Математика для начальной школы в таблицах и схемах [Сергей Юрьевич Курганов] (pdf) читать онлайн

начальной школы

Серия
«Здравствуй, школа!»

С. Ю . КУРГАНОВ

МАТЕМАТИКА
ДЛЯ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ

Издание второе

Ростов-на-Дону
Феникс
2012

УДК
ВЕК
КТК
К

373.167.1:51
22.1я721
444
93

Курганов С. Ю.
К 93

Математика для начальной школы в таблицах и схемах : правила и
формулы, определения и примеры, задачи с решениями / С.Ю. Курганов.
— Изд. 2-е. — Ростов н /Д : Феникс, 2012. — 64 с. — (Здравствуй, школа!)
ISBN 978-5-222-19040-1
П особие с о д е р ж и т ш ко л ь н ы й м а т е р и а л д л я н ач ал ь н о й ш к о л ы по м а т е м а т и к е в т а б ­
л и ц а х и схем ах. Т а к а я ф о р м а п о м о ж ет н е то л ько н ай т и н у ж н о е п р ав и л о и л и о п р е д е л е ­
н и е, з а к р е п и т ь п р о й д е н н ы й м а т е р и а л , но и н а у ч и т ь с я а н а л и з и р о в а т ь и н ф о р м а ц и ю ,
п р и м е н я ть е е на п р ак ти к е. У ч еб н ы й м а т е р и а л п р и го д и тся п р и и зу ч е н и и с л о ж н ы х тем ,
т а к к а к зд е с ь п о сл е д о в а те л ьн о и подробно о б ъ я с н я ю т с я осн овн ы е п о н я ти я и ф о р м у л ы .
Ш кольн и к см ож ет сам о сто ятел ьн о вы уч и ть п роп ущ ен н ы е тем ы и п овтори ть
п рограм м н ы й м а т е р и а л к у р с а н ач ал ь н о й ш колы . П особие п р е д н а зн а ч е н о д л я у ч ен и ко в
н а ч а л ь н ы х к л ассо в, у ч и т е л е й , р о д и т ел е й .

УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я721

ISBN 978-5-222-19040-1

© Курганов С. Ю., 2011
© О формление: ООО «Феникс», 2011
© Ш апиро М. В., 2011

С ерия «Здр ав ств уй , школа!»
КУРГАНОВ Сергей Юрьевич
М АТЕМ АТИКА ДЛЯ Н АЧАЛЬН ОЙ Ш КОЛЫ В Т А Б Л И Ц А Х И СХЕМАХ:
П Р А В И Л А И ФОРМ УЛЫ , О П РЕДЕЛЕН И Я И П РИ М ЕРЫ ,
ЗА Д А Ч И С РЕШ ЕН И ЯМ И
Ответственный редактор
Редактор
Корректор
Компью терная верстка

Морозова О.В.
Лобанова Е.А.
Ефимова И.В.
Каширина О.Ю.

П одп и сан о в п е ч а т ь 2 5 .1 1 .2 0 1 0 г.
Ф о р м а т 8 4 x 1 0 8 V ie - Б у м а г а о ф сетн ая . Г а р н и т у р а School.

Тираж 7 000 экз. Заказ 2487.
Отпечатано в ОАО «Чеховский полиграфический комбинат»
142300, Чехов Московской области.
E-mail: marketing@chpk.ru Сайт www.chpk.ru
Телефон 8(495) 988-63-87 Ф акс 8(496) 726-54-10

л

г
ДОРОГОЙ ДРУГ!
Математика — это очень интересный предмет.
Чтобы его изучить, тебе придется много работать,
быть очень внимательным и сосредоточенным. Каж­
дая новая школьная тема — это очередная ступенька
к знаниям, поэтому ни одной из них нельзя пропу­
скать. То, что ты выучишь сейчас, будет необходимо
тебе всю жизнь.
Авторы пособия предлагают школьный материал
в таблицах и схемах. Такая форма поможет не толь­
ко быстро найти нужное правило или определение,
закрепить пройденный материал, но и научиться
анализировать информацию, применять ее на прак­
тике.
Пособие пригодится тебе при изучении сложных
тем, ведь в нем последовательно и подробно объяс­
няются основные понятия и формулы. Учебный ма­
териал даст возможность самостоятельно выучить
пропущенные темы и заполнить пробелы в знаниях.
С помощью этой книги ты быстро повторишь весь
программный материал курса начальной школы.
Желаем успехов в учебе!

V

Г

л

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И НУЛЬ

Натуральные числа — это числа, которые применяются
при счете предметов.
Отсутствие предмета обозначают числом 0 (нуль).
Число 0 не является натуральным числом.

0

1

2

3

Натуральные числа и нуль удобно изображать при по­
мощи числового луча:

Наименьшим натуральным числом является число 1.
Наибольшего натурального числа не существует.
Натуральный ряд чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... является бесконечным.
V_____________________________________________________________
*

)

л

Г

ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

v

В десятичной системе счисления каждое натуральное
число может быть записано с помощью десяти цифр:
О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При счете в десятичной си­
стеме счисления пользуются единицами, десятками еди­
ниц, десятками десятков единиц — сотнями.

Цифры в натуральном числе расположены поразрядно:
_

11 И

LJ I

-

t

Л

Г-

з

9 с.пг

111

L JL ,
ЫГ*

* 8 д. ■
1 1_L_ _

щес

р

238

t "X

,сотни десятки единицы^

---------- ~ ~ v -----------Разряды

V.

г

РАЗРЯДЫ И КЛАССЫ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА
При счете большого количества предметов в десятичной
системе счисления считают:
десятками сотен — тысячами;
десятками и сотнями тысяч;
десятками сотен тысяч — миллионами;
десятками и сотнями миллионов и т. д.

Важно, что каждая новая единица счета больше преды­
дущей ровно в 10 раз. Поэтому мы и называем эту си­
стему счисления десятичной.
Каждые 3 разряда натурального числа группируются
в класс:

6

л

г

СРАВНЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
При сравнении двух натуральных чисел меньшим явля­
ется то, которое при счете представлено раньше:
... 25, 26, 27), 28, 29, 30, 31), ...
27 < 31 (27 меньше, чем 31)
При сравнении двух натуральных чисел больше то, ко­
торое при счете представлено позже:
31 > 27 (31 больше, чем 27)

Из двух натуральных чисел больше то, которое на чис­
ловом луче расположено правее, а меньше то, которое
на числовом луче расположено левее.

Любое натуральное число больше, чем нуль:

V.

а — любое натуральное число

а)

л

СРАВНЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Из двух чисел с разным количеством разрядов большим
является то число, у которого больше разрядов:

1 сот.

9 дес.

сот. дес. ед.
1
2
0

102 > 99

сот. дес. ед.
9
9

Из двух чисел с одинаковым количеством разрядов боль­
шим является то число, у которого больше цифра стар­
шего разряда:
U L L I - .U

ц

п

\

гтттп

- -

3

I

ед.

