, - -Я — а
an ,fc = а-п'з Н
тг —,

_ ^ _
а —а > а — а .

П8

3

ь

0

Пз

С другой стороны,