Методы математической физики [Гарольд Джеффрис] (pdf) читать постранично, страница - 3

ней м ере в д ву х р а з д е л а х ф изики; о д н а к о мы не
с л е д о в а л и этом у п р а в и л у во всех сл у ч а я х . Д л я и л л ю с т р а ц и и
допо л н и т е л ьн ы х п р и л о ж е н и й в в еден ы с п е ц и а л ь н ы е за д а ч и .
Н а м п р е д с т а в л я е т с я , что многие студенты , з а и н т е р е с о в а н ­
ные г л а в н ы м о б р а з о м п р и л о ж е н и я м и , с тр удом с л е д я т за а б ­
с т р ак т н ы м и д о к а з а т е л ь с т в а м и не и з-за отсу тствия спо соб но­
стей, но потому что интерес у них в о зн и к а е т л и ш ь т огд а, ко гд а
им ясны неп осред ствен ны е пр именения.
М ы п р е д п о л а г а е м , что ч и т ат е л ь з н а к о м с курсом м а т е м а т и ­
ческого а н а л и з а . П о я с н и м н а м е ч а е м ы е н ам и уровень строгости
и общ ности. М ы не р а з д е л я е м ш ир око р а с п р о с т р а н е н н о г о
в з г л я д а , что л ю б о е д о к а з а т е л ь с т в о хорош о, если оно будет
п р е д н а зн а ч е н о д л я и с п о л ь з о в а н и я и с с л е д о в а т е л я м и в естест­
венных н а у к а х . М ы счи таем , что д л я естественны х наук, т а к ж е
к а к и д л я чистой м а т е м а т и к и , необходим о, чтобы б ы ли с ф о р м у ­
л и р о в а н ы основн ы е принципы, и за к л ю ч е н и я в ы т ек а л и из ни.х.
Н о в естественны х н а у к а х т а к ж е необходим о, чтобы эти при н­
ципы были к а к м о ж н о теснее с в я з а н ы с н а б л ю д е н и я м и ; д л я
чистой м а т е м а т и к и несущ ественн о, что в зя т о за основу.
Мы п р и д е р ж и в а е м с я зд есь п р и нци па, что строгий а н а л и з
в естественны х н а у к а х не менее в а ж е н , чем в чистой м а т е м а ­
тике. М ы т а к ж е м н о г о к р ат н о о б н а р у ж и в а л и , что л е гч а й ш и й
путь с д е л а т ь к а к о е -л и б о у т в е р ж д е н и е д о стато чн о о б о с н о в а н ­
н ы м — это д а т ь ему строгое д о к а з а т е л ь с т в о . Н е к о т о р ы е н а и б о ­

л е е в а ж н ы е р е зу л ь т а т ы (н а п р и м е р , т е о р е м а К ош и) т а к у д и в и ­
тельны на первы й в зг л я д , что ничто б о л е е кр а т к о е , чем д о к а ­
з а т е л ь с т в о , не м о ж е т з а с т а в и т ь в нее поверить. С д р у го й с то­
роны , м а т е м а т и к обы чно н е у д о в л е тво р е н теорем ой, если она
в ы с к а з а н а не в н а и б о л е е о б щ ей форме.
П р и л о ж е н и я ж е часто ог р а н и ч и в а ю тс я н е с к о л ьк и м и спе­
ц и а л ь н ы м и з а д а ч а м и . П о э т о м у мы часто д а е м д о к а з а т е л ь с т в о
при у сл о ви я х , д о ст а т о ч н ы х в б о л ьш и н с тв е п ри лож е н и й , но и з­
л иш не огран и ч ен н ы х с точки зр ен и я чистого м а т е м а т и к а . О б щ ­
н о с т ь — х о р о ш а я вещ ь, но иногда она м о ж е т о б ойтись сл иш ком
д орого. В р я д е сл у ч а е в, если п р и н я ты е у с л о в и я не вы п о л н я ю тс я
в д ан н о й з а д а ч е , то м ето д о б о б щ е н и я те о р ем ы б уд е т очевиден;
иногда ж е это очень трудно, и мы не д у м а е м , что стоит л о м а т ь
к о п ья р а д и редко в с т р еч а ю щ и х с я с л учаев. Д л я н е к ото ры х о б ­
ш и р н ы х п роб лем , ко тор ы е в а ж н ы , но тр е б у ю т д олгого о б с у ж д е ­
ния и хорош о и зл о ж е н ы в к а к о м -л и б о р уковод стве, мы сочли
д о ст а т о ч н ы м д а т ь ссылки.
М ы счи таем особенно в а ж н ы м д л я и с с л е д о в а т е л е й зн а т ь
точную ф о р м у л и р о в к у условий, при ко т о р ы х с п р а в е д л и в ы ис­
по л ьзу е м ы е ими теорем ы . Ч а с т о м о ж н о встр ет и т ьс я с у т в е р ж ­
дением , что р е з у л ь т а т строго д о к а з а н ; ка к о й -л и б о к о н тр о л ь за
те м , что п о с т у л и р о в а н н ы е при д о к а з а т е л ь с т в е у с л о в и я у д о в л е т ­
в о р я ю т с я в р е а л ь н о й з а д а ч е , о тсутствует — а очень часто эти
у с л о в и я на с а м о м д е л е не вы п о л н я ю тс я . Т а к о е н е п р ав и л ь н о е
ис п о л ьзо в ан и е м а т е м а т и к и м о ж е т встр ет и т ьс я во многих р а з д е ­
л а х науки. С д р у го й стороны , многие р е з у л ь т а т ы ч ас т о д о к а ­
з а н ы при д остаточн ы х, но не н ео б хо ди м ы х усл ов и я х, и ученые
ко л е б л ю т с я, и с п о л ь з о в а т ь ли их, о ш иб очно п р е д п о л а г а я , что
усл о ви я необходи м ы . П о эт о м у мы будем часто д а в а т ь д о к а з а ­
т е л ь с т в а при бо лее об щ и х усл ов и я х, чем п р и н я ты е в более э л е ­
м ен т а р н ы х кур сах . О бе трудн ости в ы з в а н ы г л а в н ы м о б р а з о м
тем, что т ео рем ы р а з б р о с а н ы по м ногим к н и га м и с т а т ь я м , и
и с с л е д о в а т е л и не знаю т, что и где искать.
Эту книгу м о ж н о ч итать п о сл е д о в ат е л ьн о , но некоторы е ч а ­
сти вполне н е зав и си м ы от п р е д ш е с т в у ю щ е г о и зл о ж е н и я ; т а к и м
о б р а з о м м о ж н о и д а ж е пол езно и зу ч а т ь о т д е л ьн ы е г л а в ы п з '
р а л л ел ь н о .

В н екоторы х сл у ч а я х мы приводим теорем ы в частной ф о р м е
п еред более общ ей ф о р м у л и р о в к о й , если п о сл ед няя тре б у е т б о ­
лее сл о ж н о г о а н а л и з а . Э то особенно относится к с л у ч а я м , ко гд а
ч итатель, во зм о ж н о , встретится с неск о льк им и п р и л о ж е н и я м и
д л я частного вид а т еорем ы до того, к а к ему потребу ется бо лее
о б щ а я теорем а.
М ы со м н е в а л и с ь, стоит ли в к л ю ч а т ь г л а в у о теории ф ункций
д ей стви тел ьного переменного. О бы чно б олее полны е работы
т р ебую т сущ ественно б ольш его