7

1— .. U
—
1

1

6 дес
1 1 1

i дес
1 1 |

дес. ед.
6
3

63 > 59

дес. ед.
9
5

9

эд. —

СЛОЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Сложение — это математическое действие:
а

3 -

1----- 1

2

а + Ъ= с

+

3

5

=

Числа, которые складываются, называются слагаемыми.
Результат сложения называется суммой.
сумма

сумма
а +

1-е
слагаемое

2

2-е
слагаемое

+

1-е
слагаемое

3

= Ь

2-е
слагаемое

Если одно из слагаемых равно 0, то сумма равна второ­
му слагаемому:
а + 0=а

0 + а =а

2

0

+

0

=

2

+

2

=

2

Если оба слагаемых равны 0, то сумма также равна 0:
0

+

0

9

=

0

г

Л

ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ. СКОБКИ
Переместительный закон сложения
От перемены мест слагаемых значение суммы не меняется:
а

b

3 + 5=5 + 3

В математических выражениях используют скобки. Сна­
чала выполняют действия в скобках, а потом — осталь­
ные действия:

©

©

3 + (5 + 1) = 3 + 6 = 9
6

Сочетательный закон сложения
Для того, чтобы к сумме двух чисел прибавить третье
число, можно к первому числу прибавить сумму второго
и третьего чисел:
а

(а + Ъ) + с = а + (Ь + с)

©

©

Ъ

а

©

с

Ъ
с
~ ^ сШ№уг7777717ТЩ

©

(3 + 5 ) + 1 = 3 + (5 + 1 )

УСТНОЕ СЛОЖЕНИЕ
(БЕЗ ПЕРЕХОДА ЧЕРЕЗ ДЕСЯТОК)
Выполнять сложение следует по разрядам, то есть
к единицам прибавлять единицы, к десяткам — десят­
ки, к сотням — сотни и т . д. Результаты следует сло­
жить.
Сложение однозначного и двузначного чисел без пере­
хода через десяток:
52 + 7 = (50 + 2 ) + 7 = 50 + (2 + 7) = 50 + 9 - 59
9
Сложение двузначных чисел без перехода через десяток:
52 + 27 = (50 + 20 ) + (2 + 7) = 79
70
9

УСТНОЕ СЛОЖЕНИЕ
(С ПЕРЕХОДОМ ЧЕРЕЗ ДЕСЯТОК)
Сложение однозначного и двузначного чисел с перехо­
дом через десяток:
52 + 9 = (50 + 2 ) + 9 = 50 + (2 + 9 ) = 50 + 11 = 61
Сложение двузначных чисел с переходом через десяток:
54 + 27 - (50 + 4 ) + (20 + 7 ) =
= (50 + 20 ) + (4 + 7 ) = 70 + 11 = 81

г

4 + 1 = 5

5 + 1 = 6

2 + 2 = 4

3 + 2 = 5

4 + 2 = 6

5 + 2 = 7

2 + 3 = 5

3 +

4 + 3 = 7

5 + 3 = 8

2 + 4

6

3 + 4 = 7

4 + 4 = 8

5 + 4 = 9

2 + 5 = 7

3 + 5 = 8

4 + 5 = 9

5 + 5 = 10

2 + 6

3 + 6 = 9

4 + 6 = 10

5 + 6 = 11

2 + 7 = 9

3 + 7 = 10

4 + 7 = 11

5 + 7 = 12

2 + 8

=

10

3

+

8

=

11

4

+

8

=

12

5

+

8

=

13

2

=

11

3

+

9

=

12

4

+

9

=

13

5

+

9

=

14

12

3

+

10

4

+

10

14

5

+

h -i

О

6
1 7
6
2 8
3 9
6
6
4
10
6 + 5 = 11
12
6 + 6
6 + 7 = 13
6 + 8 = 14
6 + 9 = 15
6 + 10 = 16

7
7
7
7
7
7
7
7
7
7

8
1 = 9
8
2 10
8
3 11
8
4 12
8 + 5 = 13
8 + 6 = 14
8 + 7 = 15
8 + 8 = 16
8 + 9 = 17
8 + 10 = 18

9
9
9
9
9
9
9
9
9
9

+

9

ZZ

2 + 10
+

8

—

~

+

=

+

=

+

=

=

:=

+

+

+

+

+

+
+
+
+
+

и

3 + 1 = 4

с о

2 + 1 = 3

05

ТАБЛИЦА СЛОЖЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
В ПРЕДЕЛАХ 20

=

13

1=8
2 = 9
3
10
4
11
5 = 12
6 = 13
7 = 14
8 = 15
9 = 16
10 = 17

+

+

+

=

+

=

чу
12

=

=

=

=

+

+

+

+

+
+
+
+
+
+

=

15

1 10
2 11
3 12
4 = 13
5 = 14
6 = 15
7 = 16
8 = 17
9 = 18
10 :
= 19
=

=

=

г

ТАБЛИЦА СЛОЖЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
В ПРЕДЕЛАХ 20
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

г

л

ПИСЬМЕННОЕ СЛОЖЕНИЕ

1. С лагаем ы е зап и сы ваем в столбик:
единицы под единицами, десятки
под д есяткам и и т. д.

дес. ед.
+

5

2

2

9

_1_5 2
29

D

2. Слож ение начинаем с единиц.
2 + 9 = 11
11 = 1 дес. + 1 ед.
1 единицу зап и сы ваем под едини­
цам и, а 1 десяток запом ин аем .

_1_5 2
29

1

3. П ри бавляем десятки .
К 5 д есятк ам при бавляем 2 д есятка:
5 дес. + 2 дес. = 7 дес.,
прибавляем ещ е 1 десяток, который запомнили.
П олучаем : 7 дес. + 1 дес. = 8 дес.
П олучаем число 81.

э

_1_5 2
29
81

Т аки м ж е образом вы полняем слож ение тр ех зн ач н ы х
чисел:

О

О©

аэ

2 5 2
3 2 9
5 8 1

+ 2 9 2
3 2 9
6 2 1

+ 6 8 7
8 4 5
15 3 2

GO

г

"Л

ВЫЧИТАНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Вычитание — это математическое действие, с помощью
которого по сумме и одному слагаемому находят второе
слагаемое.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы
вычесть известное слагаемое.

Из одного примера на сложение можно составить 2 при­
мера на вычитание.

