Об одном способе регуляризации для непрерывного выпуклого функционала [Борис Михайлович Будак] (pdf) читать постранично

Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал

Б. М. Будак, А. Виньоли, Ю. Л. Гапоненко, Об одном способе регуляризации для непрерывного выпуклого функционала, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, том 9,
номер 5, 1046–1056

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 195.114.145.110
21 января 2023 г., 09:38:46

ЖУРНАЛ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ и МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Том 9

Сентябрь 1969 Октябрь

№

5

УДК 518:519.3
ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА
Б.

М.

БУДАК,

А.

ВИШЬОЛИ,

10.

( Москва

Л.

ГАПОНЕНЕО

)

§ 1. Постановка задачи. Идея метода
Пусть J(u) — непрерывный выпуклый функционал, заданный на не­
котором ограниченном, замкнутом выпуклом множестве U Н, Н —
гильбертово пространство; J(u)
достигает минимального значения
«Г = inf J(u) на множестве U* ^ U элементов u е U, причем U* замк­
нуто, выпукло, ограничено и не пусто. В общем случае U* может состо­
ять более чем из одного элемента. В связи с этим минимизирующая J(u)
на U последовательность {и } может, вообще говоря, не сходиться сильно
в норме Н.
Такие экстремальные задачи, в которых минимизирующие последова­
тельности могут быть не сходящимися сильно, А. Н. Тихонов назвал не­
корректными. Для выделения сильно сходящейся минимизирующей по­
следовательности в таких задачах А. Н. Тихонов предложил метод
регуляризации с помощью последовательности регулярк зирующих функ­
ционалов
Ниже предлагается регуляризация такого рода задач с
помощью последовательности множеств, в каждом из которых миними­
зирующая последовательность сходится сильно, причем на каждом из этих
множеств функционал J(u) достигает наименьшего значения в единст­
венной граничной точке и последовательность этих точек сильно сходит­
ся к некоторой вполне определенной точке множества U*.
п

§ 2. Основные определения и леммы
Л е м м а 1. Если непрерывный
выпуклый
функционал
J(u) достигает
наименьшего
значения в замкнутом выпуклом
ограниченном
множестве
Uа в единственной точке и *, причем эта точка лежит на границе U и
1|и *|| = sup
= а, то произвольная
минимизирующая
J(u) на U по­
а

a

а

a

U&JOL

следовательность

{и }
п

сходится сильно к и *.
а

Д о к а з а т е л ь с т в о . Последовательность {и }
п

II

Вп

п =

ограничена по норме

1, 2 , . . . .

Поэтому из нее можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность

Об одном способе

1047

регуляризации

{и .
{и }. Обозначим слабый предел {и } через й.В силу слабой
замкнутости замкнутого выпуклого ограниченного множества U в гиль­
бертовом пространстве, й е £/ . Непрерывный выпуклый функционал
J (и) является слабо полунепрерывным снизу. Поэтому
щ

п

П]

a

а

J(u)^.

lim J(u )=

lim J(u )

nk

—

n

J(u *).
a

В силу единственности точки минимума J(u) в 27 получаем
й=.и *.
Итак, и -+и *
слабо при Л - ^ + о о . В силу слабой полунепрерывности
снизу нормы элемента в Я и условий ||и *|| = а, \\и \\ ^ а имеем
а

пк

а

а

а

а='||и *Ц <
а

п

lim | | u J | <

lim \\un \\ <

n

k

а,

откуда следует, что \\и \\
||и *11 при / с - ^ + о о . Но из слабой сходимо­
сти и к и * и сходимости нормы | | » n j | к ||и *Н вытекает сильная схо­
димость u
к в *. Тот факт, что вся последовательность {u } сходится
к и *, легко доказывается от противного. Лемма 1 доказана.
Обозначим через Я7[0, а] множество элементов и ё Я, удовлетворяю­
щих условию || и || ^ а, т. е. шар с центром в нуле и радиусом а в гиль­
бертовом пространстве Н.
Не нарушая общности рассмотрений, можно считать, что и = О со­
держится в множестве U, на котором задан рассматриваемый функцио­
нал J(u), u^U.
Этого всегда можно добиться «параллельным перено­
сом». Пусть sup ||u|| < й < - f o o . Тогда U лежит строго внутри шара
Пк

пк

а

а

а

n ? f

а

n

а

ШЕЕ

£7

ZZ7[О, Щ. Обозначим через U выпуклое множество U = U Г) Ш[0
при любом а, 0 ^ а ^ R. Положим
a

/(а) =

a

inf /'(и),

Т

а]

0 < а < R.

Л е м м а 2. Функция / ( а ) есть непрерывная
монотонно
(не возрастающая) функция а на сегменте О ^ а ^ R.

убывающая

Д о к а з а т е л ь с т в о . Монотонное убывание (не возрастание) / ( а ) на
этом сегменте очевидно. Докажем, что / ( а ) непрерывна слева при 0 <
< а ^ й и справа при 0 ^ а < R.
1. Предположим, что / ( а ) имеет разрыв слева в точке а, 0 < & ^ R.
Это означает, что существуют такие 6о > 0, 8 о > 0, что для любого а
из интервала (а — бо, а ) справедливо
/ ( а ) - / ( а ) > ео.

(*)

Пусть J(u) достигает своего минимума на U в точке и. Возможны два
случая: 1) ||й|| = а — Да, Да > 0; 2) ||й|| = а. В первом случае в силу
невозрастания / ( а ) получаем противоречие с соотношением (*). Во вто­
ром случае построим