уменьшаемое вычитаемое

уменьшаемое вычитаемое

Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.
Вычитаемое — это число, которое вычитают.
Вычитание можно проверить сложением и вычитанием:
8 -5 = 3
Проверка:
3+5=8

8-3=5

V________________________________________________________________________

J

^

КАК НАЙТИ РАЗНОСТЬ
ДВУХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ПРЕДЕЛАХ 10

о
I-

-►

6

2 =

-

6

л

-

4 2

-1

= 4

5
2 = 4 + 2-2 = 4
О

Круглые числа вычитают так:
70 - 40 = 7 дес. - 4 дес. = 3 дес. = 30

УСТНОЕ ВЫЧИТАНИЕ
(БЕЗ ПЕРЕХОДА ЧЕРЕЗ ДЕСЯТОК)
Выполнять вычитание следует по разрядам, то есть
от единиц отнимать единицы, от десятков — десятки,
от сотен — сотни и т. д. Результаты нужно сложить.
Вычитание однозначного числа из двузначного без пе­
рехода через десяток;
59 - 7 = (50 + 9) - 7 = 50 + (9 - 7) = 50 + 2 - 52
Вычитание двузначных чисел без перехода через десяток:
79 - 27 = (70 - 20) + (9 - 7) = 50 + 2 = 52
V________________________ _______________________________J

УСТНОЕ ВЫЧИТАНИЕ
(С ПЕРЕХОДОМ ЧЕРЕЗ ДЕСЯТОК)
Вычитание однозначного числа из круглого:
60 - 8 = (50 + 10 ) - 8 = 50 + (10 - 8 ) = 50 + 2 = 52
60 - 8 = 60 - (10 - 2 ) = 60 - 10 + 2 = 50 + 2 = 52

Вычитание однозначного числа из двузначного с пере­
ходом через десяток:
12 - 5 = 12 - (2 + 3 ) = (12 — 2 ) — 3 = 7
12 - 5 = (10 + 2 ) - 5 = (10 - 5 ) + 2 = 7
61 - 9 = 61 - (1 + 8 ) = (61 - 1 ) - 8 =
= 60 - 8 = (5 0 + 1 0 ) - 8 = 50 + (1 0 - 8 ) - 52

61 - 9 = (6 0 + 1 ) - 9 = ( 6 0 - 9 ) + 1 =
= 51 + 1 = 52

Вычитание двузначных чисел
с переходом через десяток:

81 - 29 = 81 - (20 + 9 ) = (81 - 20 ) - 9 = 61 - 9 - 52

V_________________________________________________________ J

г
к.

Л

РИМСКАЯ НУМЕРАЦИЯ
Римляне записывали числа один — I, два — II, три —
при помощи палочек.
Пять — это рука. Для того, чтобы не рисовать руку,
используют значок —
Как записать четыре? Это пять без одного — IV (если
палочку (единицу) пишут слева от пятерки, ее следует
вычитать).
Шесть — это VI, семь — VII, восемь — VII (если па­
лочки (единицы) пишут справа от пятерки, их следует
прибавлять).
Десять — это две пятерки (одна обычная, а вторая —
перевернутая) —
Девять — это десять без одного
Аналогично записывают другие числа.
Например: двенадцать —
восемнадцать — XVIII.

VII, шестнадцать —

XVI,

Для записи числа пятьдесят в римской нумерации
используют букву L, числа сто — С.
V_______________________________________________________________________________________________ )

г

щ

А

ПИСЬМЕННОЕ ВЫЧИТАНИЕ

1. Записываем в столбик умень­
шаемое и вычитаемое:
дес. ед.
1
2
5
00

_ 81 (уменьшаемое)
52 (вычитаемое)

81
52

Единицы должны находиться
под единицами, десятки под
десятками и т. д.
2. Вычитание начинаем с единиц.
Из 1 ед. нельзя вычесть 2 ед.,
поэтому берем 1 дес.
из 8 дес. 1 дес. и 1 ед. —
это 11. 11 - 2 = 9
Записываем 9 на месте единиц.

81
52
9

3. У нас остается не 8, а только
7 десятков.
7 дес. - 5 дес. = 2 дес.
Записываем 2 на месте десятков.
Получаем число 29.

Таким же образом выполняется вычитание
трехзначных чисел:
(Ч ©

_2 8 1
15 2
12 9
V

_2 8 1
19 2
8 9
J

г

СВОЙСТВА ВЫЧИТАНИЯ

у

Вычитание числа из суммы

(а + Ь) - с = (а - с) + Ъ,
если а > с или а - с
(а + Ь) - с = {Ь - с) + а,
если Ъ > с или Ь = с
При вычитании числа из суммы можно вычесть это чис­
ло из одного слагаемого и к результату прибавить вто­
рое слагаемое.
(15 + 3 ) - 5
15 > 5 , 3 < 5
(15 + 3 ) - 5 = (15 - 5 ) + 3 = 10 + 3 = 13
(3 + 6 ) - 5
3 < 5, 6 > 5
(3 + 6 ) - 5 = ( 6 ~ 5 ) + 3 = 1 + 3 = 4
Вычитание суммы из числа

а - (Ъ + с) = (а - Ь) - с
или
а - (Ь + с) = (а - с) - b

1
J

При вычитании суммы из числа можно вычесть из это­
го числа одно слагаемое, а из результата вычесть второе
слагаемое.
33 - (12 + 4 ) = (33 - 12 ) - 4 = 21 - 4 = 17
58 - (15 + 28 ) = (58 - 28 ) - 15 = 30 - 15 = 15

УМНОЖЕНИЕ КАК МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ
Умножение — это сложение одинаковых слагаемых.
а • Ъ = а + а + ... + а + а
Ъ раз

5

/

•

4

\

=

5

+

5

+

5+5

какое
сколько
слагаемое раз взяли
Умножение — одно из математических действий. Каж­
дой паре натуральных чисел — множителей а и Ъ — со­
ответствует определенное натуральное число — их про­
изведение:
произведение

1-й множитель

2-й множитель
произведение

6

•

1-й множитель

8:

-

48

2-й множитель

г

ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ

л

Переместительный закон умножения
От перемены мест множителей значение произведения
не меняется.

Сочетательный закон умножения
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье
число, достаточно первое число умножить на произве­
дение второго и третьего чисел.
(а • Ъ) • с = а • {Ъ • с)

(9 • 2) • 5 = 9 • (2 • 5)

Распределительный закон умножения
относительно сложения
Произведение суммы на данное число равняется сумме
произведений каждого слагаемого на это число.
(а + Ь ) * с = а * с + Ь * с

(3 + 2 ) - 5 = 3 - 5 + 2 - 5
V.

J

Распределительный закон умножения
относительно вычитания

Чтобы умножить разность на число, достаточно умножить
на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а потом
из первого произведения вычесть второе произведение.
(а - Ъ) • с = а • с - Ь • с
(6 -

2)

•

5

=

6

•

5-2

•

5

Если применить переместительный и распределительный
законы вместе, получим:
с • (а + Ь) = (а + Ь) • с = а • с + Ъ • с
с • (а - Ь) = (а - Ь) • с - а • с - Ь • с

V

Ч А СТН Ы Е СЛ УЧ А И УМ Н О Ж ЕН И Я
__

а • 1 = а\

^

1 • а = а

а • 0 = 0

0 • а = 0 + 0 + ... + 0 = 0
а раз
0

•

0^=0

V_________________________________________________________
23

J

ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ УМНОЖЕНИЯ

Правила умножения натуральных чисел
на 10, 100, 1000 и т. д.

Чтобы умножить число на 10, достаточно к этому числу
справа приписать нуль.
5 • 10 = 50

Аналогично умножаем на 100:
2

•

100

=

100

•

2

=

200

Вывод: при умножении числа на 10, 100, 1000 и т. д.
нужно приписать к числу справа столько нулей, сколь­
ко их имеет число 10, 100, 1000 и т. д.

15 • 10 = 150

15 • 100 = 1500

15 • 1000 - 15000

ПИСЬМЕННОЕ УМНОЖЕНИЕ
Умножение на однозначное число
1. Однозначное число записываем под
единицами первого множителя.
Сначала выполняем умножение на число
единиц, потом десятков и т. д.

2. 4 ед. умножаем на 5, получаем 20 ед.
это 2 дес. и 0 ед.; 0 ед. записываем
под единицами, 2 дес. запоминаем.

3. 3 дес. умножаем на 5, получаем 15 дес.,
и еще 2 дес., которые запомнили. Получаем
17 десятков. Это 1 сотня и 7 десятков.
7 дес. записываем под десятками, 1 сот.
запоминаем.

4. 1 сот. умножаем на 5, получаем 5 сот.,
и еще 1 сот., которую запомнили.
Получаем 6 сотен.
6 сот. записываем под сотнями.
Произведение равно 670.

134
5

х 134
5
0

12
х
——

0©
х

134
5
670

^/

Л

Умножение двузначных чисел

1. Записываем числа одно под другим.
Сначала умножаем на единицы, а потом
на десятки. Число 34 сначала следует
умнож ить на 5 ед., а потом на 2 дес.
2. Умножаем число 34 на 5 ед., результат
начинаем записывать под единицами.
4 • 5 = 20 — это 2 дес. и 0 ед.
0 ед. записываем под единицами, а 2 дес.
запоминаем.

X 34
25

©
х 34
25
0

3. 3 дес. умножаем на 5 ед. Это 15 дес.,
и еще 2 дес., которые запомнили.
Получаем 17 десятков. 170 — это 1-е
неполное произведение.

х 34
25
170

4. Умножаем 34 на 2 дес., в произведении
получаем десятки, поэтому результат
начинаем записывать под десятками.
68 дес. — 2-е неполное произведение.

х 34
25
170
68

5. Прибавляем неполные произведения
и получаем результат — число 850.
х 34

1-е неполное
170
произведение
5 8 — 2-е неполное
850
произведение
25

V,

конечный результат
V

у

28

N

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПИСЬМЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
Умножение многозначного числа на число,
которое оканчивается нулями
1. Записываем множители
один под другим так,
чтобы нули остались
справа.

25610 ^
32 00 *

нУли
остались
справа

.

2 Выполняем умножение,

не обращая внимания на
нули, которые остались
справа.

3. Считаем количество нулей
в двух множителях и столь­
ко же нулей дописываем
к произведению справа.

эти нули дописываем
к произведению

г

ДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

V.

Деление — математическое действие, в котором по из­
вестному произведению и множителю находят неиз­
вестный множитель.

а Л, b

с)

~

частное делимое делитель
Число, которое делят, называется делимым.
Число, на которое делят, называется делителем.
Число, которое получаем в результате деления,
называется частным.
произведение

1-й множитель 2-й множитель

N

делимое делитель

Из одного примера на умножение можно составить два
примера на деление:

6
V

•

7

=

42

:

6

=

7

42

:

7

=

6

42

Л

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ДЕЛЕНИЯ

Л

1) а : а = 1
а • 1 = а, поэтому
2) а : 1 = а
1. Если делимое равно делителю, то частное равно 1.
2. Если делитель равен 1, то частное равно делимому.
а • 0 = 0, поэтому 0 : а = 0 (а ф 0)
При делении нуля на любое другое число частное равно
нулю.
Делить на 0 нельзя:
5 : 0)^ а

Деление с остатком

Выполнить деление с остатком — означает найти наи­
большее натуральное число, которое при умножении на
делитель дает число, которое не превышает делимое.
Это число называется неполным частным.
Разница между делимым и произведением называется
остатком:
8 : 3 = 2

/

f

(ост. 2)

\

->

\

8 = 3 • 2 + 2
4--------------J

проверка
делимое делитель неполное остаток деления с остатком
частное

f

ЗАПОМНИ
Остаток всегда меньше делителя.

V__________________________________________________________________ У

г
ч

П О РЯД О К Д ЕЙ СТВИ Й
В М А Т ЕМ А Т И Ч Е С К И Х В Ы Р А Ж Е Н И Я Х

1. Если в выражении без скобок представлены только
действия сложения и вычитания, то их выполняют в том
порядке, в котором они записаны:
1

5 - 3 + 2 = 4
2

2

а - Ь + с = (а - Ъ) + с
1

2

1

а + Ь - с = (а + Ь ) - с

2

4+ £ - 2 = 6

8
2. Если в выражении без скобок представлены только
действия умножения и деления, то их выполняют в том
порядке, в котором они записаны:
25 • 2 : 5 = 10
1
2
а • Ъ : с = (а • Ъ) : с
50
1

2

1

а : Ъ • с = (а : Ъ) • с

2

25 : 5^ • 2 = 10
5

3. В выражениях со скобками сначала выполняют дей­
ствия в скобках, потом умножение и деление, а потом
сложение и вычитание.

5

4

1

6

3

2

а - (Ь • с + d : е)

)

35 - (5 • 6 + 10 : 2) = 35 - (30 + 5)
30

5

35

=

0

СВОЙСТВА ДЕЛЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Деление числа на произведение
а : (Ь « с) = (а : Ь) : с

120 : (6 • 2 ) = (120 : 6 ) : 2 = 10
12
20
Ю

Ю

Деление суммы и разности на число
(а + f r y с = а : с + bj^c

: с =а : с - Ъ: с

(а

(6 + 4) : 2 = 6 : % + 4 : 2 = 5 (Q^i) : 2 = б 2 2 - 4 : 2 = 1
10

у

43

"3+

'+ Г

к

1

+ +

1

Деление произведения на число
* 2 =4

(6 • 2) : 3 =
12
У
1-

(а • Ь) : с = (а : с) • b

4

4

Умножение и деление числа на частное

СО
II

••

0>

•

• (36 : 3)
^
12У
120

О

а • (Ь : (:) = (а • Ь) : с
и
н*

г

4360
120

а : (Ь : с) = (а : 6) • с
30 : (6 : 2) = (30 : 6) • 2 = 10
3
5

10

10
33

УСТНОЕ ДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Деление на 10, 100, 1000 ...

При делении на 10, 100, 1000 ... нужно отбросить (если
это возможно) от числа справа столько нулей, сколько
их имеется в числе 10, 100, 1000 и т. д.
30 : 10 - 3
3000 : 100 = 30
55000 : 1000 - 55
Деление круглого числа на однозначное

Используется свойство деления произведения на число.
80 : 4 = (8 • 10) : 4 = (8 : 4) • 10 = 20
8 дес. : 4 = 2 дес. = 20
Деление круглых чисел

В делимом и делителе можно отбросить одинаковое
количество нулей.
800 : 40 = 80 : 4 = 20

800 : 400 = 8 : 4 = 2

Деление двузначного числа на однозначное

Используется свойство деления суммы на число.
81 : 3 = (60 + 21) : 3 = 60 : 3 + 21 : 3 = 20 + 7 = 27
Деление двузначного числа на двузначное

Способом подбора ищем нужный делитель.

.?

Г

^

72 : 18

18-4-72

72 : 18 = 72 : (9 • 2) = (72 : 9) : 2 - 8 : 2 - 4
34

)

ПИСЬМЕННОЕ ДЕЛЕНИЕ
Деление многозначного числа на однозначное

1. Определяем первое неполное
делимое — наименьшее число,
которое делится на делитель.
1 разделить на 5 нельзя,
берем 16.
Первое неполное делимое —
16 сотен.
2. Определяем количество знаков
в частном.

1670
первое неполное
делимое

1670

3. Делим первое неполное
делимое 16 на 5.
16 : 5 = 3 (ост. 1)

1670 5
“ 15 3
1

4. Сносим следующую цифру 7.
Делим второе неполное
делимое 17 на 5.
17 : 5 = 3 (ост. 2)

1670 5
“ 15 3 3
17
15
2

5. Сносим последнюю цифру — 0.
Делим третье неполное
делимое 20 на 5.
20 : 5 = 4

6. Ответ: 334.

35

1670 5
334
“ 15
17
15
20
“ 20
0

Деление многозначного числа
на двузначное (или трехзначное)
1. Определяем первое неполное
делимое: 85 десятков.

2. Определяем количество знаков
в частном.

3. Делим 85 на 34 способом подбора.
85 : 34 = 2 (ост. 17)

85034

850 34

85034
~

68 2

17

4. Сносим последнюю цифру 0
и делим второе неполное делимое
170 на 34 способом подбора.
170 : 34 = 5

5. Ответ: 25.

К.

850 34
“ 68 25
170
1 170
0

ИЗМЕРЕНИЕ ВЕЛИЧИН

ч ;_______________________________________________________________

'

_______

С помощью натуральных чисел можно отображать раз­
личные величины. Измерив любую величину, можно
в другом месте отмерить равную ей величину.
Для измерения величин выбирается мера — единица из­
мерения, или эталон.
а — величина

мера (эталон)

Г
ч_

результат
измерения
■>

ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ВЕЛИЧИН
Единицы длины

1 см = 10 мм
1 дм = 10 см = 100 мм
1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм
1 км = 1000 м
Единицы площади

1 дм12 = 100 см2
1 м2 = 100 дм2
1 км2 = 1 000 000 м2
V.

_____________________________________________________________ ____________)

( 37

л

Единицы массы

1 кг = 1000 г

1 т = 10 ц

1 ц = 100 кг

1 т = 1000 кг

Единицы времени

1
1
1
1
1

минута = 60 секунд
час = 60 минут
сутки = 24 часа
неделя = 7 дней
год = 365 или 366 дней

1 месяц = 30 (или 31) день
(в феврале 28 (или 29) дней)
1 год = 12 месяцев
1 год = 52 недели
1 столетие = 100 лет
>

И М ЕНО ВАНН Ы Е ЧИСЛА

ч

J

При измерении величин получают именованные числа
(числа, которые используются вместе с единицами измерения).
Например:

15 дм;

1 м 6 дм;

3 кг;

2 кг 3 5 0 г

Именованные числа бывают простыми: (15 дм) и составными: (1 м 6 дм).
Составные именованные числа можно преобразовать
в простые:
1 м 6 дм = 16 дм
Некоторые простые именованные числа можно преобразовать в составные:
2350 г = 2 кг 350 г
V

_________

)

г

~\

ДРОБИ
Дробь — одна или несколько равных частей целого
(предмета, единицы счета и т. д.).
Знаменатель дроби показывает, на сколько равных
частей разделена единица счета.
Числитель дроби показывает, сколько равных частей
единицы счета взяли.
—

1

— три четвертых
г

_3_ ◄---- числитель
4 ◄---- знаменатель
3

4
ишипгшиш,

> 4.

~\

НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТИ ОТ ЧИСЛА
Например, найти — от 42
6

Найти одну шестую часть от определенной вели­
чины — означает, что эту величину следует поделить
на 6 равных частей и взять одну из них. Поскольку
при умножении числа на 1 получается то же самое
число, иногда действие умножения пропускают.
42 : 6 • 1 = 7

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Уравнение — это равенство, которое содержит неизвест­
ное число (переменную).
* + 3 =5
у - 2= 7
5 • * = 20

8 :а=2

Решить уравнение — означает найти все значения пере­
менной, при которых уравнение превращается в правиль­
ное равенство:
* + 3=5
* =5- 3
*

=

2

Проверка: 2 + 3 = 5
5= 5
Значение переменной, при котором уравнение превращает­
ся в правильное равенство, называется корнем уравнения:
у - 2 = 7; у = 9 — корень, поскольку 9 - 2 = 7

40

3

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ УРАВНЕНИИ
Как найти неизвестное слагаемое
а

х

а + х - Ъ Л| ^

I
дг

/ \

Л

5 + х = 7

х - Ъ- а

а х

5

—

-

х = 7 - 5;

х

х = 2

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы
вычесть известное слагаемое.
Как найти неизвестное уменьшаемое

х - т = п I

т

1

п

1

1

/ х\

т

х
х - 3 =7

х

—
3

п

/ \
3
7

7

х = т + п

х = 3 + 7;

х = 10

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к вычи­
таемому прибавить разность.
Как найти неизвестное вычитаемое

- х = Ъ
-----------*

3

х

/ \
х
b

8

8

8 - х = 5
х

х = с - Ъ

х

5

5

лс: = 8 — 5;

х =3

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из умень­
шаемого вычесть разность.

GD

РЕШЕНИЕ ПРОСТЫХ ЗАДАЧ
НА СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
Нахождение суммы двух чисел
Задача.
У Оли 8 орехов, а у Юры 5. Сколько орехов у Оли
и Юры вместе?
О. — 8 op. 1
Ю. — 5 op. J

8

id

5
?

Решение
8 + 5 = 13 (ор.)
Ответ: 13 орехов у Оли и Юры вместе.
Нахождение разности двух чисел
ЗадачаУ Оли 8 орехов. 5 орехов она отдала Юре. Сколько
орехов осталось у Оли?
Было — 8 ор.
Отдала — 5 ор.
Осталось — ?
Решение
8 - 5 = 3 (ор.)
Ответ: 3 ореха осталось у Оли.

43

Увеличение числа на несколько единиц
Задача.
У Оли 8 орехов, а у Юры на 5 орехов больше. Сколько
орехов у Юры?
-----------О. — 8 ор.
Ю. — ? , на 5 ор. больше

8

5

-

?

Решение
8 + 5 = 13 (ор.)
Ответ: 13 орехов у Юры.

Уменьшение числа на несколько единиц

& Задача.
У Оли 8 орехов, а у Юры на 5 орехов меньше. Сколько
орехов у Юры?
О. — 8 ор.
-----------Ю. — ? , на 5 ор. меньше

Решение
8 - 5 = 3 (ор.)
Ответ: 3 ореха у Юры.

л

Увеличение числа на несколько единиц
(в непрямой форме)
Задача.
У Оли 8 орехов. Это на 5 орехов меньше, чем у Юры.
Сколько орехов у Юры?
О. — 8 ор., на 5 ор. меньше
Ю. — ?
«------------Решение
8 + 5 = 13 (ор.)
Ответ: 13 орехов у Юры.
Уменьшение числа на несколько единиц
(в непрямой форме)
Задача.
У Оли 8 орехов. Это на 5 орехов больше, чем у Юры.
Сколько орехов у Юры?
О. — 8 ор., на 5 ор. больше
------------Ю. — ?
Решение
8 - 5 = 3 (ор.)
Ответ: 3 ореха у Юры.
Разностное сравнение двух чисел
Задача.
У Оли 8 орехов, а у Юры 5. На сколько орехов больше
у Оли, чем у Юры?
^

на ? больше

Ю. — 5 ор. *
Решение
8 - 5 = 3 (ор.)
Ответ; на 3 ореха больше.

(40

g
-----------....--kj—
5—

Нахождение неизвестного слагаемого
JSS Задача.

У Оли и Юры было 13 орехов. У Оли было 8 орехов.
Сколько орехов было у Юры?
О. — 8 ор. ]
Ю. — ?
J

13

13 ор.
?

8

Решение
13 - 8 = 5 (ор.)
Ответ: 5 орехов было у Юры.

Нахождение неизвестного уменьшаемого
Задача.
У Оли были орехи. Когда она отдала 5 орехов Юре,
у нее осталось 3 ореха. Сколько орехов было у Оли
сначала?
Было —
Отдала — 5 ор.
Осталось — 3 ор.

?
5

Решение
5 + 3 = 8 (ор.)
Ответ; 8 орехов было у Оли сначала.

3

РЕШЕНИЕ ПРОСТЫХ ЗАДАЧ
НА УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
Нахождение произведения двух чисел
JSS Задача.
За один раз лодка может перевезти 6 человек. Сколько
человек лодка перевезет за 4 раза?

1 раз — 6 чел.
4 раза — ?
Решение
6 • 4 = 24 (чел.)
Ответ: 24 человека лодка перевезет за 4 раза.
Деление на равные части
JS*! Задача.
За 4 раза лодка может перевезти 24 человека. Сколько
человек лодка перевозит за один раз?

4 раза — 24 чел.
1 раз — ?

4 раза

Решение
24 : 4 = б (чел.)
Ответ: б человек лодка перевозит за один раз.

GD

Деление на вмещение
Задача. В одну лодку помещается 6 человек. Сколь­
ко лодок нужно, чтобы перевезти 24 человека?
6 чел. — 1 л .
24 чел. — ?

.

_

^ * - i ■*:.?: . . - * . s. i i A » ’

?

Решение
24 : 6 = 4 (л.)
Ответ: 4 лодки нужно, чтобы перевезти 24 человека.
Увеличение числа в несколько раз
Задача. У Оли 8 орехов, а у Юры в 3 раза больше.
Сколько орехов у Юры?
?
О. — 8 ор.
-*------------Ю. — , в 3 раза больше

• ............. • _______ • ',> 3 раза

Решение
8 • 3 = 24 (ор.)
Ответ: 24 ореха у Юры.
Уменьшение числа в несколько раз
J & S Задача. У Юры 24 ореха, а у Оли в 3 раза меньше.
Сколько орехов у Оли?
Ю. — 24 ор. < ------------О. — , в 3 раза меньше
Решение
24 : 3 = 8 (ор.)
Ответ: 8 орехов у Оли.

3 раза

г

Увеличение числа в несколько раз
(в непрямой форме)
Задача.
У Оли 8 орехов, это в 3 раза меньше, чем у Юры.
Сколько орехов у Юры?
О. — 8 ор., в 3 раза меньше

ю. —?

8

Т
’•

Решение
8 • 3 = 24 (ор.)
Ответ; 24 ореха у Юры.
Уменьшение числа в несколько раз
(в непрямой форме)
Задача.
У Юры 24 ореха, это в 3 раза больше, чем у Оли.
Сколько орехов у Оли?
Ю. — 24 ор., в 3 раза больше
О. — ?
Решение
24 : 3 = 8 (ор.)
Ответ; 8 орехов у Оли.

V.
49

3 раза

Сравнение двух чисел
Задача.
У Оли 8 орехов, у Юры — 24. Во сколько раз у Юры
больше орехов, чем у Оли?
О. — 8 ор. х „
во раз больше
Ю. — 24 op. J
Решение
24 : 8 = 3 (р.)
Ответ:

у

Юры в 3 раза больше орехов, чем у Оли.
Нахождение части числа

Задача.
У Оли 8 орехов. Четвертую часть орехов Оля отдала
Юре. Сколько орехов Оля отдала Юре?
Было — 8 ор.
Отдала — ?,
Решение
8 : 4 = 2 (ор.)
Ответ: 2 ореха Оля отдала Юре.
Нахождение числа по его части
& S Задача.
Оля отдала Юре 2 ореха. Это составляет j всех ее
орехов. Сколько орехов было у Оли сначала?
Было — ?
Отдала — 2 ор. — это

от всех орехов.

Решение
2 * 4 = 8 (ор.)
Ответ: 8 орехов было у Оли сначала.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРИ ПОМОЩИ УРАВНЕНИЙ
Некоторые задачи удобно решать при помощи уравнений.
Задача.
Одна лодка может перевезти 6 человек. Сколько лодок
нужно для того, чтобы перевезти 24 человека?
6 чел. — 1 л .
24 чел. —
лодок

Решение
Пусть х — количество лодок, тогда 6 • х — количество
человек.
По условию задачи можно составить уравнение:
6 • х = 24
х = 24 : 6
х - 4
Ответ: 4 лодки нужно, чтобы перевезти 24 человека.

РЕШЕНИЕ СОСТАВНЫХ ЗАДАЧ
Увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц
£ $ Задача.
У Оли 8 орехов, а у Юры на 5 орехов больше. Сколько
всего орехов у Оли и Юры?
О. — 8 ор.
----------- 11 ^
Ю. — ?, на 5 ор. больше
Решение
1) 8 + 5 = 13 (ор.) — было у Юры.
2) 13 + 8 = 21 (ор.)
Ответ: у Оли и Юры всего 21 орех.

Увеличение (уменьшение) числа
несколько раз
ача.
У Оли 8 орехов, а у Юры в 3 раза больше. На сколько
орехов больше у Юры, чем у Оли?
О.
8 Ор.
Ю. — ?, в 3 раза больше

00

4L

На ? больше

JL
_ ? _________ |
у

Решение
1) 8 • 3 = 24 (ор.) — у Юры.
2) 24 - 8 = 16 (ор.)
Ответ: на 16 орехов больше у Юры, чем у Оли.
Приведение к

гнице

За 4 раза лодка может перевезти 24 человека. За сколь­
ко раз такая лодка может перевезти 18 человек?
2 4 чел.

1

4 р. — 24 чел.
? р. — 18 чел.

_1
J \

L
тш

се.

4 ]

р.
VI
1

Г

Решение
1) 24 : 4 = 6 (чел.) — лодка перевезет за 1 раз.
2) 18 : 6 = 3 (р.)
: за 3 раза лодка перевезет 18 человек.

у

Нахождение суммы (разности) двух произведений
& Задача.
У Оли 2 кучки по 4 ореха в каждой, а у Юры 3 кучки по
5 орехов в каждой. Сколько всего орехов у Оли и Юры?
4

о. —?

4

5

5

2 куч. по 4 ор.1 ^ ---------у «СчТ;~::тС
Ю. —? 3 куч. по 5 ор.}
— ----- --- ------- — — "

5

Решение
1) 4 • 2 = 8 (ор.) — у Оли.
2) 5 • 3 = 15 (ор.) — у Юры.
3) 15 + 8 = 23 (ор.)
Ответ: 23 ореха у Оли и Юры вместе.

ЗАДАЧИ НА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ

J

адача.
За 4 раза лодка может перевезти 24 человека, а катер за
5 раз может перевезти 40 человек. За сколько раз лод­
ка и катер перевезут 28 человек, если будут работать
вместе?
Л. — 4 раза — 24 чел.
4 U ч 1.
*
14 ч ел
К. — 5 раз — 40 чел.
Л. + К. — ? раз — 28 чел.
5р.
i

i

i

i

•

р. V_

2£

ie. I .

\ j j

>п

— ■

— '— '
г
Решение
1) 24 : 4 = 6 (чел.) — может перевезти лодка за 1 раз.
2) 40 : 5 = 8 (чел.) — может перевезти катер за 1 раз.
3) 8 + 6 = 14 (чел.) — могут перевезти за 1 раз лодка
и катер вместе.
4) 28 : 14 = 2 (р.)
Ответ: за 2 раза лодка и катер перевезут 28 человек.
—■

НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО ЧИСЛА
ПО ДВУМ РАЗНОСТЯМ
^ Задача.
Оля и Юра разложили свои орехи на одинаковые куч­
ки. У Оли получилось 3 кучки орехов, а у Юры — 5.
Известно, что у Юры на 8 орехов больше, чем у Оли.
Сколько орехов у каждого из них?
О. — 3 куч.
-----------Ю. — 5 куч., на 8 ор. больше
Решение
1) 5 —3 = 2 (куч.) — на столько кучек больше у Юры.
2) 8 : 2 = 4 (ор.) — в каждой кучке.
3) 4 • 3 = 12 (ор.) — у Оли.
4) 4 • 5 = 20 (ор.) — у Юры.
Ответ: у Оли 12 орехов, а у Юры — 20 орехов.

РЕШЕНИЕ СОСТАВНЫХ ЗАДАЧ С ДРОБЯМИ
Нахождение части от числа
Задача.
У Оли 8 орехов. — своих орехов Оля отдала Юре. Сколь­
ко орехов получил Юра?
Было — 8 ор.
Отдала — , —от всех ор.
4
Решение
8 : 4 • 3 = 6 (ор.)
Ответ: 6 орехов получил Юра.

РАССТОЯНИЕ. ВРЕМЯ. СКОРОСТЬ

Л

Скорость — это расстояние, пройденное за единицу
времени.
1. Чтобы найти расстояние, нужно скорость движения
умножить на время движения.
S - v • t

2. Чтобы найти время движения, нужно расстояние
разделить на скорость движения.
t = S :

у

3. Чтобы найти скорость движения, нужно расстояние
разделить на время движения.
v = S : t
S
Т7тТ7^тт77^ГГ7Т77П7ц

*J§........... • ............_•___ ...____ •"> t

ч>

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ВСТРЕЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Задача.
Расстояние между пунктами А и В составляет 16 км.
Из пункта А в пункт В вышла Оля со скоростью 3 км/ч,
а из пункта В одновременно навстречу ей вышел Юра
со скоростью 5 км/ч. На каком расстоянии от пункта А
дети встретятся?
V____________________________________________________________
55

)

Оля

1
и L
1в р г I 1 | s i r 1
—1“ 1
□ с
Ч ---Г
Л -- Г1“-1В
Р
—
— -- !
А
Q
и X
V1V1/ м
1111 1

16 км
1
1

—

.

—

тл

и

“1
“1

I!

/г / т т

II __

-

Z*

11

Юра

—
Г-Н
1

bj
н п н п
” 11 Р 1
—Г—11—1— 1— I—1-—
5 км/ч В Г в
Г
l i l t
,

Решение
1) 3 + 5 = 8 (км/ч) — скорость сближения.
2) 16 : 8 = 2 (ч) — время до встречи.
3) 3 • 2 = 6 (км)
Ответ: дети встретятся на расстоянии 6 км от пункта А.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ
В ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ
& Задача.
Оля и Юра одновременно вышли из пункта А в противо­
положных направлениях. Через 2 часа после их выхода
расстояние между ними составляло 16 км. Оля шла со
скоростью 3 км/ч. С какой скоростью шел Юра?
Скорость
3 км/ч
0 .
ю. ?•

Время
2 ч
2 ч

Расстояние
? 1 „
г 16 км

Решение
1) 3 • 2 = 6 (км) — расстояние, которое прошла Оля.
2 ) 1 6 - 6 = 10 (км) — расстояние, которое прошел Юра.
3) 10 : 2 = 5 (км/ч)
Ответ: Юра шел со скоростью 5 км/ч.

Точно говоря, нарисовать точку на плоскости невозмож­
но, поскольку на рисунке она будет иметь объем. Поэто­
му рисунок дает только приблизительное представление
о геометрической точке.
Прямая не имеет ни начала, ни конца.

Начертить линию невозможно, поскольку на рисунке она
будет иметь некоторую ширину. Рисунок дает только при­
близительное представление о геометрической линии.
Луч имеет начало (точку), но не имеет конца.
луч
•------------- -

А

Отрезок — это часть прямой линии, ограниченная двумя
точками.
А ___________ В

отрезок АВ
V________________________________________________________________________ )

Ломаная линия состоит из последовательно соединен­
ных отрезков.

ломаная линия ABCDE

ломаная линия ABCDEF

Окружность — это замкнутая кривая линия, все точки
которой одинаково удалены от точки О, которая называется
центром окружности.
Радиус R — расстояние от центра
окружности до любой точки окружности.
Диаметр D — отрезок, который
проходит через центр окружности
и объединяет две любые точки
окружности.
Круг — это геометрическая фигура,
ограниченная окружностью.
Углы бывают прямые, острые и тупые.

Z В прямой

Z А острый

Прямой угол равен 90°.
Острый угол меньше прямого.
Тупой угол больше прямого.

Z С тупой

ПЕРИМЕТР ПРЯМОУГОЛЬНИКА И КВАДРАТА
Периметр — это сумма длин всех сторон геометрической
фигуры.
Р = А В + ВС + CD + A P I
D

Периметр прямоугольника

П ериметр квадрата

а

а

а

а
а

а

Р = 2 • (а + Ъ)

Р =4 • а

ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И КВАДРАТА
П лощ адь измеряется в квадратны х единицах:
мм2, см2, дм2, м2, км 2.
П лощ адь прямоугольника равна произведению его дли­
ны и ш ирины.
П лощ адь прямоугольника
а

а

ъ

а

Ъ

а

а

S~a ~
V

П лощ адь квадрата

ь

S —а •

а1

ЗАДАЧИ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

V.

Задача. Периметр прямоугольника равен 16 см.
Длина прямоугольника равна 5 см. Найдите площадь
этого прямоугольника.
^

Рп р . = 16 см
а = 5 см
S пр. — ?

Решение
I способ

1) 16 : 2 = 8 (см)
2) 8 - 5 = 3 (см) — ширина.
3) 5 • 3 = 15 (см2)

1) 5 • 2 = 10 (см)
2) 16 - 10 = 6 (см)
3) 6 : 2 = 3 (см)
4) 5 • 3 = 15 (см2)
Ответ; площадь прямоугольника — 15 см2.
Задача Сторона равностороннего треугольника
(треугольника с тремя равными сторонами) равна 4 см.
Найдите длину стороны квадрата, периметр которого ра­
вен периметру треугольника.
а = 4 см
Ь
РД = Р □
Ъ — ?

t

а '

ка
а

b

Решение
1) 4 • 3 = 12 (см) — периметр треугольника.
2) 12 : 4 = 3 (см)
Ответ: длина стороны квадрата — 3 см.
ex

л
J&3 Задача.
Площадь прямоугольника равна 32 см2, а его длина —
8 см. Найдите периметр прямоугольника.
S Пр . = 3 2 см2
а = 8 см
8 см
/

/

... L
1
11
11
11
11

1
I1
I1
I1
I1
1 11
1( м ,
I
1

7Т
1

1

I1

1I

~

г

1
11

Р— ?
I1
I1
|

I1
I1
I
1

1

1
11
1

т
1
11

11
11
11
11
1

1 1 1S = 321 см21 1

|—
1
11
11
11
11
11
1
1

1

Решение
1) 32 : 8 = 4 (см) — ш ирина.
2) (4 + 8) • 2 = 12 • 2 - 2 4 (см)
Ответ: периметр прямоугольника — 24 см.

V

Г
v_

СОДЕРЖАНИЕ

Л

Натуральные числа и нуль............................................. 4
Десятичная система счисления......................................5
Разряды и классы натурального числа......................... 6
Сравнение натуральных чисел........................................ 7
Сложение натуральных чисел........................................ 9
Законы сложения. Скобки........................................... 10
Устное сложение (без перехода через десяток) . . . .11
Устное сложение (с переходом через десяток)........... 11
Таблица сложения натуральных чисел
в пределах 2 0 ................................................................. 12
Письменное слож ение.................................................. 14
Вычитание натуральных чисел....................................15
Как найти разность двух натуральных чисел
в пределах 1 0 ................................................................. 16
Устное вычитание (без перехода через десяток) . . . 16
Устное вычитание (с переходом через десяток). . . .17
Римская нумерация....................................................... 18
Письменное вычитание.................................................. 19
Свойства вычитания....................................................... 20
Умножение как математическое действие................21
Законы умножения....................................................... 22
Частные случаи умножения.........................................23
Десятичная система счисления как частный
случай умножения..........................................................24
Таблица умножения натуральных ч и с е л .................. 25
Письменное умножение................................................27
Частные случаи письменного умножения.................. 29
Деление натуральных чисел........................................ 30
Частные случаи деления................................................31
Порядок действий в математических выражениях . 32
Свойства деления натуральных ч и с е л ....................... 33
ч____________________ ________________________________ )

Устное деление натуральных чисел............................ 34
Письменное деление....................................................... 35
Измерение величин....................................................... 37
Единицы измерения величин...................................... 37
Именованные числа....................................................... 38
Дроби................................................................................ 39
Нахождение части от ч и сл а.........................................40
Решение уравнений....................................................... 40
Решение простейших уравнений................................. 41
Решение простых задач на сложение
и вычитание....................................................................43
Решение простых задач на умножение
и деление........................................................................ 47
Решение задач при помощи уравнений.....................51
Решение составныхзадач..............................................51
Задачи на совместную работу...................................... 53
Нахождение неизвестного числа
по двум разностям..........................................................54
Решение составных задач с дробями..........................54
Расстояние. Время. Скорость...................................... 55
Решение задач на встречное движение....................... 55
Решение задач на движение
в противоположных направлениях............................ 56
Геометрия на плоскости................................................ 57
Периметр прямоугольника и квадрата....................... 60
Площадь прямоугольника и квадрата....................... 60
Задачи с геометрическим содержанием.....................61

V___________________________________________________________

у

РУЖ АЮ Щ ИИМ ИР
-------------

-

в таблицах и схемах I

правша и орфограммы
определения и примеры
щбор слов и т

шении

ISBN 978-5-222-19040-1

Соответствует действующей школьной программе
[Быстрый поиск информации
дРаувитис ум ения анализировать
СТодготовка к итоговой аттестации
у а курс начальной школы

тшшшшт